YÖNEYLEM ARAŞTIRMASIauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/kok/yoneyaras.pdf · barındıran,...

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI

ORTAK DERS

PROF. DR. ERGÜN EROĞLU

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

ORTAK DERS

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI

Prof. Dr. Ergün Eroğlu

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

i

ÖNSÖZ

Sevgili öğrenciler;

Yöneylem Araştırması, çeşitli matematiksel yöntemleri kullanarak karar verme

ortamlarında karar vericiye yardım sağlayan bir yöntemler dizisidir. İşletme Yöneticisinin karar

verme fonksiyonuna yardımcı olmayı amaçlayan sayısal yaklaşım ve teknikleri içinde

barındıran, matematik-istatistik modelleri kurmak ve model üzerinde işlem yapmayı kapsar.

Karar sürecinde kantitatif analizlerin de katılmasının nedeni, daha iyi daha etkin karar vermede

yardımcı olmasıdır. Diğer bir açıdan yönetimin dört temel fonksiyonu olan planlama, organize

etme, yönetme ve kontrol etmede sayısal tekniklerden yararlanılmaktadır. Tüm dünyada; askeri

alanlar, sağlık-tıp alanları, ekonomi, işletme alanı, finans alanı gibi örneklerin verilebileceği ve

bu örneklerin daha da çoğaltılabileceği daha pek çok alanda uygulamaları olan bir bilim dalıdır.

Siz sevgili öğrencilerimizi geleceğe hazırlamak amacıyla sunduğum bu ders notumda

gözden kaçan eksiklikler ve farkına varılmamış hatalarım olduysa, bu konuda sizlerden gelecek

katkılarla ve her türlü görüşünüz ile sorunların en aza indirilebileceğini ümit etmekteyim.

Son olarak siz değerli öğrencilerimiz dersimize HOŞGELDİNİZ… Sizleri aramızda

görmekten mutluluk duymaktayım. Üniversite hayatınızda başarı merdivenlerini koşarak

çıkmanız dileğiyle…

“Yöneylem Araştırması” adlı ders notumun öğrencilerime dersten başarılı olmaları için

yardımcı kaynak oluşturması dışında çok daha önemlisi problem çözme ve sayısal düşünme

alışkanlıklarını kazandırması yönünde yararlı bir kaynak olmasını dilerim.

Prof. Dr. Ergün EROĞLU

İstanbul Üniversitesi, 2019

ii

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ .................................................................................................................................................... i

İÇİNDEKİLER ...................................................................................................................................... ii

KISALTMALAR ................................................................................................................................... v

YAZAR NOTU ..................................................................................................................................... vi

1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ .................................................................................. 1

1.1. Yöneylem Araştırmasının Tarihsel Gelişimi ............................................................................... 8

1.2. Yöneylem Araştırmasının Türkiye’deki Tarihçesi ...................................................................... 9

1.3. Yöneylem Araştırmasının Tanımı ............................................................................................... 9

1.4. Yöneylem Araştırmasının Uygulama Alanları .......................................................................... 10

1.5. Yöneylem Araştırmasının Özellikleri ........................................................................................ 11

1.6. Bilimsel Yöntemin Aşamaları ................................................................................................... 12

2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE MODEL KURMA ....................................................... 24

2.1. Giriş ........................................................................................................................................... 29

2.2. Doğrusal programlama Tekniği Varsayımları ........................................................................... 29

2.3. Doğrusal Programlama Probleminin Matematiksel Modeli ...................................................... 30

2.4. Doğrusal Programlama Probleminin Grafik Yöntemle Çözümü ............................................... 37

3. SİMPLEKS YÖNTEM ( MAKSİMİZASYON PROBLEMİ ) ................................................ 54

3.1. Giriş ........................................................................................................................................... 59

3.2. Simpleks Yöntem ...................................................................................................................... 59

3.3. Simpleks Yöntemle Çözüm Aşamaları ...................................................................................... 62

4. SİMPLEKS YÖNTEM (MİNİMİZASYON PROBLEMİ) ..................................................... 78

4.1. Minimizasyon Probleminin Simpleks Yöntemle Çözümü ........................................................ 84

5. DUALİTE VE DUYARLILIK ANALİZİ ............................................................................... 100

5.1. Dualite (İkilik veya İkincil Problem) ....................................................................................... 106

5.2. Duyarlılık Analizi .................................................................................................................... 109

5.3. Amaç Fonksiyonu Katsayılarındaki Değişim .......................................................................... 110

5.4. Sağ Taraf Sabitlerindeki Değişim ve Gölge Fiyat ................................................................... 113

5.5. Sağ Taraf Sabitlerindeki (��) Değişim .................................................................................... 115

6. TAMSAYILI PROGRAMALAMA ......................................................................................... 127

6.1. Tamsayılı Programlama Türleri............................................................................................... 135

6.2. Tamsayılı Programlama ile İlgili Problemler .......................................................................... 137

6.3. Özel Tamsayılı Programlama Problemleri .............................................................................. 138

6.4. Tamsayılı Programlama Problemlerinin Çözüm Yöntemleri .................................................. 141

7. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA UYGULAMASI: TRANSPORT PROBLEMİ .............. 156

iii

7.1. Transport Probleminin Doğrusal Programlama ile Modellenmesi .......................................... 162

7.2. Ulaştırma Algoritması ............................................................................................................. 167

7.3. Kuzeybatı Köşe Yöntemi ........................................................................................................ 167

7.4. Minimum Maliyetli Atama Yöntemi (Kestirme Dağıtım) ....................................................... 168

7.5. Vogel Yaklaşım Yöntemi (Metodu) (VAM) ........................................................................... 169

7.6. Atlama Taşı (Boş Hücre Çevrimleri) ....................................................................................... 172

7.7. MO-Dİ (Modified Distribution) Yöntemi ............................................................................... 174

7.8. Ulaştırma Problemlerinde Dejenerasyon ................................................................................. 178

7.9. Yasaklanmış Yol Problemi ...................................................................................................... 179

8. ÇOK AMAÇLI KARAR VERME: HEDEF PROGRAMLAMA ......................................... 190

8.1. Hedef Programlama ................................................................................................................. 196

8.2. Hedef Programlama ve Doğrusal Programlama Arasındaki Farklar ....................................... 199

8.3. Hedef Programlamanın Formülasyonu .................................................................................... 200

8.4. Hedef Programlama Türleri ..................................................................................................... 204

9. ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME: ANALİTİK HİYERARŞİ PROSES ......................... 215

9.1. Giriş ......................................................................................................................................... 220

9.2. Karar Verme ............................................................................................................................ 220

9.3. Analitik Hiyerarşi Prosesi ........................................................................................................ 221

9.4. Hiyerarşik Yapının Oluşturulması ........................................................................................... 222

9.5. İkili Karşılaştırma Matrislerinin Oluşturulması ...................................................................... 223

9.6. Önceliklerin Belirlenmesi ........................................................................................................ 225

9.7. Karşılaştırma Matrislerinin Tutarlılık İncelemesi ................................................................... 225

9.8. Bütünleştirme .......................................................................................................................... 228

10. OYUN TEORİSİ .................................................................................................................... 243

10.1. Oyun Teorisi ile İlgili Kavramlar ........................................................................................ 249

10.2. Denge Kavramı ve Nash Dengesi ........................................................................................ 251

10.3. Oyunda Strateji Kavramı ..................................................................................................... 251

10.4. Ödemeler (Getiri-Kazanç) Matrisi ....................................................................................... 252

10.5. Oyun Teorisinin Temel Mantığı .......................................................................................... 252

10.6. Karma Stratejili Oyunlar ve Çözüm Yöntemleri ................................................................. 255

10.7. Oyun Kuramında Grafik Yöntem ........................................................................................ 257

11. MARKOV ANALİZİ ............................................................................................................ 269

11.1. Markov Analizi .................................................................................................................... 275

11.2. Markov Analizi ile ilgili Kavramlar ve Markov Zinciri ...................................................... 276

11.3. Başlangıç olasılıkları ........................................................................................................... 277

11.4. Stokastik Süreçlerin Sınıflandırılması ................................................................................. 280

iv

11.5. Ergodik Markov Zinciri ....................................................................................................... 289

11.6. Denge Durumu .................................................................................................................... 289

12. SİMÜLASYON ...................................................................................................................... 301

12.1. Simülasyon Modellerinin Sınıflandırılması ......................................................................... 309

12.2. Çeşitli Dağılımlara Uygun Rasgele Sayı Üretimi ................................................................ 309

12.3. Bir Simülasyon Modelinin Çözüm Aşamaları ..................................................................... 310

12.4. Simülasyon ne zaman kullanılmalıdır? ................................................................................ 311

12.5. Simülasyonda Kullanılacak Yöntemin Belirlenmesi ........................................................... 313

12.6. Simülasyon Nasıl Yapılır? ................................................................................................... 315

12.7. Simülasyonda Dağılımın Belirlenmesi ................................................................................ 315

12.8. Simülasyonda Deneme Sayısının Bulunması ...................................................................... 321

13. ŞEBEKE PROGRAMLAMADA KRİTİK TOL YÖNTEMİ (CPM) ............................... 329

13.1. Şebekenin Kurulması ........................................................................................................... 336

13.2. İş Programlarının Hesaplanmasında Genel Bilgiler ............................................................ 336

13.3. Tabloların Düzenlenmesi ..................................................................................................... 337

13.4. Proje Planlamada Ağ (Network) Diyagramı ....................................................................... 337

13.5. İş Paketlerinden Ağ Diyagramlarına ................................................................................... 338

13.6. Proje Ağ (Network) Diyagramının Çizilmesi ...................................................................... 339

13.7. Proje Şebeke Çizim Metotları ............................................................................................. 340

13.8. Ağ Diyagramının Temel Kuralları ...................................................................................... 341

13.9. (Activity-On-Node) Metodunun Temelleri ......................................................................... 341

13.10. Kritik Yol Yöntemi-CPM .................................................................................................... 343

13.11. Ağ Hesaplama Süreci .......................................................................................................... 345

13.12. İleriye Doğru Hesap ............................................................................................................ 348

13.13. AON - Geriye Doğru Hesap ................................................................................................ 349

13.14. AOA (Activity on Arrow) ................................................................................................... 350

13.15. Proje Ağ Yapısının Gerçek Hayatla Bütünleştirilmesi ........................................................ 352

14. ŞEBEKE PROGRAMLAMADA PERT YÖNTEMİ ......................................................... 364

14.1. PERT Yönteminde Faaliyet Sürelerinin Belirlenmesi ......................................................... 370

14.2. Kritik Yolun Tespiti ............................................................................................................ 373

14.3. Matris Metodu İle Çözüm Yöntemi..................................................................................... 374

14.4. PERT Tekniğinin Avantaj ve Dezavantajları ...................................................................... 380

14.5. CPM ve PERT Yöntemlerinin Karşılaştırılması ................................................................. 380

KAYNAKÇA ..................................................................................................................................... 390

TABLOLAR ....................................................................................................................................... 392

v

KISALTMALAR

AHP: Analitik Hiyerarşi Proses

CPM: Kritik Yol Metodu

ÇKKV: Çok Kriterli Karar Verme

ÇNKV: Çok Nitelikli Karar Verme

DP: Doğrusal Programlama (Lineer Programlama)

HP: Hedef Programlama

LP: Lineer Programlama

NLP: Nonlineer Programlama

OR: Operation Research (Yöneylem Araştırması)

OYF: Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

PERT: Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği

RAM: Russel Atama Metodu

SKV: Sayısal Karar Verme

SKVT: Sayısal Karar Verme Teknikleri

TP: Tamsayılı Programlama

ÜP: Üretim Planlama

ÜPK: Üretim Planlama ve Kontrol

VAM: Vogel Atama Metodu

YA: Yöneylem Araştırması

RAM: Russel Atama Metodu

vi

YAZAR NOTU

Değerli öğrencilerim,

Bu çalışma ile tüm okuyuculara Yöneylem Araştırması konusunda gerekli temel

bilgilerin verilmesi amaçlanmıştır. Özellikle çok yıllar okumaya ara vermiş olan veya sayısal

temelim yok diyen kıymetli öğrencilerimiz;

İşletme Eğitiminde başarı sağlayabilmenin temeli sayısal derslerdeki başarıdan geçer.

Sayısal tarafınızı daha da güçlendirebilmek sizin elinizdedir. Size kolaydan zora doğru gidecek

biçimde temelden başlayarak Yöneylem Araştırması bilgilerini bu ders notu ile paylaşmış

bulunmaktayım. Ders notunu baştan sona çalışarak ilerlediğiniz ve çözümlü soruları anlayıp,

test sorularını da çözdüğünüz takdirde başarı kendiliğinden gelecektir.

İyi bir ders yılı geçirmeniz dileği ile.

Prof. Dr. Ergün EROĞLU

İstanbul Üniversitesi

1

1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ

2

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?

1.1. Yöneylem Araştırma nedir ne değildir?

1.2. Matematiksel model

1.3. Yöneylem Araştırmasının Geçmişi

1.4. Yöneylem Araştırmasının Uygulama Alanları

1.5. Bilimsel Yöntemin Aşamaları

3

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular

1) Yöneylem Araştırması nedir?

2) İşletme problemlerinin matematiksel modelleri nasıl oluşturulur?

4

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri

Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği

Yöneylem

Araştırmasının Tanımı

Yöneylem Araştırmasını

tanımlayabilmek Okuyarak, Tekrar yaparak

Matematiksel Model

Kurma

Model nasıl kurulduğunu

öğrenmek

Okuyarak, Fikir yürüterek,

Tekrar ederek

Model kurma aşamaları Model kurmanın aşamalarınnı

öğrenmek

Okuyarak, Tekrar yaparak,

Örnek çözerek

YA Geçmiş YA hakkında geçmiş bilgileri

öğrenmek


Örnek çözerek

5

Anahtar Kavramlar

• Yöneylem Araştırması

• Matematiksel Model Kurma

• YA Uygulama Alanları

6

Giriş

Yöneylem Araştırması’ndaki “Yöneylem” kelimesi yönetim ve eylem kelimesinden

türetilmiş harekat anlamına gelen bir kelimedir. Yöneylem araştırması, “Harekat

Araştırtırması” ismiyle Dünyada ve ülkemizde ilk olarak askeri alanda kullanılmaya ve

geliştirilmeye başlanmıştır.

Yöneylem araştırması; bir organizasyon içinde operasyonların koordinasyonu ve

yürütmesi ile ilgili dünyanın gerçek karmaşık sorunları için fikir üretmede matematiksel

modelleme, istatistik ve algoritma gibi sayısal yöntemleri kullanan disiplinlerarası bir bilimdir.

Soruna bilimsel olarak en uygun çözümü sağlamak için bu bilimi kullandıktan sonraki hedef

organizasyonun performansını iyileştirmek ve optimize etmektir. Amerikan İngilizcesi ile

“Operations Research”, İngiliz İngilizcesi ile “Operational Research” olarak adlandırılan

“Yöneylem Araştırması (YA)”; belirli kısıtların olduğu bir durumda, belirli bir amaca yönelik

en uygun çözümün bulunması için geliştirilmiş bilimsel yöntemler dizisidir.

Yöneylem araştırmasının adındaki "operation" kavramı II. Dünya Savaşı sırasındaki

askeri operasyonları anlatmak için kullanılmıştır. 1969 yılına kadar Harekât Araştırması olarak

Türkiye'de öncelikle askeri kurumlarda, daha sonra üniversiteler ile kamu kurumlarında

kullanılmaya başlanmıştır. Yöneylem Araştırması Derneği'nin (YAD) kurucuları arasında da

yer alan Halim Doğrusöz'ün önerisi ile bu disiplinlerarası bilim dalı Yöneylem Araştırması

olarak tanınır hale gelmiş ve bir çok alanda uygulama bulmuştur.

Kavramsal açıdan Yöneylem Araştırması ile Yönetim Bilimi (Management Science)

modern bilim açısından aynı anlamdadır. Yönetim Bilimi (ya da Yöneylem Araştırması),

işletmecilik alanındaki örgütsel çalışmaları ele alan Yönetim Bilimleri ile birbirlerinden

kuramsal olarak ayrılan dallar olarak ele alınmaktadır.

Yöneylem araştırması işletmecilik, işletme yöneticiliği ve mühendislik alanları ile

yakından ilişkilidir. İşletmeci ve mühendis bakış açısıyla, yöneylem araştırması teknikleri

problem belirleme, model kurma ve problem çözmede başlıca araç olarak düşünülürler.

Yöneylem araştırmacıları tarafından kullanılan öncelikli araçlar istatistik, optimizasyon,

kuyruk kuramı, oyun kuramı, çizge kuramı, karar analizi ve simülasyondur. Bu alanların sayısal

niteliğinden dolayı yöneylem araştırması bilgisayar bilimleri ile de ilgilidir. Dolayısıyla

yöneylem araştırmacıları özel olarak yazılmış ya da hazır yazılımları kullanırlar.

Yöneylem araştırması, spesifik elemanlara yönelmektense sistem genelini ele alarak

bütünüyle geliştirme yeteneğiyle diğerlerinden ayrılır. Yeni bir problemle karşılaşan yöneylem

araştırmacısının hangi tekniklerin sistemin doğasına, geliştirme hedeflerine, zaman ve hesap

gücü kısıtlarına en yatkın olduğuna karar vermesi beklenir. Bu ve diğer nedenlerden ötürü insan

etkeni yöneylem araştırması için yaşamsaldır. Öteki herhangi araçlar gibi yöneylem araştırması

teknikleri problemleri kendi başlarına çözemezler.

Çok sayıda teknik ve bilimsel yaklaşımı içeren Yöneylem Araştırması genellikle kıt

kaynakların paylaşımının söz konusu olduğu sistemlerin en iyi şekilde tasarlanması ve

7

işletilmesine yönelik karar problemlerine bilimsel yaklaşımın uygulanmasını amaçlamaktadır.

Bilimsel metotlarla problem çözme çalışmalarının başlangıcı çok eskilere dayanmakla birlikte

günümüzde yöneylem araştırması olarak adlandırılan bilim dalının temelleri İkinci Dünya

Savaşı yıllarında atılmıştır. Savaş yıllarında stratejik ve taktik seviyede çeşitli askeri

problemlerin analizi ve muharebelerdeki etkinliğin artırılmasına yönelik olarak çeşitli teknikler

geliştirilmiş ve bunlar yoğun olarak uygulanmıştır. Matematiksel modelleme ve bilimsel

metotların askeri harekatlara uygulanması ve etkinliğin artırılması amacıyla yapılan

optimizasyon çalışmaları sonucunda geliştirilen teknikler Operations Research (Yöneylem

araştırması) olarak adlandırılmıştır.

8

1.1. Yöneylem Araştırmasının Tarihsel Gelişimi

Gerek otomobil, televizyon, silah gibi elle tutulur bir ürünün üretilebilmesi, gerekse ulaşım,

eğlence, güvenlik gibi insanların çeşitli ihtiyaçlarını karşılayan hizmetlerin sağlanabilmesi için

bazı kaynakların kullanılması gerekir. Kaynak deyince faaliyetlerin gerçekleştirilmesinde

kullanılan ve çeşitli işlemlerin sonunda bir ürüne ya da hizmete dönüşen her şeyi aklımıza

getirebiliriz. (Örneğin; zaman, insan gücü, para, arazi, teknoloji gibi).

Zaman ilerledikçe yeryüzündeki kaynaklardan bazıları azalmış, öbür yandan mevcut kaynakları

kullanacak olan insanların sayısı artmış ve teknolojik yönden gelişmiş özellikleri olan araç ve

gereçler üretilmeye ve kullanılmaya başlanmıştır. Aynı zamanda insanların bilgi ve kültür

seviyeleri artmış ve insanlar temel ihtiyaçlarını karşılamanın ötesinde, ortaya çıkan daha başka

ihtiyaçlarının da karşılanmasına yönelik olarak günlük hayatta kullandığı eşyalara ve

yararlandığı hizmetlere olan beklentilerini yükseltmeye başlamışlardır. Diğer yandan farklı

yeteneklere, uzmanlık alanlarına ve bilgi düzeyine sahip insanlar karmaşık yapıdaki araç, gereç

ve malzemelerden oluşan organizasyonların yönetimi ve en yüksek verimi elde edecek şekilde

eldeki kaynakların organizasyonunun faaliyetlerine paylaştırılması önemli bir problem olarak

kendini hissettirmeye başlamıştır. Özellikle 18. yüzyılın sonlarına doğru başlayan endüstri

devrimi bu değişimin daha da hızlanmasına ve daha büyük organizasyonların oluşmasına yol

açmıştır. Bu gelişmelerin sonucu olarak günlük hayatta karşılaşılan çeşitli problemler ile ilgili

karar vermeye yardımcı olmak amacıyla, problemlerin çözümünde kullanılabilecek bilimsel

metotların geliştirilmesine yönelik çalışmalar başlamıştır. Pek çok alandaki çeşitli problemlerin

çözümünde kullanılabilecek teknikleri içeren Yöneylem araştırması bilim dalı böyle bir

arayışın sonunda ortaya çıkmış, bilim adamlarının katkılarıyla gittikçe zenginleşmiş ve ilk

yıllarından itibaren karar problemlerinin çözümünde yoğun olarak kullanılmaya başlamıştır.

Bazı bilimsel çalışmalar sonucunda geliştirilen yöntemler, askeri alanlarda kullanılmak

amacıyla daha da geliştirilerek, özellikle ABD hava kuvvetleri faaliyetlerinin etkinlik

sağlayacak şekilde planlanmasında kullanılmıştır. Bu çalışmaları yürüten G.B. Dantzig çalışma

kapsamını genişleterek ABD’nin tüm askeri faaliyetlerinin planlanmasına yönelik doğrusal

programlama yaklaşımını geliştirmiş ve Simpleks çözüm yöntemini ortaya koymuştur.

Simpleks çözüm yönteminin geliştirilmesinden sonra doğrusal programlama teorisinde de

önemli gelişmeler sağlanmıştır. Robort Dorfman, doğrusal programlama yaklaşımını tam

rekabet ve monopol koşulları altında çalışan iktisadi öğelere uygulamış ve geleneksel marjinal

analiz (cebirsel) ile doğrusal programlama modellerinin uygulanabilirliğini karşılaştırmıştır.

Daha sonraki yapılan çalışmalarda, iktisatçılar ve matematikçiler “Dualite Teorisi”ni

geliştirmişlerdir. 1950’lerden sonra R.Bellman dinamik programlama ve H. Kuhn ile A. Tucker

doğrusal olmayan programlama modellerini geliştirmişlerdir.

Yöneylem araştırması bilim dalının temelleri İkinci Dünya Savaşı sırasında, İngiltere’de savaş

araç ve gereçlerinin, limanlarda daha kısa sürede gemilere yüklenmesini ve boşaltılmasını

sağlayacak bir yöntemin araştırılmasıyla atılmıştır. İngiliz Savunma Bakanlığı bu karmaşık

problemleri çözmek ve askeri harekâtlardaki etkinliği artırmak amacıyla çeşitli disiplinlerdeki

bilim adamlarından oluşan ekipler teşkil ederek bir dizi çalışma başlatmıştır. İşlemsel, eylemsel

9

ve uygulamaya yönelik araştırma anlamına gelen bu yöntem Türkiye’de yöneylem araştırması

olarak tanınmıştır.

1.2. Yöneylem Araştırmasının Türkiye’deki Tarihçesi

Başlangıçta “Harekât Araştırması” adı verilen Yöneylem araştırmasının Türkiye’ye girişi, pek

çok alanda olduğu gibi, Türk Silahlı Kuvvetlerinin öncülüğünde olmuştur. Ülkemizde

oluşturulan ilk yöneylem araştırması birimi, 19 Ağustos 1954 tarihinde Genelkurmay

Başkanlığı bünyesinde kurulan “İlmi İstişare Kurulu Müdürlüğü” olup, gerçek anlamdaki ilk

yöneylem araştırması grubu 1 Haziran 1956 tarihinde yaklaşık 10 yedek subaydan

oluşturulmuştur. Bu müdürlüğün adı 1957 yılında “İlmi İstişare ve Geliştirme Kurumu” kısaca

İLGE olarak değiştirilmiştir. 1958 yılında adı AR-GE olarak değiştirilen birim, 1970 yılına

kadar Genelkurmay Başkanlığına bağlı olarak, 1970 sonundan itibaren ise Milli savunma

Bakanlığı bünyesinde faaliyetlerini sürdürmüştür. 1973 yılında Genelkurmay Başkanlığında

Savunma Araştırması Dairesi Başkanlığı kurulmuş ve yöneylem araştırması faaliyetleri bu

başkanlık bünyesinde sürdürülmüştür. 1993 yılında başkanlığın adı Silahlanma ve Savunma

Araştırma Dairesi olmuştur.

Sivil kesimde ise ilk olarak 1 Eylül 1965 tarihinde TÜBİTAK bünyesinde bir Yöneylem

Araştırması ünitesi oluşturulmuş, 1973 yılında Gebze Marmara Bilimsel ve Endüstriyel

Araştırma Enstitüsünün bir ünitesi olarak faaliyetlerine devam etmiş ve 1992 yılında “Sistem

Analizi” adı verilerek yeni bir birime dönüştürülmüştür. Eğitim alanında ilk uygulamalar

İstanbul Teknik Üniversitesi ve Orta Doğu Teknik Üniversitesinde başlatılmış ve kısa bir süre

sonra Kara Harp Okulu da yöneylem araştırması derslerini ders programına eklemek suretiyle

öncülük yapan okullar arasında yer almıştır. Bu gelişmeyi daha sonraki yıllarda gerek yöneylem

araştırması derslerini programa koymak ve gerekse yüksek lisans ve doktora programları açmak

suretiyle diğer üniversiteler takip etmiştir.

1.3. Yöneylem Araştırmasının Tanımı

Yöneylem Araştırması denince akla ilk gelen kelime optimizasyondur. Optimizasyon kelime

olarak “en iyiyi elde etme” şeklinde tanımlanabilir. Bu da bize amaç doğrultusunda eldeki

kaynakları kullanarak problemlerin optimal (en iyi, en verimli) çözümünün bulunmasını ifade

eder.

Yöneylem, karmaşık sorunların çözümünde ve incelenmesinde bilimsel ve özellikle

matematiksel yöntemlerin uygulanışı; yöneylem araştırması ise herhangi bir problemi

yöneylem yöntemine göre araştırma, incelemedir (Türk Dil Kurumu, 1998).

Yöneylem araştırması endüstri, iş dünyası, yönetim ve savunma alanlarında; insan, makine,

malzeme ve paradan oluşan büyük sistemlerin yönetiminde ortaya çıkan karmaşık problemlerin

çözümünde bilimsel metotların uygulanmasıdır. Amaç yönetim politikasının ve faaliyetlerin

bilimsel olarak saptanmasına yardımcı olmaktır.

10

Yöneylem araştırması sistemlerin karşılaştıkları problemlerde, disiplinlerarası bir ekiple,

bilimsel metotları kullanarak ve problemin kontrol edilebilir unsurları ile ilgili alternatifleri

değerlendirmek suretiyle optimal (en uygun) çözümü bulmayı amaçlar. Yöneylem araştırması

gerçek hayattan kaynaklanan ve çoğunlukla sınırlı kaynakların paylaştırıldığı deterministik ve

olasılıklı problemlerin modellenmesi ve optimal kararın verilmesi ile ilgilenir.

Bu tanımları incelediğimizde, kaynak kıtlığı, karar verme süreci, bilimsel yaklaşım, modelleme,

optimal çözüm gibi anahtar terimlerin yöneylem araştırmasının tanımlanmasında önemli rol

oynadığını görürüz. Yöneylem araştırmasının başta üretim, yönetim, mühendislik, ekonomi,

sosyal bilimler, savunma planlaması olmak üzere pek çok gerçek hayat probleminde çok çeşitli

uygulamalarını görmek mümkündür. Bu problemlere baktığımız zaman gerçekten de çok büyük

bölümünde eldeki sınırlı kaynakların paylaştırılmasına yönelik bir yaklaşıma ihtiyaç

duyulduğunu görürüz. Bu gibi problemlerin çözümünde gerekli olan bakış açısı ve uygun

yaklaşımın, yöneylem araştırmasında olduğu gibi, bilimsel analiz yoluyla sağlanabileceğini

söyleyebiliriz.

1.4. Yöneylem Araştırmasının Uygulama Alanları

Bir karar verme probleminin çözümü aşağıdaki üç temel unsurun belirlenmesini gerektirir.

1. Karar alternatifleri nelerdir?

2. Hangi sınırlamalar altında karar verilecektir?

3. Alternatifleri değerlendirmede kullanılacak uygun amaç kriteri nedir?

Yöneylem araştırması, bir örgütün etkili çalışmasını sağlamak için sorunlarını ortaya

çıkartmada ve bunların çözümü ile örgütün geliştirilmesinde kullanılır. Örgütün işleyişine ve

ürününe ilişkin en kapsamlı ve bilimsel dönüt toplama yöntemlerinden biri yöneylem

araştırmasıdır. Bu yöntem, gerekli alanlardan uzmanların oluşturduğu takımlarca

uygulanmalıdır. Yine bu yöntemle yapılacak araştırmalar sürekli olmalıdır.

Yöneylem araştırmasını kullanarak hangi alanlarda ne gibi çalışmalar yapılabileceği konusunda

bir fikir oluşturması için yöneylem araştırmasının en yaygın uygulama alanları Tablo 1’de

verilmiştir. Bunların yanında askeri faaliyetlerle ilgili olarak, çeşitli seviyelerdeki taktik ve

lojistik planlamalarda da yöneylem araştırması teknikleri kullanılmaktadır. Yöneylem

araştırmasının en yaygın askeri kullanım alanları da Tablo 2’de gösterilmektedir.

Tablo 1 Yöneylem Araştırmasının Uygulama Alanları

1. Üretim planlama 16. Malzeme ve envanter yönetimi

2. Üretim çizelgeleme 17. Tahmin ve kestirme yöntemleri

3. Verimlilik analizi 18. Esnek imalat sistemleri

4. Toplam kalite yönetimi 19. Karar modelleri

11

5. Proje yönetimi 20. Rassal süreçler

6. Taşıma/ulaşım 21. Tesis yer seçimi ve dağıtım

7. Stratejik planlama 22. Maliyet analizi

8. Kent hizmetleri yönetimi 23. Finansal planlama

9. Yatırım planlama 24. Bütçe planlama ve kontrol

10. Savunma uygulamaları 25. Bakım planlaması

11. Optimizasyon 26. Enerji planlaması

12. Benzetim 27. Performans ölçümü

13. Bilgisayarla bütünleşik imalat 28. Reorganizasyon

14. Tam zamanında üretim 29. İnsan gücü planlaması

15. Karar destek ve uzman sistemler 30. Yönetim bilişim sistemleri

Tablo 2 Yöneylem Araştırmasının Askeri Uygulama Alanları

1. Savunma planlarının oluşturulması 11. İkmal noktalarının belirlenmesi

2. Harekât ihtiyaçlarının analizi 12. İkmal dağıtım yollarının seçilmesi

3. Harekât planlaması 13. Kaynak planlaması

4. Birliklerin konuşlandırılması 14. Ulaştırma

5. Silah sistemlerinin geliştirilmesi 15. İnsan gücü planlaması

6. Taktik alternatiflerin seçimi 16. Kuvvet yapılarının değerlendirilmesi

7. Hedef analizi ve ateş planlaması 17. Bakım ve onarım

8. Kriz yönetimi 18. Tesis yeri seçimi

9. Lojistik faaliyetlerin planlanması 19. Savunma bütçesinin planlanması

1.5. Yöneylem Araştırmasının Özellikleri

Yöneylem araştırmasının temel olarak üç özelliği bulunmaktadır.

1. Bütünleşik yaklaşım (sistem yaklaşımı),

12

2. Disiplinlerarası yaklaşım ve

3. Bilimsel yönetimdir.

1.5.1. Bütünleşik Yaklaşım (Sistem Yaklaşımı)

Yöneylem araştırması problemi çözerken, o problemin ait olduğu organizasyonun bütün

unsurlarını, çevresini ve aralarındaki etkileşimi göz önünde bulundurur. Çünkü organizasyonun

herhangi bir unsurundaki bir değişiklik, diğer unsurları ayrı ayrı etkiler. Aynı şekilde

organizasyonun çevresindeki bir değişiklik organizasyonun faaliyetlerini ve organizasyonun

kendi işleyişinde meydana gelecek değişiklikler de çevresini etkileyecektir. Bu yüzden

problemi, içinde bulunduğu sistemin bütün unsurlarıyla ve bu unsurlar arasındaki her türlü

etkileşimle birlikte incelemek gerekir.

1.5.2. Disiplinlerarası Yaklaşım

Yöneylem araştırması disiplinlerarası bir yaklaşımdır. Fizik, kimya, matematik,

istatistik gibi farklı disiplinlerden yetişmiş kişilerin her soruna bakış açısı farklıdır. Bu yüzden

problemin modellenmesinde ve çözümünde farklı bakış açılarından faydalanabilmek için

problemlerin disiplinlerarası bir ekip tarafından incelenmesi gerekir.

1.6. Bilimsel Yöntemin Aşamaları

Yöneylem araştırmasının kullandığı bilimsel yöntem beş temel aşamadan oluşur.

1. Problemin tanımlanması (formüle edilmesi),

2. Modelin kurulması,

3. Modelden çözüm elde edilmesi,

4. Modelin ve çözümün test edilmesi (kanıtlanması),

5. Çözümün uygulanması.

1.6.1. Problemin Tanımlanması (Formüle Edilmesi)

“Yanlış” problemden “doğru” çözüm elde edilemez. Bu ifadeden anlaşılacağı gibi ilgili

sistemin detaylı bir şekilde incelenip söz konusu problemin iyi bir şekilde tanımlanması, işin

birinci ve en önemli aşamasıdır. Bu aşama, eldeki problemin kantitatif olarak incelenebilecek

bir yapıya dönüştürülmesini amaçlar. Bu aşamada problemin çözümüne direk ya da dolaylı

olarak etki edebilecek her unsurun özenle ortaya çıkarılması gerekir. Problemin tanımlanması,

yöneylem araştırması ekibinin tamamının katılımını gerektiren bir süreç olup yapılacak

incelemenin sonunda aşağıdaki hususların belirlenmesi gerekmektedir:

1. Amaçların belirlenmesi.

13

2. Problem alanının, yani organizasyonu ve çevresini kapsayacak şekilde probleme

etki edecek olan sistemin belirlenmesi.

3. Problemin çözümüne etki edecek sınırlamaların (kısıtların) belirlenmesi.

4. Varsayımların belirlenmesi.

5. Uygun bir etkinlik ölçüsünün belirlenmesi. Etkinlik ölçüsü çeşitli alternatiflerin

amacı ne denli gerçekleştirdiğini değerlendirmede kullanılan bir ölçütü ifade eder. Örneğin, bir

kar maksimizasyonu ya da maliyet minimizasyonu probleminde etkinlik ölçüsü YTL/birim

olarak tanımlanabilir.

1.6.2. Modelin Kurulması

Model gerçek bir nesnenin ya da durumun çeşitli semboller kullanarak ifade edilmiş

temsili bir şekli, soyutlanmış bir yaklaşımdır. Modelleri aşağıdaki gibi gruplandırmak

mümkündür:

1. İkonik (taklit) model: Fiziksel model olarak da adlandırılan ikonik model, gerçek

bir nesnenin ya da olayın genellikle farklı boyutlarda ifade edilmiş görsel bir temsilcidir.

(Örneğin: Kabartma harita, uçak marketi, fotoğraf,…)

2. Analog (çizgisel) model: Gerçek bir nesnenin ya da olayın çeşitli özelliklerini ifade

eden ve çizgilerle oluşturulan modeldir. (Örneğin: Elektrik devresi şeması, otomobil hız

göstergesi, termometre,…)

3. Matematiksel (sembolik) model: Gerçek bir nesnenin ya da olayın harfler, rakamlar

ve çeşitli matematiksel sembollerle temsil edilmiş şeklidir. (Örneğin: Kelimeler, formüller,

sayılar, eşitlikler,…)

Yöneylem araştırmasında kullanılan modeller, optimizasyona en uygun olan,

matematiksel modellerdir. Matematiksel modellerin diğer modellere göre üstün taraflarını

aşağıdaki gibi sıralayabiliriz;

1. Dinamiktirler (kolayca değiştirilebilirler). Örneğin, herhangi bir formüldeki

değişken ve parametreleri değiştirmek suretiyle gerçek sistemdeki bir değişikliği kısa bir sürede

güncelleştirmek mümkündür.

2. Matematiksel ve mantıksal bir yapıya sahiptirler. Bu modeller, soyutlaştırılmış bir

şekilde sistemin özünün ve sistemin unsurları arasındaki ilişkinin temsil edilmesinde

eşitliklerde olduğu gibi) oldukça önemli bir yer tutmaktadırlar.

3. Tanımlayıcıdırlar. Gerçek bir nesneyi ya da olayı ideal olarak tanımlayabilirler.

Örneğin, � = �� eşitliği enerjiyi ve � = �� eşitliği kuvveti tanımlar.

4. Optimizasyon için kullanıma uygundurlar. Matematiksel çözüm yöntemlerinden

herhangi birisini kullanmak suretiyle bu modellerden elde edilecek çözüm sonucunda, temsil

14

ettikleri sistemin optimal şekilde tasarlanması ve işletilmesine yönelik önemli bilgiler elde

etmek mümkündür.

1.6.3. Modelin Kurulması Aşamasında Yapılan İşler

Modelin kurulması aşamasında yapılan işler şunlardır:

1. Karar değişkenlerinin belirlenmesi: Karar değişkenleri problemdeki kontrol

edilebilir unsurları temsil eden ve çözüm sonunda değerleri elde edilecek olan değişkenlerdir.

Örnek olarak toplam n adet ürünün üretileceği bir üretim probleminde üretilecek ürün

miktarlarını gösteren n adet karar değişkeni (örneğin , �,…, �) olarak gösterilir.

2. Parametrelerin belirlenmesi: Parametreler ise kontrol edilemeyen ya da çevresel

faktörler olarak bilinen unsurları ifade eden sabit değerli katsayılardır. Örneğin bir birim ürünün

satışından elde edilecek kar, bir birim ürünün üretimi için gerekli olan hammadde miktarı ve

eldeki toplam hammadde kapasitesi gibi unsurlar modelin parametrelerini oluştururlar.

3. Amaç fonksiyonun oluşturulması: Ulaşılmak istenen amacı tanımlayan ve karar

değişkenlerinin fonksiyonu olarak ifade edilen matematiksel bir fonksiyondur. Yukarıdaki

üretim problemi için her bir ürünün bir birimden elde edilecek kar ( 3,7,…,15 ) TL/birim olsun.

Bu parametreleri amaç fonksiyonu katsayıları olarak kullanmak suretiyle toplam karı ifade eden

amaç fonksiyonu (örneğin, = 3 + 7� +⋯+ 15�) olarak yazılır.

4. Kısıtların oluşturulması: Karar değişkenlerinin alabilecekleri değerler ile ilgili

sınırlamaları belirten kısıtlar da matematiksel olarak ifade edilebilir. Diyelim ki örnek

problemde her bir üründen bir birim üretmek için gerekli olan demir miktarı (3,4,…,2) kg/birim

ve eldeki toplam demir miktarı ise 20 kg olsun. Bu parametreleri katsayı olarak kullanmak

suretiyle demir kapasitesi ile ilgili kısıt ( örneğin, 3 + 4� +⋯+ 2� < 20 ) olarak ifade

edilir.

Şekil 1 Matematiksel Modelleme ve Girdi-Çıktı Dönüşüm Süreci

15

Şekil 1’de görüldüğü gibi, karar değişkenleri ile parametreleri girdi olarak düşünecek

olursak matematiksel modeli bu girdileri çıktıya dönüştüren mekanizma olarak

değerlendirebiliriz.

Yöneylem araştırmasının kullandığı teknikleri ve yaklaşımları model yapılarına göre

genel olarak deterministik ve olasılıklı modeller olarak gruplandırabiliriz.

Tablo 1 Yöneylem Araştırması Modellerinin Sınıflandırılması

- Deterministik Modeller - Olasılıklı Modeller

- Doğrusal Programlama - Markov Zincirleri

- Tamsayılı Programlama - Kuyruk Teorisi

- Hedef Programlama - Karar Analizi

- Ulaştırma ve Atama Modelleri - Simülasyon

- Doğrusal Olmayan Programlama - Tahmin Modelleri

- Oyun Teorisi - Güvenirlilik Analizi

- Deterministik Dinamik Programlama - Olasılıklı Dinamik Programlama

- Deterministik Stok Modelleri - Olasılıklı Stok Modelleri

- Şebeke (Ağ) Analizi - CPM ve PERT ile Proje Planlama

1.6.4. Modelden Çözüm Elde Edilmesi

Bu aşama çeşitli teknikleri kullanarak model için optimal çözüm sonuçlarının elde

edilmesidir. Optimal çözüm, amaç fonksiyonu değerinin maksimum ya da minimum yapılması

anlamındadır. Matematiksel modellerin çözülmesinde kullanılan teknik ve yöntemleri analitik

teknikler, sayısal teknikler, sezgisel yaklaşımlar olarak değerlendirmek mümkündür. Sezgisel

yaklaşımlar, optimizasyon tekniklerinden herhangi birisiyle çözülemeyecek kadar karmaşık

yapıdaki modellerde, optimal çözüm yerine yaklaşık bir çözüm elde etmek için geliştirilmiştir.

Karmaşık sistemler için kullanılan alternatif bir modelleme yaklaşımı da simülasyondur.

Matematiksel modellemedeki gelişmelere rağmen pek çok gerçek olay matematiksel olarak

modellenememektedir. Simülasyon teknikleri matematiksel olarak modellenmesi ve analitik

tekniklerle çözülmesi mümkün olmayan sistemlerin modellenmesinde ve incelenmesinde

kullanılırlar. Simülasyon genel olarak gerçek sistemi küçük parçalara ayırıp bu parçaları, uygun

mantıksal bağlantılarla, birbiri ile ilişkilendirmek suretiyle sistemin davranışını taklit etmeye

çalışan bir yaklaşım olarak tanımlanabilir.

Ayrıca günümüzde yöneylem araştırması çözüm tekniklerini kapsayan ve matematiksel

modellerin bilgisayar ile çözümüne olanak sağlayan çok sayıda paket program geliştirilmiştir.

16

Dolayısıyla modelden çözüm elde edilmesi için işin kolay bir aşaması olup, nispeten zor olan

bölüm optimal çözüm elde edildikten sonra yapılan analizlerdir. Duyarlılık analizi adı verilen

bu süreç, model parametrelerindeki olası değişiklikler (örneğin birim karın ya da eldeki

kapasitenin değişmesi ) sonucunda optimal çözümün nasıl bir davranış göstereceğinin

incelenmesini kapsar.

1.6.5. Modelin ve Çözümün Test Edilmesi

Çözümü uygulamaya geçmeden önce son olarak modelin geçerliliğinin ve çözümün

güvenirliliğinin test edilmesi gerekmektedir. Bu aşamada, geliştirilen modelin gerçekten söz

konusu sistemin davranışını uygun bir şekilde temsil edip etmediği ve buna bağlı olarak da elde

edilen çözümün kabul edilebilir mantıklı bir çözüm olup olmadığı incelenmelidir. Modelin

geçerliliği, elde edilen sonucun mantıksal olarak uygun olup olmadığının tartışılması yoluyla

değerlendirilebileceği gibi modelden elde edilen sonucu geçmişe ait çıktılarla karşılaştırmak

suretiyle araştırılabilir. Eğer benzer girdiler sağlandığında geçmişteki davranış tekrarlanıyorsa

(istikrarlı bir çözüm elde ediliyorsa) o zaman model geçerlidir.

1.6.6. Çözümün Uygulanması

Bu aşama, geçerliliği kanıtlanmış bir modelden elde edilen güvenilir bir çözümün

gerçek hayattaki probleme uygulanması aşamasıdır. Bu aşamada da asıl yük, yani çözümün

anlaşılabilir bir şekilde sistemi işletecek olan personele anlatılması, yine yöneylem araştırması

ekibine düşmektedir.

Bir sorunun çözümü için YA kullanıldığı zaman aşağıdaki yedi adımlık süreç takip

edilmelidir.

Adım1. Sorunun Formülasyonu

YA analisti (sorunu olan karar vericiye YA teknikleri ile yardımcı olan kişi) ilk olarak

sorunu tanımlar. Sorunun tanımlanması v amaçların ve sorunu oluşturan sistemin bileşenlerinin

belirlenmesi ile olur.

Adım2. Sistemin İncelenmesi

Daha sonra analist sorunu etkileyen parametrelerin değerlerini belirlemek için veri

toplar. Söz konusu değerler sorunu temsil edecek bir matematiksel modelin geliştirilmesi

(Adım3) ve değerlendirilmesi (Adım4) için kullanılır.

Adım3. Sorunun Matematiksel Modelinin Kurulması

Analist tarafından sorunu ideal bir şekilde temsil edecek bir matematiksel model

geliştirilir.

17

Adım4. Modelin Doğrulanması

Üçüncü adımda kurulan modelin gerçeği iyi yansıtıp yansıtmadığı sınanır. Şu anki

durum için modelin ne kadar geçerli olduğu belirlenerek modelin gerçeğe ne kadar uyduğu test

edilir.

Adım5. Uygun bir Seçeneğin Seçilmesi

Eldeki model üzerinde bir çözüm yöntemi kullanılarak amaçları en iyi karşılayan bir

Seçenek (varsa)analist tarafından seçilir.

Bazen eldeki seçeneklerin kullanımı için sınırlandırmalar ve kısıtlamalar olabilir. Bu

Yüzden amacı karşılayan seçenek bulunamayabilir. Bazı durumlarda ise amaçları en iyi

şekilde karşılayan birden fazla sayıda seçenek bulunabilir.

Adım6. Sonuçların Karar Vericiye Sunumu

Bu adımda, analist modeli ve model çözümü sonucunda ortaya çıkan önerileri karar

verici ya da vericilere sunar. Seçenek sayısı birden fazla ise karar verici(ler) gereksinimlerine

göre birini seçerler.

Sonuçların sunumundan sonra, karar verici(ler) öneriyi onaylamayabilir. Bunun nedeni

Uğraşılan sorunun doğru tanımlanmaması ya da modelin kurulmasında karar vericinin

yeterince sürece karışmaması olabilir. Bu durumda analist ilk üç adıma yeniden dönmelidir.

Adım7. Önerinin Uygulanması ve İzlenmesi

Eğer karar verici sunulan öneriden memnun kalırsa, analistin son görevi karar vericinin

öneriyi uygulamasına yardımcı olmaktır: Seçeneğin kullanılarak sorunun çözümüne nezaret

etmeli ve özellikle çevre koşulları değiştikçe amaçları karşılamaya yönelik dinamik

güncellemeler yaparak uygulamayı izlemelidir.

18

Uygulamalar

1) Yöneylem Araştırmasının tanımını yapınız.

2) Yöneylem Araştırmasının uygulama alanlarını tartışınız.

19

Uygulama Soruları

1) Yöneylem araştırmasının özelliklerini nelerdir

• .................................................................

• .................................................................

• .................................................................

20

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti

Bu bölümde yöneylem araştırmasının tanımını, yöneylem araştırmasının tarihsel

gelişimini, yöneylem araştırmasının hangi alanlarda uygulandığını, yöneylem araştırmasının

aşamalarını, yöneylem araştırmasının özelliklerini ve yöneylem araştırmasında etkin kullanılan

yöntemler hakkında bilgiler öğrenilmiştir.

21

Bölüm Soruları

1) “Belirli kısıtların olduğu bir durumda, belirli bir amaca yönelik en uygun çözümün

bulunması için geliştirilmiş bilimsel ve sayısal yöntemler dizisidir”.

Yukarıda verilen tanım aşağıdakilerden hangisine aittir?

a) Pazarlama

b) Model kurma

c) Operasyon

d) Yöneylem Araştırması

e) Atama

2) Yöneylem Araştırması ilk olarak hangi alanda kullanılmaya başlanmıştır?

a) Askeri alan

b) Kalite kontrol

c) Yer bilimlerinde

d) Uzay çalışmaları

e) Hukuk

3) Yöneylem Araştırmasının temelleri “savaş araç ve gereçlerinin limanlarda daha kısa

sürede gemilere yüklenmesini ve boşaltılmasını sağlayacak bir yöntemin araştırılması”

amacıyla hangi ülkede atılmıştır?

a) Türkiye

b) İngiltere

c) Almanya

d) Fransa

e) Hindistan

4) ABD’nin tüm askeri faaliyetlerinin planlanmasına yönelik doğrusal programlama

yaklaşımını geliştiren ve Simpleks çözüm yöntemini ortaya koyan bilim adamı kimdir?

a) Henry Gantt

b) Frederick Winslow Taylor

22

c) Richard Ernest Bellman

d) Robort Dorfman

e) George Bernard Dantzig

5) …………………….. kelime olarak “en iyiyi elde etme” şeklinde tanımlanabilir.

Yukarıda verilen boşluğa aşağıdakilerden hangisine gelir?

a) Araştırma

b) Yöneylem

c) Optimizasyon

d) Amaç

e) Problem

6) Aşağıdakilerden hangisi “yöneylem araştırmasının uygulama alanlarından” biri

değildir?

a) Üretim planlama b) Stratejik planlama c) Taşıma problemleri

d) Tesis yeri seçimi e) Pazarlama ve satış

7) Aşağıdakilerden hangisi “yöneylem araştırmasının kullandığı bilimsel yöntem

aşamalarından” biri değildir?

a) Model kurma b) Modelden çözüm elde etme c) Çözümü test etme

d) Deneme yanılma e) Çözümün yorumlanması ve uygulanması

8) Aşağıdakilerden hangisi Yöneylem araştırması konularından biri değildir?

a) Doğrusal programlama

b) Fizibilite etüt çalışması

c) Hedef programlama

d) Şebeke analizi

e) Oyun teorisi

9) Aşağıdakilerden hangisi “matematiksel model oluşturulurken” yapılan işlerden

değildir.

23

a) Tahminleme çalışması

b) Karar değişkenlerinin belirlenmesi

c) Parametrelerin belirlenmesi

d) Amaç fonksiyonunun oluşturulması

e) Kısıtlayıcı koşulların oluşturulması

10) Aşağıdakilerden hangisi Yöneylem araştırması konularından biri değildir?

a) Kuyruk Teorisi

b) Simülasyon

c) Rakiplerin belirlenmesi

d) Dinamik programlama

e) Optimizasyon

Cevaplar

1) d, 2) a, 3) b, 4) e, 5) c, 6) e, 7) d, 8) b, 9) a, 10 ) c

24

2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE MODEL KURMA

25


2.1. Doğrusal programlama Tekniği Varsayımları

2.2. Doğrusal Programlama Probleminin Matematiksel Modeli

2.3. Doğrusal Programlama Probleminin Grafik Yöntemle Çözümü

26


1) Doğrusal programlama ile matematiksel model nasıl kurulur?

2) Doğrusal Programlama hangi tür problemlerin modellenmesi için uygundur?

3) Doğrusal Programlama modeli hangi kısımlara sahiptir?

4) Grafik Yöntemle çözüm hangi pronlemler için uygun olur?

27



Doğrusal Programlama

ile Modelleme

Verilen Bir İşletme

Problemini Doğrusal

Programlama İle

Modelleyebilmek


Araştırarak


Matematiksel Model

Kısımları


Modeli Kısımlarını Öğrenmek Okuyarak, Araştırarak


Çözüm Yöntemi: Grafik

Yöntem

Grafik Yöntem İle Doğrusal

Modelin Optimum Çözümünü

Bulmak

Okuyarak, Örnek soru

çözerek

28

Anahtar Kavramlar

• Doğrusal Programlama

• Matematiksel Model

• Amaç Fonksiyonu

• Kısıtlar (Koşullar)-Constraints

• Negatif Olmama Koşulu

29

2.1. Giriş

Doğrusal Programlama (DP), Lineer Programlama (LP) adı ile de anılır. Doğrusal

Programlama problemi, doğrusal sınırlayıcı koşullar (kısıtlar) adı verilen eşitlik ve eşitsizlikler

grubu ile birlikte amaç denklemi adı verilen bir doğrusal fonksiyonun değerini optimize etmeyi

amaçlayan bir matematiksel modeldir. Optimize etmek ya da genel anlamda optimizasyon, en

iyileme demektir. Örneğin amaç fonksiyonu bir fayda veya karı temsil ediyorsa bu durumda

optimize etmek demek, karı maksimize etmek (en büyükleme); bir maliyet fonksiyonundan

bahsedildiğinde optimize etmek demek fonksiyonu minimize (en küçükleme) etmek demektir.

Doğrusal Programlama belli bir amacı gerçekleştirmek için sınırlı kaynakların etkin

kullanımını ve çeşitli seçenekler arasında en uygun dağılımını sağlayan matematiksel bir

tekniktir. Daha basit bir anlatım ile Doğrusal Programlama Modeli, eldeki kaynaklar

doğrultusunda işletmenin karını maksimum yapacak üretim değerlerinin elde edilmesini veya

işletme maliyetlerini minimum yapacak üretim değerlerinin elde edilmesini sağlayan modelin

oluşturulması, çözümü ve elde edilen sonuçlarla işletme içi kararların alınabilmesini

sağlamaktadır.

DP deterministik bir araçtır, yani model parametreleri belirgin olarak kabul edilir. Bu

teknik, modelin parametrelerindeki kesikli ya eda sürekli değişimlerin “durağan” (statik)

optimum çözümünün duyarlılığını test etmede karar vericiye imkan veren, ileri optimal ve

parametrik analizleri sağlayarak eksiklikleri giderir.

Bir işletmenin en büyük sorunu, elinde kaynak (kısıt) ve imkânları, çeşitli amaç ve

kullanımlara en uygun olabilecek şekilde tüketebilmektir. İşletmedeki çalışan personel ve

uzmanlar, kullanılan makinalar, malzeme, hammadde, yer, zaman vb. kriterlerin her biri

işletmenin elinde bulundurduğu kaynak ve imkânları sembolize edebilmektedir. İşletmelerin bu

kaynakları kullanırken en büyük amaçları; kaynakların mümkün olan en iyi şekilde dağılımını

sağlayarak karlılığı maksimum seviyeye çekebilmektir. İşletmeler bu kar maksimizasyonunu,

elde bulunan imkân ve kısıtlar ile üretilecek ürün türlerinin belirlenmesi; bu ürünlerden ne kadar

üretileceği bilgisinin doğru hesaplanarak; kısıt ve imkânların mümkün olan en az maliyetli

şekilde dağıtımı gerçekleştirilmesi ile sağlanmaktadır.

Doğrusal Programlama kavramında bulunan “doğrusal” kelimesi ile anlatılmak istenen

düşünce, girdiyi oluşturan değişkenler ile çıktı değeri arasında doğrusal bir ilişki olmasıdır.

“Programlama” sözcüğü ile anlatılmak istenen ise elde bulunan kısıt ve imkânlar ile mümkün

olan en uygun dağılım sonucu en yüksek karı elde edilen durumu bulmaya çalışmaktır.

2.2. Doğrusal programlama Tekniği Varsayımları

• Amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı şartlar doğru tanımlanmalıdır. Amacın kâr

Maksimizasyonu mu yoksa maliyet minimizasyonu mu olduğu açıkça belirtilmelidir.

• Değişkenler kantitatif olmalıdır. Doğrusal programlama kalitatif (rakamla ifade

edilemeyen) değişkenler için kullanılmaz.

30

• Değişkenler kendi aralarında ilişkili olmalıdır.

• Kullanılacak kaynaklar sınırlı olmalıdır.

• Değişkenler arasında kurulan bağıntılar doğrusal olmalıdır.

• Değişkenler arasında alternatif seçim olanağı olmalıdır.

• Doğrusal programlamanın uygulanacağı işletme problemi kısa dönemli olmalıdır.

• Karar değişkenlerinin sıfır ya da pozitif olması gerekir.

Doğrusal programlamanın teorik yapısında üç etkeni göz önüne almamız gerekir.

Bunlar; amaç fonksiyonu, kısıtlayıcı koşullar ve pozitiflik (asıl negatif olmama) koşuludur.

2.3. Doğrusal Programlama Probleminin Matematiksel Modeli

Doğru matematiksel modelin kurulması (formülasyonu), ilgili karar probleminin

çözümündeki en önemli aşamalardan biridir. İlk aşamada ilgili karar ortamının çok iyi

anlaşılması, bu ortamı etkileyecek tüm faktörlerin belirlenmesi gerekir. İkinci aşamada, karar

değişkenlerinin açıkça tanımlanması ile kastedilen her kararın ayrı ayrı ölçülebilir

(sayısallaştırılmış) bir şekilde ifadesi ve bunlara açık birimler verilmesidir. En son aşamada

karar değişkenleri ile kısıtlar ve amaç arasındaki ilişkilerin matematiksel olarak ifadeleri

yapılmalıdır. Doğrusal Programlama Problemi (DPP) matematiksel olarak modellenirken, üç

önemli kısma sahiptir.

• Amaç fonksiyonu

• Kısıtlar (koşullar)

• Negatif olmama koşulu

2.3.1. Amaç Fonksiyonu

Amaç fonksiyonu, doğrusal programlama kapsamına giren problemdeki kısıtların

kullanılmasıyla oluşan faydanın maksimize edilmesi veya yine kısıtların kullanılmasıyla oluşan

zararın minimize edilmesi olarak tanımlanabilir. Matematiksel ifadesi ile aşağıdaki şekildedir:

�� = �. + ��. � +⋯+ ��. � �� = �! . !�

!"

veya

��#$ = �. + ��. � +⋯+ ��. �

31

��#$ = �! . !�!"

�%&'( %)�⁄ = Maksimum düzeyde karlılığı veya minimum düzeyde maliyeti

sembolize eder. Burada;

! ; Karar değişkenleri,

�! ; Birim kar veya birim maliyelerdir.

Örnek olarak bir atölyede üretilen + ve , gibi iki ürünün birim karları sırası ile 3 ve 2

TL ise; + ürününden tane, , ürününden � tane üretilip satılması sonucu, atölyenin bu iki

ürünün belirli bir dönemdeki üretiminden (satışından) elde edeceği kar � = 3 + 2� olacaktır. Bu amaç fonksiyonunu büyütebilmek için, atölyede üretilen + ve , ürünlerinden daha

fazla üretmek, yani fonksiyonda bulunan ve � karar değişkenlerinin değerlerini büyütmek

gerekir. Yani bir anlamda üretimi arttırmak gerekir. Ancak, üretim sonsuza kadar artmaz.

İşletmenin her kaynak için kapasiteleri yani işletmenin çeşitli sınırlayıcı koşulları (kısıtları)

bulunmaktadır. Bir işletmenin; sahip olduğu alan, işgücü, makine sayısı, hammadde… gibi

birçok kısıtı vardır. Doğrusal programlamadaki amacımız, bu kısıtlar altında, � değerini (amaç

fonksiyonunu) en iyi düzeye ulaştırmaktır.

2.3.2. Kısıtlar(Koşullar)

Modeli oluşturulan işletmenin elindeki kısıtların belirli bir sınırı olduğunu (kapasite),

bu sınırın elindeki kısıt miktarlarına ait maksimum stok olarak düşünüldüğü sınırlayıcı niteliğe

sahip ifadedir.

�)!! ≤ .! ; / = 1, 2, 3, … . ,�; 3 = 1, 2, 3, … . , 4;

şeklindeki koşullandırmalar doğrultusunda matematiksel gösterimi aşağıdaki

şekildedir:

� + �� +⋯……+ �)!! +⋯……+ �� ≤ . �� + �� +⋯……+ ��!! +⋯……+ �� ≤ .�

… … …

�% + �%�� +⋯……+ �%!! +⋯……+ �%�� ≤ .%

Yukarıdaki matematiksel gösterim de “.%” ile gösterilen değerler doğrusal

programlama modelinin oluşturulduğu işletmenin kısıtlarına ait maksimum stok oranını

32

göstermektedir. “�)!” ile ifade edilen değerlerin ise alternatif üretim teknikleri olduğu

varsayılmaktadır. Daha da açık bir anlatım ile “�)!” bir birim 3 ürünü üretebilmek için

kısıtlardan gerekli olan miktarları göstermektedir. Aşağıda eşitlik ve eşitsizlik kısıtlarına

örnekler verilmektedir. Önceki örneğe kısıtlar için de genişletecek olur isek;

+ ve , ürünlerinin üretildiği bir atölyede, 1 birim + ürünü üretebilmek için 4 işçilik

saati, 1 birim , ürünü üretebilmek için 5 işçilik saati harcanıyor olsun. Eğer bu atölyenin işçilik

kapasitesi haftalık 100 saat ise, birinci kısıtımız;

4 + 5� ≤ 100(İşletmeninİşçilikKapasitesi) Benzer şekilde; + ve , ürünleri için harcanan hammadde miktarları sırası ile 20 kg ve

10 kg ve atölyede toplam haftalık 500 kg hammaddesi bulunmakta ise, ikinci kısıtımız;

20 + 10� ≤ 500(İşletmeninHammaddeKısıtı) Doğrusal Programlama modelinin kısıtları aşağıdaki gibi oluşmuştur.

4 + 5� ≤ 100(İşçilikKısıtı) 20 + 10� ≤ 500(HammaddeKısıtı)

+ ürününün üretim miktarı: H , ürününün üretim miktarı: I ile gösterilirse kısıtlar;

4H + 5I ≤ 100(İşçilikKısıtı) 20H + 10I ≤ 500(HammaddeKısıtı)

biçiminde yazılır. Üretim miktarları negatif olmayacağına göre, x ve y sıfır ya da

sıfırdan büyük olacaktır. Eğer üretmezsek sıfır, üretirsek pozitif olacak, hiçbir zaman negatif

olmayacaktır. Bu durumda bu örneğe ilişkin Doğrusal Programlama Matematiksel Modeli;

�%&'( = 3H + 2I (Amaç Fonksiyonu)

4H + 5I ≤ 100(1. Kısıt) 20H + 10I ≤ 500(2. Kısıt) H, I ≥ 0 (Negatif olmama koşulu)

33

Örnek:

2H + 3I = 6 kısıtı grafik düzlemde nasıl gösterilir?

Cevap:

Doğrusal denklem sistemlerinden hatırlandığı gibi, 2H + 3I = 6 denklemi iki boyutlu

kartezyen koordinat sisteminde bir doğruyu gösterir.

Doğrunun grafiği aşağıdaki gibidir. Kısıtın işareti “=” olduğu için aşağıdaki doğrunun

üzerindeki noktalar bu eşitliği sağlarlar.

Şekil 2 Kısıta ilişkin doğru

Örnek:

2H + 3I ≥ 6 kısıtı grafik düzlemde nasıl gösterilir?

Cevap:

Kısıtın işareti “≥” olmasından dolayı, 2H + 3I ≥ 6 eşitsizliğini sağlayan noktalar, iki

boyutlu kartezyen koordinat sisteminde bir doğrunun üst tarafında kalan noktaların kümesi

olup, bu bölge aşağıdaki gibi gösterilir. Kısıt eşitliği de kapsadığı için doğrunun üst tarafı ve

doğrunun kendisi de çözüm alanına dahildir.

34

Şekil 3 Kısıta ilişkin oluşan bölge

Örnek:

2H + 3I ≤ 6 kısıtı grafik düzlemde nasıl gösterilir?

Cevap:

Kısıtın işareti “≤” olmasından dolayı, 2H + 3I ≤ 6 eşitsizliğini sağlayan noktalar, iki

boyutlu kartezyen koordinat sisteminde bir doğrunun alt tarafında kalan noktaların kümesi olup,

bu bölge aşağıdaki gibi gösterilir. Eşitlik de sağlayacağı için doğru da bu çözüm alanına

dahildir.

Şekil 4 Kısıta ilişkin oluşan bölge

35

2.3.3. Negatif Olmama Koşulu

Bu ifade, doğrusal programlama varsayımlarında da geçen “karar değişkenlerinin sıfır

ya da pozitif olması gerekir” ifadesinin matematiksel gösterimidir. “!” şeklinde ifade edilen

tüm birimlerin karar değişkeni olarak ele alındığı bir doğrusal programlama modelinde

pozitiflik koşulu aşağıdaki şekilde ifade edilecektir:

! ≥ 0 , �, L, … , � ≥ 0 + ve , gibi faklı iki ürünün üretimlerinin ne kadar olması gerektiğini belirlemek isteyen

bir atölye düşünelim. + ve , ürünlerinin birim karları sırasıyla 2 ve 5 TL dır. + ürününün her

birimi için 3 saat işçilik ve 4 ton hammadde, , ürününün her birimi için 5 saat işçilik ve 7 ton

hammadde kullanılmaktadır. Atölyenin haftalık işçilik kapasitesi 300 saat, o hafta için

deposunda tuttuğu hammadde stoku 350 ton olduğuna göre, o hafta bu iki ürünün

üretimlerinden (ki bu ürünlerin hepsinin satıldığı varsayılıyor) elde edeceği karı maksimize

etmek (en büyüklemek) için hangi üründen ne kadar üretim yapmalıdır.

� ; Amaç Fonksiyonu HveI ; üretim miktarları

�! ; birim karlar

.) ; kapasiteler

�%&'( = 2H + 5I (Amaç Fonksiyonu)

3H + 4I ≤ 300 (İşçilik kısıtı)

5H + 12I ≤ 360 (Hammadde kısıtı)

H, I ≥ 0 (Üretimin negatif olamayacağı koşulu)

Yukarıda verilen kısıtlar doğrultusunda uygun çözüm bölgesi bulunursa;

36

Şekil 5 Uygun çözüm alanının grafik gösterimi

Kısıtlar aşağıdaki gibi olursa (Eşitsizliklerin yönü değişirse);

3H + 4I ≥ 300 5H + 12I ≥ 360 H, I ≥ 0 Bu durumda, uygun çözüm alanı veya uygun çözüm bölgesi aşağıdaki gibi oluşur.

Şekil 6 Uygun çözüm alanının grafikle gösterimi

37

2.4. Doğrusal Programlama Probleminin Grafik Yöntemle Çözümü

Doğrusal programlama problemlerinin çözümünde kullanılan çok sayıda yöntem

bulunmaktadır. Ancak bu yöntemler matematiksel modelde bulunan değişken ve kısıt sayısına

göre değişkenlik gösterir. İki veya üç değişkenin bulunması durumunda grafik yöntemle

doğrusal programlama probleminin çözümü, kolay ve anlaşılır olduğu için sıkça

kullanılmaktadır.

Grafik Yöntem, oluşturulan doğrusal programlama modelinin içerdiği sınırlayıcı

denklemlerin koordinat düzlemi üzerinde grafiklerinin çizilmesi ve kısıtların maksimum

değerleri doğrultusunda ortak bir çözüm noktası bulunmasını içerir. Yöntem üç ve daha az

değişkenden oluşan doğrusal programlama modelleri için uygundur. Temelde iki önemli

aşaması söz konusudur:

• Model içerisinde ifade edilen kısıtların sağlandığı uygun çözüm alanının

bulunması;

• Çözüm alanı içerisindeki bütün noktalardan en ideal olanının belirlenmesi.

Örnek:

Z�� =5X + 4X� 6 + 4� ≤ 24 + 2� ≤ 6 ≥ 0; � ≥ 0 Doğrusal programlama modelinin grafik yöntemi ile çözümü aşağıdaki şekilde

olacaktır:

Kartezyen koordinat sisteminde (kağıt düzleminde); + ürününün üretim miktarı , yatay eksende; , ürününün üretim miktarı � ise düşey eksende gösterilmektedir. ≥ 0, � ≥ 0 negatif olmama kısıtları uyarınca çözüm alanı koordinat sisteminin 1. bölgesinde

olmaktadır. Kalan iki kısıtı bu koordinat sisteminde göstermenin yolu, eşitsizlikleri eşitlikmiş

gibi düşünerek bunların doğrularını çizmektir. Daha sonra her eşitsizliğe ait doğruların altında

ya da üstünde kalan bölge söz konusu eşitsizliğin işaretine göre seçilmektedir. Buna göre örnek

modelin grafiği aşağıdaki şekilde olacaktır.

38

Şekil 7 Örnek 1'e Ait Grafik Çözüm

Taralı alanının sınırları üzerindeki herhangi bir nokta tüm kısıtları sağlayan çözüm

noktasıdır. Optimum çözümün belirlenmesi için,

�� =5 + 4� biçimindeki kâr fonksiyonunun artış yönünün bulunması

gerekmektedir. Pratikte � ye rastgele iki rakam verilerek (10 ve 15) ��’ in artış yönü

belirlenmektedir.

Önce 5 + 4� = 10 sonra 5 + 4� = 15 doğruları çizilir.

6 + 4� ≤ 24; + 2� ≤ 6 doğrularının kesişim noktası olduğundan iki

denklemin çözülmesiyle = 3 ve � = 1,5 bulunur.

Amaç fonksiyonu ise �� = 5.3 + 4.1,5 = 21olarak hesaplanır.

39

Şekil 8 Matematiksel modelin grafik yöntemle çözümü

Örnek:

�� =3. + 2. � + 3� ≤ 15 + � ≤ 7 2 + � ≤ 12 , � ≥ 0 Yukarıda verilmekte olan doğrusal programlama probleminin (maksimizasyon

problemi) grafik yöntemle optimum çözümü bulunmuştur.

Şekil incelendiğinde, birinci kısıtla ilgili olarak çizilen 1 doğrusunun eğimi � =−1 3Q , ikinci kısıtla ilgili olarak çizilen 2 doğrusunun eğimi �� = −1, üçüncü kısıtla ilgili

olarak çizilen 3 doğrusunun eğimi ise �L = −2 dir. Amaç fonksiyonunun eğimi ise � =−� ��Q = −3 2Q ’ye eşittir. Dolayısıyla eğimleri mutlak değer olarak düşündüğümüzde, amaç

fonksiyonunun eğimi, 1 ve 2 doğrularının eğiminden büyük, 3 doğrusunun eğiminden küçüktür.

Amaç fonksiyonunun eğimi 2 ve 3 doğrularının eğimleri arasında kalmaktadır.

Dolayısıyla � kar doğrusu 2 ve 3 doğrularının kesişim noktası olan � noktasından uygun

bölgeyi terk edecektir. Böylece � noktasında karar değişkenlerinin aldığı değerler �

40

fonksiyonunu maksimum kılar. Karar değişkenlerinin � noktasındaki değerleri 2 ve 3 doğruları

kesiştirilerek bulunabilir.

+ � = 7 2 + � = 12 = 5, � = 2 (� noktası)

değerleri çıkmakta ve kârımız;

�� =3. + 2. � = 3.5 + 2.2 = 19 olmaktadır.

Şekil 9. Örnek Modelin Grafik Çözümü

Örnek:

MEYPAZ Meyvecilik firması, Avrupa ülkelerine elma ve armut ihraç etmektedir.

Kasalarda stoklanan bu ürünlerin birim stoklama maliyetleri sırasıyla 7 TL ve 9 TL’dir. Bir

kasa elma 5m2 ve bir kasa armut da 10m2 alan kaplamaktadır. Firmanın depolama kapasitesi

ise 1000m2’dir. Elma ve armuda olan talep değişkenliğinden dolayı firma bu iki meyvenin her

41

birinden en az 50’şer kasa güven stoku bulundurmak zorundadır. Firmanın toplam stoklama

maliyetini minimize eden doğrusal programlama modelini kurunuz.

Karar değişkenleri:

; elma stoğu

� ; armut stoğu

Amaç fonksiyonu: ��#$; Toplam stoklama maliyeti fonksiyonu

��#$ = 7 + 9� Kısıtlar:

(1. Kısıt ) Depolama alanı ile ilgili kısıt 5 + 10� ≤ 1000 (2. Kısıt) Elma stoğuna ilişkin kısıt ≥ 50

(3. Kısıt) Armut stoğuna ilişkin kısıt � ≥ 50 Negatif olmama koşulu

, � ≥ 0 Dolayısıyla örnekte verilen probleme ilişkin matematiksel model aşağıdaki gibi olur.

��#$ = 7 + 9� 5 + 10� ≤ 1000 ≥ 50 � ≥ 50 , � ≥ 0

Örnek:

Z�#$ = 5H + 4y 3H + 2I ≥ 8 H + 2I ≥ 6 H ≥ 0; I ≥ 0 Doğrusal programlama modelinin grafik yöntemi ile çözümü aşağıdaki şekilde

olacaktır:

42

Şekil 10.Problemin Grafik Çözümü

+ noktası: (0, 4) Noktası

+ noktasında Maliyet: Z = 5.0 + 4.4 = 16

, noktası: (1, 5/2) Noktası

, noktasında Maliyet: Z%)� = 5.1 + 4. (5/2) = 15

� noktası: (6, 0) Noktası

� noktasında Maliyet: Z = 5.6 + 4.0 = 30

En düşük maliyet , noktasında oluşuyor. Karar değişkenlerinin aldığı değerler;

H = 1 ve I = 5/2 , bu durumda minimum maliyet de Z%)� = 15 olmaktadır.

B noktası iki kısıta ilişkin doğruların kesişim noktası olduğu için bu noktayı bulmak

için iki doğru kesiştirilir.

Olursuz Problem (Mümkün çözümü olmayan): Tüm kısıtları sağlayan bir karar

değişkeni kümesinin bulunamaması durumudur. Gereksiz kısıtlar tanımlanması veya kısıtların

43

parametrelerinin yanlış hesaplanması, girilmesi kolaylıkla bu duruma yol açabilir. Özellikle

problem optimal çözüme sahip gibi görünse de karar değişkenlerinden bir ya da bir kaçı negatif

olabilir. Bu durumda verilen problem olursuz problemdir.

44

Uygulamalar

Maksimizasyon amaçlı ve 2 × 2 boyutlu bir DP problemi aşağıdaki gibi ifade edilir.

�� = �. + ��. � � + �� ≤ . �� + �� ≤ .� , � ≥ 0

Minimizasyon amaçlı ve 2 × 2 boyutlu bir DP problemi aşağıdaki gibi ifade edilir.

��#$ = �. + ��. � � + �� ≥ . �� + �� ≥ .� , � ≥ 0

45

Uygulama Soruları

1) Bir şirket A, B ve C ürünlerini üreterek, üretebildiği miktarlarda da satmaktadır. Şirket A

ürününü 10 TL’ye, B ürününü 13 TL’ye ve C ürününü de 20 TL’ye satmaktadır. A ürününün

bir biriminin üretilmesi için 1 saatlik işçiliğe, B ürününün bir biriminin üretilmesi için ise, 2

saatlik işçiliğe ve bir birim C’nin üretilmesi için ise 3 saatlik işçilik gereksinim vardır. Bu

işlemler için kullanılabilir toplam işçilik süresi 70 saattir. Bu şirketin gelirini maksimize

edecek olan lineer programlama modelini kurunuz.

Çözüm:

Amaç fonksiyonu:

�maks = 10H + 13H� + 20HL Kısıtlar:

WX + YWY + ZWZ = [\ Negatif olmama koşulu:

WX, WY, WZ ≥ \ 2) Aşağıda verilen doğrusal programlama probleminin grafik çözüm alanını ve optimum

sonucunu bulunuz.

�min = 5H + 6I 3H + I ≥ 5(1. Kısıt) H + 2I ≥ 12(2. Kısıt) 3H + 2I ≥ 24(3. Kısıt)

H, I ≥ 0 Çözüm:

Optimum Çözüm:

H = 6,I = 3,� = 48 ] = 6 (Birinci kısıtın kullanılmayan kısmı),

]� = 0 (İkinci kısıtın kullanılmayan kısmı) ,

]L = 0 (Üçüncü kısıtın kullanılmayan kısmı)

46

Uygun Çözüm Bölgesi (Grafik Çözümü)

Optimum Çözüm Değerleri

H = 6,I = 3,� = 48 3)Aşağıdaki problemin grafik yöntem çözümü nedir?

maks � = 5 + 7^ ≤ 6

2 + 3^ ≤ 19 + ^ ≤ 8 , ^ ≥ 0

48


Bu bölümde Doğrusal Programlama kullanarak işletme problemlerinin modellenmesi,

modelin kısımları, varsayımları anlatılmıştır. Ardından Doğrusal Programlama Matematiksel

Modelinin Grafik Yöntemle çözümü açıklanmıştır.

49

Bölüm Soruları

1) Bir doğrusal programlama probleminin matematiksel modelinde aşağıdakilerden hangisi bulunmaz?

a) Amaç fonksiyonu b) Kısıtlar c) Negatif olmama

koşulu

d) Sağ taraf Sabitleri e) Maksimum kar

2) Aşağıdaki grafikte gösterilmiş olan taralı alan hangi eşitsizlik sistemine aittir?

a) H > 2I > 0 b)

H < 2I < 5 c) W > Y` > a d)

H > 5I > 2 e) H > 5I > 5

3) Aşağıdaki grafikte gösterilmiş olan taralı alan hangi eşitsizlik sistemine aittir?

a) H − I > −5I > −5 b)

H < II > −5 c) H > II > −5

50

d) W − ` < a` > −a e)

H + I < 5I > −5

4) Aşağıdakilerden hangisi doğrusal programlamanın varsayımlarından birisi değildir?

a ) Değişkenler kantitatif olmalıdır.

b ) Değişkenler kendi aralarında ilişkili olmalıdır.

c ) Değişkenler arasında kurulan bağıntılar doğrusal olmalıdır.

d ) Bağımlı değişkenler negatif veya 0 olabilir.

e ) Kullanılacak kaynaklar sınırlı olmalıdır.

5) Aşağıda bir maksimizasyon doğrusal programlama probleminin grafik çözümü görülmektedir. Z amaç fonksiyonuna ilişkin eş kar doğrusu kesikli çizilmiştir. Bu grafiğe göre optimal çözüm hangi noktadır?

a) O noktası b) A noktası c) B noktası d) C noktası e) B ve C Noktaları

51

6) Aşağıdaki Grafik Yöntemle bulunan optimal çözüm olan A noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

a) (\, [) b) (7, 0) c) (8,0) d) (0, 8) e) (7, 7) 7) Birinci kısıta ilişkin doğrunun ( I doğrusu ) eğimi kaçtır?

a) −4/5 b) 5/4 c) −a/b d) 4/5 e) −7/11

52

8) Aşağıda verilen grafikte koyu işaretli OABC bölgesi doğrusal programlamada hangi isimle adlandırılır?

a) Optimal çözüm bölgesi

b) Uygun olmayan çözüm bölgesi

c) Sonsuz çözüm bölgesi

d) Kesin çözüm bölgesi

e) Uygun çözüm bölgesi

9) Aşağıda verilen grafikte gri alan bir doğrusal programlama probleminin uygun çözüm bölgesini gösterdiğine göre, cmaks = ZW + b` amaç fonksiyonu B noktası için hangi değeri alır?

a) 35 b) Zd c) 42 d) 51 e) 60

53

10) Aşağıda verilen grafikte gri alan bir doğrusal programlama probleminin uygun çözüm bölgesini gösterdiğine göre, cmaks = ZW + b` amaç fonksiyonu A noktası için hangi değeri alır?

a) 21 b) 24 c) Yd d) 35 e) 40 Cevaplar

1) e, 2) c, 3) d, 4) d, 5) b, 6) a, 7) c, 8) e, 9) b, 10) c.

54

3. SİMPLEKS YÖNTEM ( MAKSİMİZASYON PROBLEMİ )

55


3.1. Simpleks Yöntem

3.2. Simpleks Yöntemle Çözüm Aşamaları

56


1) Simpleks yöntem çözüm aşamalarını araştırınız.

2) Simpleks yöntemin temelinde bulunan temel çözümleri inceleyiniz.

57



Simpleks Yöntemde

temel çözümler Temel çözümleri bilmek


Örnek soru çözerek

Simpleks Yöntem

Varsayımları Varsayımları bilmek Okuyarak, tekrar yaparak

Simpleks Yöntem

Aşamaları Simpleks Yöntem Aşamaları



58

Anahtar Kavramlar

• Simpleks Yöntem

• Büyük M Metodu

• Maksimizasyon Problemi

59

3.1. Giriş

Büyük e Metodu (Big e method) olarak da bilinen, George Bernard Dantzig tarafından 1947

yılında geliştirilen Simpleks Yöntemi Doğrusal Programlama (DP) probleminin optimum

çözümünü bulmak için uygulanması gereken kural ya da izlenmesi gereken sistematik süreçtir.

Simpleks bir yinelemeli hesaplama yöntemidir. Simpleks Yöntemde, doğrusal denklemler

sistemi için mümkün (olanaklı) temel çözümler aramaktadır, çözümlerin en uygun çözümler

olup olmadığını test etmektedir.

Simpleks tek bir noktada en iyi çözüm, birden fazla uç noktada en iyi çözüm, sınırsız çözüm ve

uygun çözüm alanı boş gibi karşılaştırılabilir tüm durumlara da cevap vermektedir.

Grafik yöntemden de hatırlanacağı üzere, Simpleks uygun bölgenin sınırları üzerinde uç

noktaları ziyaret ederek hangi noktada en uygun çözümün olduğunu araştırmaktadır. Simpleks

metot bu uç noktasından başlayarak optimuma daha yakın bir ikincisine, oradan bir üçüncüsüne

atlayarak uygun değer uç noktasına ulaşılmasını sağlamaktadır. Her atlayışta amaç fonksiyonu

optimuma biraz daha yaklaşmakta veya değerini muhafaza etmektedir. Simpleks uygun bir

başlangıç noktası alarak amaç fonksiyonunu iyileştiren yönde uygun bölgenin köşe noktalarını

kontrol ederek en iyi çözümü veren noktayı bulmaya çalışmaktadır. Simpleks metodu uygun

değer sonuca ulaşılana kadar veya en uygun değerin bağımsız olduğundan emin olana kadar

çözümleri geliştirmek için kullanılmaktadır.

3.2. Simpleks Yöntem

Simpleks yöntemin ilk adımı olarak yapılması gereken iş, verilen kısıtları eşitlik haline

dönüştürmektir. Bu dönüştürme sırasında verilen kısıt �)!) ≤ .! biçiminde ise, yani eşitsizlik ≤ ise, bu durumda sol taraf daha küçük veya en fazla eşit olduğu için f�g gibi bir değişken

eklenir. Bu değişken eklenerek eşitsizlik eşitlik durumuna getirilmiş olur. Eklenen bu değişkene

aylak (slack variable) değişken denir. Üretimde aylak değişken atıl (kullanılmayan) kapasiteyi

gösterir. Bir kısıtın sağ tarafı kapasiteyi gösterir. Eğer kapasite tam kullanılmış ise, eklenen

aylak değişkenin değeri sıfır demektir. Ancak kapasite tam kullanılmamış ise eklenen aylak

değişkenin değeri sıfırdan büyük olur.

Eğer verilen kısıt �)!! ≥ .! biçiminde bir eşitsizlik ise bu defa eşitliği sağlamak amacı ile sol

taraftan bir f�g gibi bir değişken çıkarılır. Bu değişkene artık değişken denir. Artık değişken

de aylak değişken gibi sol taraf sağ tarafa eşit olduğunda sıfır, sol taraf sağ taraftan büyük

olduğunda ise sıfırdan büyük (pozitif) olur. Eşitlik bu şekilde sağlanmış olur.

Eğer verilen kısıt eşitlik şeklinde ise, bu durumda Simpleks yöntem algoritmasının bir gereği

olan temel çözüm oluşturabilmek için bir h�g gibi yapay değişken eklenir. Yapay değişkenin

üretimde bir anlamı yoktur. Sadece Simpleks algoritmanın yürütülebilmesi amacı ile

matematiksel olarak gerekli olan bir değişken olarak kabul edilir.

Aşağıda verilen doğrusal programlama problemini Simpleks yöntemle bulmak istersek;

60

Z�� =3X + 2X� 2 + 3� ≤ 30 2 + � ≤ 18 ≥ 0;� ≥ 0 Bu problemde iki tane kısıt bulunmaktadır. Bu kısıtların ikisi de ≤ biçiminde verilmiştir. Sol

taraf sağ tarafa kıyasla ya küçük ya da en fazla eşittir. Eşitliği sağlamak amacı ile her iki kısıta

gerekli aylak (gevşek) değişkenler eklenerek, kısıtlar eşitlik haline getirilir.

2 + 3� + ] = 30 (2 + 3� + 1. ] + 0. ]� = 30) 2 + � + ]� = 18 (2 +� + 0. ] + 1. ]� = 18) Yukarıda oluşan eşitliklerin (kısıtların) matrisle gösterimi aşağıdaki gibi olur.

i2 3 1 02 1 0 1j k�]]� l = i

3018j Verilen doğrusal programlama modelinde buluna kısıtlar, eşitlik haline getirildiği zaman dört

değişkenli iki denklemden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. Bu denklem siteminin

çözümü araştırılırsa,

+ = i2 3 1 02 1 0 1j rank(+) = m(+) = 2 ve sağ + katsayılar matrisi ile sağ taraf sabitlerini de içeren genişletilmiş

matris aşağıdaki gibi olur.

(+; .) = i2 3 1 0 :302 1 0 1 :18j rank(+; .) = r(+; .) = 2 rank(+) = 2ve rank(+; .) = 2 eşit olduklarından ve değişken sayısı da 4 = 4 olduğundan,

denklem sisteminin sonsuz çözümü olur. Eğer değişkenlerden iki tanesine sıfır değeri verilirse,

geriye kalan değişkenlerin değerleri bulunabilir. İşte bir denklem sisteminde 4 −� tane

değişkene sıfır değerinin atanması ile bulunan çözümlere temel çözüm (basic solutions) denir.

Sıfır değerinin atandığı değişkenler temelde olmayan değişkenler (simpleks tabloda temel

değişken sütununda bulunmazlar), diğer değişkenlere ise temel değişken (simpleks tabloda

temel değişken sütununda bulunurlar) denir.

Örneğin 2 + 3� + ] = 30 biçiminde bir denklemde üç değişken bulunmaktadır. Üç

bilinmeyenli bir denklem sonsuz çözüme sahip demektir. Örneğin ve � değişkenleri 1 olur

61

ise ] = 25 çıkar. Benzer şekilde = 1 ve � = 2 olduğunda, ] = 22 çıkar. İşte bu örnekten

de anlaşıldığı gibi ve �’ye sonsuz tane farklı değer atanabilir, dolayısıyla denklemin sonsuz

çözümü olur. İşte bu örnekteki üç değişkenden iki tanesine sıfır değeri atanırsa, yani ve � sıfır değerine eşitse (yani A ve B ürününden henüz üretilmedi ise), ] = 30 olur. Zaten henüz

üretim başlamadığında, kapasiteler kullanılmadığından ] o kısıta ait toplam kapasiteyi

gösterir.

3.2.1. Temel Çözümler (Basic Solutions)

Benzer şekilde, = 0 ve ] = 0 olur ise, � = 10; � = 0 ve ] = 0 olur ise, = 15 olur.

Buradan da anlaşıldığı gibi bu eşitlik için 3 tane temel çözüm bulunmaktadır.

(1. Çözüm) ( = 0 ve � = 0 olsun)

(2. Çözüm) ( = 0 ve ] = 0 olsun)

(3. Çözüm) (� = 0 ve ] = 0 olsun)

4 değişkenli � tane eşitlik için, temel çözüm sayısı;

� p4�q = 4!�! (4 − �)! formülü ile hesaplanır. Örneğin 4 değişkenli (bilinmeyenli) 2 denklem verilmişse;

� p42q = 4!2! (4 − 2)! = 4.3.2!2! 2! = 6 tane temel çözüm bulunur. Şimdi iki denklemi birlikte düşünelim:

2 + 3� + 1. ] + 0. ]� = 30 2 +� + 0. ] + 1. ]� = 18 Temel değişkenler (Basic) ; ] ve ]� Temel olmayan değişkenler (Nonbasic) ; ve � s; Temel değişkenler

t; Temel olmayan değişkenler

+ = u, vw = xsty � = x�s�ty Kısıtlar; +. = .

62

u, vw xsty = ,. s + v. t = . Amaç Fonksiyonu; �z

� = �szs + �tzt

B matrisi (� ×�) kare matristir ve tersi alınabilir.

s = ,{. . − ,{. v. t

Amaç Fonksiyonu;

� = �szs + �tzt = �sz,{. − ((,{v)z�s − �t)zt

Örneğimizde 4 değişken (bilinmeyen = 4 = 4) bulunmaktadır.

i2 3 1 02 1 0 1j k�]]� l = i

3018j Bu örnek için 4’ün 2’li kombinasyonu kadar temel çözüm elde edilir. 4 değişkenden 2’sine sıfır

değeri atanarak diğer değişkenlerin aldığı değerler bulunur. Aşağıda �(4; 2) = 6 (kombinasyon) farklı temel çözümün ne olduğu gösterilmektedir.

(, �, ], ]�) = (0,0, ], ]�) (, �, ], ]�)� = (0, �, 0, ]�) (, �, ], ]�)L = (0, �, ], 0) (, �, ], ]�)| = (, 0,0, ]�) (, �, ], ]�)} = (, 0, ], 0) (, �, ], ]�)~ = (, �, 0,0)

3.3. Simpleks Yöntemle Çözüm Aşamaları

Yukarıda matematiksel modeli verilmiş olan doğrusal programlama problemini Simpleks

Yöntem ile çözümleyelim.

Z�� =3X + 2X� 2 + 3� ≤ 30

63

2 +� ≤ 18 ≥ 0; � ≥ 0 3.3.1. Modelin Standart Hale Getirilmesi ve Temel Değişkenlerin

Belirlenmesi

Çözümün birinci adımında model öncelikle standart hale getirilir. Bu amaç fonksiyonuna her

bir kısıt denklemi için bir tane olmak üzere 0 katsayılı “])” aylak değişkenleri eklenir. Bu

değerlerden her biri kısıt denklemlerine de eklenir. Kısıt denklemleri eşitsizlik yerine eşittir

olarak ele alınır.

Tablonun hazırlanmasına geçmeden önce temel değişkenler seçilmelidir. Her eşitlikte bir aylak

değişken olması ve eşitliklerin sağ taraflarının pozitif olması bulanacak temel çözümün uygun

(feasible) olacağını belirtir. Değişken sayısı 4, eşitlik sayısı 2 olduğundan 2 tane değişkeni

temel olmayan değişken olarak seçip onlara sıfır değeri atanır. Temel değişkenleri seçerken

eşitliklerde katsayısı 1 olanları seçmek kolaylık sağlayacaktır. Bu durumda ve � sıfır kabul

edilerek temel çözüm oluşturulur. Verilen doğrusal programlama modelinde bulunan kısıtlar

eşitlik durumuna getirildiğinde problemin standart hali aşağıdaki gibi olur. Standart form

oluşturulduğunda, Simpleks Yöntemin ilk tablosu oluşmuş olur. Başlangıç çözümde temel

değişkenler; ]ve]�, Temel olmayan değişkenler ve�’dir.

Z�� =3. X + 2. X� + 0. ] + 0. ]� 2 + 3� + 1. ] + 0. ]� = 30 2 +� + 0. ] + 1. ]� = 18 , �, ], ]� ≥ 0 1947 yılında George Dantzig ikiden fazla karar değişkenine sahip olan doğrusal modellerin

optimal çözümünün bulunmasını sağlayan Simpleks Yöntemi geliştirmiştir. Simpleks metodu

her adımda en çok kazanç sağlayacak değişkenin temel değişkenler grubuna katılmasını ve en

az getiri sağlayanın temel değişken grubundan ayrılması esasına göre çalışmaktadır. Grafik

çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının

bir köşe noktası ya da uç noktası ile ilişkiliydi. Simpleks yöntem esas olarak işte bu temel fikre

dayanmaktadır. Bir başka deyişle Simpleks yöntem cebrik bir yöntem olmasına rağmen

dayandığı temel fikir geometriktir.

64

Şekil 11 Birinci Simpleks Tablo

C� Temel

Değişken

C� 3 2 0 0

X� X X� S S� Oran

0 S 30 2 3 1 0 30/2 = 15

0 S� 18 2 1 0 1 18/2 = 9 ← Anahtar

Z� 0 0 0 0 0

Z� − C� -3 -2 0 0

↑

Anahtar

Bu tabloda C� amaç fonksiyonunda bulunan temel değişkenlerin katsayılarını, C� amaç fonksiyonu katsayılarını, Çözüm ise sağ ilk tabloda sağ taraf sabitlerini, optimal

tabloda problemin çözümünü, ve ]’ler ise problemin değişkenlerini, � amaç fonksiyonunun

her aşamada aldığı değeri, Z� − C� ise indeks satırını oluşturur. Tablo oluşturulduktan sonra sıra

temel değişkenlere girmesi gereken değişkeni seçmeye gelmektedir. Bu işlemi yaparken � amaç fonksiyonundaki katsayısı en büyük olan değişkeni temel değişken gurubuna almak

amaçlanır. Bunun için tabloda Z� − C� satırına bakılarak katsayısı negatif olan bir değişken

aranır. Eğer birden çok negatif katsayılı değişken varsa içlerinden en küçük katsayılı olanı giriş

değişkeni olarak seçilir.

Temele girecek değişken belirlendikten sonra, sıra temel değişkenlerden çıkacak değişkeni

belirlemeye gelir. Bunu yapmak için de ayrıldığında en az değer azalışına sebep olacak

değişken aranır. Tabloyu kullanarak bunu yapmak için çözüm sütunundaki değerleri, giren

değişken sütunundaki değerlere bölerek, negatif olmayanlar arasından en küçük olanı seçilir.

Bu bölme işleminde giren değişkenin sütunundaki negatif ve sıfır değerler işleme katılmaz.

3.3.2. Anahtar Sütun Seçimi

Maksimizasyon probleminde, Z� − C� satırındaki negatif sayıların en küçüğünün bulunduğu

sütun anahtar sütundur. Anahtar sütun seçimi ile temele sokulacak olan değişken belirlenir. Bir

başka ifade ile karı en yüksek olan ürün üretime sokulur. Benzer şekilde, minimizasyon

problemlerinde Z� − C� satırında bulunan pozitif sayıların en büyüğünün bulunduğu sütun

anahtar sütun olarak seçilir.

3.3.3. Anahtar Satır Seçimi

Anahtar satır belirlenirken, çözüm değerleri seçilen anahtar satır değerlerine karşılıklı olarak

bölünür. Çıkan sayılardan negatif olmayanlar arasından en küçük olanının bulunduğu satır

anahtar satır olarak belirlenir.

65

Simpleks algoritması gereği temele yazılan değişkenlerin sağında ve temel değişkenlerin

altında 1, diğer hücre değerleri 0 olur. Yani birim matris oluşur. Tablo 3.1 incelenirse, görülür

ki, S ve S� temel değişkenlerin sağında ve yine aynı değişkenlerin altında birim matris

oluşmuştur. Diğer hücrelerde ise ve � temel olmayan değişkenlerin katsayıları bulunur.

Anahtar sütun seçimi ile temele sokulacak değişken belirlenip, anahtar satır seçimi ile temelden

çıkacak olan değişken belirlendikten sonra sonraki tabloda yine yeni temel değişkenlerin

sağında ve yine aynı değişkenlerin altında birim matris oluşumunu sağlamak amacı ile

aşağıdaki elemanter satır işlemleri yapılarak bir sonraki tablo oluşturulur. Bu aşamada ]� temele girer, temel değişkenler arasından çıkarılır.

Anahtar satır ile anahtar sütunun kesişiminde bulunan sayıya anahtar sayı denir. Anahtar sayı

bir sonraki Simpleks Tablonun oluşturulmasında önemlidir. Temele giren yeni oluşacak

tabloda temel değişkenler arasında, ]� ise temel olmaktan çıkarılır. Yeni temel değişkenlerin

katsayıları birim matris oluşturmamaktadır. Temel değişkenlerin katsayılarını birim matris

yapmak amacı ile; Seçilen anahtar satır anahtar sayıya bölünür. Böylece anahtar sayının

bulunduğu hücredeki sayı sonraki tabloda 1 olur. Aynı sütunda bulunan diğer elemanlar ise

sıfırlanır. Bu işlem için elemanter satır işlemlerinden yararlanılır. 2. Denklemde zaten �’nin

katsayısı 1 olduğundan, satır doğrudan yazılır. İkinci satır belirlenmiş olur. İlk satır için

aşağıdaki elemanter satır işlemi yapılır.

(2 + � + 0. ] + 1. ]�)/2 = 18/2 + (1/2). � + 0. ] + (1/2). ]� = 9 (İkinci satır yazıldı)

−2 − � − 0. ] − 1. ]� = −18 2 + 3� + 1. ] + 0. ]� = 30 0. + 2. � + 1. ] − 1. ]� = 12 (İkinci satır -2 ile çarpılıp birinci satır ile toplandı,

birinci satır olarak yazıldı)

Oluşan yeni 2. Sipleks Tablo aşağıdaki gibi olur.

Şekil 12 İkinci Simpleks Tablo

C� Temel

Değişken

C� 3 2 0 0

X =Çözüm X X� S S� Oran

0 S 12 0 2 1 -1 12/2 = 6 ←

3 X 9 1 0,5 0 0,5 9/0,5 = 18

Z� 27 3 1,5 0 1,5

Z� − C� 0 -0,5 0 1,5

↑

66

2. tabloda Z� − C� satırı incelendiğinde, henüz negatif sayı bulunan hücre olduğundan, benzer

işlemler bir kez daha yapılır. Yani anahtar sütun ve anahtar satır işlemleri tekrarlanır. Bir

sonraki tabloda, X� temele girecek, Sdeğişkeni temel olmaktan çıkacaktır. Anahtar sayı ise

seçilen yeni anahtar sütun ile yeni anahtar satır kesişiminde bulunan 2 olacaktır.

Tekrar anahtar sayının bulunduğu satır, anahtar sayıya bölünür. Bu şekilde, temele yeni giren

X�’nin sağında ve aynı değişkenin altında 1 oluşur. Sonraki tablonun ilk satırı belirlenmiş olur.

X�’nin altında bulunan diğer katsayının sıfırlanması için, birinci satır (-1/4) ile çarpılır, ikinci

satırla toplanır ve ikinci satıra yazılır. Bu işlemlerle yeni temel değişkenlerin altında birim

matris sağlanmış olur.

Şekil 13 Optimal Simpleks Tablo

C� Temel

Değişken

C� 3 2 0 0

Çözüm X X� S S� 2 X� 6 0 1 0,5 -0,5

3 X 6 1 0 -0,25 0,75

Z� 30 3 2 0,25 1,25

Z� − C� 0 0 0,25 1,25

Yukarıdaki tabloda görüldüğü gibi, Z� − C� satırında negatif sayı bulunan hücre kalmadığından,

işlemlere son verilir. Optimal çözüm elde edilmiş olur.

X = 6 (+ ürününden 6 tane üretilecek)

X� = 6 (, ürününden 6 tane üretilecek)

S = 0 (Birinci kapasite tam kullanılmış olacaktır, atıl kapasite sıfır)

S� = 0 (İkinci kapasite tam kullanılmış olacaktır, atıl kapasite sıfır)

Bu durumda, atölyede üretimden (satıştan) elde edilen kar maksimum olacaktır.

Z� = Z�� = 30 Örnek:

�maks = 50 + 80� + 2� ≤ 32 3 + 4� ≤ 84 ; � ≥ 0

67

Yukarıda verilen doğrusal programlama probleminin optimum çözümünü Simpleks Yöntem

kullanarak elde ediniz.

Çözüm:

İlk olarak modelde verilen kısıtlar eşitlik haline getirilir. Eşitlik haline getirilirken gevşek

değişkenler eklenir.

Z�� =50. X + 80. X� + 0. ] + 0. ]� + 2� + 1. ] + 0. ]� = 32 3 + 4. � + 0. ] + 1. ]� = 84 , �, ], ]� ≥ 0

Şekil 14 Başlangıç Simpleks Tablo

C� Temel

Değişken

C� 50 80 0 0

Çözüm X X� S S� Oran

0 S 32 1 2 1 0 32/2=16

0 S� 84 3 4 0 1 84/4=21 ←

Z� 0 0 0 0 0

Z� − C� -50 -80 0 0

↑


C� Temel

Değişken

C� 50 80 0 0

Çözüm X X� S S� Oran

80 X� 16 1/2 1 1/2 0 16/0,5=32

0 S� 20 1 0 -2 1 20/1=20 ←

Z� 1280 40 80 40 0

Z� − C� -10 0 40 0

↑

68


C� Temel

Değişken

C� 50 80 0 0

Çözüm X X� S S� 80 X� 6 0 1 3/2 -1/2

50 X 20 1 0 -2 1

Z� 1480 50 80 20 10

Z� − C� 0 0 20 10

Verilen kısıtlar için grafik yöntemle bulunan köşe nokta çözümleri ise benzer şekilde

aşağıdaki gibi olur.

�(0, 0) = 0, �(0, 16) = 50. (0) + 80. (16) = 1280, �(28, 0) = 50(28) + 80(0) = 1400, �(20, 6) = 50(20) + 80(6) = 1000 + 480 = 1480. Böylece, Maks�(H, I) = �(20, 6) = 1480.

69

Uygulamalar

1) Aşağıda verilen doğrusal probleminin optimum tablosunu simpleks yöntemle elde ediniz.

Sadece optimal tabloyu yazınız.

Çözüm:

0,

42

4 3

86

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

+=

XX

XX

XX

XXZ enb

70

Uygulama Soruları

1) Doğrusal Programlama modelini Simpleks Yöntem ile çözümleyelim.

Z�� =4X + X� + 3XL + 5X| 3 + � + L + 6| ≤ 20 + � + L + | ≤ 12 2 + � + 4L + 8| ≤ 30 , �, L, | ≥ 0 Çözüm:

Çözümün birinci adımında soru öncelikle standart hale getirilir. Bu Amaç

Fonksiyonuna her bir kısıt denklemi için bir tane olmak üzere 0 katsayılı “])” aylak

değişkenleri eklenir. Bu değerlerden her biri kısıt denklemlerine de eklenir. Kısıt denklemleri

eşitsizlik yerine eşittir olarak ele alınır.

�� =4 + � + 3L + 5| + 0f + 0f� + 0fL 3 + � + L + 6| + ] = 20 + � + L + | + ]� = 12 2 + � + 4L + 8| + ]L = 30 , �, L, | ≥ 0 Örnek problemin başlangıç tablosu

Amaç

Katsayısı Temel

�! 4 1 3 5 0 0 0

Çözüm � L | ] ]� ]L 0 ] 20* 3 1 1 6** 1 0 0

0 ]� 12 1 1 1 1 0 1 0

0 ]L 30 2 1 4 8 0 0 1

�! 0 0 0 0 0 0 0 0

�! − �! -4 -1 -3 -5* 0 0 0

71

�! satırına yazılan değerler amaç fonksiyonuna bağlı değişkenlerin katsayıları iken; ], ]� ve ]L bulunduğu satırlarda yer alan sayılar ise her bir aylak değişkenin, yer aldığı

denklemdeki kısıtların katsayılarını içermektedir. �! satırın, henüz sorunun ilk Simpleks

tablosu olduğu ve üretime başlanmadığı ve kapasitelerin boş kabul edildiğini ifade

etmektedir. Tablo oluşturulup �! − �! satırı hesaplandıktan sonra anahtar sütun tespiti yapılır.

Bu satırdaki sonuçlar içinde en küçük negatif değer 5’tir. Bu değerin bulunduğu sütun anahtar

sütun olarak alınır. Soru maksimizasyon sorusu olduğu için en büyük pozitif değer alınmıştır.

Eğer minimizasyon sorusu söz konusu olsaydı sonuçlar içerisindeki en büyük pozitif değerin

bulunduğu sütun anahtar sütun olarak tanımlanacaktır. Anahtar sütun üzerindeki “�! − �!”

değeri (5) sütunda, kısıt denklemlerine ait katsayıların tümüne bölünür ve en küçük değerin

bulunduğu hücredeki eleman (6) anahtar eleman; bulunduğu satır da anahtar satır seçilir.

İkinci aşamanın ilk adımında, oluşturulacak tabloda anahtar satır olarak tespit edilen

“Temel” sütunundaki ] yerine; anahtar sütun olarak tespit edilen “|” yazılır. İlk tabloda

anahtar satır üzerindeki tüm değerler, anahtar elemana bölünür; elde edilen sonuçlar ikinci

tabloda | satırındaki değerler olarak yazılır.

Örnek problemin ikinci tablosu

Amaç

Katsayısı Temel

�! 4 1 3 5 0 0 0

s � L | ] ]� ]L

5 | 20/6 1/2 1/6 1/6 1 1/6 0 0

0 ]� 26/3 1/2 5/6 5/6 0 -1/6 1 0

0 ]L 10/3* -2 -1/3 8/3** 0 -4/3 0 1

�! 50/3 5/2 5/6 5/6 5 5/6 0 0

�! − �! -3/2 -1/6 -13/6* 0 5/6 0 0

İkinci aşamanın ilk adımı ile sarı ile gösterilen satır yazılmıştır. ]�ve ]L satırlarına ait ) kısıtlarının katsayıları; birinci tabloda bu satırlarda bulunan katsayı değerlerinin, ikinci

tablonun ilk adımında (sarı renkli satır) belirlenen katsayılardan aynı hizadakilerin

birbirlerinden çıkarılması ile elde edilmiştir. Her “Temel” satır için katsayılar belirlendiğinde �! satırı ve �! − �! satırı tekrar hesaplanarak, birinci tabloda olduğu gibi sırasıyla anahtar

sütun; anahtar eleman ve satır belirlenir. Önceki adımlarda yapılan tüm işlemler optimum

Simpleks tablo elde edilinceye (optimum çözüm bulununcaya) kadar sürdürülür.

72

Bu süreç �! − �! satırındaki tüm değerler 0 veya pozitif olana kadar devam edilir. Bu

koşul maksimizasyon problemi için geçerlidir. Minimizasyon problemlerinde ise �! − �! satırı 0 ve negatif değerler elde edilene kadar Simpleks tablosu oluşturulmaya devam edilir.

Bazı kaynaklarda �! − �! yerine �! − �! biçiminde görülebilir.

Örnek soru 4. Simpleks Tablosu (aşağıda) yapıldığında �! − �! satır değerleri 0 ve

daha küçük olduğu için çözüme ulaşıldığı kabul edilir.

Örnek problemin optimum tablosu

Amaç

Katsayısı Temel

�! 4 1 3 5 0 0 0 0

Çözüm �� X �Y �Z �b �X �Y �Z 4 �b 5 1 3/10 0 8/5 2/5 0 0 -1/10

0 �Y 2 0 3/5 0 -9/5 -1/5 1 0 -1/5

3 �Z 5 0 5/10 1 12/10 -2/10 0 1 3/10

�! 35 5 3/2 3 10 1 0 1/2

�! − �! 0 1 1/2 0 5 1 0 1/2

Buna göre; | = 5 , L = 5, ]� = 2 birim üretilerek amaç fonksiyonu (��) en

büyük değeri olan 35 birime ulaşacaktır.

73


Bu bölümde, Doğrusal Programlama modelinin Simpleks Yöntemle Çözümü,

varsayımları, çözüm aşamaları gösterilmiştir. Örnek olarak bir model maksimizasyon problemi

Simpleks Yöntem aşamaları kullanılarak çözülmüştür.

74

Bölüm Soruları

1) Sandalye ve koltuk imalatı yapan bir mobilyacı üretim için tahta ve boya

kullanmaktadır. Bir sandalye üretimi için 3 m3 tahta ve 1 kg boya kullanılırken, 1 koltuk için

ise 4 m3 tahta ve 1 kg boya gerekmektedir. Çeşitli nedenlerden dolayı mobilyacının

sağlayabildiği tahta miktarı günlük 92 m3 ve boya miktarı da 20 kg ile sınırlıdır. Ürettiği

sandalyelerin her biri mobilyacıya 300 TL, koltukların her biri ise 400 TL kar bırakmaktadır.

Bu bilgiler ışığında mobilyacının amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim

bileşimini seçmektir. Buna göre soruya ait doğrusal programlama modelinin amaç fonksiyonu

hangisidir?

a) Z�� =275X +300X� b ) Z�� =92X + 20X� c ) Z�� = 300X +400X� d ) Z�� =92X + 300X� e ) Z�� =300X + 20X� 2) SUHA işletmesi � ve � markalarında iki tip buzdolabı üretmektedir. Her bir � marka

buzdolabının üretimi için a entegre ve Z dijital ekran ve � marka buzdolabı için de Y entegre

ve b dijital ekran kullanılmaktadır. Kullanılabilir entegre miktarı 1200 adet ve dijital ekran ise

800 adettir. Üretilecek olan her bir � buzdolabının net karı 500 TL ve her bir � buzdolabının

net karı 300 TL’dir. Buna göre kar maksimizasyonu problemine ilişkin doğrusal programlama

modeli aşağıdakilerden hangisidir?

a) Z�� =500X +300X� 5X +2X� ≤ 1200 3X +4X� ≤ 800 X; X� ≥ 0

b) Z�� =500X +300X� 5X +3X� ≤ 1200 2X +4X� ≤ 800

X; X� ≥ 0 c ) Z�� =1200X +800X� 5X +3X� ≤ 1200 2X +4X� ≤ 800

X; X� ≥ 0

d ) Z�� =1200X +800X� 5X +3X� ≤ 1200 2X +4X� ≤ 800 X; X� ≥ 0

75

e ) Z�� =1200X +800X� 5X +3X� ≤ 600 2X +4X� ≤ 400 X; X� ≥ 0

3) Maksimizasyon problemi için optimallik koşulu ne zaman gerçekleşir?

a) �! ≤ 0 olduğunda

b) �! ≥ 0 olduğunda

c) �! − �! ≤ 0 olduğunda

d) �! − �! ≥ 0 olduğunda

e) �! − �! = 0 olduğunda

4) Küçük eşittir (�)!! ≤ .)) biçiminde verilen bir kısıtı eşitlik durumuna getirmek için

eklenen değişkene ne ad verilir?

a) Artık değişken

b) Aylak değişken

c) Yapay değişken

d) Eşitlik değişkeni

e) Sanal Değişken

5) Büyük eşittir biçiminde (�)!! ≥ .)) verilen bir kısıtı eşitlik biçimine dönüştürmede

bir değişken çıkarılır. Bu değişkene hangi ad verilir?

a) Yapay değişken

b) Aylak değişken

c) Artık değişken


e) Sanal Değişken

76

6) Eşitlik biçiminde (�)!! = .)) verilen bir kısıtı kanonik formdan standart forma

geçirirken simpleks algoritmasını yürütebilmek amacı ile +1 katsayılı bir değişken eklenir. Bu

değişkenin adı nedir?

a) Yapay değişken

b) Aylak değişken

c) Artık değişken


e) Sanal Değişken

7) ZW + b` + Y� ≤ bd şeklinde verilen bir kısıtı eşitlik haline getirmek için

aşağıdakilerden hangisi yapılmalıdır?

a) Eşitsizliğin sol tarafına yapay değişken (h�g) eklenir.

b) Eşitsizliğin sol tarafına dual değişken (I�g) eklenir.

c) Eşitsizliğin sol tarafından yapay değişken (h�g) çıkarılır.

d) Eşitsizliğin sol tarafından artık değişken (f�g) çıkarılır.

e) Eşitsizliğin sol tarafına aylak değişken (��gX) eklenir.

8) Z\W + Y\` + Xa� ≥ �\ kısıtı hangisinde doğru değişken eklenerek veya

çıkarılarak simpleks algoritmasına uygun eşitlik haline getirilmiştir?

a) 30H + 20I + 15� = 60 b) 30H + 20I + 15� − f = 60 c) 30H + 20I + 15� − f + h = 60 d) 30H + 20I + 15� + f = 60 e) 30H + 20I + 15� + h = 60 9) En büyükleme (Maksimizasyon) amaçlı bir doğrusal programlama probleminde

temele girecek (çözüme girecek) değişken nasıl belirlenir?

a) �! − �! satırında bulunan negatif elamanlardan mutlak değerce en büyük değerin

bulunduğu sütundaki değişken seçilir.

b) �! − �! satırında bulunan pozitif değerlerden en büyük değerin bulunduğu sütundaki

değişken seçilir.

77

c) �! − �! satırında bulunan pozitif değerlerden en küçük değerin bulunduğu sütundaki

değişken seçilir

d) �! − �! satırında bulunan negatif olan değerlerden mutlak değerce en küçük değerin


e) Hangi değişkenin seçileceği bilinmez.

10) Aşağıda verilen doğrusal programlama modelinin başlangıç uygun çözümünde

bulunan temel (basic) değişken ikilisi hangisinde doğru verilmiştir?

c��W = b\�X + a\�Y + \. �X + \. �Y �X + Y�Y + X. �X + \. �Y = b\ b�X + Z�Y + \. �X + X. �Y = XY\

�X, �Y, �X, �Y ≥ \

a) (,�) b) (,]) c) (�,]) d) (�,]�) e) (],]�) Cevaplar

1) c, 2) a, 3) c, 4) b, 5) c, 6) a, 7) e, 8) c, 9) a, 10) e

78

4. SİMPLEKS YÖNTEM (MİNİMİZASYON PROBLEMİ)

79


4.1. Minimizasyon Probleminin Simpleks Yöntemle Çözümü

4.2. Minimizasyon Probleminde Yapay Değişkenler

80


1) Simpleks yöntem çözüm aşamalarını araştırınız.

2) Minimizasyon problemi çözüm aşamalarının farkı nedir?

81



Simpleks Yöntemde

minimizasyon problemi

çözmek

Simpleks Yöntem kullanarak

minimizasyon problemini

çözebilmek



Simpleks Yöntem

Aşamaları Simpleks Yöntem Aşamaları



82

Anahtar Kavramlar

• Simpleks Yöntem

• Minimizasyon Problemi

83

Giriş Doğrusal Programlama modelinde bulunan kısıtlar “≤” yerine “≥” olduğunda, standart

formata geçirildiğinde, kısıtlara eklenecek değişkenlerin katsayıları “−1” olur ve eşitliklerin

sağ tarafının pozitif olması şartı sebebiyle temel değişkenlerin seçiminde eklenen değişkenler

kullanılamaz. Bu durumda bu problemin Simpleks Yöntemle çözümü, sisteme yeni yapay

değişkenler eklenerek oluşturulabilir. Yapay değişkenlerin çözüme etki etmemesi için,

çözümde bu değişkenlerin 0 olmasının sağlanması gerekmektedir. Bunu yapmak için amaç

fonksiyonuna “e” olarak göstereceğimiz çok büyük bir katsayı ile eklenir ve optimum

çözümde sistemin bu değişkenleri 0 yapması sağlanır.

Eğer aşağıdaki matrisleri şu şekilde tanımlarsak:

� = �� ⋯ ��⋮ ⋱ ⋮�% ⋯ �%�� , W = �H⋮H�� , � = �

.⋮.%� Yukarıdaki DP’ı �W = � biçiminde gösterebiliriz.

Minimizasyon problemine ait bir matematiksel model örneği aşağıdaki gibi olur.

(MEYPA Örneği)

��#$ = 7 + 9� 5 + 10� ≤ 1000 ≥ 50 � ≥ 50 , � ≥ 0

84

4.1. Minimizasyon Probleminin Simpleks Yöntemle Çözümü

Doğrusal Programlama modelinde bulunan kısıtlar “≤” yerine “≥” olduğunda,

standart formata geçirildiğinde, kısıtlara eklenecek değişkenlerin katsayıları “−1” olur ve

eşitliklerin sağ tarafının pozitif olması şartı sebebiyle temel değişkenlerin seçiminde eklenen

değişkenler kullanılamaz. Bu durumda bu problemin Simpleks Yöntemle çözümü, sisteme yeni

yapay değişkenler eklenerek oluşturulabilir. Yapay değişkenlerin çözüme etki etmemesi için,

çözümde bu değişkenlerin 0 olmasının sağlanması gerekmektedir. Bunu yapmak için amaç

fonksiyonuna “e” olarak göstereceğimiz çok büyük bir katsayı ile eklenir ve optimum

çözümde sistemin bu değişkenleri 0 yapması sağlanır. Aşağıdaki örnek üzerinde bütün adımlar

anlatılacaktır.

4.1.1. Doğrusal Programlama Modelinin Kanonik Formdan Standart Forma Dönüşümü

“≤” biçiminde verilmiş ise; model standart forma geçirilirken, verilen kısıtın sol tarafına ] gibi bir aylak değişken (slack variable) eklenir. Bu eklenen değişken verilen kısıt için

kullanılmayan atıl kapasiteyi göstermektedir.

Örnek:

Kanonik biçimde verilmiş olan doğrusal programlama modelinin herhangi bir kısıtı

aşağıdaki gibi “≤” biçiminde verilmiş ise; bu kısıtı eşitlik halinde yazabilmek için (standart

formda yazma) verilen kısıta bir aylak değişken (]) eklenir.

+ 2� ≤ 5 (Kanonik form) (Hammadde kısıtı)

+ 2� + ] = 5 (Standart form) (Hammadde kısıtı)

]: Aylak değişken, kullanılmayan (atıl) hammadde miktarını gösterir.

“≥” biçiminde verilmiş ise; model standart forma geçirilirken, verilen kısıtın sol tarafına ], ]�, ]L… gibi bir aylak değişken çıkarılır, h, h�, hL… gibi bir yapay değişken eklenir. Bu

eklenen değişkenin birincisi büyük olan kısmı azaltıp eşitlik haline getirmek için, ikinci eklenen

yapay değişken ise Simpleks altyapısı algoritmayı yürütebilmek içindir.

Örnek:


aşağıdaki gibi “≥” biçiminde verilmiş ise; bu kısıtı eşitlik halinde yazabilmek için (standart

formda yazma) verilen kısıttan (], ]�, ]L… ) gibi bir artık değişken çıkarılarak eşitlik haline

getirilmiş olur. Ancak eklenen değişkenin katsayısı −1 olduğundan (Simpleks yöntem gereği

eklenen değişkenlerin +1 katsayılı olması gereğinden) ikinci bir değişken daha eklenir. Bu da

üretimde anlamı olmayan yapay bir değişkendir. (h)

85

3 + 4� ≥ 12 (Kanonik form)

3 + 4� − ] + h = 12 (Standart form)

]: Artık değişken, eşitliği sağlamak amacı ile çıkarıldı, yani (−1) katsayı ile standart

forma getirildi. h değişkeni ise yapay bir değişken olarak eklendi.

“=” biçiminde verilmiş ise; model standart forma geçirilirken, verilen kısıtın sol tarafına h, h�, hL… gibi bir yapay değişken eklenir. Bu değişken Simpleks yöntem gereği eklenen

(birim matris oluşturabilmek için, değişkenlerin +1 katsayılı olması gereğinden) eklenir. Bu da

üretimde anlamı olmayan yapay bir değişkendir.

Örnek:


aşağıdaki gibi “=” biçiminde verilmiş ise; bu kısıtı doğrudan eşitlik olduğu için sadece

(Simpleks yöntem gereği eklenen değişkenlerin +1 katsayılı olması gereğinden) bir değişken

daha eklenir. Bu da üretimde anlamı olmayan yapay bir değişkendir. (h, h�, hL… )

5 + 2� = 15 (Kanonik form)

5 + 2� + h = 15 (Standart form)

h: Eklenen bu değişken ise yapay bir değişkendir. Sadece Simpleks algoritmasını

matematiksel olarak yürütebilmek için eklenir.

Örnek:

Aşağıda verilen doğrusal programlama minimizasyon problemini Simpleks Yöntem

kullanarak çözünüz.

�min = 2 + � 3 + � = 3 4 + 3� ≥ 6 + � ≤ 4 , � ≥ 0 Çözüm:

Amaç Fonksiyonu,

�min = 2 + � Kısıtlar:

86

3 + � = 3 (“=” kısıtı olduğu için h yapay değişkeni eklenir.)

4 + 3� ≥ 6 (“≥” durumunda, ] artık değişkeni çıkarıldı, h� yapay değişkeni

eklenir)

+ � ≤ 4 (“≤” kısıtı olduğu için sadece ]� aylak değişkeni eklenir)

, � ≥ 0 Kanonik formda verilmiş olan problem ilk olarak standart formda (eşitlik kısıtları)

yazılır. Eşitlik haline getirebilmek için önceki bölümde de anlatıldığı gibi yapılır. Bu

dönüştürme sırasında verilen kısıt a#�X# ≤ b� biçiminde ise, yani eşitsizlik ≤ ise, bu durumda

sol taraf daha küçük veya en fazla eşit olduğu için f�g gibi bir değişken eklenir. Eğer verilen

kısıt a#�# ≥ .� biçiminde bir eşitsizlik ise bu defa eşitliği sağlamak amacı ile sol taraftan bir s$g gibi bir değişken çıkarılır. +1 katsayılı değişken bulunmayacağından, eşitlik halinde

verilmiş olan denklemlere de h�g yapay değişkeni eklenir. Eklenen değişkenin üretimde bir

anlamı yoktur. O nedenle optimum çözümde, bu eklenen yapay değişkenlerin temel değişken

listesinden çıkmış olması gerekir. Bunu yapabilmek için düşünülebilen en büyük pozitif bir sayı

olan e ile çarpılarak amaç fonksiyonuna konur. Bu sayede, amaç fonksiyonu h değişkenlerinin

sıfır olmaması durumunda çok büyüyecektir. Ancak Simpleks Yöntem algoritması, problemin

optimum çözümü var ise, bu yapay değişkenleri temel olmaktan çıkaracak ve sıfır değeri atanan

temel olmayan değişkenler arasına sokacaktır. (Maksimizasyon problemlerinde ise –e

katsayıları ile çarpılarak amaç fonksiyonuna konur.) Problem standart forma getirildiğinde


Amaç fonksiyonunun yeni hali:

�min = 2 + � − 0. ] + 0. ]� +e. h +e. h� Kısıtların yeni hali:

3 + � + h = 3 4 + 3� − ] + h� = 6 + � + ]� = 4 , �, h, ], h�, ]� ≥ 0 Standart formun doğru oluşturulmasıyla, başlangıç Simpleks Tablo oluşmuş olur.

87

Şekil 17 Başlangıç Simpleks Tablo

�� Temel

�� 2 1 0 0 e e

Çö�ü� �X �Y �X �Y �X �Y Oran

e �X 3 3 1 0 0 1 0 3/3 ←

e �Y 6 4 3 -1 0 0 1 6/4

0 �Y 4 1 1 0 1 0 0 4/1

�! 9e 7e 4e −e 0 e e

�! − �! 7e − 2 4e − 1 −e 0 0 0

↑

Anahtar sütun seçilirken �! − �! satırında, en büyük sayının olduğu (7e − 2) sütun,

anahtar satır ise en küçük negatif olmayan oran sahip (3/3) satırı anahtar satır olarak seçilir.

Dolayısıyla temel değişken olacak, h, temel değişken listesinden çıkacaktır. Anahtar sütun

ile anahtar satır kesişiminde bulunan 3 sayısı anahtar sayıdır.

Temelde bulunan h, yerine yazılır. Anahtar satır anahtar sayı olan 3’e bölünür.

İkinci satır yazılır. Anahtar sayının bulunduğu hücre yeni oluşturulan tabloda 1 olur. Anahtar

sayının altında ve üstünde kalan 1 ve 3 sayılarını, birim matrise benzetme adına sıfır yapmak

amacı ile elemanter satır işlemleri uygulanır. Simpleks Yöntem adımları uygulandığında,

elemanter satır işlemleri sonucunda ikinci Simpleks tablo aşağıdaki gibi olur.

88


�� Temel

�� 2 1 0 0 e e

Çözüm �X �Y �X �Y �X �Y Oran

2 �X 1 1 1/3 0 0 1/3 0 3

e �Y 2 0 5/3 -1 0 -4/3 1 6/5 ←

0 �Y 3 0 2/3 0 1 -1/3 0 9/2

�! 2e + 2 2 5e3 + 2/3 −e 0

−4e3+ 2/3 e e

�! − �! 0 5e3 − 1/3 −e 0 −7e3+ 2/3 0 0

Dikkat edilmesi gereken bir diğer olay da problemin en küçükleme problemi olduğudur.

Bu durumda anahtar sütun seçimi yapılırken, pozitifler arasında en büyük sayının bulunduğu

sütun giriş değişkeni seçilirken en küçük olan değil, en büyük katsayısı olan seçilecektir.

Problem �! − �! satırında hiç pozitif katsayı kalmayınca duracaktır.

Benzer adımlar ikinci tablo sonrasında da yapılırsa, bir sonraki tabloda optimum

çözüme ulaştığı görülür. Bu şekilde M metodunu kullanarak problem çözülmüş olur.


�� Temel

�� 2 1 0 0 e e

Çö�ü� �X �Y �X �Y �X �Y 2 �X 0,6 1 0 0,2 0 0,6 -0,2

1 �Y 1,2 0 1 −0,6 0 −0,8 0,6

0 �Y 2,2 0 0 0,4 1 0,2 −0,4 �! 2,4 2 1 −0,2 0 0,4 0,2

�! − �! 0 0 −0,2 0 0,4 − e 0,2 − e

89

Optimum Simpleks Tablodan, Çözüm değerleri okunur.

Temel Değişkenler,

= 0,6 � = 1,2 ]� = 2,2 Temel olmayan değişkenler zaten sıfır idi. (Simpleks Yöntem Algoritmasının

altyapısında bulunan temel çözüm mantığı gereği)

] = 0 h = 0 h� = 0 Bu durumda minimum maliyet;

�min = 2,4 olur. Çözüm değerleri incelenirse, h = 0 ve h� = 0 yapay değişkenleri konu içerisinde

de anlatıldığı gibi üretimce anlamı olmayan değişkenlerdi. Sıfır çıkmaları durumunda ancak

problemin çözümüne ulaşılabiliyordu. İşte bu problemin optimum çözümünde bu değişkenler

sıfırlanmış oldu ve e değerlerinden optimum tabloda (son tabloda) kurtulmuş olundu.

Minimizasyon problemlerini bir diğer şekilde, maksimizasyon problemine benzeterek

çözmektir. Verilen minimizasyon probleminde amaç fonksiyon katsayılarını -1 ile çarparak,

bütün adımlarda maksimizasyon problemi adımları uygulanır ve son tablodan problem çözüm

değerleri okunur.

90

Uygulamalar

1) Aşağıda verilen problemi Simpleks Yöntem kullanarak çözünüz

Z�#$ =30 + 18� 2 + 2� ≥ 3 3 + � ≥ 2 ≥ 0; � ≥ 0 Verilen doğrusal programlama modelinde bulunan kısıtlar eşitlik durumuna getirildiğinde;

Z�#$ =30. + 18. � + 0. ] + 0. ]� +e. h +e. h� 2 + 2� − 1. ] + 0. ]� + 1. h + 0. h� = 3 3 + � + 0. ] − 1. ]� + 0. h + 1. h� = 2 , �, ], ]�, h, h� ≥ 0

C� Temel

Değişken

C� 30 18 0 0 e e

Çözüm X X� S S� h h� Oran

e h 3 2 2 -1 0 1 0 3/2

e h� 2 3 1 0 -1 0 1 2/3 ←

Z� 5e 5e 3e −e −e e e

Z� − C� 5e − 30 3e − 18 −e −e e e

↑

C� Temel

Değişken

C� 30 18 0 0 e e

Çözüm X X� S S� h h� e h 5/3 0 4/3 -1 -2/3 1 -2/3 ← 18 X 2/3 1 1/3 0 -1/3 0 1/3

Z� 5/3e + 12 18 4e/3 + 6 −e −e e e

Z� − C� 0 4e/3− 12 −e −2M/3− 6 0 0

↑

91

Optimum simpleks tablo

C� Temel

Değişken

C� 30 18 0 0 e e

Çözüm X X� S S� h h� Oran

e h 3 2 2 -1 0 1 0 3/2

e h� 2 3 1 0 -1 0 1 2/3 ←

Z� 5e 5e 3e −e −e e e

Z� − C� 5e − 30 3e − 18 −e −e e e

↑

2) Aşağıda verilen doğrusal programlama modelinin standart forma getiriniz. Başlangıç

Simpleks tabloyu oluşturunuz. Anahtar sütunu ve anahtar satırı belirleyiniz. Anahtar elemanı

bulunuz.

Çözüm:

a) � = 2 − � fonksiyonunu

+ � ≤ 8 5 + 3� ≥ 30 , � ≥ 0 Kısıtları doğrultusunda minimize ediniz.

Çözüm:

Önce kısıtları eşitlik durumuna getirelim:

+ � + ] = 8 5 + 3� − ]� + h = 30 Eklenen değişkenlerle birlikte amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.

�min = 2 − � + 0. ] + 0. ]� +e. h

92

Eklenen değişkenlerle birlikte negatif olmama koşulu:

, �, ], ]�, h ≥ 0 Başlangıç simpleks tablo:

C� Temel

Değişken

C� 2 −1 0 0 e

Çözüm X X� S S� h Oran

0 ] 8 1 1 1 0 0 8/1

e h 30 5 3 0 -1 1 30/5 ←

Z� 30e 5e 3e 0 −e e

Z� − C� 5e − 2 3e + 1 0 −e 0

↑

Anahtar satır Oran sütununda (30/5)’in bulunduğu satır.

Anahtar sütun Z� − C�satırında en büyük pozitif sayının bulunduğu sütun anahtar sütundur.

(5e − 2) Anahtar eleman ise, anahtar sütun ile anahtar satırın kesişimindeki eleman (5) değerinin

bulunduğu hücre.

93

Uygulama Soruları

Soru:

� = 3 + 2� fonksiyonunu

3 + � = 12 4 + 3� ≥ 30 , � ≥ 0 Kısıtları doğrultusunda minimize ediniz.

Çözüm:

Önce kısıtları eşitlik durumuna getirelim: İlk kısıt zaten eşitlik olduğu için sadece

yapay değişken eklenir. İkinci kısıt büyük eşit (≥) olduğundan bir artık değişken çıkarılır ve

bir de yapay değişken eklenir.

3 + � + h = 12 4 + 3� − ]� + h� = 30 Eklenen değişkenlerle birlikte amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.

�min = 3 + 2� +e. h + 0. ]� +e. h� Eklenen değişkenlerle birlikte negatif olmama koşulu:

, �, ], h, h� ≥ 0 Başlangıç simpleks tablo:

C� Temel

Değişken

C� 3 2 e 0 e

Çözüm X X� u S h� Oran

e h 12 3 1 1 0 0 12/3 ←

e h 30 4 3 0 -1 1 30/4

Z� 42e 7e 4e e −e e

Z� − C� 7e − 3 4e − 2 0 −e 0

94

Anahtar satır; Oran sütununda (12/3)’in bulunduğu satır. Negatif olmayan oranların

en küçüğünün bulunduğu satır (sıfır var ise o satır veya pozitiflerin arasından en küçük

sayının olduğu satır).

Anahtar sütun Z� − C�satırında en büyük pozitif sayının bulunduğu sütun anahtar

sütundur.

(7e − 3) Anahtar eleman ise, anahtar sütun ile anahtar satırın kesişimindeki eleman (3)

değerinin bulunduğu hücredir.

95


Bu bölümde, Doğrusal Programlama modelinin Simpleks Yöntemle Çözümü, varsayımları,

çözüm aşamaları gösterilmiştir. Simpleks Yöntem yardımı ile minimizasyon probleminin

çözümü anlatılmıştır.

96

Bölüm Soruları

1) En küçükleme (Minimizasyon) amaçlı bir doğrusal programlama probleminde temele

girecek (çözüme girecek) değişken nasıl belirlenir?

a) �! − �! satırında bulunan negatif değerlerden mutlak değerce en büyük değerin


b) �! − �! satırında bulunan pozitif değerlerden en büyük değerin bulunduğu sütundaki


c) �! − �! satırında bulunan pozitif değerlerden en küçük değerin bulunduğu sütundaki

değişken seçilir

d) �! − �! satırında bulunan negatif olan değerlerden mutlak değerce en küçük değerin


e) Hangi değişkenin seçileceği bilinmez.

2) Doğrusal programlama probleminin Simpleks Yöntemle çözümü yapılırken temelden

çıkacak değişken (nonbasic variable) nasıl belirlenir?

a) s değerleri seçilen anahtar sütundaki değerlere karşılıklı bölünür. Bu değerler

arasından negatif olmayan en büyük elemanın bulunduğu satırdaki değişken temelden çıkarılır.

b) Z� − C� satırında bulunan pozitif değerlerden en büyük değerin bulunduğu sütundaki


c) X¢ değerleri seçilen anahtar sütundaki değerlere karşılıklı bölünür. Bu değerler

arasından negatif olmayan en küçük elemanın bulunduğu satırdaki değişken temelden çıkarılır.

d) Temelden çıkacak değişken rasgele seçilir.

e) Hangi değişkenin temel değişken olacağı bilinmez.

97

(3-8. Soruları aşağıda standart formda verilen doğrusal programlama problemi ve bu

probleme ait Optimal Simpleks Tablo kullanılarak çözülecektir.)

c�� = Z\.�X + ba.�Y +⊠. �X +⨂. �Y +△.�X X\�X + XY�Y + �X = Yb\ ��X + ¦�Y − �Y + �X = X�Y �X, �Y, �X, �Y, �X ≥ \

Optimal Simpleks Tablo �� 30 45 ⊠ ⨂ △

�� Temel Çözüm �X �Y �X �Y �X ⊠ �X 24 2 0 1 4/3 −b/Z

45 �Y 18 2/3 1 0 −X/¦ 1/9

c� = c��

c�−�� 0 0 0 −a a −§

3) Verilen problemin başlangıç tablosunda yer alacak temel değişkenler ve çözüm

değerleri aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru verilmektedir.

a) = 24 , h = 162 b) = 24 , � = 18 c) ] = 240 , ]� = −162 d) ] = 240 , h = 162 e) � = 20 , ]� = 162

98

4) Verilen problemin amaç fonksiyonunda artık ve yapay değişkenlerin alması gereken

katsayılar ⊠, ⨂ ve △ sırasıyla aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru verilmektedir.

a) 0, 0 ve −e

b) 0, 0 ve e

c) −1, −1 ve e

d) 1, 1 ve e

e) e, −e ve e

5) � ile gösterilen optimal c�� değeri aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru olarak

verilmektedir.

a) 834 b) 810 c)42 d)24 e)18

6) Optimal tabloya göre, probleme ait çözüm takımı aşağıdaki şıklardan hangisinde

doğru olarak verilmektedir.

a) = 24 , � = 45 b) = 24 , � = 18 c) = 0 , � = 24 d) = 0 , � = 18 e) = 18 , � = 18 7) Optimal tabloda yer alan �X değişkeninin aldığı değer ve bu değerin yorumu

aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru verilmektedir.

a) ] = 24, 1. kısıta ilişkin kullanılmayan kapasite 24 birimdir.

b) ] = 24 , 1. kısıta ait kullanılmayan miktar 18 birimdir.

c) ] = 24 , 1. kısıtın yalnızca 24 birimi kullanılmıştır.

d) ] = 18, 1. kısıtın yalnızca 24 birimi kullanılmıştır.

e) ] = 240, 1. kısıt kullanılmamıştır.

99

8) Verilen primal probleme ait dual modelin çözüm değerleri (gölge fiyatlar) aşağıdaki

şıklardan hangisinde doğru olarak verilmektedir.

a) = 0 ve � = −5 b) = 10 ve � = 5 c) = 24 ve � = 18 d) = 0 ve � = 5 e) = 5 ve � = 0 9) Bir doğrusal programlama probleminin optimal çözümünde, herhangi bir kısıta

ilişkin aylak değişken sıfırdan büyük bir değer almış ise, bu kapasite;

a) Tam kullanılmıştır.

b) Böyle bir durumla karşılaşılmaz.

c) Tam kullanılmamıştır, atıl kapasite bulunmaktadır.

d) Başka çözümler aranır.

e) Bu çözüm optimal olmaz.

10) Aşağıda verilen doğrusal programlama modelinin dual probleminde kaç kısıt

bulunmaktadır?

c��W = X\�X + Y\�Y + �Z Y�X + Z�Y + �Z ≤ b\ �X, �Y, �Z ≥ \

a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

Cevaplar

1) b, 2) c, 3) d, 4) b, 5) b, 6) d, 7) a, 8) d, 9) c, 10) e

100

5. DUALİTE VE DUYARLILIK ANALİZİ

101


5.1. Dualite (İkilik veya İkincil Problem)

5.2. Duyarlılık Analizi

5.3. Amaç Fonksiyonu Katsayılarındaki Değişim

5.4. Sağ Taraf Sabitlerindeki Değişim

102


1) Duyarlılık analizi ne zaman kullanılır?

2) Dual problem nedir?

3) Amaç fonksiyonu katsayılarının değişimini inceleyiniz.

4) Sağ taraf sabitlerinin değişimini araştırınız.

103



Dual problem Primal Problemin dualini

yazabilmek Okuyarak, Tekrar yaparak

Gölge Fiyat Gölge Fiyatları

değerlendirebilmek Okuyarak, Fikir yürüterek

Amaç Fonksiyonu

katsayılarının değişimi

Amaç fonksiyonu

katsayılarının duyarlılığını

inceleyebilmek



Sağ taraf sabitlerindeki

değişim Sağ taraf sabitleri

duyarlılığını inceleyebilmek



104

Anahtar Kavramlar

• Primal ve Dual Problem

• Gölge Fiyat

105

Giriş

En az iki temel kavramın yer aldığı bir önermede bu iki kavramın yerleri

değiştirildiğinde doğru olan yeni bir önermenin elde edilmesidir. Sayısal yöntemlerde çeşitli

amaçlarla kullanılır.

Dualite felsefede sıkça kullanılan bir ifadedir. Latince kökenli bir kelimedir. “Duo”

ikilik demekken, “lite” zıtlık anlamını taşır. Kelime olarak iki kavramın zıtlığını ifade ediyor

gibi görünse de aslında anlatılmak istenen zıt olan kavramların birbirlerini tamamlayıcılığı ve

bütünlüğüdür.

Bölümün bir diğer konusu da duyarlılık analizdir (sensitivity analysis). Duyarlılık

analizinde doğrusal programlama modelinin parametrelerindeki değişikliklerinin optimal

çözüm üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Herhangi bir parametredeki değişimin optimal

çözüme etkisi diğer tüm parametrelerin değerleri sabit tutularak incelenir. Modelde kullanılan

parametrelere (�!, .)) bağlı olarak duyarlılık analizinde

a) Sağ taraf sabitlerinde meydana gelen değişmelerin incelenmesi,

b) Amaç fonksiyonu katsayılarındaki değişmelerin incelenmesi yapılır.

Önceki bölümlerde kurulan doğrusal programlama problemleri primal halde verilmişti.

Primal modelden Grafik yöntem, Simpleks yöntem veya diğer yöntemlerle çözüm elde edilmesi

işin kolay bir aşaması olup, nispeten zor olan bölüm optimal çözüm elde edildikten sonra

yapılan analizlerdir. Duyarlılık analizi adı verilen bu süreç, model parametrelerindeki olası

değişiklikler (örneğin herhangi bir ürünün birim karının ya da belirli bir kısıta ait eldeki

kapasitenin değişmesi ) sonucunda optimal çözümün nasıl bir davranış göstereceğinin

incelenmesini kapsar.

106

5.1. Dualite (İkilik veya İkincil Problem)

Doğrusal programlama probleminin primal (birincil) simpleks yöntemle çözümünde

zorluklar yaşanabilir. Bazen primal problemin duali alınarak belki bir nebze kolaylaştırılabilir.

Dual model (ikincil) primal modelin değişik bir biçimde yazılışıdır. Eğer simpleks yöntemde

karar değişkenleri fazla kısıtlayıcı sayısı az olursa, bu modelin duali alınarak çözüme ulaşmakta

kolaylık sağlanabilir.

Doğrusal programlamada her maksimizasyon probleminin minimizasyonu veya her

minimizasyon probleminin bir maksimizasyonu vardır. Bir problemin dualinin duali alınırsa problemin kendisine eşit olur.

Bir problemin dualinin alınması için kanonik formda olması gerekmektedir. Eğer

kanonik formda değilse bu hale (model kanonik forma) dönüştürülür. Problem maksimizasyon

amaçlıysa eşitsizliklerin yönü “≤” şeklinde, problem minimizasyon amaçlıysa eşitsizliklerin

yönü “≥” şeklinde olması beklenir. Problemin kısıtlarının eşitsizliklerle ifade edilmiş olması

onun kanonik formda olduğunu gösterir.

Problemin optimal çözümü hem primal hem de dual modelde aynı değeri vermektedir.

Eğer primal modelde çözüm sınırsız olursa, dual modelde problemin uygun çözümü yoktur.

Bunun tersi de doğrudur.

5.1.1. Dual Modelin Yazılması

Primal modelden dual modele geçerken şu kurallara uyulması gerekmektedir.

1.Primal modelde amaç fonksiyonu maksimizasyon amaçlıysa dual modelde bu

minimizasyon halini alır. Eğer primal modelde amaç fonksiyonu minimizasyon amaçlıysa

bunun duali maksimizasyon halini alır.

2. Primal modeldeki maksimizasyon amaçlı problemin kanonik formdaki

kısıtlayıcılarının yönü ≤ şeklinde iken, dual modelde bunların yönü değişerek ≥ halini alır.

Bunun tersi de doğrudur.

3. Hem primal hem de dual modeldeki değişkenlerin tümü pozitiflik koşuluna

uygun olmalı, negatif olmamalıdır.

4. Primal modeldeki kısıtlayıcılar dual modelde karar değişkeni olmaktadır. Primal

modeldeki karar değişkenleri de dual modelde kısıtlayıcı haline dönüşmektedirler. Primal

modelde � tane kısıt 4 tane karar değişkeni varsa, problemin dual modelinde 4 tane kısıt �

tane karar değişkeni vardır.

5. Primal modeldeki amaç fonksiyonunun katsayı değerleri dual modelde sağ taraf

sabitleri değerlerine dönüşürken, sağ taraf sabitleri değerleri de amaç fonksiyonunun katsayı

değerleri haline dönüşmektedir.

107

6. Primal modeldeki kısıtlayıcıların katsayı matrislerinin transpozesi dual modeldeki

kısıtlayıcıların katsayı değerlerini oluşturmaktadır.

7. Primal modeldeki bir serbest değişkenin işareti sınırlandırılmamışsa, dual modelde

buna karşılık gelen kısıtlayıcı denklem eşitlik halinde yazılır. Bunun tersi de doğrudur. Primal

modeldeki problemin duali alındıktan sonra kısıtların kanonik formda olmasına dikkat edilerek

primal modelde olduğu gibi simpleks yöntem uygulanır.

Örnek:

Aşağıda bir doğrusal programlama probleminin hem primali hem de duali verilmektedir.

Primal Model

cmaks = a\ + d\� X. + Y. � ≤ ZY ( ) Z. + b. � ≤ db ( �)

, � ≥ 0

Dual Model

¨min = ZY + db � X. + Z. � ≥ a\ Y. + b. � ≥ d\

, � ≥ 0

Primal modelle dual modelin sonuçlarını karşılaştırıldığında; dual modeldeki optimal

çözüm primal modeldeki optimal çözüme eşittir.

Primal problemin optimal tablosundan dual değişkenlerin aldığı değerler okunabilir.

Dual modeldeki temel olmayan değişkenlerin Z� − C� sırasındaki çözüm değerleri, primal

modelde bu değişkenlere karşı gelen temel değişkenlerin optimal çözüm değerini vermektedir.

Ayrıca dual modeldeki temel değişkenlerin Z� − C� sıra elemanlarındaki çözüm değerleri,

primal modeldeki temel olmayan değişkenlerin optimal çözüm değerini vermektedir.

Örnek:

Aşağıda verilen primal programlama modelinin dualini yazınız.

Primal Model:

�maks = 60 + 30� + 20L 8 + 6� + L ≤ 48 4 + 2� + 3L ≤ 20 2 + 3� + L ≤ 8

108

, �, L ≥ 0 Çözüm:

Dual Model:

©min = 48 + 20 � + 8 L 8 + 4 � + 2 L ≥ 60 6 + 2 � + 3 L ≥ 30 + 3 � + L ≥ 20 , �, L ≥ 0 Örnek:

Aşağıda verilen primal programlama modelinin dualini yazınız.

Primal Model:

�maks = 5 + 3� + 4L 3 + 5� + 2L ≤ 120 8 + 5� + 4L ≤ 160 , �, L ≥ 0 Çözüm:

Dual Model:

©min = 120 + 160 � 3 + 8 � ≥ 5 5 + 5 � ≥ 3 2 + 4 � ≥ 4 , �, L ≥ 0 • Dikkat edilirse, verilen primal problem maksimizasyon ise, duali minimizasyon

problemi olur.

• Primal modelin amaç fonksiyonu katsayıları dual modelde sağ taraf sabitleri

durumuna gelir.

109

• Örnek olarak, Primal modelde 3 değişken iki kısıt var ise, dual modelde iki

değişken 3 kısıt oluşur.

• Maksimizasyonda genellikle kısıtlar ≤ biçiminde bulunurken, minimizasyonda ≥ olması beklenir.

• Primalden duale geçişte, teknolojik katsayılar (�)!) matrisi transpozesi alınarak

yazılır.

• Primalin optimum çözümü var ise dualin de optimum çözümü vardır.

5.2. Duyarlılık Analizi

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı

değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir.

Oluşturulan modeldeki katsayıların kesin olmadığı ve daha sonraki dönemlerde değişime

uğrayarak optimal çözümü ne derece etkileyeceği incelenir. Bu değişiklik sonucunda optimal

çözümde bir farklılık olacağı gözleniyorsa, problemin yeniden çözülmesi gerekmektedir.

Duyarlılık analizinde amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı koşulların katsayılarındaki (teknolojik

matristeki) ve bir de sağ taraf sabitlerindeki (kapasite vektörü) değer değişiklikleri ile yeni bir

değişken ve yeni bir kısıt eklenmesi halinde optimal çözümdeki değişiklik incelenir.

Bu bölümde biz Amaç Fonksiyonu katsayılarındaki değişim ile Sağ Taraf Sabitlerindeki değişimi inceleyeceğiz.

Kaynaklarda veya kısıtlardaki herhangi bir değişikliğin etkilerini, doğrusal

programlama modelini yeniden çözerek bulmak mümkündür. Ancak, bu şekilde yeniden çözüm

genellikle gereksizdir. Çünkü aynı temel değişkenli farklı bir optimal çözüme ulaşmak

mümkündür. İşte duyarlılık analizi yeniden çözüme gitmeden bu gibi değişikliğin etkisini

optimal çözüm tablosundan belirlemeye çalışır.

Dual problemi standart formla tanımlayarak simpleks tabloya uygunluk da sağlanmış

olmaktadır. Buna göre primal problemin genel standart formu;

Amaç fonksiyonu:

Optimum� = �!�!" ! Kısıtlar:

�)!�!" ! = .)/ = 1,2,3,… ,�

110

Negatif olmama koşulu:

! ≥ 03 = 1,2,3,… , 4 şeklinde tanımlanır. Burada 4 adet değişkeni gösteren !’ler artık, aylak gerçek

değişkenlerde dahil tüm değişkenleri temsil etmektedir. Şimdi dual problemi oluşturmak

amacıyla primalin katsayılarını şematik olarak tabloya yazmamız gerekir.

Bu tablo aşağıdaki kurallara göre dualin primalden simetrik olarak elde edilebileceğini

gösterir:

� = u� �� … ��w ; Birim kar veya birim maliyetler

= u � … �w ; Değişkenler

+ = ¬ � �� … ��… ��… …�% �%� … …… �%� ; Teknolojik Matris

. = ¬..�….% ; Sağ taraf sabitleri

5.3. Amaç Fonksiyonu Katsayılarındaki Değişim

Amaç fonksiyonundaki katsayı değerlerindeki değişimin o katsayıyı taşıyan değişkenin

optimal çözümde olup olmadığına bağlıdır. Eğer değişime uğrayan değişken optimal çözümde

değilse, bu değişkenin katsayısının yeterli büyüklükte olmamasından kaynaklanmaktadır. Eğer

bu katsayı değeri büyütülüp Z� − C� satırındaki değeri sıfırdan küçük olacak değere gelirse, bu

değişkenin optimal çözüme girmesi gerekmektedir. Bu durumda optimal çözüm de

değişecektir. Ancak bu katsayı değeri büyürse, bunun optimal çözüm üzerinde bir değişikliğe

yol açmayacağı açıktır. Minimizasyon problemi için tersi durum geçerlidir. Eğer değişime

uğrayan değişken optimal çözüm içerisindeyse, bu değişkenin katsayısındaki bir artış optimal

çözüm üzerinde herhangi bir değişikliğe yol açmayacaktır. Eğer bu değerde bir azalma sonucu

değişken optimal çözümden çıkıp yerine başka bir değişken çözüme girecek şekilde bir

değişiklik olursa, optimal çözümde bir değişiklik olacaktır. Minimizasyon problemi için tersi

durum geçerlidir.

111

Aşağıda verilen doğrusal programlama probleminin amaç fonksiyonu katsayılarındaki

değişimi inceleyelim.

Z�� =5X + 4X� 6 + 4� ≤ 24 (Kısıt 1)

+ 2� ≤ 6 (Kısıt 2)

≥ 0; � ≥ 0 Amaç fonksiyonu katsayılarındaki 1 birimlik değişimin problemin optimal çözümünde

neleri değişeceğine bir bakalım. Verilen modelde Z�� =5X + 4X� amaç fonksiyonu

doğrusunun eğimi -5/4’tür. Eğer X’in katsayısı 5 yerine 6 olursa, amaç fonksiyonunun eğimi

-6/4 olur. Bu da amaç fonksiyonu doğrusunu dikleştirecektir. Aynı şekilde X’in katsayısı 5

yerine 4 olması durumunda amaç fonksiyonu doğrusunun eğimi -4/4 olur. Verilen modeldeki

amaç fonksiyonu doğrusunun eğimi 1 ve 2 kısıt doğrularının eğimleri arasında kalmaktadır. Bu

nedenle optimal çözümde 1 ve 2 doğrularının kesişim noktasında gerçekleşmektedir.

1. Kısıt doğrusunun eğimi: � = −3/2 = −1,5 2. Kısıt doğrusunun eğimi: �� = −1/2 = −0,5 Amaç doğrusunun eğimi : �® = −5/4 = −1,25 � ≤ �c ≤ �� Eğer amaç fonksiyonundaki ikinci ürünün birim maliyeti olan 4 değiştirilmeden sabit

kaldığında, birinci ürüne ait birim kar � olarak yazılırsa;

Z�� = �X + 4X� Bu durumda amaç doğrusunun eğimi −�/4 olur. Bu eğim (−�/4), iki kısıta ilişkin

doğru eğimleri arasında kaldığı müddetçe iki doğrunun kesişim noktası optimal çözüm noktası

olur.

−1,5 ≤ −�/4 ≤ −0,5 Yukarıda yazılan eşitsizlik −1 ile çarpılırsa eşitsizlikler yön değiştirir.

1,5 ≥ �/4 ≥ 0,5 Bu eşitsizlikte � yalnız bırakılırsa,

6 ≥ � ≥ 2 Biçiminde �’in aralığı belirlenmiş olur. Bu şu demektir. Eğer ikinci ürünün birim karı

değiştirilmediği sürece, birinci ürünün birim karı �; u2, 6w aralığında kaldığı sürece, optimal

112

nokta iki doğrunun kesişim noktası olur. Benzer şekilde ikinci ürünün birim karındaki değişimi

inceleyelim.

Eğer amaç fonksiyonundaki birinci ürünün birim maliyeti olan 5 değiştirilmeden sabit

kaldığında, ikinci ürüne ait birim kar �� olarak yazılırsa;

Z�� = 5X + ��X� Bu durumda amaç doğrusunun eğimi −5/�� olur. Bu eğim (−5/��) iki kısıta ilişkin

doğru eğimleri arasında kaldığı müddetçe iki doğrunun kesişim noktası optimal çözüm noktası

olur.

−3/2 ≤ −5/�� ≤ −1/2 Bu eşitsizlikte �� yalnız bırakılırsa,

10 ≥ �� ≥ 10/3 biçiminde ��’in aralığı belirlenmiş olur. Bu şu demektir. Eğer birinci ürünün birim karı

değiştirilmediği sürece, ikinci ürünün birim karı �� bu u10/3, 10w aralığında kaldığı sürece,

optimal nokta iki doğrunun kesişim noktası olur.

Değişken Birim

Maliyetler

Minimum

Değer

Maksimum

Değer

İndirgenmiş

Maliyet

�X � = 5 2 6 0

�Y �� = 4 10/3 10 0

Simpleks yöntemle problem çözüldüğünde, optimum çözüm tablosu aşağıdaki gibi olur.

�� Temel

Değişken

�� 5 4 0 0

��

Çözüm �X �Y �X �Y

5 �X 3 1 0 1/4 -1/2

4 �Y 3/2 0 1 -1/8 3/4

c� 21 5 4 3/4 1/2

c� − �� 0 0 3/4 1/2

113

5.4. Sağ Taraf Sabitlerindeki Değişim ve Gölge Fiyat

Bir doğrusal programlama modelindeki kısıtlayıcı eşitsizliklerin (denklemlerin) sağ

taraf değerlerindeki herhangi bir değişikliğin amaç fonksiyonu ve çözüm kombinasyonuna olan

etkisinin belirlenmesi işlemidir. Simpleks yöntem sonucunda elde edilen optimal çözüm

tablosundaki her bir değerin bir anlamı bulunmaktadır. Özellikle indeks satırındaki değerler çok

önemlidir.

Örneğin yapısal değişkenlerin indeks satırındaki değerleri indirgenmiş maliyet olarak

bilinir. Bu değerler, çözüme girmeyen karar değişkenlerinin çözüme girebilmesi için

katsayılarında yapılması gereken minimum değişikliği göstermektedir. Aylak ve yapay

değişkenlerin indeks satırındaki değerleri, ekonomik anlamda gölge fiyatları veya fırsat maliyetlerini göstermektedir. Eğer kaynaklarda bir birim değişiklik yapılırsa, bu değişimin

amaç fonksiyonu değerine olan birim etkisi gölge fiyatlar kadar olacaktır. Yani, amaç

fonksiyonunun değeri gölge fiyat kadar değişecektir.

Yukarıdaki optimal simpleks tabloda görüldüğü gibi, Z� − C� satırında negatif sayı

bulunan hücre kalmadığından, işlemlere son verilir ve optimal çözüm elde edilmiş olur.

Örnek problemin iki kısıtı bulunmaktaydı. Birinci kısıta S, ikinci kısıta S� gevşek

(aylak) değişkenleri eklenmiş ve kısıtlar eşitlik durumuna getirilmişti. Sağ taraf sabitlerindeki

1 birimlik artış optimal tabloda temelde olmayan aylak değişkenler (] ve S�) altında Z� − C� indeks satırında görülmektedir. Eğer 1. Kısıtın sağ taraf sabiti 24 yerine 25 olsaydı amaç

fonksiyonu optimal çözümünde kar 3/4 birim fazla olacaktı. Aynı şekilde ikinci kısıtta sağ

taraftaki 1 birimlik kapasite artışı 1/2 birimlik karda artış meydana getirir. Bu değerler gölge

fiyatı ya da fırsat maliyetidir.

Kısıt Sağ

taraf

Minimum

Sağ Taraf

Maksimum

Sağ Taraf Gölge Fiyat

Kısıt 1 24 12 36 = 3/4 Kısıt 2 6 4 12 � = 1/2

Buradan da anlaşılıyor ki, optimum simpleks tablo indeks satırı bir çok bilgiyi içerisinde

barındırmaktadır. İndirgenmiş maliyet ve gölge fiyatlar optimal tablo ve ara tablolarda

izlenebilmektedir.

Örnek Çalışma:

Aşağıda bir maksimizasyonu problemine ilişkin model verilmiştir. Bu problemin

optimum çözüm tablosunu oluşturunuz. Gölge fiyatları optimal tablodan bakarak belirtiniz.

Modelde 3 karar değişkeni bulunmaktadır. , �veL. 2 kısıt bulunmaktadır.

114

�%&'( = 5 + � + 10L + L ≤ 100 � ≤ 1 , �, L ≥ 0

Çözüm:

Optimum Simpleks Tablo

Yukarıda verilen problemin çözümü Simpleks algoritma kullanılarak aşağıdaki gibi

optimal tablo elde edilmiştir.

C� Temel

Değişken C� 5 1 10 0 0

Çözüm XX XY XZ SX SY 10 XZ 100 1 0 1 1 0

1 XY 1 0 1 0 0 1

Z� 1001 10 1 10 10 1

Z� − C� 5 0 0 10 1

Probleme İlişkin Duyarlılık Tablosu (WinQSB programı kullanılarak elde edilmiştir.)

Bir problemin duyarlılık analizi ile ilgili soru sorulacak olur ise, sonuçlar size problemle

ve sonuçlarla birlikte verilecektir. Bu tablonun nasıl okunacağını bilmeniz önemlidir.

Optimum Simpleks Tabloda �� − �� indeks satırında temel değişkeni altında yer alan

5 değeri indirgenmiş maliyet değerini göstermektedir. Yani değerinden 1 birimlik üretim

115

yapılması durumunda amaç fonksiyonunda meydana gelecek değişim 5 birim olacaktır. Şöyle

ki;

= 0, � = 1 ve L = 100 Bu durumda;

�� = 0.5 + 1.1 + 10.100 = 1001 1 birim üretilmesi yani ’in çözüme girmesi durumunda ��, −5 azalır.

�� = 1001 − 5 = 996 (Yeni ��değeri)

Peki bu nasıl hesaplanır:

Çözüme girmeyen değişken olan sütununda Ldeğişkeni karşısında yer alan 1 değeri, ’in çözüme girmesi durumunda L değişkeninde meydana gelecek azalmayı gösterir.

Yani L = 100 idi. Yeni L = 100 − 1 = 99 �� = 1.5 + 1.1 + 10.99 = 996 5.5. Sağ Taraf Sabitlerindeki (��) Değişim

Kapasite vektöründeki değişimin optimal çözüm üzerindeki etkisine bakarken gölge

fiyatlarına bakmamız gerekir. Eğer kaynaklarda (kapasitelerde yani sağ taraf sabitlerinde) 1

birimlik bir değişim meydana gelirse, bu değişimin amaç fonksiyonu değerine olan birim etkisi

gölge fiyatlar kadar olacaktır. Yani amaç fonksiyonunun değeri gölge fiyat kadar artacak ya da

azalacaktır. Bu etkinin miktarı, yönü ve sınırları belirlenir. Çünkü gölge fiyatları .) değerlerine

bağlı olarak farklılık göstermektedir. Bunun için çözümde temel olmayan değişken olup

olmadığına bakılır. Eğer temel olmayan değişken çözümde yer alıyorsa, bulunduğu denklemde

o miktarda fazlalık olduğunu göstermektedir. Eğer değişim miktarı bu değerden az olursa

optimal çözümde değişiklik beklenmez.

Çözümde bulunan değer kadar yada daha fazla miktarda azalma olursa optimal çözümde

değişiklik kaçınılmazdır. Eğer çözümde temel değişken varsa, o zaman durum biraz farklılık

göstermektedir. Optimal çözüm tablosunda bulunan çözüm değerlerinin, .) değeri değişerek

işleme girecek olan değişkenin bulunduğu sütun değerlerine bölünerek .) değerindeki

değişimin alttan ve üstten sınırları belirlenir. Eğer .) değerindeki değişim, bu aralığın dışına

çıkacak seviyede bir değişimse optimal çözüm değişecektir. Aksi halde optimal çözüm

değerinde bir değişiklik kesinlikle olmaz.

116

Gölge Fiyatın bulunması; (. sağ taraf sabitini gösterir).

" ≤ " ve " = " " ≥ " . + 1 . − 1 . + 1 . − 1 c�°±² + − − +

c�³´ − + + −

Kısıtın, ≤ ve = olması durumunda;

• Sağ taraf Sabiti 1 birim artarsa, �� değeri gölge değer kadar artar.

• Sağ taraf Sabiti 1 birim azalırsa, �� değeri gölge değer kadar azalır.

Kısıtın, ≥ olması durumunda;

• Sağ taraf Sabiti 1 birim azalırsa, �� değeri gölge değer kadar azalır.

• Sağ taraf Sabiti 1 birim artarsa, �� değeri gölge değer kadar artar.

5.5.1. İndirgenmiş Maliyet

Herhangi bir temel olmayan değişkenin indirgenmiş maliyeti (reduced cost), değişkenin

temel değişken olması (doğrusal programlama probleminin en iyi çözümüne girmesi) için amaç

fonksiyon katsayısında yapılacak iyileştirme miktarıdır. Eğer bir ' temel olmayan

değişkeninin amaç fonksiyon katsayısı indirgenmiş maliyet kadar iyileştirilirse, doğrusal

programlama probleminin bir tek en iyi çözümü olmaz. Alternatif çözümler vardır. ', söz

konusu çözümlerden en az birinde temel değişken; en az birinde ise temel olmayan değişken

konumundadır. Aşağıda bir DP probleminin modeli ve probleme ait optimum tablo verilmiştir:

Örnek:

��µf = 201+152+153 10 + 3� + 10L ≤ 100 5 + 5� + 5L ≤ 60 1, 2 , 3 ≥ 0

117

İlgili problemin optimum tablosu:

�s Temel �! 20 15 15 0 0

s � L ] ]� 20 x1 64/7 1 0 1 1/7 -3/35

15 x2 20/7 0 1 0 -1/7 2/7

�! 1580/7 20 15 20 5/7 18/7

�! − �! ------ 0 0 5 5/7 18/7

�! − �! ≥ 0

DP probleminin optimum sonucu:

1 = 64/7, 2 = 20/7, 3 = 0 ]1 = 0 , ]2 = 0 ��µf = 1580/7’dir.

• ]1 = 0 , ]2 = 0 ise 1. ve 2. Kısıta ait kaynakta aylak kapasite yoktur.

• ]1’ in gölge fiyatı 5/7 ve ]2’ nin gölge fiyatı 18/7’dir.

118

Uygulamalar

Aşağıda primal dual ilişkileri verilmektedir. Tabloda primal dual ilişkisi ayrıntıları

verilmektedir.

Primal DP (Maks) Dual DP (Min)

Kısıtlar Değişkenler

≥ ≤ 0

≤ ≥ 0

= İşaretçe sınırsız

Değişkenler Kısıtlar

≥ 0 ≥

≤ 0 ≤

İşaretçe sınırsız =

119

Uygulama Soruları

Aşağıda bir DP probleminin matematiksel modeli ve optimal çözüm tablosu

verilmektedir.

Maks Z = 5x1 + 2x2 + x3

Kısıtlar

x1 + 3x2 - x3 + x4 = 6,

x2 + x3 + x5 = 4,

3x1 + x2 + x6 = 7,

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Optimal Simpleks Tablo

cB Temel

cj

Sağ taraf 5 2 1 0 0 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 0 11/3 0 1 1 -

1/3 23/3

1 x3 0 1 1 0 1 0 4

5 x1 1 1/3 0 0 0 1/3 7/3

c - z 0 -2/3 0 0 -1 -

5/3 Z = 47/3

121


Bu bölümde Duyarlılık Analizi ayrıntılı olarak işlenmiştir. Amaç fonksiyonu

katsayılarının duyarlılığı, sağ taraf sabitlerinin duyarlılığı, gölge fiyat ve indirgenmiş maliyet

tablosu üzerinde gerekli yorumlar yapılmıştır.

122

Bölüm Soruları

1) Sağ taraf sabitlerinin bir birim arttırılmasıyla oluşan kardaki artışa ne denir?

a) Birim fiyat

b) Birim maliyet

c) Gölge fiyat

d) İndirgenmiş maliyet

d) Duyarlılık

(2. ve 3. Sorular için bilgi )

Aşağıda bir doğrusal programlama problemi ve bu problemin Optimal Simpleks tablosu

verilmiştir.

�%&¶ = 320H + 320H� 8H + 6H� ≤ 50 4H + 5H� ≤ 40 H, H� ≥ 0

Optimal Tablo �! 320 320 0 0

�s Temel s � ] ]� 320 0,625 1 0 -0,3125 0,375

320 � 7,5 0 1 0,25 -0,5

�! 2600 320 320 -20,00 -40,00

�! − �! 0 0 -20,00 -40,00

123

2) �X değişkeninin amaç fonksiyonundaki katsayısı (�X = 320) için değişim aralığı

aşağıdakilerden hangisidir?

a) 25,5 ≤ � ≤ 42,5 b) 48 ≤ � ≤ 80 c) � ≤ 48 d) � ≥ 80 e) � ≤ 0 3) İlk kısıt d�X + ��Y ≤ aX şeklinde değiştirilirse, aşağıdakilerden hangisi

gerçekleşir?

a) � değeri 20,00 birim azalır.

b) � değeri 320 azalır.

c) � değeri değişmez.

d) �değeri20,00birimartar. e) � değeri 320 artar.

4) Bir doğrusal programlama probleminin primali maksimizasyon ise duali ne olur?

a) Maksimizasyon problemi

b) Hangi tür problem olacağı bilinmez.

c) Minimizasyon problemi

d) Problemin optimum çözümüne göre değişir.

e) Dual problem primalden bağımsız olarak her zaman maksimizasyon problemi olur.

124

5) Aşağıda verilen primal maksimizasyon probleminin duali alınırsa kaç kısıt elde

edilir?

�%&'( = 4 + 10� 5 + 4� ≤ 200 + 2� ≤ 50 + � ≤ 20 , � ≥ 0

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6) Aşağıda verilen primal maksimizasyon probleminin duali alındığında amaç

fonksiyonu hangi şıkta doğru biçimde verilmektedir?

�%&'( = 4 + 10� 5 + 4� ≤ 200 + 2� ≤ 50 + � ≤ 20 , � ≥ 0

a) �maks = 4 + 10� b) ©maks = 4 + 10 � c) �maks = 4 + 10 � d) �maks = 200 + 50 � + 20 L e) ©min = 200 + 50 � + 20 L 7) Bir doğrusal programlama probleminin optimal çözümünde bir kısıta ilişkin gölge

fiyatın 5 çıkması, o kısıtın 1 birim arttırılması durumunda karın ne kadar artacağını belirtir?

a) −5 b) −1 c) 0 d) 5 e) 10

125

8) Bir doğrusal programlama primal maksimizasyon probleminin duali alındığında

kısıtlar hangi tür eşitsizliğe sahip olur?

a) Küçüktür ( < )

b) Küçük eşit ( ≤ )

c) Büyüktür ( > )

d) Büyük eşit ( ≥ )

e) Eşittir ( = )

9) Bir doğrusal programlama primal minimizasyon probleminin duali alındığında

kısıtlar hangi tür eşitsizliğe sahip olur?

a) Eşittir ( = )

b) Küçüktür ( < )

c) Küçük eşit ( ≤ )

d) Büyüktür ( > )

d) Büyük eşit ( ≥ )

10) Aşağıda verilen primal doğrusal programlama probleminin duali hangi şıkta doğru

yazılmıştır?

¸�°¹ =YºX +ZºY ºX +YºY ≤ a ZºX +bºY ≤ d ºX; ºY ≥ \

a) Z�� =2X +3X� X +2X� ≤ 5 3X +4X� ≤ 8 X; X� ≥ 0

b) G�#$ =2X +3X� X +2X� ≤ 5 3X +4X� ≤ 8 X; X� ≥ 0

126

c ) G�#$ =5X +8X� Y +2Y� ≥ 2 3Y +4Y� ≥ 3 Y; Y� ≥ 0

d ) G�#$ =5X +8X� Y +3Y� ≥ 2 2Y +4Y� ≥ 3 Y; Y� ≥ 0

e ) G�#$ =5X +8X� Y +2Y� ≥ 2 3Y +4Y� ≥ 3 Y; Y� ≤ 0

Cevaplar

1) c, 2) b, 3) d, 4) c 5) c, 6) e, 7) d, 8) d, 9) c, 10) d

127

6. TAMSAYILI PROGRAMALAMA

128


6.1. Tamsayılı Programlama Problemleri ve Türleri

6.2. Özel Tamsayılı Programlama Problemleri

6.3.Tamsayılı Programlama Problemlerinin Çözüm Yöntemleri

129


1) Karar değişkenlerinin kesikli olması durumunda nasıl modelleme yapılır?

2) Karar problemlerinde tamsayılı değişkenlerin yer alması durumunda, doğrusallık

bozulmakta mıdır?

130



Tamsayılı programlama

Kesikli değişkenlerin

kullanıldığı karar

problemlerinin

modellenmesi

Okuyarak, deneme ve

uygulama yaparak

131

Anahtar Kavramlar

• Tamsayılı Programlama (Integer Programming)

• Programlama

• Atama problemi

• Küme örtme problemi

• En kısa yol problemi

• Sırt çantası problemi

• Gezen satıcı problemi (TSP)

132

Giriş

Bazı işletme problemlerinin doğrusal programlama ile çözülebilir olmasına rağmen

tamsayılı sonuç alınması gerekebilir. Örneğin; bir fabrikanın kurulup kurulmaması, bir işçinin

bir makinaya atanıp atanmaması “1” ve “0” değerleri alan karar değişkenleri ile gerçekleşebilir.

Yukarıda bahsedilene benzer sorunlarda doğrusal programlamadaki bölünebilirlik (kesirli

değerler) varsayımı varsayımı geçersizdir.

Çoğu uygulamalı problemlerin, karar değişkenleri ancak tamsayılı olduğunda

anlamlıdır. Çünkü girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunu, karar değişkenlerinin tamsayılı

olmasını gerektirir. Sermaye bütçelemesi, elektrik jeneratör birimleri, araç ve gereçler,

makineler ve kişiler bunlara birer örnektir.

Karar değişkenlerinin tümü ya da bir kısmı tamsayılı değerler almalıdır. Örneğin; 7.67

personel istihdam edilmesi, 3.4 banka şubesinin kurulması bir anlam ifade etmez. Kesirli

değerler alan bu sayıları bir alt sayıya yuvarlamak da optimal çözüm olmayabilir ve hatta uygun

çözüm bölgesinde yer almayabilir. İşletmecilikte bazı karar problemleri “evet-hayır”, “0-

1”,“doğru-yanlış”,”satınalma-üretme” gibi önermeleri içeren ikili değişken yapıda olabilir.

Doğrusal programlama problemlerinde bazı değişkenlerin tamsayılı değerli ya da tüm

değişkenlerin tamsayılı olması istenebilir. Eğer problemde, sadece bazı değişkenlerin tamsayı

değerli olması gerekli iken diğer değişkenler bölünebilirlik varsayımını karşılayan yani kesirli

değerler alabilen değişkenler ise bir tür problem, karma tamsayılı programlama problemidir.

Bir problemin çözüm değerlerinin tamsayılı olması istendiğinde, bu problem doğrusal

programlama formülasyonundan tamsayılı programlamaya dönüşür. Aslında, tamsayılı

programlamanın matematik modeli, değişkenlerinin tamsayı değerli olması istenen bir ek

kısıtlayıcılı doğrusal programlama modelinden başka bir şey değildir.

Örnek:

Max� = 6H + 5H� + 2HL Kısıtlayıcılar

10H + 4H� + HL ≤ 600 2H + 5H� + 2HL ≤ 800 H, H�, HL ≥ 0veHtamsayı

Bu karma tamsayılı programlama probleminin çözümünde H� ve HL değişkeninin

değerinin tamsayı olması gerekli değildir. H değişkeninin çözüm değeri ise tamsayı olmak

zorundadır.

Max� = 6H + 5H� + 2HL

133

Kısıtlayıcılar

10H + 4H� + HL ≤ 600 2H + 5H� + 2HL ≤ 800

H, H�, HL ≥ 0veH, H�, HLtamsayı Yukarıda matematiksel modeli verilen problem, saf tamsayılı programlama problemi

olup çözüm değerleri de; Max� = 888, H = 22, H� = 0 ve HL = 378’dir.

Uygulamada çoğu doğrusal programlama problemlerinde bölünebilirlik varsayımı

geçerli olmadığı gibi bazı problemlerin “evet veya hayır kararları” ile ilişkin olduğunu

görmekteyiz. Bu tür kararlarda iki olanaklı seçim sadece evet ve hayırdır. Örneğin; bu yatırımı

yapmalı mıyız? Fabrikayı bir alanda mı kurmalıyız? Gibi sadece iki seçenekli kararlar, değerleri 0 ve 1 ile kısıtlanan karar değişkenleri ile gösterilir. Böylece, 3’inci evet veya hayır kararı 3 ile

aşağıdaki şekilde ifade edilir.

H! = ¾ 1 ; Karar3evetise0 ; Karar3hayırise Bu tür değişkenlere ikili (binary) değişkenler (veya 0 − 1 değişkenleri) adı verilir.

Tamsayılı programlama problemindeki tüm değişkenlerin ikili değişkenler yani 0 veya 1’e eşit

olması istendiğinde, bu tür tamsayılı programlama problemine ikili tamsayılı programlama

veya \ − X tamsayılı programlama problemi denir. Aşağıda verilen problem, 0 − 1 tamsayılı

programlama problemine bir örnektir.

Max� = 6H + 5H� + 2HL Kısıtlar,

10H + 4H� + HL ≤ 600 2H + 5H� + 2HL ≤ 800 H, H�, HL = 0veya1

Bu durumda yukarıdaki örnek problemin çözüm değerleri;

H = 1 , H� = 1 , HL = 1 ve Max� = 13’tür.

Bazı değişkenlerin 0 veya 1 değerini alırken diğer değişkenlerin sürekli (kesirli)

değerler alan tamsayılı programlama problemine 0 − 1 karma tamsayılı programlama problemi

denir. Uygulamada, bu tür problemlere örnek olarak, bazı ürünlerin hangi makinede

üretilmesinin seçimi ile bu makinelerde söz konusu ürünlerden ne kadar üretileceğine ilişkin

problem 0 − 1 karma tamsayılı programlama türündendir.

134

Bir tamsayılı programlama probleminin doğrusal programlama gevşetmesi kavramı,

tamsayılı programlama çözümünde önemli bir rol oynar. Bu nedenle, doğrusal programlama

gevşetmesinin tanımının yapılması gerekli olmaktadır.

Değişkenler üzerinde tüm tamsayı veya 0 − 1 kısıtlarının atılarak, elde edilen doğrusal

programlama problemine, tamsayılı programlamanın doğrusal programlama gevşetmesi

(relaxation) adı verilir.

Yukarıda verilen üç örnek problemin doğrusal programlama gevşetmesi aşağıda

verilmiştir.

Max� = 6H + 5H� + 2HL Kısıtlar,

10H + 4H� + HL ≤ 600 2H + 5H� + 2HL ≤ 800 H, H�, HL ≥ 0

Yukarıda verilen doğrusal programlama gevşetmesinin çözüm değerleri ise;

H = 22,2 , H� = 0 , HL = 377,8 ve Max� = 888,9’dur.

Herhangi bir tamsayılı programlama, bazı ek kısıtlayıcılar (kısıtlayıcı değişkenlerinin

tamsayı veya 0 ya da 1 olması) ile doğrusal programlama gevşetmesi olarak görülmektedir. Bu

yüzden, doğrusal programlama gevşetmesi, tamsayılı programlamanın daha az kısıtlayıcılı veya

daha fazla rahatlandırılmış bir görünümüdür. Bunun anlamı da tamsayılı programlamanın

çözüm bölgesi onun doğrusal programlama gevşetmesinin uygun bölgesinde olması

gerektiğidir. Bir en büyükleme (maks) türündeki tamsayılı programlama problemi için bu

durum şu şekilde ifade edilir.

Doğrusal programlama gevşetmesinin optimal � değeri ≥ tamsayılı programlamanın

optimal � değeri, son örnekte verilen doğrusal programlama gevşetmesinin optimal � değerinin

(888.9) diğer karma ve tamsayılı doğrusal programlama problemlerin optimal � değerinden

daha büyük olduğunu görmekteyiz.

Bilinmelidir ki, tamsayılı programlamanın uygun çözüm bölgesi, onun doğrusal

programlama gevşetmesinin uygun çözüm bölgesinin bir alt kümesi olmasına rağmen, tamsayılı

programlama problemini çözmek onun doğrusal programlama gevşetmesini çözmekten

genellikle daha zordur.

Doğrusal Programlama ile Tamsayılı Programlama arasındaki fark karar

değişkenlerinin tamsayı olmasıdır.

135

�%&'( = 5 + 4� Kısıtlar;

10 + 3� ≤ 30 + 3� ≤ 9 , � ≥ 0 ve tamsayı

Tamsayılı programlamada modelin boyutu arttıkça çözüm de zorlaşmaktadır. DP’de,

çözüm mutlaka uç noktalardan birisindedir ancak tamsayılı programlamada böyle bir şart

bulunmaz. DP’de kullanılan “Simpleks” tabanlı çözüm algoritmaları uygun bölgedeki uç

noktaları deneyerek sürekli amaç fonksiyonunu iyileştirecek şekilde ilerler ve optimallik testi

ile bir noktada (�ÀÁÂ) durur. Ancak, Tamsayılı programlamada çözüm uygun bölgedeki çok

sayıdaki tamsayı değerinden birisidir ve DP’ye oranla olası çözüm noktası daha fazladır.

6.1. Tamsayılı Programlama Türleri

1) Saf Tamsayılı Programlama: Bu tarz sorunlarda karar değişkenlerinin tümünün

tamsayılı olması istenir, bu sorular arı tamsayılı programlama sorunlarıdır.

2) Karma Tamsayılı Programlama: Bazı değişkenlerin tamsayılı değerler almasının

istendiği sorunlardır.

3) Sıfır-Bir Tamsayılı Programlama: Karar değişkenleri 0 veya 1 gibi sadece iki değer

alabilir.

Tamsayılı Programlama - Saf Tamsayılı Programlama Formülasyonu

�%&'( = 10 + 25� Kısıtlar;

+ � ≤ 20 , � ≥ 0 ve tamsayı

Tamsayılı Programlama - Karma Tamsayılı Programlama Formülasyonu

�%&'( = 10 + 25� Kısıtlar;

+ � ≤ 20 , � ≥ 0 ve sadece tamsayı

136

Tamsayılı Programlama – Sıfır_Bir Tamsayılı Programlama Formülasyonu

�%&'( = 10 + 25� Kısıtlar;

+ � ≤ 20 , � = 0 veya 1

Örnek: (Kargo Yükleme Problemi)

Bir kargo uçağı 20.000 kg’lık taşıma kapasitesini haizdir. Her uçuşta aşağıda sunulan

kar düzeyine göre farklı ağırlıklar söz konusudur.

Ağırlık (kg) Toplam Kar (TL)

1 1000 100

2 4000 250

3 3000 400

4 2000 600

Her uçuş için kapasiteyi geçmeyecek şekilde toplam karı maksimize eden bir

formülasyon yapınız.

Çözüm:

Eğer “/.” kalem taşınacaksa ) = 1 Eğer “/.” kalem taşınmayacaksa ) = 0 Amaç Fonksiyonu;

�%&'( = 100 + 250� + 400L + 600| Kısıtlar;

1000 + 4000� + 3000L + 2000� ≤ 20000 (kapasite kısıtı)

, �, L, | = 0 veya 1 (Tamsayı kısıtı)

137

6.2. Tamsayılı Programlama ile İlgili Problemler

Uygulamada karşılaştığımız, personel programlaması, kuruluş yeri seçimi, sırt çantası,

sermaye bütçeleme, sabit yükleme (yük) tezgâh yerleştirme, küme örtme ya-ya da kısıtlayıcılı,

ise – o zaman kısıtlayıcılı problemler ile makineleri çizelgeleme problemlerinin tümü tamsayılı

programlamaya ilişkin problemlerdir

6.2.1. Kuruluş Yeri Seçimi Problemleri

Süha imalat şirketi, yeni fabrikasının Adana’daki Organize Sanayi Bölgesinde (AOSB)

veya Kayseri Organize Sanayi Bölgesinde (KOSB) kurmayı düşünmektedir. Aynı zamanda

yeni kurulacak fabrikanın yanında en fazla bir depo inşa etmek zorundadır.

Her karar seçeneğinin net bugünkü değeri yani pazarın zaman içindeki değerini ele alan

toplam karlılığı ile yatırımların getirdiği sermaye miktarı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ayrıca

Süha şirketinin bu fabrikaya ayırabildiği sermaye miktarı da 21000000 TL’dir.

Karar Seçeneği Sayısı

Evet veya Hayır

Soruları

Evet veya Hayır

Soruları

Net Bugünkü Değer

(Milyon TL)

Gerekli Sermaye

Miktarı (Milyon TL)

1

Fabrikayı

AOSB’de mi

kuralım

H 20 15

2

Fabrikayı

KOSB’da mı

kuralım

H� 14 8

3

Depoyu

AOSB’de mi

kuralım

HL 12 7

4

Depoyu

KOSB’da mı

kuralım

H| 8 4

Şirketin amacı, toplam net bugünkü değerini en çoklamak için fabrikanın ve deponun

nerede kurulacağının belirlenmesidir.

Çözüm: Burada, tüm karar değişkenlerinin 0 − 1 olduğu görülmektedir.

138

H! = ¾ 1 ; Karar3evetise0 ; Karar3hayırise 3 = 1, 2, 3, 4 Deponun kurulmasına ilişkin tamamıyla karşılıklı dışarmalı seçeneği gösterdiğinden

yani, şirket en fazla bir depo istediğinden aşağıdaki kısıtlayıcının ele alınması gerekir.

Yani; HL +H| ≤ 1 Aynı zamanda, deponun inşaatı fabrikanın kuruduğu bölgede olması istendiğinden,

depoya ilişkin karar koşullu karardır. Böylece, H = 0 olduğunda HL = 0 olur. Benzer şekilde, H� = 0 olduğunda H| = 0 olacaktır. Söylenen bu durumları iki ek kısıtlayıcı ile ifade edebiliriz.

HL ≤ H ve H| ≤ H� veya HL − H ≤ 0 ve H| − H� ≤ 0 Şimdi şirketin 0 − 1 tamsayılı programlama modelini yazabiliriz.

Max� = 20H + 14H� + 12HL + 8H| Kısıtlayıcılar

15H + 8H� + 7HL + 4H| ≤ 21 HL +H| ≤ 1 −H + HL ≤ 0 −H� + H| ≤ 0 H! ≥ 0 H! ≤ 1 H! tamsayı

H! = 0veya1(3 = 1, 2, 3, 4) Bu örnek problem, temel kararın evet veya hayır olan çoğu gerçek hayattaki

uygulamalardan birisini göstermektedir. Çoğu kez, evet veya hayır türündeki kararlar, önceki

kararlara bağlı olup yani koşullu kararlardır. Örneğin, bir karar diğer karara koşullandırıldı ise

diğeri evet ise onunda sadece evet olmasına izin verilir. Bu örnek problemin WINQSB paket

programı veya ABQM paket programı ile elde edilen çözümü ise H = 0, H� = 1, HL = 0, H| =1 ve Max� = 22.000.000TL’dir.

6.3. Özel Tamsayılı Programlama Problemleri

Literatürde, bazı özel problemler, klasik tamsayılı programlama problemi sınıfına

girmektedirler ve pek çok çalışmaya konu olmuşlardır.

139

6.3.1. Küme Örtme Problemi

Küme örtme, verilen herhangi bir kümenin her üyesinin, diğer bir kümenin kabul

edilebilir bir üyesince örtülmesi (kapsanması) problemidir. Amaç, kapsanan kümenin,

kapsayan kümenin olabildiğince az elemanıyla örtülmesidir.

Örneğin, bir havayolu işletmesinde, hafta sonuna çizelgelenen uçuşlara, kabin amiri

atanması problemini düşünelim. Tüm uçuşlara mutlaka en az bir kabin amiri atanması

gerekmektedir. Öte yandan, mümkünse tüm kabin amirlerine hafta sonu uçuşu atamadan

uçuşların kapsanması tercih edilmektedir. Bu durumda problem, tüm uçuşların en az sayıda

kabin amiri görevlendirerek çizelgelenmesi şeklinde bir küme örtme problemidir.

6.3.2. Gezgin Satıcı Problemi

Bulunduğu noktadan başlayarak, belirli sayıda noktaya birer defa uğrayan, sonunda

başladığı noktaya dönen ve bu güzergâh boyunca kat ettiği toplam mesafeyi en küçüklemek

isteyen bir gezginin uğrayacağı noktaların sırasının belirlenmesi problemi gezgin satıcı

problemi olarak tanımlanır. Problemin basit anlamda kısıtları; her noktaya sadece bir noktadan

gelinebileceği, gelinen her noktadan ise sadece tek bir başka noktaya geçilebileceği şeklindedir.

Ayrıca bir yere, gidilen yerden tekrar gelinmesini önleyici kısıta da ihtiyaç vardır.

Lojistik faaliyetlerinde, ürünlerin dağıtımında, uğranması gereken boşaltım noktalarının

sırasına karar verirken karşılaşılan problem, bir çeşit gezgin satıcı problemi gibi düşünülebilir.

6.3.3. En Kısa Yol Problemi

En kısa yol problemi, bir noktadan diğerine gidebilmek için izlenmesi gereken en kısa

yolun belirlenmesi problemidir. Bir noktadan diğerine geçilebilecek alternatif noktalar

bulunduğunda, başlangıç noktasından bitiş noktasına farklı güzergâhlar oluşabilir. Toplamda

kat edilen mesafeyi en küçüklemek istenebilir. Bu problemde de gezgin satıcı probleminde

olduğu gibi karar değişkeni bir i noktasından bir j noktasına geçilip geçilmeyeceği kararına

dönüktür. En kısa yol problemi de, lojistik faaliyetlerinin planlanmasında önemli rol

oynayabilir. Bazen de problem fiziki anlamda iki nokta arasındaki en kısa yolu bulmaya dönük

olmamakla birlikte, çeşitli problemler en kısa yol problemine benzetilebilir. Örneğin bir

işletmenin makinalarını, en küçük toplam maliyetle yenileyebilmesi için, zaman içerisindeki

yenileme ve bakım planını oluşturma problemi bir en kısa yol problemine benzetilebilir.

6.3.4. Sırt Çantası Problemi

Birim kapasite kullanım miktarları ve seçilmeleri hâlinde ortaya çıkacak birim katkıları

bilinen belirli sayıda nesneden hangilerinin, eldeki kapasiteyi aşmadan ve toplam katkıyı en

büyükleyecek şekilde, seçilmeleri gerektiğine dönük problemler, sırt çantası problemleri olarak

bilinirler. Bir çantaya, çanta kapasitesini aşmadan, en çok getiriyi sağlayacak şekilde, satışa

sunulabilecek ürünlerden, ağırlıklarını ve birim kârlarını da düşünerek, hangilerinin

konulmasının en iyi karar olacağı benzetmesi sebebiyle sırt çantası problemi olarak

140

adlandırılmaktadır. Farklı problemler de sırt çantası problemine benzetilebilmektedir. Örneğin,

bir işletmenin, ilgilendiği belirli sayıda yatırım aracı olsun. Her bir yatırımın birim getirisi

ayrıca yatırım maliyeti bilinmektedir. Yatırıma ayrılabilecek belirli bir sermaye söz konusu

iken, toplam yatırım harcamasının sermayeyi aşmamasına dikkat ederek, gerçekleştirilecek

yatırımlara ve miktarlarına karar vermek bir sırt çantası problemi olarak tanımlanabilir.

Problemin, birden fazla kapasite kısıtının yer aldığı, çok boyutlu sırt çantası türleri de

bulunmaktadır.

Örnek:

BAHA Tekstil Şirketi, boyahane, ev tekstili, dikim atölyesi, cep astarı dikim atölyesi

olmak üzere dört yatırımı düşünmektedir. Bu yatırımların gerektirdiği şu andaki nakit

miktarları, yatırımların getirisinin net bugünkü değeri ile şirketin elindeki yatırımlara ayıracağı

kaynak miktarı bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Yatırımlar Karar Değişkeni Gerekli Sermaye Miktarı Net Bugünkü Değer

Boyahane 6300 18500

Ev Tekstili � 1080 10200

Cep Astarı

(Dokuma) L 2160 18000

Cep Astarı (Dikim) | 1440 16000

Eldeki Nakit Miktarı 6900 TL

Baha Tekstil Şirketinin amacı, net bugünkü değerini en fazla kılan yatırımı seçmektir.

Çözüm:

Şirketin dört yatırım seçeneği ve dolayısıyla da dört karar değişkeni vardır. Yatırım

seçeneklerine ilişkin karar evet veya hayır türündedir. O nedenle, değişkenleri 0veya1 tamsayılı değerler olarak ifade etmeliyiz.

H! = ¾ 1 ; Yatırım3seçilirse,0 ; Yatırım3seçilmezse, 3 = 1, 2, 3, 4 Örneğin, L = 1 cep astarı dokuma bölümünün kurulmasını ve L = 0 ise cep astarı

dokuma bölümünün kurulmamasını ifade eder. Buna göre şirketin 0-1 tamsayılı tek boyutlu sırt

çantası problemi aşağıdaki şekilde ifade edilir.

141

e�µf� = 18500H + 10200H� + 18000HL + 16000H| Kısıtlayıcılar;

6300H + 1080H� + 2160HL + 1440H| ≤ 6900 H! = 0veya1

Bu problemin WinQSB paket programı ile elde edilen çözüm değerleri;

H = 0, H� = 1, H = 1,H| = 1 ve e�µf� = 44.200.000 TL’dir.

6.4. Tamsayılı Programlama Problemlerinin Çözüm Yöntemleri

Lineer ve non-lineer karar modellerinin çözümleri için farklı yaklaşımlar vardır. Fakat

lineer karar problemlerinin, tüm kısıtlarını sağlayan noktaların bulunduğu uygun çözüm

alanının dışbükey bir küme olması ve bu küme içerisinde en iyi çözümün de bir uç noktada

olması, bu tip modellerin çözümlerinin non-lineer modellere göre daha kolay bulunabilmesini

sağlamaktadır.

Non-lineer karar problemlerinin çözümü için ise, genel bir çözüm yöntemi

bulunmamakta, bunun yerine, farklı problemler için farklı çözüm yaklaşımları

kullanılmaktadır.

Bu başlık altında, tamsayılı programlama problemlerinin çözümü için geliştirilen

yöntemlerden yuvarlama, sayımlama ve bir çeşit sayımlama algoritması olan dal-sınır

algoritmasına yüzeysel olarak yer verilecektir. Ayrıca burada yer verilmeyen başka çözüm

algoritmaları da bulunmaktadır.

6.4.1. Yuvarlama Yöntemi

Tamsayılı programlama problemlerinin çözüm yöntemlerinden biri yuvarlama

yöntemidir. Bu yöntemde problem, tamsayı koşulu yokmuş gibi çözülür. Elde edilen çözümün

tamsayı olmaması durumunda, değişkenlerin aldığı değerler en yakın iki (alt ve üst) tamsayıya

yuvarlanır. Tüm değişkenlerin tamsayılı değerlerinden elde edilebilecek olası tüm

kombinasyonlar için, bir uygun çözüm olup olamayacakları araştırılır. Varsa, elde edilen uygun

çözümlerin en iyisi amaç fonksiyonu değerleri karşılaştırılarak seçilir.

Yöntemin sakıncası, yuvarlama işlemi sonucunda, değişkenlerin aldığı değerlerin,

problemin kısıtlarını sağlamayabileceği, bir başka deyişle elde edilen çözümün uygun çözüm

alanının içinde olmayabileceğidir.

142

6.4.2. Sayımlama Yöntemi

Sayımlama yöntemi ile olası tüm çözüm seçeneklerinin türetilmesi, içlerinden, varsa,

uygun çözüm olanlarının belirlenmesi ve daha sonra amaç fonksiyonu değerini en iyileyen

çözümün seçilmesi işlemi yapılmaktadır.

Bu yöntem özellikle, problemde yer alan değişkenlerin 0-1 tamsayılı olduğu durumda

kullanılmaktadır ancak işlem yükü sebebiyle çok pratik bulunmamaktadır. Uygun çözüm

olmadığı hâlde, pek çok noktanın türetilmesi gerekmektedir. Çok sayıda değişkenin olduğu

durumlarda oldukça yoğun bir iş yükü getireceğinden, kesin çözümü vermekle birlikte, önerilen

bir yöntem değildir.

6.4.3. Dal-Sınır Yöntemi

Dal-sınır yöntemi, tamsayılı programlama problemlerinin çözümü için kullanılan,

sayımlama temelinde bir yöntemdir. Algoritmanın işleyiş prensibine geçmeden önce önemli bir

noktayı belirtmek gerekmektedir. Eğer bir tamsayılı doğrusal karar problemi (kısıtlar ve amaç

fonksiyonu doğrusal yapıda, sadece değişkenlerin tamsayı olma koşulu olan), değişkenlerin

tamsayı olma koşulu göz ardı edilerek (esnetilerek) çözüldüğünde, tüm değişkenlerin tamsayı

olarak elde edildiği bir en iyi çözüm bulunursa, bu çözüm aynı zamanda tamsayılı problemin

de en iyi çözümüdür. Çünkü tamsayılı problemin uygun çözüm alanı (istenen), tamsayı koşulu

olmadığı durumdaki uygun çözüm alanının (esnetilmiş problemin) bir alt kümesidir. Bu sebeple

tamsayılı problemin tüm uygun çözümleri (ve en iyi çözümü) zaten diğer problemin uygun

çözüm kümesi içerisinde tümüyle yer almaktadır.

Dal-sınır yönteminde, yukarıda belirtilen yaklaşımla, problemi önce karar değişkenleri

için tamsayı koşulu olmadan çözmektedir. Eğer elde edilen en iyi çözüm zaten tamsayılı bir

çözüm ise, aynı zamanda tamsayılı problemin de çözümü bulunan bu çözümdür. Elde edilen

çözüm tamsayılı değil ise, tamsayılı olmayan değişkenin (birden fazla ise herhangi birisinin) en

yakınındaki iki değer kullanılarak yeni ek kısıtlarla uygun çözüm alanı daraltılır. Daraltılmış

alanların çözümleri araştırılır.

Temel olarak dal ve sınır algoritması, bütün olası uygun çözümleri analiz eden çok etkili

bir sayımlama metodudur. Dal ve sınır algoritmasının temel özellikleri aşağıdaki örnekte

açıklanmaktadır.

�%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;

H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 H, H� ≥ 0 ve tamsayı

143

Burada verilen tümü tamsayılı doğrusal programlama problemini çözmek için izlenecek

ilk adım, bütün değişkenler için tamsayı olma koşulunu gözardı ederek, problemi doğrusal

programlama teknikleri ile çözmektir. Modelde sadece iki karar değişkeni olduğu için grafik

çözüm kullanılabilir. Gevşetilmiş tamsayılı programlama modelinin grafik çözümü Şekil 6.2’de

verilmiştir.

Doğrusal programlama konusundan hatırlanacağı üzere optimal çözüm, uygun çözüm

bölgesi üzerindeki köşe noktalarından biridir.

Noktalar H H� � A 0 0 0

B 0 6 30

C 15/4 9/4 165/4

D 5 0 40

Görüldüğü gibi optimal çözüm � noktası, yani H = 15/4ve H� = 9/4 olup, amaç

fonksiyonunun optimal değeri �(ÃÄ) = 165/4'tür. Tamsayı olma koşulu gözardı edilerek,

bulunan gevşetilmiş tamsayılı programlama probleminin optimal amaç fonksiyonu değeri,

tümü tamsayılı programlama probleminin amaç fonksiyonu için üst sınır oluşturur. Diğer bir

deyişle;

�(ÃÄ) = 165/4 Dal ve sınır algoritmasına başlamadan önce tam sayımlama metodu ile olabilecek bütün

çözümleri değerlendirelim. Uygun çözüm bölgesi içerisinde tüm tamsayılı noktaları içeren

çözüm kümesi ] ile gösterilirse,

] = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3),(1, 4), (1, 5), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 0), (4, 1), (5, 0)} olur. Bütün noktalar incelendiğinde tümü tamsayılı doğrusal programlama probleminin

optimal çözümü; H = 5, H� = 0 ve �(zÄ) = 40 bulunur. Bu durumda;

�(zÄ) = 40 ≤ �(ÃÄ) = 165/4 Tamsayılı programlama ve gevşetilmiş tamsayılı programlama modellerinin amaç

fonksiyonları arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.

e/4�(ÃÄ) ≤ e/4�(zÄ) e�µf�(ÃÄ) ≥ e�µf�(zÄ)

144

Dal ve sınır metodu ile çözümün ilk adımı gevşetilmiş tamsayılı programlama

problemini (DP1) çözmektir.

(DP-1) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;

H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 H, H� ≥ 0

Şekilde görüldüğü gibi DP-1 modelinin optimal çözümü;

�(ÃÄ) = 165/4, H = 15/4 ve H� = 9/4. Sonraki adımlarda ise modele ilave kısıtlar ekleyerek karar değişkenlerinin tamsayı

değer almaları sağlanır. Kesirli değişkenlerden herhangi birisi seçilerek bu değişkene en yakın

iki tamsayı değerine göre DP-1 iki alt bölüme ayrılır (dallandırılır). Eğer H’e göre işlemlere

devam etmek istenirse, H = 15/4 = 3.75 olduğundan optimal çözümde ya H ≥ 4 ya da H ≤3 olur.

Bu durumda DP-1 modeli, yeni kısıtların eklenmesiyle, DP-2 ve DP-3 olmak üzere 2 alt

modele ayrılır.

(DP-2) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;

H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≥ b H, H� ≥ 0

(DP-3) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;

H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≤ Z H, H� ≥ 0

DP-2 ve DP-3 modellerinin grafik çözümü aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Şekil b'de görüldüğü gibi DP-3 modelinin çözümünde her iki karar değişkeni de tamsayı

değer almaktadır; H = 3 ve H� = 3. Bu yüzden bu dal burada sona erer. DP-3 modelinin

optimal amaç

145

fonksiyonu değeri olan �(ÃÄ{L) = 39 ise tamsayılı programlama probleminin alt sınırını

oluşturur. Bu durumda;

39 ≤ �(zÄ) ≤ 165/4 Şekil a’da görüldüğü üzere DP-2 modelinin optimal çözümü ise

H = 4, H� = 9/5 ve �(ÃÄ{�) = 41 elde edilir. Optimal çözümde karar değişkenlerinden bir tanesi kesirli değer aldığından

(H� = 9/5 olduğu için), DP-2 modeli H� ≥ 2 ve H� ≤ 1 kısıtları eklenerek DP-4 ve DP-5 olmak

üzere iki dala ayrılır.

(DP-4) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;

H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≥ b WY ≥ Y H, H� ≥ 0

(DP-5) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;

H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≤ Z WY ≤ X H, H� ≥ 0

146

DP-4 ve DP-5 modellerinin grafik çözümü yukarıdaki şekilde verilmiştir. Şekil a'da

görüldüğü gibi DP4 modelinin çözümü yoktur. Dolayısıyla bu dal da burada sona erer.

Şekil b’de görüldüğü üzere DP-5 modelinin optimal çözümünde ise H = 40/9, H� = 1 ve �(ÃÄ{}) = 365/9 bulunur. Çözümde kesirli değer alan H değişkenine göre DP-5 modeli, H ≤ 4 ve H ≥ 5 kısıtları ilave edilerek DP-6 ve DP-7 olmak üzere iki dala ayrılır.

(DP-6) a �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;

H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≥ b WY ≥ Y WX ≤ b H, H� ≥ 0

(DP-7) b �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;

H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≤ Z WY ≤ X WX ≥ a H, H� ≥ 0

Bu modellerin grafik çözümü ise aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Şekil a'da görüldüğü gibi DP-6 modelinin optimal çözümünde her iki değişkenin değeri

tamsayı olarak elde edilir; H = 4, H� = 1. Bu durumda bu noktada daha fazla

ilerlenmeyecektir. Ayrıca bu modelin optimal amaç fonksiyonu değeri �(ÃÄ{~) = 37, alt sınır

olan 39 değerinden daha iyi değildir. Yani;

147

�(ÃÄ{~) = 37 ≤ �(ÃÄ{L) = 39 Herhangi bir alt modelde tamsayı çözüm bulunduğunda, bu alt modelin optimal amaç

fonksiyonu değeri, önceden belirlenen alt sınırla karşılaştırılır. Daha iyi bir çözüm değeri

bulunduğunda alt sınır bu değer ile değiştirilir. Bütün alt modeller ile ilgili işlem

tamamlandıktan sonra, problemin optimal çözümü, son alt sınıra eşit olan tamsayılı çözümdür.

Şekil b'de verilen grafik çözüme göre DP-7 modelinin optimal çözümünde de tamsayılı

değerlere ulaşılmıştır; H = 5, H� = 0. Bu modelin optimal amaç fonksiyonu değeri ise �(ÃÄ{Ç) = 40 olup, alt sınırdan daha iyi bir değerdir. Bu durumda problemin yeni alt sınırı 40

olarak belirlenir. Yani;

40 ≤ �(zÄ)) ≤ 165/4 Tüm dallarda işlemler tamamlandığından (tüm alt modeller çözüldüğünden), alt sınır

değerini oluşturan DP-7 modelinin optimal çözümü aynı zamanda tamsayılı programlama

modelinin de optimal çözümüdür. Bu durumda yukarıda verilen tümü tamsayılı programlama

modelinin optimal çözümü H = 5, H� = 0 ve � = 40 olarak elde edilir.

Verilen örneğin dal ve sınır algoritması ile çözüm aşamaları Şekil deki ağaç

diyagramında özetlenmiştir.

Birinci Adım: Verilen model, değişkenlerin tamsayı değer alma koşulu göz önüne

alınmadan (gevşetilmiş tamsayılı programlama modeli olarak) çözülür. Bu çözüm sonucunda

üç durum ile karşılaşılabilir.

148

• Sınırsız çözüm bölgesi veya geçersiz çözüm bulunması. Bu durumda durulur.

Çünkü, gevşetilmiş tamsayılı programlama probleminin çözümü yok ise, tamsayılı

programlama probleminin de çözümü yoktur.

• Bulunan çözümde değişkenlerin tamsayı değer alması. Bu durumda da durulur.

Çünkü, gevşetilmiş tamsayılı programlama probleminde tamsayılı bir çözüm elde edilmiş ise,

bu çözüm tamsayılı programlama probleminin de çözümüdür. Yani ilk adımda optimal çözüm

elde edilmiş olur.

Bulunan çözümde tamsayı değer alması istenen değişkenlerden en az bir tanesinin

tamsayı olmaması. Bu durumda amaç fonksiyonunun alt ve üst sınırları belirlenerek, ikinci

adıma geçilir.

�ü�È = �(ÉÊ) ��ËÈ = −∞

149

İkinci Adım: Tamsayı değer almamış bir değişkene göre dallara ayrılarak alt modeller

elde edilir. Bulunan optimal çözümde amaç fonksiyonunun değeri alt sınırdan küçük ise bu dal

işlem dışı bırakılır. Alt sınırdan büyük bir değer elde edilmesi durumunda;

1. Değişkenler tamsayı değer almış ise üçüncü adıma

2. Değişkenler tamsayı değer almamış ise dördüncü adıma geçilir.

Üçüncü Adım: Alt sınır güncellenir. Yeni alt sınır üst sınıra eşit ise beşinci adıma

gidilir, değilse dördüncü adıma geçilir.

Dördüncü Adım: İşlem dışı olmamış alt problem var ise ikinci adıma dönülür, yoksa

beşinci adıma geçilir.

Beşinci Adım: Algoritma sona erer. Son alt sınıra karşı gelen çözüm optimal çözümdür.

Dal ve sınır metodunun yukarıda anlatılan algoritmasının minimizasyon problemlerine

uyarlanması okuyuculara bırakılmıştır.

Kesirli değer alan değişkenlerden hangisinin seçileceğine ilişkin önerilen bazı seçim

kuralları aşağıda verilmiştir.

• Gevşetilmiş tamsayılı programlama modelinin çözümünde elde edilen kesirli

değerler içinde en büyüğüne sahip olan değişkeni seçmek.

• Tamsayı değer alması gereken değişkenlere önem derecesi verilir ve seçim, en

önemli değişkeni ilk olarak seçmek ile devam eder. Değişkenlere önem vermek için

kullanılabilecek kriterler ise;

• Modelde önemli bir kararı temsil etmesi.

• Amaç fonksiyonundaki katsayısının diğer değişkenlere göre daha büyük olması.

• Modeli çözen kişinin deneyimlerine göre modelde kritik öneme sahip bir değişken

olması.

• En küçük indise sahip olan değişkenden başlamak üzere uygulanabilecek herhangi

bir seçim kuralı.

150

Uygulamalar

Mobilya imalatı yapan bir atölyede, gelecek ayın üretim programında sandalye, masa

ve tabure üretimi yer almaktadır. Sırasıyla her bir ürün çeşidinin gereksinim duyduğu ahşap

malzeme miktarları; bir adet sandalye için 11 m3, bir adet masa için 16 m3 ve bir adet tabure

için 5 m3 şeklindedir. Mobilyalar için gereken bazı parçalar seri imalat ile elde edilmekte,

montaj ve kontrol işleminde sandalye, masa ve tabure için sırasıyla, 4, 6 ve 1 saat

gerekmektedir. 360 m3 kullanılabilir ahşap malzeme, 130 saat de işçilik kapasitesi

bulunmaktadır. Ürünlerin birim satış kârları, 100, 250 ve 75 TL’dir. Sandalye ve tabure

toplam üretiminin aylık 30 adedi geçmemesi, ayrıca üretilen masa adedinin de sandalye

adedinin en fazla yarısı kadar olması öngörülmektedir. Aylık toplam satış kârını en

büyükleyecek şekilde, ürünlerden kaçar takım üretilmesi gerektiğini belirleyecek karar

modelini kurunuz.

Çözüm:

Karar değişkenlerinin tanımlanması:

1

2

3

: Sandalye üretim adedi

: Masa üretim adedi

: Tabure üretim adedi

x

x

x

Kısıtların tanımlanması:

( )

1 2 3

1 2 3

1 3

2 1

1 2 3

11 16 5 360

4 6 130

30

/ 2

, , 0 ve tamsayı

x x x

x x x

x x

x x

x x x

+ + ≤

+ + ≤

+ ≤

≤

≥

Amaç fonksiyonun belirlenmesi:

1 2 3max 100 250 70Z x x x= + +

Modelin kurulması:

( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 3

2 1

1 2 3

max 100 250 70

. .

11 16 5 360

4 6 130

30

/ 2

, , 0 ve tamsayı

Z x x x

s t

x x x

x x x

x x

x x

x x x

= + +

+ + ≤

+ + ≤

+ ≤

≤

≥

151

Yukarıdaki karar modeli bütünüyle tamsayılı programlamaya örnektir. Yani örnekte

yer alan karar değişkenlerinin tümünün tamsayı değer alması gerekmektedir.

152

Uygulama Soruları

Tamsayılı karar problemlerinin çözüm yaklaşımları nelerdir?

153


Bu başlıkta, doğrusal olmayan problem türlerinden olan tamsayılı programlama konusu

ele alınmıştır. Tamsayılı programlamada, modeller üç sınıfta toplanmaktadırlar: Bütünüyle

tamsayılı, karma tamsayılı ve 0-1 tamsayılı programlama problemleri. Bütünüyle tamsayılı

programlama problemleri, tüm değişkenlerin tamsayılı olmasının istendiği, karma tamsayılı

programlama problemleri bazı değişkenlerin tamsayılı bazı değişkenlerin sürekli değişken

olmasının istendiği, 0-1 tamsayılı programlama problemleri ise, modelde yer alan tüm

değişkenlerin 0-1 tamsayılı olmasının istendiği problemlerdir. Tamsayılı programlama

problemlerinin çözümü için geliştirilmiş çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Bu bölümde

bunlardan pratik kullanımlı birkaç tanesine yer verilmiştir.

154

Bölüm Soruları

1) Aşağıdakilerden hangisi bir tamsayılı programlama modeli değildir?

a) Tam Tamsayı

b) Karma Tamsayı

c) 0-1 Tamsayı

d) Sürekli

2) Tamsayılı programlama modellerinin çözümünde kullanılan dal-sınır yönteminde ilk

adım,

a) Grafiğin çizilmesi.

b) Amaç fonksiyonu katsayılarının tamamının tam sayıya çevrilmesi

c) Problemin doğrusal programlama modeli olarak çözülmesi solutions.

d) Tercihe göre dal ya da sınırların seçilmesi.

e) Hiçbiri

3) Tamsayılı programlama modeli türleri …………………….. .

a) Toplam tamsayılı programlama

b) 0 – 1 tamsayılı programlama

c) Karma tamsayılı programlama

d) Hepsi

4) Aşağıdaki DP varsayımlarından hangisi tamsayılı programlama modelleri ile

çelişmektedir?

a) Sabit amaç fonksiyonu

b) Doğrusallık

c) Kesinlik

d) Sınırlı kaynak

e) Bölünebilirlik

155

5) Bulunduğu noktadan başlayarak, belirli sayıda noktaya birer defa uğrayan, sonunda

başladığı noktaya dönen ve bu güzergâh boyunca kat ettiği toplam mesafeyi en küçüklemek

isteyen bir gezginin uğrayacağı noktaların sırasının belirlenmesi problemi ……………….

olarak tanımlanır.

6) En kısa yol problemi, ……………………………………………, problemi olarak

tanımlanabilir.

7) Birim kapasite kullanım miktarları ve seçilmeleri halinde ortaya çıkacak birim

katkıları bilinen belirli sayıda nesneden hangilerinin, eldeki kapasiteyi aşmadan ve toplam

katkıyı en büyükleyecek şekilde, seçilmeleri gerektiğine dönük problemler ……………….

olarak bilinmektedir.

8) Küme Örtme Probleminde amaç ………………………….’tır.

9) Tamsayılı programlama problemlerinin çözüm yöntemleri ……… , …………. ve

………………. olarak sınıflandırabilir.

10) Karar değişkenlerinin bir kısmının tamsayılı olmasının öngörüldüğü problemler

……………………. problemlerdir.

5- gezgin satıcı problemi

6- bir noktadan diğerine gidebilmek için izlenmesi gereken en kısa yolun belirlenmesi

7- sırt çantası problemi

8- kapsanan kümenin, kapsayan kümenin olabildiğince az elemanıyla örtülmesidir.

9- yuvarlama , sayımlama ve dal-sınır

10- Karma Tamsayılı Programlama

156

7. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA UYGULAMASI: TRANSPORT PROBLEMİ

157


7.1. Transport Probleminin DP ile Modellenmesi

7.2. Ulaştırma Algoritması

7.3. Kuzeybatı Köşe Yöntemi

7.4. Minimum Maliyetli Atama (Kestirme Dağıtım)

7.6. Vogel Yaklaşım Yöntemi (Metodu) (VAM)

158


1) Ulaştırma probleminde atama yöntemleri nelerdir?

2) Siz olsanız hangi atama yöntemini tercih edersiniz?

159



Transport Problemi

Ulaştırma problemini

doğrusal olarak

modelleyebilmek



Kuzey batı köşe yöntemi Kuzey batı köşe yöntemi ile

atama yapabilmek



Vogel Atama Yöntemi Vogel Atama Yöntemi ile

atama yapabilmek



Minimum Maliyetli

Atama Minimum Maliyetli Atama ile

atama yapabilmek



160

Anahtar Kavramlar

• Kuzey batı köşe yöntemi

• Vogel Atama Yöntemi

• Minimum Maliyetli Hücre Atama Yöntemi

• Atlama Taşı Yöntemi

• MO-DI Yöntemi

161

Giriş Transport Problemi, Doğrusal Programlama probleminin özel bir şeklidir. Transport

problemleri doğrusal programlama modeli kullanılarak modellenebilir. Bu modelde ürünlerin

kaynaklardan (fabrika, depo gibi) hedeflere (depo, pazar gibi) taşınmasıyla ilgilenilir.

Buradaki amaç hedefin talep gereksinimleri ve kaynakların arz miktarlarında denge sağlarken,

diğer taraftan da her bir kaynaktan her bir hedefe yapılan taşımaların toplam maliyetini

minimum kılacak taşıma miktarını belirlemektir.

162

7.1. Transport Probleminin Doğrusal Programlama ile Modellenmesi

Taşıma işleminin çeşitli depolar ve pazarlar arasında yapıldığını varsayarsak;

Í):/. depo/ = 1,2,3, … ,�

!:3. pazar3 = 1,2,3, … , 4 )!:/.depodan3.pazara gönderilen ürün miktarı

�)!:/.depodan3.pazara gönderilen ürünün birim taşıma maliyeti

�):deponunarzmiktarı/ = 1,2,3, … ,�

.!:pazarıntalepmiktarı/ = 1,2,3,… , 4 �):depoileilgilitaşımamaliyeti �:Toplamtaşımamaliyeti olarak gösterilebilir. Bu modelin amacı, tüm arz ve talep kısıtlarını sağlayan, ayrıca

toplam taşıma maliyetlerini minimum kılan )! bilinmeyen miktarını belirlemektir.

Toplam taşıma maliyeti;

� = �)!�!" . )!%

)" = �. + ��. � + �L. L +⋯+ �%�. %� olarak yazılabilir.

Ayrıca her bir depodan gönderilen ürünlerin toplamının o deponun kapasitesine ve her

bir pazara ulaştırılan toplam miktarın da o pazarın talebine eşit olması kısıtları sağlanmalıdır.

Buna göre depo kısıtları için;

+ � + L +⋯+ � = � � + �� + �L +⋯+ �� = �� ….….….…. % + %� + %L +⋯+ %� = �%

yani,

)! =�)�!"

163

pazar kısıtları için de;

+ � + L +⋯+ % = . � + �� + L� +⋯+ %� = .� ….….….…. � + �� + L� +⋯+ %� = .%

yani,

)! =.!%)"

denklemleri yazılabilir. Böylece amaç denklemi ve kısıtlar şu şekilde yazılabilir;

� = �)!�!" . )!%

)" (/ = 1, 2, . . . , �; 3 = 1, 2, . . . . , 4) )! =�)�!" (/ = 1, 2, . . . , �) )! =.!%)" (3 = 1, 2, . . . . , 4)

)! ≥ 0

164

Örnek:

Güney Taşımacılık Şirketi üç depodan üç pazara kamyonlarla ürün taşımaktadır. Arz ve

talep miktarları (kamyon sayısı cinsinden) eşit olup, farklı rotalardaki kamyon başına ulaştırma

maliyetleri, depoların arzları ve pazarların talepleri aşağıda verilmiştir. Depolarla pazarlar

arasındaki taşıma maliyetlerini minimum kılan taşıma miktarlarını belirleyiniz.

Depoların Arz Miktarları Satış Merkezlerinin Talep Miktarları

Depo 1 Depo 2 Depo 3 Pazar 1 Pazar 2 Pazar 3 Pazar 4

15 25 10 5 15 15 15

Depolardan Pazarlara Birim Taşıma Maliyetleri

Pazar 1 Pazar 2 Pazar 3 Pazar 4

Depo 1 10 2 20 11

Depo 2 12 7 9 20

Depo 3 4 14 16 18

Problemin doğrusal programlama modeli ise aşağıdaki gibi olur;

Amaç fonksiyonu;

��#$ = 10 + 2� + 20L + 11| + 12� + 7�� + 9�L + 20�| +

+4L + 14L� + 16LL + 18L| Arz kısıtları;

+ � + L + | = 15 � + �� + �L + �| = 25 L + L� + LL + L| = 10

Talep kısıtları;

+ � + L = 5 � + �� + L� = 15 L + �L + LL = 15

165

| + �| + L| = 15 )! ≥ 0(/ = 1, 2, . . . , �; 3 = 1, 2, . . . . , 4)

Üç depodan yapılan arzın dört pazarın talebine eşit olması sebebiyle kısıtların tümü

eşitlik halindedir. Toplam arzın toplam talebe eşit olmadığı durumda ulaştırma modeli

"dengelenmemiştir". Dengelenmemiş bir model "hayali" depolar ya da pazarlar eklenerek

dengelenmiş hale getirilmelidir. Problemimiz dengelenmiş bir ulaştırma modelidir.

Pazarlar

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

Depolar

D1 10 2 20 11 15

D2 12 7 9 20 25

D3 4 14 16 18 10

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

Problemimiz dengelenmemiş arz ve talep miktarlarına göre olsaydı, örneğin;

Depo Kapasiteleri Pazar Talepleri

D1 D2 D3 P1 P2 P3 P4

15 25 30 5 15 15 15

şeklinde arzın talepten büyük olduğu dengelenmemiş bir problemi dengelenmiş hale

getirmek için ulaştırma maliyetleri 0 olan hayali bir pazar eklenir.

166

Pazarlar

P1 P2 P3 P4 PY

Depo

Kapasiteleri

D1 10 2 20 11 0 15

Depolar D2 12 7 9 20 0 25

D3 4 14 16 18 0 30

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 20 70

Benzer şekilde talebin arzdan büyük olduğu durumda ise hayali bir depo ekleyerek

problemi dengelenmiş hale getiriyoruz:

Depo Kapasiteleri Pazar Talepleri

D1 D2 D3 P1 P2 P3 P4

15 25 10 5 15 15 35

Pazarlar

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

D1 10 2 20 11 15

Depolar D2 12 7 9 20 25

D3 4 14 16 18 10

DY 0 0 0 0 20

Pazar

Talepleri 5 15 15 35 70

167

7.2. Ulaştırma Algoritması

Ulaştırma algoritması simpleks yönteminin adımlarını aynen takip eder, fakat normal

simpleks tabloyu kullanmak yerine, ulaştırma probleminin özel yapısının avantajını kullanarak

algoritma daha uygun bir hale getirilir. Ulaştırma algoritmasının adımları simpleks

algoritmasıyla paraleldir, yani;

1. Adım : Başlangıç uygun çözümü belirlenir.

2. Adım : Tüm temel dışı değişkenler içinden giren değişkenlerin belirlenir, bunun için

optimallik koşulları sağlanmalıdır.

3. Adım : Mevcut tüm temel değişkenler içinden çıkan değişkenler belirlenir, bunun

için uygunluk koşulu kullanılır ve yeni temel çözüm bulunur, 2. Adıma dönülür.

Başlangıç Çözümünün Belirlenmesi

� depolu ve 4 pazarlı genel bir ulaştırma problemi, her depo için bir tane ve her pazar

için bir tane olmak üzere � + 4 sayıda kısıt denklemine sahiptir. Bununla birlikte ulaştırma

modelinin daima dengelenmiş olması nedeniyle bu denklemlerden biri fazla (hayali) olabilir.

Dolayısıyla modelin � + 4 − 1 tane bağımsız kısıt denklemi olacaktır. Bu da başlangıç kısıt

denkleminin � + 4 − 1 temel değişkenden oluşması demektir.

Ulaştırma probleminin temel yapısı, yapay olmayan bir başlangıç temel çözümünü

sağlayan üç yöntemden birini kullanmamıza olanak sağlar. Bunlar;

1. Kuzeybatı Köşe Yöntemi

2. Minimum Maliyetli Atama Yöntemi

3. Vogel Yaklaşım Yöntemi (VAM).

Bu üç yöntem arasında oluşturdukları başlangıç temel çözümün kalitesi açısından

farklılık vardır. Genelde, en iyi başlangıç çözümünü Vogel Yaklaşım Yöntemi, en kötü

başlangıç çözümünü ise Kuzeybatı Köşesi Yöntemi vermektedir, buna karşılık en az hesaplama

Kuzeybatı Köşesi Yönteminde yapılmaktadır.

7.3. Kuzeybatı Köşe Yöntemi

Yöntem tablonun değişkeninin yer aldığı kuzeybatıdaki (sol üst köşe) hücrede

başlar.

1. Adım : Seçilen kutuya mümkün olan en fazla atama yapılır ve ardından bu atanan

miktar arz ve talep miktarlarından çıkarılarak düzenleme yapılır.

168

2. Adım : İleride tekrar atama yapılmasını önlemek için çıkarma sonucu 0 arz veya

talebe ulaşan satır veya sütun iptal edilir. Hem satır hem sütun 0 değeri almışsa biri seçilerek

iptal edilir, iptal edilmeyen 0 değerli satır veya sütun dikkate alınmaz.

3. Adım : İptal edilmeyen sadece bir satır veya sütun kaldığında adımlar durdurulur,

aksi halde bir önceki işlemde sütun iptal edilmişse sağ hücreye, satır iptal edilmişse bir

aşağıdaki hücreye geçilir ve 1. Adıma dönülür.

Örneğimiz için Kuzeybatı Köşesi Yöntemini uygularsak şu başlangıç çözümünü elde

ederiz:

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

D1 10 2 20 11

15 5 → 10

D2 12 ↓ 7 9 20

25 5 → 15 → 5

D3 4 14 16 ↓ 18

10 10

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

7.4. Minimum Maliyetli Atama Yöntemi (Kestirme Dağıtım)

Bu yöntem en ucuz maliyetli rota üzerine yoğunlaştığından daha iyi bir başlangıç

çözümü bulmaktadır.

1. Adım: En düşük birim maliyetli hücreye mümkün olduğunca fazla atama yapılarak

başlangıç çözümü oluşturulmaya başlanır (maliyetlerin eşit olmaları durumunda bu hücrelerden

rastgele birine önce atama yapılır).

2. Adım: Arz ve talep miktarları düzenlenir ve yapacağı atama tamamlanan satır veya

sütun iptal edilir. Hem satır hem sütun 0 değeri almışsa biri seçilerek iptal edilir, iptal edilmeyen

0 değerli satır veya sütun dikkate alınmaz.

3. Adım: İptal edilmemiş hücreler içinden en düşük maliyetlisi bulunur ve süreç bu

şekilde iptal edilmeyen bir satır veya sütun kalıncaya kadar tekrarlanır.

169

Örneğimiz için En Düşük Maliyetler Yöntemini uygularsak şu çözüm elde edilir:

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

D1 10 2 20 11

15

15

D2 12 7 9 20

25 0 15 10

D3 4 14 16 18

10 5 5

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

7.5. Vogel Yaklaşım Yöntemi (Metodu) (VAM)

Vogel Atama Yöntemi, Minimum Maliyetli Atama Yönteminin geliştirilmiş hali olup,

genelde en iyi başlangıç çözümünü vermektedir.

1. Adım: Pozitif arzlı (talepli) her satırdaki (sütundaki) en küçük birim maliyeti aynı

satırın (sütunun) ikinci en küçük birim maliyetinden çıkararak farklar satırı ve farklar sütunu

oluşturulur.

2. Adım: Satır ve sütun ayrımı yapmadan, farklar satırında ve sütununda bulunan sayılar

büyükten küçüğe doğru sıralanır (eşitlik halinde biri seçilir). Daha sonra bu sıralamaya göre

satır veya sütunlarda bulunan en küçük maliyete sahip hücreye arz ve talep kısıtlarına göre

atama yapılır. Bu satır veya sütundaki en düşük maliyetli hücreye yapılabilecek en fazla

miktarda atama yapılır. Kalan arz ve talepler hesaplanır ve sıfırlanan satır veya sütun iptal edilir

(Aynı anda sıfırlanan satır ve sütun varsa sadece biri iptal edilir, kalan satıra (sütuna) sıfır

miktarda arz (talep) atanır.

3. Adım:

a) İptal edilmemiş arz ya da talebe sahip tam bir satır (sütun) kalınca durulur.

b) İptal edilmemiş pozitif arzlı (talepli) bir satır (sütun) kalmışsa, en düşük

maliyetler yöntemiyle satırdaki (sütundaki) temel değişkenler belirlenir ve durulur.

c) İptal edilmemiş satır ve sütunların tümü sıfır arz ve talebe sahipse, en düşük

maliyetler yöntemiyle sıfır temel değişkenler belirlenir ve durulur.

d) Aksi halde 1. adıma gidilir.

Örneğimiz için En Düşük Maliyetler Yöntemini uygularsak başlangıç çözümünü şu

adımlarla elde ederiz:

170

1. Adım:

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

Farklar

Sütunu

D1 10 2 20 11

15 10 - 2 = 8

D2 12 7 9 20

25 9 - 7 = 2

D3 4 14 16 18

10 14 - 4 = 10

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

Farklar

Satırı 10 - 4 = 6 7 - 2 = 5 16 - 9 = 7 18 - 11 = 7

2. Adım: 3. satır en büyük farka sahip olduğu için bu satırdaki en düşük maliyetli sahip ÍL hücresine 1. sütunun talebi 5, 3. satırın arzı 10 olduğu için 5 birim atanır. Arz ve taleplerde

düzenleme yapılırsa 1. sütunun talebi 0, 3. satırın arzı 5 birim olur. Bu durumda 1. sütun iptal

edilir ve cezalar yeniden belirlenir:

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

Farklar

Sütunu

D1 10 2 20 11

15 11 - 2 = 9

D2 12 7 9 20

25 9 - 7 = 2

D3 4 14 16 18

5 16 -1 4 = 2 5

Pazar

Talepleri 0 15 15 15 45

Farklar

Satırı ─ 7 - 2 = 5 16 - 9 = 7 18 - 11 = 7

171

En yüksek ceza 1. satırda olduğu için en düşük maliyet olan x12'ye 15 birim atanır,

böylece arzı ve talebi aynı anda sıfırlamış olur. Burada rastgele olarak satır veya sütundan biri

iptal edilir (1. satır iptal edilmiştir) kalan sütuna 0 talep atanır ve cezalar yeniden hesaplanır:

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

Farklar

Sütunu

D1 10 2 20 11

0 ─ 15

D2 12 7 9 20

25 9 - 7 = 2 0

D3 4 14 16 18

5 16 -1 4 = 2 5

Pazar

Talepleri 0 0 15 15 30

Farklar

Satırı ─ 14 - 7 = 7 16 - 9 = 7 20 - 18 = 2

En yüksek cezaya sahip 3. sütundaki en düşük maliyetli �L hücresine 15 birim atama

yapılır, böylece 3. sütunun talebi sıfırlanırken 2. satırın arzı 10 birim kalır ve bu sütun da silinir:

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

Farklar

Sütunu

D1

10 2 20 11 0 ─

15

D2

12 7 9 20 10 ─

0 15

D3

4 14 16 18 5 ─

5

Pazar

Talepleri 0 0 0 15 15

Farklar

Satırı ─ ─ ─ 20 - 18 = 2

172

3. Adım : İptal edilmemiş olan 4. sütunda en düşük maliyetler yöntemine göre kalan arz

ve talebe göre atama yapılır:

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

Farklar

Sütunu

D1 10 2 20 11

0 ─ 15

D2 12 7 9 20

0 ─ 0 15 10

D3 4 14 16 18

0 ─ 5 5

Pazar

Talepleri 0 0 0 0 0

Farklar

Satırı ─ ─ ─ ─

Transport problemlerinde yapılan atamanın ne kadar iyi olduğunu, optimum çözüm (en

uygun değer) olup olmadığı test edilmektedir. Bu test için hangi yöntemler kullanılır? Bu

bölümde optimallik testleri detaylı olarak incelenmektedir.

7.6. Atlama Taşı (Boş Hücre Çevrimleri)

Başlangıç dağıtım planında atama yapılmış )! miktarlarına "taş", atama yapılmamış

yani taş bulunmayan hücrelere de "boş hücre" adı verilir. Ulaştırma problemlerinin herhangi

bir kademesinde optimallik kontrolüne boş hücrelerden başlanır. Bu amaçla, boş hücrelere

yapılabilecek mümkün dağıtımlar için hesap edilecek maliyetlerle taş bulunan hücrelerin

gösterdiği maliyetler kıyaslanır. Eğer boş hücrelerde daha düşük değerli birim maliyetler varsa

ve bu hücre dağıtım yapabiliyorsa, toplam maliyette düşüş sağlanabilecektir. Boş hücreye Ñ

miktarda birim eklemek demek o hücrenin bulunduğu satırdaki arzda ve sütundaki talepte Ñ

miktarda birim arttırmak demektir. Fakat arz ve talep kısıtlarımızı sağlamak zorunda

olduğumuz için dengeleme yoluna gidilir ve boş hücre çevrimindeki taşların negatif

olanlarından bu Ñ değeri çıkarılırken pozitif olanlarına Ñ değeri eklenir.

Boş hücre çevrimi; çevrimi çizilecek boş hücreden başlanarak, aşağı, yukarı veya

yanlara doğrusal hareketlerle gidilerken, herhangi bir taşa rastlandığında doksan derecelik

dönüşler yapılarak aynı boş hücreye dönülmesidir. Bu işlem yapılırken bazı taşlar atlanabilir

veya oklar birbirini kesebilir. Ayrıca boş hücre + olmak üzere çevrim üzerindeki taşlar −,+,−

olarak işaretlenir.

Boş hücrelere ait değerler birim taşıma maliyetlerinin verilen işaretler de hesaba katılarak

toplanmasıyla elde edilir. Örneğimizi ele alırsak;

173

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

D1 (+) 10 (-) 2 20 11

15 15

D2 12 (+) 7 9 (-) 20

25 0 15 10

D3 (-) 4 14 16 (+) 18

10 5 5

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

Boş hücrelere ait değerleri hesaplayacak olursak;

: +10 -4 +18 -20 +7 -2 = +9

� : +12 -4 +18 -20 = +6

L� : +14 -18 +20 -7 = +9

L : +20 -2 +7 -9 = +16

LL : +16 -18 +20 -9 = +9

�Xb = +XX − Y + [ − Y\ = −b 7.6.1. Daha Gelişmiş Çözümlerin Bulunması ve Optimallik

Boş hücrelerle ilgili bütün değerler hesaplandığında, bu sonuçlara göre maliyetteki en

büyük azalmayı boş hücre değerlerinden en büyük negatif değere sahip olan hücre sağlar. Yani

örneğimize bakacak olursak | hücresi negatif değer aldığı için ( burada tek negatif değer

çıkmıştır, birden fazla negatif değer çıksaydı mutlak değerce en büyük olan negatif değer

seçilecekti) maliyette bir azalma sağlar. O halde bir sonraki dağıtım planında bu boş hücreye

atama yapılır:

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

D1 10 (-) 2 20 (+) 11

15 15-W +W

D2 12 (+) 7 9 (-) 20

25 0+W 15 10-W

D3 4 14 16 18

10 5 5

174

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

Bir hücrede negatif atama olamayacağı için W'nin alabileceği en büyük değer 10

birimdir. Bu durumda yeni atama tablosu;

P1 P2 P3 P4

Depo

Kapasiteleri

D1 10 2 20 11

15 5 10

D2 12 7 9 20

25 10 15

D3 4 14 16 18

10 5 5

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

Optimallik kontrolü için boş hücre değerleri kontrol edilirse;

= 13 � = 10 L� = 5 L = 16 LL = 5 �| = 4 değerlerinin hepsi pozitif olduğu için optimum çözüm elde edilmiştir. Yani optimum

maliyet;

Zmin = 5.4 + 5.2 + 10.7 + 15.9 + 10.11 + 5.18 = 435 Para Birimi olur.

7.7. MO-Dİ (Modified Distribution) Yöntemi

Atlama taşı yöntemine benzer, ancak boş hücrelerin değerlemesi işlemi burada daha

etkin olarak yapılmaktadır. İki yöntem arasındaki asıl farkı, atlama taşı yönteminde boş hücre

değerleri hesaplamak için çevrimlerden yararlanırken MO-DI yönteminde bu işlemin bazı

indeksler yardımıyla yapılmasıdır. Yani bu işlemde boş hücreler için çevrimler çizmeye gerek

yoktur.

175

Başlangıç tablosu kuzeybatı köşesi yöntemiyle oluşturulur. Satır değerlerini Ò), sütun

değerlerini Ó! göstermek üzere;

�)! = Ò) + Ó! (Taş bulunan hücreler için)

eşitliğinden yararlanılır. Boş hücrelere yapılacak dağıtımların toplam maliyette bir azalma

sağlayıp sağlamayacağı;

+)! = �)! − Ò) − Ó! (Düzelme indeksi)

ifadesi ile araştırılır. Bütün düzelme indeksleri pozitif veya 0 olunca optimum çözüme ulaşılmış

demektir. Yine örneğimizi ele alacak olursak;

Ó = 10 Ó� = 2 ÓL = 4 Ó| = 15

P1 P2 P3 P4

Depo Kapasiteleri

Ò = 0 D1 10 2 20 11

15 5 10

Ò� = 5 D2 12 7 9 20

25 5 15 5

ÒL = 3 D3 4 14 16 18

10 10

Pazar Talepleri

5 15 15 15 50

�min = 5.10 + 10.2 + 5.7 + 15.9 + 5.20 + 10.18 = 520 Taş bulunan hücrelerde �)! = Ò) + Ó! eşitliği kullanılırsa aşağıdaki değerler elde edilir.

Bu denklem sisteminin çözülebilmesi için değişkenlerden birine herhangi bir değer

verilir ve diğer değişkenler buna göre hesaplanır. Genellikle Ò = 0 olarak alınıp çözüme

başlanır.

� için Ò = 0 ise 10 = 0 + 10 eşitliğinden Ó = 10 �� için Ò = 0 ise 2 = 0 + 2 eşitliğinden Ó� = 2

176

�� için Ó� = 2 ise 7 = 5 + 2 eşitliğinden Ò� = 5 ��L için Ò� = 5 ise 9 = 5 + 4 eşitliğinden ÓL = 4 ��| için için Ò� = 5 ise 20 = 5 + 15 eşitliğinden Ó| = 15 �L| için Ó| = 15 ise 18 = 3 + 15 eşitliğinden ÒL = 3 Düzeltme indeksi + değerleri +)! = �)! − Ò) − Ó! denklemi ile boş hücreler için

hesaplanır;

+L = 20 − 0 − 4 = 16 +| = 11 − 0 − 15 = −4 +� = 12 − 5 − 10 = −3 �ZX = b − Z − X\ = −¦ +L� = 14 − 3 − 2 = 9 +LL = 16 − 3 − 4 = 9 Bir sonraki dağıtım planına geçerken yapılacak işlemler atlama taşındaki gibidir. Yani

boş hücrelerden mutlak değerce en büyük negatif olan esas alınarak, bu boş hücrenin çevrimi

üzerinde işlemler yapılır. Buna göre, MO-DI yönteminde her çözüm kademesinde tek bir

çevrime gerek olacaktır. −9 değerine sahip L hücresine atama yapılırsa yeni tablomuz;

P1 P2 P3 P4 Depo Kapasiteleri

D1 10 2 20 11

15 15

D2 12 7 9 20

25 0 15 10

D3 4 14 16 18

10 5 5

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

177

�min = 5.10 + 15.2 + 0.7 + 15.9 + 10.20 + 5.18 = 475 Toplam maliyette 520 − 475 = 45 para birimi azalma olmuştur. İkinci dağıtım planı

yapılırsa yeni tablomuz;

Ó = 1 Ó� = 2 ÓL = 4 Ó| = 15

P1 P2 P3 P4 Depo Kapasiteleri

Ò = 0 D1 10 2 20 11

15 15

Ò� = 5 D2 12 7 9 20

25 0 15 10

ÒL = 3 D3 4 14 16 18

10 5 5

Pazar

Talepleri 5 15 15 15 50

+ = 10 − 0 − 1 = 9 +L = 20 − 0 − 4 = 16 �Xb = XX − \ − Xa = −b +� = 12 − 5 − 1 = 6 +L� = 14 − 3 − 2 = 9 +LL = 16 − 3 − 4 = 9 Yeni dağıtım planında | hücresine atama yapıldığında elde edilen yeni tablo;

P1 P2 P3 P4

Depo Kapasiteleri

D1 10 2 20 11

15 5 10

D2 12 7 9 20

25 10 15

D3 4 14 16 18

10 5 5

Pazar Talepleri

5 15 15 15 50

178

�min = 5.4 + 5.2 + 10.7 + 15.9 + 10.11 + 0.20 + 5.18 = 435 Yeni çözüm 475 − 435 = 40 para birimi azalma sağlamıştır. Ò), Ó! ve +)! değerleri

yeni tablo için hesaplanırsa;

Ó = −3 Ó� = 2 ÓL = 4 Ó| = 11

P1 P2 P3 P4

Depo Kapasiteleri

Ò = 0 D1 10 2 20 11

15 5 10

Ò� = 5 D2 12 7 9 20

25 10 15

ÒL = 7 D3 4 14 16 18

10 5 5

Pazar Talepleri

5 15 15 15 50

+ = 10 − 0 − (−3) = 13 +L = 20 − 0 − 4 = 16 +� = 12 − 5 − (−3) = 10 +�| = 20 − 5 − 11 = 4 +L� = 14 − 7 − 2 = 5 +LL = 16 − 7 − 4 = 5

değerleri bulunacaktır. Düzelme indeksleri içinde negatif değer kalmadığına göre bu

dağıtım planı optimum çözümü göstermektedir.

7.8. Ulaştırma Problemlerinde Dejenerasyon

Bir ulaştırma probleminin herhangi bir dağıtım planında (� + 4 − 1) taş bulunuyorsa

her boş hücre için bir çevrim çizilebilir veya bütün Ò) ve Ó! değerleri hesaplanabilir. Bu kurala

uymayan problemlere "dejenere (bozulmuş)" denir.

Bu durum iki şekilde olabilir:

1. Taş sayısının (� + 4 − 1) değerinden büyük olması durumuna sadece başlangıç

çözümünde rastlanır. Bunun sebebi başlangıç dağıtımının yanlış yapılmış olması ya da

problemin yanlış formüle edilmiş olmasıdır. Bu durumda başlangıç dağıtımının yeniden

yapılması gerekir.

179

2. Taş sayısının (� + 4 − 1) değerinden küçük olması durumunda taş sayısı

işlemlerin uygulanabilmesi için yetersizdir. Bu tür dejenerasyona başlangıç dağıtım planında

veya çözümün herhangi bir aşamasında rastlanabilir. Bu tür dejenerasyonun giderilebilmesi için

0 değerli bir taş eklenir. Bu taşın ekleneceği hücre ise taşların basamak oluşturacak şekilde

sıralanmasına uygun hücre ya da en küçük maliyetli hücre olabilir. Optimum çözümde bile

dejenerasyon bulunabilir.

7.9. Yasaklanmış Yol Problemi

Pratikte her zaman her bir depodan her bir pazara dağıtım yapılması mümkün değildir.

Çünkü bazı depolardan bazı pazarlara ulaşım mümkün değildir veya çok pahalıdır. Dolayısıyla

bu depolar ve pazarlar arasında taşıma yapma olanağı bulunmaz. Böylece, bu tür yasaklanmış

yollar, ulaştırma problemine yeni sınırlamalar getirmektedir. Örneğin, µ. depo ile Ô. pazar

arasındaki taşıma 'Õ = 0 olması istenir.

Böyle bir ulaştırma probleminde simpleks yönteminde kullanılan e değeri ile aynı

manadaki çok yüksek bir maliyete sahip e değeri atama yapılması istenmeyen 'Õ hücresine

birim maliyet olarak yazılır. Birim ulaştırma maliyeti e olan bir hücreye yapılacak bir birimlik

dağıtım bile ulaştırma maliyetini aşırı derecede arttıracağından ulaştırma problemlerinin çözüm

yöntemleri bu hücrelerin boş kalmasını garantileyecektir.

180

Uygulamalar

1)

Üretici Kaynak Tüketici Talep

1. Adana 150 Ankara 200

2. Mersin 175 İzmir 100

3. Antalya 275 İstanbul 300

Kaynak Tüketici

Ankara İzmir İstanbul

Adana 6 8 10

Mersin 7 11 11

Antalya 4 5 12

c�� = 6H + 8H� + 10HL + 7H� + 11H�� + 11H�L +4HL + 5HL� + 12HLL

2) Aşağıda verilen transport problemi için Kuzey Batı Yöntemine göre atama yapılır

ise; D1’den P1’e kaç ürün gönderilmiştir?

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

181

3) Aşağıda verilen transport problemi için Vogel Atama Metodu (VAM) kullanılarak

atama yapılır ise; hangi hücreye ilk atama yapılır?

a) D1-P1 b) D1-P2 c) D2-P1 d) D1-P3 e) D2-P3

182

Uygulama Soruları

1) Siz olsanız herhangi bir transport probleminin optimal sonucuna daha hızlı

yaklaşmak için hangi atama yöntemini seçerdiniz?

2) Ulaştırma problemlerinin atamalarının yapılmasında hangi yöntemler kullanılır?

3) Yapılan atamalarının optimum olup olmadığı hangi yöntemlerle test edilir?

183


Bu bölümde transport problemlerinde atamaların nasıl gerçekleştirildiği ve yapılan

atamanın optimal olup olmadığını test edecek yöntemler üzerinde durulmuştur. Atamaların

yapılmasında kullanılan Kuzeybatı Köşe Yöntemi, Minimum Maliyetli Hücre Ataması ve

Vogel Atama Yöntemleri anlatılmıştır. Yapılan Atamaların optimal olup olmadıklarının testi

yapılırken kullanılan Atlama Taşı Yöntemi ayrıntılı olarak incelenmiştir. Russel Atama

Yöntemi ve MO-Dİ optimallik testi yöntemleri konusunda ayrıntılı soru sorulmayacaktır.

184

Bölüm Soruları

1) Bir çimento şirketi, ürettiği çimentoyu 3 farklı tesisten 3 farklı inşaat bölgesine ürün

sevk etmektedir. Her üç tesise ilişkin kapasite verileri ve bu tesislerden istenilen miktarlar ve

birim ulaştırma maliyetleri (TL/ton) verilmektedir. Vogel Yaklaşımı kullanılarak atama yapılır

ise, ilk olarak hangi hücreye atama yapılır?

TESİSLER X Y Z ARZ

A 8 5 6 120

B 15 10 12 80

C 3 9 10 80

TALEP 150 70 60 280

a) + →

b) + → ^ c) � → �

d) , → � e) � → ^ 2) Aşağıdaki yöntemlerden hangisi ulaştırma problemlerinde yapılan dağıtımın optimal

olup olmadığını test eder?

a) Vogel Atama Metodu

b) Russel Atama Metodu

c) Kestirme Dağıtım

d) Minimum Maliyetli Hücre

e) MO-Dİ Yöntemi

3) Aşağıdaki yöntemlerden hangisi ulaştırma problemlerinde başlangıç çözümünü

bulmak için kullanılmaz?

a) Kuzey-Batı Köşe Yöntemi

b) En Düşük Maliyetli Hücreler Yöntemi

c) Satır veya Sütun En Küçüğü Yöntemi

d) Vogel Yaklaşım Yöntemi

e) Satır veya Sütun En Büyüğü Yöntemi

185

4) Aşağıda verilen ulaştırma tablosunun Minimum Maliyetli Hücre Yöntemi ile atama

yapıldığında ilk atama hangi hücreye gerçekleşir?

X Y Z T Arzlar

A 5 2 10 11 5 B 9 4 1 6 10 C 3 8 7 12 15

Talepler 12 8 4 6

a) + →

b) + → ^ c) � →

d) , → � e) � → ^

5) Ulaştırma probleminin çözümünde Kuzeybatı yöntemi kullanılacaksa atama

yapmaya hangi hücreden başlanır?

a) Sol – alt köşeden başlanır

b) Sağ – Üst köşeden

c) En yüksek maliyete sahip hücreden

d) En düşük maliyete sahip hücreden

e) Sol – Üst köşeden

6) Vogel Atama Metodunda (VAM) ilk aşama aşağıdakilerden hangisidir?

a) En küçük maliyetli hücreye atama yapılır.

b) Verilen problemde fark satırı ve fark sütun sütunu oluşturulur

c) En yüksek maliyetli hücreye atama yapılır

d) Fark satırında ve sütununda bulunan değerler sıraya dizilir

e) Sol üst köşeden başlanarak atama yapılır

186

7) Aşağıdakilerden hangisi ulaştırma problemlerinde bir atama yöntemi değildir?


b) Kuzeybatı Köşe Atama Yöntemi

c) MO-DI Optimallik Testi

d) Russel Atama Yöntemi

e) Minimum Maliyetli Hücre Atama Yöntemi

8) Aşağıdakilerden hangisi ulaştırma problemlerinde optimallik testi için kullanılan bir

yöntemdir?


b) Kuzey - Batı Köşe Atama Yöntemi

c) Russel Atama Yöntemi

d) Düşük Maliyetli Hücre Atama Yöntemi

e) Atlama Taşı Yöntemi (Boş Hücre Çevrimlerinin Çizilmesi)

9) Aşağıda bir ulaştırma problemi verilmektedir. Dejenerasyon (bozulma) durumu

yaşanmaması için kaç dolu hücre olmalıdır?

TESİSLER P1 P2 P3 P4 ARZ

D1 8 5 6 6 140

D2 15 10 7 12 80

D3 3 9 8 10 80

TALEP 150 70 20 60 300

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

187

10) Aşağıda bir ulaştırma problemi verilmektedir. Eğer dejenerasyon durumu

yaşanmadan 6 hücreye atama yapılmış ise, optimallik testi için kaç adet boş hücre çevrimi

çizilir?

Pazar

Depo

P1 P2 P3 P4 ARZ

D1 8 3 6 6 100

D2 5 10 7 12 100

D3 4 9 8 10 100

TALEP 150 70 20 60 300

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

11) Aşağıda verilen transport problemi için Minimum Maliyetli Hücre Yöntemi

(Kestirme Dağıtım Yöntemi) kullanılarak atama yapılır ise; hangi hücreye ilk atama yapılır?

a) D1-P1 b) D1-P2 c) D2-P1 d) D1-P3 e) D2-P3

12) Aşağıda yapılan dağıtım planına göre transport maliyeti kaç olur?

188

a) 400 b) 460 c) 500 d) 600 e) 900

13) Aşağıda verilen ulaştırma tablosunun Kuzey Batı Köşesi Yöntemi ile bulunan

Olurlu Başlangıç Çözümü’ nün değeri kaçtır?

İSTANBUL İZMİR ANTALYA TALEP

DENİZLİ 6 8 10 150

BURSA 7 11 11 175

ADANA 4 5 12 275

ARZ 200 100 300 600

a) 6355 TL

b) 11.500 TL

c) 5875 TL

d) 5925 TL

e) 3400 TL

14) Kuzeybatı Köşe, Vogel, Russel ve Minimum Maliyetli Hücre Atama (Kestirme

Dağıtım) yöntemlerinden hangisi kullanılırsa genellikle optimum çözüme daha geç ulaşılır?

189


b) Russel Atama Metodu

c) Kestirme Dağıtım

d) Minimum Maliyetli Hücre

e) Kuzey Batı Köşe Yöntemi

15) Ulaştırma Probleminin çözümüne başlayabilmek için aşağıdaki varsayımlardan

hangisi geçersizdir?

a) Her bir üretim merkezi ile her bir tüketim merkezi arasında bir birim malın kaça

taşınacağı bilinmeli

b) Her bir üretim merkezi ile her bir tüketim merkezindeki toplam miktar tam olarak

bilinmeli.

c) Modelde kullanılan tüm bilgiler ve probleme konu olan mal ve hizmetler, bütün

üretim ve tüketim merkezleri için aynı birim ve homojenlikte tanımlanmış olmalı.

d) Modelde kullanılan tüm bilgiler ve probleme konu olan mal ve hizmetler, bütün

üretim ve tüketim merkezleri için ayrı birim ve heterojenlikte tanımlanmış olmalı.

e) Üretim merkezlerinden dağıtılacak toplam miktar, tüketim merkezlerince istenen

toplam miktara eşit olmalı.

Cevaplar

1) c, 2) e, 3) e, 4) d, 5) e, 6) b, 7) c, 8) e, 9) d 10) c, 11) c, 12) b, 13) d, 14) e, 15) d

190

8. ÇOK AMAÇLI KARAR VERME: HEDEF PROGRAMLAMA

191


8.1. Çok Amaçlı Karar Verme

8.2. Hedef Programlama

192


1) Lineer programlama ile hedef programlama arasında nasıl bir fark vardır?

2) Karar verme sürecinde birden çok amaç olması durumunda nasıl bir yol izlenir?

3) Hedef programlamada sapmalar ne ifade etmektedir?

193



Çok amaçlı karar verme

hakkında bilgi sahibi

olunması

Karar modelleri hakkında

genel bilgi sahibi olmak.

Birden fazla amaç olması

durumunda karar

problemlerinin nasıl

çözüldüğünü öğrenmek.

Okuyarak, deneme ve

uygulama yaparak, tekrar

yaparak

Hedef programlama

Karar sürecinde hedef olarak

belirlenen amaçların eş anlı

sağlanması ya da

hedeflerden sapmaların en

küçüklenmesi ile

sonuçlanacak modeller

kurmak

Okuyarak, deneme ve

uygulama yaparak, tekrar

yaparak

194

Anahtar Kavramlar

• Çok kriterli karar verme

• Çok amaçlı karar verme

• Hedef programlama

195

Giriş Gerçek hayatta karşılaşılan birçok problemin yapısında çok amaçlılık vardır. Bu amaçlar

bazen birbirleriyle paralel olurken bazen de birbirleriyle çatışma içinde olabilir. Her iki

durumda da bu amaçların eş zamanlı sağlanması için çok amaçlı programlama modellerinden

yararlanılmaktadır. Karar verme sürecinde karar vericiler birden çok kriteri göz önünde

bulundurmaktadır. Karar verme sürecinde birden çok kriterin bulunduğu karar problemlerine

çok kriterli karar verme problemleri ismi verilmektedir. Çok kriterli karar verme problemleri,

kararı etkileyen nitelik (özellik) ve amaç sayısına göre sınıflanmaktadır. Bu doğrultuda çok

kriterli karar verme problemleri çok nitelikli karar verme ve çok amaçlı karar verme problemleri

olarak sınıflandırılmıştır.

Çok Kriterli Karar Verme Yöntemleri

Çok Nitelikli Karar Verme

� Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP)

� Analitik Network Prosesi (ANP)

� TOPSIS

� ELECTRE

� PROMETHEE

� VIKOR

Çok Amaçlı Karar Verme

� Hedef Programlama (HP)

� STEM

� Ziont Wallenius

� STEUER

biçiminde sınıflandırılır.

Çok amaçlı karar verme, karar verme süreci sonucunda birden fazla amacın

gerçekleştirilmesi istenen yaklaşımlardır. Doğrusal programlama modelleri ile yıllık sipariş

verme maliyetlerinin en küçüklenmesi, yıllık kârın en büyüklenmesi gibi sadece tek bir amacın

en iyilenmeye çalışıldığı problemler ele alınabilmektedir. Birden fazla amacın en iyilenmeye

çalışıldığı problemlerin çözümünde ise çok amaçlı karar verme yöntemlerine ihtiyaç duyulur.

196

8.1. Hedef Programlama

Birden fazla amacı aynı anda gerçekleştirme esasına dayanan hedef programlama,

üretim planlamadan iş gücü planlamasına, ulaştırmadan finansal planlamaya birçok alanda

uygulanan bir yöntemdir. Her bir amaç bir hedefi oluşturmaktadır. Bu da, amaçlar için sayısal

hedeflerin belirlenmesi ile gerçekleşir. Bu yöntem ile tüm sistem kısıtlarının sağlandığı ve

mümkün olduğunca tüm hedeflere ulaşan bir çözüm elde edilir. Belirlenen hedeflerin tam

olarak gerçekleşmemesi durumunda hedef değerlerinden istenmeyen yöndeki sapmalar

minimize edilir. Elde edilen çözümde bazı amaçlar en iyi değerine ulaşırken, diğer amaçlar en

iyi çözüme ulaşamayabilir. Dolayısıyla, sonuç değer mümkün olduğunca karar vericileri tatmin

eden, en uzlaşık çözüm olacaktır. Bir başka ifadeyle, etkin bir çözüm elde edilecektir.

8.1.1. Hedef Programlamada Kullanılan Temel Kavramlar

Doğrusal programlamanın özel bir hâli olarak kabul edebileceğimiz hedef

programlamada doğrusal programlamada kullanılan sağ taraf sabiti, karar değişkeni gibi

parametrelere ek olarak kullanılan temel kavramlar şu şekilde sıralanabilir:

Amaç: Karar vericinin isteğinin genel durumunu gösteren ifadedir. Örneğin işgücü

kullanımını en küçüklemek bir amaç olarak tanımlanabilir.

Hedef: Belirlenen amaç için başarmak istenilen kesin ifadedir. Bir başka deyişle,

istenilen seviye ile belirlenmiş bir amaçtır. Örneğin işgücü kullanımını en küçüklemek amacını

aylık işgücü kullanımının en fazla 400 saat olarak kesin bir ifade ile belirtilmesi hedef olarak

tanımlanabilir.

Kısıtlar: Doğrusal programlamadan farklı olarak hedef programlamada iki tip kısıt

bulunur. Sistem kısıtları ve hedef kısıtları, hedef programlama modellerinde kullanılan

kısıtlardır.

Sistem Kısıtları: Fonksiyonel kısıt olarak da adlandırılan sistem kısıtları tam olarak

sağlanması gereken ve sapmaya izin verilmeyen kısıtlardır. Sistem kısıtları doğrusal

programlamada kullanılan kısıtlara karşılık gelir ve çözüm üretilmesi için mutlaka uyulması

gereken kısıtlardır. Doğrusal programlamadaki gibi formüle edilirler ve öncelikle bu kısıtların

gerçekleştirilmesi gerekir.

Hedef Kısıtları: Karar vericinin ulaşmayı istediği veya gerekli gördüğü hedefler, hedef

programlama modeline hedef kısıtları olarak aktarılır. Hedef kısıtları çok katı olmayıp

hedeflenen değerlerden (sağ taraf değerleri) sapmaların açıklanmasıyla ortaya çıkan esnek kısıt

fonksiyonlarıdır. Yani hedef kısıtlarının ihlal edilmesi durumu söz konusu olabilir. Hedef

kısıtlarının sağlanması sistem kısıtlarının gerçekleştirilmesinden sonra gelir. Hedef kısıtlarında

meydana gelen sapmalar hedef programlamada ayrı bir değişken olarak ele alınmaktadır.

Sapma Değişkenleri: Sadece hedef kısıtları ve modelin amaç fonksiyonunda yer alan

sapma değişkenleri, istenilen hedefin aşılması ve altında kalınması durumlarını gösteren

değişkenlerdir. Her bir hedef için birer negatif sapma ve pozitif sapma değişkeni tanımlanır.

197

Sapma değişkenleri her ne kadar pozitif ve negatif olarak isimlendirilse de negatif değer

alamazlar. Ayrıca, belirlenen hedefin sadece ya altında ya da üstünde bir durum

gerçekleşeceğinden, negatif ve pozitif sapma değişkenlerinden biri daima sıfır değerini alır.

Hedef kısıtlarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen veya istenmeyen değişken olarak da

adlandırılır.

Negatif Sapma Değişkeni (×�{): Hedefin ne kadar altında kalındığını gösteren

değişkendir. Alt sapma olarak da adlandırılır. Örneğin aylık işgücü kullanımının en az 400 saat

olarak belirlendiği bir hedefte aylık işgücü kullanımı 350 saat olarak gerçekleşmiş ise bir

negatif sapmadan söz edilebilir. Bu durumda negatif sapma 400-350=50 işgücü saati olarak

hesaplanacaktır.

Hedef = 400 işgücü saati (en az)

Gerçekleşen = 350 işgücü saati

Negatif Sapma = 50 işgücü saati

Pozitif Sapma Değişkeni (×�g): Hedefin ne kadar aşıldığını gösteren değişkendir. Üst

sapma olarak da adlandırılır. Örneğin aylık işgücü kullanımının en fazla 400 saat olarak

belirlendiği bir hedefte aylık işgücü kullanımı 450 saat olarak gerçekleşmiş ise bir pozitif

sapmadan söz edilebilir. Bu durumda pozitif sapma 450-400=50 işgücü saati olarak

hesaplanacaktır.

Hedef = 400 işgücü saati (en fazla)

Gerçekleşen = 450 işgücü saati

Pozitif Sapma = 50 işgücü saati

Hedef kısıtları (≥), (≤), (=) şeklinde bulunabilir. Hedef programlamada model

kurulurken kısıtın yönüne göre pozitif sapma, negatif sapma veya her iki sapma eklenerek kısıt

sağ taraf sabitine eşitlenir. Hedef kısıtlarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen veya

istenmeyen değişken olarak da adlandırılır.

Hedef kısıtı (≥) yönünde ise ×�g istenen, ×�{ ise istenmeyen sapma değişkenidir.

Hedef kısıtı (≤) yönünde ise ×�g istenmeyen, ×�{ ise istenen sapma değişkenidir.

Hedef kısıtı (=) şeklinde ise ×�g ve ×�{ değişkenlerinin her ikisi de istenmeyen sapma

değişkenleridir.

Örneğin bir üretim işletmesinde üretilen + ürününe günlük günlük kota uygulandığını

düşünelim. Eğer yönetici A ürünü üretim miktarını en az (≥) 1000 adet olarak belirlemiş ise ×�g istenen, ×�{ ise istenmeyen sapma olmaktadır. Yani yönetici 1000 adet + ürünü üretme

hedefinin altında kalmak istememekte, 1000 adetten fazla üretimi ise hedefin ihlali olarak

görmemekte ve istenen bir durum olarak kabul etmektedir. Aynı mantıkla eğer yönetici + ürünü

198

üretim miktarını en fazla (≤) 1000 adet olarak belirlemiş ise×�g istenmeyen, ×�{ ise istenen

sapma olmaktadır. Yani yönetici 1000 adet + ürünü üretme hedefinin üstüne çıkmak

istememekte, 1000 adetten az üretimi ise hedefin ihlali olarak görmemekte ve istenen bir durum

olarak kabul etmektedir.

Şayet yönetici tam (=) olarak 1000 adet A ürünü üretilmesini hedeflemiş ise bu

durumda 1000 adetin altında ve üstünde kalan tüm üretim miktarları istenmeyen durum olarak

kabul edilecek, böylece ×�g ve ×�{ değişkenlerinin her ikisi de istenmeyen sapma değişkenleri

olarak modele dâhil edilecektir.

Amaç Fonksiyonu: Hedef programlamada amaç istenmeyen sapmaların minimize

edilmesidir. Dolayısıyla amaç fonksiyonu her bir hedefe ilişkin istenmeyen yönlü sapmaların

bir öncelik seviyesi ve/veya ağırlığa göre toplamları şeklinde yazılmasından ibarettir. A ürünü

üretimi miktarına göre belirlenen üç hedef için tek tek amaç fonksiyonu yazılacak olursa,

1000 adet + ürünü üretimi hedefinin altında kalınmak istenmediğinde, min � = Ø){

1000 adet + ürünü üretimi hedefinin üstünde kalınmak istenmediğinde, min � = Ø)g

1000 adet A ürünü üretimi hedefinin altında ve üstünde kalınmak istenmediğinde,

min� = Ø){ + Ø)g olarak belirlenecektir.

8.1.2. Hedef Programlamanın Varsayımları

Doğrusal programlama modellerinin bazı varsayımlar altında kurulduğunu önceki

bölümlerde görmüştük. Doğrusal hedef programlama modeli ile uygun bir çözüm elde

edebilmek için, doğrusal programlama modelleri için geçerli olan oransallık, toplanabilirlik,

bölünebilirlik ve belirlilik varsayımlarının sağlanması gerekmektedir. Bu varsayımlara ek

olarak sağlanması gereken varsayımlar da bulunmaktadır:

Negatif Olmama Varsayımı: Doğrusal programlama modellerinde karar

değişkenlerinin negatif olmama koşuluna ek olarak tüm sapma değişkenlerinin de pozitif olması

(sıfır ve ya sıfırdan büyük olması) koşulu bulunmaktadır.

H! , Ø)g, Ø){ ≥ 0∀(/, 3) Amaçlara Öncelik Verilmesi Varsayımı: Amaçlara öncelik verilerek, ilgili amaçlara

karşı gelen hedeflere de bir öncelik sırası verilmiş olur. Modelde, hedefler öncelik değerlerine

göre sıralanır. Ardından, birinci öncelikli hedeften başlanarak, öncelik sırasıyla, ilgili hedef

gerçekleştirilmeye çalışılır.

Amaçların Ağırlıklandırılması Varsayımı: Hedef programlama modelindeki

sapmaların önem dereceleri birbirinden farklı olabilir. Bu durumda sapmalara ağırlık değerleri

verilebilir. Bu ağırlıklar, her bir sapmanın diğerlerine oranla göreceli olarak önemini gösterir.

199

Modelin amaç fonksiyonu, hedeflerini temsil eden sapmaların ağırlıklandırılmış toplamı hâline

getirilir.

8.2. Hedef Programlama ve Doğrusal Programlama Arasındaki Farklar

Doğrusal hedef programlama ile doğrusal programlama yöntemleri benzer özelliklere

sahip olsa da izleyen noktalarda farklılıklara sahiptirler.

Doğrusal programlamada amaç en iyi çözümü elde etmek iken, doğrusal hedef

programlamada amaç mümkün olduğunca en iyi çözümü elde etmektir.

Doğrusal programlama modelinde tek bir amaç en iyilenmeye çalışılır. Doğrusal hedef

programlama modelinde ise birden fazla amaç için hedef değerleri belirlenir ve bu hedeflerin

hepsi modele alınır.

Doğrusal programlama modelindeki sistem kısıtları kesinlikle sağlanması gereken katı

kısıtlardır. Doğrusal hedef programlama modelinde sistem kısıtlarının yanı sıra hedef kısıtları

yer alır. Hedef kısıtları ise sapmalara izin verilen esnek kısıtlardır.

Doğrusal programlama modelindeki amaç fonksiyonunda karar değişkenleri yer alırken,

hedef programlama modelinde amaç fonksiyonunda karar değişkenleri yer almaz. Hedef

programlama modelindeki amaç fonksiyonu negatif ve/veya pozitif sapma değişkenlerinden

oluşur.

Doğrusal programlamada amaç fonksiyonu maksimizasyon ya da minimizasyon

şeklinde iken, hedef programlamada amaç fonksiyonu sadece minimizasyon şeklindedir.

Bu çok amaçlı programlama modellerinden biri olan hedef programlama, amaçların

hepsini birer kısıt haline dönüştürür ve önem sırasına göre amaçlardan sapmayı minimize

etmeye çalışır. Bir hedef programlama (HP) modeli, bir karar vericinin çeşitli amaç ya da

hedeflerini eş zamanlı olarak dikkate alır. Herhangi bir (Doğrusal Programlama) DP ve (Hedef

Programlama) HP probleminde eğer tüm kısıtlar aynı anda sağlanamıyorsa model için uygun

çözüm elde edilemez. Hedef programlamanın amacı, tüm kısıtları sağlayan ve mümkün olduğu

kadar tüm hedeflere ulaşan bir çözüm bulmaktır.

Hedef Programlama (HP) ilk defa doğrusal hedef programlama olarak Charnes ve

Cooper (1961) tarafından geliştirilmiştir. Bu yöntemin temeli doğrusal programlamaya dayanır.

Bu yöntemde karar vericiden, her bir amaç için erişilmesini arzu ettiği bir hedef değer

belirlemesi istenir. Daha sonra, tercih edilen çözüm bu hedef değerlerden sapmaları minimum

kılan çözüm olarak belirlenir.

Hedef programlama, doğrusal programlamada olduğu gibi amaç kriterini doğrudan

maksimize veya minimize etmek yerine, hedefler arasındaki sapmaları minimize yapmaktadır.

Hedef programlama modeli makul çözümler bulmak amacı ile karar vericinin birden fazla

amacı aynı anda göz önünde bulundurması için faydalıdır. Bununla birlikte, yalnızca kısmi bilgi

200

elde edilmesi sebebi ile her amacın hedeflenen değerinin kesin hesaplanması karar verici için

zordur. Hedef Programlamanın en önemli özelliği birbiri ile zıt yönetimsel problemleri içeren

birden fazla hedefi, hedeflerin önemine göre atama yapabilmesidir.

Karar vericiler için bu tekniğin en önemli özelliği; her bir tercihe veya nitelendirmeye

doyurucu bir hedef değerini atayabilmesidir. Hedef programlama ile istenmeyen sapma

değişkenleri fonksiyonu minimum kılınır. Her bir amaç için spesifik sayısal hedef sağlamak

maksadıyla, her amacın fonksiyonu formüle edilir ve bu amaçları kaçırmadan, doğan toplam

cezayı minimum kılan bir çözüm aranır.

Bu toplam ceza, amaç fonksiyonlarının her birinin hedeflerinden sapmalarının ağırlıklı

toplamını ifade eder.

Karar verici öncelikle ilgi hedefleri ve bu hedefler için kabul edilen öncelikleri belirler.

Genellikle hedefler sıralanır ve her öncelik düzeyindeki hedeflere öncelikli ağırlıklar verilir. Bu

öncelikli ağırlıklar, sayısal değer veya kodlar verilerek yapılır. Yüksek öncelikli hedefler daha

düşük öncelikli hedeflerden önce doyurulur. Hedef programlama, problem kısıtlayıcılarına

bağlı olarak önceliklendirilen hedeflerden sapmaları minimum kılar.

Hedef programlama, çok amaçlı karar verme problemlerini çözmek için karar vericilere

doyurucu bir çözüm kümesini sağlayan önemli bir teknik olduğu gibi, karar vericinin her bir

nitelendirmesine de doyurucu bir hedef değerini atayabilmektedir. Hedef programlama, çok alt

hedefi olan çok hedefli problemler gibi çok alt hedefli tek bir hedefi amaçlayan karar

problemlerinin çözümünde kullanılan doğrusal programlamanın genişletilmiş özel bir

durumudur. Hedef programlamada, doğrusal programlamada olduğu gibi amaç fonksiyonunun

boyutsal bir kısıtlaması yoktur.

8.3. Hedef Programlamanın Formülasyonu

Hedef programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi amaç kriterinin doğrudan

maksimize veya minimize yapılmasının yerine, hedefler arasındaki sapmalar minimize edilir.

Doğrusal programlamanın simpleks algoritmasında yer alan bu gibi sapmalar aylak değişkenler

olarak isimlendirilirken, bu sapan değişkenler hedef programlamada yeni bir anlam kazanırlar.

Sapan değişkenler her bir hedeften hem pozitif yönde hem de negatif yönde sapmalar şeklinde

iki boyutta gösterilir. Amaç fonksiyonu yalnızca bu sapan değişkenlerden oluşturulur.

Bir HP modeli genel olarak aşağıdaki formda ifade edilir:

Min (Hedeflerden sapmaların toplamı)

Kısıtlar

Hedef denklemleri

Fonksiyonel kısıtlar (varsa)

Tüm değişkenler (karar ve sapma değişkenleri) için negatif olmama kısıtı

201

Değişkenler:

!: 3. karar değişkeni

�)! : i. hedefin 3. karar değişkeni katsayıları

.) : /. hedef için hedeflenen değer

Ø)g: /. hedefin pozitif sapma değişkeni

Ø){: /. hedefin negatif sapma değişkeni

Gerçek hayatta karşılaşılan problemlerin çoğu birden fazla ve genellikle birbiriyle

çelişen amaca sahiptir. Karar vericinin amacı, tüm bu amaçları aynı anda gerçekleştirmektir.

Ancak, birden fazla amacın aynı anda ele alındığı bu tür karar problemlerinin çözümünde,

önceki bölümlerde kullandığımız doğrusal programlama yöntemi yetersiz kalmaktadır. Birden

fazla amacın en iyilenmeye çalışıldığı problemlerin çözümünde ise çok amaçlı karar verme

yöntemlerine ihtiyaç duyulur. Bu yöntemlerden biri de hedef programlama yöntemidir.

Genel olarak /. hedefin matematiksel gösterimi şu şekilde oluşturulur:

�%)� = ÚØg + Ú�Ø�g

Kısıtlar:

{Fonksiyonel kısıtlar grubu}

{Hedef kısıtlar grubu}

Aynı anda hem pozitif sapma hem de negatif sapma meydana gelemeyeceğin densapan

değişkenlerin en az bir tanesinin veya her ikisinin de sıfır olması gerekmektedir. İstenmeyen

sapan değişkenlerin belirlenmesinden sonra hedef programlama formülasyonu yapılır. Bu

değişkenler içerisinden yalnızca bir tanesi karar verici tarafından minimize yapılmak istenir.

Hedef kısıtlayıcılarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen veya istenmeyen

değişken olarak da adlandırılır.

Hedef kısıtlayıcısı ≥ yönde ise Ø)g istenen değişken, Ø){ ise istenmeyen sapma

değişkenidir.

Hedef kısıtlayıcısı ≤ yönde ise Ø){ istenen, Ø)g ise istenmeyen sapma değişkenidir.

Hedef kısıtlayıcısı = ise Ø)g ve Ø){ her ikisi de istenmeyen sapma değişkenleridir.

202

Örnek:

Bir şirket 3 farklı model ayakkabı üretmektedir. Bu modellerin her birisi için gereken

işgücü miktarı sırasıyla 2, 3 ve 2 saattir. Yine bunların üretimi için gerekli malzeme miktarları

da sırasıyla 3, 2 ve 1 kg/çift olarak belirlenmiştir. Şirketin elinde aylık 6500 saat işgücü ile 8600

kg. malzeme bulunmaktadır. Şirket model-1 ayakkabı çiftinden 4 TL, model-2 ayakkabı

çiftinden 6 TL ve model-3 ayakkabı çiftinden de 5 TL kâr etmektedir. Yönetici aylık en az

15000 TL kârı ve model-2 ayakkabıdan da en az aylık 860 çift üretmeyi hedeflemektedir.

Problemin klasik doğrusal programlama modeli;

Amaç Fonksiyonu;

e�µf� = 4H + 6H� + 5HL Kısıtlayıcılar;

2H + 3H� + 2HL ≤ 6500 (Aylık elverişli işgücü miktarı)

3H + 2H� + HL ≤ 8600 (Aylık gerekli malzeme miktarı)

H, H�, HL ≥ 0 Bu problemin optimal çözümü;

H = 0 ve H� = 0 HL = 3250 e�µf� = 16250 TL’dir.

Bu klasik doğrusal programlama modelinin çözüm değerleri yöneticinin istediği model-

2 ayakkabısının üretim hedefini karşılamamaktadır. Dolayısıyla bu modelin yöneticinin

hedeflerini içeren hedef programlamaya dönüştürülmesi gerekir.

İlk önce modele hedef kısıtlayıcılarının eklenmesi gerekir.

Yöneticinin iki hedefi vardır;

- Aylık kârının en az 15000 TL olması,

- Model-2’den en az 860 çift ayakkabı üretilmesi.

Belirlenen aylık 15000 TL’lik kâr hedefine ilişkin sapma değişkenleri aşağıdaki gibidir.

dg = Belirlenen aylık 15000 TL’lik kâr hedefini aşan miktar (TL olarak)

Ø{ = Belirlenen aylık 15000 TL’lik kâr hedefinin altında kalan miktar (TL olarak)

203

(Kâr hedefinin üzerine ve de altına düşmek aynı anda gerçekleşemeyeceği için, bu

sapma değerlerinden en az birisi sıfır olacaktır.)

Aylık kâr hedefi kısıtlayıcısı;

4H + 6H� + 5HL + Ø{ − Øg = 15000 Model-2 ayakkabıdan aylık en az 860 çift üretim hedefine ilişkin sapma değişkenleri

d2’dir.

Ø�g = Belirlenen aylık model-2 ayakkabı hedefini aşan miktar

Ø�{ = Belirlenen aylık model-2 ayakkabı hedefinin altında kalan miktar

Üretim hedefi kısıtlayıcısı;

H�– Ø�g + Ø�{ = 860 Hedef programlamada, sapma değişkenlerini içermeyen kısıtlayıcılar sistem

kısıtlayıcılarıdır. Bu problemde işgücü ve malzeme kısıtlayıcıları sistem kısıtlayıcılarıdır. Karar

verici, sistem kısıtlayıcıları için bir hedef koyar ise elbette bu kısıtlayıcılar da sapma

değişkenlerini içerecektir.

Hedef amaç fonksiyonunu oluşturmak için istenen iki hedefin ele alınması gerekir.

İlk hedef için amaç fonksiyonu; (aylık en az 15000 TL kâr elde etmek)

e/4� = Ø{

(Burada Ø{ istenmeyen sapma değişkeni olduğu için amaç fonksiyonuna alınır ve bu

değişkenin değeri en küçüklenmeye çalışılır.)

İkinci hedef; model-2’den aylık en az 860 çift üretmek

Buna göre bu iki hedefin oluşturduğu hedef programlamanın amaç fonksiyonu;

e/4� = Ø{ + Ø�{

Bu fonksiyonun iki sapma değişkeninden oluşan çok değişkenli bir fonksiyon olduğu

görülmektedir. Ayrıca sapma değişkenlerinin ölçü birimleri ilk hedef için TL, ikinci hedef için

ise ayakkabı çiftinin sayısıdır. Bu nedenle, problem çözümünün sonucunda ulaşılan amaç

fonksiyonunun toplam değerini yorumlarken ekonomik anlam aramak hatalı olacaktır. Bunun

yerine amaç fonksiyonunu oluşturan bileşenlerin ayrı ayrı değerlendirilmesi gerekir. İşte bu

sakıncayı önlemek için bazı kaynaklarda değişkenler arasına virgül konularak amaç

fonksiyonunun ifade edildiği görülebilmektedir. Yani örnekteki amaç fonksiyonu;

e/4� = (×X{, ×Y{) şeklinde de ifade edilebilir.

204

Örnekteki hedef programlama modelinin amaç fonksiyonu;

e/4� = Ø{ + Ø�{

Kısıtlayıcılar;

4H + 6H� + 5HL + Ø{ − Øg = 15000 (aylık kâr hedefi)

H�– Ø�g + Ø�{ = 860 (model-2 ayakkabısı aylık üretim hedefi)

2H + 3H� + 2HL ≤ 6500 (işgücü kısıtlayıcısı)

3H + 2H� + HL ≤ 8600 (malzeme kısıtlayıcısı)

H, H�, HL, Ø{, Øg, Ø�{, Ø�g ≥ 0 Problemin Optimal Çözümü;

H = 0, H� = 844 , HL = 1984, Ø{ = 16 olarak bulunmuştur.

Modele göre 2. ve 3. Ayakkabı türünden üretim yapılmakta ve ilk hedefin 16 TL altında

kalınmıştır. Ayrıca ikinci hedef olan aylık 860 çift ayakkabı üretme amacına sapmasız

ulaşılmıştır.

8.4. Hedef Programlama Türleri

Hedef programlamada, karar vericilere bağlı olarak herhangi bir önceliği ya da ağırlığı

olmayan ya da belirli bir öneme ve/veya ağırlığa sahip amaçların en iyilenmesine

çalışılmaktadır. Dolayısıyla, geliştirilen amaç fonksiyonunun yapısına göre hedef programlama

türleri beş başlıkta sınıflandırılmaktadır:

• Tek hedefli programlama

• Eşit ağırlıklı çok hedefli programlama

• Ağırlıklı çok hedefli programlama

• Öncelikli çok hedefli programlama

• Öncelikli-ağırlıklı çok hedefli programlama

8.4.1. Tek Hedefli Programlama

Ele alınan problemin tek bir hedefi olması durumunda ortaya çıkan hedef programlama

türüdür. Hedef türüne bağlı olarak, amaç fonksiyonu üç farklı biçimde kurulur:

205

min� = Ø){

min� = Ø)g

min� = Ø){ + Ø)g

8.4.2. Eşit Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama

Ele alınan problemin hedeflerinin herhangi bir önceliğinin bulunmaması ve sapma

değişkenlerinin de eşit önemli olması hâlinde ortaya çıkan programlama türüdür. Amaç

fonksiyonu da istenmeyen sapma değişkenlerinin toplamı şeklinde kurulur.

Örneğin isteyen sapma değişkenlerinin Ø{, Ø�g, Ø�{, ØLg olduğu durumda eşit ağırlıklı

çok hedefli programlama modelinin amaç fonksiyonu,

Min� = Ø{ + Ø�g + Ø�{ + ØLg

şeklinde yazılır.

8.4.3. Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama

Hedeflerdeki sapma değişkenlerinin önem derecelerinin birbirinden farklı olması

hâlinde sapma değişkenlerine Ú) ağırlık değerleri verilmektedir. Bu ağırlıklar, her bir sapma

değişkeninin diğerine oranla göreceli olarak önemini göstermektedir. Amaç fonksiyonu, sapma

değişkenlerinin ağırlıklandırılmış toplamının minimizasyonu şeklinde oluşturulur. Bu yaklaşım

genellikle eşit ağırlıklı çok hedefli problemlerin sapma değişkenlerinin boyutları/ölçü birimleri

farklı olduğunda tercih edilir. Örneğin hedef olarak kâr ve üretim miktarı belirlenmiş ise sapma

değişkenleri arasındaki ölçü birimi farklılığından dolayı ağırlıklar kullanılarak model

kurulmaktadır.

Birinci sapma değişkeninin ikinci sapma değişkenine nazaran göreceli olarak 10 kat

daha önemli olduğu bir hedef programlama modeli Ú = 10, Ú� = 1 olmak üzere,

min� = ÚØ{ + Ú�Ø�g

min � = 10Ø{ + 1Ø�g

şeklinde kurulur.

Sapma değişkenlerine ağırlık verilmesi durumu bir hedef için negatif ve pozitif sapma

değişkenlerinin birbirine göre önemli olması durumunda da gerçekleşebilir.

8.4.4. Öncelikli Çok Hedefli Programlama

Karar verici açısından bir hedefe ulaşmak diğer hedeflere ulaşmaktan daha önemli

olabilir. Dolayısıyla, öncelikli hedef programlamada karar verici hedeflere bir öncelik

belirlemekte ve bu önceliklere göre hedefleri sıralandırmaktadır. Buradaki ana fikir, ilk

206

öncelikli hedef ve/veya hedeflerin sonraki öncelik seviyesindeki hedef ve/veya hedeflerden

önce gerçekleştirilmesidir.

Ağırlıklı çok hedefli programlamadan farklı olarak, yüksek öncelikli hedefin en iyi

değerinin düşük öncelikli hedef tarafından kötüleştirilmesine izin verilmeyecek şekilde her

seferinde bir hedef en iyi kılınır.

Öncelikli çok hedefli programlamada, toplam µ adet öncelik belirlenmesi hâlinde,

birinci öncelikli hedef önceliği ve en düşük hedef önceliği ' olmak üzere, diğer hedef

öncelikleri > � > ⋯ > ' şeklinde sıralanır.

Karar vericinin 3 öncelik seviyesinde 6 hedefi sınıflandırdığını düşünelim (hedeflerden

sapmaların yönü rassal atanmıştır). Öncelik seviyelerine göre hedefler,

Birinci Öncelik Seviyesi; Hedef 1, Hedef 3

İkinci Öncelik Seviyesi; Hedef 2

Üçüncü Öncelik Seviyesi; Hedef 4, Hedef 5, Hedef 6

şeklinde gruplandığı durumda, kurulacak hedef programlama modelinin amaç

fonksiyonu,

min � = (Øg, ØLg) + �(Ø�g) + L(Ø|g, Ø}{, Ø~{) olarak ifade edilir.

Örnek:

Bir firma su emişli ve hava emişli olmak üzere iki tür elektrik süpürgesi üretmektedir.

Her iki ürünün üretimi için iki işlem gerekir. Bir birim su emişli süpürgenin üretimi için işlem-

1’de 6 saat, işlem-2’de ise 3 saat gereklidir. Birim hava emişli süpürge üretimi için her iki

işlemde de ayrı ayrı 3 saat gereklidir. Firmanın elindeki işlem zamanı ise işlem-1’de 120 saat,

işlem-2’de 90 saattir.

Firma yöneticisi en az 15 tane su emişli ve 15 tane hava emişli süpürge üretmek

istemekte ama birinci hedefin ikinci hedeften üç kat daha önemli olduğunu belirtmektedir. Buna

göre öncelikli hedef programlama modelini kurarak optimal çözümü bulunuz?

Örnekteki hedef programlama modelinin amaç fonksiyonu;

Min z = ×X{ +Z×Y{

Kısıtlayıcılar;

x1+ Ø{ - ÛXg = 15 (Hedef Kısıtlayıcısı-1)

x2 – ×Yg + ×Y{ = 15 (Hedef Kısıtlayıcısı-2)

207

6 x1 + 3 x2 ≤ 120

3 x1 + 3 x2 ≤ 90

x1, x2, Ø{, ÛXg ,×Yg, ×Y{ ≥ 0

Optimal Çözüm;

x1 =7,5

x2 =15

×X{ = [, a ×Y{ = \

İkinci hedefin öncelikli olarak gerçekleşmesine ilişkin verilen ağırlık nedeniyle su

emişli hedeften 7,5 adetlik bir sapma gerçekleşmiştir. Hava emişli elektrik süpürgesi üretiminde

ise istenilen hedefe ulaşılmıştır.

8.4.5. Öncelikli-Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama

Öncelikli hedef programlama modellerinde bazı durumlarda sapma değişkenlerinin

farklı ağırlıklara sahip olduğu durumlar da karşımıza çıkabilmektedir.

Örneğin bir işletmenin üç öncelikli üç farklı amacı olsun.

Birinci öncelikli birinci hedef için hem negatif hem de pozitif sapma değişkenleri

istenmeyen değişkenlerdir.

Birinci hedef için negatif sapma pozitif sapmadan 2 kat daha önemlidir.

İkinci hedef üçüncü, üçüncü hedef de ikinci öncelikli hedef olarak belirlenmiştir.

İkinci hedef için pozitif üçüncü hedef için ise negatif sapma değişkenleri istenmeyen

değişkenlerdir.

Bu durumda ilgili problem için amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde kurulur;

min � = (2Ø{) + (Øg) + �(ØL{) + L(Ø�g)

208

Uygulamalar

Aşağıda modeli verilen bir HP probleminin optimal çözümü WinQSB veya ABQM paket

programları ile çözülerek verilmiştir.

Model:

12H + 15H� + 9HL ≥ 125 Kâr amacı

5H + 3H� + 4HL = 40 İşçilik Amacı

5H + 7H� + 8HL ≤ 55 Yatırım Amacı

Ø = 12H + 15H� + 9HL − 125 Kâr amacı

Ø� = 5H + 3H� + 4HL − 40 İşçilik Amacı

ØL = 5H + 7H� + 8HL − 55 Yatırım Amacı

Ø = Øg − Ø{ burada Øg ≥ 0 Ø{ ≥ 0 Ø� = Ø�g − Ø�{ burada Ø�g ≥ 0 Ø�{ ≥ 0 ØL = ØLg − ØL{ burada ØLg ≥ 0 ØL{ ≥ 0

Ø!g = ÜØ! ; Ø! ≥ 0ise0 ; değilse

Ø!{ = ÝÞØ!Þ ; Ø! ≤ 0ise0 ; değilse

Ø!g, Ø! değişkeninin pozitif kısmı,

Ø!{, Ø! değişkeninin negatif kısmı,

min � = 5Ø{ + 2Ø�g + 4Ø{ + 3ØLg

209

12H + 15H� + 9HL − (Øg − Ø{) = 125 5H + 3H� + 4HL − (Ø�g − Ø�{) = 40 5H + 7H� + 8HL − (ØLg − ØL{) = 55

Çözüm Sonuçları:

H = 25/3 H� = 0 HL = 5/3 Øg = 0 Ø{ = 0 Ø�g = 25/3 Ø�{ = 0 ØLg = 0 ØL{ = 0 Ø = 0 Ø� = 25/3 ØL = 0 � = 50/3

210

Uygulama Soruları

Hedef programlamada en iyi çözüm yerine elde edilen etkin çözüm ile ne ifade

edilmektedir?

211


Bu bölümde çok amaçlı programlama yöntemlerinde en sık kullanılan Hedef

Programlama konusu incelenmiştir. Literatürde amaç programlama gibi isimlerde almaktadır.

(Goal Programming)

212

Bölüm Soruları

1) Ø{, Ø�{ değişkenleri Hedef Programlamada hangi isimle adlandırılır?

a) Sapma değişkenleri

a) Karar değişkenleri

c) Yapay değişkenleri

d) Aylak değişkenleri

e) Artık değişkenleri

2) Hedef programlamada amaç ……………………… minimize etmektir.

a) Karar değişkenleri

b) Sapma değişkenleri

c) Yapay değişkenleri

d) Aylak değişkenleri

e) Artık değişkenleri

3) Bir işletme aylık üretim dönemine ilişkin üç hedef belirlemiştir. Bu hedefler sırasıyla,

en fazla 300 saat işçilik kullanılması, bakım giderleri için tam olarak 1000 lira ödenmesi ve

aylık kârın en az 6000 lira olması şeklindedir. Hedefler için herhangi bir öncelik ve ağırlık

verilmemesi durumunda, firmanın hedef programlama probleminde oluşturulan amaç

fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

a) Min Z = Øg + Ø{ + Ø�g + Ø�{ + ØLg + ØL{

b) Min Z = Ø{ + Ø�g + Ø�{ + ØL{

c) Min Z = Øg + Ø�g + Ø�{ + ØL{

d) Min Z = Øg + Ø�{ + ØL{

e) Min Z = Ø{ + Ø�{ + ØL{

213

4) ……………………… birden çok amacın modelde yer almasına izin verir.

a) Dinamik programalama

b) Hedef programlama

c) Doğrusal Programlama

d) Çok düzeyli programlama

e) Dual programlama

5) Bir önceki soruda ele alınan problemin ilk iki amacı eşit önemde ve üçüncü amacı da

diğer amaçlardan daha önemli olması durumunda oluşturulacak amaç fonksiyonu

aşağıdakilerden hangisidir?

a) Min Z = ØL{ + �(Øg + Ø�g + Ø�{) b) Min Z = Ø{ + �(Ø�g + Ø�{) + ( LØL{) c) Min Z = ØL{ + �(Øg + Ø{ + Ø�g + Ø�{) d) Min Z = Øg + �(Ø�{ + ØL{) e) Min Z = (Ø{ + Ø�{) + �ØL{

6) Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır.

a) “Düşük” tek taraflı hedef, altına düşmek istemediğimiz bir alt sınırı ifade eder.

b) Çift taraflı hedef, altında ve üstünde kalmak istemediğimiz sınırları ifade eder.

c) Hedef programalamada amaç hedeften sapmaların en küçüklenmesidir.

d) Öncelikli hedef programlamada tüm hedefler eşit önceliğe sahiptir.

7) Hedef programlamada amacımız değişkenlere ait sapmaların mümkün olduğunca

sıfıra yaklaşması / eşit olmasını sağlamaktır.

a) Doğru

b) Yanlış

214

8) Hedef programalama modelleri her zaman maksimizasyon amacına sahiptir.

a) Doğru

b) Yanlış

9) Lineer programlama dışında problemin kendine özgünlüğünden ötürü

kullanabileceğimiz başka modeller de mevcuttur. Şayet problem birden çok amacı

barındırıyorsa ……………… modeli kullanılabilir.

a) Dinamik programalama

b) Hedef programlama

c) Simülasyon

d) Çok düzeyli programlama

e) Dual programlama

Cevaplar

1) a, 2) b, 3) , 4) b, 5) , 6) d, 7) a, 8) b , 9) b.

215

9. ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME: ANALİTİK HİYERARŞİ PROSES

216


9.1. Çok Kriterli Karar Verme

9.2. Çok Nitelikli Karar Verme

9.3. Analitik Hiyerarşi Süreci

9.4. Analitik Network Süreci

217


1) Çok kriterli karar verme teknikleri hangileridir?

2) Çok nitelikli karar verme teknikleri hangileridir?

3) Hangi tip problemlerde AHP kullanılır?

218



Çok kriterli ve Çok

nitelikli karar verme

Çok kriterli ve Çok nitelikli

karar verme tanımlarını

anlamak

Okuyarak, Tekrar yaparak

Analitik Hiyerarşi Proses Analitik Hiyerarşi Süreci ile

seçim yapabilmek Okuyarak, Tekrar yaparak

219

Anahtar Kavramlar

• Çok Kriterli Karar Verme

• Çok Nitelikli Karar Verme

• Analitik Hiyerarşi Proses

220

9.1. Giriş

Karar Verme (KV), hedefe ulaşmak ve amacı gerçekleştirmek için alternatif davranış

biçimleri arasından seçim yapma eylemidir. Yaşamsal ve yönetsel fonksiyonların özünde karar

verme yer alır. İnsanlar ve yöneticiler hayatın her aşamasında ve gerçekleştirdikleri her

fonksiyonda karar vermek zorundadırlar. Bir iş veya davranış nerede, kim tarafından, ne zaman,

nasıl gerçekleştirilecektir? Tüm bu soruların cevabı olabilecek çok sayıda alternatif arasından

en uygun olanını seçmek karar vermenin amacıdır.

9.2. Karar Verme

T.L. Saaty kararı (karar verme süreçlerini) "Sezgisel" ve "Analitik" olarak ikiye

ayırmaktadır. Sezgisel kararlar, verilerle desteklenmez ve genelde keyfi bir biçimde verilirler.

Bazı basit, derinliği olmayan karar durumlarında sezgisel yaklaşım başarılı olabilir. Ancak,

bilgi gerektiren karmaşık karar durumları ile karşılaşıldığında, karar vericiler sonuçta verdikleri

kararların kendi değer yargılarından sapmalar gösterdiğini görebilirler. Bu sapmaların

görülmediği durumlar için "iyi karar verme" ifadesi kullanılmaktadır. Kişinin sezgisel gücünü

vurgulamak anlamında iyi karar verme, bir "sanat" olarak görülmüştür. Günümüzde karar

verme uzun zamandır inanıldığının aksine bir "sanat" olmaktan çok bir "bilimsel süreç" haline

gelmeye başlamıştır. Bir kararın başarılı sayılabilmesi için, sıklıkla bir birleriyle çatışan değişik

aktörleri ve faktörleri bir arada değerlendirerek, tüm bunları tatmin eden sonuçlara ulaşabilmesi

ve bu sonuçların geçerliliğini zaman içinde koruması gerekmektedir. Bu nedenle kişilerin değer

yargılarını nesnel ve analitik metotlarla bir araya getiren yaklaşımlar geliştirilmiştir. Herkes

"iyi" ve "başarılı" kararlar vermeye çalışır. Ancak "iyi" kavramının kesin bir tanımı yoktur.

Karar vericiler "iyi sonuçları olan" kararlar ile ilgilenirler. Analistler veya akademisyenler ise

bilimsel teori çerçevesinde iyi oluşturulmuş ve karar faktörlerinin tümünü dikkate alan bir karar

verme sürecinin "iyi" karar vermeye yol açacağını savunurlar. Yine de ortak bir nokta olarak,

iyi bir kararın, amaçları en iyi şekilde karşılayan karar olması gerekliliği vurgulanabilir. "İyi"

ya da "rasyonel" karar verme sadece insana has bir özelliktir. Dolayısıyla, insan, karşısına çıkan

ve giderek daha karmaşık bir hal alan karar problemlerinde iyi kararlar verebilmek için sürekli

olarak yollar ve araçlar geliştirmektedir.

Yönetim bilimi literatüründe son yıllarda giderek artan bir ilgi gören Çok Kriterli Karar

Verme (ÇKKV) alanı, bir karar durumu ile ilgili olarak birbiri ile çatışan birden fazla kriteri

karşılayan olası "en iyi/en uygun" çözüme ulaşmaya çalışan yaklaşım ve yöntemleri bünyesinde

barındırmaktadır. ÇKKV, eğer temel amaç en iyi alternatifin tasarlanması değil de başlangıçta

belirgin ve sayılabilir özellikteki aday, plan, politika, strateji, hareket biçimi alternatiflerinin

karşılaştırılması, derecelendirilmesi, sınıflandırılması veya bunlar arasından en iyisinin

seçilmesi ise Çok Nitelikli Karar Verme (ÇNKV) adını alır.

İşte Çok Kriterli Karar Verme süreçleri, karmaşık karar problemlerini bilimsel ve

analitik bir çerçevede ele alarak karar vericiye en çok istediği çözüme ulaşmasında yardımcı

olmaya çalışan prosedürler bütünü olarak ortaya çıkmıştır. Çok Kriterli Karar Verme (kısaca

ÇKKV) (Multiple Criteria Decision Making-MCDM), en kısa tanımıyla; "Çoklu ve birbiriyle

çatışan amaçların (kriterlerin) gerçekleştirilmek istendiği problemlerin çözümüne" verilen

221

genel isimdir. Çok Kriterli Karar Verme alanında inceleme yaparken şu iki soru akla gelebilir:

"ÇKKV, işletme yöneticilerinin veya genel olarak kişi ve organizasyonların her gün

karşılaştıkları ve çözümlemeye çalıştıkları gerçek-hayat problemleri midir?" veya “ÇKKV,

matematik ve istatistik ile desteklenen Yönetim Bilimi veya Yöneylem Araştırması alanının

kapsadığı bir Yönetsel Karar Verme Modelleri kümesi midir?". İkinci soru, ÇKKV

literatüründe yer alan bazı matematiksel işaretler ve teknik dil ile ilk kez karşılaşan biri

tarafından daha basitçe şöyle sorulabilir: "ÇKKV bir tür matematik midir?". Bu sorulara yanıtın

"Her ikisi de..." şeklinde verilmesi mümkün görünmektedir. Bir yönüyle ÇKKV, karar verici

(kişiler, kurumlar, yöneticiler) açısından günlük hayatta karşılaşılabilecek problemlerin

çözümlenme çabasıdır. Ancak diğer yönüyle, rasyonel karar vermeye yardımcı olmak için

analist veya bazen karar vericinin kendisi tarafından problemin modellenmesi ve yöntemler

kullanılması yolu ile en yüksek tatminin sağlanabileceği çözümlere ulaşılması çabasıdır. Bu

noktadan hareketle; ÇKKV, hem bir yaklaşımı temsil eder hem de, çoklu, aynı ölçüye sahip

olmayan ve birbiriyle çatışan kriterlerle karakterize edilebilecek problemlerle karşılaşan

insanlara, kendi değer yargılarına uygun seçimler yapmalarında yardımcı olması için

tasarlanmış teknik veya yöntemleri kapsayan bir üst kavramı anlatır. ÇKKV, Yöneylem

Araştırmasının son yıllarda en hızlı gelişen dalı olarak görülmekte ve bu alanın özü olan

problem çözmede sistem düşünüşü, çok disiplinlilik ve bilimsel yaklaşım karakterlerini

yenileyen ve canlandıran bir alanı temsil etmektedir. Bu alanda çalışmaların odak noktası,

"karar vericiye karşılaştığı problemi yapılandırmasında ve çözüme ulaşmasında yardımcı olma"

noktasına kaymıştır. Böylelikle, “veri olan” ve "iyi yapılandırılmış" problemlerin bilgisayar

destekli etkin algoritmalarla optimizasyonu süreçlerinin kullanılmasına odaklanılmaktan

uzaklaşılmıştır. Tüm bunların yanında ÇKKV’nin, yeterince olgunlaşmış ve çok yönlü bir teori

olma özelliği gösterdiği söylenememekte ve bunun sebebi gençliği ve disiplinler arası duruşu

olarak görülmektedir. Bu bölümde çok kriterli karar verme yöntemlerinden Analitik Hiyerarşi

Prosesi üzerinde durulacaktır.

9.3. Analitik Hiyerarşi Prosesi

İlk olarak Myers ve Alpert (1968) tarafından ortaya atılan ve daha sonra Saaty (1977 ve

1982) tarafından geliştirilen Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP), karmaşık ve çok sayıda özellik

içeren karar verme problemlerinde, karar seçenek ve kriterlerine göreceli önem değerleri

verilmek suretiyle yönetsel karar mekanizmasının çalıştırılması esasına dayanan karar verme

sürecidir. AHP’de çok amaçlı karar verme yöntemlerinin temel özelliği olarak sadece nicel

(kantitatif) değil aynı zamanda nitel (kalitatif) değerler de göz önüne alınır.

AHP modeli incelendiğinde sistem yaklaşımı kuramının mevcut olduğu görülür.

Karmaşık karar problemleri, problemi oluşturan bileşenlerin hiyerarşik ilişkilerinin

belirlenmesi sayesinde daha iyi anlaşılabilir duruma getirilmektedir. Karar hiyerarşisinin en

tepesinde ana hedef (amaç) yer almaktadır. Bir alt kademe kararı etkileyen kriterlerden

oluşmaktadır. Bu kriterlerin altında ana hedefi etkileyebilecek özellikler varsa, hiyerarşiye

başka kademeler eklenebilir. Hiyerarşinin en altında karar seçenekleri yer almaktadır. Karar

hiyerarşisinin kurulmasında hiyerarşinin kademe sayısı, problemin karmaşıklığına ve detay

222

derecesine bağlıdır. Aşağıdaki şekilde dört kriterli üç seçenekli basit bir AHP yönteminin

hiyerarşik yapısı görülmektedir.

Şekil 20 AHP - Hiyerarşik Model

Yöntemi geliştiren Saaty’e göre AHP Yöntemi aşağıdaki aşamadan oluşur;

• Karar problemine ilişkin hiyerarşik yapının oluşturulması

• Seçenekler ve karar kriterlerine ilişkin karşılaştırma matrislerinin oluşturulması

• (Önceliklerin) üstünlüklerin belirlenmesi

• Karşılaştırma matrislerinin tutarlılık testinin yapılması

• Bütünleştirme (sentez)

9.4. Hiyerarşik Yapının Oluşturulması

AHP kullanılarak çözülecek problemlerde mümkün olduğunca ayrıntılı bir tanım

yapılır. Bu tanımlar belli bir öncelik hiyerarşisine göre belirlenir. Hiyerarşinin en yüksek

seviyesini ana hedef; en düşük seviyesini karar alternatifleri oluşturmaktadır. İnsanlar karmaşık

sorunlarla karşılaştıklarında söz konusu sorunu daha iyi anlayabilmek için sorunu bileşenlerine

ayırmalı ve bu bileşenleri hiyerarşik bir şekilde düzenlemelidirler. Sorun olabildiğince ayrıntılı

biçimde ortaya konulur ve her biri bir dizi öğeden oluşan hiyerarşik katmanlar halinde incelenir.

Her bir sorun için amaç, kriter, olası alt kriter seviyeleri ve seçeneklerden oluşan hiyerarşik bir

model oluşmuş olur. Bir seviyedeki elemanlar diğer tüm elemanlardan bağımsızdır.

Örneğin C sınıfı sedan aracı seçmek için oluşturulan AHP öreği için hiyerarşik yapı


223

Amaç: En iyi / En uygun C sınıfı sedan aracı seçmek

Kriterler (Faktörler): Fiyat, Performans, Yakıt Tüketimi, Güvenlik, Görünüm, Konfor

Alternatifler (Seçenekler): Ford Focus, Renault Megane, Honda Civic, Opel Astra

9.5. İkili Karşılaştırma Matrislerinin Oluşturulması

Karar vericiden (uzman kişilerden) ikili karşılaştırmalar yaparak, her bir kriter açısından

seçenekler (alternatifler) için birer karşılaştırma matrisi ve de kriterlerin kendi aralarında

karşılaştırılarak bir karşılaştırma matrisi oluşturulur.

Bir karar vericiye birden çok alternatif ve bu alternatiflerin değerlendirileceği birden

çok kriter verilip en uygun alternatifin hangisi olduğu sorulursa kolaylıkla bir cevap veremez.

Aynı karar vericiye 2 alternatiften hangisini tercih ettiği veya 2 kriterden hangisinin daha

önemli olduğu sorulursa kolaylıkla bir cevap verebilir. Analitik hiyerarşi yöntemi de kompleks

bir karar problemini (çoklu alternatif ve çoklu kriter) ikili karşılaştırmalara indirgeyen ve

buradan sonuca ulaşmaya çalışan bir yöntemdir. Saaty, AHP’nin kullanılmasında doğrudan

doğruya ilgili kişilerle yüz yüze anket yapıp, onların ikili karşılaştırmalara ilişkin görüşlerinin

alınmasını önermektedir.

Söz konusu ilgili kişi ve/veya kişiler mutlaka konunun uzmanı olmasalar bile en azından

konuyu bilen, konuya aşina olan kişiler olmalıdır. AHP' nin teorik alt yapısı üç aksiyoma

dayanır. Bu aksiyomlardan birincisi, iki taraflı olma (reciprocity) aksiyomudur. Örneğin, “A

elemanı B elemanının üç katı büyüklüğünde ise B, A’nın üçte biridir. İkinci aksiyom

homojenlik aksiyomudur ve karşılaştırılan elemanların birbirinden çok fazla farklı olmaması

gerektiğini, farklı olması durumunda yargılarda hataların ortaya çıkabileceğini ifade

etmektedir. Üçüncü aksiyom bağımsız olma aksiyomudur ve bir hiyerarşideki belirli bir

kademeye ait elemanlara ilişkin yargıların veya önceliklerin başka bir kademedeki

elemanlardan bağımsız olmasını gerektirir. Bu ifade, üst kademe kriterlerin önceliklerinin yeni

bir seçenek eklendiğinde veya çıkarıldığında değişmeyeceği anlamına gelmektedir.

İkili karşılaştırmalar karar kriterlerinin ve seçeneklerin öncelik vektörlerinin elde

edilebilmesi için tasarlanmıştır. İkili karşılaştırma yargılarının oluşturulmasında, başka bir ifade

ile A kriterinin B kriterine göre ne kadar önemli olduğu karar vericiye sorulduğunda, karar

verici Tablo 9-1’de gösterilen 1-9 puanlı tercih ölçeğinden faydalanmaktadır. Bu ölçeğin

etkinliği farklı alanlardaki uygulamalar ve başka ölçeklerle yapılan teorik karşılaştırmalar

sonucunda saptanmıştır.

Karşılaştırmalar, karşılaştırma matrisinin tüm değerleri 1 olan köşegeninin üstünde

kalan değerler için yapılır. Köşegenin altıda kalan bileşenler için ise doğal olarak aşağıdaki

formülü kullanmak yeterli olacaktır.

224

�!) = 1�)! Yukarıda verilen örnek dikkate alınırsa karşılaştırma matrisinin birinci satır üçüncü

sütun bileşeni (/ = 1; 3 = 3) 5 değerini alıyorsa (�L = 5), karşılaştırma matrisinin üçüncü

satır birinci sütun bileşeni (/ = 3; 3 = 1), formülünden (�L = 1/5) değerini alacaktır.

Tablo 9-1 AHP’de Önem Dereceleri

Önem Derecesi Açıklama

1 Eşit Önem

3 Orta Derecede Önemli Olması

5 Kuvvetli Düzeyde Önem

7 Çok Kuvvetli Düzeyde Önem

9 Aşırı Düzeyde Önem

2, 4, 6, 8 Ortalama Değerleri

Örnek:

Bu ankette sizden, her bir soruda yer alan iki faktörü karşılaştırmanız istenmektedir.

Amaçları tamamen kişisel yargınıza dayanarak karşılaştırınız. Hangi kriter sizin için daha

önemli ise o faktörü yuvarlak içine alınız ve önem derecesi için 1-9 arasında puan veriniz. Puan

derecesi için:

� Bir faktör diğerine göre kesinlikle daha önemli ise 9 puan,

� Bir faktör diğerine göre çok daha önemli ise 7 puan,

� Bir faktör diğerine göre daha önemli ise 5 puan

� Bir faktör diğerine göre biraz daha önemli ise 3 puan,

� İki faktör sizin için eşit derecede önemli ise 1 puan veriniz

� Tercihinizin uygunluk derecesine göre 2, 4, 6 ve 8 ara değerlerini de

kullanabilirsiniz.

“Ürün özellikleri” kriterleri ile ilgili aşağıda her bir soruda karşılaştırma yaparak puan

veriniz.

225

+ = � 1 3 1/51/3 1 1/75 7 1 � 9.6. Önceliklerin Belirlenmesi

İkili karşılaştırma matrislerinin sentezleme işlemi yapılır. Sentezleme işleminde,

matrisin her bir elemanı ait olduğu sütunun toplamına bölünür ve normalize edilmiş matris

oluşturulur. Normalize edilmiş matrisin her bir satırının aritmetik ortalaması alınarak öncelik

vektörü elde edilir. Elde edilen öncelik vektörünün Bu matrisler normalize edilir ve tutarlılıkları

(karar vericinin ikişerli karşılaştırmalarının tutarlı olup olmadığı) kontrol edilir.

Şüphesiz, yargıya dayanan bu ikili kıyaslamalar da uzmanlar da hata yapabilir. AHP

aynı zamanda yargıların tutarlılığını da test eder.

• Tutarlılık oranları (�Ò) hesaplanır.

• ß%&'( değeri hesaplanır.

• Tutarlılık indeks değeri hesaplanır.

• Tesadüfi indeks değeri tablosundan uygun olan değer seçilir.

• Seçilen değer ile tutarlılık indeks değeri karşılaştırılarak matrislerin tutarlılığı test

edilir.

9.7. Karşılaştırma Matrislerinin Tutarlılık İncelemesi

AHP kendi içinde ne kadar tutarlı bir sistematiğe sahip olsa da sonuçların gerçekçiliği

doğal olarak, karar vericinin ölçütler arasında yaptığı birebir karşılaştırmadaki tutarlılığa bağlı

olacaktır. AHP bu karşılaştırmalardaki tutarlılığın ölçülebilmesi için bir süreç önermektedir.

Sonuçta elde edilen Tutarlılık Oranı (�Ò) ile, bulunan öncelik vektörünün ve dolayısıyla

ölçütler arasında yapılan birebir karşılaştırmaların (kararların) tutarlılığının test edilebilmesi

226

imkanını sağlamaktadır. AHP, �Ò hesaplamasının özünü, ölçüt sayısı ile özdeğer adı verilen

(ß) bir katsayının karşılaştırılmasına dayandırmaktadır. ß’nın hesaplanması için öncelikle + karşılaştırma matrisi ile Ú öncelik vektörü çarpılır.

+.Ú =

� �� … �� Ú

�� … �� Ú�

… … … … …

�% ��% … �%� Ú�

Yukarıdaki matris çarpımında tanımlandığı gibi, bulunan +.Ú sütun vektörü ile Ú sütun

vektörünün karşılıklı elemanlarının bölünür. Bu şekilde λ değerleri hesaplanır. Bu değerlerin

aritmetik ortalaması alınarak λ%&'( bulunur.

λ hesaplandıktan sonra Tutarlılık İndeksi (�à), aşağıdaki formülden yararlanarak

hesaplanabilir.

Tutarlılıkİndeksi = �á = λ%&'( − 44 − 1

Son aşamada ise �á, Rasgele İndeksi (âà) olarak adlandırılan ve Tablo 9-2’de

gösterilen standart düzeltme değerine bölünerek �Ò elde edilir. Tablo 9-2’ den kriter sayısına

karşılık gelen değer seçilir. Örneğin 3 kriterli bir karşılaştırmada kullanılacak Òá değeri Tablo

9-2’ den 0,58 olacaktır.

Şekil 21 AHP’de Rasgele İndeks (âà) Değerleri

4 Òá 4 Òá 3 0,58 9 1,45 4 0,90 10 1,49 5 1,12 11 1,51 6 1,24 12 1,48 8 1,41 13 1,56

TutarlılıkOranı = �Ò = �áÒá

227

Hesaplanan �Ò değerinin 0,10’dan küçük olması karar vericinin yaptığı

karşılaştırmaların tutarlı olduğunu gösterir. �Ò değerinin 0,10’dan büyük olması ya AHP’deki

bir hesaplama hatasını ya da karar vericinin karşılaştırmalarındaki tutarsızlığını gösterir.

Örnek:

Yukarıda verilen + karşılaştırma matrisinin tutarlılığını inceleyiniz.

+ = � 1 3 1/51/3 1 1/75 7 1 �

� Matrisi Normalize Matris ã

1 3 1/5 0,16 0,27 0,15 0,19

1/3 1 1/7 0,05 0,09 0,11 0,08

5 7 1 0,79 0,64 0,74 0,72

Toplam 6,33 11,00 1,34 1,00 1,00 1,00 1,00

1 3 1/5 0,19 0,59

+.Ú = 1/3 1 1/7 0,08 = 0,25

5 7 1 0,72 2,27

+.ÚÚ = �0,59/0,190,25/0,080,72/2,27� = �3,043,013,14� → λ%&'( = 3,04 + 3,01 + 3,143 = 3,07

�á = λ%&'( − 44 − 1 = 3,07 − 33 − 1 = 0,072 = 0,035

�Ò = �áÒá = 0,0350,58 = 0,057 < 0,10BunagöreAkarşılaştırmamatrisitutarlıdır.

228

9.8. Bütünleştirme

İkili karşılaştırma matrislerinin oluşturulmasından sonra karşılaştırılan her elemanın

önceliğinin (göreli öneminin) hesaplanmasına geçilmektedir. AHP’nin bu adımı “sentezleme”

adıyla anılır. Sentez aşaması, en büyük özdeğer ve bu özdeğere karşılık gelen özvektörün

hesaplanmasını ve normalize edilmesini içermektedir. Bu şekilde her kriter için öncelik

vektörleri bulunur. Ardından matris işlemleri yardımıyla her bir alternatif için ortalama birer

puan elde edilir. En yüksek puanı alan alternatif, karar vericinin karşılaştırmalarına göre en

uygun olan alternatiftir. Son adımda da kriter kıyaslamalarındaki tutarlılık ölçümü ve karma

kompozisyona göre nihai kararın alınması.

Örnek:

Masiko Mobilya firmasının, büyüyen üretim hacmi için yeni bir fabrika yeri seçmesi

gerekiyor. Firma, yeni yerin seçiminde karar vermek için Analitik Hiyerarşi Süreci’ni

kullanmak istiyor. Masiko Mobilya’nın kararına etki edecek 4 kriteri bulunmaktadır: Emlâk

fiyatı, tedarikçilere uzaklığı, o yerdeki işgücünün kalitesi ve işçilik maliyeti. Firmanın karar

vermesi gereken 3 yer alternatifi bulunmaktadır: A, B ve C.

Çözüm:

Probleme ilişkin AHP hiyerarşik yapı aşağıda oluşturulmuştur.

Bunlardan örnek olarak fiyat matrisini okuyalım: Emlâk fiyatı açısından A ve C

yerleşimleri eşit önem verilerek tercih edilmiş, ancak B’ye göre daha üstün tutulmuştur.

İşgücü

Rezervi

Yer Seçimi

Seçenek A Seçenek B

Seçenek C

Emlak

Fiyatı

Tedarikçi

Yakınlığı

İşgücü

Maliyeti

229

Emlak Fiyatı açısından uzman kişilerce oluşturulan karşılaştırma matrisi ve bu kriter

açısından seçeneklere ilişkin önceliklerin (ağırlıkların) belirlenmesi:

Emlak A B C A B C Ortalama

=] A 1 3 1 A 0,429 0,333 0,455 0,405

B 0,333 1 0,2 B 0,143 0,111 0,091 0,115

C 1 5 1 C 0,429 0,556 0,455 0,480

Toplam 2,333 9,000 2,200 1,000 1,000 1,000 1,000

Önce her sütundaki değerler alt alta toplanarak, sütun toplamları elde edilir. Sonra bu

değerleri aynı sütunun toplamına bölünür (Matris normalize etme). Yeni çıkan matriste, her

sütunun toplamı 1’e eşit olacaktır. Emlak Fiyatı kriterine ilişkin seçenekler için oluşturulmuş

karşılaştırma matrisinin tutarlılığı incelenirse;

Emlak � Matrisi Normalize Matris ã

1 3 1 0,429 0,333 0,455 0,405

+ = 1/3 1 1/5 0,143 0,111 0,091 0,115

1 5 1 0,429 0,556 0,455 0,480

Toplam 2,33 9,00 2,20 1,00 1,00 1,00 1,00

1 3 1 0,405 1,23

+.Ú = 1/3 1 1/5 0,115 = 0,35

1 5 1 0,480 1,46

+.Ú/Ú = �1,23/0,4050,35/0,1151,46/0,48 � = λ = �3,033,013,04� → λ%&'( = 3,03 + 3,01 + 3,043 = 3,03

230

�á = λ%&'( − 44 − 1 = 3,03 − 33 − 1 = 0,032 = 0,015 �Ò = �áÒá = 0,0150,58 = 0,025 < 0,10Bunagöre+karşılaştırmamatrisitutarlıdır.

Bu hesapların benzeri diğer karşılaştırma matrisleri için yapılır. Böylece diğer

karşılaştırma matrislerinin de tutarlılığı test edilmiş olur.

Tedarikçi Yakınlığı açısından uzman kişilerce oluşturulan karşılaştırma matrisi ve bu

kriter açısından seçeneklere ilişkin önceliklerin (ağırlıkların) belirlenmesi:

Tedarikçi A B C A B C Ortalama

=]� A 1 6 0,333 A 0,240 0,375 0,231 0,282

B 0,167 1 0,111 B 0,040 0,063 0,077 0,060

C 3 9 1 C 0,720 0,563 0,692 0,658

Toplam 4,167 16,00 1,444 1,000 1,000 1,000 1,000

İşgücü Rezervi açısından uzman kişilerce oluşturulan karşılaştırma matrisi ve bu kriter


İşgücü A B C A B C Ortalama

=]L A 1 0,333 1 A 0,200 0,217 0,143 0,187

B 3 1 5 B 0,600 0,652 0,714 0,655

C 1 0,2 1 C 0,200 0,130 0,143 0,158

Toplam 5 1,533 7 1,000 1,000 1,000 1,000

231

İşgücü Maliyeti açısından uzman kişilerce oluşturulan karşılaştırma matrisi ve bu kriter


Maliyet A B C A B C Ortalama

=]| A 1 0,333 0,5 A 0,167 0,200 0,111 0,159

B 3 1 3 B 0,500 0,600 0,667 0,589

C 2 0,333 1 C 0,333 0,200 0,222 0,252

Toplam 6,000 1,667 4,500 1,000 1,000 1,000 1,000

Aşağıda yer seçiminde önemli olan 4 kriterin kendi aralarında karşılaştırma matrisleri

verilmektedir. Şu ana kadar, seçilecek yer alternatiflerini elimizdeki kriterlere göre

karşılaştırarak bir matrise ulaştık. Aynı yöntemi kullanarak, kriterlerin kendi aralarındaki önem

sırasını da belirlememiz gerekiyor. Bunda da birinci basamakta olduğu gibi, standart tercih

tablosundaki değerleri kullanarak ilk matrisimizi oluşturuyoruz. Fabrika yeri seçiminde takip

ettiğimiz ilk 4 basamağı, bu yeni matris için de tekrar ederek gördüğünüz tabloya ulaşıyoruz.

Satır ortalamasına dikkat edelim. Satır ortalamasını ayrı bir tablo olarak çıkardığımızda

görüyoruz ki, fabrika yeri seçiminde bizim için tedarikçiye olan yakınlık net bir şekilde birinci

sırada önemlidir. Onu emlâk fiyatı, işgücü maliyeti ve işgücü rezervi takip etmektedir.

Fiyat Yakınlık İşgücü Maliyet

Fiyat 1 0,2 3 4

Yakınlık 5 1 9 7

İşgücü 0,333 0,111 1 1

Maliyet 0,25 0,143 1 1

6,583 1,454 14,00 13,00

232

Fiyat Yakınlık İşgücü Maliyet Kriterler ã

0,152 0,138 0,214 0,308 Fiyat 0,203

0,759 0,688 0,643 0,538 Yakınlık 0,657

0,051 0,076 0,071 0,077 İşgücü 0,069

0,038 0,098 0,071 0,077 Maliyet 0,071

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Bu hesaplar sonrasında kriterlerin ağırlıkları belirlenmiş olur.

Ú =

Ú

=

0,203

Ú� 0,657

ÚL 0,069

Ú| 0,071

Doğal olarak kriterlere ilişkin oluşturulmuş karşılaştırma matrisi de tutarlılık testine tabi

tutulur.

Yukarıda elde edilmiş olan her bir kriter açısından alternatifler için hesaaplana önem

dereceleri (ağırlıklar) kullanılarak (yan yana getirilerek) aşağıdaki matrise ulaşılır.

Yerleşim �X �Z �Z �b

Fiyat Yakınlık İşgücü Maliyet

A 0,405 0,282 0,187 0,159

B 0,115 0,060 0,655 0,589

C 0,480 0,658 0,158 0,252

1,000 1,000 1,000 1,000

233

Elimizde yapılan hesaplama sonucu 2 adet matris bulunmaktadır. Bir tanesi yer

alternatiflerinin verilen kriterler bazında aldığı önem puanlarını, diğeri ise kriterlerimizin kendi

aralarındaki önem puanlarını, yani ağırlıklarını içermektedir. Bu iki matris çarpılarak

seçeneklere ilişkin son ağırlıklar elde edilir.

�X �Z �Z �b × ã

0,405 0,282 0,187 0,159 0,203 A 0,292

0,115 0,060 0,655 0,589 × 0,657 = B 0,150

0,480 0,658 0,158 0,252 0,069 C 0,558

0,071

Bu sonuca gör en yüksek ağırlık C seçeneğinde (0,558) oluşmuştur. Bu nedenle ilk

seçilecek alternatif C seçeneğidir. İkinci sırada 0,292 ağırlık puanı ile A seçeneği yer alır. Son

sırada B seçeneği yer almaktadır.

Örnek:

Bir çoklu karar probleminde 3 seçenek ve 4 karar kriteri bulunmaktadır. Karar verici

karar matrisini aşağıdaki gibi oluşturmuş ve karar kriterlerine ilişkin ağırlıkları ise Ú = 0,20, Ú� = 0,15, ÚL = 0,40 ve Ú| = 0,25 şeklinde belirlemiştir. Aşağıda hiyerarşik yapısı verilen

problemde hangi alternatifin seçileceğini AHP yöntemi ile belirleyiniz.

234

Ú =

0,20

0,15

0,40

0,25

Uzmanlar tarafından verilen cevaplar doğrultusunda karar kriteri 1 açısından

seçeneklere ilişkin oluşan ikili karşılaştırma matrisi aşağıdaki gibi hesaplanmıştır,

Öncelikle karşılaştırma matrisinin sütunlarındaki değerler sütun toplamlarına bölünmüş,

satır toplamları bulunmuş ve bu değerlerin aritmetik ortalamaları alınarak ] sütun vektörünün

elemanları elde edilmiştir. Hesaplamalar aşağıda gösterilmiştir.

0,3077 + 0,4 + 0,2941 = 1,0018 ⇒ 1,0018/3 = 0,33

0,0769 + 0,1 + 0,1177 = 0,2946 ⇒ 0,2946/3 = 0,10

0,6154 + 0,5 + 0,5882 = 1,7036 ⇒ 1,7036/3 = 0,57

] =

0,33

0,10

0,57

235

Bu vektörden 1. değerlendirme faktörü açısından +’in %33, +�’nin %10 ,+L’ ün ise

%57 öneme sahip olduğu söylenebilir. Benzer şekilde diğer değerlendirme faktörleri için karar

noktalarının önem dağılımları aşağıda hesaplanmıştır.

2. değerlendirme faktörü için karar noktalarının önem dağılımı

+ +� +L + 1 1/3 3

+� 3 1 5

+L 1/3 1/5 1

4,33 1,53 9

0,2309 0,2157 0,3333 = 0,7799 ⇒ 0,26

0,6929 0,6536 0,5556 = 1,9021 ⇒ 0,63

0,0762 0,1307 0,1111 = 0,3180 ⇒ 0,11

]� =

0,26

0,63

0,11


+ +� +L + 1 1/2 1/4

+� 2 1 1/3

+L 4 3 1

7,00 4,50 1,58

236

0,1429 0,1111 0,1582 = 0,4122 ⇒ 0,14

0,2857 0,2222 0,2089 = 0,7168 ⇒ 0,24

0,5714 0,6667 0,6329 = 1,8710 ⇒ 0,62

]L =

0,14

0,24

0,62


+ +� +L + 1 1 5

+� 1 1 5

+L 1/5 1/5 1

2,20 2,20 11

0,4546 0,4546 0,4546 = 1,3638 ⇒ 0,46

0,4546 0,4546 0,4546 = 1,3638 ⇒ 0,46

0,0908 0,0908 0,0908 = 0,2724 ⇒ 0,08

237

]| =

0,46

0,46

0,08

Daha sonra yukarıda bulunan ] sütun vektörleri matris formatında bir araya getirilmiş

ve Ñ vektörü ile çarpılmıştır.

] ]� ]L ]| Ñ

0,33 0,26 0,14 0,46 0,20 �X 0,28 0,10 0,63 0,24 0,46 × 0,15 = �Y 0,32 0,57 0,11 0,62 0,08 0,40 �Z 0,40

0,25

�X = 0,33.0,20 + 0,26.0,15 + 0,14.0,40 + 0,46.0,25 = \, Yd �Y = 0,10.0,20 + 0,63.0,15 + 0,24.0,40 + 0,46.0,25 = \, ZY �Z = 0,57.0,20 + 0,11.0,15 + 0,62.0,40 + 0,08.0,25 = \, b\

Elde edilen sütun vektöründeki 0,28 1. karar noktasının + önem seviyesini, 0,32 2.

karar noktasının +� önem seviyesini, 0,40 ise 3. karar noktasının +L önem seviyesini

göstermektedir. Diğer bir deyişle karar noktalarının önem dizilimi +L , +� ve + şeklinde

olacaktır.

238

Uygulamalar

Aşağıda üç kritere ilişkin karşılaştırma matrisi verilmiştir.

Bu matrisi normalize ediniz.

Her bir kriterin ağırlığını bulunuz.

Çözüm:

Önce sütun toplamları alınır.

İkinci adımda her bir hücre değer sütun toplamına bölünerek karşılaştırma matrisi normalize

edilir.

Satır ortalamaları alınarak ağırlıklar elde edilir.

Buluna ağırlıklar toplamı 1 olmalıdır.

239

Uygulama Soruları

AHP’de bir karşılaştırma matrisinin tutarlılığının nasıl test edildiğini inceleyiniz.

240


Bu bölümde çok kriterli karar verme, çok nitelikli karar verme ve özellikle çok kriterli

karar vermede en sık kullanılan AHP yöntemi ele alınmıştır. Karşılaştırma matrislerinin nasıl

oluşturulduğu, matrislerin tutarlılık testlerinin nasıl yapıldığı ayrıntılı olarak anlatılmıştır.

241

Bölüm Soruları

1) 4 kriterli 3 seçenekli bir seçim probleminde kriterler arasında oluşturulan

karşılaştırma matrisinin boyutu aşağıdakilerden hangisidir?

a) 3 × 3 b) 3 × 4 c) 4 × 3 d) 4 × 4 e) 7 × 7 2) 4 kriterli 3 seçenekli bir seçim probleminde herbir kriter açısından seçeneklere ilişkin

oluşturulan karşılaştırma matrisi hangi boyutta olur?

a) 3 × 3 b) 3 × 4 c) 4 × 3 d) 4 × 4 e) 7 × 7 3) Aşağıda A, B, C kriterlerine ilişkin karşılaştırma matrisi verilmiştir. Bu matrise göre �� değeri kaç olur?

a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/4 e) 4

4) Aşağıda A, B, C kriterlerine ilişkin karşılaştırma matrisi verilmiştir. Bu matrise göre �L değeri kaç olur?

a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/4 e) 4

5) Bir karşılaştırma matrisi normalize etmek için aşağıdakilerden hangisi ilk adım olarak

uygulanır?

a) Karşılaştırma matrisinin satır toplamları alınır

b) Karşılaştırma matrisinin sütun toplamları alınır

c) Karşılaştırma matrisinin bütün elemanları toplanır

d) Her bir hücre değeri kendisine bölünür

e) Her bir hücre değeri tersi ile çarpılır

242

6) Normalize edilmiş bir karşılaştırma matrisinin sütun toplamları kaç olmalıdır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

7) Karşılaştırma matrisi normalize edildikten sonra, satır oralamaları alınarak kriterlere

ilişkin hangi değerler elde edilir?

a) Seçeneklerin ağırlıkları

b) Kriterlerin ağırlıkları

c) Seçeneklerin toplamı

d) Kriterlerin toplamı

e) Tutarlılık oranı

8) AHP de karşılaştırma matrisinin tutarlı olabilmesi için hesaplaplanan �Ò değeri

kaçtan küçük olmalıdır?

a) 0,01 b) 0,05 c) 0,10 d) 0,15 e) 0,20

9) A, B, C gibi 3 kritere sahip bir AHP modelinde A ve B nin hesaplanan ağırlıkları

sırası ile 0,23 ve 0,41 olarak hesaplanmış ise, C kriterinin ağırlığı ne kadardır?

a) 0 b) 0,23 c) 0,41 d) 0,50 e) 0,36

10) A, B, C gibi 3 seçeneğe sahip bir AHP modelinde A, B ve C alternatiflerine ilişkin

ağırlıklar sırasıyla 0,30, 0,10 ve 0,60 ise ilk olarak hangi alternatif tercih edilmelidir?

a) A b) B c) C d) B ve C e) A ve C

Cevaplar

1) d, 2) a, 3) c, 4) e, 5) b, 6) a, 7) b, 8)c, 9)e, 10)c

243

10. OYUN TEORİSİ

244


10.1. Oyun Teorisi nedir?

10.2. Oyun Kuramında Önemli Tanımlar

10.3. Strateji ve Oyuncular

10.4. Oyunun Değeri (Tepe noktası)

10.4. Baskın Strateji, Minimaks ve Maksimim Stratejileri

245


1) Bir oyunda en az kaç kişi olmalıdır?

2) Oyun kuramı bilimsel bir yaklaşımmıdır?

3) Ödemeler matrisi verildiğinde acaba hangi stratejilere yatırım yapılır?

246



Oyun kuramı Oyun kuramını Anlamak Okuyarak, Tekrar yaparak

Oyun kuramında

stratejiler

Oyuncu olarak hangi

stratejinin ne zaman

kullanılacağını anlamak


Karma stratejiler Karma stratejilerde oyun

değerini belirleyebilmek


Uygulama yaparak

247

Anahtar Kavramlar

• Oyun teorisi

• Oyuncu

• Strateji

• Kazanç Matrisi-Ödemeler Matrisi

• Oyunun değeri

• Minimaks, Maksimin stratejileri

• Karma stratejiler

248

Giriş

Giriş Oyun teorisi, ekonomi başta olmak üzere; gerçek hayat problemlerinde, sosyal

bilimlerde, mühendislik, siyaset bilimlerinde, bilgisayar bilimleri ve felsefede sıkça kullanılan

bir yöntemdir. Oyun teorisi, bireyin, başarısının diğer bireylerin seçimlerine dayalı olduğu

seçimler yapması olan bazı stratejik durumların matematiksel olarak davranış biçimlerini

yakalamaya çalışır. İlk başlarda bir bireyin kazancının ötekinin zararına olduğu (sıfır toplamlı

oyunlar) yarışmaları çözümlemek için geliştirilmişse bile, daha sonradan birçok kısıta dayanan

çok geniş bir etkileşim alanını incelemeye başlamıştır.

Karar verenlerin diğer düşüncelerle uyumlu ya da rekabet halinde olduğu sosyal

durumları modelleyen bir yaklaşım olması bu teorisinin en temel özelliğidir. Oyun teorisi,

neoklasik ekonomilerde geliştirilmiş bilinen iyileştirme yaklaşımlarını genişletmiştir.

Oyun teorisinin geleneksel uygulamaları bu oyunlarda “bireylerin davranışlarını

değiştirmek istemediği” denge bulmaya çalışır. Bu fikri gerçekleştirmek üzere birçok denge

kavramları en ünlüsü Nash dengesi geliştirilmiştir. Bu denge kavramları uygulama alanına göre

farklı amaçlara sahiptir, fakat genel olarak uyuşurlar ve iç içe geçmişlerdir. Bu yöntemler

eleştiriden uzak değildir ve bazı özel denge kavramlarının uygunluğu, dengenin tümden

uygunluğu ve genel olarak matematiksel modellerin faydaları üzerine tartışmalar sürmektedir.

Daha öncesinde bazı gelişmeler olmuşsa da, oyun teorisi, 1944 yılında çıkan John Von

Neumann ve Oskar Morgenstern tarafından yazılmış olan “Oyunların ve Ekonomik Davranışın

Teorisi” adlı kitapla başlamıştır. Bu teori, geçmişten geleceğe, sosyal bilimlerde çok önemli bir

rol oynamaktadır.

Oyun Teorisi, en genel ifadesiyle, akılcı bireylerin seçimleri ve bunların karşılıklı

etkileşimlerinin sonuçlarını inceler. Bir oyunu tanımlayan en önemli unsur, oyuncuların sahip

oldukları bilgidir. Bu teori oyun şeklinde ifade edilebilen her türlü durumu kapsar. Herhangi

bir durumun oyun olarak değerlendirilebilmesi için ise şu üç koşulun birlikte sağlanmış olması

gerekir.

• Oyuncu olarak adlandıracağımız kişiler kümesi,

• Her oyuncu için mümkün olan seçenekler kümesi,

• Her bir seçeneğe ilişkin sonuçlar kümesi

Bu derste, oyunları ve Nash dengesi gibi bazı çözüm yollarını tanımlayacağız ve bu

çözüm yollarının arkasındaki varsayımları tartışacağız. Bir oyunu analiz etmek için

• oyuncuların kimler olduğunu,

• oyuncular için hangi eylemlerin mevcut olduğunu,

• her oyuncunun her bir sonuca ne kadar değer biçtiğini,

249

• her bir oyuncunun ne bildiğini, bilmemiz gerekir.

Oynanmış ve günümüzde hala oynanmakta olan birçok oyunun kendisiyle

ilişkilendirilmiş bir takım kuralları vardır. Bu oyunlara örnek olarak futbol, golf, basketbol tenis

gibi oyunlar poker ve briç gibi kart oyunları ile satranç ve tavla gibi oyunlar verilebilir. Bütün

bu oyunlar bir etkileşim bir rekabet unsuru içermektedir. Yani oyunda bir oyuncu diğer

oyuncularla rekabet etmektedir ve oyuncunun başarısı, kendi hareketlerinin yanı sıra diğer

oyuncuların hareketlerine de bağlıdır.

10.1. Oyun Teorisi ile İlgili Kavramlar

Oyun teorisinin tanımına geri dönersek; “İki ya da daha fazla rakibi belirli kurallar

altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar karşısında, birbirlerine karşı en doğru

stratejiyi belirleme yöntemidir” şeklinde tanımlamıştık. Bu tanıma göre bir oyunda oyuncular,

oyunun kuralları ve stratejiler, oyunda elde edilen kazanç veya kayıplar (pay-off), oyunun

sonucu ya da denge noktası unsurlarının bulunması gerekmektedir.

Aşağıda Oyun Teorisinde kullanılan bazı temel kavramlar ve varsayımlar açıklanmıştır.

Oyuncular: Bir oyunda amaçlarını optimize etmeye çalışan kişi ya da kurumlar.

Oyunda en az iki oyuncu bulunur ve akılcı hareket ettikleri gibi, kazanmak için en iyisini

yaptıkları varsayılır.

Stratejiler: Her oyuncunun sahip oldukları eylem seçenekleri. Bir oyuncu için herhangi

bir strateji kural olup, seçenekler oyunun seçimini belirler. Herhangi bir oyuncunun seçenekleri

belirsiz sayıdaysa oyun sonlu değil süreklidir. Seçenek sayısı belirli ise oyun sonludur

Kazanç veya Ödemeler: Oyunun sonucu kazanma, yitirme veya oyundan çekilme

olabilir. Her sonuç veya ödeme, negatif, pozitif veya sıfır olmak üzere her oyuncunun rakibine

karşı kazancını veya kaybını belirler.

Ödemeler Matrisi: Bu matris, oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşiminden

sonuçlanan kazanç veya kayıpları gösterir. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya

sıfıra eşit olabilir. Matrisin herhangi bir elemanı pozitif ise sütunda yer alan oyuncu, satırda yer

alan oyuncuya bu miktarda ödeme yapar. Matrisin herhangi bir elemanı negatif ise satırdaki

oyuncu, sütundaki oyuncuya bu negatif elemanın mutlak değerine eşit ödemede bulunur.

Matrisin elemanı sıfır ise oyunculardan hiçbiri birbirine ödemede bulunmaz. Ödemeler matrisi

sadece bir oyuncunun değerlerini temsil eder.

Oyunlar: Oyunların sınıflandırılması genellikle oyuncuların sayılarına göre yapılır. İki

kişilik, üç kişilik veya (n) kişilik oyunlar kurulabilir. 4 = 2 ise oyun 2 kişilik, 4 ≥ 2 ise oyun 4 kişili oyundur. Ayrıca sıfır toplamlı, sabit toplamlı olmayan ve sıfır toplamlı olmayan oyunlar

olarak da oyunlar sınıflandırılır.

250

Tam (arı) Stratejiler: Oyunun sonucunu tek bir strateji çiftinin oluşturması durumu.

Söz konusu sonuç her oyuncu için olabilecek en iyi sonuçtur. Tam stratejiler, oyunun tepe (eyer)

noktasını belirler.

Karma Stratejiler: Oyunun sonucunu birden fazla strateji çiftinin belirlemesi durumu.

Strateji çiftleri olasılık değerleri ile ifade edilir ve oyunun sonucunu oluşturan strateji çiftleri

olasılık değerleri toplamı 1 dir.

Beklenen Değer: Oyunun sonucunda herhangi bir oyuncunun elde edeceği değer. Beklenen değer strateji çiftlerinin gerçekleşme olasılıkları ile değerlerinin çarpımlarının

toplamıdır.

a) Oyuncu: Bir oyunda her bir karar veren birime oyuncu denir ya da bir başka ifadeyle;

oyunun taraflarına oyuncu denir. Bu oyuncular bazen bireyler, bazen firmalar veya bazen de

devletler olabilir. Bir oyunu oynayabilmek için en az iki oyuncuya ihtiyaç vardır. Her oyuncu

kendi bilgi seti ve rakibinin bilgi seti doğrultusunda faydasını maksimize edecek şekilde

rasyonel olarak hareket ettikleri varsayımı altında hareket ederler. Rasyonel olmayan

hareketlerin hiçbiri oyun teorisi içinde yer alamaz. Kısacası her oyuncu sahip olduğu tercihler

arasında, mümkün olan en büyük ödülü verecek tercihi seçerek oyunu bitirmek arzusundadır.

b) Oyunun kuralları ve stratejiler: Bir oyunun oynanabilmesi için oyuna taraf olan

oyuncuların belirli kurallar altında birleşmeleri gerekmektedir. Kuralların olmaması

durumunda taraflar stratejilerini belirleyemeyeceklerdir. Bu kurallar satranç oyununda olduğu

gibi her taşın nasıl hareket edeceği, şirketlerin ticaretini bir düzende tutan ticaret kanunu ya da

uluslararası anlaşmalarla belirlenen kurallar olarak da ifade edilebilir. Stratejiler ise; her

oyunda oyuncuların belli hareketler içerisinde çeşitli seçenekleri vardır. Oyuncuların belirli bir

zaman dilimi içerisinde rakibinin olası hareketlerine karşı önceden belirlenen ve olanaklı

alternatiflerden rakibin hareket tarzlarını saptayan kurallar bütününe strateji denir.

c) Oyunda elde edilen kazanç ve kayıplar: Oyunun oynanması süresince her bir

stratejiye karşılık gelen, her oyuncunun bir kazancı ya da bir kaybı söz konusudur. Bu kazanç

ya da kayıplar artı sonsuz ile eksi sonsuz arasında yer alabilir. Bu değerler sayısal olarak ifade

edilebileceği gibi, oransal olarak da ifade edilebilir. Kazançlar ya da kayıpların birimleri her

durumda aynı ölçü biriminde olması gerekmektedir. Oyuncuların strateji seçimlerinden ortaya

çıkan kazanç ve kayıpları göstermek için kullanılan matrise ise ödemeler matrisi adı

verilmektedir.

d) Oyunun sonucu ya da denge noktası: Her oyuncunun rasyonel olarak hareket

ettikleri varsayımı altında, oyuncuların oyunu bitirmeleri sonucunda ulaştıkları noktaya,

oyunun sonu ya da denge noktası adı verilir. Oyun teoreminde bu denge noktasına Nash dengesi

adı verilmektedir. Bu noktada her oyuncunun oynayacağı strateji belli olup, sözü edilen bu

stratejiyi kullanmak için karar verilen hareketler uygulanır.

251

10.2. Denge Kavramı ve Nash Dengesi

1950 yılında John Nash çözüm ve denge noktası olarak da bilinen ve günümüzde en çok

kullanılan Nash dengesi teorisini oluşturmuştur.

Oyuncuların oyunu bitirmeleri sonucunda ulaştıkları noktaya, oyunun sonu ya da denge

noktası adını vermiştik. Bu noktada, oyuncuların seçtikleri stratejiler a= (ai,a-i) şeklinde ifade

edilir. Bu gösterimde yer alan ai, i’inci oyun stratejisini verirken, a-i diğer oyuncunun stratejisini

vermektedir.

Oyunun oynanması durumunda, her oyuncunun stratejisi olacaktır. Bu stratejiler içinde

oyuncular kendi baskın stratejisinin olmasını arzularlar. Bu şekilde baskın stratejiye sahip olan

oyuncular oyunun ne şekilde oynayacaklarını ve oyunun sonucunun ne şekilde biteceğini

bilmek oldukça kolay hale gelmektedir. Baskın stratejiyle bir oyuncunun karşıdaki oyuncu ya

da oyuncular ne şekilde oynarlarsa oynasınlar tek bir biçimde oyuncunun hareket etmesi

anlamına gelmektedir.

Çoğu oyunların baskın stratejileri yoktur ve oyuncular kendi hareketlerini seçmek için

diğer oyuncunun hareketlerini ortaya çıkarmak zorundadır. Bu bakımdan oyuncular, diğer

oyuncuların kararları veri iken yapabileceklerinin en iyisini yapacaklardır. Bu da baskın strateji

dengesini de içine alan ve daha geniş bir denge kavramı olan Nash dengesidir. Nash dengesi

çok geniş oyunlar sınıfında çok kuvvetli tahminle üreten bir çözüm kavramıdır.

Nash dengesinde temel unsur, bir denge noktası düşüncesidir. Analizde Nash, Von

Neumann minimaks teoremi genelleştirilmesinin temeli olarak en iyi cevap yaklaşımını

seçmiştir. Nash’a göre, iki kişilik bir oyunun çözümüne aday olacak bir strateji çifti, stratejinin

her biri rakibinin oynayacağını tahmin ettiği diğerine, en iyi cevap verebilme niteliğini

sağlaması gerekmektedir. Bir denge noktası diğer oyuncuların stratejileri hususunda karar

verdikleri inanılıyorsa, her bir oyuncunun stratejilerinin, oyuncunun kendi ödülünü maksimize

ettiği durumu ifade etmektedir. Her bir oyuncunun stratejisi, diğer oyuncuların oynayacağını

tahmin ettiği stratejilerine karşı optimaldir. Bu özellikleri olan bir strateji çifti (kombinasyonu)

Nash dengesi olarak isimlendirilmekte, işbirliksiz oyunların temelini oluşturmaktadır.

Bu durumda oynanan herhangi bir durumda oyunda oyuncular için baskın stratejilerin

bulunması sonucunda ulaşılan denge durumunun aynı zaman da Nash dengesine karşılık

geldiğini söylemek mümkündür. Buna karşılık her Nash dengesi baskın stratejiye sahip ortaya

çıkaran dengeyi vermek zorunda değildir. Çünkü kimi oyunlarda birden fazla Nash dengesine

ulaşılması mümkündür.

10.3. Oyunda Strateji Kavramı

Oyunlar teorisinin temel kavramlarından birisi strateji kavramıdır. Strateji kombine

edilmiş kararlar dizisidir. Daha açık bir şekilde söylemek gerekirse Strateji, oyunun başından

sonuna dek ortaya çıkabilecek bütün durumlar için oyuncuların tercihlerini belirten kararlar

bütünüdür.

252

Oyunda tek bir denge noktası varsa hamle sayısı ne olursa olsun oyuncular bütün oyun

boyunca tek bir strateji kullanacaklardır. Oyuncunun kullandığı bu tek stratejiye Salt Strateji

denir. Bazı oyunlarda tek yerine birden fazla denge noktası vardır. Bu durumda oyuncular

hamlelerinin bir kısmında bir oyun, diğer kısımlarında başka bir oyun uygulama imkânına

sahiptirler. Böylece oyuncuların bir oyun süresince birden fazla hareket tarzını seçebilmelerine

ve çeşitli kararları bir arada benimsemelerine Karma Strateji uygulaması denir.

Oyunlar teorisinin amacı rekabet etmekte olan, beklentileri zıt iki oyuncu için rasyonel

hareket yollarını sezmektir. Tekrarı mümkün oyunlarda bir oyun için optimum strateji mümkün

en büyük ortalama kazancı garanti edecek stratejidir. Rakip yönünden beklenen optimum

strateji ise mümkün en küçük ortalama kaybı garanti edebilecek bir stratejidir.

10.4. Ödemeler (Getiri-Kazanç) Matrisi

Oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşimlerinden sonuçlanan kazanç ve kayıpları

gösteren matrise ödemeler matrisi denir. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya

sıfıra eşit olabilir. Söz konusu matrisin herhangi bir elemanı pozitifse, sütunda yer alan oyuncu,

satırda yer alan oyuncuya bu miktarda ödeme yapar. Matrisin herhangi bir elemanı negatif ise

satırdaki oyuncu sütundaki oyuncuya bu negatif elemanın mutlak değerine eşit ödemede

bulunur. Matrisin elemanı sıfır ise oyunculardan hiçbiri birbirine ödemede bulunmaz.

Kaynakların kıt olduğu bir ortamda amaçlarını gerçeklemeye çalışan iki ya da daha fazla

sayıda karar verici rekabet halindedirler. Diğer bir deyişle kaynakları paylaşım çabası

içindedirler. Karar vericilerin bu paylaşımda kendilerine en yüksek getiriyi sağlamak için

birbirlerine karşı kullandıkları stratejileri vardır ve bu stratejileri mümkün olan en akılcı şekilde

kullanırlar.

10.5. Oyun Teorisinin Temel Mantığı

Oyunun sonucu ister saf strateji ister karma strateji olsun çözüm süreci ödemeler matrisi

üzerinde gerçekleştirilir. Çözüm süreci oyunun hangi oyuncu açısından değerlendirileceğinin

seçimi ile başlar. Eğer ödemeler matrisinin satırlarını temsil eden oyuncu için çözüm

gerçekleştirilecekse maksimin (minimumların maksimumu) yöntemi, sütunlarını temsil eden

oyuncu için çözüm gerçekleştirilecekse minimaks (maksimumların minimumu) yöntemi

uygulanır. Oyunun sonucunda maksimin ve minimaks değerleri birbirine eşitse, oyun saf

stratejili bir oyundur.

Maksimin yönteminde öncelikle ödemeler matrisinin her bir satırının en küçük elemanı

seçilir. Daha sonra bu değerler arasından en büyüğü belirlenir. Bulunan değer ödemeler

matrisinde satırları temsil eden oyuncunun beklenen değeridir. Çünkü oyuncu satırlardaki

büyük değerin seçilmesi durumunun diğer oyuncu tarafından tercih edilmeyeceğini ve diğer

oyuncunun oyunu terk edeceğini bilir. Bu oyuncu açısından en küçük değerlerin en büyüğü ise

mantıklı bir sonuç olacaktır. Diğer bir deyişle bu oyuncu açısından geçerli strateji kötülerin

iyisi olarak özetlenebilir.

253

Sütunları temsil eden oyuncu açısından bakıldığında ise bu kez doğru mantık iyilerin

kötüsü olacaktır. Çünkü sütunları temsil eden oyuncu diğer oyuncunun maksimin stratejisini

bilir ve oyunu minimaks stratejisi ile oynar. Sütunları temsil eden oyuncu elemanlarını gözden

geçirir ve her bir sütunun en büyük değerini seçer. Bu oyuncu açısından oyunun sonucu bu

değerlerin en küçüğüdür.

Sütun Oyuncusu

B1 B2 B3 B4

Satır

Oyuncusu

A1 5 -2 4 3

A2 9 6 3 -4

A3 7 6 8 5

A firmasına göre düzenlenen ödemeler matrisi aşağıda gösterilmiştir. Ödemeler

matrisinde bulunan pozitif değerler, A oyuncusunun kazancını, B oyuncusunun kaybını, negatif

değerler ise, A oyuncusunun kaybını, B oyuncusunun kazancını ifade eder.

Örnek:

Rekabet halindeki A ve B firmalarından yıllık kar (milyon TL) açısından A’ nın 3 (A1,

A2, A3), B’ nin ise 4 (B1, B2, B3, B4) stratejisi bulunmaktadır. A firmasına göre düzenlenen

ödemeler matrisi aşağıda gösterilmiştir. Buna göre A ve B firmaları arasındaki rekabet oyununu

değerlendiriniz.

Sütun Oyuncusu

B1 B2 B3 B4

Satır

Oyuncusu

A1 5 -2 4 3

A2 9 6 3 -4

A3 7 6 8 5

Ödemeler matrisi matematiksel olarak aşağıdaki gibi gösterilir.

ÖdenelerMatrisi = ç � �� L �|��L ��|�L �L� �LL �L|è = ç5 −29 5 4 33 −47 6 8 5è

254

A oyuncusu maksimin mantığı ile hareket edecek ve B oyuncusunu oyunda tutmak için

kendi stratejilerini temsil eden satır değerlerinin en küçüklerini seçecektir. Bu değerler

arasından en büyüğü olan 4 değeri ise A oyuncusu için en iyi değerdir. Diğer bir deyişle A’nın

en iyi stratejisi A3 stratejisidir.

B1 B2 B3 B4 Satır en

küçüğü

A1 5 -2 4 3 -2

A2 9 6 3 -4 -4

A3 7 6 8 5 5

Sütun

en büyüğü

9 6 8 5 5 Minimaks

Minimaks

A’nın strateji mantığını bilen B oyuncusu ise minimaks mantığı ile hareket edecek ve

öncelikle kendi stratejilerini temsil eden sütun değerlerinin en büyüklerini seçecektir. Minimaks

mantığına göre B oyuncusunun geçerli stratejisi, bu değerler arasından en küçüğünü seçmek

olacaktır. Yukarıdaki örneğe göre bu değer 5 yani B4 stratejisidir. Sonuçta maksimin ve

minimaks değerleri birbirine eşit olduğundan bu oyun saf stratejili yani tepe noktalı bir

oyundur ve oyunun sonucunda A oyuncusunun beklenen değeri 4 (milyon TL) olarak

gerçekleşecektir. Bu değer ise B oyuncusu açısından bir kayıp olacaktır.

Örnek:

Üçer stratejisi olan satır ve sütun oyuncularının, sütun oyuncusunun satır oyuncusuna

yaptığı ödemeleri gösteren ödemeler matrisi aşağıda verildiği şekildedir. Buna göre oyuncular

seçmesi gerekli stratejileri belirleyiniz.

Satır

Oyuncusunun Stratejileri

Sütun Oyuncusunun Stratejileri

B1 B2 B3

A1 10 6 5

A2 6 15 2

A3 8 3 4

255

Öncelikle satır oyuncusu ile başlansın. Satır oyuncusu eğer birinci stratejisini seçerse,

sütun oyuncusu da üçüncü stratejiyi seçecektir. Böylece sütun oyuncusu kaybının en az

olmasını sağlar. Satır oyuncusu ikinci stratejiyi seçerse sütun oyuncusu üçüncü stratejisini

seçecektir. Böylece en az kaybı yaşayacaktır. Eğer satır oyuncusu üçüncü stratejiyi seçerse,

sütun oyuncusu ikinci oyunu seçerek kaybını en az tutacaktır. Satır oyuncusu da en küçüklerin

en büyüğünü seçmek durumundadır. Böylece satır oyuncusu her stratejisine karşılık rakibinin

(sütun oyuncusunun) seçimi ne olursa olsun, sütun oyuncusunun satır oyuncusuna garantilediği

en az kazancı maksimize etmiş olur. Bu durumda Maks (4, 1, 2) = 4 olup satır oyuncusu için en

iyi strateji birinci stratejidir. Bu stratejiye maksimin strateji denir.

Satır

Oyuncusunun

Stratejileri

Sütun Oyuncusunun Stratejileri

Min. Satır B1 B2 B3

A1 10 6 5 5*

A2 6 15 2 2

A3 8 3 4 4

Maks. Sütun 10 15 5*

Sütun oyuncusu açısından ele alınırsa, yani sütun oyuncusu birinci stratejisini seçerse

satır oyuncusu kazancını en büyük yapmak için birinci stratejiyi seçecektir. Eğer sütun

oyuncusu ikinci stratejisini seçerse satır oyuncusu ikinci stratejisini seçecektir. Böylece

kazancını en büyük yapacaktır. Eğer sütun oyuncusu üçüncü stratejisini seçerse satır oyuncusu

kazancını en yüksek tutacak olan birinci stratejisini seçecektir.

Böylece sütun oyuncusu her stratejisine karşılık rakibinin (satır oyuncusunun) seçimin

ne olursa olsun, satır oyuncusunun sütun oyuncusuna neden olduğu en yüksek kaybı minimize

etmiş olur. Bu durumda Min (10, 15, 5) = 5 olup sütun oyuncusu için en iyi strateji üçüncü

stratejidir. Bu stratejiye minimaks strateji denir.

Maksimin ve Minimaks kuralları uygulanarak ulaşılan noktaların eşit olduğu durumda,

yani Maks (5, 2, 4) = Min (10, 15, 5) =5 olduğunda, bu noktaya tepe noktası veya semer noktası

denir. Tepe noktası aynı zamanda denge noktasıdır. Yani oyunun dengeye ulaştığı noktadır. Bu

nokta oyunun değerini vermektedir.

10.6. Karma Stratejili Oyunlar ve Çözüm Yöntemleri

Karma stratejili oyunların belirgin özelliği, ödemeler matrisindeki maksimin ve

minimaks değerlerinin birbirine eşit olmamasıdır. Bu durum ise oyunun sonucunun tek bir

256

strateji çifti olmaması anlamına gelir. Aşağıda karma stratejili oyunlar için kullanılabilecek

Grafik Yöntem ve Doğrusal Programlama Yaklaşımı açıklanmıştır.

10.6.1. Baskın (Üstün) Stratejiler

Bir oyunda ödemeler matrisindeki bir strateji, diğer bir stratejiyle karşılaştırıldığında,

strateji, karşılaştırılan stratejinin bire bir karşılık gelen her değerinden üstün ise, bu stratejiye

üstün (baskın) strateji denir. Diğer strateji, kendisinden her açıdan daha üstün bir strateji olduğu

için oyuncu tarafından asla seçilmeyecektir. Bu nedenle ödemeler matrisinden silinebilir.

Bu baskınlık kuralı kullanılarak ödemeler matrisinin boyutu azaltılır ve optimal

stratejilerin bulunmasında bu durum kullanılır.

Örnek:

Stratejileri aşağıdaki sütun oyuncusunun satır oyuncusuna yaptığı ödemeleri gösteren

ödemeler matrisinde verilmiş olan A ve B oyuncularının seçmesi gerekli stratejileri belirleyiniz.

A B

K1 K2 K3

S1 2 8 -1

S2 13 10 9

S3 4 -2 5

Çözüm:

Ödemeler matrisinde üstün stratejiler olup olmadığı araştırılır. Satır oyuncusunun

stratejileri karşılaştırılarak bakılmaya başlanır.

S1 ve S2 stratejileri karşılaştırıldığında, 13>2, 10>8 ve 9>-1 olduğu görülmektedir. Yani

A oyuncusu açısından, birinci ve ikinci stratejilerin karşılaştırılması sonucu, ikinci stratejinin

tüm değerleri bire bir olarak birinci stratejinin değerlerinden daha yüksektir. Bir başka deyişle

S2 stratejisinin kazancı S1 stratejisinden daha yüksektir. Dolayısıyla A oyuncusu S2 stratejisi

varken hiçbir zaman S1 stratejisini seçmez. S2 stratejisi S1 stratejine baskındır. Böylece S1

stratejisi ödemeler matrisinden silinebilir. Ödemeler matrisinin yeni hâli aşağıdaki şekilde

olacaktır.

257

A B

K1 K2 K3

S2 13 10 9

S3 4 -2 5

S2 ve S3 stratejileri karşılaştırıldığında, 13>4, 10>-2 ve 9>5 olduğu görülmektedir. Yani

A oyuncusu açısından, ikinci ve üçüncü stratejilerin karşılaştırılması sonucu, ikinci stratejinin

tüm değerleri bire bir olarak üçüncü stratejinin değerlerinden daha yüksektir. Bir başka deyişle

S2 stratejisinin kazancı S3 stratejisinden daha yüksektir. Dolayısıyla A oyuncusu S2 stratejisi

varken hiçbir zaman S3 stratejisini seçmez. S2 stratejisi S3 stratejine baskındır. Böylece S3

stratejisi ödemeler matrisinden silinebilir. Ödemeler matrisinin yeni hâli aşağıdaki şekilde

olacaktır.

A

B

K1 K2 K3

S2 13 10 9

10.7. Oyun Kuramında Grafik Yöntem

Eğer ödemeler matrisi B oyuncusu açısından 2(mx ) ya da A oyuncusu açısından )2( xn

boyut şartlarından birini taşıyorsa ya da ödemeler matrisi matris işlemleriyle bu boyutlara

indirgenebiliyorsa, oyun Grafik Yöntemle çözülebilir. Diğer deyişle satır ya da sütunları temsil

eden oyunculardan biri 2’ den fazla stratejiye sahip olmamalıdır. Burada Grafik Yöntem,

satırları temsil eden oyuncunun (A oyuncusu) iki stratejiye sahip olması durumuna göre

anlatılmıştır.

Koordinat sisteminin yatay ekseni 2 stratejiye sahip oyuncunun 1. stratejisinin

gerçekleşme olasılığını H gösterir. Söz konusu olasılık değeri doğal olarak 0 ≤ H ≤ 1 aralığında olacaktır. Bu durumda oyuncunun 2. stratejisinin olasılık değeri H� = 1 − H olacaktır.

Daha sonra A oyuncusunun, B oyuncusunun stratejileri I! karşısındaki beklenen

değerleri p�!(+)q hesaplanır. Beklenen değer, uH 1 − Hw satır vektörü ile ödemeler

matrisindeki B oyuncusunun ilgili stratejilerine karşılık gelen sütun vektörlerinin çarpımına

eşittir. Diğer bir deyişle A oyuncusuna ilişkin ödemeler matrisi,

258

+ = i� �� … ��… ��j şeklinde ise beklenen değer aşağıda gösterildiği gibi hesaplanır.

�!(+) = é�! − ��!êH + ��! Görüldüğü gibi beklenen değerler doğru denklemi formatındadır. Daha sonra elde edilen

doğru denklemleri grafik eksene işlenir. Koordinat sisteminin düşey ekseni beklenen değerleri

gösterir. Koordinat sisteminin H = 0 ve H = 1 için iki düşey ekseni vardır.

Koordinat sistemindeki mümkün çözüm noktaları doğruların kesiştiği noktalarda

gerçekleşir. A oyuncusunun maksimin yöntemine göre hareket ettiği göz önüne alındığında

mümkün noktalardan optimal olanı, minimumların maksimumunda gerçekleşenidir.

Örnek:

A oyuncusunun ödemeler matrisi,

+ = i4 −11 3 j ise, bu oyunun sonucunu bulunuz.

Bu oyunda A ve B oyuncularının 2’şer stratejileri bulunmaktadır. B oyuncusunun

stratejilerine karşılık A oyuncusunun beklenen değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.

�(+) = (� − ��)H + �� = (4 − 1)H + 1 = 3H + 1 ��(+) = (�� − ��)H + �� = (−1 − 3)H + 3 = 3 − 4H Bu doğruların koordinat sisteminin düşey eksenlerini kestiği noktalar ise,

�(+) için ÜH = 0 ⇒ �(+) = 1H = 1 ⇒ �(+) = 4 ��(+) için Ü H = 0 ⇒ ��(+) = 3H = 1 ⇒ ��(+) = −1 olarak bulunur. Söz konusu doğrular aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

259

Şekilden görüleceği gibi beklenen değer doğruları tek noktada kesişmektedirler ve bu

noktalar en iyi çözümü oluşturmaktadır. A oyuncusu maksimin yöntemine göre hareket

ettiğinden (minimumların maksimumu) �(+) ve ��(+) doğrularının kesişiminden oluşan zarf

çözüm bölgesidir ve optimal çözüm G noktasında gerçekleşmektedir. G noktasındaki çözüm,

�(+) = ��(+) 3H + 1 = 3 − 4H 7H = 2 H = 27

H� = 1 − H = 1 − 27 = 57 olarak bulunabilir. A oyuncusunun beklenen değeri ise, ��(+) ya da �|(+)

doğrularından biri yardımıyla,

�(+) = 3. 27 + 1 = 137 ≅ 1,86 şeklinde elde edilebilir. Benzer şekilde oyun B oyuncusuna göre de çözülebilir.

Örnek:

A oyuncusunun ödemeler matrisi,

+ = i5 31 1 1 13 2j ise, bu oyunun sonucunu bulunuz.

260

Bu oyunda A oyuncusunun 2 stratejisine karşılık B oyuncusunun 4 stratejisi

bulunmaktadır. B oyuncusunun stratejilerine karşılık A oyuncusunun beklenen değerleri

aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.

�(+) = (� − ��)H + �� = (5 − 1)H + 1 = 4H + 1 ��(+) = (�� − ��)H + �� = (3 − 1)H + 1 = 2H + 1 �L(+) = (�L − ��L)H + ��L = (1 − 3)H + 3 = 3 − 2H �|(+) = (�| − ��|)H + ��| = (1 − 2)H + 2 = 2 − H Bu doğruların koordinat sisteminin düşey eksenlerini kestiği noktalar ise,

�(+) için ÜH = 0 ⇒ �(+) = 1H = 1 ⇒ �(+) = 5 ��(+) için ÜH = 0 ⇒ ��(+) = 1H = 1 ⇒ ��(+) = 3 �L(+) için ÜH = 0 ⇒ �L(+) = 3H = 1 ⇒ �L(+) = 1 �|(+) için ÜH = 0 ⇒ �|(+) = 2H = 1 ⇒ �|(+) = 1 olarak bulunur. Söz konusu doğrular aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Şekilden görüleceği gibi beklenen değer doğruları 6 noktada kesişmektedirler ve bu

noktalar mümkün çözümleri oluşturmaktadır. A oyuncusu maksimin yöntemine göre hareket

ettiğinden (minimumların maksimumu) ��(+) ve �|(+) doğrularının kesişiminden oluşan zarf

çözüm bölgesidir ve optimal çözüm G noktasında gerçekleşmektedir. G noktasındaki çözüm,

261

��(+) = �|(+) 2H + 1 = 2 − H 3H = 1 H = 13

H� = 1 − H = 1 − 13 = 23 olarak bulunabilir. A oyuncusunun beklenen değeri ise, ��(+) ya da �|(+)

doğrularından biri yardımıyla,

�(+) = 2. 13 + 1 = 53 ≅ 1,67 şeklinde elde edilebilir. Benzer şekilde oyun B oyuncusu açısından çözüldüğünde, bu

oyuncunun 4 stratejisine ilişkin olasılık değerleri hesaplanabilir.

262

Uygulamalar

A ya göre ödemeler matrisi aşağıda verilmektedir. Her bir oyuncu için en iyi seçeneği,

A ve B ye göre oyun değerini bulunuz.

Verilen A ya göre ödemeler matrisinde her bir satırın en küçük elemanı matrisin sol

tarafına ve B ye göreyse ödemeler matrisi kayıp değerleri göstermesi nedeniyle her bir sütunun

en büyük elemanı matrisin altına yazılır. Bu düşünce A yönünden maximin yani kötümserlik kriteri ve B yönünden kayıp söz konusu olduğu için minimax (=maliyet tipli karar matrisinde kötümserlik kriteri) olarak belirlenir. A için oyun değeri 4 ve B için oyun değeri

4 olarak bulunması nedeniyle her iki oyuncunun oyundan beklediği değerler (birinin kazancı

diğerinin kaybı olarak düşünüldüğü için) birbirini karşılamaktadır ve oyunun bir tepe noktası

vardır. A nın seçeneği II. strateji, B nin seçeneği de III. stratejidir ve tam stratejileridir. Oyunun

tepe noktası olması dolayısıyla da oyunun değeri 4 dür.

263

Uygulama Soruları

Kazanç matrisi aşağıda gösterilen oyunun eş stratejilerini belirleyiniz.

Satır Sütun Oyuncusu

Oyuncusu Stratejisi

Stratejisi C1 C2 C3 C4

R1 1 2 3 1

R2 3 6 1 3

R3 0 5 4 0

R4 1 2 3 1

264


Bu bölümde oyun kuramı, saf stratejiler, minimaks ve maksimin stratejilerinin

uygulanışı, oyunun tepe noktası, karma stratejiler, oyunun değerini bulmada grafik yaklaşımı

konuları ayrıntılı olarak incelemiştir.

265

Bölüm Soruları

1) Oyun teorisinde ödemeler matrisi satır oyuncusuna göre verilir?

a) Doğru

b) Yanlış

2) Bir oyunda en az kaç kişi bulunmalıdır?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

3) Bir oyuncunun rakiplerinin ne yaptığını dikkate almaksızın kazancını maksimize

eden stratejiye ne denir?

a) İşbirliği stratejisi

b) Fayda stratejisi

c) Kazanç stratejisi

d) Oyuncu stratejisi

e) Baskın strateji

4) Oyun kuramını geliştiren ya da geliştirenler aşağıdakilerden hangisidir?

a) D.W. Carlton ve J.M. Perloff

b) J. Von Neuman ve O. Morgenstern

c) D. Kreps

d) E. Rasmusen

e) S. Bierman ve L. Fernandez

266

5) Kendilerine ait stratejileri bulunan ve birbirlerinin hareketlerinden etkilenen iki ya da

daha fazla firmanın rekabetini analiz eden teoriye ne ad verilir?

a) Oyun Teorisi

b) Fiyat iteorisi

c) Tüketici Teorisi

d) Davranış Teorisi

e) Üretici Teorisi

6) Bir oyuncunun kazancı diğer oyuncunun kaybıysa, bu tür oyunlara ne ad verilir?

a) 1 toplamlı oyun

b) 0 toplamlı oyun

c) 1 toplamlı olmayan oyun

d) 0 toplamlı olmayan oyun

e) Toplamı belirsiz oyun

7) Aşağıda verilen ödemeler matrisine göre oyunun değeri kaçtır?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

267

8) Aşağıda verilen ödemeler matrisine göre oyunun değeri kaçtır?

K1 K2

S1 2 3

S2 11 8

a) 2

b) 3

c) 8

d) 11

e) 0

9) Aşağıda verilen ödemeler matrisine göre oyunun tepe noktası varsa değeri nedir?

a) 2

b) 3

c) 8

d) 11

e) 0

Aşağıdaki 9-12 soruları verilen ödemeler matrisine göre cevaplayınız. Ödemeler

matrisi, sütun oyuncusunun satır oyuncusuna yaptığı ödemeler cinsinden hazırlanmıştır.

(Baskın stratejileri kullanarak çözünüz.)

10) Satır oyuncusu için optimal strateji nasıl olacaktır?

a) (1;0;0)

b) (0;0,22;0,78)

c) (0,5;0,1;0,4)

268

d) (0,0,1)

e) (0;1;0)

11) Sütun oyuncusu için optimal strateji nasıl olacaktır?

a) (1;0;0)

b) (0,7;0,3;0)

c) (0;0,56;0,0,44)

d) (0;0;1)

e) (0;1;0)

12) Oyunda eğer tepe noktası varsa değeri nedir?

a) 3

b) 5,89

c) 5,59

d) -3

e) Tepe noktası yoktur.

13) Oyunun oyun değeri varsa nedir?

a) 3

b) 5,59

c) 5,89

d) -3

e) Tepe noktası yoktur.

Cevaplar

1) a , 2) b, 3) e, 4) b, 5) a, 6) b, 7) d, 8) c, 9) c, 10) b, 11) c, 12) b, 13) c.

269

11. MARKOV ANALİZİ

270


11.1. Markov analizi nedir?

11.2. Geçiş olasılıkları diyagramı

11.3. Geçiş olasılıkları matrisi

11.4. 2.,3., ve sonraki adımlarda geçiş olasılıklarının değişimi

11.5. Markov zinciri

271


1) Markov analizi nedir?

2) Hangi tip işletme problemlerinin modellenmesi ve çözümünde kullanılır?

3) Durum nedir? Durum uzayı nedir?

272



Markov Analizi

Markov analizinin ne

olduğunu nerelerde

kullanıldığını anlamak


Uygulama yaparak

Geçiş olasılıkları matrisi

Geçiş olasılıkları matrisinin

nasıl oluşturulduğunu

anlamak


Uygulama yaparak

273

Anahtar Kavramlar

• Markov analizi

• Geçiş olasılıkları diyagramı

• Geçiş olasılıkları matrisi

• Durum

• Durum uzayı

• Adım

• Markov zinciri

274

Giriş

Bilimsel karar alma süreci modellere dayanır ve isabetli kararlar alınabilmesi için büyük

ölçüde sistematik yaklaşıma gereksinim duyulur. Karar alma problemlerinde belirsizliklere

ilişkin olaylarla sıkça karşılaşılmaktadır. Bu belirsizlik genelde, doğal olayın belirsizliğinden

veya temel değişkenin akla gelmeyen değişim kaynağından ortaya çıkmaktadır. Böyle

durumlarda olay matematiksel model haline dönüştürülerek, onun değişkeni olasılık hesapları

ile tanımlanabilir. Geliştirilen bu modele Markov Analizi denilmektedir. Markov Analizi

mevcut olasılıkları kullanarak, gelecekteki durum olasılıklarını hesaplamada kullanılan güçlü

modelleme ve analiz tekniği olarak bilinmektedir.

Bir sistemin mümkün karşılaşılabilir durumlarının birinden diğerine geçiş olasılıkları

bilindiğinde sistemin analizi ile ilgili bir araştırma alanıdır. Başlangıç durumu verildiğinde

izleyen aşamada hangi olasılıkla hangi durumda olunacağını ve buna karşı oluşacak olan katkıyı

ölçmek ve en iyi stratejiyi belirlemek için başvurulan analiz türüdür. Markov analizini mevcut

durumdan başka durumlara geçiş olasılıkları bilindiğinde olabilecek durumların tahmininde

kullanılabilir. Örneğin firmaların pazar payları biliniyor ise, geçiş matrisinden yararlanarak

yıllar ilerledikçe pazar paylarında olabilecek değişim tahminlenerek firmaların strateji

belirlemelerine yardımcı olunabilir.

275

11.1. Markov Analizi

Markov analizi, verilen bir sistemdeki gelecek durumların mevcut durumlara bağlı

olduğu hâllerdeki stokastik süreçlerini modellemede kullanılır. Birinci derecen Markov analizi

gelecek durumların şimdiki durum verildiğinde geçmiş durumlardan bağımsızlığını kabul eder.

Markov analizinde sisteme ait bütün açıklayıcı bilgiler durum adı verilen ifadelerde

tutulmaktadır.

Markov Analizi modeli karmaşık bir sistemin güvenilirlik davranışını, önceden

tanımlanmış bir ayrık durumlar kümesi üzerinde tanımlı durum geçiş diyagramı ile

modelleyebilmekte ve durumlar arası geçiş hızını tahmin etmekte kullanılabilmektedir. Bu

sebeple, Markov Analizi modelleri muhtemel olay zincirlerini etkin bir şekilde temsil etme

konusunda oldukça başarılıdırlar. Örneğin, güvenilirlik ve kullanılabilirlik uygulamalarında

durumlar arası geçiş, sistemin herhangi bir anda herhangi bir durumda olma olasılığını, durum

içinde tahmini kalma süresini ve durumlar arası tahmini geçiş sayılarını belirlemekte

kullanılırlar. Markov Analizi tekniği, A.A. Markov tarafından 1905 yılında yapılan, Brownian

hareketi olarak bilinen kapalı bir kutu içindeki gaz moleküllerinin yapısını ve davranışlarını

matematiksel olarak betimleme denemesine dayanır. Teknik, birbirini izleyen, zincirleme

yapıdaki bir araştırmanın sonucunda geliştirilmiştir. Markov sürecinin ilk doğru matematik

yapısı N. Wiener tarafından 1923 yılında kurulmuştur. Markov süreçlerinin genel teorisi ise

1930 ve 1940 yıllarında A.N. Kolmogoron, W. Feller, W. Doeblin, P. Levy, J.L. Doob ve

diğerlerince geliştirilmiştir.

Markov analizi bir müşterinin kullandığı ürünün markasını değiştirme olasılığının

hesaplanması veya bugün çalışan bir makinenin ertesi gün arızalanma olasılığının bulunması

gibi zaman içerisinde bir durumdan diğer duruma olasılıklı (stokastik) olarak geçen sistemlere

uygulanır. Bu sistemler için bir durumdan diğer duruma geçiş geçiş olasılıkları ile ifade edilir.

Markov süreçleri ileride ortaya çıkması olası durumların gerçekleşme olasılıklarının,

geçmiş verilere göre değil, şu andaki verilerden yararlanarak bulunduğu süreçlerdir. Markov

süreçlerinin temel özelliği, belirli bir zaman diliminde çeşitli durumlarda bulunmanın ve bir

durumdan diğer duruma geçişin olasılıklarının göz önüne alınmasıdır.

Bir durumdan diğer duruma geçiş, sistemin daha önceki durumlarına bağlı olmayıp,

yalnızca bir önceki durumuna bağlıdır. Bu açıdan bakıldığında, Markov süreci için önceki

durum hariç, daha önceki durumların bilinmesine gerek yoktur. Söz konusu bu özelliğe Markov

özelliği denilir. Markov özelliği olan bir sistemde, bir durumdan diğer duruma geçiş, sadece bir

önceki duruma bağlı olan şartlı olasılıklar ifade edilir.

Zaman kümesi í de kesikli veya sürekli olabilir. í sürekli değerler alabiliyorsa {Â} süreci sürekli zamanlı stokastik süreç olarak ve eğer í tamsayılı değerlerle sınırlanmış, yani í = {0,1,2,3, … } ise {Â} süreci kesikli-zamanlı stokastik süreç olarak adlandırılır.

Şöyle ki, î�{ anındaki durum olasılığı �{, î� anındaki durum olasılığı � ve �Âï ile �Âïðñ rastsal değişkenler olmak üzere, î� anında � de olma olasılığı,

276

òïðñ,óï = (�Âï = �|�Âïðñ = �{) koşullu olasılığı ile gösterilir ve bu koşullu olasılık sistemin î�{ anından î� anına geçişi

tanımladığından buna bir adımlı geçiş denir. µ adımlı geçiş olasılığı ise, �Âï rastsal değişken

olmak üzere;

òï,óïõö = (�Âïõö = �g'|�Âï = �) ile ifade edilir.

Zamanla rassal olarak gelişen bir sistem düşünelim (Örneğin öğle saatlerinde bir

kafedeki müşteri sayısı). Varsayalım ki bu sistem 4 = 0,1,2,3, . .. anlarında gözlensin. � , 4 anındaki sistemin durumu olsun. {÷, , … , �} rassal değişkenler dizisi, kesikli zaman

stokastik süreç olarak isimlendirilir ve {�, 4 ≥ 0}şeklinde gösterilir. Stokastik Süreçler bazı

zaman periyotlarında çalışan bir sistemin davranışını tanımlamakla ilgilidir.

11.2. Markov Analizi ile ilgili Kavramlar ve Markov Zinciri

Stokastik Süreç: Rasgele sonuçlar doğuran olaylar serisidir.

Durum: Rasgele değişkenin aldığı her bir değere durum denir. Sistem

karakteristiklerinin 4 anındaki değeridir. Bir sistemin mevcut durumu durum olarak

isimlendirilen v + 1 kategoriden birine düşer. Bir sistem aynı anda iki durumda olamaz.

Durumlar 0,1,2, . . . v olarak etiketlenir. � rassal değişkeni, 4 anındaki sistemin durumunu

temsil eder.

Durum Uzayı: Bir sistemin olası tüm durumlarını içeren kümeye, durum uzayı denir.

Rasgele değişkenin alabileceği değerlerin tümünü kapsayan � kümesi durum uzayı olarak

adlandırılır. Durum uzayı sürekli veya kesikli değerlerden oluşabilir. Buna göre {Â} süreci

sürekli-durumlu stokastik süreç veya kesikli-durumlu stokastik süreç olarak adlandırılır.

İş Makinesi Örneği:

Gün (ø) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Durum 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0

Burada rasgele değişken kesikli olup iki değerden birini alabilmektedir (] = {0,1}). í ={0,1,2,3, … } olduğuna göre, {Â} süreci kesikli-durumlu ve kesikli-zamanlı bir stokastik süreç

olur.

Sistemin şimdiki durumu ve geçmişte bulunduğu durumlar biliniyor olsun, buna göre

sistemin gelecekteki durumunun koşullu olasılığı şimdiki durumuna bağlı olup, geçmişteki

durumlardan bağımsızdır. Bir başka ifadeyle bütün durumlar ve zamanlar î = {0,1,2,3, … } için,

(Âg = /Âg|Â = /Â, Â{ = /Â{, … , = /, ÷ = /÷)

277

(Âg = /Âg|Â = /Â) Örneğin bir hastanın herhangi bir gündeki sağlık durumunun (kritik, normal, iyi, vs)

olasılığı, sadece bir önceki gün bulunduğu duruma bağlı ise bu bir Markov sürecidir. Markov

özelliğine sahip stokastik bir {Â} süreci eşit ve kesikli zaman aralıkları ile ifade ediliyorsa, î ={0,1,2,3, … } Markov zinciri olarak adlandırılır.

Sistemin herhangi bir dönemde / durumunda iken bir sonraki dönemde 3 durumuna

geçme olasılığı ù)! ile gösterilir ve geçiş olasılığı olarak adlandırılır.

(Âg = 3|Â = /) = ù)! 11.3. Başlangıç olasılıkları

Sistemin başlangıçta (î = 0 zamanında) i durumunda bulunma olasılığı ú) ile gösterilir

ve başlangıç olasılığı olarak isimlendirilir.

(÷ = /) = ú) Buna göre ú = uú ú� … úûw vektörü başlangıç olasılık dağılımını gösteren

başlangıç olasılığı vektörü olarak adlandırılır. S durumlu bir markov zincirinin geçiş olasılıkları ] × ] boyutlu bir geçiş matrisi (kare matris) şeklinde gösterilir.

Geçiş matrisinin satırları aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.

1. \ ≤ ü�� ≤ X 2. ü��

� = X Markov zincirinin özellikleri:

• Markov özelliği,

• Kesikli ve sonlu durum uzayı, ] = {0,1, 2, , … , ]},

278

• Zamanla değişmeyen geçiş olasılıkları (ù)!) olarak özetlenebilir.

Stokastik sürecin son 10 günde aldığı değerler,

{Â} = {0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0} Duruma (ø + X günü)

Durumdan (ø günü) Arızalı Çalışır Satır Toplamı

Arızalı 3 2 5

Çalışır 2 2 4

= 0 101 i0,6 0,40,5 0,5j

ù÷÷ = ( = 0|÷ = 0) = 0,6 ù÷ = ( = 1|÷ = 0) = 0,4 ù÷ = ( = 0|÷ = 1) = 0,5 ù = ( = 1|÷ = 1) = 0,5

279

Örnek:

Atatürk Hava Limanında 4. gün saat 12:00’de kaydedilen sıcaklıklar:

Örnek:

Bir zarın 4. atılışında gelen sayı;

280

Örnek:

î anında bir mağazadaki müşteri sayısı;

11.4. Stokastik Süreçlerin Sınıflandırılması

Örnek:

İş makinesi problemine ilişkin geçiş olasılıkları matrisi aşağıdaki gibi verildiğine göre;

= 0 101 i0,6 0,40,5 0,5j Birinci adımdaki geçiş olasılığı: 10. Günün sonunda makine arızalndığına göre,

11.Günde de makinenin arızalanma olasılığı nedir?

ù÷÷() = ( = 0|÷ = 0) =? İkinci adımda geçiş olasılığı: 10.Günün sonunda makine arızalandığına göre 12.Günde

de makinenin arızalanma olasılığı nedir?

281

ù÷÷(�) = (� = 0|÷ = 0) =? ( = 0|÷ = 0). (� = 0| = 0) + ( = 1|÷ = 0). (� = 0| = 1)

Üçüncü adımda geçiş olasılığı: 10.Günün sonunda makine arızalandığına göre

13.Günde de makinenin arızalanma olasılığı nedir?

ù÷÷(L) = (L = 0|÷ = 0) =? ù÷÷. ù÷÷. ù÷÷ + ù÷÷. ù÷. ù÷ + ù÷. ù÷. ù÷÷ + ù÷. ù. ù÷

4.adımda geçiş matrisi ( (�)) geçiş matrisi ’nin 4. kuvveti alınarak bulunur.

(�) = .

(L) = �. = . � = L ve genel olarak;

(�) = (�{). = . (�{) = � /.geçiş matrisi veya tek adımda geçiş matrisi daha önce elde edilmişti. 2-adımda veya

3-adımda ve 4-adımda geçiş matrisleri sırasıyla;

� = . = i0,6 0,40,5 0,5j . i0,6 0,40,5 0,5j = x0,56 0,440,55 0,45y L = �. = x0,56 0,440,55 0,45y . i0,6 0,40,5 0,5j = x0,556 0,4440,555 0,445y | = L. = x0,556 0,4440,555 0,445y . i0,6 0,40,5 0,5j = x0,5556 0,44440,5555 0,4445y

4 = 1.Adım → = i0,6 0,40,5 0,5j 4 = 2.Adım → � = x0,56 0,440,55 0,45y 4 = 3.Adım → L = x0,556 0,4440,555 0,445y 4 = 4.Adım → | = x0,5556 0,44440,5555 0,4445y

4.adımda geçiş olasılıkları yeterince uzun bir geçiş sürecinden sonra sabit bir değere

yaklaşma eğilimi gösterirler, yani kararlı bir hale gelirler. Buna markov sürecinde denge

durumu denir.

282

Örneğin, ù() = 0,6; ù(�) = 0,56; ù(L) = 0,556; ù(|) = 0,5556; ù(}) =0,55556 serisi incelendiğinde ù(�) olasılığındaki değişim miktarının her adımda gittikçe

azaldığı görülür.

Bir Markov zincirinin durumlarından bazıları yutan ve diğerleri de geçici durumlar ise

bu markov zinciri Yutan Markov Zinciri olarak adlandırılır.

Örnek:

Müşterilerine kredi ile alışveriş olanağı sunan bir mağaza, alacakların tahsili için son

ödeme tarihinden sonra iki hafta beklemekte ve bu süre Içerisinde borcunu ödemeyen

müşterileri cezalı müşteriler kategorisine koyup alacak tahsili için yasal yollara başvurmaktadır.

İki hafta içerisinde borcunu ödeyen bir müşteri yutan bir duruma geçmiş olacaktır. Öbür yandan

borcunu iki haftadan fazla geciktiren bir müşteri de yine yutan bir duruma geçmiş olacaktır.

Her haftanın başında müşterilerin hesapları incelenip aşağıdaki durumlara göre

değerlendirilmektedir (son ödeme tarihinden itibaren 1-7 gün geciken borç bir hafta gecikmiş,

8-14 gün geciken borç iki hafta gecikmiş olarak değerlendirilecektir)

Durum 1: Borcunu ödemiş

Durum 2: Borcunu bir hafta geciktirmiş

Durum 3: Borcunu iki hafta geciktirmiş

Durum 4: Cezalı (yasal işlem gerektiriyor)

Geçmiş dönemlere ait verinin değerlendirilmesi sonunda, haftalık olarak mağazanın

alacaklarının durumunu gösteren aşağıdaki geçiş matrisi elde edilmiş olsun.

283

Örnek:

Şehirden uzak bir küçük kasabada ] ve Ò gibi iki market bulunmaktadır. Kasabada

marketten alış veriş yapan toplam müşteri sayısı 1000 kişidir. Marketler arası müşterilerin

geçişleri aşağıda verildiği şekildedir.

] Ò

] 200 800

Ò 400 600

Başlangıç durumunda müşteri sayıları; Ø(0) = (260, 350) şeklindedir. Buna göre üç

dönem sonra müşteri durumları ne şekilde olacaktır?

Çözüm:

Soruda verilen matris;

� â

� 800 200

â 400 600

Marketler arasında müşterilerin geçişlerini vermektedir. Bu matrisin anlatmak istediği;

• Mevcut durumda ] marketinden alışveriş yapan müşterilerden 800 tanesi bir

sonraki alış verişlerinde tekrar ] marketine gideceklerdir.

• Mevcut durumda ] marketinden alışveriş yapan müşterilerden 200 tanesi bir

sonraki alış verişlerinde Ò marketine gideceklerdir.

• Mevcut durumda Ò marketinden alışveriş yapan müşterilerden 400 tanesi bir

sonraki alış verişlerinde ] marketine gideceklerdir.

• Mevcut durumda Ò marketinden alışveriş yapan müşterilerden 600 tanesi bir

sonraki alış verişlerinde tekrar Ò marketine gideceklerdir.

Kasabadaki toplam müşteri sayısı 1000 kişi olduğu bilindiğine göre geçiş olasılıkları

bulunabilir.

� Mevcut durumda ] marketinden alışveriş yapan müşterilerin bir sonraki alış

verişlerinde tekrar ] marketine gitme olasılıkları: 800/1000 = 0,80 olacaktır.

� Mevcut durumda ] marketinden alışveriş yapan müşterilerin bir sonraki alış

verişlerinde Ò marketine gitme olasılıkları: 200/1000 = 0,20 olacaktır.

284

� Mevcut durumda Ò marketinden alışveriş yapan müşterilerin bir sonraki alış

verişlerinde ] marketine gitme olasılıkları: 600/1000 = 0,60 olacaktır.

� Mevcut durumda Ò marketinden alışveriş yapan müşterilerin bir sonraki alış

verişlerinde Ò marketine gitme olasılıkları: 400/1000 = 0,40 olacaktır.

Buna göre marketler arası müşteri geçiş olasılıkları diyagramı aşağıdaki gibi olur.

Bulunan bu olasılıklar kullanılarak geçiş matrisi oluşturulabilir.

þ = �â� âx8/10 2/106/10 4/10y = �â

� âi0,8 0,20,6 0,4j şeklinde þ geçiş matrisi oluşturulur.

Üçüncü dönemden sonraki müşteri sayıları sorulduğudunda; Bunun için matrisinin

küpü alınacaktır. Böylece üç dönem sonraki geçiş olasılıkları elde edilmiş olacaktır.

L = i0,688 0,3120,324 0,376j Ø(0) = (260; 350)

Ø(3) = Ø(0). L = u260 350w. i0,688 0,3120,324 0,376j = u397,28 212,72w Ø(3) = (397,28; 212,72)

olarak elde edilir.

Müşteriden bahsedildiği için yaklaşık tam değerler Ø(3) = (397; 213) kişi şeklinde

müşteri dağılımı gerçekleşecektir.

Örnek:

Aşağıda durum geçiş olasılıkları diyagramı verilen sisteme ilişkin durum geçiş

olasılıkları matrisini belirleyiniz. İkinci adımda ù(�), ù�(�), ùL(�) değerlerini bulunuz. Üçüncü

adım olasılıklarını belirleyiniz. Onuncu adım olasılıklarını bulunuz. Elde edilen olasılık

matrisinin yorumlayınız.

285

Çözüm:

= +,� + , �

�1/4 1/4 1/21/2 0 1/21/4 1/4 1/2�

= +,� + , �

�0,25 0,25 0,500,5 0 0,500,25 0,25 0,50�

ù(�) =ù. ù + ù�. ù� + ùL. ùL

ù(�) = 0,25.0,25 + 0,25.0,5 + 0,5.0,25 = 0,3125

ù�(�) =ù. ù� + ù�. ù�� + ùL. ùL�

ù�(�) = 0,25.0,25 + 0,25.0 + 0,5.0,25 = 0,1875

ùL(�) =ù. ùL + ù�. ù�L + ùL. ùLL

286

ùL(�) = 0,25.0,5 + 0,25.0,5 + 0,5.0,5 = 0,5 ù)!(�) = ù)'. ù'! �

)"

� = �0,25 0,25 0,500,5 0 0,500,25 0,25 0,50� . �0,25 0,25 0,500,5 0 0,500,25 0,25 0,50� = �

0,3125 0,1875 0,500,25 0,25 0,500,3125 0,1875 0,50�

L = �0,3125 0,1875 0,500,25 0,25 0,500,3125 0,1875 0,50� . �0,25 0,25 0,500,5 0 0,500,25 0,25 0,50�

L = �0,2969 0,2031 0,500,3125 0,1875 0,500,2969 0,2031 0,50�

} = � 0,3 0,2 0,500,2998 0,2002 0,500,3 0,2 0,50�

� = �0,3 0,2 0,500,3 0,2 0,500,3 0,2 0,50� ≅ ÷ = �0,3 0,2 0,500,3 0,2 0,500,3 0,2 0,50�

Olasılıklar adım sayısı arttıkça belirli bir değere sabitlenmiştir.

287

Örnek:

Aşağıda durum geçiş olasılıkları diyagramı verilen sisteme ilişkin durum geçiş

olasılıkları matrisini belirleyiniz.

Çözüm:

288

Örnek:

A, B ve C birbirinin rakibi üç bisküvi markasıdır. Bu bisküvilerin pazar payları (0,5;

0,3; 0,2) şeklindedir. Bu bisküvileri sevenleri arasında yapılan araştırmaya göre, belirli bir

bisküviyi yiyen birinin bir sonraki seferde hangi bisküviyi tercih edeceği aşağıdaki şekilde ifade

edilmiştir.

A B C

A 0,6 0,1 0,3

B 0,4 0,3 0,3

C 0,3 0,5 0,2

Buna göre dördüncü dönem sonunda bisküvilerin pazar payları ne şekilde olacaktır?

Çözüm:

Durumlar arası geçiş olasılıklarını gösteren geçiş matrisi soruda verilmiştir. Bu matrise

göre örneğin, mevut durumda B bisküvisini yiyen biri, bir sonraki durumda A bisküvisini yeme

olasığı 0,4, tekrar B bisküvisini yeme olasılığı 0,3, C bisküvisini yeme olasılığı ise 0,3’tür. Bu

geçiş matrisi kullanılarak dört dönem sonra bisküvilerin pazar payları hesaplanacaktır. Bunun

için;

Ø(4) = Ø(0) | kullanılacaktır.

Bunun için matrisinin dördüncü kuvveti alınacaktır. Böylece dört dönem sonraki geçiş

olasılıkları elde edilmiş olacaktır.

| = �0,4669 0,2604 0,27270,4653 0,2620 0,27270,4648 0,2624 0,2728� Ø(0) = (0,5; 0,3; 0,2)

Ø(4) = u0,5 0,3 0,2w �0,4669 0,2604 0,27270,4653 0,2620 0,27270,4648 0,2624 0,2728� = u0,466 0,261 0,273w Ø(4) = (0,466; 0,261; 0,273)

şeklinde olmaktadır. Dört dönem sonra, A ve B bisküvilerinin pazar payı azalırken, C

bisküvisinin pazar payının arttığı görülmektedir.

289

þ matrisinin Özellikleri:

1. )! ≥ 0 Adım geçiş olasılıklarının “0” ya da pozitif olacağını ifade eder.

2. )!t!"÷ = 1 İkinci özellik, satır girişleri toplamının 1’e eşit olması

gerektiğini ifade eder.

11.5. Ergodik Markov Zinciri

� = ¬0 10 0 0 01 00 01 0 0 10 0 Üstteki P matrisi ergodik bir Markov zinciridir.

� = ¬0 10 0 0 01 00 11 0 0 00 0 Üstteki matrisi ise ergodik bir Markov zinciri değildir. Sebebi ise 4. duruma hiçbir

şekilde varılamamaktadır.

11.6. Denge Durumu

Birçok durumda Markov zincirleri denge durumuna ulaşırlar. Denge durumuna ulaşmış

bir Markov zinciri kullanılarak uzun dönemde durumların ne olacağı konusunda tahmin

yapılabilir. Uzun dönem sonunda Markov Analizinde süreç denge durumuna veya durağan

durum koşullarına ulaşır. Bu durumda sürecin geleceği ile ilgili etkili yorumlar yapılabilir.

P 'nin kuvvetlerinde izlenebileceği gibi n büyüdükçe P değerleri sabit bir sayıya veya

limite yaklaşmaktadırlar ve olasılık vektörleri bütün değerleri için eşit olmaya meyletmektedir

4 adım sonra denge durumuna ulaşmış herhangi bir Markov süreci için durumlar;

Ø = lim�→�Ø� = Ø.

şeklinde hesaplanır.

290

Örnek:

Konuda örneği incelenen “market müşterilerinin market değiştirme durumların” uzun

vadede nasıl olacaklarını bulunuz.

Çözüm:

Uzun vadede ne olunacağı söz konusu olduğu için durağanlık yani denge durumu söz

konusudur.

Ø = Ø i0,80 0,200,60 0,40j şeklinde olacaktır. Buradan;

uØ, Ø�w = uØ, Ø�w i0,80 0,200,60 0,40j Ø = 0,8Ø + 0,6Ø� Ø� = 0,2Ø + 0,4Ø� Ø + Ø� = 1

şeklinde olmaktadır.

0 = −0,2Ø + 0,6Ø� 0 = 0,2Ø − 0,6Ø� Ø� = 1 − Ø

şeklinde yazılabilir.

0 = −0,2Ø + 0,6. (1 − Ø) 0,8Ø = 0,6 → Ø = 3/4 Ø� = 1 − Ø = 1 − 3/4 = 1/4

olmaktadır. Buna göre denge durumunda;

260. (3/4) = 195 350. (1/4) = 87,5

şeklinde olacaktır.

291

Örnek: (Kumarbazın İflası)

Varsayalım ki 2 TL’miz var ve her yazı-tura atışımızda eğer para TURA gelirse 1 TL

kazanıyoruz, YAZI gelirse 1 TL kaybediyoruz. Bir atışta paranın TURA gelmesi olasılığı p dir.

Cebimizdeki para miktar 4 TL olduğunda yada hiç paramız kalmadığında oyun sona erecektir.

a) Problemin durum uzayını tanımlayın.

b) Cebimizdeki para miktarı Kesikli Markov Zinciri olarak modellenebilir mi?

Önce �’i tanımlayalım: �, 4. oyundan sonra cebimizdeki para miktarı olarak

tanımlanırsa;

� =��0;1;2;3;4;

4. oyundan sonra param kalmazsa4. oyundan sonra 1 TL param kalırsa4. oyundan sonra 2 TL param kalırsa4. oyundan sonra 3 TL param kalırsa4. oyundan sonra 4 TL param kalırsa

Bir Adım Geçiş Matrisi,

Örnek:

Aşağıda verilen durum geçiş diyagramına göre geçiş olasılıkları matrisini yazınız.

292

Çözüm:

293

Uygulamalar

Kola örneği (üç durumlu) : Kola örneğinin üç durumlu ortalama geçiş olasılıkları matrisi:

Kola l Kola2 Kola3

Kola 1 0.80 0.10 0.10

Kola 2 0.10 0.70 0.20

Kota 3 0.10 0.05 0.85

Kararlı durum olasılıkları: π = [π1 π2 π3] (kararlı durum vektörü)

[π1 π2 π3] = [π1 π2 π3] x

85,005,010,0

20,070,010,0

10,010,080,0

π1 = 0.80 π1 + 0.10 π2 + 0.10 π3

π2 = 0.10 π1 + 0.70 π2 + 0.05 π3

π3 = 0.10 π1 + 0.20 π2 + 0.85 π3

ve π 1 + π2 + π3 = 1

denklem sisteminin çözümünden :

π1 = 1/3 = 7/21 π2 = 4/21 π3 = 10/21

Ortalama ilk geçiş sayıları :

m11 = 1/ π1 = 3 , m22 = 1/ π2 = 5.25 , m33 = 1/ π3 = 2.1

294

Uygulama Soruları

1) Markov analizinin güçlü yanları ve sınırları nelerdir?

Markov analizinin güçlü yanları aşağıdaki gibidir:

• Onarım becerisi ve çoklu zayıflama durumu yaşamakta olan sistemler için

olasılıkları hesaplayabilir.

Sınırları ise şöyledir:

• Durum değişiklikleri üzerine sağladığı sadece varsayımdır.

• Gelecek durumlar bütün geçmiş durumlardan bağımsız olduğu için bütün olayların

istatistikleri de birbirlerinden bağımsızdır.

• Durum değişiklikleri ilgili büyük bilgi gerektirir.

• Teknik olmayan personel ile sonuçları algılamak çok zordur.

295


Bu bölümde Markov Analizi, Geçiş olasılıkları diyagramı, Geçiş olasılıkları matrisi,

Durum, Durum uzayı, Adım, Markov zinciri tanımları ve markov zincirinin kullanım alanları,

uygun işletme problemlerin çözümünde Markov Analizinin kullanımı incelenmiştir.

296

Bölüm Soruları

1) Aşağıdaki verilen verilen geçiş matrisine verildiğine göre;

A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

Bir sonraki periyodda A seçeneğinden B seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?

a) 0,60

b) 0,40

c) 0,30

d) 0,70

e) 1,00


A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

Bir sonraki periyodda B seçeneğinden B seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?

a) 0,60

b) 0,40

c) 0,30

d) 0,70

e) 1,00

297


A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

İki adım sonraki periyodda A seçeneğinden A seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?

a) 0,48

b) 0,52

c) 0,39

d) 0,61

e) 1,00

4) Aşağıdaki verilen geçiş matrisinde verildiğine göre;

A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

İki adım sonraki periyotta B seçeneğinden B seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?

a) 0,48

b) 0,52

c) 0,39

d) 0,61

e) 1,00

298


A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

Üç adım sonraki periyotta B seçeneğinden A seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?

a) 0,444

b) 0,556

c) 0,417

d) 0,583

e) 1,00


A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

Üç adım sonraki periyotta A seçeneğinden A seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?

a) 0,444

b) 0,556

c) 0,417

d) 0,583

e) 1,00

299


A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

10 adım sonraki periyotta matris aşağıdakilerden hangisi olur?

a) i0,4 0,60,4 0,6j b) x0,44 0,560,43 0,57y

c) x0,429 0,5710,429 0,571y d) i0 11 0j e) i1 00 1j 8) Aşağıdaki verilen geçiş matrisinde verildiğine ve başlangıç değerleri (10, 20)

olduğuna göre bir sonraki adımda değerler kaç olur?

A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

a) (10, 20)

b) (20, 10)

c) (15, 15)

d) (12, 18)

e) (0, 0)

300

9) Aşağıdaki verilen verilen geçiş matrisine verildiğine ve başlangıç değerleri (100, 100)

olduğuna göre iki sonraki adımda değerler kaç olur?

A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

a) (100, 100)

b) (80, 120)

c) (90, 110)

d) (200, 0)

e) (0, 200)

10) Aşağıdaki verilen verilen geçiş matrisine verildiğine ve başlangıç değerleri (100,

100) olduğuna göre 10 adım sonraki değerler yaklaşık kaç olur?

A B

A 0,6 0,4

B 0,3 0,7

a) (100, 100)

b) (86, 114)

c) (90, 110)

d) (200, 0)

e) (0, 200)

Cevaplar

1) b, 2) d, 3) a, 4) d, 5) b, 6) a, 7) c, 8) d, 9) c, 10) b.

301

12. SİMÜLASYON

302


12.1. Simülasyon Kavramı

12.2. Rassal Sayılar

12.3. RAND() ve RANDBETWEEN(a;b)

12.4. Monte Carlo Simülasyonu

303


1) Simülasyon doğrusal programlama modeli çözümünde kullanılabilir mi?

2) Hangi tip işletme problemlerinin çözümlerinin bulunmasında simülasyona

başvurulur?

304



Simülasyon nedir?

Nerelerde kullanılır?

Simülasyonun nasıl

kullanıldığını anlamak Okuyarak, Tekrar yaparak

Monte Carlo

simülasyonu nedir?

Örnek işletme problemlerine

ilişkin simülasyon çözümleri

elde edebilmek.


305

Anahtar Kavramlar

• Simülasyon

• Deneme

• Monte Carlo simülasyonu

• Rassal sayı

• Dağılım

306

Giriş Yöneylem Araştırması dersimizin önceki bölümlerinde işletme problemlerinin ağırlıklı

olarak matematiksel modelleri oluşturulmaya çalışılmış, kurulan modeller matematik ve

istatistik gibi analitik yöntemler kullanılarak optimal çözüm elde edilmeye çalışılmıştır. Ancak

günümüzde çözümü arzulanan bazı işletme problemlerini çözmek amacıyla kurulan modellere

ilişkin bazı girdilerin belirsizlik taşıdığı durumlarda daha önce anlatılan yöntemlerle bir çözüm

bulma olanağı bulunamayabilir. Günümüzde bu tip sorunların davranışını inceleyip analiz

ederek olabildiğince sağlıklı bir karar vermek için sıkça kullanılan yöntemlerden biri

simülasyondur.

Bir yöneylem analisti açısından simülasyon tekniğini kullanmanın en büyük yararı,

analitik yöntemlerle çözülemeyen bir probleme ilişkin olarak sezgisel bir şekilde karar vermek

yerine probleme ilişkin olarak kurulan modelde yer alan çeşitli sabit ve değişkenlerin etkinliği

ne ölçüde etkileyeceğini göstermesidir. Örneğin iki pompa ile hizmet veren bir benzin

istasyonunda günün belirli saatlerinde benzin almak isteyen araçların oluşturduğu kuyruk

uzamakta ve bu durum müşteri kaybına neden olmakta ise açılacak yeni pompanın maliyetine

katlanılıp katlanılmayacağına ilişkin karar, simülasyon yöntemiyle verilebilir. 10 adet kasa

bulunan bir süpermarkette belirli saatler arasında kuyruk uzunluğu örneğin 20 kişiyi aşıyorsa

ve bu durum hoşnutsuzluk yaratarak müşteri kaybına neden olacak bir duruma gelmişse bu

markette açılacak yeni kasa sayısına, simülasyon yöntemi ile karar verilebilir.

Günümüzde karşılaştığımız sorunları dikkate alarak bu tip örnekleri çoğaltabiliriz.

Problem çözme yöntemleri içinde simülasyon, bilgisayarların geliştirildiği ilk günlerden beri

bilgisayar desteğinde çözülmesi en çok arzulanan yöntem olmuştur. Simülasyon, belirsizlik

taşıyan bir veya daha çok bağımsız değişkene bağlı değerlerin değişimlerinin gözlenmesinde

yararlı bir analiz yöntemidir. Bu yöntem yapısı gereği belirsizlik taşıyan değişkenlerin geçmiş

dönemde aldığı değerlerin dağılımlarını dikkate alarak gelecekte alacağı değerleri tahmin edip

bu değerlere bağlı değişkenlerin değişimlerini analiz etmeye yöneliktir. Bu nedenle çok fazla

sayıdaki değişkenin çoğu kez zaman içindeki değişimlerinin hesaplanması gerekmektedir. Bu

ise karmaşık ve aynı tip işlemlerin fazla sayıda tekrarlanmasını gerektirmektedir. Bu işlemler

ise ancak bilgisayar desteğinde kolayca başarılabilmektedir. Bu nedenle simülasyon

modellerinin çözümünde bilgisayar desteği önem taşır. Günümüzde karşılaştığımız birçok

problemin simülasyon yöntemiyle çözülmesinin nedenleri ve bu yöntemin yararlarına kısaca

değinmek yararlı olacaktır.

1. Askeri eğitimdeki harp oyunları.

2. Pilotların uçak modelleri üzerinde çalışmaları.

3. Pilot kabininin yapısı üzerinde bilgisayar sistemlerinin imkânları ile uçuş eğitimi

yapılması.

4. Şoför adaylarının özel pistlerde sürücülük eğitimi yapmaları.

5. Siyaset biliminde meclisin sınıf ortamında canlandırılması.

307

6. Doktor adaylarının kadavra üzerinde eğitim görmeleri.

Amerikan İşletme Bilimi Enstitüsü’nün bir araştırmasına göre, Amerikan işletmelerinin

%89’u simülasyon yöntemini kullanmaktadır.

İşletmelerce Simülasyon Yönteminin Kullanıldığı Alanlar

Simülasyon Yönteminin Kullanıldığı Alanlar Yüzdesi

• Üretim %59

• Planlama %53

• Mühendislik %46

• Finansman %41

• AR-GE %37

• Pazarlama %24

• Veri Toplama %16

• İnsan Kaynakları %10

Simülasyon, gerçek bir sistemin modelini tasarlama süreci ve sistemin davranışlarını

anlamak veya değişik stratejileri değerlemek amacı ile oluşturulan bu model üzerinde

denemeler yaparak sistemin davranışını gözleyerek çeşitli girdilerde değişim sağlayarak

sistemin düzgün çalışmasını sağlamaktan ibarettir.

Simülasyon, gerçek bir dünya süreci veya sisteminin işletilmesinin zaman üzerinden

taklit edilmesidir. Sistem objeleri arasında tanımlanmış ilişkileri içeren sistem veya süreçlerin

bir modelidir.

Simülasyon bir araçtır. Simülasyon günümüzde mevcut olan ve daha önemlisi de yarın

da mevcut olabilecek işlemler hakkında objektif bilgiler sağlar. Simülasyon gerçek bir şeyin

taklit edilerek yapılmasıdır. Simülasyon, taklit edilen gerçek bir olayın genelde bilgisayar

yardımıyla modellenmesidir. Örneğin bilgisayar üzerindeki bir uçuş simülatörü, uçuşun bazı

kurallarının bir bilgisayar üzerinde öğretilmesi amacıyla kullanılan bir Simülasyon modelidir.

Pilotun kokpitte göreceği ekranın bir benzerini bilgisayar ekranında görmesi ve uçuşu kontrol

etme işlemlerini sanki de gerçekten uçaktaymış gibi yapması, bir simülasyon olayıdır.

Simülasyon, bir gerçek yaşam sisteminin davranışsal özelliklerini sergileyen bir

modelin kullanımını kapsayan bir analiz yöntemidir. Bu tanımı dikkate alarak günümüzde

simülasyon birçok problemin davranışlarını analiz ederek bir karar verme ortamı

hazırladığından birçok alanda başarıyla kullanılır. Bu alanlardan bazılarını aşağıdaki şekilde

sıralamak mümkündür.

308

• Tıp alanında bazı araştırmacılar bazı ilaçları hayvanlar üzerinde deneyerek bunların

insanlarda yaratacağı etkiler konusunda bilgi sahibi olmaya çalışırlar.

• Uçak tasarımcıları geliştirdikleri uçakları hava tünellerinde deneyerek bu uçakların

çeşitli hava koşullarına karşı gösterecekleri etkileri hesaplamaya çalışırlar

• Gelecekte uzaya ilişkin çeşitli görevlerin başarıyla yerinene getirilebilmesi için

NASA ve benzeri kuruluşlar uzaydaki koşullara benzer ortamlar yaratarak astronotların bu

ortamda yaşamlarını sürdürmelerine olanak sağlarlar.

• Pilotlar gerçek uçuş yapmadan önce çeşitli uçuş simülatörlerinde yüzlerce kez

kalkış ve iniş yapmaları konusunda eğitilirler. Böylece hiçbir tehlike olmaksızın güvenli kalkış

ve inişi öğrenirler.

• Otomotiv endüstrisinde güvenlik uzmanları içinde mankenler olan çeşitli deneme

çarpışmaları yaparak araçların güvenliğini geliştirirler.

• Dünyadaki genel nüfus artışı, istihdam hacmi, tüketim hızı, üretim hızı, ülkelerin

milli gelirleri, çevre kirliliğinin artış hızı, petrol ve benzeri kaynak tüketim hızı, iklimsel ve

atmosferik değişiklikler dikkate alınarak gelecekte ortaya çıkabilecek olumsuz sonuçlar

gerçekleşmeden önce simülasyonla belirlenebilir ve bu parametreler değiştirilerek

olumsuzlukların gerçekleşmemesi için alınması gereken önlemler belirlenebilir.

Simülasyon işletmeciliğin hemen her alanında başarıyla kullanılabilir. Örneğin

envanter, kuyruk, bütçe kontrol, nakit akışı, borsa hareketlerinin incelenmesi, ihalelerin

kazanılması konusunda açık arttırma ve eksiltme olaylarının incelenmesi, büyük projelere

ilişkin farklı faaliyet sürelerinin toplam projeye ilişkin etkilerinin incelenmesi, petrol, altın,

hisse senedi ve benzeri değerli mal ve hizmet borsalarındaki fiyat değişimlerinin ekonomilere

etkisi, pazar paylarındaki değişimlerin veya talep belirsizliklerinin işletmenin finansal yapısı

üzerindeki etkileri, ve benze birçok konuda simülasyon başarı ile kullanılır.

309

12.1. Simülasyon Modellerinin Sınıflandırılması

12.1.1. Statik Simülasyon Modelleri

Bir sistemin bir andaki veya dönemdeki durumu söz konusu ise buna ilişkin olarak

(zaman boyutunu içermeyecek biçimde) kurulan model statik bir model olacaktır. Genellikle

statik simülasyon modelleri Monte-Carlo simülasyonu olarak adlandırılmaktadırlar.

12.1.2. Dinamik Simülasyon Modelleri

Zaman üzerinde gelişen sistemlerin gösterimini sağlayan simülasyon modellerine

dinamik modeller adı verilmektedir. Bu modeller zaman değişimi ile karşılıklı olarak etkileşimi

olan matematiksel modellerdir.

12.1.3. Deterministik Simülasyon Modelleri

Davranışı daha önceden tahmin edilebilen ve gelecekte ne tür davranışlara gireceği

bilinen modeller deterministik modellerdir. Sistemdeki mekanizma açık ve belirgin bir şekilde

tanımlanır. Deterministik modellerde dışsal (eksojen) ve içsel (endojen) değişkenler rassal

değildir.

12.1.4. Stokastik Simülasyon Modelleri

Davranışı daha önceden bütünüyle kestirileme-yen modeller stokastik modellerdir.

Yani, bazı olayların hangi olasılıklarla meydana geleceği hakkında çeşitli söylemler

oluşturulabilir. Bu tip modellerde girdi değerleri ve süreç, olasılık dağılımları ile temsil

edilebilmektedirler. Stokastik modeller deterministik modellerden daha karmaşık olduğu için

bu modellere çözümler bulmak ve bulunan çözümlerin analitik olarak yeterli olması oldukça

güçtür. Bu açıdan simülasyon tekniği stokastik modellerin analizi ve çözümünde en çok

başvurulan temel tekniklerden biri olmuştur.

12.2. Çeşitli Dağılımlara Uygun Rasgele Sayı Üretimi

Bir simülasyon modeli kurabilmek ve onu işletebilmek için bağımsız değişkenlerin

geçmişteki değerlerine ilişkin dağılımlar belirlenerek bu dağılımlara uygun rasgele sayılar

üretmek gerekmektedir. Bu bölümde özellikle Elektronik tablo yardımıyla simülasyon

modellerinin çözümü ele alındığından bu tabloda mevcut dağılımlara uygun rasgele sayı üreten

fonksiyonlar ve güvenilirlikleri ele alınacaktır. Excel’de rasgele sayı üretimi RAND() (Türkçe

Excel’de S_SAYI_ÜRET()) isimli fonksiyon yardımı ile üretilir. Bu fonksiyon 0-1 arasında

rasgele sayılar üretir. Bu fonksiyon tarafından üretilen rasgele sayılarda iki temel özelliğin

bulunması gerekmektedir.

• Bu fonksiyon tarafından 0-1 arasında üretilen tüm rasgele sayıların dağılımı düzgün

olmalıdır. Bu kavramı örnekler yardımıyla açıklamak yararlı olacaktır. Örneğin RAND()

310

fonksiyonu ile üretilen sayıların %10’u 0,00 ile 0,10 değerleri arasında olmalıdır. Yine RAND()

fonksiyonu tarafından üretilen rasgele sayıların %30’u 0,40 ile 0,70 arasında olmalıdır. Yine

örneğin bu fonksiyon tarafından üretilen rasgele sayıların %50’si 0,40 e 0,90 arasında olmalıdır.

Bu örnekleri çoğaltmak mümkündür. Bu durum rasgele sayıların 0-1 aralığında UNİFORM bir

dağılım gösterdiğini ifade eder. Yapılan test çalışmaları sonucunda RAND()

(S_SAYI_ÜRET()) fonksiyonunun bu dağılıma uygun rasgele sayılar ürettiğini göstermiştir.

• RAND() fonksiyonu tarafından üretilen rasgele sayıların her birinin üretilmesi

olasılığının diğerinden bağımsız olması gerekmektedir. Örneğin A1 hücresinde üretilen rasgele

sayı 0,98 ise A2 hücresinde üretilecek sayının 0,50’den büyük olma olasılığı yine %50

olmalıdır. Bir başka ifade ile hiçbir rasgele sayının çıkma olasılığı bir önce çıkan sayı ile ilişkili

olmamalıdır. Yine yapılan testler RAND() (S_SAYI_ÜRET()) fonksiyonunun bu açıdan yeterli

olduğunu göstermektedir.

Yukarıda belirtilen özellikleri dikkate alarak özellikle sürekli dağılımlarda bu fonksiyon

hiç bir tereddüde yer bırakmadan kullanılabilir. Bu fonksiyonun yanı sıra

RANDBETWEEN(a;b) (RASTGELEARADA(a;b)) (� < . olmak kaydıyla) şeklinde yazılan

bir başka fonksiyon daha vardır. Bu fonksiyon a-b aralığında tamsayılar halinde rasgele sayılar

üretir. Sürekli ve kesikli sayı üretimi simülasyon modelleri için büyük önem taşır. Örneğin bir

günde satılan pasta sayısı kesikli rasgele sayıdır. Bir arabanın yakıt deposunda mevcut yakıt

miktarının tüketimi ile ilgili olarak kurulan bir simülasyon modelinde tüketilen yakıt miktarı

sürekli bir rasgele sayı ile temsil edilebilir. Bir simülasyon modeli kurulurken bağımsız

değişkenlere ilişkin dağılımlara uygun rasgele sayılar üretimi büyük önem taşır.

12.3. Bir Simülasyon Modelinin Çözüm Aşamaları

Simülasyona ilişkin tüm bu özellikler dikkate alınarak simülasyon modelleri

günümüzde birçok sorunun çözümünde kullanılmaktadır. Simülasyon tekniğini kullanarak

problem çözme süreci genel olarak altı aşamadan oluşur.

• Problemin tanımlanması ve amacın belirlenmesi

• Bilgi toplama

• Probleme uygun bir simülasyon modelinin oluşturulması

• Modelin doğruluğunun test edilmesi (Doğruluğu kanıtlanana kadar modelin

düzeltilmesi gerekir.)

• Oluşturulan simülasyon modelinin rasgele sayılar değiştirilerek işletilmesi (Bu

aşama amacı etkileyecek parametreleri değiştirerek değişik sonuçlar elde etmek amacıyla

tekrarlanabilir.)

• Simülasyon sonuçlarının değerlendirilmesi

311

Bu alanları sıralamak yerine bir simülasyon modelinin nasıl kurulduğunu öğrenmek ve

onu uygulamak problem çözüm yeteneğinin geliştirilmesi açısından büyük önem taşır.

12.3.1. Neden bir model kullanılır?

Simülatörde taklit ederek uçmak, gerçek bir uçakla uçmaktan daha emniyetli ve daha

ucuzdur. Endüstri ve sanayide modellerin kullanılma sebepleri, maliyetlerinin düşüklüğü,

tehlikeli olmayışları ve gerçek sistemler üzerinde deney yapmanın bazen imkânsızlaşmasıdır.

Gerçek sistemlere benzer modeller üzerinde deney yapmak, para ve zaman tasarrufu demektir.

Simülasyon ile modelleme;

(1) Sistemin davranışını tanımlama,

(2) Teori veya Hipotez kurma,

(3) Kurulan teoriyi sistemin gelecekteki davranışlarını tahmin etmek için kullanmak,

şeklinde bir deneme ve uygulama metodolojisidir.

12.4. Simülasyon ne zaman kullanılmalıdır?

Zamanla veya rasgele değişen sistemler için Simülasyon kullanılabilir. Örneğin bir

benzin istasyonuna gelen ve giden araçların zamana bağlı olarak değişimini inceleyelim. Böyle

bir sistem, dinamik sistem olarak adlandırılır. Ancak benzin istasyonuna bir sonraki arabanın

ne zaman geleceğini kimse tahmin edemez. Burada ise rasgele bir durum ortaya çıkmaktadır.

Karışık dinamik sistemlerin modellenmesi teorik olarak birçok basitleştirmelere

gereksinim duyar ve bu nedenle ortaya çıkan modeller geçerli olmayabilir.

Aşağıdaki koşullardan bir veya birkaçı bulunduğu zaman simülasyona başvurulmalıdır:

1. Problemin tam bir matematik formülasyonu mevcut değildir veya matematik

modelin analitik yöntemlerle çözümü henüz bulunamamıştır.

2. Analitik yöntemler çözüm için elverişlidir, ancak matematik yöntemler çok

karmaşıktır.

3. Analitik çözümler vardır ve kullanılabilir, ama problem üzerinde çalışanlarda bu

bilgiler yoktur.

4. Belirli parametrelerin tahmin edilmesi için simülasyona başvurulduğu gözlenmiştir.

5. Deneme yapma açısından simülasyon tek yol olabilir.

6. Sistemlerin veya süreçlerin davranış karakteristiklerini ortaya koymak zaman

gerektirebilir.

312

Gerçek sistemlerin davranışlarını araştırmak için kullanılan simülasyon çalışmalarının

aşamaları aşağıda verilmektedir:

1. Sistem Tanımı: Sistemin sınırlarını, kısıtlarını ve etkinlik ölçüsünü belirleme

aşamasıdır.

2. Modeli Formüle Etme: Sistemi soyutlamak veya indirgemek için mantıksal bir akış

diyagramına aktarma işlemidir.

3. Veri Derleme: Modelin gerektirdiği verileri tanımlama ve onları kullanabilecek

ölçülere indirgeme aşamasıdır.

4. Modelin Dönüştürülmesi: Simülasyonun yapılacağı bilgisayarın diline modelin

tercüme edilmesidir.

5. Modelin Geçerliliğini Araştırma: Modelin güven seviyesini kabul edebilir hale

getirme ve gerçek sistem hakkında modelden yorum yapma aşamasıdır.

6. Stratejik Planlama: İstenilen bilgiyi sağlayacak olan bir denemenin tasarımıdır.

7. Taktik Planlama: Tasarımı yapılan denemede tanımlanan koşumlara ait testlerin

nasıl yapılacağının belirlenmesidir.

8. Deneme: İstenilen veriler ile simülasyonu gerçekleme ve duyarlılık analizlerini

yapma aşamasıdır.

9. Yorum: Simülasyon sonuçlarından çıkarımda bulunma aşamasıdır.

10. Uygulama: Modeli ve sonuçlarını kullanıma koymaktır.

11. Belgeleme: Proje faaliyetlerini raporlama ve modeli, kullanımını dökümante etme

aşamasıdır.

12.4.1. Simülasyonun Faydaları

1. Sistemin modeli kurulduktan sonra, farklı durumların analizi için istenildiği kadar

kullanılabilir.

2. Simülasyon yöntemleri, sistem verilerinin detaylı olmadığı durumlarda elverişlidir.

3. Simülasyon modeli üzerinde daha sonra yapılacak analiz için veri, çoğu kez gerçek

hayatta olduğundan daha ucuz elde edilir.

4. Simülasyon bir sistemdeki karmaşık etkileşimleri etüt etme ve bunlar üzerinde deney

yapma olanağını sağlar.

313

5. Simüle edilen sistemin ayrıntılı gözlemi (-ki sistemi simüle ederken yapılması

gereken işlemlerden biridir.) daha iyi anlaşılmasını, daha önce görülmemiş eksikliklerin

giderilebilmesini, daha etkin fiziksel ve operasyonel sistemin kurulmasını sağlayabilir.

6. Simülasyon, değişik koşullar altında sistemin nasıl olacağı hakkında çok az veya

hiçbir veriye sahip olmadığımız yeni durumlar üzerinde deney yapma amacıyla kullanılabilir.

7. Simülasyon analitik çözümlerin doğruluğunu gerçeklemek üzere kullanılabilir.

8. Simülasyon ile dinamik sistemlerin gerçek zamanı, daraltılmış veya genişletilmiş süre

içinde incelenebilir.

9. Simülasyon analistleri daha genel düşünmeye zorlar.

12.4.2. Simülasyonun Sakıncaları

1. Bir sistemin bilgisayar simülasyonunu kurmak ve geçerli olduğunu ispatlamanın

maliyeti çok yüksektir. Genel olarak her bir sistem için ayrı bir program yazma gereği vardır.

Simülasyon dilleri bu mahsurları bir dereceye kadar ortadan kaldırmıştır.

2. Kurulan bir simülasyon programının bilgisayarda çalıştırılması çok zaman alabilir.

3. Araştırıcılar simülasyon tekniğini öğrendikten sonra onu analitik yöntemlerin daha

uygun olduğu durumlarda da kullanma eğilimindedir.

12.5. Simülasyonda Kullanılacak Yöntemin Belirlenmesi

İncelenen sistemde eğer deney mümkünse öncelikle deney yapılmalıdır. Deney yöntemi

daima en iyi yöntemdir, çünkü tüm çevre şartları hesaba alınabilir. Dizayn seviyesi sırasında

diğer yöntemler kullanılsa bile, deney yöntemi sistemin final değerlendirilmesine daha çok

hizmet eder. Eğer deney yöntemi mümkün değilse, uygun bir analitik yöntem bulunmaya

çalışılır. Analitik yöntem de mümkün değilse, o zaman Simülasyon kullanılmalıdır.

Simülasyon, yukarıdaki kuralda görüldüğü gibi sadece son çare olarak kullanılmaz.

Simülasyon, orijinalde verilen sorulara sadece cevap sağlamakla kalmaz, daha ziyade analiz

edilmesiyle anlaşılmasına da katkıda bulunur. Simülasyon modelinin yaratılmasında hesaba

alınacak kesin şeyler neredeyse genelde ilk olarak orada elverişli bir durum ortaya çıkar.

Simülasyonu yapılan sistemin özelliği, hataları veya sistem dizaynı içerisindeki belirsizlikleri

ortaya koyabilir. Böylece hazır sistemin gelecekteki çok pahalı olacak güncelleştirilmesinden

kaçınmak için Simülasyon büyük yardım sağlayabilir.

Deney yöntemi en sağlıklı yöntemdir. Mümkün olduğu sürece kullanılmalıdır. Bu

yöntemin kullanılmasına uygun olmayan durumlar:

• Çok tehlikeli alanlar (Kritik duruma varmış bir nükleer reaktör santralinin

davranışlarında, bir jet motorlu uçağın inişinde vs.)

314

• Çok pahalı (Hasara sebebiyet verecek tüm durumlarda, kiralık telefon hattı ağı

üzerinden verilerin aktarımı için uzun deneysel çalışmalar vs.)

• Sistemin araştırılmasına imkân vermeyen durumlar (Dizayn seviyesinde mümkün

olan birçok alternatiflerin değerlendirilmesi)

Analiz yöntemi pratik yaşamda nadiren gerçek olan ve birçok kabule dayanan ve çoğu

kez matematiksel olarak yapılan bir Simülasyon tipidir. Analitik yöntemlerin dezavantajları çok

karmaşık cihazların kullanılması ve/veya hesaplamalarda çok uzun zaman harcanmasıdır.

Queuing ağ analizi buna bir örnektir. Diğer taraftan formülün kullanılması genelde hızlı sonuç

verir ve formüle basit farklı parametre değerleri ilave edilerek alternatif birçok durumlar test

edilebilir. Deneysel yöntemler için çok daha fazla zaman harcandığı durumlar ortaya çıkabilir.

Analizin diğer bir problemi, gerekli parametrelerin yokluğudur. Diğer Simülasyon sistemlerinin

tahmin edilen verileri kullanması, sonuçların güvenirliliğini azaltmaktadır.

Simülasyon de deneysel bir yöntemdir. Gerçek sistem ile deney yapmak yerine

deneyler Simülasyon modeli üzerinde yapılır. Simülasyonun birçok dezavantajları vardır. En

önemli dezavantajı Simülasyon modelinin yaratılmasındaki yoruculuk ve Simülasyon

modelinin programlanmasında kullanılan dilin (örneğin Pascal gibi) zorluğudur. Uygun

Simülasyon yazılımları bulunmaktadır, ancak maliyetlerinin yüksekliği nedeniyle alımı

güçleşebilmektedir. Bazı grafik tekniklerine dayanan Simülasyon yazılımları geliştirilmiştir.

Bu yazılımlar sayesinde belirli sistemler için Simülasyon modellerinin yaratılması otomatik

olarak yapılabilmektedir.

Sistemle ilgili mevcut sınırlı bilgiler kullanılarak simülasyonu yapılır. Her şeyden önce

bazı nicelik parametrelerinin bilinmesi zorunludur. Yukarıdaki örnek için varış ve rasgele servis

süreleri arasında rasgele aralıkların türetilmesi gerekir. Bu olayda Simülasyon yöntemi analiz

yönteminden daha esnektir. Çünkü Simülasyon dilleri rasgele sayıları herhangi bir dağılımın

pratikliği ile üretmeyi desteklemektedir. Herhangi bir dağılım hiçbir zaman ne birkaç parametre

(eğer o teorik ise) ne de doğrudan dağıtım fonksiyonuna (eğer dağıtım ölçme ile sağlanmışsa)

gereksinim duyar. Sistem içerisinde dizayn seviyesinde tipik olarak ortaya çıktığı gibi

sayılamayan durumlar ortaya çıkabilir ve genellikle bilincinde olmadığımız gerçekleri

kabullenmek durumuyla karşı karşıya kalabiliriz.

Hesaplamalarda zaman tüketimi çok olabilir. Birçok parçasıyla paralel olarak çalışması

gereken büyük skala sistemlerinin analizi bu duruma iyi bir örnektir. Çünkü gerçek paralel

uygulamaları henüz yaygın kullanılmamaktadır. Böyle sistemlerde tek bir işlemci ile yapılan

bir programla Simülasyon yapılır. Paralel faaliyetler o zaman aynı anda yapılır. Bunun sonucu

Simülasyonun gerçekliliği, gerçek zamandan çok daha yavaş olur. 1 saniyelik bir model

zamanı, 10 dakika CPU zamanı alır. Elbette ki bu durum gerçek zaman kontrolünde Simülasyon

uygulamasını geçersiz kılabilir.

315

12.6. Simülasyon Nasıl Yapılır?

Bir benzin istasyonu ile ilgilendiğimizi varsayalım. Benzin istasyonunda bulunan araba

sayısını, sistemin durumunu zamana bağlı olarak grafiksel olarak çizmek isteyelim. Her araba

benzin istasyona ulaştığında grafik zamana bağlı olarak bir birim artırılırken, benzin

istasyonundan ayrılan her bir araba için de grafikte bir birim düşüş olacaktır. Gözetleme

sonuçlarının kâğıda aktarılması olarak tanımlanan bu grafik, yapay olarak da çizilebilir.

Uygulamanın yapay olarak yapılması ve analiz edilmesi bir simülasyondur.

12.7. Simülasyonda Dağılımın Belirlenmesi

Üniform, normal, poisson, binomial, gamma vb. gibi teorik dağılımlarla belirlenen

olayların gözlem veya tecrübe verilerine bu dağılımlar uydurulabilir. Uydurma işlemi ise

dağılım parametrelerinin belirlenmesi anlamına gelmektedir.

Aday dağılımı iki parametrenin fonksiyonudur ve çoğu kez bu parametreler örnek

ortalaması ve örnek varyansıdır.

4 = toplam örnek hacmi = )')"

µ ; sınıf veya aralık sayısı

�); kesikli veri üzerinde çalışılması halinde i. aralıktaki orta değeri veya i. sınıfın değeri

); i. sınıf veya aralıktaki frekans olmak üzere ortalama veya varyans formülleri

şöyledir:

H = ∑ �))')"4 f� = ∑ �)� − 4H�')"4 − 1

Sistem elemanlarının bazıları stokastik davranış gösterirse, simülasyon çalışmaları

sırasında çoğu kez ortaya çıkan problem gözlem frekanslarının teorik frekanslar kümesine

uygunluğunun test edilmesidir.

Bu durumda sorulacak soru şudur; Eldeki veriler veya örnek değerler teorik olasılık

dağılımından gelmekte midir? Gözlem verilerinin frekansı teorik frekanslara uygun düşerse ana

kütleyi temsil etmek üzere kurulan model kullanılabilir.

Örnek: Kardeşler Kırtasiye Uygulaması

Akman Kırtasiye'nin müdürü Ayhan Bey, ağustos ayında gelecek yıla ilişkin kaç adet

ajanda sipariş edeceğine karar vermek istemektedir. Her ajandanın birim maliyeti 7,5 TL'dir.

Gelecek yıl için planlanan birim satış fiyatı 10 TL'dir. 1 Şubata kadar satılamayan ajandalar, 3

TL'ye daha küçük kırtasiyecilere satılabilmektedir. Ayhan Bey, geçmiş yıllardan elde ettiği

316

tecrübelerini dikkate alarak ocak ayında satılan ajandalara ilişkin satış miktarlarının Tablo-

12.1'deki gibi olduğunu ve Uniform (Düzgün) Dağılıma uygun dağıldığını belirlemiştir.

İstenen:

Ayhan Bey ajanda satışından elde edeceği kârı maksimize etmek istemektedir.

Simülasyon yöntemini kullanarak Ayhan beyin ağustos ayında sipariş edeceği ajanda miktarını

belirleyiniz.

Şekil 22 Ocak ayında Satılan Ajanda Sayılarının Dağılımı

Satış Miktarları Olasılıkları

500 0,20

750 0,30

1000 0,30

1250 0,15

1500 0,05

Çözüm Süreci:

Çözüm sürecinin ilk aşaması olan “Problemin Tanımlanması” yukarıda yapılmıştır.

Daha sonra “İstenen” başlığı altında bu simülasyondan beklenen sonuç bir başka ifade ile amaç

tanımlanmıştır. Bu probleme ilişkin geçmiş dönem bilgileri toplanarak bu bilgiler Tablo-

12.1’de verilmiştir. Bu aşamadan sonra sıra model kurmaya gelmiştir. Verilen probleme ilişkin

modeli kurmadan önce yukarıda verilen uniform dağılıma uygun olarak üretilecek rasgele

sayıları esas alarak talep değerlerini üretmek için önce kümülatif (birikimli) sayılar tablosunun

hazırlanması gerekmektedir. Yukarıdaki değerlere ilişkin kümülatif sayılar tablosu Tablo-

13.2’de verilmiştir. Bu tablo yakından incelendiğinde 1 − 100 arasında rasgele olarak

üretilecek sayıların satış miktarlarını temsil etme olasılıklarının Tablo-13.1’de verilen

olasılıklara eş olacak şekilde tasarlandığı görülecektir. Örneğin “500” adet ajanda satma

olasılığı 0,20’dir. Bu bilgi ışığında Tablo-12.2’de “100” adet rasgele sayıdan 1-20 arasındaki

sayıların çıkma olasılığı 0,20’dir. Yine “750” adet ajanda satma olasılığı 0,30’dur. Bu bilgiyi

esas alarak ilk %20’lik dilimi izleyen %30’luk dilim ise 1-100 sayı arasında, 21-50 (50-21=30)

arasında çıkacak “30” sayının rasgele sayılar olasılığı (30/100=0,30) % 30’dur. Diğerleri de

aynı şekilde planlanır.

317

Tablo – Kümülatif Sayılar Tablosu

Satış Miktarları Alt Limit Üst Limit

500 1 20

750 21 50

1000 51 80

1250 81 95

1500 96 100

Bu tablonun hazırlanma amacı 1-100 arasında çekilen rasgele sayıların verilen

dağılıma uygun olarak düşeceği aralıkları ve bu aralığa karşı gelen talebi belirlemektir. Örneğin

ilk rasgele sayı “54” ise yukarıda verilen tabloda bu sayı, 51-80 aralığına düşmektedir. Bu

durum ise 1000 adet talebe karşı gelmektedir. MS Excel yardımıyla rasgele sayı seçimi yapılır.

Burada seçilen rasgele sayılar size doğrudan verilecektir Verilen rasgele sayıların karşı geldiği

talepler bulunarak verilen sipariş miktarı ve bulunan talep değerleri dikkate alınarak maliyet,

gelir ve kâr değerleri hesaplanabilir. Sipariş değerleri değiştirilerek bulunan kâr değerleri bize

yapılacak sipariş miktarı hakkında bir fikir verebilir.

Çözüm:

Yapılan “100” adet simülasyon işleminde sipariş miktarının “1000” adet olduğu

varsayılmıştır.

318

Deney

No

�

Sipariş

Miktarı

Rasgele

Sayı

�

Talep

Miktarı

Satılan

Miktar

�

Toplam

Gelir

�â

Toplam

Maliyet

�� Dönem

Karı

þ

1 1000 10 500 500 6500 7500 -1000

2 1000 24 750 750 8250 7500 750

2 1000 87 1250 1000 10000 7500 2500

4 1000 74 1000 1000 10000 7500 2500

5 1000 19 500 500 6500 7500 -1000

6 1000 40 750 750 8250 7500 750

7 1000 90 1250 1000 10000 7500 2500

8 1000 32 750 750 8250 7500 750

9 1000 88 1250 1000 10000 7500 2500

10 1000 56 1000 1000 10000 7500 2500

… … … … … … … …

100 1000 36 1000 750 8250 7500 2500

Simülasyon Sayısı=Deneme sayısı; 4 (Toplam deneme sayısı 4 = 100) Sipariş Miktarı: � = 1000Adet Ajandanın birim maliyeti: � = 7,5í�

Ajandanın birim satış fiyatı: ù = 10í�

Ajandadan satılmayan miktar; � − ú Hurda değeri; f = 3í�

Satılan Miktar; ú Toplam Gelir; Ò

319

Toplam Maliyet; í� Dönem Karı (Profit)= Toplam Gelir−Toplam Maliyet; = Ò − í�

Ò = ù. ú + f. (� − ú)

í� = �.�

= ù. ú + f. (� − ú) − �.�

H= �=Ortalama Kar =∑ )�)"4 =1275 TL

f=Standart Sapma =f� = ∑ )� − 4H��)"4 − 1 =1440,7 TL

Normal Dağılım Tablo Verisi; %95 güven aralığı üst sınırı; �� = 1,96

Normal Dağılım Tablo Verisi; %95 güven aralığı alt sınırı; �� = −1,96

Güven Aralığı (Üst) =H+�� . f√4 =1275+1,96. 1440,7√100 = 1557,4TL

Güven Aralığı (Alt) = H– �� . f√4 =1275– 1,96. 1440,7√100 = 992,6 TL

320

Simülasyon Tablosunu Kullanarak En İyi Sipariş Miktarının Bulunması

Yukarıda verilen Tablo – 12.4.3’de “1000” adet sipariş edilmesi halinde yapılan “100”

adet simülasyon sonucunda “1.328” TL. ortalama kâr elde edilmiştir. Bu değer bize sadece

“1000” adet sipariş verilmesi halinde elde edilecek ortalama kâr hakkında bilgi vermektedir.

Oysa problemin temel amacı, en çok ortalama kâr sağlayacak sipariş miktarının bulunmasıdır.

Bu değeri bulmak için yukarıda verilen simülasyon tablosunu kullanarak çeşitli sipariş

miktarları için güvenilir ortalama kâr değerleri bulup bu değerler ışığında en iyi sipariş

miktarını bulmaktır Bu amacı gerçekleştirmek için sipariş miktarı 500, 550, 600, 650, 700,

750, 800, 850, 900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 1250, 1300, 1350, 1400, 1450 şeklinde

değiştirilerek bu değerleri esas alan “100”’er adet simülasyon yapılmıştır.

Tablo-Çeşitli Sipariş Miktarları için Ortalama Kâr ve Standart Sapma Değerleri

Sipariş Miktarı Ortalama Kâr Standart Sapma

500 1.250 0

550 1.319 129

600 1.360 281

650 1.436 405

700 1.554 488

750 1.578 661

800 1.545 713

850 1.488 906

900 1.389 1.097

950 1.332 1.174

1000 1.328 1.294

1050 1.120 1.399

1100 913 1.398

1150 817 1.449

1200 711 1.596

1250 500 1.696

1300 321 1.749

1350 -59 1.822

1400 -165 1.974

1450 -264 1.833

321

12.8. Simülasyonda Deneme Sayısının Bulunması

Simülasyonlarda deneme sayısının bulunması simülasyonun güvenilirliği açısından

büyük önem taşır. % 95 güvenilirlikle güven aralığının daraltılması için tek seçenek daha fazla

simülasyon yapmaktır. Örneğin % 95 güven seviyesini (katlanılacak risk seviyesi=anlamlılık

düzeyi=α=0.05) olmak üzere esas alarak güven aralığının belirli bir “�” değerine eşit olmasını

sağlayacak simülasyon sayısı “4” değeri;

4 = (��/�)�. f��

formülü ile bulunur. Bu formülde bulunan hata; � size verilir. Bu formülde ��/Y ifadesi,

belirlenen risk düzeyinin yarısını ve ortalaması “0”, standart sapması “1” olan bir normal

dağılımı esas alarak tek yönlü bir tablodan bulunacak güvenilirlik katsayısını temsil etmektedir.

Standart sapma f = 1440, � = 100 için simülasyon deneme sayısı;

4 = (1.96)�. 1440�100� = 172deneme olarak bulunur.

Örnek:

Bir parçanın montaj süresine ilişkin olasılık dağılımı yandaki gibidir. 10 kez yapılan

montaj için aşağıda verilen rasgele sayıları kullanarak, verilen dağılıma göre “ortalama montaj

süresini” belirleyiniz. Rasgele Sayılar (�): 04, 95, 45, 21, 44, 57, 03, 98, 98, 10 Montaj Süresi (Dakika) Frekans

5 20

6 30

7 20

8 10

9 10

10 10

322

Çözüm:

İlk olarak kümülatif frekans tablosu oluşturulur.

Süre Frekans Kümülatif Frekans Monte – Carlo Aralığı

5 20 20 01-20

6 30 50 21-50

7 20 70 51-70

8 10 80 71-80

9 10 9r0 81-90

10 10 100 91-100

Montaj 10 kez tekrarlar. Elde edilen değerler şöyledir.

Ortalama Montaj Süresi = 70/100 = 7Dakika

Montaj No Rasgele Sayı Simüle Montaj Süresi

1 4 5

2 95 10

3 45 6

4 21 6

5 44 6

6 57 7

7 3 5

8 98 10

9 98 10

10 10 5

Toplam Montaj Süresi 70 Dakika

Bir iş yerindeki otomatik içecek makinesinde kola, enerji içeceği ve meyve suyu olmak

üzere üç çeşit içecek bulunmaktadır. Müşteriler makineye ortalama olarak 5 dakikada bir

gelmektedir. 5 dakikada bir gelen müşteri sayısına ait olasılıklar ile müşteri tercihlerine ait

olasılıklar aşağıda verilmiştir. Başlangıçta makinede 8 kutu kola, 5 kutu enerji içeceği ve 7 kutu

323

meyve suyu mevcuttur. Ayrıca, aynı anda makineye gelen her bir müşteri farklı tipte bir içecek

talep edebilmektedir.

Müşteri Sayısı Olasılık (%) Müşteri Tercihi Olasılık (%)

0 30 Kola 50

1 40 Enerji İçeceği 20

2 30 Meyve Suyu 30

Rastgele Sayılar (Müşteri sayısı için): 93, 63, 26, 46, 71, 26, 70, 55, 72, 89, 49, 64,

91, 02, 52, 69, 29, 96, 95, 84, 61, 09, 06, 01, 64, 90, 63, 25, 56, 24, 67, 83.

Rastgele Sayılar (İçecek türü tercihi için): 13, 08, 60, 14, 68, 41, 40, 27, 73, 64, 36,

56, 25, 88, 19, 75, 29, 80, 25, 05, 64, 71, 83, 74, 01, 95, 76, 82, 40, 58, 30, 38, 84, 73.

324

Uygulamalar

İki işçinin çalıştığı bir montaj hattında A işçisinin üretimi B işçisinin hammaddesi

olmak üzere seri halinde tasarlanmıştır. A işçisi için yandaki veriler geçerlidir:

Montaj Süresi

(Dakika/Birim) Olasılık

Kümülatif

Olasılık

Monte Carlo

Sayısı

0,500 0,10 10 01-10

0,333 0,50 60 11-60

0,250 0,30 90 61-90

0,200 0,10 100 91-100

B işçisinin performansı yandaki verilerle belirlenmektedir:

Montaj Süresi

(Dakika/Birim) Olasılık

Kümülatif

Olasılık

Monte Carlo

Sayısı

0,500 0,10 10 01-10

0,333 0,30 40 11-40

0,250 0,50 90 41-90

0,200 0,10 100 91-100

Montaj hattının üretimini 10 gün için simüle ediniz ve B işçisinin boş zamanını

bulunuz.

A için Rasgele Sayılar: 96,03,22,63,55,81,06,92,96,92

B için Rasgele Sayılar: 11,59,81,61,17,45,50,99,16,10

325

Uygulama Soruları

1) Bir işyerinde mesai saat 9 da başlıyor ise, çalışanların işyerine gelişi hangi dağılıma

uyar?

2) Simülasyonun kullanımına hangi tip işletme problemlerinde sıkça karşılaşılır?

326


Bu bölümde simülasyon kavramı, simülasyonun kullanım alanı, simülasyonun avantaj

ve dezavantajları, Monte Carlo simülasyonunun nasıl gerçekleştirildiği anlatılmıştır.

327

Bölüm Soruları

1) Simülasyon makul bir hesaplama süresi sonunda optimal sonucu bulur.

a) Doğru

b) Yanlış

2) Basit bir bekleme hattı modelinde simülasyon kullanımı normal bekleme hattı

modeline nazaran yönetsel karakteristik tespitini kolaylaştırmaktadır.

a) Doğru

b) Yanlış

3) Aşağıda verilen tablo bilgilerine göre;

Tesadüfi olarak belirlenen rasgele sayı 68 olduğuna göre, montaj süresi ne kadar olur?

a) 0,5 dakika / birim

b) 0,333 dakika / birim

c) 0,250 dakika / birim

d) 0,200 dakika / birim

e) 1 dakika / birim

4) Simülasyon ile birden fazla alternatif değerlendirilerek bir alternatifin seçimi

yapılabilir.

a) Doğru

b) Yanlış

328

5) Simülasyon ile tüm muhtemel çözümlerden oluşan çözüm uzayı incelenerek optimal

çözüm bulunması durumunda hesaplama süresinde çok az bir artışa katlanılır.

a) Doğru

b) Yanlış

6) Excel fonksiyonlarından RAND() 0-1 aralığında rassal sayı oluşturmak için

kullanılır.

a) Doğru

b) Yanlış

7) Excel fonksiyonlarından RANDBETWEEN() 0-1 aralığında rassal sayı oluşturmak

için kullanılır.

a) Doğru

b) Yanlış

8) Excel üzerinde = BINOM.INV(n, p, RAND()) işlevi kullanıldığında aşağıdaki

dağılımlardan hangisine uygun sayılar elde edilir?

a) Uniform

b) Beta

c) Gama

d) Binom

e) Poisson

9) Excel üzerinde Uniform dağılıma uygun rassal sayılar üretmek için =a+(b-

a)*RAND() işlemi kullanılabilir.

a) Doğru

b) Yanlış

Cevaplar

1) b, 2) b, 3) c, 4) a, 5) a ,6) a, 7) b, 8) d, 9) a

329

13. ŞEBEKE PROGRAMLAMADA KRİTİK TOL YÖNTEMİ (CPM)

330


13.1. Şebeke Zaman Planlama ve Programlama

13.2. Kritik Yol Yöntemi

13.3. Şebeke Diyagramı

13.4. Proje Süresi

331


1) Kritik yol yönteminde faaliyetlerin bolluk süreleri nasıl hesaplanır?

2) İleriye doğru hesap nedir?

3) Geriye doğru hesap nedir?

332



Şebeke programlama

Şebeke diyagramı

Şebeke (Ağ) diyagramını

oluşturabilmek


örnek çözerek

Kritik Yol Yöntemi

(CPM)

Kritik yolu ve kritik

faaliyetleri belirleyebilmek


örnek çözerek

333

Anahtar Kavramlar

• Şebeke (Ağ)

• Network Diyagramı (Ağ diyagramı)

• Kritik Yol

• ES, EF, LS, LF

• Bolluk Süresi (Slack time)

334

Giriş Planlama ve ardından yapılan programlama geleceğe yönelik yapılacak işleri, izlenecek

yolları önceden tasarlama işlemidir. Proje ulaşılmak istenen sonuç, proje planlama ise

ulaşılması hedeflenen sonucun planlamasıdır. Planlama akılcı bir girişim ve yönetim biçimi

olup yapılan plana göre karar verilir ve seçim yapılır. Planlama yapılırken karar vermede

kullanılan araçlar değil, karar verme işlevinin nasıl başarılacağı önemlidir.

Kritik yol (CPM) ile programlamada, şebekenin bütün faaliyet sürelerinin bilinmesine

ihtiyaç vardır. Bazı yatırımlarda, şebekenin bazı faaliyetlerinin süreleri tam olarak bilinemez.

Eğer süresi belirsiz olan bu faaliyet kritik yörünge üzerinde değilse ve bulunduğu düğüm

noktalarında büyük zaman boşlukları varsa gene CPM tekniği ile programlama yapma imkan

dâhilindedir.

Ancak süreleri belli olmayan faaliyetler kritik yörünge üzerinde ise, artık yatırımın

tamamlanma süresinin tayini bile mümkün değildir. Bu hallerde yatırımların planlanması PERT

yönetimi ile yapılmalıdır. Çünkü daha önceki bölümlerde belirtmiş olduğumuz gibi yeniden

gözden geçirme tekniği olarak bazı kitaplarda isimlendirilen PERT yönetiminde, belirsiz

süreler, ihtimaller hesabına göre bulunabilmekte ayrıca yatırımın toplam süresinin programa

göre yüzde kaç ihtimalle tamamlanabileceği de hesaplanabilmektedir.

Kritik yol (CPM) yöntemine göre bir yatırımın programlanmasında en önemli iş gene

insan zekâsına düşmektedir. Çünkü programın yapılmasına, faaliyetler arasındaki bağıntılar da

göz önüne alınıp şebeke şekline getirilerek kurulması için herhangi bir yardımcı yöntem veya

makine mevcut değildir. Bir sebeple, şebekenin kurulmasında programı yapanın teorik ve pratik

bilgisi ile yatırımı oluşturan faaliyetler hakkındaki bilgisi çok önemli rol oynar.

Ancak hemen hatırlatmamız yerinde olur ki, CPM yöntemi ile programlama yapılması,

o işin en iyi şekilde planlandığı manasına gelmez. Faaliyetler arasındaki bağıntıların doğru

seçilmemesi, düşünülenlerin grafik olarak, şebekeye tam aktarılamaması ve şebekeyi oluşturan

faaliyetlerin tamamlanma sürelerinin tahmininde yapılan hatalar yöntemin önemini ve sıhhat

derecesini yitirir. Bu nedenle şebekenin kurulmasında çok dikkatli olmak, yatırımı

gerçekleştirecek kuruluşların bütün şart ve imkânlarını (insan gücü, makine kapasitesi, mali

durum vs.) bilmek zorunludur.

Kritik yol (CPM) yönteminin, şebeke prensipleri dâhilinde PERT yöntemi ile beraber

en çok kullanılabilir bir planlama ve kontrol yöntemi olduğu unutulmamalıdır. Esasen CPM ve

PERT teknikleri ilk kullanılmaya başlandığı zaman aralarında bazı farklar olmakla beraber son

20 yıl içinde bu farkların hemen hemen kalmamış olduğu belirtilebildiği gibi birçok yazar bu

iki tekniği prensip olarak bir arada tutup buna CPM-PERT adını vermektedir.

Böyle olmakla beraber CPM’ de projelerin planlama ve kontrolüne maliyet unsurunun

dâhil edilmesi bu yöntemin en belirgin özelliğidir. Zamandan tasarruf doğaldır ki maliyetten

tasarruf neticesini verecektir. Zira yukarıda da değindiğimiz gibi CPM’ de zamanlama

tahminleri daha ileri yöntemlerle yapılabilmektedir.

335

Örneğin bina inşa eden bir firma CPM tekniği kullanarak zaman/maliyet tahminlerini

ve eski deneyimlerden istifade ederek bunların ilişkilerini daha iyi hesap edebilir. Diğer taraftan

aya füze atılmasını öngören bir projeyi ele alalım. Bu proje ilk olarak tatbik edildiğinde PERT

kullanılacak ve maliyet unsuru belli olmadığından masraflar muhtemelen gelişigüzel olacaktır.

Ancak tekrar edelim ki, yukarıdaki ifadede CPM’i sadece müteahhitler ve PERT’in de sadece

uzay problemleri ile uğraşanlar için yararlı olduğunu ileri sürmek istemiyoruz. Hangi projede

hangi yöntemin kullanılacağını projenin özelliği tayin edecektir. Kaldı ki, kritik yol (CPM),

PERT tekniğinin özel hallerinden biri olarak kabul edilebilmektedir.

336

13.1. Şebekenin Kurulması

Yatırımlara ait iş programı yapılırken önce şebekenin önemli faaliyetlerini içine alan

ana şebeke kurulur. Bu şebekedeki faaliyetler arasındaki bağlantıların doğruluğu her faaliyet

için şu üç soru kontrol edilmelidir.

Hangi işler (faaliyetler) bu faaliyetten bağımsız olarak yapılabilir ve bu faaliyetin

başlamasından evvel bitirilmelidir. Hangi işler bu faaliyetle paralel olarak başlayabilir. Hangi

işler bu faaliyetin bitiminden sonra başlamalıdır. Bu üç sorunun yanıtı sıra ile tam olarak

şebekede görünüyor ise, ana şebekedeki önemli faaliyetler kendi içinde parçalanarak kademe

kademe daha detaylı şebekelere seçilir. Konuyu daha anlaşılabilir bir ifade ile belirtmek

gerekirse;

• İşlerin bağımsız parçalara bölünmesi,

• Hangi faaliyetlerin birbirini izlediklerinin tespiti,

• Faaliyetlerin kronolojik bir tarzda, aralarındaki bağıntı ve ilişkilerde göz önünde

bulundurularak şemalandırılması gerekir.

İlk çalışmalarda yalnız faaliyetler arasındaki lojik bağlantılar göz önünde

tutulacağından faaliyetlerin süre tahminlerini yapmaya lüzum yoktur. Örneğin aşağıdaki

şekilde bir sınai yatırıma ait programın ön çalışmaları gösterilmiştir.

13.2. İş Programlarının Hesaplanmasında Genel Bilgiler

Kritik yol (CPM) yöntemiyle hazırlanmış yatırım iş programları aşağıdaki sorulara yanıt

verecek şekilde hesaplanırlar.

• Yatırım süresi ne kadardır?

• Hangi faaliyetler yatırımın toplam süresini doğrudan doğruya etkiler ve bunların

tamamlanma sürelerinde yapılacak değişiklikler tümüyle yatırım süresine tesir eder?

• Hangi faaliyetlerde belirli bir terminde bitirme mecburiyeti yoktur, bunlar bir

zaman aralığı içinde istenilen bir tarihte başlayıp bitirilebilirler?

• Faaliyetlerin, programın müsaade ettiği zaman aralıkları ne kadardır?

• Hazırlanmış bir iş programında, yukarıda belirtilen soruların cevaplarını hangi

tesirler bozar veya meydana gelebilecek hangi şartlar etkiler?

CPM yönteminde de, olaylara ilişken en erken ve en geç tamamlanma zamanları PERT

yönteminde belirtildiği şekilde ele alınmakta ve hesap edilmektedir. Aynı şekilde faaliyetler

arasında zaman boşluklarının değerlendirilmesine ilişkin hesaplama yönteminde de bir

değişikliğin bulunmadığını belirtmek yerinde olur.

337

CPM tekniğinin PERT metodunun içinde onun özel bir hali olduğu göz önünde

tutulacak olursa ikisi arasında büyük çapta ortak yönlerin bulunabileceği anlaşılabilir.

13.3. Tabloların Düzenlenmesi

Şebeke analizinde son safhayı, bu safhaya kadar olay ve faaliyetlere ilişkin olarak

yapılan çalışmalardan elde edilen bilgilerin değerlendirilerek tablolar haline dönüştürülmesine

ilişkin çalışmalar teşkil etmektedir. Bu nedenle tabloların hangi veriler esas alınarak

düzenleneceğini kısaca görelim.

Tablonun düzenlenmesinde olay numaraları esas alınabilir. Bu numaralar zaten şebeke

diyagramı üzerinde mevcuttur. Bu bakımdan kolaylık sağlar. En erken başlama zamanları esas

alınabilir. Bu, ilerleme ile program arasında faydalı bir mukayese imkanı verir. Boş zamanların

esas alınması kritik veya kritik olmaya uygun faaliyetleri belirli hale getirmesi bakımından

tercih edilir. Faaliyetler konularına ve en erken başlama zamanlarının sorumluluklarına göre

tasnife tabi tutulabilirler. Bu da her bir sorumluluk alanı için programla fiziki ilerleme arasında

bir mukayese yapılabilmesini mümkün kılar. Şimdi konunun daha iyi anlaşılabilmesi için

aşağıdaki örnek projeyi ele alalım. Bu projenin çözümünde şu ana kadar kullandığımız zaman

kavramına bazı ilaveler yapmamız gerecektir. Bunlar da;

i) En Erken Başlama Zamanı (ES = The Earliest Starting): Bir projede en erken

başlama zamanı, o faaliyetin başlayabileceği mümkün olan en erken zamandır. Bir faaliyetin

en erken başlama zamanı kendisinden sonra gelen faaliyetin en erken başlama zamanından daha

küçük (erken) olmalıdır.

ii) En Geç Bitirme Zamanı (LF = The Latest Finishing): Bir bütün olarak projenin

en geç bitiş zamanını gösterir.

iii) Toplam Boşluk (Aylak Zaman) (TS= The Total Slack): Bir faaliyetin toplam

boşluğu, o faaliyetin en geç başlama zamanı ile en erken zamanı veya en geç bitirme zamanı

ile en erken bitirme zamanı arasındaki farktır. Kritik yol üzerindeki faaliyetlerin toplam boşluk

zamanları sıfırdır.

Boşluk değeri pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. Boşluğun sıfır çıkması faaliyetin

istenildiği gibi gerçekleşeceğini, pozitif çıkması projenin önünde gidildiğini, negatif olması da

projenin gerisinde kalındığını ve gerekli önlemlerin alınması gerektiğini belirtir.

13.4. Proje Planlamada Ağ (Network) Diyagramı

Proje ağ diyagramı projeyi planlama, zamanlama ve projenin süreçlerini izlemek için

tasarlanır. Ağ diyagramı İş Kırılım Yapısı (WBS) için toplanan bilgiler ışığında geliştirilir. Ağ,

tamamlanması gereken faaliyetleri, faaliyetler arası öncelik ilişkilerini, faaliyetler arası

bağımlılıkları gösterir. Ayrıca faaliyetlerin başlama ve bitiş süreleriyle, şebekenin en uzun

yolunu yani kritik yolunun proje katılımcıları tarafından kolayca gözlenmesini sağlar. Ağ

338

diyagramı projeye başlamadan önce yapılacak ilk temel iştir bu şekilde proje yöneticisi projenin

zamanını ve maliyetini tahmin eder.

Proje ağ diyagramı iyi tasarlanırsa proje katılımcılarının anlaması kolaylaşır ve plan

ilerlerken oluşan aksaklıklar bu şekilde herkes tarafından kolayca takip edilebilir. Yani ağın ilk

seferde iyi tasarlanması çok büyük önem taşır.

Yani kısaca özetlemek gerekirse projenin ağ diyagramı; işin ve kullanılan donanımın

programlanmasını sağlar, proje katılımcıları arasındaki iletişimi kolaylaştırır ve kuvvetlendirir,

proje süresinin tahminini içerir, bütçenin nakit akışının programlanmasını kolaylaştırır, kritik

faaliyetleri belirler ve kritik faaliyetlerin yani gecikme kabul etmeyen faaliyetleri vurgular.

Yani proje ağ diyagramları; planı önceden yaparak ve düzeltici geribildirimlere izin vererek

proje üzerinde oluşabilecek sürprizleri minimum düzeyde tutmayı sağlar.

13.5. İş Paketlerinden Ağ Diyagramlarına

Projenin ağ diyagramı tamamlanması gereken tüm faaliyetlerin sıralarını öncelik

ilişkilerini gösteren görsel akış diyagramıdır. Faaliyetler proje süresince zaman harcanması

gereken eylemlerdir. İş kırılın yapısındaki iş paketleri faaliyetleri ifade etmek için kullanılır.

Ağ diyagramları düğümlerden ve oklardan meydana gelir. Burada düğümler faaliyetleri ifade

ederken, oklar faaliyetler arasındaki bağımlılıkları ifade eder.

Projelerde faaliyetlerin altında iş paketleri kullanılabilir. Bu şekildeki planlama projenin

ağ diyagramı oluşturulurken çok önemlidir.

D-1-1

D-1-2

A

P-10-1

B

S-22-1

C

P-10-2

D

S-22-2

E

T-13-1

F

Şekil 23: Ağ (Network) Diyagramı

Yukarıda verilen şekilde faaliyetlerin ve faaliyetlerin altında yapılması gereken iş

paketlerinin belirlenmesinden sonra çizilen projenin ağ diyagramı görülmektedir. Bu ağ

diyagramında faaliyetler ve alt iş paketleri rahatça görülebilmektedir.

339

13.6. Proje Ağ (Network) Diyagramının Çizilmesi

13.6.1. Terminoloji

Faaliyet: Proje yöneticileri için faaliyet zaman harcanan elemanlardır. Bu zaman

harcama çalışırken ya da beklerken gerçekleşir.

Bileşke Faaliyet (Merge Activity): Birden fazla öncül faaliyet içerir. Başlaması için

birden fazla faaliyetin bitmiş olması gereken faaliyetlerdir.

Şekil 24: Bileşke Faaliyetin Gösterimi

Paralel Faaliyetler: Aynı anda gerçekleşebilen faaliyetlerdir. Ancak proje yöneticisi

paralel faaliyetlerin eş zamanlı gerçekleşmesini istemeyebilir.

Yol (Path): Ardarda gelen faaliyetlerden oluşturur. Bağımlılıklar açıkça görülebilir.

Kritik Yol: Ağ diyagramında oluşan en uzun yol ya da yollardır. Bu yol üzerindeki

faaliyetlerden herhangi birinde oluşacak gecikme projenin de uzamasına neden olur.

Olay (Event): Bu terim bir faaliyetin başladığı ya da bittiği anı temsil eder. Bir zaman

harcanması söz konusu değildir.

Öncül Faaliyet (Burst Activity): Kendisinden sonra birden çok faaliyete öncüllük eden

faaliyetlerdir.

340

Şekil 25: Öncül Faaliyetin Gösterimi

13.7. Proje Şebeke Çizim Metotları

Proje ağ diyagramı çizilirken iki yaklaşım mevcuttur. Bu metotlar sırasıyla AON (Activity-on-Node) ve AOA (Activity-on-Arrow) dır. Bu iki metot arasındaki temel fark

AON’un faaliyetleri ifade ederken düğümleri kullanmasıdır, buna karşın AOA faaliyetleri

çizilen okların üzerinde göstermektedir. Her iki metot da 1950’lerin sonlarında

geliştirilmişlerdir.

Şekil 26: AON (Activity-on-Node)-Faaliyetlerin Düğümlerle Gösterimi

X, Y, Z, S, T, U faaliyetleri göstermektedir. Örneğin 1-2 faaliyeti X faaliyetidir.

Şekil 27: Faaliyetlerin Oklarla Gösterimi

341

Uygulamada AON daha çok kullanım alanı bulmuştur. Ancak seçilecek metodun

türünden çok kullanan proje yöneticisinin ve proje katılımcılarının uygulanan metoda adapte

olmaları önemlidir.

13.8. Ağ Diyagramının Temel Kuralları

• Diyagram soldan sağa doğru ilerlemektedir.

• Faaliyet öncül faaliyetleri tamamlanmadan başlayamaz.

• Faaliyetler arasında çizilen oklar birbirini çaprazlayabilir.

• Her bir faaliyet ayrı ayrı numaralandırılmalıdır.

• Döngülere izin verilmez yani geri dönüşler söz konusu değildir.

• Koşul durumlarından bahsedilemez. Örneğin; A faaliyeti başarılı ise, B faaliyeti

gerçekleşsin gibi bir koşul diyagramda yer alamaz.

• Açık bir başlangıç ve bitiş noktası bulunmalıdır.

13.9. (Activity-On-Node) Metodunun Temelleri

Bu yöntemde faaliyetler düğümler üzerinde gösterilmektedir. Son yıllarda bu

düğümler kareler ile ifade edilmektedir. Kişisel bilgisayarların kullanımının yaygınlaşması ve

grafik programların gelişmesi bu yöntemin kullanımını daha da yaygınlaştırmıştır.

342

A’dan önce bir faaliyet yoktur. B, A faaliyetini izler. C B faaliyetini izler. B, C

faaliyetinin öncülü, A ise B faaliyetinin öncülüdür.

B ve C faaliyetlerini A faaliyeti izler. Yani B ve C’nin başlayabilmesi için A

faaliyetinin tamamlanmış olması gerekir. B ve C faaliyetleri istenirse aynı anda başlayabilir.

A, B, C faaliyetleri aynı anda başlayabilir, fakat eş zamanlı gerçekleşmek zorunda

değildir.

343

C’nin başlayabilmesi için A ve B tamamlanmış olmalıdır. D’nin başlayabilmesi için

de aynı şekilde A ve B faaliyetlerinin tamamlanmış olması gerekir.

Proje ağ diyagramında yer alan faaliyetlerin tanımlaması gereken 3 temel ilişki

mevcuttur. Bu ilişkiler aşağıdaki 3 soru ile belirlenebilir.

1. Bu faaliyetten önce hangi faaliyetler tamamlanmalıdır? Belirlenen faaliyetler öncül

faaliyetleri belirler.

2. Bu faaliyeti hangi faaliyet izlemelidir?

3. Bu faaliyet gerçekleşirken hangi faaliyetler gerçekleşebilir? Sorunun cevabı paralel

faaliyetleri verir.

13.10. Kritik Yol Yöntemi-CPM

Proje Zaman Yönetimi; üretimi ve verimi arttırmak amaçlı olarak, belirli faaliyetler

üzerinde harcanan zamanı bilinçli bir şekilde kontrol etme yöntemidir. Zaman yönetimi, belirli

görevleri, projeleri bitirirken kullanılan çeşitli beceriler, araçlar ve teknikler ile desteklenebilir.

Bu beceri, araç ve teknikler; planlama, dağıtma, hedef belirleme, yetkilendirme, zaman analizi,

gözlemleme, tertipleme, zamanlama ve önceliklendirme ve benzerlerini içerir. Önceleri, zaman

yönetimi sadece iş ve çalışma etkinlikleri için kullanılırken, sonraları kişisel faaliyetler için de

kullanılmaya başlanmıştır. Bir zaman yönetimi sistemi; proseslerin, araçların, tekniklerin ve

metotların tasarımlı bileşimidir. Zaman yönetimi genel olarak proje geliştirmede bir

gerekliliktir, zaman yönetimi projenin tamamlanma zamanını ve ölçeğini belirler.

Proje bitiş sürelerinin bulunmasında iki yol sıkça kullanılır:

� Kritik Yol Yöntemi (CPM) – Faaliyet Süreleri kesin (deterministik)

� Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği (PERT) – Faaliyet Süreleri

stokastik (olasılıklı)

� Faaliyetler Düğümle gösterilmesi durumunda bir faaliyet aşağıdaki gibidir.

Örnek:

Proje süresince tamamlanması gereken faaliyetler ve öncül faaliyetleri Tablo-1’de

verilmiştir.

344

Çağrı Merkezi Proje Faaliyetleri

Faaliyet İş Tanımı Öncül Faaliyetler Faaliyet Süresi (Gün)

A Başvuru Onayı - 5

B Yapım Planları A 15

C Trafik İncelemesi A 10

D Servis Kontrolü A 5

E Çalışan Raporu B, C 15

F Komisyon Onayı B, C, D 10

G Yapım için Bekleme F 170

H İkamet E, G 35

Bu projede B, C ve D faaliyetlerinin başlayabilmesi için A faaliyetinin tamamlanmış

olması gerekmektedir. Ancak A faaliyetinin bir öncülü yoktur. E faaliyeti olan Çalışan

Raporlarından önce B ve C faaliyetlerinin tamamlanması gerekmektedir. F faaliyetinden önce

B, C ve D faaliyetlerinin, G den önce F’nin ve F den öncede E ve G faaliyetlerinin tamamlanmış

olması gerekmektedir.

Proje diyagram çizimini aşamalara bölersek ilk aşama başlangıç faaliyetini ve başlangıç

faaliyetini öncül kabul eden faaliyetleri yerleştirmek olacaktır.

Tabloda görüldüğü üzere proje A faaliyeti ile başlamaktadır. Bunu takiben B, C ve D

faaliyetleri ile devam etmektedir. Bu proje şebeke diyagramı çizimin ilk aşamasıdır.

Aşağıda Koll-Business Center proje şebeke diyagramının tamamlanmış hali görülmektedir.

Faaliyetler ve faaliyetler arası ilişkiler net olarak görülmekte ve takip edilebilmektedir.

345

Şekil 28 Çağrı Merkezi (Call Business Center) Örnek Ağ Diyagramı

13.11. Ağ Hesaplama Süreci

Doğru iş sıralamaları ve işlerin tahmin edilen süreleri ile faaliyetlerin başlangıç ve bitiş

süreleri hesaplanır. Bu şekilde projenin süresi de belirlenmiş olur. İleriye doğru ve geriye doğru

olmak üzere iki tür hesaplama yapılmaktadır.

Faaliyetler düğümlerde gösterilerek çizilen ağ diyagramında her bir faaliyet aşağıdaki

gibi çizilir.

ES : Early Start (Erken Başlama)

ES : Early Finish (Erken Bitiş)

LS : Late Start (Geç Başlama)

LF : Late Finish (Geç Bitiş)

S : Slack Time, Bolluk

�ø : Faaliyet Süresi

346

Öncül Faaliyet: A ve B faaliyetleri C faaliyetlerinin öncül (önce tamamlanması gereken)

faaliyetleridir.

Ardçıl Faaliyet: B ve C faaliyetleri A faaliyetlerinin ardçıl (arkasından gelen)

faaliyetdir. B ve C faaliyetinin başlayabilmesi için A faaliyetinin tamamlanması gerkir. B ve

C faaliyetleri istenirse aynı anda başlayabilir. Farklı zamanlarda da başlatılabilir. Ancak farklı

13.11.1. İleri Doğru Hesap-En Erken Zamanlar

İleriye doğru hesap metodun da şu sorulara cevap aranır.

1. Faaliyet en erken ne zaman başlayabilir? (ES - Early Start)

2. Faaliyet en erken ne zaman bitebilir? (EF - Early Finish)

3. Proje en erken ne zaman bitebilir? (TE - Expected Time)

347

13.11.2. Geriye Doğru Hesap-En Geç Zamanlar

Geriye doğru hesap metodunda ise şu sorulara cevap aranır.

1. Faaliyet en geç ne zaman başlayabilir? (LS - Late Start)

2. Faaliyet en geç ne zaman bitebilir? (LF - Late Finish)

3. Kritik yol üzerindeki faaliyetler hangileridir (CP)?

4. Faaliyet ne kadar gecikebilir? (Slack or float - SL)

Yukarıda ağ diyagramı çizilen projenin faaliyetleri ve süreleri Tablo-2 de verildiği gibi

olsun.

Tablo 2: Çağrı Merkezi Proje Faaliyetleri ve Süreleri

Faaliyet İş Tanımı Öncül Faaliyetler Faaliyet Süresi (Gün)

A Başvuru Onayı - 5

B Yapım Planları A 15

C Trafik İncelemesi A 10

D Servis Kontrolü A 5

E Çalışan Raporu B, C 15

F Komisyon Onayı B, C, D 10

G Yapım için Bekleme F 170

H İkamet E, G 35

348

13.12. İleriye Doğru Hesap

İleriye doğru hesapta faaliyetin en erken başlama zamanıyla faaliyet süresinin toplamı

bize erken bitiş süresini verecektir.

Yani; �] + Íhm = �� olarak hesaplanarak her bir faaliyetin en büyük EF’si

diyagramda ilgili yere yazılmıştır. Yani örnek vermek gerekirse E faaliyetinin ES süresini

hesaplarken B faaliyetinden 20, C faaliyetinden ise 15 gelmekte ve bu iki süreden maksimum

olan 20 E faaliyetinin ES si olarak seçilmelidir.

349

13.13. AON - Geriye Doğru Hesap

Geriye doğru hesapta ise en geç bitiş zamanından faaliyetin süresi çıkartılarak en geç

başlama zamanı hesaplanır.

Yani; LF-Dur = LS olarak hesaplanarak, her bir faaliyet için hesaplanan LS sürelerinden

en küçük olanı diyagramda ilgili yere yazılır. Örneğin E faaliyeti üzerinde 200-15=185=LS

olarak yazılmış ve bu süre B ve C faaliyetleri için değerlendirilecektir. Ancak B faaliyetine aynı

zamanda F faaliyetinin LS=20 süresi de gelmektedir. Dolayısıyla geriye doğru hesapta

min{185, 20}=20 den B faaliyetinin LS değeri 20 olarak belirlenir.

13.13.1. Bollukların (Slack) Hesaplanması

İleriye ve geriye doğru hesaplamalar tamamlandıktan sonra faaliyetlerin serbestlikleri

ve toplam serbestlikler hesaplanabilir. Toplam serbestlik süresi projenin aksamaması için

kullanılabilen süredir.

Faaliyetler için toplam serbestlikler;

SL = LS - ES ya da

SL = LF - EF formülleri yardımıyla hesaplanır.

Bu hesaplamalar sonrasında kritik yol kolayca görülebilir çünkü kritik yol üzerindeki

faaliyetlerin toplam serbestlikleri sıfırdır.

Proje Süresi 60 gün. Kritik Yol A-B-F-G-H

350

Kritik yol diyagramdaki en uzun yol olup kesikli çizgilerle gösterilmiştir.

13.14. AOA (Activity on Arrow)

Bu yaklaşımda faaliyetler okların üzerinde yer almaktadır. Diğer işlemler AON’da

olduğu gibi yapılmaktadır.

AON yönteminin AOA yönteminden üstün yanı kukla yani süreleri sıfır olan faaliyetlere

ihtiyaç duymamasıdır. Buda daha kolay uygulanabilirlik sağlamaktadır.

Örnek:

Aşağıda faaliyetleri, öncül faaliyetleri ve normal faaliyet süreleri verilmiş olan projeye

ilişkin şebeke (network-ağ) diyagramını oluşturunuz. Kritik faaliyetleri ve kritik yolu

belirleyiniz. Projenin kaç günde biteceğini ve bitme olasılığını bulunuz.

351

Çözüm:

352

Kritik Yol:

Toplam Proje Süresi: 16 Gün

Kritik Faaliyetler: A, C, E, G

Kritik Yol: A – C – E – G Yolu

Projenin Bitiş Süresi: CPM’de süreler deterministik olduğu için proje süresi kesindir.

Bu projenin süresi 16 gün olup, 16 günde bitme olasılığı %100’dür.

13.15. Proje Ağ Yapısının Gerçek Hayatla Bütünleştirilmesi

Buraya kadar anlatılan proje yapısında faaliyetler arasında finish to start ilişkisi vardı.

Yani bir faaliyetin başlayabilmesi için bir öncekinin bitmiş olması gerekiyordu. Ancak bu

gerçek hayatta her zaman bu şekilde gerçekleşmez.

Birtakım gecikmeler söz konusu olabilir. Yada bazı işler tamamlandıktan sonra

beklenmesi gerekebilir. Bu gecikmeler (lag) faaliyetlerin başlaması yada bitmesi için gerekli

olan minimum zamanlardır. Bu bekleme süreleri proje yöneticisi tarafından belirlenebilir ya da

işin işleyişi açısından zorunlu olabilir.

353

� Start to Start:

Burada M ve N faaliyetleri arasında start to start ilişkisi hakimdir. Aynı şeklilde P ve Q

faaliyetleri içinde geçerlidir. Ancak buradaki fark Q faaliyetinin başlayabilmesi için P

faaliyetinin başlangıcından 5 zaman dilimi beklenmelidir.

� Finish to Finish:

Yukarıdaki şekil incelenirse, Prototype işlemi bittikten 4 zaman dilimi sonra Testing

işlemi bitmelidir. Yani Prototype faaliyeti ile Testing faaliyetinin bitiş zamanları birbirine

bağımlıdır.

� Start to Finish:

Aşağıdaki şekilde açıkça görüldüğü gibi Testing faaliyeti ile System documentation

faaliyetleri arasında bir ilişki vardır. Bu ilişki şu şekilde ifade edilebilir. Testing faaliyeti

başladıktan 3 zaman dilimi sonra System Documentation faaliyeti bitmelidir.

354

� Karma Durumlar:

Burada ise Code faaliyetinin başlangıcından 4 zaman dilimi sonra Debug faaliyeti

bitmeli aynı şekilde Code faaliyetinin başlangıcından 2 zaman dilimi sonra Debug faaliyeti

başlamalıdır.

CPM Örneği:

Aşağıda verilen faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve sürelerini kullanarak ağ diyagramını

çiziniz ve kritik yol yöntemi kullanarak proje bitiş süresini belirleyiniz

Faaliyet Açıklama Öncülleri

A Contract signing -

B Questionnaire design A

C Target market ID A

D Survey sample B, C

E Develop presentation B

F Analyze results D

G Demographic analysis C

H Presentation to client E, F, G

355

Çözüm: Proje Ağ diyagramı

Çözüm:

İleriye Doğru Hesap

�� = �] + î î : faaliyet süresi

356

Geriye Doğru Hesap

�] = �� − î

Bolluklar ve Kritik Yol:

357

Proje Bitiş Süresi: 30 Gün

Kritik Yol: A-C-D-F-H

Projenin 30 Günde bitme olasılığı: %100

Kritik Yol Yöntemi (CPM) proje faaliyet sürelerinin deterministik olması durumunda kullanılır.

Bu nedenle proje bitiş süresi de kesindir.

358

Uygulamalar

Yeni bir ürünün geliştirilmesi ve pazarlanması ile ilgili faaliyetler ve süreleri

aşağıdaki gibidir. Buna göre;

a) Projenin ağ diyagramını faaliyetleri düğümde (AON) göstererek çiziniz.

b) Projedeki her bir faaliyet için Normal Süreler kullanılarak, ES (En erken başlama),

EF (En erken tamamlanma), LS (En geç başlama), LF (En geç tamamlama), FS (Serbest

aylak süre - bolluk) değerlerini hesaplayınız ve projenin kritik yolunu, kritik faaliyetlerini

belirleyiniz.

Kritik Yol: A - C - E - G Toplam Proje Bitiş Süresi:19 gün

359

Uygulama Soruları

Proje süresinin azaltılması için diğer bir sebep tahmin dışı bir gecikme (Örneğin; kötü

hava, planlama hataları, donanım arızası) projenin ortasında önemli bir gecikmeye neden

olabilir. Çizelgede geri alma genellikle bazı kritik faaliyetlerin süresinde sıkıştırma gerektirir.

Çizelgede geri alma ek maliyeti ile geç kalma maliyeti karşılaştırılmalıdır.

-Sizce bir projede hangi faaliyet hızlanırsa proje süresi kısalmaz?

360


Bu bölümde proje planlama süreci anlatılmıştır. Bir projenin ağ diyagramının çizimi,

faaliyetler arası ilişkiler, faaliyetlerin düğümlerle ya da oklarla gösterimi üzerinde ayrıntılı

olarak durulmuştur.

361

Bölüm Soruları

1) Proje planlamada ağ diyagramı çiziminde aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Diyagram sağdan sola doğru ilerlemektedir.

b) Faaliyet öncül faaliyetleri tamamlanmadan başlayamaz.

c) Faaliyetler arasında çizilen oklar birbirini çaprazlayabilir.

d) Her bir faaliyet ayrı ayrı numaralandırılmalıdır.

e) Döngülere izin verilmez yani geri dönüşler söz konusu değildir.

2) Proje planlamada bütün faaliyetlerin belirlendiği, faaliyet sürelerinin ve faaliyet

önceliklerinin gösterildiği diyagrama ne denir?

a) Ağ Diyagramı

b) Balık Kılçığı Diyagramı

c) Histogram

d) Pareto Diyagramı

e) Kritik Yol Diyagramı

3) B faaliyeti, A faaliyetinin bitişi ile başlayabiliyor ise ne tür bir ilişki söz konusudur?

a) Finish to Start (FS)

b) Start to Start (SS)

c) Start to Finish (SF)

d) Finish to Finish (FF)

e) Normal Start (NS)

4) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Bir faaliyetin başlayabilmesi için bitmesi gereken faaliyetlere A’nın öncül faaliyetleri

denir.

b) Kritik faaliyetlerin bollukları sıfırdır.

c) Ağ diyagramı çiziminde iki farklı yol mevcuttur.

d) Kritik faaliyetlerin toplam süresi proje bitiş süresini oluşturur

362

e) Her zaman ağ diyagramındaki tüm faaliyetler kritik faaliyetlerdir.

5) Faaliyetlerin düğümlerle gösterilmesinde -AON- en önemli avantaj hangisidir?

a) Çizimi zordur

b) Bolluklar kolay hesaplanır

c) Bilgisayar programlarında daha yaygın olarak kullanılır

d) Kukla faaliyet oluşturulması gerekmez

e) Hiçbir avantaj bulunmaz

6) Şebeke (Ağ) diyagramında oluşan en uzun yola ne ad verilir?

a) Düğüm

b) Ok

c) Kritik yol

d) Öncül faaliyet

e) Paralel faaliyet

7) Birden fazla faaliyetle aynı anda başlayan projelerde bu faaliyetlerin öncesinde sıfır

süreli bir faaliyet eklenir. Bu faaliyet aşağıdakilerden hangisi ile isimlendirilir?

a) Kritik faaliyet

b) Kilometre taşı

c) Kritik olay

d) Bileşke faaliyet

e) Paralel faaliyetler

8) Birden fazla faaliyetle aynı anda biten projelerde bu faaliyetlerin sonuna sıfır süreli

bir faaliyet eklenir. Bu faaliyet aşağıdakilerden hangisi ile isimlendirilir?

a) Kritik faaliyet

b) Kritik olay

c) Kilometre taşı

d) Bileşke faaliyet

363

e) Paralel faaliyetler

9) Kendisinden sonra birden çok faaliyete öncüllük eden faaliyete ne ad verilir?

a) Artçıl faaliyet

b) Normal faaliyet

c) Kritik faaliyet

d) Öncül faaliyet

e) Paralel faaliyet

10) Aşağıdaki şekilde verilen şebeke (ağ) diyagramında, öncül faaliyet hangi faaliyettir?

Cevaplar

1) a, 2) a, 3) a, 4) e, 5) d, 6) c, 7) b, 8) c, 9) d, 10) a

364

14. ŞEBEKE PROGRAMLAMADA PERT YÖNTEMİ

365


14.1. Kritik Yol Yöntemi-CPM

14.2. PERT Tekniği

366


1) Kritik yol yöntemi (Critical Path Method-CPM) ne zaman kullanılır?

2) PERT yöntemi ne zaman kullanılır?

367



Proje çizelgeleme Proje çizelgeleme konusuna

hakim olmak Okuyarak, tekrar ederek

Kritik yol yöntemi - CPM Kritik yol yöntemini anlamak Okuyarak, örnek soru

çözerek

Pert yöntemi Pert yöntemini kavramak Okuyarak, tekrar ederek,

örnek soru çözerek

368

Anahtar Kavramlar

• PERT Tekniği

• İyimser süre

• Olası Süre

• Kötümser süre

• Beklenen değer

• Varyans

• Beta dağılımı

369

Giriş Proje alanı, daha önceden gerçekleştirilmiş, bilinen konuları içeriyorsa önceki

deneyimlere dayanarak hangi faaliyetin ne kadar sürede gerçekleşeceği belirlenebilir. Bu

durumda faaliyetlerin süresi kesindir. Örneğin, otomatik bir makinenin bir saat çalışması

sonucu bir işi gerçekleştirmesi gibi. Ancak projenin kapsamı daha önceden yapılmamış, yeni

bir konu ise bu durumda deneyimlere dayanarak faaliyet sürelerini belirlemek olanaksızdır. Bu

sebeple PERT analizinde üç zaman dikkate alınarak faaliyet süreleri belirlenir. Dolayısıyla

faaliyet süreleri olasılıklı sürelerdir.

370

14.1. PERT Yönteminde Faaliyet Sürelerinin Belirlenmesi

PERT analizinde her faaliyet için üç zaman söz konusudur. Bu süreler en iyimser süre,

en kötümser süre ve en olası süredir.

14.1.1. En İyimser Süre (The Optimistic Time )

Faaliyetin en iyimser süresi, söz konusu faaliyet için bütün şartların en iyi şekilde

gerçekleşmesi sonucunda faaliyetin en kısa sürede tamamlanacağı süreyi ifade eder. Bu süre

içinde en ufak bir aksilik söz konusu değildir. Faaliyet açısından her durumun yolunda gittiği

varsayılır. Bu sebeple faaliyet %99 olasılıkla bu süreden daha erken bir sürede bitirilemez. “�”

harfi ile ifade edilir.

14.1.2. En Kötümser Süre ( The Pessimistic Time)

Faaliyetin en kötümser süresi, söz konusu faaliyet için bütün artların en kötü şekilde

gerçekleştiği varsayılarak, faaliyetin gerçekleşmesi sırasında ortaya çıkabilecek tüm

aksamaların meydana gelmesi durumunda faaliyetin tamamlanabileceği en uzun süreyi ifade

eder. Tüm aksaklıklar göz önüne alındığı için bu faaliyetin gerçekleşme süresi %99 olasılıkla

faaliyetin en kötümser süresinden uzun olamaz. “.” harfi ile ifade edilir.

14.1.3. En Olası Süre ( The Most Likely Time)

Faaliyetin gerçekleşme olasılığı en yüksek olan süredir. Normal şartlar altında faaliyetin

ne kadar sürede tamamlanabileceğini ifade eder. “�” harfi ile ifade edilir.

PERT analizinde her faaliyet için bu üç sürenin bilinmesi gerekir. Yapılan birçok

araştırma, deney ve inceleme sonucunda faaliyet sürelerinin incelenmesi sonucu, sürelerin beta

dağılımına uygun olduğu görülmüştür. Beta dağılımının aşağıda yer alan üç özelliği

bakımından faaliyet sürelerinin bu dağılıma uygun olduğu belirlenmiştir:

• Beta dağılımı sözü edilen üç zaman ile ortalama ve varyans değerlerini

hesaplamaya olanak veren bir dağılımdır.

• Beta dağılımı sürekli bir dağılımdır fakat daha önceden belirlenen özel bir şekli

yoktur. Başka bir deyişle verilen değerlere göre dağılıma ait eğri sağa veya sola yatkın bir hâle

gelebilmektedir.

• Son olarak ise diğer dağılımlar da göz önüne alındığında, bu verilerin

hesaplanmasında en uygun dağılımın beta dağılımı olduğu görülür. Bu sebeple PERT

analizinde faaliyet süreleri hesaplanırken beta dağılımının kullanılması artık bir kural hâline

gelmiştir.

Beta dağılımı her zaman simetrik bir dağılıma sahip olmadığı için, projedeki

faaliyetlerin üç zamanı göz önüne alındığında, sürelerine uygun olan, � aşağıda gösterilen üç

grafikten birine ait şekilde gösterilme olanağına sahiptir. Sola yatık, sağa yatık veya simetrik

371

bir biçimde dağıldığı aşağıda gösterilen grafiklerde de görülmektedir. Başka bir deyişle en olası

tahminin (� + .)/2 olma zorunluluğu yoktur. Bu değerin sağında veya solunda da yer alma

şansına sahiptir. Beta dağılımı kullanılmasındaki en önemli etken de beta dağılımının bu

duruma uygun olmasıdır.

Şekil 29: Sola Yatkın Beta Dağılımı

Şekil 30: Sağa Yatkın Beta Dağılımı

Şekil 31: Simetrik Beta Dağılımı

Faaliyetlere ait sürelerin ortalama ve varyans değerlerini hesaplarken beta dağılımına

uygunluk gösterdiği için bu dağılıma göre hesaplama yapmak gerekir.

372

î� = (� + .)2 + 2�3

î� = � + 4� + .6

î� = Faaliyetin beklenen süresi (ortalama değeri)

Bu değer aynı zamanda faaliyet süresinin beklenen zamanını (expected time) da ifade

etmektedir. PERT analizinde hesaplanan süreler kesin olmadığı için beklenen değer eklinde

ifade edilir. Süreler kesin olmadığına göre bu sürelerden bir sapma olması söz konusudur, bu

durum her faaliyetin sapmasının hesaplanmasını gerektirir. Varyans hesaplaması da doğal

olarak beta dağılımına göre hesaplanır.

6�� = . − � �� = ç(. − �)6 è� �� = (. − �)�36

Projede yer alan tüm faaliyetlerin, zamanları dikkate alınarak ortalama ve varyans

değerleri hesaplanır.

Yukarıdaki formülde de görüldüğü gibi faaliyetin en iyimser ve en kötümser süreleri

faaliyetin varyans değerine etki etmektedir. Bu iki sürenin birbirinden çok uzak olması istenen

bir durum değildir çünkü bu durumda faaliyetin varyans değeri büyük çıkacak ve faaliyet

süresinin belirsizliğini arttıracaktır.

PERT analizindeki bütün hesaplamalar bu sürelere dayanarak yapılır. Bu sebeple

faaliyetlerin sürelerinin doğru tespit edilmesi çok önemlidir. Süreler belirlenirken yapılan hata

tüm analize yansır ve sonucun sağlıklı olmamasına, yanlı kararlar alınabilmesine yol açar, fakat

bu sürelerin belirlenmesi de çok zordur.

Hesaplanan sürelerin gerçekleşme olasılıklarının çok yüksek olması analiz açısından iyi

bir sonuç olarak görülse de bu durumun sakıncaları söz konusudur. Hesaplanan sürenin

gerçekleşme olasılığı % 100’e yakın olması faaliyetin, kapasite bakımından hiç bir sorun

yaşamadığını başka bir deyişle kaynakları etkin kullanılmadığını gösterir. Faaliyetin

gerçekleşme olasılığının çok düşük olması ise tam ters neden ile tehlike arz etmektedir, en ufak

bir aksilik durumunda proje ile ilgili tüm değerlerin değişeceği anlamına gelir. Projenin eski

hâline bağlı kalınması için çok yüksek maliyetli önlemler alınması gerekir. Bu nedenlerle

faaliyet sürelerinin gerçekleşme olasılıkları uygun risk ve yaralanma oranı (utilization)

arasındaki sınırları belirleyen değerler olmalıdır.

373

14.2. Kritik Yolun Tespiti

PERT analizinde kritik yolun tespit edilmesi CPM yöntemindeki kritik yol ile şüphesiz

aynıdır. Şebeke içinde yer alan en uzun yoldur. Projenin tamamlanma süresi kritik yol üzerinde

yer alan kritik faaliyetlerin sürelerinin toplamına eşittir. Ancak bu süre kesin değildir.

Faaliyetlerin varyans değerleri hesaplandığı için projenin belirlenen sürede hesaplanması da

belirli bir sapmaya tabiidir. Bu sapma değeri ise kritik yol üzerinde yer alan kritik faaliyetlerin

varyanslarının toplamına e ittir.

Yukarıda belirtilen formüller şebekede yer alan herhangi bir yol için geçerli olduğu gibi

kritik yol için de geçerlidir; sonuçta kritik yolda şebekede yer alan bir yolu ifade etmektedir.

Kritik yol için a ağıdaki ekli ile yazılması mümkündür:

Ó^ = í)! (/, 3) ∈ Kritikyol

PERT analizinde sürelerin dağılımı beta dağılımı ile hesaplanırken, kritik yol tespitinde,

Merkezi Limit Teoremine göre, gözlem sayısı arttıkça dağılım normal dağılıma yaklaşır, bu yol

üzerinde bulunan faaliyet sayılarının fazla olması dolayısıyla normal dağılıma uygundur.

Küçük ölçekli projelerde kritik yol hesaplamalarının normal dağılıma göre yapılması sağlıklı

bir yaklaşım değildir. Projenin faaliyetleri için, olası faaliyet süreleri söz konusu ise, faaliyet

zamanları hangi dağılıma uygun olursa olsun, tüm projenin süresi normal dağılıma uygundur.

Projede birden fazla kritik yolun bulunması mümkündür. CPM yönteminde bütün yollar

kritik olarak kabul edilirken PERT analizinde varyansı büyük olan yolun kritik yol olarak kabul

edilmesi daha yaygındır. Bunu sebebi ise varyans aralığı genişledikçe belirsizlik artacağı için

projenin tamamlanma süresi açısından daha güvenilir bir sonuç olacaktır.124 Bu konu için

başka bir yaklaşım daha vardır. Bu yaklaşıma göre projenin beklenen süreden daha geç

tamamlanması ile ilgili hesaplamalarda en büyük varyansı, beklenen süreden daha kısa sürede

tamamlanması ile ilgili hesaplamalarda ise en küçük varyansı göz önünde tutarak bulunan

sonuçların daha sağlıklı olduğu yaklaşımıdır.

PERT analizi projenin tamamlanma süresinin yüzde kaç olasılıkla gerçekleşeceğini

belirtir. Aynı zamanda projenin belirtilen herhangi bir tarihte tamamlanma olasılığını da

hesapladığı için proje yöneticisine bilgi vermesi bakımından faydalı bir yöntemdir. Projenin

belirli bir anda tamamlanma olasılığı a ağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

374

� = − ��

� = Tamamlanmasıistenensüre– ProjenintamamlanmasüresiProjenintamamlanmasüresininstandartsapmadeğeri

� = î¶ − î)!�

Bu işlem sonucunda bulunan değer “� tablo”suna göre hangi alanda kaldığı belirlenerek

projenin belirtilen sürede bitirilme olasılığının değeri hesaplanır. Aynı zamanda projenin

belirlenen bir olasılık değeri için ne kadar süre içinde tamamlanması gerektiği aynı formül

yoluyla hesaplanmaktadır.

14.3. Matris Metodu İle Çözüm Yöntemi

Kritik yolun tespitinde matris yönteminden yararlanılabilir. Bunun için öncelikle

şebekede mevcut olan olay sayısına eşit sayıda bir kare matris çizilmesi gerekir. Bu matrise bir

satır ve bir sütun, üstüne ve soluna gelecek şekilde ilave edilir ki matriste yer alan olayların

numaraları bu satır ve sütunlar aracılığı ile ifade edilebilsin. Aynı zamanda eklenen satır ve

sütun sayısı bir olabileceği gibi iki satır ve sütunda eklenebilir. Bu durumda kare matrise

eklenen birinci satır ve sütün yine olay sırasını gösterirken, ikinci eklenen satır ve sütuna ise

çözüm sırasında hesaplanacak olan en erken ve en geç tamamlanma zamanları yazılır. Bunun

için ayrıca satır veya sütun ilave etmeden direk bu oluşturulan matrisin kenarına da elde edilen

bilgiler yazılabilir.

Örnek:

Aşağıda olasılıklı faaliyet süreleri (�, � ve . değerleri) verilen projeye ilişkin faaliyet

sürelerinin beklenen değerlerini, varyanslarını bulunuz. Şebeke diyagramını oluşturunuz. Kritik

yolu belirleyiniz.

375

14.3.1. Faaliyetlere İlişkin Beklenen Süreler

î� = � + 4� + .6

î�(+) = 1 + 4.2 + 46 = 2,17 î�(,) = 3 + 4.5 + 96 = 5,33 î�(�) = 2 + 4.5 + 66 = 4,67 î�(Í) = 4 + 4.6 + 96 = 6,17 î�(�) = 5 + 4.7 + 126 = 7,5 î�(�) = 3 + 4.4 + 76 = 4,33 î�(©) = 5 + 4.5 + 56 = 5 14.3.2. Faaliyetlere İlişkin Varyanslar

��(+) = (4 − 1)�36 = 0,25 ��(,) = (9 − 3)�36 = 1 ��(�) = (6 − 2)�36 = 0,44 ��(Í) = (9 − 4)�36 = 0,69 ��(�) = (12 − 5)�36 = 1,36 ��(�) = (7 − 3)�36 = 0,44 ��(©) = (5 − 5)�36 = 0

376

Bu sonuçlardan sonra:

14.3.3. İleriye Doğru Hesap

14.3.4. Geriye Doğru Hesap

377

14.3.5. Projeye İlişkin Şebeke Diyagramı

Kritik Faaliyetler: Bollukların (Slack Time) sıfır olduğu Faaliyetler; A, B, E, G

Faaliyetleri

Kritik faaliyetlerin A-B-E-G faaliyetleri olduğu bulunmuştur. Buna göre toplam proje

süresinin beklenen değeri ("), varyansı (��) ve standart sapması (�) şu şekilde hesaplanır:

�(í) = í = " = 2,17 + 5,33 + 7,5 + 5 = 20gün í = " = � = 20gün

Proje toplam varyansı:

��( m#3$) = �� = ��% + ��s + ��& + ��'

��( m#3$) = (�m(í) = �� = 0,25 + 1,00 + 1,36 + 0 = 2,61 � = �(�m(í) = 1,62

Dolayısıyla Projeye ait standart sapma:

378

� = �2,61 = 1,62gün Proje süresi normal dağılıma uyduğuna göre normal dağılım açısından proje süresinin

grafiği aşağıda verilmiştir. Yaklaşık olarak ortalama değerin ± 3,5σ komşuluğu eğrinin altında

kalan alanın tamamını vermektedir. Bu ise yaklaşık % 99,98 ihtimali karşılamaktadır.

Buna göre projenin örneğin 22 günden önce bitme ihtimalini hesaplayacak olursak:

{í < 22} � = H − "�

� = 22 − 201,62 = 21,62 = 1,23 {0 < � < 1,23} = 0,3907

ù değeri normal dağılım tablosundan (veya örneğin Excel ile) � = 1,23 değerine göre

0,3907 (%39,07) olarak bulunmuştur. Bu değer projenin 20 ila 22 gün arasında tamamlanma

olasılığını vermektedir. Aşağıdaki şekil normal dağılım eğrisi üzerinden ihtimal değerinin

bulunmasını izah etmektedir. En geç 22 günde bitme olasılığı sorulduğu için, simetrik olan

standart normal dağılımın sol tarafındaki 0,5 lik alanı da toplamak gerekir.

{� < 1,23} = 0,5 + 0,3907 = 0,8907 Dolayısıyla proje %89,07 olasılıkla en geç 22 günde tamamlanır.

379

Projenin 22 günden fazla sürme ihtimali hesaplanacak olursa:

{í > 22} = Üí − "� > 22 − "� ) = Ü� > 22 − 201,62 ) {� > 1,23} = 1 − {� < 1,23} = 1 − 0,8907 = 0,1093

Buna göre projenin 22 günden daha fazla sürmesi ihtimali %10,93 gibi düşük bir

ihtimaldir. Bunun şekil üzerinden izahı aşağıda verilmiştir.

Projenin % 90 ihtimalle en geç kaç günde tamamlanacağını hesaplayınız:

0,90 = {� < î} = Ü� < î − "� ) Buradan:

�÷,�÷ = î − "�

0,90 − 0,50 = 0,40 0,40 olasılığına karşılık standart normal dağılım tablosundan � değeri aranır.

Z=0 T=20 +3,5 -3,5 25,67 14,33 1,23

0,5+0,3907 %89,07

22

Z=0 T=20 +3,5 -3,5 25,67 14,33 1,23

0,1043

22

%10,43

380

Z0,9 standart normal dağılımın % 90’lık kısmına denk gelen � değeri demektir. Normal

dağılım tablosundan bu değer 1,28 olarak okunur. Yukarıdaki formülde yerine koyarsak:

1,28 = î − "� => 1,28 ∗ 1,62 = î − 20 => î = 22,07 Buna göre projenin % 90 ihtimalle biteceği gün yaklaşık 22,07 gün olacaktır. Bunun

grafiksel olarak açıklaması aşağıda verilmiştir.

14.4. PERT Tekniğinin Avantaj ve Dezavantajları

PERT tekniği, projenin tamamlanma süresini belirli bir olasılık değerine bağlı olarak

verdiği için zamanlama ile ilgili bir değişiklik yapılması diğer yöntemlere göre daha kolaydır.

Bu yöntem ile projenin herhangi bir tarihte tamamlanma olasılığının yüzde kaç olduğu

hesaplanabilmektedir.

PERT tekniğinde, faaliyetlerin süresi ile değil beklenen değerleri ile analiz yapılır.

Bunun sebebi bu yöntem ilk defa uygulanacak bir analiz için söz konusudur dolayısıyla

faaliyetlerin süreleri kesin olarak tespit edilememektedir.

Bu yöntem için optimizasyon söz konusu değildir. Analiz sonuçları en iyi değerleri

vermez sadece yöneticiye fikir verir, kontrolün daha bilinçli bir şekilde yapılmasına yardımcı

olur. PERT analizinin en önemli dezavantajı ise faaliyet süreleri beta dağılımını izlemeyebilir.

Bu durumda faaliyetlerin beklenen sürelerinin beta dağılımına göre hesaplanan değerleri yanlış

olacaktır.

14.5. CPM ve PERT Yöntemlerinin Karşılaştırılması

CPM ve PERT teknikleri aynı amaca hizmet etmektedir. Her iki yöntemde de projeyi

planlama, programlama - uygulama ve kontrol aşamaları yer almaktadır. Her iki yöntemin

ulaşmak istediği asıl sonuç projenin hangi tarihte tamamlanacağını belirlemektir. İki teknik

birbirine benzemekle birlikte temelde önemli yapısal farklılıkları bulunmaktadır. Bu

farlılıklardan ilki faaliyet süreleri ile ilgilidir. CPM yönteminde faaliyet süreleri kesin, PERT

tekniğinde ise olasılıklıdır. Önemli ikinci farklılık ise bu yöntemlerin kullanım alanları ile

ilgilidir. CPM yöntemi daha önce yapılan ve hala yapılmakta olan proje konuları ile

Z=0 T=20 +3,5 -3,5 25,67 14,33 1,28

0,90

22,07

0,90

381

ilgilenmektedir. Bu sebeple önceki tecrübelere dayanarak faaliyet süreleri kesin olarak

belirlenebilmektedir. Ancak PERT tekniği için böyle bir durum söz konusu değildir. PERT

tekniğinin uygulama alanı ilk defa uygulanacak projelerden oluşmaktadır. Dolayısıyla faaliyet

süreleri tahmin edilen, beklenen sürelerdir ve kesin değildir. PERT tekniği ilk defa

gerçekleştirilecek bir projeye uygulanacağı için maliyet analizi yapılması çok güçtür ve sağlıklı

sonuç vermez. Maliyet analizi, projenin hızlandırılması gibi kavramlar CPM yöntemi içinde

gerçekleştirilen analizlerdir. CPM yöntemini en belirgin özelliği maliyet unsurunun çözüm

yöntemi içerisinde yer almasıdır.

CPM yönteminde önemli olan faaliyetlerin gerçekleştirilmesidir. Bu yöntemde

olaylardan çok faaliyetlerin gerçekleştirilmesine önem verilmektedir. CPM yöntemi PERT

tekniğinden ayrı olarak faaliyete yöneliktir. PERT tekniği ise faaliyetten çok olaya yönelik bir

yöntemdir.

İlk bakışta olasılıklı ve üç farklı zaman içerdiği için PERT tekniğinin daha gerçekçi

olduğu düşünülebilir ancak bu yöntem, CPM yöntemine göre daha az tercih edilir. Bu durumun

iki önemli nedeni vardır. Birincisi, beta dağılımına uygunluk gösterdiği varsayılan üç zamanı

tahmin etmek oldukça güçtür. Bunun yanı sıra faaliyet sürelerini belirleyen kişiler aşırı güvence

isterse, en kötümser zamanı yüksek belirleyebilir ve bu durum analiz sonuçlarını doğrudan

etkiler. İkincisi ise, faaliyet süreleri beta dağılımını izlemeyebilir.

Proje yöneticisi bazı şartlardan dolayı projeyi tamamlamada süreyi azaltmak isteyebilir.

Projedeki kritik bir faaliyetin süresi azaltılabilir ancak neredeyse her zaman doğrudan (direkt)

maliyetlerde artış ile sonuçlanır. Sürenin düşürülmesi ek maliyete değer mi sorusunu

yanıtlaması gerekir. Maliyet - süre analizinde projenin tamamlanma süresini belirleyen kritik

yoldaki faaliyetlere odaklanılır.

382

Standart Normal Dağılım Tablosu (�-tablosu)

c 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0.1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0.2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0.3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0.4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0.5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0.6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0.7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0.8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133

0.9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1.1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1.2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1.3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1.4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1.5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1.6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1.7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1.8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1.9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2.1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2.2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2.3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2.4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2.5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2.6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2.7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2.8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2.9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4991

383

Uygulamalar

PERT Örneği:

Projeye İlişkin Şebeke Diyagramı

384

Uygulama Soruları

1) PERT ile şebeke programlamada birden fazla kritik yol olması durumunda varyans nasıl hesaplanır?

385


Bu bölümde şebeke programlamada PERT Yöntemi üzerinde durulmuştur. CPM ve

PERT Yöntemlerinin farkları ortaya konmuş ve örnek sorular çözülmüştür. Ayrıca, standart

normal dağılım tablosunun (� dağılımı) kullanımı üzerinde durulmuştur.

386

Bölüm Soruları

1) Aşağıdakilerden hangisi PERT (Program Evaluation Review Technique)’de, proje

faaliyetlerinin sürelerinin belirlenmesinde kullanılan süre tiplerinden biri değildir??

a) İyimser süre

b) Olası Süre

c) Standart süre

d) Kötümser süre

e) İyimser, Olası ve Kötümser Süre

2) Kritik Yol ile ilgili olarak hangisi doğrudur?

a) En kısa yoldur

b) En uzun yoldur

c) Ne uzun ne kısa yoldur

d) Bollukları sıfırdan büyük olan faaliyetler içerir

e) Kritik olmayan faaliyetler kritik yolu oluşturur

3) Bir faaliyetin en erken başlangıç süresi 10, en geç başlangıç süresi 15 ise bolluğu ne

kadar olur?

a) 15

b) 10

c) 5

d) 1

e) 0

387

4) Bir faaliyetin süresi olasılıklı olup � = 3, � = 4 ve . = 11 ise faaliyetin beklenen

süresi ne kadardır?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 7,5

5) Bir faaliyetin süresi olasılıklı olup � = 3, � = 4 ve . = 11 ise faaliyetin beklenen

varyansı ne kadardır?

a) 16/9

b) 32/9

c) 64/9

d) 1

e) 0

6) Olasılıklı faaliyet süreleri olan bir projenin ortalama bitiş süresi � = 30 gün, ve

varyansı �� = 16 gün olarak hesaplanmış ise = 34 gün için � standardize değeri kaçtır?

a) 2,5

b) 2

c) 1,5

d) 1

e) 0

388

7) Olasılıklı faaliyet süreleri içeren bir projenin ortalama bitiş süresi � = 30 gün ve

standart sapması � = 4 gün ise bu projenin 26 günde daha fazla günde bitme olasılığı yüzde

kaçtır?

a) 15,87

b) 34,13

c) 50

d) 84,13

e) 100


standart sapması � = 4 gün ise bu projenin en geç 30 günde bitme olasılığı yüzde kaçtır?

a) 26,34

b) 34,13

c) 50

d) 84,13

e) 100



a) 26,34

b) 34,13

c) 50

d) 84,13

e) 100

389

10) Aşağıda verilen şebeke (ağ) diyagramında 4 faaliyetin beklenen süreleri verilmiştir.

Buna göre kritik yol süresi ne kadardır?

a) 5

b) 6

c) 8

d) 9

e) 10



a) 34,13

b) 68,26

c) 50

d) 15,87

e) 100

Cevaplar

1) c, 2) b, 3) c, 4) b, 5) a, 6) d, 7) d, 8) c, 9) d, 10) e, 11)d.

390

KAYNAKÇA

Ahmet, ÖZTÜRK, Yöneylem Araştırması, 7. Baskı, Bursa, Ekin Kitabevi Yayınları, 2001.

Bertsimas, D., Tsitsiklis, J.N. (1997) Introduction to Linear Optimization, Athena Scientific,

Belmont, Massachusetts

Cinemre, N.,( 2011), Yöneylem Araştırması, 2. Basım.

Clapham, C., (1996). Coincise Dictionary of Mathematics, (2 nd ed.).

Çetin, E., 2004-2014 İ.Ü. İşletme Fakültesi Yayınlanmamış Ders Notları.

Dennis G. Zill, Calculus, PWS Publishing Company, Boston, 1993

Doğan , İ. “Yöneylem Araştırması Teknikleri ve İşletme Uygulamaları” Bilim Teknik

Yayınevi, İstanbul.

Doğrusöz, H. (2001). Cumhuriyet Döneminde Türkiye'de Bilim "Sosyal Bilimler" Yöneylem

Araştırması. Mayıs 28, 2013. Çevrimiçi: http://akgul.web.tr/yazilar/temp/sosyal.html

Ergün Eroğlu, İşletme Matematiği Yayınlanmamış Ders Notları, İÜ İşletme Fakültesi, İstanbul,

1996-2015

Ernest F. Haeussler, Richard S. Paul, Introductory Mathematical Analysis for Business,

Economics and the Life and Social Sciences, Tenth Edition, Prentice Hall, USA, 2002

Esin, A., “Yöneylem Araştırmasında Yararlanılan Karar Yöntemleri”, Gazi Kitabevi, Ankara.

Hanna M.E. (2003) "Quantitative Analysis for Management", Pearson Education Inc.

Howard Anton, Elemantary Linear Algebra, Fourth Edition, John Wiley and sons, Canada,

1984

İhsan Kaya, Karar Teorisi, Markov Süreçleri, Yıldız Teknik Üniversitesi, Endüstri

Mühendisliği Bölümü Ders Notları, Şubat 2017, İstanbul

Jean E. Draper, Jane S. Klingman, Mathematical Analysis Business and Economic

Applications, Harper and Row, Tokyo, 1967

Karayalçın, İ., “Endüstri Mühendisliği ve Üretim Yönetimi El Kitabı Cilt II” Çağlayan

Kitabevi, İstanbul.

King, J.P.,( 2004). Matematik Sanatı, (16. baskı), Çev. Nermin Arık.

Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley : Calculus for Business, Economics and the

Social and Life Sciences, McGraw Hill, Fourth Edition, USA, 1989

391

Lieberman , H. (2005), " Introduction to Operations Research ", Eigh Edition, Mc-Graw-Hill ,

Singapore

Mond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen, Calculus for Business, Economics, Life

Sciences and Social Sciences, 12. Basımdan Çeviri, Nobel Yayınevi, 2011

Öner Esen, Yöneticiler için Bilgisayar Destekli Karar Modelleri, Uygulamalı Yöneylem

Araştırması - Excel ile Modelleme ve Çözüm Uygulamaları, Çağlayan Kitabevi, Beyoğlu,

İstanbul, 2008

Öztürk, A., (2012), Yöneylem Araştırması, Ekin Kitabevi Yayınları, Bursa

Powell, S.g., Baker, K.R. (2009), "Management Science: The Art of Modeling with

Spreadshhets", 2nd Edition, John Wiley and Sons.

Ragsdale C.(2008), "Managerial Decision Modeling", Revised Edition, South-Western, Canada

Rardin R.L. (1998) "Optimization in Operations Research", Prentice Hall Inc.

Render B., Stair R.M. Jr., Hanna M.E. (2003) "Quantitative Analysis for Management",

Pearson Education Inc.

Sevüktekin, M., 1992. Ekonometrik Simulasyon Modelleri, Uludağ Üniversitesi İktisadi İdari

Bilimler Fakültesi Dergisi, Cilt:XIII, Sayı:1-2, Bursa, 235.

Sezen, H. K., Yöneylem Araştırması, Ekin Kitabevi Yayınları, Bursa

Taha H.A. (2000) "Yoneylem Arastirmasi", Literatur Yayincilik (cev. Alp Baray ve Sakir

Esnaf)

Taylor B.W. III (2002) "Introduction to Management Science", Pearson Education Inc.

Timor, M., (2010), Yöneylem Araştırması, Türkmen Kitabevi, İstanbul.

Winston, W. L., (2004) Operations Research: Applications and Algorithms , Fourth Edition.

Yılmaz Tulunay, İşletme Matematiği, Nobel Yayın Dağıtım, 4. Baskı, Ankara, 2006

Yılmaz Tulunay, Matematik Programlama, Renk-İş Matbaası, 3. Baskı, İstanbul, 1991

392

TABLOLAR

Standart Normal Dağılım Tablosu (�-tablosu)

c 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0.1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0.2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0.3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0.4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0.5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0.6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0.7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0.8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133

0.9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1.1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1.2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1.3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1.4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1.5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1.6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1.7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1.8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1.9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2.1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2.2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2.3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2.4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2.5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2.6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2.7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2.8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2.9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4991

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASIauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/kok/yoneyaras.pdf · barındıran,...

Documents

Transcript of YÖNEYLEM ARAŞTIRMASIauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/kok/yoneyaras.pdf · barındıran,...