Zapis ki nauqnyh - mi.uni-koeln.degsweers/pdf/nazarov_sweers_POMI.pdf · mer postroen na os nove...

46

Transcript of Zapis ki nauqnyh - mi.uni-koeln.degsweers/pdf/nazarov_sweers_POMI.pdf · mer postroen na os nove...

Zapiski nauqnyhseminarov POMITom ���� ���� g�

S� A� Nazarov� G� H� Svirs

KRAEVYE ZADAQI DL�BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� IITERIROVANNOGO LAPLASIANA VTREHMERNO� OBLASTI S REBROM

�� Postanovka zadaqi i

predvaritel�noe opisanie rezul�tatov

�� Oblast� i kraevye zadaqi� Pust� � � R� � oblast� s kom�paktnym zamykaniem � i dvumerno� granice� �� gladko� vs�du�krome rebra � � gladkogo prostogo zamknutogo kontura v pro�stranstve R�� V kado� toqke s � � � �� ime�ts dve ploskosti���s�� kasatel�nye k dvum poverhnostm ���� na kotorye duga� razbivaet granicu ��� Pust� ��s� � ugol medu ploskostmi���s� i ���s�� vyqislenny� so storony �� V sluqae

��s� � ��� ��� s � �� ����

govorim� qto oblast� � vypukla vblizi rebra �lokal�no vypu�kla � a v sluqae

��s� � ��� ���� s � �� ����

qto � nevypukla� Esli ��s�� � i funkci � strogo monotonnavblizi toqki s� � �� to svo�stvo lokal�no� vypuklosti izmen�ets vdol� rebra� Pri � �� nazyvaem � frontom trewiny�V oblasti � rassmotrim kraevu� zadaqu dl bigarmoniqe�

skogo uravneni

�xu�x� f�x�� x � �� u�x� xu�x� �� x � �� n �� ����

Pri pomowi oboznaqeni� w �xu� v u zadaqa ���� svoditsk iterirovanno� zadaqe Dirihle dl uravneni Puassona

�xw�x� f�x�� x � �� w�x� �� x � �� n �� ����

Rabota vypolnena pri finansovo� podderke the Netherlands Organizationfor Scienti�c Research �NWO� i Rossi�skogo fonda fundamentalnyh issle�dovani� �RFFI � sovmestny� proekt ������������

���

��� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

�xv�x� w�x�� x � �� v�x� �� x � �� n �� ����

Sledu ���� pod obobwennym rexeniem zadaqi ���� ponima�

em �lement w sobolevskogo klassa�W �

���� �simvolo ukazyvaet

na vypolnenie uslovi� Dirihle� soderawihs v zadaqe ���� �udovletvor�wi� integral�nomu todestvu

�rxw�rx��� �f� ���� � ��W �

�����

Zdes� rx grad i � � �� � libo skalrnoe proizvedenie v pro�stranstve Lebega L����� libo ego rasxirenie do dvo�stvennosti

medu prostranstvami W��� ���

�W �

����� i

�W �

����� Kak izvest�no ���� obobwennoe rexenie suwestvuet pri l�bo� pravo� qastif � W��

� ��� bez kakih�libo ograniqeni� na granicu �� i spra�vedlivo neravenstvo

kw�H����k � c kf �H�����k� ����

Poskol�ku�

W ����� � L���� � W��

� ���� iterirovanna zadaqa Di�

rihle ���� � ���� dostavlet rexenie v � �W �

���� zadaqi ���� �

dl kotorogo vypolneny vkl�qenie xv ��W �

���� i ocenka

kv�W �� ���k� kxv�W

�� ���k � c kf �W��

� ���k�Podqerknem� qto upomnutoe vkl�qenie dl xv� voobwe govor�ne garantiruet prinadlenost� vseh vtoryh proizvodnyh funk�cii v prostranstvu L�����Pod obobwennym rexeniem zadaqi ���� sleduet ponimat� �le�

ment u prostranstva W ������� W �

� �����W �

����� udovletvor�wi�integral�nomu todestvu

�xu�x �� �f� ��� �W �������� ����

Pri proizvol�no� kusoqno gladko� granice �� poloitel�nakvadratiqna forma v levo� qasti ���� ne vlets poloitel��no opredelenno� na podprostranstveW �

������ prostranstva Sobo�

leva W �� ���� i po�tomu variacionna formulirovka ���� zada�

qi ���� ne pozvolet neposredstvenno ustanovit� suwestvovanieobobwennogo rexeni� no tol�ko ego edinstvennost�� Rexenie v�

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

poluqennoe iz zadaq ���� i ���� � ne obladaet neobhodimo� glad�kost��� Tem ne menee� dalee budet pokazano� qto v obeih situa�cih ���� i ���� mono postroit� rexenie u � W �

������ zadaqi���� pri pomowi rexeni� iterirovanno� zadaqi Dirihle� Eslioblast� lokal�no vypukla vblizi rebra �� to u sovpadaet s ob�

obwennym rexeniem v ��

W ����� zadaqi ���� � gladkost� kotorogo

netrudno povysit� �sm� p� � x� � Esli e oblast� lokal�no ne�vypukla� to rexenie u �W �

������ suwestvuet� odnako otliqaetsot rexeni v� i dl ego nahodeni trebuets modificirovat�oblasti opredeleni operatorov zadaq ���� i ���� �sm� p�� x� �Pri izmenenii svo�stva lokal�no� vypuklosti vdol� rebra vo�pros o suwestvovanii rexeni u �W �

������ zadaqi ���� ostaetsotkrytym�

�� Paradoks Sapondna v teorii plastin� Esli oblast� � �mnogougol�nik na ploskosti R�� to zadaqa ���� opisyvaet izgibizotropno� plastiny so svobodno opertym kraem �pri nenulevo�krivizne uqastka granicy kraevoe uslovie xu � vidoizmen�ets� sm� ��� x��� � Vopros o suwestvovanii obobwennogo rexeniu � W �

������ v �tom sluqae ne stoit� tak kak integrirovaniem poqastm kvadratiqna forma iz levo� qasti ���� peredelyvaetsv poloitel�no opredelennu� �sm� ��� i ��� x��� �V knige O� M� Sapondna ��� bylo obnarueno� qto v slu�

qae nevypuklogo mnogougol�nika metod konformnyh otobrae�ni�� kotory� operiruet s funkcimi� ime�wimi koneqny� in�tegral Dirihle� dostavlet rexenie zadaqi ���� � ne oblada��wee koneqno� uprugo� �nergie�� t�e� ne prinadleawee klassuW �

� ���� Ob�sneni �tomu obstotel�stvu na�ti ne udalos�� iono bylo v ��� ob�vleno paradoksom�

Priqiny vozniknoveni paradoksa Sapondna byli pontyv rabote ��� �sm� take ��� x���� i ��� x���� � Delo v tom� qtoposledovatel�noe rexenie zadaq ���� i ���� v �nergetiqeskom

klasse�W �

���� privodit k �nergetiqeskomu rexeni� u � W �������

zadaqi ���� ne vsegda� Dostatoqnym usloviem sovpadeni rexe�ni� u i v sluit vypuklost� mnogougol�nika �� a neobhodimym� opredelennye uslovi ortogonal�nosti dl pravo� qasti f vkoliqestve� ravnom qislu �nevypuklyh� verxin mnogougol�ni�ka� Krome togo� v ��� byla razrabotana procedura� pozvol�wav obwe� situacii vyrazit� rexenie u � W �

������ zadaqi ���� qe�

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

rez rexeni w � L���� i v ��W �

���� zadaq ���� i ���� � Opixemkratko �tu proceduru� predpoloiv dl prostoty� qto lix� uodno� verxiny O mnogougol�nika � ugol � prevoshodit �� V�tom sluqae soglasno rezul�tatam ��� �sm� take ��� x���� ���� l�boe rexenie zadaqi ���� v klasse L���� prinimaet vid

w�x� w��x� � a��x�� ����

gde w� ��

W ����� � �edinstvennoe obobwennoe rexenie zadaqi� a

� proizvol�na postonna� a � � garmoniqeska funkci� obra�wa�was v nul� na lomano� �� nO i dopuska�wa razloenie

��x� r���� sin�

�� �O

�r���

�� r� ���

Pri �tom �r� �� � polrnye koordinaty s centrom O� priqem sto�rony mnogougol�nika �� ishodwie iz verxiny O� zadany ra�venstvami � � i � �� Podqerknem� qto funkci � suwestvuetdl l�bogo ugla �� no tol�ko pri � � ��� ��� ona popadaet vprostranstvo L�����

Soglasno ��� �sm� take ��� x���� rexenie v � �W �

���� zadaqi���� s pravo� qast�� ����� soderits v prostranstve W �

������i tem samym stanovits �nergetiqeskim rexeniem zadaqi ���� vtom i tol�ko v tom sluqae� esli vypolneno uslovie ortogonal��nosti Z

w�x� ��x� dx �� ����

Ots�da vytekaet� qto postonnu� a v predstavlenii ����� sle�duet vzt� tako��

a �k�� L����k��Z�

w��x� ��x� dx� �����

Itak� dl nevypuklogo mnogougol�nika zadaqu ���� nuno re�xat� v bolee xirokom� a zadaqu ���� � v bolee uzkom klassah�

qem estestvenny� �nergetiqeski� klass�W �

����� Pri �tom proiz�vol� obrazovavxi�s na pervom xage� upotreblets dl sobl��deni uslovi� razreximosti na vtorom�Analogiqnye izmeneni trebu�ts i pri svedenii kraevo� za�

daqi dl bigarmoniqeskogo uravneni k iterirovanno� zadaqe

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

Dirihle dl uravneni Puassona v trehmerno� oblasti� nevy�puklo� vblizi rebra� Vmeste s tem� procedura svedeni stano�vits znaqitel�no bolee slono�� v formule ����� slagaemoea� zamewaets proizvol�nym �lementom nekotorogo beskoneqno�

mernogo prostranstva ker�

A ��� vmesto odnogo uslovi ����� voz�

nikaet beskoneqny� nabor uslovi� ortogonal�nosti �lementamtogo e prostranstva� a algebraiqeskoe ravenstvo ����� � ustra�n�wee proizvol v vybore rexeni zadaqi ���� � prevrawaetsv nekotoroe integral�noe uravnenie na konture ��

�� Opisanie beskoneqnomernyh dra i kodra operatorovzadaqi Dirihle dl uravneni Puassona� Esli f � L�����to suwestvuet edinstvennoe rexenie w zadaqi ���� v vesovom

prostranstve Kondrat�eva V ������� �

�W �

���� �opredelenie �togo idrugih funkcional�nyh prostranstv� upomina�wihs zdes�� sm�v x�� p� � � Upomnuta procedura svedeni trebuet rassmotre�ni dvuh drugih nepreryvnyh otobraeni�

A �� � V

�������� V �

� ��� � L������

A �� � V

�������� V �

� ��� L�����

�����

Soglasno rezul�tatam ���� �sm� dalee teoremu ��� operatory����� osta�ts izomorfizmami i dae fredgol�movymi ope�ratorami tol�ko dl lokal�no vypuklo� oblasti �� Esli eoblast� lokal�no nevypukla i dopolnitel�no

��s� � ��� ���� s � �� �����

to�

A �� � �pimorfizm s beskoneqnomernym drom� a

A �� � mono�

morfizm s beskoneqnomernym kodrom �sm� teoremu ��� i sled�

stvie ��� � Krome togo� operator�

A �� � formal�no soprenny�

operator dl�A ��� Esli rassmatrivat� ih kak neograniqennye

operatory v L���� s ukazannymi v formulah ����� oblastmi

opredeleni� to�

A �� � simmetriqeski� zamknuty� operator i

A ��

� ego soprenny�

��

A ��

��� Poslednie fakty netrudno proverit�

pri pomowi lemmy ���� dokazanno� dalee v x��Dl lokal�no nevypuklo� oblasti central�ny� vopros � opi�

sanie beskoneqnomernyh podprostranstv ker�A �� � coker

�A ��� �to

��� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

delaets v x�� pp� �� � na osnove rezul�tatov ������� �sm� tak�e ��� x���� � gde ustanovlen estestvenny� izomorfizm medupodprostranstvom ker

A �� i prostranstvom H�������� H���������

dvo�stvennym dl prostranstva Soboleva H������� s peremennympokazatelem gladkosti ��s� �� ���s�� prinadleawim inter�valu ��� �� v silu uslovi ����� � Taka interpretaci dra ikodra operatorov ����� pozvolet pri tom e uslovii reali�zovat� nameqennu� v konce predyduwego punkta proceduru sve�deni zadaqi ���� k zadaqam ���� � ���� � Osnovnu� rol� v pro�cedure igraet teorema ���� ustanavliva�wa� qto proizvol vopredelenii rexeni w � V �

������ � L���� zadaqi ���� dostato�qen i moet byt� polnost�� upotreblen dl vypolneni uslo�vi� razreximosti zadaqi ���� v klasse V �

������ � W ��������

Ograniqenie ����� voznikaet po suwestvu� esli ��s�� ��v toqke s� � �� to operator zadaqi ���� s oblast�� opredele�ni V l��

� ��� ne vlets fredgol�movym ni pri kakom vesovomindekse � C���� �sm� x�� p� � � V p� � x� issledovano telo strewino�� t�e�

��s� ��� s � �� �����

i� v qastnosti� pokazano� qto nadleawee izmenenie vesovyhnorm funkcional�nyh prostranstv � prevrawenie ih v �stu�penqatye� ���� ��� � obespeqivaet fredgol�movost� operatorazadaqi ���� � V zakl�qitel�nyh razdelah x� obsuda�ts dru�gie geometriqeskie situacii� ne podpada�wie pod obwu� shemuiz x���� O poloitel�nosti rexeni � Sledu�wee svo�stvo rexe�ni� zadaqi ���� vyraaet strogi� princip maksimuma�

f � L����� f � �� f � � w�x� � �� x � ��

Esli oblast� lokal�no vypukla� to obobwennoe rexenie u �W �

������ zadaqi ���� poluqa�wees pri posledovatel�nom rexe�nii zadaq ���� i ���� � koneqno e� obladaet tem e svo�stvom�

f � L���� n f�g� f � � � u�x� � �� x � �� �����

Dl lokal�no nevypuklo� oblasti � zadaqa ���� take imeet

poloitel�noe rexenie v ��

W ����� s otricatel�nym laplasia�

nom xv ��W �

����� odnako ne obzatel�no v � W �� ���� Izmenenie

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

procedury rexeni zadaq Dirihle ���� i ���� � privodwee krexeni� u �W �

������ zadaqi ���� � stavit pod somnenie spraved�livost� vyskazyvani ����� � De�stvitel�no� v p� �� x� i p� �� x�provereno� qto pri vypolnenii uslovi ����� i dopolnitel�no�go trebovani

��s�� � ��� �����

hot by v odno� toqke s� � � ili v sluqae trewiny ����� na��dets neotricatel�na prava qast� f � L���� zadaqi ���� � prikotoro� rexenie u �W �

������ men�et znak vnutri oblasti �� Pri�mer postroen na osnove analiza asimptotiqeskogo povedeni re�xeni u vblizi rebra �teorema ��� i predloenie ��� �Vopros o naliqii svo�stva poloitel�nosti ����� v situa�

cii��s� � ��� ����� s � ��

ostaets otkrytym� Qislennye �ksperimenty predskazyva�t ne�gativny� otvet�Ewe v samom naqale veka T� Boio i � Adamar vydvinuli

gipotezu o tom� qto rexenie u ��

W ����� zadaqi Dirihle� opisy�

va�we� izgib plastiny s estko zawemlennym kraem�

�xu�x� f�x�� x � �� u�x� �nu�x� �� x � �� n �� �����

obladaet svo�stvom ����� � T� Boio ���� osnovyvals na svo�ih rezul�tatah ���� o poloitel�nosti funkcii Grina dl po�ligarmoniqeskogo operatora ��x�m v xare B � RN� � Adamarpisal ����� qto net somneni� v spravedlivosti gipotezy dl vy�puklyh oblaste�� i qerez god ���� ue znal� qto dl kol�ca smalym vnutrennim radiusom gipoteza neverna� S teh por povi�los� mnoestvo primerov �sm� ������� i dr� � oproverga�wihupomnutu� gipotezu� Naprimer� v ���� �sm� take ���� pokaza�no� qto funkci Grina zadaqi ����� menet znak� esli � � R�

� �llips s otnoxeniem ose� �� a v ���� to e samoe ustanovlenodl prmougol�nikov� vkl�qa kvadrat� Takim obrazom� ni glad�kost� i ravnomerna vypuklost�� ni bogata simmetri oblastine obespeqiva�t svo�stva ����� rexeni zadaqi ����� � Boleetogo� i ee perva sobstvenna funkci ne obzatel�no sohranetznak vnutri � �sm� ���� ���� a take obzor ���� �Qto kasaets oblaste�� dl kotoryh svo�stvo poloitel�no�

sti vypolneno� rezul�tat ���� o ego sohranenii pri dobavlenii

� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

k � differencial�nogo operatora tret�ego pordka s malymiko�fficientami pozvolil ustanovit� ���� svo�stvo ����� v slu�qae slabogo vypuklogo vozmuweni kruga� Nevypuklye oblasti�dl kotoryh rexeni zadaqi ����� podqineny ����� � ukazyva�lis� ewe Adamarom ����� a imenno� � ulitki Paskal �konform�ny� obraz kruga pri preobrazovanii z �� z�az�� gde a � ��� ��� ��to utverdenie okazalos� nepravil�nym� v ���� dokazano� qtosvo�stvo ����� imeet mesto dl ulitki Paskal lix� v sluqaea � ��� ������� Tem ne menee� ulitka Paskal � vypukla oblast�pri a � ��� a znaqit� nevypuklost� ne vlets dostatoqnymusloviem dl naruxeni ����� �Pri pomowi asimptotiqeskih metodov �sm� ����� a take ���

x���� primery rexeni� zadaqi Dirihle ����� s peremennymznakom v dvumerno� oblasti � bez truda peredelyva�ts v pri�mery dl dlinnyh �T � cilindrov � � ��T� T � � R�� priqemih torcy mono skruglit�� sdelav granicy gladkimi�

�� Stroenie stat�i i oboznaqeni� V sledu�wem paragrafesobrany svedeni o razreximosti zadaqi Dirihle dl urav�neni Puassona v oblasti s gladkim rebrom i asimptotiqeskompovedenii ee rexeni�� Pri nevozmonosti ukazat� toqnye ssyl�ki na istoqniki vosstanavliva�ts dokazatel�stva �lemma ���i zameqanie ��� � Kraevo� zadaqe dl bigarmoniqeskogo uravne�ni posvwen x�� gde� v qastnosti� pri ograniqenii ����� po�luqeny neobhodimye i dostatoqnye uslovi ee razreximostiv vesovyh klassah Kondrat�eva� ustanovleny asimptotiqeskiesvo�stva rexeni� i proverena poter rexeniem poloitel�no�sti v sluqae ����� � V x� rassmatrivaets telo s trewino� iobsuda�ts drugie patologiqeskie �s pozicii obwe� teorii geometriqeskie situacii�Esli neskol�kim formulam prisvoena odna metka� to pri

ssylkah dopolnitel�ny� nini� indeks ukazyvaet nomer stro�ki� naprimer� sootnoxeni ���� � i ���� � sut� ocenki norm funk�ci� w i v sootvetstvenno�

Oboznaqeni�

W ����� i W

������� dl podprostranstv� na kotoryh

osuwestvl�ts obobwennye postanovki zadaq� vzty iz uqeb�nika ���� Klassy Soboleva H������� s peremennym pokazatelemgladkosti � i vesovye prostranstva Kondrat�eva V l

���� obozna�

qa�ts tak e� kak v monografih ���� i ��� ��� sootvetstvenno�Pod Hl

loc���� kak obyqno� podrazumevaets line�noe prostran�

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

stvo funkci�� sueni kotoryh na l�bo� kompakt K � � popa�da�t v prostranstvo Soboleva W l

��K��

�� Razreximost� i asimptotika rexeni�

zadaqi Dirihle dl� uravneni� Puassona

�� Funkcional�nye prostranstva� Pust� � � C���n�� � polo�itel�na funkci� �kvivalentna rasstoni� dist �x��� vnutritrehmerno� okrestnosti Ud rebra �� Prostranstvo Kondrat�evaV l���� opredelets kak popolnenie lineala C

�c ��n�� beskoneqno

differenciruemyh funkci�� ravnyh nul� vblizi kontura �� povesovo� norme

kW �V l����k

�lX

k�

k���l�k rkxW �L����k�

����

� ����

Zdes� rkxU � sovokupnost� proizvodnyh funkcii W pordka k�

l � N� f�� �� � � �g i � C����� Esli funkcii � i � sovpada��t na mnoestve �� to sootvetstvu�wie prostranstva V l

�� ��� i

V l�� ��� nerazliqimy ni algebraiqeski� ni topologiqeski� Po�to�

mu dalee pixem � C����� ne zabots� o sposobe prodolenivovnutr� �� Prostranstvo V l

���� take invariantno otnositel��no izmeneni� vesovogo mnoitel � pri sohranenii ego osnovnyhsvo�stv� Ono sostoit iz teh funkci� W � Hl

loc�� n ��� dl koto�ryh koneqna norma ���� � Vloenie V l

���� � V m� ��� imeet mesto

pri uslovih l � m i � l � � � m� no stanovits kompaktnymlix� v sluqae strogih neravenstv�Pri l � N f�� �� � � �g estestvenna norma v sledovom pro�

stranstve Vl����� ����

kw�V l����� ����k inf

nkW �V l

����k W w on ��

o�

�kvivalentna tako��� l��Xk�

k���l�k����rkw�L�����k�

Z�

Z�

��x���x�rl�� w�x�� ��y���y�rl��

w�y�� d�x d�y

d�x� y��

����� ����

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

Zdes� d� � �lement plowadi poverhnosti �� n �� r � kasatel��ny� gradient� a d�x� y� � rasstonie medu toqkami x� y � ���izmerennoe na �to� poverhnosti� Esli ��s� � ��� to v formu�le ���� d�x� y� mono zamenit� obyqnym rasstoniem jx � yj vR�� no pri ��s�� �� funkcii d�x� y� i jx � yj ne �kvivalentny�poskol�ku berega �trewiny�mogut kasat�s odin drugogo ilidae sovpadat� kak geometriqeskie ob�ekty�

Lemma ���� � Prostranstva�

W ����� i

V ����� fv � V �

� ��� � v � na ��g odinakovy�� Podprostranstvo V �

������ V �� ��� �

V ������� vkladyvaets� v

W ������� v tom i tol�ko v tom sluqae� esli �s� � � pri s � ��

Dokazatel�stvo� Pervoe utverdenie provereno� naprimer� v��� x����� a vtoroe vytekaet iz opredeleni normy ���� � �

Pust� s � dlina dugi na konture �� otodestvlennom s okru�nost�� podhodwego radiusa� � neskol�ko vol�no� ne razli�qaem v oboznaqenih toqku na � i ee koordinatu� Prostran�stvo Soboleva�SlobodeckogoH������� s peremennym pokazatelemgladkosti

� � C����� � � ��s� � �� ����

snabdim normo�

kz�H�������k �kz�L����k� � h�Z

kh��������� Mh z�L����k� dh�A���

gde h� � fiksirovannoe poloitel�noe qislo� a Mh z�s� z�s �h��z�s� � raznost� pervogo pordka� Opisanie osnovnyh svo�stvprostranstv H�������� v qastnosti� ih refleksivnost�� monona�ti� naprimer� v monografii ���� i citirovanno� v ne� li�terature� Dalee take ispol�zuem soprennoe prostranstvoH�������� H���������

�� Razreximost� zadaqi Dirihle� Kraevo� zadaqe

�xw�x� f�x�� x � �� w�x� g�x�� x � �� n �� ����

postavim v sootvetstvie otobraenie

Al�

�x�

�n

�� V l��

� ���� V l��� ��� � V

l����� ����� ����

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

nepreryvnoe pri l�byh indeksah l � N and � C�����Sledu�wee utverdenie provereno v stat�e ���� �sm� take

��� i ��� x���� �Teorema ���� Pust� l � N� Otobra�enie ��� � izomorfizm togdai tol�ko togda� kogda pri vseh s � � vypolneny neravenstva

����s� � �s� � l � ���s�� ����

Pri naruxenii odnogo iz neravenstv v kako� libo toqke s� � �operator Al

� ter�et fredgol�movost�� priqem v sluqae �s��� l �

���s�� �v sluqae �s��� l � ����s�� operator priobretaet bes koneqnomernoe �dro �ko�dro�

Proverka otsutstvi fredgol�mova svo�stva u operatora Al�

pri naruxenii sootnoxeni ���� lix� v odno� toqke rebra bu�det provedeno v zameqanii ��� � v otliqie ot drugih utverde�ni� teoremy ��� toqna ssylka na dokazatel�stvo �togo faktaavtoram neizvestna�

Esli oblast� � lokal�no vypukla vblizi rebra� to dopusti�mymi v teoreme ��� okazyva�ts indeksy

l �� �s� �� ����

pri kotoryh V l��� ��� L���� i V l��

� ��� � W �� ��� �sm� lem�

mu ��� �� � Sledovatel�no� obobwennye rexeni w ��

W ����� i

v ��

W ����� zadaq ���� i ���� popada�t v prostranstvo W

�������

i verny sootnoxeni

kw�W �� ���k � c kw�V �

� ���k � c kf �V �� ���k c kf �L����k�

kv�W �� ���k � c kv�V �

� ���k � c kw�V �� ���k � c kw�V �

� ���k�����

t�e� u v � W ������� � obobwennoe rexenie zadaqi ���� i spra�

vedlivo neravenstvo

ku�W �� ���k � c kf �L����k� ����

Pri otsutstvii lokal�no� vypuklosti takoe zakl�qenie sde�lat� nel�z� tak kak dl indeksov ���� naruxeno pervoe iz uslo�vi� ���� �

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

�� Ocenka rexeni pri l�bom vesovom indekse� V teoreme��� vozniklo ograniqenie na raznost� � l indeksov vesa i glad�kosti� odnako ocenka

kw�V l��� ���k� c

�kf �V l��

� ���k � kg�V l����� ����k � kw�V �

��l�����������

verna pri l�byh � C���� i l � N� esli tol�kow � Hl��

loc �� n �� � V ���l������

ff� gg � V l��� ��� � V

l����� �����

�����

Ocenka ����� izvestna� odnako iz�za nevozmonosti ukazat� toq�nu� ssylku na dokazatel�stvo v sluqae rebra peremennogo ras�tvora i dl udobstva qitatel vosproizvodim ee proverku pol�nost���Pri malom d � � v d�okrestnosti Ud kontura � vvedem krivo�

line�nye koordinaty �y� s�� gde s � dlina dugi na � i y �y�� y��� dekartovy koordinaty na ploskosti ���s�� perpendikulrno�� v toqke s� Na �to� ploskosti zadadim polrnye koordinaty�r� ��� sqitaem� qto y�� r cos� i y� r sin�� Ploskosti ���s��obrazu�t dvugranny� ugol D �s� � rastvorom ��s�� �iz qetyrehvozmonyh berem tot� kotory� raspoloen so storony � �

D�s� �

��� � R� � �� � �� �� � ����s��� ���s�� � ��s���� �

�� � R

�� �����

Pri �tom ���� ��� ���� � cilindriqeskie koordinaty� a �� ���� � �

��� �

��� � sootvetstvu�wie dekartovy koordinaty� privzan�

nye k toqke s�� Esli s s�� to yi ��i pri i �� � i r ���� ��� Krivoline�nye koordinaty �y� s� mono zafiksirovat�tak� qtoby �� � C�����

Poskol�ku dl funkcii g � Vl����� ���� suwestvuet prodol�

enie wg � V l��� ���� podqinennoe sootnoxeni� kwg�V

l��� ���k �

� kg�V l����� ����k� dostatoqno ubedit�s v spravedlivosti nera�

venstva ����� v sluqae g �� t�e� ograniqit�s rassmotreniemzadaqi Dirihle ���� s pravo� qast�� f � xwg� Krome togo�blagodar lokal�no� ocenke rexeni zadaqi Dirihle

kw�W l��� �� n Ud���k � c

�kxw�Wl��� �� n Ud���k� kw�L��� n Ud���k

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

mono predpoloit�� qto nositel� funkcii w soderits v mno�estve � � Ud���Pust� s� � �� � � � i Di fx � � � Udi�� � js � s�j � �ig �

mnoestvo� otsekaemoe ot ��Udi�� ploskostmi ���s���i�� zdes�i �� �� Vvedem novye �iskaennye cilindriqeskie� koordinaty

� r jyj� � ��s�����s�� ��� ���s� � ���s��� �

�� s � s�� �����

i soputstvu�wie �iskaennye dekartovy� koordinaty � �� cos �� � sin�� ���� Pri �tom mnoestvo Di transformiruets vqast�

Di �� � R� � j��j � �i� � � d

�dvugrannogo ugla ����� � Vvedem ewe funkcii

W ��� ���s�����s�w�x�� F ��� ���s�����s�f�x�� �����

kotorye soglasno opredelenim ����� i ���� podqineny soot�noxenim

kw�V l��� �D��k � c kW �V l��

��s���D��k�

kW �V ���s���l���D��k � c kw�V �

��l���D��k�kF �V l��

��s���D��k � c kf �V l��

� �D��k������

Funkcii ����� udovletvor�t ravenstvu

�xW ���� ���s�����s��x� ����s�����s��W ��� F ����

� � D�� �����

gde �A�B� AB�BA � kommutator operatorov A i B� a differen�cial�nye operatory iz levo� qasti perepisany v koordinatah�� Imenno�

L���r��W ��� F ���� � � D�� �����

V mnoestve Di vydelim cilindriqeskie sloi

�i�k �� � Di � �

�k��d � i��� � ��kd�� k � N�

v sloh � iskrivlennye �brus�� �koromysla

�ji�k

� � �i�k �

���s � ���j �

����k

� i���k��

j �� � � � � �k � ��

� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

a v brus�h � deformirovannye �kirpiqiki�

�j�qi�k

� � �j

i�k �

�� ���s����q �

����s�� �

�k

� i���s�� ��k

��

q �� � � � � �k � �� �����

Mnoestva �q�j��k soderats v mnoestvah �

q�j��k diametrom O��

�k��

a ob�edinenie ih zamykani� sovpadaet s D�� Zamena koordinat

� �� � �k�� � �k�j�q�� �����

gde �k�j�q � centr testi tela �q�j��k� perevodit �

q�ji�k v mnoestvob� q�j

i�k ediniqnyh razmerov� a uravnenie ����� � v uravnenie

���kL���k� � �j�k�q� �kr��W ���k� � �j�k�q� ���kF ���k� � �j�k�q��

� � b� q�j��k� �����

Esli odna iz grane� kirpiqika � q�ji�k popadaet na granicu kli�

na D �s� �� to na sootvetstvu�we� grani u rastnutogo kirpiqikab� q�ji�k funkci � ��W ���k���j�k�q� obrawaets v nul�� Takim obra�zom� spravedliva lokal�na ocenka rexeni zadaqi Dirihle dluravneni ����� ���� ��W ����W l��

�b� q�j��k

����� � c

����k

���� �� F ����W l���

�b� q�j��k

���������� ��W ����L�

�b� q�j��k

������ � �����

Postonnu� c v neravenstve ����� mono vzt� obwe� dl vsehk � N i j� q �� � � � � �k � �� �tot fakt nudaets v posne�

nii� Prede vsego �zazor�medu poverhnostmi �b� q�j��k n �D �s� �

i �b� q�j��k n�D �s� � ocenivaets snizu poloitel�no� veliqino�� za�

viswe� ot d� � i ��s��� no ne ot nomerov k� j� q� Vo�vtoryh� primalom � � � pokazateli stepene� r v formule ����� malo izme�n�ts na promeutke �s� � �� s� � �� i� znaqit� laplasian v le�vo� qasti ����� vozmuwen malym operatorom� Nakonec� soglasnoopredeleni� ����� zamena x �� � singulrna� t�e� ko�fficien�ty pri funkcii W i ee pervyh proizvodnyh �W��p v vyraenii

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� �

LW ime�t osobennosti O����� i O����� sootvetstvenno� odnakoposledu�wee rastenie koordinat � �� � privodit k voznikno�veni� obwego bol�xogo parametra ��k� kotory� kompensirovanmnoitelem ���k v uravnenii ����� �

Vernems k koordinatam � i perepixem ocenku ����� v vide

l��Xp�

���kp���rp

�W �L��� q�j��k

������ c

�l��Xp�

���k�p������rp

�F �L��� q�j��k

����� � ���W �L��� q�j��k

������ �

Umnoim �to neravenstvo na ���k���s���l��� i� zametiv� qto po po�stroeni� na kirpiqike � q�j

��k vypolneno sootnoxenie c� � ��k �C� s poloitel�nymi postonnymi c i C� peredelaem sobolev�skie normy v vesovye� V rezul�tate nahodim���W �V l��

��s��

�� q�j��k

������ c

����F �V l����s��

�� q�j��k

����� � ���W �V ���s���l��

�� q�j��k

������ � �����

Prosummiruem neravenstva ����� po k � N i j� q �� � � � � �k � ��

Poskol�ku kratnost� pokryti mnoestva D� kirpiqikami � q�j��k

koneqna� pri uqete formul ����� zakl�qaem� qto

kw�V l��� �D��k� � c

�kf �V l��

� �D��k� � kw�V ���l���D��k�

�� �����

Teper� dl togo qtoby vyvesti iskomu� ocenku ����� v upro�wenno� situacii �g � i suppw � � � Ud�� � ostalos� pokryt�kontur � dugami �sj � �� sj � ��� j �� � � � � J � �� vosstanovit� snih mnoestva D��sj� i D��sj� tak� kak ukazano pered formulo������ � i sloit� neravenstva ����� � kotorye poluqeny na frag�mentah Di�sj� mnoestva � � Udi��� primyka�wego k ��Lemma ���� Pust� w � rexenie zadaqi ���� s pravo� qast��

ff� gg� priqem vypolneny vkl�qeni� ����� � Togda w � V l��� ��� i

spravedlivo neravenstvo ����� �

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

�� Asimptotika rexeni zadaqi Dirihle vblizi rebra� So�glasno rezul�tatam ���� asimptotiqeskoe povedenie rexeni za�daqi ���� pri r jyj � � opisyvaets pri pomowi special�nyhrexeni� model�no� zadaqi v ploskom ugle

K�s� ny � R� � r � �� � � ��s� � ����s�� ���s� � ��s��

o� �����

t�e� na normal�nom seqenii dvugrannogo ugla ����� � Upomnutamodel�na zadaqa

�yU �y� �� y � K�s�� U �y� �� y � �K�s� n f�g� �����

imeet sledu�wie tak nazyvaemye stepennye rexeni�

U�k�y� s� r�k����s� sin

�k�

��s��� � ���s��

�� k � N� �����

Predpoloim� qto pri nekotorom l � N funkci udovletvo�ret neravenstvam ���� i ewe dl odno� funkcii � � C����vypolneny uslovi

�����s� � ��s� � l � ����s�� s � �� �����

i �s� � ��s� � �s� � �� s � �� �����

Dalee vsegda sqitaem� qto oblast� � nevypukla vblizi re�bra� Poskol�ku � � j���s�j � �� v silu uslovi ���� � po l��bomu indeksu �� podqinennomu sootnoxeni� ����� � mono opre�delit� vesovo� indeks � C����� sobl�da trebovani ���� i����� � Otmetim� qto pri uslovii ����� godts takie pokazate�li�

l �� �s� �� ��s� �� �����

Sluqa� trewiny � ��� dl kotorogo indeksy ����� � printyev x�� zapreweny pervym neravenstvom ����� � rassmatrivaetsotdel�no v x�� odnako v dannom paragrafe ograniqenie ����� nenuno � vypolnit� uslovi ���� � ����� i ����� dl veliqin i � netrudno�

Predloenie ���� Pust� l � N i dl� gladkih funkci� i � vy polneny sootnoxeni� ���� � ����� i ����� � Togda dl� rexeni�

w � V l��� ��� zadaqi ���� s pravo� qast��

ff� gg � V l��� ��� � V l����

� ���� �����

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

spravedlivo asimptotiqeskoe predstavlenie

w�x� ��r�K�s�U���y� s� � ew��x�� �����

Zdes� � � C��R� � sreza�wa� funkci�� ��r� � pri r � r� i ��r� �pri r � �r�� priqem radius r� vybran tak� qto nositel� srezkir �� ��r� raspolo�en v okrestnosti Ud� gde vvedeny krivoline� nye koordinaty �y� s�� K � funkci� �ko�fficient intensivnostiiz prostranstva H������� s pokazatelem gladkosti

��s� l � ��s� � ���s�� �����

podqinennym uslovi� ���� v silu formul ����� i ���� � U�� � ste pennoe rexenie ����� s naimen�xim polo�itel�nym pokazate lem odnorodnosti i ew� � asimptotiqeski� ostatok iz prostran stva V �

��l������

Dokazatel�stvo �togo utverdeni budet dano v zameqanii �����

Rexenie w � V l��� ��� i vydelenny� v ����� asimptotiqeski�

qlen �KU�� prinadleat prostranstvu V ���l������ no ne prinad�

leat prostranstvu V ���l����� �iskl�qenie� trivial�ny� ko�f�

ficient intensivnosti � V �tom smysle formula ����� predo�stavlet asimptotiku rexeni zadaqi ���� � Odnako gladkost�funkcii K limitirovana sootnoxeniem ����� � oznaqa�wim� vqastnosti� qto ��s� � � i ostatok ew�� voobwe govor� nel�zdifferencirovat�� V stat�e ���� �sm� ��� x����� a take ���� ���i ��� x���� po povodu obwih kraevyh zadaq bylo pokazano� qtodrugo� asimptotiqeski� ostatok priobretaet neobhodimye dif�ferencial�nye svo�stva v tom sluqae� esli v formulu

w�x� C�K� r� s�U��y� s� � ew�x� �����

vkl�qen special�ny� operator prodoleni C s rebra � voblast� �� �tot operator mono opredelit� pri pomowi raz�bieni edinicy i standartnogo operatora prodoleni s osi Rna poluploskost� R�

C��k� r� z�

ZR

X�r��� �k�z � � �r�� d�

ZR

X�t�k�z � rt� dt�

� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

zdes� dro X � bystroubyva�wa funkci s ediniqno� plowa�d�� podgrafika� t�e�

�� � t���j�jtX�t�j � c��j � � R� j � N��

ZR

X�t� dt �� �����

Poslednee svo�stvo obespeqivaet ravenstvo E��k� �� z� k�z�� Vkaqestve X moet vystupat� obraz Fur�e sreza�we� funkcii�� vvedenno� v formulu ����� �Pust� f�ig i f�i�g � koneqnye seme�stva funkci� iz C����

i C�c �� � Ud� sootvetstvenno� priqem �i�

i� �i�

P�i � na

� i nositeli �tih srezok ime�t malye dliny� Razumeets� �i�mogut byt� vybrany zaviswimi tol�ko ot peremennyh r i s�Operator C v formule ����� vygldit tak�

E�K� r� s� Xi

�i��r� s�E���iK� r� s�� �����

Sledu�wie neravenstva �sm�� naprimer� �� predloeni �����i ������� vyraa�t svo�stva operatora prodoleni�

kx �� C�K� r� s�� ��r�K�s��V ��������k � ckK�H�������k�

krjxC�K��V �

j�������k � cjkK�H�������k �j � N� �����

kC�K��V � �����k � c kK�H�������k �� � ��

Pri �tom indeks gladkosti � dolen byt� podqinen uslovi����� �

Teorema ���� V uslovi�h predlo�eni� ��� spravedlivo asimpto tiqeskoe razlo�enie ����� � v kotorom C � operator prodol�e ni� ����� � a ko�fficient intensivnosti K � H������� i ostatokew � V l��

� ��� udovletvor��t neravenstvu

kK�H�������k� k ew�V l��� ���k

� c�kf �V l��

� ���k� kg�V l����� ����k

��

�����

priqem pokazatel� gladkosti � imeet vid ����� �

Dokazatel�stvo soderits v rabote ���� �sm� take teoremu����� ��� � �

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

Zameqanie ���� V silu neravenstva ����� � i sootnoxeni����� vypolneno vkl�qenie �C�K� � �K�U�� � V �

�����������

V ���l������ a znaqit� razloenie ����� vytekaet iz formuly

����� i norma k ew�V��l�����k asimptotiqeskogo ostatka ew ne pre�voshodit pravo� qasti ����� � �

�� Integral�nye formuly dl ko�fficienta intensivno�sti� Budem iskat� rexenie odnorodno� zadaqi ���� v vide

��H�x� ��r�H�s�U���y� s� � b��H�x�� �����

gde H � C����� a b��H� �� � naznaqennoe teoremo� ��� rexeniezadaqi

�xb��H�x� bf�H�x� � x��r�H�s�U���y� s�� x � ��b��H�x� bg�H�x� � ���r�H�s�U���y� s�� x � �� n ��

�����

Zameqanie ���� Opixem estestvennye krivoline�nye koordina�ty v okrestnosti Ud �sm�� naprimer� ���� � Oboznaqiv t�s�� n�s��b�s� kasatel�ny�� normal�ny� i binormal�ny� vektory dl kon�tura �� ponimaem pod �y�� y�� sistemu dekartovyh koordinat sosmi n�s� i b�s�� V �tom sluqae laplasian prinimaet vid

L�y� s�ry� �s� �pg

�y�

pg

g��

�y��

�y�

pg

g��

�y��

�s

pg

gss

�s

g����ss

�y�g���ss

�y��

�y�g���ss

�y��

�sg����ss

�s

�� �����

gde g��� g��� gss � komponenty metriqeskogo tenzora i g g��g��gss� priqem

g�� jnj �� g�� jbj �� gss jt� y��sn� y��sbj�Krome togo� v silu formul Frene

�sn�s� �k�s�t�s� � � �s�b�s�� �sb�s� �� �s�n�s��gde k�s� i � �s� � krivizna i kruqenie dugi �� i po�tomu gss�y� s� �� � y�k�s��

� � r�� �s�� Takim oboazom� operator ����� dopuskaetrasweplenie

L�y� s�rs� �s� y � L��s�ry� � eL�y� s�ry� �s�� �����

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

v kotorom

L��s�ry� �k�s� �

�y��

a differencial�ny� operator

eL �X

p�

��X

q�

l�p�q��

�yp�yq� l�p

�yp� l�ps

��

�yp�s

�� l�s

�s� l���

��

�s������

imeet gladkie ko�fficienty� podqinennye uslovim

lm����y� s� O�rm� pri r� ��� m �� �� �� �����

Drugimi slovami� pri l�byh � � Ri � � C��S���� spravedlivosootnoxenieeL�y� s�ry� �s�r

����� s� O�r����� �

Poskol�ku U���s� �� � stepennoe rexenie model�no� zadaqi����� � formuly ����� � ����� pokazyva�t� qtork

xbf �H�x�

� ckr�k�������s�� k � N��

Sledovatel�no� bf �H� �� � V l��� ��� pri

�s� � l � � � ���s�� s � �� �����

Krome togo�

sin�

��s�

��� ���s�

� O�r�� x � ��� � Ud� �����

tak kak leva qast� ����� obrawaets v nul� na luqah fx ����s� � r � �� � ���s�g i fx � ���s� � r � �� � ���s� � ��s�g�kasa�wihs komponent ��� granicy ��� V silu sootnoxeni

����� spravedlivo vkl�qenie bg�H� �� � Vl����� ���� pri tom e

ograniqenii ����� na vesovo� indeks � Poskol�ku ��s� � �� uda�ets na�ti funkci� � C����� udovletvor�wu� oboim ogra�niqenim ����� i ���� � Takim obrazom� po teoreme ��� suwestvu�

et edinstvennoe rexenie b��H� �� � V l��� ��� zadaqi ����� � a zna�

qit� ��H� �� � rexenie odnorodno� zadaqi ���� � netrivial�noe�potomu qto �HU�� � V l��

� ��� vvidu vtorogo neravenstva ���� �

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

Predloenie ���� V uslovi�h predlo�eni� ��� spravedliva for mulaZ

f�x���H�x� dx�Z��

g�x��n��H�x� d� �

Z

K�s�H�s� ds� �����

gde �n � proizvodna� vdol� vnexne� normali k poverhnost�m ����K � H������� � ko�fficient intensivnosti iz razlo�eni� ����� i ����� rexeni� w zadaqi ���� � a H � C���� � plotnost� na ��poro�da�wa� vesovu� funkci� ����� �

Dokazatel�stvo� Netrudno ubedit�s v tom� qto pri uslovi�h ����� ��H� �� � V l��

�l�� ���� Sledovatel�no� ��H� �� � V �l��������

�n��H� �� � V �l���������� i� krome togo� f � V �

��l������ g �V ���l�������� v silu vkl�qeni ����� � Inymi slovami� integra�

ly v levo� qasti ����� shodts� Samo sootnoxenie horoxo iz�vestno� i ego netrudno vyvesti pri pomowi formuly Grina voblasti �� fx � � � dist �x��� � �g i predel�nogo perehoda� � �� � integral po uzko� krivoline�no� poloske ��� n �� vy�qislets soglasno asimptotiqeskim razloenim ����� � ����� i imeet predelom pravu� qast� ����� � Neobhodimye vyqisle�ni dl uravneni Puassona mono na�ti v stat�e ����� a dlobwih �lliptiqeskih sistem � v stat�h ���� ��� ili ��� x���� ��Zameqanie ���� Pokaem� qto obraz operatora Al

� nezamknut v

tom sluqae� esli �s�� � l ���s��� no sootnoxenie ���� spra�vedlivo pri s � � n fs�g� Podqerknem� qto sluqa� �s�� � l ����s�� rassmatrivaets toqno tak e posle perehoda k opera�toru Al

�l��� formal�no soprennomu dl Al� i po�tomu vl��

wemus fredgol�movym odnovremenno s Al� �sm� dalee formuly

����� � ����� i sr� s zameqaniem ��� �Vvedem sreza�wie funkcii ���t� ���t�����t� i �N �t�

���t � �N ����N � t�� zdes� N � N i �� � C��R�� ���t� � prit � �� ���t� � pri t � ��� � � ���t� � � pri t � ���� ��� Dl� � ���� �� i dostatoqno bol�xogo N gladka funkci

un�x� U���y� s��N �j log rj��� ��s � s��j log rj��imeet nositel� na mnoestve Ud �

�� n ��� Krome togo� funkci

� �� � l����� po predpoloeni� neotricatel�na i obrawa��was v nul� tol�ko v toqke s�� podqinena neravenstvu

j� �s�j � c �s � s����

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

Sledovatel�no� pri js� s�j � j log rj�� i � � �� imeemr��s� � � e��s� log r � �

� c� j log rj�����a znaqit�

kuN � V ���l�����k� �

e�NZe��N

s��j log rj����Z

s��j log rj����

r��s�dr

rds

�e�NZ

e��N

j log rj�� ��� c� j log rj����� dr

r

��NZN

������ c�N

�����d� �����

�� �N���

����� � �

� ��� c�N

����� � �

�� �

���� � �

�N����

priqem N � N� i qislo N� � N vybrano tak� qto c�N���� � ���

Rassmotrim teper� vyraeni xu i u�n� Nositeli pro�

izvodnyh srezki �N �j log rj� raspoloeny na ob�edinenii mno�estv VN�i

d fx � Ud � ei�� � reN�i��� � eig� i �� �� Proizvodnyedrugo� srezki �� ��s � s��j log rj��� opredelenno� v okrestnosti Ud�mogut otliqat�s ot nul lix� na mnoestve Wd�� fx � Ud �j log rj��s� s�� � ���� ��g� oni dopuska�t ocenkirp

y�qs�� ��s � s��j log rj��

� cp�q r�pj log rj�q����p�� �

gde p� q � N�� p�q � � i �m�h � simvol Kronekera� V sootvetstviis zameqaniem ��� imeemrm

y �hs �x �y�uN

� cm�h r�m�������s�� m� h � N��

Takim obrazom� vvidu neotricatel�nosti funkcii � � C���� po�luqaem

k�x �y�uN � Vl��� ���k� � c

e�NZe��N

s��j log rj����Z

s��j log rj����

r��s� rdr ds

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

� c

e�NZe��N

rj log rj�� dr � cN��e��N � �����

Nakonec� funkci yuN netrivial�na razve lix� na ob�edine�

nii mnoestv VN�id�� fx � VN�i

d � j log rj��s � s�� � ���� ��g� i �� ��

i WNd�� fx � Wd�� � e��N�� � r � e�N��g� Sledovatel�no�

kyuN � Vl��� ���k�

� c

� ZVN��

d���VN��

d��

r��s�r�� dx�

ZWN

d��

r��s�j log rj�� r�� dx�

� c�N�� �N����

�� �����

V silu sootnoxeni ����� sledy funkcii uN na poverhnosth��� priobreta�t dopolnitel�nu� skorost� zatuhani za sqetmnoitele� O�r�� t�e� spravedlivo analogiqnoe ����� neraven�stvo

kuN � V l����� ����k� � kuN � V l��

���������k� � cN��e��N � �����

Poskol�ku pri vypolnenii uslovi� teoremy ��� otobraenie���� � monomorfizm� obwa shema ���� �� issledovani kraevyhzadaq v oblasth s rebrami� vkl�qa�wa lokal�noe sprmle�nie rebra � i poverhnoste� ���� zamoraivanie ko�fficientovdifferencial�nyh operatorov i perehod k dvumerno� zadaqe vugle pri pomowi qastiqnogo preobrazovani Fur�e� ustanavli�vaet� qto i v rassmatrivaemom sluqae �s���l ���s�� operatorAl� ostaets monomorfizmom� Takim obrazom� esli on fredgol��mov� to verna ocenka

kuN � V ���l�����k � kuN � V l��

� ���k� c

�kxuN � V

l��� ���k� kuN

� Vl����� ����k

� �����

s postonno� c� ne zaviswe� ot funkcii uN � V l��� ���� Ocenka

����� nevozmona vvidu proverennyh neravenstv ����� � ����� �Itak� pri naruxenii trebovani ���� dae v odno� toqke s� � �operator ���� zadaqi ���� perestaet byt� fredgol�movym� �

� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

�� Opisanie dra i kodra zadaqi Dirihle pri otsutstviiodnoznaqno razreximosti� Soglasno teoreme ��� operatorAl� s vesovym indeksom �� podqinennym sootnoxeni� ����� � nevlets fredgol�movym� tak kak priobretaet beskoneqnomer�noe kodro� De�stvitel�no� v silu teoremy ��� zadaqa ���� spravo� qast�� ����� imeet rexenie w � V l��

� ��� lix� v sluqaevypolneni ravenstva

K�s� �� s � ��

predostavl�wego beskoneqny� nabor uslovi� razreximosti�Po zamykani� formula Grina

�xu� ��� � �u� �n��� �u�x��� � ��nu� ��� �����

rasprostranets na pary funkci� u � V l��� ��� i � � V l��

�l�� ��� bez

kakih�libo ograniqeni� na vesovo� indeks �� Teorema ����� ���pokazyvaet� qto operator Al

�l�� � formal�no soprenny� dl

Al� i podprostranstvo cokerAl

� sostoit iz funkcionalov

ff� gg ��Z�

f�x���x� dx�Z��

g�x��n��x� d�� �����

postroennyh po vsem �lementam � podprostranstva kerAl�l�� � Ta�

kim obrazom� formula Grina ����� i sootnesenna s ne� struk�tura defektnyh funkcionalov ����� ustanavlivaet estestven�ny� izomorfizm

kerAl�l�� � cokerAl

� � �����

Pust� � i � udovletvor�t sootnoxenim ����� i ����� � Dlplotnosti H � C���� formula ����� opredelet �lement pod�prostranstva kerAl

�l�� � V ��� x���� ustanovlen sledu�wi� fakt�Teorema ���� Pust� posledovatel�nost� fHmg�n� gladkih funk ci� shodits� po norme k��H��������k k raspredeleni� H�H���������Togda posledovatel�nost� f��Hm� ��g�n� rexeni� ����� odnorod no� zadaqi ���� shodits� v prostranstve V l��

�l�� ��� k nekotoro

mu �lementu �dra operatora Al�l�� � oboznaqaemomu ��H� ��� Vs�ki�

�lement podprostranstva kerAl�l�� mo�no poluqit� ukazannym

sposobom� Spravedlivy neravenstva

ckH�H��������k � k��H� ���V l���l�����k � CkH�H��������k �����

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� �

s polo�itel�nymi posto�nnymi c i C� ne zavis�wimi ot ras predeleni� H � H���������

Itak� otobraenie

H�������� � H �� ��H� �� � V l���l������ �����

opredelennoe iznaqal�no po formule ����� na gladkih funkcihH� rasxirets po zamykani� do izomorfizma

H�������� � kerAl�l�� � �����

Sootnoxeni ����� i ����� � utoqnennye formulami ����� i����� � predostavl�t opisanie beskoneqnomernyh dra opera�tora Al

�l�� i kodra operatora Al� �

Sledstvie ���� Pust� l � N i funkci� � udovletvor�et neraven stvam ����� � Zadaqa ���� s pravo� qast�� ����� imeet rexeniew � V l��

� ��� v tom i tol�ko v tom sluqae� esli vypolneny uslovi�Z�

f�x���Z�x� dx�Z��

g�x��n��Z�x� d� �� Z � C����� �����

Po zamykani� ravenstva ����� osta�ts� vernymi pri vseh Z �H��������� gde � � funkci� ����� �

�� Ewe raz o formulah dl ko�fficientov intensivno�sti� Pri ograniqenii ����� � l � � � �� � ��� ��� v si�lu trebovani ����� i� sledovatel�no� mono vybrat� indeks �tak� qtoby na � bylo vypolneno uslovie � � ��� Tem samym pro�stranstvo H�������� vkl�qaet ��funkci� Diraka� Pust� s� � �i �MP �s�� �� � kerAl

�l�� � obraz funkcii Diraka H�s� ��s � s���na�denny� soglasno formulam ����� i ����� � Togda ravenstvo����� prinimaet vid

K�s�� �

� Z�

f�x� �MP �s��x� dx�Z�

g�x� �n�MP �s��x� d�

i daet neposredstvenno znaqenie ko�fficienta intensivno�sti v toqke s�� Normirovannoe rexenie �

���MP �s�� �� odnorod�no� zadaqi ���� sleduet nazyvat� vesovo� funkcie� Maz��Plamenevskogo �sm� ������� �

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

Esli H � dostatoqno gladka plotnost�� to spravedlivo ����sootnoxenie

��H�x�

Z

H�s��MP �s�x� ds�

�� Obobwennoe rexenie kraevo� zadaqi

dl� bigarmoniqeskogo uravneni�� ego

asimptotika i svo�stvo poloitel�nosti

�� Procedura postroeni obobwennogo rexeni� Prisposo�bim algorifm ��� �sm� take ��� x���� i ��� x���� rexeni dvumer�no� zadaqi ���� k trehmerno� situacii� predpoloiv� qto vy�polneno geometriqeskoe uslovie ����� � i zafiksirovav indeksygladkosti i vesa ����� � Imenno� vmesto edinstvennogo rexeni

w� � V ������� �

W �����

V ����� zadaqi ���� �sm� teoremu ��� i

lemmu ��� voz�mem obwee ee rexenie

w�x� w��x� � ��H�x� ����

v bolee xirokom klasse V ������� � L���� �sm� teoremu ��� pri l �

i � � � Neizvestna plotnost�

H � H��������� ��s� �� ���s� ����

otyskivaets pri rexenii zadaqi ���� s pravo� qast�� ���� �De�stvitel�no� v silu sledstvi ��� u �to� zadaqi est� rexe�nie v � V �

������ � W ������� togda i tol�ko togda� kogda vypolneny

uslovi razreximosti ����� � kotorye soglasno formule ���� prevrawa�ts v integral�noe todestvoZ�

��H�x� ��Z�x� dx �Z�

w��x� ��Z�x� dx� Z � C����� ����

Prava qast� ���� � znaqenie na Z nepreryvnogo funkcionala vprostranstve H��������� V silu opredeleni ���� i neravenstv����� � ���� ime�t mesto ocenki

j�w�� ��Z� ����j � c kw��L����k k��Z� ���L����k �� c kw��W

�� ���k k��Z� ���V �

� ���k � c kf �L����k kZ�H��������k� ����

Po tem e priqinam levu� qast� ���� mono predstavit� v vi�de �SH�Z�� gde � �� �� � rasxirenie skalrnogo proizvedeni

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

v L���� do dvo�stvennosti medu prostranstvami H�������� iH�������� a operator

S � H��������� H������� ����

vlets nepreryvnym� simmetriqeskim i poloitel�nym� Ta�kie ego svo�stva obespeqeny opredeleniem

�SH�Z� ���H� ��� ��Z� ���� H� Z � C�����

vkl�qeniem ��Z� �� � V ������� � L���� dl l�bo� plotnosti Z �

H�������� i vyteka�we� iz vtorogo neravenstva ����� ocenko�

j���H� ��� ��Z� ����j � k��H� ���L����k k��Z� ���L����k �

� k��H� ���V �� ���k k��Z� ���V �

� ���k � c kH�H��������k kZ�H��������k�

Pervoe neravenstvo ����� i lemma ��� s indeksami ����� de�la�t operator S poloitel�no opredelennym

���H� ��� ��H� ���� k��H� ���V �� ���k�

� C k��H� ���V �� ���k� � ckH�H��������k�� c � �� ����

a znaqit� i obratimym� Posnenie k vykladke ���� � poskol�ku��H� �� � rexenie odnorodno� zadaqi ���� � iz pravo� qasti is�pol�zovanno� ocenki ����� isqeza�t normy funkci� f i g�

Teorema ���� Pri f � L���� suwestvuet edinstvennoe rexenie���� integral�nogo to�destva ���� i verna ocenka

kH�H��������k � c kf �L����k� ����

Dokazatel�stvo� Proverennye svo�stva operatora ���� vlekutza sobo� suwestvovanie i edinstvennost� rexeni� a ocenka ���� vytekaet iz neravenstva ���� � �

Sledu�wee utverdenie dostavlet obobwennoe rexenie kra�evo� zadaqi ���� dl bigarmoniqeskogo uravneni� t�e� funkci�u �W �

������� udovletvor�wu� integral�nomu todestvu ���� �

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

Teorema ���� Pust� vypolneno geometriqeskoe ograniqenie����� � Esli f � L���� i H � H�������� � plotnost�� naznaqenna�

teoremo� ���� to rexenie v ��W �

���� zadaqi ���� s pravo� qast������ � prinadle�awe� prostranstvu V �

������ � L����� popadaet v

prostranstvo V �� ��� � V �

������ � W �� ���� t�e� u v � obobwennoe

rexenie zadaqi ���� � Verna ocenka

kv�V �� ���k� kw�V �

� ���k � c kf �L����k� ����

ustanavliva�wa�� v qastnosti� spravedlivost� neravenstva���� �

Dokazatel�stvo� Soglasno sledstvi� ��� rexenie v � V �� ��� �

V ������� zadaqi ���� suwestvuet blagodar sootnoxeni� ���� �V sootvetstvii s formulo� ���� ocenka ���� dl rexeni wzadaqi ���� garantirovana teoremami ���� ��� i ���� a ocenka���� dl na�dennogo rexeni v zadaqi ���� verna potomu� qtopri uslovii ����� � vypolnennom dl indeksov l � i � ��otobraenie

�x��n

�� V l��

� ���� ImAl�

vlets izomorfizmom �sm� ��� x���� � Nakonec� neravenstvo���� vytekaet iz vloeni� V �

� ��� � V �� ��� � W �

� ��� �sm� lemmu��� �� � �

�� Razreximost� kraevo zadaqi dl bigarmoniqeskogouravneni v vesovyh klassah� S zadaqe� ���� estestvenno sv�zat� otobraenie

V l��� ��� � u� Bl�u

��

xu�xu�n

� u�n

��

� Rl�V ��� V l��

� ��� � Vl����� ����� V

l����� �����

����

nepreryvnoe pri l�byh l � N� f�� �� � � �g i � C����� Vysnim�dl kakih vesovyh indeksov operator Bl� okazyvaets izomorfiz�mom�Esli rexenie u � V l��

� ��� kraevo� zadaqi

�xu�x� f�x�� x � �� xu�x� g��x��

u�x� g��x�� x � �� n �� �����

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

s pravo� qast��ff� g�� g�g � Rl

�V ��� �����

poluqets v rezul�tate rexeni� zadaq Dirihle

�xw�x� f�x�� x � �� w�x� �g��x�� x � �� n �� �����

�xv�x� w�x�� x � �� v�x� g��x�� x � �� n �� �����

v prostranstvah V l���� � w i V l��

� ��� � v sootvetstvenno� toteorema ���� v kotoro� proizvedeny zameny �l� � �� �l � �� � i�l� � �� �l � �� �� vystavlet uslovi

����s� � �s� � �l � �� � ���s��

����s� � �s� � �l � �� � ���s�������

Predpoloim� qto oblast� � lokal�no vypukla �sm� uslovie���� � togda nepust interval v formule

�s� � l � ��� ���s���� � ���s��� �����

obespeqiva�we� sootnoxeni ����� � Dl takih indeksov suwe�stvuet rexenie u v � V l��

� ��� i verna ocenka

ku�V l��� ���k � c kff� g�� g�g�Rl

�V ���k�Esli e oblast� lokal�no nevypukla vblizi rebra � �sm�

uslovie ���� � to udovletvorit� trebovani teoremy ��� ne uda�ets� i analogiqno predyduwemu razdelu prihodits izmenit�shemu rexeni zadaq ����� � ����� �Pust� vypolneno uslovie ����� � a indeksy l i svzany so�

otnoxeniem

j�s� � lj � min

�� �

��s����

��s�� �

�� �����

Soglasno teoreme ���� gde proizvedena zamena �l� �l��� �� �l��� ��obwee rexenie zadaqi ����� v klasse V l

���� imeet vid ���� � pri�qem w� � V l

������ � rexenie zadaqi� kotoroe naznaqeno teoremo�

��� pri indeksah l � � i � udovletvor�wih uslovi� ���� � a��H� �� � rexenie odnorodno� zadaqi s proizvol�no� plotnost��H � H�������� i pokazatelem gladkosti

��s� l � ��s� � ���s� �s� � l � �� ���s�� �����

��� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

vyqislennym po formule ����� � no pri uqete zamen indeksov� Vsilu sootnoxeni� ����� i ���� pokazatel� ����� podqinen tre�bovani� ���� � Otmetim� qto vse ograniqeni na indeksy� voz�nika�wie pri primenenii utverdeni� iz x�� obespeqeny nera�venstvom ����� �V silu sledstvi ���� gde �l� �� �� �l � �� �� usloviem suwe�

stvovani rexeni v � V l��� ��� zadaqi ����� sluit ravenstvo

����� � v kotorom f w � V l���� i g g� � V

l����� ����� Ono pre�

vrawaets v integral�noe todestvoZ�

��H�x���Z�x� dx �Z�

w��x���Z�x� dx�Z��

g��x��n��Z�x� d��

Z � H��������� �����

Te e soobraeni� qto i v predyduwem razdele� pozvol�t na��ti plotnost� H i funkci� v u � V l��

� ���� vl�wies rexeni�mi zadaq ����� i ����� � ����� sootvetstvenno�

Teorema ���� Pust� l � N� i vypolneno uslovie ���� �uslovie����� � Operator ���� zadaqi ����� �vl�ets� izomorfizmom vtom i tol�ko v tom sluqae� esli vesovo� indeks � C���� udovle tvor�et vkl�qeni� ����� �neravenstvu ����� � Pri naruxeniisformulirovannyh uslovi� operator Bl� ter�et fredgol�movost��

Dokazatel�stvo budet zakonqeno v zameqanii ���� �

Zameqanie ���� Esli ��s�� ��� to prava qast� neravenstva����� obrawaets v nul� v toqke s� � � i sobl�sti usloviteoremy ��� ne udaets� t�e� otobraenie ���� ne okazyvaetsfredgol�movym ni pri kakom indekse �sr� zameqanie ��� � �

�� Stepennye rexeni model�no zadaqi dl bigarmoni�qeskogo uravneni� Kak i v sluqae zadaqi Dirihle ���� �asimptotiqeskoe povedenie kraevo� zadaqi ����� opisyvaetspri pomowi stepenno�logarifmiqeskih rexeni� sootvetstvu��we� model�no� zadaqi v ugle �����

��yU �y� �� y � K�s�� yU �y� �� U �y� ��

y � �K�s� n f�g� �����

Takie rexeni netrudno pereqislit�� Esli ��s� � ��� ��� ��� ����to l�boe stepenno�logarifmiqeskoe rexenie zadaqi ����� est�

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

line�na kombinaci sledu�wih stepennyh�

Uk�j��y� s� r�j�k����s� sin

�k�

��s���� ���s��

��

k � N� j �� �� �����

Funkcii Uk��� ne otliqa�ts ot garmoniqeskih stepennyh re�xeni� ����� � Pri ��s� �� dve funkcii

U�����y� s� U�����y� s� r sin �� � ���s�� �����

iz spiska ����� sovpada�t� i odna iz nih zamenets stepenno�logarifmiqeskim rexeniem

U������y� s� ������r log r sin ��� ���s�� � �����

Drugih stepenno�logarifmiqeskih rexeni� u zadaqi ����� net�Esli ��s� � ��� ��� to mnoestvo pokazatele� � odnorodnosti

funkci� ����� � udovletvor�wih neravenstvu Re� � �� imeetnin�� gran�

�����s�� ���s�� �����

Esli e ��s� � ��� ���� nin gran� opredelets tak�

�����s��

�� ���s� pri ��s� � ��� �����

����s� pri ��s� � ����� ���������

Zameqanie ���� Pri pomowi oboznaqeni� ����� i ����� uslo�vi� naloennye v teoreme ��� na vesovo� indeks � preobrazu��ts k vidu

l � �� �s� � I�s� ��� �����s��� �����s��� � �����

Indeksy i �l � udovletvor�t vkl�qeni� ����� odnovre�menno� a znaqit� suwestvovanie obratnyh dl operatorov Bl� iBl�l�� ustanovleno v predxestvu�wem razdele� Po teoreme �������� �ti operatory formal�no sopreny� tak kak formal�no sa�mosoprena kraeva zadaqa ����� � Sledovatel�no� kady� iznih � izomorfizm� Koncami intervala I�s� sluat pokazateliodnorodnosti netrivial�nyh stepennyh rexeni� model�no� za�daqi ����� � no sam on svoboden ot takih pokazatele�� Kak iz�vestno �sm� ��� i� naprimer� ��� x���� suwestvuet tol�ko odin

��� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

interval� oblada�wi� pereqislennymi svo�stvami i obespeqi�va�wi� fredgol�movost� operatora Bl�� ona otsutstvuet� eslil � �� �s� � ��� ��� � I�s� v kako��nibud� toqke s� � � �qisla �i � � razmernosti mnogoobrazi� � i � � �

Zameqanie ���� Analogiqna ����� formulirovka uslovi ���� v teoreme ��� vygldit tak�

l � �s� l� �� �s� � ��� ��� � I�s� �����s�� ���s�� � ����� Pri �tom koncy intervala v ����� sut� pokazateli stepennyhrexeni� ����� model�no� zadaqi ����� pri k �� �

�� Asimptotika rexeni bigarmoniqeskogo uravneni�Pust� oblast� � nevypukla vblizi rebra� a samo rebro � ni vkako� toqke s ne prevrawaets vo front trewiny �sr� formuly���� i ����� � Rassmotrim rexenie u � V l��

� ��� zadaqi ����� spravo� qast��

ff� g�� g�g � Rl�V ����

gde indeks udovletvoret uslovim teoremy ���� a indeks � �C���� vybran tak� qto

�s� � ��s� � �s� � ��

maxf����s�� �� ���s�g � l � �� ��s� � ����s������

�sr� s formulami ����� i ����� � ����� sootvetstvenno � Na ris�� izobraeny dopustimye zony izmeneni veliqin l � �� �s� il��� ��s� v zavisimosti ot ugla ��s�� priqem zona bolee inten�sivnogo tonirovani otnosits k indeksu �

Teorema ���� Pri sformulirovannyh trebovani�h k �� ff� g�� g�g il� � � rexenie u � V l��

� ��� zadaqi ����� dopuskaet predstavlenie

u�x� C�K�� r� s�U�����y� s� � C�K�� r� s�U

�����y� s� � eu�x�� ����� gde C � operator prodol�eni� ����� � Ki � ko�fficienty inten sivnosti iz prostranstv H�i������ s indeksami gladkosti

���s� l � �� ��s� � ���s��

���s� l � �� ��s� � ����s�������

kotorye udovletvor��t uslovi� ���� v silu predpolo�eni������ i ����� � ����� � Ostatok eu prinadle�it prostranstvu

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

Ris� ��

V l��� ��� i verna ocenka

�Xi�

kKi�H�i������k� keu�V l��

� ���k � c kff� g�� g�g�RV l� ���k� �����

Dokazatel�stvo� Esli ��s� � ��� ���� ili ��s� � ����� ��� pris � �� to formuly ����� ������ vyteka�t neposredstvenno izrezul�tatov ����� V obwem sluqae ��s� � ��� ��� grafiki funkci�

� � s �� �� ���s�� � � s �� ����s�� �����

pereseka�ts� qto v principe zapreweno v citirovannyh publi�kacih� Tem ne menee� dokazatel�stva sootvetstvu�wih utver�deni� mogut byt� povtoreny bez kakih�libo modifikaci�dl rassmatrivaemo� zadaqi dae pri pereseqenii grafi�kov ����� na nekotoryh uqastkah rebra �� Delo v tom� qtostepennye rexeni U���� i U����� figuriru�wie v asimpto�tiqesko� formule ����� � �ne vzaimode�stvu�t� �sr� zameqa�nie ��� i sm� stat�i ���� i ���� � tak kak ih uglovye qa�sti sin

���s����� ���s��

�i sin

����s����� ���s��

�ortogonal�ny

v prostranstve L�����s�� ���s� � ��s��� �

Zameqanie ���� Pust� s� � � � toqka� v kotoro� izmenets svo��stvo vypuklosti oblasti �� t�e� ��s�� � i dl opredelennosti

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

����s� � t� � �� � � pri malom t � ��� t��� V �tom sluqae ime�tsdva seme�stva stepennyh rexeni��

U������� s��s�s��t��s��t��

��U������� s��

s�s��t��s��t��� �����

grafiki pokazatele� odnorodnosti kotoryh

� � s �� ���s�� � � s �� �� ���s��

pereseka�ts v toqke s�� Oblada odinakovymi uglovymi qa�stmi� stepennye rexeni ����� vzaimode�stvu�t v sledu�wemsmysle� pri s s� spravedlivo ravenstvo ����� i model�na za�daqa na poluploskosti K�s� � fy � r � �� � � ����s��� ���s�� � ��gpriobretaet rexenie ����� � line�no zaviswee ot log r� Po �to�mu povodu upomnem stat�i ���� i ����� gde podobnye �ffektyobsuda�ts v bolee obwih� no neskol�ko inyh situacih �sr�p� � x� � �

�� O poloitel�nosti rexeni kraevo zadaqi dl bigar�moniqeskogo uravneni� V sluqae lokal�no vypuklo� oblasti� obobwennye rexeni u i v zadaq ���� i ���� � ���� sovpada�ti� kak posnlos� v p� � x�� okazyva�ts poloitel�nymi prineotricatel�no� pravo� qasti f � L���� n f�g� Dl izuqeni re�xeni� v lokal�no nevypuklo� oblasti ponadobits sledu�weeutverdenie�

Lemma ���� Dl� funkcii z � V �� ��� spravedlivo sootnoxenie

��x���x�����jz�x�j � c kz�V �� ���k� x � ��

Dokazatel�stvo� Vvidu teoremy Soboleva o vloenii W �� � C

dostatoqno rassmotret� funkci� z na mnoestve � � Ud� vve�dennom v p� � x�� Pust� �j�q

��k � odin iz kirpiqikov ����� � Vy�

poln zameny koordinat x �� � �� � �sm� ����� i ����� ivspomina opredelenie normy ���� � nahodim� qto dl funkciib�j�q��k � � �� Z��� z�x� verna cepoqka neravenstv

kz�V �� ���k� � c

��X

p�

kr����prp�z�L���

j�q��k�k�

����

� c

��X

p�

��k����j�q�k��������kp���kkrp

�Z�L��e�j�q��k�k�

����

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

� c ��k����j�q�k������kZ�W �

� �b�j�q��k�k �

� c ��k����j�q�k������ sup

�b j�q��k

jZ���j � c sup� j�q

��k

jz�x�j�

Zdes� byla ispol�zovana upomnuta teorema Soboleva na mno�estve b�j�q

��k s ediniqnymi razmerami� �

Pokaem� qto u obobwennogo rexeni u � W ������� zadaqi ����

moet otsutstvovat� svo�stvo poloitel�nosti ����� �

Predloenie ���� Pust� vypolneny uslovi� ����� i ����� � po slednee dl� nekotoro� toqki s� � �� Togda na�dets� neotrica tel�na� funkci� f � L����� pri kotoro� rexenie u � W �

������ zada qi ���� men�et znak vnutri oblasti ��

Dokazatel�stvo� Zafiksiruem indeksy l � i �� podqinennyetrebovanim ����� i ����� tak� qtoby pri malyh � � � i t� � �imelo mesto ravenstvo

��s� �

�� ��

��s�� ��� s � �� � �s� � t�� s� � t��� �����

Pri �tom

�� ��s� ���

��s��

�� ��

��s�� �� �

��s��

�� s � ��

�sm� ris� � i sr� s usloviem ����� � pri l � � Tako� vyborpokazatel � vozmoen potomu� qto

��

��s��

��

��

��s�pri ��s� �

��

��� ��

��

Teper� zafiksiruem indeks tak� qtoby v dopolnenie k trebo�vanim ����� i ����� � vypolnlos� sootnoxenie

� � �s� � �� �����

Uslovie ����� bolee ograniqitel�noe� qem uslovie ����� � Ne�trudno usmotret�� qto blagodar vyboru ����� pereseqenie in�tervalov ��� �� i ���s�� ��s� � �� nepusto� t�e� neravenstva ����� mono sobl�sti� Togda f � L���� � V �

� ��� i rexeni zadaqi���� v prostranstvah W �

������ i V �� ��� � W �

� ���� ukazannye teo�remami ��� i ���� sovpada�t�

��� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

Vvedem mnoestva Gi fx � ��Udi�� � js�s�j � t�i�g� i �� �� i

sreza�wu� funkci� � � C����� ravnu� edinice na G� i nul�vne G�� Proizvedenie u

� ��u udovletvoret zadaqe ����� spravymi qastmi

f� �f � ��x� ��u � V �

� ����

g�� �x� ��u � V ���� ���� g�� �� �����

Vkl�qeni v prostranstvo s vesovym indeksom � verny potomu�qto� vo�pervyh� ��s� � � pri s � �� soglasno ravenstvu ����� �t�e� f � L��G�� � V �

� �G��� i� vo�vtoryh� kommutatory ��x� �� i

�x� �� � differencial�nye operatory tret�ego i pervogo po�rdka sootvetstvenno s gladkimi ko�fficientami� a znaqit� vsilu formuly ����� �

��x� ��u � V �

� ��� � V �� ���� �x� ��u � V �

� ��� � V �� ����

Vypolneny uslovi teoremy ��� i� sledovatel�no� dl funkciiu� spravedlivo predstavlenie ����� s ko�fficientami inten�sivnosti K�

i � H�i������� i �� �� i ostatkom eu� � V �� ��� � V �

�������Blagodar lemme ��� i sootnoxeni� ����� imeem

jeu ��x�j � cr����s�������� keu ��V �������k � cr� ������s�n� �����

gde n � summa norm funkci� ����� � ne prevoshodwa ckf �L����k�Formuly ����� i ����� pokazyva�t� qto

� � ���s� �� ��s� � ��

��s� �� �

��

� � ���s� ��� �

��

��s�� �

��

��

Umen�xiv pri neobhodimosti veliqinu t� � �� sqitaem� qto

�� � ���s� � �� � �� s � ��� �����

Sledovatel�no�

K�� � H� ������� � C��� ����

K�� � H�������� � H�������� � Lq����

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

q

��

�� ��

���� �� ���� �����

Mono dopustit�� qto v opredelenii ����� operatora pro�doleni C odna iz funkci� �i� v seme�stve f�ig ravna edinicena duge ��� pri �tom

C�K��� r� s� �i�� �r� s�

ZR

X�t�K���s � rt� dt�

Ispol�zu vkl�qeni ����� i formuly ����� � ����� � ����� i����� � nahodim pri uqete kompaktnosti nositele� ko�fficien�tov intensivnosti� qtoC�K�

� � r� s�U�����y� s�

�� cr������s�kX�Lq��q����R�k

�ZR

K�� �s� rt�q dt

�A���q

� c r������s�r��qkK�� �Lq�R�k � cr������s�r������n � cr ������s�n��K�

� � r� s�U�����y� s� �K�

� �s�U�����y� s�

�� cr�����s�

ZR

X�t��K�� �s � rt� �K�

� �s��dt

�� c r�����s� r�

ZR

jX�t�j�t�� dt suphR

h�� K�

� �s � h� �K�� �s�

�� cr� ������s� kK�

� �C��� �R�k � c r� ������s�n� �����

Itak� blagodar sootnoxenim ����� i ����� razloenie����� dl funkcii u� ��u i na mnoestve G� prinimaet vid

u��x� K�� �s�r

�����s� sin��

��s���� ���s�� �O�r ������s�n�� �����

Sinus v pravo� qasti ����� imeet raznye znaki pri ��� ����s�� � �� Takim obrazom� ostalos� ubedit�s v tom� qto nepri l�bo� neotricatel�no� funkcii f � L���� n f�g ko�ffici�ent intensivnosti K�

� �s� ���x�K��s� raven nul� na duge ���

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

Pust� H � C�c �s� � t��� s� � t���� Po analogii s formulo�

����� rexenie odnorodno� zadaqi ���� iwem v vide

�bi�H�x� ��r�H�s�U�����y� s� � b�bi�H�x�� �����

gde b�bi�H� �� � V l��� ��� � rexenie zadaqi ����� s pravymi qastmi

f ��x�HU����� g� �x�HU����� g� ��HU����� �����

Poskol�ku U���� � rexenie model�no� zadaqi ����� � te e ras�sudeni� qto i v naqale p� � x�� privodt k vkl�qeni� ����� pri vesovom indekse � udovletvor�wem neravenstvu

�s� � l � ����s�� s � ��� �����

Otmetim� qto funkci �HU���� prinadleit prostranstvu

V l��� ��� pri bolee sil�nom uslovii �s�� l�� � ����s�� Soglas�

no neravenstvam ��� � ��s� � ��� s � ��� ograniqenie ����� naduge �� prevrawaets v takoe�

�� ����s� � �s� � l � �� ����s��

Sledovatel�no� pri l�bom l � N� na�dets funkci � C�����podqinenna oboim trebovanim ����� i ����� � Teper� teorema

��� dostavlet rexenie b�bi�H� �� � V l��� ��� zadaqi ����� s pra�

vymi qastmi ����� � Odnovremenno �bi�H� �� stanovits netri�vial�nym rexeniem odnorodno� zadaqi ����� ili ���� � Rezul��taty ���� �sm� take ��� x���� � obespeqiva�t analogiqnu� ����� formulu dl ko�fficienta intensivnosti K� K�

� v razloe�nii ����� rexeni u zadaqi ���� na mnoestve G�Z

f�x��bi�H�x� dx ��

Z

��� ��

��s�

�K��s�H�s� ds� �����

Obrawaem vnimanie na to� qto formula ����� neskol�ko ot�liqaets ot formuly ����� � obsluiva�we� zadaqu Dirihledl operatora Laplasa� Delo v tom� qto opisanna procedu�ra postroeni �bi�H� �� dopuskaet singulrnost� H�s�U�����y� s�lix� na teh uqastkah rebra �� gde ��s� � ����� ���� � pri pro�izvol�nom rastvore ugla konstrukci vesovo� funkcii zametnouslonets �sm� ���� ��� i ��� x���� � �to obstotel�stvo vpol�ne soglasuets s tem faktom� qto asimptotiqeskie razloeni����� i ����� poluqeny lix� na mnoestve G��

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

Singulrna qast� �HU����� a znaqit� i sama vesova funkci����� menet znak vnutri oblasti �� Takim obrazom� pri fik�sirovanno� netrivial�no� plotnosti H � C�

c �s� � t��� s�� t���integralu po oblasti � v formule ����� mono pridat� l�bo�znak putem podbora pravo� qasti f � L���� n f�g zadaqi ���� �Sootvetstvu�wi� ko�fficient intensivnosti K� ne moet vy�rodat�s vs�du na duge ��� �

� Telo s trewino� i drugie geometriqeskie formy

�� Rebro s rastvorom ugla ��� Sluqa� ��s� �� �rebro vlet�s frontom trewiny byl v x� iskl�qen iz rassmotreni uslo�viem ����� � Ograniqenie vvedeno po suwestvu� tak kak opera�tor zadaqi ����� v prostranstvah Kondrat�eva teret fredgol��movost� �sm� zameqanie ��� � Kosvenna priqina neprigodnostixkaly prostranstv V l

����� � povlenie dvuh tipov ����� i ����� stepenno�logarifmiqeskih rexeni�� nerazdelimyh v �to� xka�le� i shlopyvanie intervala I���� �sm� zameqanie ��� i formulu����� v nem� a take ris� � � Analogiqna problema voznikaetv proste�xe� zadaqe Ne�mana dl uravneni Puassona v obla�sti � � R

� s gladkim odnomernym rebrom l�bogo rastvora� umodel�no� zadaqi Ne�mana �zamenili kraevoe uslovie v ����� est� rexeni U��y� � i U����y� log r� a funkcii x �� ��r�H��s�

i x �� ��r�H����s� log r prinadleat prostranstvu V l��� ��� ili

vyhodt iz nego odnovremenno � sootvetstvenno pri �s� � � i �s� � ��V stat�h ���� ��� byla predloena i ispol�zovana xkala tak

nazyvaemyh stupenqatyh vesovyh klassov V l�h� ���� norma v koto�

ryh pri l� h � N�� h � l i � C���� imeet vid

kU �V l�h� ���k

�lX

k�

k���l�k���h�k�rkxU �L����k�

����

� ����

gde � � funkci Hevisa�da� ��t� � pri t � � i ��t� � pri t � ��a ostal�nye oboznaqeni � te e� qto i v formule ���� � V tako�xkale stepenno�logarifmiqeskie rexeni ����� i ����� razde�limy� dl plotnosti H � C���� funkci x �� ��r�H�s�U�����y� s�prinadleit prostranstvu V l����

� ��� pri l � N� i �s��l � ���� ���a funkci x �� ��r�H�s�U������y� s� ne prinadleit� tak kak perva

��� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

iz nih gladka� a proizvodnye pordka k � � vtoro� oblada�tosobennostmi O�r��k��Operator

N l���

�x� �n

�n

�� V l����

� ���� V l��� ��� � V

l����� ����

upominavxe�s zadaqi Ne�mana dl uravneni Puassona okazy�vaets fredgol�movym s nulevym indeksom pri l � N i �s� � l ������ ��� Zadaqe ���� postavim v sootvetstvie otobraenie

Bl��� � V l��������� ���� V l��

� ���� ����

gde V l��������� ��� � podprostranstvo fu � V l����

� ��� � u �� xu � na

�� n �g�Predloenie ���� Pust� ��s� �� pri s � � i l � N�� Operator���� zadaqi ���� �vl�ets� izomorfizmom v tom i tol�ko tomsluqae� esli �s� � l � ����� ��� s � �� Pri naruxenii vkl�qeni�hot� by v odno� toqke rebra operator ter�et fredgol�movost��

Dokazatel�stvo pervogo utverdeni provodits po to� e she�me� qto i v ���� �sm� take ��� x���� � Esli neravenstva � l � �ili � l � ��� vypolneny na nepusto� otkryto� duge� to opera�tor ���� priobretaet beskoneqnomernoe dro ili kodro soot�vetstvenno �sm� ��� ��� � Esli e �s��� l � ili �s��� l ���v odno� iz toqek rebra� to otsutstvie fredgol�movosti prove�rets tak e� kak v zameqanii ���� �

�� Asimptotika rexeni vblizi rebra trewiny� V �tom raz�dele l � i � ���� ��� Esli f � L���� � V �

� ���� to soglasno

predloeni� ��� suwestvuet edinstvennoe rexenie u � V ���������

i verna ocenka

ku�V ���������k � ckf �V �

� ���k� ����

V silu neravenstva � � i opredeleni normy ���� prostran�stvo V �

�������� soderits v W�������� t�e� u � obobwennoe rexe�

nie zadaqi ���� � a sootnoxenie ���� obespeqivaet ocenku ���� �Pri pomowi asimptotiqesko� formuly� privedenno� v oqered�nom utverdenii i soderawe� slagaemoe C�K��U

����� kotoroemenet znak vnutri oblasti �� rasprostranem predloenie ���na sluqa� oblasti s trewino��

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

Predloenie ���� Pust� ��s� �� pri s � �� l �� � ���� ���

� � ��� ��� i f � V �� ���� Togda rexenie u � V ���

�������� zadaqi ���� �na�dennoe soglasno predlo�eni� ���� dopuskaet asimptotiqeskoerazlo�enie

u�x� C�K�� r� s�U�����y� s� � C�K�� r� s�U

�����y� s��

�C�K�� r� s�U�����y� s� � eu�x�� ����

gde K� � H������� K��K� � H��������� i eu � V �� ���� priqem normy

�tih funkci� ne prevoshod�t veliqiny ckf �V �� ���k�

Dokazatel�stvo� Soglasno lemme ����� ��� funkci u � V �����������

predstavima v vide

u�x� C�K�� r� s�U�����y� s� � bu�x�� ����

gde bu � V �� ��� i K� � H������� Povtor s neznaqitel�nymi iz�

menenimi proceduru ���� ��� ��� ��� �sm� take ��� gl� �� vy�voda asimptotiki rexeni �lliptiqeskih kraevyh zadaq vblizigladkih reber� vkl�qa�wu� lokal�noe sprmlenie rebra � ipoverhnoste� ���� a take vydelenie glavnyh qaste� differen�cial�nyh operatorov� poluqaem razloenie ���� i� v qastnosti�v predstavlenii ���� uluqxaem differencial�nye svo�stva ko��fficienta K� i uveliqivaem skorost� zatuhani asimptotiqe�skogo ostatka� �

Proverka suwestvovani neotricatel�no� pravo� qasti f �L����� pri kotoro� rexenie u menet znak vnutri � v celomsleduet sheme iz p� � x�� Imeets lix� odno otliqie� ve�sova funkci �bi�H� ��� vhodwa v integral�noe predstavle�nie ����� ko�fficienta intensivnosti K�� porodena stepenno�logarifmiqeskim rexeniem ����� � Prisutstvie mnoitel log rsuwestvenno zagromodaet postroenie vesovo� funkcii� kotoroezdes� ne privodits � ego mono na�ti v stat�e ���� �sm� take��� x���� dl bolee obwe� situacii��� Sluqai ��s�� �� i ��s�� �� Esli rebro stanovits tre�wino� v odno� toqke ili na duge� no ��s� � �� na ostal�no�qasti kontura �� to operator zadaqi ����� ne moet byt� fred�gol�movym ni v odno� iz ispol�zovannyh xkal vesovyh pro�

stranstv V l��� ��� ili V l����

� ���� Klassy Kondrat�eva ne godtsvvidu zameqani ���� a stupenqatye vesovye klassy � potomu�

��� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

qto pri ograniqenii � l � ����� �� �predloenie ��� proizve�denie �HU���� ne popadaet v prostranstvo V l����

� ���� esli tol�ko

��s� � ��� Analogiqna problema voznikaet� esli svo�stvo vy�puklosti oblasti � izmenets vdol� rebra� model�na zadaqa����� v poluploskosti K��� R�

� imeet te e rexeni ����� i ����� �

Toqku s� � �� v kotoro� ��s�� �� ili ��s�� �� mono inter�pretirovat� kak verxinu mnogogrannogo ugla �sr� s ���� i takes ��� gl� �� � Odnako polno� teorii takih osobennoste� granicynet� a izvestnye qastnye rezul�taty ne ohvatyva�t rassmatri�vaemu� problemu�

Pri ograniqenii ���� � ne iskl�qa�wem ravenstvo ��s�� ���ili v sluqah ��s�� �� ����s� � �� � � formal�noe razloe�nie rexeni u � W �

������ zadaqi ���� ne otliqaets po vidu otprivedennyh v teoreme ��� i predloenii ��� � stepennye rexe�ni ����� � kotorye trebuets vkl�qit� v asimptotiku� gladkozavist ot parametra s� Esli e svo�stvo vypuklosti oblasti� izmenets v toqke s�� to soglasno rezul�tatam p� � i p� � x�vblizi �vypuklo�� i �nevypuklo�� qaste� rebra � asimptotiqe�skoe razloenie dolno soderat� slagaemyeK���s�U

�����y� s� iK���s�U

�����y� s� sootvetstvenno� Uglovye qasti �tih stepennyhrexeni� soprga�ts gladko� no radial�nye r����s� i r������s� �lix� nepreryvno� Sledovatel�no� struktura asimptotiqeskogorazloeni obobwennogo rexeni zadaqi ���� �esli ono suwe�stvuet dolna preterpevat� suwestvennye izmeneni po srav�neni� s razloenimi ����� ili ���� � Avtory ne zna�t kakih�libo rezul�tatov o podobnyh� negladkih� asimptotiqeskih raz�loeni� vblizi gladkogo rebra� Otmetim� qto publikacii ����i ���� ime�t delo s potere� gladkosti inogo sorta�

Literatura

�� O� A� Ladyenska�� Kraevye zadaqi matematiqesko� fiziki� � Nauka�M� ����� �

�� S� G� Mihlin� Variacionnye metody v matematiqesko� fizike� � Na�uka� M� ����� �

�� M� X� Birman� Variacionnye metody rexeni� kraevyh zadaq� analo�

giqnye metodu Treftca� � Vestnik LGU� Seri� matem�� meh� i astr�No� ��� vyp� � ����� � ������

�� O� M� Sapond�n� Izgib tonkih uprugih plit� � A�astan� Erevan����� �

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ���

�� V� G� Maz�� S� A� Nazarov� B� A� Plamenevski�� Ob izgibe blizko�

k mnogougol�no� plastiny so svobodno opertym kraem� � Izvesti�VUZ�ov� Matem� No� � ����� � ������

�� S� A� Nazarov� B� A� Plamenevski�� �lliptiqeskie zadaqi v oblast�h

s kusoqno gladko� granice�� � Nauka� M� ����� �

�� W� G� Mazja� S� S� Nazarov� B� A Plamenewski� Asymptotische Theorie elliptis�cher Randwertaufgaben in singul�ar gest�orten Gebieten� �� � Akademie�Verlag�Berlin �������

�� M� X� Birman� G� E� Skvorcov� O kvadratiqno� summiruemosti star�

xih proizvodnyh rexeni� zadaqi Dirihle v oblasti s kusoqno gladko�

granice�� � Izvesti� VUZ�ov� Matem� No� � ����� � ������

�� V� G� Maz�� B� A� Plamenevski�� Ob �lliptiqnosti kraevyh zadaq v

oblast�h s kusoqno gladko� granice�� � Tr� simpoziuma po meh� splox�nyh sred i rodstvennym probl� analiza� T� �� Mecniereba� Tbilisi����� � ��������

��� V� A� Kondratev� O gladkosti rexeni� zadaqi Dirihle dl� �lliptiqe�

skogo uravneni� vtorogo por�dka v okrestnosti rebra� � Differenci�alnye uravneni� �� No� � ����� � ����������

��� S� A� Nazarov� B� A� Plamenevski�� Samosopr�ennye zadaqi s uslo�

vi�mi izluqeni� na rebrah granicy� � Algebra i analiz �� No� � ����� ���������

��� S� A� Nazarov� B� A� Plamenevski�� Obobwenna� formula Grina dl� �l�

liptiqeskih zadaq v oblast�h s rebrami� � Problemy matem� analiza��� izd�vo SPbGU� SPb ����� � ��������

��� S� A� Nazarov� B� A� Plamenevski�� �lliptiqeskie zadaqi s uslovi�mi

izluqeni� na rebrah granicy� � Matem� sbornik ���� No� � ����� � ������

��� S� A� Nazarov� Ocenki vblizi rebra rexeni� zadaqi Ne�mana dl� �lli�

ptiqesko� sistemy� � Vestnik LGU No� �� vyp� � ����� � ������

��� S� A� Nazarov� B� A� Plamenevski�� Zadaqa Ne�mana dl� samosopr��

ennyh �lliptiqeskih sistem v oblasti s kusoqno gladko� granice�� �Trudy leningradskogo matem� obwestva � ����� � ��������

��� T� Boggio� Sull�equilibrio delle piastre elastiche incastrate� � Rend� Acc� Lincei�� ��� ��� ���� ��

��� T� Boggio� Sulle funzioni di Green d�ordine m� � Rend� Circ� Mat� Palermo ����� ��� ������

��� J� Hadamard� Sur certains cas int�eressants du probl�eme biharmonique� � AttiIV�e Congr� Intern� Mat� Rome ��� ��� pp� ������

��� J Hadamard�M�emoire sur le probl�eme d�analyse relatif �a l���equilibre des plaques

�elastiques incastr�ees� � M�emoires pr�esent�es par divers savants a l�Acad�emie desSciences �� ��� ��� ������

��� R� J� Du�n� On a question of Hadamard concerning super�biharmonic functions�� J� Math� Phys� �� ������� ��������

��� P� R� Garabedian� A partial dierential equation arising in conformal mapping�� Paci�c J� Math� � ������� ��������

��� Ch� Loewner� On generation of solutions of the biharmonic equation in the plane

by conformal mappings� � Paci�c J� Math� � ������� ������

�� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

��� G� Szeg�o� Remarks on the preceeding paper of Charles Loewner� � Paci�c J�Math� � ������� ������

��� S� Osher� On Green�s function for the biharmonic equation in a right angle wedge�� J� Math� Anal� Appl� �� ������ ����

��� C� V� Co�man� R� J� Du�n� On the structure of biharmonic functions satisfying

the clamped plate conditions on a right angle� � Adv� Appl� Math� � ���� ���������

��� C� V� Co�man� On the structure of solutions to ��u � �u which satisfy the

clamped plate condition on a right angle� � SIAM J� Math� Anal� �� �����������

��� V� V� Kozlov� V� A� Kondratev� V� G� Maz�� O smene znaka i otsut�

stvii sil�nyh� nule� rexeni� �lliptiqeskih uravneni�� � Izvesti�AN SSSR� Ser� matem� �� ����� � ��������

��� H� S� Shapiro� M� Tegmark� An elementary proof that the biharmonic Green

function of an eccentric ellipse changes sign� � SIAM Rev� �� ������� ���� ��

��� G� Sweers�When is the rst eigenfunction for the clamped plate equation of xed

sign� � Electron� J� Di�� Eqns� �Conf� � � �� �� ��� pp� �������

��� H��Ch� Grunau�G� Sweers� Positivity for perturbations of polyharmonic operatorswith Dirichlet boundary conditions in two dimensions� � Math� Nachr� ��������� ���� ��

��� H��Ch� Grunau� G� Sweers� Positivity for equations involving polyharmonic el�

liptic operators with Dirichlet boundary conditions� � Math� Ann� ��� ������������

��� A� Dall�Acqua� G� Sweers� The clamped plate equation for the Lima�con� � An�nali di Matematica �� �� ��� ������

��� S� A� Nazarov� Ob asimptotike po parametru rexeni� �lliptiqesko�

kraevo� zadaqi s periodiqeskimi ko�fficientami v cilindre� � Dif�ferencialnye uravneni� i ih primeneni�� Vyp� ��� Viln�s� izd�voAN LitSSR ����� � ������

��� H� Tribel� Teori� interpol�cii� funkcional�nye prostranstva� dif�

ferencmal�nye operatory� � Mir� M� ����� �

��� V� A� Kozlov� V� G� Maz�ya� J� Rossmann� Elliptic boundary value problems in

domains with point singularities� � Providence� Amer� Math� Soc� ������

��� V� A� Kondratev� Osobennosti rexeni� zadaqi Dirihle dl� �lliptiqe�

skogo uravneni� vtorogo por�dka v okrestnosti rebra� � Differenci�alnye uravneni� ��� No� �� ����� � ����������

��� V� A� Nikixkin� Osobennosti rexeni� zadaqi Dirihle dl� �lliptiqe�

skogo uravneni� vtorogo por�dka v okrestnosti rebra� � Vestnik Mo�skovskogo universiteta No� � ����� � ������

��� V� G� Maz�ya� J� Rossmann� �Uber die Asymptotik der L�osungen elliptischer

Randwertaufgaben in der Umgebung von Kanten� � Math� Nachr� �� ������������

��� A� D� Aleksandrov� N� �� Necvetaev� Geometri�� Nauka� M� ����� �

��� S� A� Nazarov Vyvod variacionnogo neravenstva dl� formy malogo pri�

raweni� trewiny otryva� � Mehanika tverdogo tela � ����� � ��������

KRAEVYE ZADAQI DL� BIGARMONIQESKOGO URAVNENI� ��

��� V� G� Maz�� B� A� Plamenevski�� O ko�fficientah v asimptotike re�

xeni� �lliptiqeskih kraevyh zadaq v oblasti s koniqeskimi toqkami�� Math� Nachr� �� ����� ��� �

��� V� G� Maz�� B� A� Plamenevski�� O ko�fficientah v asimptotike re�

xeni� �lliptiqeskih kraevyh zadaq vblizi rebra� � Dokl� AN SSSR �

����� � ������

��� V� G�Maz�ya� J Rossmann� �Uber die L�osbarkeit und die Asymptotik der L�osungenelliptischer Randwertaufgaben in Gebieten mit Kanten� � Preprint ����� Karl�Weierstrass�Inst� Math� Berlin ������� ��p�

��� M� Costabel� M� Dauge� Stable asymptotics for elliptic systems on plane domains

with corners� � Commun� in Partial Di�� Equations �� ������� �����

��� V� G� Maz�ya� J� Rossmann� Stable asymptotics of solutions to the Dirichlet

problem for elliptic equations of second order in domains with angular points or

edges� � Operator Theory� Advances and Applications � ������� ��������

��� V� G� Maz�� B� A� Plamenevski�� �lliptiqeskie kraevye zadaqi na mno�goobrazi�h s osobennost�mi� � Problemy matem� analiza� Vyp� �� izd�vo LGU� Leningrad ����� � �������

Nazarov S� A�� Sweers G� H� Boundary value problems for the bi�harmonic equation and for the iterated Laplacian in a three�dimensionaldomain with an edge�

For domains � with piecewise smooth boundaries the generalized so�lution u �W �

� ��� of the equation �xu f with the boundary conditions

u xu � in general cannot be obtained by solving iteratively a sys�tem of two Poisson equations under homogeneous Dirichlet conditions�Such a system is obtained by setting v �u� In the two�dimensionalcase this fact is known as the Sapongyan paradox in the theory of simplysupported polygonal plates� In the present paper the three�dimensionalproblem is investigated for a domain with a smooth edge �� If the vari�able opening angle � � C���� is less than � everywhere on the edge�the boundary value problem for the bi�harmonic equation is equivalentto the iterated Dirichlet problem and its solution u inherits the positivitypreserving property from these problems� In the case that � � ��� ���the procedure of solving the two Dirichlet problems must be modi�ed bypermitting an in�nite�dimensional kernel and co�kernel of operators anddetermining the solution u �W �

� ��� through inverting a certain integraloperator on the contour �� If ��s� � ����� ��� for a point s � � thenthere exists a non�negative function f � L���� for which the solution uchanges sign inside the domain �� In the case of the crack� that is �� ��everywhere on ��� one needs to introduce a special scale of weighted func�tion spaces� Also there the positivity preserving property fails� In somegeometrical situations the questions of a correct setting for the boundary

��� S� A� NAZAROV� G� H� SVIRS

value problem of the bi�harmonic equation and the positivity propertyremain open�

Postupilo �� �nvar� ���� g�IPMax RAN

E�mail� serna�snark�ipme�ru

Delft Institute of AppliedMathematics EWI� DelftUniversity of Technology The Netherlands

E�mail� g�h�sweers�ewi�tudelft�nl