YÖNEYLEM ARAŞTIRMASIauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/kok/yoneyaras.pdf · barındıran,...
Transcript of YÖNEYLEM ARAŞTIRMASIauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/kok/yoneyaras.pdf · barındıran,...
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI
ORTAK DERS
PROF. DR. ERGÜN EROĞLU
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
ORTAK DERS
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI
Prof. Dr. Ergün Eroğlu
Yazar Notu
Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.
i
ÖNSÖZ
Sevgili öğrenciler;
Yöneylem Araştırması, çeşitli matematiksel yöntemleri kullanarak karar verme
ortamlarında karar vericiye yardım sağlayan bir yöntemler dizisidir. İşletme Yöneticisinin karar
verme fonksiyonuna yardımcı olmayı amaçlayan sayısal yaklaşım ve teknikleri içinde
barındıran, matematik-istatistik modelleri kurmak ve model üzerinde işlem yapmayı kapsar.
Karar sürecinde kantitatif analizlerin de katılmasının nedeni, daha iyi daha etkin karar vermede
yardımcı olmasıdır. Diğer bir açıdan yönetimin dört temel fonksiyonu olan planlama, organize
etme, yönetme ve kontrol etmede sayısal tekniklerden yararlanılmaktadır. Tüm dünyada; askeri
alanlar, sağlık-tıp alanları, ekonomi, işletme alanı, finans alanı gibi örneklerin verilebileceği ve
bu örneklerin daha da çoğaltılabileceği daha pek çok alanda uygulamaları olan bir bilim dalıdır.
Siz sevgili öğrencilerimizi geleceğe hazırlamak amacıyla sunduğum bu ders notumda
gözden kaçan eksiklikler ve farkına varılmamış hatalarım olduysa, bu konuda sizlerden gelecek
katkılarla ve her türlü görüşünüz ile sorunların en aza indirilebileceğini ümit etmekteyim.
Son olarak siz değerli öğrencilerimiz dersimize HOŞGELDİNİZ… Sizleri aramızda
görmekten mutluluk duymaktayım. Üniversite hayatınızda başarı merdivenlerini koşarak
çıkmanız dileğiyle…
“Yöneylem Araştırması” adlı ders notumun öğrencilerime dersten başarılı olmaları için
yardımcı kaynak oluşturması dışında çok daha önemlisi problem çözme ve sayısal düşünme
alışkanlıklarını kazandırması yönünde yararlı bir kaynak olmasını dilerim.
Prof. Dr. Ergün EROĞLU
İstanbul Üniversitesi, 2019
ii
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ .................................................................................................................................................... i
İÇİNDEKİLER ...................................................................................................................................... ii
KISALTMALAR ................................................................................................................................... v
YAZAR NOTU ..................................................................................................................................... vi
1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ .................................................................................. 1
1.1. Yöneylem Araştırmasının Tarihsel Gelişimi ............................................................................... 8
1.2. Yöneylem Araştırmasının Türkiye’deki Tarihçesi ...................................................................... 9
1.3. Yöneylem Araştırmasının Tanımı ............................................................................................... 9
1.4. Yöneylem Araştırmasının Uygulama Alanları .......................................................................... 10
1.5. Yöneylem Araştırmasının Özellikleri ........................................................................................ 11
1.6. Bilimsel Yöntemin Aşamaları ................................................................................................... 12
2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE MODEL KURMA ....................................................... 24
2.1. Giriş ........................................................................................................................................... 29
2.2. Doğrusal programlama Tekniği Varsayımları ........................................................................... 29
2.3. Doğrusal Programlama Probleminin Matematiksel Modeli ...................................................... 30
2.4. Doğrusal Programlama Probleminin Grafik Yöntemle Çözümü ............................................... 37
3. SİMPLEKS YÖNTEM ( MAKSİMİZASYON PROBLEMİ ) ................................................ 54
3.1. Giriş ........................................................................................................................................... 59
3.2. Simpleks Yöntem ...................................................................................................................... 59
3.3. Simpleks Yöntemle Çözüm Aşamaları ...................................................................................... 62
4. SİMPLEKS YÖNTEM (MİNİMİZASYON PROBLEMİ) ..................................................... 78
4.1. Minimizasyon Probleminin Simpleks Yöntemle Çözümü ........................................................ 84
5. DUALİTE VE DUYARLILIK ANALİZİ ............................................................................... 100
5.1. Dualite (İkilik veya İkincil Problem) ....................................................................................... 106
5.2. Duyarlılık Analizi .................................................................................................................... 109
5.3. Amaç Fonksiyonu Katsayılarındaki Değişim .......................................................................... 110
5.4. Sağ Taraf Sabitlerindeki Değişim ve Gölge Fiyat ................................................................... 113
5.5. Sağ Taraf Sabitlerindeki (��) Değişim .................................................................................... 115
6. TAMSAYILI PROGRAMALAMA ......................................................................................... 127
6.1. Tamsayılı Programlama Türleri............................................................................................... 135
6.2. Tamsayılı Programlama ile İlgili Problemler .......................................................................... 137
6.3. Özel Tamsayılı Programlama Problemleri .............................................................................. 138
6.4. Tamsayılı Programlama Problemlerinin Çözüm Yöntemleri .................................................. 141
7. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA UYGULAMASI: TRANSPORT PROBLEMİ .............. 156
iii
7.1. Transport Probleminin Doğrusal Programlama ile Modellenmesi .......................................... 162
7.2. Ulaştırma Algoritması ............................................................................................................. 167
7.3. Kuzeybatı Köşe Yöntemi ........................................................................................................ 167
7.4. Minimum Maliyetli Atama Yöntemi (Kestirme Dağıtım) ....................................................... 168
7.5. Vogel Yaklaşım Yöntemi (Metodu) (VAM) ........................................................................... 169
7.6. Atlama Taşı (Boş Hücre Çevrimleri) ....................................................................................... 172
7.7. MO-Dİ (Modified Distribution) Yöntemi ............................................................................... 174
7.8. Ulaştırma Problemlerinde Dejenerasyon ................................................................................. 178
7.9. Yasaklanmış Yol Problemi ...................................................................................................... 179
8. ÇOK AMAÇLI KARAR VERME: HEDEF PROGRAMLAMA ......................................... 190
8.1. Hedef Programlama ................................................................................................................. 196
8.2. Hedef Programlama ve Doğrusal Programlama Arasındaki Farklar ....................................... 199
8.3. Hedef Programlamanın Formülasyonu .................................................................................... 200
8.4. Hedef Programlama Türleri ..................................................................................................... 204
9. ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME: ANALİTİK HİYERARŞİ PROSES ......................... 215
9.1. Giriş ......................................................................................................................................... 220
9.2. Karar Verme ............................................................................................................................ 220
9.3. Analitik Hiyerarşi Prosesi ........................................................................................................ 221
9.4. Hiyerarşik Yapının Oluşturulması ........................................................................................... 222
9.5. İkili Karşılaştırma Matrislerinin Oluşturulması ...................................................................... 223
9.6. Önceliklerin Belirlenmesi ........................................................................................................ 225
9.7. Karşılaştırma Matrislerinin Tutarlılık İncelemesi ................................................................... 225
9.8. Bütünleştirme .......................................................................................................................... 228
10. OYUN TEORİSİ .................................................................................................................... 243
10.1. Oyun Teorisi ile İlgili Kavramlar ........................................................................................ 249
10.2. Denge Kavramı ve Nash Dengesi ........................................................................................ 251
10.3. Oyunda Strateji Kavramı ..................................................................................................... 251
10.4. Ödemeler (Getiri-Kazanç) Matrisi ....................................................................................... 252
10.5. Oyun Teorisinin Temel Mantığı .......................................................................................... 252
10.6. Karma Stratejili Oyunlar ve Çözüm Yöntemleri ................................................................. 255
10.7. Oyun Kuramında Grafik Yöntem ........................................................................................ 257
11. MARKOV ANALİZİ ............................................................................................................ 269
11.1. Markov Analizi .................................................................................................................... 275
11.2. Markov Analizi ile ilgili Kavramlar ve Markov Zinciri ...................................................... 276
11.3. Başlangıç olasılıkları ........................................................................................................... 277
11.4. Stokastik Süreçlerin Sınıflandırılması ................................................................................. 280
iv
11.5. Ergodik Markov Zinciri ....................................................................................................... 289
11.6. Denge Durumu .................................................................................................................... 289
12. SİMÜLASYON ...................................................................................................................... 301
12.1. Simülasyon Modellerinin Sınıflandırılması ......................................................................... 309
12.2. Çeşitli Dağılımlara Uygun Rasgele Sayı Üretimi ................................................................ 309
12.3. Bir Simülasyon Modelinin Çözüm Aşamaları ..................................................................... 310
12.4. Simülasyon ne zaman kullanılmalıdır? ................................................................................ 311
12.5. Simülasyonda Kullanılacak Yöntemin Belirlenmesi ........................................................... 313
12.6. Simülasyon Nasıl Yapılır? ................................................................................................... 315
12.7. Simülasyonda Dağılımın Belirlenmesi ................................................................................ 315
12.8. Simülasyonda Deneme Sayısının Bulunması ...................................................................... 321
13. ŞEBEKE PROGRAMLAMADA KRİTİK TOL YÖNTEMİ (CPM) ............................... 329
13.1. Şebekenin Kurulması ........................................................................................................... 336
13.2. İş Programlarının Hesaplanmasında Genel Bilgiler ............................................................ 336
13.3. Tabloların Düzenlenmesi ..................................................................................................... 337
13.4. Proje Planlamada Ağ (Network) Diyagramı ....................................................................... 337
13.5. İş Paketlerinden Ağ Diyagramlarına ................................................................................... 338
13.6. Proje Ağ (Network) Diyagramının Çizilmesi ...................................................................... 339
13.7. Proje Şebeke Çizim Metotları ............................................................................................. 340
13.8. Ağ Diyagramının Temel Kuralları ...................................................................................... 341
13.9. (Activity-On-Node) Metodunun Temelleri ......................................................................... 341
13.10. Kritik Yol Yöntemi-CPM .................................................................................................... 343
13.11. Ağ Hesaplama Süreci .......................................................................................................... 345
13.12. İleriye Doğru Hesap ............................................................................................................ 348
13.13. AON - Geriye Doğru Hesap ................................................................................................ 349
13.14. AOA (Activity on Arrow) ................................................................................................... 350
13.15. Proje Ağ Yapısının Gerçek Hayatla Bütünleştirilmesi ........................................................ 352
14. ŞEBEKE PROGRAMLAMADA PERT YÖNTEMİ ......................................................... 364
14.1. PERT Yönteminde Faaliyet Sürelerinin Belirlenmesi ......................................................... 370
14.2. Kritik Yolun Tespiti ............................................................................................................ 373
14.3. Matris Metodu İle Çözüm Yöntemi..................................................................................... 374
14.4. PERT Tekniğinin Avantaj ve Dezavantajları ...................................................................... 380
14.5. CPM ve PERT Yöntemlerinin Karşılaştırılması ................................................................. 380
KAYNAKÇA ..................................................................................................................................... 390
TABLOLAR ....................................................................................................................................... 392
v
KISALTMALAR
AHP: Analitik Hiyerarşi Proses
CPM: Kritik Yol Metodu
ÇKKV: Çok Kriterli Karar Verme
ÇNKV: Çok Nitelikli Karar Verme
DP: Doğrusal Programlama (Lineer Programlama)
HP: Hedef Programlama
LP: Lineer Programlama
NLP: Nonlineer Programlama
OR: Operation Research (Yöneylem Araştırması)
OYF: Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
PERT: Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği
RAM: Russel Atama Metodu
SKV: Sayısal Karar Verme
SKVT: Sayısal Karar Verme Teknikleri
TP: Tamsayılı Programlama
ÜP: Üretim Planlama
ÜPK: Üretim Planlama ve Kontrol
VAM: Vogel Atama Metodu
YA: Yöneylem Araştırması
RAM: Russel Atama Metodu
vi
YAZAR NOTU
Değerli öğrencilerim,
Bu çalışma ile tüm okuyuculara Yöneylem Araştırması konusunda gerekli temel
bilgilerin verilmesi amaçlanmıştır. Özellikle çok yıllar okumaya ara vermiş olan veya sayısal
temelim yok diyen kıymetli öğrencilerimiz;
İşletme Eğitiminde başarı sağlayabilmenin temeli sayısal derslerdeki başarıdan geçer.
Sayısal tarafınızı daha da güçlendirebilmek sizin elinizdedir. Size kolaydan zora doğru gidecek
biçimde temelden başlayarak Yöneylem Araştırması bilgilerini bu ders notu ile paylaşmış
bulunmaktayım. Ders notunu baştan sona çalışarak ilerlediğiniz ve çözümlü soruları anlayıp,
test sorularını da çözdüğünüz takdirde başarı kendiliğinden gelecektir.
İyi bir ders yılı geçirmeniz dileği ile.
Prof. Dr. Ergün EROĞLU
İstanbul Üniversitesi
1
1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ
2
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
1.1. Yöneylem Araştırma nedir ne değildir?
1.2. Matematiksel model
1.3. Yöneylem Araştırmasının Geçmişi
1.4. Yöneylem Araştırmasının Uygulama Alanları
1.5. Bilimsel Yöntemin Aşamaları
3
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Yöneylem Araştırması nedir?
2) İşletme problemlerinin matematiksel modelleri nasıl oluşturulur?
4
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Yöneylem
Araştırmasının Tanımı
Yöneylem Araştırmasını
tanımlayabilmek Okuyarak, Tekrar yaparak
Matematiksel Model
Kurma
Model nasıl kurulduğunu
öğrenmek
Okuyarak, Fikir yürüterek,
Tekrar ederek
Model kurma aşamaları Model kurmanın aşamalarınnı
öğrenmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek çözerek
YA Geçmiş YA hakkında geçmiş bilgileri
öğrenmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek çözerek
5
Anahtar Kavramlar
• Yöneylem Araştırması
• Matematiksel Model Kurma
• YA Uygulama Alanları
6
Giriş
Yöneylem Araştırması’ndaki “Yöneylem” kelimesi yönetim ve eylem kelimesinden
türetilmiş harekat anlamına gelen bir kelimedir. Yöneylem araştırması, “Harekat
Araştırtırması” ismiyle Dünyada ve ülkemizde ilk olarak askeri alanda kullanılmaya ve
geliştirilmeye başlanmıştır.
Yöneylem araştırması; bir organizasyon içinde operasyonların koordinasyonu ve
yürütmesi ile ilgili dünyanın gerçek karmaşık sorunları için fikir üretmede matematiksel
modelleme, istatistik ve algoritma gibi sayısal yöntemleri kullanan disiplinlerarası bir bilimdir.
Soruna bilimsel olarak en uygun çözümü sağlamak için bu bilimi kullandıktan sonraki hedef
organizasyonun performansını iyileştirmek ve optimize etmektir. Amerikan İngilizcesi ile
“Operations Research”, İngiliz İngilizcesi ile “Operational Research” olarak adlandırılan
“Yöneylem Araştırması (YA)”; belirli kısıtların olduğu bir durumda, belirli bir amaca yönelik
en uygun çözümün bulunması için geliştirilmiş bilimsel yöntemler dizisidir.
Yöneylem araştırmasının adındaki "operation" kavramı II. Dünya Savaşı sırasındaki
askeri operasyonları anlatmak için kullanılmıştır. 1969 yılına kadar Harekât Araştırması olarak
Türkiye'de öncelikle askeri kurumlarda, daha sonra üniversiteler ile kamu kurumlarında
kullanılmaya başlanmıştır. Yöneylem Araştırması Derneği'nin (YAD) kurucuları arasında da
yer alan Halim Doğrusöz'ün önerisi ile bu disiplinlerarası bilim dalı Yöneylem Araştırması
olarak tanınır hale gelmiş ve bir çok alanda uygulama bulmuştur.
Kavramsal açıdan Yöneylem Araştırması ile Yönetim Bilimi (Management Science)
modern bilim açısından aynı anlamdadır. Yönetim Bilimi (ya da Yöneylem Araştırması),
işletmecilik alanındaki örgütsel çalışmaları ele alan Yönetim Bilimleri ile birbirlerinden
kuramsal olarak ayrılan dallar olarak ele alınmaktadır.
Yöneylem araştırması işletmecilik, işletme yöneticiliği ve mühendislik alanları ile
yakından ilişkilidir. İşletmeci ve mühendis bakış açısıyla, yöneylem araştırması teknikleri
problem belirleme, model kurma ve problem çözmede başlıca araç olarak düşünülürler.
Yöneylem araştırmacıları tarafından kullanılan öncelikli araçlar istatistik, optimizasyon,
kuyruk kuramı, oyun kuramı, çizge kuramı, karar analizi ve simülasyondur. Bu alanların sayısal
niteliğinden dolayı yöneylem araştırması bilgisayar bilimleri ile de ilgilidir. Dolayısıyla
yöneylem araştırmacıları özel olarak yazılmış ya da hazır yazılımları kullanırlar.
Yöneylem araştırması, spesifik elemanlara yönelmektense sistem genelini ele alarak
bütünüyle geliştirme yeteneğiyle diğerlerinden ayrılır. Yeni bir problemle karşılaşan yöneylem
araştırmacısının hangi tekniklerin sistemin doğasına, geliştirme hedeflerine, zaman ve hesap
gücü kısıtlarına en yatkın olduğuna karar vermesi beklenir. Bu ve diğer nedenlerden ötürü insan
etkeni yöneylem araştırması için yaşamsaldır. Öteki herhangi araçlar gibi yöneylem araştırması
teknikleri problemleri kendi başlarına çözemezler.
Çok sayıda teknik ve bilimsel yaklaşımı içeren Yöneylem Araştırması genellikle kıt
kaynakların paylaşımının söz konusu olduğu sistemlerin en iyi şekilde tasarlanması ve
7
işletilmesine yönelik karar problemlerine bilimsel yaklaşımın uygulanmasını amaçlamaktadır.
Bilimsel metotlarla problem çözme çalışmalarının başlangıcı çok eskilere dayanmakla birlikte
günümüzde yöneylem araştırması olarak adlandırılan bilim dalının temelleri İkinci Dünya
Savaşı yıllarında atılmıştır. Savaş yıllarında stratejik ve taktik seviyede çeşitli askeri
problemlerin analizi ve muharebelerdeki etkinliğin artırılmasına yönelik olarak çeşitli teknikler
geliştirilmiş ve bunlar yoğun olarak uygulanmıştır. Matematiksel modelleme ve bilimsel
metotların askeri harekatlara uygulanması ve etkinliğin artırılması amacıyla yapılan
optimizasyon çalışmaları sonucunda geliştirilen teknikler Operations Research (Yöneylem
araştırması) olarak adlandırılmıştır.
8
1.1. Yöneylem Araştırmasının Tarihsel Gelişimi
Gerek otomobil, televizyon, silah gibi elle tutulur bir ürünün üretilebilmesi, gerekse ulaşım,
eğlence, güvenlik gibi insanların çeşitli ihtiyaçlarını karşılayan hizmetlerin sağlanabilmesi için
bazı kaynakların kullanılması gerekir. Kaynak deyince faaliyetlerin gerçekleştirilmesinde
kullanılan ve çeşitli işlemlerin sonunda bir ürüne ya da hizmete dönüşen her şeyi aklımıza
getirebiliriz. (Örneğin; zaman, insan gücü, para, arazi, teknoloji gibi).
Zaman ilerledikçe yeryüzündeki kaynaklardan bazıları azalmış, öbür yandan mevcut kaynakları
kullanacak olan insanların sayısı artmış ve teknolojik yönden gelişmiş özellikleri olan araç ve
gereçler üretilmeye ve kullanılmaya başlanmıştır. Aynı zamanda insanların bilgi ve kültür
seviyeleri artmış ve insanlar temel ihtiyaçlarını karşılamanın ötesinde, ortaya çıkan daha başka
ihtiyaçlarının da karşılanmasına yönelik olarak günlük hayatta kullandığı eşyalara ve
yararlandığı hizmetlere olan beklentilerini yükseltmeye başlamışlardır. Diğer yandan farklı
yeteneklere, uzmanlık alanlarına ve bilgi düzeyine sahip insanlar karmaşık yapıdaki araç, gereç
ve malzemelerden oluşan organizasyonların yönetimi ve en yüksek verimi elde edecek şekilde
eldeki kaynakların organizasyonunun faaliyetlerine paylaştırılması önemli bir problem olarak
kendini hissettirmeye başlamıştır. Özellikle 18. yüzyılın sonlarına doğru başlayan endüstri
devrimi bu değişimin daha da hızlanmasına ve daha büyük organizasyonların oluşmasına yol
açmıştır. Bu gelişmelerin sonucu olarak günlük hayatta karşılaşılan çeşitli problemler ile ilgili
karar vermeye yardımcı olmak amacıyla, problemlerin çözümünde kullanılabilecek bilimsel
metotların geliştirilmesine yönelik çalışmalar başlamıştır. Pek çok alandaki çeşitli problemlerin
çözümünde kullanılabilecek teknikleri içeren Yöneylem araştırması bilim dalı böyle bir
arayışın sonunda ortaya çıkmış, bilim adamlarının katkılarıyla gittikçe zenginleşmiş ve ilk
yıllarından itibaren karar problemlerinin çözümünde yoğun olarak kullanılmaya başlamıştır.
Bazı bilimsel çalışmalar sonucunda geliştirilen yöntemler, askeri alanlarda kullanılmak
amacıyla daha da geliştirilerek, özellikle ABD hava kuvvetleri faaliyetlerinin etkinlik
sağlayacak şekilde planlanmasında kullanılmıştır. Bu çalışmaları yürüten G.B. Dantzig çalışma
kapsamını genişleterek ABD’nin tüm askeri faaliyetlerinin planlanmasına yönelik doğrusal
programlama yaklaşımını geliştirmiş ve Simpleks çözüm yöntemini ortaya koymuştur.
Simpleks çözüm yönteminin geliştirilmesinden sonra doğrusal programlama teorisinde de
önemli gelişmeler sağlanmıştır. Robort Dorfman, doğrusal programlama yaklaşımını tam
rekabet ve monopol koşulları altında çalışan iktisadi öğelere uygulamış ve geleneksel marjinal
analiz (cebirsel) ile doğrusal programlama modellerinin uygulanabilirliğini karşılaştırmıştır.
Daha sonraki yapılan çalışmalarda, iktisatçılar ve matematikçiler “Dualite Teorisi”ni
geliştirmişlerdir. 1950’lerden sonra R.Bellman dinamik programlama ve H. Kuhn ile A. Tucker
doğrusal olmayan programlama modellerini geliştirmişlerdir.
Yöneylem araştırması bilim dalının temelleri İkinci Dünya Savaşı sırasında, İngiltere’de savaş
araç ve gereçlerinin, limanlarda daha kısa sürede gemilere yüklenmesini ve boşaltılmasını
sağlayacak bir yöntemin araştırılmasıyla atılmıştır. İngiliz Savunma Bakanlığı bu karmaşık
problemleri çözmek ve askeri harekâtlardaki etkinliği artırmak amacıyla çeşitli disiplinlerdeki
bilim adamlarından oluşan ekipler teşkil ederek bir dizi çalışma başlatmıştır. İşlemsel, eylemsel
9
ve uygulamaya yönelik araştırma anlamına gelen bu yöntem Türkiye’de yöneylem araştırması
olarak tanınmıştır.
1.2. Yöneylem Araştırmasının Türkiye’deki Tarihçesi
Başlangıçta “Harekât Araştırması” adı verilen Yöneylem araştırmasının Türkiye’ye girişi, pek
çok alanda olduğu gibi, Türk Silahlı Kuvvetlerinin öncülüğünde olmuştur. Ülkemizde
oluşturulan ilk yöneylem araştırması birimi, 19 Ağustos 1954 tarihinde Genelkurmay
Başkanlığı bünyesinde kurulan “İlmi İstişare Kurulu Müdürlüğü” olup, gerçek anlamdaki ilk
yöneylem araştırması grubu 1 Haziran 1956 tarihinde yaklaşık 10 yedek subaydan
oluşturulmuştur. Bu müdürlüğün adı 1957 yılında “İlmi İstişare ve Geliştirme Kurumu” kısaca
İLGE olarak değiştirilmiştir. 1958 yılında adı AR-GE olarak değiştirilen birim, 1970 yılına
kadar Genelkurmay Başkanlığına bağlı olarak, 1970 sonundan itibaren ise Milli savunma
Bakanlığı bünyesinde faaliyetlerini sürdürmüştür. 1973 yılında Genelkurmay Başkanlığında
Savunma Araştırması Dairesi Başkanlığı kurulmuş ve yöneylem araştırması faaliyetleri bu
başkanlık bünyesinde sürdürülmüştür. 1993 yılında başkanlığın adı Silahlanma ve Savunma
Araştırma Dairesi olmuştur.
Sivil kesimde ise ilk olarak 1 Eylül 1965 tarihinde TÜBİTAK bünyesinde bir Yöneylem
Araştırması ünitesi oluşturulmuş, 1973 yılında Gebze Marmara Bilimsel ve Endüstriyel
Araştırma Enstitüsünün bir ünitesi olarak faaliyetlerine devam etmiş ve 1992 yılında “Sistem
Analizi” adı verilerek yeni bir birime dönüştürülmüştür. Eğitim alanında ilk uygulamalar
İstanbul Teknik Üniversitesi ve Orta Doğu Teknik Üniversitesinde başlatılmış ve kısa bir süre
sonra Kara Harp Okulu da yöneylem araştırması derslerini ders programına eklemek suretiyle
öncülük yapan okullar arasında yer almıştır. Bu gelişmeyi daha sonraki yıllarda gerek yöneylem
araştırması derslerini programa koymak ve gerekse yüksek lisans ve doktora programları açmak
suretiyle diğer üniversiteler takip etmiştir.
1.3. Yöneylem Araştırmasının Tanımı
Yöneylem Araştırması denince akla ilk gelen kelime optimizasyondur. Optimizasyon kelime
olarak “en iyiyi elde etme” şeklinde tanımlanabilir. Bu da bize amaç doğrultusunda eldeki
kaynakları kullanarak problemlerin optimal (en iyi, en verimli) çözümünün bulunmasını ifade
eder.
Yöneylem, karmaşık sorunların çözümünde ve incelenmesinde bilimsel ve özellikle
matematiksel yöntemlerin uygulanışı; yöneylem araştırması ise herhangi bir problemi
yöneylem yöntemine göre araştırma, incelemedir (Türk Dil Kurumu, 1998).
Yöneylem araştırması endüstri, iş dünyası, yönetim ve savunma alanlarında; insan, makine,
malzeme ve paradan oluşan büyük sistemlerin yönetiminde ortaya çıkan karmaşık problemlerin
çözümünde bilimsel metotların uygulanmasıdır. Amaç yönetim politikasının ve faaliyetlerin
bilimsel olarak saptanmasına yardımcı olmaktır.
10
Yöneylem araştırması sistemlerin karşılaştıkları problemlerde, disiplinlerarası bir ekiple,
bilimsel metotları kullanarak ve problemin kontrol edilebilir unsurları ile ilgili alternatifleri
değerlendirmek suretiyle optimal (en uygun) çözümü bulmayı amaçlar. Yöneylem araştırması
gerçek hayattan kaynaklanan ve çoğunlukla sınırlı kaynakların paylaştırıldığı deterministik ve
olasılıklı problemlerin modellenmesi ve optimal kararın verilmesi ile ilgilenir.
Bu tanımları incelediğimizde, kaynak kıtlığı, karar verme süreci, bilimsel yaklaşım, modelleme,
optimal çözüm gibi anahtar terimlerin yöneylem araştırmasının tanımlanmasında önemli rol
oynadığını görürüz. Yöneylem araştırmasının başta üretim, yönetim, mühendislik, ekonomi,
sosyal bilimler, savunma planlaması olmak üzere pek çok gerçek hayat probleminde çok çeşitli
uygulamalarını görmek mümkündür. Bu problemlere baktığımız zaman gerçekten de çok büyük
bölümünde eldeki sınırlı kaynakların paylaştırılmasına yönelik bir yaklaşıma ihtiyaç
duyulduğunu görürüz. Bu gibi problemlerin çözümünde gerekli olan bakış açısı ve uygun
yaklaşımın, yöneylem araştırmasında olduğu gibi, bilimsel analiz yoluyla sağlanabileceğini
söyleyebiliriz.
1.4. Yöneylem Araştırmasının Uygulama Alanları
Bir karar verme probleminin çözümü aşağıdaki üç temel unsurun belirlenmesini gerektirir.
1. Karar alternatifleri nelerdir?
2. Hangi sınırlamalar altında karar verilecektir?
3. Alternatifleri değerlendirmede kullanılacak uygun amaç kriteri nedir?
Yöneylem araştırması, bir örgütün etkili çalışmasını sağlamak için sorunlarını ortaya
çıkartmada ve bunların çözümü ile örgütün geliştirilmesinde kullanılır. Örgütün işleyişine ve
ürününe ilişkin en kapsamlı ve bilimsel dönüt toplama yöntemlerinden biri yöneylem
araştırmasıdır. Bu yöntem, gerekli alanlardan uzmanların oluşturduğu takımlarca
uygulanmalıdır. Yine bu yöntemle yapılacak araştırmalar sürekli olmalıdır.
Yöneylem araştırmasını kullanarak hangi alanlarda ne gibi çalışmalar yapılabileceği konusunda
bir fikir oluşturması için yöneylem araştırmasının en yaygın uygulama alanları Tablo 1’de
verilmiştir. Bunların yanında askeri faaliyetlerle ilgili olarak, çeşitli seviyelerdeki taktik ve
lojistik planlamalarda da yöneylem araştırması teknikleri kullanılmaktadır. Yöneylem
araştırmasının en yaygın askeri kullanım alanları da Tablo 2’de gösterilmektedir.
Tablo 1 Yöneylem Araştırmasının Uygulama Alanları
1. Üretim planlama 16. Malzeme ve envanter yönetimi
2. Üretim çizelgeleme 17. Tahmin ve kestirme yöntemleri
3. Verimlilik analizi 18. Esnek imalat sistemleri
4. Toplam kalite yönetimi 19. Karar modelleri
11
5. Proje yönetimi 20. Rassal süreçler
6. Taşıma/ulaşım 21. Tesis yer seçimi ve dağıtım
7. Stratejik planlama 22. Maliyet analizi
8. Kent hizmetleri yönetimi 23. Finansal planlama
9. Yatırım planlama 24. Bütçe planlama ve kontrol
10. Savunma uygulamaları 25. Bakım planlaması
11. Optimizasyon 26. Enerji planlaması
12. Benzetim 27. Performans ölçümü
13. Bilgisayarla bütünleşik imalat 28. Reorganizasyon
14. Tam zamanında üretim 29. İnsan gücü planlaması
15. Karar destek ve uzman sistemler 30. Yönetim bilişim sistemleri
Tablo 2 Yöneylem Araştırmasının Askeri Uygulama Alanları
1. Savunma planlarının oluşturulması 11. İkmal noktalarının belirlenmesi
2. Harekât ihtiyaçlarının analizi 12. İkmal dağıtım yollarının seçilmesi
3. Harekât planlaması 13. Kaynak planlaması
4. Birliklerin konuşlandırılması 14. Ulaştırma
5. Silah sistemlerinin geliştirilmesi 15. İnsan gücü planlaması
6. Taktik alternatiflerin seçimi 16. Kuvvet yapılarının değerlendirilmesi
7. Hedef analizi ve ateş planlaması 17. Bakım ve onarım
8. Kriz yönetimi 18. Tesis yeri seçimi
9. Lojistik faaliyetlerin planlanması 19. Savunma bütçesinin planlanması
1.5. Yöneylem Araştırmasının Özellikleri
Yöneylem araştırmasının temel olarak üç özelliği bulunmaktadır.
1. Bütünleşik yaklaşım (sistem yaklaşımı),
12
2. Disiplinlerarası yaklaşım ve
3. Bilimsel yönetimdir.
1.5.1. Bütünleşik Yaklaşım (Sistem Yaklaşımı)
Yöneylem araştırması problemi çözerken, o problemin ait olduğu organizasyonun bütün
unsurlarını, çevresini ve aralarındaki etkileşimi göz önünde bulundurur. Çünkü organizasyonun
herhangi bir unsurundaki bir değişiklik, diğer unsurları ayrı ayrı etkiler. Aynı şekilde
organizasyonun çevresindeki bir değişiklik organizasyonun faaliyetlerini ve organizasyonun
kendi işleyişinde meydana gelecek değişiklikler de çevresini etkileyecektir. Bu yüzden
problemi, içinde bulunduğu sistemin bütün unsurlarıyla ve bu unsurlar arasındaki her türlü
etkileşimle birlikte incelemek gerekir.
1.5.2. Disiplinlerarası Yaklaşım
Yöneylem araştırması disiplinlerarası bir yaklaşımdır. Fizik, kimya, matematik,
istatistik gibi farklı disiplinlerden yetişmiş kişilerin her soruna bakış açısı farklıdır. Bu yüzden
problemin modellenmesinde ve çözümünde farklı bakış açılarından faydalanabilmek için
problemlerin disiplinlerarası bir ekip tarafından incelenmesi gerekir.
1.6. Bilimsel Yöntemin Aşamaları
Yöneylem araştırmasının kullandığı bilimsel yöntem beş temel aşamadan oluşur.
1. Problemin tanımlanması (formüle edilmesi),
2. Modelin kurulması,
3. Modelden çözüm elde edilmesi,
4. Modelin ve çözümün test edilmesi (kanıtlanması),
5. Çözümün uygulanması.
1.6.1. Problemin Tanımlanması (Formüle Edilmesi)
“Yanlış” problemden “doğru” çözüm elde edilemez. Bu ifadeden anlaşılacağı gibi ilgili
sistemin detaylı bir şekilde incelenip söz konusu problemin iyi bir şekilde tanımlanması, işin
birinci ve en önemli aşamasıdır. Bu aşama, eldeki problemin kantitatif olarak incelenebilecek
bir yapıya dönüştürülmesini amaçlar. Bu aşamada problemin çözümüne direk ya da dolaylı
olarak etki edebilecek her unsurun özenle ortaya çıkarılması gerekir. Problemin tanımlanması,
yöneylem araştırması ekibinin tamamının katılımını gerektiren bir süreç olup yapılacak
incelemenin sonunda aşağıdaki hususların belirlenmesi gerekmektedir:
1. Amaçların belirlenmesi.
13
2. Problem alanının, yani organizasyonu ve çevresini kapsayacak şekilde probleme
etki edecek olan sistemin belirlenmesi.
3. Problemin çözümüne etki edecek sınırlamaların (kısıtların) belirlenmesi.
4. Varsayımların belirlenmesi.
5. Uygun bir etkinlik ölçüsünün belirlenmesi. Etkinlik ölçüsü çeşitli alternatiflerin
amacı ne denli gerçekleştirdiğini değerlendirmede kullanılan bir ölçütü ifade eder. Örneğin, bir
kar maksimizasyonu ya da maliyet minimizasyonu probleminde etkinlik ölçüsü YTL/birim
olarak tanımlanabilir.
1.6.2. Modelin Kurulması
Model gerçek bir nesnenin ya da durumun çeşitli semboller kullanarak ifade edilmiş
temsili bir şekli, soyutlanmış bir yaklaşımdır. Modelleri aşağıdaki gibi gruplandırmak
mümkündür:
1. İkonik (taklit) model: Fiziksel model olarak da adlandırılan ikonik model, gerçek
bir nesnenin ya da olayın genellikle farklı boyutlarda ifade edilmiş görsel bir temsilcidir.
(Örneğin: Kabartma harita, uçak marketi, fotoğraf,…)
2. Analog (çizgisel) model: Gerçek bir nesnenin ya da olayın çeşitli özelliklerini ifade
eden ve çizgilerle oluşturulan modeldir. (Örneğin: Elektrik devresi şeması, otomobil hız
göstergesi, termometre,…)
3. Matematiksel (sembolik) model: Gerçek bir nesnenin ya da olayın harfler, rakamlar
ve çeşitli matematiksel sembollerle temsil edilmiş şeklidir. (Örneğin: Kelimeler, formüller,
sayılar, eşitlikler,…)
Yöneylem araştırmasında kullanılan modeller, optimizasyona en uygun olan,
matematiksel modellerdir. Matematiksel modellerin diğer modellere göre üstün taraflarını
aşağıdaki gibi sıralayabiliriz;
1. Dinamiktirler (kolayca değiştirilebilirler). Örneğin, herhangi bir formüldeki
değişken ve parametreleri değiştirmek suretiyle gerçek sistemdeki bir değişikliği kısa bir sürede
güncelleştirmek mümkündür.
2. Matematiksel ve mantıksal bir yapıya sahiptirler. Bu modeller, soyutlaştırılmış bir
şekilde sistemin özünün ve sistemin unsurları arasındaki ilişkinin temsil edilmesinde
eşitliklerde olduğu gibi) oldukça önemli bir yer tutmaktadırlar.
3. Tanımlayıcıdırlar. Gerçek bir nesneyi ya da olayı ideal olarak tanımlayabilirler.
Örneğin, � = �� eşitliği enerjiyi ve � = �� eşitliği kuvveti tanımlar.
4. Optimizasyon için kullanıma uygundurlar. Matematiksel çözüm yöntemlerinden
herhangi birisini kullanmak suretiyle bu modellerden elde edilecek çözüm sonucunda, temsil
14
ettikleri sistemin optimal şekilde tasarlanması ve işletilmesine yönelik önemli bilgiler elde
etmek mümkündür.
1.6.3. Modelin Kurulması Aşamasında Yapılan İşler
Modelin kurulması aşamasında yapılan işler şunlardır:
1. Karar değişkenlerinin belirlenmesi: Karar değişkenleri problemdeki kontrol
edilebilir unsurları temsil eden ve çözüm sonunda değerleri elde edilecek olan değişkenlerdir.
Örnek olarak toplam n adet ürünün üretileceği bir üretim probleminde üretilecek ürün
miktarlarını gösteren n adet karar değişkeni (örneğin , �,…, �) olarak gösterilir.
2. Parametrelerin belirlenmesi: Parametreler ise kontrol edilemeyen ya da çevresel
faktörler olarak bilinen unsurları ifade eden sabit değerli katsayılardır. Örneğin bir birim ürünün
satışından elde edilecek kar, bir birim ürünün üretimi için gerekli olan hammadde miktarı ve
eldeki toplam hammadde kapasitesi gibi unsurlar modelin parametrelerini oluştururlar.
3. Amaç fonksiyonun oluşturulması: Ulaşılmak istenen amacı tanımlayan ve karar
değişkenlerinin fonksiyonu olarak ifade edilen matematiksel bir fonksiyondur. Yukarıdaki
üretim problemi için her bir ürünün bir birimden elde edilecek kar ( 3,7,…,15 ) TL/birim olsun.
Bu parametreleri amaç fonksiyonu katsayıları olarak kullanmak suretiyle toplam karı ifade eden
amaç fonksiyonu (örneğin, = 3 + 7� +⋯+ 15�) olarak yazılır.
4. Kısıtların oluşturulması: Karar değişkenlerinin alabilecekleri değerler ile ilgili
sınırlamaları belirten kısıtlar da matematiksel olarak ifade edilebilir. Diyelim ki örnek
problemde her bir üründen bir birim üretmek için gerekli olan demir miktarı (3,4,…,2) kg/birim
ve eldeki toplam demir miktarı ise 20 kg olsun. Bu parametreleri katsayı olarak kullanmak
suretiyle demir kapasitesi ile ilgili kısıt ( örneğin, 3 + 4� +⋯+ 2� < 20 ) olarak ifade
edilir.
Şekil 1 Matematiksel Modelleme ve Girdi-Çıktı Dönüşüm Süreci
15
Şekil 1’de görüldüğü gibi, karar değişkenleri ile parametreleri girdi olarak düşünecek
olursak matematiksel modeli bu girdileri çıktıya dönüştüren mekanizma olarak
değerlendirebiliriz.
Yöneylem araştırmasının kullandığı teknikleri ve yaklaşımları model yapılarına göre
genel olarak deterministik ve olasılıklı modeller olarak gruplandırabiliriz.
Tablo 1 Yöneylem Araştırması Modellerinin Sınıflandırılması
- Deterministik Modeller - Olasılıklı Modeller
- Doğrusal Programlama - Markov Zincirleri
- Tamsayılı Programlama - Kuyruk Teorisi
- Hedef Programlama - Karar Analizi
- Ulaştırma ve Atama Modelleri - Simülasyon
- Doğrusal Olmayan Programlama - Tahmin Modelleri
- Oyun Teorisi - Güvenirlilik Analizi
- Deterministik Dinamik Programlama - Olasılıklı Dinamik Programlama
- Deterministik Stok Modelleri - Olasılıklı Stok Modelleri
- Şebeke (Ağ) Analizi - CPM ve PERT ile Proje Planlama
1.6.4. Modelden Çözüm Elde Edilmesi
Bu aşama çeşitli teknikleri kullanarak model için optimal çözüm sonuçlarının elde
edilmesidir. Optimal çözüm, amaç fonksiyonu değerinin maksimum ya da minimum yapılması
anlamındadır. Matematiksel modellerin çözülmesinde kullanılan teknik ve yöntemleri analitik
teknikler, sayısal teknikler, sezgisel yaklaşımlar olarak değerlendirmek mümkündür. Sezgisel
yaklaşımlar, optimizasyon tekniklerinden herhangi birisiyle çözülemeyecek kadar karmaşık
yapıdaki modellerde, optimal çözüm yerine yaklaşık bir çözüm elde etmek için geliştirilmiştir.
Karmaşık sistemler için kullanılan alternatif bir modelleme yaklaşımı da simülasyondur.
Matematiksel modellemedeki gelişmelere rağmen pek çok gerçek olay matematiksel olarak
modellenememektedir. Simülasyon teknikleri matematiksel olarak modellenmesi ve analitik
tekniklerle çözülmesi mümkün olmayan sistemlerin modellenmesinde ve incelenmesinde
kullanılırlar. Simülasyon genel olarak gerçek sistemi küçük parçalara ayırıp bu parçaları, uygun
mantıksal bağlantılarla, birbiri ile ilişkilendirmek suretiyle sistemin davranışını taklit etmeye
çalışan bir yaklaşım olarak tanımlanabilir.
Ayrıca günümüzde yöneylem araştırması çözüm tekniklerini kapsayan ve matematiksel
modellerin bilgisayar ile çözümüne olanak sağlayan çok sayıda paket program geliştirilmiştir.
16
Dolayısıyla modelden çözüm elde edilmesi için işin kolay bir aşaması olup, nispeten zor olan
bölüm optimal çözüm elde edildikten sonra yapılan analizlerdir. Duyarlılık analizi adı verilen
bu süreç, model parametrelerindeki olası değişiklikler (örneğin birim karın ya da eldeki
kapasitenin değişmesi ) sonucunda optimal çözümün nasıl bir davranış göstereceğinin
incelenmesini kapsar.
1.6.5. Modelin ve Çözümün Test Edilmesi
Çözümü uygulamaya geçmeden önce son olarak modelin geçerliliğinin ve çözümün
güvenirliliğinin test edilmesi gerekmektedir. Bu aşamada, geliştirilen modelin gerçekten söz
konusu sistemin davranışını uygun bir şekilde temsil edip etmediği ve buna bağlı olarak da elde
edilen çözümün kabul edilebilir mantıklı bir çözüm olup olmadığı incelenmelidir. Modelin
geçerliliği, elde edilen sonucun mantıksal olarak uygun olup olmadığının tartışılması yoluyla
değerlendirilebileceği gibi modelden elde edilen sonucu geçmişe ait çıktılarla karşılaştırmak
suretiyle araştırılabilir. Eğer benzer girdiler sağlandığında geçmişteki davranış tekrarlanıyorsa
(istikrarlı bir çözüm elde ediliyorsa) o zaman model geçerlidir.
1.6.6. Çözümün Uygulanması
Bu aşama, geçerliliği kanıtlanmış bir modelden elde edilen güvenilir bir çözümün
gerçek hayattaki probleme uygulanması aşamasıdır. Bu aşamada da asıl yük, yani çözümün
anlaşılabilir bir şekilde sistemi işletecek olan personele anlatılması, yine yöneylem araştırması
ekibine düşmektedir.
Bir sorunun çözümü için YA kullanıldığı zaman aşağıdaki yedi adımlık süreç takip
edilmelidir.
Adım1. Sorunun Formülasyonu
YA analisti (sorunu olan karar vericiye YA teknikleri ile yardımcı olan kişi) ilk olarak
sorunu tanımlar. Sorunun tanımlanması v amaçların ve sorunu oluşturan sistemin bileşenlerinin
belirlenmesi ile olur.
Adım2. Sistemin İncelenmesi
Daha sonra analist sorunu etkileyen parametrelerin değerlerini belirlemek için veri
toplar. Söz konusu değerler sorunu temsil edecek bir matematiksel modelin geliştirilmesi
(Adım3) ve değerlendirilmesi (Adım4) için kullanılır.
Adım3. Sorunun Matematiksel Modelinin Kurulması
Analist tarafından sorunu ideal bir şekilde temsil edecek bir matematiksel model
geliştirilir.
17
Adım4. Modelin Doğrulanması
Üçüncü adımda kurulan modelin gerçeği iyi yansıtıp yansıtmadığı sınanır. Şu anki
durum için modelin ne kadar geçerli olduğu belirlenerek modelin gerçeğe ne kadar uyduğu test
edilir.
Adım5. Uygun bir Seçeneğin Seçilmesi
Eldeki model üzerinde bir çözüm yöntemi kullanılarak amaçları en iyi karşılayan bir
Seçenek (varsa)analist tarafından seçilir.
Bazen eldeki seçeneklerin kullanımı için sınırlandırmalar ve kısıtlamalar olabilir. Bu
Yüzden amacı karşılayan seçenek bulunamayabilir. Bazı durumlarda ise amaçları en iyi
şekilde karşılayan birden fazla sayıda seçenek bulunabilir.
Adım6. Sonuçların Karar Vericiye Sunumu
Bu adımda, analist modeli ve model çözümü sonucunda ortaya çıkan önerileri karar
verici ya da vericilere sunar. Seçenek sayısı birden fazla ise karar verici(ler) gereksinimlerine
göre birini seçerler.
Sonuçların sunumundan sonra, karar verici(ler) öneriyi onaylamayabilir. Bunun nedeni
Uğraşılan sorunun doğru tanımlanmaması ya da modelin kurulmasında karar vericinin
yeterince sürece karışmaması olabilir. Bu durumda analist ilk üç adıma yeniden dönmelidir.
Adım7. Önerinin Uygulanması ve İzlenmesi
Eğer karar verici sunulan öneriden memnun kalırsa, analistin son görevi karar vericinin
öneriyi uygulamasına yardımcı olmaktır: Seçeneğin kullanılarak sorunun çözümüne nezaret
etmeli ve özellikle çevre koşulları değiştikçe amaçları karşılamaya yönelik dinamik
güncellemeler yaparak uygulamayı izlemelidir.
18
Uygulamalar
1) Yöneylem Araştırmasının tanımını yapınız.
2) Yöneylem Araştırmasının uygulama alanlarını tartışınız.
19
Uygulama Soruları
1) Yöneylem araştırmasının özelliklerini nelerdir
• .................................................................
• .................................................................
• .................................................................
20
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde yöneylem araştırmasının tanımını, yöneylem araştırmasının tarihsel
gelişimini, yöneylem araştırmasının hangi alanlarda uygulandığını, yöneylem araştırmasının
aşamalarını, yöneylem araştırmasının özelliklerini ve yöneylem araştırmasında etkin kullanılan
yöntemler hakkında bilgiler öğrenilmiştir.
21
Bölüm Soruları
1) “Belirli kısıtların olduğu bir durumda, belirli bir amaca yönelik en uygun çözümün
bulunması için geliştirilmiş bilimsel ve sayısal yöntemler dizisidir”.
Yukarıda verilen tanım aşağıdakilerden hangisine aittir?
a) Pazarlama
b) Model kurma
c) Operasyon
d) Yöneylem Araştırması
e) Atama
2) Yöneylem Araştırması ilk olarak hangi alanda kullanılmaya başlanmıştır?
a) Askeri alan
b) Kalite kontrol
c) Yer bilimlerinde
d) Uzay çalışmaları
e) Hukuk
3) Yöneylem Araştırmasının temelleri “savaş araç ve gereçlerinin limanlarda daha kısa
sürede gemilere yüklenmesini ve boşaltılmasını sağlayacak bir yöntemin araştırılması”
amacıyla hangi ülkede atılmıştır?
a) Türkiye
b) İngiltere
c) Almanya
d) Fransa
e) Hindistan
4) ABD’nin tüm askeri faaliyetlerinin planlanmasına yönelik doğrusal programlama
yaklaşımını geliştiren ve Simpleks çözüm yöntemini ortaya koyan bilim adamı kimdir?
a) Henry Gantt
b) Frederick Winslow Taylor
22
c) Richard Ernest Bellman
d) Robort Dorfman
e) George Bernard Dantzig
5) …………………….. kelime olarak “en iyiyi elde etme” şeklinde tanımlanabilir.
Yukarıda verilen boşluğa aşağıdakilerden hangisine gelir?
a) Araştırma
b) Yöneylem
c) Optimizasyon
d) Amaç
e) Problem
6) Aşağıdakilerden hangisi “yöneylem araştırmasının uygulama alanlarından” biri
değildir?
a) Üretim planlama b) Stratejik planlama c) Taşıma problemleri
d) Tesis yeri seçimi e) Pazarlama ve satış
7) Aşağıdakilerden hangisi “yöneylem araştırmasının kullandığı bilimsel yöntem
aşamalarından” biri değildir?
a) Model kurma b) Modelden çözüm elde etme c) Çözümü test etme
d) Deneme yanılma e) Çözümün yorumlanması ve uygulanması
8) Aşağıdakilerden hangisi Yöneylem araştırması konularından biri değildir?
a) Doğrusal programlama
b) Fizibilite etüt çalışması
c) Hedef programlama
d) Şebeke analizi
e) Oyun teorisi
9) Aşağıdakilerden hangisi “matematiksel model oluşturulurken” yapılan işlerden
değildir.
23
a) Tahminleme çalışması
b) Karar değişkenlerinin belirlenmesi
c) Parametrelerin belirlenmesi
d) Amaç fonksiyonunun oluşturulması
e) Kısıtlayıcı koşulların oluşturulması
10) Aşağıdakilerden hangisi Yöneylem araştırması konularından biri değildir?
a) Kuyruk Teorisi
b) Simülasyon
c) Rakiplerin belirlenmesi
d) Dinamik programlama
e) Optimizasyon
Cevaplar
1) d, 2) a, 3) b, 4) e, 5) c, 6) e, 7) d, 8) b, 9) a, 10 ) c
24
2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE MODEL KURMA
25
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
2.1. Doğrusal programlama Tekniği Varsayımları
2.2. Doğrusal Programlama Probleminin Matematiksel Modeli
2.3. Doğrusal Programlama Probleminin Grafik Yöntemle Çözümü
26
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Doğrusal programlama ile matematiksel model nasıl kurulur?
2) Doğrusal Programlama hangi tür problemlerin modellenmesi için uygundur?
3) Doğrusal Programlama modeli hangi kısımlara sahiptir?
4) Grafik Yöntemle çözüm hangi pronlemler için uygun olur?
27
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Doğrusal Programlama
ile Modelleme
Verilen Bir İşletme
Problemini Doğrusal
Programlama İle
Modelleyebilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Araştırarak
Doğrusal Programlama
Matematiksel Model
Kısımları
Doğrusal Programlama
Modeli Kısımlarını Öğrenmek Okuyarak, Araştırarak
Doğrusal Programlama
Çözüm Yöntemi: Grafik
Yöntem
Grafik Yöntem İle Doğrusal
Modelin Optimum Çözümünü
Bulmak
Okuyarak, Örnek soru
çözerek
28
Anahtar Kavramlar
• Doğrusal Programlama
• Matematiksel Model
• Amaç Fonksiyonu
• Kısıtlar (Koşullar)-Constraints
• Negatif Olmama Koşulu
29
2.1. Giriş
Doğrusal Programlama (DP), Lineer Programlama (LP) adı ile de anılır. Doğrusal
Programlama problemi, doğrusal sınırlayıcı koşullar (kısıtlar) adı verilen eşitlik ve eşitsizlikler
grubu ile birlikte amaç denklemi adı verilen bir doğrusal fonksiyonun değerini optimize etmeyi
amaçlayan bir matematiksel modeldir. Optimize etmek ya da genel anlamda optimizasyon, en
iyileme demektir. Örneğin amaç fonksiyonu bir fayda veya karı temsil ediyorsa bu durumda
optimize etmek demek, karı maksimize etmek (en büyükleme); bir maliyet fonksiyonundan
bahsedildiğinde optimize etmek demek fonksiyonu minimize (en küçükleme) etmek demektir.
Doğrusal Programlama belli bir amacı gerçekleştirmek için sınırlı kaynakların etkin
kullanımını ve çeşitli seçenekler arasında en uygun dağılımını sağlayan matematiksel bir
tekniktir. Daha basit bir anlatım ile Doğrusal Programlama Modeli, eldeki kaynaklar
doğrultusunda işletmenin karını maksimum yapacak üretim değerlerinin elde edilmesini veya
işletme maliyetlerini minimum yapacak üretim değerlerinin elde edilmesini sağlayan modelin
oluşturulması, çözümü ve elde edilen sonuçlarla işletme içi kararların alınabilmesini
sağlamaktadır.
DP deterministik bir araçtır, yani model parametreleri belirgin olarak kabul edilir. Bu
teknik, modelin parametrelerindeki kesikli ya eda sürekli değişimlerin “durağan” (statik)
optimum çözümünün duyarlılığını test etmede karar vericiye imkan veren, ileri optimal ve
parametrik analizleri sağlayarak eksiklikleri giderir.
Bir işletmenin en büyük sorunu, elinde kaynak (kısıt) ve imkânları, çeşitli amaç ve
kullanımlara en uygun olabilecek şekilde tüketebilmektir. İşletmedeki çalışan personel ve
uzmanlar, kullanılan makinalar, malzeme, hammadde, yer, zaman vb. kriterlerin her biri
işletmenin elinde bulundurduğu kaynak ve imkânları sembolize edebilmektedir. İşletmelerin bu
kaynakları kullanırken en büyük amaçları; kaynakların mümkün olan en iyi şekilde dağılımını
sağlayarak karlılığı maksimum seviyeye çekebilmektir. İşletmeler bu kar maksimizasyonunu,
elde bulunan imkân ve kısıtlar ile üretilecek ürün türlerinin belirlenmesi; bu ürünlerden ne kadar
üretileceği bilgisinin doğru hesaplanarak; kısıt ve imkânların mümkün olan en az maliyetli
şekilde dağıtımı gerçekleştirilmesi ile sağlanmaktadır.
Doğrusal Programlama kavramında bulunan “doğrusal” kelimesi ile anlatılmak istenen
düşünce, girdiyi oluşturan değişkenler ile çıktı değeri arasında doğrusal bir ilişki olmasıdır.
“Programlama” sözcüğü ile anlatılmak istenen ise elde bulunan kısıt ve imkânlar ile mümkün
olan en uygun dağılım sonucu en yüksek karı elde edilen durumu bulmaya çalışmaktır.
2.2. Doğrusal programlama Tekniği Varsayımları
• Amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı şartlar doğru tanımlanmalıdır. Amacın kâr
Maksimizasyonu mu yoksa maliyet minimizasyonu mu olduğu açıkça belirtilmelidir.
• Değişkenler kantitatif olmalıdır. Doğrusal programlama kalitatif (rakamla ifade
edilemeyen) değişkenler için kullanılmaz.
30
• Değişkenler kendi aralarında ilişkili olmalıdır.
• Kullanılacak kaynaklar sınırlı olmalıdır.
• Değişkenler arasında kurulan bağıntılar doğrusal olmalıdır.
• Değişkenler arasında alternatif seçim olanağı olmalıdır.
• Doğrusal programlamanın uygulanacağı işletme problemi kısa dönemli olmalıdır.
• Karar değişkenlerinin sıfır ya da pozitif olması gerekir.
Doğrusal programlamanın teorik yapısında üç etkeni göz önüne almamız gerekir.
Bunlar; amaç fonksiyonu, kısıtlayıcı koşullar ve pozitiflik (asıl negatif olmama) koşuludur.
2.3. Doğrusal Programlama Probleminin Matematiksel Modeli
Doğru matematiksel modelin kurulması (formülasyonu), ilgili karar probleminin
çözümündeki en önemli aşamalardan biridir. İlk aşamada ilgili karar ortamının çok iyi
anlaşılması, bu ortamı etkileyecek tüm faktörlerin belirlenmesi gerekir. İkinci aşamada, karar
değişkenlerinin açıkça tanımlanması ile kastedilen her kararın ayrı ayrı ölçülebilir
(sayısallaştırılmış) bir şekilde ifadesi ve bunlara açık birimler verilmesidir. En son aşamada
karar değişkenleri ile kısıtlar ve amaç arasındaki ilişkilerin matematiksel olarak ifadeleri
yapılmalıdır. Doğrusal Programlama Problemi (DPP) matematiksel olarak modellenirken, üç
önemli kısma sahiptir.
• Amaç fonksiyonu
• Kısıtlar (koşullar)
• Negatif olmama koşulu
2.3.1. Amaç Fonksiyonu
Amaç fonksiyonu, doğrusal programlama kapsamına giren problemdeki kısıtların
kullanılmasıyla oluşan faydanın maksimize edilmesi veya yine kısıtların kullanılmasıyla oluşan
zararın minimize edilmesi olarak tanımlanabilir. Matematiksel ifadesi ile aşağıdaki şekildedir:
����� = �. + ��. � +⋯+ ��. � ����� = �! . !�
!"
veya
��#$ = �. + ��. � +⋯+ ��. �
31
��#$ = �! . !�!"
�%&'( %)�⁄ = Maksimum düzeyde karlılığı veya minimum düzeyde maliyeti
sembolize eder. Burada;
! ; Karar değişkenleri,
�! ; Birim kar veya birim maliyelerdir.
Örnek olarak bir atölyede üretilen + ve , gibi iki ürünün birim karları sırası ile 3 ve 2
TL ise; + ürününden tane, , ürününden � tane üretilip satılması sonucu, atölyenin bu iki
ürünün belirli bir dönemdeki üretiminden (satışından) elde edeceği kar � = 3 + 2� olacaktır. Bu amaç fonksiyonunu büyütebilmek için, atölyede üretilen + ve , ürünlerinden daha
fazla üretmek, yani fonksiyonda bulunan ve � karar değişkenlerinin değerlerini büyütmek
gerekir. Yani bir anlamda üretimi arttırmak gerekir. Ancak, üretim sonsuza kadar artmaz.
İşletmenin her kaynak için kapasiteleri yani işletmenin çeşitli sınırlayıcı koşulları (kısıtları)
bulunmaktadır. Bir işletmenin; sahip olduğu alan, işgücü, makine sayısı, hammadde… gibi
birçok kısıtı vardır. Doğrusal programlamadaki amacımız, bu kısıtlar altında, � değerini (amaç
fonksiyonunu) en iyi düzeye ulaştırmaktır.
2.3.2. Kısıtlar(Koşullar)
Modeli oluşturulan işletmenin elindeki kısıtların belirli bir sınırı olduğunu (kapasite),
bu sınırın elindeki kısıt miktarlarına ait maksimum stok olarak düşünüldüğü sınırlayıcı niteliğe
sahip ifadedir.
�)!! ≤ .! ; / = 1, 2, 3, … . ,�; 3 = 1, 2, 3, … . , 4;
şeklindeki koşullandırmalar doğrultusunda matematiksel gösterimi aşağıdaki
şekildedir:
� + ��� +⋯……+ �)!! +⋯……+ ��� ≤ . �� + ���� +⋯……+ ��!! +⋯……+ ���� ≤ .�
… … …
�% + �%�� +⋯……+ �%!! +⋯……+ �%�� ≤ .%
Yukarıdaki matematiksel gösterim de “.%” ile gösterilen değerler doğrusal
programlama modelinin oluşturulduğu işletmenin kısıtlarına ait maksimum stok oranını
32
göstermektedir. “�)!” ile ifade edilen değerlerin ise alternatif üretim teknikleri olduğu
varsayılmaktadır. Daha da açık bir anlatım ile “�)!” bir birim 3 ürünü üretebilmek için
kısıtlardan gerekli olan miktarları göstermektedir. Aşağıda eşitlik ve eşitsizlik kısıtlarına
örnekler verilmektedir. Önceki örneğe kısıtlar için de genişletecek olur isek;
+ ve , ürünlerinin üretildiği bir atölyede, 1 birim + ürünü üretebilmek için 4 işçilik
saati, 1 birim , ürünü üretebilmek için 5 işçilik saati harcanıyor olsun. Eğer bu atölyenin işçilik
kapasitesi haftalık 100 saat ise, birinci kısıtımız;
4 + 5� ≤ 100(İşletmeninİşçilikKapasitesi) Benzer şekilde; + ve , ürünleri için harcanan hammadde miktarları sırası ile 20 kg ve
10 kg ve atölyede toplam haftalık 500 kg hammaddesi bulunmakta ise, ikinci kısıtımız;
20 + 10� ≤ 500(İşletmeninHammaddeKısıtı) Doğrusal Programlama modelinin kısıtları aşağıdaki gibi oluşmuştur.
4 + 5� ≤ 100(İşçilikKısıtı) 20 + 10� ≤ 500(HammaddeKısıtı)
+ ürününün üretim miktarı: H , ürününün üretim miktarı: I ile gösterilirse kısıtlar;
4H + 5I ≤ 100(İşçilikKısıtı) 20H + 10I ≤ 500(HammaddeKısıtı)
biçiminde yazılır. Üretim miktarları negatif olmayacağına göre, x ve y sıfır ya da
sıfırdan büyük olacaktır. Eğer üretmezsek sıfır, üretirsek pozitif olacak, hiçbir zaman negatif
olmayacaktır. Bu durumda bu örneğe ilişkin Doğrusal Programlama Matematiksel Modeli;
�%&'( = 3H + 2I (Amaç Fonksiyonu)
4H + 5I ≤ 100(1. Kısıt) 20H + 10I ≤ 500(2. Kısıt) H, I ≥ 0 (Negatif olmama koşulu)
33
Örnek:
2H + 3I = 6 kısıtı grafik düzlemde nasıl gösterilir?
Cevap:
Doğrusal denklem sistemlerinden hatırlandığı gibi, 2H + 3I = 6 denklemi iki boyutlu
kartezyen koordinat sisteminde bir doğruyu gösterir.
Doğrunun grafiği aşağıdaki gibidir. Kısıtın işareti “=” olduğu için aşağıdaki doğrunun
üzerindeki noktalar bu eşitliği sağlarlar.
Şekil 2 Kısıta ilişkin doğru
Örnek:
2H + 3I ≥ 6 kısıtı grafik düzlemde nasıl gösterilir?
Cevap:
Kısıtın işareti “≥” olmasından dolayı, 2H + 3I ≥ 6 eşitsizliğini sağlayan noktalar, iki
boyutlu kartezyen koordinat sisteminde bir doğrunun üst tarafında kalan noktaların kümesi
olup, bu bölge aşağıdaki gibi gösterilir. Kısıt eşitliği de kapsadığı için doğrunun üst tarafı ve
doğrunun kendisi de çözüm alanına dahildir.
34
Şekil 3 Kısıta ilişkin oluşan bölge
Örnek:
2H + 3I ≤ 6 kısıtı grafik düzlemde nasıl gösterilir?
Cevap:
Kısıtın işareti “≤” olmasından dolayı, 2H + 3I ≤ 6 eşitsizliğini sağlayan noktalar, iki
boyutlu kartezyen koordinat sisteminde bir doğrunun alt tarafında kalan noktaların kümesi olup,
bu bölge aşağıdaki gibi gösterilir. Eşitlik de sağlayacağı için doğru da bu çözüm alanına
dahildir.
Şekil 4 Kısıta ilişkin oluşan bölge
35
2.3.3. Negatif Olmama Koşulu
Bu ifade, doğrusal programlama varsayımlarında da geçen “karar değişkenlerinin sıfır
ya da pozitif olması gerekir” ifadesinin matematiksel gösterimidir. “!” şeklinde ifade edilen
tüm birimlerin karar değişkeni olarak ele alındığı bir doğrusal programlama modelinde
pozitiflik koşulu aşağıdaki şekilde ifade edilecektir:
! ≥ 0 , �, L, … , � ≥ 0 + ve , gibi faklı iki ürünün üretimlerinin ne kadar olması gerektiğini belirlemek isteyen
bir atölye düşünelim. + ve , ürünlerinin birim karları sırasıyla 2 ve 5 TL dır. + ürününün her
birimi için 3 saat işçilik ve 4 ton hammadde, , ürününün her birimi için 5 saat işçilik ve 7 ton
hammadde kullanılmaktadır. Atölyenin haftalık işçilik kapasitesi 300 saat, o hafta için
deposunda tuttuğu hammadde stoku 350 ton olduğuna göre, o hafta bu iki ürünün
üretimlerinden (ki bu ürünlerin hepsinin satıldığı varsayılıyor) elde edeceği karı maksimize
etmek (en büyüklemek) için hangi üründen ne kadar üretim yapmalıdır.
� ; Amaç Fonksiyonu HveI ; üretim miktarları
�! ; birim karlar
.) ; kapasiteler
�%&'( = 2H + 5I (Amaç Fonksiyonu)
3H + 4I ≤ 300 (İşçilik kısıtı)
5H + 12I ≤ 360 (Hammadde kısıtı)
H, I ≥ 0 (Üretimin negatif olamayacağı koşulu)
Yukarıda verilen kısıtlar doğrultusunda uygun çözüm bölgesi bulunursa;
36
Şekil 5 Uygun çözüm alanının grafik gösterimi
Kısıtlar aşağıdaki gibi olursa (Eşitsizliklerin yönü değişirse);
3H + 4I ≥ 300 5H + 12I ≥ 360 H, I ≥ 0 Bu durumda, uygun çözüm alanı veya uygun çözüm bölgesi aşağıdaki gibi oluşur.
Şekil 6 Uygun çözüm alanının grafikle gösterimi
37
2.4. Doğrusal Programlama Probleminin Grafik Yöntemle Çözümü
Doğrusal programlama problemlerinin çözümünde kullanılan çok sayıda yöntem
bulunmaktadır. Ancak bu yöntemler matematiksel modelde bulunan değişken ve kısıt sayısına
göre değişkenlik gösterir. İki veya üç değişkenin bulunması durumunda grafik yöntemle
doğrusal programlama probleminin çözümü, kolay ve anlaşılır olduğu için sıkça
kullanılmaktadır.
Grafik Yöntem, oluşturulan doğrusal programlama modelinin içerdiği sınırlayıcı
denklemlerin koordinat düzlemi üzerinde grafiklerinin çizilmesi ve kısıtların maksimum
değerleri doğrultusunda ortak bir çözüm noktası bulunmasını içerir. Yöntem üç ve daha az
değişkenden oluşan doğrusal programlama modelleri için uygundur. Temelde iki önemli
aşaması söz konusudur:
• Model içerisinde ifade edilen kısıtların sağlandığı uygun çözüm alanının
bulunması;
• Çözüm alanı içerisindeki bütün noktalardan en ideal olanının belirlenmesi.
Örnek:
Z���� =5X + 4X� 6 + 4� ≤ 24 + 2� ≤ 6 ≥ 0; � ≥ 0 Doğrusal programlama modelinin grafik yöntemi ile çözümü aşağıdaki şekilde
olacaktır:
Kartezyen koordinat sisteminde (kağıt düzleminde); + ürününün üretim miktarı , yatay eksende; , ürününün üretim miktarı � ise düşey eksende gösterilmektedir. ≥ 0, � ≥ 0 negatif olmama kısıtları uyarınca çözüm alanı koordinat sisteminin 1. bölgesinde
olmaktadır. Kalan iki kısıtı bu koordinat sisteminde göstermenin yolu, eşitsizlikleri eşitlikmiş
gibi düşünerek bunların doğrularını çizmektir. Daha sonra her eşitsizliğe ait doğruların altında
ya da üstünde kalan bölge söz konusu eşitsizliğin işaretine göre seçilmektedir. Buna göre örnek
modelin grafiği aşağıdaki şekilde olacaktır.
38
Şekil 7 Örnek 1'e Ait Grafik Çözüm
Taralı alanının sınırları üzerindeki herhangi bir nokta tüm kısıtları sağlayan çözüm
noktasıdır. Optimum çözümün belirlenmesi için,
����� =5 + 4� biçimindeki kâr fonksiyonunun artış yönünün bulunması
gerekmektedir. Pratikte � ye rastgele iki rakam verilerek (10 ve 15) �����’ in artış yönü
belirlenmektedir.
Önce 5 + 4� = 10 sonra 5 + 4� = 15 doğruları çizilir.
6 + 4� ≤ 24; + 2� ≤ 6 doğrularının kesişim noktası olduğundan iki
denklemin çözülmesiyle = 3 ve � = 1,5 bulunur.
Amaç fonksiyonu ise ����� = 5.3 + 4.1,5 = 21olarak hesaplanır.
39
Şekil 8 Matematiksel modelin grafik yöntemle çözümü
Örnek:
����� =3. + 2. � + 3� ≤ 15 + � ≤ 7 2 + � ≤ 12 , � ≥ 0 Yukarıda verilmekte olan doğrusal programlama probleminin (maksimizasyon
problemi) grafik yöntemle optimum çözümü bulunmuştur.
Şekil incelendiğinde, birinci kısıtla ilgili olarak çizilen 1 doğrusunun eğimi � =−1 3Q , ikinci kısıtla ilgili olarak çizilen 2 doğrusunun eğimi �� = −1, üçüncü kısıtla ilgili
olarak çizilen 3 doğrusunun eğimi ise �L = −2 dir. Amaç fonksiyonunun eğimi ise � =−� ��Q = −3 2Q ’ye eşittir. Dolayısıyla eğimleri mutlak değer olarak düşündüğümüzde, amaç
fonksiyonunun eğimi, 1 ve 2 doğrularının eğiminden büyük, 3 doğrusunun eğiminden küçüktür.
Amaç fonksiyonunun eğimi 2 ve 3 doğrularının eğimleri arasında kalmaktadır.
Dolayısıyla � kar doğrusu 2 ve 3 doğrularının kesişim noktası olan � noktasından uygun
bölgeyi terk edecektir. Böylece � noktasında karar değişkenlerinin aldığı değerler �
40
fonksiyonunu maksimum kılar. Karar değişkenlerinin � noktasındaki değerleri 2 ve 3 doğruları
kesiştirilerek bulunabilir.
+ � = 7 2 + � = 12 = 5, � = 2 (� noktası)
değerleri çıkmakta ve kârımız;
����� =3. + 2. � = 3.5 + 2.2 = 19 olmaktadır.
Şekil 9. Örnek Modelin Grafik Çözümü
Örnek:
MEYPAZ Meyvecilik firması, Avrupa ülkelerine elma ve armut ihraç etmektedir.
Kasalarda stoklanan bu ürünlerin birim stoklama maliyetleri sırasıyla 7 TL ve 9 TL’dir. Bir
kasa elma 5m2 ve bir kasa armut da 10m2 alan kaplamaktadır. Firmanın depolama kapasitesi
ise 1000m2’dir. Elma ve armuda olan talep değişkenliğinden dolayı firma bu iki meyvenin her
41
birinden en az 50’şer kasa güven stoku bulundurmak zorundadır. Firmanın toplam stoklama
maliyetini minimize eden doğrusal programlama modelini kurunuz.
Karar değişkenleri:
; elma stoğu
� ; armut stoğu
Amaç fonksiyonu: ��#$; Toplam stoklama maliyeti fonksiyonu
��#$ = 7 + 9� Kısıtlar:
(1. Kısıt ) Depolama alanı ile ilgili kısıt 5 + 10� ≤ 1000 (2. Kısıt) Elma stoğuna ilişkin kısıt ≥ 50
(3. Kısıt) Armut stoğuna ilişkin kısıt � ≥ 50 Negatif olmama koşulu
, � ≥ 0 Dolayısıyla örnekte verilen probleme ilişkin matematiksel model aşağıdaki gibi olur.
��#$ = 7 + 9� 5 + 10� ≤ 1000 ≥ 50 � ≥ 50 , � ≥ 0
Örnek:
Z�#$ = 5H + 4y 3H + 2I ≥ 8 H + 2I ≥ 6 H ≥ 0; I ≥ 0 Doğrusal programlama modelinin grafik yöntemi ile çözümü aşağıdaki şekilde
olacaktır:
42
Şekil 10.Problemin Grafik Çözümü
+ noktası: (0, 4) Noktası
+ noktasında Maliyet: Z = 5.0 + 4.4 = 16
, noktası: (1, 5/2) Noktası
, noktasında Maliyet: Z%)� = 5.1 + 4. (5/2) = 15
� noktası: (6, 0) Noktası
� noktasında Maliyet: Z = 5.6 + 4.0 = 30
En düşük maliyet , noktasında oluşuyor. Karar değişkenlerinin aldığı değerler;
H = 1 ve I = 5/2 , bu durumda minimum maliyet de Z%)� = 15 olmaktadır.
B noktası iki kısıta ilişkin doğruların kesişim noktası olduğu için bu noktayı bulmak
için iki doğru kesiştirilir.
Olursuz Problem (Mümkün çözümü olmayan): Tüm kısıtları sağlayan bir karar
değişkeni kümesinin bulunamaması durumudur. Gereksiz kısıtlar tanımlanması veya kısıtların
43
parametrelerinin yanlış hesaplanması, girilmesi kolaylıkla bu duruma yol açabilir. Özellikle
problem optimal çözüme sahip gibi görünse de karar değişkenlerinden bir ya da bir kaçı negatif
olabilir. Bu durumda verilen problem olursuz problemdir.
44
Uygulamalar
Maksimizasyon amaçlı ve 2 × 2 boyutlu bir DP problemi aşağıdaki gibi ifade edilir.
����� = �. + ��. � � + ��� ≤ . �� + ���� ≤ .� , � ≥ 0
Minimizasyon amaçlı ve 2 × 2 boyutlu bir DP problemi aşağıdaki gibi ifade edilir.
��#$ = �. + ��. � � + ��� ≥ . �� + ���� ≥ .� , � ≥ 0
45
Uygulama Soruları
1) Bir şirket A, B ve C ürünlerini üreterek, üretebildiği miktarlarda da satmaktadır. Şirket A
ürününü 10 TL’ye, B ürününü 13 TL’ye ve C ürününü de 20 TL’ye satmaktadır. A ürününün
bir biriminin üretilmesi için 1 saatlik işçiliğe, B ürününün bir biriminin üretilmesi için ise, 2
saatlik işçiliğe ve bir birim C’nin üretilmesi için ise 3 saatlik işçilik gereksinim vardır. Bu
işlemler için kullanılabilir toplam işçilik süresi 70 saattir. Bu şirketin gelirini maksimize
edecek olan lineer programlama modelini kurunuz.
Çözüm:
Amaç fonksiyonu:
�maks = 10H + 13H� + 20HL Kısıtlar:
WX + YWY + ZWZ = [\ Negatif olmama koşulu:
WX, WY, WZ ≥ \ 2) Aşağıda verilen doğrusal programlama probleminin grafik çözüm alanını ve optimum
sonucunu bulunuz.
�min = 5H + 6I 3H + I ≥ 5(1. Kısıt) H + 2I ≥ 12(2. Kısıt) 3H + 2I ≥ 24(3. Kısıt)
H, I ≥ 0 Çözüm:
Optimum Çözüm:
H = 6,I = 3,� = 48 ] = 6 (Birinci kısıtın kullanılmayan kısmı),
]� = 0 (İkinci kısıtın kullanılmayan kısmı) ,
]L = 0 (Üçüncü kısıtın kullanılmayan kısmı)
46
Uygun Çözüm Bölgesi (Grafik Çözümü)
Optimum Çözüm Değerleri
H = 6,I = 3,� = 48 3)Aşağıdaki problemin grafik yöntem çözümü nedir?
maks � = 5 + 7^ ≤ 6
2 + 3^ ≤ 19 + ^ ≤ 8 , ^ ≥ 0
47
48
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde Doğrusal Programlama kullanarak işletme problemlerinin modellenmesi,
modelin kısımları, varsayımları anlatılmıştır. Ardından Doğrusal Programlama Matematiksel
Modelinin Grafik Yöntemle çözümü açıklanmıştır.
49
Bölüm Soruları
1) Bir doğrusal programlama probleminin matematiksel modelinde aşağıdakilerden hangisi bulunmaz?
a) Amaç fonksiyonu b) Kısıtlar c) Negatif olmama
koşulu
d) Sağ taraf Sabitleri e) Maksimum kar
2) Aşağıdaki grafikte gösterilmiş olan taralı alan hangi eşitsizlik sistemine aittir?
a) H > 2I > 0 b)
H < 2I < 5 c) W > Y` > a d)
H > 5I > 2 e) H > 5I > 5
3) Aşağıdaki grafikte gösterilmiş olan taralı alan hangi eşitsizlik sistemine aittir?
a) H − I > −5I > −5 b)
H < II > −5 c) H > II > −5
50
d) W − ` < a` > −a e)
H + I < 5I > −5
4) Aşağıdakilerden hangisi doğrusal programlamanın varsayımlarından birisi değildir?
a ) Değişkenler kantitatif olmalıdır.
b ) Değişkenler kendi aralarında ilişkili olmalıdır.
c ) Değişkenler arasında kurulan bağıntılar doğrusal olmalıdır.
d ) Bağımlı değişkenler negatif veya 0 olabilir.
e ) Kullanılacak kaynaklar sınırlı olmalıdır.
5) Aşağıda bir maksimizasyon doğrusal programlama probleminin grafik çözümü görülmektedir. Z amaç fonksiyonuna ilişkin eş kar doğrusu kesikli çizilmiştir. Bu grafiğe göre optimal çözüm hangi noktadır?
a) O noktası b) A noktası c) B noktası d) C noktası e) B ve C Noktaları
51
6) Aşağıdaki Grafik Yöntemle bulunan optimal çözüm olan A noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (\, [) b) (7, 0) c) (8,0) d) (0, 8) e) (7, 7) 7) Birinci kısıta ilişkin doğrunun ( I doğrusu ) eğimi kaçtır?
a) −4/5 b) 5/4 c) −a/b d) 4/5 e) −7/11
52
8) Aşağıda verilen grafikte koyu işaretli OABC bölgesi doğrusal programlamada hangi isimle adlandırılır?
a) Optimal çözüm bölgesi
b) Uygun olmayan çözüm bölgesi
c) Sonsuz çözüm bölgesi
d) Kesin çözüm bölgesi
e) Uygun çözüm bölgesi
9) Aşağıda verilen grafikte gri alan bir doğrusal programlama probleminin uygun çözüm bölgesini gösterdiğine göre, cmaks = ZW + b` amaç fonksiyonu B noktası için hangi değeri alır?
a) 35 b) Zd c) 42 d) 51 e) 60
53
10) Aşağıda verilen grafikte gri alan bir doğrusal programlama probleminin uygun çözüm bölgesini gösterdiğine göre, cmaks = ZW + b` amaç fonksiyonu A noktası için hangi değeri alır?
a) 21 b) 24 c) Yd d) 35 e) 40 Cevaplar
1) e, 2) c, 3) d, 4) d, 5) b, 6) a, 7) c, 8) e, 9) b, 10) c.
54
3. SİMPLEKS YÖNTEM ( MAKSİMİZASYON PROBLEMİ )
55
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
3.1. Simpleks Yöntem
3.2. Simpleks Yöntemle Çözüm Aşamaları
56
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Simpleks yöntem çözüm aşamalarını araştırınız.
2) Simpleks yöntemin temelinde bulunan temel çözümleri inceleyiniz.
57
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Simpleks Yöntemde
temel çözümler Temel çözümleri bilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
Simpleks Yöntem
Varsayımları Varsayımları bilmek Okuyarak, tekrar yaparak
Simpleks Yöntem
Aşamaları Simpleks Yöntem Aşamaları
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
58
Anahtar Kavramlar
• Simpleks Yöntem
• Büyük M Metodu
• Maksimizasyon Problemi
59
3.1. Giriş
Büyük e Metodu (Big e method) olarak da bilinen, George Bernard Dantzig tarafından 1947
yılında geliştirilen Simpleks Yöntemi Doğrusal Programlama (DP) probleminin optimum
çözümünü bulmak için uygulanması gereken kural ya da izlenmesi gereken sistematik süreçtir.
Simpleks bir yinelemeli hesaplama yöntemidir. Simpleks Yöntemde, doğrusal denklemler
sistemi için mümkün (olanaklı) temel çözümler aramaktadır, çözümlerin en uygun çözümler
olup olmadığını test etmektedir.
Simpleks tek bir noktada en iyi çözüm, birden fazla uç noktada en iyi çözüm, sınırsız çözüm ve
uygun çözüm alanı boş gibi karşılaştırılabilir tüm durumlara da cevap vermektedir.
Grafik yöntemden de hatırlanacağı üzere, Simpleks uygun bölgenin sınırları üzerinde uç
noktaları ziyaret ederek hangi noktada en uygun çözümün olduğunu araştırmaktadır. Simpleks
metot bu uç noktasından başlayarak optimuma daha yakın bir ikincisine, oradan bir üçüncüsüne
atlayarak uygun değer uç noktasına ulaşılmasını sağlamaktadır. Her atlayışta amaç fonksiyonu
optimuma biraz daha yaklaşmakta veya değerini muhafaza etmektedir. Simpleks uygun bir
başlangıç noktası alarak amaç fonksiyonunu iyileştiren yönde uygun bölgenin köşe noktalarını
kontrol ederek en iyi çözümü veren noktayı bulmaya çalışmaktadır. Simpleks metodu uygun
değer sonuca ulaşılana kadar veya en uygun değerin bağımsız olduğundan emin olana kadar
çözümleri geliştirmek için kullanılmaktadır.
3.2. Simpleks Yöntem
Simpleks yöntemin ilk adımı olarak yapılması gereken iş, verilen kısıtları eşitlik haline
dönüştürmektir. Bu dönüştürme sırasında verilen kısıt �)!) ≤ .! biçiminde ise, yani eşitsizlik ≤ ise, bu durumda sol taraf daha küçük veya en fazla eşit olduğu için f�g gibi bir değişken
eklenir. Bu değişken eklenerek eşitsizlik eşitlik durumuna getirilmiş olur. Eklenen bu değişkene
aylak (slack variable) değişken denir. Üretimde aylak değişken atıl (kullanılmayan) kapasiteyi
gösterir. Bir kısıtın sağ tarafı kapasiteyi gösterir. Eğer kapasite tam kullanılmış ise, eklenen
aylak değişkenin değeri sıfır demektir. Ancak kapasite tam kullanılmamış ise eklenen aylak
değişkenin değeri sıfırdan büyük olur.
Eğer verilen kısıt �)!! ≥ .! biçiminde bir eşitsizlik ise bu defa eşitliği sağlamak amacı ile sol
taraftan bir f�g gibi bir değişken çıkarılır. Bu değişkene artık değişken denir. Artık değişken
de aylak değişken gibi sol taraf sağ tarafa eşit olduğunda sıfır, sol taraf sağ taraftan büyük
olduğunda ise sıfırdan büyük (pozitif) olur. Eşitlik bu şekilde sağlanmış olur.
Eğer verilen kısıt eşitlik şeklinde ise, bu durumda Simpleks yöntem algoritmasının bir gereği
olan temel çözüm oluşturabilmek için bir h�g gibi yapay değişken eklenir. Yapay değişkenin
üretimde bir anlamı yoktur. Sadece Simpleks algoritmanın yürütülebilmesi amacı ile
matematiksel olarak gerekli olan bir değişken olarak kabul edilir.
Aşağıda verilen doğrusal programlama problemini Simpleks yöntemle bulmak istersek;
60
Z���� =3X + 2X� 2 + 3� ≤ 30 2 + � ≤ 18 ≥ 0;� ≥ 0 Bu problemde iki tane kısıt bulunmaktadır. Bu kısıtların ikisi de ≤ biçiminde verilmiştir. Sol
taraf sağ tarafa kıyasla ya küçük ya da en fazla eşittir. Eşitliği sağlamak amacı ile her iki kısıta
gerekli aylak (gevşek) değişkenler eklenerek, kısıtlar eşitlik haline getirilir.
2 + 3� + ] = 30 (2 + 3� + 1. ] + 0. ]� = 30) 2 + � + ]� = 18 (2 +� + 0. ] + 1. ]� = 18) Yukarıda oluşan eşitliklerin (kısıtların) matrisle gösterimi aşağıdaki gibi olur.
i2 3 1 02 1 0 1j k�]]� l = i
3018j Verilen doğrusal programlama modelinde buluna kısıtlar, eşitlik haline getirildiği zaman dört
değişkenli iki denklemden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. Bu denklem siteminin
çözümü araştırılırsa,
+ = i2 3 1 02 1 0 1j rank(+) = m(+) = 2 ve sağ + katsayılar matrisi ile sağ taraf sabitlerini de içeren genişletilmiş
matris aşağıdaki gibi olur.
(+; .) = i2 3 1 0 :302 1 0 1 :18j rank(+; .) = r(+; .) = 2 rank(+) = 2ve rank(+; .) = 2 eşit olduklarından ve değişken sayısı da 4 = 4 olduğundan,
denklem sisteminin sonsuz çözümü olur. Eğer değişkenlerden iki tanesine sıfır değeri verilirse,
geriye kalan değişkenlerin değerleri bulunabilir. İşte bir denklem sisteminde 4 −� tane
değişkene sıfır değerinin atanması ile bulunan çözümlere temel çözüm (basic solutions) denir.
Sıfır değerinin atandığı değişkenler temelde olmayan değişkenler (simpleks tabloda temel
değişken sütununda bulunmazlar), diğer değişkenlere ise temel değişken (simpleks tabloda
temel değişken sütununda bulunurlar) denir.
Örneğin 2 + 3� + ] = 30 biçiminde bir denklemde üç değişken bulunmaktadır. Üç
bilinmeyenli bir denklem sonsuz çözüme sahip demektir. Örneğin ve � değişkenleri 1 olur
61
ise ] = 25 çıkar. Benzer şekilde = 1 ve � = 2 olduğunda, ] = 22 çıkar. İşte bu örnekten
de anlaşıldığı gibi ve �’ye sonsuz tane farklı değer atanabilir, dolayısıyla denklemin sonsuz
çözümü olur. İşte bu örnekteki üç değişkenden iki tanesine sıfır değeri atanırsa, yani ve � sıfır değerine eşitse (yani A ve B ürününden henüz üretilmedi ise), ] = 30 olur. Zaten henüz
üretim başlamadığında, kapasiteler kullanılmadığından ] o kısıta ait toplam kapasiteyi
gösterir.
3.2.1. Temel Çözümler (Basic Solutions)
Benzer şekilde, = 0 ve ] = 0 olur ise, � = 10; � = 0 ve ] = 0 olur ise, = 15 olur.
Buradan da anlaşıldığı gibi bu eşitlik için 3 tane temel çözüm bulunmaktadır.
(1. Çözüm) ( = 0 ve � = 0 olsun)
(2. Çözüm) ( = 0 ve ] = 0 olsun)
(3. Çözüm) (� = 0 ve ] = 0 olsun)
4 değişkenli � tane eşitlik için, temel çözüm sayısı;
� p4�q = 4!�! (4 − �)! formülü ile hesaplanır. Örneğin 4 değişkenli (bilinmeyenli) 2 denklem verilmişse;
� p42q = 4!2! (4 − 2)! = 4.3.2!2! 2! = 6 tane temel çözüm bulunur. Şimdi iki denklemi birlikte düşünelim:
2 + 3� + 1. ] + 0. ]� = 30 2 +� + 0. ] + 1. ]� = 18 Temel değişkenler (Basic) ; ] ve ]� Temel olmayan değişkenler (Nonbasic) ; ve � s; Temel değişkenler
t; Temel olmayan değişkenler
+ = u, vw = xsty � = x�s�ty Kısıtlar; +. = .
62
u, vw xsty = ,. s + v. t = . Amaç Fonksiyonu; �z
� = �szs + �tzt
B matrisi (� ×�) kare matristir ve tersi alınabilir.
s = ,{. . − ,{. v. t
Amaç Fonksiyonu;
� = �szs + �tzt = �sz,{. − ((,{v)z�s − �t)zt
Örneğimizde 4 değişken (bilinmeyen = 4 = 4) bulunmaktadır.
i2 3 1 02 1 0 1j k�]]� l = i
3018j Bu örnek için 4’ün 2’li kombinasyonu kadar temel çözüm elde edilir. 4 değişkenden 2’sine sıfır
değeri atanarak diğer değişkenlerin aldığı değerler bulunur. Aşağıda �(4; 2) = 6 (kombinasyon) farklı temel çözümün ne olduğu gösterilmektedir.
(, �, ], ]�) = (0,0, ], ]�) (, �, ], ]�)� = (0, �, 0, ]�) (, �, ], ]�)L = (0, �, ], 0) (, �, ], ]�)| = (, 0,0, ]�) (, �, ], ]�)} = (, 0, ], 0) (, �, ], ]�)~ = (, �, 0,0)
3.3. Simpleks Yöntemle Çözüm Aşamaları
Yukarıda matematiksel modeli verilmiş olan doğrusal programlama problemini Simpleks
Yöntem ile çözümleyelim.
Z���� =3X + 2X� 2 + 3� ≤ 30
63
2 +� ≤ 18 ≥ 0; � ≥ 0 3.3.1. Modelin Standart Hale Getirilmesi ve Temel Değişkenlerin
Belirlenmesi
Çözümün birinci adımında model öncelikle standart hale getirilir. Bu amaç fonksiyonuna her
bir kısıt denklemi için bir tane olmak üzere 0 katsayılı “])” aylak değişkenleri eklenir. Bu
değerlerden her biri kısıt denklemlerine de eklenir. Kısıt denklemleri eşitsizlik yerine eşittir
olarak ele alınır.
Tablonun hazırlanmasına geçmeden önce temel değişkenler seçilmelidir. Her eşitlikte bir aylak
değişken olması ve eşitliklerin sağ taraflarının pozitif olması bulanacak temel çözümün uygun
(feasible) olacağını belirtir. Değişken sayısı 4, eşitlik sayısı 2 olduğundan 2 tane değişkeni
temel olmayan değişken olarak seçip onlara sıfır değeri atanır. Temel değişkenleri seçerken
eşitliklerde katsayısı 1 olanları seçmek kolaylık sağlayacaktır. Bu durumda ve � sıfır kabul
edilerek temel çözüm oluşturulur. Verilen doğrusal programlama modelinde bulunan kısıtlar
eşitlik durumuna getirildiğinde problemin standart hali aşağıdaki gibi olur. Standart form
oluşturulduğunda, Simpleks Yöntemin ilk tablosu oluşmuş olur. Başlangıç çözümde temel
değişkenler; ]ve]�, Temel olmayan değişkenler ve�’dir.
Z���� =3. X + 2. X� + 0. ] + 0. ]� 2 + 3� + 1. ] + 0. ]� = 30 2 +� + 0. ] + 1. ]� = 18 , �, ], ]� ≥ 0 1947 yılında George Dantzig ikiden fazla karar değişkenine sahip olan doğrusal modellerin
optimal çözümünün bulunmasını sağlayan Simpleks Yöntemi geliştirmiştir. Simpleks metodu
her adımda en çok kazanç sağlayacak değişkenin temel değişkenler grubuna katılmasını ve en
az getiri sağlayanın temel değişken grubundan ayrılması esasına göre çalışmaktadır. Grafik
çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının
bir köşe noktası ya da uç noktası ile ilişkiliydi. Simpleks yöntem esas olarak işte bu temel fikre
dayanmaktadır. Bir başka deyişle Simpleks yöntem cebrik bir yöntem olmasına rağmen
dayandığı temel fikir geometriktir.
64
Şekil 11 Birinci Simpleks Tablo
C� Temel
Değişken
C� 3 2 0 0
X� X X� S S� Oran
0 S 30 2 3 1 0 30/2 = 15
0 S� 18 2 1 0 1 18/2 = 9 ← Anahtar
Z� 0 0 0 0 0
Z� − C� -3 -2 0 0
↑
Anahtar
Bu tabloda C� amaç fonksiyonunda bulunan temel değişkenlerin katsayılarını, C� amaç fonksiyonu katsayılarını, Çözüm ise sağ ilk tabloda sağ taraf sabitlerini, optimal
tabloda problemin çözümünü, ve ]’ler ise problemin değişkenlerini, � amaç fonksiyonunun
her aşamada aldığı değeri, Z� − C� ise indeks satırını oluşturur. Tablo oluşturulduktan sonra sıra
temel değişkenlere girmesi gereken değişkeni seçmeye gelmektedir. Bu işlemi yaparken � amaç fonksiyonundaki katsayısı en büyük olan değişkeni temel değişken gurubuna almak
amaçlanır. Bunun için tabloda Z� − C� satırına bakılarak katsayısı negatif olan bir değişken
aranır. Eğer birden çok negatif katsayılı değişken varsa içlerinden en küçük katsayılı olanı giriş
değişkeni olarak seçilir.
Temele girecek değişken belirlendikten sonra, sıra temel değişkenlerden çıkacak değişkeni
belirlemeye gelir. Bunu yapmak için de ayrıldığında en az değer azalışına sebep olacak
değişken aranır. Tabloyu kullanarak bunu yapmak için çözüm sütunundaki değerleri, giren
değişken sütunundaki değerlere bölerek, negatif olmayanlar arasından en küçük olanı seçilir.
Bu bölme işleminde giren değişkenin sütunundaki negatif ve sıfır değerler işleme katılmaz.
3.3.2. Anahtar Sütun Seçimi
Maksimizasyon probleminde, Z� − C� satırındaki negatif sayıların en küçüğünün bulunduğu
sütun anahtar sütundur. Anahtar sütun seçimi ile temele sokulacak olan değişken belirlenir. Bir
başka ifade ile karı en yüksek olan ürün üretime sokulur. Benzer şekilde, minimizasyon
problemlerinde Z� − C� satırında bulunan pozitif sayıların en büyüğünün bulunduğu sütun
anahtar sütun olarak seçilir.
3.3.3. Anahtar Satır Seçimi
Anahtar satır belirlenirken, çözüm değerleri seçilen anahtar satır değerlerine karşılıklı olarak
bölünür. Çıkan sayılardan negatif olmayanlar arasından en küçük olanının bulunduğu satır
anahtar satır olarak belirlenir.
65
Simpleks algoritması gereği temele yazılan değişkenlerin sağında ve temel değişkenlerin
altında 1, diğer hücre değerleri 0 olur. Yani birim matris oluşur. Tablo 3.1 incelenirse, görülür
ki, S ve S� temel değişkenlerin sağında ve yine aynı değişkenlerin altında birim matris
oluşmuştur. Diğer hücrelerde ise ve � temel olmayan değişkenlerin katsayıları bulunur.
Anahtar sütun seçimi ile temele sokulacak değişken belirlenip, anahtar satır seçimi ile temelden
çıkacak olan değişken belirlendikten sonra sonraki tabloda yine yeni temel değişkenlerin
sağında ve yine aynı değişkenlerin altında birim matris oluşumunu sağlamak amacı ile
aşağıdaki elemanter satır işlemleri yapılarak bir sonraki tablo oluşturulur. Bu aşamada ]� temele girer, temel değişkenler arasından çıkarılır.
Anahtar satır ile anahtar sütunun kesişiminde bulunan sayıya anahtar sayı denir. Anahtar sayı
bir sonraki Simpleks Tablonun oluşturulmasında önemlidir. Temele giren yeni oluşacak
tabloda temel değişkenler arasında, ]� ise temel olmaktan çıkarılır. Yeni temel değişkenlerin
katsayıları birim matris oluşturmamaktadır. Temel değişkenlerin katsayılarını birim matris
yapmak amacı ile; Seçilen anahtar satır anahtar sayıya bölünür. Böylece anahtar sayının
bulunduğu hücredeki sayı sonraki tabloda 1 olur. Aynı sütunda bulunan diğer elemanlar ise
sıfırlanır. Bu işlem için elemanter satır işlemlerinden yararlanılır. 2. Denklemde zaten �’nin
katsayısı 1 olduğundan, satır doğrudan yazılır. İkinci satır belirlenmiş olur. İlk satır için
aşağıdaki elemanter satır işlemi yapılır.
(2 + � + 0. ] + 1. ]�)/2 = 18/2 + (1/2). � + 0. ] + (1/2). ]� = 9 (İkinci satır yazıldı)
−2 − � − 0. ] − 1. ]� = −18 2 + 3� + 1. ] + 0. ]� = 30 0. + 2. � + 1. ] − 1. ]� = 12 (İkinci satır -2 ile çarpılıp birinci satır ile toplandı,
birinci satır olarak yazıldı)
Oluşan yeni 2. Sipleks Tablo aşağıdaki gibi olur.
Şekil 12 İkinci Simpleks Tablo
C� Temel
Değişken
C� 3 2 0 0
X =Çözüm X X� S S� Oran
0 S 12 0 2 1 -1 12/2 = 6 ←
3 X 9 1 0,5 0 0,5 9/0,5 = 18
Z� 27 3 1,5 0 1,5
Z� − C� 0 -0,5 0 1,5
↑
66
2. tabloda Z� − C� satırı incelendiğinde, henüz negatif sayı bulunan hücre olduğundan, benzer
işlemler bir kez daha yapılır. Yani anahtar sütun ve anahtar satır işlemleri tekrarlanır. Bir
sonraki tabloda, X� temele girecek, Sdeğişkeni temel olmaktan çıkacaktır. Anahtar sayı ise
seçilen yeni anahtar sütun ile yeni anahtar satır kesişiminde bulunan 2 olacaktır.
Tekrar anahtar sayının bulunduğu satır, anahtar sayıya bölünür. Bu şekilde, temele yeni giren
X�’nin sağında ve aynı değişkenin altında 1 oluşur. Sonraki tablonun ilk satırı belirlenmiş olur.
X�’nin altında bulunan diğer katsayının sıfırlanması için, birinci satır (-1/4) ile çarpılır, ikinci
satırla toplanır ve ikinci satıra yazılır. Bu işlemlerle yeni temel değişkenlerin altında birim
matris sağlanmış olur.
Şekil 13 Optimal Simpleks Tablo
C� Temel
Değişken
C� 3 2 0 0
Çözüm X X� S S� 2 X� 6 0 1 0,5 -0,5
3 X 6 1 0 -0,25 0,75
Z� 30 3 2 0,25 1,25
Z� − C� 0 0 0,25 1,25
Yukarıdaki tabloda görüldüğü gibi, Z� − C� satırında negatif sayı bulunan hücre kalmadığından,
işlemlere son verilir. Optimal çözüm elde edilmiş olur.
X = 6 (+ ürününden 6 tane üretilecek)
X� = 6 (, ürününden 6 tane üretilecek)
S = 0 (Birinci kapasite tam kullanılmış olacaktır, atıl kapasite sıfır)
S� = 0 (İkinci kapasite tam kullanılmış olacaktır, atıl kapasite sıfır)
Bu durumda, atölyede üretimden (satıştan) elde edilen kar maksimum olacaktır.
Z� = Z���� = 30 Örnek:
�maks = 50 + 80� + 2� ≤ 32 3 + 4� ≤ 84 ; � ≥ 0
67
Yukarıda verilen doğrusal programlama probleminin optimum çözümünü Simpleks Yöntem
kullanarak elde ediniz.
Çözüm:
İlk olarak modelde verilen kısıtlar eşitlik haline getirilir. Eşitlik haline getirilirken gevşek
değişkenler eklenir.
Z���� =50. X + 80. X� + 0. ] + 0. ]� + 2� + 1. ] + 0. ]� = 32 3 + 4. � + 0. ] + 1. ]� = 84 , �, ], ]� ≥ 0
Şekil 14 Başlangıç Simpleks Tablo
C� Temel
Değişken
C� 50 80 0 0
Çözüm X X� S S� Oran
0 S 32 1 2 1 0 32/2=16
0 S� 84 3 4 0 1 84/4=21 ←
Z� 0 0 0 0 0
Z� − C� -50 -80 0 0
↑
Şekil 15 İkinci Simpleks Tablo
C� Temel
Değişken
C� 50 80 0 0
Çözüm X X� S S� Oran
80 X� 16 1/2 1 1/2 0 16/0,5=32
0 S� 20 1 0 -2 1 20/1=20 ←
Z� 1280 40 80 40 0
Z� − C� -10 0 40 0
↑
68
Şekil 16 Optimal Simpleks Tablo
C� Temel
Değişken
C� 50 80 0 0
Çözüm X X� S S� 80 X� 6 0 1 3/2 -1/2
50 X 20 1 0 -2 1
Z� 1480 50 80 20 10
Z� − C� 0 0 20 10
Verilen kısıtlar için grafik yöntemle bulunan köşe nokta çözümleri ise benzer şekilde
aşağıdaki gibi olur.
�(0, 0) = 0, �(0, 16) = 50. (0) + 80. (16) = 1280, �(28, 0) = 50(28) + 80(0) = 1400, �(20, 6) = 50(20) + 80(6) = 1000 + 480 = 1480. Böylece, Maks�(H, I) = �(20, 6) = 1480.
69
Uygulamalar
1) Aşağıda verilen doğrusal probleminin optimum tablosunu simpleks yöntemle elde ediniz.
Sadece optimal tabloyu yazınız.
Çözüm:
0,
42
4 3
86
21
21
21
21
≥
≤+
≤+
+=
XX
XX
XX
XXZ enb
70
Uygulama Soruları
1) Doğrusal Programlama modelini Simpleks Yöntem ile çözümleyelim.
Z��� =4X + X� + 3XL + 5X| 3 + � + L + 6| ≤ 20 + � + L + | ≤ 12 2 + � + 4L + 8| ≤ 30 , �, L, | ≥ 0 Çözüm:
Çözümün birinci adımında soru öncelikle standart hale getirilir. Bu Amaç
Fonksiyonuna her bir kısıt denklemi için bir tane olmak üzere 0 katsayılı “])” aylak
değişkenleri eklenir. Bu değerlerden her biri kısıt denklemlerine de eklenir. Kısıt denklemleri
eşitsizlik yerine eşittir olarak ele alınır.
���� =4 + � + 3L + 5| + 0f + 0f� + 0fL 3 + � + L + 6| + ] = 20 + � + L + | + ]� = 12 2 + � + 4L + 8| + ]L = 30 , �, L, | ≥ 0 Örnek problemin başlangıç tablosu
Amaç
Katsayısı Temel
�! 4 1 3 5 0 0 0
Çözüm � L | ] ]� ]L 0 ] 20* 3 1 1 6** 1 0 0
0 ]� 12 1 1 1 1 0 1 0
0 ]L 30 2 1 4 8 0 0 1
�! 0 0 0 0 0 0 0 0
�! − �! -4 -1 -3 -5* 0 0 0
71
�! satırına yazılan değerler amaç fonksiyonuna bağlı değişkenlerin katsayıları iken; ], ]� ve ]L bulunduğu satırlarda yer alan sayılar ise her bir aylak değişkenin, yer aldığı
denklemdeki kısıtların katsayılarını içermektedir. �! satırın, henüz sorunun ilk Simpleks
tablosu olduğu ve üretime başlanmadığı ve kapasitelerin boş kabul edildiğini ifade
etmektedir. Tablo oluşturulup �! − �! satırı hesaplandıktan sonra anahtar sütun tespiti yapılır.
Bu satırdaki sonuçlar içinde en küçük negatif değer 5’tir. Bu değerin bulunduğu sütun anahtar
sütun olarak alınır. Soru maksimizasyon sorusu olduğu için en büyük pozitif değer alınmıştır.
Eğer minimizasyon sorusu söz konusu olsaydı sonuçlar içerisindeki en büyük pozitif değerin
bulunduğu sütun anahtar sütun olarak tanımlanacaktır. Anahtar sütun üzerindeki “�! − �!”
değeri (5) sütunda, kısıt denklemlerine ait katsayıların tümüne bölünür ve en küçük değerin
bulunduğu hücredeki eleman (6) anahtar eleman; bulunduğu satır da anahtar satır seçilir.
İkinci aşamanın ilk adımında, oluşturulacak tabloda anahtar satır olarak tespit edilen
“Temel” sütunundaki ] yerine; anahtar sütun olarak tespit edilen “|” yazılır. İlk tabloda
anahtar satır üzerindeki tüm değerler, anahtar elemana bölünür; elde edilen sonuçlar ikinci
tabloda | satırındaki değerler olarak yazılır.
Örnek problemin ikinci tablosu
Amaç
Katsayısı Temel
�! 4 1 3 5 0 0 0
s � L | ] ]� ]L
5 | 20/6 1/2 1/6 1/6 1 1/6 0 0
0 ]� 26/3 1/2 5/6 5/6 0 -1/6 1 0
0 ]L 10/3* -2 -1/3 8/3** 0 -4/3 0 1
�! 50/3 5/2 5/6 5/6 5 5/6 0 0
�! − �! -3/2 -1/6 -13/6* 0 5/6 0 0
İkinci aşamanın ilk adımı ile sarı ile gösterilen satır yazılmıştır. ]�ve ]L satırlarına ait ) kısıtlarının katsayıları; birinci tabloda bu satırlarda bulunan katsayı değerlerinin, ikinci
tablonun ilk adımında (sarı renkli satır) belirlenen katsayılardan aynı hizadakilerin
birbirlerinden çıkarılması ile elde edilmiştir. Her “Temel” satır için katsayılar belirlendiğinde �! satırı ve �! − �! satırı tekrar hesaplanarak, birinci tabloda olduğu gibi sırasıyla anahtar
sütun; anahtar eleman ve satır belirlenir. Önceki adımlarda yapılan tüm işlemler optimum
Simpleks tablo elde edilinceye (optimum çözüm bulununcaya) kadar sürdürülür.
72
Bu süreç �! − �! satırındaki tüm değerler 0 veya pozitif olana kadar devam edilir. Bu
koşul maksimizasyon problemi için geçerlidir. Minimizasyon problemlerinde ise �! − �! satırı 0 ve negatif değerler elde edilene kadar Simpleks tablosu oluşturulmaya devam edilir.
Bazı kaynaklarda �! − �! yerine �! − �! biçiminde görülebilir.
Örnek soru 4. Simpleks Tablosu (aşağıda) yapıldığında �! − �! satır değerleri 0 ve
daha küçük olduğu için çözüme ulaşıldığı kabul edilir.
Örnek problemin optimum tablosu
Amaç
Katsayısı Temel
�! 4 1 3 5 0 0 0 0
Çözüm �� �X �Y �Z �b �X �Y �Z 4 �b 5 1 3/10 0 8/5 2/5 0 0 -1/10
0 �Y 2 0 3/5 0 -9/5 -1/5 1 0 -1/5
3 �Z 5 0 5/10 1 12/10 -2/10 0 1 3/10
�! 35 5 3/2 3 10 1 0 1/2
�! − �! 0 1 1/2 0 5 1 0 1/2
Buna göre; | = 5 , L = 5, ]� = 2 birim üretilerek amaç fonksiyonu (�����) en
büyük değeri olan 35 birime ulaşacaktır.
73
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde, Doğrusal Programlama modelinin Simpleks Yöntemle Çözümü,
varsayımları, çözüm aşamaları gösterilmiştir. Örnek olarak bir model maksimizasyon problemi
Simpleks Yöntem aşamaları kullanılarak çözülmüştür.
74
Bölüm Soruları
1) Sandalye ve koltuk imalatı yapan bir mobilyacı üretim için tahta ve boya
kullanmaktadır. Bir sandalye üretimi için 3 m3 tahta ve 1 kg boya kullanılırken, 1 koltuk için
ise 4 m3 tahta ve 1 kg boya gerekmektedir. Çeşitli nedenlerden dolayı mobilyacının
sağlayabildiği tahta miktarı günlük 92 m3 ve boya miktarı da 20 kg ile sınırlıdır. Ürettiği
sandalyelerin her biri mobilyacıya 300 TL, koltukların her biri ise 400 TL kar bırakmaktadır.
Bu bilgiler ışığında mobilyacının amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim
bileşimini seçmektir. Buna göre soruya ait doğrusal programlama modelinin amaç fonksiyonu
hangisidir?
a) Z��� =275X +300X� b ) Z��� =92X + 20X� c ) Z��� = 300X +400X� d ) Z��� =92X + 300X� e ) Z��� =300X + 20X� 2) SUHA işletmesi � ve � markalarında iki tip buzdolabı üretmektedir. Her bir � marka
buzdolabının üretimi için a entegre ve Z dijital ekran ve � marka buzdolabı için de Y entegre
ve b dijital ekran kullanılmaktadır. Kullanılabilir entegre miktarı 1200 adet ve dijital ekran ise
800 adettir. Üretilecek olan her bir � buzdolabının net karı 500 TL ve her bir � buzdolabının
net karı 300 TL’dir. Buna göre kar maksimizasyonu problemine ilişkin doğrusal programlama
modeli aşağıdakilerden hangisidir?
a) Z��� =500X +300X� 5X +2X� ≤ 1200 3X +4X� ≤ 800 X; X� ≥ 0
b) Z��� =500X +300X� 5X +3X� ≤ 1200 2X +4X� ≤ 800
X; X� ≥ 0 c ) Z��� =1200X +800X� 5X +3X� ≤ 1200 2X +4X� ≤ 800
X; X� ≥ 0
d ) Z��� =1200X +800X� 5X +3X� ≤ 1200 2X +4X� ≤ 800 X; X� ≥ 0
75
e ) Z��� =1200X +800X� 5X +3X� ≤ 600 2X +4X� ≤ 400 X; X� ≥ 0
3) Maksimizasyon problemi için optimallik koşulu ne zaman gerçekleşir?
a) �! ≤ 0 olduğunda
b) �! ≥ 0 olduğunda
c) �! − �! ≤ 0 olduğunda
d) �! − �! ≥ 0 olduğunda
e) �! − �! = 0 olduğunda
4) Küçük eşittir (�)!! ≤ .)) biçiminde verilen bir kısıtı eşitlik durumuna getirmek için
eklenen değişkene ne ad verilir?
a) Artık değişken
b) Aylak değişken
c) Yapay değişken
d) Eşitlik değişkeni
e) Sanal Değişken
5) Büyük eşittir biçiminde (�)!! ≥ .)) verilen bir kısıtı eşitlik biçimine dönüştürmede
bir değişken çıkarılır. Bu değişkene hangi ad verilir?
a) Yapay değişken
b) Aylak değişken
c) Artık değişken
d) Eşitlik değişkeni
e) Sanal Değişken
76
6) Eşitlik biçiminde (�)!! = .)) verilen bir kısıtı kanonik formdan standart forma
geçirirken simpleks algoritmasını yürütebilmek amacı ile +1 katsayılı bir değişken eklenir. Bu
değişkenin adı nedir?
a) Yapay değişken
b) Aylak değişken
c) Artık değişken
d) Eşitlik değişkeni
e) Sanal Değişken
7) ZW + b` + Y� ≤ bd şeklinde verilen bir kısıtı eşitlik haline getirmek için
aşağıdakilerden hangisi yapılmalıdır?
a) Eşitsizliğin sol tarafına yapay değişken (h�g) eklenir.
b) Eşitsizliğin sol tarafına dual değişken (I�g) eklenir.
c) Eşitsizliğin sol tarafından yapay değişken (h�g) çıkarılır.
d) Eşitsizliğin sol tarafından artık değişken (f�g) çıkarılır.
e) Eşitsizliğin sol tarafına aylak değişken (��gX) eklenir.
8) Z\W + Y\` + Xa� ≥ �\ kısıtı hangisinde doğru değişken eklenerek veya
çıkarılarak simpleks algoritmasına uygun eşitlik haline getirilmiştir?
a) 30H + 20I + 15� = 60 b) 30H + 20I + 15� − f = 60 c) 30H + 20I + 15� − f + h = 60 d) 30H + 20I + 15� + f = 60 e) 30H + 20I + 15� + h = 60 9) En büyükleme (Maksimizasyon) amaçlı bir doğrusal programlama probleminde
temele girecek (çözüme girecek) değişken nasıl belirlenir?
a) �! − �! satırında bulunan negatif elamanlardan mutlak değerce en büyük değerin
bulunduğu sütundaki değişken seçilir.
b) �! − �! satırında bulunan pozitif değerlerden en büyük değerin bulunduğu sütundaki
değişken seçilir.
77
c) �! − �! satırında bulunan pozitif değerlerden en küçük değerin bulunduğu sütundaki
değişken seçilir
d) �! − �! satırında bulunan negatif olan değerlerden mutlak değerce en küçük değerin
bulunduğu sütundaki değişken seçilir.
e) Hangi değişkenin seçileceği bilinmez.
10) Aşağıda verilen doğrusal programlama modelinin başlangıç uygun çözümünde
bulunan temel (basic) değişken ikilisi hangisinde doğru verilmiştir?
c��W = b\�X + a\�Y + \. �X + \. �Y �X + Y�Y + X. �X + \. �Y = b\ b�X + Z�Y + \. �X + X. �Y = XY\
�X, �Y, �X, �Y ≥ \
a) (,�) b) (,]) c) (�,]) d) (�,]�) e) (],]�) Cevaplar
1) c, 2) a, 3) c, 4) b, 5) c, 6) a, 7) e, 8) c, 9) a, 10) e
78
4. SİMPLEKS YÖNTEM (MİNİMİZASYON PROBLEMİ)
79
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
4.1. Minimizasyon Probleminin Simpleks Yöntemle Çözümü
4.2. Minimizasyon Probleminde Yapay Değişkenler
80
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Simpleks yöntem çözüm aşamalarını araştırınız.
2) Minimizasyon problemi çözüm aşamalarının farkı nedir?
81
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Simpleks Yöntemde
minimizasyon problemi
çözmek
Simpleks Yöntem kullanarak
minimizasyon problemini
çözebilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
Simpleks Yöntem
Aşamaları Simpleks Yöntem Aşamaları
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
82
Anahtar Kavramlar
• Simpleks Yöntem
• Minimizasyon Problemi
83
Giriş Doğrusal Programlama modelinde bulunan kısıtlar “≤” yerine “≥” olduğunda, standart
formata geçirildiğinde, kısıtlara eklenecek değişkenlerin katsayıları “−1” olur ve eşitliklerin
sağ tarafının pozitif olması şartı sebebiyle temel değişkenlerin seçiminde eklenen değişkenler
kullanılamaz. Bu durumda bu problemin Simpleks Yöntemle çözümü, sisteme yeni yapay
değişkenler eklenerek oluşturulabilir. Yapay değişkenlerin çözüme etki etmemesi için,
çözümde bu değişkenlerin 0 olmasının sağlanması gerekmektedir. Bunu yapmak için amaç
fonksiyonuna “e” olarak göstereceğimiz çok büyük bir katsayı ile eklenir ve optimum
çözümde sistemin bu değişkenleri 0 yapması sağlanır.
Eğer aşağıdaki matrisleri şu şekilde tanımlarsak:
� = �� ⋯ ��⋮ ⋱ ⋮�% ⋯ �%�� , W = �H⋮H�� , � = �
.⋮.%� Yukarıdaki DP’ı �W = � biçiminde gösterebiliriz.
Minimizasyon problemine ait bir matematiksel model örneği aşağıdaki gibi olur.
(MEYPA Örneği)
��#$ = 7 + 9� 5 + 10� ≤ 1000 ≥ 50 � ≥ 50 , � ≥ 0
84
4.1. Minimizasyon Probleminin Simpleks Yöntemle Çözümü
Doğrusal Programlama modelinde bulunan kısıtlar “≤” yerine “≥” olduğunda,
standart formata geçirildiğinde, kısıtlara eklenecek değişkenlerin katsayıları “−1” olur ve
eşitliklerin sağ tarafının pozitif olması şartı sebebiyle temel değişkenlerin seçiminde eklenen
değişkenler kullanılamaz. Bu durumda bu problemin Simpleks Yöntemle çözümü, sisteme yeni
yapay değişkenler eklenerek oluşturulabilir. Yapay değişkenlerin çözüme etki etmemesi için,
çözümde bu değişkenlerin 0 olmasının sağlanması gerekmektedir. Bunu yapmak için amaç
fonksiyonuna “e” olarak göstereceğimiz çok büyük bir katsayı ile eklenir ve optimum
çözümde sistemin bu değişkenleri 0 yapması sağlanır. Aşağıdaki örnek üzerinde bütün adımlar
anlatılacaktır.
4.1.1. Doğrusal Programlama Modelinin Kanonik Formdan Standart Forma Dönüşümü
“≤” biçiminde verilmiş ise; model standart forma geçirilirken, verilen kısıtın sol tarafına ] gibi bir aylak değişken (slack variable) eklenir. Bu eklenen değişken verilen kısıt için
kullanılmayan atıl kapasiteyi göstermektedir.
Örnek:
Kanonik biçimde verilmiş olan doğrusal programlama modelinin herhangi bir kısıtı
aşağıdaki gibi “≤” biçiminde verilmiş ise; bu kısıtı eşitlik halinde yazabilmek için (standart
formda yazma) verilen kısıta bir aylak değişken (]) eklenir.
+ 2� ≤ 5 (Kanonik form) (Hammadde kısıtı)
+ 2� + ] = 5 (Standart form) (Hammadde kısıtı)
]: Aylak değişken, kullanılmayan (atıl) hammadde miktarını gösterir.
“≥” biçiminde verilmiş ise; model standart forma geçirilirken, verilen kısıtın sol tarafına ], ]�, ]L… gibi bir aylak değişken çıkarılır, h, h�, hL… gibi bir yapay değişken eklenir. Bu
eklenen değişkenin birincisi büyük olan kısmı azaltıp eşitlik haline getirmek için, ikinci eklenen
yapay değişken ise Simpleks altyapısı algoritmayı yürütebilmek içindir.
Örnek:
Kanonik biçimde verilmiş olan doğrusal programlama modelinin herhangi bir kısıtı
aşağıdaki gibi “≥” biçiminde verilmiş ise; bu kısıtı eşitlik halinde yazabilmek için (standart
formda yazma) verilen kısıttan (], ]�, ]L… ) gibi bir artık değişken çıkarılarak eşitlik haline
getirilmiş olur. Ancak eklenen değişkenin katsayısı −1 olduğundan (Simpleks yöntem gereği
eklenen değişkenlerin +1 katsayılı olması gereğinden) ikinci bir değişken daha eklenir. Bu da
üretimde anlamı olmayan yapay bir değişkendir. (h)
85
3 + 4� ≥ 12 (Kanonik form)
3 + 4� − ] + h = 12 (Standart form)
]: Artık değişken, eşitliği sağlamak amacı ile çıkarıldı, yani (−1) katsayı ile standart
forma getirildi. h değişkeni ise yapay bir değişken olarak eklendi.
“=” biçiminde verilmiş ise; model standart forma geçirilirken, verilen kısıtın sol tarafına h, h�, hL… gibi bir yapay değişken eklenir. Bu değişken Simpleks yöntem gereği eklenen
(birim matris oluşturabilmek için, değişkenlerin +1 katsayılı olması gereğinden) eklenir. Bu da
üretimde anlamı olmayan yapay bir değişkendir.
Örnek:
Kanonik biçimde verilmiş olan doğrusal programlama modelinin herhangi bir kısıtı
aşağıdaki gibi “=” biçiminde verilmiş ise; bu kısıtı doğrudan eşitlik olduğu için sadece
(Simpleks yöntem gereği eklenen değişkenlerin +1 katsayılı olması gereğinden) bir değişken
daha eklenir. Bu da üretimde anlamı olmayan yapay bir değişkendir. (h, h�, hL… )
5 + 2� = 15 (Kanonik form)
5 + 2� + h = 15 (Standart form)
h: Eklenen bu değişken ise yapay bir değişkendir. Sadece Simpleks algoritmasını
matematiksel olarak yürütebilmek için eklenir.
Örnek:
Aşağıda verilen doğrusal programlama minimizasyon problemini Simpleks Yöntem
kullanarak çözünüz.
�min = 2 + � 3 + � = 3 4 + 3� ≥ 6 + � ≤ 4 , � ≥ 0 Çözüm:
Amaç Fonksiyonu,
�min = 2 + � Kısıtlar:
86
3 + � = 3 (“=” kısıtı olduğu için h yapay değişkeni eklenir.)
4 + 3� ≥ 6 (“≥” durumunda, ] artık değişkeni çıkarıldı, h� yapay değişkeni
eklenir)
+ � ≤ 4 (“≤” kısıtı olduğu için sadece ]� aylak değişkeni eklenir)
, � ≥ 0 Kanonik formda verilmiş olan problem ilk olarak standart formda (eşitlik kısıtları)
yazılır. Eşitlik haline getirebilmek için önceki bölümde de anlatıldığı gibi yapılır. Bu
dönüştürme sırasında verilen kısıt a#�X# ≤ b� biçiminde ise, yani eşitsizlik ≤ ise, bu durumda
sol taraf daha küçük veya en fazla eşit olduğu için f�g gibi bir değişken eklenir. Eğer verilen
kısıt a#�# ≥ .� biçiminde bir eşitsizlik ise bu defa eşitliği sağlamak amacı ile sol taraftan bir s$g gibi bir değişken çıkarılır. +1 katsayılı değişken bulunmayacağından, eşitlik halinde
verilmiş olan denklemlere de h�g yapay değişkeni eklenir. Eklenen değişkenin üretimde bir
anlamı yoktur. O nedenle optimum çözümde, bu eklenen yapay değişkenlerin temel değişken
listesinden çıkmış olması gerekir. Bunu yapabilmek için düşünülebilen en büyük pozitif bir sayı
olan e ile çarpılarak amaç fonksiyonuna konur. Bu sayede, amaç fonksiyonu h değişkenlerinin
sıfır olmaması durumunda çok büyüyecektir. Ancak Simpleks Yöntem algoritması, problemin
optimum çözümü var ise, bu yapay değişkenleri temel olmaktan çıkaracak ve sıfır değeri atanan
temel olmayan değişkenler arasına sokacaktır. (Maksimizasyon problemlerinde ise –e
katsayıları ile çarpılarak amaç fonksiyonuna konur.) Problem standart forma getirildiğinde
aşağıdaki gibi olur.
Amaç fonksiyonunun yeni hali:
�min = 2 + � − 0. ] + 0. ]� +e. h +e. h� Kısıtların yeni hali:
3 + � + h = 3 4 + 3� − ] + h� = 6 + � + ]� = 4 , �, h, ], h�, ]� ≥ 0 Standart formun doğru oluşturulmasıyla, başlangıç Simpleks Tablo oluşmuş olur.
87
Şekil 17 Başlangıç Simpleks Tablo
�� Temel
�� 2 1 0 0 e e
Çö�ü� �X �Y �X �Y �X �Y Oran
e �X 3 3 1 0 0 1 0 3/3 ←
e �Y 6 4 3 -1 0 0 1 6/4
0 �Y 4 1 1 0 1 0 0 4/1
�! 9e 7e 4e −e 0 e e
�! − �! 7e − 2 4e − 1 −e 0 0 0
↑
Anahtar sütun seçilirken �! − �! satırında, en büyük sayının olduğu (7e − 2) sütun,
anahtar satır ise en küçük negatif olmayan oran sahip (3/3) satırı anahtar satır olarak seçilir.
Dolayısıyla temel değişken olacak, h, temel değişken listesinden çıkacaktır. Anahtar sütun
ile anahtar satır kesişiminde bulunan 3 sayısı anahtar sayıdır.
Temelde bulunan h, yerine yazılır. Anahtar satır anahtar sayı olan 3’e bölünür.
İkinci satır yazılır. Anahtar sayının bulunduğu hücre yeni oluşturulan tabloda 1 olur. Anahtar
sayının altında ve üstünde kalan 1 ve 3 sayılarını, birim matrise benzetme adına sıfır yapmak
amacı ile elemanter satır işlemleri uygulanır. Simpleks Yöntem adımları uygulandığında,
elemanter satır işlemleri sonucunda ikinci Simpleks tablo aşağıdaki gibi olur.
88
Şekil 18 İkinci Simpleks Tablo
�� Temel
�� 2 1 0 0 e e
Çözüm �X �Y �X �Y �X �Y Oran
2 �X 1 1 1/3 0 0 1/3 0 3
e �Y 2 0 5/3 -1 0 -4/3 1 6/5 ←
0 �Y 3 0 2/3 0 1 -1/3 0 9/2
�! 2e + 2 2 5e3 + 2/3 −e 0
−4e3+ 2/3 e e
�! − �! 0 5e3 − 1/3 −e 0 −7e3+ 2/3 0 0
Dikkat edilmesi gereken bir diğer olay da problemin en küçükleme problemi olduğudur.
Bu durumda anahtar sütun seçimi yapılırken, pozitifler arasında en büyük sayının bulunduğu
sütun giriş değişkeni seçilirken en küçük olan değil, en büyük katsayısı olan seçilecektir.
Problem �! − �! satırında hiç pozitif katsayı kalmayınca duracaktır.
Benzer adımlar ikinci tablo sonrasında da yapılırsa, bir sonraki tabloda optimum
çözüme ulaştığı görülür. Bu şekilde M metodunu kullanarak problem çözülmüş olur.
Şekil 19 Optimal Simpleks Tablo
�� Temel
�� 2 1 0 0 e e
Çö�ü� �X �Y �X �Y �X �Y 2 �X 0,6 1 0 0,2 0 0,6 -0,2
1 �Y 1,2 0 1 −0,6 0 −0,8 0,6
0 �Y 2,2 0 0 0,4 1 0,2 −0,4 �! 2,4 2 1 −0,2 0 0,4 0,2
�! − �! 0 0 −0,2 0 0,4 − e 0,2 − e
89
Optimum Simpleks Tablodan, Çözüm değerleri okunur.
Temel Değişkenler,
= 0,6 � = 1,2 ]� = 2,2 Temel olmayan değişkenler zaten sıfır idi. (Simpleks Yöntem Algoritmasının
altyapısında bulunan temel çözüm mantığı gereği)
] = 0 h = 0 h� = 0 Bu durumda minimum maliyet;
�min = 2,4 olur. Çözüm değerleri incelenirse, h = 0 ve h� = 0 yapay değişkenleri konu içerisinde
de anlatıldığı gibi üretimce anlamı olmayan değişkenlerdi. Sıfır çıkmaları durumunda ancak
problemin çözümüne ulaşılabiliyordu. İşte bu problemin optimum çözümünde bu değişkenler
sıfırlanmış oldu ve e değerlerinden optimum tabloda (son tabloda) kurtulmuş olundu.
Minimizasyon problemlerini bir diğer şekilde, maksimizasyon problemine benzeterek
çözmektir. Verilen minimizasyon probleminde amaç fonksiyon katsayılarını -1 ile çarparak,
bütün adımlarda maksimizasyon problemi adımları uygulanır ve son tablodan problem çözüm
değerleri okunur.
90
Uygulamalar
1) Aşağıda verilen problemi Simpleks Yöntem kullanarak çözünüz
Z�#$ =30 + 18� 2 + 2� ≥ 3 3 + � ≥ 2 ≥ 0; � ≥ 0 Verilen doğrusal programlama modelinde bulunan kısıtlar eşitlik durumuna getirildiğinde;
Z�#$ =30. + 18. � + 0. ] + 0. ]� +e. h +e. h� 2 + 2� − 1. ] + 0. ]� + 1. h + 0. h� = 3 3 + � + 0. ] − 1. ]� + 0. h + 1. h� = 2 , �, ], ]�, h, h� ≥ 0
C� Temel
Değişken
C� 30 18 0 0 e e
Çözüm X X� S S� h h� Oran
e h 3 2 2 -1 0 1 0 3/2
e h� 2 3 1 0 -1 0 1 2/3 ←
Z� 5e 5e 3e −e −e e e
Z� − C� 5e − 30 3e − 18 −e −e e e
↑
C� Temel
Değişken
C� 30 18 0 0 e e
Çözüm X X� S S� h h� e h 5/3 0 4/3 -1 -2/3 1 -2/3 ← 18 X 2/3 1 1/3 0 -1/3 0 1/3
Z� 5/3e + 12 18 4e/3 + 6 −e −e e e
Z� − C� 0 4e/3− 12 −e −2M/3− 6 0 0
↑
91
Optimum simpleks tablo
C� Temel
Değişken
C� 30 18 0 0 e e
Çözüm X X� S S� h h� Oran
e h 3 2 2 -1 0 1 0 3/2
e h� 2 3 1 0 -1 0 1 2/3 ←
Z� 5e 5e 3e −e −e e e
Z� − C� 5e − 30 3e − 18 −e −e e e
↑
2) Aşağıda verilen doğrusal programlama modelinin standart forma getiriniz. Başlangıç
Simpleks tabloyu oluşturunuz. Anahtar sütunu ve anahtar satırı belirleyiniz. Anahtar elemanı
bulunuz.
Çözüm:
a) � = 2 − � fonksiyonunu
+ � ≤ 8 5 + 3� ≥ 30 , � ≥ 0 Kısıtları doğrultusunda minimize ediniz.
Çözüm:
Önce kısıtları eşitlik durumuna getirelim:
+ � + ] = 8 5 + 3� − ]� + h = 30 Eklenen değişkenlerle birlikte amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
�min = 2 − � + 0. ] + 0. ]� +e. h
92
Eklenen değişkenlerle birlikte negatif olmama koşulu:
, �, ], ]�, h ≥ 0 Başlangıç simpleks tablo:
C� Temel
Değişken
C� 2 −1 0 0 e
Çözüm X X� S S� h Oran
0 ] 8 1 1 1 0 0 8/1
e h 30 5 3 0 -1 1 30/5 ←
Z� 30e 5e 3e 0 −e e
Z� − C� 5e − 2 3e + 1 0 −e 0
↑
Anahtar satır Oran sütununda (30/5)’in bulunduğu satır.
Anahtar sütun Z� − C�satırında en büyük pozitif sayının bulunduğu sütun anahtar sütundur.
(5e − 2) Anahtar eleman ise, anahtar sütun ile anahtar satırın kesişimindeki eleman (5) değerinin
bulunduğu hücre.
93
Uygulama Soruları
Soru:
� = 3 + 2� fonksiyonunu
3 + � = 12 4 + 3� ≥ 30 , � ≥ 0 Kısıtları doğrultusunda minimize ediniz.
Çözüm:
Önce kısıtları eşitlik durumuna getirelim: İlk kısıt zaten eşitlik olduğu için sadece
yapay değişken eklenir. İkinci kısıt büyük eşit (≥) olduğundan bir artık değişken çıkarılır ve
bir de yapay değişken eklenir.
3 + � + h = 12 4 + 3� − ]� + h� = 30 Eklenen değişkenlerle birlikte amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
�min = 3 + 2� +e. h + 0. ]� +e. h� Eklenen değişkenlerle birlikte negatif olmama koşulu:
, �, ], h, h� ≥ 0 Başlangıç simpleks tablo:
C� Temel
Değişken
C� 3 2 e 0 e
Çözüm X X� u S h� Oran
e h 12 3 1 1 0 0 12/3 ←
e h 30 4 3 0 -1 1 30/4
Z� 42e 7e 4e e −e e
Z� − C� 7e − 3 4e − 2 0 −e 0
94
Anahtar satır; Oran sütununda (12/3)’in bulunduğu satır. Negatif olmayan oranların
en küçüğünün bulunduğu satır (sıfır var ise o satır veya pozitiflerin arasından en küçük
sayının olduğu satır).
Anahtar sütun Z� − C�satırında en büyük pozitif sayının bulunduğu sütun anahtar
sütundur.
(7e − 3) Anahtar eleman ise, anahtar sütun ile anahtar satırın kesişimindeki eleman (3)
değerinin bulunduğu hücredir.
95
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde, Doğrusal Programlama modelinin Simpleks Yöntemle Çözümü, varsayımları,
çözüm aşamaları gösterilmiştir. Simpleks Yöntem yardımı ile minimizasyon probleminin
çözümü anlatılmıştır.
96
Bölüm Soruları
1) En küçükleme (Minimizasyon) amaçlı bir doğrusal programlama probleminde temele
girecek (çözüme girecek) değişken nasıl belirlenir?
a) �! − �! satırında bulunan negatif değerlerden mutlak değerce en büyük değerin
bulunduğu sütundaki değişken seçilir.
b) �! − �! satırında bulunan pozitif değerlerden en büyük değerin bulunduğu sütundaki
değişken seçilir.
c) �! − �! satırında bulunan pozitif değerlerden en küçük değerin bulunduğu sütundaki
değişken seçilir
d) �! − �! satırında bulunan negatif olan değerlerden mutlak değerce en küçük değerin
bulunduğu sütundaki değişken seçilir.
e) Hangi değişkenin seçileceği bilinmez.
2) Doğrusal programlama probleminin Simpleks Yöntemle çözümü yapılırken temelden
çıkacak değişken (nonbasic variable) nasıl belirlenir?
a) s değerleri seçilen anahtar sütundaki değerlere karşılıklı bölünür. Bu değerler
arasından negatif olmayan en büyük elemanın bulunduğu satırdaki değişken temelden çıkarılır.
b) Z� − C� satırında bulunan pozitif değerlerden en büyük değerin bulunduğu sütundaki
değişken seçilir.
c) X¢ değerleri seçilen anahtar sütundaki değerlere karşılıklı bölünür. Bu değerler
arasından negatif olmayan en küçük elemanın bulunduğu satırdaki değişken temelden çıkarılır.
d) Temelden çıkacak değişken rasgele seçilir.
e) Hangi değişkenin temel değişken olacağı bilinmez.
97
(3-8. Soruları aşağıda standart formda verilen doğrusal programlama problemi ve bu
probleme ait Optimal Simpleks Tablo kullanılarak çözülecektir.)
c��� = Z\.�X + ba.�Y +⊠. �X +⨂. �Y +△.�X X\�X + XY�Y + �X = Yb\ ��X + ¦�Y − �Y + �X = X�Y �X, �Y, �X, �Y, �X ≥ \
Optimal Simpleks Tablo �� 30 45 ⊠ ⨂ △
�� Temel Çözüm �X �Y �X �Y �X ⊠ �X 24 2 0 1 4/3 −b/Z
45 �Y 18 2/3 1 0 −X/¦ 1/9
c� = c��� �
c�−�� 0 0 0 −a a −§
3) Verilen problemin başlangıç tablosunda yer alacak temel değişkenler ve çözüm
değerleri aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru verilmektedir.
a) = 24 , h = 162 b) = 24 , � = 18 c) ] = 240 , ]� = −162 d) ] = 240 , h = 162 e) � = 20 , ]� = 162
98
4) Verilen problemin amaç fonksiyonunda artık ve yapay değişkenlerin alması gereken
katsayılar ⊠, ⨂ ve △ sırasıyla aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru verilmektedir.
a) 0, 0 ve −e
b) 0, 0 ve e
c) −1, −1 ve e
d) 1, 1 ve e
e) e, −e ve e
5) � ile gösterilen optimal c��� değeri aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru olarak
verilmektedir.
a) 834 b) 810 c)42 d)24 e)18
6) Optimal tabloya göre, probleme ait çözüm takımı aşağıdaki şıklardan hangisinde
doğru olarak verilmektedir.
a) = 24 , � = 45 b) = 24 , � = 18 c) = 0 , � = 24 d) = 0 , � = 18 e) = 18 , � = 18 7) Optimal tabloda yer alan �X değişkeninin aldığı değer ve bu değerin yorumu
aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru verilmektedir.
a) ] = 24, 1. kısıta ilişkin kullanılmayan kapasite 24 birimdir.
b) ] = 24 , 1. kısıta ait kullanılmayan miktar 18 birimdir.
c) ] = 24 , 1. kısıtın yalnızca 24 birimi kullanılmıştır.
d) ] = 18, 1. kısıtın yalnızca 24 birimi kullanılmıştır.
e) ] = 240, 1. kısıt kullanılmamıştır.
99
8) Verilen primal probleme ait dual modelin çözüm değerleri (gölge fiyatlar) aşağıdaki
şıklardan hangisinde doğru olarak verilmektedir.
a) = 0 ve � = −5 b) = 10 ve � = 5 c) = 24 ve � = 18 d) = 0 ve � = 5 e) = 5 ve � = 0 9) Bir doğrusal programlama probleminin optimal çözümünde, herhangi bir kısıta
ilişkin aylak değişken sıfırdan büyük bir değer almış ise, bu kapasite;
a) Tam kullanılmıştır.
b) Böyle bir durumla karşılaşılmaz.
c) Tam kullanılmamıştır, atıl kapasite bulunmaktadır.
d) Başka çözümler aranır.
e) Bu çözüm optimal olmaz.
10) Aşağıda verilen doğrusal programlama modelinin dual probleminde kaç kısıt
bulunmaktadır?
c��W = X\�X + Y\�Y + �Z Y�X + Z�Y + �Z ≤ b\ �X, �Y, �Z ≥ \
a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
Cevaplar
1) b, 2) c, 3) d, 4) b, 5) b, 6) d, 7) a, 8) d, 9) c, 10) e
100
5. DUALİTE VE DUYARLILIK ANALİZİ
101
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
5.1. Dualite (İkilik veya İkincil Problem)
5.2. Duyarlılık Analizi
5.3. Amaç Fonksiyonu Katsayılarındaki Değişim
5.4. Sağ Taraf Sabitlerindeki Değişim
102
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Duyarlılık analizi ne zaman kullanılır?
2) Dual problem nedir?
3) Amaç fonksiyonu katsayılarının değişimini inceleyiniz.
4) Sağ taraf sabitlerinin değişimini araştırınız.
103
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Dual problem Primal Problemin dualini
yazabilmek Okuyarak, Tekrar yaparak
Gölge Fiyat Gölge Fiyatları
değerlendirebilmek Okuyarak, Fikir yürüterek
Amaç Fonksiyonu
katsayılarının değişimi
Amaç fonksiyonu
katsayılarının duyarlılığını
inceleyebilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
Sağ taraf sabitlerindeki
değişim Sağ taraf sabitleri
duyarlılığını inceleyebilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
104
Anahtar Kavramlar
• Primal ve Dual Problem
• Gölge Fiyat
105
Giriş
En az iki temel kavramın yer aldığı bir önermede bu iki kavramın yerleri
değiştirildiğinde doğru olan yeni bir önermenin elde edilmesidir. Sayısal yöntemlerde çeşitli
amaçlarla kullanılır.
Dualite felsefede sıkça kullanılan bir ifadedir. Latince kökenli bir kelimedir. “Duo”
ikilik demekken, “lite” zıtlık anlamını taşır. Kelime olarak iki kavramın zıtlığını ifade ediyor
gibi görünse de aslında anlatılmak istenen zıt olan kavramların birbirlerini tamamlayıcılığı ve
bütünlüğüdür.
Bölümün bir diğer konusu da duyarlılık analizdir (sensitivity analysis). Duyarlılık
analizinde doğrusal programlama modelinin parametrelerindeki değişikliklerinin optimal
çözüm üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Herhangi bir parametredeki değişimin optimal
çözüme etkisi diğer tüm parametrelerin değerleri sabit tutularak incelenir. Modelde kullanılan
parametrelere (�!, .)) bağlı olarak duyarlılık analizinde
a) Sağ taraf sabitlerinde meydana gelen değişmelerin incelenmesi,
b) Amaç fonksiyonu katsayılarındaki değişmelerin incelenmesi yapılır.
Önceki bölümlerde kurulan doğrusal programlama problemleri primal halde verilmişti.
Primal modelden Grafik yöntem, Simpleks yöntem veya diğer yöntemlerle çözüm elde edilmesi
işin kolay bir aşaması olup, nispeten zor olan bölüm optimal çözüm elde edildikten sonra
yapılan analizlerdir. Duyarlılık analizi adı verilen bu süreç, model parametrelerindeki olası
değişiklikler (örneğin herhangi bir ürünün birim karının ya da belirli bir kısıta ait eldeki
kapasitenin değişmesi ) sonucunda optimal çözümün nasıl bir davranış göstereceğinin
incelenmesini kapsar.
106
5.1. Dualite (İkilik veya İkincil Problem)
Doğrusal programlama probleminin primal (birincil) simpleks yöntemle çözümünde
zorluklar yaşanabilir. Bazen primal problemin duali alınarak belki bir nebze kolaylaştırılabilir.
Dual model (ikincil) primal modelin değişik bir biçimde yazılışıdır. Eğer simpleks yöntemde
karar değişkenleri fazla kısıtlayıcı sayısı az olursa, bu modelin duali alınarak çözüme ulaşmakta
kolaylık sağlanabilir.
Doğrusal programlamada her maksimizasyon probleminin minimizasyonu veya her
minimizasyon probleminin bir maksimizasyonu vardır. Bir problemin dualinin duali alınırsa problemin kendisine eşit olur.
Bir problemin dualinin alınması için kanonik formda olması gerekmektedir. Eğer
kanonik formda değilse bu hale (model kanonik forma) dönüştürülür. Problem maksimizasyon
amaçlıysa eşitsizliklerin yönü “≤” şeklinde, problem minimizasyon amaçlıysa eşitsizliklerin
yönü “≥” şeklinde olması beklenir. Problemin kısıtlarının eşitsizliklerle ifade edilmiş olması
onun kanonik formda olduğunu gösterir.
Problemin optimal çözümü hem primal hem de dual modelde aynı değeri vermektedir.
Eğer primal modelde çözüm sınırsız olursa, dual modelde problemin uygun çözümü yoktur.
Bunun tersi de doğrudur.
5.1.1. Dual Modelin Yazılması
Primal modelden dual modele geçerken şu kurallara uyulması gerekmektedir.
1.Primal modelde amaç fonksiyonu maksimizasyon amaçlıysa dual modelde bu
minimizasyon halini alır. Eğer primal modelde amaç fonksiyonu minimizasyon amaçlıysa
bunun duali maksimizasyon halini alır.
2. Primal modeldeki maksimizasyon amaçlı problemin kanonik formdaki
kısıtlayıcılarının yönü ≤ şeklinde iken, dual modelde bunların yönü değişerek ≥ halini alır.
Bunun tersi de doğrudur.
3. Hem primal hem de dual modeldeki değişkenlerin tümü pozitiflik koşuluna
uygun olmalı, negatif olmamalıdır.
4. Primal modeldeki kısıtlayıcılar dual modelde karar değişkeni olmaktadır. Primal
modeldeki karar değişkenleri de dual modelde kısıtlayıcı haline dönüşmektedirler. Primal
modelde � tane kısıt 4 tane karar değişkeni varsa, problemin dual modelinde 4 tane kısıt �
tane karar değişkeni vardır.
5. Primal modeldeki amaç fonksiyonunun katsayı değerleri dual modelde sağ taraf
sabitleri değerlerine dönüşürken, sağ taraf sabitleri değerleri de amaç fonksiyonunun katsayı
değerleri haline dönüşmektedir.
107
6. Primal modeldeki kısıtlayıcıların katsayı matrislerinin transpozesi dual modeldeki
kısıtlayıcıların katsayı değerlerini oluşturmaktadır.
7. Primal modeldeki bir serbest değişkenin işareti sınırlandırılmamışsa, dual modelde
buna karşılık gelen kısıtlayıcı denklem eşitlik halinde yazılır. Bunun tersi de doğrudur. Primal
modeldeki problemin duali alındıktan sonra kısıtların kanonik formda olmasına dikkat edilerek
primal modelde olduğu gibi simpleks yöntem uygulanır.
Örnek:
Aşağıda bir doğrusal programlama probleminin hem primali hem de duali verilmektedir.
Primal Model
cmaks = a\ + d\� X. + Y. � ≤ ZY ( ) Z. + b. � ≤ db ( �)
, � ≥ 0
Dual Model
¨min = ZY + db � X. + Z. � ≥ a\ Y. + b. � ≥ d\
, � ≥ 0
Primal modelle dual modelin sonuçlarını karşılaştırıldığında; dual modeldeki optimal
çözüm primal modeldeki optimal çözüme eşittir.
Primal problemin optimal tablosundan dual değişkenlerin aldığı değerler okunabilir.
Dual modeldeki temel olmayan değişkenlerin Z� − C� sırasındaki çözüm değerleri, primal
modelde bu değişkenlere karşı gelen temel değişkenlerin optimal çözüm değerini vermektedir.
Ayrıca dual modeldeki temel değişkenlerin Z� − C� sıra elemanlarındaki çözüm değerleri,
primal modeldeki temel olmayan değişkenlerin optimal çözüm değerini vermektedir.
Örnek:
Aşağıda verilen primal programlama modelinin dualini yazınız.
Primal Model:
�maks = 60 + 30� + 20L 8 + 6� + L ≤ 48 4 + 2� + 3L ≤ 20 2 + 3� + L ≤ 8
108
, �, L ≥ 0 Çözüm:
Dual Model:
©min = 48 + 20 � + 8 L 8 + 4 � + 2 L ≥ 60 6 + 2 � + 3 L ≥ 30 + 3 � + L ≥ 20 , �, L ≥ 0 Örnek:
Aşağıda verilen primal programlama modelinin dualini yazınız.
Primal Model:
�maks = 5 + 3� + 4L 3 + 5� + 2L ≤ 120 8 + 5� + 4L ≤ 160 , �, L ≥ 0 Çözüm:
Dual Model:
©min = 120 + 160 � 3 + 8 � ≥ 5 5 + 5 � ≥ 3 2 + 4 � ≥ 4 , �, L ≥ 0 • Dikkat edilirse, verilen primal problem maksimizasyon ise, duali minimizasyon
problemi olur.
• Primal modelin amaç fonksiyonu katsayıları dual modelde sağ taraf sabitleri
durumuna gelir.
109
• Örnek olarak, Primal modelde 3 değişken iki kısıt var ise, dual modelde iki
değişken 3 kısıt oluşur.
• Maksimizasyonda genellikle kısıtlar ≤ biçiminde bulunurken, minimizasyonda ≥ olması beklenir.
• Primalden duale geçişte, teknolojik katsayılar (�)!) matrisi transpozesi alınarak
yazılır.
• Primalin optimum çözümü var ise dualin de optimum çözümü vardır.
5.2. Duyarlılık Analizi
Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı
değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir.
Oluşturulan modeldeki katsayıların kesin olmadığı ve daha sonraki dönemlerde değişime
uğrayarak optimal çözümü ne derece etkileyeceği incelenir. Bu değişiklik sonucunda optimal
çözümde bir farklılık olacağı gözleniyorsa, problemin yeniden çözülmesi gerekmektedir.
Duyarlılık analizinde amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı koşulların katsayılarındaki (teknolojik
matristeki) ve bir de sağ taraf sabitlerindeki (kapasite vektörü) değer değişiklikleri ile yeni bir
değişken ve yeni bir kısıt eklenmesi halinde optimal çözümdeki değişiklik incelenir.
Bu bölümde biz Amaç Fonksiyonu katsayılarındaki değişim ile Sağ Taraf Sabitlerindeki değişimi inceleyeceğiz.
Kaynaklarda veya kısıtlardaki herhangi bir değişikliğin etkilerini, doğrusal
programlama modelini yeniden çözerek bulmak mümkündür. Ancak, bu şekilde yeniden çözüm
genellikle gereksizdir. Çünkü aynı temel değişkenli farklı bir optimal çözüme ulaşmak
mümkündür. İşte duyarlılık analizi yeniden çözüme gitmeden bu gibi değişikliğin etkisini
optimal çözüm tablosundan belirlemeye çalışır.
Dual problemi standart formla tanımlayarak simpleks tabloya uygunluk da sağlanmış
olmaktadır. Buna göre primal problemin genel standart formu;
Amaç fonksiyonu:
Optimum� = �!�!" ! Kısıtlar:
�)!�!" ! = .)/ = 1,2,3,… ,�
110
Negatif olmama koşulu:
! ≥ 03 = 1,2,3,… , 4 şeklinde tanımlanır. Burada 4 adet değişkeni gösteren !’ler artık, aylak gerçek
değişkenlerde dahil tüm değişkenleri temsil etmektedir. Şimdi dual problemi oluşturmak
amacıyla primalin katsayılarını şematik olarak tabloya yazmamız gerekir.
Bu tablo aşağıdaki kurallara göre dualin primalden simetrik olarak elde edilebileceğini
gösterir:
� = u� �� … ��w ; Birim kar veya birim maliyetler
= u � … �w ; Değişkenler
+ = ¬ � ���� ��� … ��… ���… …�% �%� … …… �%� ; Teknolojik Matris
. = ¬..�….% ; Sağ taraf sabitleri
5.3. Amaç Fonksiyonu Katsayılarındaki Değişim
Amaç fonksiyonundaki katsayı değerlerindeki değişimin o katsayıyı taşıyan değişkenin
optimal çözümde olup olmadığına bağlıdır. Eğer değişime uğrayan değişken optimal çözümde
değilse, bu değişkenin katsayısının yeterli büyüklükte olmamasından kaynaklanmaktadır. Eğer
bu katsayı değeri büyütülüp Z� − C� satırındaki değeri sıfırdan küçük olacak değere gelirse, bu
değişkenin optimal çözüme girmesi gerekmektedir. Bu durumda optimal çözüm de
değişecektir. Ancak bu katsayı değeri büyürse, bunun optimal çözüm üzerinde bir değişikliğe
yol açmayacağı açıktır. Minimizasyon problemi için tersi durum geçerlidir. Eğer değişime
uğrayan değişken optimal çözüm içerisindeyse, bu değişkenin katsayısındaki bir artış optimal
çözüm üzerinde herhangi bir değişikliğe yol açmayacaktır. Eğer bu değerde bir azalma sonucu
değişken optimal çözümden çıkıp yerine başka bir değişken çözüme girecek şekilde bir
değişiklik olursa, optimal çözümde bir değişiklik olacaktır. Minimizasyon problemi için tersi
durum geçerlidir.
111
Aşağıda verilen doğrusal programlama probleminin amaç fonksiyonu katsayılarındaki
değişimi inceleyelim.
Z���� =5X + 4X� 6 + 4� ≤ 24 (Kısıt 1)
+ 2� ≤ 6 (Kısıt 2)
≥ 0; � ≥ 0 Amaç fonksiyonu katsayılarındaki 1 birimlik değişimin problemin optimal çözümünde
neleri değişeceğine bir bakalım. Verilen modelde Z���� =5X + 4X� amaç fonksiyonu
doğrusunun eğimi -5/4’tür. Eğer X’in katsayısı 5 yerine 6 olursa, amaç fonksiyonunun eğimi
-6/4 olur. Bu da amaç fonksiyonu doğrusunu dikleştirecektir. Aynı şekilde X’in katsayısı 5
yerine 4 olması durumunda amaç fonksiyonu doğrusunun eğimi -4/4 olur. Verilen modeldeki
amaç fonksiyonu doğrusunun eğimi 1 ve 2 kısıt doğrularının eğimleri arasında kalmaktadır. Bu
nedenle optimal çözümde 1 ve 2 doğrularının kesişim noktasında gerçekleşmektedir.
1. Kısıt doğrusunun eğimi: � = −3/2 = −1,5 2. Kısıt doğrusunun eğimi: �� = −1/2 = −0,5 Amaç doğrusunun eğimi : �® = −5/4 = −1,25 � ≤ �c ≤ �� Eğer amaç fonksiyonundaki ikinci ürünün birim maliyeti olan 4 değiştirilmeden sabit
kaldığında, birinci ürüne ait birim kar � olarak yazılırsa;
Z���� = �X + 4X� Bu durumda amaç doğrusunun eğimi −�/4 olur. Bu eğim (−�/4), iki kısıta ilişkin
doğru eğimleri arasında kaldığı müddetçe iki doğrunun kesişim noktası optimal çözüm noktası
olur.
−1,5 ≤ −�/4 ≤ −0,5 Yukarıda yazılan eşitsizlik −1 ile çarpılırsa eşitsizlikler yön değiştirir.
1,5 ≥ �/4 ≥ 0,5 Bu eşitsizlikte � yalnız bırakılırsa,
6 ≥ � ≥ 2 Biçiminde �’in aralığı belirlenmiş olur. Bu şu demektir. Eğer ikinci ürünün birim karı
değiştirilmediği sürece, birinci ürünün birim karı �; u2, 6w aralığında kaldığı sürece, optimal
112
nokta iki doğrunun kesişim noktası olur. Benzer şekilde ikinci ürünün birim karındaki değişimi
inceleyelim.
Eğer amaç fonksiyonundaki birinci ürünün birim maliyeti olan 5 değiştirilmeden sabit
kaldığında, ikinci ürüne ait birim kar �� olarak yazılırsa;
Z���� = 5X + ��X� Bu durumda amaç doğrusunun eğimi −5/�� olur. Bu eğim (−5/��) iki kısıta ilişkin
doğru eğimleri arasında kaldığı müddetçe iki doğrunun kesişim noktası optimal çözüm noktası
olur.
−3/2 ≤ −5/�� ≤ −1/2 Bu eşitsizlikte �� yalnız bırakılırsa,
10 ≥ �� ≥ 10/3 biçiminde ��’in aralığı belirlenmiş olur. Bu şu demektir. Eğer birinci ürünün birim karı
değiştirilmediği sürece, ikinci ürünün birim karı �� bu u10/3, 10w aralığında kaldığı sürece,
optimal nokta iki doğrunun kesişim noktası olur.
Değişken Birim
Maliyetler
Minimum
Değer
Maksimum
Değer
İndirgenmiş
Maliyet
�X � = 5 2 6 0
�Y �� = 4 10/3 10 0
Simpleks yöntemle problem çözüldüğünde, optimum çözüm tablosu aşağıdaki gibi olur.
�� Temel
Değişken
�� 5 4 0 0
��
Çözüm �X �Y �X �Y
5 �X 3 1 0 1/4 -1/2
4 �Y 3/2 0 1 -1/8 3/4
c� 21 5 4 3/4 1/2
c� − �� 0 0 3/4 1/2
113
5.4. Sağ Taraf Sabitlerindeki Değişim ve Gölge Fiyat
Bir doğrusal programlama modelindeki kısıtlayıcı eşitsizliklerin (denklemlerin) sağ
taraf değerlerindeki herhangi bir değişikliğin amaç fonksiyonu ve çözüm kombinasyonuna olan
etkisinin belirlenmesi işlemidir. Simpleks yöntem sonucunda elde edilen optimal çözüm
tablosundaki her bir değerin bir anlamı bulunmaktadır. Özellikle indeks satırındaki değerler çok
önemlidir.
Örneğin yapısal değişkenlerin indeks satırındaki değerleri indirgenmiş maliyet olarak
bilinir. Bu değerler, çözüme girmeyen karar değişkenlerinin çözüme girebilmesi için
katsayılarında yapılması gereken minimum değişikliği göstermektedir. Aylak ve yapay
değişkenlerin indeks satırındaki değerleri, ekonomik anlamda gölge fiyatları veya fırsat maliyetlerini göstermektedir. Eğer kaynaklarda bir birim değişiklik yapılırsa, bu değişimin
amaç fonksiyonu değerine olan birim etkisi gölge fiyatlar kadar olacaktır. Yani, amaç
fonksiyonunun değeri gölge fiyat kadar değişecektir.
Yukarıdaki optimal simpleks tabloda görüldüğü gibi, Z� − C� satırında negatif sayı
bulunan hücre kalmadığından, işlemlere son verilir ve optimal çözüm elde edilmiş olur.
Örnek problemin iki kısıtı bulunmaktaydı. Birinci kısıta S, ikinci kısıta S� gevşek
(aylak) değişkenleri eklenmiş ve kısıtlar eşitlik durumuna getirilmişti. Sağ taraf sabitlerindeki
1 birimlik artış optimal tabloda temelde olmayan aylak değişkenler (] ve S�) altında Z� − C� indeks satırında görülmektedir. Eğer 1. Kısıtın sağ taraf sabiti 24 yerine 25 olsaydı amaç
fonksiyonu optimal çözümünde kar 3/4 birim fazla olacaktı. Aynı şekilde ikinci kısıtta sağ
taraftaki 1 birimlik kapasite artışı 1/2 birimlik karda artış meydana getirir. Bu değerler gölge
fiyatı ya da fırsat maliyetidir.
Kısıt Sağ
taraf
Minimum
Sağ Taraf
Maksimum
Sağ Taraf Gölge Fiyat
Kısıt 1 24 12 36 = 3/4 Kısıt 2 6 4 12 � = 1/2
Buradan da anlaşılıyor ki, optimum simpleks tablo indeks satırı bir çok bilgiyi içerisinde
barındırmaktadır. İndirgenmiş maliyet ve gölge fiyatlar optimal tablo ve ara tablolarda
izlenebilmektedir.
Örnek Çalışma:
Aşağıda bir maksimizasyonu problemine ilişkin model verilmiştir. Bu problemin
optimum çözüm tablosunu oluşturunuz. Gölge fiyatları optimal tablodan bakarak belirtiniz.
Modelde 3 karar değişkeni bulunmaktadır. , �veL. 2 kısıt bulunmaktadır.
114
�%&'( = 5 + � + 10L + L ≤ 100 � ≤ 1 , �, L ≥ 0
Çözüm:
Optimum Simpleks Tablo
Yukarıda verilen problemin çözümü Simpleks algoritma kullanılarak aşağıdaki gibi
optimal tablo elde edilmiştir.
C� Temel
Değişken C� 5 1 10 0 0
Çözüm XX XY XZ SX SY 10 XZ 100 1 0 1 1 0
1 XY 1 0 1 0 0 1
Z� 1001 10 1 10 10 1
Z� − C� 5 0 0 10 1
Probleme İlişkin Duyarlılık Tablosu (WinQSB programı kullanılarak elde edilmiştir.)
Bir problemin duyarlılık analizi ile ilgili soru sorulacak olur ise, sonuçlar size problemle
ve sonuçlarla birlikte verilecektir. Bu tablonun nasıl okunacağını bilmeniz önemlidir.
Optimum Simpleks Tabloda �� − �� indeks satırında temel değişkeni altında yer alan
5 değeri indirgenmiş maliyet değerini göstermektedir. Yani değerinden 1 birimlik üretim
115
yapılması durumunda amaç fonksiyonunda meydana gelecek değişim 5 birim olacaktır. Şöyle
ki;
= 0, � = 1 ve L = 100 Bu durumda;
����� = 0.5 + 1.1 + 10.100 = 1001 1 birim üretilmesi yani ’in çözüme girmesi durumunda �����, −5 azalır.
����� = 1001 − 5 = 996 (Yeni �����değeri)
Peki bu nasıl hesaplanır:
Çözüme girmeyen değişken olan sütununda Ldeğişkeni karşısında yer alan 1 değeri, ’in çözüme girmesi durumunda L değişkeninde meydana gelecek azalmayı gösterir.
Yani L = 100 idi. Yeni L = 100 − 1 = 99 ����� = 1.5 + 1.1 + 10.99 = 996 5.5. Sağ Taraf Sabitlerindeki (��) Değişim
Kapasite vektöründeki değişimin optimal çözüm üzerindeki etkisine bakarken gölge
fiyatlarına bakmamız gerekir. Eğer kaynaklarda (kapasitelerde yani sağ taraf sabitlerinde) 1
birimlik bir değişim meydana gelirse, bu değişimin amaç fonksiyonu değerine olan birim etkisi
gölge fiyatlar kadar olacaktır. Yani amaç fonksiyonunun değeri gölge fiyat kadar artacak ya da
azalacaktır. Bu etkinin miktarı, yönü ve sınırları belirlenir. Çünkü gölge fiyatları .) değerlerine
bağlı olarak farklılık göstermektedir. Bunun için çözümde temel olmayan değişken olup
olmadığına bakılır. Eğer temel olmayan değişken çözümde yer alıyorsa, bulunduğu denklemde
o miktarda fazlalık olduğunu göstermektedir. Eğer değişim miktarı bu değerden az olursa
optimal çözümde değişiklik beklenmez.
Çözümde bulunan değer kadar yada daha fazla miktarda azalma olursa optimal çözümde
değişiklik kaçınılmazdır. Eğer çözümde temel değişken varsa, o zaman durum biraz farklılık
göstermektedir. Optimal çözüm tablosunda bulunan çözüm değerlerinin, .) değeri değişerek
işleme girecek olan değişkenin bulunduğu sütun değerlerine bölünerek .) değerindeki
değişimin alttan ve üstten sınırları belirlenir. Eğer .) değerindeki değişim, bu aralığın dışına
çıkacak seviyede bir değişimse optimal çözüm değişecektir. Aksi halde optimal çözüm
değerinde bir değişiklik kesinlikle olmaz.
116
Gölge Fiyatın bulunması; (. sağ taraf sabitini gösterir).
" ≤ " ve " = " " ≥ " . + 1 . − 1 . + 1 . − 1 c�°±² + − − +
c�³´ − + + −
Kısıtın, ≤ ve = olması durumunda;
• Sağ taraf Sabiti 1 birim artarsa, ����� değeri gölge değer kadar artar.
• Sağ taraf Sabiti 1 birim azalırsa, ����� değeri gölge değer kadar azalır.
Kısıtın, ≥ olması durumunda;
• Sağ taraf Sabiti 1 birim azalırsa, ����� değeri gölge değer kadar azalır.
• Sağ taraf Sabiti 1 birim artarsa, ����� değeri gölge değer kadar artar.
5.5.1. İndirgenmiş Maliyet
Herhangi bir temel olmayan değişkenin indirgenmiş maliyeti (reduced cost), değişkenin
temel değişken olması (doğrusal programlama probleminin en iyi çözümüne girmesi) için amaç
fonksiyon katsayısında yapılacak iyileştirme miktarıdır. Eğer bir ' temel olmayan
değişkeninin amaç fonksiyon katsayısı indirgenmiş maliyet kadar iyileştirilirse, doğrusal
programlama probleminin bir tek en iyi çözümü olmaz. Alternatif çözümler vardır. ', söz
konusu çözümlerden en az birinde temel değişken; en az birinde ise temel olmayan değişken
konumundadır. Aşağıda bir DP probleminin modeli ve probleme ait optimum tablo verilmiştir:
Örnek:
���µf = 201+152+153 10 + 3� + 10L ≤ 100 5 + 5� + 5L ≤ 60 1, 2 , 3 ≥ 0
117
İlgili problemin optimum tablosu:
�s Temel �! 20 15 15 0 0
s � L ] ]� 20 x1 64/7 1 0 1 1/7 -3/35
15 x2 20/7 0 1 0 -1/7 2/7
�! 1580/7 20 15 20 5/7 18/7
�! − �! ------ 0 0 5 5/7 18/7
�! − �! ≥ 0
DP probleminin optimum sonucu:
1 = 64/7, 2 = 20/7, 3 = 0 ]1 = 0 , ]2 = 0 ���µf = 1580/7’dir.
• ]1 = 0 , ]2 = 0 ise 1. ve 2. Kısıta ait kaynakta aylak kapasite yoktur.
• ]1’ in gölge fiyatı 5/7 ve ]2’ nin gölge fiyatı 18/7’dir.
118
Uygulamalar
Aşağıda primal dual ilişkileri verilmektedir. Tabloda primal dual ilişkisi ayrıntıları
verilmektedir.
Primal DP (Maks) Dual DP (Min)
Kısıtlar Değişkenler
≥ ≤ 0
≤ ≥ 0
= İşaretçe sınırsız
Değişkenler Kısıtlar
≥ 0 ≥
≤ 0 ≤
İşaretçe sınırsız =
119
Uygulama Soruları
Aşağıda bir DP probleminin matematiksel modeli ve optimal çözüm tablosu
verilmektedir.
Maks Z = 5x1 + 2x2 + x3
Kısıtlar
x1 + 3x2 - x3 + x4 = 6,
x2 + x3 + x5 = 4,
3x1 + x2 + x6 = 7,
x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0
Optimal Simpleks Tablo
cB Temel
cj
Sağ taraf 5 2 1 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x4 0 11/3 0 1 1 -
1/3 23/3
1 x3 0 1 1 0 1 0 4
5 x1 1 1/3 0 0 0 1/3 7/3
c - z 0 -2/3 0 0 -1 -
5/3 Z = 47/3
120
121
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde Duyarlılık Analizi ayrıntılı olarak işlenmiştir. Amaç fonksiyonu
katsayılarının duyarlılığı, sağ taraf sabitlerinin duyarlılığı, gölge fiyat ve indirgenmiş maliyet
tablosu üzerinde gerekli yorumlar yapılmıştır.
122
Bölüm Soruları
1) Sağ taraf sabitlerinin bir birim arttırılmasıyla oluşan kardaki artışa ne denir?
a) Birim fiyat
b) Birim maliyet
c) Gölge fiyat
d) İndirgenmiş maliyet
d) Duyarlılık
(2. ve 3. Sorular için bilgi )
Aşağıda bir doğrusal programlama problemi ve bu problemin Optimal Simpleks tablosu
verilmiştir.
�%&¶ = 320H + 320H� 8H + 6H� ≤ 50 4H + 5H� ≤ 40 H, H� ≥ 0
Optimal Tablo �! 320 320 0 0
�s Temel s � ] ]� 320 0,625 1 0 -0,3125 0,375
320 � 7,5 0 1 0,25 -0,5
�! 2600 320 320 -20,00 -40,00
�! − �! 0 0 -20,00 -40,00
123
2) �X değişkeninin amaç fonksiyonundaki katsayısı (�X = 320) için değişim aralığı
aşağıdakilerden hangisidir?
a) 25,5 ≤ � ≤ 42,5 b) 48 ≤ � ≤ 80 c) � ≤ 48 d) � ≥ 80 e) � ≤ 0 3) İlk kısıt d�X + ��Y ≤ aX şeklinde değiştirilirse, aşağıdakilerden hangisi
gerçekleşir?
a) � değeri 20,00 birim azalır.
b) � değeri 320 azalır.
c) � değeri değişmez.
d) �değeri20,00birimartar. e) � değeri 320 artar.
4) Bir doğrusal programlama probleminin primali maksimizasyon ise duali ne olur?
a) Maksimizasyon problemi
b) Hangi tür problem olacağı bilinmez.
c) Minimizasyon problemi
d) Problemin optimum çözümüne göre değişir.
e) Dual problem primalden bağımsız olarak her zaman maksimizasyon problemi olur.
124
5) Aşağıda verilen primal maksimizasyon probleminin duali alınırsa kaç kısıt elde
edilir?
�%&'( = 4 + 10� 5 + 4� ≤ 200 + 2� ≤ 50 + � ≤ 20 , � ≥ 0
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6) Aşağıda verilen primal maksimizasyon probleminin duali alındığında amaç
fonksiyonu hangi şıkta doğru biçimde verilmektedir?
�%&'( = 4 + 10� 5 + 4� ≤ 200 + 2� ≤ 50 + � ≤ 20 , � ≥ 0
a) �maks = 4 + 10� b) ©maks = 4 + 10 � c) �maks = 4 + 10 � d) �maks = 200 + 50 � + 20 L e) ©min = 200 + 50 � + 20 L 7) Bir doğrusal programlama probleminin optimal çözümünde bir kısıta ilişkin gölge
fiyatın 5 çıkması, o kısıtın 1 birim arttırılması durumunda karın ne kadar artacağını belirtir?
a) −5 b) −1 c) 0 d) 5 e) 10
125
8) Bir doğrusal programlama primal maksimizasyon probleminin duali alındığında
kısıtlar hangi tür eşitsizliğe sahip olur?
a) Küçüktür ( < )
b) Küçük eşit ( ≤ )
c) Büyüktür ( > )
d) Büyük eşit ( ≥ )
e) Eşittir ( = )
9) Bir doğrusal programlama primal minimizasyon probleminin duali alındığında
kısıtlar hangi tür eşitsizliğe sahip olur?
a) Eşittir ( = )
b) Küçüktür ( < )
c) Küçük eşit ( ≤ )
d) Büyüktür ( > )
d) Büyük eşit ( ≥ )
10) Aşağıda verilen primal doğrusal programlama probleminin duali hangi şıkta doğru
yazılmıştır?
¸�°¹ =YºX +ZºY ºX +YºY ≤ a ZºX +bºY ≤ d ºX; ºY ≥ \
a) Z��� =2X +3X� X +2X� ≤ 5 3X +4X� ≤ 8 X; X� ≥ 0
b) G�#$ =2X +3X� X +2X� ≤ 5 3X +4X� ≤ 8 X; X� ≥ 0
126
c ) G�#$ =5X +8X� Y +2Y� ≥ 2 3Y +4Y� ≥ 3 Y; Y� ≥ 0
d ) G�#$ =5X +8X� Y +3Y� ≥ 2 2Y +4Y� ≥ 3 Y; Y� ≥ 0
e ) G�#$ =5X +8X� Y +2Y� ≥ 2 3Y +4Y� ≥ 3 Y; Y� ≤ 0
Cevaplar
1) c, 2) b, 3) d, 4) c 5) c, 6) e, 7) d, 8) d, 9) c, 10) d
127
6. TAMSAYILI PROGRAMALAMA
128
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
6.1. Tamsayılı Programlama Problemleri ve Türleri
6.2. Özel Tamsayılı Programlama Problemleri
6.3.Tamsayılı Programlama Problemlerinin Çözüm Yöntemleri
129
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Karar değişkenlerinin kesikli olması durumunda nasıl modelleme yapılır?
2) Karar problemlerinde tamsayılı değişkenlerin yer alması durumunda, doğrusallık
bozulmakta mıdır?
130
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Tamsayılı programlama
Kesikli değişkenlerin
kullanıldığı karar
problemlerinin
modellenmesi
Okuyarak, deneme ve
uygulama yaparak
131
Anahtar Kavramlar
• Tamsayılı Programlama (Integer Programming)
• Programlama
• Atama problemi
• Küme örtme problemi
• En kısa yol problemi
• Sırt çantası problemi
• Gezen satıcı problemi (TSP)
132
Giriş
Bazı işletme problemlerinin doğrusal programlama ile çözülebilir olmasına rağmen
tamsayılı sonuç alınması gerekebilir. Örneğin; bir fabrikanın kurulup kurulmaması, bir işçinin
bir makinaya atanıp atanmaması “1” ve “0” değerleri alan karar değişkenleri ile gerçekleşebilir.
Yukarıda bahsedilene benzer sorunlarda doğrusal programlamadaki bölünebilirlik (kesirli
değerler) varsayımı varsayımı geçersizdir.
Çoğu uygulamalı problemlerin, karar değişkenleri ancak tamsayılı olduğunda
anlamlıdır. Çünkü girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunu, karar değişkenlerinin tamsayılı
olmasını gerektirir. Sermaye bütçelemesi, elektrik jeneratör birimleri, araç ve gereçler,
makineler ve kişiler bunlara birer örnektir.
Karar değişkenlerinin tümü ya da bir kısmı tamsayılı değerler almalıdır. Örneğin; 7.67
personel istihdam edilmesi, 3.4 banka şubesinin kurulması bir anlam ifade etmez. Kesirli
değerler alan bu sayıları bir alt sayıya yuvarlamak da optimal çözüm olmayabilir ve hatta uygun
çözüm bölgesinde yer almayabilir. İşletmecilikte bazı karar problemleri “evet-hayır”, “0-
1”,“doğru-yanlış”,”satınalma-üretme” gibi önermeleri içeren ikili değişken yapıda olabilir.
Doğrusal programlama problemlerinde bazı değişkenlerin tamsayılı değerli ya da tüm
değişkenlerin tamsayılı olması istenebilir. Eğer problemde, sadece bazı değişkenlerin tamsayı
değerli olması gerekli iken diğer değişkenler bölünebilirlik varsayımını karşılayan yani kesirli
değerler alabilen değişkenler ise bir tür problem, karma tamsayılı programlama problemidir.
Bir problemin çözüm değerlerinin tamsayılı olması istendiğinde, bu problem doğrusal
programlama formülasyonundan tamsayılı programlamaya dönüşür. Aslında, tamsayılı
programlamanın matematik modeli, değişkenlerinin tamsayı değerli olması istenen bir ek
kısıtlayıcılı doğrusal programlama modelinden başka bir şey değildir.
Örnek:
Max� = 6H + 5H� + 2HL Kısıtlayıcılar
10H + 4H� + HL ≤ 600 2H + 5H� + 2HL ≤ 800 H, H�, HL ≥ 0veHtamsayı
Bu karma tamsayılı programlama probleminin çözümünde H� ve HL değişkeninin
değerinin tamsayı olması gerekli değildir. H değişkeninin çözüm değeri ise tamsayı olmak
zorundadır.
Max� = 6H + 5H� + 2HL
133
Kısıtlayıcılar
10H + 4H� + HL ≤ 600 2H + 5H� + 2HL ≤ 800
H, H�, HL ≥ 0veH, H�, HLtamsayı Yukarıda matematiksel modeli verilen problem, saf tamsayılı programlama problemi
olup çözüm değerleri de; Max� = 888, H = 22, H� = 0 ve HL = 378’dir.
Uygulamada çoğu doğrusal programlama problemlerinde bölünebilirlik varsayımı
geçerli olmadığı gibi bazı problemlerin “evet veya hayır kararları” ile ilişkin olduğunu
görmekteyiz. Bu tür kararlarda iki olanaklı seçim sadece evet ve hayırdır. Örneğin; bu yatırımı
yapmalı mıyız? Fabrikayı bir alanda mı kurmalıyız? Gibi sadece iki seçenekli kararlar, değerleri 0 ve 1 ile kısıtlanan karar değişkenleri ile gösterilir. Böylece, 3’inci evet veya hayır kararı 3 ile
aşağıdaki şekilde ifade edilir.
H! = ¾ 1 ; Karar3evetise0 ; Karar3hayırise Bu tür değişkenlere ikili (binary) değişkenler (veya 0 − 1 değişkenleri) adı verilir.
Tamsayılı programlama problemindeki tüm değişkenlerin ikili değişkenler yani 0 veya 1’e eşit
olması istendiğinde, bu tür tamsayılı programlama problemine ikili tamsayılı programlama
veya \ − X tamsayılı programlama problemi denir. Aşağıda verilen problem, 0 − 1 tamsayılı
programlama problemine bir örnektir.
Max� = 6H + 5H� + 2HL Kısıtlar,
10H + 4H� + HL ≤ 600 2H + 5H� + 2HL ≤ 800 H, H�, HL = 0veya1
Bu durumda yukarıdaki örnek problemin çözüm değerleri;
H = 1 , H� = 1 , HL = 1 ve Max� = 13’tür.
Bazı değişkenlerin 0 veya 1 değerini alırken diğer değişkenlerin sürekli (kesirli)
değerler alan tamsayılı programlama problemine 0 − 1 karma tamsayılı programlama problemi
denir. Uygulamada, bu tür problemlere örnek olarak, bazı ürünlerin hangi makinede
üretilmesinin seçimi ile bu makinelerde söz konusu ürünlerden ne kadar üretileceğine ilişkin
problem 0 − 1 karma tamsayılı programlama türündendir.
134
Bir tamsayılı programlama probleminin doğrusal programlama gevşetmesi kavramı,
tamsayılı programlama çözümünde önemli bir rol oynar. Bu nedenle, doğrusal programlama
gevşetmesinin tanımının yapılması gerekli olmaktadır.
Değişkenler üzerinde tüm tamsayı veya 0 − 1 kısıtlarının atılarak, elde edilen doğrusal
programlama problemine, tamsayılı programlamanın doğrusal programlama gevşetmesi
(relaxation) adı verilir.
Yukarıda verilen üç örnek problemin doğrusal programlama gevşetmesi aşağıda
verilmiştir.
Max� = 6H + 5H� + 2HL Kısıtlar,
10H + 4H� + HL ≤ 600 2H + 5H� + 2HL ≤ 800 H, H�, HL ≥ 0
Yukarıda verilen doğrusal programlama gevşetmesinin çözüm değerleri ise;
H = 22,2 , H� = 0 , HL = 377,8 ve Max� = 888,9’dur.
Herhangi bir tamsayılı programlama, bazı ek kısıtlayıcılar (kısıtlayıcı değişkenlerinin
tamsayı veya 0 ya da 1 olması) ile doğrusal programlama gevşetmesi olarak görülmektedir. Bu
yüzden, doğrusal programlama gevşetmesi, tamsayılı programlamanın daha az kısıtlayıcılı veya
daha fazla rahatlandırılmış bir görünümüdür. Bunun anlamı da tamsayılı programlamanın
çözüm bölgesi onun doğrusal programlama gevşetmesinin uygun bölgesinde olması
gerektiğidir. Bir en büyükleme (maks) türündeki tamsayılı programlama problemi için bu
durum şu şekilde ifade edilir.
Doğrusal programlama gevşetmesinin optimal � değeri ≥ tamsayılı programlamanın
optimal � değeri, son örnekte verilen doğrusal programlama gevşetmesinin optimal � değerinin
(888.9) diğer karma ve tamsayılı doğrusal programlama problemlerin optimal � değerinden
daha büyük olduğunu görmekteyiz.
Bilinmelidir ki, tamsayılı programlamanın uygun çözüm bölgesi, onun doğrusal
programlama gevşetmesinin uygun çözüm bölgesinin bir alt kümesi olmasına rağmen, tamsayılı
programlama problemini çözmek onun doğrusal programlama gevşetmesini çözmekten
genellikle daha zordur.
Doğrusal Programlama ile Tamsayılı Programlama arasındaki fark karar
değişkenlerinin tamsayı olmasıdır.
135
�%&'( = 5 + 4� Kısıtlar;
10 + 3� ≤ 30 + 3� ≤ 9 , � ≥ 0 ve tamsayı
Tamsayılı programlamada modelin boyutu arttıkça çözüm de zorlaşmaktadır. DP’de,
çözüm mutlaka uç noktalardan birisindedir ancak tamsayılı programlamada böyle bir şart
bulunmaz. DP’de kullanılan “Simpleks” tabanlı çözüm algoritmaları uygun bölgedeki uç
noktaları deneyerek sürekli amaç fonksiyonunu iyileştirecek şekilde ilerler ve optimallik testi
ile bir noktada (�ÀÁÂ) durur. Ancak, Tamsayılı programlamada çözüm uygun bölgedeki çok
sayıdaki tamsayı değerinden birisidir ve DP’ye oranla olası çözüm noktası daha fazladır.
6.1. Tamsayılı Programlama Türleri
1) Saf Tamsayılı Programlama: Bu tarz sorunlarda karar değişkenlerinin tümünün
tamsayılı olması istenir, bu sorular arı tamsayılı programlama sorunlarıdır.
2) Karma Tamsayılı Programlama: Bazı değişkenlerin tamsayılı değerler almasının
istendiği sorunlardır.
3) Sıfır-Bir Tamsayılı Programlama: Karar değişkenleri 0 veya 1 gibi sadece iki değer
alabilir.
Tamsayılı Programlama - Saf Tamsayılı Programlama Formülasyonu
�%&'( = 10 + 25� Kısıtlar;
+ � ≤ 20 , � ≥ 0 ve tamsayı
Tamsayılı Programlama - Karma Tamsayılı Programlama Formülasyonu
�%&'( = 10 + 25� Kısıtlar;
+ � ≤ 20 , � ≥ 0 ve sadece tamsayı
136
Tamsayılı Programlama – Sıfır_Bir Tamsayılı Programlama Formülasyonu
�%&'( = 10 + 25� Kısıtlar;
+ � ≤ 20 , � = 0 veya 1
Örnek: (Kargo Yükleme Problemi)
Bir kargo uçağı 20.000 kg’lık taşıma kapasitesini haizdir. Her uçuşta aşağıda sunulan
kar düzeyine göre farklı ağırlıklar söz konusudur.
Ağırlık (kg) Toplam Kar (TL)
1 1000 100
2 4000 250
3 3000 400
4 2000 600
Her uçuş için kapasiteyi geçmeyecek şekilde toplam karı maksimize eden bir
formülasyon yapınız.
Çözüm:
Eğer “/.” kalem taşınacaksa ) = 1 Eğer “/.” kalem taşınmayacaksa ) = 0 Amaç Fonksiyonu;
�%&'( = 100 + 250� + 400L + 600| Kısıtlar;
1000 + 4000� + 3000L + 2000� ≤ 20000 (kapasite kısıtı)
, �, L, | = 0 veya 1 (Tamsayı kısıtı)
137
6.2. Tamsayılı Programlama ile İlgili Problemler
Uygulamada karşılaştığımız, personel programlaması, kuruluş yeri seçimi, sırt çantası,
sermaye bütçeleme, sabit yükleme (yük) tezgâh yerleştirme, küme örtme ya-ya da kısıtlayıcılı,
ise – o zaman kısıtlayıcılı problemler ile makineleri çizelgeleme problemlerinin tümü tamsayılı
programlamaya ilişkin problemlerdir
6.2.1. Kuruluş Yeri Seçimi Problemleri
Süha imalat şirketi, yeni fabrikasının Adana’daki Organize Sanayi Bölgesinde (AOSB)
veya Kayseri Organize Sanayi Bölgesinde (KOSB) kurmayı düşünmektedir. Aynı zamanda
yeni kurulacak fabrikanın yanında en fazla bir depo inşa etmek zorundadır.
Her karar seçeneğinin net bugünkü değeri yani pazarın zaman içindeki değerini ele alan
toplam karlılığı ile yatırımların getirdiği sermaye miktarı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ayrıca
Süha şirketinin bu fabrikaya ayırabildiği sermaye miktarı da 21000000 TL’dir.
Karar Seçeneği Sayısı
Evet veya Hayır
Soruları
Evet veya Hayır
Soruları
Net Bugünkü Değer
(Milyon TL)
Gerekli Sermaye
Miktarı (Milyon TL)
1
Fabrikayı
AOSB’de mi
kuralım
H 20 15
2
Fabrikayı
KOSB’da mı
kuralım
H� 14 8
3
Depoyu
AOSB’de mi
kuralım
HL 12 7
4
Depoyu
KOSB’da mı
kuralım
H| 8 4
Şirketin amacı, toplam net bugünkü değerini en çoklamak için fabrikanın ve deponun
nerede kurulacağının belirlenmesidir.
Çözüm: Burada, tüm karar değişkenlerinin 0 − 1 olduğu görülmektedir.
138
H! = ¾ 1 ; Karar3evetise0 ; Karar3hayırise 3 = 1, 2, 3, 4 Deponun kurulmasına ilişkin tamamıyla karşılıklı dışarmalı seçeneği gösterdiğinden
yani, şirket en fazla bir depo istediğinden aşağıdaki kısıtlayıcının ele alınması gerekir.
Yani; HL +H| ≤ 1 Aynı zamanda, deponun inşaatı fabrikanın kuruduğu bölgede olması istendiğinden,
depoya ilişkin karar koşullu karardır. Böylece, H = 0 olduğunda HL = 0 olur. Benzer şekilde, H� = 0 olduğunda H| = 0 olacaktır. Söylenen bu durumları iki ek kısıtlayıcı ile ifade edebiliriz.
HL ≤ H ve H| ≤ H� veya HL − H ≤ 0 ve H| − H� ≤ 0 Şimdi şirketin 0 − 1 tamsayılı programlama modelini yazabiliriz.
Max� = 20H + 14H� + 12HL + 8H| Kısıtlayıcılar
15H + 8H� + 7HL + 4H| ≤ 21 HL +H| ≤ 1 −H + HL ≤ 0 −H� + H| ≤ 0 H! ≥ 0 H! ≤ 1 H! tamsayı
H! = 0veya1(3 = 1, 2, 3, 4) Bu örnek problem, temel kararın evet veya hayır olan çoğu gerçek hayattaki
uygulamalardan birisini göstermektedir. Çoğu kez, evet veya hayır türündeki kararlar, önceki
kararlara bağlı olup yani koşullu kararlardır. Örneğin, bir karar diğer karara koşullandırıldı ise
diğeri evet ise onunda sadece evet olmasına izin verilir. Bu örnek problemin WINQSB paket
programı veya ABQM paket programı ile elde edilen çözümü ise H = 0, H� = 1, HL = 0, H| =1 ve Max� = 22.000.000TL’dir.
6.3. Özel Tamsayılı Programlama Problemleri
Literatürde, bazı özel problemler, klasik tamsayılı programlama problemi sınıfına
girmektedirler ve pek çok çalışmaya konu olmuşlardır.
139
6.3.1. Küme Örtme Problemi
Küme örtme, verilen herhangi bir kümenin her üyesinin, diğer bir kümenin kabul
edilebilir bir üyesince örtülmesi (kapsanması) problemidir. Amaç, kapsanan kümenin,
kapsayan kümenin olabildiğince az elemanıyla örtülmesidir.
Örneğin, bir havayolu işletmesinde, hafta sonuna çizelgelenen uçuşlara, kabin amiri
atanması problemini düşünelim. Tüm uçuşlara mutlaka en az bir kabin amiri atanması
gerekmektedir. Öte yandan, mümkünse tüm kabin amirlerine hafta sonu uçuşu atamadan
uçuşların kapsanması tercih edilmektedir. Bu durumda problem, tüm uçuşların en az sayıda
kabin amiri görevlendirerek çizelgelenmesi şeklinde bir küme örtme problemidir.
6.3.2. Gezgin Satıcı Problemi
Bulunduğu noktadan başlayarak, belirli sayıda noktaya birer defa uğrayan, sonunda
başladığı noktaya dönen ve bu güzergâh boyunca kat ettiği toplam mesafeyi en küçüklemek
isteyen bir gezginin uğrayacağı noktaların sırasının belirlenmesi problemi gezgin satıcı
problemi olarak tanımlanır. Problemin basit anlamda kısıtları; her noktaya sadece bir noktadan
gelinebileceği, gelinen her noktadan ise sadece tek bir başka noktaya geçilebileceği şeklindedir.
Ayrıca bir yere, gidilen yerden tekrar gelinmesini önleyici kısıta da ihtiyaç vardır.
Lojistik faaliyetlerinde, ürünlerin dağıtımında, uğranması gereken boşaltım noktalarının
sırasına karar verirken karşılaşılan problem, bir çeşit gezgin satıcı problemi gibi düşünülebilir.
6.3.3. En Kısa Yol Problemi
En kısa yol problemi, bir noktadan diğerine gidebilmek için izlenmesi gereken en kısa
yolun belirlenmesi problemidir. Bir noktadan diğerine geçilebilecek alternatif noktalar
bulunduğunda, başlangıç noktasından bitiş noktasına farklı güzergâhlar oluşabilir. Toplamda
kat edilen mesafeyi en küçüklemek istenebilir. Bu problemde de gezgin satıcı probleminde
olduğu gibi karar değişkeni bir i noktasından bir j noktasına geçilip geçilmeyeceği kararına
dönüktür. En kısa yol problemi de, lojistik faaliyetlerinin planlanmasında önemli rol
oynayabilir. Bazen de problem fiziki anlamda iki nokta arasındaki en kısa yolu bulmaya dönük
olmamakla birlikte, çeşitli problemler en kısa yol problemine benzetilebilir. Örneğin bir
işletmenin makinalarını, en küçük toplam maliyetle yenileyebilmesi için, zaman içerisindeki
yenileme ve bakım planını oluşturma problemi bir en kısa yol problemine benzetilebilir.
6.3.4. Sırt Çantası Problemi
Birim kapasite kullanım miktarları ve seçilmeleri hâlinde ortaya çıkacak birim katkıları
bilinen belirli sayıda nesneden hangilerinin, eldeki kapasiteyi aşmadan ve toplam katkıyı en
büyükleyecek şekilde, seçilmeleri gerektiğine dönük problemler, sırt çantası problemleri olarak
bilinirler. Bir çantaya, çanta kapasitesini aşmadan, en çok getiriyi sağlayacak şekilde, satışa
sunulabilecek ürünlerden, ağırlıklarını ve birim kârlarını da düşünerek, hangilerinin
konulmasının en iyi karar olacağı benzetmesi sebebiyle sırt çantası problemi olarak
140
adlandırılmaktadır. Farklı problemler de sırt çantası problemine benzetilebilmektedir. Örneğin,
bir işletmenin, ilgilendiği belirli sayıda yatırım aracı olsun. Her bir yatırımın birim getirisi
ayrıca yatırım maliyeti bilinmektedir. Yatırıma ayrılabilecek belirli bir sermaye söz konusu
iken, toplam yatırım harcamasının sermayeyi aşmamasına dikkat ederek, gerçekleştirilecek
yatırımlara ve miktarlarına karar vermek bir sırt çantası problemi olarak tanımlanabilir.
Problemin, birden fazla kapasite kısıtının yer aldığı, çok boyutlu sırt çantası türleri de
bulunmaktadır.
Örnek:
BAHA Tekstil Şirketi, boyahane, ev tekstili, dikim atölyesi, cep astarı dikim atölyesi
olmak üzere dört yatırımı düşünmektedir. Bu yatırımların gerektirdiği şu andaki nakit
miktarları, yatırımların getirisinin net bugünkü değeri ile şirketin elindeki yatırımlara ayıracağı
kaynak miktarı bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Yatırımlar Karar Değişkeni Gerekli Sermaye Miktarı Net Bugünkü Değer
Boyahane 6300 18500
Ev Tekstili � 1080 10200
Cep Astarı
(Dokuma) L 2160 18000
Cep Astarı (Dikim) | 1440 16000
Eldeki Nakit Miktarı 6900 TL
Baha Tekstil Şirketinin amacı, net bugünkü değerini en fazla kılan yatırımı seçmektir.
Çözüm:
Şirketin dört yatırım seçeneği ve dolayısıyla da dört karar değişkeni vardır. Yatırım
seçeneklerine ilişkin karar evet veya hayır türündedir. O nedenle, değişkenleri 0veya1 tamsayılı değerler olarak ifade etmeliyiz.
H! = ¾ 1 ; Yatırım3seçilirse,0 ; Yatırım3seçilmezse, 3 = 1, 2, 3, 4 Örneğin, L = 1 cep astarı dokuma bölümünün kurulmasını ve L = 0 ise cep astarı
dokuma bölümünün kurulmamasını ifade eder. Buna göre şirketin 0-1 tamsayılı tek boyutlu sırt
çantası problemi aşağıdaki şekilde ifade edilir.
141
e�µf� = 18500H + 10200H� + 18000HL + 16000H| Kısıtlayıcılar;
6300H + 1080H� + 2160HL + 1440H| ≤ 6900 H! = 0veya1
Bu problemin WinQSB paket programı ile elde edilen çözüm değerleri;
H = 0, H� = 1, H = 1,H| = 1 ve e�µf� = 44.200.000 TL’dir.
6.4. Tamsayılı Programlama Problemlerinin Çözüm Yöntemleri
Lineer ve non-lineer karar modellerinin çözümleri için farklı yaklaşımlar vardır. Fakat
lineer karar problemlerinin, tüm kısıtlarını sağlayan noktaların bulunduğu uygun çözüm
alanının dışbükey bir küme olması ve bu küme içerisinde en iyi çözümün de bir uç noktada
olması, bu tip modellerin çözümlerinin non-lineer modellere göre daha kolay bulunabilmesini
sağlamaktadır.
Non-lineer karar problemlerinin çözümü için ise, genel bir çözüm yöntemi
bulunmamakta, bunun yerine, farklı problemler için farklı çözüm yaklaşımları
kullanılmaktadır.
Bu başlık altında, tamsayılı programlama problemlerinin çözümü için geliştirilen
yöntemlerden yuvarlama, sayımlama ve bir çeşit sayımlama algoritması olan dal-sınır
algoritmasına yüzeysel olarak yer verilecektir. Ayrıca burada yer verilmeyen başka çözüm
algoritmaları da bulunmaktadır.
6.4.1. Yuvarlama Yöntemi
Tamsayılı programlama problemlerinin çözüm yöntemlerinden biri yuvarlama
yöntemidir. Bu yöntemde problem, tamsayı koşulu yokmuş gibi çözülür. Elde edilen çözümün
tamsayı olmaması durumunda, değişkenlerin aldığı değerler en yakın iki (alt ve üst) tamsayıya
yuvarlanır. Tüm değişkenlerin tamsayılı değerlerinden elde edilebilecek olası tüm
kombinasyonlar için, bir uygun çözüm olup olamayacakları araştırılır. Varsa, elde edilen uygun
çözümlerin en iyisi amaç fonksiyonu değerleri karşılaştırılarak seçilir.
Yöntemin sakıncası, yuvarlama işlemi sonucunda, değişkenlerin aldığı değerlerin,
problemin kısıtlarını sağlamayabileceği, bir başka deyişle elde edilen çözümün uygun çözüm
alanının içinde olmayabileceğidir.
142
6.4.2. Sayımlama Yöntemi
Sayımlama yöntemi ile olası tüm çözüm seçeneklerinin türetilmesi, içlerinden, varsa,
uygun çözüm olanlarının belirlenmesi ve daha sonra amaç fonksiyonu değerini en iyileyen
çözümün seçilmesi işlemi yapılmaktadır.
Bu yöntem özellikle, problemde yer alan değişkenlerin 0-1 tamsayılı olduğu durumda
kullanılmaktadır ancak işlem yükü sebebiyle çok pratik bulunmamaktadır. Uygun çözüm
olmadığı hâlde, pek çok noktanın türetilmesi gerekmektedir. Çok sayıda değişkenin olduğu
durumlarda oldukça yoğun bir iş yükü getireceğinden, kesin çözümü vermekle birlikte, önerilen
bir yöntem değildir.
6.4.3. Dal-Sınır Yöntemi
Dal-sınır yöntemi, tamsayılı programlama problemlerinin çözümü için kullanılan,
sayımlama temelinde bir yöntemdir. Algoritmanın işleyiş prensibine geçmeden önce önemli bir
noktayı belirtmek gerekmektedir. Eğer bir tamsayılı doğrusal karar problemi (kısıtlar ve amaç
fonksiyonu doğrusal yapıda, sadece değişkenlerin tamsayı olma koşulu olan), değişkenlerin
tamsayı olma koşulu göz ardı edilerek (esnetilerek) çözüldüğünde, tüm değişkenlerin tamsayı
olarak elde edildiği bir en iyi çözüm bulunursa, bu çözüm aynı zamanda tamsayılı problemin
de en iyi çözümüdür. Çünkü tamsayılı problemin uygun çözüm alanı (istenen), tamsayı koşulu
olmadığı durumdaki uygun çözüm alanının (esnetilmiş problemin) bir alt kümesidir. Bu sebeple
tamsayılı problemin tüm uygun çözümleri (ve en iyi çözümü) zaten diğer problemin uygun
çözüm kümesi içerisinde tümüyle yer almaktadır.
Dal-sınır yönteminde, yukarıda belirtilen yaklaşımla, problemi önce karar değişkenleri
için tamsayı koşulu olmadan çözmektedir. Eğer elde edilen en iyi çözüm zaten tamsayılı bir
çözüm ise, aynı zamanda tamsayılı problemin de çözümü bulunan bu çözümdür. Elde edilen
çözüm tamsayılı değil ise, tamsayılı olmayan değişkenin (birden fazla ise herhangi birisinin) en
yakınındaki iki değer kullanılarak yeni ek kısıtlarla uygun çözüm alanı daraltılır. Daraltılmış
alanların çözümleri araştırılır.
Temel olarak dal ve sınır algoritması, bütün olası uygun çözümleri analiz eden çok etkili
bir sayımlama metodudur. Dal ve sınır algoritmasının temel özellikleri aşağıdaki örnekte
açıklanmaktadır.
�%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;
H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 H, H� ≥ 0 ve tamsayı
143
Burada verilen tümü tamsayılı doğrusal programlama problemini çözmek için izlenecek
ilk adım, bütün değişkenler için tamsayı olma koşulunu gözardı ederek, problemi doğrusal
programlama teknikleri ile çözmektir. Modelde sadece iki karar değişkeni olduğu için grafik
çözüm kullanılabilir. Gevşetilmiş tamsayılı programlama modelinin grafik çözümü Şekil 6.2’de
verilmiştir.
Doğrusal programlama konusundan hatırlanacağı üzere optimal çözüm, uygun çözüm
bölgesi üzerindeki köşe noktalarından biridir.
Noktalar H H� � A 0 0 0
B 0 6 30
C 15/4 9/4 165/4
D 5 0 40
Görüldüğü gibi optimal çözüm � noktası, yani H = 15/4ve H� = 9/4 olup, amaç
fonksiyonunun optimal değeri �(ÃÄ) = 165/4'tür. Tamsayı olma koşulu gözardı edilerek,
bulunan gevşetilmiş tamsayılı programlama probleminin optimal amaç fonksiyonu değeri,
tümü tamsayılı programlama probleminin amaç fonksiyonu için üst sınır oluşturur. Diğer bir
deyişle;
�(ÃÄ) = 165/4 Dal ve sınır algoritmasına başlamadan önce tam sayımlama metodu ile olabilecek bütün
çözümleri değerlendirelim. Uygun çözüm bölgesi içerisinde tüm tamsayılı noktaları içeren
çözüm kümesi ] ile gösterilirse,
] = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3),(1, 4), (1, 5), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 0), (4, 1), (5, 0)} olur. Bütün noktalar incelendiğinde tümü tamsayılı doğrusal programlama probleminin
optimal çözümü; H = 5, H� = 0 ve �(zÄ) = 40 bulunur. Bu durumda;
�(zÄ) = 40 ≤ �(ÃÄ) = 165/4 Tamsayılı programlama ve gevşetilmiş tamsayılı programlama modellerinin amaç
fonksiyonları arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.
e/4�(ÃÄ) ≤ e/4�(zÄ) e�µf�(ÃÄ) ≥ e�µf�(zÄ)
144
Dal ve sınır metodu ile çözümün ilk adımı gevşetilmiş tamsayılı programlama
problemini (DP1) çözmektir.
(DP-1) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;
H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 H, H� ≥ 0
Şekilde görüldüğü gibi DP-1 modelinin optimal çözümü;
�(ÃÄ) = 165/4, H = 15/4 ve H� = 9/4. Sonraki adımlarda ise modele ilave kısıtlar ekleyerek karar değişkenlerinin tamsayı
değer almaları sağlanır. Kesirli değişkenlerden herhangi birisi seçilerek bu değişkene en yakın
iki tamsayı değerine göre DP-1 iki alt bölüme ayrılır (dallandırılır). Eğer H’e göre işlemlere
devam etmek istenirse, H = 15/4 = 3.75 olduğundan optimal çözümde ya H ≥ 4 ya da H ≤3 olur.
Bu durumda DP-1 modeli, yeni kısıtların eklenmesiyle, DP-2 ve DP-3 olmak üzere 2 alt
modele ayrılır.
(DP-2) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;
H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≥ b H, H� ≥ 0
(DP-3) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;
H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≤ Z H, H� ≥ 0
DP-2 ve DP-3 modellerinin grafik çözümü aşağıdaki şekilde verilmiştir.
Şekil b'de görüldüğü gibi DP-3 modelinin çözümünde her iki karar değişkeni de tamsayı
değer almaktadır; H = 3 ve H� = 3. Bu yüzden bu dal burada sona erer. DP-3 modelinin
optimal amaç
145
fonksiyonu değeri olan �(ÃÄ{L) = 39 ise tamsayılı programlama probleminin alt sınırını
oluşturur. Bu durumda;
39 ≤ �(zÄ) ≤ 165/4 Şekil a’da görüldüğü üzere DP-2 modelinin optimal çözümü ise
H = 4, H� = 9/5 ve �(ÃÄ{�) = 41 elde edilir. Optimal çözümde karar değişkenlerinden bir tanesi kesirli değer aldığından
(H� = 9/5 olduğu için), DP-2 modeli H� ≥ 2 ve H� ≤ 1 kısıtları eklenerek DP-4 ve DP-5 olmak
üzere iki dala ayrılır.
(DP-4) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;
H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≥ b WY ≥ Y H, H� ≥ 0
(DP-5) �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;
H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≤ Z WY ≤ X H, H� ≥ 0
146
DP-4 ve DP-5 modellerinin grafik çözümü yukarıdaki şekilde verilmiştir. Şekil a'da
görüldüğü gibi DP4 modelinin çözümü yoktur. Dolayısıyla bu dal da burada sona erer.
Şekil b’de görüldüğü üzere DP-5 modelinin optimal çözümünde ise H = 40/9, H� = 1 ve �(ÃÄ{}) = 365/9 bulunur. Çözümde kesirli değer alan H değişkenine göre DP-5 modeli, H ≤ 4 ve H ≥ 5 kısıtları ilave edilerek DP-6 ve DP-7 olmak üzere iki dala ayrılır.
(DP-6) a �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;
H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≥ b WY ≥ Y WX ≤ b H, H� ≥ 0
(DP-7) b �%&'( = 8H + 5H� Kısıtlar;
H + H� ≤ 6 9H + 5H� ≤ 45 WX ≤ Z WY ≤ X WX ≥ a H, H� ≥ 0
Bu modellerin grafik çözümü ise aşağıdaki şekilde verilmiştir.
Şekil a'da görüldüğü gibi DP-6 modelinin optimal çözümünde her iki değişkenin değeri
tamsayı olarak elde edilir; H = 4, H� = 1. Bu durumda bu noktada daha fazla
ilerlenmeyecektir. Ayrıca bu modelin optimal amaç fonksiyonu değeri �(ÃÄ{~) = 37, alt sınır
olan 39 değerinden daha iyi değildir. Yani;
147
�(ÃÄ{~) = 37 ≤ �(ÃÄ{L) = 39 Herhangi bir alt modelde tamsayı çözüm bulunduğunda, bu alt modelin optimal amaç
fonksiyonu değeri, önceden belirlenen alt sınırla karşılaştırılır. Daha iyi bir çözüm değeri
bulunduğunda alt sınır bu değer ile değiştirilir. Bütün alt modeller ile ilgili işlem
tamamlandıktan sonra, problemin optimal çözümü, son alt sınıra eşit olan tamsayılı çözümdür.
Şekil b'de verilen grafik çözüme göre DP-7 modelinin optimal çözümünde de tamsayılı
değerlere ulaşılmıştır; H = 5, H� = 0. Bu modelin optimal amaç fonksiyonu değeri ise �(ÃÄ{Ç) = 40 olup, alt sınırdan daha iyi bir değerdir. Bu durumda problemin yeni alt sınırı 40
olarak belirlenir. Yani;
40 ≤ �(zÄ)) ≤ 165/4 Tüm dallarda işlemler tamamlandığından (tüm alt modeller çözüldüğünden), alt sınır
değerini oluşturan DP-7 modelinin optimal çözümü aynı zamanda tamsayılı programlama
modelinin de optimal çözümüdür. Bu durumda yukarıda verilen tümü tamsayılı programlama
modelinin optimal çözümü H = 5, H� = 0 ve � = 40 olarak elde edilir.
Verilen örneğin dal ve sınır algoritması ile çözüm aşamaları Şekil deki ağaç
diyagramında özetlenmiştir.
Birinci Adım: Verilen model, değişkenlerin tamsayı değer alma koşulu göz önüne
alınmadan (gevşetilmiş tamsayılı programlama modeli olarak) çözülür. Bu çözüm sonucunda
üç durum ile karşılaşılabilir.
148
• Sınırsız çözüm bölgesi veya geçersiz çözüm bulunması. Bu durumda durulur.
Çünkü, gevşetilmiş tamsayılı programlama probleminin çözümü yok ise, tamsayılı
programlama probleminin de çözümü yoktur.
• Bulunan çözümde değişkenlerin tamsayı değer alması. Bu durumda da durulur.
Çünkü, gevşetilmiş tamsayılı programlama probleminde tamsayılı bir çözüm elde edilmiş ise,
bu çözüm tamsayılı programlama probleminin de çözümüdür. Yani ilk adımda optimal çözüm
elde edilmiş olur.
Bulunan çözümde tamsayı değer alması istenen değişkenlerden en az bir tanesinin
tamsayı olmaması. Bu durumda amaç fonksiyonunun alt ve üst sınırları belirlenerek, ikinci
adıma geçilir.
�ü�È = �(ÉÊ) ��ËÈ = −∞
149
İkinci Adım: Tamsayı değer almamış bir değişkene göre dallara ayrılarak alt modeller
elde edilir. Bulunan optimal çözümde amaç fonksiyonunun değeri alt sınırdan küçük ise bu dal
işlem dışı bırakılır. Alt sınırdan büyük bir değer elde edilmesi durumunda;
1. Değişkenler tamsayı değer almış ise üçüncü adıma
2. Değişkenler tamsayı değer almamış ise dördüncü adıma geçilir.
Üçüncü Adım: Alt sınır güncellenir. Yeni alt sınır üst sınıra eşit ise beşinci adıma
gidilir, değilse dördüncü adıma geçilir.
Dördüncü Adım: İşlem dışı olmamış alt problem var ise ikinci adıma dönülür, yoksa
beşinci adıma geçilir.
Beşinci Adım: Algoritma sona erer. Son alt sınıra karşı gelen çözüm optimal çözümdür.
Dal ve sınır metodunun yukarıda anlatılan algoritmasının minimizasyon problemlerine
uyarlanması okuyuculara bırakılmıştır.
Kesirli değer alan değişkenlerden hangisinin seçileceğine ilişkin önerilen bazı seçim
kuralları aşağıda verilmiştir.
• Gevşetilmiş tamsayılı programlama modelinin çözümünde elde edilen kesirli
değerler içinde en büyüğüne sahip olan değişkeni seçmek.
• Tamsayı değer alması gereken değişkenlere önem derecesi verilir ve seçim, en
önemli değişkeni ilk olarak seçmek ile devam eder. Değişkenlere önem vermek için
kullanılabilecek kriterler ise;
• Modelde önemli bir kararı temsil etmesi.
• Amaç fonksiyonundaki katsayısının diğer değişkenlere göre daha büyük olması.
• Modeli çözen kişinin deneyimlerine göre modelde kritik öneme sahip bir değişken
olması.
• En küçük indise sahip olan değişkenden başlamak üzere uygulanabilecek herhangi
bir seçim kuralı.
150
Uygulamalar
Mobilya imalatı yapan bir atölyede, gelecek ayın üretim programında sandalye, masa
ve tabure üretimi yer almaktadır. Sırasıyla her bir ürün çeşidinin gereksinim duyduğu ahşap
malzeme miktarları; bir adet sandalye için 11 m3, bir adet masa için 16 m3 ve bir adet tabure
için 5 m3 şeklindedir. Mobilyalar için gereken bazı parçalar seri imalat ile elde edilmekte,
montaj ve kontrol işleminde sandalye, masa ve tabure için sırasıyla, 4, 6 ve 1 saat
gerekmektedir. 360 m3 kullanılabilir ahşap malzeme, 130 saat de işçilik kapasitesi
bulunmaktadır. Ürünlerin birim satış kârları, 100, 250 ve 75 TL’dir. Sandalye ve tabure
toplam üretiminin aylık 30 adedi geçmemesi, ayrıca üretilen masa adedinin de sandalye
adedinin en fazla yarısı kadar olması öngörülmektedir. Aylık toplam satış kârını en
büyükleyecek şekilde, ürünlerden kaçar takım üretilmesi gerektiğini belirleyecek karar
modelini kurunuz.
Çözüm:
Karar değişkenlerinin tanımlanması:
1
2
3
: Sandalye üretim adedi
: Masa üretim adedi
: Tabure üretim adedi
x
x
x
Kısıtların tanımlanması:
( )
1 2 3
1 2 3
1 3
2 1
1 2 3
11 16 5 360
4 6 130
30
/ 2
, , 0 ve tamsayı
x x x
x x x
x x
x x
x x x
+ + ≤
+ + ≤
+ ≤
≤
≥
Amaç fonksiyonun belirlenmesi:
1 2 3max 100 250 70Z x x x= + +
Modelin kurulması:
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
2 1
1 2 3
max 100 250 70
. .
11 16 5 360
4 6 130
30
/ 2
, , 0 ve tamsayı
Z x x x
s t
x x x
x x x
x x
x x
x x x
= + +
+ + ≤
+ + ≤
+ ≤
≤
≥
151
Yukarıdaki karar modeli bütünüyle tamsayılı programlamaya örnektir. Yani örnekte
yer alan karar değişkenlerinin tümünün tamsayı değer alması gerekmektedir.
152
Uygulama Soruları
Tamsayılı karar problemlerinin çözüm yaklaşımları nelerdir?
153
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu başlıkta, doğrusal olmayan problem türlerinden olan tamsayılı programlama konusu
ele alınmıştır. Tamsayılı programlamada, modeller üç sınıfta toplanmaktadırlar: Bütünüyle
tamsayılı, karma tamsayılı ve 0-1 tamsayılı programlama problemleri. Bütünüyle tamsayılı
programlama problemleri, tüm değişkenlerin tamsayılı olmasının istendiği, karma tamsayılı
programlama problemleri bazı değişkenlerin tamsayılı bazı değişkenlerin sürekli değişken
olmasının istendiği, 0-1 tamsayılı programlama problemleri ise, modelde yer alan tüm
değişkenlerin 0-1 tamsayılı olmasının istendiği problemlerdir. Tamsayılı programlama
problemlerinin çözümü için geliştirilmiş çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Bu bölümde
bunlardan pratik kullanımlı birkaç tanesine yer verilmiştir.
154
Bölüm Soruları
1) Aşağıdakilerden hangisi bir tamsayılı programlama modeli değildir?
a) Tam Tamsayı
b) Karma Tamsayı
c) 0-1 Tamsayı
d) Sürekli
2) Tamsayılı programlama modellerinin çözümünde kullanılan dal-sınır yönteminde ilk
adım,
a) Grafiğin çizilmesi.
b) Amaç fonksiyonu katsayılarının tamamının tam sayıya çevrilmesi
c) Problemin doğrusal programlama modeli olarak çözülmesi solutions.
d) Tercihe göre dal ya da sınırların seçilmesi.
e) Hiçbiri
3) Tamsayılı programlama modeli türleri …………………….. .
a) Toplam tamsayılı programlama
b) 0 – 1 tamsayılı programlama
c) Karma tamsayılı programlama
d) Hepsi
4) Aşağıdaki DP varsayımlarından hangisi tamsayılı programlama modelleri ile
çelişmektedir?
a) Sabit amaç fonksiyonu
b) Doğrusallık
c) Kesinlik
d) Sınırlı kaynak
e) Bölünebilirlik
155
5) Bulunduğu noktadan başlayarak, belirli sayıda noktaya birer defa uğrayan, sonunda
başladığı noktaya dönen ve bu güzergâh boyunca kat ettiği toplam mesafeyi en küçüklemek
isteyen bir gezginin uğrayacağı noktaların sırasının belirlenmesi problemi ……………….
olarak tanımlanır.
6) En kısa yol problemi, ……………………………………………, problemi olarak
tanımlanabilir.
7) Birim kapasite kullanım miktarları ve seçilmeleri halinde ortaya çıkacak birim
katkıları bilinen belirli sayıda nesneden hangilerinin, eldeki kapasiteyi aşmadan ve toplam
katkıyı en büyükleyecek şekilde, seçilmeleri gerektiğine dönük problemler ……………….
olarak bilinmektedir.
8) Küme Örtme Probleminde amaç ………………………….’tır.
9) Tamsayılı programlama problemlerinin çözüm yöntemleri ……… , …………. ve
………………. olarak sınıflandırabilir.
10) Karar değişkenlerinin bir kısmının tamsayılı olmasının öngörüldüğü problemler
……………………. problemlerdir.
5- gezgin satıcı problemi
6- bir noktadan diğerine gidebilmek için izlenmesi gereken en kısa yolun belirlenmesi
7- sırt çantası problemi
8- kapsanan kümenin, kapsayan kümenin olabildiğince az elemanıyla örtülmesidir.
9- yuvarlama , sayımlama ve dal-sınır
10- Karma Tamsayılı Programlama
156
7. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA UYGULAMASI: TRANSPORT PROBLEMİ
157
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
7.1. Transport Probleminin DP ile Modellenmesi
7.2. Ulaştırma Algoritması
7.3. Kuzeybatı Köşe Yöntemi
7.4. Minimum Maliyetli Atama (Kestirme Dağıtım)
7.6. Vogel Yaklaşım Yöntemi (Metodu) (VAM)
158
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Ulaştırma probleminde atama yöntemleri nelerdir?
2) Siz olsanız hangi atama yöntemini tercih edersiniz?
159
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Transport Problemi
Ulaştırma problemini
doğrusal olarak
modelleyebilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
Kuzey batı köşe yöntemi Kuzey batı köşe yöntemi ile
atama yapabilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
Vogel Atama Yöntemi Vogel Atama Yöntemi ile
atama yapabilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
Minimum Maliyetli
Atama Minimum Maliyetli Atama ile
atama yapabilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Örnek soru çözerek
160
Anahtar Kavramlar
• Kuzey batı köşe yöntemi
• Vogel Atama Yöntemi
• Minimum Maliyetli Hücre Atama Yöntemi
• Atlama Taşı Yöntemi
• MO-DI Yöntemi
161
Giriş Transport Problemi, Doğrusal Programlama probleminin özel bir şeklidir. Transport
problemleri doğrusal programlama modeli kullanılarak modellenebilir. Bu modelde ürünlerin
kaynaklardan (fabrika, depo gibi) hedeflere (depo, pazar gibi) taşınmasıyla ilgilenilir.
Buradaki amaç hedefin talep gereksinimleri ve kaynakların arz miktarlarında denge sağlarken,
diğer taraftan da her bir kaynaktan her bir hedefe yapılan taşımaların toplam maliyetini
minimum kılacak taşıma miktarını belirlemektir.
162
7.1. Transport Probleminin Doğrusal Programlama ile Modellenmesi
Taşıma işleminin çeşitli depolar ve pazarlar arasında yapıldığını varsayarsak;
Í):/. depo/ = 1,2,3, … ,�
!:3. pazar3 = 1,2,3, … , 4 )!:/.depodan3.pazara gönderilen ürün miktarı
�)!:/.depodan3.pazara gönderilen ürünün birim taşıma maliyeti
�):deponunarzmiktarı/ = 1,2,3, … ,�
.!:pazarıntalepmiktarı/ = 1,2,3,… , 4 �):depoileilgilitaşımamaliyeti �:Toplamtaşımamaliyeti olarak gösterilebilir. Bu modelin amacı, tüm arz ve talep kısıtlarını sağlayan, ayrıca
toplam taşıma maliyetlerini minimum kılan )! bilinmeyen miktarını belirlemektir.
Toplam taşıma maliyeti;
� = �)!�!" . )!%
)" = �. + ��. � + �L. L +⋯+ �%�. %� olarak yazılabilir.
Ayrıca her bir depodan gönderilen ürünlerin toplamının o deponun kapasitesine ve her
bir pazara ulaştırılan toplam miktarın da o pazarın talebine eşit olması kısıtları sağlanmalıdır.
Buna göre depo kısıtları için;
+ � + L +⋯+ � = � � + �� + �L +⋯+ �� = �� ….….….…. % + %� + %L +⋯+ %� = �%
yani,
)! =�)�!"
163
pazar kısıtları için de;
+ � + L +⋯+ % = . � + �� + L� +⋯+ %� = .� ….….….…. � + �� + L� +⋯+ %� = .%
yani,
)! =.!%)"
denklemleri yazılabilir. Böylece amaç denklemi ve kısıtlar şu şekilde yazılabilir;
� = �)!�!" . )!%
)" (/ = 1, 2, . . . , �; 3 = 1, 2, . . . . , 4) )! =�)�!" (/ = 1, 2, . . . , �) )! =.!%)" (3 = 1, 2, . . . . , 4)
)! ≥ 0
164
Örnek:
Güney Taşımacılık Şirketi üç depodan üç pazara kamyonlarla ürün taşımaktadır. Arz ve
talep miktarları (kamyon sayısı cinsinden) eşit olup, farklı rotalardaki kamyon başına ulaştırma
maliyetleri, depoların arzları ve pazarların talepleri aşağıda verilmiştir. Depolarla pazarlar
arasındaki taşıma maliyetlerini minimum kılan taşıma miktarlarını belirleyiniz.
Depoların Arz Miktarları Satış Merkezlerinin Talep Miktarları
Depo 1 Depo 2 Depo 3 Pazar 1 Pazar 2 Pazar 3 Pazar 4
15 25 10 5 15 15 15
Depolardan Pazarlara Birim Taşıma Maliyetleri
Pazar 1 Pazar 2 Pazar 3 Pazar 4
Depo 1 10 2 20 11
Depo 2 12 7 9 20
Depo 3 4 14 16 18
Problemin doğrusal programlama modeli ise aşağıdaki gibi olur;
Amaç fonksiyonu;
��#$ = 10 + 2� + 20L + 11| + 12� + 7�� + 9�L + 20�| +
+4L + 14L� + 16LL + 18L| Arz kısıtları;
+ � + L + | = 15 � + �� + �L + �| = 25 L + L� + LL + L| = 10
Talep kısıtları;
+ � + L = 5 � + �� + L� = 15 L + �L + LL = 15
165
| + �| + L| = 15 )! ≥ 0(/ = 1, 2, . . . , �; 3 = 1, 2, . . . . , 4)
Üç depodan yapılan arzın dört pazarın talebine eşit olması sebebiyle kısıtların tümü
eşitlik halindedir. Toplam arzın toplam talebe eşit olmadığı durumda ulaştırma modeli
"dengelenmemiştir". Dengelenmemiş bir model "hayali" depolar ya da pazarlar eklenerek
dengelenmiş hale getirilmelidir. Problemimiz dengelenmiş bir ulaştırma modelidir.
Pazarlar
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
Depolar
D1 10 2 20 11 15
D2 12 7 9 20 25
D3 4 14 16 18 10
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
Problemimiz dengelenmemiş arz ve talep miktarlarına göre olsaydı, örneğin;
Depo Kapasiteleri Pazar Talepleri
D1 D2 D3 P1 P2 P3 P4
15 25 30 5 15 15 15
şeklinde arzın talepten büyük olduğu dengelenmemiş bir problemi dengelenmiş hale
getirmek için ulaştırma maliyetleri 0 olan hayali bir pazar eklenir.
166
Pazarlar
P1 P2 P3 P4 PY
Depo
Kapasiteleri
D1 10 2 20 11 0 15
Depolar D2 12 7 9 20 0 25
D3 4 14 16 18 0 30
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 20 70
Benzer şekilde talebin arzdan büyük olduğu durumda ise hayali bir depo ekleyerek
problemi dengelenmiş hale getiriyoruz:
Depo Kapasiteleri Pazar Talepleri
D1 D2 D3 P1 P2 P3 P4
15 25 10 5 15 15 35
Pazarlar
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
D1 10 2 20 11 15
Depolar D2 12 7 9 20 25
D3 4 14 16 18 10
DY 0 0 0 0 20
Pazar
Talepleri 5 15 15 35 70
167
7.2. Ulaştırma Algoritması
Ulaştırma algoritması simpleks yönteminin adımlarını aynen takip eder, fakat normal
simpleks tabloyu kullanmak yerine, ulaştırma probleminin özel yapısının avantajını kullanarak
algoritma daha uygun bir hale getirilir. Ulaştırma algoritmasının adımları simpleks
algoritmasıyla paraleldir, yani;
1. Adım : Başlangıç uygun çözümü belirlenir.
2. Adım : Tüm temel dışı değişkenler içinden giren değişkenlerin belirlenir, bunun için
optimallik koşulları sağlanmalıdır.
3. Adım : Mevcut tüm temel değişkenler içinden çıkan değişkenler belirlenir, bunun
için uygunluk koşulu kullanılır ve yeni temel çözüm bulunur, 2. Adıma dönülür.
Başlangıç Çözümünün Belirlenmesi
� depolu ve 4 pazarlı genel bir ulaştırma problemi, her depo için bir tane ve her pazar
için bir tane olmak üzere � + 4 sayıda kısıt denklemine sahiptir. Bununla birlikte ulaştırma
modelinin daima dengelenmiş olması nedeniyle bu denklemlerden biri fazla (hayali) olabilir.
Dolayısıyla modelin � + 4 − 1 tane bağımsız kısıt denklemi olacaktır. Bu da başlangıç kısıt
denkleminin � + 4 − 1 temel değişkenden oluşması demektir.
Ulaştırma probleminin temel yapısı, yapay olmayan bir başlangıç temel çözümünü
sağlayan üç yöntemden birini kullanmamıza olanak sağlar. Bunlar;
1. Kuzeybatı Köşe Yöntemi
2. Minimum Maliyetli Atama Yöntemi
3. Vogel Yaklaşım Yöntemi (VAM).
Bu üç yöntem arasında oluşturdukları başlangıç temel çözümün kalitesi açısından
farklılık vardır. Genelde, en iyi başlangıç çözümünü Vogel Yaklaşım Yöntemi, en kötü
başlangıç çözümünü ise Kuzeybatı Köşesi Yöntemi vermektedir, buna karşılık en az hesaplama
Kuzeybatı Köşesi Yönteminde yapılmaktadır.
7.3. Kuzeybatı Köşe Yöntemi
Yöntem tablonun değişkeninin yer aldığı kuzeybatıdaki (sol üst köşe) hücrede
başlar.
1. Adım : Seçilen kutuya mümkün olan en fazla atama yapılır ve ardından bu atanan
miktar arz ve talep miktarlarından çıkarılarak düzenleme yapılır.
168
2. Adım : İleride tekrar atama yapılmasını önlemek için çıkarma sonucu 0 arz veya
talebe ulaşan satır veya sütun iptal edilir. Hem satır hem sütun 0 değeri almışsa biri seçilerek
iptal edilir, iptal edilmeyen 0 değerli satır veya sütun dikkate alınmaz.
3. Adım : İptal edilmeyen sadece bir satır veya sütun kaldığında adımlar durdurulur,
aksi halde bir önceki işlemde sütun iptal edilmişse sağ hücreye, satır iptal edilmişse bir
aşağıdaki hücreye geçilir ve 1. Adıma dönülür.
Örneğimiz için Kuzeybatı Köşesi Yöntemini uygularsak şu başlangıç çözümünü elde
ederiz:
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
D1 10 2 20 11
15 5 → 10
D2 12 ↓ 7 9 20
25 5 → 15 → 5
D3 4 14 16 ↓ 18
10 10
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
7.4. Minimum Maliyetli Atama Yöntemi (Kestirme Dağıtım)
Bu yöntem en ucuz maliyetli rota üzerine yoğunlaştığından daha iyi bir başlangıç
çözümü bulmaktadır.
1. Adım: En düşük birim maliyetli hücreye mümkün olduğunca fazla atama yapılarak
başlangıç çözümü oluşturulmaya başlanır (maliyetlerin eşit olmaları durumunda bu hücrelerden
rastgele birine önce atama yapılır).
2. Adım: Arz ve talep miktarları düzenlenir ve yapacağı atama tamamlanan satır veya
sütun iptal edilir. Hem satır hem sütun 0 değeri almışsa biri seçilerek iptal edilir, iptal edilmeyen
0 değerli satır veya sütun dikkate alınmaz.
3. Adım: İptal edilmemiş hücreler içinden en düşük maliyetlisi bulunur ve süreç bu
şekilde iptal edilmeyen bir satır veya sütun kalıncaya kadar tekrarlanır.
169
Örneğimiz için En Düşük Maliyetler Yöntemini uygularsak şu çözüm elde edilir:
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
D1 10 2 20 11
15
15
D2 12 7 9 20
25 0 15 10
D3 4 14 16 18
10 5 5
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
7.5. Vogel Yaklaşım Yöntemi (Metodu) (VAM)
Vogel Atama Yöntemi, Minimum Maliyetli Atama Yönteminin geliştirilmiş hali olup,
genelde en iyi başlangıç çözümünü vermektedir.
1. Adım: Pozitif arzlı (talepli) her satırdaki (sütundaki) en küçük birim maliyeti aynı
satırın (sütunun) ikinci en küçük birim maliyetinden çıkararak farklar satırı ve farklar sütunu
oluşturulur.
2. Adım: Satır ve sütun ayrımı yapmadan, farklar satırında ve sütununda bulunan sayılar
büyükten küçüğe doğru sıralanır (eşitlik halinde biri seçilir). Daha sonra bu sıralamaya göre
satır veya sütunlarda bulunan en küçük maliyete sahip hücreye arz ve talep kısıtlarına göre
atama yapılır. Bu satır veya sütundaki en düşük maliyetli hücreye yapılabilecek en fazla
miktarda atama yapılır. Kalan arz ve talepler hesaplanır ve sıfırlanan satır veya sütun iptal edilir
(Aynı anda sıfırlanan satır ve sütun varsa sadece biri iptal edilir, kalan satıra (sütuna) sıfır
miktarda arz (talep) atanır.
3. Adım:
a) İptal edilmemiş arz ya da talebe sahip tam bir satır (sütun) kalınca durulur.
b) İptal edilmemiş pozitif arzlı (talepli) bir satır (sütun) kalmışsa, en düşük
maliyetler yöntemiyle satırdaki (sütundaki) temel değişkenler belirlenir ve durulur.
c) İptal edilmemiş satır ve sütunların tümü sıfır arz ve talebe sahipse, en düşük
maliyetler yöntemiyle sıfır temel değişkenler belirlenir ve durulur.
d) Aksi halde 1. adıma gidilir.
Örneğimiz için En Düşük Maliyetler Yöntemini uygularsak başlangıç çözümünü şu
adımlarla elde ederiz:
170
1. Adım:
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
Farklar
Sütunu
D1 10 2 20 11
15 10 - 2 = 8
D2 12 7 9 20
25 9 - 7 = 2
D3 4 14 16 18
10 14 - 4 = 10
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
Farklar
Satırı 10 - 4 = 6 7 - 2 = 5 16 - 9 = 7 18 - 11 = 7
2. Adım: 3. satır en büyük farka sahip olduğu için bu satırdaki en düşük maliyetli sahip ÍL hücresine 1. sütunun talebi 5, 3. satırın arzı 10 olduğu için 5 birim atanır. Arz ve taleplerde
düzenleme yapılırsa 1. sütunun talebi 0, 3. satırın arzı 5 birim olur. Bu durumda 1. sütun iptal
edilir ve cezalar yeniden belirlenir:
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
Farklar
Sütunu
D1 10 2 20 11
15 11 - 2 = 9
D2 12 7 9 20
25 9 - 7 = 2
D3 4 14 16 18
5 16 -1 4 = 2 5
Pazar
Talepleri 0 15 15 15 45
Farklar
Satırı ─ 7 - 2 = 5 16 - 9 = 7 18 - 11 = 7
171
En yüksek ceza 1. satırda olduğu için en düşük maliyet olan x12'ye 15 birim atanır,
böylece arzı ve talebi aynı anda sıfırlamış olur. Burada rastgele olarak satır veya sütundan biri
iptal edilir (1. satır iptal edilmiştir) kalan sütuna 0 talep atanır ve cezalar yeniden hesaplanır:
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
Farklar
Sütunu
D1 10 2 20 11
0 ─ 15
D2 12 7 9 20
25 9 - 7 = 2 0
D3 4 14 16 18
5 16 -1 4 = 2 5
Pazar
Talepleri 0 0 15 15 30
Farklar
Satırı ─ 14 - 7 = 7 16 - 9 = 7 20 - 18 = 2
En yüksek cezaya sahip 3. sütundaki en düşük maliyetli �L hücresine 15 birim atama
yapılır, böylece 3. sütunun talebi sıfırlanırken 2. satırın arzı 10 birim kalır ve bu sütun da silinir:
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
Farklar
Sütunu
D1
10 2 20 11 0 ─
15
D2
12 7 9 20 10 ─
0 15
D3
4 14 16 18 5 ─
5
Pazar
Talepleri 0 0 0 15 15
Farklar
Satırı ─ ─ ─ 20 - 18 = 2
172
3. Adım : İptal edilmemiş olan 4. sütunda en düşük maliyetler yöntemine göre kalan arz
ve talebe göre atama yapılır:
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
Farklar
Sütunu
D1 10 2 20 11
0 ─ 15
D2 12 7 9 20
0 ─ 0 15 10
D3 4 14 16 18
0 ─ 5 5
Pazar
Talepleri 0 0 0 0 0
Farklar
Satırı ─ ─ ─ ─
Transport problemlerinde yapılan atamanın ne kadar iyi olduğunu, optimum çözüm (en
uygun değer) olup olmadığı test edilmektedir. Bu test için hangi yöntemler kullanılır? Bu
bölümde optimallik testleri detaylı olarak incelenmektedir.
7.6. Atlama Taşı (Boş Hücre Çevrimleri)
Başlangıç dağıtım planında atama yapılmış )! miktarlarına "taş", atama yapılmamış
yani taş bulunmayan hücrelere de "boş hücre" adı verilir. Ulaştırma problemlerinin herhangi
bir kademesinde optimallik kontrolüne boş hücrelerden başlanır. Bu amaçla, boş hücrelere
yapılabilecek mümkün dağıtımlar için hesap edilecek maliyetlerle taş bulunan hücrelerin
gösterdiği maliyetler kıyaslanır. Eğer boş hücrelerde daha düşük değerli birim maliyetler varsa
ve bu hücre dağıtım yapabiliyorsa, toplam maliyette düşüş sağlanabilecektir. Boş hücreye Ñ
miktarda birim eklemek demek o hücrenin bulunduğu satırdaki arzda ve sütundaki talepte Ñ
miktarda birim arttırmak demektir. Fakat arz ve talep kısıtlarımızı sağlamak zorunda
olduğumuz için dengeleme yoluna gidilir ve boş hücre çevrimindeki taşların negatif
olanlarından bu Ñ değeri çıkarılırken pozitif olanlarına Ñ değeri eklenir.
Boş hücre çevrimi; çevrimi çizilecek boş hücreden başlanarak, aşağı, yukarı veya
yanlara doğrusal hareketlerle gidilerken, herhangi bir taşa rastlandığında doksan derecelik
dönüşler yapılarak aynı boş hücreye dönülmesidir. Bu işlem yapılırken bazı taşlar atlanabilir
veya oklar birbirini kesebilir. Ayrıca boş hücre + olmak üzere çevrim üzerindeki taşlar −,+,−
olarak işaretlenir.
Boş hücrelere ait değerler birim taşıma maliyetlerinin verilen işaretler de hesaba katılarak
toplanmasıyla elde edilir. Örneğimizi ele alırsak;
173
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
D1 (+) 10 (-) 2 20 11
15 15
D2 12 (+) 7 9 (-) 20
25 0 15 10
D3 (-) 4 14 16 (+) 18
10 5 5
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
Boş hücrelere ait değerleri hesaplayacak olursak;
: +10 -4 +18 -20 +7 -2 = +9
� : +12 -4 +18 -20 = +6
L� : +14 -18 +20 -7 = +9
L : +20 -2 +7 -9 = +16
LL : +16 -18 +20 -9 = +9
�Xb = +XX − Y + [ − Y\ = −b 7.6.1. Daha Gelişmiş Çözümlerin Bulunması ve Optimallik
Boş hücrelerle ilgili bütün değerler hesaplandığında, bu sonuçlara göre maliyetteki en
büyük azalmayı boş hücre değerlerinden en büyük negatif değere sahip olan hücre sağlar. Yani
örneğimize bakacak olursak | hücresi negatif değer aldığı için ( burada tek negatif değer
çıkmıştır, birden fazla negatif değer çıksaydı mutlak değerce en büyük olan negatif değer
seçilecekti) maliyette bir azalma sağlar. O halde bir sonraki dağıtım planında bu boş hücreye
atama yapılır:
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
D1 10 (-) 2 20 (+) 11
15 15-W +W
D2 12 (+) 7 9 (-) 20
25 0+W 15 10-W
D3 4 14 16 18
10 5 5
174
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
Bir hücrede negatif atama olamayacağı için W'nin alabileceği en büyük değer 10
birimdir. Bu durumda yeni atama tablosu;
P1 P2 P3 P4
Depo
Kapasiteleri
D1 10 2 20 11
15 5 10
D2 12 7 9 20
25 10 15
D3 4 14 16 18
10 5 5
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
Optimallik kontrolü için boş hücre değerleri kontrol edilirse;
= 13 � = 10 L� = 5 L = 16 LL = 5 �| = 4 değerlerinin hepsi pozitif olduğu için optimum çözüm elde edilmiştir. Yani optimum
maliyet;
Zmin = 5.4 + 5.2 + 10.7 + 15.9 + 10.11 + 5.18 = 435 Para Birimi olur.
7.7. MO-Dİ (Modified Distribution) Yöntemi
Atlama taşı yöntemine benzer, ancak boş hücrelerin değerlemesi işlemi burada daha
etkin olarak yapılmaktadır. İki yöntem arasındaki asıl farkı, atlama taşı yönteminde boş hücre
değerleri hesaplamak için çevrimlerden yararlanırken MO-DI yönteminde bu işlemin bazı
indeksler yardımıyla yapılmasıdır. Yani bu işlemde boş hücreler için çevrimler çizmeye gerek
yoktur.
175
Başlangıç tablosu kuzeybatı köşesi yöntemiyle oluşturulur. Satır değerlerini Ò), sütun
değerlerini Ó! göstermek üzere;
�)! = Ò) + Ó! (Taş bulunan hücreler için)
eşitliğinden yararlanılır. Boş hücrelere yapılacak dağıtımların toplam maliyette bir azalma
sağlayıp sağlamayacağı;
+)! = �)! − Ò) − Ó! (Düzelme indeksi)
ifadesi ile araştırılır. Bütün düzelme indeksleri pozitif veya 0 olunca optimum çözüme ulaşılmış
demektir. Yine örneğimizi ele alacak olursak;
Ó = 10 Ó� = 2 ÓL = 4 Ó| = 15
P1 P2 P3 P4
Depo Kapasiteleri
Ò = 0 D1 10 2 20 11
15 5 10
Ò� = 5 D2 12 7 9 20
25 5 15 5
ÒL = 3 D3 4 14 16 18
10 10
Pazar Talepleri
5 15 15 15 50
�min = 5.10 + 10.2 + 5.7 + 15.9 + 5.20 + 10.18 = 520 Taş bulunan hücrelerde �)! = Ò) + Ó! eşitliği kullanılırsa aşağıdaki değerler elde edilir.
Bu denklem sisteminin çözülebilmesi için değişkenlerden birine herhangi bir değer
verilir ve diğer değişkenler buna göre hesaplanır. Genellikle Ò = 0 olarak alınıp çözüme
başlanır.
� için Ò = 0 ise 10 = 0 + 10 eşitliğinden Ó = 10 �� için Ò = 0 ise 2 = 0 + 2 eşitliğinden Ó� = 2
176
��� için Ó� = 2 ise 7 = 5 + 2 eşitliğinden Ò� = 5 ��L için Ò� = 5 ise 9 = 5 + 4 eşitliğinden ÓL = 4 ��| için için Ò� = 5 ise 20 = 5 + 15 eşitliğinden Ó| = 15 �L| için Ó| = 15 ise 18 = 3 + 15 eşitliğinden ÒL = 3 Düzeltme indeksi + değerleri +)! = �)! − Ò) − Ó! denklemi ile boş hücreler için
hesaplanır;
+L = 20 − 0 − 4 = 16 +| = 11 − 0 − 15 = −4 +� = 12 − 5 − 10 = −3 �ZX = b − Z − X\ = −¦ +L� = 14 − 3 − 2 = 9 +LL = 16 − 3 − 4 = 9 Bir sonraki dağıtım planına geçerken yapılacak işlemler atlama taşındaki gibidir. Yani
boş hücrelerden mutlak değerce en büyük negatif olan esas alınarak, bu boş hücrenin çevrimi
üzerinde işlemler yapılır. Buna göre, MO-DI yönteminde her çözüm kademesinde tek bir
çevrime gerek olacaktır. −9 değerine sahip L hücresine atama yapılırsa yeni tablomuz;
P1 P2 P3 P4 Depo Kapasiteleri
D1 10 2 20 11
15 15
D2 12 7 9 20
25 0 15 10
D3 4 14 16 18
10 5 5
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
177
�min = 5.10 + 15.2 + 0.7 + 15.9 + 10.20 + 5.18 = 475 Toplam maliyette 520 − 475 = 45 para birimi azalma olmuştur. İkinci dağıtım planı
yapılırsa yeni tablomuz;
Ó = 1 Ó� = 2 ÓL = 4 Ó| = 15
P1 P2 P3 P4 Depo Kapasiteleri
Ò = 0 D1 10 2 20 11
15 15
Ò� = 5 D2 12 7 9 20
25 0 15 10
ÒL = 3 D3 4 14 16 18
10 5 5
Pazar
Talepleri 5 15 15 15 50
+ = 10 − 0 − 1 = 9 +L = 20 − 0 − 4 = 16 �Xb = XX − \ − Xa = −b +� = 12 − 5 − 1 = 6 +L� = 14 − 3 − 2 = 9 +LL = 16 − 3 − 4 = 9 Yeni dağıtım planında | hücresine atama yapıldığında elde edilen yeni tablo;
P1 P2 P3 P4
Depo Kapasiteleri
D1 10 2 20 11
15 5 10
D2 12 7 9 20
25 10 15
D3 4 14 16 18
10 5 5
Pazar Talepleri
5 15 15 15 50
178
�min = 5.4 + 5.2 + 10.7 + 15.9 + 10.11 + 0.20 + 5.18 = 435 Yeni çözüm 475 − 435 = 40 para birimi azalma sağlamıştır. Ò), Ó! ve +)! değerleri
yeni tablo için hesaplanırsa;
Ó = −3 Ó� = 2 ÓL = 4 Ó| = 11
P1 P2 P3 P4
Depo Kapasiteleri
Ò = 0 D1 10 2 20 11
15 5 10
Ò� = 5 D2 12 7 9 20
25 10 15
ÒL = 7 D3 4 14 16 18
10 5 5
Pazar Talepleri
5 15 15 15 50
+ = 10 − 0 − (−3) = 13 +L = 20 − 0 − 4 = 16 +� = 12 − 5 − (−3) = 10 +�| = 20 − 5 − 11 = 4 +L� = 14 − 7 − 2 = 5 +LL = 16 − 7 − 4 = 5
değerleri bulunacaktır. Düzelme indeksleri içinde negatif değer kalmadığına göre bu
dağıtım planı optimum çözümü göstermektedir.
7.8. Ulaştırma Problemlerinde Dejenerasyon
Bir ulaştırma probleminin herhangi bir dağıtım planında (� + 4 − 1) taş bulunuyorsa
her boş hücre için bir çevrim çizilebilir veya bütün Ò) ve Ó! değerleri hesaplanabilir. Bu kurala
uymayan problemlere "dejenere (bozulmuş)" denir.
Bu durum iki şekilde olabilir:
1. Taş sayısının (� + 4 − 1) değerinden büyük olması durumuna sadece başlangıç
çözümünde rastlanır. Bunun sebebi başlangıç dağıtımının yanlış yapılmış olması ya da
problemin yanlış formüle edilmiş olmasıdır. Bu durumda başlangıç dağıtımının yeniden
yapılması gerekir.
179
2. Taş sayısının (� + 4 − 1) değerinden küçük olması durumunda taş sayısı
işlemlerin uygulanabilmesi için yetersizdir. Bu tür dejenerasyona başlangıç dağıtım planında
veya çözümün herhangi bir aşamasında rastlanabilir. Bu tür dejenerasyonun giderilebilmesi için
0 değerli bir taş eklenir. Bu taşın ekleneceği hücre ise taşların basamak oluşturacak şekilde
sıralanmasına uygun hücre ya da en küçük maliyetli hücre olabilir. Optimum çözümde bile
dejenerasyon bulunabilir.
7.9. Yasaklanmış Yol Problemi
Pratikte her zaman her bir depodan her bir pazara dağıtım yapılması mümkün değildir.
Çünkü bazı depolardan bazı pazarlara ulaşım mümkün değildir veya çok pahalıdır. Dolayısıyla
bu depolar ve pazarlar arasında taşıma yapma olanağı bulunmaz. Böylece, bu tür yasaklanmış
yollar, ulaştırma problemine yeni sınırlamalar getirmektedir. Örneğin, µ. depo ile Ô. pazar
arasındaki taşıma 'Õ = 0 olması istenir.
Böyle bir ulaştırma probleminde simpleks yönteminde kullanılan e değeri ile aynı
manadaki çok yüksek bir maliyete sahip e değeri atama yapılması istenmeyen 'Õ hücresine
birim maliyet olarak yazılır. Birim ulaştırma maliyeti e olan bir hücreye yapılacak bir birimlik
dağıtım bile ulaştırma maliyetini aşırı derecede arttıracağından ulaştırma problemlerinin çözüm
yöntemleri bu hücrelerin boş kalmasını garantileyecektir.
180
Uygulamalar
1)
Üretici Kaynak Tüketici Talep
1. Adana 150 Ankara 200
2. Mersin 175 İzmir 100
3. Antalya 275 İstanbul 300
Kaynak Tüketici
Ankara İzmir İstanbul
Adana 6 8 10
Mersin 7 11 11
Antalya 4 5 12
c��� = 6H + 8H� + 10HL + 7H� + 11H�� + 11H�L +4HL + 5HL� + 12HLL
2) Aşağıda verilen transport problemi için Kuzey Batı Yöntemine göre atama yapılır
ise; D1’den P1’e kaç ürün gönderilmiştir?
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
181
3) Aşağıda verilen transport problemi için Vogel Atama Metodu (VAM) kullanılarak
atama yapılır ise; hangi hücreye ilk atama yapılır?
a) D1-P1 b) D1-P2 c) D2-P1 d) D1-P3 e) D2-P3
182
Uygulama Soruları
1) Siz olsanız herhangi bir transport probleminin optimal sonucuna daha hızlı
yaklaşmak için hangi atama yöntemini seçerdiniz?
2) Ulaştırma problemlerinin atamalarının yapılmasında hangi yöntemler kullanılır?
3) Yapılan atamalarının optimum olup olmadığı hangi yöntemlerle test edilir?
183
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde transport problemlerinde atamaların nasıl gerçekleştirildiği ve yapılan
atamanın optimal olup olmadığını test edecek yöntemler üzerinde durulmuştur. Atamaların
yapılmasında kullanılan Kuzeybatı Köşe Yöntemi, Minimum Maliyetli Hücre Ataması ve
Vogel Atama Yöntemleri anlatılmıştır. Yapılan Atamaların optimal olup olmadıklarının testi
yapılırken kullanılan Atlama Taşı Yöntemi ayrıntılı olarak incelenmiştir. Russel Atama
Yöntemi ve MO-Dİ optimallik testi yöntemleri konusunda ayrıntılı soru sorulmayacaktır.
184
Bölüm Soruları
1) Bir çimento şirketi, ürettiği çimentoyu 3 farklı tesisten 3 farklı inşaat bölgesine ürün
sevk etmektedir. Her üç tesise ilişkin kapasite verileri ve bu tesislerden istenilen miktarlar ve
birim ulaştırma maliyetleri (TL/ton) verilmektedir. Vogel Yaklaşımı kullanılarak atama yapılır
ise, ilk olarak hangi hücreye atama yapılır?
TESİSLER X Y Z ARZ
A 8 5 6 120
B 15 10 12 80
C 3 9 10 80
TALEP 150 70 60 280
a) + →
b) + → ^ c) � → �
d) , → � e) � → ^ 2) Aşağıdaki yöntemlerden hangisi ulaştırma problemlerinde yapılan dağıtımın optimal
olup olmadığını test eder?
a) Vogel Atama Metodu
b) Russel Atama Metodu
c) Kestirme Dağıtım
d) Minimum Maliyetli Hücre
e) MO-Dİ Yöntemi
3) Aşağıdaki yöntemlerden hangisi ulaştırma problemlerinde başlangıç çözümünü
bulmak için kullanılmaz?
a) Kuzey-Batı Köşe Yöntemi
b) En Düşük Maliyetli Hücreler Yöntemi
c) Satır veya Sütun En Küçüğü Yöntemi
d) Vogel Yaklaşım Yöntemi
e) Satır veya Sütun En Büyüğü Yöntemi
185
4) Aşağıda verilen ulaştırma tablosunun Minimum Maliyetli Hücre Yöntemi ile atama
yapıldığında ilk atama hangi hücreye gerçekleşir?
X Y Z T Arzlar
A 5 2 10 11 5 B 9 4 1 6 10 C 3 8 7 12 15
Talepler 12 8 4 6
a) + →
b) + → ^ c) � →
d) , → � e) � → ^
5) Ulaştırma probleminin çözümünde Kuzeybatı yöntemi kullanılacaksa atama
yapmaya hangi hücreden başlanır?
a) Sol – alt köşeden başlanır
b) Sağ – Üst köşeden
c) En yüksek maliyete sahip hücreden
d) En düşük maliyete sahip hücreden
e) Sol – Üst köşeden
6) Vogel Atama Metodunda (VAM) ilk aşama aşağıdakilerden hangisidir?
a) En küçük maliyetli hücreye atama yapılır.
b) Verilen problemde fark satırı ve fark sütun sütunu oluşturulur
c) En yüksek maliyetli hücreye atama yapılır
d) Fark satırında ve sütununda bulunan değerler sıraya dizilir
e) Sol üst köşeden başlanarak atama yapılır
186
7) Aşağıdakilerden hangisi ulaştırma problemlerinde bir atama yöntemi değildir?
a) Vogel Atama Metodu
b) Kuzeybatı Köşe Atama Yöntemi
c) MO-DI Optimallik Testi
d) Russel Atama Yöntemi
e) Minimum Maliyetli Hücre Atama Yöntemi
8) Aşağıdakilerden hangisi ulaştırma problemlerinde optimallik testi için kullanılan bir
yöntemdir?
a) Vogel Atama Metodu
b) Kuzey - Batı Köşe Atama Yöntemi
c) Russel Atama Yöntemi
d) Düşük Maliyetli Hücre Atama Yöntemi
e) Atlama Taşı Yöntemi (Boş Hücre Çevrimlerinin Çizilmesi)
9) Aşağıda bir ulaştırma problemi verilmektedir. Dejenerasyon (bozulma) durumu
yaşanmaması için kaç dolu hücre olmalıdır?
TESİSLER P1 P2 P3 P4 ARZ
D1 8 5 6 6 140
D2 15 10 7 12 80
D3 3 9 8 10 80
TALEP 150 70 20 60 300
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
187
10) Aşağıda bir ulaştırma problemi verilmektedir. Eğer dejenerasyon durumu
yaşanmadan 6 hücreye atama yapılmış ise, optimallik testi için kaç adet boş hücre çevrimi
çizilir?
Pazar
Depo
P1 P2 P3 P4 ARZ
D1 8 3 6 6 100
D2 5 10 7 12 100
D3 4 9 8 10 100
TALEP 150 70 20 60 300
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
11) Aşağıda verilen transport problemi için Minimum Maliyetli Hücre Yöntemi
(Kestirme Dağıtım Yöntemi) kullanılarak atama yapılır ise; hangi hücreye ilk atama yapılır?
a) D1-P1 b) D1-P2 c) D2-P1 d) D1-P3 e) D2-P3
12) Aşağıda yapılan dağıtım planına göre transport maliyeti kaç olur?
188
a) 400 b) 460 c) 500 d) 600 e) 900
13) Aşağıda verilen ulaştırma tablosunun Kuzey Batı Köşesi Yöntemi ile bulunan
Olurlu Başlangıç Çözümü’ nün değeri kaçtır?
İSTANBUL İZMİR ANTALYA TALEP
DENİZLİ 6 8 10 150
BURSA 7 11 11 175
ADANA 4 5 12 275
ARZ 200 100 300 600
a) 6355 TL
b) 11.500 TL
c) 5875 TL
d) 5925 TL
e) 3400 TL
14) Kuzeybatı Köşe, Vogel, Russel ve Minimum Maliyetli Hücre Atama (Kestirme
Dağıtım) yöntemlerinden hangisi kullanılırsa genellikle optimum çözüme daha geç ulaşılır?
189
a) Vogel Atama Metodu
b) Russel Atama Metodu
c) Kestirme Dağıtım
d) Minimum Maliyetli Hücre
e) Kuzey Batı Köşe Yöntemi
15) Ulaştırma Probleminin çözümüne başlayabilmek için aşağıdaki varsayımlardan
hangisi geçersizdir?
a) Her bir üretim merkezi ile her bir tüketim merkezi arasında bir birim malın kaça
taşınacağı bilinmeli
b) Her bir üretim merkezi ile her bir tüketim merkezindeki toplam miktar tam olarak
bilinmeli.
c) Modelde kullanılan tüm bilgiler ve probleme konu olan mal ve hizmetler, bütün
üretim ve tüketim merkezleri için aynı birim ve homojenlikte tanımlanmış olmalı.
d) Modelde kullanılan tüm bilgiler ve probleme konu olan mal ve hizmetler, bütün
üretim ve tüketim merkezleri için ayrı birim ve heterojenlikte tanımlanmış olmalı.
e) Üretim merkezlerinden dağıtılacak toplam miktar, tüketim merkezlerince istenen
toplam miktara eşit olmalı.
Cevaplar
1) c, 2) e, 3) e, 4) d, 5) e, 6) b, 7) c, 8) e, 9) d 10) c, 11) c, 12) b, 13) d, 14) e, 15) d
190
8. ÇOK AMAÇLI KARAR VERME: HEDEF PROGRAMLAMA
191
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
8.1. Çok Amaçlı Karar Verme
8.2. Hedef Programlama
192
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Lineer programlama ile hedef programlama arasında nasıl bir fark vardır?
2) Karar verme sürecinde birden çok amaç olması durumunda nasıl bir yol izlenir?
3) Hedef programlamada sapmalar ne ifade etmektedir?
193
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Çok amaçlı karar verme
hakkında bilgi sahibi
olunması
Karar modelleri hakkında
genel bilgi sahibi olmak.
Birden fazla amaç olması
durumunda karar
problemlerinin nasıl
çözüldüğünü öğrenmek.
Okuyarak, deneme ve
uygulama yaparak, tekrar
yaparak
Hedef programlama
Karar sürecinde hedef olarak
belirlenen amaçların eş anlı
sağlanması ya da
hedeflerden sapmaların en
küçüklenmesi ile
sonuçlanacak modeller
kurmak
Okuyarak, deneme ve
uygulama yaparak, tekrar
yaparak
194
Anahtar Kavramlar
• Çok kriterli karar verme
• Çok amaçlı karar verme
• Hedef programlama
195
Giriş Gerçek hayatta karşılaşılan birçok problemin yapısında çok amaçlılık vardır. Bu amaçlar
bazen birbirleriyle paralel olurken bazen de birbirleriyle çatışma içinde olabilir. Her iki
durumda da bu amaçların eş zamanlı sağlanması için çok amaçlı programlama modellerinden
yararlanılmaktadır. Karar verme sürecinde karar vericiler birden çok kriteri göz önünde
bulundurmaktadır. Karar verme sürecinde birden çok kriterin bulunduğu karar problemlerine
çok kriterli karar verme problemleri ismi verilmektedir. Çok kriterli karar verme problemleri,
kararı etkileyen nitelik (özellik) ve amaç sayısına göre sınıflanmaktadır. Bu doğrultuda çok
kriterli karar verme problemleri çok nitelikli karar verme ve çok amaçlı karar verme problemleri
olarak sınıflandırılmıştır.
Çok Kriterli Karar Verme Yöntemleri
Çok Nitelikli Karar Verme
� Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP)
� Analitik Network Prosesi (ANP)
� TOPSIS
� ELECTRE
� PROMETHEE
� VIKOR
Çok Amaçlı Karar Verme
� Hedef Programlama (HP)
� STEM
� Ziont Wallenius
� STEUER
biçiminde sınıflandırılır.
Çok amaçlı karar verme, karar verme süreci sonucunda birden fazla amacın
gerçekleştirilmesi istenen yaklaşımlardır. Doğrusal programlama modelleri ile yıllık sipariş
verme maliyetlerinin en küçüklenmesi, yıllık kârın en büyüklenmesi gibi sadece tek bir amacın
en iyilenmeye çalışıldığı problemler ele alınabilmektedir. Birden fazla amacın en iyilenmeye
çalışıldığı problemlerin çözümünde ise çok amaçlı karar verme yöntemlerine ihtiyaç duyulur.
196
8.1. Hedef Programlama
Birden fazla amacı aynı anda gerçekleştirme esasına dayanan hedef programlama,
üretim planlamadan iş gücü planlamasına, ulaştırmadan finansal planlamaya birçok alanda
uygulanan bir yöntemdir. Her bir amaç bir hedefi oluşturmaktadır. Bu da, amaçlar için sayısal
hedeflerin belirlenmesi ile gerçekleşir. Bu yöntem ile tüm sistem kısıtlarının sağlandığı ve
mümkün olduğunca tüm hedeflere ulaşan bir çözüm elde edilir. Belirlenen hedeflerin tam
olarak gerçekleşmemesi durumunda hedef değerlerinden istenmeyen yöndeki sapmalar
minimize edilir. Elde edilen çözümde bazı amaçlar en iyi değerine ulaşırken, diğer amaçlar en
iyi çözüme ulaşamayabilir. Dolayısıyla, sonuç değer mümkün olduğunca karar vericileri tatmin
eden, en uzlaşık çözüm olacaktır. Bir başka ifadeyle, etkin bir çözüm elde edilecektir.
8.1.1. Hedef Programlamada Kullanılan Temel Kavramlar
Doğrusal programlamanın özel bir hâli olarak kabul edebileceğimiz hedef
programlamada doğrusal programlamada kullanılan sağ taraf sabiti, karar değişkeni gibi
parametrelere ek olarak kullanılan temel kavramlar şu şekilde sıralanabilir:
Amaç: Karar vericinin isteğinin genel durumunu gösteren ifadedir. Örneğin işgücü
kullanımını en küçüklemek bir amaç olarak tanımlanabilir.
Hedef: Belirlenen amaç için başarmak istenilen kesin ifadedir. Bir başka deyişle,
istenilen seviye ile belirlenmiş bir amaçtır. Örneğin işgücü kullanımını en küçüklemek amacını
aylık işgücü kullanımının en fazla 400 saat olarak kesin bir ifade ile belirtilmesi hedef olarak
tanımlanabilir.
Kısıtlar: Doğrusal programlamadan farklı olarak hedef programlamada iki tip kısıt
bulunur. Sistem kısıtları ve hedef kısıtları, hedef programlama modellerinde kullanılan
kısıtlardır.
Sistem Kısıtları: Fonksiyonel kısıt olarak da adlandırılan sistem kısıtları tam olarak
sağlanması gereken ve sapmaya izin verilmeyen kısıtlardır. Sistem kısıtları doğrusal
programlamada kullanılan kısıtlara karşılık gelir ve çözüm üretilmesi için mutlaka uyulması
gereken kısıtlardır. Doğrusal programlamadaki gibi formüle edilirler ve öncelikle bu kısıtların
gerçekleştirilmesi gerekir.
Hedef Kısıtları: Karar vericinin ulaşmayı istediği veya gerekli gördüğü hedefler, hedef
programlama modeline hedef kısıtları olarak aktarılır. Hedef kısıtları çok katı olmayıp
hedeflenen değerlerden (sağ taraf değerleri) sapmaların açıklanmasıyla ortaya çıkan esnek kısıt
fonksiyonlarıdır. Yani hedef kısıtlarının ihlal edilmesi durumu söz konusu olabilir. Hedef
kısıtlarının sağlanması sistem kısıtlarının gerçekleştirilmesinden sonra gelir. Hedef kısıtlarında
meydana gelen sapmalar hedef programlamada ayrı bir değişken olarak ele alınmaktadır.
Sapma Değişkenleri: Sadece hedef kısıtları ve modelin amaç fonksiyonunda yer alan
sapma değişkenleri, istenilen hedefin aşılması ve altında kalınması durumlarını gösteren
değişkenlerdir. Her bir hedef için birer negatif sapma ve pozitif sapma değişkeni tanımlanır.
197
Sapma değişkenleri her ne kadar pozitif ve negatif olarak isimlendirilse de negatif değer
alamazlar. Ayrıca, belirlenen hedefin sadece ya altında ya da üstünde bir durum
gerçekleşeceğinden, negatif ve pozitif sapma değişkenlerinden biri daima sıfır değerini alır.
Hedef kısıtlarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen veya istenmeyen değişken olarak da
adlandırılır.
Negatif Sapma Değişkeni (×�{): Hedefin ne kadar altında kalındığını gösteren
değişkendir. Alt sapma olarak da adlandırılır. Örneğin aylık işgücü kullanımının en az 400 saat
olarak belirlendiği bir hedefte aylık işgücü kullanımı 350 saat olarak gerçekleşmiş ise bir
negatif sapmadan söz edilebilir. Bu durumda negatif sapma 400-350=50 işgücü saati olarak
hesaplanacaktır.
Hedef = 400 işgücü saati (en az)
Gerçekleşen = 350 işgücü saati
Negatif Sapma = 50 işgücü saati
Pozitif Sapma Değişkeni (×�g): Hedefin ne kadar aşıldığını gösteren değişkendir. Üst
sapma olarak da adlandırılır. Örneğin aylık işgücü kullanımının en fazla 400 saat olarak
belirlendiği bir hedefte aylık işgücü kullanımı 450 saat olarak gerçekleşmiş ise bir pozitif
sapmadan söz edilebilir. Bu durumda pozitif sapma 450-400=50 işgücü saati olarak
hesaplanacaktır.
Hedef = 400 işgücü saati (en fazla)
Gerçekleşen = 450 işgücü saati
Pozitif Sapma = 50 işgücü saati
Hedef kısıtları (≥), (≤), (=) şeklinde bulunabilir. Hedef programlamada model
kurulurken kısıtın yönüne göre pozitif sapma, negatif sapma veya her iki sapma eklenerek kısıt
sağ taraf sabitine eşitlenir. Hedef kısıtlarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen veya
istenmeyen değişken olarak da adlandırılır.
Hedef kısıtı (≥) yönünde ise ×�g istenen, ×�{ ise istenmeyen sapma değişkenidir.
Hedef kısıtı (≤) yönünde ise ×�g istenmeyen, ×�{ ise istenen sapma değişkenidir.
Hedef kısıtı (=) şeklinde ise ×�g ve ×�{ değişkenlerinin her ikisi de istenmeyen sapma
değişkenleridir.
Örneğin bir üretim işletmesinde üretilen + ürününe günlük günlük kota uygulandığını
düşünelim. Eğer yönetici A ürünü üretim miktarını en az (≥) 1000 adet olarak belirlemiş ise ×�g istenen, ×�{ ise istenmeyen sapma olmaktadır. Yani yönetici 1000 adet + ürünü üretme
hedefinin altında kalmak istememekte, 1000 adetten fazla üretimi ise hedefin ihlali olarak
görmemekte ve istenen bir durum olarak kabul etmektedir. Aynı mantıkla eğer yönetici + ürünü
198
üretim miktarını en fazla (≤) 1000 adet olarak belirlemiş ise×�g istenmeyen, ×�{ ise istenen
sapma olmaktadır. Yani yönetici 1000 adet + ürünü üretme hedefinin üstüne çıkmak
istememekte, 1000 adetten az üretimi ise hedefin ihlali olarak görmemekte ve istenen bir durum
olarak kabul etmektedir.
Şayet yönetici tam (=) olarak 1000 adet A ürünü üretilmesini hedeflemiş ise bu
durumda 1000 adetin altında ve üstünde kalan tüm üretim miktarları istenmeyen durum olarak
kabul edilecek, böylece ×�g ve ×�{ değişkenlerinin her ikisi de istenmeyen sapma değişkenleri
olarak modele dâhil edilecektir.
Amaç Fonksiyonu: Hedef programlamada amaç istenmeyen sapmaların minimize
edilmesidir. Dolayısıyla amaç fonksiyonu her bir hedefe ilişkin istenmeyen yönlü sapmaların
bir öncelik seviyesi ve/veya ağırlığa göre toplamları şeklinde yazılmasından ibarettir. A ürünü
üretimi miktarına göre belirlenen üç hedef için tek tek amaç fonksiyonu yazılacak olursa,
1000 adet + ürünü üretimi hedefinin altında kalınmak istenmediğinde, min � = Ø){
1000 adet + ürünü üretimi hedefinin üstünde kalınmak istenmediğinde, min � = Ø)g
1000 adet A ürünü üretimi hedefinin altında ve üstünde kalınmak istenmediğinde,
min� = Ø){ + Ø)g olarak belirlenecektir.
8.1.2. Hedef Programlamanın Varsayımları
Doğrusal programlama modellerinin bazı varsayımlar altında kurulduğunu önceki
bölümlerde görmüştük. Doğrusal hedef programlama modeli ile uygun bir çözüm elde
edebilmek için, doğrusal programlama modelleri için geçerli olan oransallık, toplanabilirlik,
bölünebilirlik ve belirlilik varsayımlarının sağlanması gerekmektedir. Bu varsayımlara ek
olarak sağlanması gereken varsayımlar da bulunmaktadır:
Negatif Olmama Varsayımı: Doğrusal programlama modellerinde karar
değişkenlerinin negatif olmama koşuluna ek olarak tüm sapma değişkenlerinin de pozitif olması
(sıfır ve ya sıfırdan büyük olması) koşulu bulunmaktadır.
H! , Ø)g, Ø){ ≥ 0∀(/, 3) Amaçlara Öncelik Verilmesi Varsayımı: Amaçlara öncelik verilerek, ilgili amaçlara
karşı gelen hedeflere de bir öncelik sırası verilmiş olur. Modelde, hedefler öncelik değerlerine
göre sıralanır. Ardından, birinci öncelikli hedeften başlanarak, öncelik sırasıyla, ilgili hedef
gerçekleştirilmeye çalışılır.
Amaçların Ağırlıklandırılması Varsayımı: Hedef programlama modelindeki
sapmaların önem dereceleri birbirinden farklı olabilir. Bu durumda sapmalara ağırlık değerleri
verilebilir. Bu ağırlıklar, her bir sapmanın diğerlerine oranla göreceli olarak önemini gösterir.
199
Modelin amaç fonksiyonu, hedeflerini temsil eden sapmaların ağırlıklandırılmış toplamı hâline
getirilir.
8.2. Hedef Programlama ve Doğrusal Programlama Arasındaki Farklar
Doğrusal hedef programlama ile doğrusal programlama yöntemleri benzer özelliklere
sahip olsa da izleyen noktalarda farklılıklara sahiptirler.
Doğrusal programlamada amaç en iyi çözümü elde etmek iken, doğrusal hedef
programlamada amaç mümkün olduğunca en iyi çözümü elde etmektir.
Doğrusal programlama modelinde tek bir amaç en iyilenmeye çalışılır. Doğrusal hedef
programlama modelinde ise birden fazla amaç için hedef değerleri belirlenir ve bu hedeflerin
hepsi modele alınır.
Doğrusal programlama modelindeki sistem kısıtları kesinlikle sağlanması gereken katı
kısıtlardır. Doğrusal hedef programlama modelinde sistem kısıtlarının yanı sıra hedef kısıtları
yer alır. Hedef kısıtları ise sapmalara izin verilen esnek kısıtlardır.
Doğrusal programlama modelindeki amaç fonksiyonunda karar değişkenleri yer alırken,
hedef programlama modelinde amaç fonksiyonunda karar değişkenleri yer almaz. Hedef
programlama modelindeki amaç fonksiyonu negatif ve/veya pozitif sapma değişkenlerinden
oluşur.
Doğrusal programlamada amaç fonksiyonu maksimizasyon ya da minimizasyon
şeklinde iken, hedef programlamada amaç fonksiyonu sadece minimizasyon şeklindedir.
Bu çok amaçlı programlama modellerinden biri olan hedef programlama, amaçların
hepsini birer kısıt haline dönüştürür ve önem sırasına göre amaçlardan sapmayı minimize
etmeye çalışır. Bir hedef programlama (HP) modeli, bir karar vericinin çeşitli amaç ya da
hedeflerini eş zamanlı olarak dikkate alır. Herhangi bir (Doğrusal Programlama) DP ve (Hedef
Programlama) HP probleminde eğer tüm kısıtlar aynı anda sağlanamıyorsa model için uygun
çözüm elde edilemez. Hedef programlamanın amacı, tüm kısıtları sağlayan ve mümkün olduğu
kadar tüm hedeflere ulaşan bir çözüm bulmaktır.
Hedef Programlama (HP) ilk defa doğrusal hedef programlama olarak Charnes ve
Cooper (1961) tarafından geliştirilmiştir. Bu yöntemin temeli doğrusal programlamaya dayanır.
Bu yöntemde karar vericiden, her bir amaç için erişilmesini arzu ettiği bir hedef değer
belirlemesi istenir. Daha sonra, tercih edilen çözüm bu hedef değerlerden sapmaları minimum
kılan çözüm olarak belirlenir.
Hedef programlama, doğrusal programlamada olduğu gibi amaç kriterini doğrudan
maksimize veya minimize etmek yerine, hedefler arasındaki sapmaları minimize yapmaktadır.
Hedef programlama modeli makul çözümler bulmak amacı ile karar vericinin birden fazla
amacı aynı anda göz önünde bulundurması için faydalıdır. Bununla birlikte, yalnızca kısmi bilgi
200
elde edilmesi sebebi ile her amacın hedeflenen değerinin kesin hesaplanması karar verici için
zordur. Hedef Programlamanın en önemli özelliği birbiri ile zıt yönetimsel problemleri içeren
birden fazla hedefi, hedeflerin önemine göre atama yapabilmesidir.
Karar vericiler için bu tekniğin en önemli özelliği; her bir tercihe veya nitelendirmeye
doyurucu bir hedef değerini atayabilmesidir. Hedef programlama ile istenmeyen sapma
değişkenleri fonksiyonu minimum kılınır. Her bir amaç için spesifik sayısal hedef sağlamak
maksadıyla, her amacın fonksiyonu formüle edilir ve bu amaçları kaçırmadan, doğan toplam
cezayı minimum kılan bir çözüm aranır.
Bu toplam ceza, amaç fonksiyonlarının her birinin hedeflerinden sapmalarının ağırlıklı
toplamını ifade eder.
Karar verici öncelikle ilgi hedefleri ve bu hedefler için kabul edilen öncelikleri belirler.
Genellikle hedefler sıralanır ve her öncelik düzeyindeki hedeflere öncelikli ağırlıklar verilir. Bu
öncelikli ağırlıklar, sayısal değer veya kodlar verilerek yapılır. Yüksek öncelikli hedefler daha
düşük öncelikli hedeflerden önce doyurulur. Hedef programlama, problem kısıtlayıcılarına
bağlı olarak önceliklendirilen hedeflerden sapmaları minimum kılar.
Hedef programlama, çok amaçlı karar verme problemlerini çözmek için karar vericilere
doyurucu bir çözüm kümesini sağlayan önemli bir teknik olduğu gibi, karar vericinin her bir
nitelendirmesine de doyurucu bir hedef değerini atayabilmektedir. Hedef programlama, çok alt
hedefi olan çok hedefli problemler gibi çok alt hedefli tek bir hedefi amaçlayan karar
problemlerinin çözümünde kullanılan doğrusal programlamanın genişletilmiş özel bir
durumudur. Hedef programlamada, doğrusal programlamada olduğu gibi amaç fonksiyonunun
boyutsal bir kısıtlaması yoktur.
8.3. Hedef Programlamanın Formülasyonu
Hedef programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi amaç kriterinin doğrudan
maksimize veya minimize yapılmasının yerine, hedefler arasındaki sapmalar minimize edilir.
Doğrusal programlamanın simpleks algoritmasında yer alan bu gibi sapmalar aylak değişkenler
olarak isimlendirilirken, bu sapan değişkenler hedef programlamada yeni bir anlam kazanırlar.
Sapan değişkenler her bir hedeften hem pozitif yönde hem de negatif yönde sapmalar şeklinde
iki boyutta gösterilir. Amaç fonksiyonu yalnızca bu sapan değişkenlerden oluşturulur.
Bir HP modeli genel olarak aşağıdaki formda ifade edilir:
Min (Hedeflerden sapmaların toplamı)
Kısıtlar
Hedef denklemleri
Fonksiyonel kısıtlar (varsa)
Tüm değişkenler (karar ve sapma değişkenleri) için negatif olmama kısıtı
201
Değişkenler:
!: 3. karar değişkeni
�)! : i. hedefin 3. karar değişkeni katsayıları
.) : /. hedef için hedeflenen değer
Ø)g: /. hedefin pozitif sapma değişkeni
Ø){: /. hedefin negatif sapma değişkeni
Gerçek hayatta karşılaşılan problemlerin çoğu birden fazla ve genellikle birbiriyle
çelişen amaca sahiptir. Karar vericinin amacı, tüm bu amaçları aynı anda gerçekleştirmektir.
Ancak, birden fazla amacın aynı anda ele alındığı bu tür karar problemlerinin çözümünde,
önceki bölümlerde kullandığımız doğrusal programlama yöntemi yetersiz kalmaktadır. Birden
fazla amacın en iyilenmeye çalışıldığı problemlerin çözümünde ise çok amaçlı karar verme
yöntemlerine ihtiyaç duyulur. Bu yöntemlerden biri de hedef programlama yöntemidir.
Genel olarak /. hedefin matematiksel gösterimi şu şekilde oluşturulur:
�%)� = ÚØg + Ú�Ø�g
Kısıtlar:
{Fonksiyonel kısıtlar grubu}
{Hedef kısıtlar grubu}
Aynı anda hem pozitif sapma hem de negatif sapma meydana gelemeyeceğin densapan
değişkenlerin en az bir tanesinin veya her ikisinin de sıfır olması gerekmektedir. İstenmeyen
sapan değişkenlerin belirlenmesinden sonra hedef programlama formülasyonu yapılır. Bu
değişkenler içerisinden yalnızca bir tanesi karar verici tarafından minimize yapılmak istenir.
Hedef kısıtlayıcılarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen veya istenmeyen
değişken olarak da adlandırılır.
Hedef kısıtlayıcısı ≥ yönde ise Ø)g istenen değişken, Ø){ ise istenmeyen sapma
değişkenidir.
Hedef kısıtlayıcısı ≤ yönde ise Ø){ istenen, Ø)g ise istenmeyen sapma değişkenidir.
Hedef kısıtlayıcısı = ise Ø)g ve Ø){ her ikisi de istenmeyen sapma değişkenleridir.
202
Örnek:
Bir şirket 3 farklı model ayakkabı üretmektedir. Bu modellerin her birisi için gereken
işgücü miktarı sırasıyla 2, 3 ve 2 saattir. Yine bunların üretimi için gerekli malzeme miktarları
da sırasıyla 3, 2 ve 1 kg/çift olarak belirlenmiştir. Şirketin elinde aylık 6500 saat işgücü ile 8600
kg. malzeme bulunmaktadır. Şirket model-1 ayakkabı çiftinden 4 TL, model-2 ayakkabı
çiftinden 6 TL ve model-3 ayakkabı çiftinden de 5 TL kâr etmektedir. Yönetici aylık en az
15000 TL kârı ve model-2 ayakkabıdan da en az aylık 860 çift üretmeyi hedeflemektedir.
Problemin klasik doğrusal programlama modeli;
Amaç Fonksiyonu;
e�µf� = 4H + 6H� + 5HL Kısıtlayıcılar;
2H + 3H� + 2HL ≤ 6500 (Aylık elverişli işgücü miktarı)
3H + 2H� + HL ≤ 8600 (Aylık gerekli malzeme miktarı)
H, H�, HL ≥ 0 Bu problemin optimal çözümü;
H = 0 ve H� = 0 HL = 3250 e�µf� = 16250 TL’dir.
Bu klasik doğrusal programlama modelinin çözüm değerleri yöneticinin istediği model-
2 ayakkabısının üretim hedefini karşılamamaktadır. Dolayısıyla bu modelin yöneticinin
hedeflerini içeren hedef programlamaya dönüştürülmesi gerekir.
İlk önce modele hedef kısıtlayıcılarının eklenmesi gerekir.
Yöneticinin iki hedefi vardır;
- Aylık kârının en az 15000 TL olması,
- Model-2’den en az 860 çift ayakkabı üretilmesi.
Belirlenen aylık 15000 TL’lik kâr hedefine ilişkin sapma değişkenleri aşağıdaki gibidir.
dg = Belirlenen aylık 15000 TL’lik kâr hedefini aşan miktar (TL olarak)
Ø{ = Belirlenen aylık 15000 TL’lik kâr hedefinin altında kalan miktar (TL olarak)
203
(Kâr hedefinin üzerine ve de altına düşmek aynı anda gerçekleşemeyeceği için, bu
sapma değerlerinden en az birisi sıfır olacaktır.)
Aylık kâr hedefi kısıtlayıcısı;
4H + 6H� + 5HL + Ø{ − Øg = 15000 Model-2 ayakkabıdan aylık en az 860 çift üretim hedefine ilişkin sapma değişkenleri
d2’dir.
Ø�g = Belirlenen aylık model-2 ayakkabı hedefini aşan miktar
Ø�{ = Belirlenen aylık model-2 ayakkabı hedefinin altında kalan miktar
Üretim hedefi kısıtlayıcısı;
H�– Ø�g + Ø�{ = 860 Hedef programlamada, sapma değişkenlerini içermeyen kısıtlayıcılar sistem
kısıtlayıcılarıdır. Bu problemde işgücü ve malzeme kısıtlayıcıları sistem kısıtlayıcılarıdır. Karar
verici, sistem kısıtlayıcıları için bir hedef koyar ise elbette bu kısıtlayıcılar da sapma
değişkenlerini içerecektir.
Hedef amaç fonksiyonunu oluşturmak için istenen iki hedefin ele alınması gerekir.
İlk hedef için amaç fonksiyonu; (aylık en az 15000 TL kâr elde etmek)
e/4� = Ø{
(Burada Ø{ istenmeyen sapma değişkeni olduğu için amaç fonksiyonuna alınır ve bu
değişkenin değeri en küçüklenmeye çalışılır.)
İkinci hedef; model-2’den aylık en az 860 çift üretmek
Buna göre bu iki hedefin oluşturduğu hedef programlamanın amaç fonksiyonu;
e/4� = Ø{ + Ø�{
Bu fonksiyonun iki sapma değişkeninden oluşan çok değişkenli bir fonksiyon olduğu
görülmektedir. Ayrıca sapma değişkenlerinin ölçü birimleri ilk hedef için TL, ikinci hedef için
ise ayakkabı çiftinin sayısıdır. Bu nedenle, problem çözümünün sonucunda ulaşılan amaç
fonksiyonunun toplam değerini yorumlarken ekonomik anlam aramak hatalı olacaktır. Bunun
yerine amaç fonksiyonunu oluşturan bileşenlerin ayrı ayrı değerlendirilmesi gerekir. İşte bu
sakıncayı önlemek için bazı kaynaklarda değişkenler arasına virgül konularak amaç
fonksiyonunun ifade edildiği görülebilmektedir. Yani örnekteki amaç fonksiyonu;
e/4� = (×X{, ×Y{) şeklinde de ifade edilebilir.
204
Örnekteki hedef programlama modelinin amaç fonksiyonu;
e/4� = Ø{ + Ø�{
Kısıtlayıcılar;
4H + 6H� + 5HL + Ø{ − Øg = 15000 (aylık kâr hedefi)
H�– Ø�g + Ø�{ = 860 (model-2 ayakkabısı aylık üretim hedefi)
2H + 3H� + 2HL ≤ 6500 (işgücü kısıtlayıcısı)
3H + 2H� + HL ≤ 8600 (malzeme kısıtlayıcısı)
H, H�, HL, Ø{, Øg, Ø�{, Ø�g ≥ 0 Problemin Optimal Çözümü;
H = 0, H� = 844 , HL = 1984, Ø{ = 16 olarak bulunmuştur.
Modele göre 2. ve 3. Ayakkabı türünden üretim yapılmakta ve ilk hedefin 16 TL altında
kalınmıştır. Ayrıca ikinci hedef olan aylık 860 çift ayakkabı üretme amacına sapmasız
ulaşılmıştır.
8.4. Hedef Programlama Türleri
Hedef programlamada, karar vericilere bağlı olarak herhangi bir önceliği ya da ağırlığı
olmayan ya da belirli bir öneme ve/veya ağırlığa sahip amaçların en iyilenmesine
çalışılmaktadır. Dolayısıyla, geliştirilen amaç fonksiyonunun yapısına göre hedef programlama
türleri beş başlıkta sınıflandırılmaktadır:
• Tek hedefli programlama
• Eşit ağırlıklı çok hedefli programlama
• Ağırlıklı çok hedefli programlama
• Öncelikli çok hedefli programlama
• Öncelikli-ağırlıklı çok hedefli programlama
8.4.1. Tek Hedefli Programlama
Ele alınan problemin tek bir hedefi olması durumunda ortaya çıkan hedef programlama
türüdür. Hedef türüne bağlı olarak, amaç fonksiyonu üç farklı biçimde kurulur:
205
min� = Ø){
min� = Ø)g
min� = Ø){ + Ø)g
8.4.2. Eşit Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama
Ele alınan problemin hedeflerinin herhangi bir önceliğinin bulunmaması ve sapma
değişkenlerinin de eşit önemli olması hâlinde ortaya çıkan programlama türüdür. Amaç
fonksiyonu da istenmeyen sapma değişkenlerinin toplamı şeklinde kurulur.
Örneğin isteyen sapma değişkenlerinin Ø{, Ø�g, Ø�{, ØLg olduğu durumda eşit ağırlıklı
çok hedefli programlama modelinin amaç fonksiyonu,
Min� = Ø{ + Ø�g + Ø�{ + ØLg
şeklinde yazılır.
8.4.3. Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama
Hedeflerdeki sapma değişkenlerinin önem derecelerinin birbirinden farklı olması
hâlinde sapma değişkenlerine Ú) ağırlık değerleri verilmektedir. Bu ağırlıklar, her bir sapma
değişkeninin diğerine oranla göreceli olarak önemini göstermektedir. Amaç fonksiyonu, sapma
değişkenlerinin ağırlıklandırılmış toplamının minimizasyonu şeklinde oluşturulur. Bu yaklaşım
genellikle eşit ağırlıklı çok hedefli problemlerin sapma değişkenlerinin boyutları/ölçü birimleri
farklı olduğunda tercih edilir. Örneğin hedef olarak kâr ve üretim miktarı belirlenmiş ise sapma
değişkenleri arasındaki ölçü birimi farklılığından dolayı ağırlıklar kullanılarak model
kurulmaktadır.
Birinci sapma değişkeninin ikinci sapma değişkenine nazaran göreceli olarak 10 kat
daha önemli olduğu bir hedef programlama modeli Ú = 10, Ú� = 1 olmak üzere,
min� = ÚØ{ + Ú�Ø�g
min � = 10Ø{ + 1Ø�g
şeklinde kurulur.
Sapma değişkenlerine ağırlık verilmesi durumu bir hedef için negatif ve pozitif sapma
değişkenlerinin birbirine göre önemli olması durumunda da gerçekleşebilir.
8.4.4. Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Karar verici açısından bir hedefe ulaşmak diğer hedeflere ulaşmaktan daha önemli
olabilir. Dolayısıyla, öncelikli hedef programlamada karar verici hedeflere bir öncelik
belirlemekte ve bu önceliklere göre hedefleri sıralandırmaktadır. Buradaki ana fikir, ilk
206
öncelikli hedef ve/veya hedeflerin sonraki öncelik seviyesindeki hedef ve/veya hedeflerden
önce gerçekleştirilmesidir.
Ağırlıklı çok hedefli programlamadan farklı olarak, yüksek öncelikli hedefin en iyi
değerinin düşük öncelikli hedef tarafından kötüleştirilmesine izin verilmeyecek şekilde her
seferinde bir hedef en iyi kılınır.
Öncelikli çok hedefli programlamada, toplam µ adet öncelik belirlenmesi hâlinde,
birinci öncelikli hedef önceliği ve en düşük hedef önceliği ' olmak üzere, diğer hedef
öncelikleri > � > ⋯ > ' şeklinde sıralanır.
Karar vericinin 3 öncelik seviyesinde 6 hedefi sınıflandırdığını düşünelim (hedeflerden
sapmaların yönü rassal atanmıştır). Öncelik seviyelerine göre hedefler,
Birinci Öncelik Seviyesi; Hedef 1, Hedef 3
İkinci Öncelik Seviyesi; Hedef 2
Üçüncü Öncelik Seviyesi; Hedef 4, Hedef 5, Hedef 6
şeklinde gruplandığı durumda, kurulacak hedef programlama modelinin amaç
fonksiyonu,
min � = (Øg, ØLg) + �(Ø�g) + L(Ø|g, Ø}{, Ø~{) olarak ifade edilir.
Örnek:
Bir firma su emişli ve hava emişli olmak üzere iki tür elektrik süpürgesi üretmektedir.
Her iki ürünün üretimi için iki işlem gerekir. Bir birim su emişli süpürgenin üretimi için işlem-
1’de 6 saat, işlem-2’de ise 3 saat gereklidir. Birim hava emişli süpürge üretimi için her iki
işlemde de ayrı ayrı 3 saat gereklidir. Firmanın elindeki işlem zamanı ise işlem-1’de 120 saat,
işlem-2’de 90 saattir.
Firma yöneticisi en az 15 tane su emişli ve 15 tane hava emişli süpürge üretmek
istemekte ama birinci hedefin ikinci hedeften üç kat daha önemli olduğunu belirtmektedir. Buna
göre öncelikli hedef programlama modelini kurarak optimal çözümü bulunuz?
Örnekteki hedef programlama modelinin amaç fonksiyonu;
Min z = ×X{ +Z×Y{
Kısıtlayıcılar;
x1+ Ø{ - ÛXg = 15 (Hedef Kısıtlayıcısı-1)
x2 – ×Yg + ×Y{ = 15 (Hedef Kısıtlayıcısı-2)
207
6 x1 + 3 x2 ≤ 120
3 x1 + 3 x2 ≤ 90
x1, x2, Ø{, ÛXg ,×Yg, ×Y{ ≥ 0
Optimal Çözüm;
x1 =7,5
x2 =15
×X{ = [, a ×Y{ = \
İkinci hedefin öncelikli olarak gerçekleşmesine ilişkin verilen ağırlık nedeniyle su
emişli hedeften 7,5 adetlik bir sapma gerçekleşmiştir. Hava emişli elektrik süpürgesi üretiminde
ise istenilen hedefe ulaşılmıştır.
8.4.5. Öncelikli-Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama
Öncelikli hedef programlama modellerinde bazı durumlarda sapma değişkenlerinin
farklı ağırlıklara sahip olduğu durumlar da karşımıza çıkabilmektedir.
Örneğin bir işletmenin üç öncelikli üç farklı amacı olsun.
Birinci öncelikli birinci hedef için hem negatif hem de pozitif sapma değişkenleri
istenmeyen değişkenlerdir.
Birinci hedef için negatif sapma pozitif sapmadan 2 kat daha önemlidir.
İkinci hedef üçüncü, üçüncü hedef de ikinci öncelikli hedef olarak belirlenmiştir.
İkinci hedef için pozitif üçüncü hedef için ise negatif sapma değişkenleri istenmeyen
değişkenlerdir.
Bu durumda ilgili problem için amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde kurulur;
min � = (2Ø{) + (Øg) + �(ØL{) + L(Ø�g)
208
Uygulamalar
Aşağıda modeli verilen bir HP probleminin optimal çözümü WinQSB veya ABQM paket
programları ile çözülerek verilmiştir.
Model:
12H + 15H� + 9HL ≥ 125 Kâr amacı
5H + 3H� + 4HL = 40 İşçilik Amacı
5H + 7H� + 8HL ≤ 55 Yatırım Amacı
Ø = 12H + 15H� + 9HL − 125 Kâr amacı
Ø� = 5H + 3H� + 4HL − 40 İşçilik Amacı
ØL = 5H + 7H� + 8HL − 55 Yatırım Amacı
Ø = Øg − Ø{ burada Øg ≥ 0 Ø{ ≥ 0 Ø� = Ø�g − Ø�{ burada Ø�g ≥ 0 Ø�{ ≥ 0 ØL = ØLg − ØL{ burada ØLg ≥ 0 ØL{ ≥ 0
Ø!g = ÜØ! ; Ø! ≥ 0ise0 ; değilse
Ø!{ = ÝÞØ!Þ ; Ø! ≤ 0ise0 ; değilse
Ø!g, Ø! değişkeninin pozitif kısmı,
Ø!{, Ø! değişkeninin negatif kısmı,
min � = 5Ø{ + 2Ø�g + 4Ø{ + 3ØLg
209
12H + 15H� + 9HL − (Øg − Ø{) = 125 5H + 3H� + 4HL − (Ø�g − Ø�{) = 40 5H + 7H� + 8HL − (ØLg − ØL{) = 55
Çözüm Sonuçları:
H = 25/3 H� = 0 HL = 5/3 Øg = 0 Ø{ = 0 Ø�g = 25/3 Ø�{ = 0 ØLg = 0 ØL{ = 0 Ø = 0 Ø� = 25/3 ØL = 0 � = 50/3
210
Uygulama Soruları
Hedef programlamada en iyi çözüm yerine elde edilen etkin çözüm ile ne ifade
edilmektedir?
211
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde çok amaçlı programlama yöntemlerinde en sık kullanılan Hedef
Programlama konusu incelenmiştir. Literatürde amaç programlama gibi isimlerde almaktadır.
(Goal Programming)
212
Bölüm Soruları
1) Ø{, Ø�{ değişkenleri Hedef Programlamada hangi isimle adlandırılır?
a) Sapma değişkenleri
a) Karar değişkenleri
c) Yapay değişkenleri
d) Aylak değişkenleri
e) Artık değişkenleri
2) Hedef programlamada amaç ……………………… minimize etmektir.
a) Karar değişkenleri
b) Sapma değişkenleri
c) Yapay değişkenleri
d) Aylak değişkenleri
e) Artık değişkenleri
3) Bir işletme aylık üretim dönemine ilişkin üç hedef belirlemiştir. Bu hedefler sırasıyla,
en fazla 300 saat işçilik kullanılması, bakım giderleri için tam olarak 1000 lira ödenmesi ve
aylık kârın en az 6000 lira olması şeklindedir. Hedefler için herhangi bir öncelik ve ağırlık
verilmemesi durumunda, firmanın hedef programlama probleminde oluşturulan amaç
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
a) Min Z = Øg + Ø{ + Ø�g + Ø�{ + ØLg + ØL{
b) Min Z = Ø{ + Ø�g + Ø�{ + ØL{
c) Min Z = Øg + Ø�g + Ø�{ + ØL{
d) Min Z = Øg + Ø�{ + ØL{
e) Min Z = Ø{ + Ø�{ + ØL{
213
4) ……………………… birden çok amacın modelde yer almasına izin verir.
a) Dinamik programalama
b) Hedef programlama
c) Doğrusal Programlama
d) Çok düzeyli programlama
e) Dual programlama
5) Bir önceki soruda ele alınan problemin ilk iki amacı eşit önemde ve üçüncü amacı da
diğer amaçlardan daha önemli olması durumunda oluşturulacak amaç fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisidir?
a) Min Z = ØL{ + �(Øg + Ø�g + Ø�{) b) Min Z = Ø{ + �(Ø�g + Ø�{) + ( LØL{) c) Min Z = ØL{ + �(Øg + Ø{ + Ø�g + Ø�{) d) Min Z = Øg + �(Ø�{ + ØL{) e) Min Z = (Ø{ + Ø�{) + �ØL{
6) Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır.
a) “Düşük” tek taraflı hedef, altına düşmek istemediğimiz bir alt sınırı ifade eder.
b) Çift taraflı hedef, altında ve üstünde kalmak istemediğimiz sınırları ifade eder.
c) Hedef programalamada amaç hedeften sapmaların en küçüklenmesidir.
d) Öncelikli hedef programlamada tüm hedefler eşit önceliğe sahiptir.
7) Hedef programlamada amacımız değişkenlere ait sapmaların mümkün olduğunca
sıfıra yaklaşması / eşit olmasını sağlamaktır.
a) Doğru
b) Yanlış
214
8) Hedef programalama modelleri her zaman maksimizasyon amacına sahiptir.
a) Doğru
b) Yanlış
9) Lineer programlama dışında problemin kendine özgünlüğünden ötürü
kullanabileceğimiz başka modeller de mevcuttur. Şayet problem birden çok amacı
barındırıyorsa ……………… modeli kullanılabilir.
a) Dinamik programalama
b) Hedef programlama
c) Simülasyon
d) Çok düzeyli programlama
e) Dual programlama
Cevaplar
1) a, 2) b, 3) , 4) b, 5) , 6) d, 7) a, 8) b , 9) b.
215
9. ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME: ANALİTİK HİYERARŞİ PROSES
216
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
9.1. Çok Kriterli Karar Verme
9.2. Çok Nitelikli Karar Verme
9.3. Analitik Hiyerarşi Süreci
9.4. Analitik Network Süreci
217
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Çok kriterli karar verme teknikleri hangileridir?
2) Çok nitelikli karar verme teknikleri hangileridir?
3) Hangi tip problemlerde AHP kullanılır?
218
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Çok kriterli ve Çok
nitelikli karar verme
Çok kriterli ve Çok nitelikli
karar verme tanımlarını
anlamak
Okuyarak, Tekrar yaparak
Analitik Hiyerarşi Proses Analitik Hiyerarşi Süreci ile
seçim yapabilmek Okuyarak, Tekrar yaparak
219
Anahtar Kavramlar
• Çok Kriterli Karar Verme
• Çok Nitelikli Karar Verme
• Analitik Hiyerarşi Proses
220
9.1. Giriş
Karar Verme (KV), hedefe ulaşmak ve amacı gerçekleştirmek için alternatif davranış
biçimleri arasından seçim yapma eylemidir. Yaşamsal ve yönetsel fonksiyonların özünde karar
verme yer alır. İnsanlar ve yöneticiler hayatın her aşamasında ve gerçekleştirdikleri her
fonksiyonda karar vermek zorundadırlar. Bir iş veya davranış nerede, kim tarafından, ne zaman,
nasıl gerçekleştirilecektir? Tüm bu soruların cevabı olabilecek çok sayıda alternatif arasından
en uygun olanını seçmek karar vermenin amacıdır.
9.2. Karar Verme
T.L. Saaty kararı (karar verme süreçlerini) "Sezgisel" ve "Analitik" olarak ikiye
ayırmaktadır. Sezgisel kararlar, verilerle desteklenmez ve genelde keyfi bir biçimde verilirler.
Bazı basit, derinliği olmayan karar durumlarında sezgisel yaklaşım başarılı olabilir. Ancak,
bilgi gerektiren karmaşık karar durumları ile karşılaşıldığında, karar vericiler sonuçta verdikleri
kararların kendi değer yargılarından sapmalar gösterdiğini görebilirler. Bu sapmaların
görülmediği durumlar için "iyi karar verme" ifadesi kullanılmaktadır. Kişinin sezgisel gücünü
vurgulamak anlamında iyi karar verme, bir "sanat" olarak görülmüştür. Günümüzde karar
verme uzun zamandır inanıldığının aksine bir "sanat" olmaktan çok bir "bilimsel süreç" haline
gelmeye başlamıştır. Bir kararın başarılı sayılabilmesi için, sıklıkla bir birleriyle çatışan değişik
aktörleri ve faktörleri bir arada değerlendirerek, tüm bunları tatmin eden sonuçlara ulaşabilmesi
ve bu sonuçların geçerliliğini zaman içinde koruması gerekmektedir. Bu nedenle kişilerin değer
yargılarını nesnel ve analitik metotlarla bir araya getiren yaklaşımlar geliştirilmiştir. Herkes
"iyi" ve "başarılı" kararlar vermeye çalışır. Ancak "iyi" kavramının kesin bir tanımı yoktur.
Karar vericiler "iyi sonuçları olan" kararlar ile ilgilenirler. Analistler veya akademisyenler ise
bilimsel teori çerçevesinde iyi oluşturulmuş ve karar faktörlerinin tümünü dikkate alan bir karar
verme sürecinin "iyi" karar vermeye yol açacağını savunurlar. Yine de ortak bir nokta olarak,
iyi bir kararın, amaçları en iyi şekilde karşılayan karar olması gerekliliği vurgulanabilir. "İyi"
ya da "rasyonel" karar verme sadece insana has bir özelliktir. Dolayısıyla, insan, karşısına çıkan
ve giderek daha karmaşık bir hal alan karar problemlerinde iyi kararlar verebilmek için sürekli
olarak yollar ve araçlar geliştirmektedir.
Yönetim bilimi literatüründe son yıllarda giderek artan bir ilgi gören Çok Kriterli Karar
Verme (ÇKKV) alanı, bir karar durumu ile ilgili olarak birbiri ile çatışan birden fazla kriteri
karşılayan olası "en iyi/en uygun" çözüme ulaşmaya çalışan yaklaşım ve yöntemleri bünyesinde
barındırmaktadır. ÇKKV, eğer temel amaç en iyi alternatifin tasarlanması değil de başlangıçta
belirgin ve sayılabilir özellikteki aday, plan, politika, strateji, hareket biçimi alternatiflerinin
karşılaştırılması, derecelendirilmesi, sınıflandırılması veya bunlar arasından en iyisinin
seçilmesi ise Çok Nitelikli Karar Verme (ÇNKV) adını alır.
İşte Çok Kriterli Karar Verme süreçleri, karmaşık karar problemlerini bilimsel ve
analitik bir çerçevede ele alarak karar vericiye en çok istediği çözüme ulaşmasında yardımcı
olmaya çalışan prosedürler bütünü olarak ortaya çıkmıştır. Çok Kriterli Karar Verme (kısaca
ÇKKV) (Multiple Criteria Decision Making-MCDM), en kısa tanımıyla; "Çoklu ve birbiriyle
çatışan amaçların (kriterlerin) gerçekleştirilmek istendiği problemlerin çözümüne" verilen
221
genel isimdir. Çok Kriterli Karar Verme alanında inceleme yaparken şu iki soru akla gelebilir:
"ÇKKV, işletme yöneticilerinin veya genel olarak kişi ve organizasyonların her gün
karşılaştıkları ve çözümlemeye çalıştıkları gerçek-hayat problemleri midir?" veya “ÇKKV,
matematik ve istatistik ile desteklenen Yönetim Bilimi veya Yöneylem Araştırması alanının
kapsadığı bir Yönetsel Karar Verme Modelleri kümesi midir?". İkinci soru, ÇKKV
literatüründe yer alan bazı matematiksel işaretler ve teknik dil ile ilk kez karşılaşan biri
tarafından daha basitçe şöyle sorulabilir: "ÇKKV bir tür matematik midir?". Bu sorulara yanıtın
"Her ikisi de..." şeklinde verilmesi mümkün görünmektedir. Bir yönüyle ÇKKV, karar verici
(kişiler, kurumlar, yöneticiler) açısından günlük hayatta karşılaşılabilecek problemlerin
çözümlenme çabasıdır. Ancak diğer yönüyle, rasyonel karar vermeye yardımcı olmak için
analist veya bazen karar vericinin kendisi tarafından problemin modellenmesi ve yöntemler
kullanılması yolu ile en yüksek tatminin sağlanabileceği çözümlere ulaşılması çabasıdır. Bu
noktadan hareketle; ÇKKV, hem bir yaklaşımı temsil eder hem de, çoklu, aynı ölçüye sahip
olmayan ve birbiriyle çatışan kriterlerle karakterize edilebilecek problemlerle karşılaşan
insanlara, kendi değer yargılarına uygun seçimler yapmalarında yardımcı olması için
tasarlanmış teknik veya yöntemleri kapsayan bir üst kavramı anlatır. ÇKKV, Yöneylem
Araştırmasının son yıllarda en hızlı gelişen dalı olarak görülmekte ve bu alanın özü olan
problem çözmede sistem düşünüşü, çok disiplinlilik ve bilimsel yaklaşım karakterlerini
yenileyen ve canlandıran bir alanı temsil etmektedir. Bu alanda çalışmaların odak noktası,
"karar vericiye karşılaştığı problemi yapılandırmasında ve çözüme ulaşmasında yardımcı olma"
noktasına kaymıştır. Böylelikle, “veri olan” ve "iyi yapılandırılmış" problemlerin bilgisayar
destekli etkin algoritmalarla optimizasyonu süreçlerinin kullanılmasına odaklanılmaktan
uzaklaşılmıştır. Tüm bunların yanında ÇKKV’nin, yeterince olgunlaşmış ve çok yönlü bir teori
olma özelliği gösterdiği söylenememekte ve bunun sebebi gençliği ve disiplinler arası duruşu
olarak görülmektedir. Bu bölümde çok kriterli karar verme yöntemlerinden Analitik Hiyerarşi
Prosesi üzerinde durulacaktır.
9.3. Analitik Hiyerarşi Prosesi
İlk olarak Myers ve Alpert (1968) tarafından ortaya atılan ve daha sonra Saaty (1977 ve
1982) tarafından geliştirilen Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP), karmaşık ve çok sayıda özellik
içeren karar verme problemlerinde, karar seçenek ve kriterlerine göreceli önem değerleri
verilmek suretiyle yönetsel karar mekanizmasının çalıştırılması esasına dayanan karar verme
sürecidir. AHP’de çok amaçlı karar verme yöntemlerinin temel özelliği olarak sadece nicel
(kantitatif) değil aynı zamanda nitel (kalitatif) değerler de göz önüne alınır.
AHP modeli incelendiğinde sistem yaklaşımı kuramının mevcut olduğu görülür.
Karmaşık karar problemleri, problemi oluşturan bileşenlerin hiyerarşik ilişkilerinin
belirlenmesi sayesinde daha iyi anlaşılabilir duruma getirilmektedir. Karar hiyerarşisinin en
tepesinde ana hedef (amaç) yer almaktadır. Bir alt kademe kararı etkileyen kriterlerden
oluşmaktadır. Bu kriterlerin altında ana hedefi etkileyebilecek özellikler varsa, hiyerarşiye
başka kademeler eklenebilir. Hiyerarşinin en altında karar seçenekleri yer almaktadır. Karar
hiyerarşisinin kurulmasında hiyerarşinin kademe sayısı, problemin karmaşıklığına ve detay
222
derecesine bağlıdır. Aşağıdaki şekilde dört kriterli üç seçenekli basit bir AHP yönteminin
hiyerarşik yapısı görülmektedir.
Şekil 20 AHP - Hiyerarşik Model
Yöntemi geliştiren Saaty’e göre AHP Yöntemi aşağıdaki aşamadan oluşur;
• Karar problemine ilişkin hiyerarşik yapının oluşturulması
• Seçenekler ve karar kriterlerine ilişkin karşılaştırma matrislerinin oluşturulması
• (Önceliklerin) üstünlüklerin belirlenmesi
• Karşılaştırma matrislerinin tutarlılık testinin yapılması
• Bütünleştirme (sentez)
9.4. Hiyerarşik Yapının Oluşturulması
AHP kullanılarak çözülecek problemlerde mümkün olduğunca ayrıntılı bir tanım
yapılır. Bu tanımlar belli bir öncelik hiyerarşisine göre belirlenir. Hiyerarşinin en yüksek
seviyesini ana hedef; en düşük seviyesini karar alternatifleri oluşturmaktadır. İnsanlar karmaşık
sorunlarla karşılaştıklarında söz konusu sorunu daha iyi anlayabilmek için sorunu bileşenlerine
ayırmalı ve bu bileşenleri hiyerarşik bir şekilde düzenlemelidirler. Sorun olabildiğince ayrıntılı
biçimde ortaya konulur ve her biri bir dizi öğeden oluşan hiyerarşik katmanlar halinde incelenir.
Her bir sorun için amaç, kriter, olası alt kriter seviyeleri ve seçeneklerden oluşan hiyerarşik bir
model oluşmuş olur. Bir seviyedeki elemanlar diğer tüm elemanlardan bağımsızdır.
Örneğin C sınıfı sedan aracı seçmek için oluşturulan AHP öreği için hiyerarşik yapı
aşağıdaki gibi olur.
223
Amaç: En iyi / En uygun C sınıfı sedan aracı seçmek
Kriterler (Faktörler): Fiyat, Performans, Yakıt Tüketimi, Güvenlik, Görünüm, Konfor
Alternatifler (Seçenekler): Ford Focus, Renault Megane, Honda Civic, Opel Astra
9.5. İkili Karşılaştırma Matrislerinin Oluşturulması
Karar vericiden (uzman kişilerden) ikili karşılaştırmalar yaparak, her bir kriter açısından
seçenekler (alternatifler) için birer karşılaştırma matrisi ve de kriterlerin kendi aralarında
karşılaştırılarak bir karşılaştırma matrisi oluşturulur.
Bir karar vericiye birden çok alternatif ve bu alternatiflerin değerlendirileceği birden
çok kriter verilip en uygun alternatifin hangisi olduğu sorulursa kolaylıkla bir cevap veremez.
Aynı karar vericiye 2 alternatiften hangisini tercih ettiği veya 2 kriterden hangisinin daha
önemli olduğu sorulursa kolaylıkla bir cevap verebilir. Analitik hiyerarşi yöntemi de kompleks
bir karar problemini (çoklu alternatif ve çoklu kriter) ikili karşılaştırmalara indirgeyen ve
buradan sonuca ulaşmaya çalışan bir yöntemdir. Saaty, AHP’nin kullanılmasında doğrudan
doğruya ilgili kişilerle yüz yüze anket yapıp, onların ikili karşılaştırmalara ilişkin görüşlerinin
alınmasını önermektedir.
Söz konusu ilgili kişi ve/veya kişiler mutlaka konunun uzmanı olmasalar bile en azından
konuyu bilen, konuya aşina olan kişiler olmalıdır. AHP' nin teorik alt yapısı üç aksiyoma
dayanır. Bu aksiyomlardan birincisi, iki taraflı olma (reciprocity) aksiyomudur. Örneğin, “A
elemanı B elemanının üç katı büyüklüğünde ise B, A’nın üçte biridir. İkinci aksiyom
homojenlik aksiyomudur ve karşılaştırılan elemanların birbirinden çok fazla farklı olmaması
gerektiğini, farklı olması durumunda yargılarda hataların ortaya çıkabileceğini ifade
etmektedir. Üçüncü aksiyom bağımsız olma aksiyomudur ve bir hiyerarşideki belirli bir
kademeye ait elemanlara ilişkin yargıların veya önceliklerin başka bir kademedeki
elemanlardan bağımsız olmasını gerektirir. Bu ifade, üst kademe kriterlerin önceliklerinin yeni
bir seçenek eklendiğinde veya çıkarıldığında değişmeyeceği anlamına gelmektedir.
İkili karşılaştırmalar karar kriterlerinin ve seçeneklerin öncelik vektörlerinin elde
edilebilmesi için tasarlanmıştır. İkili karşılaştırma yargılarının oluşturulmasında, başka bir ifade
ile A kriterinin B kriterine göre ne kadar önemli olduğu karar vericiye sorulduğunda, karar
verici Tablo 9-1’de gösterilen 1-9 puanlı tercih ölçeğinden faydalanmaktadır. Bu ölçeğin
etkinliği farklı alanlardaki uygulamalar ve başka ölçeklerle yapılan teorik karşılaştırmalar
sonucunda saptanmıştır.
Karşılaştırmalar, karşılaştırma matrisinin tüm değerleri 1 olan köşegeninin üstünde
kalan değerler için yapılır. Köşegenin altıda kalan bileşenler için ise doğal olarak aşağıdaki
formülü kullanmak yeterli olacaktır.
224
�!) = 1�)! Yukarıda verilen örnek dikkate alınırsa karşılaştırma matrisinin birinci satır üçüncü
sütun bileşeni (/ = 1; 3 = 3) 5 değerini alıyorsa (�L = 5), karşılaştırma matrisinin üçüncü
satır birinci sütun bileşeni (/ = 3; 3 = 1), formülünden (�L = 1/5) değerini alacaktır.
Tablo 9-1 AHP’de Önem Dereceleri
Önem Derecesi Açıklama
1 Eşit Önem
3 Orta Derecede Önemli Olması
5 Kuvvetli Düzeyde Önem
7 Çok Kuvvetli Düzeyde Önem
9 Aşırı Düzeyde Önem
2, 4, 6, 8 Ortalama Değerleri
Örnek:
Bu ankette sizden, her bir soruda yer alan iki faktörü karşılaştırmanız istenmektedir.
Amaçları tamamen kişisel yargınıza dayanarak karşılaştırınız. Hangi kriter sizin için daha
önemli ise o faktörü yuvarlak içine alınız ve önem derecesi için 1-9 arasında puan veriniz. Puan
derecesi için:
� Bir faktör diğerine göre kesinlikle daha önemli ise 9 puan,
� Bir faktör diğerine göre çok daha önemli ise 7 puan,
� Bir faktör diğerine göre daha önemli ise 5 puan
� Bir faktör diğerine göre biraz daha önemli ise 3 puan,
� İki faktör sizin için eşit derecede önemli ise 1 puan veriniz
� Tercihinizin uygunluk derecesine göre 2, 4, 6 ve 8 ara değerlerini de
kullanabilirsiniz.
“Ürün özellikleri” kriterleri ile ilgili aşağıda her bir soruda karşılaştırma yaparak puan
veriniz.
225
+ = � 1 3 1/51/3 1 1/75 7 1 � 9.6. Önceliklerin Belirlenmesi
İkili karşılaştırma matrislerinin sentezleme işlemi yapılır. Sentezleme işleminde,
matrisin her bir elemanı ait olduğu sütunun toplamına bölünür ve normalize edilmiş matris
oluşturulur. Normalize edilmiş matrisin her bir satırının aritmetik ortalaması alınarak öncelik
vektörü elde edilir. Elde edilen öncelik vektörünün Bu matrisler normalize edilir ve tutarlılıkları
(karar vericinin ikişerli karşılaştırmalarının tutarlı olup olmadığı) kontrol edilir.
Şüphesiz, yargıya dayanan bu ikili kıyaslamalar da uzmanlar da hata yapabilir. AHP
aynı zamanda yargıların tutarlılığını da test eder.
• Tutarlılık oranları (�Ò) hesaplanır.
• ß%&'( değeri hesaplanır.
• Tutarlılık indeks değeri hesaplanır.
• Tesadüfi indeks değeri tablosundan uygun olan değer seçilir.
• Seçilen değer ile tutarlılık indeks değeri karşılaştırılarak matrislerin tutarlılığı test
edilir.
9.7. Karşılaştırma Matrislerinin Tutarlılık İncelemesi
AHP kendi içinde ne kadar tutarlı bir sistematiğe sahip olsa da sonuçların gerçekçiliği
doğal olarak, karar vericinin ölçütler arasında yaptığı birebir karşılaştırmadaki tutarlılığa bağlı
olacaktır. AHP bu karşılaştırmalardaki tutarlılığın ölçülebilmesi için bir süreç önermektedir.
Sonuçta elde edilen Tutarlılık Oranı (�Ò) ile, bulunan öncelik vektörünün ve dolayısıyla
ölçütler arasında yapılan birebir karşılaştırmaların (kararların) tutarlılığının test edilebilmesi
226
imkanını sağlamaktadır. AHP, �Ò hesaplamasının özünü, ölçüt sayısı ile özdeğer adı verilen
(ß) bir katsayının karşılaştırılmasına dayandırmaktadır. ß’nın hesaplanması için öncelikle + karşılaştırma matrisi ile Ú öncelik vektörü çarpılır.
+.Ú =
� �� … �� Ú
�� ��� … ��� Ú�
… … … … …
�% ��% … �%� Ú�
Yukarıdaki matris çarpımında tanımlandığı gibi, bulunan +.Ú sütun vektörü ile Ú sütun
vektörünün karşılıklı elemanlarının bölünür. Bu şekilde λ değerleri hesaplanır. Bu değerlerin
aritmetik ortalaması alınarak λ%&'( bulunur.
λ hesaplandıktan sonra Tutarlılık İndeksi (�à), aşağıdaki formülden yararlanarak
hesaplanabilir.
Tutarlılıkİndeksi = �á = λ%&'( − 44 − 1
Son aşamada ise �á, Rasgele İndeksi (âà) olarak adlandırılan ve Tablo 9-2’de
gösterilen standart düzeltme değerine bölünerek �Ò elde edilir. Tablo 9-2’ den kriter sayısına
karşılık gelen değer seçilir. Örneğin 3 kriterli bir karşılaştırmada kullanılacak Òá değeri Tablo
9-2’ den 0,58 olacaktır.
Şekil 21 AHP’de Rasgele İndeks (âà) Değerleri
4 Òá 4 Òá 3 0,58 9 1,45 4 0,90 10 1,49 5 1,12 11 1,51 6 1,24 12 1,48 8 1,41 13 1,56
TutarlılıkOranı = �Ò = �áÒá
227
Hesaplanan �Ò değerinin 0,10’dan küçük olması karar vericinin yaptığı
karşılaştırmaların tutarlı olduğunu gösterir. �Ò değerinin 0,10’dan büyük olması ya AHP’deki
bir hesaplama hatasını ya da karar vericinin karşılaştırmalarındaki tutarsızlığını gösterir.
Örnek:
Yukarıda verilen + karşılaştırma matrisinin tutarlılığını inceleyiniz.
+ = � 1 3 1/51/3 1 1/75 7 1 �
� Matrisi Normalize Matris ã
1 3 1/5 0,16 0,27 0,15 0,19
1/3 1 1/7 0,05 0,09 0,11 0,08
5 7 1 0,79 0,64 0,74 0,72
Toplam 6,33 11,00 1,34 1,00 1,00 1,00 1,00
1 3 1/5 0,19 0,59
+.Ú = 1/3 1 1/7 0,08 = 0,25
5 7 1 0,72 2,27
+.ÚÚ = �0,59/0,190,25/0,080,72/2,27� = �3,043,013,14� → λ%&'( = 3,04 + 3,01 + 3,143 = 3,07
�á = λ%&'( − 44 − 1 = 3,07 − 33 − 1 = 0,072 = 0,035
�Ò = �áÒá = 0,0350,58 = 0,057 < 0,10BunagöreAkarşılaştırmamatrisitutarlıdır.
228
9.8. Bütünleştirme
İkili karşılaştırma matrislerinin oluşturulmasından sonra karşılaştırılan her elemanın
önceliğinin (göreli öneminin) hesaplanmasına geçilmektedir. AHP’nin bu adımı “sentezleme”
adıyla anılır. Sentez aşaması, en büyük özdeğer ve bu özdeğere karşılık gelen özvektörün
hesaplanmasını ve normalize edilmesini içermektedir. Bu şekilde her kriter için öncelik
vektörleri bulunur. Ardından matris işlemleri yardımıyla her bir alternatif için ortalama birer
puan elde edilir. En yüksek puanı alan alternatif, karar vericinin karşılaştırmalarına göre en
uygun olan alternatiftir. Son adımda da kriter kıyaslamalarındaki tutarlılık ölçümü ve karma
kompozisyona göre nihai kararın alınması.
Örnek:
Masiko Mobilya firmasının, büyüyen üretim hacmi için yeni bir fabrika yeri seçmesi
gerekiyor. Firma, yeni yerin seçiminde karar vermek için Analitik Hiyerarşi Süreci’ni
kullanmak istiyor. Masiko Mobilya’nın kararına etki edecek 4 kriteri bulunmaktadır: Emlâk
fiyatı, tedarikçilere uzaklığı, o yerdeki işgücünün kalitesi ve işçilik maliyeti. Firmanın karar
vermesi gereken 3 yer alternatifi bulunmaktadır: A, B ve C.
Çözüm:
Probleme ilişkin AHP hiyerarşik yapı aşağıda oluşturulmuştur.
Bunlardan örnek olarak fiyat matrisini okuyalım: Emlâk fiyatı açısından A ve C
yerleşimleri eşit önem verilerek tercih edilmiş, ancak B’ye göre daha üstün tutulmuştur.
İşgücü
Rezervi
Yer Seçimi
Seçenek A Seçenek B
Seçenek C
Emlak
Fiyatı
Tedarikçi
Yakınlığı
İşgücü
Maliyeti
229
Emlak Fiyatı açısından uzman kişilerce oluşturulan karşılaştırma matrisi ve bu kriter
açısından seçeneklere ilişkin önceliklerin (ağırlıkların) belirlenmesi:
Emlak A B C A B C Ortalama
=] A 1 3 1 A 0,429 0,333 0,455 0,405
B 0,333 1 0,2 B 0,143 0,111 0,091 0,115
C 1 5 1 C 0,429 0,556 0,455 0,480
Toplam 2,333 9,000 2,200 1,000 1,000 1,000 1,000
Önce her sütundaki değerler alt alta toplanarak, sütun toplamları elde edilir. Sonra bu
değerleri aynı sütunun toplamına bölünür (Matris normalize etme). Yeni çıkan matriste, her
sütunun toplamı 1’e eşit olacaktır. Emlak Fiyatı kriterine ilişkin seçenekler için oluşturulmuş
karşılaştırma matrisinin tutarlılığı incelenirse;
Emlak � Matrisi Normalize Matris ã
1 3 1 0,429 0,333 0,455 0,405
+ = 1/3 1 1/5 0,143 0,111 0,091 0,115
1 5 1 0,429 0,556 0,455 0,480
Toplam 2,33 9,00 2,20 1,00 1,00 1,00 1,00
1 3 1 0,405 1,23
+.Ú = 1/3 1 1/5 0,115 = 0,35
1 5 1 0,480 1,46
+.Ú/Ú = �1,23/0,4050,35/0,1151,46/0,48 � = λ = �3,033,013,04� → λ%&'( = 3,03 + 3,01 + 3,043 = 3,03
230
�á = λ%&'( − 44 − 1 = 3,03 − 33 − 1 = 0,032 = 0,015 �Ò = �áÒá = 0,0150,58 = 0,025 < 0,10Bunagöre+karşılaştırmamatrisitutarlıdır.
Bu hesapların benzeri diğer karşılaştırma matrisleri için yapılır. Böylece diğer
karşılaştırma matrislerinin de tutarlılığı test edilmiş olur.
Tedarikçi Yakınlığı açısından uzman kişilerce oluşturulan karşılaştırma matrisi ve bu
kriter açısından seçeneklere ilişkin önceliklerin (ağırlıkların) belirlenmesi:
Tedarikçi A B C A B C Ortalama
=]� A 1 6 0,333 A 0,240 0,375 0,231 0,282
B 0,167 1 0,111 B 0,040 0,063 0,077 0,060
C 3 9 1 C 0,720 0,563 0,692 0,658
Toplam 4,167 16,00 1,444 1,000 1,000 1,000 1,000
İşgücü Rezervi açısından uzman kişilerce oluşturulan karşılaştırma matrisi ve bu kriter
açısından seçeneklere ilişkin önceliklerin (ağırlıkların) belirlenmesi:
İşgücü A B C A B C Ortalama
=]L A 1 0,333 1 A 0,200 0,217 0,143 0,187
B 3 1 5 B 0,600 0,652 0,714 0,655
C 1 0,2 1 C 0,200 0,130 0,143 0,158
Toplam 5 1,533 7 1,000 1,000 1,000 1,000
231
İşgücü Maliyeti açısından uzman kişilerce oluşturulan karşılaştırma matrisi ve bu kriter
açısından seçeneklere ilişkin önceliklerin (ağırlıkların) belirlenmesi:
Maliyet A B C A B C Ortalama
=]| A 1 0,333 0,5 A 0,167 0,200 0,111 0,159
B 3 1 3 B 0,500 0,600 0,667 0,589
C 2 0,333 1 C 0,333 0,200 0,222 0,252
Toplam 6,000 1,667 4,500 1,000 1,000 1,000 1,000
Aşağıda yer seçiminde önemli olan 4 kriterin kendi aralarında karşılaştırma matrisleri
verilmektedir. Şu ana kadar, seçilecek yer alternatiflerini elimizdeki kriterlere göre
karşılaştırarak bir matrise ulaştık. Aynı yöntemi kullanarak, kriterlerin kendi aralarındaki önem
sırasını da belirlememiz gerekiyor. Bunda da birinci basamakta olduğu gibi, standart tercih
tablosundaki değerleri kullanarak ilk matrisimizi oluşturuyoruz. Fabrika yeri seçiminde takip
ettiğimiz ilk 4 basamağı, bu yeni matris için de tekrar ederek gördüğünüz tabloya ulaşıyoruz.
Satır ortalamasına dikkat edelim. Satır ortalamasını ayrı bir tablo olarak çıkardığımızda
görüyoruz ki, fabrika yeri seçiminde bizim için tedarikçiye olan yakınlık net bir şekilde birinci
sırada önemlidir. Onu emlâk fiyatı, işgücü maliyeti ve işgücü rezervi takip etmektedir.
Fiyat Yakınlık İşgücü Maliyet
Fiyat 1 0,2 3 4
Yakınlık 5 1 9 7
İşgücü 0,333 0,111 1 1
Maliyet 0,25 0,143 1 1
6,583 1,454 14,00 13,00
232
Fiyat Yakınlık İşgücü Maliyet Kriterler ã
0,152 0,138 0,214 0,308 Fiyat 0,203
0,759 0,688 0,643 0,538 Yakınlık 0,657
0,051 0,076 0,071 0,077 İşgücü 0,069
0,038 0,098 0,071 0,077 Maliyet 0,071
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Bu hesaplar sonrasında kriterlerin ağırlıkları belirlenmiş olur.
Ú =
Ú
=
0,203
Ú� 0,657
ÚL 0,069
Ú| 0,071
Doğal olarak kriterlere ilişkin oluşturulmuş karşılaştırma matrisi de tutarlılık testine tabi
tutulur.
Yukarıda elde edilmiş olan her bir kriter açısından alternatifler için hesaaplana önem
dereceleri (ağırlıklar) kullanılarak (yan yana getirilerek) aşağıdaki matrise ulaşılır.
Yerleşim �X �Z �Z �b
Fiyat Yakınlık İşgücü Maliyet
A 0,405 0,282 0,187 0,159
B 0,115 0,060 0,655 0,589
C 0,480 0,658 0,158 0,252
1,000 1,000 1,000 1,000
233
Elimizde yapılan hesaplama sonucu 2 adet matris bulunmaktadır. Bir tanesi yer
alternatiflerinin verilen kriterler bazında aldığı önem puanlarını, diğeri ise kriterlerimizin kendi
aralarındaki önem puanlarını, yani ağırlıklarını içermektedir. Bu iki matris çarpılarak
seçeneklere ilişkin son ağırlıklar elde edilir.
�X �Z �Z �b × ã
0,405 0,282 0,187 0,159 0,203 A 0,292
0,115 0,060 0,655 0,589 × 0,657 = B 0,150
0,480 0,658 0,158 0,252 0,069 C 0,558
0,071
Bu sonuca gör en yüksek ağırlık C seçeneğinde (0,558) oluşmuştur. Bu nedenle ilk
seçilecek alternatif C seçeneğidir. İkinci sırada 0,292 ağırlık puanı ile A seçeneği yer alır. Son
sırada B seçeneği yer almaktadır.
Örnek:
Bir çoklu karar probleminde 3 seçenek ve 4 karar kriteri bulunmaktadır. Karar verici
karar matrisini aşağıdaki gibi oluşturmuş ve karar kriterlerine ilişkin ağırlıkları ise Ú = 0,20, Ú� = 0,15, ÚL = 0,40 ve Ú| = 0,25 şeklinde belirlemiştir. Aşağıda hiyerarşik yapısı verilen
problemde hangi alternatifin seçileceğini AHP yöntemi ile belirleyiniz.
234
Ú =
0,20
0,15
0,40
0,25
Uzmanlar tarafından verilen cevaplar doğrultusunda karar kriteri 1 açısından
seçeneklere ilişkin oluşan ikili karşılaştırma matrisi aşağıdaki gibi hesaplanmıştır,
Öncelikle karşılaştırma matrisinin sütunlarındaki değerler sütun toplamlarına bölünmüş,
satır toplamları bulunmuş ve bu değerlerin aritmetik ortalamaları alınarak ] sütun vektörünün
elemanları elde edilmiştir. Hesaplamalar aşağıda gösterilmiştir.
0,3077 + 0,4 + 0,2941 = 1,0018 ⇒ 1,0018/3 = 0,33
0,0769 + 0,1 + 0,1177 = 0,2946 ⇒ 0,2946/3 = 0,10
0,6154 + 0,5 + 0,5882 = 1,7036 ⇒ 1,7036/3 = 0,57
] =
0,33
0,10
0,57
235
Bu vektörden 1. değerlendirme faktörü açısından +’in %33, +�’nin %10 ,+L’ ün ise
%57 öneme sahip olduğu söylenebilir. Benzer şekilde diğer değerlendirme faktörleri için karar
noktalarının önem dağılımları aşağıda hesaplanmıştır.
2. değerlendirme faktörü için karar noktalarının önem dağılımı
+ +� +L + 1 1/3 3
+� 3 1 5
+L 1/3 1/5 1
4,33 1,53 9
0,2309 0,2157 0,3333 = 0,7799 ⇒ 0,26
0,6929 0,6536 0,5556 = 1,9021 ⇒ 0,63
0,0762 0,1307 0,1111 = 0,3180 ⇒ 0,11
]� =
0,26
0,63
0,11
3. değerlendirme faktörü için karar noktalarının önem dağılımı
+ +� +L + 1 1/2 1/4
+� 2 1 1/3
+L 4 3 1
7,00 4,50 1,58
236
0,1429 0,1111 0,1582 = 0,4122 ⇒ 0,14
0,2857 0,2222 0,2089 = 0,7168 ⇒ 0,24
0,5714 0,6667 0,6329 = 1,8710 ⇒ 0,62
]L =
0,14
0,24
0,62
4. değerlendirme faktörü için karar noktalarının önem dağılımı
+ +� +L + 1 1 5
+� 1 1 5
+L 1/5 1/5 1
2,20 2,20 11
0,4546 0,4546 0,4546 = 1,3638 ⇒ 0,46
0,4546 0,4546 0,4546 = 1,3638 ⇒ 0,46
0,0908 0,0908 0,0908 = 0,2724 ⇒ 0,08
237
]| =
0,46
0,46
0,08
Daha sonra yukarıda bulunan ] sütun vektörleri matris formatında bir araya getirilmiş
ve Ñ vektörü ile çarpılmıştır.
] ]� ]L ]| Ñ
0,33 0,26 0,14 0,46 0,20 �X 0,28 0,10 0,63 0,24 0,46 × 0,15 = �Y 0,32 0,57 0,11 0,62 0,08 0,40 �Z 0,40
0,25
�X = 0,33.0,20 + 0,26.0,15 + 0,14.0,40 + 0,46.0,25 = \, Yd �Y = 0,10.0,20 + 0,63.0,15 + 0,24.0,40 + 0,46.0,25 = \, ZY �Z = 0,57.0,20 + 0,11.0,15 + 0,62.0,40 + 0,08.0,25 = \, b\
Elde edilen sütun vektöründeki 0,28 1. karar noktasının + önem seviyesini, 0,32 2.
karar noktasının +� önem seviyesini, 0,40 ise 3. karar noktasının +L önem seviyesini
göstermektedir. Diğer bir deyişle karar noktalarının önem dizilimi +L , +� ve + şeklinde
olacaktır.
238
Uygulamalar
Aşağıda üç kritere ilişkin karşılaştırma matrisi verilmiştir.
Bu matrisi normalize ediniz.
Her bir kriterin ağırlığını bulunuz.
Çözüm:
Önce sütun toplamları alınır.
İkinci adımda her bir hücre değer sütun toplamına bölünerek karşılaştırma matrisi normalize
edilir.
Satır ortalamaları alınarak ağırlıklar elde edilir.
Buluna ağırlıklar toplamı 1 olmalıdır.
239
Uygulama Soruları
AHP’de bir karşılaştırma matrisinin tutarlılığının nasıl test edildiğini inceleyiniz.
240
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde çok kriterli karar verme, çok nitelikli karar verme ve özellikle çok kriterli
karar vermede en sık kullanılan AHP yöntemi ele alınmıştır. Karşılaştırma matrislerinin nasıl
oluşturulduğu, matrislerin tutarlılık testlerinin nasıl yapıldığı ayrıntılı olarak anlatılmıştır.
241
Bölüm Soruları
1) 4 kriterli 3 seçenekli bir seçim probleminde kriterler arasında oluşturulan
karşılaştırma matrisinin boyutu aşağıdakilerden hangisidir?
a) 3 × 3 b) 3 × 4 c) 4 × 3 d) 4 × 4 e) 7 × 7 2) 4 kriterli 3 seçenekli bir seçim probleminde herbir kriter açısından seçeneklere ilişkin
oluşturulan karşılaştırma matrisi hangi boyutta olur?
a) 3 × 3 b) 3 × 4 c) 4 × 3 d) 4 × 4 e) 7 × 7 3) Aşağıda A, B, C kriterlerine ilişkin karşılaştırma matrisi verilmiştir. Bu matrise göre �� değeri kaç olur?
a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/4 e) 4
4) Aşağıda A, B, C kriterlerine ilişkin karşılaştırma matrisi verilmiştir. Bu matrise göre �L değeri kaç olur?
a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/4 e) 4
5) Bir karşılaştırma matrisi normalize etmek için aşağıdakilerden hangisi ilk adım olarak
uygulanır?
a) Karşılaştırma matrisinin satır toplamları alınır
b) Karşılaştırma matrisinin sütun toplamları alınır
c) Karşılaştırma matrisinin bütün elemanları toplanır
d) Her bir hücre değeri kendisine bölünür
e) Her bir hücre değeri tersi ile çarpılır
242
6) Normalize edilmiş bir karşılaştırma matrisinin sütun toplamları kaç olmalıdır?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
7) Karşılaştırma matrisi normalize edildikten sonra, satır oralamaları alınarak kriterlere
ilişkin hangi değerler elde edilir?
a) Seçeneklerin ağırlıkları
b) Kriterlerin ağırlıkları
c) Seçeneklerin toplamı
d) Kriterlerin toplamı
e) Tutarlılık oranı
8) AHP de karşılaştırma matrisinin tutarlı olabilmesi için hesaplaplanan �Ò değeri
kaçtan küçük olmalıdır?
a) 0,01 b) 0,05 c) 0,10 d) 0,15 e) 0,20
9) A, B, C gibi 3 kritere sahip bir AHP modelinde A ve B nin hesaplanan ağırlıkları
sırası ile 0,23 ve 0,41 olarak hesaplanmış ise, C kriterinin ağırlığı ne kadardır?
a) 0 b) 0,23 c) 0,41 d) 0,50 e) 0,36
10) A, B, C gibi 3 seçeneğe sahip bir AHP modelinde A, B ve C alternatiflerine ilişkin
ağırlıklar sırasıyla 0,30, 0,10 ve 0,60 ise ilk olarak hangi alternatif tercih edilmelidir?
a) A b) B c) C d) B ve C e) A ve C
Cevaplar
1) d, 2) a, 3) c, 4) e, 5) b, 6) a, 7) b, 8)c, 9)e, 10)c
243
10. OYUN TEORİSİ
244
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
10.1. Oyun Teorisi nedir?
10.2. Oyun Kuramında Önemli Tanımlar
10.3. Strateji ve Oyuncular
10.4. Oyunun Değeri (Tepe noktası)
10.4. Baskın Strateji, Minimaks ve Maksimim Stratejileri
245
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Bir oyunda en az kaç kişi olmalıdır?
2) Oyun kuramı bilimsel bir yaklaşımmıdır?
3) Ödemeler matrisi verildiğinde acaba hangi stratejilere yatırım yapılır?
246
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Oyun kuramı Oyun kuramını Anlamak Okuyarak, Tekrar yaparak
Oyun kuramında
stratejiler
Oyuncu olarak hangi
stratejinin ne zaman
kullanılacağını anlamak
Okuyarak, Tekrar yaparak
Karma stratejiler Karma stratejilerde oyun
değerini belirleyebilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Uygulama yaparak
247
Anahtar Kavramlar
• Oyun teorisi
• Oyuncu
• Strateji
• Kazanç Matrisi-Ödemeler Matrisi
• Oyunun değeri
• Minimaks, Maksimin stratejileri
• Karma stratejiler
248
Giriş
Giriş Oyun teorisi, ekonomi başta olmak üzere; gerçek hayat problemlerinde, sosyal
bilimlerde, mühendislik, siyaset bilimlerinde, bilgisayar bilimleri ve felsefede sıkça kullanılan
bir yöntemdir. Oyun teorisi, bireyin, başarısının diğer bireylerin seçimlerine dayalı olduğu
seçimler yapması olan bazı stratejik durumların matematiksel olarak davranış biçimlerini
yakalamaya çalışır. İlk başlarda bir bireyin kazancının ötekinin zararına olduğu (sıfır toplamlı
oyunlar) yarışmaları çözümlemek için geliştirilmişse bile, daha sonradan birçok kısıta dayanan
çok geniş bir etkileşim alanını incelemeye başlamıştır.
Karar verenlerin diğer düşüncelerle uyumlu ya da rekabet halinde olduğu sosyal
durumları modelleyen bir yaklaşım olması bu teorisinin en temel özelliğidir. Oyun teorisi,
neoklasik ekonomilerde geliştirilmiş bilinen iyileştirme yaklaşımlarını genişletmiştir.
Oyun teorisinin geleneksel uygulamaları bu oyunlarda “bireylerin davranışlarını
değiştirmek istemediği” denge bulmaya çalışır. Bu fikri gerçekleştirmek üzere birçok denge
kavramları en ünlüsü Nash dengesi geliştirilmiştir. Bu denge kavramları uygulama alanına göre
farklı amaçlara sahiptir, fakat genel olarak uyuşurlar ve iç içe geçmişlerdir. Bu yöntemler
eleştiriden uzak değildir ve bazı özel denge kavramlarının uygunluğu, dengenin tümden
uygunluğu ve genel olarak matematiksel modellerin faydaları üzerine tartışmalar sürmektedir.
Daha öncesinde bazı gelişmeler olmuşsa da, oyun teorisi, 1944 yılında çıkan John Von
Neumann ve Oskar Morgenstern tarafından yazılmış olan “Oyunların ve Ekonomik Davranışın
Teorisi” adlı kitapla başlamıştır. Bu teori, geçmişten geleceğe, sosyal bilimlerde çok önemli bir
rol oynamaktadır.
Oyun Teorisi, en genel ifadesiyle, akılcı bireylerin seçimleri ve bunların karşılıklı
etkileşimlerinin sonuçlarını inceler. Bir oyunu tanımlayan en önemli unsur, oyuncuların sahip
oldukları bilgidir. Bu teori oyun şeklinde ifade edilebilen her türlü durumu kapsar. Herhangi
bir durumun oyun olarak değerlendirilebilmesi için ise şu üç koşulun birlikte sağlanmış olması
gerekir.
• Oyuncu olarak adlandıracağımız kişiler kümesi,
• Her oyuncu için mümkün olan seçenekler kümesi,
• Her bir seçeneğe ilişkin sonuçlar kümesi
Bu derste, oyunları ve Nash dengesi gibi bazı çözüm yollarını tanımlayacağız ve bu
çözüm yollarının arkasındaki varsayımları tartışacağız. Bir oyunu analiz etmek için
• oyuncuların kimler olduğunu,
• oyuncular için hangi eylemlerin mevcut olduğunu,
• her oyuncunun her bir sonuca ne kadar değer biçtiğini,
249
• her bir oyuncunun ne bildiğini, bilmemiz gerekir.
Oynanmış ve günümüzde hala oynanmakta olan birçok oyunun kendisiyle
ilişkilendirilmiş bir takım kuralları vardır. Bu oyunlara örnek olarak futbol, golf, basketbol tenis
gibi oyunlar poker ve briç gibi kart oyunları ile satranç ve tavla gibi oyunlar verilebilir. Bütün
bu oyunlar bir etkileşim bir rekabet unsuru içermektedir. Yani oyunda bir oyuncu diğer
oyuncularla rekabet etmektedir ve oyuncunun başarısı, kendi hareketlerinin yanı sıra diğer
oyuncuların hareketlerine de bağlıdır.
10.1. Oyun Teorisi ile İlgili Kavramlar
Oyun teorisinin tanımına geri dönersek; “İki ya da daha fazla rakibi belirli kurallar
altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar karşısında, birbirlerine karşı en doğru
stratejiyi belirleme yöntemidir” şeklinde tanımlamıştık. Bu tanıma göre bir oyunda oyuncular,
oyunun kuralları ve stratejiler, oyunda elde edilen kazanç veya kayıplar (pay-off), oyunun
sonucu ya da denge noktası unsurlarının bulunması gerekmektedir.
Aşağıda Oyun Teorisinde kullanılan bazı temel kavramlar ve varsayımlar açıklanmıştır.
Oyuncular: Bir oyunda amaçlarını optimize etmeye çalışan kişi ya da kurumlar.
Oyunda en az iki oyuncu bulunur ve akılcı hareket ettikleri gibi, kazanmak için en iyisini
yaptıkları varsayılır.
Stratejiler: Her oyuncunun sahip oldukları eylem seçenekleri. Bir oyuncu için herhangi
bir strateji kural olup, seçenekler oyunun seçimini belirler. Herhangi bir oyuncunun seçenekleri
belirsiz sayıdaysa oyun sonlu değil süreklidir. Seçenek sayısı belirli ise oyun sonludur
Kazanç veya Ödemeler: Oyunun sonucu kazanma, yitirme veya oyundan çekilme
olabilir. Her sonuç veya ödeme, negatif, pozitif veya sıfır olmak üzere her oyuncunun rakibine
karşı kazancını veya kaybını belirler.
Ödemeler Matrisi: Bu matris, oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşiminden
sonuçlanan kazanç veya kayıpları gösterir. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya
sıfıra eşit olabilir. Matrisin herhangi bir elemanı pozitif ise sütunda yer alan oyuncu, satırda yer
alan oyuncuya bu miktarda ödeme yapar. Matrisin herhangi bir elemanı negatif ise satırdaki
oyuncu, sütundaki oyuncuya bu negatif elemanın mutlak değerine eşit ödemede bulunur.
Matrisin elemanı sıfır ise oyunculardan hiçbiri birbirine ödemede bulunmaz. Ödemeler matrisi
sadece bir oyuncunun değerlerini temsil eder.
Oyunlar: Oyunların sınıflandırılması genellikle oyuncuların sayılarına göre yapılır. İki
kişilik, üç kişilik veya (n) kişilik oyunlar kurulabilir. 4 = 2 ise oyun 2 kişilik, 4 ≥ 2 ise oyun 4 kişili oyundur. Ayrıca sıfır toplamlı, sabit toplamlı olmayan ve sıfır toplamlı olmayan oyunlar
olarak da oyunlar sınıflandırılır.
250
Tam (arı) Stratejiler: Oyunun sonucunu tek bir strateji çiftinin oluşturması durumu.
Söz konusu sonuç her oyuncu için olabilecek en iyi sonuçtur. Tam stratejiler, oyunun tepe (eyer)
noktasını belirler.
Karma Stratejiler: Oyunun sonucunu birden fazla strateji çiftinin belirlemesi durumu.
Strateji çiftleri olasılık değerleri ile ifade edilir ve oyunun sonucunu oluşturan strateji çiftleri
olasılık değerleri toplamı 1 dir.
Beklenen Değer: Oyunun sonucunda herhangi bir oyuncunun elde edeceği değer. Beklenen değer strateji çiftlerinin gerçekleşme olasılıkları ile değerlerinin çarpımlarının
toplamıdır.
a) Oyuncu: Bir oyunda her bir karar veren birime oyuncu denir ya da bir başka ifadeyle;
oyunun taraflarına oyuncu denir. Bu oyuncular bazen bireyler, bazen firmalar veya bazen de
devletler olabilir. Bir oyunu oynayabilmek için en az iki oyuncuya ihtiyaç vardır. Her oyuncu
kendi bilgi seti ve rakibinin bilgi seti doğrultusunda faydasını maksimize edecek şekilde
rasyonel olarak hareket ettikleri varsayımı altında hareket ederler. Rasyonel olmayan
hareketlerin hiçbiri oyun teorisi içinde yer alamaz. Kısacası her oyuncu sahip olduğu tercihler
arasında, mümkün olan en büyük ödülü verecek tercihi seçerek oyunu bitirmek arzusundadır.
b) Oyunun kuralları ve stratejiler: Bir oyunun oynanabilmesi için oyuna taraf olan
oyuncuların belirli kurallar altında birleşmeleri gerekmektedir. Kuralların olmaması
durumunda taraflar stratejilerini belirleyemeyeceklerdir. Bu kurallar satranç oyununda olduğu
gibi her taşın nasıl hareket edeceği, şirketlerin ticaretini bir düzende tutan ticaret kanunu ya da
uluslararası anlaşmalarla belirlenen kurallar olarak da ifade edilebilir. Stratejiler ise; her
oyunda oyuncuların belli hareketler içerisinde çeşitli seçenekleri vardır. Oyuncuların belirli bir
zaman dilimi içerisinde rakibinin olası hareketlerine karşı önceden belirlenen ve olanaklı
alternatiflerden rakibin hareket tarzlarını saptayan kurallar bütününe strateji denir.
c) Oyunda elde edilen kazanç ve kayıplar: Oyunun oynanması süresince her bir
stratejiye karşılık gelen, her oyuncunun bir kazancı ya da bir kaybı söz konusudur. Bu kazanç
ya da kayıplar artı sonsuz ile eksi sonsuz arasında yer alabilir. Bu değerler sayısal olarak ifade
edilebileceği gibi, oransal olarak da ifade edilebilir. Kazançlar ya da kayıpların birimleri her
durumda aynı ölçü biriminde olması gerekmektedir. Oyuncuların strateji seçimlerinden ortaya
çıkan kazanç ve kayıpları göstermek için kullanılan matrise ise ödemeler matrisi adı
verilmektedir.
d) Oyunun sonucu ya da denge noktası: Her oyuncunun rasyonel olarak hareket
ettikleri varsayımı altında, oyuncuların oyunu bitirmeleri sonucunda ulaştıkları noktaya,
oyunun sonu ya da denge noktası adı verilir. Oyun teoreminde bu denge noktasına Nash dengesi
adı verilmektedir. Bu noktada her oyuncunun oynayacağı strateji belli olup, sözü edilen bu
stratejiyi kullanmak için karar verilen hareketler uygulanır.
251
10.2. Denge Kavramı ve Nash Dengesi
1950 yılında John Nash çözüm ve denge noktası olarak da bilinen ve günümüzde en çok
kullanılan Nash dengesi teorisini oluşturmuştur.
Oyuncuların oyunu bitirmeleri sonucunda ulaştıkları noktaya, oyunun sonu ya da denge
noktası adını vermiştik. Bu noktada, oyuncuların seçtikleri stratejiler a= (ai,a-i) şeklinde ifade
edilir. Bu gösterimde yer alan ai, i’inci oyun stratejisini verirken, a-i diğer oyuncunun stratejisini
vermektedir.
Oyunun oynanması durumunda, her oyuncunun stratejisi olacaktır. Bu stratejiler içinde
oyuncular kendi baskın stratejisinin olmasını arzularlar. Bu şekilde baskın stratejiye sahip olan
oyuncular oyunun ne şekilde oynayacaklarını ve oyunun sonucunun ne şekilde biteceğini
bilmek oldukça kolay hale gelmektedir. Baskın stratejiyle bir oyuncunun karşıdaki oyuncu ya
da oyuncular ne şekilde oynarlarsa oynasınlar tek bir biçimde oyuncunun hareket etmesi
anlamına gelmektedir.
Çoğu oyunların baskın stratejileri yoktur ve oyuncular kendi hareketlerini seçmek için
diğer oyuncunun hareketlerini ortaya çıkarmak zorundadır. Bu bakımdan oyuncular, diğer
oyuncuların kararları veri iken yapabileceklerinin en iyisini yapacaklardır. Bu da baskın strateji
dengesini de içine alan ve daha geniş bir denge kavramı olan Nash dengesidir. Nash dengesi
çok geniş oyunlar sınıfında çok kuvvetli tahminle üreten bir çözüm kavramıdır.
Nash dengesinde temel unsur, bir denge noktası düşüncesidir. Analizde Nash, Von
Neumann minimaks teoremi genelleştirilmesinin temeli olarak en iyi cevap yaklaşımını
seçmiştir. Nash’a göre, iki kişilik bir oyunun çözümüne aday olacak bir strateji çifti, stratejinin
her biri rakibinin oynayacağını tahmin ettiği diğerine, en iyi cevap verebilme niteliğini
sağlaması gerekmektedir. Bir denge noktası diğer oyuncuların stratejileri hususunda karar
verdikleri inanılıyorsa, her bir oyuncunun stratejilerinin, oyuncunun kendi ödülünü maksimize
ettiği durumu ifade etmektedir. Her bir oyuncunun stratejisi, diğer oyuncuların oynayacağını
tahmin ettiği stratejilerine karşı optimaldir. Bu özellikleri olan bir strateji çifti (kombinasyonu)
Nash dengesi olarak isimlendirilmekte, işbirliksiz oyunların temelini oluşturmaktadır.
Bu durumda oynanan herhangi bir durumda oyunda oyuncular için baskın stratejilerin
bulunması sonucunda ulaşılan denge durumunun aynı zaman da Nash dengesine karşılık
geldiğini söylemek mümkündür. Buna karşılık her Nash dengesi baskın stratejiye sahip ortaya
çıkaran dengeyi vermek zorunda değildir. Çünkü kimi oyunlarda birden fazla Nash dengesine
ulaşılması mümkündür.
10.3. Oyunda Strateji Kavramı
Oyunlar teorisinin temel kavramlarından birisi strateji kavramıdır. Strateji kombine
edilmiş kararlar dizisidir. Daha açık bir şekilde söylemek gerekirse Strateji, oyunun başından
sonuna dek ortaya çıkabilecek bütün durumlar için oyuncuların tercihlerini belirten kararlar
bütünüdür.
252
Oyunda tek bir denge noktası varsa hamle sayısı ne olursa olsun oyuncular bütün oyun
boyunca tek bir strateji kullanacaklardır. Oyuncunun kullandığı bu tek stratejiye Salt Strateji
denir. Bazı oyunlarda tek yerine birden fazla denge noktası vardır. Bu durumda oyuncular
hamlelerinin bir kısmında bir oyun, diğer kısımlarında başka bir oyun uygulama imkânına
sahiptirler. Böylece oyuncuların bir oyun süresince birden fazla hareket tarzını seçebilmelerine
ve çeşitli kararları bir arada benimsemelerine Karma Strateji uygulaması denir.
Oyunlar teorisinin amacı rekabet etmekte olan, beklentileri zıt iki oyuncu için rasyonel
hareket yollarını sezmektir. Tekrarı mümkün oyunlarda bir oyun için optimum strateji mümkün
en büyük ortalama kazancı garanti edecek stratejidir. Rakip yönünden beklenen optimum
strateji ise mümkün en küçük ortalama kaybı garanti edebilecek bir stratejidir.
10.4. Ödemeler (Getiri-Kazanç) Matrisi
Oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşimlerinden sonuçlanan kazanç ve kayıpları
gösteren matrise ödemeler matrisi denir. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya
sıfıra eşit olabilir. Söz konusu matrisin herhangi bir elemanı pozitifse, sütunda yer alan oyuncu,
satırda yer alan oyuncuya bu miktarda ödeme yapar. Matrisin herhangi bir elemanı negatif ise
satırdaki oyuncu sütundaki oyuncuya bu negatif elemanın mutlak değerine eşit ödemede
bulunur. Matrisin elemanı sıfır ise oyunculardan hiçbiri birbirine ödemede bulunmaz.
Kaynakların kıt olduğu bir ortamda amaçlarını gerçeklemeye çalışan iki ya da daha fazla
sayıda karar verici rekabet halindedirler. Diğer bir deyişle kaynakları paylaşım çabası
içindedirler. Karar vericilerin bu paylaşımda kendilerine en yüksek getiriyi sağlamak için
birbirlerine karşı kullandıkları stratejileri vardır ve bu stratejileri mümkün olan en akılcı şekilde
kullanırlar.
10.5. Oyun Teorisinin Temel Mantığı
Oyunun sonucu ister saf strateji ister karma strateji olsun çözüm süreci ödemeler matrisi
üzerinde gerçekleştirilir. Çözüm süreci oyunun hangi oyuncu açısından değerlendirileceğinin
seçimi ile başlar. Eğer ödemeler matrisinin satırlarını temsil eden oyuncu için çözüm
gerçekleştirilecekse maksimin (minimumların maksimumu) yöntemi, sütunlarını temsil eden
oyuncu için çözüm gerçekleştirilecekse minimaks (maksimumların minimumu) yöntemi
uygulanır. Oyunun sonucunda maksimin ve minimaks değerleri birbirine eşitse, oyun saf
stratejili bir oyundur.
Maksimin yönteminde öncelikle ödemeler matrisinin her bir satırının en küçük elemanı
seçilir. Daha sonra bu değerler arasından en büyüğü belirlenir. Bulunan değer ödemeler
matrisinde satırları temsil eden oyuncunun beklenen değeridir. Çünkü oyuncu satırlardaki
büyük değerin seçilmesi durumunun diğer oyuncu tarafından tercih edilmeyeceğini ve diğer
oyuncunun oyunu terk edeceğini bilir. Bu oyuncu açısından en küçük değerlerin en büyüğü ise
mantıklı bir sonuç olacaktır. Diğer bir deyişle bu oyuncu açısından geçerli strateji kötülerin
iyisi olarak özetlenebilir.
253
Sütunları temsil eden oyuncu açısından bakıldığında ise bu kez doğru mantık iyilerin
kötüsü olacaktır. Çünkü sütunları temsil eden oyuncu diğer oyuncunun maksimin stratejisini
bilir ve oyunu minimaks stratejisi ile oynar. Sütunları temsil eden oyuncu elemanlarını gözden
geçirir ve her bir sütunun en büyük değerini seçer. Bu oyuncu açısından oyunun sonucu bu
değerlerin en küçüğüdür.
Sütun Oyuncusu
B1 B2 B3 B4
Satır
Oyuncusu
A1 5 -2 4 3
A2 9 6 3 -4
A3 7 6 8 5
A firmasına göre düzenlenen ödemeler matrisi aşağıda gösterilmiştir. Ödemeler
matrisinde bulunan pozitif değerler, A oyuncusunun kazancını, B oyuncusunun kaybını, negatif
değerler ise, A oyuncusunun kaybını, B oyuncusunun kazancını ifade eder.
Örnek:
Rekabet halindeki A ve B firmalarından yıllık kar (milyon TL) açısından A’ nın 3 (A1,
A2, A3), B’ nin ise 4 (B1, B2, B3, B4) stratejisi bulunmaktadır. A firmasına göre düzenlenen
ödemeler matrisi aşağıda gösterilmiştir. Buna göre A ve B firmaları arasındaki rekabet oyununu
değerlendiriniz.
Sütun Oyuncusu
B1 B2 B3 B4
Satır
Oyuncusu
A1 5 -2 4 3
A2 9 6 3 -4
A3 7 6 8 5
Ödemeler matrisi matematiksel olarak aşağıdaki gibi gösterilir.
ÖdenelerMatrisi = ç � ���� ��� �L �|��L ��|�L �L� �LL �L|è = ç5 −29 5 4 33 −47 6 8 5è
254
A oyuncusu maksimin mantığı ile hareket edecek ve B oyuncusunu oyunda tutmak için
kendi stratejilerini temsil eden satır değerlerinin en küçüklerini seçecektir. Bu değerler
arasından en büyüğü olan 4 değeri ise A oyuncusu için en iyi değerdir. Diğer bir deyişle A’nın
en iyi stratejisi A3 stratejisidir.
B1 B2 B3 B4 Satır en
küçüğü
A1 5 -2 4 3 -2
A2 9 6 3 -4 -4
A3 7 6 8 5 5
Sütun
en büyüğü
9 6 8 5 5 Minimaks
Minimaks
A’nın strateji mantığını bilen B oyuncusu ise minimaks mantığı ile hareket edecek ve
öncelikle kendi stratejilerini temsil eden sütun değerlerinin en büyüklerini seçecektir. Minimaks
mantığına göre B oyuncusunun geçerli stratejisi, bu değerler arasından en küçüğünü seçmek
olacaktır. Yukarıdaki örneğe göre bu değer 5 yani B4 stratejisidir. Sonuçta maksimin ve
minimaks değerleri birbirine eşit olduğundan bu oyun saf stratejili yani tepe noktalı bir
oyundur ve oyunun sonucunda A oyuncusunun beklenen değeri 4 (milyon TL) olarak
gerçekleşecektir. Bu değer ise B oyuncusu açısından bir kayıp olacaktır.
Örnek:
Üçer stratejisi olan satır ve sütun oyuncularının, sütun oyuncusunun satır oyuncusuna
yaptığı ödemeleri gösteren ödemeler matrisi aşağıda verildiği şekildedir. Buna göre oyuncular
seçmesi gerekli stratejileri belirleyiniz.
Satır
Oyuncusunun Stratejileri
Sütun Oyuncusunun Stratejileri
B1 B2 B3
A1 10 6 5
A2 6 15 2
A3 8 3 4
255
Öncelikle satır oyuncusu ile başlansın. Satır oyuncusu eğer birinci stratejisini seçerse,
sütun oyuncusu da üçüncü stratejiyi seçecektir. Böylece sütun oyuncusu kaybının en az
olmasını sağlar. Satır oyuncusu ikinci stratejiyi seçerse sütun oyuncusu üçüncü stratejisini
seçecektir. Böylece en az kaybı yaşayacaktır. Eğer satır oyuncusu üçüncü stratejiyi seçerse,
sütun oyuncusu ikinci oyunu seçerek kaybını en az tutacaktır. Satır oyuncusu da en küçüklerin
en büyüğünü seçmek durumundadır. Böylece satır oyuncusu her stratejisine karşılık rakibinin
(sütun oyuncusunun) seçimi ne olursa olsun, sütun oyuncusunun satır oyuncusuna garantilediği
en az kazancı maksimize etmiş olur. Bu durumda Maks (4, 1, 2) = 4 olup satır oyuncusu için en
iyi strateji birinci stratejidir. Bu stratejiye maksimin strateji denir.
Satır
Oyuncusunun
Stratejileri
Sütun Oyuncusunun Stratejileri
Min. Satır B1 B2 B3
A1 10 6 5 5*
A2 6 15 2 2
A3 8 3 4 4
Maks. Sütun 10 15 5*
Sütun oyuncusu açısından ele alınırsa, yani sütun oyuncusu birinci stratejisini seçerse
satır oyuncusu kazancını en büyük yapmak için birinci stratejiyi seçecektir. Eğer sütun
oyuncusu ikinci stratejisini seçerse satır oyuncusu ikinci stratejisini seçecektir. Böylece
kazancını en büyük yapacaktır. Eğer sütun oyuncusu üçüncü stratejisini seçerse satır oyuncusu
kazancını en yüksek tutacak olan birinci stratejisini seçecektir.
Böylece sütun oyuncusu her stratejisine karşılık rakibinin (satır oyuncusunun) seçimin
ne olursa olsun, satır oyuncusunun sütun oyuncusuna neden olduğu en yüksek kaybı minimize
etmiş olur. Bu durumda Min (10, 15, 5) = 5 olup sütun oyuncusu için en iyi strateji üçüncü
stratejidir. Bu stratejiye minimaks strateji denir.
Maksimin ve Minimaks kuralları uygulanarak ulaşılan noktaların eşit olduğu durumda,
yani Maks (5, 2, 4) = Min (10, 15, 5) =5 olduğunda, bu noktaya tepe noktası veya semer noktası
denir. Tepe noktası aynı zamanda denge noktasıdır. Yani oyunun dengeye ulaştığı noktadır. Bu
nokta oyunun değerini vermektedir.
10.6. Karma Stratejili Oyunlar ve Çözüm Yöntemleri
Karma stratejili oyunların belirgin özelliği, ödemeler matrisindeki maksimin ve
minimaks değerlerinin birbirine eşit olmamasıdır. Bu durum ise oyunun sonucunun tek bir
256
strateji çifti olmaması anlamına gelir. Aşağıda karma stratejili oyunlar için kullanılabilecek
Grafik Yöntem ve Doğrusal Programlama Yaklaşımı açıklanmıştır.
10.6.1. Baskın (Üstün) Stratejiler
Bir oyunda ödemeler matrisindeki bir strateji, diğer bir stratejiyle karşılaştırıldığında,
strateji, karşılaştırılan stratejinin bire bir karşılık gelen her değerinden üstün ise, bu stratejiye
üstün (baskın) strateji denir. Diğer strateji, kendisinden her açıdan daha üstün bir strateji olduğu
için oyuncu tarafından asla seçilmeyecektir. Bu nedenle ödemeler matrisinden silinebilir.
Bu baskınlık kuralı kullanılarak ödemeler matrisinin boyutu azaltılır ve optimal
stratejilerin bulunmasında bu durum kullanılır.
Örnek:
Stratejileri aşağıdaki sütun oyuncusunun satır oyuncusuna yaptığı ödemeleri gösteren
ödemeler matrisinde verilmiş olan A ve B oyuncularının seçmesi gerekli stratejileri belirleyiniz.
A B
K1 K2 K3
S1 2 8 -1
S2 13 10 9
S3 4 -2 5
Çözüm:
Ödemeler matrisinde üstün stratejiler olup olmadığı araştırılır. Satır oyuncusunun
stratejileri karşılaştırılarak bakılmaya başlanır.
S1 ve S2 stratejileri karşılaştırıldığında, 13>2, 10>8 ve 9>-1 olduğu görülmektedir. Yani
A oyuncusu açısından, birinci ve ikinci stratejilerin karşılaştırılması sonucu, ikinci stratejinin
tüm değerleri bire bir olarak birinci stratejinin değerlerinden daha yüksektir. Bir başka deyişle
S2 stratejisinin kazancı S1 stratejisinden daha yüksektir. Dolayısıyla A oyuncusu S2 stratejisi
varken hiçbir zaman S1 stratejisini seçmez. S2 stratejisi S1 stratejine baskındır. Böylece S1
stratejisi ödemeler matrisinden silinebilir. Ödemeler matrisinin yeni hâli aşağıdaki şekilde
olacaktır.
257
A B
K1 K2 K3
S2 13 10 9
S3 4 -2 5
S2 ve S3 stratejileri karşılaştırıldığında, 13>4, 10>-2 ve 9>5 olduğu görülmektedir. Yani
A oyuncusu açısından, ikinci ve üçüncü stratejilerin karşılaştırılması sonucu, ikinci stratejinin
tüm değerleri bire bir olarak üçüncü stratejinin değerlerinden daha yüksektir. Bir başka deyişle
S2 stratejisinin kazancı S3 stratejisinden daha yüksektir. Dolayısıyla A oyuncusu S2 stratejisi
varken hiçbir zaman S3 stratejisini seçmez. S2 stratejisi S3 stratejine baskındır. Böylece S3
stratejisi ödemeler matrisinden silinebilir. Ödemeler matrisinin yeni hâli aşağıdaki şekilde
olacaktır.
A
B
K1 K2 K3
S2 13 10 9
10.7. Oyun Kuramında Grafik Yöntem
Eğer ödemeler matrisi B oyuncusu açısından 2(mx ) ya da A oyuncusu açısından )2( xn
boyut şartlarından birini taşıyorsa ya da ödemeler matrisi matris işlemleriyle bu boyutlara
indirgenebiliyorsa, oyun Grafik Yöntemle çözülebilir. Diğer deyişle satır ya da sütunları temsil
eden oyunculardan biri 2’ den fazla stratejiye sahip olmamalıdır. Burada Grafik Yöntem,
satırları temsil eden oyuncunun (A oyuncusu) iki stratejiye sahip olması durumuna göre
anlatılmıştır.
Koordinat sisteminin yatay ekseni 2 stratejiye sahip oyuncunun 1. stratejisinin
gerçekleşme olasılığını H gösterir. Söz konusu olasılık değeri doğal olarak 0 ≤ H ≤ 1 aralığında olacaktır. Bu durumda oyuncunun 2. stratejisinin olasılık değeri H� = 1 − H olacaktır.
Daha sonra A oyuncusunun, B oyuncusunun stratejileri I! karşısındaki beklenen
değerleri p�!(+)q hesaplanır. Beklenen değer, uH 1 − Hw satır vektörü ile ödemeler
matrisindeki B oyuncusunun ilgili stratejilerine karşılık gelen sütun vektörlerinin çarpımına
eşittir. Diğer bir deyişle A oyuncusuna ilişkin ödemeler matrisi,
258
+ = i� ���� ��� … ��… ���j şeklinde ise beklenen değer aşağıda gösterildiği gibi hesaplanır.
�!(+) = é�! − ��!êH + ��! Görüldüğü gibi beklenen değerler doğru denklemi formatındadır. Daha sonra elde edilen
doğru denklemleri grafik eksene işlenir. Koordinat sisteminin düşey ekseni beklenen değerleri
gösterir. Koordinat sisteminin H = 0 ve H = 1 için iki düşey ekseni vardır.
Koordinat sistemindeki mümkün çözüm noktaları doğruların kesiştiği noktalarda
gerçekleşir. A oyuncusunun maksimin yöntemine göre hareket ettiği göz önüne alındığında
mümkün noktalardan optimal olanı, minimumların maksimumunda gerçekleşenidir.
Örnek:
A oyuncusunun ödemeler matrisi,
+ = i4 −11 3 j ise, bu oyunun sonucunu bulunuz.
Bu oyunda A ve B oyuncularının 2’şer stratejileri bulunmaktadır. B oyuncusunun
stratejilerine karşılık A oyuncusunun beklenen değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.
�(+) = (� − ��)H + �� = (4 − 1)H + 1 = 3H + 1 ��(+) = (�� − ���)H + ��� = (−1 − 3)H + 3 = 3 − 4H Bu doğruların koordinat sisteminin düşey eksenlerini kestiği noktalar ise,
�(+) için ÜH = 0 ⇒ �(+) = 1H = 1 ⇒ �(+) = 4 ��(+) için Ü H = 0 ⇒ ��(+) = 3H = 1 ⇒ ��(+) = −1 olarak bulunur. Söz konusu doğrular aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
259
Şekilden görüleceği gibi beklenen değer doğruları tek noktada kesişmektedirler ve bu
noktalar en iyi çözümü oluşturmaktadır. A oyuncusu maksimin yöntemine göre hareket
ettiğinden (minimumların maksimumu) �(+) ve ��(+) doğrularının kesişiminden oluşan zarf
çözüm bölgesidir ve optimal çözüm G noktasında gerçekleşmektedir. G noktasındaki çözüm,
�(+) = ��(+) 3H + 1 = 3 − 4H 7H = 2 H = 27
H� = 1 − H = 1 − 27 = 57 olarak bulunabilir. A oyuncusunun beklenen değeri ise, ��(+) ya da �|(+)
doğrularından biri yardımıyla,
�(+) = 3. 27 + 1 = 137 ≅ 1,86 şeklinde elde edilebilir. Benzer şekilde oyun B oyuncusuna göre de çözülebilir.
Örnek:
A oyuncusunun ödemeler matrisi,
+ = i5 31 1 1 13 2j ise, bu oyunun sonucunu bulunuz.
260
Bu oyunda A oyuncusunun 2 stratejisine karşılık B oyuncusunun 4 stratejisi
bulunmaktadır. B oyuncusunun stratejilerine karşılık A oyuncusunun beklenen değerleri
aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.
�(+) = (� − ��)H + �� = (5 − 1)H + 1 = 4H + 1 ��(+) = (�� − ���)H + ��� = (3 − 1)H + 1 = 2H + 1 �L(+) = (�L − ��L)H + ��L = (1 − 3)H + 3 = 3 − 2H �|(+) = (�| − ��|)H + ��| = (1 − 2)H + 2 = 2 − H Bu doğruların koordinat sisteminin düşey eksenlerini kestiği noktalar ise,
�(+) için ÜH = 0 ⇒ �(+) = 1H = 1 ⇒ �(+) = 5 ��(+) için ÜH = 0 ⇒ ��(+) = 1H = 1 ⇒ ��(+) = 3 �L(+) için ÜH = 0 ⇒ �L(+) = 3H = 1 ⇒ �L(+) = 1 �|(+) için ÜH = 0 ⇒ �|(+) = 2H = 1 ⇒ �|(+) = 1 olarak bulunur. Söz konusu doğrular aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Şekilden görüleceği gibi beklenen değer doğruları 6 noktada kesişmektedirler ve bu
noktalar mümkün çözümleri oluşturmaktadır. A oyuncusu maksimin yöntemine göre hareket
ettiğinden (minimumların maksimumu) ��(+) ve �|(+) doğrularının kesişiminden oluşan zarf
çözüm bölgesidir ve optimal çözüm G noktasında gerçekleşmektedir. G noktasındaki çözüm,
261
��(+) = �|(+) 2H + 1 = 2 − H 3H = 1 H = 13
H� = 1 − H = 1 − 13 = 23 olarak bulunabilir. A oyuncusunun beklenen değeri ise, ��(+) ya da �|(+)
doğrularından biri yardımıyla,
�(+) = 2. 13 + 1 = 53 ≅ 1,67 şeklinde elde edilebilir. Benzer şekilde oyun B oyuncusu açısından çözüldüğünde, bu
oyuncunun 4 stratejisine ilişkin olasılık değerleri hesaplanabilir.
262
Uygulamalar
A ya göre ödemeler matrisi aşağıda verilmektedir. Her bir oyuncu için en iyi seçeneği,
A ve B ye göre oyun değerini bulunuz.
Verilen A ya göre ödemeler matrisinde her bir satırın en küçük elemanı matrisin sol
tarafına ve B ye göreyse ödemeler matrisi kayıp değerleri göstermesi nedeniyle her bir sütunun
en büyük elemanı matrisin altına yazılır. Bu düşünce A yönünden maximin yani kötümserlik kriteri ve B yönünden kayıp söz konusu olduğu için minimax (=maliyet tipli karar matrisinde kötümserlik kriteri) olarak belirlenir. A için oyun değeri 4 ve B için oyun değeri
4 olarak bulunması nedeniyle her iki oyuncunun oyundan beklediği değerler (birinin kazancı
diğerinin kaybı olarak düşünüldüğü için) birbirini karşılamaktadır ve oyunun bir tepe noktası
vardır. A nın seçeneği II. strateji, B nin seçeneği de III. stratejidir ve tam stratejileridir. Oyunun
tepe noktası olması dolayısıyla da oyunun değeri 4 dür.
263
Uygulama Soruları
Kazanç matrisi aşağıda gösterilen oyunun eş stratejilerini belirleyiniz.
Satır Sütun Oyuncusu
Oyuncusu Stratejisi
Stratejisi C1 C2 C3 C4
R1 1 2 3 1
R2 3 6 1 3
R3 0 5 4 0
R4 1 2 3 1
264
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde oyun kuramı, saf stratejiler, minimaks ve maksimin stratejilerinin
uygulanışı, oyunun tepe noktası, karma stratejiler, oyunun değerini bulmada grafik yaklaşımı
konuları ayrıntılı olarak incelemiştir.
265
Bölüm Soruları
1) Oyun teorisinde ödemeler matrisi satır oyuncusuna göre verilir?
a) Doğru
b) Yanlış
2) Bir oyunda en az kaç kişi bulunmalıdır?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3) Bir oyuncunun rakiplerinin ne yaptığını dikkate almaksızın kazancını maksimize
eden stratejiye ne denir?
a) İşbirliği stratejisi
b) Fayda stratejisi
c) Kazanç stratejisi
d) Oyuncu stratejisi
e) Baskın strateji
4) Oyun kuramını geliştiren ya da geliştirenler aşağıdakilerden hangisidir?
a) D.W. Carlton ve J.M. Perloff
b) J. Von Neuman ve O. Morgenstern
c) D. Kreps
d) E. Rasmusen
e) S. Bierman ve L. Fernandez
266
5) Kendilerine ait stratejileri bulunan ve birbirlerinin hareketlerinden etkilenen iki ya da
daha fazla firmanın rekabetini analiz eden teoriye ne ad verilir?
a) Oyun Teorisi
b) Fiyat iteorisi
c) Tüketici Teorisi
d) Davranış Teorisi
e) Üretici Teorisi
6) Bir oyuncunun kazancı diğer oyuncunun kaybıysa, bu tür oyunlara ne ad verilir?
a) 1 toplamlı oyun
b) 0 toplamlı oyun
c) 1 toplamlı olmayan oyun
d) 0 toplamlı olmayan oyun
e) Toplamı belirsiz oyun
7) Aşağıda verilen ödemeler matrisine göre oyunun değeri kaçtır?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
267
8) Aşağıda verilen ödemeler matrisine göre oyunun değeri kaçtır?
K1 K2
S1 2 3
S2 11 8
a) 2
b) 3
c) 8
d) 11
e) 0
9) Aşağıda verilen ödemeler matrisine göre oyunun tepe noktası varsa değeri nedir?
a) 2
b) 3
c) 8
d) 11
e) 0
Aşağıdaki 9-12 soruları verilen ödemeler matrisine göre cevaplayınız. Ödemeler
matrisi, sütun oyuncusunun satır oyuncusuna yaptığı ödemeler cinsinden hazırlanmıştır.
(Baskın stratejileri kullanarak çözünüz.)
10) Satır oyuncusu için optimal strateji nasıl olacaktır?
a) (1;0;0)
b) (0;0,22;0,78)
c) (0,5;0,1;0,4)
268
d) (0,0,1)
e) (0;1;0)
11) Sütun oyuncusu için optimal strateji nasıl olacaktır?
a) (1;0;0)
b) (0,7;0,3;0)
c) (0;0,56;0,0,44)
d) (0;0;1)
e) (0;1;0)
12) Oyunda eğer tepe noktası varsa değeri nedir?
a) 3
b) 5,89
c) 5,59
d) -3
e) Tepe noktası yoktur.
13) Oyunun oyun değeri varsa nedir?
a) 3
b) 5,59
c) 5,89
d) -3
e) Tepe noktası yoktur.
Cevaplar
1) a , 2) b, 3) e, 4) b, 5) a, 6) b, 7) d, 8) c, 9) c, 10) b, 11) c, 12) b, 13) c.
269
11. MARKOV ANALİZİ
270
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
11.1. Markov analizi nedir?
11.2. Geçiş olasılıkları diyagramı
11.3. Geçiş olasılıkları matrisi
11.4. 2.,3., ve sonraki adımlarda geçiş olasılıklarının değişimi
11.5. Markov zinciri
271
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Markov analizi nedir?
2) Hangi tip işletme problemlerinin modellenmesi ve çözümünde kullanılır?
3) Durum nedir? Durum uzayı nedir?
272
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Markov Analizi
Markov analizinin ne
olduğunu nerelerde
kullanıldığını anlamak
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Uygulama yaparak
Geçiş olasılıkları matrisi
Geçiş olasılıkları matrisinin
nasıl oluşturulduğunu
anlamak
Okuyarak, Tekrar yaparak,
Uygulama yaparak
273
Anahtar Kavramlar
• Markov analizi
• Geçiş olasılıkları diyagramı
• Geçiş olasılıkları matrisi
• Durum
• Durum uzayı
• Adım
• Markov zinciri
274
Giriş
Bilimsel karar alma süreci modellere dayanır ve isabetli kararlar alınabilmesi için büyük
ölçüde sistematik yaklaşıma gereksinim duyulur. Karar alma problemlerinde belirsizliklere
ilişkin olaylarla sıkça karşılaşılmaktadır. Bu belirsizlik genelde, doğal olayın belirsizliğinden
veya temel değişkenin akla gelmeyen değişim kaynağından ortaya çıkmaktadır. Böyle
durumlarda olay matematiksel model haline dönüştürülerek, onun değişkeni olasılık hesapları
ile tanımlanabilir. Geliştirilen bu modele Markov Analizi denilmektedir. Markov Analizi
mevcut olasılıkları kullanarak, gelecekteki durum olasılıklarını hesaplamada kullanılan güçlü
modelleme ve analiz tekniği olarak bilinmektedir.
Bir sistemin mümkün karşılaşılabilir durumlarının birinden diğerine geçiş olasılıkları
bilindiğinde sistemin analizi ile ilgili bir araştırma alanıdır. Başlangıç durumu verildiğinde
izleyen aşamada hangi olasılıkla hangi durumda olunacağını ve buna karşı oluşacak olan katkıyı
ölçmek ve en iyi stratejiyi belirlemek için başvurulan analiz türüdür. Markov analizini mevcut
durumdan başka durumlara geçiş olasılıkları bilindiğinde olabilecek durumların tahmininde
kullanılabilir. Örneğin firmaların pazar payları biliniyor ise, geçiş matrisinden yararlanarak
yıllar ilerledikçe pazar paylarında olabilecek değişim tahminlenerek firmaların strateji
belirlemelerine yardımcı olunabilir.
275
11.1. Markov Analizi
Markov analizi, verilen bir sistemdeki gelecek durumların mevcut durumlara bağlı
olduğu hâllerdeki stokastik süreçlerini modellemede kullanılır. Birinci derecen Markov analizi
gelecek durumların şimdiki durum verildiğinde geçmiş durumlardan bağımsızlığını kabul eder.
Markov analizinde sisteme ait bütün açıklayıcı bilgiler durum adı verilen ifadelerde
tutulmaktadır.
Markov Analizi modeli karmaşık bir sistemin güvenilirlik davranışını, önceden
tanımlanmış bir ayrık durumlar kümesi üzerinde tanımlı durum geçiş diyagramı ile
modelleyebilmekte ve durumlar arası geçiş hızını tahmin etmekte kullanılabilmektedir. Bu
sebeple, Markov Analizi modelleri muhtemel olay zincirlerini etkin bir şekilde temsil etme
konusunda oldukça başarılıdırlar. Örneğin, güvenilirlik ve kullanılabilirlik uygulamalarında
durumlar arası geçiş, sistemin herhangi bir anda herhangi bir durumda olma olasılığını, durum
içinde tahmini kalma süresini ve durumlar arası tahmini geçiş sayılarını belirlemekte
kullanılırlar. Markov Analizi tekniği, A.A. Markov tarafından 1905 yılında yapılan, Brownian
hareketi olarak bilinen kapalı bir kutu içindeki gaz moleküllerinin yapısını ve davranışlarını
matematiksel olarak betimleme denemesine dayanır. Teknik, birbirini izleyen, zincirleme
yapıdaki bir araştırmanın sonucunda geliştirilmiştir. Markov sürecinin ilk doğru matematik
yapısı N. Wiener tarafından 1923 yılında kurulmuştur. Markov süreçlerinin genel teorisi ise
1930 ve 1940 yıllarında A.N. Kolmogoron, W. Feller, W. Doeblin, P. Levy, J.L. Doob ve
diğerlerince geliştirilmiştir.
Markov analizi bir müşterinin kullandığı ürünün markasını değiştirme olasılığının
hesaplanması veya bugün çalışan bir makinenin ertesi gün arızalanma olasılığının bulunması
gibi zaman içerisinde bir durumdan diğer duruma olasılıklı (stokastik) olarak geçen sistemlere
uygulanır. Bu sistemler için bir durumdan diğer duruma geçiş geçiş olasılıkları ile ifade edilir.
Markov süreçleri ileride ortaya çıkması olası durumların gerçekleşme olasılıklarının,
geçmiş verilere göre değil, şu andaki verilerden yararlanarak bulunduğu süreçlerdir. Markov
süreçlerinin temel özelliği, belirli bir zaman diliminde çeşitli durumlarda bulunmanın ve bir
durumdan diğer duruma geçişin olasılıklarının göz önüne alınmasıdır.
Bir durumdan diğer duruma geçiş, sistemin daha önceki durumlarına bağlı olmayıp,
yalnızca bir önceki durumuna bağlıdır. Bu açıdan bakıldığında, Markov süreci için önceki
durum hariç, daha önceki durumların bilinmesine gerek yoktur. Söz konusu bu özelliğe Markov
özelliği denilir. Markov özelliği olan bir sistemde, bir durumdan diğer duruma geçiş, sadece bir
önceki duruma bağlı olan şartlı olasılıklar ifade edilir.
Zaman kümesi í de kesikli veya sürekli olabilir. í sürekli değerler alabiliyorsa {Â} süreci sürekli zamanlı stokastik süreç olarak ve eğer í tamsayılı değerlerle sınırlanmış, yani í = {0,1,2,3, … } ise {Â} süreci kesikli-zamanlı stokastik süreç olarak adlandırılır.
Şöyle ki, î�{ anındaki durum olasılığı �{, î� anındaki durum olasılığı � ve �Âï ile �Âïðñ rastsal değişkenler olmak üzere, î� anında � de olma olasılığı,
276
òïðñ,óï = (�Âï = �|�Âïðñ = �{) koşullu olasılığı ile gösterilir ve bu koşullu olasılık sistemin î�{ anından î� anına geçişi
tanımladığından buna bir adımlı geçiş denir. µ adımlı geçiş olasılığı ise, �Âï rastsal değişken
olmak üzere;
òï,óïõö = (�Âïõö = �g'|�Âï = �) ile ifade edilir.
Zamanla rassal olarak gelişen bir sistem düşünelim (Örneğin öğle saatlerinde bir
kafedeki müşteri sayısı). Varsayalım ki bu sistem 4 = 0,1,2,3, . .. anlarında gözlensin. � , 4 anındaki sistemin durumu olsun. {÷, , … , �} rassal değişkenler dizisi, kesikli zaman
stokastik süreç olarak isimlendirilir ve {�, 4 ≥ 0}şeklinde gösterilir. Stokastik Süreçler bazı
zaman periyotlarında çalışan bir sistemin davranışını tanımlamakla ilgilidir.
11.2. Markov Analizi ile ilgili Kavramlar ve Markov Zinciri
Stokastik Süreç: Rasgele sonuçlar doğuran olaylar serisidir.
Durum: Rasgele değişkenin aldığı her bir değere durum denir. Sistem
karakteristiklerinin 4 anındaki değeridir. Bir sistemin mevcut durumu durum olarak
isimlendirilen v + 1 kategoriden birine düşer. Bir sistem aynı anda iki durumda olamaz.
Durumlar 0,1,2, . . . v olarak etiketlenir. � rassal değişkeni, 4 anındaki sistemin durumunu
temsil eder.
Durum Uzayı: Bir sistemin olası tüm durumlarını içeren kümeye, durum uzayı denir.
Rasgele değişkenin alabileceği değerlerin tümünü kapsayan � kümesi durum uzayı olarak
adlandırılır. Durum uzayı sürekli veya kesikli değerlerden oluşabilir. Buna göre {Â} süreci
sürekli-durumlu stokastik süreç veya kesikli-durumlu stokastik süreç olarak adlandırılır.
İş Makinesi Örneği:
Gün (ø) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Durum 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0
Burada rasgele değişken kesikli olup iki değerden birini alabilmektedir (] = {0,1}). í ={0,1,2,3, … } olduğuna göre, {Â} süreci kesikli-durumlu ve kesikli-zamanlı bir stokastik süreç
olur.
Sistemin şimdiki durumu ve geçmişte bulunduğu durumlar biliniyor olsun, buna göre
sistemin gelecekteki durumunun koşullu olasılığı şimdiki durumuna bağlı olup, geçmişteki
durumlardan bağımsızdır. Bir başka ifadeyle bütün durumlar ve zamanlar î = {0,1,2,3, … } için,
(Âg = /Âg|Â = /Â, Â{ = /Â{, … , = /, ÷ = /÷)
277
(Âg = /Âg|Â = /Â) Örneğin bir hastanın herhangi bir gündeki sağlık durumunun (kritik, normal, iyi, vs)
olasılığı, sadece bir önceki gün bulunduğu duruma bağlı ise bu bir Markov sürecidir. Markov
özelliğine sahip stokastik bir {Â} süreci eşit ve kesikli zaman aralıkları ile ifade ediliyorsa, î ={0,1,2,3, … } Markov zinciri olarak adlandırılır.
Sistemin herhangi bir dönemde / durumunda iken bir sonraki dönemde 3 durumuna
geçme olasılığı ù)! ile gösterilir ve geçiş olasılığı olarak adlandırılır.
(Âg = 3|Â = /) = ù)! 11.3. Başlangıç olasılıkları
Sistemin başlangıçta (î = 0 zamanında) i durumunda bulunma olasılığı ú) ile gösterilir
ve başlangıç olasılığı olarak isimlendirilir.
(÷ = /) = ú) Buna göre ú = uú ú� … úûw vektörü başlangıç olasılık dağılımını gösteren
başlangıç olasılığı vektörü olarak adlandırılır. S durumlu bir markov zincirinin geçiş olasılıkları ] × ] boyutlu bir geçiş matrisi (kare matris) şeklinde gösterilir.
Geçiş matrisinin satırları aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.
1. \ ≤ ü�� ≤ X 2. ü���
� = X Markov zincirinin özellikleri:
• Markov özelliği,
• Kesikli ve sonlu durum uzayı, ] = {0,1, 2, , … , ]},
278
• Zamanla değişmeyen geçiş olasılıkları (ù)!) olarak özetlenebilir.
Stokastik sürecin son 10 günde aldığı değerler,
{Â} = {0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0} Duruma (ø + X günü)
Durumdan (ø günü) Arızalı Çalışır Satır Toplamı
Arızalı 3 2 5
Çalışır 2 2 4
= 0 101 i0,6 0,40,5 0,5j
ù÷÷ = ( = 0|÷ = 0) = 0,6 ù÷ = ( = 1|÷ = 0) = 0,4 ù÷ = ( = 0|÷ = 1) = 0,5 ù = ( = 1|÷ = 1) = 0,5
279
Örnek:
Atatürk Hava Limanında 4. gün saat 12:00’de kaydedilen sıcaklıklar:
Örnek:
Bir zarın 4. atılışında gelen sayı;
280
Örnek:
î anında bir mağazadaki müşteri sayısı;
11.4. Stokastik Süreçlerin Sınıflandırılması
Örnek:
İş makinesi problemine ilişkin geçiş olasılıkları matrisi aşağıdaki gibi verildiğine göre;
= 0 101 i0,6 0,40,5 0,5j Birinci adımdaki geçiş olasılığı: 10. Günün sonunda makine arızalndığına göre,
11.Günde de makinenin arızalanma olasılığı nedir?
ù÷÷() = ( = 0|÷ = 0) =? İkinci adımda geçiş olasılığı: 10.Günün sonunda makine arızalandığına göre 12.Günde
de makinenin arızalanma olasılığı nedir?
281
ù÷÷(�) = (� = 0|÷ = 0) =? ( = 0|÷ = 0). (� = 0| = 0) + ( = 1|÷ = 0). (� = 0| = 1)
Üçüncü adımda geçiş olasılığı: 10.Günün sonunda makine arızalandığına göre
13.Günde de makinenin arızalanma olasılığı nedir?
ù÷÷(L) = (L = 0|÷ = 0) =? ù÷÷. ù÷÷. ù÷÷ + ù÷÷. ù÷. ù÷ + ù÷. ù÷. ù÷÷ + ù÷. ù. ù÷
4.adımda geçiş matrisi ( (�)) geçiş matrisi ’nin 4. kuvveti alınarak bulunur.
(�) = .
(L) = �. = . � = L ve genel olarak;
(�) = (�{). = . (�{) = � /.geçiş matrisi veya tek adımda geçiş matrisi daha önce elde edilmişti. 2-adımda veya
3-adımda ve 4-adımda geçiş matrisleri sırasıyla;
� = . = i0,6 0,40,5 0,5j . i0,6 0,40,5 0,5j = x0,56 0,440,55 0,45y L = �. = x0,56 0,440,55 0,45y . i0,6 0,40,5 0,5j = x0,556 0,4440,555 0,445y | = L. = x0,556 0,4440,555 0,445y . i0,6 0,40,5 0,5j = x0,5556 0,44440,5555 0,4445y
4 = 1.Adım → = i0,6 0,40,5 0,5j 4 = 2.Adım → � = x0,56 0,440,55 0,45y 4 = 3.Adım → L = x0,556 0,4440,555 0,445y 4 = 4.Adım → | = x0,5556 0,44440,5555 0,4445y
4.adımda geçiş olasılıkları yeterince uzun bir geçiş sürecinden sonra sabit bir değere
yaklaşma eğilimi gösterirler, yani kararlı bir hale gelirler. Buna markov sürecinde denge
durumu denir.
282
Örneğin, ù() = 0,6; ù(�) = 0,56; ù(L) = 0,556; ù(|) = 0,5556; ù(}) =0,55556 serisi incelendiğinde ù(�) olasılığındaki değişim miktarının her adımda gittikçe
azaldığı görülür.
Bir Markov zincirinin durumlarından bazıları yutan ve diğerleri de geçici durumlar ise
bu markov zinciri Yutan Markov Zinciri olarak adlandırılır.
Örnek:
Müşterilerine kredi ile alışveriş olanağı sunan bir mağaza, alacakların tahsili için son
ödeme tarihinden sonra iki hafta beklemekte ve bu süre Içerisinde borcunu ödemeyen
müşterileri cezalı müşteriler kategorisine koyup alacak tahsili için yasal yollara başvurmaktadır.
İki hafta içerisinde borcunu ödeyen bir müşteri yutan bir duruma geçmiş olacaktır. Öbür yandan
borcunu iki haftadan fazla geciktiren bir müşteri de yine yutan bir duruma geçmiş olacaktır.
Her haftanın başında müşterilerin hesapları incelenip aşağıdaki durumlara göre
değerlendirilmektedir (son ödeme tarihinden itibaren 1-7 gün geciken borç bir hafta gecikmiş,
8-14 gün geciken borç iki hafta gecikmiş olarak değerlendirilecektir)
Durum 1: Borcunu ödemiş
Durum 2: Borcunu bir hafta geciktirmiş
Durum 3: Borcunu iki hafta geciktirmiş
Durum 4: Cezalı (yasal işlem gerektiriyor)
Geçmiş dönemlere ait verinin değerlendirilmesi sonunda, haftalık olarak mağazanın
alacaklarının durumunu gösteren aşağıdaki geçiş matrisi elde edilmiş olsun.
283
Örnek:
Şehirden uzak bir küçük kasabada ] ve Ò gibi iki market bulunmaktadır. Kasabada
marketten alış veriş yapan toplam müşteri sayısı 1000 kişidir. Marketler arası müşterilerin
geçişleri aşağıda verildiği şekildedir.
] Ò
] 200 800
Ò 400 600
Başlangıç durumunda müşteri sayıları; Ø(0) = (260, 350) şeklindedir. Buna göre üç
dönem sonra müşteri durumları ne şekilde olacaktır?
Çözüm:
Soruda verilen matris;
� â
� 800 200
â 400 600
Marketler arasında müşterilerin geçişlerini vermektedir. Bu matrisin anlatmak istediği;
• Mevcut durumda ] marketinden alışveriş yapan müşterilerden 800 tanesi bir
sonraki alış verişlerinde tekrar ] marketine gideceklerdir.
• Mevcut durumda ] marketinden alışveriş yapan müşterilerden 200 tanesi bir
sonraki alış verişlerinde Ò marketine gideceklerdir.
• Mevcut durumda Ò marketinden alışveriş yapan müşterilerden 400 tanesi bir
sonraki alış verişlerinde ] marketine gideceklerdir.
• Mevcut durumda Ò marketinden alışveriş yapan müşterilerden 600 tanesi bir
sonraki alış verişlerinde tekrar Ò marketine gideceklerdir.
Kasabadaki toplam müşteri sayısı 1000 kişi olduğu bilindiğine göre geçiş olasılıkları
bulunabilir.
� Mevcut durumda ] marketinden alışveriş yapan müşterilerin bir sonraki alış
verişlerinde tekrar ] marketine gitme olasılıkları: 800/1000 = 0,80 olacaktır.
� Mevcut durumda ] marketinden alışveriş yapan müşterilerin bir sonraki alış
verişlerinde Ò marketine gitme olasılıkları: 200/1000 = 0,20 olacaktır.
284
� Mevcut durumda Ò marketinden alışveriş yapan müşterilerin bir sonraki alış
verişlerinde ] marketine gitme olasılıkları: 600/1000 = 0,60 olacaktır.
� Mevcut durumda Ò marketinden alışveriş yapan müşterilerin bir sonraki alış
verişlerinde Ò marketine gitme olasılıkları: 400/1000 = 0,40 olacaktır.
Buna göre marketler arası müşteri geçiş olasılıkları diyagramı aşağıdaki gibi olur.
Bulunan bu olasılıklar kullanılarak geçiş matrisi oluşturulabilir.
þ = �â� âx8/10 2/106/10 4/10y = �â
� âi0,8 0,20,6 0,4j şeklinde þ geçiş matrisi oluşturulur.
Üçüncü dönemden sonraki müşteri sayıları sorulduğudunda; Bunun için matrisinin
küpü alınacaktır. Böylece üç dönem sonraki geçiş olasılıkları elde edilmiş olacaktır.
L = i0,688 0,3120,324 0,376j Ø(0) = (260; 350)
Ø(3) = Ø(0). L = u260 350w. i0,688 0,3120,324 0,376j = u397,28 212,72w Ø(3) = (397,28; 212,72)
olarak elde edilir.
Müşteriden bahsedildiği için yaklaşık tam değerler Ø(3) = (397; 213) kişi şeklinde
müşteri dağılımı gerçekleşecektir.
Örnek:
Aşağıda durum geçiş olasılıkları diyagramı verilen sisteme ilişkin durum geçiş
olasılıkları matrisini belirleyiniz. İkinci adımda ù(�), ù�(�), ùL(�) değerlerini bulunuz. Üçüncü
adım olasılıklarını belirleyiniz. Onuncu adım olasılıklarını bulunuz. Elde edilen olasılık
matrisinin yorumlayınız.
285
Çözüm:
= +,� + , �
�1/4 1/4 1/21/2 0 1/21/4 1/4 1/2�
= +,� + , �
�0,25 0,25 0,500,5 0 0,500,25 0,25 0,50�
ù(�) =ù. ù + ù�. ù� + ùL. ùL
ù(�) = 0,25.0,25 + 0,25.0,5 + 0,5.0,25 = 0,3125
ù�(�) =ù. ù� + ù�. ù�� + ùL. ùL�
ù�(�) = 0,25.0,25 + 0,25.0 + 0,5.0,25 = 0,1875
ùL(�) =ù. ùL + ù�. ù�L + ùL. ùLL
286
ùL(�) = 0,25.0,5 + 0,25.0,5 + 0,5.0,5 = 0,5 ù)!(�) = ù)'. ù'! �
)"
� = �0,25 0,25 0,500,5 0 0,500,25 0,25 0,50� . �0,25 0,25 0,500,5 0 0,500,25 0,25 0,50� = �
0,3125 0,1875 0,500,25 0,25 0,500,3125 0,1875 0,50�
L = �0,3125 0,1875 0,500,25 0,25 0,500,3125 0,1875 0,50� . �0,25 0,25 0,500,5 0 0,500,25 0,25 0,50�
L = �0,2969 0,2031 0,500,3125 0,1875 0,500,2969 0,2031 0,50�
} = � 0,3 0,2 0,500,2998 0,2002 0,500,3 0,2 0,50�
� = �0,3 0,2 0,500,3 0,2 0,500,3 0,2 0,50� ≅ ÷ = �0,3 0,2 0,500,3 0,2 0,500,3 0,2 0,50�
Olasılıklar adım sayısı arttıkça belirli bir değere sabitlenmiştir.
287
Örnek:
Aşağıda durum geçiş olasılıkları diyagramı verilen sisteme ilişkin durum geçiş
olasılıkları matrisini belirleyiniz.
Çözüm:
288
Örnek:
A, B ve C birbirinin rakibi üç bisküvi markasıdır. Bu bisküvilerin pazar payları (0,5;
0,3; 0,2) şeklindedir. Bu bisküvileri sevenleri arasında yapılan araştırmaya göre, belirli bir
bisküviyi yiyen birinin bir sonraki seferde hangi bisküviyi tercih edeceği aşağıdaki şekilde ifade
edilmiştir.
A B C
A 0,6 0,1 0,3
B 0,4 0,3 0,3
C 0,3 0,5 0,2
Buna göre dördüncü dönem sonunda bisküvilerin pazar payları ne şekilde olacaktır?
Çözüm:
Durumlar arası geçiş olasılıklarını gösteren geçiş matrisi soruda verilmiştir. Bu matrise
göre örneğin, mevut durumda B bisküvisini yiyen biri, bir sonraki durumda A bisküvisini yeme
olasığı 0,4, tekrar B bisküvisini yeme olasılığı 0,3, C bisküvisini yeme olasılığı ise 0,3’tür. Bu
geçiş matrisi kullanılarak dört dönem sonra bisküvilerin pazar payları hesaplanacaktır. Bunun
için;
Ø(4) = Ø(0) | kullanılacaktır.
Bunun için matrisinin dördüncü kuvveti alınacaktır. Böylece dört dönem sonraki geçiş
olasılıkları elde edilmiş olacaktır.
| = �0,4669 0,2604 0,27270,4653 0,2620 0,27270,4648 0,2624 0,2728� Ø(0) = (0,5; 0,3; 0,2)
Ø(4) = u0,5 0,3 0,2w �0,4669 0,2604 0,27270,4653 0,2620 0,27270,4648 0,2624 0,2728� = u0,466 0,261 0,273w Ø(4) = (0,466; 0,261; 0,273)
şeklinde olmaktadır. Dört dönem sonra, A ve B bisküvilerinin pazar payı azalırken, C
bisküvisinin pazar payının arttığı görülmektedir.
289
þ matrisinin Özellikleri:
1. )! ≥ 0 Adım geçiş olasılıklarının “0” ya da pozitif olacağını ifade eder.
2. )!t!"÷ = 1 İkinci özellik, satır girişleri toplamının 1’e eşit olması
gerektiğini ifade eder.
11.5. Ergodik Markov Zinciri
� = ¬0 10 0 0 01 00 01 0 0 10 0 Üstteki P matrisi ergodik bir Markov zinciridir.
� = ¬0 10 0 0 01 00 11 0 0 00 0 Üstteki matrisi ise ergodik bir Markov zinciri değildir. Sebebi ise 4. duruma hiçbir
şekilde varılamamaktadır.
11.6. Denge Durumu
Birçok durumda Markov zincirleri denge durumuna ulaşırlar. Denge durumuna ulaşmış
bir Markov zinciri kullanılarak uzun dönemde durumların ne olacağı konusunda tahmin
yapılabilir. Uzun dönem sonunda Markov Analizinde süreç denge durumuna veya durağan
durum koşullarına ulaşır. Bu durumda sürecin geleceği ile ilgili etkili yorumlar yapılabilir.
P 'nin kuvvetlerinde izlenebileceği gibi n büyüdükçe P değerleri sabit bir sayıya veya
limite yaklaşmaktadırlar ve olasılık vektörleri bütün değerleri için eşit olmaya meyletmektedir
4 adım sonra denge durumuna ulaşmış herhangi bir Markov süreci için durumlar;
Ø = lim�→�Ø� = Ø.
şeklinde hesaplanır.
290
Örnek:
Konuda örneği incelenen “market müşterilerinin market değiştirme durumların” uzun
vadede nasıl olacaklarını bulunuz.
Çözüm:
Uzun vadede ne olunacağı söz konusu olduğu için durağanlık yani denge durumu söz
konusudur.
Ø = Ø i0,80 0,200,60 0,40j şeklinde olacaktır. Buradan;
uØ, Ø�w = uØ, Ø�w i0,80 0,200,60 0,40j Ø = 0,8Ø + 0,6Ø� Ø� = 0,2Ø + 0,4Ø� Ø + Ø� = 1
şeklinde olmaktadır.
0 = −0,2Ø + 0,6Ø� 0 = 0,2Ø − 0,6Ø� Ø� = 1 − Ø
şeklinde yazılabilir.
0 = −0,2Ø + 0,6. (1 − Ø) 0,8Ø = 0,6 → Ø = 3/4 Ø� = 1 − Ø = 1 − 3/4 = 1/4
olmaktadır. Buna göre denge durumunda;
260. (3/4) = 195 350. (1/4) = 87,5
şeklinde olacaktır.
291
Örnek: (Kumarbazın İflası)
Varsayalım ki 2 TL’miz var ve her yazı-tura atışımızda eğer para TURA gelirse 1 TL
kazanıyoruz, YAZI gelirse 1 TL kaybediyoruz. Bir atışta paranın TURA gelmesi olasılığı p dir.
Cebimizdeki para miktar 4 TL olduğunda yada hiç paramız kalmadığında oyun sona erecektir.
a) Problemin durum uzayını tanımlayın.
b) Cebimizdeki para miktarı Kesikli Markov Zinciri olarak modellenebilir mi?
Önce �’i tanımlayalım: �, 4. oyundan sonra cebimizdeki para miktarı olarak
tanımlanırsa;
� =����0;1;2;3;4;
4. oyundan sonra param kalmazsa4. oyundan sonra 1 TL param kalırsa4. oyundan sonra 2 TL param kalırsa4. oyundan sonra 3 TL param kalırsa4. oyundan sonra 4 TL param kalırsa
Bir Adım Geçiş Matrisi,
Örnek:
Aşağıda verilen durum geçiş diyagramına göre geçiş olasılıkları matrisini yazınız.
292
Çözüm:
293
Uygulamalar
Kola örneği (üç durumlu) : Kola örneğinin üç durumlu ortalama geçiş olasılıkları matrisi:
Kola l Kola2 Kola3
Kola 1 0.80 0.10 0.10
Kola 2 0.10 0.70 0.20
Kota 3 0.10 0.05 0.85
Kararlı durum olasılıkları: π = [π1 π2 π3] (kararlı durum vektörü)
[π1 π2 π3] = [π1 π2 π3] x
85,005,010,0
20,070,010,0
10,010,080,0
π1 = 0.80 π1 + 0.10 π2 + 0.10 π3
π2 = 0.10 π1 + 0.70 π2 + 0.05 π3
π3 = 0.10 π1 + 0.20 π2 + 0.85 π3
ve π 1 + π2 + π3 = 1
denklem sisteminin çözümünden :
π1 = 1/3 = 7/21 π2 = 4/21 π3 = 10/21
Ortalama ilk geçiş sayıları :
m11 = 1/ π1 = 3 , m22 = 1/ π2 = 5.25 , m33 = 1/ π3 = 2.1
294
Uygulama Soruları
1) Markov analizinin güçlü yanları ve sınırları nelerdir?
Markov analizinin güçlü yanları aşağıdaki gibidir:
• Onarım becerisi ve çoklu zayıflama durumu yaşamakta olan sistemler için
olasılıkları hesaplayabilir.
Sınırları ise şöyledir:
• Durum değişiklikleri üzerine sağladığı sadece varsayımdır.
• Gelecek durumlar bütün geçmiş durumlardan bağımsız olduğu için bütün olayların
istatistikleri de birbirlerinden bağımsızdır.
• Durum değişiklikleri ilgili büyük bilgi gerektirir.
• Teknik olmayan personel ile sonuçları algılamak çok zordur.
295
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde Markov Analizi, Geçiş olasılıkları diyagramı, Geçiş olasılıkları matrisi,
Durum, Durum uzayı, Adım, Markov zinciri tanımları ve markov zincirinin kullanım alanları,
uygun işletme problemlerin çözümünde Markov Analizinin kullanımı incelenmiştir.
296
Bölüm Soruları
1) Aşağıdaki verilen verilen geçiş matrisine verildiğine göre;
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
Bir sonraki periyodda A seçeneğinden B seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?
a) 0,60
b) 0,40
c) 0,30
d) 0,70
e) 1,00
2) Aşağıdaki verilen verilen geçiş matrisine verildiğine göre;
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
Bir sonraki periyodda B seçeneğinden B seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?
a) 0,60
b) 0,40
c) 0,30
d) 0,70
e) 1,00
297
3) Aşağıdaki verilen verilen geçiş matrisine verildiğine göre;
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
İki adım sonraki periyodda A seçeneğinden A seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?
a) 0,48
b) 0,52
c) 0,39
d) 0,61
e) 1,00
4) Aşağıdaki verilen geçiş matrisinde verildiğine göre;
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
İki adım sonraki periyotta B seçeneğinden B seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?
a) 0,48
b) 0,52
c) 0,39
d) 0,61
e) 1,00
298
5) Aşağıdaki verilen geçiş matrisinde verildiğine göre;
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
Üç adım sonraki periyotta B seçeneğinden A seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?
a) 0,444
b) 0,556
c) 0,417
d) 0,583
e) 1,00
6) Aşağıdaki verilen geçiş matrisinde verildiğine göre;
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
Üç adım sonraki periyotta A seçeneğinden A seçeneğine geçme olasılığı kaç olur?
a) 0,444
b) 0,556
c) 0,417
d) 0,583
e) 1,00
299
7) Aşağıdaki verilen geçiş matrisinde verildiğine göre;
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
10 adım sonraki periyotta matris aşağıdakilerden hangisi olur?
a) i0,4 0,60,4 0,6j b) x0,44 0,560,43 0,57y
c) x0,429 0,5710,429 0,571y d) i0 11 0j e) i1 00 1j 8) Aşağıdaki verilen geçiş matrisinde verildiğine ve başlangıç değerleri (10, 20)
olduğuna göre bir sonraki adımda değerler kaç olur?
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
a) (10, 20)
b) (20, 10)
c) (15, 15)
d) (12, 18)
e) (0, 0)
300
9) Aşağıdaki verilen verilen geçiş matrisine verildiğine ve başlangıç değerleri (100, 100)
olduğuna göre iki sonraki adımda değerler kaç olur?
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
a) (100, 100)
b) (80, 120)
c) (90, 110)
d) (200, 0)
e) (0, 200)
10) Aşağıdaki verilen verilen geçiş matrisine verildiğine ve başlangıç değerleri (100,
100) olduğuna göre 10 adım sonraki değerler yaklaşık kaç olur?
A B
A 0,6 0,4
B 0,3 0,7
a) (100, 100)
b) (86, 114)
c) (90, 110)
d) (200, 0)
e) (0, 200)
Cevaplar
1) b, 2) d, 3) a, 4) d, 5) b, 6) a, 7) c, 8) d, 9) c, 10) b.
301
12. SİMÜLASYON
302
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
12.1. Simülasyon Kavramı
12.2. Rassal Sayılar
12.3. RAND() ve RANDBETWEEN(a;b)
12.4. Monte Carlo Simülasyonu
303
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Simülasyon doğrusal programlama modeli çözümünde kullanılabilir mi?
2) Hangi tip işletme problemlerinin çözümlerinin bulunmasında simülasyona
başvurulur?
304
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Simülasyon nedir?
Nerelerde kullanılır?
Simülasyonun nasıl
kullanıldığını anlamak Okuyarak, Tekrar yaparak
Monte Carlo
simülasyonu nedir?
Örnek işletme problemlerine
ilişkin simülasyon çözümleri
elde edebilmek.
Okuyarak, Tekrar yaparak
305
Anahtar Kavramlar
• Simülasyon
• Deneme
• Monte Carlo simülasyonu
• Rassal sayı
• Dağılım
306
Giriş Yöneylem Araştırması dersimizin önceki bölümlerinde işletme problemlerinin ağırlıklı
olarak matematiksel modelleri oluşturulmaya çalışılmış, kurulan modeller matematik ve
istatistik gibi analitik yöntemler kullanılarak optimal çözüm elde edilmeye çalışılmıştır. Ancak
günümüzde çözümü arzulanan bazı işletme problemlerini çözmek amacıyla kurulan modellere
ilişkin bazı girdilerin belirsizlik taşıdığı durumlarda daha önce anlatılan yöntemlerle bir çözüm
bulma olanağı bulunamayabilir. Günümüzde bu tip sorunların davranışını inceleyip analiz
ederek olabildiğince sağlıklı bir karar vermek için sıkça kullanılan yöntemlerden biri
simülasyondur.
Bir yöneylem analisti açısından simülasyon tekniğini kullanmanın en büyük yararı,
analitik yöntemlerle çözülemeyen bir probleme ilişkin olarak sezgisel bir şekilde karar vermek
yerine probleme ilişkin olarak kurulan modelde yer alan çeşitli sabit ve değişkenlerin etkinliği
ne ölçüde etkileyeceğini göstermesidir. Örneğin iki pompa ile hizmet veren bir benzin
istasyonunda günün belirli saatlerinde benzin almak isteyen araçların oluşturduğu kuyruk
uzamakta ve bu durum müşteri kaybına neden olmakta ise açılacak yeni pompanın maliyetine
katlanılıp katlanılmayacağına ilişkin karar, simülasyon yöntemiyle verilebilir. 10 adet kasa
bulunan bir süpermarkette belirli saatler arasında kuyruk uzunluğu örneğin 20 kişiyi aşıyorsa
ve bu durum hoşnutsuzluk yaratarak müşteri kaybına neden olacak bir duruma gelmişse bu
markette açılacak yeni kasa sayısına, simülasyon yöntemi ile karar verilebilir.
Günümüzde karşılaştığımız sorunları dikkate alarak bu tip örnekleri çoğaltabiliriz.
Problem çözme yöntemleri içinde simülasyon, bilgisayarların geliştirildiği ilk günlerden beri
bilgisayar desteğinde çözülmesi en çok arzulanan yöntem olmuştur. Simülasyon, belirsizlik
taşıyan bir veya daha çok bağımsız değişkene bağlı değerlerin değişimlerinin gözlenmesinde
yararlı bir analiz yöntemidir. Bu yöntem yapısı gereği belirsizlik taşıyan değişkenlerin geçmiş
dönemde aldığı değerlerin dağılımlarını dikkate alarak gelecekte alacağı değerleri tahmin edip
bu değerlere bağlı değişkenlerin değişimlerini analiz etmeye yöneliktir. Bu nedenle çok fazla
sayıdaki değişkenin çoğu kez zaman içindeki değişimlerinin hesaplanması gerekmektedir. Bu
ise karmaşık ve aynı tip işlemlerin fazla sayıda tekrarlanmasını gerektirmektedir. Bu işlemler
ise ancak bilgisayar desteğinde kolayca başarılabilmektedir. Bu nedenle simülasyon
modellerinin çözümünde bilgisayar desteği önem taşır. Günümüzde karşılaştığımız birçok
problemin simülasyon yöntemiyle çözülmesinin nedenleri ve bu yöntemin yararlarına kısaca
değinmek yararlı olacaktır.
1. Askeri eğitimdeki harp oyunları.
2. Pilotların uçak modelleri üzerinde çalışmaları.
3. Pilot kabininin yapısı üzerinde bilgisayar sistemlerinin imkânları ile uçuş eğitimi
yapılması.
4. Şoför adaylarının özel pistlerde sürücülük eğitimi yapmaları.
5. Siyaset biliminde meclisin sınıf ortamında canlandırılması.
307
6. Doktor adaylarının kadavra üzerinde eğitim görmeleri.
Amerikan İşletme Bilimi Enstitüsü’nün bir araştırmasına göre, Amerikan işletmelerinin
%89’u simülasyon yöntemini kullanmaktadır.
İşletmelerce Simülasyon Yönteminin Kullanıldığı Alanlar
Simülasyon Yönteminin Kullanıldığı Alanlar Yüzdesi
• Üretim %59
• Planlama %53
• Mühendislik %46
• Finansman %41
• AR-GE %37
• Pazarlama %24
• Veri Toplama %16
• İnsan Kaynakları %10
Simülasyon, gerçek bir sistemin modelini tasarlama süreci ve sistemin davranışlarını
anlamak veya değişik stratejileri değerlemek amacı ile oluşturulan bu model üzerinde
denemeler yaparak sistemin davranışını gözleyerek çeşitli girdilerde değişim sağlayarak
sistemin düzgün çalışmasını sağlamaktan ibarettir.
Simülasyon, gerçek bir dünya süreci veya sisteminin işletilmesinin zaman üzerinden
taklit edilmesidir. Sistem objeleri arasında tanımlanmış ilişkileri içeren sistem veya süreçlerin
bir modelidir.
Simülasyon bir araçtır. Simülasyon günümüzde mevcut olan ve daha önemlisi de yarın
da mevcut olabilecek işlemler hakkında objektif bilgiler sağlar. Simülasyon gerçek bir şeyin
taklit edilerek yapılmasıdır. Simülasyon, taklit edilen gerçek bir olayın genelde bilgisayar
yardımıyla modellenmesidir. Örneğin bilgisayar üzerindeki bir uçuş simülatörü, uçuşun bazı
kurallarının bir bilgisayar üzerinde öğretilmesi amacıyla kullanılan bir Simülasyon modelidir.
Pilotun kokpitte göreceği ekranın bir benzerini bilgisayar ekranında görmesi ve uçuşu kontrol
etme işlemlerini sanki de gerçekten uçaktaymış gibi yapması, bir simülasyon olayıdır.
Simülasyon, bir gerçek yaşam sisteminin davranışsal özelliklerini sergileyen bir
modelin kullanımını kapsayan bir analiz yöntemidir. Bu tanımı dikkate alarak günümüzde
simülasyon birçok problemin davranışlarını analiz ederek bir karar verme ortamı
hazırladığından birçok alanda başarıyla kullanılır. Bu alanlardan bazılarını aşağıdaki şekilde
sıralamak mümkündür.
308
• Tıp alanında bazı araştırmacılar bazı ilaçları hayvanlar üzerinde deneyerek bunların
insanlarda yaratacağı etkiler konusunda bilgi sahibi olmaya çalışırlar.
• Uçak tasarımcıları geliştirdikleri uçakları hava tünellerinde deneyerek bu uçakların
çeşitli hava koşullarına karşı gösterecekleri etkileri hesaplamaya çalışırlar
• Gelecekte uzaya ilişkin çeşitli görevlerin başarıyla yerinene getirilebilmesi için
NASA ve benzeri kuruluşlar uzaydaki koşullara benzer ortamlar yaratarak astronotların bu
ortamda yaşamlarını sürdürmelerine olanak sağlarlar.
• Pilotlar gerçek uçuş yapmadan önce çeşitli uçuş simülatörlerinde yüzlerce kez
kalkış ve iniş yapmaları konusunda eğitilirler. Böylece hiçbir tehlike olmaksızın güvenli kalkış
ve inişi öğrenirler.
• Otomotiv endüstrisinde güvenlik uzmanları içinde mankenler olan çeşitli deneme
çarpışmaları yaparak araçların güvenliğini geliştirirler.
• Dünyadaki genel nüfus artışı, istihdam hacmi, tüketim hızı, üretim hızı, ülkelerin
milli gelirleri, çevre kirliliğinin artış hızı, petrol ve benzeri kaynak tüketim hızı, iklimsel ve
atmosferik değişiklikler dikkate alınarak gelecekte ortaya çıkabilecek olumsuz sonuçlar
gerçekleşmeden önce simülasyonla belirlenebilir ve bu parametreler değiştirilerek
olumsuzlukların gerçekleşmemesi için alınması gereken önlemler belirlenebilir.
Simülasyon işletmeciliğin hemen her alanında başarıyla kullanılabilir. Örneğin
envanter, kuyruk, bütçe kontrol, nakit akışı, borsa hareketlerinin incelenmesi, ihalelerin
kazanılması konusunda açık arttırma ve eksiltme olaylarının incelenmesi, büyük projelere
ilişkin farklı faaliyet sürelerinin toplam projeye ilişkin etkilerinin incelenmesi, petrol, altın,
hisse senedi ve benzeri değerli mal ve hizmet borsalarındaki fiyat değişimlerinin ekonomilere
etkisi, pazar paylarındaki değişimlerin veya talep belirsizliklerinin işletmenin finansal yapısı
üzerindeki etkileri, ve benze birçok konuda simülasyon başarı ile kullanılır.
309
12.1. Simülasyon Modellerinin Sınıflandırılması
12.1.1. Statik Simülasyon Modelleri
Bir sistemin bir andaki veya dönemdeki durumu söz konusu ise buna ilişkin olarak
(zaman boyutunu içermeyecek biçimde) kurulan model statik bir model olacaktır. Genellikle
statik simülasyon modelleri Monte-Carlo simülasyonu olarak adlandırılmaktadırlar.
12.1.2. Dinamik Simülasyon Modelleri
Zaman üzerinde gelişen sistemlerin gösterimini sağlayan simülasyon modellerine
dinamik modeller adı verilmektedir. Bu modeller zaman değişimi ile karşılıklı olarak etkileşimi
olan matematiksel modellerdir.
12.1.3. Deterministik Simülasyon Modelleri
Davranışı daha önceden tahmin edilebilen ve gelecekte ne tür davranışlara gireceği
bilinen modeller deterministik modellerdir. Sistemdeki mekanizma açık ve belirgin bir şekilde
tanımlanır. Deterministik modellerde dışsal (eksojen) ve içsel (endojen) değişkenler rassal
değildir.
12.1.4. Stokastik Simülasyon Modelleri
Davranışı daha önceden bütünüyle kestirileme-yen modeller stokastik modellerdir.
Yani, bazı olayların hangi olasılıklarla meydana geleceği hakkında çeşitli söylemler
oluşturulabilir. Bu tip modellerde girdi değerleri ve süreç, olasılık dağılımları ile temsil
edilebilmektedirler. Stokastik modeller deterministik modellerden daha karmaşık olduğu için
bu modellere çözümler bulmak ve bulunan çözümlerin analitik olarak yeterli olması oldukça
güçtür. Bu açıdan simülasyon tekniği stokastik modellerin analizi ve çözümünde en çok
başvurulan temel tekniklerden biri olmuştur.
12.2. Çeşitli Dağılımlara Uygun Rasgele Sayı Üretimi
Bir simülasyon modeli kurabilmek ve onu işletebilmek için bağımsız değişkenlerin
geçmişteki değerlerine ilişkin dağılımlar belirlenerek bu dağılımlara uygun rasgele sayılar
üretmek gerekmektedir. Bu bölümde özellikle Elektronik tablo yardımıyla simülasyon
modellerinin çözümü ele alındığından bu tabloda mevcut dağılımlara uygun rasgele sayı üreten
fonksiyonlar ve güvenilirlikleri ele alınacaktır. Excel’de rasgele sayı üretimi RAND() (Türkçe
Excel’de S_SAYI_ÜRET()) isimli fonksiyon yardımı ile üretilir. Bu fonksiyon 0-1 arasında
rasgele sayılar üretir. Bu fonksiyon tarafından üretilen rasgele sayılarda iki temel özelliğin
bulunması gerekmektedir.
• Bu fonksiyon tarafından 0-1 arasında üretilen tüm rasgele sayıların dağılımı düzgün
olmalıdır. Bu kavramı örnekler yardımıyla açıklamak yararlı olacaktır. Örneğin RAND()
310
fonksiyonu ile üretilen sayıların %10’u 0,00 ile 0,10 değerleri arasında olmalıdır. Yine RAND()
fonksiyonu tarafından üretilen rasgele sayıların %30’u 0,40 ile 0,70 arasında olmalıdır. Yine
örneğin bu fonksiyon tarafından üretilen rasgele sayıların %50’si 0,40 e 0,90 arasında olmalıdır.
Bu örnekleri çoğaltmak mümkündür. Bu durum rasgele sayıların 0-1 aralığında UNİFORM bir
dağılım gösterdiğini ifade eder. Yapılan test çalışmaları sonucunda RAND()
(S_SAYI_ÜRET()) fonksiyonunun bu dağılıma uygun rasgele sayılar ürettiğini göstermiştir.
• RAND() fonksiyonu tarafından üretilen rasgele sayıların her birinin üretilmesi
olasılığının diğerinden bağımsız olması gerekmektedir. Örneğin A1 hücresinde üretilen rasgele
sayı 0,98 ise A2 hücresinde üretilecek sayının 0,50’den büyük olma olasılığı yine %50
olmalıdır. Bir başka ifade ile hiçbir rasgele sayının çıkma olasılığı bir önce çıkan sayı ile ilişkili
olmamalıdır. Yine yapılan testler RAND() (S_SAYI_ÜRET()) fonksiyonunun bu açıdan yeterli
olduğunu göstermektedir.
Yukarıda belirtilen özellikleri dikkate alarak özellikle sürekli dağılımlarda bu fonksiyon
hiç bir tereddüde yer bırakmadan kullanılabilir. Bu fonksiyonun yanı sıra
RANDBETWEEN(a;b) (RASTGELEARADA(a;b)) (� < . olmak kaydıyla) şeklinde yazılan
bir başka fonksiyon daha vardır. Bu fonksiyon a-b aralığında tamsayılar halinde rasgele sayılar
üretir. Sürekli ve kesikli sayı üretimi simülasyon modelleri için büyük önem taşır. Örneğin bir
günde satılan pasta sayısı kesikli rasgele sayıdır. Bir arabanın yakıt deposunda mevcut yakıt
miktarının tüketimi ile ilgili olarak kurulan bir simülasyon modelinde tüketilen yakıt miktarı
sürekli bir rasgele sayı ile temsil edilebilir. Bir simülasyon modeli kurulurken bağımsız
değişkenlere ilişkin dağılımlara uygun rasgele sayılar üretimi büyük önem taşır.
12.3. Bir Simülasyon Modelinin Çözüm Aşamaları
Simülasyona ilişkin tüm bu özellikler dikkate alınarak simülasyon modelleri
günümüzde birçok sorunun çözümünde kullanılmaktadır. Simülasyon tekniğini kullanarak
problem çözme süreci genel olarak altı aşamadan oluşur.
• Problemin tanımlanması ve amacın belirlenmesi
• Bilgi toplama
• Probleme uygun bir simülasyon modelinin oluşturulması
• Modelin doğruluğunun test edilmesi (Doğruluğu kanıtlanana kadar modelin
düzeltilmesi gerekir.)
• Oluşturulan simülasyon modelinin rasgele sayılar değiştirilerek işletilmesi (Bu
aşama amacı etkileyecek parametreleri değiştirerek değişik sonuçlar elde etmek amacıyla
tekrarlanabilir.)
• Simülasyon sonuçlarının değerlendirilmesi
311
Bu alanları sıralamak yerine bir simülasyon modelinin nasıl kurulduğunu öğrenmek ve
onu uygulamak problem çözüm yeteneğinin geliştirilmesi açısından büyük önem taşır.
12.3.1. Neden bir model kullanılır?
Simülatörde taklit ederek uçmak, gerçek bir uçakla uçmaktan daha emniyetli ve daha
ucuzdur. Endüstri ve sanayide modellerin kullanılma sebepleri, maliyetlerinin düşüklüğü,
tehlikeli olmayışları ve gerçek sistemler üzerinde deney yapmanın bazen imkânsızlaşmasıdır.
Gerçek sistemlere benzer modeller üzerinde deney yapmak, para ve zaman tasarrufu demektir.
Simülasyon ile modelleme;
(1) Sistemin davranışını tanımlama,
(2) Teori veya Hipotez kurma,
(3) Kurulan teoriyi sistemin gelecekteki davranışlarını tahmin etmek için kullanmak,
şeklinde bir deneme ve uygulama metodolojisidir.
12.4. Simülasyon ne zaman kullanılmalıdır?
Zamanla veya rasgele değişen sistemler için Simülasyon kullanılabilir. Örneğin bir
benzin istasyonuna gelen ve giden araçların zamana bağlı olarak değişimini inceleyelim. Böyle
bir sistem, dinamik sistem olarak adlandırılır. Ancak benzin istasyonuna bir sonraki arabanın
ne zaman geleceğini kimse tahmin edemez. Burada ise rasgele bir durum ortaya çıkmaktadır.
Karışık dinamik sistemlerin modellenmesi teorik olarak birçok basitleştirmelere
gereksinim duyar ve bu nedenle ortaya çıkan modeller geçerli olmayabilir.
Aşağıdaki koşullardan bir veya birkaçı bulunduğu zaman simülasyona başvurulmalıdır:
1. Problemin tam bir matematik formülasyonu mevcut değildir veya matematik
modelin analitik yöntemlerle çözümü henüz bulunamamıştır.
2. Analitik yöntemler çözüm için elverişlidir, ancak matematik yöntemler çok
karmaşıktır.
3. Analitik çözümler vardır ve kullanılabilir, ama problem üzerinde çalışanlarda bu
bilgiler yoktur.
4. Belirli parametrelerin tahmin edilmesi için simülasyona başvurulduğu gözlenmiştir.
5. Deneme yapma açısından simülasyon tek yol olabilir.
6. Sistemlerin veya süreçlerin davranış karakteristiklerini ortaya koymak zaman
gerektirebilir.
312
Gerçek sistemlerin davranışlarını araştırmak için kullanılan simülasyon çalışmalarının
aşamaları aşağıda verilmektedir:
1. Sistem Tanımı: Sistemin sınırlarını, kısıtlarını ve etkinlik ölçüsünü belirleme
aşamasıdır.
2. Modeli Formüle Etme: Sistemi soyutlamak veya indirgemek için mantıksal bir akış
diyagramına aktarma işlemidir.
3. Veri Derleme: Modelin gerektirdiği verileri tanımlama ve onları kullanabilecek
ölçülere indirgeme aşamasıdır.
4. Modelin Dönüştürülmesi: Simülasyonun yapılacağı bilgisayarın diline modelin
tercüme edilmesidir.
5. Modelin Geçerliliğini Araştırma: Modelin güven seviyesini kabul edebilir hale
getirme ve gerçek sistem hakkında modelden yorum yapma aşamasıdır.
6. Stratejik Planlama: İstenilen bilgiyi sağlayacak olan bir denemenin tasarımıdır.
7. Taktik Planlama: Tasarımı yapılan denemede tanımlanan koşumlara ait testlerin
nasıl yapılacağının belirlenmesidir.
8. Deneme: İstenilen veriler ile simülasyonu gerçekleme ve duyarlılık analizlerini
yapma aşamasıdır.
9. Yorum: Simülasyon sonuçlarından çıkarımda bulunma aşamasıdır.
10. Uygulama: Modeli ve sonuçlarını kullanıma koymaktır.
11. Belgeleme: Proje faaliyetlerini raporlama ve modeli, kullanımını dökümante etme
aşamasıdır.
12.4.1. Simülasyonun Faydaları
1. Sistemin modeli kurulduktan sonra, farklı durumların analizi için istenildiği kadar
kullanılabilir.
2. Simülasyon yöntemleri, sistem verilerinin detaylı olmadığı durumlarda elverişlidir.
3. Simülasyon modeli üzerinde daha sonra yapılacak analiz için veri, çoğu kez gerçek
hayatta olduğundan daha ucuz elde edilir.
4. Simülasyon bir sistemdeki karmaşık etkileşimleri etüt etme ve bunlar üzerinde deney
yapma olanağını sağlar.
313
5. Simüle edilen sistemin ayrıntılı gözlemi (-ki sistemi simüle ederken yapılması
gereken işlemlerden biridir.) daha iyi anlaşılmasını, daha önce görülmemiş eksikliklerin
giderilebilmesini, daha etkin fiziksel ve operasyonel sistemin kurulmasını sağlayabilir.
6. Simülasyon, değişik koşullar altında sistemin nasıl olacağı hakkında çok az veya
hiçbir veriye sahip olmadığımız yeni durumlar üzerinde deney yapma amacıyla kullanılabilir.
7. Simülasyon analitik çözümlerin doğruluğunu gerçeklemek üzere kullanılabilir.
8. Simülasyon ile dinamik sistemlerin gerçek zamanı, daraltılmış veya genişletilmiş süre
içinde incelenebilir.
9. Simülasyon analistleri daha genel düşünmeye zorlar.
12.4.2. Simülasyonun Sakıncaları
1. Bir sistemin bilgisayar simülasyonunu kurmak ve geçerli olduğunu ispatlamanın
maliyeti çok yüksektir. Genel olarak her bir sistem için ayrı bir program yazma gereği vardır.
Simülasyon dilleri bu mahsurları bir dereceye kadar ortadan kaldırmıştır.
2. Kurulan bir simülasyon programının bilgisayarda çalıştırılması çok zaman alabilir.
3. Araştırıcılar simülasyon tekniğini öğrendikten sonra onu analitik yöntemlerin daha
uygun olduğu durumlarda da kullanma eğilimindedir.
12.5. Simülasyonda Kullanılacak Yöntemin Belirlenmesi
İncelenen sistemde eğer deney mümkünse öncelikle deney yapılmalıdır. Deney yöntemi
daima en iyi yöntemdir, çünkü tüm çevre şartları hesaba alınabilir. Dizayn seviyesi sırasında
diğer yöntemler kullanılsa bile, deney yöntemi sistemin final değerlendirilmesine daha çok
hizmet eder. Eğer deney yöntemi mümkün değilse, uygun bir analitik yöntem bulunmaya
çalışılır. Analitik yöntem de mümkün değilse, o zaman Simülasyon kullanılmalıdır.
Simülasyon, yukarıdaki kuralda görüldüğü gibi sadece son çare olarak kullanılmaz.
Simülasyon, orijinalde verilen sorulara sadece cevap sağlamakla kalmaz, daha ziyade analiz
edilmesiyle anlaşılmasına da katkıda bulunur. Simülasyon modelinin yaratılmasında hesaba
alınacak kesin şeyler neredeyse genelde ilk olarak orada elverişli bir durum ortaya çıkar.
Simülasyonu yapılan sistemin özelliği, hataları veya sistem dizaynı içerisindeki belirsizlikleri
ortaya koyabilir. Böylece hazır sistemin gelecekteki çok pahalı olacak güncelleştirilmesinden
kaçınmak için Simülasyon büyük yardım sağlayabilir.
Deney yöntemi en sağlıklı yöntemdir. Mümkün olduğu sürece kullanılmalıdır. Bu
yöntemin kullanılmasına uygun olmayan durumlar:
• Çok tehlikeli alanlar (Kritik duruma varmış bir nükleer reaktör santralinin
davranışlarında, bir jet motorlu uçağın inişinde vs.)
314
• Çok pahalı (Hasara sebebiyet verecek tüm durumlarda, kiralık telefon hattı ağı
üzerinden verilerin aktarımı için uzun deneysel çalışmalar vs.)
• Sistemin araştırılmasına imkân vermeyen durumlar (Dizayn seviyesinde mümkün
olan birçok alternatiflerin değerlendirilmesi)
Analiz yöntemi pratik yaşamda nadiren gerçek olan ve birçok kabule dayanan ve çoğu
kez matematiksel olarak yapılan bir Simülasyon tipidir. Analitik yöntemlerin dezavantajları çok
karmaşık cihazların kullanılması ve/veya hesaplamalarda çok uzun zaman harcanmasıdır.
Queuing ağ analizi buna bir örnektir. Diğer taraftan formülün kullanılması genelde hızlı sonuç
verir ve formüle basit farklı parametre değerleri ilave edilerek alternatif birçok durumlar test
edilebilir. Deneysel yöntemler için çok daha fazla zaman harcandığı durumlar ortaya çıkabilir.
Analizin diğer bir problemi, gerekli parametrelerin yokluğudur. Diğer Simülasyon sistemlerinin
tahmin edilen verileri kullanması, sonuçların güvenirliliğini azaltmaktadır.
Simülasyon de deneysel bir yöntemdir. Gerçek sistem ile deney yapmak yerine
deneyler Simülasyon modeli üzerinde yapılır. Simülasyonun birçok dezavantajları vardır. En
önemli dezavantajı Simülasyon modelinin yaratılmasındaki yoruculuk ve Simülasyon
modelinin programlanmasında kullanılan dilin (örneğin Pascal gibi) zorluğudur. Uygun
Simülasyon yazılımları bulunmaktadır, ancak maliyetlerinin yüksekliği nedeniyle alımı
güçleşebilmektedir. Bazı grafik tekniklerine dayanan Simülasyon yazılımları geliştirilmiştir.
Bu yazılımlar sayesinde belirli sistemler için Simülasyon modellerinin yaratılması otomatik
olarak yapılabilmektedir.
Sistemle ilgili mevcut sınırlı bilgiler kullanılarak simülasyonu yapılır. Her şeyden önce
bazı nicelik parametrelerinin bilinmesi zorunludur. Yukarıdaki örnek için varış ve rasgele servis
süreleri arasında rasgele aralıkların türetilmesi gerekir. Bu olayda Simülasyon yöntemi analiz
yönteminden daha esnektir. Çünkü Simülasyon dilleri rasgele sayıları herhangi bir dağılımın
pratikliği ile üretmeyi desteklemektedir. Herhangi bir dağılım hiçbir zaman ne birkaç parametre
(eğer o teorik ise) ne de doğrudan dağıtım fonksiyonuna (eğer dağıtım ölçme ile sağlanmışsa)
gereksinim duyar. Sistem içerisinde dizayn seviyesinde tipik olarak ortaya çıktığı gibi
sayılamayan durumlar ortaya çıkabilir ve genellikle bilincinde olmadığımız gerçekleri
kabullenmek durumuyla karşı karşıya kalabiliriz.
Hesaplamalarda zaman tüketimi çok olabilir. Birçok parçasıyla paralel olarak çalışması
gereken büyük skala sistemlerinin analizi bu duruma iyi bir örnektir. Çünkü gerçek paralel
uygulamaları henüz yaygın kullanılmamaktadır. Böyle sistemlerde tek bir işlemci ile yapılan
bir programla Simülasyon yapılır. Paralel faaliyetler o zaman aynı anda yapılır. Bunun sonucu
Simülasyonun gerçekliliği, gerçek zamandan çok daha yavaş olur. 1 saniyelik bir model
zamanı, 10 dakika CPU zamanı alır. Elbette ki bu durum gerçek zaman kontrolünde Simülasyon
uygulamasını geçersiz kılabilir.
315
12.6. Simülasyon Nasıl Yapılır?
Bir benzin istasyonu ile ilgilendiğimizi varsayalım. Benzin istasyonunda bulunan araba
sayısını, sistemin durumunu zamana bağlı olarak grafiksel olarak çizmek isteyelim. Her araba
benzin istasyona ulaştığında grafik zamana bağlı olarak bir birim artırılırken, benzin
istasyonundan ayrılan her bir araba için de grafikte bir birim düşüş olacaktır. Gözetleme
sonuçlarının kâğıda aktarılması olarak tanımlanan bu grafik, yapay olarak da çizilebilir.
Uygulamanın yapay olarak yapılması ve analiz edilmesi bir simülasyondur.
12.7. Simülasyonda Dağılımın Belirlenmesi
Üniform, normal, poisson, binomial, gamma vb. gibi teorik dağılımlarla belirlenen
olayların gözlem veya tecrübe verilerine bu dağılımlar uydurulabilir. Uydurma işlemi ise
dağılım parametrelerinin belirlenmesi anlamına gelmektedir.
Aday dağılımı iki parametrenin fonksiyonudur ve çoğu kez bu parametreler örnek
ortalaması ve örnek varyansıdır.
4 = toplam örnek hacmi = )')"
µ ; sınıf veya aralık sayısı
�); kesikli veri üzerinde çalışılması halinde i. aralıktaki orta değeri veya i. sınıfın değeri
); i. sınıf veya aralıktaki frekans olmak üzere ortalama veya varyans formülleri
şöyledir:
H = ∑ �))')"4 f� = ∑ �)� − 4H�')"4 − 1
Sistem elemanlarının bazıları stokastik davranış gösterirse, simülasyon çalışmaları
sırasında çoğu kez ortaya çıkan problem gözlem frekanslarının teorik frekanslar kümesine
uygunluğunun test edilmesidir.
Bu durumda sorulacak soru şudur; Eldeki veriler veya örnek değerler teorik olasılık
dağılımından gelmekte midir? Gözlem verilerinin frekansı teorik frekanslara uygun düşerse ana
kütleyi temsil etmek üzere kurulan model kullanılabilir.
Örnek: Kardeşler Kırtasiye Uygulaması
Akman Kırtasiye'nin müdürü Ayhan Bey, ağustos ayında gelecek yıla ilişkin kaç adet
ajanda sipariş edeceğine karar vermek istemektedir. Her ajandanın birim maliyeti 7,5 TL'dir.
Gelecek yıl için planlanan birim satış fiyatı 10 TL'dir. 1 Şubata kadar satılamayan ajandalar, 3
TL'ye daha küçük kırtasiyecilere satılabilmektedir. Ayhan Bey, geçmiş yıllardan elde ettiği
316
tecrübelerini dikkate alarak ocak ayında satılan ajandalara ilişkin satış miktarlarının Tablo-
12.1'deki gibi olduğunu ve Uniform (Düzgün) Dağılıma uygun dağıldığını belirlemiştir.
İstenen:
Ayhan Bey ajanda satışından elde edeceği kârı maksimize etmek istemektedir.
Simülasyon yöntemini kullanarak Ayhan beyin ağustos ayında sipariş edeceği ajanda miktarını
belirleyiniz.
Şekil 22 Ocak ayında Satılan Ajanda Sayılarının Dağılımı
Satış Miktarları Olasılıkları
500 0,20
750 0,30
1000 0,30
1250 0,15
1500 0,05
Çözüm Süreci:
Çözüm sürecinin ilk aşaması olan “Problemin Tanımlanması” yukarıda yapılmıştır.
Daha sonra “İstenen” başlığı altında bu simülasyondan beklenen sonuç bir başka ifade ile amaç
tanımlanmıştır. Bu probleme ilişkin geçmiş dönem bilgileri toplanarak bu bilgiler Tablo-
12.1’de verilmiştir. Bu aşamadan sonra sıra model kurmaya gelmiştir. Verilen probleme ilişkin
modeli kurmadan önce yukarıda verilen uniform dağılıma uygun olarak üretilecek rasgele
sayıları esas alarak talep değerlerini üretmek için önce kümülatif (birikimli) sayılar tablosunun
hazırlanması gerekmektedir. Yukarıdaki değerlere ilişkin kümülatif sayılar tablosu Tablo-
13.2’de verilmiştir. Bu tablo yakından incelendiğinde 1 − 100 arasında rasgele olarak
üretilecek sayıların satış miktarlarını temsil etme olasılıklarının Tablo-13.1’de verilen
olasılıklara eş olacak şekilde tasarlandığı görülecektir. Örneğin “500” adet ajanda satma
olasılığı 0,20’dir. Bu bilgi ışığında Tablo-12.2’de “100” adet rasgele sayıdan 1-20 arasındaki
sayıların çıkma olasılığı 0,20’dir. Yine “750” adet ajanda satma olasılığı 0,30’dur. Bu bilgiyi
esas alarak ilk %20’lik dilimi izleyen %30’luk dilim ise 1-100 sayı arasında, 21-50 (50-21=30)
arasında çıkacak “30” sayının rasgele sayılar olasılığı (30/100=0,30) % 30’dur. Diğerleri de
aynı şekilde planlanır.
317
Tablo – Kümülatif Sayılar Tablosu
Satış Miktarları Alt Limit Üst Limit
500 1 20
750 21 50
1000 51 80
1250 81 95
1500 96 100
Bu tablonun hazırlanma amacı 1-100 arasında çekilen rasgele sayıların verilen
dağılıma uygun olarak düşeceği aralıkları ve bu aralığa karşı gelen talebi belirlemektir. Örneğin
ilk rasgele sayı “54” ise yukarıda verilen tabloda bu sayı, 51-80 aralığına düşmektedir. Bu
durum ise 1000 adet talebe karşı gelmektedir. MS Excel yardımıyla rasgele sayı seçimi yapılır.
Burada seçilen rasgele sayılar size doğrudan verilecektir Verilen rasgele sayıların karşı geldiği
talepler bulunarak verilen sipariş miktarı ve bulunan talep değerleri dikkate alınarak maliyet,
gelir ve kâr değerleri hesaplanabilir. Sipariş değerleri değiştirilerek bulunan kâr değerleri bize
yapılacak sipariş miktarı hakkında bir fikir verebilir.
Çözüm:
Yapılan “100” adet simülasyon işleminde sipariş miktarının “1000” adet olduğu
varsayılmıştır.
318
Deney
No
�
Sipariş
Miktarı
Rasgele
Sayı
�
Talep
Miktarı
Satılan
Miktar
�
Toplam
Gelir
�â
Toplam
Maliyet
�� Dönem
Karı
þ
1 1000 10 500 500 6500 7500 -1000
2 1000 24 750 750 8250 7500 750
2 1000 87 1250 1000 10000 7500 2500
4 1000 74 1000 1000 10000 7500 2500
5 1000 19 500 500 6500 7500 -1000
6 1000 40 750 750 8250 7500 750
7 1000 90 1250 1000 10000 7500 2500
8 1000 32 750 750 8250 7500 750
9 1000 88 1250 1000 10000 7500 2500
10 1000 56 1000 1000 10000 7500 2500
… … … … … … … …
100 1000 36 1000 750 8250 7500 2500
Simülasyon Sayısı=Deneme sayısı; 4 (Toplam deneme sayısı 4 = 100) Sipariş Miktarı: � = 1000Adet Ajandanın birim maliyeti: � = 7,5í�
Ajandanın birim satış fiyatı: ù = 10í�
Ajandadan satılmayan miktar; � − ú Hurda değeri; f = 3í�
Satılan Miktar; ú Toplam Gelir; Ò
319
Toplam Maliyet; í� Dönem Karı (Profit)= Toplam Gelir−Toplam Maliyet; = Ò − í�
Ò = ù. ú + f. (� − ú)
í� = �.�
= ù. ú + f. (� − ú) − �.�
H= �=Ortalama Kar =∑ )�)"4 =1275 TL
f=Standart Sapma =f� = ∑ )� − 4H��)"4 − 1 =1440,7 TL
Normal Dağılım Tablo Verisi; %95 güven aralığı üst sınırı; ��� = 1,96
Normal Dağılım Tablo Verisi; %95 güven aralığı alt sınırı; ��� = −1,96
Güven Aralığı (Üst) =H+��� . f√4 =1275+1,96. 1440,7√100 = 1557,4TL
Güven Aralığı (Alt) = H– ��� . f√4 =1275– 1,96. 1440,7√100 = 992,6 TL
320
Simülasyon Tablosunu Kullanarak En İyi Sipariş Miktarının Bulunması
Yukarıda verilen Tablo – 12.4.3’de “1000” adet sipariş edilmesi halinde yapılan “100”
adet simülasyon sonucunda “1.328” TL. ortalama kâr elde edilmiştir. Bu değer bize sadece
“1000” adet sipariş verilmesi halinde elde edilecek ortalama kâr hakkında bilgi vermektedir.
Oysa problemin temel amacı, en çok ortalama kâr sağlayacak sipariş miktarının bulunmasıdır.
Bu değeri bulmak için yukarıda verilen simülasyon tablosunu kullanarak çeşitli sipariş
miktarları için güvenilir ortalama kâr değerleri bulup bu değerler ışığında en iyi sipariş
miktarını bulmaktır Bu amacı gerçekleştirmek için sipariş miktarı 500, 550, 600, 650, 700,
750, 800, 850, 900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 1250, 1300, 1350, 1400, 1450 şeklinde
değiştirilerek bu değerleri esas alan “100”’er adet simülasyon yapılmıştır.
Tablo-Çeşitli Sipariş Miktarları için Ortalama Kâr ve Standart Sapma Değerleri
Sipariş Miktarı Ortalama Kâr Standart Sapma
500 1.250 0
550 1.319 129
600 1.360 281
650 1.436 405
700 1.554 488
750 1.578 661
800 1.545 713
850 1.488 906
900 1.389 1.097
950 1.332 1.174
1000 1.328 1.294
1050 1.120 1.399
1100 913 1.398
1150 817 1.449
1200 711 1.596
1250 500 1.696
1300 321 1.749
1350 -59 1.822
1400 -165 1.974
1450 -264 1.833
321
12.8. Simülasyonda Deneme Sayısının Bulunması
Simülasyonlarda deneme sayısının bulunması simülasyonun güvenilirliği açısından
büyük önem taşır. % 95 güvenilirlikle güven aralığının daraltılması için tek seçenek daha fazla
simülasyon yapmaktır. Örneğin % 95 güven seviyesini (katlanılacak risk seviyesi=anlamlılık
düzeyi=α=0.05) olmak üzere esas alarak güven aralığının belirli bir “�” değerine eşit olmasını
sağlayacak simülasyon sayısı “4” değeri;
4 = (��/�)�. f���
formülü ile bulunur. Bu formülde bulunan hata; � size verilir. Bu formülde ��/Y ifadesi,
belirlenen risk düzeyinin yarısını ve ortalaması “0”, standart sapması “1” olan bir normal
dağılımı esas alarak tek yönlü bir tablodan bulunacak güvenilirlik katsayısını temsil etmektedir.
Standart sapma f = 1440, � = 100 için simülasyon deneme sayısı;
4 = (1.96)�. 1440�100� = 172deneme olarak bulunur.
Örnek:
Bir parçanın montaj süresine ilişkin olasılık dağılımı yandaki gibidir. 10 kez yapılan
montaj için aşağıda verilen rasgele sayıları kullanarak, verilen dağılıma göre “ortalama montaj
süresini” belirleyiniz. Rasgele Sayılar (�): 04, 95, 45, 21, 44, 57, 03, 98, 98, 10 Montaj Süresi (Dakika) Frekans
5 20
6 30
7 20
8 10
9 10
10 10
322
Çözüm:
İlk olarak kümülatif frekans tablosu oluşturulur.
Süre Frekans Kümülatif Frekans Monte – Carlo Aralığı
5 20 20 01-20
6 30 50 21-50
7 20 70 51-70
8 10 80 71-80
9 10 9r0 81-90
10 10 100 91-100
Montaj 10 kez tekrarlar. Elde edilen değerler şöyledir.
Ortalama Montaj Süresi = 70/100 = 7Dakika
Montaj No Rasgele Sayı Simüle Montaj Süresi
1 4 5
2 95 10
3 45 6
4 21 6
5 44 6
6 57 7
7 3 5
8 98 10
9 98 10
10 10 5
Toplam Montaj Süresi 70 Dakika
Bir iş yerindeki otomatik içecek makinesinde kola, enerji içeceği ve meyve suyu olmak
üzere üç çeşit içecek bulunmaktadır. Müşteriler makineye ortalama olarak 5 dakikada bir
gelmektedir. 5 dakikada bir gelen müşteri sayısına ait olasılıklar ile müşteri tercihlerine ait
olasılıklar aşağıda verilmiştir. Başlangıçta makinede 8 kutu kola, 5 kutu enerji içeceği ve 7 kutu
323
meyve suyu mevcuttur. Ayrıca, aynı anda makineye gelen her bir müşteri farklı tipte bir içecek
talep edebilmektedir.
Müşteri Sayısı Olasılık (%) Müşteri Tercihi Olasılık (%)
0 30 Kola 50
1 40 Enerji İçeceği 20
2 30 Meyve Suyu 30
Rastgele Sayılar (Müşteri sayısı için): 93, 63, 26, 46, 71, 26, 70, 55, 72, 89, 49, 64,
91, 02, 52, 69, 29, 96, 95, 84, 61, 09, 06, 01, 64, 90, 63, 25, 56, 24, 67, 83.
Rastgele Sayılar (İçecek türü tercihi için): 13, 08, 60, 14, 68, 41, 40, 27, 73, 64, 36,
56, 25, 88, 19, 75, 29, 80, 25, 05, 64, 71, 83, 74, 01, 95, 76, 82, 40, 58, 30, 38, 84, 73.
324
Uygulamalar
İki işçinin çalıştığı bir montaj hattında A işçisinin üretimi B işçisinin hammaddesi
olmak üzere seri halinde tasarlanmıştır. A işçisi için yandaki veriler geçerlidir:
Montaj Süresi
(Dakika/Birim) Olasılık
Kümülatif
Olasılık
Monte Carlo
Sayısı
0,500 0,10 10 01-10
0,333 0,50 60 11-60
0,250 0,30 90 61-90
0,200 0,10 100 91-100
B işçisinin performansı yandaki verilerle belirlenmektedir:
Montaj Süresi
(Dakika/Birim) Olasılık
Kümülatif
Olasılık
Monte Carlo
Sayısı
0,500 0,10 10 01-10
0,333 0,30 40 11-40
0,250 0,50 90 41-90
0,200 0,10 100 91-100
Montaj hattının üretimini 10 gün için simüle ediniz ve B işçisinin boş zamanını
bulunuz.
A için Rasgele Sayılar: 96,03,22,63,55,81,06,92,96,92
B için Rasgele Sayılar: 11,59,81,61,17,45,50,99,16,10
325
Uygulama Soruları
1) Bir işyerinde mesai saat 9 da başlıyor ise, çalışanların işyerine gelişi hangi dağılıma
uyar?
2) Simülasyonun kullanımına hangi tip işletme problemlerinde sıkça karşılaşılır?
326
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde simülasyon kavramı, simülasyonun kullanım alanı, simülasyonun avantaj
ve dezavantajları, Monte Carlo simülasyonunun nasıl gerçekleştirildiği anlatılmıştır.
327
Bölüm Soruları
1) Simülasyon makul bir hesaplama süresi sonunda optimal sonucu bulur.
a) Doğru
b) Yanlış
2) Basit bir bekleme hattı modelinde simülasyon kullanımı normal bekleme hattı
modeline nazaran yönetsel karakteristik tespitini kolaylaştırmaktadır.
a) Doğru
b) Yanlış
3) Aşağıda verilen tablo bilgilerine göre;
Tesadüfi olarak belirlenen rasgele sayı 68 olduğuna göre, montaj süresi ne kadar olur?
a) 0,5 dakika / birim
b) 0,333 dakika / birim
c) 0,250 dakika / birim
d) 0,200 dakika / birim
e) 1 dakika / birim
4) Simülasyon ile birden fazla alternatif değerlendirilerek bir alternatifin seçimi
yapılabilir.
a) Doğru
b) Yanlış
328
5) Simülasyon ile tüm muhtemel çözümlerden oluşan çözüm uzayı incelenerek optimal
çözüm bulunması durumunda hesaplama süresinde çok az bir artışa katlanılır.
a) Doğru
b) Yanlış
6) Excel fonksiyonlarından RAND() 0-1 aralığında rassal sayı oluşturmak için
kullanılır.
a) Doğru
b) Yanlış
7) Excel fonksiyonlarından RANDBETWEEN() 0-1 aralığında rassal sayı oluşturmak
için kullanılır.
a) Doğru
b) Yanlış
8) Excel üzerinde = BINOM.INV(n, p, RAND()) işlevi kullanıldığında aşağıdaki
dağılımlardan hangisine uygun sayılar elde edilir?
a) Uniform
b) Beta
c) Gama
d) Binom
e) Poisson
9) Excel üzerinde Uniform dağılıma uygun rassal sayılar üretmek için =a+(b-
a)*RAND() işlemi kullanılabilir.
a) Doğru
b) Yanlış
Cevaplar
1) b, 2) b, 3) c, 4) a, 5) a ,6) a, 7) b, 8) d, 9) a
329
13. ŞEBEKE PROGRAMLAMADA KRİTİK TOL YÖNTEMİ (CPM)
330
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
13.1. Şebeke Zaman Planlama ve Programlama
13.2. Kritik Yol Yöntemi
13.3. Şebeke Diyagramı
13.4. Proje Süresi
331
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Kritik yol yönteminde faaliyetlerin bolluk süreleri nasıl hesaplanır?
2) İleriye doğru hesap nedir?
3) Geriye doğru hesap nedir?
332
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Şebeke programlama
Şebeke diyagramı
Şebeke (Ağ) diyagramını
oluşturabilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
örnek çözerek
Kritik Yol Yöntemi
(CPM)
Kritik yolu ve kritik
faaliyetleri belirleyebilmek
Okuyarak, Tekrar yaparak,
örnek çözerek
333
Anahtar Kavramlar
• Şebeke (Ağ)
• Network Diyagramı (Ağ diyagramı)
• Kritik Yol
• ES, EF, LS, LF
• Bolluk Süresi (Slack time)
334
Giriş Planlama ve ardından yapılan programlama geleceğe yönelik yapılacak işleri, izlenecek
yolları önceden tasarlama işlemidir. Proje ulaşılmak istenen sonuç, proje planlama ise
ulaşılması hedeflenen sonucun planlamasıdır. Planlama akılcı bir girişim ve yönetim biçimi
olup yapılan plana göre karar verilir ve seçim yapılır. Planlama yapılırken karar vermede
kullanılan araçlar değil, karar verme işlevinin nasıl başarılacağı önemlidir.
Kritik yol (CPM) ile programlamada, şebekenin bütün faaliyet sürelerinin bilinmesine
ihtiyaç vardır. Bazı yatırımlarda, şebekenin bazı faaliyetlerinin süreleri tam olarak bilinemez.
Eğer süresi belirsiz olan bu faaliyet kritik yörünge üzerinde değilse ve bulunduğu düğüm
noktalarında büyük zaman boşlukları varsa gene CPM tekniği ile programlama yapma imkan
dâhilindedir.
Ancak süreleri belli olmayan faaliyetler kritik yörünge üzerinde ise, artık yatırımın
tamamlanma süresinin tayini bile mümkün değildir. Bu hallerde yatırımların planlanması PERT
yönetimi ile yapılmalıdır. Çünkü daha önceki bölümlerde belirtmiş olduğumuz gibi yeniden
gözden geçirme tekniği olarak bazı kitaplarda isimlendirilen PERT yönetiminde, belirsiz
süreler, ihtimaller hesabına göre bulunabilmekte ayrıca yatırımın toplam süresinin programa
göre yüzde kaç ihtimalle tamamlanabileceği de hesaplanabilmektedir.
Kritik yol (CPM) yöntemine göre bir yatırımın programlanmasında en önemli iş gene
insan zekâsına düşmektedir. Çünkü programın yapılmasına, faaliyetler arasındaki bağıntılar da
göz önüne alınıp şebeke şekline getirilerek kurulması için herhangi bir yardımcı yöntem veya
makine mevcut değildir. Bir sebeple, şebekenin kurulmasında programı yapanın teorik ve pratik
bilgisi ile yatırımı oluşturan faaliyetler hakkındaki bilgisi çok önemli rol oynar.
Ancak hemen hatırlatmamız yerinde olur ki, CPM yöntemi ile programlama yapılması,
o işin en iyi şekilde planlandığı manasına gelmez. Faaliyetler arasındaki bağıntıların doğru
seçilmemesi, düşünülenlerin grafik olarak, şebekeye tam aktarılamaması ve şebekeyi oluşturan
faaliyetlerin tamamlanma sürelerinin tahmininde yapılan hatalar yöntemin önemini ve sıhhat
derecesini yitirir. Bu nedenle şebekenin kurulmasında çok dikkatli olmak, yatırımı
gerçekleştirecek kuruluşların bütün şart ve imkânlarını (insan gücü, makine kapasitesi, mali
durum vs.) bilmek zorunludur.
Kritik yol (CPM) yönteminin, şebeke prensipleri dâhilinde PERT yöntemi ile beraber
en çok kullanılabilir bir planlama ve kontrol yöntemi olduğu unutulmamalıdır. Esasen CPM ve
PERT teknikleri ilk kullanılmaya başlandığı zaman aralarında bazı farklar olmakla beraber son
20 yıl içinde bu farkların hemen hemen kalmamış olduğu belirtilebildiği gibi birçok yazar bu
iki tekniği prensip olarak bir arada tutup buna CPM-PERT adını vermektedir.
Böyle olmakla beraber CPM’ de projelerin planlama ve kontrolüne maliyet unsurunun
dâhil edilmesi bu yöntemin en belirgin özelliğidir. Zamandan tasarruf doğaldır ki maliyetten
tasarruf neticesini verecektir. Zira yukarıda da değindiğimiz gibi CPM’ de zamanlama
tahminleri daha ileri yöntemlerle yapılabilmektedir.
335
Örneğin bina inşa eden bir firma CPM tekniği kullanarak zaman/maliyet tahminlerini
ve eski deneyimlerden istifade ederek bunların ilişkilerini daha iyi hesap edebilir. Diğer taraftan
aya füze atılmasını öngören bir projeyi ele alalım. Bu proje ilk olarak tatbik edildiğinde PERT
kullanılacak ve maliyet unsuru belli olmadığından masraflar muhtemelen gelişigüzel olacaktır.
Ancak tekrar edelim ki, yukarıdaki ifadede CPM’i sadece müteahhitler ve PERT’in de sadece
uzay problemleri ile uğraşanlar için yararlı olduğunu ileri sürmek istemiyoruz. Hangi projede
hangi yöntemin kullanılacağını projenin özelliği tayin edecektir. Kaldı ki, kritik yol (CPM),
PERT tekniğinin özel hallerinden biri olarak kabul edilebilmektedir.
336
13.1. Şebekenin Kurulması
Yatırımlara ait iş programı yapılırken önce şebekenin önemli faaliyetlerini içine alan
ana şebeke kurulur. Bu şebekedeki faaliyetler arasındaki bağlantıların doğruluğu her faaliyet
için şu üç soru kontrol edilmelidir.
Hangi işler (faaliyetler) bu faaliyetten bağımsız olarak yapılabilir ve bu faaliyetin
başlamasından evvel bitirilmelidir. Hangi işler bu faaliyetle paralel olarak başlayabilir. Hangi
işler bu faaliyetin bitiminden sonra başlamalıdır. Bu üç sorunun yanıtı sıra ile tam olarak
şebekede görünüyor ise, ana şebekedeki önemli faaliyetler kendi içinde parçalanarak kademe
kademe daha detaylı şebekelere seçilir. Konuyu daha anlaşılabilir bir ifade ile belirtmek
gerekirse;
• İşlerin bağımsız parçalara bölünmesi,
• Hangi faaliyetlerin birbirini izlediklerinin tespiti,
• Faaliyetlerin kronolojik bir tarzda, aralarındaki bağıntı ve ilişkilerde göz önünde
bulundurularak şemalandırılması gerekir.
İlk çalışmalarda yalnız faaliyetler arasındaki lojik bağlantılar göz önünde
tutulacağından faaliyetlerin süre tahminlerini yapmaya lüzum yoktur. Örneğin aşağıdaki
şekilde bir sınai yatırıma ait programın ön çalışmaları gösterilmiştir.
13.2. İş Programlarının Hesaplanmasında Genel Bilgiler
Kritik yol (CPM) yöntemiyle hazırlanmış yatırım iş programları aşağıdaki sorulara yanıt
verecek şekilde hesaplanırlar.
• Yatırım süresi ne kadardır?
• Hangi faaliyetler yatırımın toplam süresini doğrudan doğruya etkiler ve bunların
tamamlanma sürelerinde yapılacak değişiklikler tümüyle yatırım süresine tesir eder?
• Hangi faaliyetlerde belirli bir terminde bitirme mecburiyeti yoktur, bunlar bir
zaman aralığı içinde istenilen bir tarihte başlayıp bitirilebilirler?
• Faaliyetlerin, programın müsaade ettiği zaman aralıkları ne kadardır?
• Hazırlanmış bir iş programında, yukarıda belirtilen soruların cevaplarını hangi
tesirler bozar veya meydana gelebilecek hangi şartlar etkiler?
CPM yönteminde de, olaylara ilişken en erken ve en geç tamamlanma zamanları PERT
yönteminde belirtildiği şekilde ele alınmakta ve hesap edilmektedir. Aynı şekilde faaliyetler
arasında zaman boşluklarının değerlendirilmesine ilişkin hesaplama yönteminde de bir
değişikliğin bulunmadığını belirtmek yerinde olur.
337
CPM tekniğinin PERT metodunun içinde onun özel bir hali olduğu göz önünde
tutulacak olursa ikisi arasında büyük çapta ortak yönlerin bulunabileceği anlaşılabilir.
13.3. Tabloların Düzenlenmesi
Şebeke analizinde son safhayı, bu safhaya kadar olay ve faaliyetlere ilişkin olarak
yapılan çalışmalardan elde edilen bilgilerin değerlendirilerek tablolar haline dönüştürülmesine
ilişkin çalışmalar teşkil etmektedir. Bu nedenle tabloların hangi veriler esas alınarak
düzenleneceğini kısaca görelim.
Tablonun düzenlenmesinde olay numaraları esas alınabilir. Bu numaralar zaten şebeke
diyagramı üzerinde mevcuttur. Bu bakımdan kolaylık sağlar. En erken başlama zamanları esas
alınabilir. Bu, ilerleme ile program arasında faydalı bir mukayese imkanı verir. Boş zamanların
esas alınması kritik veya kritik olmaya uygun faaliyetleri belirli hale getirmesi bakımından
tercih edilir. Faaliyetler konularına ve en erken başlama zamanlarının sorumluluklarına göre
tasnife tabi tutulabilirler. Bu da her bir sorumluluk alanı için programla fiziki ilerleme arasında
bir mukayese yapılabilmesini mümkün kılar. Şimdi konunun daha iyi anlaşılabilmesi için
aşağıdaki örnek projeyi ele alalım. Bu projenin çözümünde şu ana kadar kullandığımız zaman
kavramına bazı ilaveler yapmamız gerecektir. Bunlar da;
i) En Erken Başlama Zamanı (ES = The Earliest Starting): Bir projede en erken
başlama zamanı, o faaliyetin başlayabileceği mümkün olan en erken zamandır. Bir faaliyetin
en erken başlama zamanı kendisinden sonra gelen faaliyetin en erken başlama zamanından daha
küçük (erken) olmalıdır.
ii) En Geç Bitirme Zamanı (LF = The Latest Finishing): Bir bütün olarak projenin
en geç bitiş zamanını gösterir.
iii) Toplam Boşluk (Aylak Zaman) (TS= The Total Slack): Bir faaliyetin toplam
boşluğu, o faaliyetin en geç başlama zamanı ile en erken zamanı veya en geç bitirme zamanı
ile en erken bitirme zamanı arasındaki farktır. Kritik yol üzerindeki faaliyetlerin toplam boşluk
zamanları sıfırdır.
Boşluk değeri pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. Boşluğun sıfır çıkması faaliyetin
istenildiği gibi gerçekleşeceğini, pozitif çıkması projenin önünde gidildiğini, negatif olması da
projenin gerisinde kalındığını ve gerekli önlemlerin alınması gerektiğini belirtir.
13.4. Proje Planlamada Ağ (Network) Diyagramı
Proje ağ diyagramı projeyi planlama, zamanlama ve projenin süreçlerini izlemek için
tasarlanır. Ağ diyagramı İş Kırılım Yapısı (WBS) için toplanan bilgiler ışığında geliştirilir. Ağ,
tamamlanması gereken faaliyetleri, faaliyetler arası öncelik ilişkilerini, faaliyetler arası
bağımlılıkları gösterir. Ayrıca faaliyetlerin başlama ve bitiş süreleriyle, şebekenin en uzun
yolunu yani kritik yolunun proje katılımcıları tarafından kolayca gözlenmesini sağlar. Ağ
338
diyagramı projeye başlamadan önce yapılacak ilk temel iştir bu şekilde proje yöneticisi projenin
zamanını ve maliyetini tahmin eder.
Proje ağ diyagramı iyi tasarlanırsa proje katılımcılarının anlaması kolaylaşır ve plan
ilerlerken oluşan aksaklıklar bu şekilde herkes tarafından kolayca takip edilebilir. Yani ağın ilk
seferde iyi tasarlanması çok büyük önem taşır.
Yani kısaca özetlemek gerekirse projenin ağ diyagramı; işin ve kullanılan donanımın
programlanmasını sağlar, proje katılımcıları arasındaki iletişimi kolaylaştırır ve kuvvetlendirir,
proje süresinin tahminini içerir, bütçenin nakit akışının programlanmasını kolaylaştırır, kritik
faaliyetleri belirler ve kritik faaliyetlerin yani gecikme kabul etmeyen faaliyetleri vurgular.
Yani proje ağ diyagramları; planı önceden yaparak ve düzeltici geribildirimlere izin vererek
proje üzerinde oluşabilecek sürprizleri minimum düzeyde tutmayı sağlar.
13.5. İş Paketlerinden Ağ Diyagramlarına
Projenin ağ diyagramı tamamlanması gereken tüm faaliyetlerin sıralarını öncelik
ilişkilerini gösteren görsel akış diyagramıdır. Faaliyetler proje süresince zaman harcanması
gereken eylemlerdir. İş kırılın yapısındaki iş paketleri faaliyetleri ifade etmek için kullanılır.
Ağ diyagramları düğümlerden ve oklardan meydana gelir. Burada düğümler faaliyetleri ifade
ederken, oklar faaliyetler arasındaki bağımlılıkları ifade eder.
Projelerde faaliyetlerin altında iş paketleri kullanılabilir. Bu şekildeki planlama projenin
ağ diyagramı oluşturulurken çok önemlidir.
D-1-1
D-1-2
A
P-10-1
B
S-22-1
C
P-10-2
D
S-22-2
E
T-13-1
F
Şekil 23: Ağ (Network) Diyagramı
Yukarıda verilen şekilde faaliyetlerin ve faaliyetlerin altında yapılması gereken iş
paketlerinin belirlenmesinden sonra çizilen projenin ağ diyagramı görülmektedir. Bu ağ
diyagramında faaliyetler ve alt iş paketleri rahatça görülebilmektedir.
339
13.6. Proje Ağ (Network) Diyagramının Çizilmesi
13.6.1. Terminoloji
Faaliyet: Proje yöneticileri için faaliyet zaman harcanan elemanlardır. Bu zaman
harcama çalışırken ya da beklerken gerçekleşir.
Bileşke Faaliyet (Merge Activity): Birden fazla öncül faaliyet içerir. Başlaması için
birden fazla faaliyetin bitmiş olması gereken faaliyetlerdir.
Şekil 24: Bileşke Faaliyetin Gösterimi
Paralel Faaliyetler: Aynı anda gerçekleşebilen faaliyetlerdir. Ancak proje yöneticisi
paralel faaliyetlerin eş zamanlı gerçekleşmesini istemeyebilir.
Yol (Path): Ardarda gelen faaliyetlerden oluşturur. Bağımlılıklar açıkça görülebilir.
Kritik Yol: Ağ diyagramında oluşan en uzun yol ya da yollardır. Bu yol üzerindeki
faaliyetlerden herhangi birinde oluşacak gecikme projenin de uzamasına neden olur.
Olay (Event): Bu terim bir faaliyetin başladığı ya da bittiği anı temsil eder. Bir zaman
harcanması söz konusu değildir.
Öncül Faaliyet (Burst Activity): Kendisinden sonra birden çok faaliyete öncüllük eden
faaliyetlerdir.
340
Şekil 25: Öncül Faaliyetin Gösterimi
13.7. Proje Şebeke Çizim Metotları
Proje ağ diyagramı çizilirken iki yaklaşım mevcuttur. Bu metotlar sırasıyla AON (Activity-on-Node) ve AOA (Activity-on-Arrow) dır. Bu iki metot arasındaki temel fark
AON’un faaliyetleri ifade ederken düğümleri kullanmasıdır, buna karşın AOA faaliyetleri
çizilen okların üzerinde göstermektedir. Her iki metot da 1950’lerin sonlarında
geliştirilmişlerdir.
Şekil 26: AON (Activity-on-Node)-Faaliyetlerin Düğümlerle Gösterimi
X, Y, Z, S, T, U faaliyetleri göstermektedir. Örneğin 1-2 faaliyeti X faaliyetidir.
Şekil 27: Faaliyetlerin Oklarla Gösterimi
341
Uygulamada AON daha çok kullanım alanı bulmuştur. Ancak seçilecek metodun
türünden çok kullanan proje yöneticisinin ve proje katılımcılarının uygulanan metoda adapte
olmaları önemlidir.
13.8. Ağ Diyagramının Temel Kuralları
• Diyagram soldan sağa doğru ilerlemektedir.
• Faaliyet öncül faaliyetleri tamamlanmadan başlayamaz.
• Faaliyetler arasında çizilen oklar birbirini çaprazlayabilir.
• Her bir faaliyet ayrı ayrı numaralandırılmalıdır.
• Döngülere izin verilmez yani geri dönüşler söz konusu değildir.
• Koşul durumlarından bahsedilemez. Örneğin; A faaliyeti başarılı ise, B faaliyeti
gerçekleşsin gibi bir koşul diyagramda yer alamaz.
• Açık bir başlangıç ve bitiş noktası bulunmalıdır.
13.9. (Activity-On-Node) Metodunun Temelleri
Bu yöntemde faaliyetler düğümler üzerinde gösterilmektedir. Son yıllarda bu
düğümler kareler ile ifade edilmektedir. Kişisel bilgisayarların kullanımının yaygınlaşması ve
grafik programların gelişmesi bu yöntemin kullanımını daha da yaygınlaştırmıştır.
342
A’dan önce bir faaliyet yoktur. B, A faaliyetini izler. C B faaliyetini izler. B, C
faaliyetinin öncülü, A ise B faaliyetinin öncülüdür.
B ve C faaliyetlerini A faaliyeti izler. Yani B ve C’nin başlayabilmesi için A
faaliyetinin tamamlanmış olması gerekir. B ve C faaliyetleri istenirse aynı anda başlayabilir.
A, B, C faaliyetleri aynı anda başlayabilir, fakat eş zamanlı gerçekleşmek zorunda
değildir.
343
C’nin başlayabilmesi için A ve B tamamlanmış olmalıdır. D’nin başlayabilmesi için
de aynı şekilde A ve B faaliyetlerinin tamamlanmış olması gerekir.
Proje ağ diyagramında yer alan faaliyetlerin tanımlaması gereken 3 temel ilişki
mevcuttur. Bu ilişkiler aşağıdaki 3 soru ile belirlenebilir.
1. Bu faaliyetten önce hangi faaliyetler tamamlanmalıdır? Belirlenen faaliyetler öncül
faaliyetleri belirler.
2. Bu faaliyeti hangi faaliyet izlemelidir?
3. Bu faaliyet gerçekleşirken hangi faaliyetler gerçekleşebilir? Sorunun cevabı paralel
faaliyetleri verir.
13.10. Kritik Yol Yöntemi-CPM
Proje Zaman Yönetimi; üretimi ve verimi arttırmak amaçlı olarak, belirli faaliyetler
üzerinde harcanan zamanı bilinçli bir şekilde kontrol etme yöntemidir. Zaman yönetimi, belirli
görevleri, projeleri bitirirken kullanılan çeşitli beceriler, araçlar ve teknikler ile desteklenebilir.
Bu beceri, araç ve teknikler; planlama, dağıtma, hedef belirleme, yetkilendirme, zaman analizi,
gözlemleme, tertipleme, zamanlama ve önceliklendirme ve benzerlerini içerir. Önceleri, zaman
yönetimi sadece iş ve çalışma etkinlikleri için kullanılırken, sonraları kişisel faaliyetler için de
kullanılmaya başlanmıştır. Bir zaman yönetimi sistemi; proseslerin, araçların, tekniklerin ve
metotların tasarımlı bileşimidir. Zaman yönetimi genel olarak proje geliştirmede bir
gerekliliktir, zaman yönetimi projenin tamamlanma zamanını ve ölçeğini belirler.
Proje bitiş sürelerinin bulunmasında iki yol sıkça kullanılır:
� Kritik Yol Yöntemi (CPM) – Faaliyet Süreleri kesin (deterministik)
� Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği (PERT) – Faaliyet Süreleri
stokastik (olasılıklı)
� Faaliyetler Düğümle gösterilmesi durumunda bir faaliyet aşağıdaki gibidir.
Örnek:
Proje süresince tamamlanması gereken faaliyetler ve öncül faaliyetleri Tablo-1’de
verilmiştir.
344
Çağrı Merkezi Proje Faaliyetleri
Faaliyet İş Tanımı Öncül Faaliyetler Faaliyet Süresi (Gün)
A Başvuru Onayı - 5
B Yapım Planları A 15
C Trafik İncelemesi A 10
D Servis Kontrolü A 5
E Çalışan Raporu B, C 15
F Komisyon Onayı B, C, D 10
G Yapım için Bekleme F 170
H İkamet E, G 35
Bu projede B, C ve D faaliyetlerinin başlayabilmesi için A faaliyetinin tamamlanmış
olması gerekmektedir. Ancak A faaliyetinin bir öncülü yoktur. E faaliyeti olan Çalışan
Raporlarından önce B ve C faaliyetlerinin tamamlanması gerekmektedir. F faaliyetinden önce
B, C ve D faaliyetlerinin, G den önce F’nin ve F den öncede E ve G faaliyetlerinin tamamlanmış
olması gerekmektedir.
Proje diyagram çizimini aşamalara bölersek ilk aşama başlangıç faaliyetini ve başlangıç
faaliyetini öncül kabul eden faaliyetleri yerleştirmek olacaktır.
Tabloda görüldüğü üzere proje A faaliyeti ile başlamaktadır. Bunu takiben B, C ve D
faaliyetleri ile devam etmektedir. Bu proje şebeke diyagramı çizimin ilk aşamasıdır.
Aşağıda Koll-Business Center proje şebeke diyagramının tamamlanmış hali görülmektedir.
Faaliyetler ve faaliyetler arası ilişkiler net olarak görülmekte ve takip edilebilmektedir.
345
Şekil 28 Çağrı Merkezi (Call Business Center) Örnek Ağ Diyagramı
13.11. Ağ Hesaplama Süreci
Doğru iş sıralamaları ve işlerin tahmin edilen süreleri ile faaliyetlerin başlangıç ve bitiş
süreleri hesaplanır. Bu şekilde projenin süresi de belirlenmiş olur. İleriye doğru ve geriye doğru
olmak üzere iki tür hesaplama yapılmaktadır.
Faaliyetler düğümlerde gösterilerek çizilen ağ diyagramında her bir faaliyet aşağıdaki
gibi çizilir.
ES : Early Start (Erken Başlama)
ES : Early Finish (Erken Bitiş)
LS : Late Start (Geç Başlama)
LF : Late Finish (Geç Bitiş)
S : Slack Time, Bolluk
�ø : Faaliyet Süresi
346
Öncül Faaliyet: A ve B faaliyetleri C faaliyetlerinin öncül (önce tamamlanması gereken)
faaliyetleridir.
Ardçıl Faaliyet: B ve C faaliyetleri A faaliyetlerinin ardçıl (arkasından gelen)
faaliyetdir. B ve C faaliyetinin başlayabilmesi için A faaliyetinin tamamlanması gerkir. B ve
C faaliyetleri istenirse aynı anda başlayabilir. Farklı zamanlarda da başlatılabilir. Ancak farklı
13.11.1. İleri Doğru Hesap-En Erken Zamanlar
İleriye doğru hesap metodun da şu sorulara cevap aranır.
1. Faaliyet en erken ne zaman başlayabilir? (ES - Early Start)
2. Faaliyet en erken ne zaman bitebilir? (EF - Early Finish)
3. Proje en erken ne zaman bitebilir? (TE - Expected Time)
347
13.11.2. Geriye Doğru Hesap-En Geç Zamanlar
Geriye doğru hesap metodunda ise şu sorulara cevap aranır.
1. Faaliyet en geç ne zaman başlayabilir? (LS - Late Start)
2. Faaliyet en geç ne zaman bitebilir? (LF - Late Finish)
3. Kritik yol üzerindeki faaliyetler hangileridir (CP)?
4. Faaliyet ne kadar gecikebilir? (Slack or float - SL)
Yukarıda ağ diyagramı çizilen projenin faaliyetleri ve süreleri Tablo-2 de verildiği gibi
olsun.
Tablo 2: Çağrı Merkezi Proje Faaliyetleri ve Süreleri
Faaliyet İş Tanımı Öncül Faaliyetler Faaliyet Süresi (Gün)
A Başvuru Onayı - 5
B Yapım Planları A 15
C Trafik İncelemesi A 10
D Servis Kontrolü A 5
E Çalışan Raporu B, C 15
F Komisyon Onayı B, C, D 10
G Yapım için Bekleme F 170
H İkamet E, G 35
348
13.12. İleriye Doğru Hesap
İleriye doğru hesapta faaliyetin en erken başlama zamanıyla faaliyet süresinin toplamı
bize erken bitiş süresini verecektir.
Yani; �] + Íhm = �� olarak hesaplanarak her bir faaliyetin en büyük EF’si
diyagramda ilgili yere yazılmıştır. Yani örnek vermek gerekirse E faaliyetinin ES süresini
hesaplarken B faaliyetinden 20, C faaliyetinden ise 15 gelmekte ve bu iki süreden maksimum
olan 20 E faaliyetinin ES si olarak seçilmelidir.
349
13.13. AON - Geriye Doğru Hesap
Geriye doğru hesapta ise en geç bitiş zamanından faaliyetin süresi çıkartılarak en geç
başlama zamanı hesaplanır.
Yani; LF-Dur = LS olarak hesaplanarak, her bir faaliyet için hesaplanan LS sürelerinden
en küçük olanı diyagramda ilgili yere yazılır. Örneğin E faaliyeti üzerinde 200-15=185=LS
olarak yazılmış ve bu süre B ve C faaliyetleri için değerlendirilecektir. Ancak B faaliyetine aynı
zamanda F faaliyetinin LS=20 süresi de gelmektedir. Dolayısıyla geriye doğru hesapta
min{185, 20}=20 den B faaliyetinin LS değeri 20 olarak belirlenir.
13.13.1. Bollukların (Slack) Hesaplanması
İleriye ve geriye doğru hesaplamalar tamamlandıktan sonra faaliyetlerin serbestlikleri
ve toplam serbestlikler hesaplanabilir. Toplam serbestlik süresi projenin aksamaması için
kullanılabilen süredir.
Faaliyetler için toplam serbestlikler;
SL = LS - ES ya da
SL = LF - EF formülleri yardımıyla hesaplanır.
Bu hesaplamalar sonrasında kritik yol kolayca görülebilir çünkü kritik yol üzerindeki
faaliyetlerin toplam serbestlikleri sıfırdır.
Proje Süresi 60 gün. Kritik Yol A-B-F-G-H
350
Kritik yol diyagramdaki en uzun yol olup kesikli çizgilerle gösterilmiştir.
13.14. AOA (Activity on Arrow)
Bu yaklaşımda faaliyetler okların üzerinde yer almaktadır. Diğer işlemler AON’da
olduğu gibi yapılmaktadır.
AON yönteminin AOA yönteminden üstün yanı kukla yani süreleri sıfır olan faaliyetlere
ihtiyaç duymamasıdır. Buda daha kolay uygulanabilirlik sağlamaktadır.
Örnek:
Aşağıda faaliyetleri, öncül faaliyetleri ve normal faaliyet süreleri verilmiş olan projeye
ilişkin şebeke (network-ağ) diyagramını oluşturunuz. Kritik faaliyetleri ve kritik yolu
belirleyiniz. Projenin kaç günde biteceğini ve bitme olasılığını bulunuz.
351
Çözüm:
352
Kritik Yol:
Toplam Proje Süresi: 16 Gün
Kritik Faaliyetler: A, C, E, G
Kritik Yol: A – C – E – G Yolu
Projenin Bitiş Süresi: CPM’de süreler deterministik olduğu için proje süresi kesindir.
Bu projenin süresi 16 gün olup, 16 günde bitme olasılığı %100’dür.
13.15. Proje Ağ Yapısının Gerçek Hayatla Bütünleştirilmesi
Buraya kadar anlatılan proje yapısında faaliyetler arasında finish to start ilişkisi vardı.
Yani bir faaliyetin başlayabilmesi için bir öncekinin bitmiş olması gerekiyordu. Ancak bu
gerçek hayatta her zaman bu şekilde gerçekleşmez.
Birtakım gecikmeler söz konusu olabilir. Yada bazı işler tamamlandıktan sonra
beklenmesi gerekebilir. Bu gecikmeler (lag) faaliyetlerin başlaması yada bitmesi için gerekli
olan minimum zamanlardır. Bu bekleme süreleri proje yöneticisi tarafından belirlenebilir ya da
işin işleyişi açısından zorunlu olabilir.
353
� Start to Start:
Burada M ve N faaliyetleri arasında start to start ilişkisi hakimdir. Aynı şeklilde P ve Q
faaliyetleri içinde geçerlidir. Ancak buradaki fark Q faaliyetinin başlayabilmesi için P
faaliyetinin başlangıcından 5 zaman dilimi beklenmelidir.
� Finish to Finish:
Yukarıdaki şekil incelenirse, Prototype işlemi bittikten 4 zaman dilimi sonra Testing
işlemi bitmelidir. Yani Prototype faaliyeti ile Testing faaliyetinin bitiş zamanları birbirine
bağımlıdır.
� Start to Finish:
Aşağıdaki şekilde açıkça görüldüğü gibi Testing faaliyeti ile System documentation
faaliyetleri arasında bir ilişki vardır. Bu ilişki şu şekilde ifade edilebilir. Testing faaliyeti
başladıktan 3 zaman dilimi sonra System Documentation faaliyeti bitmelidir.
354
� Karma Durumlar:
Burada ise Code faaliyetinin başlangıcından 4 zaman dilimi sonra Debug faaliyeti
bitmeli aynı şekilde Code faaliyetinin başlangıcından 2 zaman dilimi sonra Debug faaliyeti
başlamalıdır.
CPM Örneği:
Aşağıda verilen faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve sürelerini kullanarak ağ diyagramını
çiziniz ve kritik yol yöntemi kullanarak proje bitiş süresini belirleyiniz
Faaliyet Açıklama Öncülleri
A Contract signing -
B Questionnaire design A
C Target market ID A
D Survey sample B, C
E Develop presentation B
F Analyze results D
G Demographic analysis C
H Presentation to client E, F, G
355
Çözüm: Proje Ağ diyagramı
Çözüm:
İleriye Doğru Hesap
�� = �] + î î : faaliyet süresi
356
Geriye Doğru Hesap
�] = �� − î
Bolluklar ve Kritik Yol:
357
Proje Bitiş Süresi: 30 Gün
Kritik Yol: A-C-D-F-H
Projenin 30 Günde bitme olasılığı: %100
Kritik Yol Yöntemi (CPM) proje faaliyet sürelerinin deterministik olması durumunda kullanılır.
Bu nedenle proje bitiş süresi de kesindir.
358
Uygulamalar
Yeni bir ürünün geliştirilmesi ve pazarlanması ile ilgili faaliyetler ve süreleri
aşağıdaki gibidir. Buna göre;
a) Projenin ağ diyagramını faaliyetleri düğümde (AON) göstererek çiziniz.
b) Projedeki her bir faaliyet için Normal Süreler kullanılarak, ES (En erken başlama),
EF (En erken tamamlanma), LS (En geç başlama), LF (En geç tamamlama), FS (Serbest
aylak süre - bolluk) değerlerini hesaplayınız ve projenin kritik yolunu, kritik faaliyetlerini
belirleyiniz.
Kritik Yol: A - C - E - G Toplam Proje Bitiş Süresi:19 gün
359
Uygulama Soruları
Proje süresinin azaltılması için diğer bir sebep tahmin dışı bir gecikme (Örneğin; kötü
hava, planlama hataları, donanım arızası) projenin ortasında önemli bir gecikmeye neden
olabilir. Çizelgede geri alma genellikle bazı kritik faaliyetlerin süresinde sıkıştırma gerektirir.
Çizelgede geri alma ek maliyeti ile geç kalma maliyeti karşılaştırılmalıdır.
-Sizce bir projede hangi faaliyet hızlanırsa proje süresi kısalmaz?
360
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde proje planlama süreci anlatılmıştır. Bir projenin ağ diyagramının çizimi,
faaliyetler arası ilişkiler, faaliyetlerin düğümlerle ya da oklarla gösterimi üzerinde ayrıntılı
olarak durulmuştur.
361
Bölüm Soruları
1) Proje planlamada ağ diyagramı çiziminde aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a) Diyagram sağdan sola doğru ilerlemektedir.
b) Faaliyet öncül faaliyetleri tamamlanmadan başlayamaz.
c) Faaliyetler arasında çizilen oklar birbirini çaprazlayabilir.
d) Her bir faaliyet ayrı ayrı numaralandırılmalıdır.
e) Döngülere izin verilmez yani geri dönüşler söz konusu değildir.
2) Proje planlamada bütün faaliyetlerin belirlendiği, faaliyet sürelerinin ve faaliyet
önceliklerinin gösterildiği diyagrama ne denir?
a) Ağ Diyagramı
b) Balık Kılçığı Diyagramı
c) Histogram
d) Pareto Diyagramı
e) Kritik Yol Diyagramı
3) B faaliyeti, A faaliyetinin bitişi ile başlayabiliyor ise ne tür bir ilişki söz konusudur?
a) Finish to Start (FS)
b) Start to Start (SS)
c) Start to Finish (SF)
d) Finish to Finish (FF)
e) Normal Start (NS)
4) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a) Bir faaliyetin başlayabilmesi için bitmesi gereken faaliyetlere A’nın öncül faaliyetleri
denir.
b) Kritik faaliyetlerin bollukları sıfırdır.
c) Ağ diyagramı çiziminde iki farklı yol mevcuttur.
d) Kritik faaliyetlerin toplam süresi proje bitiş süresini oluşturur
362
e) Her zaman ağ diyagramındaki tüm faaliyetler kritik faaliyetlerdir.
5) Faaliyetlerin düğümlerle gösterilmesinde -AON- en önemli avantaj hangisidir?
a) Çizimi zordur
b) Bolluklar kolay hesaplanır
c) Bilgisayar programlarında daha yaygın olarak kullanılır
d) Kukla faaliyet oluşturulması gerekmez
e) Hiçbir avantaj bulunmaz
6) Şebeke (Ağ) diyagramında oluşan en uzun yola ne ad verilir?
a) Düğüm
b) Ok
c) Kritik yol
d) Öncül faaliyet
e) Paralel faaliyet
7) Birden fazla faaliyetle aynı anda başlayan projelerde bu faaliyetlerin öncesinde sıfır
süreli bir faaliyet eklenir. Bu faaliyet aşağıdakilerden hangisi ile isimlendirilir?
a) Kritik faaliyet
b) Kilometre taşı
c) Kritik olay
d) Bileşke faaliyet
e) Paralel faaliyetler
8) Birden fazla faaliyetle aynı anda biten projelerde bu faaliyetlerin sonuna sıfır süreli
bir faaliyet eklenir. Bu faaliyet aşağıdakilerden hangisi ile isimlendirilir?
a) Kritik faaliyet
b) Kritik olay
c) Kilometre taşı
d) Bileşke faaliyet
363
e) Paralel faaliyetler
9) Kendisinden sonra birden çok faaliyete öncüllük eden faaliyete ne ad verilir?
a) Artçıl faaliyet
b) Normal faaliyet
c) Kritik faaliyet
d) Öncül faaliyet
e) Paralel faaliyet
10) Aşağıdaki şekilde verilen şebeke (ağ) diyagramında, öncül faaliyet hangi faaliyettir?
Cevaplar
1) a, 2) a, 3) a, 4) e, 5) d, 6) c, 7) b, 8) c, 9) d, 10) a
364
14. ŞEBEKE PROGRAMLAMADA PERT YÖNTEMİ
365
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
14.1. Kritik Yol Yöntemi-CPM
14.2. PERT Tekniği
366
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Kritik yol yöntemi (Critical Path Method-CPM) ne zaman kullanılır?
2) PERT yöntemi ne zaman kullanılır?
367
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Proje çizelgeleme Proje çizelgeleme konusuna
hakim olmak Okuyarak, tekrar ederek
Kritik yol yöntemi - CPM Kritik yol yöntemini anlamak Okuyarak, örnek soru
çözerek
Pert yöntemi Pert yöntemini kavramak Okuyarak, tekrar ederek,
örnek soru çözerek
368
Anahtar Kavramlar
• PERT Tekniği
• İyimser süre
• Olası Süre
• Kötümser süre
• Beklenen değer
• Varyans
• Beta dağılımı
369
Giriş Proje alanı, daha önceden gerçekleştirilmiş, bilinen konuları içeriyorsa önceki
deneyimlere dayanarak hangi faaliyetin ne kadar sürede gerçekleşeceği belirlenebilir. Bu
durumda faaliyetlerin süresi kesindir. Örneğin, otomatik bir makinenin bir saat çalışması
sonucu bir işi gerçekleştirmesi gibi. Ancak projenin kapsamı daha önceden yapılmamış, yeni
bir konu ise bu durumda deneyimlere dayanarak faaliyet sürelerini belirlemek olanaksızdır. Bu
sebeple PERT analizinde üç zaman dikkate alınarak faaliyet süreleri belirlenir. Dolayısıyla
faaliyet süreleri olasılıklı sürelerdir.
370
14.1. PERT Yönteminde Faaliyet Sürelerinin Belirlenmesi
PERT analizinde her faaliyet için üç zaman söz konusudur. Bu süreler en iyimser süre,
en kötümser süre ve en olası süredir.
14.1.1. En İyimser Süre (The Optimistic Time )
Faaliyetin en iyimser süresi, söz konusu faaliyet için bütün şartların en iyi şekilde
gerçekleşmesi sonucunda faaliyetin en kısa sürede tamamlanacağı süreyi ifade eder. Bu süre
içinde en ufak bir aksilik söz konusu değildir. Faaliyet açısından her durumun yolunda gittiği
varsayılır. Bu sebeple faaliyet %99 olasılıkla bu süreden daha erken bir sürede bitirilemez. “�”
harfi ile ifade edilir.
14.1.2. En Kötümser Süre ( The Pessimistic Time)
Faaliyetin en kötümser süresi, söz konusu faaliyet için bütün artların en kötü şekilde
gerçekleştiği varsayılarak, faaliyetin gerçekleşmesi sırasında ortaya çıkabilecek tüm
aksamaların meydana gelmesi durumunda faaliyetin tamamlanabileceği en uzun süreyi ifade
eder. Tüm aksaklıklar göz önüne alındığı için bu faaliyetin gerçekleşme süresi %99 olasılıkla
faaliyetin en kötümser süresinden uzun olamaz. “.” harfi ile ifade edilir.
14.1.3. En Olası Süre ( The Most Likely Time)
Faaliyetin gerçekleşme olasılığı en yüksek olan süredir. Normal şartlar altında faaliyetin
ne kadar sürede tamamlanabileceğini ifade eder. “�” harfi ile ifade edilir.
PERT analizinde her faaliyet için bu üç sürenin bilinmesi gerekir. Yapılan birçok
araştırma, deney ve inceleme sonucunda faaliyet sürelerinin incelenmesi sonucu, sürelerin beta
dağılımına uygun olduğu görülmüştür. Beta dağılımının aşağıda yer alan üç özelliği
bakımından faaliyet sürelerinin bu dağılıma uygun olduğu belirlenmiştir:
• Beta dağılımı sözü edilen üç zaman ile ortalama ve varyans değerlerini
hesaplamaya olanak veren bir dağılımdır.
• Beta dağılımı sürekli bir dağılımdır fakat daha önceden belirlenen özel bir şekli
yoktur. Başka bir deyişle verilen değerlere göre dağılıma ait eğri sağa veya sola yatkın bir hâle
gelebilmektedir.
• Son olarak ise diğer dağılımlar da göz önüne alındığında, bu verilerin
hesaplanmasında en uygun dağılımın beta dağılımı olduğu görülür. Bu sebeple PERT
analizinde faaliyet süreleri hesaplanırken beta dağılımının kullanılması artık bir kural hâline
gelmiştir.
Beta dağılımı her zaman simetrik bir dağılıma sahip olmadığı için, projedeki
faaliyetlerin üç zamanı göz önüne alındığında, sürelerine uygun olan, � aşağıda gösterilen üç
grafikten birine ait şekilde gösterilme olanağına sahiptir. Sola yatık, sağa yatık veya simetrik
371
bir biçimde dağıldığı aşağıda gösterilen grafiklerde de görülmektedir. Başka bir deyişle en olası
tahminin (� + .)/2 olma zorunluluğu yoktur. Bu değerin sağında veya solunda da yer alma
şansına sahiptir. Beta dağılımı kullanılmasındaki en önemli etken de beta dağılımının bu
duruma uygun olmasıdır.
Şekil 29: Sola Yatkın Beta Dağılımı
Şekil 30: Sağa Yatkın Beta Dağılımı
Şekil 31: Simetrik Beta Dağılımı
Faaliyetlere ait sürelerin ortalama ve varyans değerlerini hesaplarken beta dağılımına
uygunluk gösterdiği için bu dağılıma göre hesaplama yapmak gerekir.
372
î� = (� + .)2 + 2�3
î� = � + 4� + .6
î� = Faaliyetin beklenen süresi (ortalama değeri)
Bu değer aynı zamanda faaliyet süresinin beklenen zamanını (expected time) da ifade
etmektedir. PERT analizinde hesaplanan süreler kesin olmadığı için beklenen değer eklinde
ifade edilir. Süreler kesin olmadığına göre bu sürelerden bir sapma olması söz konusudur, bu
durum her faaliyetin sapmasının hesaplanmasını gerektirir. Varyans hesaplaması da doğal
olarak beta dağılımına göre hesaplanır.
6��� = . − � �� = ç(. − �)6 è� �� = (. − �)�36
Projede yer alan tüm faaliyetlerin, zamanları dikkate alınarak ortalama ve varyans
değerleri hesaplanır.
Yukarıdaki formülde de görüldüğü gibi faaliyetin en iyimser ve en kötümser süreleri
faaliyetin varyans değerine etki etmektedir. Bu iki sürenin birbirinden çok uzak olması istenen
bir durum değildir çünkü bu durumda faaliyetin varyans değeri büyük çıkacak ve faaliyet
süresinin belirsizliğini arttıracaktır.
PERT analizindeki bütün hesaplamalar bu sürelere dayanarak yapılır. Bu sebeple
faaliyetlerin sürelerinin doğru tespit edilmesi çok önemlidir. Süreler belirlenirken yapılan hata
tüm analize yansır ve sonucun sağlıklı olmamasına, yanlı kararlar alınabilmesine yol açar, fakat
bu sürelerin belirlenmesi de çok zordur.
Hesaplanan sürelerin gerçekleşme olasılıklarının çok yüksek olması analiz açısından iyi
bir sonuç olarak görülse de bu durumun sakıncaları söz konusudur. Hesaplanan sürenin
gerçekleşme olasılığı % 100’e yakın olması faaliyetin, kapasite bakımından hiç bir sorun
yaşamadığını başka bir deyişle kaynakları etkin kullanılmadığını gösterir. Faaliyetin
gerçekleşme olasılığının çok düşük olması ise tam ters neden ile tehlike arz etmektedir, en ufak
bir aksilik durumunda proje ile ilgili tüm değerlerin değişeceği anlamına gelir. Projenin eski
hâline bağlı kalınması için çok yüksek maliyetli önlemler alınması gerekir. Bu nedenlerle
faaliyet sürelerinin gerçekleşme olasılıkları uygun risk ve yaralanma oranı (utilization)
arasındaki sınırları belirleyen değerler olmalıdır.
373
14.2. Kritik Yolun Tespiti
PERT analizinde kritik yolun tespit edilmesi CPM yöntemindeki kritik yol ile şüphesiz
aynıdır. Şebeke içinde yer alan en uzun yoldur. Projenin tamamlanma süresi kritik yol üzerinde
yer alan kritik faaliyetlerin sürelerinin toplamına eşittir. Ancak bu süre kesin değildir.
Faaliyetlerin varyans değerleri hesaplandığı için projenin belirlenen sürede hesaplanması da
belirli bir sapmaya tabiidir. Bu sapma değeri ise kritik yol üzerinde yer alan kritik faaliyetlerin
varyanslarının toplamına e ittir.
Yukarıda belirtilen formüller şebekede yer alan herhangi bir yol için geçerli olduğu gibi
kritik yol için de geçerlidir; sonuçta kritik yolda şebekede yer alan bir yolu ifade etmektedir.
Kritik yol için a ağıdaki ekli ile yazılması mümkündür:
Ó^ = í)! (/, 3) ∈ Kritikyol
PERT analizinde sürelerin dağılımı beta dağılımı ile hesaplanırken, kritik yol tespitinde,
Merkezi Limit Teoremine göre, gözlem sayısı arttıkça dağılım normal dağılıma yaklaşır, bu yol
üzerinde bulunan faaliyet sayılarının fazla olması dolayısıyla normal dağılıma uygundur.
Küçük ölçekli projelerde kritik yol hesaplamalarının normal dağılıma göre yapılması sağlıklı
bir yaklaşım değildir. Projenin faaliyetleri için, olası faaliyet süreleri söz konusu ise, faaliyet
zamanları hangi dağılıma uygun olursa olsun, tüm projenin süresi normal dağılıma uygundur.
Projede birden fazla kritik yolun bulunması mümkündür. CPM yönteminde bütün yollar
kritik olarak kabul edilirken PERT analizinde varyansı büyük olan yolun kritik yol olarak kabul
edilmesi daha yaygındır. Bunu sebebi ise varyans aralığı genişledikçe belirsizlik artacağı için
projenin tamamlanma süresi açısından daha güvenilir bir sonuç olacaktır.124 Bu konu için
başka bir yaklaşım daha vardır. Bu yaklaşıma göre projenin beklenen süreden daha geç
tamamlanması ile ilgili hesaplamalarda en büyük varyansı, beklenen süreden daha kısa sürede
tamamlanması ile ilgili hesaplamalarda ise en küçük varyansı göz önünde tutarak bulunan
sonuçların daha sağlıklı olduğu yaklaşımıdır.
PERT analizi projenin tamamlanma süresinin yüzde kaç olasılıkla gerçekleşeceğini
belirtir. Aynı zamanda projenin belirtilen herhangi bir tarihte tamamlanma olasılığını da
hesapladığı için proje yöneticisine bilgi vermesi bakımından faydalı bir yöntemdir. Projenin
belirli bir anda tamamlanma olasılığı a ağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
374
� = − ��
� = Tamamlanmasıistenensüre– ProjenintamamlanmasüresiProjenintamamlanmasüresininstandartsapmadeğeri
� = î¶ − î)!�
Bu işlem sonucunda bulunan değer “� tablo”suna göre hangi alanda kaldığı belirlenerek
projenin belirtilen sürede bitirilme olasılığının değeri hesaplanır. Aynı zamanda projenin
belirlenen bir olasılık değeri için ne kadar süre içinde tamamlanması gerektiği aynı formül
yoluyla hesaplanmaktadır.
14.3. Matris Metodu İle Çözüm Yöntemi
Kritik yolun tespitinde matris yönteminden yararlanılabilir. Bunun için öncelikle
şebekede mevcut olan olay sayısına eşit sayıda bir kare matris çizilmesi gerekir. Bu matrise bir
satır ve bir sütun, üstüne ve soluna gelecek şekilde ilave edilir ki matriste yer alan olayların
numaraları bu satır ve sütunlar aracılığı ile ifade edilebilsin. Aynı zamanda eklenen satır ve
sütun sayısı bir olabileceği gibi iki satır ve sütunda eklenebilir. Bu durumda kare matrise
eklenen birinci satır ve sütün yine olay sırasını gösterirken, ikinci eklenen satır ve sütuna ise
çözüm sırasında hesaplanacak olan en erken ve en geç tamamlanma zamanları yazılır. Bunun
için ayrıca satır veya sütun ilave etmeden direk bu oluşturulan matrisin kenarına da elde edilen
bilgiler yazılabilir.
Örnek:
Aşağıda olasılıklı faaliyet süreleri (�, � ve . değerleri) verilen projeye ilişkin faaliyet
sürelerinin beklenen değerlerini, varyanslarını bulunuz. Şebeke diyagramını oluşturunuz. Kritik
yolu belirleyiniz.
375
14.3.1. Faaliyetlere İlişkin Beklenen Süreler
î� = � + 4� + .6
î�(+) = 1 + 4.2 + 46 = 2,17 î�(,) = 3 + 4.5 + 96 = 5,33 î�(�) = 2 + 4.5 + 66 = 4,67 î�(Í) = 4 + 4.6 + 96 = 6,17 î�(�) = 5 + 4.7 + 126 = 7,5 î�(�) = 3 + 4.4 + 76 = 4,33 î�(©) = 5 + 4.5 + 56 = 5 14.3.2. Faaliyetlere İlişkin Varyanslar
��(+) = (4 − 1)�36 = 0,25 ��(,) = (9 − 3)�36 = 1 ��(�) = (6 − 2)�36 = 0,44 ��(Í) = (9 − 4)�36 = 0,69 ��(�) = (12 − 5)�36 = 1,36 ��(�) = (7 − 3)�36 = 0,44 ��(©) = (5 − 5)�36 = 0
376
Bu sonuçlardan sonra:
14.3.3. İleriye Doğru Hesap
14.3.4. Geriye Doğru Hesap
377
14.3.5. Projeye İlişkin Şebeke Diyagramı
Kritik Faaliyetler: Bollukların (Slack Time) sıfır olduğu Faaliyetler; A, B, E, G
Faaliyetleri
Kritik faaliyetlerin A-B-E-G faaliyetleri olduğu bulunmuştur. Buna göre toplam proje
süresinin beklenen değeri ("), varyansı (��) ve standart sapması (�) şu şekilde hesaplanır:
�(í) = í = " = 2,17 + 5,33 + 7,5 + 5 = 20gün í = " = � = 20gün
Proje toplam varyansı:
��( m#3$) = �� = ��% + ��s + ��& + ��'
��( m#3$) = (�m(í) = �� = 0,25 + 1,00 + 1,36 + 0 = 2,61 � = �(�m(í) = 1,62
Dolayısıyla Projeye ait standart sapma:
378
� = �2,61 = 1,62gün Proje süresi normal dağılıma uyduğuna göre normal dağılım açısından proje süresinin
grafiği aşağıda verilmiştir. Yaklaşık olarak ortalama değerin ± 3,5σ komşuluğu eğrinin altında
kalan alanın tamamını vermektedir. Bu ise yaklaşık % 99,98 ihtimali karşılamaktadır.
Buna göre projenin örneğin 22 günden önce bitme ihtimalini hesaplayacak olursak:
{í < 22} � = H − "�
� = 22 − 201,62 = 21,62 = 1,23 {0 < � < 1,23} = 0,3907
ù değeri normal dağılım tablosundan (veya örneğin Excel ile) � = 1,23 değerine göre
0,3907 (%39,07) olarak bulunmuştur. Bu değer projenin 20 ila 22 gün arasında tamamlanma
olasılığını vermektedir. Aşağıdaki şekil normal dağılım eğrisi üzerinden ihtimal değerinin
bulunmasını izah etmektedir. En geç 22 günde bitme olasılığı sorulduğu için, simetrik olan
standart normal dağılımın sol tarafındaki 0,5 lik alanı da toplamak gerekir.
{� < 1,23} = 0,5 + 0,3907 = 0,8907 Dolayısıyla proje %89,07 olasılıkla en geç 22 günde tamamlanır.
379
Projenin 22 günden fazla sürme ihtimali hesaplanacak olursa:
{í > 22} = Üí − "� > 22 − "� ) = Ü� > 22 − 201,62 ) {� > 1,23} = 1 − {� < 1,23} = 1 − 0,8907 = 0,1093
Buna göre projenin 22 günden daha fazla sürmesi ihtimali %10,93 gibi düşük bir
ihtimaldir. Bunun şekil üzerinden izahı aşağıda verilmiştir.
Projenin % 90 ihtimalle en geç kaç günde tamamlanacağını hesaplayınız:
0,90 = {� < î} = Ü� < î − "� ) Buradan:
�÷,�÷ = î − "�
0,90 − 0,50 = 0,40 0,40 olasılığına karşılık standart normal dağılım tablosundan � değeri aranır.
Z=0 T=20 +3,5 -3,5 25,67 14,33 1,23
0,5+0,3907 %89,07
22
Z=0 T=20 +3,5 -3,5 25,67 14,33 1,23
0,1043
22
%10,43
380
Z0,9 standart normal dağılımın % 90’lık kısmına denk gelen � değeri demektir. Normal
dağılım tablosundan bu değer 1,28 olarak okunur. Yukarıdaki formülde yerine koyarsak:
1,28 = î − "� => 1,28 ∗ 1,62 = î − 20 => î = 22,07 Buna göre projenin % 90 ihtimalle biteceği gün yaklaşık 22,07 gün olacaktır. Bunun
grafiksel olarak açıklaması aşağıda verilmiştir.
14.4. PERT Tekniğinin Avantaj ve Dezavantajları
PERT tekniği, projenin tamamlanma süresini belirli bir olasılık değerine bağlı olarak
verdiği için zamanlama ile ilgili bir değişiklik yapılması diğer yöntemlere göre daha kolaydır.
Bu yöntem ile projenin herhangi bir tarihte tamamlanma olasılığının yüzde kaç olduğu
hesaplanabilmektedir.
PERT tekniğinde, faaliyetlerin süresi ile değil beklenen değerleri ile analiz yapılır.
Bunun sebebi bu yöntem ilk defa uygulanacak bir analiz için söz konusudur dolayısıyla
faaliyetlerin süreleri kesin olarak tespit edilememektedir.
Bu yöntem için optimizasyon söz konusu değildir. Analiz sonuçları en iyi değerleri
vermez sadece yöneticiye fikir verir, kontrolün daha bilinçli bir şekilde yapılmasına yardımcı
olur. PERT analizinin en önemli dezavantajı ise faaliyet süreleri beta dağılımını izlemeyebilir.
Bu durumda faaliyetlerin beklenen sürelerinin beta dağılımına göre hesaplanan değerleri yanlış
olacaktır.
14.5. CPM ve PERT Yöntemlerinin Karşılaştırılması
CPM ve PERT teknikleri aynı amaca hizmet etmektedir. Her iki yöntemde de projeyi
planlama, programlama - uygulama ve kontrol aşamaları yer almaktadır. Her iki yöntemin
ulaşmak istediği asıl sonuç projenin hangi tarihte tamamlanacağını belirlemektir. İki teknik
birbirine benzemekle birlikte temelde önemli yapısal farklılıkları bulunmaktadır. Bu
farlılıklardan ilki faaliyet süreleri ile ilgilidir. CPM yönteminde faaliyet süreleri kesin, PERT
tekniğinde ise olasılıklıdır. Önemli ikinci farklılık ise bu yöntemlerin kullanım alanları ile
ilgilidir. CPM yöntemi daha önce yapılan ve hala yapılmakta olan proje konuları ile
Z=0 T=20 +3,5 -3,5 25,67 14,33 1,28
0,90
22,07
0,90
381
ilgilenmektedir. Bu sebeple önceki tecrübelere dayanarak faaliyet süreleri kesin olarak
belirlenebilmektedir. Ancak PERT tekniği için böyle bir durum söz konusu değildir. PERT
tekniğinin uygulama alanı ilk defa uygulanacak projelerden oluşmaktadır. Dolayısıyla faaliyet
süreleri tahmin edilen, beklenen sürelerdir ve kesin değildir. PERT tekniği ilk defa
gerçekleştirilecek bir projeye uygulanacağı için maliyet analizi yapılması çok güçtür ve sağlıklı
sonuç vermez. Maliyet analizi, projenin hızlandırılması gibi kavramlar CPM yöntemi içinde
gerçekleştirilen analizlerdir. CPM yöntemini en belirgin özelliği maliyet unsurunun çözüm
yöntemi içerisinde yer almasıdır.
CPM yönteminde önemli olan faaliyetlerin gerçekleştirilmesidir. Bu yöntemde
olaylardan çok faaliyetlerin gerçekleştirilmesine önem verilmektedir. CPM yöntemi PERT
tekniğinden ayrı olarak faaliyete yöneliktir. PERT tekniği ise faaliyetten çok olaya yönelik bir
yöntemdir.
İlk bakışta olasılıklı ve üç farklı zaman içerdiği için PERT tekniğinin daha gerçekçi
olduğu düşünülebilir ancak bu yöntem, CPM yöntemine göre daha az tercih edilir. Bu durumun
iki önemli nedeni vardır. Birincisi, beta dağılımına uygunluk gösterdiği varsayılan üç zamanı
tahmin etmek oldukça güçtür. Bunun yanı sıra faaliyet sürelerini belirleyen kişiler aşırı güvence
isterse, en kötümser zamanı yüksek belirleyebilir ve bu durum analiz sonuçlarını doğrudan
etkiler. İkincisi ise, faaliyet süreleri beta dağılımını izlemeyebilir.
Proje yöneticisi bazı şartlardan dolayı projeyi tamamlamada süreyi azaltmak isteyebilir.
Projedeki kritik bir faaliyetin süresi azaltılabilir ancak neredeyse her zaman doğrudan (direkt)
maliyetlerde artış ile sonuçlanır. Sürenin düşürülmesi ek maliyete değer mi sorusunu
yanıtlaması gerekir. Maliyet - süre analizinde projenin tamamlanma süresini belirleyen kritik
yoldaki faaliyetlere odaklanılır.
382
Standart Normal Dağılım Tablosu (�-tablosu)
c 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0.1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0.2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0.3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0.4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0.5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0.6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0.7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0.8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133
0.9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1.1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1.2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1.3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1.4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1.5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1.6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1.7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1.8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1.9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2.1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2.2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2.3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2.4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2.5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2.6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2.7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2.8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2.9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4991
383
Uygulamalar
PERT Örneği:
Projeye İlişkin Şebeke Diyagramı
384
Uygulama Soruları
1) PERT ile şebeke programlamada birden fazla kritik yol olması durumunda varyans nasıl hesaplanır?
385
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde şebeke programlamada PERT Yöntemi üzerinde durulmuştur. CPM ve
PERT Yöntemlerinin farkları ortaya konmuş ve örnek sorular çözülmüştür. Ayrıca, standart
normal dağılım tablosunun (� dağılımı) kullanımı üzerinde durulmuştur.
386
Bölüm Soruları
1) Aşağıdakilerden hangisi PERT (Program Evaluation Review Technique)’de, proje
faaliyetlerinin sürelerinin belirlenmesinde kullanılan süre tiplerinden biri değildir??
a) İyimser süre
b) Olası Süre
c) Standart süre
d) Kötümser süre
e) İyimser, Olası ve Kötümser Süre
2) Kritik Yol ile ilgili olarak hangisi doğrudur?
a) En kısa yoldur
b) En uzun yoldur
c) Ne uzun ne kısa yoldur
d) Bollukları sıfırdan büyük olan faaliyetler içerir
e) Kritik olmayan faaliyetler kritik yolu oluşturur
3) Bir faaliyetin en erken başlangıç süresi 10, en geç başlangıç süresi 15 ise bolluğu ne
kadar olur?
a) 15
b) 10
c) 5
d) 1
e) 0
387
4) Bir faaliyetin süresi olasılıklı olup � = 3, � = 4 ve . = 11 ise faaliyetin beklenen
süresi ne kadardır?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 7,5
5) Bir faaliyetin süresi olasılıklı olup � = 3, � = 4 ve . = 11 ise faaliyetin beklenen
varyansı ne kadardır?
a) 16/9
b) 32/9
c) 64/9
d) 1
e) 0
6) Olasılıklı faaliyet süreleri olan bir projenin ortalama bitiş süresi � = 30 gün, ve
varyansı �� = 16 gün olarak hesaplanmış ise = 34 gün için � standardize değeri kaçtır?
a) 2,5
b) 2
c) 1,5
d) 1
e) 0
388
7) Olasılıklı faaliyet süreleri içeren bir projenin ortalama bitiş süresi � = 30 gün ve
standart sapması � = 4 gün ise bu projenin 26 günde daha fazla günde bitme olasılığı yüzde
kaçtır?
a) 15,87
b) 34,13
c) 50
d) 84,13
e) 100
8) Olasılıklı faaliyet süreleri içeren bir projenin ortalama bitiş süresi � = 30 gün ve
standart sapması � = 4 gün ise bu projenin en geç 30 günde bitme olasılığı yüzde kaçtır?
a) 26,34
b) 34,13
c) 50
d) 84,13
e) 100
9) Olasılıklı faaliyet süreleri içeren bir projenin ortalama bitiş süresi � = 30 gün ve
standart sapması � = 4 gün ise bu projenin en geç 34 günde bitme olasılığı yüzde kaçtır?
a) 26,34
b) 34,13
c) 50
d) 84,13
e) 100
389
10) Aşağıda verilen şebeke (ağ) diyagramında 4 faaliyetin beklenen süreleri verilmiştir.
Buna göre kritik yol süresi ne kadardır?
a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
11) Olasılıklı faaliyet süreleri içeren bir projenin ortalama bitiş süresi � = 30 gün ve
standart sapması � = 4 gün ise bu projenin en geç 26 günde bitme olasılığı yüzde kaçtır?
a) 34,13
b) 68,26
c) 50
d) 15,87
e) 100
Cevaplar
1) c, 2) b, 3) c, 4) b, 5) a, 6) d, 7) d, 8) c, 9) d, 10) e, 11)d.
390
KAYNAKÇA
Ahmet, ÖZTÜRK, Yöneylem Araştırması, 7. Baskı, Bursa, Ekin Kitabevi Yayınları, 2001.
Bertsimas, D., Tsitsiklis, J.N. (1997) Introduction to Linear Optimization, Athena Scientific,
Belmont, Massachusetts
Cinemre, N.,( 2011), Yöneylem Araştırması, 2. Basım.
Clapham, C., (1996). Coincise Dictionary of Mathematics, (2 nd ed.).
Çetin, E., 2004-2014 İ.Ü. İşletme Fakültesi Yayınlanmamış Ders Notları.
Dennis G. Zill, Calculus, PWS Publishing Company, Boston, 1993
Doğan , İ. “Yöneylem Araştırması Teknikleri ve İşletme Uygulamaları” Bilim Teknik
Yayınevi, İstanbul.
Doğrusöz, H. (2001). Cumhuriyet Döneminde Türkiye'de Bilim "Sosyal Bilimler" Yöneylem
Araştırması. Mayıs 28, 2013. Çevrimiçi: http://akgul.web.tr/yazilar/temp/sosyal.html
Ergün Eroğlu, İşletme Matematiği Yayınlanmamış Ders Notları, İÜ İşletme Fakültesi, İstanbul,
1996-2015
Ernest F. Haeussler, Richard S. Paul, Introductory Mathematical Analysis for Business,
Economics and the Life and Social Sciences, Tenth Edition, Prentice Hall, USA, 2002
Esin, A., “Yöneylem Araştırmasında Yararlanılan Karar Yöntemleri”, Gazi Kitabevi, Ankara.
Hanna M.E. (2003) "Quantitative Analysis for Management", Pearson Education Inc.
Howard Anton, Elemantary Linear Algebra, Fourth Edition, John Wiley and sons, Canada,
1984
İhsan Kaya, Karar Teorisi, Markov Süreçleri, Yıldız Teknik Üniversitesi, Endüstri
Mühendisliği Bölümü Ders Notları, Şubat 2017, İstanbul
Jean E. Draper, Jane S. Klingman, Mathematical Analysis Business and Economic
Applications, Harper and Row, Tokyo, 1967
Karayalçın, İ., “Endüstri Mühendisliği ve Üretim Yönetimi El Kitabı Cilt II” Çağlayan
Kitabevi, İstanbul.
King, J.P.,( 2004). Matematik Sanatı, (16. baskı), Çev. Nermin Arık.
Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley : Calculus for Business, Economics and the
Social and Life Sciences, McGraw Hill, Fourth Edition, USA, 1989
391
Lieberman , H. (2005), " Introduction to Operations Research ", Eigh Edition, Mc-Graw-Hill ,
Singapore
Mond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen, Calculus for Business, Economics, Life
Sciences and Social Sciences, 12. Basımdan Çeviri, Nobel Yayınevi, 2011
Öner Esen, Yöneticiler için Bilgisayar Destekli Karar Modelleri, Uygulamalı Yöneylem
Araştırması - Excel ile Modelleme ve Çözüm Uygulamaları, Çağlayan Kitabevi, Beyoğlu,
İstanbul, 2008
Öztürk, A., (2012), Yöneylem Araştırması, Ekin Kitabevi Yayınları, Bursa
Powell, S.g., Baker, K.R. (2009), "Management Science: The Art of Modeling with
Spreadshhets", 2nd Edition, John Wiley and Sons.
Ragsdale C.(2008), "Managerial Decision Modeling", Revised Edition, South-Western, Canada
Rardin R.L. (1998) "Optimization in Operations Research", Prentice Hall Inc.
Render B., Stair R.M. Jr., Hanna M.E. (2003) "Quantitative Analysis for Management",
Pearson Education Inc.
Sevüktekin, M., 1992. Ekonometrik Simulasyon Modelleri, Uludağ Üniversitesi İktisadi İdari
Bilimler Fakültesi Dergisi, Cilt:XIII, Sayı:1-2, Bursa, 235.
Sezen, H. K., Yöneylem Araştırması, Ekin Kitabevi Yayınları, Bursa
Taha H.A. (2000) "Yoneylem Arastirmasi", Literatur Yayincilik (cev. Alp Baray ve Sakir
Esnaf)
Taylor B.W. III (2002) "Introduction to Management Science", Pearson Education Inc.
Timor, M., (2010), Yöneylem Araştırması, Türkmen Kitabevi, İstanbul.
Winston, W. L., (2004) Operations Research: Applications and Algorithms , Fourth Edition.
Yılmaz Tulunay, İşletme Matematiği, Nobel Yayın Dağıtım, 4. Baskı, Ankara, 2006
Yılmaz Tulunay, Matematik Programlama, Renk-İş Matbaası, 3. Baskı, İstanbul, 1991
392
TABLOLAR
Standart Normal Dağılım Tablosu (�-tablosu)
c 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0.1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0.2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0.3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0.4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0.5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0.6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0.7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0.8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133
0.9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1.1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1.2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1.3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1.4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1.5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1.6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1.7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1.8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1.9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2.1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2.2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2.3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2.4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2.5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2.6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2.7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2.8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2.9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4991