Zarządzanie portfelem inwestycji Część 4. – budowa portfeli efektywnych (1)

Zespół projektu „Portfel SII”

Portfele dwuskładnikowe jako wstęp do dalszych rozważań

• Przed przystąpieniem do szerszego omówienia własności portfeliskładających się z wielu składników i koncepcji portfeliefektywnych (te zagadnienia będą przedmiotem kolejnychprezentacji) przyjrzymy się własnościom różnych portfeli,będących kombinacją wyłącznie dwóch ryzykownych aktywów(portfele dwuskładnikowe).

• Takim portfelem dwuskładnikowym może być na przykład portfelzbudowany z akcji dwóch spółek A i B, których udziały w tymportfelu wynoszą odpowiednio 30 proc. i 70 proc.

2

Portfele dwuskładnikowe jako wstęp do dalszych rozważań

• W niniejszej prezentacji przedstawione zostaną przedewszystkim najbardziej charakterystyczne (choć często tylkoczysto teoretyczne) przypadki portfeli dwuskładnikowych przyzałożeniu braku możliwości dokonywania krótkiej sprzedaży.

• Stanowią one dobry punkt odniesienia do dalszych, niecobardziej skomplikowanych rozważań. Pomogą także zrozumiećwpływ wielkości udziałów w portfelu poszczególnych jegoskładników oraz rodzaju i siły zależności zachodzącychpomiędzy stopami zwrotu tych składników (współczynnikkorelacji) na poziom ryzyka i dochód całego portfela.

3

Stopa zwrotu portfela dwuskładnikowego

• Przypomnijmy, że stopa zwrotu portfela inwestycyjnegoto średnia ważona stóp zwrotu poszczególnych aktywów wchodzących w jego skład, gdzie wagami są udziały procentowe tych aktywów w całkowitej wartości portfela. W przypadku portfela dwuskładnikowego, wzór ten przybiera zatem następującą postać:

4

gdzie:Rp – stopa zwrotu portfela dwuskładnikowego,w1,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,R1,R2 – stopa zwrotu aktywa pierwszego i drugiego.

Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego

• Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela inwestycyjnegoto natomiast funkcja odchyleń standardowych poszczególnych inwestycji oraz kowariancji stóp zwrotu poszczególnych aktywów. Dla portfela dwuskładnikowego ogólny wzór na odchylenie standardowe stopy zwrotu jest następujący:

5

gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego,σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,cov1,2 – kowariancja stóp zwrotu pierwszego i drugiego aktywa,r1,2 – współczynnik korelacji stóp zwrotu pierwszego i drugiego aktywa.

6

Przypadek 1.

– portfel dwuskładnikowy, – doskonała korelacja dodatnia (r=1),– brak możliwości krótkiej sprzedaży.

Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja dodatnia (+1), brak krótkiej sprzedaży

• Gdy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników, a współczynnik korelacji stóp zwrotu wynosi 1, odchylenie standardowe stopy zwrotu tego portfela jest równe:

7

gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 1),σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu.

Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja dodatnia (+1), brak krótkiej sprzedaży

8

Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B ma wartość 1?

Rp = wA * RA + wB * RB

Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14

σp = wA * σA + wB * σB

σp = wA * 0,03 + wB * 0,06

Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja dodatnia (+1), brak krótkiej sprzedaży

9

Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:

10

Przypadek 2.

– portfel dwuskładnikowy, – doskonała korelacja ujemna (r=-1),– brak możliwości krótkiej sprzedaży.

Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży

• Gdy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników, a współczynnik korelacji stóp zwrotu wynosi -1, odchylenie standardowe stopy zwrotu tego portfela jest równe:

11

gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = -1),σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,

Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży

12

Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B ma wartość -1?

Rp = wA * RA + wB * RB

Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14

σp = |wA * σA - wB * σB|σp = |wA * 0,03 - wB * 0,06|

Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży

13

Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:

Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży

• Dla dwuskładnikowego portfela inwestycyjnego o współczynniku korelacji stóp zwrotu aktywów równym -1, wyznaczyć można portfel o zerowym ryzyku. Wówczas udziały poszczególnych aktywów w takim portfelu wynoszą:

14

gdzie:w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu o zerowym ryzyku,σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu pierwszego i drugiego aktywa.

Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży

15

Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., odchylenia standardowe stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc., a współczynnik korelacji tych stóp zwrotu wynosi -1. Jakie powinny być udziały pierwszego i drugiego aktywa w portfelu, aby cały portfel miał zerowe ryzyko (zerowe odchylenie standardowe stopy zwrotu)? Ile wynosi stopa zwrotu takiego portfela?

wA = σB / (σA + σB)wA = 0,06 / (0,03+0,06)wA = 0,67

wB = σA / (σA + σB)wB = 0,03 / (0,03+0,06)wB = 0,33lub: wB = 1 - wA = 1 - 0,67 = 0,33

Rp = wA * RA + wB * RB

Rp = 0,67 * 0,08 + 0,33 * 0,14Rp = 0,053 + 0,047 = 0,10

Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży

16

17

Przypadek 3.

– portfel dwuskładnikowy, – brak zależności między stopami zwrotu (r=0),– brak możliwości krótkiej sprzedaży.

Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży

• Kiedy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników, dla których stóp zwrotu współczynnik korelacji wynosi 0 (brak korelacji), to odchylenie standardowe stopy zwrotu tego portfela jest równe:

18

gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 0),σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu.

Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży

19

Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B ma wartość 0?

Rp = wA * RA + wB * RB

Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14

σp = (wA2 * σA

2 + wB2 * σB

2)1/2

σp = (wA2 * 0,032 + wB

2 * 0,062)1/2

Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży

20

Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:

Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży

21

• Poza sytuacją, kiedy współczynnik korelacji stóp zwrotuaktywów portfela jest równy -1 (przy założeniu możliwościdokonywania krótkiej sprzedaży drugi taki wyjątkowyprzypadek występuje, gdy współczynnik korelacji wynosi 1),nie da się wyznaczyć portfela o zerowym ryzyku. Częstoistnieje jednak możliwość wyznaczenia tzw. portfelao minimalnym ryzyku.

• Udziały aktywów w portfelu o minimalnym ryzyku są takdobrane, że nie istnieje żadna inna kombinacja tych dwóchaktywów, przy której cały portfel inwestycyjny miałby niższypoziom ryzyka (mniejszą wartość odchylenia standardowegostopy zwrotu).

Portfel dwuskładnikowy, brak krótkiej sprzedaży

22

• Nie w każdym przypadku kombinacja ze sobą dwóch aktywów przynosijednak efekt w postaci minimalizacji ryzyka inwestycyjnego (portfelo minimalnym ryzyku). W niektórych sytuacjach, mając dwa papierywartościowe, portfel o najmniejszym możliwym ryzyku składaćsię będzie całkowicie (100 proc.) z waloru mniej ryzykownego (udziałdrugiego waloru równy 0 proc.). Wartość odchylenia standardowegotakiego portfela będzie zatem równa wartości odchyleniastandardowego mniej ryzykownego waloru.

• Przykładem takiej sytuacji może być przedstawiony wcześniejprzypadek, gdy współczynnik korelacji między stopami zwrotu dwóchaktywów wynosi 1 – jeśli współczynnik korelacji jest równy 1,niezależnie od wartości odchyleń standardowych dwóch walorów, nieda się zbudować portfela o minimalnym ryzyku (przy założeniu brakumożliwości dokonywania krótkiej sprzedaży).

Portfel dwuskładnikowy, brak krótkiej sprzedaży

• Portfel o minimalnym ryzyku można zbudować, jeśli dla:

spełniony jest warunek:

23

gdzie:σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,r1,2 – współczynnik korelacji stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego.

Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży

• Jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu aktywów portfela wynosi zero, udziały tych aktywów w portfelu o minimalnym ryzyku muszą być równe:

24

gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 0),σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu o minimalnym ryzyku.

Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży

25

Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jakie powinny być udziały akcji A i B w portfelu, aby minimalizował on ryzyko (portfel o minimalnym ryzyku), jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B wynosi zero? Jaką wartość ma stopa zwrotu i odchylenie standardowe takiego portfela?

wB = σA2 / (σA

2 + σB2)

wB = 0,032 / (0,032 + 0,062)wB = 0,2

lub: wB = wA – 1 = 0,2

wA = σB2 / (σA

2 + σB2)

wA = 0,062 / (0,032 + 0,062)wA = 0,8

Rp = wA * RA + wB * RB

Rp = 0,8 * 0,08 + 0,2 * 0,14Rp = 0,092

σp = (wA2 σA

2 + wB2 σB

2 )1/2

σp = (0,82 * 0,032 + 0,22 * 0,062)1/2

σp = 0,02683

Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży

26

Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:

27

Przypadek 4.

– portfel dwuskładnikowy, – dowolna wartość współczynnika korelacji stóp zwrotu,– brak możliwości krótkiej sprzedaży.

Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy, dowolna wartość współczynnika korelacji, brak krótkiej sprzedaży

• Po przedstawieniu trzech najbardziej charakterystycznychportfeli dwuskładnikowych (w warunkach doskonałej korelacjidodatniej, doskonałej korelacji ujemnej, braku korelacji),możemy przejść do przypadku bardziej ogólnego, a zatemi bardziej praktycznego.

• W ten sposób przedstawimy ogólną formułę wykorzystywanądo wyznaczenia udziałów dwóch aktywów w portfeluo minimalnym ryzyku, a także wzór na odchylenie standardowetakiego portfela.

• Pokażemy także na wykresie zależność między stopą zwrotuportfela a jego ryzykiem, gdy korelacja stóp zwrotu aktywów niejest równa 1, -1 lub 0.

28

Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy, dowolna wartość współczynnika korelacji, brak krótkiej sprzedaży

• Udziały dwóch aktywów w portfelu o minimalnym ryzyku muszą być równe (wzór ogólny):

• Wartość odchylenia standardowego stopy zwrotu takiego portfela ma natomiast wartość:

29

gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego o minimalnym ryzyku,σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu o minimalnym ryzyku,r1,2 – współczynnik korelacji stóp zwrotu pierwszego i drugiego aktywa.

Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy, dowolna wartość współczynnika korelacji, brak krótkiej sprzedaży

30

Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotuwynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartośćodpowiednio 3 i 6 proc. Jakie powinny być udziały akcji A i B w portfelu,aby minimalizował on ryzyko (portfel o minimalnym ryzyku), jeżeli współczynnikkorelacji stóp zwrotu akcji A i B wynosi -0,5? Jaką wartość ma stopa zwrotui odchylenie standardowe takiego portfela?

wA = (σB2 - σA σB rA,B ) / (σA

2 + σB2 - 2 σA σB rA,B)

wA = [0,062 - 0,03 * 0,06 * (-0,5)] / [0,032 + 0,062 - 2 * 0,03 * 0,06 * (-0,5)]wA = 0,714

wB = wA - 1 wB = 1 - 0,71 = 0,286

σp = {[σA2 σB

2 (1 - rA,B2)] / [σA

2 + σB2 - 2 σA σB rA,B]} 1/2

σp = {[0,032 * 0,062 (1 - (-0,5)2)] / [0,032 + 0,062 – 2 * 0,03 * 0,06 * (-0,5)]} 1/2

σp = 0,0196

Rp = wA * RA + wB * RB

Rp = 0,714 * 0,08 + 0,286 * 0,14Rp = 0,097

Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy, dowolna wartość współczynnika korelacji, brak krótkiej sprzedaży

31

Portfel dwuskładnikowy, brak krótkiej sprzedaży

32

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ!

Partnerem strategicznym Portfela SII jest Alior Bank