YGS GEOMETRİ Cilt1 - altinnokta.com.tr · Geometri; nokta, doğru, düzlem, düzlemsel şekiller,...
Transcript of YGS GEOMETRİ Cilt1 - altinnokta.com.tr · Geometri; nokta, doğru, düzlem, düzlemsel şekiller,...
Bölüm 01 : Açı ve Açısal Kavramlar ...................................................................................7
Bölüm 02 : Üçgende Açılar ................................................................................................23
Bölüm 03 : Dik Üçgenler ....................................................................................................41
Bölüm 04 : İkizkenar ve Eşkenar Üçgenler ........................................................................65
Bölüm 05 : Üçgende Alanlar ..............................................................................................77
Bölüm 06 : Üçgende Açıortay Bağıntıları ...........................................................................109
Bölüm 07 : Üçgende Kenarortay Bağıntıları.......................................................................133
Bölüm 08 : Üçgende Benzerlik ...........................................................................................155
Bölüm 09 : Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları ......................................................................191
Bölüm 10 : Trigonometri .....................................................................................................221
Bölüm 11 : Çokgenler.........................................................................................................235
Bölüm 12 : Dörtgenler ........................................................................................................269
Bölüm 13 : Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen ....................................................................293
Bölüm 14 : Dikdörtgen........................................................................................................317
Bölüm 15 : Kare .................................................................................................................333
Bölüm 16 : Deltoid ..............................................................................................................347
Bölüm 17 : Yamuk ..............................................................................................................357
İÇİNDEKİLER
GEOMETRİ
Bir yüzey parçasını doğru olarak bölmek gereksinimi, cisim ve biçimleri ölçme ve sayı ile anlatma bilgisi olan geometriyi doğurmuştur. Bu nedenle bu dersin, insanların günlük yaşamlarıyla ilgili bir yeri vardır (Fidan, 1986).
Çocukların geometri düşüncelerinin gelişimini; geometrik cisimlere dokunarak cisimleri keşfettikle-ri, şekillerin çizimleri ile perspektif oluşturduklarını ve uzamsal becerileri ise, cisimlere el temasının zihinsel döndürme ve uzamsal görselleştirme üzerine olumlu bir etkisi olduğunu vurgulamışlardır (Clements ve Battista,1992; Werthessen, 1999).
Çocuklar, daha okula başlamadan önce geometri ile ilgili birçok deneyime sahip olmaktadırlar. Za-manlarının çoğunu şekillerle ilgili olarak araştırma yapma, oyun oynama ve yapılandırma ile geçir-mektedirler. Oyun oynarken şekiller arası ilişkileri doğal olarak kurmaktadırlar. Çocuklar daha çok ellerinde bulunan şekilleri sınıflama yaparak, bir araya getirerek ve yuvarlayarak deneyim sahibi olabilirler. Çocukların okula başlamadan önce örendikleri bu ilk deneyimler daha sonraki yıllarda geometri çalışmalarının da temelini oluşturmaktadır. Bu nedenle, çocukların daha okula başlamadan karşılaştıkları bu ilk deneyimler okul matematiğine uygun olarak eğitici ve istenilen düzeyde olmalı-dır (Burns, 2000, s. 79). Geometri soyut kavramlar ve ilişkiler üzerine inşa edildiği için ilköğretimin birinci kademesinde dikkatle verilmesi gereken bir alandır. Birinci kademe örencileri somut ve sonlu nesneler yoluyla kavramları ve ilişkileri anlayabileceğinden geometri alt örenme alanları mümkün olduğunca çocuğun yaşadığı, görebileceği yakın çevreden ve algılayabileceği düzeyde ele alınmalı-dır (MEB, 2005; s. 27).
İlköğretim geometri konularının öğretimi matematiğin diğer konularının öğretimi kadar önemlidir. İlköğretimdeki matematik öğretiminde geometri konularına da yer verilmesinin bazı sebepleri aşağı-dakiler olabilir (Baykul, 2005:363).
1. İlköğretimde matematik çalışmaları arasında eleştirici düşünme ve problem çözme önemli bir yer tutar. Geometri çalışmaları, öğrencilerin eleştirici düşünme ve problem çözme becerilerinin gelişmesinde önemli katkı getirir
2. Geometri konuları, matematiğin diğer konularının öğretiminde yardımcı olur. Örneğin kesir sa-yıları ve ondalık sayılarla ilgili kavramların kazandırılmasında ve işlemlerin tekniklerinin öğreti-minde dikdörtgensel, karesel, bölgelerden ve daireden büyük ölçüde yararlanılır.
3. Geometri, matematiğin günlük hayatta kullanılan önemli parçalarından biridir. Örneğin odaların şekli, binalar, süslemelerde kullanılan şekiller geometriktir.
4. Geometri, bilim ve sanatta da çok kullanılan bir araçtır. Örnek olarak mimarların, mühendislerin geometrik şekilleri çok kullandıkları; fizikte, kimyada ve diğer bilim dallarında geometrik özel-liklerin fazlaca kullanıldığı gösterilebilir.
5. Geometri öğrencilerin içinde yaşadıkları dünyayı daha yakından tanımalarına ve değerini takdir etmelerine yardım eder.
6. Geometri, öğrencilerin hoş vakit geçirmelerinin hatta matematiği sevmelerinin bir aracıdır.
Fischbein ve Nachlieli (1998)’e göre muhakeme sürecinde şekil ve kavram arasında gerçekleşen etkileşimin kavramın kontrolünde gelişmesi, oluşturulan öğretim ortamının yapısına bağlıdır ve öğ-retim ortamına öğrencilerin şekil ve kavram arasındaki etkileşimi görebilecekleri örneklerin getiril-mesi çok önemlidir. Bu örnekler öğrencilerin, kavram ve şekil (zihinsel imge) arasında gerçekleşecek muhtemel uyumsuzlukları kavramın kontrolünde çözmeleri gerektiğini anlamalarına hizmet edecek şekilde hazırlanmalıdır. Örneğin sınıf içi bir etkinlikte kare ile dikdörtgenin şekilsel özelliklerine ba-kıp, aralarındaki ilişkiyi göremeyen öğrencilerin kavramsal yönlerini güçlendirmek gerekmektedir. Dikdörtgenin tanımı gereği kareyi de içine alan geometrik bir şekil olduğu ancak kavram bilgisi ile çözülebilecek bir süreçtir.
Geometrik nesnelerin kavramsal özelliği yapılan matematiksel işlemlerin mantıksal tutarlılığını ve genellenebilirliğini garanti altına alırken, şekil olarak temsil edilmesi, keşif için gerekli sezginin temelini oluşturmaktadır (Fischbein ve Nachlieli, 1998; Fischbein, 1993).
Geometri öğretiminde öğrencilerin yüksek düzey zihinsel beceriler kazanması çok önemlidir. Bu zihinsel becerilerden biriside keşfedilen ilişkinin genellenebilirliğini sağlamaktır (Güven,2002). Matematikte bir teoremin ispatıyla yapılmak istenen aslında keşfedilen ilişkinin genellenebilirliğini garanti altına almaktır (Yıldırım,2000).
Geometri, çeşitli bilim dallarında yaygın olarak kullanılan, temel eğitim matematiği içinde tüm dün-yada önemli bir alandır. Geometrinin yarattığı bakış açısı sayesinde öğrenciler problemleri analiz edebilir, çözebilir ve matematik ile yaşam arasında bağ kurabilirler. Bunun yanında, geometrik gös-terimler soyut kavramların anlaşılmasında yardımcı olur (Duatepe, 2000: 562). Geometri çalışmanın öğrencilere pek çok faydası vardır. Geometri sayesinde, çevrelerindeki dünyayı ifade etmeye ve anlamaya başlarlar, problemleri analiz ederler ve çözebilirler, soyut sembolleri daha iyi anlamak için şekilsel ifade edebilirler. Aynı şekilde, ölçmenin de öğrencilerin günlük hayatla okul matematiği ara-sında bağ kurması açısından büyük faydaları vardır (Strutchens, Haris, Martin, 2003: 1-4 akt. Gülten ve Gülten, 2004: 74).
Öğrenciler öğrenme-öğretme sürecinde kendileri için anlamlı ve somut hedefler olduğunda, öğretim faaliyetlerinde daha etkin olarak yer alır. Bunun yanı sıra öğrencilerin kendi kişisel deneyimlerini birleştirmeleri bilişsel yeteneklerin gelişmesinde büyük bir katkı sağlar. Öğrencilerin yaparak ya-şayarak öğrenmelerinin onlar için daha anlamlı olduğu ve öğrenmedeki kalıcılığın arttığı yapılan araştırmalarla ortaya konulmuştur. Öğrenme- öğretme sürecinde bireyi, öğretmenden bilgileri alan pasif bir alıcı konumundan araştıran, inceleyen ve bilgiye ulaşan ve bilgileri anlamlandıran öğrenen-ler haline getirmek çağdaş eğitim anlayışının temelini oluşturmaktadır (Demirel, 2002. Akt: Ceren, E ve Önder, A, 2012)
Öğrenmenin aktif ve katılımlı bir süreç olduğu göz önüne alınırsa, matematik öğrenirken öğrencile-rin yaparak, yaşayarak ve uygulayarak öğrenmelerini sağlayan öğrenme ortamlarının hazırlanması önemlidir. Öğrencilere, matematik öğrenirken, mümkün olduğu kadar etkin ve katılımlı öğrenme ortamları sağlayacak etkinlikler sunulmalı ve bu konuda gerekli araç ve gereçler de sağlanmalıdır (Ersoy, 1998; Milli Eğitim Bakanlığı, 2005; National Council of Teachers of Mathematics, 1998; National Research Council, 1990). ilköğretim ve ortaöğretim düzeyinde kısmen farklılaşmakla bir-likte; farklı ilgi, yetenek ve zeka yapılarına sahip öğrencilere hitap edebilecek ve onları da etkin kılabilecek zenginlikte etkinliklerin uygulanmaması, gereğince günlük hayatla ilişkilendirilme ya-pılmaması, özellikle ilköğretim öğrencileri için soyut konuların yeterince yapılandırılmaması ya da gerekli biçimde somutlaştırılmaması ve öğrencinin matematik bilgisi yapılanırken müfredatı yetiştir-me kaygısıyla gerekli öğrenme sürecinin aceleye getirilerek sadece bilgi aktarımı ve soru çözümüy-le yetinilmesi, ortak bazı önemli sorunlardır. Bu ve benzeri sıkıntıların giderilmesi için matematik öğretiminde, sadece belli kesim öğrencilerin değil farklı öğrencilerin de ilgisini çekebilecek ve öğ-rencileri aktif kılacak, anlamlı, yeterince somut ve olabildiğince günlük hayatla ilişkili etkinliklerden yararlanılmalıdır (Adams, 2000; Baki, Çatlıoğlu, Coştu and Birgin, 2009; MEB, 2005; NRC, 1990; Schoenfeld, 1992; NCTM, 1989).
Geometri; nokta, doğru, düzlem, düzlemsel şekiller, uzay, uzaysal şekiller ve bunlar arasındaki iliş-kilerle geometrik şekillerin uzunluk, açı, alan, hacim gibi ölçülerini konu edinen matematiğin bir dalıdır (Baykul, 1998). Geometri, öğrencilerin gerek doğal varlıkların gerekse ev ve iş yaşamlarında kullanmış oldukları nesnelerin hangi geometrik özellikleri sayesinde fonksiyonlarını yerine getire-bildiklerini öğrenmeleri açısından önemlidir. Geometri öğretiminde ve öğrenciler tarafından anlaşıl-masında bazı sıkıntılar olduğu belirtilmektedir (Yılmaz, Keşan ve Nizamoğlu, 2000). İyi planlanmış etkinlikler, uygun araçlar ve öğretmen desteğiyle öğrenciler, geometriyle ilgili kavramları keşfedebi-lirler ve geometri ile ilgili düşüncelerini geliştirebilirler.
109
BÖLÜM
6
Örnek:
�
� � ���
�
ABC bir üçgen
|AB| = 10 cm
|AC| = 20 cm
|BN| = 5 cm
|AB||AC|
= |BN||NC|
1020 = 5
x
Örnek:
�
�
� �
� �
�
�
ABC bir üçgen
[BD] [AC]
|AD| = |DC|
|BE| = 8 cm
|EA| = 6 cm
�
�
� �
� �
�
�
�
-
-
|BE||BC|
=
= 814 = 4
7
Örnek:
�
� �� �
ABC bir üçgen
|BC| = 18 cm
|AB||AC|
= 45
|AB||AC|
= 45
= |BN||NC|
|BN||NC|
= 4k5k
�
� ������� � ��
|BC| = 18 = 4k + 5k
9k = 18
k = 2
Örnek:
�
� �
�
�
� �
��
[AB] [BC]
|AB| = 8 cm
|DC| = 9 cm
|BC| = 15 cm
-
A(AOC) = A(BOC)
cb =
x
k2
110
�
� �
�
�
� �
��
�
�
� �
|AD|2 = |KA|2 + |KD|2
6
Örnek:
�
� �� �
� �
ABC bir üçgen
|AB| = 12 cm
| AC| = 15 cm
�
� �� �
� �
�����������������
|AB||AC|
= |BN||NC|
1215
= x
45
= x
Örnek: �
� �
�
��
�
��
ABC bir üçgen
[AB] [AC]
|AD| = 6 cm
|EC| = 8 cm
2
�
� �
�
��
��
�
�
���������
A(DEC) = 2 =
2 = 24 cm2
Örnek:
�
� �
�
��
��
�
ABC bir üçgen
[AB] [AC]
|DC| = 15cm
-
-
-
-
-
ABC ikizkenar üç-
-
111
�
� �
�
��
��
�
�
�
�
��
-
|AB| = a
|AB| = |BH| = a
|BC | = a
|DC|2 = |DH|2 + |HC|2
(15)2 = x2 + 122
225 = x2
Örnek:�
� ��
���
ABC bir üçgen
|DB| = 8 cm
|EC| = 12 cm
2 2
�
� ��
�
��
��
����
���
�
�����
�� �
-
A(DBN) + A(ENC) = 60
2 +
2 = 60
2 + 2
= 60
A(DBN) = 2 =
22
�
� �� �
� �
�
mn
= cb
mc
= nb
A
nA2 c
b = mb
= A(ABN)A(ANC)
Örnek:
�
� � ���
�
|BN| = 12 cm
x = 1215
= 45
-
-
-
|DC||DB|
= |AC||AB|
bc =
x
k2
112
Örnek: �
� � ���
!�
n
mn
= 67
Örnek:
�
� � �
��
��
x = 5
15 = 1
3
Örnek:
�
� ��
��
�
a
ab
= 1012
= 56
Örnek:
�
� � ���
��
ABC üçgen
|AB| = 6 cm
|AC| = 12 cm
4x
= 612
�
� � ���
��6x = 48
x = 8 cm
�
� � ���
��
6x = 48
Örnek: �
� � ��"
�� |BN| = 3
3x = 48
Örnek:
�
� � ���
��
16x = 64
113
Örnek:
�
� � ��
��
|BN| = 4
Örnek:
�
� �
�
�
��
��!
|AN||NC|
= 26
2k/ /
Örnek:
�
� � ���
�#�
8x = 4(x+10)
Örnek:
�
� � ��
!"
ABC üçgen
|AB| = 3 cm
|AC| = 7 cm
�
� � �����
!"
������������� 10x = 18
Örnek:
�
� � ��
�
ABC üçgen
|AB| = |NC|
|BN| = 5 cm
�
� � ��
�
�
� x2 = 100
Örnek:
�
� � ��
ABC üçgen
|AB||AC|
= 35
�
� � ���������������������
"� ��
|AB||AC|
= 35
k/ k/
8x = 120
|AB|
|AC| =
|BD|
|CD|
-
|AB|
|AC| =
|BD|
|CD| = m
n
-
|AD|2
m(N
114
Örnek:
�
� �
��
�
ABC üçgen
|AB| = 6 cm
|AN| = 4 cm
|NC||CB|
= |AN||AB|
�
� �
��
�
��
��
|NC||CB|
= 46
6k + 4k = 40 10k = 40
Örnek:
�
��
�
��
�
���
-
|AB| = 8 cm
|AC| = 12 cm
�
��
�
��
�
���
"���
A |BN||NC|
= 812 = 2
3
B / /
Örnek:
�
� �
�
�
�
���
�
���
-
|AB| = 12 cm
|BN| = 4 cm
|NC| = 5 cm
�
� �
�
�
�
���
�
���
�����
A
Örnek:
�
� � ��� �
�� �
|AB| = 10 cm
|BN| = 8 cm
|ND| = 12 cm
115
�
� � ��� �
�� �
�����
A
8n = 120
A|AD||DC|
= 159
= 53
Örnek:
�
� � ��
��
�
�
ABC üçgen
|AD||DN|
= 3
|BN| = 8 cm
�
� � ��
��
�
�
"�
�
����
|AD||DN|
A / /
A
8x = 240
Örnek:
�
� � �
�
�
��
�
�
ABC üçgen
[AN] [BD]
|BE| = |ED|
|AD| = 6 cm
|DC| = 2 cm
�
� � �
�
�
��
�
��
A
-BD ikizkenar
A
Örnek:
�
�
�
�
�
$
� #
�
�#�
|BP| = 10 cm
|PC| = x + 4 cm
|PB| = |PC| |AB| = |AC|
116
Örnek:
�
� � ��
��
"�
�
ABC üçgen
[ND] [AB]
|DN| = 3 cm
|AN| = 5 cm
[NE] �
� � ��
�"
��
�
�
�
"
�������
����
��
��
|
A
|AE|2+32 = 52
Örnek:
�
�
�
� �
��
��
[AD] [DB]
[AB] [BC]
m(DAB) = m(BAC)
|AD| = 16 cm
[BE]
�
�
�
� �
��
��
� ���� �
����������
�
�
|AE| = |AD| = 16
82
Örnek:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
[AB] [BC]
m(BAC) = m(CAD)
|AB| = 16 cm
|BC| = 12 cm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���������
����
����
�
��
��
[AE]
|AE| = |AB| = 16
Örnek:
�
� � ���%
�����%
ABC üçgen
m(ABC) = 60°
m(ACB) = 45°
|NC| = 6
[ND] �
� � ���%
�����%
�
�
"% ��%
�
��"
[NE]
N
D
|BN| = 4
235
ÇOKGENLER
BÖLÜM
11
Çokgen
1 2 3, ... gibi n tane (n
çokgen denir.
�
��
��
67��8�3 �79�:3�;�9���<=
tür çokgenlere
denir.
�
�
�
� �
biri çokgeni kesmiyorsa
çokgen denir.
2/>��7/
2/>��7/
�
�
�
�
çokgenin kenar
genin denir.
denir.
çokgenin
elde edilebilir.
çokgen denir.
� �
�
>�3��(�87:3�;28.:8��87:3�=
��(3;28.:8��2?(+:3�=
� �
� �
�
�
� �
�
kenarlar paraleldir.
236
ÇOKGENLER
� �
� �
�
��� �
��
�
�
� ��
�
� -
�
�
�
�
n
n
��������
�
�� (
,
e
� �
�
� �
görülüyor.
��
�
� �
�
�
��
�
� �
�
4
�
�
�
��
�����
2
239
ÇOKGENLER
2
2
2
��
�
�
� �
�
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
� gene
m(
ise n .
n
• Bir düzgün sekizgende
� �
�
�
�
� �
�
�
�
"�%
"�%
�%
"�%
"�%
�%
m(B
NOT—————————
tanedir.
240
ÇOKGENLER
�
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
��"��
"%�
%
"%
�%�
�
ABCDEF bir düzgün
|FC| = 2x dir.
�
�
�
�
�
-
Bir düzgün çokge
da kenar atlana
�
-
��
��
�
��"%
-
��
��
�
�
"%
"%"%
�%
�
� �
�
�
��
2 ise
�
� �
�
�
��
2
2
22
241
ÇOKGENLER
� �
�
�
�
dn2
– 1n
d(n–1)2
– 1n
� �
�
�
��
çokgen
ise
�
�
�
��
��
m (B
212
�%
�
�
��
çokgen
%
�
�
��
%%�%
%
n
•
�
�
�
�
�
�
��
� gen olmak üzere,
242
ÇOKGENLER
�
� � �
�%çokgen
�
� � �
�%
�� �%#�
dersek,
m(B
n
�
��
�
�����
�
��
�
�
�
� �
�
�
@
�$
gün çokgenin simet
ri eksenleridir.
na simetri ekseni denir.
� � �
'
�
�
��
@
�
$�
�
�
�
�
�
birer simetri eksen
leridir.
ri eksenleridir.
� �
�
�
-�
�
�
"
� �
�
�
-�
�
�
"
�
�
tay teoreminden
ise
3
-
� �
�
�
�
-
� �
�
�
�
��
��
243
ÇOKGENLER
idir,
67+3A3+73��3(
73<(3B73��3(
,
@
(
�
�
�
�
�
�
�
�
��
çemberin merkezi,
merkezi
birle
n
�
�
�
�,
(
.. çokge
rinin merkezi
� �
�
�
�
�
-�
�
� �
�
�
�
�
-�
�
�)�)
�))
)
))
3
���
�,
@@
@
@@ ) )
))
�
�
� �linde n tane üçgenin
12
n2
2. sin n
olarak
��% ��
� �
�
�
�
-
�
,
12
12
. 4 . 4 . 22
32 2
244
ÇOKGENLER
� �
��
�
���
�
� �
�)
�
�
�
�
�
gen içerisinde
a2 34
� �
��
�
3 2 ise
� �
��
��
���%"%
"%
"%��" �
dersek,
a.a 32
2 dir.
2
245
ÇOKGENLER
n2
!%
% !%
!%
!%
�%
%
%
�%
�%
%
�%
"
�
�
����?>3:3�C�<�(0"�87:3�&3B��?B5:3 3�� (/B�/>D
"��?>3:3�C�<�(0��87:3�&3B��?B5:3 3�� (/B�/>D
�"
�
�"
�
melidir.
2 2
2
246
ÇOKGENLER
�
�
� �
� ise,
�
�
� �
�"�% "�%
�% �%
"�%
"�%dir.
� �
�
�
�
� ise,
� �
�
�
�
�"%�%
"%
"%
�%
"%
�%
dir.
�
� �
��
�
'
�
�
ise,
�
� �
��
�
'
�
�
�%
"�%��%
�%�%
m(
m(
m(
BK de,
2
�� �
�
��
��
1212
12
2
toplam 12 adet üç
2
248
ÇOKGENLER
� �
�
�
�
1 �
�
gen
� �
�
�
�
1 ��
"�"�%
"%
"%
"
"
�
olan bir ikizkenar üç
x2 3)2 2
� �
� �
�
$
+�
�
�
�
.
�
�������
��
��
�
�
'
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
��
�
��
'
�
�
için daima
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
"%
"%
�%
�
�
�
x.x. 32
3 x2
dir.
n
dir.
n
249
ÇOKGENLERÇÖZÜMLÜ TEST
�
�
� �
�
�
�%
�
�
��
�
düzgün çokgen
�%
�
�
�
�
düzgün çokgen
�
�
�
�
�
-
�
�!
�
bir düzgün çokgen
�
�
�
�
�
-
���%
bir düzgün çokgen
�
�� �
�
�
�
1
NOT—————————
çokgenlere denir.
Bir düzgün sekizge
—————————