ZAKLADY GEOMETRIE´ - mdg.vsb.czmdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/ZakladyGeometrie/... · Z´aklady...

ZAKLADY GEOMETRIE

Jir Dolezal

Zaklady geometrie Obsah

Obsah

Obsah 3

Uvod 4

1 Planimetrie 51. Konstrukcn planimetricke ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Apolloniovy a Pappovy ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Mnoziny vsech bodu dane vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1. Zakladn mnoziny vsech bodu dane vlastnosti v rovine . . . . . . . . . . . . . 73.2. Apolloniova uloha BBB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Apolloniova uloha ppp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4. Tecny z bodu ke kruznici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5. Pappova uloha BBp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6. Pappova uloha Bkp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7. Varianta Apolloniovy ulohy ppk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Mocnost bodu ke kruznici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1. Definice a zakladn vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Chordala a potencn stred . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Apolloniova uloha BBp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4. Apolloniova uloha BBk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. Geometricka zobrazen v rovine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1. Shodna zobrazen (shodnosti) v rovine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.1. Posunut (translace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Varianta Apolloniovy ulohy Bpp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.2. Otocen (rotace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Konstrukce rovnostranneho trojuhelnka z danych prvku . . . . . . . . 55

5.1.3. Stredova soumernost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Konstrukce usecky z danych prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.4. Osova soumernost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Konstrukce bodu dane vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2. Podobna zobrazen (podobnosti) v rovine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.1. Stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Spolecne tecny dvou kruznic s ruznymi polomery . . . . . . . . . . . . 67Ctverec vepsany do ostrouhleho trojuhelnka . . . . . . . . . . . . . . . 71Varianta Apolloniovy ulohy Bpp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Pappova uloha Bpk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Varianta Apolloniovy ulohy ppk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Zpracoval Jir Dolezal 2

Zaklady geometrie Obsah

2 Stereometrie 961. Uzite pojmy a metody zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962. Rovinne rezy hranatych teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.1. Prostorova osova afinita mezi dvema rovinami . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.1.1. Rez krychle rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.1.2. Rez kolmeho ctyrbokeho hranolu rovinou . . . . . . . . . . . . . . . 1032.1.3. Rez kolmeho petibokeho hranolu rovinou . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.2. Prostorova stredova kolineace mezi dvema rovinami . . . . . . . . . . . . . . 1122.2.1. Rez pravidelneho ctyrbokeho jehlanu rovinou . . . . . . . . . . . . . 1122.2.2. Rez petibokeho jehlanu rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3. Prunik prmky s telesem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.1. Prunik prmky s hranolem, valcem, jehlanem a kuzelem . . . . . . . . . . . . 121

3.1.1. Prunik prmky s kolmym ctyrbokym hranolem . . . . . . . . . . . . 1213.1.2. Prunik prmky s rotacnm valcem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.1.3. Prunik prmky s pravidelnym ctyrbokym jehlanem . . . . . . . . . . 1253.1.4. Prunik prmky s rotacnm kuzelem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

A Pracovn listy 131

Literatura 159

Rejstrk 160


Zaklady geometrie Uvod

Uvod

predkladany studijn material je spse sbrkou komfortne resenych uloh nez souvislymucebnm textem

jednotlive ulohy jsou pritom reseny metodou krok po kroku, tj. od zadan az po resenje vyrysovana serie nekolika obrazku opatrenych vysvetlujcm komentarem

ucebn latka je rozdelena do dvou kapitol: Planimetrie a Stereometrie; v kazde z nich jestrucne a heslovite pripojena potrebna teorie

v kapitole Planimetrie jsou reseny predevsm konstrukcn ulohy, v nichz se uzvajmnoziny vsech bodu dane vlastnosti, mocnost bodu ke kruznici a geometricka zobrazen

v rovine

v kapitole Stereometrie je ukazano resen rovinnych rezu na hranatych telesech a kon-strukce pruniku prmky s danym telesem

pro pohodl ctenarovo je pripojen dodatek s nazvem Pracovn listy, v nemz jsou sebranazadan vsech 26 uloh vyresenych v predchoz casti

na zaver je uveden prehled uzite literatury a rejstrk vyznamnych pojmu

na webovych strankach http://www.studopory.vsb.cz/ lze najt odkaz na interak-tivn verzi techto materialu, jejichz soucast je i 9 virtualnch 3D modelu k uvedenym

stereometrickym uloham. . .


http://www.studopory.vsb.cz/

Zaklady geometrie Kapitola 1. Planimetrie

Planimetrie

Tematicky obsah

Mnoziny vsech bodu dane vlastnosti

Zakladn mnoziny vsech bodu dane vlastnosti, Resene ulohy

Mocnost bodu ke kruznici

Definice a zakladn vlastnosti, Chordala a potencn stred, Resene ulohy

Geometricka zobrazen

Posunut, Otocen, Stredova soumernost, Osova soumernost, Stejnolehlost

1. Konstrukcn planimetricke ulohy

Vyklad

v ramci tohoto studijnho materialu byly zpracovany zejmena resene konstrukcnulohy

v techto ulohach jde predevsm o to sestrojit (zkonstruovat) predepsany geometrickyutvar, ktery bude mt pozadovane vlastnosti

pritom jsou uzvany vyhradne tzv. eukleidovske konstrukce pomoc pravtka a kru-ztka

casti postupu resen konstrukcn ulohy:

1. Rozbor: predpokladame, ze uloha je vyresena, nacrtneme ilustracn obrazek a

snazme se najt vztahy mezi danymi a hledanymi utvary

2. Konstrukce: na zaklade rozboru sestavme postup konstrukce a podle nej pro-

vedeme konstrukci graficky (v predkladanem studijnm materialu je provadena

prmo graficka konstrukce krok po kroku opatrena vysvetlujcm komentarem)

3. Zkouska: kontrola spravnosti konstrukce

4. Diskuze: v teto casti se stanovuj podmnky resitelnosti ulohy a pocet resen

podle vzajemne polohy zadanych prvku; pritom postupujeme tak, ze prochazme

jednotlive kroky konstrukcnho postupu a zkoumame pocet moznych resen techto

jednotlivych kroku (u nekterych uloh je diskuze prenechana ctenari jako cvicen)


Zaklady geometrie 2. Apolloniovy a Pappovy ulohy

2. Apolloniovy a Pappovy ulohy

Vyklad

vets cast zde resenych uloh patr mezi tzv. Apolloniovy a Pappovy ulohy

zadan tzv. obecne Apolloniovy ulohy: sestrojte kruznici, ktera se dotyka tr danychkruznic

pripustme-li v obecne Apolloniove uloze dotyk hledane kruznice take s prmkami pr-padne prochazen body, dostaneme serii desti tzv. Apolloniovych uloh: BBB, BBp,

BBk, Bpp, Bpk, Bkk, ppp, ppk, pkk, kkk (B bod, p prmka, k kruznice)

v ramci techto studijnch materialu byly vyreseny nasledujc Apolloniovy ulohy: BBB(viz strana 11), BBp (strana 40), BBk (strana 44), Bpp - varianta rovnobezky (stra-

na 51), Bpp - varianta ruznobezky (strana 75), ppp (strana 13), ppk - varianta rov-

nobezky (strana 33), ppk - varianta ruznobezky (strana 84)

specialnm prpadem Apolloniovych uloh jsou ulohy Pappovy: dvema ze tr danychutvaru jsou vzdy prmka nebo kruznice s danym bodem dotyku

takto lze zskat serii sesti Pappovych uloh: BBp, BBk, Bpp, Bkk, Bpk, Bkp

v ramci techto studijnch materialu byly vyreseny nasledujc Pappovy ulohy: BBp(strana 26), Bpk (strana 80), Bkp (strana 28)

komplexne zpracovane resen vsech Apolloniovych a Pappovych uloh je podano napr.v diplomove praci Evy Patakove

(viz http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/uvod/uvod.html)


http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/uvod/uvod.html

Zaklady geometrie 3. Mnoziny vsech bodu dane vlastnosti

3. Mnoziny vsech bodu dane vlastnosti

3.1. Zakladn mnoziny vsech bodu dane vlastnosti v rovine

Vyklad

mnozinou M vsech bodu dane vlastnosti V rozumme takovy geometricky utvarG, jehoz body splnuj nasledujc dve podmnky:

1. kazdy bod utvaru G ma danou vlastnost V

2. kazdy bod, ktery ma danou vlastnost V , je bodem utvaru G

Prehled nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti v rovine

M1

mnozina vsech bodu, ktere maj od daneho bodu S danou vzdalenost r, je kruznicek(S, r)

S

r

k

tato kruznice je take mnozinou vsech stredu kruznic, jez maj dany polomer r a procha-zej danym bodem S

S

r

k



M2

mnozina vsech bodu, ktere maj stejnou vzdalenost od dvou danych navzajem ruznychbodu A, B, je osa usecky AB, ktera je kolma k usecce AB a prochaz jejm stredem S

A

B

S

o

tato osa usecky je take mnozinou vsech stredu kruznic, jez prochazej danymi body A, B

A

B

S

o

M3

mnozina vsech bodu, ktere maj stejnou vzdalenost od dvou danych navzajem ruznychrovnobezek p, q (p 6= q, p q), je osa pasu jimi omezeneho

p

q

o

tato osa pasu je take mnozinou vsech stredu kruznic, jez se dotykaj danych rovnobezekp, q

p

q

o



M4

mnozina vsech bodu, ktere maj stejnou vzdalenost od dvou danych ruznobezek p, q,jsou navzajem kolme osy o1, o2 (o1 o2) uhlu sevrenych prmkami p, q

p

q

Vo1

o2

tyto osy uhlu jsou take vyjma jejich prusecku V =o1o2 mnozinou vsech stredu kruznic,jez se dotykaj danych ruznobezek p, q

p

q

Vo1

o2

M5

mnozina vsech bodu, z nichz je danou usecku AB videt pod pravym uhlem, je kruznicesestrojena nad prumerem AB (tzv. Thaletova kruznice nad danym prumerem) vyjma

bodu A, B

tato Thaletova kruznice je jinak take mnozinou vsech vrcholu pravych uhlu, jejichzramena prochazej danymi dvema ruznymi body A, B

A

B

S

k



M6

mnozina vsech stredu kruznic, ktere se dotykaj dane prmky p v jejm danem bode T ,je prmka n jdouc danym bodem T kolmo k dane prmce p (normala prmky p v bode

T ; T n, n p) vyjma bodu T

T

p

n

T

p

n

M7

mnozina vsech stredu kruznic, ktere se dotykaj dane kruznice k(S, r=|ST |) v jejmdanem bode T , je prmka n=ST (normala kruznice k v bode T ) vyjma bodu S, T

T

kn

S

T

kn

S

M8

mnozina vsech stredu kruznic, ktere se dotykaj dane kruznice k(S, r) a maj danypolomer r, jsou soustredne kruznice k1(S, r + r

) (pro vnejs dotyk s k) a k2(S, |r r|)(pro vnitrn dotyk s k)

r+r

|rr|

k

S

k1

k2

pro r > r

k

S

k1

k2

pro r > r



r+r

|rr|

k

S

k1

k2

pro r < r

k

S

k1

k2

pro r < r

3.2. Apolloniova uloha BBB

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera prochaz tremi danymi navzajem ruznymi body A, B, C.

Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k o stredu S a libovolnempolomeru r, zvolme na n tri navzajem ruzne body A, B, C a nyn zkoumejme vztahy,

ktere zde plat . . .

A

B

C

S

k



zrejme pro body A, B, C, S plat |AS|=|BS|=|CS|=r (viz mnozinu M1 na strane 7v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

A

B

C

S

k

r

r

r

stred S kruznice k ma stejnou vzdalenost r od bodu A i od bodu B, a mus tedy lezet naose usecky AB (viz mnozinu M2 na strane 8 v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech

bodu dane vlastnosti); ze stejneho duvodu lez take na ose usecky AC a soucasne na

ose usecky BC; stac tedy sestrojit dve z techto tr os, najt jejich pruseck S, ktery je

nutne stredem hledane kruznice k (viz nasledujc konstrukce)

A

B

C

S

k

r

r

r

2

Konstrukce:

zadan ulohy: jsou dany tri navzajem ruzne body A, B, C

A

B

C



podle zaveru rozboru sestrojme napr. osy oa a oc usecek BC a AB: oa BC, Sa oa,kde Sa je stredem usecky BC, podobne oc AB, Sc oc, kde Sc je stredem usecky AB

A

B

C

Sc

oc

Sa

oa

bod S=oa oc je pak stredem hledane kruznice k(S, r=|SA|=|SB|=|SC|), ktera je tzv.kruznic opsanou trojuhelnku ABC

A

B

C

Sc

oc

Sa

oa

S

k

2

Diskuze:

Uloha ma vzdy prave jedno resen vyjma prpadu, kdy dane navzajem ruzne body A, B, C

lez v jedne prmce (jsou tzv. kolinearn), v tomto prpade resen neexistuje (osy usecek

AB, BC, AC jsou rovnobezne a nelze tedy sestrojit jejich pruseck).

3.3. Apolloniova uloha ppp

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera se dotyka tr danych navzajem ruznych prmek a, b, c.



Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k o stredu S a libovolnempolomeru r, zvolme tri jej navzajem ruzne tecny a, b, c a nyn zkoumejme vztahy, ktere

zde plat . . .

S

k

a

b

c

zrejme pro prmky a, b, c a bod S plat |aS|=|bS|=|cS|=r, tj. stred S kruznice k mastejnou vzdalenost r od prmek a, b, c

S

k

a

b

cr

r

r

Ta

Tb

Tc

podle vlastnost mnoziny M4 (viz strana 9) z prehledu nejuzvanejsch mnozin vsechbodu dane vlastnosti mus tedy bod S lezet na jedne z os uhlu prmkami a, b sevrenych;

ze stejneho duvodu lez take na jedne z os uhlu sevrenych prmkami a, c a soucasne

na jedne z os uhlu sevrenych prmkami b, c; tm je nalezen vztah mezi danymi (prmky

a, b, c) a hledanymi (kruznice k, predevsm jej stred S) prvky a je mozno pristoupit

k nasledujc konstrukci



S

k

a

b

cr

r

r

Ta

Tb

Tc

2

Konstrukce (dosti narocna na presnost rysovan):

zadan ulohy: jsou dany tri navzajem ruzne prmky a, b, c

a

b

c



podle zaveru rozboru sestrojme nejprve pruseck C=a b danych prmek a, b a jmvedme obe osy o14 a o23 (o14 o23) uhlu prmkami a, b sevrenych

a

b

c

C

o14

o23



totez provedme analogicky v bode B=a c: zde zskame osy o13 a o24 (o13 o24) uhlusevrenych prmkami a, c; a jeste naposled rozdelme osami o12 a o34 (o12 o34) uhlysevrene prmkami b, c (ty se protnaj v bode A=b c)

a

b

c

C

o14

o23

A

B

o12

o13

o34

o24



pri presnem rysovan mus vyjt, ze se vzdy tri ze sesti sestrojenych os protnaj v jednombode: zskame tak celkem ctyri prusecky S1=o12o13o14, S2=o12o23o24, S3=o13 o23 o34 a S4=o14 o24 o34; podle M4 pro kazdy takto sestrojeny bod Si, kdei=1, 2, 3, 4, plat, ze jeho vzdalenost od danych prmek a, b, c je stejna, a je to tedy stred

hledane kruznice; pro vets prehlednost sestrojme tyto kruznice postupne

a

b

c

C

o14

o23

A

B

o12

o13

o34

o24

S1

S2

S3

S4



bodem S1 vedme kolmice k danym tecnam a, b, c a v pruseccch najdeme prslusne bodydotyku; bod S1 lez ve vnitrn oblasti trojuhelnka ABC a kruznice k1(S1, r1=|aS1|=|bS1|==|cS1|) se tudz nazyva kruznic trojuhelnku ABC vepsanou

a

b

c

C

o14

o23

A

B

o12

o13

o34

o24

S1

S2

S3

S4

k1



podobne sestrojme kruznici k2(S2, r2=|aS2|=|bS2|=|cS2|) tzv. pripsanou ke strane atrojuhelnka ABC

a

b

c

C

o14

o23

A

B

o12

o13

o34

o24

S1

S2

S3

S4

k1

k2



analogicky pro kruznici k3(S3, r3=|aS3|=|bS3|=|cS3|) pripsanou ke strane b trojuhelnkaABC

a

b

c

C

o14

o23

A

B

o12

o13

o34

o24

S1

S2

S3

S4

k1

k2

k3



a konecne je doplnena i kruznice k4(S4, r4=|aS4|=|bS4|=|cS4|) pripsana ke strane ctrojuhelnka ABC

a

b

c

C

o14

o23

A

B

o12

o13

o34

o24

S1

S2

S3

S4

k1

k2

k3

k4

2

Diskuze:

V obecnem prpade ma uloha prave ctyri resen; jsou-li dve z prmek a, b, c rovnobezne a tret

je s nimi ruznobezna, ma tato uloha prave dve resen (pro rovnobezky se sestroj osa pasu

jimi urceneho - viz mnozina M3 na strane 8 v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu

dane vlastnosti); jsou-li vsechny tri dane prmky a, b, c rovnobezne, nema uloha zadne resen

(osy prslusnych pasu jsou take rovnobezne).



3.4. Tecny z bodu ke kruznici

Resene ulohy

Prklad: Danym bodem M vedte tecny k dane kruznici k(S, r).

Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k o stredu S a libovolnempolomeru r, zvolme dve jej nerovnobezne tecny t1, t2, ktere se protnaj v bode M , a

nyn zkoumejme vztahy, ktere zde plat . . .

k

SM

T1

t1

T2

t2

zrejme je ST1 t1 a ST2 t2, kde T1 resp. T2 je bod dotyku tecny t1 resp. tecny t2 akruznice k

k

SM

T1

t1

T2

t2



usecku SM je tedy z bodu T1 i z bodu T2 videt pod pravym uhlem a podle vlastnostmnoziny M5 (viz strana 9) z prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti

lez body T1, T2 na Thaletove kruznici l(O,12|SM |) sestrojene nad prumerem SM

k

SM

T1

t1

T2

t2

O

l

2

Konstrukce:

zadan ulohy: je dana kruznice k(S, r) a bod M

k

S

M



podle zaveru rozboru sestrojme Thaletovu kruznici l(O, 12|SM |) nad prumerem SM ,

kde bod O je tedy stredem usecky SM

k

S

MO

l

nyn stac najt prusecky T1, T2 dane kruznice k a sestrojene kruznice l a vest jimihledane tecny t1=MT1, t2=MT2 z bodu M ke kruznici k

k

S

MO

l

T1

t1

T2

t2

2

Diskuze:

Uloha ma prave dve resen osove soumerna podle prmky SM , lez-li dany bod M ve vnejs

oblasti dane kruznice k; jestlize je bod M bodem kruznice k, pak ma uloha prave jedno resen

(bod M je soucasne bodem dotyku dane kruznice k, sestrojene Thaletovy kruznice l i hledane

tecny t); v prpade, ze bod M lez ve vnitrn oblasti kruznice k, resen neexistuje (Thaletova

kruznice l kruznici k neprotna nebo pro S=M kruznice l neexistuje).



3.5. Pappova uloha BBp

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera prochaz danym bodem A a dotyka se dane prmky t

v danem bode T .

Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k o stredu S a libovolnempolomeru r, zvolme na n dva body A, T , v bode T doplnme tecnu t a nyn zkoumejme

vztahy, ktere zde plat . . .

k

S

A

T

t

stred S kruznice k mus lezet na normale n tecny t v bode T (viz mnozinu M6 nastrane 10 v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

k

S

A

T

t

n



soucasne mus stred S kruznice k lezet take na ose o usecky AT (viz mnozinu M2 nastrane 8 v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti); pro resen teto

ulohy se tedy vyuzij hned dve ruzne mnoziny bodu dane vlastnosti

k

S

A

T

t

n

O

o

2

Konstrukce:

zadan ulohy: je dan bod A, prmka t a na n bod T (T t)

A

T

t

podle rozboru sestrojme nejprve normalu n prmky t v bode T : T n a n t

A

T

t

n



dale sestrojme osu o usecky AT : O o, kde bod O je stredem usecky AT , a o AT

A

T

t

n

O

o

bod S=no je pak stredem hledane kruznice k(S, r=|SA|=|ST |), ktera prochaz danymbodem A a dotyka se dane prmky t v danem bode T

A

T

t

n

O

o

k

S

2

Diskuze:

Uloha ma prave jedno resen, jestlize bod A nelez na prmce t; je-li A t a A 6=T , pakuloha nema zadne resen (normala n a osa o usecky AT jsou rovnobezne); je-li A=T , ma

uloha nekonecne mnoho resen (vsechny kruznice, jejichz stredy lez na normale n vyjma

bodu A=T ).

3.6. Pappova uloha Bkp

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera se dotyka dane kruznice k(S, r = |ST |) v danem bode T adane prmky p.



Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k o stredu S a libovolnempolomeru r, zvolme na n bod T , prikresleme kruznici k(S, r), ktera se dotyka kruznice

k v bode T , doplnme tecnu p ke kruznici k a nyn zkoumejme vztahy, ktere zde plat . . .

k

S

k

S

T

p

stred S kruznice k mus lezet na normale n=ST kruznice k v bode T (viz mnozinu M7na strane 10 v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

k

S

k

S

T

p

n

soucasne mus mt stred S kruznice k stejnou vzdalenost r od prmky p i od prmkyt, ktera je spolecnou tecnou kruznic k a k v bode T

k

S

k

S

T

p

n

t

T



podle vlastnost mnoziny M4 (viz strana 9) z prehledu nejuzvanejsch mnozin vsechbodu dane vlastnosti lez tedy bod S na jedne z os uhlu sevrenych prmkami t a p; pro

resen teto ulohy se tedy vyuzij hned dve ruzne mnoziny bodu dane vlastnosti

k

S

k

S

T

p

n

t

T

o

R

2

Konstrukce:

zadan ulohy: je dana kruznice k(S, r=|ST |) s bodem T dotyku (T k) a prmka p

Sk

T

p



podle rozboru sestrojme nejprve normalu n=ST kruznice k v bode T

Sk

T

p

n

nyn doplnme tecnu t ke kruznici k v bode T (T t a t n) a najdeme pruseck R=tp

Sk

T

p

n

t

R



bodem R sestrojme obe osy o1 a o2 (o1 o2) uhlu sevrenych prmkami t a p

Sk

T

p

n

t

R

o1

o2

bod S1=n o1 je pak stredem hledane kruznice k1(S1, r1=|S1T |), ktera se dotyka danekruznice k v danem bode T (tzv. vnejs dotyk) a take se dotyka dane prmky p

Sk

T

p

n

t

R

o1

o2

T1

k1

S1



podobne je bod S2=n o2 take stredem hledane kruznice k2(S2, r2=|S2T |), ktera sedotyka dane prmky p a s danou kruznic k ma v danem bode T tzv. vnitrn dotyk

Sk

T

p

n

t

R

o1

o2

T1

k1

S1

T2

k2

S2

2

Diskuze:

Necht t je tecna kruznice k v bode T . Uloha ma prave dve resen, jestlize prmka p je

ruznobezna s tecnou t a soucasne T 6 p; je-li T p a prmka p nen tecnou kruznice k(tj. p 6= t), pak uloha nema zadne resen; uloha ma prave jedno resen, jestlize je p t asoucasne T 6 p (pri resen se msto mnoziny M4 vyuzije mnozina M3 viz strana 8); je-liprmka p tecnou kruznice k v bode T (tj. p = t), pak ma uloha nekonecne mnoho resen.

3.7. Varianta Apolloniovy ulohy ppk

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera se dotyka dvou danych ruznych rovnobeznych prmek p, q

(p q, p 6= q) a dane kruznice k(S, r).

Rozbor ulohy:



predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k o stredu S a libovolnempolomeru r, zvolme dve jej navzajem ruzne rovnobezne tecny p, q (p q, p 6= q), kruznicik(S, r), ktera se dotyka kruznice k, a nyn zkoumejme vztahy, ktere zde plat . . .

S

k

p

q

k

S

stred S kruznice k mus lezet na ose o pasu omezeneho rovnobezkami p, q (viz mnozinuM3 na strane 8 v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti) a pro

polomer r kruznice k plat r=12|pq|

S

k

p

q

k

S

o

r

podle vlastnost mnoziny M8 (viz strana 10) z prehledu nejuzvanejsch mnozin vsechbodu dane vlastnosti mus tedy bod S lezet take na jedne ze soustrednych kruznic

l1(S, r+r) nebo l2(S, |rr|); v nacrtku je zvolen vnejs dotyk kruznic k, k a stred S

tedy lez na kruznici l1(S, r+r)

S

k

p

q

k

S

o

rr+r

l1

2



Konstrukce:

zadan ulohy: jsou dany dve ruzne rovnobezky p, q (p q, p 6= q) a kruznice k(S, r)

p

q

k

S

nejprve sestrojme osu o pasu omezeneho rovnobezkami p, q, na nz bude lezet stredhledane kruznice

p

q

k

S

o



dale sestrojme kruznice l1(S, r+r) a l2(S, |rr|), kde r = 12 |pq| = |op| = |oq|, na nichzlez stredy kruznic, ktere se dotykaj kruznice k a maj zjisteny polomer r

p

q

k

S

o

l1

l2

nyn postupne hledejme prusecky osy o s kruznicemi l1, l2: osa o protna kruznici l1ve dvou bodech, jeden z nich oznacme S1 a podle rozboru je to stred hledane kruznice

k1(S1, r), ktera se dotyka danych rovnobezek p, q i dane kruznice k(S, r); body dotyku

na prmkach p, q jsou prusecky techto prmek s kolmic k ose o vedenou bodem S1; bod

dotyku kruznic k1 a k najdeme jako pruseck usecky SS1 s kruznic k

p

q

k

S

o

l1

l2

S1

k1



druhy pruseck osy o a kruznice l1 oznacme S2 a opisme kolem nej kruznici k2(S2, r);kruznice k1 a k2 jsou zrejme osove soumerne podle kolmice k ose o vedene stredem S;

soucasne maj obe tato resen k1, k2 vnejs dotyk s danou kruznic k

p

q

k

S

o

l1

l2

S1

k1

S2k2

tretm resenm ulohy je kruznice k3(S3, r), kde bod S3 je jednm z prusecku osy os kruznic l2; v tomto prpade najdeme bod dotyku kruznic k3 a k jako pruseck kruznice

k s poloprmkou SS3

p

q

k

S

o

l1

l2

S1

k1

S2k2

S3

k3


Zaklady geometrie 4. Mocnost bodu ke kruznici

analogicky doplnme posledn kruznici k4(S4, r), kde S4 je druhym pruseckem osy o akruznice l2; tato kruznice k4 je opet osove soumerna s kruznic k3 podle teze osy; obe

tato resen k3, k4 maj s danou kruznic k vnitrn dotyk

p

q

k

S

o

l1

l2

S1

k1

S2k2

S3

k3

S4

k4

2

Diskuze:

Uloha muze mt ctyri, tri, dve, jedno nebo zadne resen. Podrobnejs proveden diskuze je

prenechano ctenari jako cvicen.

4. Mocnost bodu ke kruznici

4.1. Definice a zakladn vlastnosti

Vyklad

necht je v rovine dana kruznice k(S, r) a bod M ; mocnost bodu M ke kruznici knazyvame realne cslo m = v2 r2, kde v = |MS|

m > 0 resp. m = 0 resp. m < 0, prave kdyz bod M lez ve vnejs oblasti kruznice kresp. bod M lez na kruznici k resp. bod M lez ve vnitrn oblasti kruznice k

lez-li bod M ve vnejs oblasti kruznice k a T je bodem dotyku tecny t vedene z boduM ke kruznici k, pak plat |MT |2 = v2 r2 = m (plyne z Pythagorovy vety, viz obr. a)

pro prusecky A, B kruznice k a jej libovolne secny vedene bodem M plat |MA||MB| == m resp. |MA| |MB| = m, je-li bod M ve vnejs resp. ve vnitrn oblasti kruznice k

1. pro secnu jdouc stredem S kruznice k je tvrzen zrejme (viz obr. b): |MA||MB| == (v+r) (vr) = v2r2 = m nebo |MA| |MB| = (r+v) (rv) = r2v2 = m



2. jestlize jina secna vedena bodem M protna kruznici k v bodech A, B (viz obr. c),

pak jsou trojuhelnky ABM a ABM podobne (podle vety uu), a tudz plat:|MA||MA| =

|MB||MB| a odtud |MA

| |MB| = |MA| |MB|

S

k

M

T

t

a)

S

k

A B

M

S

k

A B

M

b)

S

k

A B

M

A

B

S

k

A

B

M

A

B

c)

4.2. Chordala a potencn stred

da se ukazat, ze mnozinou vsech bodu, ktere maj stejnou mocnost ke dvema ruznymnesoustrednym kruznicm k1(S1, r1), k2(S2, r2) je prmka p kolma ke stredne s = S1S2

danych kruznic; tato prmka se nazyva chordala kruznic k1, k2

konstrukci chordaly ukazuj nasledujc obrazky

a) kruznice k1, k2 se protnaj v bodech A, B, jez maj stejnou mocnost m = 0 k obema

kruznicm; je tudz chordala p = AB

b) kruznice k1, k2 se dotykaj v bode T , ktery ma k obema stejnou mocnost m = 0;

chordalou je tedy spolecna tecna p v bode T

c) kruznice k1, k2 nemaj zadny spolecny bod; zvolme pomocnou kruznici k(S , r),

ktera protna obe kruznice k1, k2, a sestrojme chordalu p1 kruznic k, k1 a chordalu

p2 kruznic k, k2; pruseck P = p1 p2 ma pak stejnou mocnost ke vsem trem

kruznicm k, k1, k2, je to jejich tzv. potencn stred; bodem P pak prochaz take

chordala p S1S2 kruznic k1, k2

k1

S1k2

S2

A

B

p

a)

k1

S1k2

S2T

p

b) c)

k1

S1k2

S2

kS

P

p

p1

p2



4.3. Apolloniova uloha BBp

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera prochaz danymi ruznymi body A, B a dotyka se dane

prmky p.

Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k o stredu S a libovolnempolomeru r, zvolme na n dva body A, B, doplnme tecnu p a nyn zkoumejme vztahy,

ktere zde plat . . .

kS

A

B

p

stred S kruznice k mus lezet na ose o usecky AB (viz mnozinu M2 na strane 8 v prehledunejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

kS

A

B

p

o

necht je P = pAB a T je bodem dotyku prmky p a kruznice k; z vlastnost mocnostibodu P ke kruznici k pak plyne: |PT |2 = |PA| |PB|; dky tomu lze bod T dotykusestrojit . . .

kS

A

B

p

o

PT

2



Konstrukce:

zadan ulohy: jsou dany ruzne body A, B a prmka p

A

B

p

podle rozboru sestrojme nejprve osu o usecky AB

A

B

p

o



dale najdeme pruseck P = p AB

A

B

p

o

P

nad useckou AP sestrojme Thaletovu pulkruznici a na n vrchol R pravouhleho troju-helnka ARP , v nemz je usecka BR vyskou; podle Eukleidovy vety o odvesne pak plat

|PR|2 = |PA| |PB|

A

B

p

o

P

R



nyn stac na prmku p od bodu P nanest velikost usecky PR a tm zskame body T1, T2dotyku prmky p a hledanych kruznic k1, k2

A

B

p

o

P

R

T1

T2

stred S1 kruznice k1(S1, r1) lez na ose o a na kolmici vedene bodem T1 k prmce p

A

B

p

o

P

R

T1

T2

k1S1



podobne protna normala k prmce p vedena bodem T2 osu o v bode S2, ktery je stredemdruhe hledane kruznice k2(S2, r2), jez take prochaz danymi body A, B a dotyka se dane

prmky p

A

B

p

o

P

R

T1

T2

k1S1

k2

S2

2

Diskuze:

Uloha nema zadne resen, jestlize body A, B lez v ruznych polorovinach urcenych hranicn

prmkou p nebo je-li A p a soucasne B p; je-li AB p, ma uloha prave jedno resen(osa o usecky AB protna prmku p prmo v bode T dotyku); lez-li body A, B uvnitr jedne

poloroviny ohranicene prmkou p a p 6 AB, pak ma uloha prave dve resen; jestlize pravejeden z bodu A, B lez na prmce p, jedna se o Pappovu ulohu Bpp.

4.4. Apolloniova uloha BBk

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera prochaz danymi ruznymi body A, B a dotyka se dane

kruznice k(S, r).



Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k1 o stredu S1 a libovolnempolomeru r1, zvolme na n dva body A, B, doplnme dotykovou kruznici k(S, r) a nyn

zkoumejme vztahy, ktere zde plat . . .

k1

S1

A

B

k

S

stred S1 kruznice k1 mus lezet na ose o usecky AB (viz mnozinu M2 na strane 8v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

k1

S1

A

B

k

So

spolecna tecna t kruznic k, k1 je soucasne take jejich chordalou; pruseck P = t ABma tedy stejnou mocnost ke kruznici k i ke kruznici k1

k1

S1

A

B

k

So

P

T

t



bodem P pak mus prochazet i chordala p dane kruznice k a zvolene kruznice k(S , r),ktera prochaz body A, B (tj. S o); dky tomu lze potencn stred P kruznic k, k, k1a nasledne tecnu t sestrojit . . .

k1

S1

A

B

k

So

P

T

tk

S

p

2

Konstrukce:

zadan ulohy: jsou dany ruzne body A, B a kruznice k(S, r)

A

B

kS

podle rozboru sestrojme nejprve osu o usecky AB

A

B

kS

o



dale zvolme kruznici k(S , r) tak, aby prochazela body A, B (jej stred S tedy lez naose o) a aby protnala kruznici k

A

B

kS

o

k

S

sestrojme chordalu p kruznic k, k a na n bod P = pAB, ktery je hledanym potencnmstredem

A

B

kS

o

k

S

P

p



bodem P vedme tecny t1, t2 ke kruznici k a doplnme prslusne body T1, T2 dotyku (vizuloha Tecny z bodu ke kruznici na strane 23)

A

B

kS

o

k

S

P

p

t1

t2

T1

T2

stred S1 hledane kruznice k1(S1, r1) pak lez na ose o a na prmce ST1 (kruznice k a k1maj vnejs dotyk)

A

B

kS

o

k

S

P

p

t1

t2

T1

T2

k1

S1


Zaklady geometrie 5. Geometricka zobrazen v rovine

podobne protna prmka ST2 osu o v bode S2, ktery je stredem druhe hledane kruznicek2(S2, r2), jez take prochaz danymi body A, B a dotyka se dane kruznice k (kruznice k

a k2 maj vnitrn dotyk)

A

B

kS

o

k

S

P

p

t1

t2

T1

T2

k1

S1

k2

S2

2

Diskuze:

Uloha nema zadne resen, jestlize jeden z bodu A, B lez ve vnitrn a druhy ve vnejs oblasti

kruznice k nebo jestlize oba body A, B lez na kruznici k; lez-li oba body A, B ve vnitrn

nebo ve vnejs oblasti kruznice k, pak ma uloha prave dve resen; jestlize prave jeden z bodu

A, B lez na kruznici k, jedna se o Pappovu ulohu BBk, ktera se res pomoc mnozin vsech

bodu dane vlastnosti a ma prave jedno resen.

5. Geometricka zobrazen v rovine

Vyklad

geometrickym zobrazenm v rovine se rozum predpis, ktery libovolnemu bodu Xroviny prirazuje jako jeho obraz prave jeden bod X teze roviny

jestlize v danem zobrazen splyva bod X se svym obrazem X , pak se bod X = X

nazyva samodruznym bodem daneho zobrazen

necht U je geometricky utvar a U jeho obraz v danem zobrazen; jestlize obraz kazdehobodu utvaru U je opet bodem tohoto utvaru, pak obraz U splyva s utvarem U a takovy



utvar U = U se nazyva samodruznym utvarem daneho zobrazen; je-li kazdy bod

samodruzneho utvaru U samodruzny, pak je utvar U tzv. silne samodruzny v danem

zobrazen, jinak je slabe samodruzny

5.1. Shodna zobrazen (shodnosti) v rovine

Vyklad

proste zobrazen v rovine se nazyva shodnym zobrazenm nebo kratce shodnost,prave kdyz pro kazde dva body X, Y roviny a jejich obrazy X , Y v tomto zobrazen

plat |X Y | = |XY |, tj. shodnost zachovava delku usecky

zvlastnm prpadem shodnosti je tzv. identita, v nz je kazdemu bodu X roviny prirazententyz bod X = X

Zakladn vlastnosti shodnost

obrazem kazde usecky AB je usecka AB s n shodna (|AB| = |AB|)

obrazy rovnobeznych prmek jsou rovnobezne prmky, tj. shodnost zachovava rovnobez-nost

obrazem kazdeho trojuhelnka ABC je trojuhelnk ABC s nm shodny

Rozdelen shodnost

prme libovolny trojuhelnk a jeho obraz jsou prmo shodne, tj. maj souhlasnouorientaci vrcholu

identita, posunut (translace), otocen (rotace), stredova soumernost

neprme libovolny trojuhelnk a jeho obraz jsou neprmo shodne, tj. maj nesou-hlasnou orientaci vrcholu

osova soumernost, posunuta soumernost

A B

C

A

B

C

A

B

C

pmo

shodn

nepmo

shodn



Skladan shodnost

slozenm dvou prmych nebo dvou neprmych shodnost vznikne prma shodnost

slozenm prme a neprme shodnosti vznikne neprma shodnost

kazdou prmou shodnost lze slozit ze dvou osovych soumernost

kazdou neprmou shodnost lze slozit ze stredove soumernosti a osove soumernosti

5.1.1. Posunut (translace)

Vyklad

posunut (translace) v rovine je prma shodnost, ktera kazdemu bodu X rovinyprirazuje obraz X tak, ze plat

XX = ~s, kde ~s je dany vektor

vektoru ~s se rka vektor posunut, jeho delka udava delku posunut a jeho smerurcuje smer posunut

posunut je jednoznacne urceno vektorem posunut

posunut nema samodruzne body; (slabe) samodruzne jsou vsechny prmky rovnobeznese smerem posunut

je-li prmka p obrazem dane prmky p v posunut, pak plat p p

~s

X

X

A

B

C

A B

C

Varianta Apolloniovy ulohy Bpp

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera prochaz danym bodem A a dotyka se danych ruznych

rovnobeznych prmek p, q (p q, p 6= q).



Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k o stredu S a libovolnempolomeru r, zvolme na n bod A, pridejme rovnobezne tecny p, q a nyn zkoumejme

vztahy, ktere je zde mozno vyuzt . . .

S

k

p

q

A

stred S kruznice k zrejme mus lezet na ose o pasu omezeneho rovnobezkami p, q (vizmnozinu M3 na strane 8 v prehledu nejuzvanejsch mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

S

k

p

q

A

o

na prmce o zvolme bod S tak, aby kruznice k(S , r=|SA|) kolem nej opsana ne-prochazela bodem A; kruznice k se take dotyka rovnobezek p, q a odpovda kruznici k

v posunut urcenem smerovym vektorem ~s = S S; v tomto posunut je obrazem boduA k bod A k; v nasledujc konstrukci zkusme tedy nejprve zvolit kruznici k ajejm posunutm v opacnem smeru vyresme danou ulohu

S

k

p

q

A

o

Sk

A

~s

2



Konstrukce:

zadan ulohy: je dan bod A a dve ruzne rovnobezne prmky p, q (p q, p 6= q)

p

q

A

nejprve sestrojme osu o (o p q) rovinneho pasu omezeneho rovnobezkami p, q

p

q

A

o

dale zvolme na prmce o bod S a doplnme kruznici k(S , r=|op|=|oq|), ktera se dotykaprmek p, q

p

q

A

o

S

k

vedme prmku a tak, ze a o, A a, a najdeme jeden jej pruseck A1 s kruznic k;body A, A1 pak urcuj vektor ~s1 = A A1 zpetneho posunut T1, o nemz byla zmnkav rozboru ulohy

p

q

A

o

S

k

aA

1~s1



v posunut T1 sestrojme obraz S1 stredu S (plat S1A S A1) a tm zskame stredhledane kruznice k1(S1, r), ktera prochaz danym bodem A a dotyka se danych ruznych

rovnobezek p, q

p

q

A

o

S

k

aA

1~s1

S1k1

prmka a protna kruznici k jeste v bode A2, ktery spolu s bodem A urcuje vektor~s2 = A A2 zpetneho posunut T2

p

q

A

o

S

k

aA

1~s1

S1k1

A2~s2

opet najdeme obraz S2 stredu S v posunut T2 (podobne plat S2A S A2) a obdrzmestred kruznice k2(S2, r), ktera je druhym resenm dane ulohy

p

q

A

o

S

k

aA

1~s1

S1k1

A2~s2

S2k2

2

Diskuze:

Uloha ma prave dve resen, lez-li dany bod A uvnitr pasu urceneho danymi ruznymi rov-

nobezkami p, q; jestlize bod A lez na nektere z prmek p nebo q (A p nebo A q), pakma uloha jedine resen (varianta Pappovy ulohy Bpp); lez-li bod A vne pasu urceneho rov-

nobezkami p, q, pak uloha nema zadne resen.

Poznamka:

Na zaver poznamenejme, ze ulohu je mozno resit snadno take jen s pouzitm mnozin vsech

bodu dane vlastnosti (viz mnoziny M1 na strane 7 a M3 na strane 8).



5.1.2. Otocen (rotace)

Vyklad

otocen (rotace) kolem stredu S o uhel velikosti (0 < 360) v danem kladnemnebo zapornem smyslu je prma shodnost, ktera prirazuje bodu S tyz bod S = S a

kazdemu jinemu bodu X 6= S roviny prirazuje obraz X tak, ze plat:

1. bod X lez na kruznici o stredu S a polomeru |SX|

2. poloprmka SX se zska otocenm poloprmky SX o dany uhel otocen velikosti

v danem smyslu (kladnem, tj. proti smeru pohybu hodinovych rucicek; nebo

zapornem, tj. po smeru pohybu hodinovych rucicek)

otocen je jednoznacne urceno stredem otocen S, velikost uhlu otocen a danymsmyslem otocen

pro velikost = 360 uhlu otocen jsou vsechny body roviny samodruzne, pro 6= 360

je samodruzny pouze stred S; pro velikost = 360 uhlu otocen jsou vsechny prmky ro-

viny (silne) samodruzne, pro velikost = 180 jsou (slabe) samodruzne vsechny prmky

jdouc bodem S, v ostatnch prpadech ( 6= 360, 6= 180) otocen samodruzne prmkynema

S

X

X

AB

CA

B

C

Konstrukce rovnostranneho trojuhelnka z danych prvku

Resene ulohy

Prklad: Jsou dany tri navzajem ruzne rovnobezne prmky a, b, c (a b c) a bod A a;sestrojte rovnostranny trojuhelnk ABC tak, aby byl B b a C c.



Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme rovnostranny trojuhelnk ABC, jehovrcholy A, B, C vedme po rade tri ruzne rovnobezne prmky a, b, c a nyn zkoumejme

vztahy, ktere je zde mozno vyuzt . . .

A

B

C

a

b

c

z vlastnost rovnostranneho trojuhelnka plyne, ze otocen kolem stredu A o uhel velikosti60 v kladnem smyslu prirazuje vrcholu B obraz B = C

A

B

C

a

b

c =B

60

pro resen ulohy bude tedy stacit v tomto otocen sestrojit obraz b prmky b a najtpruseck prmek b, c (da se ukazat, ze jeden z uhlu, ktere svraj prmka b a jej obraz b

ma velikost rovnu velikosti uhlu pouziteho otocen)

A

B

C

a

b

c =B

60

b

60

2



Konstrukce:

zadan ulohy: jsou dany tri navzajem ruzne rovnobezne prmky a, b, c (a b c) a bodA a

A

a

b

c

sestrojme obraz b1 prmky b v otocen R1 kolem stredu A o uhel velikosti 60 v kladnemsmeru a to naprklad takto: na prmce b sestrojme bod B tak, ze AB b, urceme jehoobraz B1 v otocen R1 a tmto vedme prmku b1 AB1 , B1 b1

A

a

b

c

b1

B

B1

pruseck C1 = b1 c je pak vrcholem hledaneho rovnostranneho trojuhelnka AB1C1,jehoz tret vrchol B1 najdeme na prmce b

A

a

b

c

b1

B

B1

B1

C1



tytez konstrukce provedme take v otocen R2, ktere se od R1 lis pouze zapornymsmyslem otocen: obrazem B2 bodu B

v otocen R2 sestrojme prmku b2 AB2 , B2 b2jako obraz prmky b v tomto otocen R2

A

a

b

c

b1

B

B1

B1

C1

b2

B2

pruseck C2 = b2 c je pak rovnez vrcholem hledaneho rovnostranneho trojuhelnkaAB2C2, ktery je druhym resenm dane ulohy; trojuhelnky AB1C1 a AB2C2 jsou zrejme

osove soumerne podle prmky AB

A

a

b

c

b1

B

B1

B1

C1

b2

B2

B2

C2

2

Diskuze:

Uloha ma vzdy prave dve resen osove soumerna podle prmky jdouc bodem A kolmo k dane

prmce a.



5.1.3. Stredova soumernost

Vyklad

stredova soumernost se stredem S je prma shodnost, ktera prirazuje bodu S tyzbod S = S a kazdemu jinemu bodu X 6= S roviny prirazuje obraz X tak, ze plat:

1. bod X lez na poloprmce opacne k poloprmce SX

2. |SX | = |SX|

stredova soumernost je jednoznacne urcena stredem S soumernosti

samodruzny je prave jen stred S soumernosti; (slabe) samodruzne jsou vsechny prmkyjdouc bodem S

stredova soumernost je specialnm prpadem otocen o uhel velikosti 180

je-li prmka p obrazem prmky p v dane stredove soumernosti, pak plat p p

S

X

X A

B

CAB

C

Konstrukce usecky z danych prvku

Resene ulohy

Prklad: Jsou dany dve ruznobezne prmky a, b a bod S, kde S 6 a, S 6 b; sestrojte useckuAB tak, aby mela stred v bode S a aby platilo A a, B b.Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: ruznobezky a, b prochazej po rade krajnmi bodyA, B usecky AB, ktera ma stred v bode S; nyn zkoumejme vztahy, ktere je zde mozno

vyuzt . . .

A

B

S

a

b



uvazujme pruseck R = a b a jeho obraz R ve stredove soumernosti o stredu S

A

B

S

a

b

R

R

v teto stredove soumernosti je obrazem bodu A bod A = B a obrazem prmky a = ARje prmka a = BR, kde a a; podobne je obrazem bodu B bod B = A a obrazemprmky b je prmka b = AR, b b

A

B

S

a

b

R

R

b

a

B=

=A

2

Konstrukce:

zadan ulohy: jsou dany dve ruznobezne prmky a, b a bod S, pro ktery plat S 6 a, S 6 b

S

a

b



sestrojme bod R soumerny podle stredu S s pruseckem R = a b

S

a

b

R

R

bodem R vedme prmku a a, R a a prmku b b, R b

S

a

b

R

R

b

a

pruseck A = a b a pruseck B = b a jsou pak krajnmi body hledane usecky AB,ktera ma stred v danem bode S

S

a

b

R

R

b

a

A

B

2

Diskuze:

Uloha ma vzdy prave jedno resen.



5.1.4. Osova soumernost

Vyklad

osova soumernost s osou o je neprma shodnost, ktera kazdemu bodu X rovinyprirazuje obraz X tak, ze plat:

1. bod X = X, prave kdyz bod X lez na ose o soumernosti

2. bod X lez na kolmici k ose o vedene bodem X a to v opacne polorovine urcene

osou o nez bod X

3. |oX | = |oX|

osova soumernost je jednoznacne urcena osou o soumernosti

samodruznymi body jsou prave jen vsechny body osy o; silne samodruzna je osa o, slabesamodruzne jsou vsechny prmky kolme k ose o

prmka p a jej obraz p maj stejnou odchylku od osy o soumernosti

o

X

X

A B

C

A

BC

Konstrukce bodu dane vlastnosti

Resene ulohy

Prklad: Je dana prmka p a dva ruzne body A, B (A 6= B) lezc uvnitr jedne polorovinys hranicn prmkou p; sestrojte na prmce p bod R, v nemz se odraz paprsek vyslany z bodu

A do bodu B.



Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: paprsek, ktery se odraz v bode R prmky p,prochaz bodem A i bodem B; nyn zkoumejme vztahy, ktere je zde mozno vyuzt . . .

A

B

R

p

usecky AR a BR maj tedy stejnou odchylku od prmky p

A

B

R

p

uvazujeme-li obraz B bodu B v osove soumernosti s osou p, pak usecka BR ma odprmky p tutez odchylku a body A, R, B tudz lez v jedne prmce

A

B

R

p

B

2



Konstrukce:

zadan ulohy: je dana prmka p a dva ruzne body A, B, ktere lez uvnitr jedne polorovinyurcene prmkou p

A

B

p

sestrojme obraz B bodu B v osove soumernosti s osou p

A

B

p

B



pruseck R = p AB je pak hledanym bodem odrazu na dane prmce p

A

B

p

B

R

na zaver doplnme prubeh paprsku, ktery vychaz z daneho bodu A a v sestrojenem bodeR se odraz od dane prmky p do daneho bodu B

A

B

p

B

R

2

Diskuze:


Poznamka:

Tato uloha muze mt i jine zadan: na prmce p sestrojte bod R tak, aby delka lomene cary

ARB byla co nejmens.



5.2. Podobna zobrazen (podobnosti) v rovine

proste zobrazen v rovine se nazyva podobnym zobrazenm nebo kratce podobnost,prave kdyz pro kazde dva body X, Y roviny a jejich obrazy X , Y v tomto zobrazen

plat |X Y | = k|XY |, kde k 6= 0 je dana konstanta zvana koeficient podobnosti

zvlastnm prpadem podobnosti je pro k = 1 shodnost

Zakladn vlastnosti podobnost

obrazem kazde usecky AB v podobnosti s koeficientem k je usecka AB delky |AB| == k|AB|

obrazy rovnobeznych prmek jsou rovnobezne prmky, tj. podobnost zachovava rov-nobeznost

obrazem kazdeho trojuhelnka ABC je podobny trojuhelnk ABC

Vyznamny zastupce podobneho zobrazen

stejnolehlost

5.2.1. Stejnolehlost

Vyklad

stejnolehlost se stredem S a koeficientem k je prma podobnost, ktera:

1. bodu S prirazuje obraz S = S

2. bodu X 6= S prirazuje obraz X tak, ze plat |SX | = |k| |SX| a pritom bod X

lez na poloprmce SX pro k > 0 (obr. a), resp. bod X lez na poloprmce opacne

k poloprmce SX pro k < 0 (obr. b)

a) k > 0 a |k| > 1

S

X

X

AB

C

A

B

C



b) k < 0 a |k| < 1

S

X

X

A B

C

AB

C

stejnolehlost je jednoznacne urcena stredem S a koeficientem k

stejnolehlost se stredem S a koeficientem k = 1 je stredova soumernost se stredem S;stejnolehlost s koeficientem k = 1 je identita

pro k 6= 1 je samodruznym bodem prave jen stred S, slabe samodruzne jsou vsechnyprmky prochazejc bodem S

je-li prmka p obrazem prmky p v dane stejnolehlosti, pak plat p p

obraz U omezeneho utvaru U je zvetseny pro |k| > 1 (obr. a) a zmenseny pro |k| < 1(obr. b)

kazde dve kruznice v rovine jsou stejnolehle

Spolecne tecny dvou kruznic s ruznymi polomery

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte spolecne tecny dvou danych kruznic k(S, r) a k(S , r), kde r 6= r.Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme dve kruznice k(S, r), k(S , r) o nestej-nych polomerech, doplnme jejich spolecne tecny t1, t2, a nyn zkoumejme vztahy, ktere

je zde mozno vyuzt . . .

S

S

kk

t1

t2



z vlastnost stejnolehlosti vyplyva, ze pruseck S1 tecen t1, t2 se strednou s = SS danychkruznic k, k je stredem stejnolehlosti, v nz si tyto kruznice odpovdaj

S

S

kk

t1

t2

S1

s

ke konstrukci bodu S1 vyuzijeme vhodne zvoleny bod A k a jemu odpovdajc obrazA k ve zmnene stejnolehlosti, pricemz plat AS AS

S

S

kk

t1

t2

S1

sA

A

2



Konstrukce:

zadan ulohy: jsou dany kruznice k(S, r) a k(S , r), kde r 6= r

S

S

k k

na kruznici k zvolme bod A a na kruznici k sestrojme krajn body prumeru A1A2 AS

S

S

k k

A

A1

A2



bod S1 = sAA1, kde s = SS , je pak tzv. vnejsm stredem stejnolehlosti mezi obemakruznicemi, podobne je pruseck S2 = s AA2 tzv. vnitrnm stredem stejnolehlostidanych kruznic

S

S

k k

A

A1

A2

s

S1

S2

sestrojme-li tecny t1, t2 z bodu S1 ke kruznici k, budou to soucasne take tecny kekruznici k

S

S

k k

A

A1

A2

s

S1

S2

t1

t2



analogicky jsou tecny t3, t4 vedene z bodu S2 ke kruznici k hledanymi spolecnymi tecnamiobou danych kruznic k(S, r), k(S , r), kde r 6= r

S

S

k k

A

A1

A2

s

S1

S2

t1

t2

t3

t4

2

Diskuze:

Uloha muze mt ctyri, tri, dve, jedno nebo zadne resen podle vzajemne polohy danych kruznic

k, k; podrobnejs diskuze je prenechana ctenari jako cvicen.

Ctverec vepsany do ostrouhleho trojuhelnka

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte ctverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, B lezely na strane KL, vrchol C

lezel na strane LM a vrchol D na strane KM daneho ostrouhleho trojuhelnka KLM .



Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: vrcholy A, B ctverce lez na strane KL trojuhel-nka, vrchol C lez na strane LM a vrchol D na strane KM ; nyn zkoumejme vztahy,

ktere je zde mozno vyuzt . . .

K L

M

A B

CD

na strane KL zvolme vhodne bod A jako obraz bodu A ve stejnolehlosti se stredem K

K L

M

A B

CD

A

v teto stejnolehlosti se ctverec ABCD zobraz na ctverec ABC D, kde pouze vrcholC nesplnuje zadan ulohy, a pro jej resen se zrejme uzije opacny postup konstrukc . . .

K L

M

A B

CD

A B

C D

2



Konstrukce:

zadan ulohy: ostrouhly trojuhelnk KLM

K L

M

na jeho strane KL zvolme vhodne bod A (vhodne znamena uvnitr usecky KM1, kdeM1 by byl pravouhly prumet bodu M na stranu KL)

K L

M

A



dale sestrojme ctverec ABC D tak, ze vrchol D KM, AD KL a vrchol B lezna poloprmce AL

K L

M

A B

C D

pruseck C = KC LM je pak jednm vrcholem hledaneho ctverce ABCD; soucasneje tm urcena stejnolehlost o stredu ve vrcholu K, v nz bod C je obrazem bodu C

K L

M

A B

C D

C



v teto stejnolehlosti se zachova rovnobeznost a dky tomu jsou sestrojeny zbyvajc vr-choly A, B, D hledaneho ctverce ABCD vepsaneho do daneho ostrouhleho trojuhelnka

KLM

K L

M

A B

C D

C

A B

D

2

Diskuze:


Varianta Apolloniovy ulohy Bpp

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera prochaz danym bodem A a dotyka se danych ruznobeznych

prmek p, q.

Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k(S, r), na n zvolme bod A,doplnme dve jej ruznobezne tecny p, q a nyn zkoumejme vztahy, ktere je zde mozno

vyuzt . . .

S

k

p

q

A



stred S kruznice k lez na ose o toho z uhlu sevrenych ruznobezkami p, q, v nemz lezbod A (viz mnozina M4 na strane 9 v prehledu mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

S

k

p

q

A

R

o

kruznice k(S , r=|S p|=|S q|), jejz stred S byl zvolen na ose o a ktera se dotyka prmekp, q, je obrazem kruznice k(S, r) ve stejnolehlosti se stredem v prusecku R = pq; v tetostejnolehlosti je obrazem bodu A k bod A k a plat SA S A; toho vyuzijemepro resen dane ulohy . . .

S

k

p

q

A

R

o

Sk

A

2



Konstrukce:

zadan ulohy: bod A a dve ruzne ruznobezky p, q

p

q

A

nejprve vedme pruseckem R = p q osu o toho z uhlu sevrenych ruznobezkami p, q,v nemz lez bod A

p

q

A

R

o



na prmce o zvolme stred S pomocne kruznice k(S , r = |S p|), ktera se dotyka ruzno-bezek p, q

p

q

A

R

o

S

k

prmka RA protna kruznici k v bodech A1, A2

p

q

A

R

o

S

k

A1

A2



rovnobezka s prmkou S A1 vedena bodem A protna osu o v bode S1, ktery je stredemhledane kruznice k1(S1, r1 = |S1A|)

p

q

A

R

o

S

k

A1

A2 S1

k1

podobne protna rovnobezka s prmkou S A2 vedena bodem A osu o v bode S2, kteryje stredem druhe hledane kruznice k2(S2, r2 = |S2A|); obe kruznice k1, k2 prochazejdanym bodem A a dotykaj se danych ruznobezek p, q

p

q

A

R

o

S

k

A1

A2 S1

k1

S2

k2

2



Diskuze:

Pokud bod A splyva s pruseckem R = p q, nema uloha zadne resen; jinak ma prave dveresen (pokud bod A lez na nektere z prmek p nebo q, jedna se o tzv. Pappovu ulohu Bpp,

kterou lze resit jen pomoc mnozin vsech bodu dane vlastnosti M4 a M6).

Pappova uloha Bpk

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera se dotyka dane prmky p v jejm bode A a dane kruznice

k(S, r).

Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k(S , r), na n zvolme bodA, v nem sestrojme tecnu p a doplnme kruznici k(S, r), ktera se kruznice k dotyka;

nyn zkoumejme vztahy, ktere je zde mozno vyuzt . . .

S

k

p

k

S

A

stred S kruznice k lez na prmce n p, A n, tedy na tzv. normale prmky p v bodeA (viz mnozina M6 na strane 10 v prehledu mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

S

k

p

k

S

A

n



kruznice k a k si odpovdaj ve stejnolehlosti se stredem v bode T jejich dotyku; v tetostejnolehlosti se tecna p ke kruznici k s bodem dotyku A zobraz na tecnu p ke kruznici

k s bodem dotyku A, pricemz bude platit p p; a toho vyuzijeme pro resen ulohy . . .

S

k

p

k

S

A

n

T

A

p

2

Konstrukce:

zadan ulohy: prmka p, na n bod A p a kruznice k(S, r)

p

k

S

A

nejprve vedme bodem A kolmici n k prmce p: n p, A n

p

k

S

A

n



dale sestrojme prmku p1 jako jednu ze dvou tecen kruznice k rovnobeznych s prmkoup; prmka AA1, kde A

1 je bodem dotyku prmky p

1 a kruznice k, protna kruznici k jeste

v bode T1; ten je bodem dotyku dane kruznice k a hledane kruznice k1

p

k

S

A

n

T1

A1

p1

bod S1 = nST1 je stredem kruznice k1(S1, r1 = |S1T1| = |S1A|), ktera se dotyka daneprmky p v jejm danem bode A a take se dotyka dane kruznice k

p

k

S

A

n

T1

A1

p1

S1

k1



podobne sestrojme prmku p2 jako druhou z tecen kruznice k rovnobeznych s prmkoup; prmka AA2, kde A

2 je bodem dotyku prmky p

2 a kruznice k, protna kruznici k jeste

v bode T2, ktery je bodem dotyku dane kruznice k a hledane kruznice k2

p

k

S

A

n

T1

A1

p1

S1

k1

T2

A2

p2

kruznice k2(S2, r2 = |S2T2| = |S2A|), kde S2 = n ST2, je pak druhym resenm daneulohy pri tomto zadan

p

k

S

A

n

T1

A1

p1

S1

k1

T2

A2

p2

S2

k2

2

Diskuze:

Uloha muze mt nekonecne mnoho, prave dve, prave jedno nebo zadne resen. Podrobnejs

diskuze je prenechana ctenari jako cvicen.



Varianta Apolloniovy ulohy ppk

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte kruznici, ktera se dotyka danych ruznobeznych prmek p, q a dane kruznice

k(S, r).

Rozbor ulohy:

predpokladejme, ze uloha je vyresena: nacrtneme kruznici k(S , r), zvolme dve jejruznobezne tecny p, q, dotykovou kruznici k(S, r) a nyn zkoumejme vztahy, ktere je zde

mozno vyuzt . . .

S

k

p

q

k

S

stred S kruznice k mus lezet na ose o jednoho z uhlu sevrenych ruznobezkami p, q (vizmnozina M4 na strane 9 v prehledu mnozin vsech bodu dane vlastnosti)

S

k

p

q

k

S

R

o



kruznice k a k jsou stejnolehle podle stredu T , ktery je jejich bodem dotyku; v tetostejnolehlosti odpovdaj tecnam p, q kruznice k tecny p, q kruznice k, pricemz plat

p p a q q; toho vyuzijeme pro resen dane ulohy . . .

S

k

p

q

k

S

R

oT

R

p

q

2



Konstrukce:

zadan ulohy: dve ruzne ruznobezky p, q a kruznice k(S, r)

p

q

k

S



nejprve vedme pruseckem R = p q osy o1, o2 (o1 o2) uhlu sevrenych ruznobezkamip, q

p

q

k

S

Ro1

o2



ke kruznici k sestrojme tecny p1 p a q1 q a najdeme jejich pruseck R1 = p1 q1

p

q

k

S

Ro1

o2

R1

p1

q1



prmka RR1 protna kruznici k v bodech T1, T2

p

q

k

S

Ro1

o2

R1

p1

q1

T1

T2



bod T1 je bodem dotyku dane kruznice k a hledane kruznice k1(S1, r1 = |S1T1|), projejz stred S1 plat S1 = ST1 o1

p

q

k

S

Ro1

o2

R1

p1

q1

T1

T2

S1

k1



podobne protna prmka ST2 osu o1 v bode S2, ktery je stredem hledane kruznicek2(S2, r2 = |S2T2|), jez se dotyka danych ruznobezek p, q i dane kruznice k

p

q

k

S

Ro1

o2

R1

p1

q1

T1

T2

S1

k1

S2

k2



ke kruznici k sestrojme zbyvajc dve tecny p2 p, q2 q a na nich oznacme zbyvajcvrcholy R2 = p2 q2, R3 = p2 q1, R4 = p1 q2 tecnoveho rovnobeznka

p

q

k

S

Ro1

o2

R1

p1

q1

T1

T2

S1

k1

S2

k2

R2

p2

q2

R3

R4



z prmek RR2, RR3, RR4 protna pri zvolenem zadan kruznici k uz jen prmka RR3 ato v bodech T3, T4

p

q

k

S

Ro1

o2

R1

p1

q1

T1

T2

S1

k1

S2

k2

R2

p2

q2

R3

R4

T3

T4



bod T3 je bodem dotyku kruznice k a kruznice k3(S3, r3 = |S3T3|), kde stred S3 jepruseckem prmky ST3 s osou o2

p

q

k

S

Ro1

o2

R1

p1

q1

T1

T2

S1

k1

S2

k2

R2

p2

q2

R3

R4

T3

T4

S3k3



podobne protna prmka ST4 osu o2 v bode S4, ktery je stredem hledane kruznicek4(S4, r4 = |S4T4|), jez se take dotyka danych ruznobezek p, q i dane kruznice k

p

q

k

S

Ro1

o2

R1

p1

q1

T1

T2

S1

k1

S2

k2

R2

p2

q2

R3

R4

T3

T4

S3k3

S4

k4

2

Diskuze:

Uloha muze mt prave osm, prave sest, prave ctyri nebo prave dve resen. Podrobnejs diskuze

je prenechana ctenari jako cvicen.


Zaklady geometrie Kapitola 2. Stereometrie

Stereometrie

Tematicky obsah

Rovinne rezy hranatych teles

Osova afinita a Stredova kolineace mezi dvema rovinami, Resene ulohy

Prunik prmky s telesem

Princip konstrukce, Resene ulohy

Vyklad

1. Uzite pojmy a metody zobrazen

v ramci tohoto studijnho materialu byly zpracovany zejmena resene ulohy o pruni-cch roviny a prmky s danym telesem

pritom se ve vsech ulohach predpoklada, ze dane teleso je postaveno na vodorovne rovine, ktera se obvykle nazyva pudorysna

pro dourcen polohy bodu v prostoru je pak mozno pouzt jeho pudorys, tj. jehopravouhly prumet do roviny

v nasledujcm obrazku je tedy bod A1 pudorysem bodu A, tj. pruseckem pudorysny s prmkou vedenou bodem A kolmo k rovine

A

A1

s

zobrazovanm prostorovych utvaru do roviny se podrobneji zabyva prakticka disciplnazvana deskriptivn geometrie

zde je pro zobrazen hranatych teles (krychle, hranol, jehlan) uzito tzv. volne rov-nobezne promtan (viz krychle ABCDABC D na dalsm obrazku)

u oblych teles (valec, kuzel) je pak vhodnejs pouzt zjednodusenou variantu tzv. axo-nometricke projekce (viz dale obrazek rotacnho kuzele)


Zaklady geometrie 2. Rovinne rezy hranatych teles

prusecnice obecne roviny s pudorysnou se v deskriptivn geometrii obvykle nazyva(pudorysna) stopa roviny a znac se p

A B

CD

A B

C D

S

V

k

2. Rovinne rezy hranatych teles

Vyklad

rovinnym rezem telesa rozumme stanoven pruniku dane roviny s danym telesem,zejmena jde o sestrojen hranice tohoto pruniku

v resenych ulohach jsou predvedeny konstrukce rovinnych rezu pouze na hranatychtelesech, konkretne na jehlanech a kolmych hranolech

pri techto konstrukcch lze vypozorovat jiste vztahy mezi podstavou telesa a sestrojenymrezem - jde o osovou afinitu a stredovou kolineaci mezi dvema rovinami

2.1. Prostorova osova afinita mezi dvema rovinami

A

B

p

A

B p

s

R=R

p

mejme dany dve ruznobezne roviny , a smer s, ktery nen se zadnou z nich rovnobezny;pak osovou afinitou mezi rovinami , rozumme zobrazen, ktere kazdemu bodu

A prirazuje bod A tak, ze plat AA s



zjednodusene receno se jedna o rovnobezne promtan bodu z jedne roviny doroviny druhe

prusecnici p = nazyvame osou afinity, dany smer s je smerem afinity

odpovdajc si prmky se protnaj na ose afinity v tzv. samodruznych bodech; vizobrazek a na nem prmky p = AB, p = AB a jejich pruseck R = R

vlastnost osove afinity lze vyuzt pri konstrukcch rezu na hranolech; osou afinityje pak prusecnice roviny podstavy s rovinou rezu a smer udava nektera bocn hrana

daneho hranolu

2.1.1. Rez krychle rovinou

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte rez krychle ABCDABC D rovinou = PQR, pricemz plat P AA,Q BC, R C D.

Konstrukce:

zadan ulohy: krychle ABCDABC D stoj na vodorovne rovine (pudorysne) , bodyP, Q,R urcujc rovinu rezu lez na danych hranach

AB

CD

A B

C D

P

Q

R



nejprve sestrojme pruseck K prmky p = PR s rovinou = ABC: zrejme plat K == K1 = pp1, kde p1 = P1R1 je pudorysem prmky p, tj. P1 = A a R1 CD,RR1 AA

AB

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K=K1

P1=

R1

p1

prmka p = KQ je pak pudorysnou stopou roviny ; tato stopa protna hranu AB vevrcholu 1 hledaneho rezu

AB

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K=K1

P1=

R1

p1

p

1



rovina protna roviny a ABC doln a horn steny v rovnobeznych prmkach a dkytomu je sestrojen dals vrchol 2 rezu: 2 AD, 2R p

AB

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K=K1

P1=

R1

p1

p

1

2

v leve stene ADDA sestrojme stranu 2P rezu (lez ve stene, do nz nevidme, a budetedy vytazena carkovane)

AB

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K=K1

P1=

R1

p1

p

1

2



podobne protna rovina predn stenu ABBA v usecce P1

AB

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K=K1

P1=

R1

p1

p

1

2

posledn vrchol 3 rezu sestrojme na hrane CC , pricemz plat R3 P1

AB

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K=K1

P1=

R1

p1

p

1

2

3



rezem dane krychle rovinou je tedy sestiuhelnk P1Q3R2, jehoz protejs strany jsourovnobezne

AB

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K=K1

P1=

R1

p1

p

1

2

3

rovnobeznk ABCD, kde A = P , C = 3, B = BB a D = DD, pakodpovda ctverci ABCD v prostorove osove afinite mezi rovinami a ; osou teto afinity

je stopa p = a jej smer udava napr. prmka AA

AB

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K=K1

P1=

R1

p1

p

1

2

3

A=

=C

B

D

2



2.1.2. Rez kolmeho ctyrbokeho hranolu rovinou

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte rez kolmeho ctyrbokeho hranolu ABCDABC D rovinou = PQR, kde

P AA, Q CDD a R BCC .

Konstrukce:

zadan ulohy: kolmy ctyrboky hranol ABCDABC D s obdelnkovou podstavou stojna vodorovne rovine (pudorysne) , body P, Q,R urcujc rovinu rezu lez na dane

hrane a v danych stenach

A B

CD

A B

C D

P

Q

R

nejprve sestrojme pruseck K prmky p = PR s rovinou = ABC: zrejme plat K == p p1, kde p1 = P1R1 je pudorysem prmky p, tj. P1 = A a R1 BC, RR1 AA

A B

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K

=P1

R1

p1



podobne protna prmka q = PQ rovinu v bode L: L = q q1, kde q1 = P1Q1 jepudorysem prmky q, tj. Q1 CD,QQ1 AA

A B

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K

=P1

R1

p1

q

L

Q1

q1

prmka p = KL je pak pudorysnou stopou roviny a soucasne osou prostorove afinitymezi rovinami , ; smer teto afinity udava napr. prmka AA

A B

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K

=P1

R1

p1

q

L

Q1

q1p



sestrojme pruseck 1 = AB p; prmka 1P je potom prusecnic roviny s rovinouABB predn steny a protna hranu BB ve vrcholu B rezu

A B

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K

=P1

R1

p1

q

L

Q1

q1p

1

B

podobne protna rovina rovinu BCC prave bocn steny v prmce 2B, kde 2 = pBC;na prmce 2B zrejme mus lezet take zadany bod R a vrchol C rezu na hrane CC

A B

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K

=P1

R1

p1

q

L

Q1

q1p

1

B

2C



analogicky sestrojme prusecnici 3C roviny s rovinou CDD zadn steny; bod 3 jepruseckem prmky CD se stopou p, prmka 3C prochaz zadanym bodem Q a protna

hranu DD v poslednm vrcholu D rezu

A B

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K

=P1

R1

p1

q

L

Q1

q1p

1

B

2C

3

D

na zaver je pro uplnost sestrojen take bod 4, v nemz se protnaj prmky p, AD, AD;rezem daneho hranolu rovinou je tedy rovnobeznk ABCD (kde A = P ), ktery

odpovda obdelnku ABCD ve zmnene prostorove osove afinite mezi rovinami , , jejz

osou je stopa p a smer udava napr. prmka AA; body 1, 2, 3, 4 jsou samodruznymi body

teto afinity

A B

CD

A B

C D

P

Q

R

p

K

=P1

R1

p1

q

L

Q1

q1p

1

B

2C

3

D4

A=

2



2.1.3. Rez kolmeho petibokeho hranolu rovinou

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte rez kolmeho petibokeho hranolu ABCDEABC DE rovinou = PQR,

kde P EE , Q ABB a R CDD.

Konstrukce:

zadan ulohy: kolmy petiboky hranol ABCDEABC DE s podstavou ve tvaru obec-neho petiuhelnka stoj na vodorovne rovine (pudorysne) , body P, Q,R urcujc rovinu

rezu lez na dane hrane a v danych stenach

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR



nejprve sestrojme pruseck K prmky p = PR s rovinou = ABC: zrejme plat K == p p1, kde p1 = P1R1 je pudorysem prmky p, tj. P1 = E a R1 CD,RR1 AA

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR

p

K

P1=

R1

p1

podobne protna prmka q = PQ rovinu v bode L: L = q q1, kde q1 = P1Q1 jepudorysem prmky q, tj. Q1 AB, QQ1 AA

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR

p

K

P1=

R1

p1

q

L

Q1

q1



prmka p = KL je pak pudorysnou stopou roviny a soucasne osou prostorove afinitymezi rovinami , ; smer teto afinity udava napr. prmka AA

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR

p

K

P1=

R1

p1

q

L

Q1

q1

p

sestrojme pruseck 1 = EB p; prmka 1P je potom prusecnic roviny s rovinouEBB a protna hranu BB ve vrcholu B rezu

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR

p

K

P1=

R1

p1

q

L

Q1

q1

p

1

B



podobne protna rovina rovinu ABB steny v prmce 2B, kde 2 = pAB; na prmce2B zrejme mus lezet take zadany bod Q a vrchol A rezu na hrane AA

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR

p

K

P1=

R1

p1

q

L

Q1

q1

p

1

B

2

A

analogicky sestrojme prusecnici 3B roviny s rovinou BCC ; bod 3 je pruseckemprmky BC se stopou p a prmka 3B protna hranu CC v dalsm vrcholu C rezu

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR

p

K

P1=

R1

p1

q

L

Q1

q1

p

1

B

2

A

3C



posledn vrchol D rezu je pruseckem hrany DD s prmkou P4, kde 4 = p ED

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR

p

K

P1=

R1

p1

q

L

Q1

q1

p

1

B

2

A

3C

4

D

na zaver doplnme zbyvajc strany PA a CD (R CD); rezem daneho hranolurovinou je tedy petiuhelnk ABCDE (kde E = P ), ktery odpovda petiuhelnku

ABCDE podstavy v prostorove osove afinite mezi rovinami , ; osou teto afinity je

stopa p a smer udava napr. prmka AA

A B

C

D

E

A B

C

D

E

P

QR

p

K

P1=

R1

p1

q

L

Q1

q1

p

1

B

2

A

3C

4

DE=

2



2.2. Prostorova stredova kolineace mezi dvema rovinami

A

B

p

AB

p

S

R=R

p

mejme dany dve ruznobezne roviny , a bod S, ktery nelez v zadne z nich; pakstredovou kolineac mezi rovinami , rozumme zobrazen, ktere kazdemu bodu

A prirazuje bod A tak, ze plat S AA

zjednodusene receno se jedna o stredove promtan bodu z jedne roviny do rovinydruhe

prusecnici p = nazyvame osou kolineace, dany bod S je stredem kolineace

odpovdajc si prmky se protnaj na ose kolineace v tzv. samodruznych bodech; vizobrazek a na nem prmky p = AB, p = AB a jejich pruseck R = R

vlastnost stredove kolineace lze vyuzt pri konstrukcch rezu na jehlanech; osou ko-lineace je pak prusecnice roviny podstavy s rovinou rezu a stredem je hlavn vrchol

daneho jehlanu

2.2.1. Rez pravidelneho ctyrbokeho jehlanu rovinou

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte rez pravidelneho ctyrbokeho jehlanu ABCDV rovinou = PQR, kde

P ( = ABC), Q AV a R CV .



Konstrukce:

zadan ulohy: pravidelny ctyrboky jehlan ABCDV se ctvercovou podstavou stoj navodorovne rovine (pudorysne) , body P, Q,R urcujc rovinu rezu lez v dane rovine

a na danych hranach

A B

CD

V1

V

P

Q

R

nejprve sestrojme pruseck K prmky p = QR s rovinou = ABC: zrejme plat K == p p1, kde p1 = Q1R1 je pudorysem prmky p, tj. p1 = AC

A B

CD

V1

V

P

Q

R

p

K

Q1R1

p1



prmka p = PK je pak pudorysnou stopou roviny a soucasne osou prostorove koline-ace mezi rovinami , ; stredem teto kolineace je hlavn vrchol V jehlanu

A B

CD

V1

V

P

Q

R

p

K

Q1R1

p1

p

sestrojme pruseck 1 = BCp; prmka 1R je potom prusecnic roviny s rovinou BCVprave bocn steny a protna hranu BV ve vrcholu B rezu

A B

CD

V1

V

P

Q

R

p

K

Q1R1

p1

p1

B



podobne protna rovina rovinu ADV leve bocn steny v prmce 2Q, kde 2 = p AD;tak lze sestrojit posledn vrchol D = 2Q DV hledaneho rezu

A B

CD

V1

V

P

Q

R

p

K

Q1R1

p1

p1

B

2

D

na zaver doplnme zbyvajc strany AB a C D rezu (kde A = Q a C = R); tmtorezem je obecny ctyruhelnk ABC D, ktery odpovda ctverci ABCD v jiz zmnene

prostorove stredove kolineaci mezi rovinami , , jejz osou je stopa p a stredem je

hlavn vrchol V daneho jehlanu

A B

CD

V1

V

P

Q

R

p

K

Q1R1

p1

p1

B

2

D

A=

=C

2



2.2.2. Rez petibokeho jehlanu rovinou

Resene ulohy

Prklad: Sestrojte rez obecneho petibokeho jehlanu ABCDEV rovinou = PQR, jestlize

P AV , Q V V1 a R BCV .Konstrukce:

zadan ulohy: obecny petiboky jehlan ABCDEV stoj na vodorovne rovine (pudorysne), body P, Q,R urcujc rovinu rezu lez na dane hrane, na vysce a v dane stene

A B

C

D

EV1

V

P

Q

R

nejprve sestrojme pruseck K prmky p = PQ s rovinou = ABC: zrejme plat K == p p1, kde p1 = P1Q1 je pudorysem prmky p, tj. p1 = AV1

A B

C

D

EV1

V

P

Q

R

pK

P1

p1



podobne najdeme pruseck L prmky q = QR s pudorysnou : q1 = V1U , kde U == BC V R, a L = q q1

A B

C

D

EV1

V

P

Q

R

pK

P1

p1

q

L

R1

q1

U

prmka p = KL je pak pudorysnou stopou roviny a soucasne osou prostorove kolineacemezi rovinami , ; stredem teto kolineace je hlavn vrchol V jehlanu

A B

C

D

EV1

V

P

Q

R

pK

P1

p1

q

L

R1

q1

U

p



sestrojme pruseck 1 = AEp; prmka 1P je potom prusecnic roviny s rovinou AEVa protna hranu EV ve vrcholu E rezu

A B

C

D

EV1

V

P

Q

R

pK

P1

p1

q

L

R1

q1

U

p

1

E

podobne protna rovina rovinu EBV v prmce 2E , kde 2 = p EB; tak lze sestrojitdals vrchol B = 2E BV hledaneho rezu

A B

C

D

EV1

V

P

Q

R

pK

P1

p1

q

L

R1

q1

U

p

1

E

2

B



analogicky sestrojme vrchol C = CV 3B, kde je 3 = p BC; na prmce BC muslezet take dany bod R

A B

C

D

EV1

V

P

Q

R

pK

P1

p1

q

L

R1

ZAKLADY GEOMETRIE´ - mdg.vsb.czmdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/ZakladyGeometrie/... · Z´aklady...

Documents

Transcript of ZAKLADY GEOMETRIE´ - mdg.vsb.czmdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/ZakladyGeometrie/... · Z´aklady...