Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

Srdjan Vukmirovic

May 22, 2004

1 Matematicka indukcija

ZadaTak 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n vazi 3 / (5n + 2n+1).

ZadaTak 1.2 Dokazati da sa svake m ∈ Z i n ∈ N postoje jedinstveno odredjeni q ∈ Z i r ∈ N, 0 ≤ r < n takvida vazi m = nq + r. Tada pisemo m ≡ r(modn) i kazemo da je m kongruentno sa r po modulu n.

2 Grupe

Definicija 2.1 Neka je G skup sa binarnom operacijom : G×G → G. Struktura (G, ·) je grupa ako vazi:

i) operacija · je asocijativna, tj. vazi a (b c) = (a b) c za sve a, b, c ∈ G;

ii) postoji element e ∈ G takav da a e = a = e a za svaki a ∈ G;

iii) za svaki a ∈ G postoji element b ∈ G takav da je a b = e = b a.

Element e se naziva jedinicni element (ili neutral) grupe, a element b inverzni element elementa a ioznacava se sa b = a−1.

Primedba 2.1 Pored notacije iz Definicije 2.1 cesto se koristi i tzv. multiplikativna notacija, tj. mnozenje seoznacava sa ·, inverz elementa a sa a−1, a jedinicni element sa 1.Druga cesta notacija je aditivna notacija. U njoj se mnozenje (koje je zapravo sabiranje, pa otud i naziv aditivna)oznacava sa +, inverz elementa a sa −a, a jedinicni element sa 0.

ZadAtak 2.1 a) Dokazati da je jedinicni element e grupe G jedinstven.b) Dokazati da je za svaki a njegov inverzni element b = a−1 jedinstven, tj. da je u grupi definisana unarnaoperacija inverza −1 : G → G.

ZadAtak 2.2 Dokazati da u grupi (G, ) vazi:a) (a b)−1 = b−1 a−1, a, b ∈ G;b) (am)n = amn, a ∈ G, m, n ∈ Z.

ZadAtak 2.3 Ispitati da li su sledece strukture grupe (F ∗ := F/0):a) (N0, +); b) (Z, +); c) (Z, ·); d) (Z,−);e) 2Z := 2k | kZ (parni celi brojevi);f) nZ := nk | kZ (grupa brojeva deljivih sa n);g) (Q,+); h) (Q∗, ·); i) (R, +); j) (R∗, ·); k) (C, +); l) (C∗, ·);m) (G, ·), G := an | n ∈ Z, a ∈ R/0, 1,−1.n) (R+, ?), a ? b := ab; o) (R+, ), a b := a2b2.

ZadAtak 2.4 Dokazati da je struktura (Gn, ·), Gn := z ∈ C | zn = 1 Abelova grupa (tzv. grupa n-tih korenajedinice).

ZadAtak 2.5 Dokazati da je za svako n ∈ N struktura (Zn, +n) Abelova grupa, gde je Zn := 0, 1, . . . , n− 1,a +n b = a + b(modn) (tzv. grupa ostataka modula n).

ZadAtak 2.6 Na skupu Zn definisimo operaciju ·n relacijom a ·n b = ab(modn). Dokazati da je struktura(Z∗n, ·n) grupa ako i samo ako je n prost broj.

1

ZadAtak 2.7 Dokazati da je skup Sn svih permutacija skupa od n elemenata grupa u odnosu na kompozicijupermutacija (tzv. grupa permutacija). Koliki je red grupe Sn?

ZadAtak 2.8 Dokazati da je skup Dn svih simetrija pravilog n-tougla grupa u odnosu na kompoziciju preslika-vanja. Koliki je red grupe Dn?

ZadAtak 2.9 a) Dokazati da je skup H = ±1,±i,±j,±k grupa u odnosu na operaciju · definisanu tablicom:

· 1 i j k1 1 i j ki i −1 k −jj j −k −1 ik k j −i −1

Pri mnozenju levi cinilac citamo iz kolone, a desni iz vrste, recimo i · j = k, ali j · i = −k. Grupa H naziva segrupa baznih kvaterniona.b) Oznacimo H = a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R (identifikujemo a ≡ a1). Dokazati da je H Abelova grupa uodnosu na sabiranje + definisano sa

(a + bi + cj + dk) + (a′ + b′i + c′j + d′k) := (a + a′) + (b + b′)i + (c + c′)j + (d + d′)k.

c) Dokazati da je skup H∗ grupa u odnosu na mnozenje · koje je definisano tablicom pod a) i linearno je. GrupaH∗ se naziva multiplikativna grupa nenula kvaterniona.

ZadAtak 2.10 Dokazati da je skup jedinicnih kompleksnih brojeva C1 = z ∈ C||z| = 1 grupa u odnosu namnozenje kompleksnih brojeva.

ZadAtak 2.11 Dokazati da je skup matrica

SO(2) :=(

cos φ − sin φsin φ cos φ

)|φ ∈ R

grupa u odnosu na mnozenje matrica (tzv. grupa rotacija ravni).

ZadAtak 2.12 Dokazati da je skup G = R∗ × R grupa u odnosu na operaciju ? definisanu sa

(a′, b′) ? (a, b) := (a′a, a′b + b′).

ZadAtak 2.13 Dokazati da je skup preslikavanja

aff(R) = fa,b|a 6= 0, a, b ∈ R, fa,b(x) := ax + b, x ∈ R,

grupa u odnosu na kompoziciju preslikavanja (tzv. grupa afinih preslikavanja prave).

Definicija 2.2 Broj elemenata |G| grupe G naziva se red grupe.Za elemenat a ∈ G najmanje n ∈ N za koje je an = e naziva se red elementa a i obelezava sa n = ord (a). Akotakav n ne postoji pisemo ord (a) = ∞.

Definicija 2.3 Neka je (G, ) grupa. Skup H ⊂ G je podgrupa grupe G ako je (H, ) grupa. Pisemo H < G.

ZadAtak 2.14 Neka je G grupa. Za elemenat a ∈ G obelezimo

〈a〉 := an |n ∈ Z

Dokazati da je 〈a〉 podgrupa od G reda ord (a).

Definicija 2.4 Grupa 〈a〉 naziva se cilicna podgrupa generisana elementom a. Ako postoji a ∈ G takavda je G = 〈a〉 tada se G naziva ciklicka grupa, dok je a je njen primitivni element.

ZadAtak 2.15 Odrediti red svakog elementa i njime generisanu ciklicnu grupu grupe:a) (Z5, +5); b) (Z6, +6); c) (Z7, +7); d) (Z5, ·5); e) H; f) S3; g) D3; h) G5; i) (Z, +).Koje od tih grupa su ciklicke?

2

ZadAtak 2.16 Neka je red grupe konacan.a) Dokazati da red elementa deli red grupe.b) Dokazati da red podgrupe deli red grupe.

ZadAtak 2.17 Neka je Cn = 〈a〉 ciklicna grupa reda n. Dokazati da je element b = ak primitivan ako i samoako je (k, n) = 1.

ZadAtak 2.18 Odrediti primitivne elemente i sve podgrupe u Z6.

ZadAtak 2.19 Odrediti red svih elemenata u S3 i sve podgrupe u S3.

ZadAtak 2.20 Dokazati da su skupovi

Tra(R) := f1,b | b ∈ R, Hom(R) := fa,0 | a ∈ R∗,podgrupe grupe aff(R) iz Zadatka 2.13 (tzv. podgrupe translacija i homotetija afine prave, redom).

Definicija 2.5 Neka su (G, ) i (H, ?) grupe. Preslikavanje h : G → H se naziva homomorfizam ako vazi

f(a b) = f(a) ? f(b), a, b ∈ G.

Homomorfizam f koji je ”1-1” naziva se monomorfizam, koji je ”na” naziva se epimorfizam, a koji je bijekcijanaziva se izomorfizam. Sa algebarske tacke gledista izomorfne grupe smatramo jednakim.

ZadAtak 2.21 Dokazati da su grupe Gn i (Zn,+n) izomorfne.

ZadAtak 2.22 Pokazati da su grupe (R+, ·) i (R,+) izomorfne.

ZadAtak 2.23 Dokazati da su je grupa Z izomorfna svojoj pravoj podgrupi nZ.

ZadAtak 2.24 Dokazati da su grupe C1 i SO(2) iz Zadataka 2.10 i 2.11 izomorfne.

ZadAtak 2.25 Dokazati da su grupe G i aff(R) iz Zadataka 2.12 i 2.13 izomorfne. Postoji li matricna grupaizomorfna ovim dvema grupama?

ZadAtak 2.26 Dokazati da je svaka ciklicna grupa izomorfna sa Z ili sa Zn za neko n ∈ N.

ZaDatak 2.1 Naci sve podgrupe grupe Z.

ZadAtak 2.27 Neka je f : G → H monomorfizam (izomorfizam) grupa. Dokazati da je ord (f(a)) = ord (a).Da li to vazi ako je f epimorfizam?

ZaDatak 2.2 Da li je grupa svih korena jedinice ciklicna?

ZadAtak 2.28 Dokazati da postoji epimorfizam grupe Zn na grupu Dn. Sta je jezgro tog homomorfizma?

ZadAtak 2.29 Dokazati da postoji epimorfizam grupe (R, +) na grupu C1. Sta dobijamo primenom prve teo-reme o homomorfizmu?

ZadAtak 2.30 Dokazati da su grupe S3 i D3 izomorfne. Da li im je izomorfna grupa Z6?

ZadAtak 2.31 Koje su od grupa D4, H i Z8 izomorfne?

ZadaTak 2.1 Neka je (G, , e) grupa. Za svako g ∈ G definisimo konjugaciju sa fg(x) := g−1xg. Dokazati:a) fg je bijekcija; b) fg(x y) = fg(x) fg(y); c) fg(x−1) = fg(x)−1; d) fg(e) = e.

ZadaTak 2.2 Ako u grupi G vazi x2 = e za svako x ∈ G tada je ta grupa komutativna. Dokazati.

3 Prsteni i polja

ZadAtak 3.1 Dokazati da je struktura (Zn,+n, ·n), n ∈ N prsten.

ZadAtak 3.2 Dokazati da je struktura (Zp, +p, ·p), p ∈ N, polje ako i samo ako je p prost broj.

ZadAtak 3.3 Da li je struktura (H, +, ·) polje?

3

4 Vektorski prostori

Definicija 4.1 Vektorski prostor nad poljem F je struktura (V, +, ·) takva da (mnozenje izostavljamo):(V1) (V, +) je Abelova grupa;(V2) α(u + v) = αu + αv;(V3) (α + β)u = αu + βu;(V4) α(βu) = (αβ)u;(V5) 1u = u,

za sve u, v ∈ V i sve α, β ∈ F. Polje F se naziva polje skalara, a operacija · se naziva mnozenje vektoraskalarom.

ZadaTak 4.1 Dokazati da za svaki prost broj p i svaki broj n ∈ N postoji vektorski prostor nad poljem Zp kojiima tacno pn vektora.

Definicija 4.2 Neka je (V, +, ·) vektorski prostor nad poljem F. Skup U ⊂ V je vektorski podprostor pros-tora V ako je struktura (U,+, ·) vektorski prostor. Pisemo U ≤ V.

ZadaTak 4.2 Neka je P skup svih polinoma p ∈ R[x] za koje vazi a) p(1) = 0 = p′(1); b) p = xp′ − p′′; c)p(1) = 0, p′(1) = 4. Da li je P podprostor vektorskog prostora R[X]?

ZadaTak 4.3 Neka je RN skup svih realnih nizova. Dokazati da je skup A svih nizova (an) koji zadovoljavajurelaciju an+2 = 3an+1 − 2an, n ∈ N njegov vektorski potprostor.

ZadaTak 4.4 Neka je A ∈ Mn,n(F) data matrica. Dokazati da je skup Z(A) svih matrica koje komutiraju samatricom A vektorski podprostor od Mn,n(F).

Definicija 4.3 Neka su Ui ⊂ V, i = 1, . . . , n vektorski podprostori prostora V . Suma potprostora Ui je skup

U1 + . . . + Un := u1 + u1 + . . . + un | ui ∈ Ui, 1 < i < n.

Suma U = U1 + . . . + Un je direktna suma ako je razlaganje u = u1 + u1 + . . . + un, ui ∈ Ui, 1 < i < n svakogvektora u ∈ U jedinstveno. Tada pisemo U = U1 ⊕ . . .⊕ Un.

Teorema 4.1 Neka je V vektorski postor i Ui ≤ V , 1 ≤ i ≤ n.a) Sume U1 + . . . + Un i U1 ⊕ . . .⊕ Un su vektorski potprostori od V .b) Suma U1 + . . . + Un je direktna ako sa svako 2 ≤ i ≤ n vazi (U1 + . . . Ui−1) ∩ Ui = −→0 .

ZadaTak 4.5 Dokazati da su skupovi P svih parnih funcija i N svih neparnih funkcija podprostori vektorskogprostora funkcija RR := f : R→ R. Da li je RR = P ⊕A?

ZadaTak 4.6 Dokazati da su podskupovi S2(F) ⊂ M2(F) svih simetricnih i A2(F) ⊂ M2(F) svih antisimetricnih2× 2 matrica nad poljem F vektorski podprostori od M2(F). Da li je M2(F) = S2(F)⊕A2(F)?

ZadaTak 4.7 Ako su P, U,W potprostori istog vektorskog prostora V i U ⊂ P dokazati da vazi: P ∩ (U +W ) =U + (P ∩W ). Uopstiti na slucaj U1, . . . , Un ⊂ V.

ZadaTak 4.8 Ako su U,W ≤ V tada je U ∪W ≤ V ako i samo ako je U ⊂ W ili W ⊂ U .

ZadaTak 4.9 Dokazati da su skupovi U = (x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 + . . . + xn = 0 i W = (x1, . . . , xn) ∈ Rn |x1 = . . . = xn vektorski potprostori od Rn i da vazi Rn = U ⊕W.

ZadaTak 4.10 Suma potprostora U i W vektorskog prostora V je direktna ako i samo ako je preslikavanjeπ : U × V → U + V , definisano sa π((u, v)) := u + v izomorfizam vektorskih prostora.

Definicija 4.4 Vektori −→e1 , . . . ,−→en ∈ V su linearno nezavisni ako iz α1−→e1 + . . . + αn

−→en = −→0 , αi ∈ F slediα1 = . . . = αn = 0. Lineal (ili linearni omotac) Ω(e) skupa e = −→e1 , . . . ,−→en je skup

Ω(−→e1 , . . . ,−→en) = Ω(e) := α1−→e1 + . . . + αn

−→en | αi ∈ F

Ako je Ω(−→e1 , . . . ,−→en) = V tada n-torku (−→e1 , . . . ,−→en) zovemo generatrisa prostora V .

ZadaTak 4.11 Da li su vektori −→a = (6, 2, 3), −→b = (0, 2, 1) i −→c = (3, 4, 3) linearno zavisni.

4

ZadaTak 4.12 Neka je a = x2, b = (x + 1)2, c = (x + 2)2. Dokazati da je Ω(a, b, c) = R3[x].

ZadaTak 4.13 Neka je V vektorski prostor i A,B ⊂ V . Dokazati da je Ω(A) = Ω(B) ako i samo ako A ⊂ Ω(B)i B ⊂ Ω(A).

ZadaTak 4.14 Neka je U ≤ V , U 6= V i neka A = V/U . Dokazati da je Ω(A) = V.

ZadaTak 4.15 Da li su vektori (1, 0, 7, 4) , (−3, 2, 5, 1), (4, 4, 0, 2) , (0, 6,−2,−5) linearno nezavisni u R4? Akonisu izraziti jedan od njih preko ostalih.

ZadaTak 4.16 Nenula vektori −→e1, . . . ,−→en su linearno nezavisni u vektorskom prostoru V ako i samo ako jesuma njihovih linearnih omotaca Uk = Ω(−→ek) direktna.

ZadaTak 4.17 Neka su A,B ⊂ V linearno nezavisni skupvi. Dokazati da je unija A ∪ B linearno nezavisnaako i samo ako je Ω(A) ∩ Ω(B) = −→0 .ZadaTak 4.18 Neka je n ∈ N i uα = (α + 1, . . . , α + n) za α ∈ F. Dokazati da su svaka 3 od ovih vektoralinearno zavisna u Fn.

ZadaTak 4.19 Ako V vektorski prostor nad poljem F generisan (razapet) jednim vektorom, dokazati da jeV = Ω(−→a ) za svaki nenula vektor a ∈ V.

ZadaTak 4.20 Dokazati da je svaki aritmeticki niz realnih brojeva linearna kombinacija dva linearno nezavisnaaritmeticka niza iz RN.

ZadaTak 4.21 Ako su u = α + x + x2, v = 1 + αx + x2, w = 1 + x + αx2 polinomi u R3[x], odrediti sve skalareα za koje su oni linearno nezavisni.

ZadaTak 4.22 Dokazati da su vektori (1, a, a2), (1, b, b2), (1, c, c2) linearno nezavisni u F3 ako i samo akomedju skalarima a, b, c nema jednakih.

ZadaTak 4.23 Dati su vektori −→e1 = (1, 7, 4, 2), −→e2 = (6,−2, 0, 3), −→f1 = (9, 19, 12, 9), −→f2 = (5,−9,−4, 1) prostoraR4. Dokazati da je Ω(−→e1 ,−→e2) = Ω(−→f1,

−→f2).

ZadaTak 4.24 Odrediti bar jednu bazu linearnog otmotaca vektora u R[x]:

a1 = x4+x3+x2+x, a2 = x4+x3−x2−x−1, a3 = 2x4+2x3−1, a4 = x4+x3+5x2+5x+2, a5 = x4−x3−x2.

ZadaTak 4.25 Neka je e = (e1, e2, e3, e4) vektorskog prostora V nad poljem R. U odnosu na tu bazu dati suvektori:

a1 = e1 + e2 + e3 + e4, a2 = e1 + 2e2 + 4e3 + 8e4, a3 = e1 + 3e2 + 7e3 + 15e4;

b1 = e1 − 2e3 + 6e4, b2 = e1 − e2 + e3 − e4, b3 = e1 − 2e2 + 4e3 − 8e4.

Ako je U = Ω(a1, a2, a3) i W = Ω(b1, b2, b3), odrediti dimenziju i bar jednu bazu prostora: U,W,U + W,U ∩W .

ZadaTak 4.26 Neka su U i W vektorski potprostori vektorskog prostora V i neka je e = (e1, . . . , en) bazaprostora U , a f = (f1, . . . , fn) baza prostora W. Dokazati da je skup e ∪ f baza prostora V ako i samo ako jeV = U ⊕W .

ZadaTak 4.27 Neka su U,W ≤ V . Ako je dim (U + W ) = dim (U ∩W ) + 1, dokazati da je bar jedan od tihpotprostora sadrzan u drugom.

ZadaTak 4.28 Neka su α1, α2, α3 ∈ K razliciti brojevi i e1 = (x+α1)2, e2 = (x+α2)2, e3 = (x+α3)2 ∈ K2[x].Dokazati da polinomi e1, e2 i e3 cine bazu u K2[x].

ZadaTak 4.29 Neka su p0, . . . , pn polinomi iz Kn[x] takvi da je deg (pk) = k, 0 ≤ k ≤ n. Dokazati da je(p0, . . . , pn) baza prostora Kn[x].

ZadaTak 4.30 Neka je α ∈ K fiksiran skalar i fm = (x − α)m. Dokazati da je f = (f0, . . . , fn) baza prostoraKn[x].

ZadaTak 4.31 Neka je U = p ∈ K3[x] | p(1) = 0 = p′(−1).. Dokazati da je U ≤ K3[x] i odrediti mudimenziju i jednu bazu.

5

ZadaTak 4.32 Neka je V vektorski prostor nad poljem K i neka je |K| = q, dimV = n. Odrediti broj bazaprostora V , i opstije, odrediti broj linearno nezavisnih sistema od k vektora za k ≤ n.

ZadaTak 4.33 Dokazati da su sledeci stavovi ekvivalentni:1) V je konacne dimenzije.2) Svaki strogo rastuci niz U1 ⊂ U2 . . . ... potprostora iz V je konacan.3) Svaki strogo opadajuci iz potprostora je konacan.

ZadaTak 4.34 Neka su U, V, W potprostori datog vektorskog prostora konacne dimenzije takvi da je V ≤ W .Ako vazi U + V = U + W dokazati da je V = W .

ZadaTak 4.35 Neka je U ≤ V , dimU = n − k, n = dimV . Dokazati da postoji k potprostora U1, U2, . . . , Uk

od V , dim Ui = n− 1 takvih da vazi U = U1 ∩ . . . ∩ Uk.

ZadaTak 4.36 Neka su U, V, W potprostori datog vektorskog prostora konacne dimenzije. Dokazati da je

dim (U + V + W ) ≤ dimU + dimV + dimW − dim (U ∩ V )− dim (U ∩W )− dim (V ∩W ) + dim (U ∩ V ∩W )

Pokazati primerom da jednakost ne mora da vazi.

ZadaTak 4.37 Ako su U,W ≤ V takvi da vazi dimU +dimW > dimV dokazati da suma U +W nije direktna.

ZadaTak 4.38 Ako unija U ∪ W vektorskih potprostora U,W ≤ V sadrzi neki vektorski potprostor P ≤ V ,dokazati da je tada P ⊂ U ili P ⊂ W .

ZadaTak 4.39 Dokazati da je dimV = n ako i samo ako je V direktna suma n prostora dimenzije 1.

ZadaTak 4.40 Odrediti bar jednu bazu linearnog omotaca vektora (1, 0, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4),(0, 1, 2, 3) u R4.

ZadaTak 4.41 Odrediti dimenziju i bar jednu bazu prostora U,W,U + W,U ∩ W ako je U = Ω(e1, e2, e3),W = Ω(f1, f2, f3) i:

e1 = 2− 5x + 3x2 + 4x3, e2 = 1 + 2x− 7x3, e3 = 3− 6x + 2x2 + 5x3;

f1 = 2− 4x2 + 6x3, f2 = 1 + x + x2 + x3, f3 = 3 + 3x + x2 + 5x3;

ZadaTak 4.42 Odrediti dimenziju i bar jednu bazu vektorskog potprostora prostora RN koji cine svi nizovi (an)koji zadovoljavaju an+2 = 3an+1 − 2an, n ∈ N.

ZadaTak 4.43 Dokazati da skup svih resenja sistema jednacina

2x + 3y − z + 5t = 0, 3x + y + 2z − 9t = 0, x + 5y − 4z + 19t = 0,

cini vektorski potprostor od R4 i odrediti jednu bazu tog potprostora.

ZadaTak 4.44 Dokazati da je svaki od sistema vektora e = (e1, e2, e3), f = (f1, f2, f3) baza prostora R3 i naciveze izmedju koordinata (v)e = (x, y, z) i (v)f = (x′, y′, z′) ma kog vektora v u te dve baze.

e1 = (1, 2, 1), e2 = (2, 3, 3), e3 = (3, 7, 1);

f1 = (3, 1, 4), f2 = (5, 2, 1), f3 = (1, 1,−6).

ZadaTak 4.45 Vektori e1, e2, e3 u bazi f = (f1, f2, f3) imaju koordinate (e1)f = (1, 1, 1), (e2)f = (1, 1, 2),(e3)f = (1, 2, 3). Dokazati da je skup e = (e1, e2, e3) i sam baza i izraziti koordinate (v)e vektora v u bazi e akosu mu koordinate u bazi f (v)f = (6, 9, 14).

6

5 Matrice

ZadaTak 5.1 Odrediti broj razlicitih podmatrica formata (p, q) matrice A ∈ Mm,n(K).

ZadaTak 5.2 Koliko ima razlicitih blok podela matrici formata (m,n).

ZadaTak 5.3 Neka je A =[

1 10 1

]∈ M2(R). Odrediti An, n ∈ N. Da li formula vazi za n ∈ Z.

ZadaTak 5.4 Odrediti k-ti (k ∈ N) stepen dijagonalne matrice A = diag (λ1, . . . , λn).

ZadaTak 5.5 Neka je Aφ =[

cosφ − sinφsin φ cosφ

]∈ M2(R), φ ∈ R.

a) Dokazati da vazi A(phi + θ) = AφAθ, φ, θ ∈ R.b) Dokazati da je skup SO(2) = Aφ | φ ∈ R Abelova grupa u odnosu na mnozenje matrica.

ZadaTak 5.6 a) Odrediti sve matrice A ∈ M2(R) takve da: i) A2 =[

0 01 0

]ii) A2 =

[16 014 0

]

b) Naci B ∈ M2(R) tako da A2 = B ima beskonacno mnogo resenja.

ZadaTak 5.7 Ako matrice A,B ∈ Mn(K) komutiraju, dokazati jednakost (binomna formula):

(A + B)n = An +(

n1

)An−1B + . . . +

(nn

)Bn

ZadaTak 5.8 Neka je A =

1 0 00 1 01 2 1

. Odrediti An, n ∈ N.

ZadaTak 5.9 Odrediti p(A), p(x) = x2 − 4x + 3 ∈ R[x], A =[

2 11 2

].

ZadaTak 5.10 Dokazati da za svaku matricu A ∈ M2(R) postoji polinom p ∈ R[x], stepena najvise 2, takav daje p(A) = 0.

ZadaTak 5.11 Odrediti An, n ∈ N, gde je A =[

4 21 3

].

ZadaTak 5.12 Neka je A =

0 2 −12 3 −23 6 −4

∈ M3(R).

a) Dokazati da postoji poinom q ∈ R[x], stepena 2, takav da je q(A) = 0.b) Odrediti An, n ∈ N.c) Dokazati daje A invertivilna i odrediti Am m ∈ Z.

ZadaTak 5.13 Matrica A je jedaka proizvodu BC neke matrice-kolone B i matrice-vrste C ako i samo ako susvake dve njene kolone linearno zavisne. Dokazati.

ZadaTak 5.14 Neka su A,B ∈ Mn(K) takve da je suma komponenata svake od kolona jednaka 1. Dokazati daisto svojstvo vazi i za matricu AB.

ZadaTak 5.15 Neka je A =

1 0 00 1 01 2 1

∈ M3(R). Odrediti An, n ∈ ZZ.

ZadaTak 5.16 Ako matrice A,B ∈ M2(R) komutiraju sa matricom[

0 11 0

]onda one i medjusobno komuti-

raju. Dokazati.

ZadaTak 5.17 Izracunati[

1 1−2 4

]n

, n ∈ N nad poljem R.

7

ZadaTak 5.18 Izracunati[

1 1−2 4

]n

, n ∈ Z nad poljem R.

ZadaTak 5.19 Odrediti opsti clan nizova zadatih rekurentnim formulama:

a) an+1 = 3an + bn, bn+1 = 6an + 8bn, a0 = 1, b0 = 2 ;b) an+1 = 3an + bn, bn+1 = an + 3bn, a0 = 0, b0 = 2;c) an+2 = 4an+1 − 4an, a0 = 1, a1 = 6;d) an+2 = 4an+1 − 4an, a0 = 1, a1 = 6;e) an+2 = an+1 + an, a0 = 0, a1 = 1;f) xn+3 = xn+2 + 4xn+1 − 4xn, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 6.

ZadaTak 5.20 Dokazati da je matrica A =[

1 1−2 4

]:

i) inverzibilna nad Zq ; ii) regularna i nije inverzibilna nad Z; iii) nije regularna nad Z4 i Z6.

ZadaTak 5.21 Ako je polje K konacno i sa q elemenata, dokazati da je tada i linearna grupa Gl(n,K) konacnai odrediti joj red.

ZadaTak 5.22 Naci rang matrice A iz M3,5(R):

A =

2 −1 3 −2 44 −2 5 1 72 −1 1 8 2

ZadaTak 5.23 Naci rang matrice A u zavisnosti od λ ∈ R :

A =

1 λ −1 22 −1 λ 51 10 −6 1

.

ZadaTak 5.24 Dokazati da su relacije ekvivalentnosti ∼ matrica i slicnosti ' matrica, relacije ekvivalencije.

ZadaTak 5.25 Dokazati 1 Ae∼ B ⇒ A ∼ B.

ZadaTak 5.26 Data je matrica A =

1 2 0 53 1 −1 05 0 −2 −5

. ∈ M3,4(R).

a) Odrediti takve invertibilne matrice P i Q da vazi PAQ = A0, gde je A0 kanonska matrica matrice A.b) Odrediti B ∈ M3,2(R) i C ∈ M2,4(R) tako da vazi BC = A.

ZadaTak 5.27 Primenom elementarnih operacija odrediti inverz matrice

1 −2 71 −3 9−2 3 −13

∈ M3(R).

ZadaTak 5.28 Odrediti inverz matrice iz M3(R) (u zavisnosti od λ ∈ R)

a)

3 2 −65 λ 30 1 −4

; b)

3 2 20 1 −11 −1 2

.

ZadaTak 5.29 Neka su A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K) i C = AB. Dokazati

a) ρ→(AB) ≤ ρ→(B); b) ρ↓(AB) ≤ ρ↓(B),

gde je sa ρ→ oznacen rang vrsta, a sa ρ↓ rang kolona matrice.

1Matrice A i B su u relacijie∼ ako se B od A moze dobiti elementarnim operacijama vrsta.

8

ZadaTak 5.30 Neka su A, B ∈ Mm,n(K). Dokazati nejednakosti:

ρ(A + B) ≤ ρ([A|B]) ≤ ρ(A) + ρ(B),

gde je sa [A|B] ∈ Mm,2n oznacena matrica dobijena ”slepljivanjem” matrica A i B.

ZadaTak 5.31 Dokazati da se svaka matrica ranga k moze napisati kao zbir k matrica ranga 1 i ne moze senapisati kao zbir manje od k matrica ranga 1.

ZadaTak 5.32 Rang matrice jedak je redu njene najvece invertibilne kvadratne podmatrice.

ZadaTak 5.33 Neka je A ∈ Mm,n(K), ρ(A) = r. Dokazati da postoje matrice B ∈ Mm,r(K) i C ∈ Mn,n(K)takve da A = BC.

ZadaTak 5.34 Neka je A ∈ Mn(K), ρ(A) = 1. Dokazati da postoji α ∈ K takvo da je A2 = αA.

ZadaTak 5.35 Ako je A =[

2 19 2

], D =

[5 00 −1

], dokazati da su matrice A i D slicne i dorediti bar jednu

matricu X takvu da vazi X3 = A.

ZadaTak 5.36 Neka je e1 = (2, 1, 1), e2 = (1, 0, 1), e3 = (0, 0,−1). Dokazati da je e = (e1, e2, e3) baza prostoraR3 i napisati koordinate vektora u = (1, 2− 2) u bazi e.

ZadaTak 5.37 Neka je A1 =[

1 00 1

], A2 =

[1 00 −1

], A3 =

[1 10 1

], A4 =

[1 0−1 −1

]. Dokazati da

ove matrice cine bazu prostora M2(R) i odrediti matricu prelaska sa kanonske baze ovog prostora na datu bazu ,

a zatim i koordinate prozivoljne matrice X =[

α βγ δ

]∈ M2(R) u datoj bazi.

ZadaTak 5.38 Ako su p1 = 2 + x + x2, p2 = 1 + x2, p3 = −x2 ∈ R3[x], dokazati da je p = (p1, p2, p3) jednabaza prostora R3[x]. Naci matricu prelaska sa kanonske baze na bazu p i obratno, a zatim odrediti koordinatevektora u = 1 + 2x− 2x2 u bazi p.

ZadaTak 5.39 Dokazati da je kvadratna matrica nad K inverzibilna ako i samo ako ponistava bar jedan polinomp takav da je p(0) 6= 0.

ZadaTak 5.40 U vektorskom prostoru Mn(R) dat je skup U svih matrica ciji je zbir komponenti svake vrste isvake kolone jednak 0. Dokazati da je U ≤ Mn(R) i odrediti mu dimenziju i bar jednu bazu.

ZadaTak 5.41 Dokazati da su A i P 2 linearne kombinacije matrica E i P , a zatim odrediti An, n ∈ N, ako je

A =

x a aa x aa a x

, P =

1 1 11 1 11 1 1

.

ZadaTak 5.42 Dokazati da trag matrice ima sledece osobine:a) tr (A + B) = tr (A) + tr (B); b) tr (αA) = αtr (A); c) tr (AB) = tr (BA);d) Slicne matrice imaju isti trag;e) tr ((AB)k) = tr ((BA)k).

ZadaTak 5.43 Dokazati da jednakost AB −BA = E nije ispunjena ni sa koje dve matrice A,B ∈ Mn(R).

ZadaTak 5.44 Ako je B = P−1AP , A,B, P ∈ Mn(K), q ∈ K[x]. Dokazati da je q(B) = P−1q(A)P .

ZadaTak 5.45 Koristeci slicnost matrica odrediti An ako je matrica A :

a)[

17 −635 −12

]; b) .

ZadaTak 5.46 Odrediti sve matrice iz M2(R) koje komutiraju sa svim matricama:

a) iz M2(R); b) oblika[

α β−β α

], αβ ∈ R.

ZadaTak 5.47 Ako za matricu A ∈ Mn(K) vazi An = 0 za neko n ∈ N, dokazati da :a) A nije invertibilna b) E ±A jesu invertibilne.

9

6 Linearna preslikavanja

ZadaTak 6.1 Odrediti sve λ ∈ K za koje je preslikavanje (α, β) → α+λX +βx2 definise linearno preslikavanjeL : K2 → K[x].

ZadaTak 6.2 Dokazati da je L(α, β, γ) := (α − β + 2γ) + (α + β + 2γ)x + γx2, L : K3 → K2[x] linearnopreslikavanje. Odrediti matricu A = [L]e,f u odnosu na kanonske baze e, f prostora K3,K2, respektivno.

ZadaTak 6.3 Ispitati koja od sledecih preslikavanja V → W , vektorskih prostora nad poljem R, su linearna iodrediti im matricu u bazama e = (e1, e2, e3) i f = (f1, f2, f3):

a) L(x1e1 + x2e2 + x3e3) = (x1 + x3)f1 + (2x1 + x3)f2 + (3x1 − x2 + x3)f3;b) G(x1e1 + x2e2 + x3e3) = x1f1 + (x2 + 1)f2 + (x3 + 2)f3;c) F (x1e1 + x2e2 + x3e3) = (2x1 + x2)f1 + (x1 + x3)f2 + x2

3f3.

ZadaTak 6.4 Dokazati da postoji jedintven linearan operator vektorskog prostora V sa bazom e = (e1, e2, e3)koji prevodi vektore a1 = 2e1+3e2+5e3, a2 = e2+2e3, a3 = e1 redom u vektore b1 = e1+e2+e3, b2 = e1+e2−e3,b3 = 2e1 + e2 + 2e3.

ZadaTak 6.5 Linearni operator L u bazi e = (e1, e2, e3) ima matricu

L =

15 −11 520 −15 88 −7 6

.

Odrediti njegovu matricu u bazi f = (f1, f2, f3) ako je f1 = 2e1+3e2+e3, f2 = 3e1+4e2+e3 , f3 = e1+2e2+2e3.

ZadaTak 6.6 Preslikavanje Φ u bazi a1 = (−3, 7), a2 = (1,−2) ima matricu[

2 −15 −3

], a preslikavanje Ψ u

bazi b1 = (6,−7), b2 = (−5, 6) ima matricu[

1 32 7

]. Odrediti matricu operatora Φ Ψ u kanonskoj bazi.

ZadaTak 6.7 Neka je f = 1+x+x2 ∈ R2[x] = V . Definisimo preslikavanje L : V → V sa L(p) = −3p+p(1)f .Dokazati da je L linearno preslikavanje i odrediti mu jezgro, sliku, rang i defekt.

ZadaTak 6.8 Odrediti defekt i rang i neke baze jezgra i slike linearnog preslikavanja L : R4 → R3 cija je matricau standardnim bazama

2 1 3 63 4 2 91 6 −4 3

.

ZadaTak 6.9 Dokazati da je mnozenje sleva matricom[

α βγ δ

]∈ M2(K) linearno preslikavanje L : M2(K) →

M2(K) i odrediti njegovu matricu u standardnoj bazi.

ZadaTak 6.10 Dokazati da su matrice jednog istog linearnog operatora L u dve baze jednake ako i samo akomatrica prelaska jedne od tih baza na drugu komutira sa matricom tog linearnog operatora u jednoj od datih baza.

ZadaTak 6.11 Dato je linearno preslikavanje L : R3 → R3[x] :

L(a, b, c) = (2a + 3b + 7c) + (−3a + 4b + 2c)x + (4a− 2b + 6c)x2 − (3a− 2b + 4c)x3.

Odrediti par baza u R3 i R3[x] u kojima preslikavanje ima kanonsku matricu.

ZadaTak 6.12 Dokazati da se svako lienarno preslikavanje L : V → W ranga k ≥ 1 moze predstaviti kao sumaL1 + . . . + Lk, k linearnih preslikavanja ranga 1.

ZadaTak 6.13 Neka su F i G linearna preslikavanja vektorskih prostora konacnih dimenzija. Dokazati da jeKer(F ) ⊂ Ker(G) ako i samo ako postoji linearno preslikavanje L takvo da je G = L F .

ZadaTak 6.14 Neka su P i Q vektorski potprostori vektorskih prostora V i W redom, takvi da je dimP +dimQ = dimV . Dokazati da postoji linearno preslikavanje L : V → W takvo da je kerL = P i ImL = Q.

10

ZadaTak 6.15 Neka je A ∈ Mn(R) takva da je A2 = E. Dokazati da vazi ρ(E + A) + ρ(E −A) = n.

ZadaTak 6.16 Neka je linearno preslikavanje L prostora R2 u bazi a1 = (1, 2), a2 = (2, 3) ima matricu(3 54 3

), a preslikavanje G u bazi b1 = (3, 1), b2 = (4, 2) ima matricu

(4 66 9

). Odrediti matricu preslikavanja

L + G u bazi b1, b2.

ZadaTak 6.17 a) Dokazati da linearno preslikavanje L : V → W ima inverz L−1 ako i samo ako Ker(L) =−→0 .

b) Ako postoji preslikavanje L−1 je takodje linearno.

ZadaTak 6.18 Neka su V i W vektorski prostori i L : V → W linearno preslikavanje. Dokazati:

a) Ako je U ≤ V tada je L(U) ≤ W .

b) Ako je U ≤ W tada je L−1(U) ≤ V.

c) Ako su U1, U2 ≤ V tada je L(U1 + U2) = L(U1) + L(U2) i L(U1 ⊕ U2) = L(U1)⊕ L(U2).

d) Ako su U1, U2 ≤ W tada je L−1(U1 ∩ U2) = L−1(U1) ∩ L−1(U2).

d) Da li za U1, U2 ≤ V vazi L(U1 ∩ U2) = (U1) ∩ L(U2)?

ZadaTak 6.19 Neka su V i W vektorski prostori konacnih dimenzija. Pokazati da skup

L(V,W ) = L : V → W | L je linearno

svih linearnih preslikavanje prostora V u prostor W ima prirodnu strukturu vektorskog prostora. Odrediti nekubazu i dimenziju prostora L(V, W ).

ZadaTak 6.20 Neka su U ≤ V i W vektorski prostori. Dokazati da je skup L(U, V, W ) svih linearnih preslika-vanja L : V → W takvih da Ker(L) ⊃ U , potprostor prostora L(V, W ).

ZadaTak 6.21 Neka je dimV = n. Dokazati da za svaki U ≤ V i svako linearno preslikavanje L : V → Wvazi:

dim (L(U)) + δ(L) = dim (U + Ker(L)).

ZadaTak 6.22 Ako su L : U → V i G : V → W linearna preslikavanja, dokazati da vazia) δ(G L) ≤ δ(L) + δ(G);b) ρ(G L) + δ(G) ≥ ρ(L) (Silvesterova nejednakost).

ZadaTak 6.23 Neka su F,H, G linearna preslikavanja konacnih rangova za koje je definisana kompozicija H G F . Dokazati da tada vazi:

ρ(G F ) + ρ(H G) ≤ ρ(G) + ρ(H G F ).

ZadaTak 6.24 Ako su L,G : V → W linearna preslikavanja dokazati da je tadaa) Im(L + G) ⊂ ImL + ImG;b) ρ(L)− ρ(G) ≤ ρ(L + g) ≤ ρ(L) + ρ(G).

ZadaTak 6.25 Dokazati da za linearna preslikavanja F : U → V i G : V → W vazi:a) Im(G F ) ≤ Im(G), b) Ker(F ) ≤ Ker(G F ) c) ρ(G F ) ≤ ρ(F ), ρ(G).

ZadaTak 6.26 Ako je V = R3[x], dokazati da je sa L(p) = (1 − 4x)p + (x + x2)p′ zadato jedno linearnopreslikavanje L : V → V i odrediti njegovu matricu u odnosu na standardnu bazu prostora V . Da li je Linvertibilno?

ZadaTak 6.27 Neka je α, β ∈ R, β 6= 0, u1(x) = eαx cos(βx), u2(x) = eαx sin(βx) i U = Ω(u1, u2) ≤ RR.Dokazati da je sa L(u) = u′, u ∈ U definisano linearno preslikavanje prostora U . Odrediti mu matricu u nekojbazi i proveriti invertibilnost.

Definicija 6.1 Neka je L : V → V linearno preslikavanje i U ≤ V . Potprostor U je invarijantan u odnosu naL ako je L(U) ⊂ U .

11

ZadaTak 6.28 Neka je potprostor U ≤ V invarijantan u odnosu na linearno preslikavanje L : V → V . Nekaje e = (e1, . . . , en) baza potprostora U .

a) Odrediti matricu preslikavanja L u bazi (e1, . . . , en, f1, . . . , fk) prostora V .b) Ako je f = (f1, . . . , fk) baza prostora W ≤ V takvog da V = U ⊕W i ako je i prostor W invarijantan,

odrediti matricu preslikavanja L u bazi (e1, . . . , en, f1, . . . , fk).

ZadaTak 6.29 a) Dokazati da je sa L(p) = 3px− p′x2 zadato linearno preslikavanje vektorskog prostora R[x].b) Dokazati da postoji jedinstven prirodan broj n ∈ N za koji je potprostor V = Rn[x] invarijantan u odnosu

na preslikavanje L.c) Ako je L0 = L|V restrikcija preslikavanja L, napisati preslikavanje L0 u standardnoj bazi prostora V i

ispitati njegovu invertibilnost.

ZadaTak 6.30 Dat je polinom a = 1 + x + x2 + x3. Dokazati da je sa L(p) = 2p + p(1)a definisano linearnopreslikavanje L : V → V koje ponistava neki polinom stepena najvise 2, a zatim odrediti preslikavanje Ln, n ∈ N.

ZadaTak 6.31 Ako je L : V → V linearno perslikavanje, dokazati da je ∪n∈NKer(Ln) ≤ V.

ZadaTak 6.32 Neka je V vektorski prostor dimenzije n i L : V → V linearno preslikavanje. Dokazati ekviva-lenciju:

L2 = 0, n = 2ρ(L) ⇔ Ker(L) = Im(L).

Definicija 6.2 Linearno preslikavanje L : V → V je idempotentno (ili projektor) ako vazi L2 = L.

ZadaTak 6.33 Neka je L : V → V projektor.a) Dokazati da je i preslikavanje F = Id− L projektor.b) Dokazati da je KerF = ImL.c) Dokazati da je V = KerL⊕ ImL.

ZadaTak 6.34 Ako za linearno preslikavanje L : V → V postoji r ∈ N takvo da je KerLr+1 = KerLr tada jeKerLn = KerLr za svako n ≥ r.

ZadaTak 6.35 Dokazati da za linearno preslikavanje L : V → V vazi ImL2 = ImL ako i samo ako V =KerL + ImL.

ZadaTak 6.36 Dokazati da su za linearno preslikavanje L : V → V sledeca tvrdjenja ekvivalentna:a) KerL2 = KerL; b)KerL ∩ ImL = −→0 ; c) V = KerL⊕ ImL

ZadaTak 6.37 Neka je L : V → V linearno preslikavanje ranga 1. Dokazati da postoji neki skalar α ∈ K takavda vazi L2 = αL.

ZadaTak 6.38 Ako su preslikavanja L i F projektori, dokazati da njihova suma L + F projektor ako i samoako L F = 0 = F L i da u tom slucaju vazi Im(L + F ) = ImL + ImF .

12

7 Sistemi linearnih jednacina

ZadaTak 7.1 Odrediti polinom p stepena 3 sa realnim koeficientima takav da vazi: p(−1) = 0, p(1) = 4,p(2) = 3, p(3) = 16. (Resenje: p(x) = 2x3 − 5x2 + 7.)

ZadaTak 7.2 Resiti sisteme jednacina:

x + 5y − z = 9 2x + y − (2 + i)z = 1− 2i2x − y + 3z = −3 −x + 2y − (1 + 2i)z = i4x + 9y + z = 15 3x + (4 + i)z = 7− 2i

Resenje b): (1− i, 1 + i, 1).

ZadaTak 7.3 Odrediti resenja sistema nad Z5:

3x + 4y + z = 4 x + y + 3z = 0x + 2y + 2z = 1 2x + 4y + 4z = 1

4x + + z = 2 3x + 3y + 2z = 2

Resenja: a) (1, 2, 3) b) (1, 2, 4).

ZadaTak 7.4 Resiti sistem jednacina u zavisnosti od parametra:

2x + 2y + 5z + 3t = 5 2x − y + 3z − t + 2u = 56x + y + 5z + 4t = 5 3x + 2y − z + 3t + u = 84x − y + t = λ −x + 3y + 4z − 4t + u = −32x + z + t = 1 7x + 5z + t + 5u = α

Resenja: a) za λ 6= 0 nema resenja, za λ = 0 dvodimenzioni prostor resenja;b) za α 6= 18 nema resenja, za α = 18 dvodimenzioni prostor resenja.

ZadaTak 7.5 Odrediti resenja sistema u zavisnosti od parametra:

x − y + z = 1 (λ + 1)x + y + z = 2− λ4x − z = 1 x + (λ + 1)y + z = −2αx + 2y − 5z = 3 x + y + (λ + 1)z = λ

λx + y + z + t = 0x + λy + z + t = 0x + y + λz + t = 0x + y + z + λt = 0

Resenja: a) za λ = 10 sistem nema resenja, za λ 6= 10 sistem ima jedinstveno resenje;b) za λ = 0 nema resenja, za λ = −3 beskonacno mnogo resenja, za λ 6= −3, λ 6= 0 jedistveno resenje.c) za λ = 1 trodimenzioni prostor resenja, za λ = −3 jednodimenzioni prostor resenja, za λ 6= −3, λ 6= 1 samotrivijalno resenje.

13

8 Determinante i njihove primene

ZadaTak 8.1 Dokazati da za blok matricu vazi

a) det[

E 00 P

]= det P = det

[P 00 E

]b) det

[P Q0 R

]= det P · det R,

gde su P i R kvadratne matrice.

ZadaTak 8.2 Neka je A antisimetricna matrica neparnog reda, nad poljem R. Dokazati da je detA = 0.

ZadaTak 8.3 Za matricu A odrediti adjA, a zatim proveriti da li je invertibilna i ako je ste odrediti A−1:

a)

1 1 01 1 10 2 1

b)

1 2 23 1 01 1 1

.

ZadaTak 8.4 Dokazati da slicne matrice imaju iste determinante.

ZadaTak 8.5 Da li je inverzibilno preslikavanje L(x, y, z) := (3x− 2z, 5y + 7z, x + y + z)?

ZadaTak 8.6 Da li je inverzibilno preslikavanje D : V → V , D(f) := dfdt , gde je V = Ω(1, t, t2, . . . , tn−1) ≤ RR

potprostor prostora funkcija?

ZadaTak 8.7 Da li je inverzibilno preslikavanje D : V → V , D(f) := f ′, gde je V = Ω(et, e2t, e3t) ≤ RRpotprostor prostora funkcija?

ZadaTak 8.8 U zavisnosti od λ ∈ R odrediti da li postoji inverz matrice

a)

2 1 −31 0 43λ λ 1

b)

1 2 23 1 λ1 1 1

.

ZadaTak 8.9 Resiti sledece sisteme jednaina Kramerovim pravilom:

αx + y + z = 1, αx + y + z = 1,x + αy + z = 1, x + αy + z = β,x + y + αz = 1; x + y + αz = β2,

ZadaTak 8.10 Dokazati da sistem ima jedinstveno resenje za α 6= 0, 2, 3 i resiti sistem u slucajevima α = 0, 2, 3:

2(α + 1)x + 3y + αz = α + 4,(4α− 1)x + (α + 1)y + (2α− 1)z = 2α + 4,(5α− 4)x + (α + 1)y + (3α− 4)z = α− 1.

ZadaTak 8.11 Neka je δ ∈ R i neka su λ1, . . . , λn razliciti realni brojevi. Resiti sistem:

x1 + . . . + xn = 1,λ1x1 + . . . + λnxn = δ,λ2

1x1 + . . . + λ2nxn = δ2,

......

λn−11 x1 + . . . + λn−1

n xn = δn−1.

ZadaTak 8.12 Ako je A ∈ Mn(K), λ ∈ K dokazati det(λA) = λn det(A).

ZadaTak 8.13 Dokazati da je adj (λA) = λn−1adjA za A ∈ Mn(K).

ZadaTak 8.14 Dokazati a je det(adjA)) = (det A)n−1.

ZadaTak 8.15 Ako je adjA =

2 −2 0−6 9 −18 −12 2

odrediti matricu A.

ZadaTak 8.16 Ako za kvadratne nenula matrice nad poljem K vazi ABC = 0, dokazati da determinante bar 2od tih matrica moraju biti jednake nuli.

14

9 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori

ZadaTak 9.1 Sopstveni vektori koji odgovaraju razlicitim sopstvenim vrednostima su linearno nezavisni.

ZadaTak 9.2 Dokazati da za linearni operator L vektorskog prostora V konacne dimenzije postoji baza e pros-tora V takva da je matrica [L]e dijagonalna ako i samo ako postoji baza tog prostora V sastavljena od sopstvenihvektora preslikavanja L.

ZadaTak 9.3 Algebarska visestrukost sopstvene vrednosti λ preslikavanja L je uvek veca od odgovarajuce ge-ometrijske visestrukosti.

ZadaTak 9.4 Na vektorskom prostoru R3 dato je preslikavanje L sa L(x, y, z) = (2x+y, y−z, 2y+4z). Odreditisopstvene vrednosti i neke baze sopstvenih potprostora koje odgovaraju tim sopstvenim vrednostima. Odrediti, akopostoji, bazu u kojoj je matrica preslikavanja L dijagonalna.

ZadaTak 9.5 Na vektorskom prostoru R2[x] dato je preslikavanje L sa L(p) = −p+p(1)(1+2x+x2). Odreditisopstvene vrednosti i odgovarajuce sopstvene vektore tog preslikavanja. Da li je L dijagonalizabilan.

ZadaTak 9.6 Odrediti karakteristicni i minimalni polinom matrice A. Ispitati da li je matrica A slicna nekojdijagonalnoj i ako je odgovor potvrdan naci odgovarajucu matricu prelaska.

a)

1 −3 33 −5 36 −6 4

b)

3 1 10 2 01 −1 3

c)

4 0 1−1 2 0−1 −1 3

d)

−2 −1 12 −1 12 1 −1

e)

1 −8 −44 4 −78 −1 4

.

Resenje: a) Dijagonalizabilan, −2,−2, 4. b) Ne, −2,−2, 4 c) Ne, 3, 3, 3 d) Ne, −2,−2, 0 c) Ne (nad R),9, 9i,−9i.

ZadaTak 9.7 U zavisnosti od parametra proveriti da li je matrica slicna nekoj dijagonalnoj matrici:

a)

cos t − sin t 0sin t cos t 00 0 1

b)

0 0 −c1 0 c0 1 1

b)

[cos t sinsin t − cos t

]

ZadaTak 9.8 Neka je λ sopstvena vrednost linearnog preslikavanja L vektorskog prostora V nad poljem K ineka je p ∈ K[x]. Dokazati da je p(λ) sopstvena vrednost operatora p(L).

ZadaTak 9.9 Neka je L invertibilno linearno preslikavanje vektorskog prostora V konacne dimenzije i λ njegovasopstvena vrednost. Dokazati da je λ 6= 0 i da je λ−1 sopstvena vrednost preslikavanja L−1.

ZadaTak 9.10 (Lema o jezgrima) Neka su su p, q ∈ K[x] i L linearno preslikavanje vektorskog prostora V nadK. Dokazati da vazi:

Ker p(L) + Ker q(L) = Ker s(L) i Ker p(L) ∩Ker q(L) = Ker r(L),

gde je s = NZS(p, q), r = NZD(p, q).

ZadaTak 9.11 Dokazati da su za linearno preslikavanje L : V → V sledeci uslovi ekvivalentni:a) Svaki vektor v ∈ V je sopstveni.b) Operator L ima istu matricu u ma kojoj bazi.c) L je skalarni operator, tj. L = αId.

ZadaTak 9.12 Neka je L : V → V linearno preslikavanje i U ≤ V (V je vektorski prostor konacne dimenzije)invarijantan u odnosu na L. Dokazati da karakteristicni polinom od L|U deli karakteristicni polinom od L.

ZadaTak 9.13 Odrediti minimalni polinom matrice:

2 8 0 0 00 2 0 0 00 0 4 2 00 0 1 3 00 0 0 0 5

.

15

ZadaTak 9.14 Odrediti karakteristicni i minimalni polinom kvadratne matrice reda n nad poljem K u kojoj susvi elementi van dijagonale jednaki α ∈ K, a na dijagonali su svi jednaki β ∈ K.

ZadaTak 9.15 Odrediti karakteristicni i minimalni polinom kao i sopstvene vrednosti linearnog preslikavanjaL : M2(K) → M2(K) definisanog sa

L(X) := AX + XB, A =[

3 50 −2

], B =

[6 8−2 −4

].

ZadaTak 9.16 Neka je L : V → V fiksirano linearno preslikavanje, dimV = n.a) Dokazati da je sa ΦL(F ) := LF definisano linearno preslikavanje ΦL : L(V ) → L(V ) (L(V ) je prostor

linearnih preslikavanja od V ).b) Dokazati da preslikavanja L i ΦL imaju iste sopstvene vrednosti.c) Dokazati: L je dijagonalizabilan ako i samo ako ΦL je dijagonalizabilan.

10 Skalarni proizvod

ZadaTak 10.1 a) Proveriti da li je preslikavanje : R2 × R2 → R dato sa (x1, x2) (y1, y2) = x1y1 − 2x1y2 −2x2y1 + 5x2y2 skalarni proizvod.

b) Za koje k ∈ R je sa (x1, x2) (y1, y2) = x1y1 − 3x1y2 − 3x2y1 + kx2y2 zadat skalarni proizvod na R2?

ZadaTak 10.2 Dokazati da je na prostoru matrica M2(R) sa A ·B = tr (AT ) zadat skalarni proizvod.

ZadaTak 10.3 Izracunati intenzitet matrice A =(

1 23 −4

)∈ M2(R) kao i ugao koji zaklapaju matrice

B =(

1 11 1

)i C =

(1 11 −1

), u odnosu na skalarni proizvod iz Zadatka 10.2

ZadaTak 10.4 Dokazati da su ortonormirani vektori i linearno nezavisni.

ZadaTak 10.5 Pokazati da je na vektorskom prostoru V = R3[x] formulom 〈p, q〉 := p(0)q(0) + p′(0)q′(0) +p(1)q(1) zadat skalarni proizvod, a zatim odrediti bar jednu ortonormiranu bazu ovog prostora u odnosu na datiskalarni proizvod.

ZadaTak 10.6 Odrediti neku ortonormiranu bazu potprostora W ≤ R3[x] svih polinoma p takvih da p′(−1) = 0u odnosu na skalarni prozvod iz Zadatka 10.5.

ZadaTak 10.7 Neka je e = (e1, e2, e3) baza vektorskog prostora V nad R.a) Dokazati da je sa (αe1 +βe2 +γe3) (ae1 + be2 + ce3) := 2αa+αb+4βb+βa+βc+γb+2γc zadat skalarni

proizvod na V .b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu u odnosu na ovaj skalarni proizvod.

Definicija 10.1 Neka je W potprostor realnog vektorskog prostora V i 〈·, ·〉 skalarni proizvod na V . Ortogonalnikomplement prostora W je skup W⊥ := v ∈ V |〈v, w〉 = 0, za svaki w ∈ W.ZadaTak 10.8 Dokazati:

a) W⊥ je potprostor prostora V .b) V = W ⊕W⊥.c) (W⊥)⊥ = W .

ZadaTak 10.9 Odrediti ortogonalnu projekcijuu i ortogonalnu dopunu vektora a = (1, 1, 0, 2) na potprostorU ≤ R4 generisan vektorima u1 = (9,−7, 4, 6) i u2 = (5,−5,−8,−8)

ZadaTak 10.10 Neka je u1 = (1,−2, 3, 4) i u2 = (3,−5, 7, 8) ∈ R4 i W = Ω(u1, u2). Odrediti neku ortonormi-ranu bazu prostora W i W⊥ u odnosu na standardni skalarni prozivod u R4.

ZadaTak 10.11 Neka je S = A ∈ M2(R)|AT = A skup simetricnih i A = A ∈ M2(R)|AT = −A skupantisimetricnih matrica iz M2(R).

a) Dokazati da su A i S potprostori od M2(R).b) Dokazati da je S⊥ = A u odnosu na skalarni prozivod iz Zadatka 10.2.c) Odrediti neku ortonormiranu bazu prostora S.

16

ZadaTak 10.12 Odrediti ugao koji zaklapa matrica X =(

2 02 0

)sa potprostorom S simetricnih matrica u

odnosu na skalarni proizvod iz Zadatka 10.2.

ZadaTak 10.13 U vektorskom prostoru polinoma R3[x] zadat je skalarni proizvod 〈p, q〉 := p(0)q(0)+p′(0)q′(0)+14p′′(0)q′′(0). Odrediti rastojanje polinoma p = 2x + 4x2 od potprostora U svih polinoma za koje je a(1) + a′′ = 0.

ZadaTak 10.14 Odrediti bazu ortogonalnog komplementa WT potprostora W ≤ R4, gde je W = Ω(a1, a2, a3),a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (2, 1, 2, 3), a3 = (0, 1,−2, 1).

ZadaTak 10.15 Odrediti bar jednu ortonormiranu vazu potprostora od R4 generisanog vektorima e1 = (1, 1, 1, 1)i e2 = 1,−1, 1, 1) i dopuniti je do ortonormirane baze celog prostora R4.

ZadaTak 10.16 Dokazati da za potprostore U,W ≤ V vazi:

a)(U + W )⊥ = U⊥ ∩W⊥, b)(U ∩W )⊥ = U⊥ + W⊥

ZadaTak 10.17 Neka je e = (e1, . . . , en) baza prostora V sa skalarnim proizvodom 〈·, ·〉. Definisimo matricuSe = (〈ei, εj〉) ∈ Mn(R). (ona se zove matrica skalarnog proizvoda. Dokazati:

a) Matrica Se je simetricna.b) Sve sopstvene vrednosti matrice Se su realne i strogo vece od nule.c) Skalarni proizvod se moze zapisati u obliku

〈x, y〉 = [x]Te Se[y]e, (1)

gde su [x]e i [y]e kolone koordinata vektora x, y ∈ V.d) Ako je f druga baza prostora v i C = Ce→f matica prelaska, dokazati da je Sf = CT SeC.e) Se = E ako i samo ako je e ortonormirana baza.f) detSe 6= 0.

ZadaTak 10.18 Ako je skup e = (e1, . . . , en) samo podskup vektora (ne obavezno baza) prostora V tada sematrica Se iz Zadatka 10.17 zove Gramova matrica skupa e. Dokazati da su vektori e1, . . . , en linearno nezavisniako i samo ako je detSe 6= 0.

ZadaTak 10.19 Dokazati da svaka simetricna matrica S sa strogo pozitivnim realnim sopstvenim vrednostima,formulom (1) definise skalarni proizvod.

ZadaTak 10.20 Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu u kojoj kvadratna forma ima dijagonalni oblik:a) q(v) = 2x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2xz + 2yz, v = (x, y, z).b) q(v) = 2x2 + 2y2 − z2 − 8xy + 4xz − 4yz, v = (x, y, z).

Definicija 10.2 Linearno preslikavanje L : V → V je simetricno u odnosu na skalarni proizvod 〈·, ·〉 ako vazi〈x, L(y)〉 = 〈L(x), y〉, za sve x, y ∈ V .

ZadaTak 10.21 Neke je Se matrica skalarnog proizvoda u bazi e i A = [L]e matrica linearnog preslikavanja ubazi e. Dokazati:

a) Preslikavanje L je simetricno ako i samo ako AT Se = SeA.b) Matrica simetricnog preslikavanja u ortonormiranoj bazi e je simetricna.

ZadaTak 10.22 Neka je L : R2 → R2 linearno preslikavanje sa matricom A = [L]e =(

2 12 3

)u bazi

e = (e1, e2). Ispitati da li na R2 postoji skalarni proizvod u odnosu na koji je preslikavanje L simetricno.

ZadaTak 10.23 a) Dokazati da je sa p q = p(1)q(1) + p(0)q(0) + 14p′′(0)q′′(0) definisan skalarni proizvod na

R3.b) Neka je

A = [L]e =

1 −1 00 α −20 0 β

matrica preslikavanja L : R3[x] → R3[x] u odnosu na kanonsku bazu e = (1, x, x2). Ispitati da li je za nekoα, β ∈ R to preslikavanje simetricno.

17

Definicija 10.3 Neka je V realan vektorski prostor sa skalarnim proizvodom 〈·, ·〉. Linearno preslikavanje L :V → V je ortogonalno ako cuva normu, tj. |v| = |L(v)|, v ∈ V. Linearno preslikavanje L : V → V je izometrijaako cuva skalarni proizvod, tj. 〈u, v〉 = 〈L(u), L(v)〉 za sve u, v ∈ V.

ZadaTak 10.24 Dokazati da je preslikavanje L : V → V ortogonalno ako i samo ako je izometrija.

ZadaTak 10.25 Neka je L : V → V i e = (e1, . . . , en) ortonormirana baza od V . Dokazati da su sledecatvrdjenja ekvivalentna:

a) L je ortogonalan.b) L(e) je ortonormirana baza.c) [L]e je ortogonalna matrica ([L]e[L]Te = E).

ZadaTak 10.26 Neka je e = (e1, . . . , εn) ortonormirana baza prostora V . Dokazati da baza f = (f1, . . . , fn)ortonormirana ako i samo ako je matrica prelaska C = Ce→f , sa baze e na bazu f , ortogonalna.

Definicija 10.4O(n) := A ∈ Mn(R)|AAT = E (ortogonalna grupa);

SO(n) := A ∈ O(n)| detA = 1 (specijalna ortogonalna grupa).

ZadaTak 10.27 a) Dokazati da je

O(2) = (

cosφ − sin φsin φ cosφ

)|φ ∈ [0, 2π) ∪

(cos φ sin φsin φ − cosφ

)|φ ∈ [0, 2π).

b) Dokazati da u ortonormiranoj bazi, matrice prvog skupa predstavlju rotacije, a matrice drugog skupa refleksije.Nacrtati.

c) Pokazati da je matrice prvog skupa cine grupu SO(2), a da matrice drugog skupa uopste ne cine grupu.

ZadaTak 10.28 Dokazati da su sve izometrije vektorskog prostora R3 koje cuvaju orjentaciju (grupa SO(n)),rotacije oko neke prave za neki ugao.

Teorema 10.1 Za svaku izometriju L : V → V realnog vektorskog prostora V sa skalarnim proizvodom postojiortonormirana baza e = (e1, . . . , εn) takva da je

[L]e =

Rθ1 0 0 0 0. . . 0 0 0 0

0 0 Rθ1 0 0 00 0 0 1 0 0

. . . 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 ±1

, Rθ :=(

cos φ − sinφsin φ cos φ

)

za neke uglove θ1, . . . , θk. Matrica [L]e se naziva kanonski oblik izometrije L.

ZadaTak 10.29 Odrediti kanonski oblik ortogonalne matrice A i neku bazu u kojoj se on realizuje:

a)14

3 1 −√61 3

√6√

6 −√6 2

, b)

13

2 2 −12 −1 2−1 2 2

, c)

12

1 1 −√21 1

√2√

2 −√2 0

.

ZadaTak 10.30 a) Odrediti neku matricu A ∈ O(3) cija je prva kolona v1 = 13 (1, 2, 2)T .

b) Odrediti sve matrice A ∈ O(3) cija je prva kolona v1 = 13 (1, 2, 2)T .

ZadaTak 10.31 Neka su u, v ∈ V vektori jedinicnih duzina.a) Dokazati da je skup W = x ∈ V ||x − u| = |x − v| vektorski potprostor od V cija je dimenzija dimW =

dimV − 1.b) Odrediti W⊥.

18

ZadaTak 10.32 Neka je V = R3[x].a) Dokazati da je sa (f, g) =

∫ 1

0f(t)g(t)dt zadat skalarni prozivod na V .

b) Odrediti bazu potprostora W ortogonalanog na h(t) = 2t + 1.c) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu prostora V .

ZadaTak 10.33 Neka je W ≤ R4 potprostor zadat kao resenje sistema jednacina: 2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0,3x1 + 2x2 − 2x4 = 0, 3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0.

a) Odrediti baze prostora W i W⊥.b) Predstaviti prostor W⊥ kao resenje sistema jednacina.c) Naci ortogonalnu razlaganje a = a′ + a⊥ vektora a = (1, 1, 0, 2), gde a′ ∈ W , a⊥ ∈ W⊥.

19