Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL SAYISAL YÖNTEMLERYÖNTEMLER

SAYISAL YÖNTEMLER

4.HAFTA İÇERİĞİ4.HAFTA İÇERİĞİ

-Regula Falsi (Yer -Regula Falsi (Yer Değiştirme)YöntemiDeğiştirme)Yöntemi

-Sekant Yöntemi-Sekant Yöntemi

-Örnekler-Örnekler

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

Regula Falsi (Yer Değiştirme) Yöntemi

f(x)f(x) fonksiyonunun a ve b değerleri için f(a)f(a)

ve f(b)f(b) ters işaretli ise ( f(a) f(a) ··f(b) < 0f(b) < 0 )

bu aralıkta bir kökkök vardır.

Bu yöntemde (a,b)(a,b) aralığında fonksiyon

uygun bir doğrubir doğru ile yer değiştirilerekyer değiştirilerek

kök aranır.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

0

y

x

a

kök

b

c

f(b)

f(a)

f(x)

f(c)

cc ile aa aynı tarafta ise ( f(a) f(a) ··f(c) > 0f(c) > 0 ) kökkök c c ile bb arasında aranır.

Fks.nun f(a)f(a) ile f(b)f(b) arasında kalan yayı doğru halinde getirildiğinde x x eksenini kesen cc noktası kökkök değerine daha yakındır.

f(a) f(a) ··f(c) > 0f(c) > 0

Kökün c ile b arasında olma şartı

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

f(a) f(a) ··f(c) < 0f(c) < 0

0

y

x

a

kök

bc

f(b)

f(a)

f(x)

f(c)

cc ile bb aynı tarafta ise ( f(a) f(a) ··f(c) < 0f(c) < 0 ) kökkök aa ile cc arasında aranır.

Fks.nun f(a)f(a) ile f(b)f(b) arasında kalan yayı doğru halinde getirildiğinde x x eksenini kesen cc noktası kökkök değerine daha yakındır.

Kökün a ile c arasında olma şartı

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

f(a) f(a) ··f(c) < 0f(c) < 0

0

y

x

a

kök

bc

f(b)

f(a)

f(x)

f(c)

a, c, f(a) f(a) üçgeni ile b, c, f(b)f(b) üçgeni benzer benzerdir.

f(b)

f(a)

f(b)

f(a)

b

a

c

c

bc

ac

f(b)

f(a)

cb

ac

f(b)-f(a)

f(b)f(a)

abc

c noktasının hesabı

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

1) Uygun alt (a) ve üst (b) değer seçilir (f(a) f(a) ··f(b) < 0f(b) < 0

olmalı)

2) Bu değerler için f(a) f(a) veve f(b) f(b) hesaplanır.

3)3) c c değeri bulunur

4)4) f(c)f(c) değeri hesaplanır. Eğer f(c)f(c) = 0 ise kök c dir.= 0 ise kök c dir.

f(c)f(c) ≠≠ 0 ise işleme 0 ise işleme

devamdevam

5)5) f(a) f(a) ··f(c) > 0 ise f(c) > 0 ise a = ca = c

f(a) f(a) ··f(c) < 0 ise f(c) < 0 ise b = cb = c

alınarak 1. basamağa geri dönülür.

İşlem sırası İşlem sırası

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

Regula Falsi (yer değiştirme) yönteminde iterasyona iki

şekilde son verilir.

1) Bulunan c c değeri için f(x)f(x) fonksiyonunun değeri 00 ise

(f(x)f(x) = 0 ise);= 0 ise);

2)2) ||εεtt||< εεkk ise; iterasyona son verilir.

Eğer bu durumlar sağlanmıyorsa c yer değiştirilerek

işlemler tekrarlanır.

İterasyona son vermeİterasyona son verme

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

f(x) = x3 – 6x2 + 13,5x- 9 denkleminin kökünü, a=0,5 ve b=1,5 alarak Regula Falsi yöntemiyle çözünüz. (εk=0.001)

ÖRNEK:ÖRNEK:

1)

0

y

x

0,5

f(x)

1

1,5 2

3)

f(a) = -3,62

f(a) f(a) ··f(b) < 0 f(b) < 0 olduğundan (a,b) olduğundan (a,b) aralığında kök aralığında kök vardır vardır

2631571f(b)-f(a)

f(b)f(a),

abc

2)f(b) = 1,125

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

4) f(c) ≠ 0 ol.dan işleme devamf(c) = 0,4946

5) f(a) f(a) ··f(c) < 0f(c) < 0 olduğu için b = c olduğu için b = c yazılarak 1. basamağa geri dönülüryazılarak 1. basamağa geri dönülür

1) a = 0,5 b= 1,263157

2) f(a) = -3,62 f(b) = 0,4946

3) c = 1,171520

4) f(c) = 0,1886f(c) ≠ 0 ol.dan işleme devam

5)f(a) f(a) ··f(c) < 0f(c) < 0 olduğu için b = c olduğu için b = c

yazılarak tekrar 1. basamağa geri yazılarak tekrar 1. basamağa geri dönülürdönülür

kt

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

aa bb f(a)f(a) f(b)f(b) cc f(c)f(c) f(a). f(c)f(a). f(c) εεtt

… … … … … … …

… … … … … … … -0,0782

0,5 1,17520 -3,62 0,1886 1,138305 0,06763 < 0 -0,02917

0,5 1,138303 -3,62 0,06763 1,126614 0,0237 < 0 -0,0103

0,5 1,126614 -3,62 0,023 1,122544 0,0082 < 0 -0,00362

0,5 1,122544 -3,62 0,0082 1,121132 0.00285 < 0 -0,00125

0,5 1,121132 -3,62 0,0028 1,120643 0.00098 < 0 -0,00043

Kök c= 1.120643 | | εεt t |< |< εεk k

olduğu için iterasyona olduğu için iterasyona son verilir.son verilir.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

ÖDEV:ÖDEV:

1) f(x)= 2x2 -5sinx denkleminin kökünü a =1,2 b=2 için εk = 0.0001 hassasiyetle Regula Falsi yöntemini kullanarak bulunuz.

2) x3 =79 denkleminin kökünü ikiye bölme ve Regula Falsi yöntemleriyle bulunuz εk = 0.0001 (alt ve üst değerleri grafik çizip kendiniz belirleyeceksiniz)

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLERSekant Yöntemi

Newton-Raphson yönteminin uygulanması sırasında türev

alınmasında zorluklarla zorluklarla karşılanabilir.

0

y

x

kök

f(xk)

f(xk-1)

xkxk-1

Böyle

durumlarda türev

geriye doğru

sonlu farklar sonlu farklar

yaklaşımıyaklaşımı ile

bulunur.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

0

y

x

kök

f(xk)

f(xk-1)

xkxk-1

k1-k

k1-kk x-x

)f(x)f(x)(xf

)(xf

)f(xxx

k

kk1k

)f(x-)f(x

)x(x)f(xxx

k1-k

k1kkk1k

Bu yöntemde hesaplamalara başlamak için 2 tane ilk ilk tahminetahmine ihtiyaç duyulur. Fakat tahminler arasında f(x)f(x) işaret değiştirmek zorunda değildir.

Sonlu farklar yaklaşımıyla :

Newton-R. nın genel hali

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

f(x) = e-x –x denkleminin kökünü Sekant yöntemiyle çözünüz. (xk-1= 0, xk=1, εk=0.001)

ÖRNEK:ÖRNEK:

f(xk-1) = f(0) = e0 – 0 = 1

f(xk) = f(1) = e-1 – 1 = -0,63212

)f(x-)f(x

)x(x)f(xxx

k1-k

k1kkk1k

612700(-0.63212)-1

1)(00.63212-1x 1k .

632120612700

1612700

x

xxε

1k

k1kt .

.

.

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

xxk-1k-1 xxkk f(xf(xk-1k-1)) f(xf(xkk)) xxk+1k+1 εεt t

0 1 1 -0.63212 0.61270 -0.6321

1 0.61270 -0.63212 -0.07081 0.5638 0.0867

0.61270 0,5638 -0.07081 0.0051 0.56717 0.0059

0.5638 0,56717 0.005181 -4.2x10-5 0.56717 0

Kök = 0.56717

Yıld

ız T

ekn

ik Ü

niv

ersi

tesi

M

akin

a M

üh

. B

ölü

mü

SAYISAL YÖNTEMLER

ÖDEV:ÖDEV:

1) f(x)= 7.sinx.e-x -1 denkleminin kökünü Sekant yöntemini kullanarak bulunuz. (xk-1=0.5 , xk= -0.4, εk = 0.0001 )

2) f(x)= 2.x2 - 5.sinx denkleminin kökünü Sekant yöntemini kullanarak bulunuz. (εk = 0.0001 , ilk tahmin değerlerini fonksiyonun grafiğini çizerek kendiniz belirleyiniz. )