Slayt 1

YMT 222 SAYISAL ANALZ (Blm 4)Prof. Dr. Asaf Varol

2012-2013 Bahar Dnemi12Eri Uydurma4.1 GiriBirok mhendislik problemi, zm iin bamsz deikenlerden oluan fonksiyonlarna veya xi,yi, noktalar verilmi veri gruplarna ihtiya duyarlar. Bu verileri salayacak polinomlarn katsaylarn bulunmas, bu blmde incelenecektir.Genelde fonksiyonlar polinomlara eri uydurmak iin kullanlr.

Pn(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn (4.1.1)

lk kategoride veri noktalarnn saysna tamamen eit (n+1). dereceden bir polinom uydurulmaldr.3Bu prosedrde verilen bilgi noktalarnda hata olmamas gerekir. Bu noktalarn eri zerinde olmasn isteriz.

n+1 den daha byk eriyle ifade edilen bilgi noktalarnn says 2 kategoriyi oluturur. Btn bilgi noktalarnn arasndan n. dereceli polinoma gei mmkn deildir.

2 alternatif vardr.1.si baz hata vektrlerini ve bu hatada bilgi noktalar ve eri zerindeki uygun noktalar arasndaki fark tanmlar.

2. alternatif de, verilen bilgi noktalarnn alt kmeler arasnda bir polinoma gemeye ve bu noktalarn toplamndan eri oluturmaya yarar.

44.1 Giri(Devam)4.2 Tam Polinomal Uydurma Verilen (n+1) noktann: (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), (xn, yn), bu noktadan geen ve n. derecede olan benzer bir polinom daha vardr.y = Pn(x) = b0 + b1x + b2x2 + + bn xn (4.2.1)

Bu katsaylar b0, b1, b2, bn lineer denklem eitliklerinin zm ile salanabilir.b0 + b1x0 + b2x02 + +bnx0n = y0 b0 + b1x1 + b2x12 + +bnx1n = y1 b0 + b1x2 + b2x22 + +bnx2n = y2 .... (4.2.2) ... .. .....b0 + b1xn + b2xn2 + +bnxnn = yn Matris formatnda yle yazlabilir.[A]{B} = {Y} (4.2.3) [A] matrisinin elemanlar yle atanr: aij = (xi-1)j-1 i = 1, 2, 3, , n + 1 (4.2.4) j = 1, 2, 3,, n + 1

5rnek E4.2.13. derecedeki polinomun hangi noktalardan getiini karlatrnz

zm:Verilen bu deerler eitlik 4.2.2 yerine yazlrsa bunlar elde edilir: b0 + b1(0) + b2(0) + b3(0) = 1 b0 + b1(1) + b2(1) + b3(1) = 0 = b0 + b1(2) + b2(4) + b3(8) = 1 b0 + b1(3) + b2(9) + b3(27) = 0

Bu lineer sistem eitlikleri LU ayrtrlmas ile zlr. b0 = 1.0 , b1 = -3.3333 , b2 = 3.0 , b3 = -0.66666 (-10/3) (-2/3)

Polinomal sonu ise: y = 1- (10/3)x + 3x2 - (2/3)x3

6

Atama (4.2.5)

rnein; n = 2, (4.2.6a)

(4.2.6b)

(4.2.6c)

7

Lagrange Polinomlar8 (n+1) noktasndan geen n. dereceli Lagrange polinomu yle ifade edilir:

(4.2.7) Burada Lin(x) denklem 4.2.5 de verilmitir ve yi = f(xi) ler verilen fonksiyonda x = xi ye denk olan deerlerdir.

rnek E4.2.2 (0, 1); (1, 0); (2, 1); (3, 0) noktalarndan geen ve 3. derecede olan Lagrange polinomunu gsteriniz. Bu noktalar rnek 4.2.1de verilmitir:zm: L03(x) = = = - (x-1)(x-2)(x-3)

L13(x) = = = (x)(x-2)(x-3)

L23(x) = = = - (x)(x-1)(x-3)

L33(x) = = = (x)(x-1)(x-2)

9

103. Derecede polinom ayn zamanda yle de bulunabilir, = (1)(-1/6)(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 0 + (1) (-1/2)x(x - 1)(x - 3) + 0veya L3(x) = -1/6(x - 1)(x - 2)(x - 3) 1/2x(x - 1)(x - 3) Bulunan bu cevabn, rnek 4.2.1de dorudan metot kullanarak elde edilen cevap ile ayn olduunun, okuyucular tarafndan gsterilmesi istenilmitir.

11Newton Polinomlar Kk bir veri kmesinden polinom oluturmann dier bir yolu ise Newtonun blnm farklar polinomudur. y = f(x) = b0 + b1(x - x0) + b2(x - x0)(x - x1) ++ bn(x - x0)(x - x1)(x - xn-1) (4.2.8) Verilen (n+1) veri noktalar (x0, y0), (x1, y1)(xn, yn). bi (i = 0, 1, 2, , n) katsaylar sonlu blnm farklar forml ile elde edilir. Blnm farklar yle tanmlarsak:y[x0, x1] = (y1 - y0)/(x1 - x0) (4.2.9a)y[x1, x2] = (y2 y1)/(x2 x1) (4.2.9b)

12 (4.2.9c)

y[x1, x2, x3, x4] = benzer ekilde . . . Newton polinomunun katsaylar yle verilmitir: b0 = y0 b1 = y[x0, x1] b2 = y[x0, x1, x2] (4.2.10) .. .. .. bn = y[x0, x1,, xn] Bir sonraki rnekte de gsterildii gibi blnm farklar tablosu hazrlanarak ilemler sadeletirilebilir.

13rnek 4.2.3 (0,1); (1, 0); (2, 1); (3, 0), noktalarndan geen 3.dereceden Newton polinomunun bulunmas. rnek: 4.1.1 ve 4.1.2. zm: Denklem 4.2.9.da verilen eitlii oluturunuz. Katsaylar, blnm farklarn en st satrna eittir. Bylece; f(x) = 1- (x - 0) + (x - 0)(x - 1) -2/3(x - 0)(x - 1)(x - 2) veya f(x) = 1-x + x(x - 1) - 2/3x(x - 1)(x - 2)

lgili kiiler bu polinomun rnek 4.1.2de elde edilen polinomla ayn olduuna bakabilirler.

14

4.3 En Kk Kareler Regrasyonu Lineer Regrasyon Tablo 4.3.1de verilen veri grubu kk bir kasabada 10 - 50 yalarnda bulunan insanlar iin rasgele alnm veriler olsun.

15

16 h = a + bw w = c + dh

Figr 4.3.1 Kk bir kasaba iin uzunluk ve arlk dalmEn kk kareler regresyon hata vektr Ei bileenlerin karelerinin toplamnn minimizasyonu iin kullanlan bir yntemdir.

17(i) rnein Wde hi hata olmadn dnn, bylece fonksiyon yle minimize edilir : (4.3.3a) hdeki her bir hata yle ifade edilir :Ehi = hi - (a + bwi); i = 1, 2, 3, ..., N (4.3.3b)

(ii) hde hi hata olmadn varsayn, bylece fonksiyon yle ifade edilir. (4.3.4)

Wnin her bir noktasndaki hata yle hesaplanr:Ewi = wi - (c + dhi) ; i = 1, 2, 3, ..., N (4.3.4b)

Devam (iii)Varsayalm ki her iki deiken de hata iersin. Bu durumda h ve w deki kombine hatalarnn toplamlarn minimize edeceiz. Eer denklem 4.3.1 in ierdii w, zersek:w = -(a/b) +(1/b)h (4.3.5) Eer h ve w verilen hatalar arla eit (veya nemli) ise aada verilen fonksiyonun minimize edilebilecei sylenebilir :

(4.3.6)Denklem 4.3.3 & 4.3.4, ile verilen Sh or Sw minimizasyonu her biri aka gstermektedir. Dier tarafta Shw stndeki minimizasyon nemli balklardr.18

19Devam Fakat ilk olarak dorusal regrasyonu genel x ve y deikenlerinin terimleriyle formle edelim.

y = a0 + a1x (4.3.7)

ve (4.3.8) S minimumu bulurken ilk a0 trevi alnarak ise a1 ve bunlar sfra eitlersek

(4.3.9a) (4.3.9b) Aklama: EQS noktasnda S fonksiyonu gsterilebilir. 4.2.9 a & b S minimuma sahiptir (maksimum deildir). Bu da denklem 4.3.8 de gsterilen a0 ve a1 gzlenen S nin minimum zmlerine uygundur.

Devam Denklem 4.3.9 a & b yeniden dzenlersek ve basitletirirsekNa0+(xi)a1=y (4.3.10a)(xi)a0+(xi2)a1=xiyi (4.3.10b) Burada i = 1 den N kadar tmn zetleyelim. Bu iki denklem a0 ve a1 katsaylarna karar vermek iin yeterlidir.

20

N = 7 ; (xi) = -2.0 ; (yi) = -8.0 ; (xi2) = 56.0 ; (xi yi) = 30.0Bundan dolay denklemler kmelenerek zlebilir.: 7a0 + -2.0a1= - 8.0 a0 = -1.0-2.0a0 + 56.0a1 = 30.0 a1 = 0.5

rnek E4.2.4 Tablo 4.3.1 de verilen veriler dz bir doruya uygundur, ilk olarak w (arlk) deerlerinde hata olmadn varsayalm ve (ykseklik) deerlerinde de hata yok ise her iki denklemin sonularn karlatralm zm: Tablo 4.3.1 den: N = 11 ; (hi) = 18.75 ; (wi) = 775 ; (hi2) = 32.0853 ; (wi2) = 55,131 ; (hiwi) = 1,328.05 Denklemler h = a + bw iin zlrse x = w, y = h, a0 = a ierir ve denklem 4.2.10a & b deki a1 = b 11a + 775b = 18.75775a + 55,131b = 1,328.05 zmler: a = 0.768; b = 0.0133 Bu yzden, h = 0.768 + 0.0133w 21Devam Denklemler w = c + d h iin zlrse denklem 4.3.10a & b de x = h, y = w, a0 = c, a1 = d ierir.

11c + 18.75d = 775.0

18.75c + 32.0853d = 1,328.05 zmler: c = -25.32; d = 56.19 Bu yzden, w = -25.32 + 56.19 h iki durumdaki sonular karlatrrsak h = a + bw iin:

w = -(a/b) + (1/b)h

Eer w de hata yoksa c = -(a/b) = -57.74 ve d = (1/b) = 75.19, farkl anlaml basamakla bulduumuzu varsayalm w deerleri hataya sahiptir fakat h deeri deildir. Doru cevaplar bunlarn arasnda bir yerde olmaldr.22Devam (a, b) ve (c, d) deerlerinin her ikisinin verilen arlklar eit verilmitir. Denklem 4.2.1 & 4.2.2 kenarna ekleme yoluyla h zlebilir: h = [(a-c)/(1+d)] + [(1+b)/(1+d)]w h = 0.456 + 0.018w veya w = -25.33 + 55.56h dorusal olmayan analizi kullanarak problemleri zebiliriz. Burada hatann kareleri toplamn minimum yapmaya ihtiya duyarz Ei2 = [Ehi2 + Ewi2]1/2.

23

Pseudo Dorusal Olmayan Regresyon ssel ve g kural fonksiyonlarnn formuy = a ebx ; y = a xb(4.3.11) llen bu tahmini veriler genellikle mhendislikte kullanlr. rnein denklem (4.3.11) verilen basit stel eriye uydurma yoluyla hata fonksiyonunun minimizasyonuna ihtiya duyulur.S(a,b) = [ yi -( a ebxi) ] 2(4.3.13)

S in trevi alnarak a ve b sfra eit ise aadaki dorusal olmayan denklemler kullanlarak a ve b parametrelerine karar verilebilir.

[ yi -( a ebxi) ] (-2 ebxi) = 0(4.3.14a) [ yi -( a ebxi) ] (-2axiebxi ) = 0(4.3.14b)

Denklemler basite a zi2 = zi yi(4.3.15a)a xi zi2 = xi zi yi(4.3.15b)buradazi = ebxi(4.3.15c)24DevamDenklem (4.3.11) verilen stel fonksiyon gzlenerek problemi basitletirmek isteriz. Dorusallatrma iin her iki tarafn doal logaritmasn alrsak.ln(y) = ln(a) +b x (4.3.16a) yeni deikenler tanmlayaraky* = ln(y); a* = ln(a);b*=b;x*=x Bu yzden

y* = a* + b* x* (4.3.16b) Bu pseudo dorusal olmayan regresyon olarak adlandrlr.25rnek E4.3.2 Denklem (4.3.11) verilen verilerin stel fonksiyonu uydurmak iin pseudo dorusal olmayan metot kullanlr. Direk dorusal olmayan metot kullanlarak denklem 4.2.15 a&b nin ierdii a ve b parametreleri iin sonular karlatrlr. y = a ebx

i: 1 2 3 4 5 6 7 ------------------------------------------------------------ x: 0.05 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 ------------------------------------------------------------ y: 0.55 0.75 1.00 1.40 2.00 2.70 3.75 Her iki tarafn doal logaritmas alnarak ln(y) = ln (a) + b x y* = ln(y); a* = ln(a); b* = b, ve x* = x, deiken dnm ile tablo deitirilse i: 1 2 3 4 5 6 7 -------------------------------------------------------------------------- x*: 0.05 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 -------------------------------------------------------------------------- y*: -0.598 -0.288 0.00 0.336 0.693 0.993 1.322 N = 7; x*i = 8.45; (x*i)2 = 14.5625; y*i = 2.4580; (x*i y*i ) = 6.5266

26Devam Denklemler zlrse7 a*+8.45 b* = 2.4580 8.45 a* + 14.5625 b* = 6.5266 zmler a* = -0.63334; b* = 0.81568 imdi geri dnmle orijinal parametreler hesaplanabilir. a = exp(a*) = 0.5308 , b = b* = 0.81568 stenen eri: y = 0.5308 exp( 0.81568 x ) Tm dorusal olmayan regresyon zmleri denklem 4.3.15 a,b,&c metotlar kullanlarak zlebilir (ikiye blme metodu) blm 2 ye bakn. Dorusal olmayan regresyon zmleri:a = 0.5335; b=0.81284

27DevamTablo 4.3.2 iki zmn karlatrlmas.

Hatalarn karelerinin toplamlar: Ei2 = 2.75E-03 pseudo dorusal olmayan regresyon iin Ei2 = 2.70E-03 tam dorusal olmayan regresyon iin28

Dorusallatrma Verilen fonksiyonu istee bal olarak dorusallatrmak iin genel bir prosedr bulmak mmkn deildir fakat mhendislik uygulamalarnda fonksiyonlarn birka yaygn kullanm dorusal fonksiyonlar ieren tabu formlardr.

* Not: ln(A + B) lnA + lnB, fakat ln(AB) = lnA + lnB; ln(Ab) = b lnA 29

teratif Regresyon Farz edelim y = a + bxm (4.3.18)

. Dorusallatrmada ln(y-a) = ln(b) + m ln(x)(4.3.19) y* = ln(y-a), a0 = ln(b), a1 = m, x* = x Burada a bulunan fonksiyonun kesiimidir. ( y = a yannda x = 0 iin m > 0) bu durumda en iyi kullanm iteratif prosedrdr: ilk olarak a nn tahmin deerine bal olarak b ve m ye karar verilir. Sonra hatalarn kareleri toplamn minimum yapmaya allr. Eer a nn deeri deimiyorsa hata fonksiyonu minimize edilene kadar ilemler tekrarlanr.304.4 Polinomal RegresyonBurada,verilen herhangi bir m polinomal derecesinin dorusal regrasyonu iin blm 4.3 te sunulan prosedr genelleyeceiz. (4.4.1)Ksaca 2. derece polinomlar iin denklem tretelim daha sonra genel olarak uzatalm. Verilen ikinci derece polinomla; (4.4.2) Hatalarn kareleri toplam tanmlanrsa (4.4.3)

burada N verilen noktalarn toplam saysdr.31

DevamS hata fonksiyonunun minimumuma karar vermek iin aadaki denklemler zlrse; (4.4.4a)

(4.4.4b)

(4.4.4c)

32

Devam m dereceden polinom iin (m+1) denklem vardr ve toplu matris formunda yazarsak;

. . . . . . . . . . (4.4.5) . . . . .

33

34rnek E4.4.1Verilere uygun kbik polinom rnek . E4.3.2.de verilmitir

zm:Aadaki denklem grubu POLYREG program kullanlarak elde edilmitir

7.000000 a0 + 8.450001 a1 + 14.562500 a2 + 28.224130 a3 = 12.150000 8.450001 a0 + 14.562500 a1 + 28.224130 a2 + 58.240010 a3 = 20.407500 14.562500 a0 + 28.224130 a1 + 58.240010 a2 + 124.938300 a3 = 40.297380 28.224130 a0 + 58.240010 a1 + 124.938300 a2 + 275.132500 a3 = 84.611270Bunun zma0 = 0.5297; a1 = 0.4676; a2 = 0.07936; a3 = 0.1182Kbik polinomdan elde edilen sonular gncel vereilerle karlatrlmtr. Bunun sonularnn ok iyi olduu grlmektedir. Hata karelerinin toplam sl saylarda daha azdr (rnekte grlr E4.3.2). Dolaysyla bir kbik polinom bu sorun iin iyi bir seim olacaktr.35Devam

4.5 ok Boyutlu Dorusal Regresyon Ksaca ifade edersek rnekte sadece iki bamsz deiken dikkate alnmaldr ;F = F(x,y); e.g. F(x,y) = a + bx + cy (4.5.1) Veri noktalar kmesini verilen (4.5.1) formunun en kk karesine sdrmak iin hata fonksiyonunu en aza indirmemiz gerekmektedir. Aada verilmitir;

S(a,b,c) = (4.5.2)

36

37Devam Aadaki eitlikleri elde etmek iin sfr, a, b ve c ile ilgili olarak S nin trevine ayarlayabiliriz:

(4.5.3)

Yeniden dzenleme ve basitletirmenin ardndan unu elde ederiz:

(4.5.4)

Bu ilemler bilinmeyenli, a, b ve c denklemlerini belirler

38Devamok boyutlu problemlerde g fonksiyonlar dorusal biimde indirgenebilir. yle ki; F = axbyc (4.5.5) ln(F) = ln(a) + bln(x) + cln(y) (4.5.6) F* = ln(F); x* = ln(x); y* = ln(y); a* = ln(a); b* = b; and c* = c elde etmek iin; F* = a* + b*x* + c*y* (4.5.7) Denklem 4.5.1 de verilen dorusal fonksiyon yledir:rnek E4.5.1 Aadaki veriler bilinmeyen bir gazn basn lmlerinden (P),scaklndan(T) ve younluundan () elde edilmitir.Bu trlerin ideal bir gaz olup olmadn belirlemek iin P = T eitliinin ok boyutlu regrasyon analizini kullanarak renin .

zm: Yukarda verilen g kanunu her iki tarafn logaritmasn vermek zere dorusallatrlabilir.

F = ln P, x = ln ,y = ln T, a = ln , b = , c = . Dolaysyla iki bamsz deikenli bir lineer denklem elde ederiz. F = a + bx + cy (4.5.1)deki Denklem ile ayndr. zlecek denklem grubu denklem (4.5.4)te verilmitir. N=20 eklenerek, toplamlarn deerleri Tablo E4.5.1 denkleminde verilmitir. 20a + 27.08282b+ 135.605975c = 267.5132 27.08282a + 42.95078b + 181.5625c = 366.4602 135.605975a + 181.5625b + 921.51621c = 1813.819

39

3940Devamzm Gauss eliminasyon metodu kullanlarak elde edilmitir.yle ki;

a = 5.2438,b = 0.99994,c = 0.99964Bundan dolay = ea = 189.39; = b = 0.99994; = c = 0.99964P TR = = Sabit gaz; R = 189.39 J/kgK, Ru = 8314 J/kmolK Molekler arlk yle verilmitirM = = = 43.90 Bu gaz byk ihtimalle arl 44 orannda bir molekl olan CO2 dir ve ideal bir gazdr nk duruma en yakn denklem P = RT, dir.

41Devam

42Devam

4.6 Spline Eri Uydurma ve nterpolasyon 50 nokta ieren bir veri seti verildiini dnn, nasl 49. derece bir polinom gibi grnecektir ve katsaylar belirlemek ne kadar zor olacaktr . Tm verilerin alt kmesine peace-wise polinomlar sdrmak alternatif bir yntemdir. (Ayn anda, iki, ya da drt noktadan demek istiyoruz), daha sonra, ekil 4.6.1 'de gsterildii gibi iki komu aralk iin ortak olan bir noktada buraya yama yapnz. Snrlar birbirine komu iki aral olan noktalar istenildii gibi seilebilir fakat bizim amacmz dzgn eriler elde etmektir.43

44DevamDzgnlk derecesi eit ortak noktadaki fonksiyonlarnn trevlerini yaparak gelitirilebilir. "Spline" ad erilerin yumuakln ifade eder ve bu spline olarak anlan mhendisler tarafndan uakta verilen noktalarn eri yumuakln ayarlamak iin kullanlan elastik ubuklardan tretilir. kinci dereceden Spline Burada, her aralk iin belirlenecek polinomlar 2. derecedir ve yle ki;Pi (x) = ai + bix + cix2(4.6.1) i = 1, 2, 3, , nN aralnn says byle bulunur.ncelikle biz her polinom aralnn iki u noktadan gemesi gerektiini ngrmekteyiz .Her i nci aralk iin byledir.

yi-1 = ai + bixi-1 + cixi-12(4.6.2a)yi = ai + bixi + cixi2(4.6.2b) For i = 1, 2, 3, , nekil 4.6.1 'de grld gibi i nci araln her iki ucu (xi-1, yi-1) ve (xi, yi) dir.

4546DevamDenklem 4.6.2 2n denklemlerini tekil eder ancak derecesi 3 olan n polinomlar iin bilinmeyen katsay says 3n'dir.

Sonra, eri yumuaklklarn birletirmede iki komu polinomun ilk trevlerinin balantl noktalada eit olmas gerekir. bi +2cixi = bi+1+2ci+1xi+1(4.5.2c) Bu bize ek n-1 denklemlerini verir. nceki gerekli denklem, genellikle her birinci polinomun veya ilk veya son noktadaki sonraki sfr polinomunun ikinci trevi gerektiinden tretilir. Bu, tabi ki ilk ya da son erinin dz bir izgi olduu anlamna gelir. Dolaysyla problemimiz iin daha uygun olan c1 = 0 ya da cN = 0 alrz. 47rnek E4.6.1kinci dereceden spline erisini f(x) = 1/(1+x2) dan tretilen aada verilen veriye 3 aralnda uydurunuz.

zm: Denklem 4.6.2 a ve 4.6.2b elde edilir(unutmayn ki ilk polinom iin, ikinci trev 0 deeri alr. =0 ) i = 1a1 + b1x0 = y0a1 + b1x1 = y1 i = 2a2 + b2x1 + c2x12 = y1a2 + b2x2 + c2x22 = y2 i = 3a3 + b3x2 + c3x22 = y2a3 + b3x3 + c3x32 = y3

i0123x0.00.51.01.5y1.00.80.54/13

Devam Denklem 4.6.2c i = 1b1 + 0 = b2 + 2c2x1i = 2b2 + 2c2x2 = b3 + 2c3x2

Burada zlecek 8-denklem 8 - bilinmeyen katsaylar tespit etmek iindir.. Tablodaki x ve y deerlerini yukardaki denkleme yerletiririz ve aadaki matris denklemini elde etmek iin yeniden dzenleriz. [A] {C} = {R} 48

4849Devam

zm MATLAB 4.2 kullanlark u ekilde elde edilir;a1 = 1.0, b1 = -0.4, a2 = 0.9, b2 = 0.0, c2 = -0.4 a3 = 2.1308, b3 = -2.4615, c3 = 0.8308Her aralk iin polinomlar u ekildedir;i = 1y = 1.0 0.4x = p1(x)i = 2y = 0.9 + 0.0x 0.4x2 = p2(x)i = 3y = 2.1308 2.4615x + 0.8308x2 = p3(x)

Blm 4 Sonu50ReferanslarCelik, Ismail, B., Introductory Numerical Methods for Engineering Applications, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. Numerical Methods, Algorithms and Applications, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458

Rao, Singiresu, S., Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., Numerical Methods Using MATLAB Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458Varol, A., Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001http://math.uww.edu/faculty/mcfarlat/inverse.htm

51Sheet1x0123y1010

Chart41.551.61.61.631.651.71.721.751.81.851.9

&APage &Ph (m)Arlk(kg)Uzunluk (m)

Sheet1h (m)w (kg)1.55611.6631.6711.63591.65691.7681.72741.75731.8781.85811.978w (kg)h (m)611.55631.6711.6591.63691.65681.7741.72731.75781.8811.85781.9

&APage &P

Sheet100000000000

&APage &Perrorh (m)Weight (kg)Height (m)

Sheet200000000000

&APage &Perrorw (kg)Height (m)Weight (kg)

Sheet3

&APage &P

Sheet4

&APage &P

Sheet5

&APage &P

Sheet6

&APage &P

Sheet7

&APage &P

Sheet8

&APage &P

Sheet9

&APage &P

Sheet10

&APage &P

Sheet11

&APage &P

Sheet12

&APage &P

Sheet13

&APage &P

Sheet14

&APage &P

Sheet15

&APage &P

Sheet16

&APage &P

&APage &P