Zabavna matematika z igrami in ugankami5£5 tablici "ugasniti vse lu•ci". Tablico ses-tavlja...
Transcript of Zabavna matematika z igrami in ugankami5£5 tablici "ugasniti vse lu•ci". Tablico ses-tavlja...
doc. dr. Janko MarovtUniverza v Mariboru
Zabavna matematika z igrami inugankami
• MATEMATICNA TOMBOLA,
• IGRA S KOVANCI,
• UGASNIMO LUCI,
• RAZNE MATEMATICNE UGANKE
MATEMATICNA TOMBOLA
1. BINGO
Pripomocki: tablice in listkiCilj igre: precrtati vsa stevila v eni vrstici alienem stolpcu ali na eni izmed obeh diagonal
B I N G O
47 13 54 77 38
72 36 16 11 5
28 46 9 76 23
27 62 61 99 41
30 97 54 20 39
N: dvomestno prastevilo
Nacin igranja: ucitelj izvlece listek in ga pre-bere. Ce ucenec na svoji tablici pod ustreznocrko najde stevilo, ki ustreza prebranemu kri-teriju, ga precrta (v vsaki potezi najvec enega).
Seznam kriterijev:
1. prastevilo
2. najvecje prastevilo, manjse od 100
3. sestavljeno stevilo
4. enomestno prastevilo
5. dvomestno prastevilo
6. dvomestno sestavljeno stevilo
7. sodo prastevilo
8. liho sestavljeno stevilo
9. prastevilo, ki je vecje od
10. dvomestno stevilo, katerega vsota stevk jeprastevilo
...
2. ZMAGA
Pripomocki: tablice in seznam stevil
Cilj in nacin igranja: podobno kot pri BINGU(ucitelj bere stevila s svojega seznama, ucencijih iscejo na svojih tablicah)
Z M A G A
1, 5 14 90% 6
10 0,07
16 100% 6
40 0,5 12, 5%
1% 3, 3 × 5% 20%
8090
333 871
2% 0, 3 0, 6
0, 75 100300 0, 4 80% 2
20
Seznam stevil:
1, 11,
1212, 100%
12,
24,
612, 0, 5, 0, 50, 50%
13,
39,
100300, 0, 3, 331
3%, 33, 3%
78,
2124,
140160, 0, 875, 871
2%, 87, 5%
...
1. BOGATAS IN MILIJON
Bogatas se je odlocil razdeliti milijon evrov medsvoje prijatelje. Da pa bi bila stvar zanimiva, jesklenil, da bodo podarjeni zneski vedno v oblikipotence stevila 7:
1 = 70, 7 = 71, 49 = 72, 343 = 73, . . .
Poleg tega se je odlocil, da ne bo dal vec kotsestim osebam istega zneska. Kako je bogatasuuspelo razdeliti milijon evrov? Kaksne zneske soprejeli njegovi prijatelji? Denar lahko razdelitemed poljubno stevilo ljudi.
Bogatas obdari 16 svojih prijateljev nanaslednji nacin:
1 darilo po 1 evro,
1 darilo po 7 evrov,
3 darila po 49 evrov,
3 darila po 343 evrov,
3 darila po 2401 evrov,
3 darila po 16807 evrov,
1 darilo po 117649 evrov,
1 darilo po 823543 evrov.
Pretvorba milijona v sedmiski zapis:
106 = 142857 ∗ 7 + 1
142857 = 20408 ∗ 7 + 1
20408 = 2915 ∗ 7 + 3
2915 = 416 ∗ 7 + 3
416 = 59 ∗ 7 + 3
59 = 8 ∗ 7 + 3
8 = 1 ∗ 7 + 1
1 = 0 ∗ 7 + 1
⇒ 106(10) = 11333311(7)
1 ∗ 77 + 1 ∗ 76 + 3 ∗ 75 + 3 ∗ 74 + 3 ∗ 73 + 3 ∗ 72 + 1 ∗ 7 + 1 = 106
Resitev je enolicno dolocena.
6 ∗ 76 + 6 ∗ 75 + 6 ∗ 74 + 6 ∗ 73 + 6 ∗ 72 + 6 ∗ 7 + 6 = 823542
< 77
2. KVADRATI V KROGU
V kvadratke vpisite razlicna naravna stevila, kiso manjsa od 100, tako da bo vsota kvadratovdveh stevil iz poljubnih sosednjih kvadratkovenaka vsoti kvadratov stevil, ki se nahajata vdiametralno nasprotnih kvadratkih!
162 + 22 = 260
82 + 142 = 260
162 − 82 = 142 − 22 = 192 ⇒192 = a2 − b2
= (a− b)(a + b)
192 sodo ⇒ a in b hkrati sodi ali hkrati lihi ⇒(a− b) in (a + b) sta sodi
192 = 2 ∗ 96
= 4 ∗ 48
= 6 ∗ 42
= 8 ∗ 24
= 12 ∗ 16
a− b = 2, a + b = 96 ⇒ a = 49, b = 47
49, 47
26, 22
19, 13
16, 8
14, 2
Resitev:
3. KRALJ IN GRADOVI
Kralj je svojemu arhitektu ukazal, da mu zgradi10 gradov, ki pa morajo biti povezani zutrjenimi zidovi. Zidovi naj bodo v obliki petihravnih crt s stirimi gradovi na vsaki crti. Nasliki je predstavljen prvotni arhitektov nacrt, kipa kralju ni bil vsec. Tako je od arhitekta zahte-val, da naj poleg tega gradove poveze z zidovitako, da bo pred napadom od zunaj ogrozenihcim manj gradov, oziroma da bi napadalci cimvec gradov dosegli le s precenjem zidov. Kako bivi zgradili utrdbe, da bi cim bolj ustregli kralju?
Resitev:
Vse moznosti:
4. POCITNICE
Prijatelja sta se odlocila, da bosta s kolesi odslana pocitnice. V vaski gostilni sta tik predodhodom preucila karto, ki je na poenostavljennacin predstavljena na spodnji sliki. Na kartije oznacenih 120 krajev. Ravne crte predstav-ljajo poti, ki te kraje povezujejo. Prijatelja stasvoje potovanje zacela v kraju A, ki je na kartioznacen levo zgoraj (severozahod). Ugotovilasta, da do kraja, kjer bosta zakljucila potovanje,vodi natanko 1365 poti, s tem da sta se odlocila,da bosta ves cas potovala na jug in na vzhod(navzdol in na levo). Cilj uganke je najti ciljnjunega potovanja!
Resitev:
kraj v 5. vrstici in 12. stolpcu
Koliko poti vodi do mesta v n-ti vrsticiin m-tem stolpcu?
Primer:
J J V J . . . V J
J ... n− 1 kratV ... m− 1 krat
Permutacije s ponavljanjem:
P n−1, m−1m+n−2 =
(m + n− 2)!
(n− 1)! (m− 1)!
Primer: n = 5, m = 12
P 4,1115 =
15!
4! 11!= 1365
IGRA S KOVANCI
Igro igrata dva igralca, tako da zaporedoma mecetakovanec. Pred zacetkom igre vsak od njiju napoverezultat v obliki treh zaporednih metov. Zmagatisti, ki napove rezultat, ki se pojavi v treh za-porednih metih pred napovedanim rezultatomsotekmovalca
Mozne napovedi (S-slika, C-cifra):
SSS, SSC, SCS, CSS, CCS, CSC, SCC, CCC
Primer:
• prvi igralec: CCC
• drugi igralec: SCC
METI 1 2 3 4 5 6 7
S/C C S C S S C C
Verjetnost, da se pojavi CCC pred SCC:
1
2∗ 1
2∗ 1
2=
1
8
A−CSS se pojavi pred CCS
Oznaka: pcs − verjetnost CSS, potem ko padetav prejsnjih dveh metih najprej cifra, nato slika
Podobno: pcc, psc, pss
Locimo 4 moznosti:
1. v prvih dveh metih padeta cifri:
C
CC↗↘
S
pcc =1
2pcc +
1
2∗ 0 =⇒ pcc = 0
2. v prvih dveh metih pade najprej slika, natocifra:
C =⇒ pcc
SC↗↘
S =⇒ pcs
psc =1
2pcc +
1
2pcs =⇒ psc =
1
2pcs
3. v prvih dveh metih pade najprej cifra, natoslika:
C =⇒ psc
CS↗↘S
pcs =1
2psc+
1
2∗1 =⇒ pcs =
1
4pcs+
1
2=⇒ pcs =
2
3, psc =
1
3
4. v prvih dveh metih padeta sliki:
C =⇒ psc
SS↗↘S =⇒ pss
pss =1
2psc +
1
2pss =⇒ pss = psc =⇒ pss =
1
3
P (A) =1
4pcc +
1
4pcs +
1
4psc +
1
4pss
=1
3
2/1 CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS
CCC 12
25
25
18
512
310
12
CCS 12
23
23
14
58
12
710
CSC 35
13
12
12
12
38
712
CSS 35
13
12
12
12
34
78
SCC 78
34
12
12
12
13
35
SCS 712
38
12
12
12
13
35
SSC 710
12
58
14
23
23
12
SSS 12
310
512
18
25
25
12
Optimalna strategija:
• igralec 2: za zadnje dva pricakovana metaizbere prva dva pricakovana meta prvega igralcater se izogiba obratni moznosti
• igralec 1: izbere CSC ali CSS ali SCS aliSCC
CCC =⇒ SCC (zmaga z verjetnostjo 78)
CCS =⇒ SCC (zmaga z verjetnostjo 34)
CSC =⇒ CCS (zmaga z verjetnostjo 23)
UGASNIMO LUCI (LIGHTS OUT)
Igro igra en igralec, tako da skusa na (obicajno)5×5 tablici ”ugasniti vse luci”. Tablico ses-tavlja (obicajno) 25 gumbov, ki so lahko priz-gani ali ugasnjeni. S pritiskom na gumb, spre-menimo stanje gumba in njegovih (nediagonal-nih) sosedov.
• ×
×
× • ××
×× • ×
×
Naloga
”Ugasni luc” v naslednjih dveh primerih, ce Lpomeni, da je luc prizgana!
L L L
L L L
L L L
L
L L
L L
Primer poteze:
L L L
L L L
L L L
=⇒
•
L L
L L L
Resitvi:
• •
•
• •
• • •
•
Ugotovitve:
• vrstni red ni pomemben
• posamezen gumb ”pritisnemo” najvec enkrat⇒ stevilo vseh moznosti v primeruigre 3× 3 :
(90
)+
(91
)+ ... +
(99
)= 512
• iz izbire gumbov v prvi vrstici lahko ugo-tovimo, katere gumbe moramo pritisniti vdrugi in tretji vrstici:
• L
L L
L L L
•
•
L L
a b c
d e f
g h i
a, b, ..., i∈{0, 1}0 - na gumb ne pritisnemo1 - na gumb pritisnemo
a+b+d ≡ 1(mod2)
1+1 = 0, 1 = -1, a = -a
=⇒ a+b+1 = d
Podobno:
a+b+c+e ≡ 1(mod2)=⇒ a+b+c+1 = e
b+c+f ≡ 1(mod2)=⇒ b+c+1 = f
g = a+d+e+1= a+a+b+1+a+b+c+1+1= a+c+1
a b c
a+b+1 a+b+c+1 b+c+1
a+c+1 0 a+c+1
a b c
a+b+1 a+b+c+1 b+c+1
a+c+1 0 a+c+1
b+c+1 a+b+c a+b+1
b+c+1 = 0a+b+c = 0a+b+1 = 0
=⇒ c = 1, b = 0, a = 1
Resitev
3×3, zacetni polozaj - prizgane vse luci:
1 0 1
0 1 0
1 0 1
4×4, zacetni polozaj - prizgane vse luci:
a b c d
a+b+1 a+b+c+1 b+c+d+1 c+d+1
a+c+1 d a b+d+1
b+c+d+1 a+b+d+1 a+c+d+1 a+b+c+1
0 0 0 0
=⇒ a, b, c, d ∈ {0, 1}
=⇒ 16 resitev
Primer: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0
1 1 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
5×5, zacetni polozaj - prizgane vse luci:
a b c d e
a+b+1 a+b+c+1 b+c+d+1 c+d+e+1 d+e+1
a+c+1 d a+e b c+e+1
b+c+d+1 a+b+d+e+1 a+c+e a+b+d+e+1 b+c+d+1
e d+1 c+1 b+1 a
b+c+e+1 a+b+c a+b+d+e c+d+e a+c+d+1
a+b+c = 0b+d = 1
c+d+e = 0
=⇒ 4 resitve: d, e ∈ {0, 1}
Primer: d = 1, e = 1
=⇒ a = 0, b =0, c = 0
0 0 0 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 1 1 0
Zanimive povezave:
• Vse o igri ”Lights out”:
– http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/lights.htm
– http://mathworld.wolfram.com/LightsOutPuzzle.html
– http://www.anarkasis.com/rafa/indexuk.htm
• Zastonj igra ”Lights out” za Windowse:http://games.ncbuy.com/downloads/title 10000.html