Základní vztahy Základní vztahy hydrodynamiky,hydrodynamiky,

proudění vody v potrubí,proudění vody v potrubí,ztrátyztráty

Jana Pařílková

Základní vztahy hydrodynamiky-Základní vztahy hydrodynamiky-elementární pojmy kinematiky kapalinelementární pojmy kinematiky kapalin

Otevřený průřez Otevřený průřez (řeka, potok, (řeka, potok, průplav, příkop) – vždy se vytvoří průplav, příkop) – vždy se vytvoří volná hladinavolná hladina..

Uzavřený průřezUzavřený průřez (potrubí, stoka, (potrubí, stoka, štola, propustek) – zcela vyplněn štola, propustek) – zcela vyplněn kapalinou (vodovodní potrubí), kapalinou (vodovodní potrubí), zčásti vyplněn kapalinou = proudění zčásti vyplněn kapalinou = proudění o volné hladině (městská stoka za o volné hladině (městská stoka za malého přítoku vody).malého přítoku vody).

Průtočná plocha (průtočný průřez) Průtočná plocha (průtočný průřez) AA [m[m22]] je příčný průřez kolmý ke je příčný průřez kolmý ke směru proudění a vyplněný proudící směru proudění a vyplněný proudící kapalinou.kapalinou.

Baťův kanál – úsek u Rohatce

Moravany – propustek v místě dálnice Vídeň - Wroclaw

Elementární pojmy kinematiky kapalinElementární pojmy kinematiky kapalin

Částicová (bodová) rychlost Částicová (bodová) rychlost u [m/s]u [m/s] kapaliny kapaliny je dráha částice kapaliny je dráha částice kapaliny dldl, kterou urazí za čas , kterou urazí za čas dtdt..

Objemový průtok (průtok)Objemový průtok (průtok) je objem je objem VV [m[m33]] kapaliny, který protekl celou průtočnou plochou kapaliny, který protekl celou průtočnou plochou A [mA [m22]] za jednotku času za jednotku času tt [s][s]..

Střední hodnota rychlosti Střední hodnota rychlosti v [m/s]v [m/s] (průřezová, (průřezová, střední profilová)střední profilová) kapaliny kapaliny je definovaná tak, je definovaná tak, že jejím vynásobením průtočnou plochou A [mže jejím vynásobením průtočnou plochou A [m22] ] dostáváme skutečný průtok Q [mdostáváme skutečný průtok Q [m33/s]./s].

smdt

dlu /

]/[ 3 smdAuQ

]/[ smA

dAuv

]/[ 3 smAvQ

Základní rovnice pohybu kapalinZákladní rovnice pohybu kapalin

Obecný případ neustáleného proudění vazké stlačitelné kapaliny je složitým jevem.

Proto se zavádějí zjednodušující předpoklady a uvažují se modely:

Ideální kapalina – nevazká, nestlačitelná ( = 0, = konst.),

Skutečná kapalina – vazká, nestlačitelná ( = konst.).

Soustavu základních rovnic popisujících pohyb kapaliny tvoří:

Rovnice kontinuityRovnice kontinuity (zákon zachování hmotnosti), (zákon zachování hmotnosti),Pohybová rovnicePohybová rovnice (2. Newtonův zákon vyjadřující silové (2. Newtonův zákon vyjadřující silové působení v proudící kapalině – pro ideální kapalinu se působení v proudící kapalině – pro ideální kapalinu se nazývá Eulerova rovnice, pro skutečnou nestlačitelnou nazývá Eulerova rovnice, pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu se nazývá Navierova-Stokesova resp. kapalinu se nazývá Navierova-Stokesova resp. Reynoldsova pro turbulentní proudění),Reynoldsova pro turbulentní proudění),Bernoulliho rovniceBernoulliho rovnice (zákon zachování mechanické (zákon zachování mechanické energie proudu),energie proudu),Věta o hybnostiVěta o hybnosti (vztahuje se na poměry na plochách (vztahuje se na poměry na plochách ohraničujících určitou oblast kapaliny, takže není nutné ohraničujících určitou oblast kapaliny, takže není nutné znát průběh proudění).znát průběh proudění).

Při praktických výpočtech jsou doplněny zpravidla stavovou rovnicí (vyjadřuje vztah mezi hustotou kapaliny a tlakem) nebo tokovou rovnicí (vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem rychlosti deformace).

Rovnice kontinuityRovnice kontinuity

Rovnice kontinuity má pro Rovnice kontinuity má pro nestlačitelnou kapalinunestlačitelnou kapalinu v ortogonálním kartézském systému souřadnic tvarv ortogonálním kartézském systému souřadnic tvar

0

z

u

y

u

x

u zyx

pro proudovou trubicipro proudovou trubici

2211 AvAvQ

Pohybová rovnice pro ideální kapalinu – Pohybová rovnice pro ideální kapalinu – Eulerova rovniceEulerova rovnice

z

pa

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

y

pa

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

x

pa

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

zz

zz

yz

xz

yy

zy

yy

xy

xx

zx

yx

xx

1

1

1

Lokální zrychlení Konvektivní zrychleníZrychlenívnějšíchobjemových sil

Tlakovésíly

Vnější síly a měrná hmotnost jsou obvykle známy. Zůstávají 4 neznámé p, ux, uy, uz ; je nutno použít další rovnici = rovnici kontinuity.

Pohybová rovnice pro skutečnou Pohybová rovnice pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu – nestlačitelnou kapalinu –

Navierova-Stokesova rovniceNavierova-Stokesova rovnice

jj

i

ii

j

ij

i

xx

u

x

pa

x

uu

t

u

21

Navier – Stokesova rovnice vztažená na jednotku hmotnosti má tvar:

Přistupují síly tření způsobené vazkostíLokální zrychlení

Konvektivní zrychlení

Zrychlenívnějšíchobjemových sil Tlakové

síly

Pohybová rovnice pro skutečnou Pohybová rovnice pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu při turbulentním nestlačitelnou kapalinu při turbulentním

proudění – proudění – Reynoldsova rovniceReynoldsova rovnice

'uuu

Odvozena z Navierovy – Stokesovy rovnice tak, že okamžitá bodová rychlost resp. tlak, je rozložena na střední (časově vyhlazenou) rychlost ū a fluktuační (pulsační) složku rychlosti u‘:

''21

jijjj

i

ii

j

ij

i uuxxx

u

x

pa

x

uu

t

u

Potom:

, kde

2

2

1T

t

Tt

dtuT

u

Ustálené prouděníUstálené proudění (permanentní) (permanentní) je takový pohyb kapaliny, který se nemění v čase. je takový pohyb kapaliny, který se nemění v čase.

smkonstvAvAvAvAQ nn /.... 3332211

Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)

1

221 A

Avv

kde indexy 1,2,…n se vztahují k jednotlivým příčným řezům koryta. V uvedeném tvaru platí pro nestlačitelné tekutiny (kapaliny), pro stlačitelné tekutiny (vzdušiny) jen při pohybu za stálého tlaku a teploty.

Popsán je Popsán je rovnicí kontinuity (spojitosti)rovnicí kontinuity (spojitosti) ustáleného proudu: ustáleného proudu:

0dt

dQ

Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)Pohyb rovnoměrnýPohyb rovnoměrný je zvláštní případ pohybu ustáleného, při němž jsou průtočné průřezy celého uvažovaného úseku stejné, A1 = A2 = …= An = konst. Protože při ustáleném pohybu také Q=konst., jsou střední rychlosti nezávislé časově i místně.

0,0 dx

dv

dt

dv

l

ztgJ T 0

Rybník „Návesní“, potok Lopač,Ostrov u Macochy, Blanensko

J0

v

J0 – sklon dna

0: RJCvChézy

Pohyb ustálený nerovnoměrný Pohyb ustálený nerovnoměrný vzniká při ustáleném proudění (vzniká při ustáleném proudění (Q = konstQ = konst.) při .) při změně průtočné plochy změně průtočné plochy ((A A ≠≠ konst konst.). .).

0,0 dx

dv

dt

dv

Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)

zrychlený zrychlený – průtočné plochy se ve směru toku zmenšují nebo – průtočné plochy se ve směru toku zmenšují nebo zpožděnýzpožděný - průtočné plochy se ve směru toku zvětšují. - průtočné plochy se ve směru toku zvětšují.

PohybPohyb může být: může být:

Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)Neustálené proudění kapaliny Neustálené proudění kapaliny je pohyb, při je pohyb, při

němž se průtok mění v čase němž se průtok mění v čase Q Q ≠≠ konst konst. . Nastává časová i pohybová změna vodních Nastává časová i pohybová změna vodních stavů. (Pohyb povodně v řece – průtok se stavů. (Pohyb povodně v řece – průtok se zvětšuje do maxima a potom klesá). zvětšuje do maxima a potom klesá).

0,0 dx

dQ

dt

dQ0,0

dx

dy

dt

dy

Druhé rameno řeky Opavy se vytvořilo po povodních v r. 2002.

Proudnice Proudnice jsou čáry vedené proudící kapalinou tak, že jsou čáry vedené proudící kapalinou tak, že v každém místě má jejich tečna směr souhlasný se v každém místě má jejich tečna směr souhlasný se směrem rychlosti proudění v tomto místě. Při ustáleném směrem rychlosti proudění v tomto místě. Při ustáleném proudění jsou totožné s drahami jednotlivých částeček proudění jsou totožné s drahami jednotlivých částeček kapaliny.kapaliny.

Uvažujeme-li v kapalině Uvažujeme-li v kapalině

nekonečně malou uzavřenou nekonečně malou uzavřenou

křivku a v každém jejím křivku a v každém jejím

bodě vedeme příslušnou bodě vedeme příslušnou

proudnici, pak tyto proudnice proudnici, pak tyto proudnice

vytvářejí vytvářejí proudovou trubiciproudovou trubici

a kapalina v této trubici se nazývá a kapalina v této trubici se nazývá proudovým vláknem.proudovým vláknem.

Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)

Bernoulliho rovniceBernoulliho rovniceVyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudu Vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudu kapaliny.kapaliny. Je základním vztahem hydrodynamiky. Je základním vztahem hydrodynamiky.

konstg

u

g

phE

2

2

Jinak řečeno: pro tíhovou jednotku proudící kapaliny je součet Jinak řečeno: pro tíhovou jednotku proudící kapaliny je součet (polohové, tlakové)-potenciální a pohybové-kinetické energie konstantní.(polohové, tlakové)-potenciální a pohybové-kinetické energie konstantní.

kde h značí polohovou (geodetickou) výšku osy proudového vlákna, p tlak, hustota kapaliny, u bodovou rychlost a g tíhové zrychlení Země.

Pro Pro ustálené proudění ideální ustálené proudění ideální kapalinykapaliny v proudové trubici v proudové trubici pro všechny průřezy pro všechny průřezy proudového vlákna je součet proudového vlákna je součet polohové (geodetické), polohové (geodetické), tlakové a rychlostní výšky stálý.tlakové a rychlostní výšky stálý.

Bernoulliho rovniceBernoulliho rovnicePro Pro ustálené proudění skutečné kapalinyustálené proudění skutečné kapaliny (nestlačitelná, ale uvažuje se vnitřní tření) má tvar:(nestlačitelná, ale uvažuje se vnitřní tření) má tvar:

Zhg

v

g

ph

g

v

g

ph

22

222

2

211

1

kde hz je ztrátová výška (přičítá se vždy v tom průřezu, který je dále po toku), v je průřezová rychlost, je Coriolisovo kritérium (nesprávně číslo = 1,05 - 1,10). Coriolisovo kritérium odstraňuje chybu zavedením průřezové rychlosti místo skutečného rozdělení rychlosti v průřezu. Vyjadřuje podíl skutečné kinetické energie v průřezu ku kinetické energii vyjádřené z průřezové rychlosti.

dAuvA A 3

3

1

Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinuBernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu

Věta o hybnostiVěta o hybnostiPůsobí-li na hmotný bod o hmotnosti Působí-li na hmotný bod o hmotnosti mm stálá stálá síla síla FF, mění se rychlost , mění se rychlost uu..

Podle Newtonova zákona: umddtFdt

udmF

impuls síly hybnost hmotného bodu

Integrací v časovém intervalu t1 do t2, v němž je síla stálá a vektor rychlosti se mění z u1 do u2 lze psát:

)()( 1212 ttFuum

Věta o hybnosti při ustáleném Věta o hybnosti při ustáleném proudění kapalinproudění kapalin

Za dobu 1s při ustáleném proudění kapalin Za dobu 1s při ustáleném proudění kapalin každým průřezem projde průtok o hmotnosti každým průřezem projde průtok o hmotnosti QQ, jehož hybnost je , jehož hybnost je QvQv..

Rychlost v průtočném průřezu není rozdělena rovnoměrně, počítáme s její průměrnou hodnotou v. Pro zpřesnění výpočtu zavádíme korekční součinitel – Boussinesqovo kriterium (zpravidla v nepravidelných průtočných průřezech. Je to obdobaCoriolisova kriteria a jeho hodnota se pohybuje kolem 1.

)( 12 vvQF Věta o hybnosti řeší takové případy, kdy nedovedeme určit ztráty, ale známe všechny síly působící na určitý objem kapaliny. Na rozdíl od Bernoulliho rovnice (energetická bilance) se jedná o vztah vektorový.

Na potrubí s průměrem DNa potrubí s průměrem D11 = 0,3 m, kterým protéká průtok = 0,3 m, kterým protéká průtok

Q = 0,110 mQ = 0,110 m33/s, je napojeno potrubí s průměrem /s, je napojeno potrubí s průměrem DD22 = 0,15 m. V potrubí D = 0,15 m. V potrubí D22 vypočítejte velikost rychlostní vypočítejte velikost rychlostní

výšky. (Neuvažujte ztráty.)výšky. (Neuvažujte ztráty.)

]975,181,92

225,61[

2

]/225,615,0

3,0556,1[

]/556,13,0

110,04[

4

222

2

2

2

22

21

12

1122211

221

1

1

11

mg

vh

smD

Dv

A

AvvAvAv

smD

Q

A

Qv

k

Voda proudí potrubím A-B, které je sériově spojeno Voda proudí potrubím A-B, které je sériově spojeno s potrubím B-C. V potrubí B-C je průřezová rychlost s potrubím B-C. V potrubí B-C je průřezová rychlost vv22 = 2 m/s. V uzlu C se potrubí větví na část C-D, ve které = 2 m/s. V uzlu C se potrubí větví na část C-D, ve které

je průřezová rychlost vje průřezová rychlost v33 = 1,5 m/s. V úseku C-E je průtok = 1,5 m/s. V úseku C-E je průtok

QQ44 = ½ Q = ½ Q33. Vypočítejte průřezové rychlosti a průtoky ve . Vypočítejte průřezové rychlosti a průtoky ve

všech úsecích potrubí a v úseku C-D určete odpovídající všech úsecích potrubí a v úseku C-D určete odpovídající průměr. (Neuvažujte ztráty.)průměr. (Neuvažujte ztráty.)

Řešení

A-B a B-C jsou řazeny sériově → stejný průtok Q1 = Q2. Rce kontinuity:

2

32

2

22

22111 /008836,024

075,014,3

4Qsmv

DvAvAQ

Průřezová rychlost:

sm

A

Qv /5,4

05,0

008836,04

21

11

Průtok v potrubí B-C se rovná součtu průtoků v trase C-D a C-E:

Q2= Q3 + Q4. Protože Q4 = 0,5 Q3 , je Q2= Q3 + 0,5 Q3=1,5 Q3 a platí:

smQ

Q /005891,05,1

008836,0

5,132

3

sm

QQ /002945,0

2

005891,0

233

4

Odpovídající D3 se vyjádří rovněž z rce kontinuity

mv

QDv

DvAQ 071,0

5,114,3

005891,044

4 3

333

23

333

Průřezová rychlost v úseku C-E

smD

Q

D

Qv /17,4

03,014,3

002945,044

4

224

424

44

Sériově spojené vodovodní potrubí dle obrázku má Sériově spojené vodovodní potrubí dle obrázku má průměry Dprůměry D11 = 0,024 m, D = 0,024 m, D22 = 0,056 m a D = 0,056 m a D33 = 0,040 m. = 0,040 m.

Tlakové výšky v otevřených piezometrech v průřezech 1 Tlakové výšky v otevřených piezometrech v průřezech 1 resp. 2 jsou hresp. 2 jsou h1 1 = 0,68 m resp. h= 0,68 m resp. h22 = 0,84 m. Vypočítejte = 0,84 m. Vypočítejte

tlakovou výšku htlakovou výšku h33. Předpokládejte proudění ideální kapaliny . Předpokládejte proudění ideální kapaliny

s hustotou s hustotou = 1000 kg/m = 1000 kg/m33..

]825,0649,0356,081,92

184,0[

2

1

22

22

]/356,0056,0

024,080244,1[

]/6488795,0040,0

024,080244,1[

]/80244,1

056,0

024,01

)68,084,0(81,92[

1

)(2

),(2

22,

22

223

23

2223

23

3

22

2

23

3

22

2

2

22

21

12

2

2

23

21

13

1133311

4

4

42

41

121

22

21

12

11212

22

21

22

2

21

1

22

2

21

1

mh

vvg

hhg

vh

g

vh

g

v

g

ph

g

v

g

ph

smD

Dvv

smD

Dv

A

AvvAvAv

sm

DD

hhgv

DD

vAAv

vhhgvv

g

vh

g

vh

g

v

g

ph

g

v

g

ph

aa

aa

Vysvětlete princip měření bodové rychlosti pomocí Pitotovy Vysvětlete princip měření bodové rychlosti pomocí Pitotovy trubice v kanálu s volnou hladinou.trubice v kanálu s volnou hladinou.

Pitotova trubice je do pravého úhlu ohnutá trubice na obou koncích otevřená.Zúženým otvorem v krátkém vodorovném rameni se vloží proti proudu, ve svislém rameni vystoupí kapalina nad hladinu do úrovně 3.

Prandtlova sonda –dvě vedení v trubici

Řešení

Stoupnutí hladiny v trubici je způsobeno přeměnou kinetické energie proudící kapaliny na energii potenciální.

Protože u2=0 → h1 = h2, u1 = u, platí:g

uH

g

pp

2

212

gHu 2

Bernoulliho rovnice pro proudové vlákno v místech 1-2 g

u

g

ph

g

u

g

ph

22

222

2

211

1

Kde H je převýšení hladiny ve svislém rameni Pitotovy trubice nad hladinou. Proto určuje Pitotova trubice rychlostní výšku. Pro rychlost proto platí:

gHu 2Deformací proudu vznikají ztráty. Výsledek je tedy nutno opravit součinitelem φ<1, který se určuje experimentálně.

Do vodovodního potrubí byl pro měření průtoku vřazen Do vodovodního potrubí byl pro měření průtoku vřazen venturimetr (dle obrázku). Vypočítejte rychlosti vventurimetr (dle obrázku). Vypočítejte rychlosti v11, v, v22

a průtok Q, je-li průměr Da průtok Q, je-li průměr D11 = 100 mm, D = 100 mm, D22 = 50 mm, rozdíl = 50 mm, rozdíl

tlaku v piezometrických trubicích H = 80 mm, tlaku v piezometrických trubicích H = 80 mm, = 1 = 1 a geodetické výšky ha geodetické výšky h1 1 == hh22. Předpokládejte proudění ideální . Předpokládejte proudění ideální

kapaliny s hustotou kapaliny s hustotou = 1000 kg/m = 1000 kg/m33, teplotou T = 20°C , teplotou T = 20°C a a = 1,01.10 = 1,01.10-6-6mm22/s. Určete hodnoty Reynoldsových kritérií /s. Určete hodnoty Reynoldsových kritérií v profilech 1 a 2.v profilech 1 a 2.

]640591001,1

05,0294,1[Re

]319801001,1

1,0323,0[Re

]/323,010,005,0

294,1[

]/10541,2405,0

294,1[4

]/294,1

10,0

05,01

08,081,92[

1

2

,2

22

,1,,0,22

622

2

611

1

2

21

22

21

3322

2222

4

4

41

42

2

21

22

21

221

21

22

21

2221

2121

222

2

211

1

íturbulentnDv

íturbulentnDv

smDD

vv

smD

vAvQ

sm

DD

gHv

DD

vAAv

vgHvv

gv

gv

Hg

pg

p

Hg

pg

phhhh

gv

gp

hgv

gp

h zz

Vodovodní potrubí průměru Vodovodní potrubí průměru DD11=(50+P)mm=(50+P)mm se vloženou se vloženou

armaturou zužuje na průměr armaturou zužuje na průměr DD22=(25+0,5P)mm=(25+0,5P)mm. Připojené . Připojené

piezometry ukazují rozdíl hladin piezometry ukazují rozdíl hladin H= (50+2P)mmH= (50+2P)mm. Vypočtěte . Vypočtěte průtok průtok QQ vody potrubím a rychlost vody potrubím a rychlost vv22 ve zúženém průřezu. ve zúženém průřezu.

Ztráty zanedbejte, Ztráty zanedbejte, ≈≈ 1,0 1,0. Počítejte pro . Počítejte pro P = 10P = 10..

Řešení pro: P=10, D1=60 mm, D2=30 mm, H=70 mm

Rce kontinuity:

smm

gHv

mvgH

mvvgH

vvgH

/21,125,011

07,081,92

1

2

12

2

2

222

222

222

22

21

22

slsmv

DAvQ /85,0/00085,021,1

4

03,014,3

43

2

2

22

222

Vychází z Bernoulliho rovniceg

v

g

ph

g

v

g

ph

22

222

2

211

1

25,006,0

03,0

;

2

2

21

22

21

1

2

1

2212211

D

Dmmvv

mA

A

A

AvvvAvA

g

vvH

2

21

22

Z nádoby 1 o průřezu Z nádoby 1 o průřezu AA00 vytéká voda trubicí, jejíž výtokový vytéká voda trubicí, jejíž výtokový

průřez průřez AA11 je v hloubce je v hloubce hh11 pod hladinou v nádobě. Uprostřed pod hladinou v nádobě. Uprostřed

je trubice zúžena na plochu je trubice zúžena na plochu AA22. Svislou trubku, vedoucí od . Svislou trubku, vedoucí od

tohoto zúžení do nádoby 2, zatím neuvažujeme. Vodu tohoto zúžení do nádoby 2, zatím neuvažujeme. Vodu v nádobě 1 stále doplňujeme na původní úroveň, takže v nádobě 1 stále doplňujeme na původní úroveň, takže pohyb je ustálený. Zjistěte, zda vznikne ve zúženém pohyb je ustálený. Zjistěte, zda vznikne ve zúženém průřezu podtlak.průřezu podtlak.

Sací účinek proudu

Řešení

Pro průřezy A0 - A1, v nichž je atmosférický tlak p0 bude za předpokladuproudění beze ztrát Bernoulliho rce:

g

v

g

p

g

v

g

ph

22

210

200

1

Rce kontinuity:0

1101100 A

AvvvAvA

Z obou rovnic plyne 120

21

21 1

2h

A

A

g

v

A je-li A0>A1, lze druhý člen zanedbat:

111

21 2

2ghvh

g

v

Bernoulliho rce pro průřezy A0 –A2:

2

20

2220

222

200

2

2

22

hg

vv

g

pp

g

v

g

p

g

v

g

ph

Rce kontinuity:

2

1121122 A

AvvvAvA

220

22

21

2120 11

2h

AAg

Av

g

pp

potom

Zanedbáme-li

22

20

11

AA

a dosadíme za v1, potom 2

2

2

11

20 hA

Ah

g

pp

2

2

2

11

20 hA

Ah

g

pp

výraz je kladný, tj. tlak vnějšího vzduchu p0 je větší než tlak vody p2 ve zúženém průřezu, když:

1

2

2

1

2

2

112 .

h

h

A

Atj

A

Ahh

Při splnění této podmínky vzniká ve

zúženém průřezu podtlak p2 < p0.

Navrtáme-li za takových podmínek stěnu trubice ve zúženém průřezu, voda tímto otvorem nevytéká, ale naopak vnější vzduch je nasáván do trubice. Je-li otvor propojen trubkou s níže položenou druhou nádobou, je voda z této nádoby nasávána tak dlouho, pokud tlak sloupce gh3 < (p0 – p2).

Na tomto principu jsou založena hydraulická čerpadla a hydraulické vývěvy.

Z nádrže vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti Z nádrže vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti ρρ=1000 kg/m=1000 kg/m33 svislým divergentním potrubím, jehož vstupní průměr je svislým divergentním potrubím, jehož vstupní průměr je DD11=0,015 m=0,015 m, ,

výstupní průměr výstupní průměr DD2 2 =0,0=0,022 m m a délka a délka l =1 ml =1 m. Výška hladiny v nádržce . Výška hladiny v nádržce

nad výtokovým průřezem je nad výtokovým průřezem je H = 2 mH = 2 m. Vypočítejte průtok potrubím, . Vypočítejte průtok potrubím, v průřezu 1 zjistěte hodnotu tlaku.v průřezu 1 zjistěte hodnotu tlaku.

Řešení Bernoulliho rce pro hladinu v nádrži 0 a výtokový průřez 2→v2, průtok z rce kontinuity. S.R. se volí ve výtokovém průřezu.

smgHvg

v

g

p

g

pH aa /26,6281,922

200 2

22

smA

Qvresp

smvAQ

/128,11015,014,3/001966,04.

/001966,04/02,014,326,6

2

11

3222

Bernoulliho rce pro hladinu v nádrži 0 a výtokový průřez 1

..3,562,19

12,1112

2

20

2211

211

slvmg

vlH

g

pp

g

v

g

pl

g

pH

as

sa

V průřezu 1 je podtlak.

Pozn. V rozšiřujícím se potrubí není průběh tlakové čáry lineární.

Ke stěně nádrže je připevněno vodorovné potrubí s proměnným Ke stěně nádrže je připevněno vodorovné potrubí s proměnným průměrem, kterým vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti průměrem, kterým vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti ρρ=1000 kg/m=1000 kg/m33 do volného prostoru. Hladina v nádrži je ve výšce do volného prostoru. Hladina v nádrži je ve výšce H=3 m nad osou potrubí. Průměry a délky potrubí jsou H=3 m nad osou potrubí. Průměry a délky potrubí jsou DD11=0,24 m=0,24 m, ,

ll11=3 m, =3 m, DD2 2 =0,=0,11 m m,, ll22 =1 m, =1 m, DD33 =0,=0,1212 m m,, ll33 =2 m =2 m. Vypočítejte průtok . Vypočítejte průtok

potrubím a zakreslete průběh čáry energie a tlaku.potrubím a zakreslete průběh čáry energie a tlaku.

mg

vh

smD

Dv

A

AvvAvAv

mg

vh

smD

Dv

A

AvvAvAv

smAvQ

smgHvg

v

g

p

g

v

g

pH

k

k

aa

2,681,92

05,11

2

/05,111,0

12,067,7

1874,081,92

9175,1

2

/9175,124,0

12,067,7

/0868,04

12,067,7

/67,7381,9222

02

222

2

2

2

22

23

32

3323322

221

1

2

2

21

23

31

3313311

32

33

3

23

20

Tlakové poměry v průřezu 0-1 se získají z Bernoulliho rce

..9,21,032

.2

00

121

211

slvmg

pp

g

vH

respg

v

g

p

g

pH

as

sa

v průřezu 0-2

..2,32,632

.2

00

222

222

slvmg

pp

g

vH

respg

v

g

p

g

pH

as

sa

v průřezu 3 působí atmosférický tlak pa

přetlak

podtlak

Pozn. Při vykreslování tlakové čáry jsou přetlaky nad S.R. a podtlaky pod ní.

V potrubí, které je skloněné o úhel α = 45°, se na délce l = 2 m mění průřez z D1 = 0,2 m na průměr D2 = 0,1 m. Jestliže potrubím protéká olej o ρ0 = 900 kg/m3 a průřezová rychlost je v profilu 1 v1 = 2 m/s, určete pokles tlaku na délce l = 2 m (ztráty se neuvažují). Při měření tlaků diferenciálním manometrem, ve kterém je rtuť o ρHg = 13 600 kg/m3 , určete rozdíl hladin v manometru Hm.

Laminární a turbulentní prouděníLaminární a turbulentní prouděníPomocí hodnoty Pomocí hodnoty Reynoldsova kritériaReynoldsova kritéria se určuje režim se určuje režim proudění (laminární nebo turbulentní). proudění (laminární nebo turbulentní). Při laminárním režimu proudění se jednotlivé vrstvy kapaliny Při laminárním režimu proudění se jednotlivé vrstvy kapaliny mezi sebou nemísí. mezi sebou nemísí. Turbulentní režim proudění se vyznačuje nepravidelnou Turbulentní režim proudění se vyznačuje nepravidelnou pulsací složek rychlosti a tlaku kolem jejich střední hodnoty.pulsací složek rychlosti a tlaku kolem jejich střední hodnoty.

Proudění v potrubíProudění v potrubí

Kruhové potrubíKruhové potrubí - Reynoldsovo kritérium - Reynoldsovo kritérium je definováno vztahem:je definováno vztahem:

kde kde je součinitel kinematické viskozity, je součinitel kinematické viskozity, DD je průměr potrubí. je průměr potrubí.

(pro t = 20°C –(pro t = 20°C –2020= 1,01.10= 1,01.10-6-6 m m22/s). Kritické hodnoty jsou:/s). Kritické hodnoty jsou:

ReRekritkrit < 2320 - laminární proudění; < 2320 - laminární proudění;

Re > 13 800 - kvadratická oblast ztrát třením.Re > 13 800 - kvadratická oblast ztrát třením.  Obecný průřezObecný průřez - Reynoldsovo kritérium - Reynoldsovo kritérium je definováno vztahem: je definováno vztahem: kde R je hydraulický poloměr. Kritické hodnoty jsou:kde R je hydraulický poloměr. Kritické hodnoty jsou:ReReRkritRkrit < 580 - laminární proudění; < 580 - laminární proudění;

ReReRR > 3 450 - kvadratická oblast ztrát třením > 3 450 - kvadratická oblast ztrát třením

v obecném průřezu. v obecném průřezu.

Reynoldsovo kritériumReynoldsovo kritérium

Dv

Re

Rv

R

Re

O

AR

A je plocha,O je omočený obvodPozn.: Hydraulický poloměr v kruhovém potrubí je R=D/4.

Při jakých rychlostech proudění vody Při jakých rychlostech proudění vody 20°C20°C teplé je zajištěn teplé je zajištěn laminární režim proudění potrubím kruhového průřezu laminární režim proudění potrubím kruhového průřezu o vnitřním průměru o vnitřním průměru D= 50 mmD= 50 mm??(pro (pro t = 20°Ct = 20°C je je 2020= 1,01.10= 1,01.10-6-6 m m22/s/s))

smD

v /047,005,0

1001,12320Re 6Řešení

Ztráty Ztráty

Při laminárním proudění jsou hydraulické ztráty úměrné hodnotě střední rychlosti. Při turbulentním proudění, při němž odpory značně narůstají vlivem pulsací rychlostí, jsou ztráty úměrné až kvadrátu rychlosti.

můžeme vyjádřit z Bernoulliho rovnice v proudu skutečné kapaliny, po úpravě pak

g

v

g

ph

g

v

g

phh

22=

222

2

211

1z

Celkovou ztrátu hz dostaneme složením jednotlivých

ztrát, jež se provede sečtením: mtz hhh

Na vodorovném potrubí stálého průřezu bude ztrátová výška dána rozdílem tlakových výšek (v1 = v2 a h1 = h2):

g

p

g

pph

21

z =

Ztráta třením a místní ztráta se obvykle vyjadřují jako část rychlostní výšky ve tvaru :

g

vh

2=

21

z Kde je součinitel příslušné ztráty.

Ztráty třením, výpočet dlouhého potrubí

Zg

v

g

pz

g

v

g

pz

22

222

2

211

1

mtz hhZh

Ztráty třením – Darcy-Weisbachova rovnice

2

22

22 gAD

LQ

gD

LvLih Et

(iE je hydraulický sklon tj. sklon ČE)

EiRgkdev

020 ,

8

Je tečné napětí u stěny potrubí,R je hydraulický poloměr.

Základní vztahy pro výpočet Základní vztahy pro výpočet součinitele tření součinitele tření

Nekruhová potrubí, dlouhá potrubíNekruhová potrubí, dlouhá potrubí

Vypočítejte ztrátu třením na délce L = 1000 m běžného litinového potrubí (n = 0,013,  = 0,002 m) o průměru D = 250 mm, kterým protéká průtok Q = 60 l/s vody (teplota vody t = 20oC).

Řešení

L = 1000 m; D = 0,25 m; Q = 0,060 m3/s; = 1,0105 10-6 m2/s; n = 0,013; = 0,002 m;

sm

D

Q=

A

Qv /222,1

25,0

06,044=

22

proud.) turb.(vyvinuté 326 302 100105,1

0,251,222==Re

6Dv

m 0,0625

4

25,0=

4=R

24

1D

D

D

Zadání

dle Manninga 0,033425,0

013,0124,58124,58=

848=

3/1

2

3/1

2

3/1

23/1

2

D

n

D

ng

C

g

mgg

v

D

Lht 17,10

2

222,1

25,0

10000334,0=

2=

22

dle Pavlovského

0,0309=848

=2

22

2 y

y

D

ng

C

g

1524,00,1)-(75,0-0,13-2,5= nRny

mgg

v

D

Lht 41,9

2

222,1

25,0

10000309,0=

2=

22

dle Ševeljeva 0318,025,0

0,0210=

0,0210=

3.03.0

D

mgg

v

D

Lht 68,9

2

222,1

25,0

10000318,0=

2=

22

Colebrook-Whiteova rovnice 0354,03,7

+Re

2,51log2-=

1

D

mgg

v

D

Lht 78,10

2

222,1

25,0

10000354,0=

2=

22

Ztráty třením na délce potrubí L = 1000 m jsou podle jednotlivých autorů v rozmezí od 9,41 ~ 10,78 m .

Hydraulicky krátké potrubíHydraulicky krátké potrubíje takové potrubí, u něhož místní ztráty hm nejsou

zanedbatelné vůči ztrátám třením ht. Celkové ztráta hz se

počítá podle vztahu:g

v

D

Lhhh mtz 2

+=+=2

kde je součinitel tření, L délka úseku potrubí, D průměr potrubí, součinitel místní ztráty, v průřezová rychlost, g tíhové zrychlení.

Hranice mezi potrubím hydraulicky krátkým a dlouhým není otázkou geometrickou, ale hydraulickou. Je nutné posoudit, zda je ztráta místní zanedbatelná vůči ztrátě třením. Typickými příklady krátkého potrubí jsou shybky, potrubí čerpadel, násosky, atd.

ShybkaShybkaOtevřené vodní toky (náhony, potoky, kanály, ...) vedeme pod místními překážkami (komunikace, jiný vodní tok, ...) krátkými úseky tlakových potrubí - shybkami. Vtok shybky navrhujeme rozšířený nebo zaoblený. Umisťujeme jej tak hluboko pod hladinu, aby se netvořil vtokový vír a aby do shybky nevnikal vzduch. Před vtokem se obvykle umisťují hrubé česle a lapák splavenin.Aby shybkou protekl určitý průtok, musí hladina před objektem zaujmout vyšší polohu, než hladina za objektem. Před shybkou dochází většinou ke změně beztlakového proudění na tlakové a za shybkou k opačné změně.

Položte shybku kruhového průřezu o poloměru D=0,6 m Položte shybku kruhového průřezu o poloměru D=0,6 m a délce L= 25 m náhonu pod silnicí. Vypočítejte ztrátovou a délce L= 25 m náhonu pod silnicí. Vypočítejte ztrátovou výšku při průtoku Q = 450 l/s. Stupeň drsnosti dle výšku při průtoku Q = 450 l/s. Stupeň drsnosti dle Manninga pro kanalizační trouby je n = 0,013.Manninga pro kanalizační trouby je n = 0,013.

Řešení

Na potrubí, které spojuje dvě nádrže s olejem A a D, je umístěno čerpadlo BC. Čerpadlo má čerpat průtok Q = 160 l/s do horní nádrže D. Sací i výtlačné potrubí má průměr D = 0,3 m. Ztráty v sacím potrubí jsou 2,5 m; ve výtlačném potrubí 6,5 m sloupce oleje. Jestliže jsou známé polohové výšky hladin v nádržích a osy čerpadla, vypočtěte příkon čerpadla, je-li účinnost jeho čerpání = 0,6 a měrná hmotnost oleje = 760 kg/m3.

Tlaková čáraPříkon čerpadla

][WHQg

Pmč

– měrná hmotnostQ – průtokH – dopravní výškač – účinnost čerpadlam – účinnost elmotoru

Řešení