Základný jazyk fyziky - ddp.fmph.uniba.skbohm/metody/DR1.pdf · di L Ri U dt Nájdite priebeh...
-
Upload
duongkhanh -
Category
Documents
-
view
220 -
download
0
Transcript of Základný jazyk fyziky - ddp.fmph.uniba.skbohm/metody/DR1.pdf · di L Ri U dt Nájdite priebeh...
Motivácia• Typická úloha fyziky – hľadanie časových priebehov veličín, ktoré
spĺňajú daný fyzikálny zákon.
mgmr F
mg v mg r
0
(0)
(0)
r h
r v
Fyzikálny
zákon
Počiatočné
podmienky
Určte trajektóriu telesa
padajúceho v gravitačnom
poli.
( ) ????r t
Rovnica, v ktorej vystupuje neznáma funkcia spolu so
svojimi deriváciami sa nazýva diferenciálna rovnica.
Klasifikácia DR
nelineárne
xdt
dxa
dt
xdcos=
2
2
lineárne
0=1
2
2
2
2
2 xtv
druh DR
obyčajné
parciálne
analytický tvar
prvého
druhého
n-tého rádu
najvyšší stupeň
derivácie
Rovnica, v ktorej vystupuje neznáma funkcia spolu so
svojimi deriváciami sa nazýva diferenciálna rovnica.
tfattft exp=sin 2
Počiatočné podmienky DR
rôznych rádov
počiatočné podmienky – hodnoty hľadanej
funkcie a jej derivácii až do n-1 stupňa
(vrátane)
Diferenciálne rovnice 1. rádu
• Určte rýchlosť v homogénnom gravitačnom poli. Teleso
v čase t=0 malo rýchlosť v(0)=v0.
.= jbxiav
•Častica sa pohybuje z bodu [0,0] rýchlosťou:
Nájdite jej trajektóriu.
Najjednoduchšie DR: ( )y f x
( )y f x dx
mv mg mx mg
Vektorové rovnice prepisujeme do algebraického tvaru
Diferenciálne rovnice so
separovanými alebo
separovateľnými premennými
= , ( ) ( )y f x y h x g y
=
dyh x dx
g y
= x yy e
Rádioktívny rozpad
Úprava: Každá strana rovnice
obsahuje len jednu premennú
Zákon premeny- štatistický charakter
teNN
NdtdN
0
0
tdN t
e dtN
0
1tt e dt
1/ 2
ln 2ln 2T
Polčas premeny
– čas, za ktorý počet jadier klesne na ½
Stredná doba života
Pravdepodobnosť, že premena
sa zrealizuje v čase t+dt
Počet nepremenených jadier, t.j
rádioaktívnych
Počet premenených jadier v čase t,t+dt
Pravdepodobnosť, že hociktoré jadro sa rozpadne počas dt je dt
Jadro nemá pamäť a pravdepodobnosť rozpadu za jednotku
času je konštanta, až pokiaľ sa jadro nerozpadne
Ak polčas je 10 h, potom pre každé
jadro je pravdepodobnosť, že sa
rozpadne 50 %, ale nemá istotu
100 %, že sa rozpadne za 20h
t1/2 polčas premeny
je doba života
Rádioaktívna premena má štatistický
charakter
Vo valcovej nádobe s prierezom S siaha kvapalina do výšky H.
Určte čas, za aký vytečie voda z nádoby cez otvor s prierezom s.
Nájdite taký tvar nádoby, aby hladina kvapaliny klesala s konštantnou rýchlosťou, tj. dh/dt=a
2v gh
V – objem kvapaliny v nádobe: V=Sh dV=Sdh
Úbytok objemu kvapaliny v nádobe dV=-svdt
2dh s
gdtSh
Za
ča
s d
t vyte
čie
z n
ád
oby o
bje
m d
V, kto
rý s
a
rovn
á ú
bytk
u k
va
pa
liny v
ná
do
be
Počiatočná podmienka 0h H
2
22
sh t H gt
S
2
2
S HT
gs
Vo valcovej nádobe s prierezom S siaha kvapalina do výšky H.
Určte čas, za aký vytečie voda z nádoby cez otvor s prierezom s.
Nájdite taký tvar nádoby, aby hladina kvapaliny klesala s konštantnou rýchlosťou, tj. dh/dt=a
x
y
22
a sg
xy
2dh s
gdtSh
y x
p(x+dx)
p(x)
x
Objem plynu
Sila pôsobiaca na JEDNU molekulu:
Sily pôsobiace na objemový element v smere osi x:
1xdF ndxdSmg
2x
dpdF dxdS
dx
0
0
( )1
dpnmg p nkT
dx
dp mg dx
xp kT
1 2 0x xdF dF
Pole:
Susedné vrstvy:
Podmienka pre termodynamickú rovnováhu:
dS
Teplota plynu sa mení s výškou T=T0(1-x). Určte, ako sa mení tlak a hustota plynu v atmosfére. Na povrchu zeme h=0 je tlak p0. 1, Teplota plynu sa mení s výškou T=T0(1-x).2, izotermická atmosféra
Adiabatický dej
Q W dU 0 vpdV nc dT
pV nRT dpV pdV nRdT
1. veta termodynamická
Stavová rovnica
konstpV κ
p
p v
v
CC C R
C
Počiatočná
rýchlosť
Počiatočná
rýchlosť
dm v mg v
dt
Konečná rýchlosť
Ak počiatočná rýchlosť je
väčšia dv/dt<0 , teleso
spomaľuje. Ak počiatočná
rýchlosť je menšia dv/dt>0 ,
rýchlosť telesa sa začne
zmenšovať až dosiahne
terminálnu rýchlosť. 50 m/s
10 m/s
Homogénne diferenciálne rovnice
yy f
x
yu
xsubstitúcia
( )
du dx
f u u x
0xy y x
Vedie k
separovateľnej
DR
y u x u
Lineárne DR 1. rádu
metóda viariácie konštánt
1 0 0
=
a x y a x y g x
y P x y Q x
1. Nájdeme homogénne riešenie
2. Konštantu povýšime na funkciu A A(x)
3. Dosadíme počiatočné podmienky
( )exp ( )y A x P x dx
exp ( )y A P x dx
Partikulárne, homogénne a všeobecné
riešenia
=y P x y Q x
=p py P x y Q x = 0h hy P x y
=
=
=
p h p h
h p p h
h h p p
y y P x y y Q x
y y P x y P x y Q x
y P x y y P x y Q x
Partikulárne riešenie
hocijaké konkrétne riešenie vyhovujúce rovnici:Homogénne riešenie
riešenie vyhovujúce rovnici:
p hy y y
Všeobecné riešenie
Nájd
i hocija
ké
partik
ulá
rne rie
šenie
a
keď
k n
em
u p
ripočíta
š
hom
ogénne, d
osta
neš
všeobecné
Príklady, ktoré vedú k rovnakej
diferenciálnej rovnici
dN Ndt qdt
0
diL Ri U
dt
Nájdite priebeh prúdu v RL obvode, keď ho zapojíme na konštantné napätie U0
Príkladdy, ktoré vedú k rovnakej
rovnici
dvm mg v
dt
Určte priebeh rýchlosti telesa padajúceho v homogénnom gravitačnom poli.
Predpokladajte, že odpor je úmerný jeho rýchlosti
Bernoulliho DR
my A x y B x y 0,1m
1m m
y AB
y y
1 (1 )m mz y z m y y
1
zAz B
m
zaviesť substitúciu :
LDR
Zníženie rádu
( , )y f x y y z
y z
( , )y f y y
dyy z y
dx
dz dy dzy z z
dy dx dy
( , )dz
z f y zdy
Chýba y
( )y f x y z
y z
1 1 2
sin
sin cos sin
y x
z x z x C y x C x C
2
2 2
1
3
1 2
1 2 0
1 2 0 1
3
x y xy
x z xz z C x
xy C x C
2
2
1 2
1 2
y yy
dzz yz
dy
( )z f x
( , )z f x z
Chýba x
Špeciálne pohybové rovnice vo
fyzike
mx F t
v x
mv F t
mx F x dtxFmdv
xFvm
=
=
Keďže za čas dt teleso
sa posunie o dx=vdt
=dx
mdv F xv
2
0 0
22
0
0
=
=2
=2 2
v x
x
mvdv F x dx
v xv
d m F x dx
xvv
m m F x dx
22
0
0
=2 2
x
xvv
m m F x dx
Loďka sa pohybuje rýchlosťou v0 a vypla motor. Odpor vody je
úmerná druhej mocnine rýchlosti. Určte čas, za ktorý rýchlosť
klesne na polovicu. Určte dráhu, ktorú loďka prešla
Teleso s hmotnosťou m bolo vrhnuté z povrchu Zeme rýchlosťou v0.
smerom nahor. Nájdite jeho polohu v ľubovoľnom čase, pričom berte do
úvahy nehomogénnosť gravitačného poľa.
20
20
2
2
0
112=
112=
=
vRy
Mv
vRy
Mv
dyy
My
vdv
v
z
z
z
z
z
zRv
v
dydt =
2
2 2
2
=
=
z
z
M md ym
dt y
M mdvm
dt y
=my f y
zz
zz
RvM
RMy
20
max2
2=
Loďka sa pohybuje rýchlosťou v0 a vypla motor. Odpor vody je úmerná druhej
mocnine rýchlosti. Určte čas, za ktorý rýchlosť klesne na polovicu. Určte dráhu,
ktorú loďka prešla
22
2
2
d xm v
dt
dvm v
dt