1

Zadaci iz algebre - 11. Dokazati da grupa Q/Z nema pravu podgrupu konanog indeksa. c 2. Neka je G konana grupa, a a, b G elementi reda p, pri emu je p c c prost broj i b a. Dokazati da u G ima najmanje p2 1 elemenata reda p. 3. Ako je G konana grupa neparnog reda, dokazati da x i x1 ne mogu c biti konjugovani, izuzev u sluaju da je x neutralni element. c 4. Dokazati da grupa reda p2 q, pri emu su p i q razliiti prosti brojevi, c c nije prosta. 5. Neka je G Abelova grupa generisana elementima a, b, c za koje vrijedi: a2 = b3 , b2 = ac, a5 = bc. Dokazati da je G konana ciklika grupa. c c 6. Neka je G multiplikativna grupa a f : G G G homomorzam. Neka, dalje, postoji n G takav da je f (n, x) = f (x, n) = x, za svaki x G. Dokazati da je G Abelova grupa i da je f mnoenje. z 7. Neka je G grupa generisana elementima a i b tako da vrijedi a1 b2 a = b3 , b1 a2 b = a3 . Dokazati da je grupa G trivijalna. 8. Neka je G konana grupa i za svako a, b G postoji automorzam f c grupe G, za koji je f (a) = b. Dokazati da je G Abelova grupa. 9. Neka je G grupa, a N normalna podgrupa od G tako da ne postoji prava podgrupa H od G sa osobinom N H G, H = N. Dokazati da je indeks podgrupe N prost broj.

10. Neka je G konana u kojoj vrijedi identitet (ab)3 = a3 b3 i u kojoj nema c elemenata reda 3. Dokazati da je G Abelova grupa. Rjeenja s Upisati prezime i ime 1. 2. 1

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

2