Završni Rad-Složeni Kamatni Račun_v2

SVEUČILIŠTE U RIJECIFAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU U OPATIJI

Stručni studij malog i srednjeg poduzetništva – turističko poslovanje

MIRKO PILIPOVIĆ

SLOŽENI KAMATNI RAČUN

COMPOUND INTEREST

Završni rad

ZABOK, 2014.

SVEUČILIŠTE U RIJECIFAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU U OPATIJA

Stručni studij malog i srednjeg poduzetništva – turističko poslovanje

SLOŽENI KAMATNI RAČUN

COMPOUND INTERESTZavršni rad

Kolegij: Poslovna matematikaMentor: dr.sc. Pajo Slamić

Ime i prezime: MIRKO PILIPOVIĆStudij: Stručni studij malog i srednjeg poduzetništva Smjer: turističko poslovanjeMatični broj: 3584 09/ZSerijski broj: 006505 R-18

Zabok, ožujak 2014.

2

SADRŽAJ

UVOD....................................................................................................................................................

1. FINANCIJSKA MATEMATIKA...............................................................................................

2. KAMATE I KAMATNE STOPE................................................................................................

3. KAMATNI RAČUN...................................................................................................................12

3.1. JEDNOSTAVNI KAMATNI RAČUN.................................................................................19

3.2. SLOŽENI KAMATNI RAČUN...........................................................................................25

4. PERIODIČNE UPLATE ILI ISPLATE...................................................................................29

4.1. KONAČNA (BUDUĆA) VRIJEDNOST PRENUMERANDO I POSTNUMERANDO UPLATA ILI ISPLATA...................................................................................................................31

4.2. FINANCIJSKE RENTE. POČETNA (SADAŠNJA) VRIJEDNOST PRENUMERANDO I POSTNUMERANDO ISPLATA (RENTI)......................................................................................33

4.3. VJEČNA RENTA.................................................................................................................35

5. PRIMJERI IZ PRAKSE............................................................................................................37

5.1. METODOLOGIJA OBRAČUNA ZAKONSKIH KAMATNIH STOPA............................37

5.2. MODEL OTPLATE ZAJMA UZ JEDNAKE ANUITETE..................................................43

5.3. MODEL OTPLATE ZAJMA UZ JEDNAKE OTPLATNE KVOTE...................................45

5.4. MODEL OTPLATE ZAJMA UNAPRIJED DOGOVORENIM ANUITETIMA................47

5.5. POTROŠAČKI KREDIT......................................................................................................49

ZAKLJUČAK.....................................................................................................................................52

LITERATURA...................................................................................................................................53

3

UVOD

Sve složeniji ekonomski i socijalni odnosi uvjetovali su rast uloge značaja novca i

kredita. Ekonomski se razvitak ne može odvojiti od novca i kredita i samo se razvojnim

procesom privrede i društva mogu shvatiti povezanosti i međusobni utjecaj ekonomije i

novca kao i njezine bitne poluge i funkcioniranje mehanizama kamatnih računa. U tržišnoj

privredi značajnu ulogu imaju kamate kao instrument u funkcioniranju tržišta novca i

kapitala, jer se pod utjecajem ponude i potražnje novca i kapitala upućuje kupovna snaga na

proizvodnju i potrošnju. Kamatama se pridaje veliki značaj zbog toga što one u moderno

organiziranoj tržišnoj privredi, u kojoj postoji tržište novca i kapitala, reguliraju novčani i

kreditni volumen.

Cilj ovog rada je prikazati složeni kamatni račun, njegov značaj u financijskom svijetu i

bankarskom poslovanju te načine njegove primjene. Svrha rada je utvrditi kako i na koji

način se primjenjuje obračun kamata kroz prikaz jednostavnog i složenog kamatnog računa.

Rad je strukturiran na slijedeći način. U prvom poglavlju pod nazivom Financijska

matematika opisani su osnovni pojmovi koji se koriste u financijskoj praksi. U drugom

poglavlju opisano je područje kamata i kamatnih stopa te su prikazane izvedene formule

koje se u tu svrhu mogu koristiti. U trećem poglavlju objašnjen je kamatni račun te je dan

prikaz jednostavnog i složenog kamatnog računa, izvodi formula te pripadajući primjeri. U

četvrtom poglavlju objašnjene su periodične prenumerando i postnumerando uplate i isplate

te vječna renta. U zadnjem, šestom poglavlju, dani primjeri iz hrvatske bankarske prakse

preuzeti iz internih pravilnika vodećih hrvatskih banaka, pripadajućih zakona i odluka

Hrvatske narodne banke kroz metodologiju obračuna zakonskih kamatnih stopa, model

otplate zajma uz jednake anuitete, model otplate zajma uz jednake otplatne kvote, model

otplate zajma unaprijed dogovorenim kreditiranjem i potroščko kreditiranje. Primjeri

navedeni u ovom radu preuzeti su iz različitih izvora.

4

1. FINANCIJSKA MATEMATIKA

Financijska matematika obuhvaća područje ekonomske grane matematike koja obrađuje

probleme poslovanja, kapitala, rentabilnosti ulaganja, zajmova i dr. U svakodnevnom životu

upravljamo osobnim financijama kako bismo osigurali optimalan raspored financijskih

sredstava kojima raspolažemo s ciljem zadovoljenja naših potreba. Vrijednost novca se

mijenja tijekom vremena, pa je donošenje pravilnih odluka još teže. Ukoliko raspolažemo s

viškom financijskih sredstava, zanima nas kako ih optimalno iskoristiti: uložiti ih u banku ili

investirati? Ukoliko smo suočeni s nedostatkom financijskih sredstava, prisiljeni smo

zatražit zajam pod određenim uvijetima.

Da bismo mogli donijeti odluku o tome koji je zajam za nas najpogodniji, tj. najjeftiniji

moramo dobro procjeniti uvjete zajma budući da ćemo vraćati iznos koji smo posudili

(glavnicu) uvećan za naknadu korištenja tuđeg novca (kamate) u određenom vremenskom

razdoblju koje u slučaju većih iznosa zajma i/ili visina kamatnih stopa znatno opterećuje

kućni budžet.

Sa sličnim se problemima suočavamo i u poslovnom svijetu. Funkcija financija

obuhvaća tri vrste odluka koje menadžment poduzeća treba donijeti: odluku o investiranju,

odluku o financiranju i odluku o dividendi. Radi se o međusobno povezanim odlukama čija

optimalna kombinacija osigurava dioničarima maksimalnu vrijednost poduzeća.

Financijska matematika važno je poglavlje primjene matematike u ekonomskim

znanostima ali i drugim područjima, koja se bave financijskim aspektima u primjenama

(poljoprivreda, građevinarstvo, elektortehnika,...).

U nastavku je dan kratak prikaz osnovnih matematičkih i bankarskih pojmova te

njihovih relacija koje se koriste u financijskoj matematici.

Prvo što treba spomenuti jest načelo financijske ekvivalentnosti kapitala1, što znači

da je konačna vrijednost jednog iznosa jednaka zbroju početne vrijednosti tog iznosa i

ukupnih kamata, pokazat ćemo da se konačna vrijednost jednog iznosa računa formulom

1 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008, str 181.

5

Cn=C0(1+ p100 )

n

, pri čemu je C0 sadašnja, Cn konačna vrijednost iznosa, p nominalna

kamatna stopa jediničnog vremenskog razdoblja fiksna u svih n razdoblja ( jedinične

duljine) ukamaćivanja, a temeljno razdoblje ukamaćivanja jednake je duljine kao temeljno

razdoblje na koje se odnosi kamatna stopa p. Uvedemo li oznaku za dekurzivni kamatni

faktor onda je r=1+ p100

, Cn=C0r n (formula 1).

Izraz rn=(1+ p100

)n

ovisi o dvije velične: kamatnjaku p i broju jediničnih razdoblja

kapitalizacije n. Nekada, kada nije bilo jednostavno računati vrijednost tog izraza za dane

vrijednosti p i n, koristile su se financijske tablice u kojima su upravo bile navedene i

vrijednosti izraza rn za tada najčešće korištene vrijednosti veličina p i n. Te vrijednosti su

poznate kao elementi prvih financijskih tablica, oznaka: I pn (čitaj: prve financijske tablice n

p). Koristimo li se financijskim tablicama, konačnu vrijednost jednog iznosa Co na kraju n-

tog jediničnog razdoblja uz primjenu složenog kamatnog računa i dekurzivni način obračuna

kamata uz fiksni kamatnjak p možemo izračunati na slijedeći način: Cn=C0 I pn

Primjer 1: Iznos 50000 kn uloži se danas u 12% godišnjih kamata. Kolika je nominalna

vrijednost uloženog iznosa na kraju desete godine? Obračun kamata je složen, godišnji i

dekurzivan. Koristeći se formulom 1 nalazimo da je traženi iznos

C10=C0 r10=50000∗1.1210≈ 155292.41 kn

budući da je r=(1+ 12100 )=1.12.

Gore prikazanom formulom izriče se suština temeljnog načekla financijske matematike –

načelo financijske ekvivalentnosti kapitala. Često se to načelo „definira“ na jedan od

sljedeća dva načina: (1) zbroj svih potraživaja (isplata) svedenih na neki po volji odabrani

datum mora biti jednak zbroju svih dugovanja (uplata) svedenih na taj datum, odnosno (2)

ako je C(t0) vrijednost kapitala u nekom trenutku to, a C(tn) vrijednost istog kapitala u nekom

kasnijem trenutku tn (tn>t0), tada se kaže da je kapital C0 u trenutku t0 ekvivalentan sa

kapitalom Cn u trenutku tn. No, ove definicije predstavljaju tek posljedicu načela

ekvivalentnosti, a ne izražavaju financijsku ekvivalentnost kapitala.

6

2. KAMATE I KAMATNE STOPE

Prema riječniku finacijskih pojmova, kamata2 se definira kao naknada za korištenje

tuđih zamjenjivih, pokretnih stvari, najčešće novca. Visina ove naknade odmjerava se prema

visini glavnice i trajanju njezina korištenja. Kamate se često nazivaju i civilnim ili

građanskopravnim plodovima (za razliku od prirodnih plodova) jer se stječu na osnovi

postojanja nekog građanskopravnog odnosa. Ne predstavljaju kamate davanja u obvezama

različitim od glavnice, ili u radu, kao ni davanja koja nisu odmjerena po trajanju korištenja,

nego paušalno.

Kamata je cijena kredita odnosno depozita (prinos na depozit), koja ovisi o

nominalnom iznosu kredita (glavnici), odnosno iznosu depozita, načinu i roku njegova

povrata te visini ugovorene ili propisane kamatne stope, a predstavlja naknadu koju dužnik

plaća za pozajmljenu glavnicu na određeno vrijeme.

Po osnovi nastanka, kamate se dijele na zakonske i ugovorne. Zakonske kamate

imaju svoj temelj u zakonskoj normi kojom se dužniku nameće, uz podmirenje glavnice, i

obveza na kamate. Najpoznatiji primjer zakonskih kamata su zatezne kamate. Zatezne ili

moratorne kamate sankcija su prema dužniku koji zakasni s ispunjenjem novčane obveze.

Visina stope zatezne kamate utvrđuju se posebnim zakonom ili drugim propisima. Vrlo

često se mijenja ovisno o stopi inflacije i gospodarskoj politici države. Ugovorne kamate su

naknada za korištenje tuđeg novca ili drugih zamjenjivih stvari, određena ugovorom.

Osnova ugovornih kamata najčešće je ugovor o zajmu. Stopu ugovorne kamate određuju

ugovorne strane, s tim da ne smiju prekoračiti granicu utvrđenu zakonom.

U našem je zakonodavstvu,3 u načelu zabranjeno naplaćivanje kamate na kamatu

(anatocizam). Uz zakonske i ugovorne kamate koje su vjerovniku prihod (civilni plod)

postoje i diskontne ili međutomne kamate koje idu u dužnikovu korist. Diskontne ili

međutomne kamate predstavljaju odbitak na koji dužnik ima pravo ispuni li novčanu obvezu

prije roka, tako da se od iznosa duga odbije iznos kamate za vrijeme od dana isplate do dana

dospjelosti.

Sa financijskog aspekta, kamata je cijena upotrebe tuđih novčanih sredstava. Kamate

su svota novca koju je dužnik po kreditu obvezan platiti u nekom vremenu. Godina dana u

2 Leko, V., Rječnik bankarstva, MASMEDIA, 1998 Zagreb

3 Zakon o obveznim odnosima (NN. 35/05, 41/08 i 125/11)

8

njemačkoj i francuskoj praksi obuhvaća 360 dana, a u engleskoj 365. Mjesec u njemačkoj

praksi znači 30 dana, a u engleskoj i francuskoj praksi to je broj dana u kalendaru.

Definicija kamatne stope4, glasi: "Kamatnom stopom koju značavamo sa i nazivamo

onaj iznos kamata što ga donese glavnica jedinične poečtne vrijednosti u toku jedne

vremenske jedinice (npr. Početna glavnica od jedne kune za vrijeme od jedne godine". Ovo

je radna definicija kamatne stope i takav način definiranja uobičajen je u financijskoj

matematici i ekonomiji.

U domaćoj literaturi, kamatna stopa i kamatnjak često se upotrebljavaju kao

sinonimi. Neki autori smatraju da je pogodnije razlikovati ta dva termina. Kamatnjakom

koji označavamo s p nazivamo onaj iznos kamata što ga donese početna glavnica od 100

novčanih jedinica za jednu vremensku jedinicu (npr. Glavnica o 100kn za jednu godinu).

Kako 100 puta manjoj glavnici odgovara i 100 puta manji iznos kamata, to je

i= p100

Pristup u kojem kamatna stopa nije postotak ima određene prednosti: u ekonomskoj

teoriji uglavnom se koristi isti pristup dok se u praksi primjenju oba pristupa. Uobičajeno

shvaćanje u ekonomskoj teoriji je da je kamatna stopa recipročna vrijednost vremenskog

intervala.

Postoje dvije vrste obračuna kamata5:

Dekurzivni obračun kamata

Anticipativni obračuna kamata

Dekurzivna kamatna stopa najčešće se označava slovom p, a anticipativna slovom q.

Dekurzivno obračunavanje kamate se obavlja krajem perioda, za protekli period

(unazad), na raniju vrijednost, kao čistu glavnicu, pa je stoga kasnija vrijednost uvećana

glavnica. Drugačije rečeno, posudili smo 100 kn 1. u mjesecu, a kamatu plaćamo za cijeli

taj mjesec tek kad on istekne, tj. 1. u slijedećem mjesecu.

Anticipativno obračunavanje kamate se obavlja početkom perioda, za period unapred,

na kasniju vrijednost kao čistu glavnicu, pa je stoga ranija vrijednost umanjena glavnica.

4 Šego, B., Šikić, T., Četiri računa za ekonomiste, Visoka škola za poslovanje i upravljanje "Baltazar Adam Krčelić", Zaprešić 20035 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008, str 185.

9

Drugačije rečeno, posudili smo 100 kn 1.u mesecu, a kamatu za taj mesec plaćamo odmah

unaprijed tj. istog tog dana kada smo posudili..

Kamatna stopa6 je relativni broj p koji pokazuje koliki prinos donosi svota od 100

novčanih jedinica u određenom vremenskom razdoblju (obračunsko razdoblje ili termin),

odnosno kamatna stopa je iznos kamata za 100 novčanih jedinica, za određenu vremensku

jedinicu. Za trajanja kapitalizacije kamatna stopa može biti konstantna ili promjenjiva za

vremenske jedinice jednake duljine. Kamatna stopa za osnovno obračunsko razdoblje zove

se nominalna kamatna stopa. Vremenska jedinica nominalne kamatne stope može biti bilo

koje vremensko razdoblje (npr. godina, polugodište, mjesec i slično).

Obračunsko razdoblje ili termin7 (ili razdoblje ukamaćivanja ili razdoblje

kapitalizacije) je vremensko razdoblje u kojem se obračunava kamata. Osnovno (temeljno)

obračunsko razdoblje i visina kamatne stope definiraju se ugovorom između ugovornih

strana ili su propisani zakonom, a može biti riječ o godišnjem obračunu kamata, dnevnoj

kapitalizaciji i slično.

Postoje dvije vrste kamatnih stopa8:

Relativna kamatna stopa je ona kamatna stopa koja se računa prema duljini

osnovnoga obračunskog razdoblja i duljini stvarnoga obračunskog razdoblja.

Neka je p kamatna stopa zadana za osnovni vremenski interval (n1), ali neka se

obračun kamata vrši u nekom drugom vremenskom intervalu (n2). tada kamatnjak pr ¿pm

nazivamo relativni kamatnjak i odnosi se na vremenski interval n2.

Konformna kamatna stopa je ona kamatna stopa koja za istu glavnicu daje jednaki

iznos kamata bez obzira vrši li se obračun u vremenskim razdobljima dužim ili kraćim od

razdoblja na koje se odnosi nominalna kamatna stopa.

U poslovanju s građanima postoje tri vrste kamatnih stopa9:

6 Šego, B., Šikić, T., Četiri računa za ekonomiste, Visoka škola za poslovanje i upravljanje "Baltazar Adam Krčelić", Zaprešić 20037 Leko, V., Rječnik bankarstva, MASMEDIA, 1998 Zagreb8 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008, str 185.9 Šego B., Matematika za ekonomiste, Potecon, Zagreb, 2000

10

- Promjenjiva kamatna stopa (varijabilna, individualna)

- Portfeljno promjenjiva kamatna stopa

- Fiksna kamatna stopa

Banka za nepravovremeno podmirenje svojih dospjelih potraživanja ugovara,

obračunava i naplaćuje zateznu kamatu10. Naknade u platnom prometu pravnih osoba,

ostala nerizična potraživanja te ostala potraživanja po troškovima se revaloriziraju. U slučaj

da posebnim ugovornom ili drugim aktivnostima banke nije drugačije ugovoreno, od dana

dospijeća naknada za izvršenje usluge, kao i za stvarne troškove, banka obračunava

revalorizaciju svojih potraživanja u visini i po metodi obračuna zakonske zatezne kamate, i

to počevši od dana obračuna do dana konačne naplate obračunate naknade i/ili troška.

Kada se na dospjela nenaplaćena potraživanja započne obračunavati zatezna kamata,

prestaje teći redovna kamata na tu osnovicu. Redovna kamata obračunava se dalje na ostatak

duga prema dospijeću.

Zatezna kama obračunava se i naplaćuje mjesečno, primjenom proporcionalne metode

obračuna. Obračunava se od dana dospijeća do jednog dana prije plaćanja. Obračunata

zatezna kamata u jednom obračunskom razdoblju ne ulazi u osnovicu za obračun zatezne

kamate u slijedećim obračunskim razdobljima.

Efektivna kamatna stopa (EKS)

Efektivna kamatna stopa11 je kamatnjak koji pokazuje ukupne troškove koje klijent

plaća banci prilikom podizanja i otplate kredita, odosno ukupan prihod koji klijent ostvaruje

od banke po osnovi depozita. Zbog jedinstvene metodologije obračuna efektivne kamatne

stope koju je propisala Hrvatska narodna banka i obvezna je sve banke u Hrvatskoj, ovi su

podaci usporedivi. Cilj uvođenja efektivne kamatne stope jest zaštita klijenata u smislu

uvođenja transparentnog prikaza troškova kredita, odnosno prihoda depozita kod svih

banaka.

10 Pravilnik o obračunu kamata i naknada, Raiffeisen BANK

11 Odluka o efektivnoj kamatnoj stopi kreditnih institucija i kreditnih unija te ugovaranju usluga s potročačima Hrvatske narodne banke, (NN 1/2009, 41/2009)

11

U slučaju kreditnih produkata u izračun efektivne kamatne stope uključuje se:

godišnja kamatna stopa, interkalarna kamata, naknade koje korisnik kredita plaća banci,

iznos depozita ako je uvjet za odobravanje kredita), kamata koju banka placa na sredstva

depozita. Kamatna stopa po kojoj se diskontirani novčani primici izjednačavaju s

diskontiranim novčanim izdacima po istom kreditnom produktu izražava se kroz efektivni

kamatnjak.

U slučaju depozitnih produkata nominalna stopa jednaka je efektivnoj stopi, osim na

depozite uz premiju te depozite ugovorene uz rentnu isplatu kamate. U slučaju depozita uz

premiju u izračun efektivne kamatne stope uključuje se: nominalna, godišnja kamatna stopa,

visine i broj uplata te postotak premije. EKS je dekurzivna kamatna stopa iskazana na

godišnjoj razini primjenom složenoga kamatnog obračuna. Primjenom EKS-a diskontirani

novčani primici izjednačavaju se s diskontiranim novčanim izdacima. U izračun EKS-a,

osim obračunate kamate, uključuju se i svi ostali primici ili izdaci svedeni na sadašnju

vrijednost.

Prilikom obračuna i izračunavanja redovnih kamata, za računanje dana banke mogu

koristiti slijedeće metode12:

a) Engleska metoda – prema kojoj godina ima 365 dana (prijestupna 366), a dane u

mjesecima banka obračunava prema kalendaru

b) Njemačka metoda – prema kojoj godina ima 360 dana, a svaki mejsec 30 dana te

c) Francuska metoda – prema kojoj godina ima 360 dana, a dane u mjesecima Banka

obračunava prema kalendaru.

12 Gruić, B., Šutalo, I., Volarević, H., Matematika za ekonomiste i managere, Mate, Zagreb 2006

12

3. KAMATNI RAČUN

Kamatni račun je područje financijske matematike koje je relativno elementarno,

dobro poznato, a ipak se u praksi, pa i u teoriji, o pojedinim pitanjima pojavljuju različita

tumačenja.

Za obračun kamata primjenjuje se jednostavni i složeni kamatni račun.

Kamatne su stope usko vezane uz koncept vremenske preferencije novca. Prema tom

konceptu, novac se u sadašnjosti više cijeni od nominalno jednakog iznosa u budućnosti.

Kvantitiativni izraz vremenske preferencije novca jest vremenska vrijednost novca, što se

definira kao postupak izračunavanja vrijednosti novca u određenoj točki promatranja.

Osnovica različitog vrednovanja novca kroz vrijeme jest oprtunitetni trošak ulaganja novca

koji se tehnički izražava kao kamatna stopa.

Iz prethodnog objašnjenja moguće je zaključiti da se pri jednostavnom

ukamaćivanju dosljedno ne posštuje koncept vremenske preferencije novca. Uzrok tome su

da se jednostavne kamate najčešće primjenjuju za kraća vremenska razdoblja i pri

jednokratnom obračunu kamata. Također, uvjet su i da su kamatne stope relativno malene,

jer se u suprotnome i za kraća vremenska razdoblja mogu pojaviti znatne razlike, što je

dobro poznato u zemljama koje su iskusile visoku inflaciju, a s njom i visoke kamatne stope.

Složeni kamatni račun se u Ekonomskom leksikonu13 definira kao postupak

izračunavanja kamata na jednu ili više glavnica kojima su u prethodnim razdobljima dodane

kamate. Ako se glavnica ukamaćuje tako da joj se kamate priklapaju u ekvidistantnim

jedinicama vremena, a da imamo diskretno složeno ukamaćivanje, a ako se kamate

priklapaju u vrlo malim jedinicma vremena, tada imamo kontinuirano ukamaćivanje.

Ako su razdoblje ukamaćivanja i razdoblje na koje se nominalna kamatna stopa

odnosi jednake duljine, nominalnu kamatnu stopu možemo izravno upotrijebiti u

matematičkom izrazu za izračunavanje kamata. U slučajevima kada nominalna kamatna

stopa nije prilagodena obračunskim razdobljima (npr. kamatna stopa je izražena na godišnjoj

razini, a obračun kamata je mjesečni), nominalnu kamatnu stopu preračunavamo u kamatnu

stopu za kraće ili duže vremensko razdoblje na sljedeća dva načina14:

13 Ekonomski leksikon, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, Masmedija, Zagreb 1995, str. 82914 Lang, H., Lectures on Financial Mathematics, KTH Mathematics 2012

13

1. relativnim (razmjernim ili proporcionalnim) i

2. konformnim načinom.

Kod jednostavnog obračuna ekvivalentna stopa zove se proporcionalna ili relativna,

a kod složenog obračuna zove se konformna stopa.

Relativna i konformna kamatna stope koriste se ako osnovno razdoblje ukamaćivanja

nije jednake duljine kao osnovno razdoblje na koje se odnosi nominalna (propisana)

kamatna stopa. Neka je:

d1 - duljina vremenskog intervala na koji se odnosi nominalna kamatna stopa

d2 - duljina vremenskog intervala u kojem se obavlja ukamaćivanje

Tada je:

m = d 1d

broj osnovnih razdoblja ukamaćivanja u razdoblju na koje se odnosi nominalna

kamatna stopa.

Definiramo:

Primjer 2: Na koju vrijednost naraste 50000 kn na kraju osme godine ako je

godišnja kamatna stopa 4%? Obračun kamata je:

a) Polugodišnji,

b) Dvogodišnji,

c) Kvartalni.

Koristi se relativni kamatnjak.

C0= 50000

14

n = 8

p = 4 godišnje

Primjer 3: Neka osoba uloži u banku početkom prve godine 50000 kn, a početkom

treće i četvrte godine podigne 10000 kn. Koliku će svotu ta osoba imati u banci na kraju pete

godine ako je obračun

a) godišnji,

b) mjesečni

a godišnja kamatna stopa 9%? Primjenjuje se konformni kamatnjak.

15

Može se primjetiti da se, za razliku od relativnog, s konformnim kamatnjakom

dobiva uvijek isti iznos, bez obzira na vremenski interval između obračuna.

U Riječniku bankarstva i finacija ekvivalentnost kamatnih stopa objašenja je na slijedeći

način: "Za dvije kamatne stope (...) kaže se da su ekvivalentne ako su kamate obračunate po

obje stope jednake."

Kod jednostavnoga kamatnog racuna upotreba nominalne kamatne stope ili

odgovarajuce relativne kamatne stope dovodi do iste konacne vrijednosti, tj. istih kamata.

Kod složenoga kamatnog racuna upotreba nominalne kamatne stope i odgovarajuce relativne

kamatne stope ne dovode do iste konacne vrijednosti glavnice.

Konacna ili buduca vrijednost glavnice jednaka je uz upotrebu nominalne kamatne stope,

kao i uz upotrebu odgovarajuce konformne kamatne stope, tj. složene kamate su jednake.

Kod složenoga kamatnog racuna postoje razlike izmedu relativne i konformne kamatne

stope.

a) Relativna kamatna stopa

Relativna (razmjerna ili proporcionalna) kamatna stopa računa se prema odnosu duljine

razdoblja na koji se odnosi nominalna kamatna stopa i duljine vremenskog razdoblja za koje

se vrši obračun kamate15. Preračunavanje kamatne stope na elementarno razdoblje

15 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008, str 190.

16

ukamaćivanja obavlja se jednostavnim dijeljenjem nominalne kamatne stope omjerom

razdoblja na koje se ona odnosi i elementarnog razdoblja ukamaćivanja.

b) Konformna kamatna stopa

Konformna kamatna stopa je ona kamatna stopa koja za istu glavnicu daje jednaku kamatu

bez obzira provodi li se obracun u dužim ili kraćim vremenskim razdobljima od razdoblja na

koje se odnosi nominalna kamatna stopa, a racuna se prema formuli:

pm = 100 ((1 + p / 100 )1 / m – 1)

Odnosno:

Gdje je:

p - godišnja dekurzivna kamatna stopa,

pm - konformna kamatna stopa za razdoblja kraća (duža) od jedne godine te

m - broj obračunskih razdoblja.

Preračunavanje kamatne stope na elementarno razdoblje ukamaćivanja obavlja se prema

načelu očuvanja ekvivalencije kapitala.

U usporedbi s relativnom (razmjernom ili proporcionalnom) kamatnom stopom konformna

kamatna stopa povoljnija je za klijentaa ako se kamate obracunavaju za razdoblja kraca od

razdoblja na koje se odnosi nominalna kamatna stopa (najprisutnije u praksi), a za

vjerovnika je povoljniji kod obračuna kamata na razdoblja duža od razdoblja na koje se

odnosi nominalna kamatna stopa.

Općenito, kapitalizacija (ukamaćivanje) je zadana nekom realnom funkcijom C=C(t),

pri čemu je C(t) vrijednost kapitala u trenutku t. Područje definicije funkcije C, D(C), je

skup R. Ako je t<0, podrazumijevat ćemo daje kapitalizacija izvršena t vremenskih jedinica

17

prije aktualnog trenutka t=0 , a ako je t>0, podrazumijevat ćemo da će ukamaćivanje biti

izvršeno za t vremenskih jedinica računajući od aktualnog trenutka t=0, to jest od danas.

Budući da je vrijednost kapitala nenegativna funkcija, takva mora biti i funkcija C. Dakle

C(t) ≥0, za sve t ∈ D (C).

Vrijednost funkcije C u trenutku t=0, to jest C(0) predstavlja sadašnju ili aktualnu

vrijednost kapitala. Ako neki kapital vrijedi da mu je sadašnja vrijednost jednaka 1, to jest

C(0)=1, onda je riječ o jediničnom kapitalu. Kamate I ( t1, t2) koje „pripadaju“ kapitalu C(t1)

za svaki vremenski interval [t1,t2] u trenutku t2 predstavljaju razliku kapitala C(t1) i C (t2), to

jest

I ( t1, t2)= C(t1) - C (t2).

Relativne kamate i(t1,t2) predstavljaju učešće kamata I ( t1, t2) u kapitalu C(t1), to jest

i(t1,t2) = I (t 1 ,t 2)

C (t 1) = C(t 1)−C(t 2)

C (t 1) .

Kamatna stopa ili kamatnjak i(t) predstavlja relativne kamate za jedinični vremenski interval

[t, t+1] pomnožene sa 100. Dakle,

I(t) = I (t , t+1)

C( t)∗100=

C ( t +1 )−C (t )C (t )

∗100

Diskontinuirana kapitalizacija ili diskretno ukamaćivanje je naćin obračuna

kamata u kojem se kamata obračunava na početku ili na kraju svakog razdoblja

ukamaćivanja od iste ili promjenljive glavnice, uz konstantni ili promnjeljivi kamatnjak,

unutar vremena trajanja kapitalizacije.

U Ekonomskom leksikonu16, pod pojmom diskontinuirana kapitalizacija,

diskontinuirano ukamaćivanje navodi se da je to način obračuna kamata u kojem se kamata

obračunava na početku ili na kraju svakog razdoblja ukamaćivanja (...). razdoblje

ukamaćivanja ili kapitalizacije osnovni je vremenski interval u kojem se kamata obračunava.

Kontinuirano ukamaćivanje (kapitalizacija) , neprekidna kapitalizacija objašnjava

se kao način obračuna kamata u kojem se kamata obračunava svakog trenutka i dodaje

glavnici (kapitalu), tj. unutar vremena trajanja kapitalizacije nema vremenskog

16 Ekonomski leksikon, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, Masmedija, Zagreb 1995 str. 129

18

diskontinuiteta između dva obračuna kamata i njihova pribrajanja glavnici. Za neprekidno

ukamaćivanje vrijedi:

Primjer 4: Prosječni prirast drvne mase nekoj šumi je 3.5%. Koliko će u toj šumi biti m 3

drvne mase za 5 godina ako procjenimo da je danas 45 000 m3 ?

C = 45 000

i = 3.5 / 100 = 0.035

t = 5

_______

Ct = ?

Obračun kamata banka može provoditi primjenom jedonstavnog i složenog

kamatnog računa.

Jednostavni kamatni račun je kamatni račun kod kojeg banka u svakom razdoblju

kapitalizacije, za vrijeme trajanja kapitalizacije, kamate obračunava uvijek na početnu

glavnicu17.

Složeni kamatni račun18 (kamatno-kamatni račun) je kamatni račun kod kojeg

banka obračunatu kamatu za prvo obračunsko razdoblje pribraja početnoj glanivnici, pa u

idućem obračunskom razdoblju obračunava kamatu na početnu glavnicu uvećanu za iznos

kamate iz prvog razdoblja. U svakom sljedećem razdoblju ukamaćivanu kamatu banka

obračunava na preostalu glavnicu uvećanu za obračunatu kamatu iz prethodnog razdoblja

ukamaćivanja, odnosno dolazi do obraćuna kamate na kamatu (anatocizam).

Neovisno o primjeni jedostavnoga ili složenog kamatnog računa, banka može kamatu

obračunavati dekurzivno ili anticipativno.

17 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008, str 191.18 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008, str 191.

19

Dekurzivni obračn kamate je obračun kod kojeg banka kamatu obračunava i

pribraja glavnici, odnosno isplaćuje na kraju obraćunskog razdoblja. Pri ovakvom načinu

obračuna banka obračunava kamatu od početne vrijednosti, tj. od glavnice s početka

osnovnog razdoblja kapitalizacije.

Anticipativni obračuna kamate je obračun kod kojeg banka kamatu obračunava

unaprijed za razdoblje kapitalizacije, odnosno na početku razdoblja ukamaćivanja i to od

konačne vrijednosti glavnice tj. iznosa s kraja obračunskog razdoblja. Nakon izračuna banka

kamatu na početku razdoblja ukamaćivanja oduzima od te glavnice.

3.1. JEDNOSTAVNI KAMATNI RAČUN

Jednostavni kamatni račun je kamatni račun kod kojeg se u svakom razdoblju

kapitalizacije, za trajanja kapitalizacije, kamate obračunavaju uvijek na početnu glavnicu, tj.

kamate izračunavamo na istu glavnicu za svako razdoblje ukamaćivanja.

Iznos C deponiran po kamatnoj stopi i , nakon t godina isplaćuje se:

Ct = C(1 + ti)

Kamate iznose:

K = Ct - C

Sukladno odredbama Zakona o kamatama, od 20. srpnja 2004. godine nadalje,

zatezna kamata se obracunava primjenom jednostavnog kamatnog racuna19. Za obracunsko

razdoblje na razini godine primjenjuje se sljedeci matematički izraz:

K=C∗p∗d36.500

gdje je:

K - iznos zatezne kamate,

C - glavnica,

p - stopa zatezne kamate,

19 Zakon o kamatama (NN 94/04, 35/05)

20

d - broj dana

Broj dana je uvijek 365 dana bez obzira na prijestupnu godinu.

Za obracunsko razdoblje krace od jedne godine primjenjuje se kalendarski broj dana za tu

godinu i koristi se sljedeci matematički izraz:

K=C∗p∗d36.500

Odnosno za prijestupnu godinu

K=C∗p∗d36.600

gdje je:

K - zatezna kamata,

C - glavnica,

p - stopa zatezne kamate,

d - broj dana

Dekurzivni obračun kamate je obračun kod kojega se kamata obračunava i pribraja

glavnici, odnosno isplaćuje na kraju obračunskog razdoblja. Pri ovakvom načinu obračuna

kamata se obračunava od početne vrijednosti, tj. od glavnice s početka osnovnog razdoblja

kapitalizacije.

Za izračun konačne vrijednosti i kamata vrijede slijedeć formule:

Cn = C0(1+ np100

¿

Kn = Cn – C0

Kn = np

100 C0

21

Uz slijedeće oznake:

Cn – početna vrijednost (glavnica)

Cn – konačna vrijednost na kraju n-tog razdoblja

Kn – kamata na kraju n-tog razdoblja

n – broj razdoblja ukamaćivanja

p – dekurzivni kamatnjak

K – ukupne kamate

Pri izračunu kamate prema dekurzivnom jednostavnom kamatnom računu primjenjuju se

slijedeći matematički izrazi:

Za godine

I=C∗p∗g100

Za mjesece

I=C∗p∗m1200

Za dane

I=C∗p∗d36500

U zadnjem izrazu, umjesto 36500 može stajati 36600 ili 36000, ovisno o metodi kojiu banka

primjenjuje (engleska, francuska ili njemačka).

Parametri imaju slijedeće značenje:

C – iznos glavnice

G – godina

m – broj mjeseci

d – broj dana

p – dekurzivna kamatna stopa

I – iznos kamate

22

Primjer 5: Iznos od 10000kn oroči se na 5 godina uz godišnji kamatnjak 3. Kolika je

konačna vrijednost tog iznosa na kraju pete godine ako je obračun kamata jednostava,

godišnji i dekurzivan? Koliko iznose ukupne kamate na kraju 5. godine ?

C0 = 10000

n = 5

p = 3 (%)

_______

C5 = ?

K5 = ?

C5 = C0(1+ np100

¿=10000(1+ 5∗3100 )=11500 kn

K5 = C5 – C0 = 15000 – 10000 = 1500 kn

ii) ANTICIPATIVNI OBRAČUN

Anticipativni obračun kamate je obračun kod kojega se kamata obračunava

unaprijed za razdoblje kapitalizacije, odnosno na početku razdoblja ukamaćivanja, i to od

konačne vrijednosti glavnice (iznosa s kraja obračunskog razdoblja). Nakon izračuna,

kamata se na početku razdoblja ukamaćivanja oduzima od te glavnice.

Kao što je navedeno, obračun se obavlja na početku razdoblja od iste glavnice s kraja

razdoblja. Koriste se iste oznake kao kod dekurzivnog načina obračuna, uz dodatak:

q – anticipativni kamatnjak

Vrijedi:

K =qn

100Cn

Cn=100

100−qnCo

a kamate iznose:

K = Cn-C0

23

Za razliku od dekurzivnog načina obračuna kamate, kod kojeg će kredit (dug ili

glavnica) nakon isteka ugovorenog roka biti vraćen uvećan za pripadajuću kamatu, kod

anticipativnog načina obračuna kamate banka glavnicu odmah umanjuje za izračunatu

kamatu, a nakon isteka roka korisnik kredita dužan je vratiti cjelokupni iznos glavnice.

Pri izračunavanju kamate prema anticipativnom jedostavnom kamatnom računu

banke također koriste slijedeće matematičke izraze:

s (n )=C0(1− q100

) ili

Sn = Co – D

Gdje je:

Sn – sadašnja vrijednost budućeg duga (isplaćeni iznos)

q – anticipativna kamatna stopa

Co – iznos duga (glavnice)

D – iznos diskonta

Navedenim izrazima prikazana je sadašnja vrijednost glavnice koja dospijeva za

jednu godinu. Glavnica koja dospjeva za n godina danas vrijedim manje, pa svođenje na

sadašnju vrijednost zovemo još i diskontiranje, a kamatni faktor kojim se diskontiranje

provodi diskontni faktor.

Primjenom jednostavnog kamatnog računa iznos diskonta banka može izračunati na

slijedeći način20:

Za godine

D=C (0 )∗q∗godine100+q∗godine

Za mjesece

20 Odluka o načinu obračuna, naplate i plaćanja kamata i naknada Hrvatske narodne banke, NN 133/2010

24

D=C (0 )∗q∗godine1200+q∗mjeseci

Za dane

D=C (0 )∗q∗dani

35600+q∗dani

U navedenom izrazu može umjesto 36500 stajati 36600 ili 36000, ovisno o metodi koju

banka primjenju (engleska, francuska ili njemačka).

Parametri imaju slijedeće značenje:

D – iznos diskonta

C(0) - iznos glavnice

Q – anticipativna kamatna stopa

Primjer 6: Kolika je konačna vrijednost glavnice od 15000 kn na kraju pete godine uz 5%

godišnjih kamata ako je obračun jednostavan, godišnji i anticipativan ?

Co= 15000

n = 5

q = 5

_______

C5= ?

C5=100

100−qnCo=

100100−5∗5

∗15000=20000 kn

K = Cn-C0 = 20000 – 15000 = 5000 kn

25

3.2. SLOŽENI KAMATNI RAČUN

Složeni kamatni račun (kamatno-kamatni račun) je kamatni račun kod kojega se

obračunata kamata za prvo obračunsko razdoblje pribraja početnoj glavnici, pa se u idućem

obračunskom razdoblju obračunava kamata na početnu glavnicu uvećanu za iznos kamate iz

prvog razdoblja. U svakom sljedećem razdoblju ukamaćivanja kamata se obračunava na

preostalu glavnicu uvećanu za obračunatu kamatu iz prethodnog razdoblja ukamaćivanja,

odnosno dolazi do obračuna i kamate na kamatu (anatocizam).

Primjena složenog kamatnog racuna može prouzročiti anatocizam tj. zaračunavanje

kamata na kamate. U ugovornim i izvanugovornim obveznim odnosima anatocizam nije

dopušten u hrvatskom pravnom sustavu. Od 01.01.2006. godine izuzetak u tom pogledu su

racuni depozita i štednih pologa kod banaka i drugih financijskih institucija21, a do

01.01.2006. godine od zabrane anatocizma bile su izuzete dospjele neisplacene ugovorne

kamate u kreditnim poslovima banaka i drugih bankarskih organizacija.

DEKURZIVNI OBRAČUN

U formulama se koriste slijedeće oznake:

Ki- kamata na kraju i-te godine (nastala u toj godini)

Ci- glavnica na kraju i-te godine

r – rekurzivni kamatni faktor

p(G) – godišnji dekurzivni kamatnjak

Cn- konačna vrijednost glavnice nakon n godina

C0- početna vrijednost glavnice

Vrijede sljedeće (osnovne) formule:

Ki = Ci−1 × p(G)

100

Ci = Ci-1+Ki

21 Zakona o obveznim odnosima (NN. 35/05, 41/08 i 125/11)

26

r = 1+p (G)100

Cn = C0 × rn

K = C0 × (rn -1)

K = Cn- C0

C0 = Cn

rn

Ukratko:

Konačna vrijednost glavnice:

Cn = C0 × rn

Početna vrijednost glavnice :

C0 = Cn

rn

Ako imamo zadani broj godina kapitalizacije (n), te početnu i konačnu vrijednost glavnice,

dekurzivni kamatni faktor računamo po formuli:

r = n√ Cn

C0

a ako imamo dekurzivni kamatni faktor (r), te početnu i konačnu vrijednost glavnice, broj

godina kapitalizacije računamo po formuli:

n = logCn−logC0

logr

Primjer 7: Jedno poduzeće duguje iznose od 10000 kn na kraju druge godine i 20000 kn na kraju treće godine. Kojim iznosom može to poduzeće podmiriti navedeno dugovanje krajem pete godine, ako je godišnji kamatnja 8? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

D1= 10000

27

D2= 20000

P(G) = 8

_________

C5= ?

r = 1+p (G)100

= 1+8

100=1.08

C5 = D1 * r3+ D2 * r2 = 10000 + (1.08)3+ 20000 * (1.08)2= 359251.20 kn

Primjer 8: U banci je oročeno 10000 kn na 5 godina. Na kraju treće godine vlasnik računa

je podigao iznos od 5000 kn. Koliko će na računu biti na kraju pete godine ako je godišnji

kamatnjak za prve dvije godine 4, a za ostatak razdoblja 5? obračun kamata je godišnji,

složen i dekurzivan.

C0 = 10000

D1 = 5000

p1(G) = 4 r1 = 1.04

p2(G) = 5 r2 = 1.05

_______

C5 = ?

ANTICIPATIVNI OBRAČUN

Primjena složenoga kamatnog racuna uz anticipativni način obracuna kamata je

složenija te financijska matematika pruža mogućnost da ustanovi kojoj anticipativnoj

kamatnoj stopi (q) odgovara dekurzivna kamatna stopa (p), što matematički izvodimo na

sljedeći način22:

22 Šego B., Matematika za ekonomiste, Potecon, Zagreb, 2000

28

C (0 )(1− q100 )= C(0)

(1+ p100 )

Iz čega slijedi da je:

p= 100∗q100−g

Odnosno da je:

q=100∗p100+ p

Jednaki početni iznosi uz istu kamatnu stopu, istu kapitalizaciju i isti broj godina kod

anticipativnog ukamacivanja daju veće konacne vrijednosti nego kod dekurzivnog

ukamaćivanja zato što su pri dekurzivnom ukamacivanju izračunate kamate od vrijednosti

iznosa na početku godine, dok su kod anticipativnog obračunavanja kamate izračunate od

vrijednosti iznosa na kraju godine.

29

4. PERIODIČNE UPLATE ILI ISPLATE

U praksi se često vrši uplata ili isplata jednakih iznosa u jednakim vremenskim

razmacima a takve se uplate (isplate) zovu preiodične. Višekratni ulozi su uplate ili isplate

koje se provode periodično unutar zadanog vremenskog intervala vremena trajanja

kapitalizacije. Višekratne uplate (isplate) u zadanom vremenskom intervalu su međusobno

jednake. Razdoblje ukamaćivanja jednako je vremenskom dospijeću između uplata (isplata)

a kamatnjak je fiksan. Dospijevaju ravnomjerno u jednakim vremenskim intervalima, i to23:

Početkom vremenskog razdoblja ili prenumerando

Krajem vremenskog razdoblja ili postnumerando

Periodične uplate ili isplate mogu trajati određeno vremensko razdoblje, neodređeno

vremensko razdoblje (npr. osobne rente koje se korisniku isplaćuju iz nekog trajnog

izvora) ili vječno (na primjer vječne rente koje se korisniku isplaćuju neograničeno od

iznosa neke trajno jednake vrijednosti).

Kod periodičnih uplata ili isplata izračunava se konačna vrijednost svih periodićnih

uplata ili isplata nakog određenog broja termina ili sadašnja vrijednost periodičnih uplata

ili isplata koje su se pojavljivale određeni broj termina.

Periodičnu uplatu najčešće nazivamo rentom. Uplatimo neku svotu na banku ili neku

drugu financijsku instituciju i od te svote određeni broj godina periodično dobivamo neki

iznos. Isplate, naravno mogu biti i mjesečne, polugodišnje ili vezane uz neko drugo

vremensko razdoblje, s tim što ih možemo dobivati početkom ili krajem određenog

vremenskog razdoblja. Ovisno o vrsti kapitalizacije i o tome jesu li isplate prenumerando ili

postnumerando, svotu koju trebamo uplatit da bi dobivali rentu u određenom iznosu i kroz

željeni broj i dužinu perioda dobivamo kao sadašnju vrijednost više periodičnih iznosa

koristeći formulu za An odnosno An|. Želimo li da broj renti bude beskonačan, tj. želimo li

na osnovu svote koju smo uplatili primati vječnu rentu treba, s matematičkog stajališta,

izračunati graničnu vrijednost An kada broj razdoblja teži u beskonačnost. Pretpostavimo24

da želimo na osnovu svote A∞ osigurati bezbroj postnumerando renti iznosa R. Neka je ta

svota uložena u banku uz složenu dekurzivnu kapitalizaciju i kamatnu stopu p (uz

odgovarajući dekurzivni kamatni faktor r).

23 Šego, B., Šikić, T., Četiri računa za ekonomiste, Visoka škola za poslovanje i upravljanje "Baltazar Adam Krčelić", Zaprešić 200324 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008

30

Dakle, ukoliko želimo osigurati vječnu postnumerando rentu veličine R, uz dekurzivnu

kamatnu stopu p, moramo uložiti A∞ novčanih jedinica i vrijedi:

A∞=R

r−1 ili A∞=

100∗Rp

U slučaju prenumerando rente na jednak način dobit ćemo:

Primjer 9: Koliko svotu trebamo uložiti na račun u banci da bismo osigurali vječnu

rmjesečnu postnumerando rentu u iznosu od 1.000 € ? Godišnja dekurzivna kamatna stopa je

6%

Rješenje:

R= 1.000 €

p= 6%, p=1,06

A∞= ?

Budući da nije eksplicitno zadano, podrazumijeva se da primjenjujemo komfornu kamatnu

stopu.

m = 12 ⇒ r1 = m√r = 12√1,06 = 1,0486755

A∞I =

R × rr−1

= 1000× 1,00486755

1,00486755−1 = 206.422,16 €

Dakle, uložimo li 206.422,16 € možemo doživotno uživati u mjesečnoj renti od 1000 €

31

4.1. KONAČNA (BUDUĆA) VRIJEDNOST PRENUMERANDO I POSTNUMERANDO UPLATA ILI ISPLATA

Formula za konačnu vrijednost periodičnih uplata ili isplata može se izvesti uz

slijedeće pretpostavke25:

Uplate (isplate) su međusobno jednake

Uplate (isplate) obavljaju se u jednakim vremenskim intervalima

Razdoblje između dvije uplate (isplate) jednako je razdoblju ukamaćivanja,

Kamatnjak je nepromjenjiv tijekom cijelog vremena,

Ukamaćivanje je složeno i dekurzivno.

Pretpostavimo da imamo višekratne jednake uloge u određenim, jednakim

vremenskim intervalima. Pitamo se kolika je konačna vrijednost svih tih uloga na kraju n-

tog razdoblja.

Uvodimo slijedeće oznake:

R – konstantna uplata (isplata) u određenim, jednakim vremenskim intervalima

n – broj razdoblja ukamaćivanja

p – konstantni godišnji kamatnjak

Sn – konačna vrijednost prenumerando uplata (isplata) na kraju n-tog razdoblja

S'n- konačna vrijednost postnumerando uplata (isplata) na kraju n-tog razdoblja

Prenumerando uplate (isplate)26 su uplate (isplate) koje se izvršavaju uvijek na početku

vremenskog razdoblja. Konačna vrijednost na kraju n-tog razdoblja uplata (isplata) izvršenih

početkom svakog od n razdoblja (ili kraće, konačna vrijednost n prenumerando uplata

(isplata)) jednaka je:

25 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008, str. ??26 Leko, V., Rječnik bankarstva, MASMEDIA, 1998 Zagreb

32

Postnumerando uplate (isplate)27 su uplate (isplate) koje se izvršavaju uvijek na kraju

vremenskog razdoblja. Konačna vrijednost na kraju n-tog razdoblja uplata (isplata) izvršenih

krajem svakog od n razdoblja (ili kraće, konačna vrijednost n postnumerando uplata

(isplata) ) jednaka je:

Primjer 10: Neka osoba početkom svake godine u prve tri godine uplaćuje po 10000 kn uz

10% godišnje kamatne stope, a u daljnjih sedam godina po 15000 kn uz 8% godišnje

kamatne stope. Koliko će ta osoba imati u banci na kraju petnaeste godine ako se i dalje

primjenjuje godišnja kamatna stopa od 8% ?

R1= 10000

R2= 15000

p1= 10 r1= 1.1

p2= 8 r2= 1.08

_____

27 Leko, V., Rječnik bankarstva, MASMEDIA, 1998 Zagreb

33

C15= ?

4.2. FINANCIJSKE RENTE. POČETNA (SADAŠNJA) VRIJEDNOST PRENUMERANDO I POSTNUMERANDO ISPLATA (RENTI)

Renta je niz od n jednakih uplata (isplata) u jednakim vremenskim intervalima28. Sve

isplate (uplate) su izvjesne, neovisne o smrti ili doživljenju neke osobe. Takva serija naziva

se renta ili financijska renta. Promatraju se i rastuće i padajuće rente. Ukoliko isplate nisu

izvjesne i ovise o smrti ili doživljenju, radi se o životnoj renti. Ako plaćanje renti počinje

odmah, zovemo ju neposrednom rentom, a ako počinje nakon izvjesnog vremena, onda je

to odgođena renta.

Renta se može plaćati na početku vremenskog razdoblja, to je renta plativa

unaprijed (prenumerando), a ako se plaća na kraju vremenskog razdoblja, onda je to renta

plativa unatrag (postnumerando).

Za svaku rentu koja se isplaćuje određeno je unaprijed vrijeme koliko će dugo teći.

Budući da visina rente ovisi od vremena koliko će dugo teći, zove se i vremenska renta.

U aktuarskoj matematici postoje rente koje teku do smrti jedne osobe. One nisu

zakljućene na određeno vrijeme, već su ograničene smrću osobe koja će primiti rentu. Stoga

se takve rente zovu osobne rente.

Pretpostavimo da imamo višekratne jednake isplate u određenim, jednakim

vremenskim intervalima. Pitamo se kolika je početna vrijednost svih tih uloga na početku

prvog razdoblja. Dodatno, koriste se slijedeći parametri:

An – početna vrijednost postnumerando isplata

S'n- početna vrijednost prenumerando isplata

28 Gruić, B., Šutalo, I., Volarević, H., Matematika za ekonomiste i managere, Mate, Zagreb 2006

34

Početna vrijednost na početku prvog razdoblja isplata izvršenih krajem svakog od n

razdoblja (ili kraće, početna vrijednost n postnumerando isplata) jednaka je:

Početna vrijednost na početku prvog razdoblja isplata izvršenih početkom svakog od n

razdoblja (ili kraće, početna vrijednost n prenumerando isplata) jednaka je:

Primjer 11: Koliko iznos treba danas uložiti u banku da se osigura 5 godišnjih

postnumerando isplata po 30000 kn i na kraju šeste godine jednokratna isplata od 50000 kn?

Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan, a godišnja kamatna stopa 8%.

R = 30000

n = 5

p = 8 r = 1.08

_____

C0 = ?

35

4.3. VJEČNA RENTA

Postavlja se pitanje: Koliko se mora danas uložiti ako se želi na temelju tog jednog

iznosa vječno podizati nominalno jednake postnumerando iznose R, uz pretpostavku da je

obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan uz primjenu fiksnog godišnjeg kamatnjaka p% 29?

Početna vrijednost n nominalno jednakih postnumerando iznosa R, uz prepostavku

da je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan uz primjenu fiksnog godišnjeg

kamatnjaka p% jednaka:

Budući da se traži vječna renta, treba ispitati što se s gornjom formulom događa kada

broj n nominalno jednakih postnumerando iznosa raste u beskonačnost:

Analogno, za jednake prenumerando iznose R, dobije se

Primjer 12: Kolika je sadašnja vrijednost vječne rente od 5000 kn koja dospijeva na kraju

svake godine ako je godišnji kamatnjak 10%?

R = 5000

P = 10%

A ∞=?

29 Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo, Zagreb 2008

36

Primjer 13: Da li je povoljnije prodati trosobni stan u Opatiji kojemu je tržišna

vrijednost 2 000 000kn i dobiveni novac oročiti u poslovnoj banci koja na oročena sredstva

plaća godišnje kamate 6% ili stan dati u najam za godišnju najamninu 140 000?

Ako vlasnik proda stan i dobiveni novac oroči u banci uz 6% godišnje, može računati

s godišnjom rentom

R=6∗2 000 000100

=120 000 kn

pa ispada da mu se uz navedene uvjete više isplati stan dati u najam.

37

5. PRIMJERI IZ PRAKSE

5.1. METODOLOGIJA OBRAČUNA ZAKONSKIH KAMATNIH STOPA

Svaka banka posjeduje svoje interne Pravilnike o obračunu kamata i naknada. Banke

ugovaraju s klijentima kamatne stope sukladno Odluci o kamatnim stopama Banke te

naknade za usluge sukladno Odluci o visini naknada za usluge. Spomenute odluke temelje se

na odredbama Pravilnika o obračunu kamata i naknada. Navedenim pravilnikom se za

kamate utvrđuje30:

Vrste i karakteristike ugovaranja kamatnih stopa (tzv. redovne kamatne stope)

Izračun referentne kamatne stope,

Formiranje i promjene kamatnih stopa po nedospjelim ugovorima,

Metode i način obračuna te plaćanje kamata,

Način obračuna i plaćanja zateznih kamata,

Tretman pretplate.

Pravilnikom se za naknade utvrđuje:

Vrste i karakteristike obračuna naknada za usluge banke,

Metode i način obračuna kamata i plaćanja naknada,

Stope revolarizacije potraživanja Banke.

U hrvatskoj bankarskoj praksi31, u pravilu se primjenjuje proporcionalna metoda

obračuna kamata po stvarnom broju dana, s razdobljem ukamaćivanja od dana valute do

dana prije plaćanja (od t0 do t1), osim u poslovanju s financijskim institucijama na tržištima

sa specifičnim metodama ukamaćivanja.

Obračun efektivne kamatne stope banke obavljaju sukladno Odluci HNB-a o

jedinstvenom iskazivanju efektivne kamatne stope na kredite i depozite.


31 Kamate u poslovanju poduzetnih i drugih osoba, RriF, 2012

38

Obveze i potraživanja revaloriziraju se po stopi revalorizacije, a osnovica za izračun

stope revalorizacije može biti32:

Stopa rasta cijena iz prethodnog mjeseca iskazana na mjesečnom nivou,

Stopa promjene tečaja kune u odnosu na ugovorenu valutu,

Stopa zakonske zatezne kamate.

Kamate se obračunavaju primjenom dekurzivne metode obračuna, osim za otkup

mjenica i potraživanja, pri čemu se primjenjuje anticipativna metoda33.

U obračunu kamata koristi se:

Proporcionalna metoda

Konformna metoda

Kod proporcionalne metode kamata se obračunava primjenom sljedećih formula:

a) Kalendarski broj dana u mjesecu / kalendarski broj dana u godini

Kalendarski znači stvaran brpoj dana u određenom kalendarskom razdoblju (za mjesec 30,

31 te 28 ili 29, a za godinu 365 ili 366). Primjenjuje se redovnito u obračunu kamata po

svim aktivnim i pasivnim poslovima banke, osim kod anuitetnog načina otplate.

Iznimno, može se ugovoriti i proporcionalna metoda s primjenom formula pod b) i c),

odnosno konformna metoda obračuna kamata

K = Osnovica * godišnja stopa

100∗kalendarski brojdana urazdobljuobračuna

kalendarski brojdana u godini

32 http://www.pfri.uniri.hr/~glavan/documents/Kamatniracun.doc


39

b) Kalendarski broj dana u mjesecu / 360 dana u godini


100∗kalendarski brojdana urazdobljuobračuna

360

Ovakav način obračuna primjenjuje se isključivo s tržištima na kojima je uobičajen takav

način obračuna.

c) 30 dana u mjesecu / 360 dana u godini


100∗30

360

Prikazani način obračuna primjenjuje se obavezno kod otplate u jednakim anuitetima a

iznimno se može upotrijebiti i izvan anuitetnog obračuna.

d) Kalendarski broj dana u mjesecu / 365 dana u godini

K = Osnovica * godišnjastopa

100∗kalendarski brojdana

365

Prikazani način obračuna primjenjuje se u poslovanju s Riznicom.

Kod konformne metode kamata se obračunava prema slijedećoj formuli:

K=osnovica∗((1+ stopa100 )∗ broj dana

brojdana u godini❑ −1)

40

Kod konformne metode, kamtna stopa za pripadajući broj dana obračunava se iz godišnje ili

mjesečne kamatne stope po formuli konformne metode i to34:

a) Obračun iz godišnje stope

p (m )=100∗¿

Pm- kamatna stopa za pripadajući broj dana m

Pn- godišnja stopa

n – broj dana u godini, 365 ili 366

b) Obračun iz mjesečne stope:

p (n )=100∗¿

m – stvarni broj dana u mjesecu (kvartalu)

Za naknade po garancijama primjenjuje se proporcionalna metoda po slijedećoj formuli:

a) Kalendarski broj dana / kalendarski broj dana u kvartalu

Kalendarski znači ostvareni broj dana u kvartalnom razdoblju obračuna. Ova metoda

primjenjuje se iznimno kod obračuna naknada za strateški značajne klijente koji zahtjevaju

takav način obračuna.

K = Osnovica * stopanaknade

100∗kalendarskibroj dana u obračunskomkvartalu

kalendarski brojdana u kvartalu

34 Pavić, E. ; Šego, B. Složeni kamatni račun.// Matematičko fizički list : MFL / [Željko Hanjš, glavni i odgovorni urednik]. 57 (2006/2007), 2(226) ; str. 88-96

41

b) Kalendarski broj dana / 90 dana u kvartalu

Primjenom ove metode kalendarski broj dana u kvartalu može iznositi maksimalno 90 (u

slučaju da iznosi više od 90, u izračun se uzima 90). U pravilu se s klijentima ugovara ova

metoda obračuna naknade za garanciju s fiksnim brojem dana kvartala.

K = Osnovica * stopanaknade

100∗kalendarskibroj dana u kvartalu

90

Kvartal podrazumjeva kalendarsko tromjesječje, s time da obračunsko razdoblje započinje

1.1., 1.4., 1.7. i 1.10. svake godine. Tromjesječje podrazumjeva kalendarsko tromjesječje za

obračunsko razdoblje od tri mjeseca, a počevši od bilo kojeg dana u mjesecu ili kvartalu.

Kamatne stope po kojima banke obračunavaju kamate na kostištena sredstva i na plasmane

utvrđuju se ugovorom o depozitu ili kreditu, odnosno zaključnicom. Banka može ugovoriti 4

vrste redovnih kamatnih stopa35:

a) Fiksne kamatne stope

- kamatna stopa nije podložna promjenama tijekom ugovornog razdoblja

- ugovaraju se za cijelo ugovoreno razdoblje i ne mijenjaju se pri prijelazu iz jednog

obračunskog razdoblja u drugo

b) Promjenjive kamatne stope (varijabilne)

- kamatna stopa je promjenjiva tijekom ugovornog razdoblja, a promjene se utvrđuju u

pravilu na prvi dan obračunskog razdoblja,

- sastoji se od ugovornog parametra koji se uvećava / umanjuje za maržu,

- ugovornim odredbama potrebno je odrediti ugovorni parametar, kao i visinu kamatne

marže.

35 Pravilnik o obračunu kamata, Zagrebačka banka

42

Banka može ugovoriti i dodatne parametre. Ugovorni parametar određuje se u pravilu 2

radna dana prije početka obračunskog razdoblja, a Banka za određeni i dio portfelja može

ugovorni parametar utvrditi i ranije. Ugovorni parametar određuje se neovisno o volji

ugovornih strana te se tako utvrđeni primjenjuje za obračun kamata u jednom obračunskom

razdoblju.

c) Portfeljno primjenjive kamatne stope (promjenjive temeljem Odluke Banke)

Kamatna stopa promjenjiva je tijekom ugovornog razdoblja, a promjene se utvrđuju

posebnom odlukom nadležnog tijela Banke za određeni portfelj kredita/depozita. Promjena

kamtnih stopa može se porovesti na prvi dan obračunskog razdoblja. Kamatna stopa može se

ugovoriti na dva načina: kao jednočlana kamatna stopa ili kao ugovoreni parametar uvećan

za kamatnu maržu.

d) Plutajuće kamatne stope

Kamatna stopa je promjenjiva tijekom ugovornog razdoblja i to u pravilu na prvi dan

obračunskog razdoblja, ali može biti promjenjiva i tijekom obračunskog razdoblja ili tek po

isteku obračunskog razdoblja na temelju ostvarenih ugovornih kriterija (određivanje

unatrag). Promjenjiva može biti osnovica za obračun, razdoblje obračuna ili visina kamatne

stope pa je nije moguće odrediti unaprijed. Ugovorom se utvrđuju parametri koji utječu na

promjenu kamatnih stopa tijekom ugovornog razdoblja.

Visina kamatnih stopa određuje se Odlukom o kamatnim stopama. Odstupanje od te

Oduke donosi Uprava banke ili tijelo na koje Uprava delegira ovlaštenje za donošenje

odluka o promjeni.

Kamatne stope ugovaraju se u postotku u odnosu na glavnicu, u pravilu se izražavaju na

godišnjoj razini. Izuzetno se mogu izraziti i na mjesečnoj razini.

Banka može odobriti bonus, koji predstavlja postotno smanjenje kamatne stope ili

kamatne marže. Pravila za obračun bonusa Banka utvrđuje za svako pojedinačno obračunsko

razdoblje po pojedinačnom ugovoru o kreditu. Bonus na kamatu odobrava se prije početka

obračunskog razdoblja.

43

Prema Zakonu o potrošačkom kreditiranju, ugovorene kamatne stope na kredite građana

mogu biti promjenjive samo ako su parametri za izračun promjene neovisni od volje

ugovornih strana.

5.2. MODEL OTPLATE ZAJMA UZ JEDNAKE ANUITETE

Model zajma temelji se na činjenici da početna vrijednost svih uplaćenih anuiteta

mora biti jednaka visini odobrenog zajma36.

Kod modela otplate zajma uz jednake anuitete koristimo slijedeće oznake:

C = C0 - visina zajma

a – jednaki anuiteti

p – konstantni dekurzivni kamatnjak

n – broj razdoblja otplate zajma

r=1+ p100

– dekurzivni kamatni faktor

Ck – ostatak duga na kraju k-tog razdoblja

Ik – kamata na kraju k-tog razdoblja nastala u tom razdoblju

Rk – otplatna kvota na kraju k-tog razdoblja

Vrijedi:

Pomoću navedenih formula moguće je sastaviti otplatne tablice zajma.

Moguće je izvesti još i ove formule:


44

Smisao otplate zajma je se kroz anuitete otplati sam zajam ali i kamate stvorene u

svim razdobljima. Stoga vrijedi37:

Primjer 14: Zajam od 30000 kn odobren je na 3 godine uz godišnji kamatnjak 10 i

plaćanje jednakih anuiteta krajem godine. Sastavite otplatnu tablicu. Obračun je godišnji,

složen i dekurzivan.

C = 30000

P = 10 r=1.1.

N = 3

_____

C1, C2, C3 = ?

37 Relić B., Financijske tablice (upute – tipični slučajevi primjena – tablica), Hrvatska zajednica računovođa i financijskih djelatnika, Zagreb, 2002

45

5.3. MODEL OTPLATE ZAJMA UZ JEDNAKE OTPLATNE KVOTE

U ovom modelu otplate zajma u svakom razdoblju otplati se isti dio zajma (glavnice)

i pripadna kamata. Dakle, otplatne kvote su iste za svako razdoblje, a različiti su anuiteti38.

Koristimo slijedeće oznake:

C = C0 - visina zajma

Ak –anuitet na kraju k-tog razdoblja

p – konstantni dekurzivni kamatnjak

n – broj razdoblja otplate zajma

r=1+ p100

– dekurzivni kamatni faktor

Ck – ostatak duga na kraju k-tog razdoblja

Ik – kamata na kraju k-tog razdoblja nastala u tom razdoblju

R – jednake otplatne kvote


46

Vrijedi39:

Primjer 15: Zajam od 100000kn odobren je na 2 godine uz 10% godišnjih kamata i

iste otplatne kvote. Potrebno je sastaviti otplatnu tablicu. Obračun kamata je godišnji, složen

i dekurzivan.

C = 100000

P(G) = 10 r = 1.1.

N = 2

______

R=Cn

=1000002

=50000

39 Relić B., Financijske tablice (upute – tipični slučajevi primjena – tablica), Hrvatska zajednica računovođa i financijskih djelatnika, Zagreb, 2002

47

5.4. MODEL OTPLATE ZAJMA UNAPRIJED DOGOVORENIM ANUITETIMA

U ovom modelu zajam C treba amortizirati dogovorenim jednakim anuitetima a krajem

svakog razdoblja uz kamatnjak p.40 Pitamo se koliko je vrijeme amortizacije, tj. Koliko će

anuiteta trebati ukupno uplatiti. Iz formule

Ukoliko n nije cijeli broj, zaokružujemo ga na prvi manji, uz napomenu da je vrijeme

amortizacije n + 1. Na kraju računamo koliko mora iznositi posljednji, (n+1) anuitet (svi

prethodni anuiteti iznose a!). Taj anuitet naziva se još i krnji anuitet i označava se sa a'n+1.


48

Primjer 16: Poduzeće traži zajam od 200000 kn uz 9% godišnjih kamata i može plaćati

anuitet od 50000 kn krajem godine. Odredite vrijeme amortizacije.

C = 200000

p = 9 r=1.09

a = 50000

n = 2 god = 4 polugodišta

____

Dakle, da bi se otplatio zajam od 200000kn uz anuitet od 50000 kn, potrebno je krajem

svake od 5 godina uplatiti anuitet od 50000 kn i još na kraju 6. godine 5253,29 kn.

49

5.5. POTROŠAČKI KREDIT

Potrošački kredit predstavlja primjer jednostavnog i anticipativnog obračuna

kamata41. Koriste se slijedeće oznake:

C – iznos odobrenog potrošačkog kredita

P – udio u gotovini

C1- iznos stvarnog potrošačkog kredita

K(-) – ukupna kamata

C2- ukupno dugovanje

R – mjesečna rata

p – postotak udjela u gotovni

k – kamatni koeficijent

m – broj mjeseci na koji je odobren potrošački kredit

q - godišnji aniticipativni kamatnjak

Ukupno dugovanje po potrošačkom kreditu dobiva se kada od iznosa odobrenog

potrošačkog kredita C oduzmemo udio u gotovini P i dodamo ukupne kamate K(-):

41 Nogić, G. Jednostavno - složeni kamatni račun.// Poučak : časopis za metodiku i nastavu matematike / [glavni urednik Zvonimir Šikić]. 9 (2008), 36 ; str. 54-61

50

Vrijedi:

U praksi se obično uzima da mjesečna rata može iznositi najviše 1/3 mjesečne plaće.

Primjer 17: Potrošački kredit u iznosu od 5000 eura banka je odobrila uz rok otplate od 4

godine, godišnju aniticipativnu kamatnu stopu 15% i udjel u gotovini od 30%. Potrebno je

izračunati iznos udjela u gotovni, ukupne kamate i iznos mjesečne rate.

C = 5000

m = 4 godine = 48 mjeseci

p = 30%

q = 15%

____

P, K(-), R = ?

P=C∗p100

=5000∗30100

=15000

Za računanje ukupne kamate potrebno je najprije izračunati iznos stvarnog

potrošačkog kredita C1i kamatni koeficijent k:

51

Za računanje mjesečne rate R potrebno je najprije izračunati ukupno dugovanje C2:

52

ZAKLJUČAK

Kamatna stopa je ekonomska veličina. Po svojoj biti mogla bi se nazvati brzinom

relativne promjene kapitala. Već se iz takve tvrdnje vidi da ona nije čisti broj, već

dimenzionalna veličina, recipročna vrijednost vremenskog intervala. Takvo je i stajalište u

ekonomskoj teoriji.

Za mnoge probleme i primjene povezane s ukamaćivanjem finacijska je matematika

nezaobilazna. Formule financijske matematike po pravilu se odnose na čiste brojeve, bilo da

su to mjerni brojevi, bilo da su bezdimenzionalni produkti. Te su formule, naravno, točne,

ali ograničene. Naime, to nisu formule koje pokazuju odnose između odgovarajućih veličina,

što znači da nemaju opću valjanost.

Jedan od najvećih problema kamatnog računa jest nerazlučivanje dviju različitih

veličina koje inače pripadaju istoj dimenziji: mjerne jedinice za vrijeme i ekonomske

veličine koja se naziva osnovnim razdobljem na koje se odnosi kamatna stopa. Štoviše,

kamatna stopa pri trenutačnom ukamaćivanju ne može se niti izraziti pomoću mjerne

jedinice za vrijeme jednake osnovnom razdoblju jer bi ono bilo 0. eksplicitnim uvođenjem

osnovnog razdoblja postiže se dimenzionalna homogenost formula za složeno dekurzivno i

anticipativno ukamaćivanje. Suprotno tome, u jednostavnom ukamaćivanju toj veličini nema

mjesta.

Moglo bi se reći da manipulacija kamatne stope, uz ostale instrumente moderne

kreditne i monetarne politike, uključujući i fiskalnu politiku, a posebno open market policy,

postaje glavni regulator kupovne snage novca, a time i cijelog privrednog života.

Ekonomska je problematika kamata razrađena i postoje mnoge teorije i smijerovi njezine

razrade (djelomično prikazani i u ovom radu), a njezin se značaj u monetarnom i

ekonomskom smislu ogleda u tome što ona djeluje na stvaranje volumena kredita (što je niži

kamatnjak, to je veći volumen kredita koji su stvorile banke). Značaj kamata ogleda se i u

tome, štpo one stimuliraju ili slabe proizvodnju proizvodnih ili potrošnih dobara, a to se

reflektira na opsege potrošnje investicija u privredi.

53

LITERATURA

Knjige:

1. Benšić, M., Benšić, G., Kamatni račun, Osječki matematički list, Osijek, 2009

2. Divjak, B., Erjavec, Z., Financijska matematika. TIVA - Fakultet organizacije i

informatike, Varaždin, 2007.

3. Divjak, B., Hunjak, T. Zbirka zadataka iz matematike. TIVA - Fakultet organizacije i

informatike, Varaždin, 2002.

4. Ekonomski leksikon, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, Masmedija, Zagreb 2011

5. Gruić, B., Šutalo, I., Volarević, H., Matematika za ekonomiste i managere, Mate, Zagreb

2006

6. Kantorovič, I., V., Ekonomski račun optimalnog korištenja resursa, Cekade, Zagreb

1985

7. Leko, V., Rječnik bankarstva, MASMEDIA, 1998 Zagreb

8. Lang, H., Lectures on Financial Mathematics, KTH Mathematics 2012

9. Relić B., Financijske tablice (upute – tipični slučajevi primjena – tablica), Hrvatska

zajednica računovođa i financijskih djelatnika, Zagreb, 2002.

10. Šego, B., Financijska matematika, Zgombić & Partneri – nakladništvo i izdavaštvo,

Zagreb 2008

11. Šego, B., Šikić, T., Četiri računa za ekonomiste, Visoka škola za poslovanje i upravljanje

"Baltazar Adam Krčelić", Zaprešić 2003

12. Šego B., Matematika za ekonomiste, Potecon, Zagreb, 2000.

13. Kamate u poslovanju poduzetnih i drugih osoba, RriF, 2012, uredila: Horvat, Jurec,

Katarina;

54

Članci:

1. Nogić, G. Jednostavno - složeni kamatni račun.// Poučak : časopis za metodiku i

nastavu matematike / [glavni urednik Zvonimir Šikić]. 9 (2008), 36 ; str. 54-61.

2. Pavić, E. ; Šego, B. Složeni kamatni račun.// Matematičko fizički list : MFL / [Željko

Hanjš, glavni i odgovorni urednik]. 57 (2006/2007), 2(226) ; str. 88-96.

3. Pravilnik o obračunu kamata i naknada, Raiffeisen BANK

4. Pravilnik o obračunu kamata, Zagrebačka banka

5. Odluka o načinu obračuna, naplate i plaćanja kamata i naknada Hrvatske narodne

banke, NN 133/2010

6. Odluka o efektivnoj kamatnoj stopi kreditnih institucija i kreditnih unija te

ugovaranju usluga s potročačima Hrvatske narodne banke, (NN 1/2009, 41/2009)

7. Odluka o kamatnim stopama i naknadama Hrrvatske narodne banke (NN 34/2005.,

64/2005., 136/2005., 130/2007., 126/2009., 133/2010., 147/2010., 30/2011.,

136/2011., 67/2012., 45/2013. i 142/2013)

8. Zakona o obveznim odnosima (NN. 35/05, 41/08 i 125/11)

9. Zakon o kamatama (NN 94/04, 35/05)

Internet:

1. http://www.vus.hr/Nastavni%20materijali/Matematika/Fin_matematika_vjezbe/

SLOZENI%20KAMATNI%20RACUN%20pred%20vj.pdf

2. http://www.proven.hr/slike/upload/1196097250-Slo%C5%BEeni_kamatni_ra

%C4%8Dun.pdf

Kamatni račun

3. http://www.pfri.uniri.hr/~glavan/documents/Kamatniracun.doc

4. http://vjestacenje.wordpress.com/tag/obracun-kamata/

55

5. http://www.teb.hr/propisi-i-informacije/sto-je-novo/2012/zatezne-i-ugovorne-

kamate-u-prvom-polugodistu-2013.aspx

56

Završni Rad-Složeni Kamatni Račun_v2

Documents

Transcript of Završni Rad-Složeni Kamatni Račun_v2