Yazar ı - uzunincebiryolculuk.files.wordpress.com · m, M kütlelerinin ve R uzaklığının üç...

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• çok değişkenli fonksiyonları tanıyacak,• çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerini bulabilecek,• iki değişkenli fonksiyonların dikdörtgen bölge üzerindeki iki

katlı integralini hesaplayabileceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 325• İki Değişkenli Fonksiyonlar 325• Çok Değişkenli Fonksiyonlar 328• Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev 331• İki Değişkenli Fonksiyonların İki Katlı İntegrali 336• Değerlendirme Soruları 339

ÜNİTE

13Çok Değişkenli Fonksiyonlar

YazarProf.Dr. Vakıf CAFEROV

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

Çalışma Önerileri

• Çok değişkenli fonksiyon örnekleri alıp bu fonksiyonların ta-nım kümelerini bulunuz ve bu kümeleri geometrik olarak çizme-ye çalışınız

• Çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerinin tek değişken-li fonksiyonların türevi gibi bulunduğuna dikkat ediniz

• Çok değişkenli basit fonksiyon örnekleri alıp iki katlı integral-lerini hesaplamaya çalışınız.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. GirişŞimdiye kadar incelediğimiz fonksiyonlar tek değişkenli fonksiyonlar idi. Bufonksiyonlara tek değişkenli denilmesinin sebebi bağımsız değişkenin bir tane ol-masıdır. Birçok problemde ortaya çıkan fonksiyonlar ise çok değişkenli (iki, üç, ...değişkenli) olabilir.

Boyutları x ve y olan dikdörtgenin alanı S = xy, çevresinin uzunluğu P = 2 (x+y)dir. Burada alan ve çevre uzunluğu boyutların iki değişkenli fonksiyonlarıdır.

Aralarındaki uzaklık R olan m ve M kütleleri arasındaki çekme kuvveti

formülü ile hesaplanır (burada γ - gravitasyon sabitidir). F kuvveti,

m, M kütlelerinin ve R uzaklığının üç değişkenli fonksiyonudur.

Taban yarıçapı x, yüksekliği y olan silindirin hacmi V = π x2 y formülü ile he-saplanır. Burada V hacmi x ve y nin iki değişkenli fonksiyonudur.

Bu ünitede iki ve daha çok değişkenli fonksiyonlar, bu fonksiyonlar için kısmi tü-rev ve integral kavramları ele alınacaktır.

2. İki Değişkenli FonksiyonlarBoş küme olmayan herhangi A, B ve C kümeleri verilsin ve A x B sembolü A ve Bkümelerinin kartezyen çarpımını göstersin:

A x B = { (x , y) | x ∈ A , y ∈ B }.

Eğer AxB kümesinden alınmış her (x , y) çiftini C kümesinden tek bir z elemanı ileeşleyen bir f kuralı verilmişse bu f kuralına A x B kümesinden C kümesine iki de-ğişkenli fonksiyon denir ve sembolik olarak

f : AxB →→→→ C , z = f (x , y) veya f = f (x , y)

şeklinde gösterilir.

AxB ye fonksiyonun tanım kümesi veya tanım bölgesi, C ye ise değer kümesi de-nir.

Giriş kısmındaki 1. ve 3. örneklerdeki S = xy, P = 2 (x+y) ve V = π x2 y fonk-siyonları birer iki değişkenli fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların tanım kümesi IR+

x R+ değer kümesi ise IR dir.

Ç O K D E Ğ İ Ş K E N L İ F O N K S İ Y O N L A R 325

F = γ m . MR2


Örnek: A = {-1, 2, 3} , B = {-2, 0}, C = {2, 3, 5} kümeleri verilsin. O zaman AxB = { (-1, -2) , (-1, 0), (2, -2), (2, 0) (3, -2) , (3, 0) } olur. f kuralını aşağıdaki gibi tanım-layalım:

f (-1 , -2) = 3 , f (-1 , 0) = 5 , f (2, -2) = 2 , f (2, 0) = 5 , f (3, -2) = 2 , f (3, 0) = 2.

Bu yolla tanımlanmış f, AxB den C ye bir iki değişkenli fonksiyondur.

Örneklere geçmeden önce IR x IR kümesinin IR2 olarak gösterildiğini birdaha hatırlayalım (ünite 1).

Örnek: f : IR2 → IR , f (x , y) = x2 - y2 iki değişkenli fonksiyonu için f (0 , 1) , f(-2 , 3) ve a ∈ IR olmak üzere, f (a , a) yı hesaplayalım.

Çözüm: f (0 , 1) = 02 - 12 = -1 , f (-2, 3) = (-2)2 - 32 = -5 , f (a , a) = a2 - a2 = 0.

Örnek: Yarıçapı 20,5 cm, yüksekliği 30 cm olan silindirin hacmini hesaplayalım.

Çözüm: V (x, y) = π x2 y fonksiyonunda x = 20,5 , y = 30 yazarsak V(20,5 , 30) = π . 20,52 . 30 ≅ 39587,55 cm3 bulunur.

Not: Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi iki değişkenli fonksiyonlarda dadeğişkenlerin ve kuralın hangi harflerle gösterildiğinin önemi yoktur. Örneğin,

f : IR2 → IR , f (x , y) = x2 - y2

g : IR2 → IR , g (t , s) = t2 - s2

bağıntıları aynı fonksiyonları ifade eder.

İki değişkenli fonksiyonun tanım kümesi açık şekilde verilmemişse o zaman ta-

nım kümesi olarak fonksiyon işlemlerinin anlamlı olduğu en geniş küme alınır.

Örneğin, fonksiyonunun tanım kümesi, x + y ≠ 0 koşulunu

sağlayan tüm (x , y) gerçel sayı ikilileridir.

Örnek:

fonksiyonlarının tanım kümelerini bulalım.

Çözüm:

1) x2 - 5x + 6 = 0 ⇒ x1 = 2 , x2 = 3. Buna göre tanım kümesi (IR - {2 , 3}) x IRdir.

Ç O K D E Ğ İ Ş K E N L İ F O N K S İ Y O N L A R326

f (x , y) = xx + y

1) f (x , y) = yx2 - 5x + 6

2) f (x , y)= 1 - x2 - y2 3) f (x , y) = ln ( x2 + y -1)


2) 1 - x2 - y2 ≥ 0 ⇒ x2 + y2 ≤ 1. Tanım kümesi x2 + y2≤ 1 koşulunu sağlayantüm x ve y gerçel sayılar kümesidir. Geometrik olarak bu küme, düzlemdemerkezi koordinat başlangıcında, yarıçapı 1 olan çember üzerindeki ve içeri-sindeki noktalar kümesidir.

3) x2 + y - 1 > 0 ⇒ y > 1 - x2. Tanım kümesi y > 1 - x2 koşulunu sağlayantüm(x, y) gerçel sayı ikililerinin kümesidir. Geometrik olarak bu (x , y) ikililerkümesi, düzlemde y = 1 - x2 parabolü üstünde kalan düzlem parçasındakinoktalara karşı gelen (x , y) ikilileri kümesidir.

fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz.

Cevaplarınız, 1) { (x , y) ∈ IR2 | x2 + y2 ≠ 4 }, 2) { (x , y) ∈ IR2 | x ≠ 0 vey ≠ 0 }, 3) { (x , y) ∈ IR2 | xy ≥ 0 } olmalıdır.

İki değişkenli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü tek değişkenlifonksiyonlardakine benzer olarak tanımlanabilir.

Örnek: f (x , y) = x2 + y2 ve g (x , y) = 2xy fonksiyonlarının toplamını, farkını, çarpı-mını ve bölümünü bulalım.


Şekil 13.1 Şekil 13.2

?1) f (x , y) = 1

x2 + y2 - 45

2) f (x , y) = x2 + y2

xy 3) f (x , y) = xy


Çözüm: f (x , y) + g (x , y) = x2 + y2 + 2xy = (x + y)2

f (x , y) - g (x , y) = x2 + y2 - 2xy = (x - y)2

f ( x , y) . g (x , y) = (x2 + y2 ) . 2xy = 2x3y + 2xy3

f (x , y) = sin2 (xy) ve g (x , y) = cos2 (xy) fonksiyonlarının toplamını, farkı-nı, çarpımını ve bölümünü bulunuz.

Cevaplarınız 1, - cos (2xy),

Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, iki değişkenli fonksiyonların da gra-fikleri çizilebilir. Bunun için uzayda 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemini ta-nımlamak gerekiyor. Bu koordinat sisteminde iki değişkenli fonksiyonun grafiğigenellikle bir yüzey tanımlar. İki değişkenli fonksiyonların grafikleri konumuz dı-şında olduğundan bu konuya girmiyoruz.

3. Çok Değişkenli Fonksiyonlar

n ∈ IN olmak üzere, boş küme olmayan A1, A2, ..........., An ve C kümeleri verilsin.

x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , ..........., xn ∈ An olmak üzere, tüm (x1, x2, ..., xn) sıralı n-li-lerin kümesine A1, A2, ...., An kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve sembo-lik olarakA1 x A2 x ...... x An gibi gösterilir. Böylece,

A1 x A2 x ..... x An = { (x1, x2, ... , xn) | x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2, ....., xn ∈ An }.

Örnek: A1 = {1 , 2}, A2 = {-1 , 0}, A3 = {a , b} iseA1 x A2 x A3 = { (1, -1, a), (1, -1, b), (1, 0, a), (1, 0, b), (2, -1, a), (2, -1, b), (2, 0, a), (2, 0, b) }.

kümesi çoğu kez An gibi gösterilir. Buna göre, A x A x A = A3,

A x A x A x A = A4, ... yazılabilir.

Her bir (x1, x2, ..., xn) ∈ A1 x A2 x ..... x An n-lisine C kümesinden bir tek zelemanı karşı getiren f kuralına A1 x A2 x .... x An den C ye n-değişkenlifonksiyon denir ve

f : A1 x A2 x ..... x An →→→→ C , z = f (x1, x2 ... xn) veya f = f (x1, x2, ... xn)



f (x , y)g (x , y)

= x2 + y2

2xy , xy ≠ 0

?14

sin2 (2xy) ve tan2 (xy) olmalıdır.

A x A x ... x An tane


A1 x A2 x .... x An kümesine fonksiyonun tanım kümesi veya tanım bölgesi, Cye ise değer kümesi denir.

Üç değişkenli fonksiyonlar çoğu zaman f = f (x , y, z) gibi gösterilir.

fonksiyonları üç değişkenli,

fonksiyonları ise dört değişkenli fonksiyon örnekleridir.

Örnek: fonksiyonu için f (1, 2, -1) ve f (-1, 1, 8) fonksiyon değerlerini bulalım.

Çözüm:

Örnek: f : IR+ x IR+ x IR → IR+ , f (x , y, z) = (xy)z fonksiyonu içinve f (4, 1, -1) fonksiyon değerlerini bulalım.

Çözüm:

Eğer çok değişkenli fonksiyonun tanım kümesi (bölgesi) açık şekilde verilme-mişse o zaman tanım kümesi olarak kuralın anlamlı olduğu en geniş küme alı-nır.

Örnek:

fonksiyonlarının tanım kümelerini bulalım.

Çözüm:

1) 4 - x2 - y2 - z2 ≥ 0 buradan tanım kümesi { (x , y, z) ∈ IR3 | x2 + y2 + z2 ≤ 4 }olur.


f (x , y, z) = xyz , g (x , y, z) = (xy) z , h (x , y, z) = ln (yz)sin x

f (x1, x2, x3, x4) = x1 2 + x2 2 + x3 2 + x4 2 , g (x1, x2, x3, x4) = x1x3 - x2x4

f : IR3 → IR , f (x , y, z) = x y2 z3

f (1, 2, -1) = 1 . 22 . -13 = 1 . 4 . (-1) = - 4, f (-1, 1, 8) = (-1) . 12 . 83 = (-1) . 1 . 2 = -2.

f ( 2 , 3 , 2) = ( 2 . 3)2 = ( 6)2 = 6 , f (4, 1, -1) = (4 . 1)-1 = (4) -1 = 1

4 .

1) f (x, y, z) = 4 - x2 - y2 - z2 2) f (x, y, z) = xyz 3) f (x1, x2, x3, x4) = x1 2 + x2 2

x3 2 + x4 2

f ( 2 , 3 , 2)


2) xyz ≥ 0 olması gerekiyor. Buna göre tanım kümesi öyle (x, y, z) gerçel sayıüçlüleridir ki onların çarpımı negatif olmasın. Örneğin, üçlüsütanım kümesine dahil değildir.

3) x32 + x42 ≠ 0 olması gerekiyor, buradan tanım kümesi { (x1, x2, x3, x4 ) ∈ IR4 | x3 ≠ 0 veya x4 ≠ 0 } olur. Örneğin, (2, 3, -1, 0) tanımkümesindendir, (2, 3, 0, 0) ise tanım kümesinde değildir.

fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz.

Cevaplarınız { (x, y, z) ∈ IR3 | y ≥ 0 } ve { (x1, x2, x3, x4) ∈ IR4 | x2 > x3 + x4 } ol-malıdır.

Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların grafik kavramı yoktur.

Çok değişkenli fonksiyonların limit ve süreklilik kavramları tek değişkenlilerebenzer yolla tanımlanır.

A ⊂ IR2 kümesi ve (x0, y0) ∈ IR2 noktası verilsin. Eğer her δ > 0 için |xδ -x0| < δ , |yδ - y0| < δ , (xδ , yδ) ≠ (x0, y0) olacak şekilde en az bir (xδ, yδ) ∈ Avarsa, o zaman (x0, y0) noktasına A kümesinin yığılma noktası denir. Başka de-yişle yığılma noktası öyle bir noktadır ki, onun istenildiği kadar "yakın civarında"A kümesinin bu noktadan farklı en az bir elemanı vardır.

Örneğin, x2 + y2 ≤ 1 koşulunu sağlayan her bir (x, y) ∈ IR2 noktası

A = { (x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 < 1 }

"açık birim çemberi" kümesinin yığılma noktasıdır.

A ⊂ IR2 olmak üzere, f : A → IR, z = f (x, y) iki değişkenli fonksiyonu ve L sayısıverilsin, (x0, y0) ise A kümesinin bir yığılma noktası olsun.

Eğer her ε > 0 için öyle δ > 0 var ve 0 < |x - x0| < δ, 0 < |y - y0| < δ eşitsizlikle-rini sağlayan tüm (x,y) ∈ A için

|f (x , y) - L| < εeşitsizliği sağlanıyorsa, (x , y) ikilisi (x0, y0) a yaklaşırken f (x, y) nin limiti Ldir denir ve sembolik olarak


? 1) f (x, y, z) = y . (1 + x2 + z2)4

2) f (x1, x2, x3, x4) = log 1 + x1 2

x2 - x3 - x4

(1, 2 , -3)



Eğer (x0 , y0) ∈ A ve limiti var ve f (x0 , y0) eşitse, yani

ise, o zaman z = f (x, y) fonksiyonuna (x0 , y0) noktasında sürekli fonksiyon de-nir.

Eğer z = f (x, y) fonksiyonu A kümesinin her bir noktasında sürekli ise bu fonksiyo-na A üzerinde sürekli fonksiyon denir.

Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların limit ve sürekliliği de benzer yolla ta-nımlanabilir.

4. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi TürevTek değişkenli fonksiyonlarda fonksiyonun türevi, x bağımsız değişkenine ∆x art-ması verildiğinde fonksiyonun ∆y = f (x + ∆x) - f (x) artmasının ∆x e oranı olan

z = f (x, y) iki değişkenli fonksiyonu verildiğinde bağımsız değişkenlere ∆x ve ∆yartmaları verildiğinde fonksiyon artması ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) - f (x, y) olur. Bu art-manın bağımsız değişkenler artması olan (∆x, ∆y) ikilisine oranı anlamlı değildir.Bunun yerine bağımsız değişkenlerden birisi sabit tutulursa fonksiyon tek değiş-kenli fonksiyona dönüşür ve yeni fonksiyonun türevinden söz edilebilir. Bu tür tü-revlere kısmi türevler denir.

z = f (x, y) fonksiyonu verilsin.

Eğer y yi sabit tuttuğumuzda elde edilen fonksiyonun x e göre türevi varsa bu türe-ve x e göre kısmi türev;

Eğer x i sabit tuttuğumuzda elde edilen fonksiyonun y ye göre türevi varsa bu türe-ve ise y ye göre kısmi türev denir.

x e göre kısmi türev


lim(x,y) → (x0, y0)

lim(x,y) → (x0, y0)

lim(x,y) → (x0, y0)

∆y∆x

in ∆x → 0 iken (varsa) limitine denilmişti.

fx (x , y) , ∂f∂x

, zx (x , y) , fx' (x , y) ;

f (x , y) = L

f (x ,

f (x , y) = f (x0 , y0)


y ye göre kısmi türev ise

gibi sembollerle gösterilir.

Tanıma göre, z = f (x , y) fonksiyonunun (x0 , y0) noktasında x e göre kısmitürevini hesaplamak için x → f (x , y0) fonksiyonunun x = x0 noktasındakitürevini hesaplamak gerekiyor. Bu türev


işaretleri de benzer anlam taşımaktadır. Buna göre fx (x0 , y0) , fy (x0 , y0) türev-leri, eğer varsa,

limitleri olarak tanımlanır.

Örnek: f (x , y) = 2xy - y2 + x2 fonksiyonunun fx (x , y) ve fy (x , y) kısmitürevlerini hesaplayalım.

Çözüm: fx (x , y) türevini bulmak için y yi sabit olarak düşünmemiz gerekiyor.O zaman

olur. fy (x , y) türevini bulmak için ise x i sabit olarak düşünerek, y ye göretürev almamız gerekiyor.

olur.


fy (x , y) , ∂f∂y

, zy (x , y) , fy' (x , y)

fx (x0 , y0) , ∂f (x0 , y0)∂x

, zx (x0 , y0) , fx' (x0 , y0)

fy (x0 , y0) , ∂f (x0 , y0)∂y

, zy (x0 , y0) , fy' (x0 , y0)

fx (x0 , y0) = f (x0 + ∆x , y0) - f (x0 , y0)∆x

,lim∆x → 0

fy (x0 , y0) = f (x0, y0 + ∆y) - f (x0 , y0)

∆ylim∆y → 0

fx (x , y) = (2xy - y2 + x2)x' = (2xy) x' - (y2)x' + (x2)x' = 2y - 0 + 2x = 2x + 2y = 2 (x + y)

fy (x , y) = (2xy - y2 + x2)y' = (2xy) y' - (y2)y' + (x2)y' = 2x - 2y + 0 = 2 (x - y)


Örnek: f (x , y) = x3 + xy fonksiyonu için fx (1 , 2) türevini bulalım.

Çözüm: (1 , 2) noktasında y = 2 olduğundan f (x , y) nin ifadesinde y = 2 yazarsak

f (x , 2) = x3 + 2x

elde edilir. Bu fonksiyonun x e göre türevini alıp x yerine 1 yazmamız gerekiyor:

Örnek: fonksiyonu için fy (3 , 4) türevini bulalım.

Çözüm: x = 3 yazarsak Bu fonksiyonun y ye göre türevi-ni alırsak

olur. Son ifadede y = 4 yazarsak

bulunur.

Örnek: fonksiyonunun tanım kümesine ait (x , y) değerleri

için fx (x , y) ve fy (x , y) türevlerini bulalım.

Çözüm:

Örnek: 1) f (x , y) = x2 ln (x + y) 2) f (x , y) = (x2 + y2) e-x

fonksiyonları için fx (x , y) , fy (x , y) kısmi türevlerini bulalım.

Çözüm:


fx (1 , 2) = (x3 + 2x)x = 1' = (3x2 + 2) x = 1 = 5 .

f (x , y) = x2 + y2

f (3 , y) = 9 + y2 olur.

9 + y2 ' = (9 + y2)12

' = 1

2 . (9 + y2)- 1

2 . (y2)' = 2y2 9 + y2

= y9 + y2

fy (3 , 4) = 49 + 16

= 45

f (x , y) = xyx + y

fx (x , y) = y (x + y) - 1 . xy(x + y)2

= y2

(x + y)2 ,

fy (x , y) = x (x + y) - 1 . xy

(x + y)2 = x2

(x + y)2 .

1) fx (x , y) = 2x . ln (x + y) + x2 . 1x + y = 2x ln (x + y) + x2

x + y ,

fy (x , y) = x2 . 1x + y = x2

x + y .

2) fx (x , y) = 2x . e-x + (x2 + y2) . e-x . (-1) = 2x - x2 - y2 . e-x ,

fy (x , y) = 2y e-x .


1) f (x , y) = sin (xy) + cos (xy) 2) f (x , y) = x tan yfonksiyonları için fx (x , y) , fy (x , y) türevlerini hesaplayınız.

Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri iki değişkenli fonksiyon-ların kısmi türevlerine benzer olarak tanımlanır: Bağımsız değişkenin biri dışındakalan tüm bağımsız değişkenler sabit tutularak o tek bağımsız değişkene göre tü-rev alınır ve bu türeve verilmiş fonksiyonun o değişkene göre kısmi türevi denir.

z = f (x1 , x2 ........ xn) n- değişkenli fonksiyonun xi değişkenine göre kısmi türevi

limitine eşit olup


Örnek: f (x1, x2, x3, x4) = x1 x2 + x3 x4 + x2 x3 dört değişkenli fonksiyonun fx1 ,fx2 , fx3 ve fx4 kısmi türevlerini bulalım.

Çözüm: fx1 (x1, x2, x3, x4) = x2 , fx2 (x1, x2, x3, x4) = x1 + x3 , fx3 (x1, x2, x3, x4) =x4 + x2 , fx4 (x1, x2, x3, x4) = x3 olarak bulunur.

Örnek: üç değişkenli fonksiyonun tanım kümesine ait

noktalarda fx , fy ve fz kısmi türevlerini bulalım.

Çözüm: Fonksiyonun tanım kümesi

A = { (x , y , z) ∈ IR3 | x ≠ z ve x ≠ -z }

dir (eğer bir (x , y , z) için x = z veya x = -z ise o zaman bu (x , y , z) tanım kümesine da-hil değildir). Her bir (x , y , z) ∈A için


?Cevaplarınız 1) y cos (xy) - y sin (xy) , x cos (xy) - x sin (xy) 2) tan y , x

cos2 yolmalıdır.

f (x1, x2 ..., xi + ∆xi, ... xn) - f (x1, x2 ..., xi, ..., xn)∆xi

lim∆xi→0

fxi (x1 , x2 , ... xn) , ∂f∂xi

, zxi , fxi'

f (x , y, z) = yx2 - z2

fx (x , y, z) = y . (-1) . 2x(x2 - z2)2

= - 2xy(x2 - z2)2

,


bulunur.

Örnek: fonksiyonunun (1, -2, 2) noktasında kısmi

türevlerini bulalım.

Çözüm: Bu türevleri bulmak için türevlerin mevcut olduğu bir (x , y , z) noktasındafx , fy ve fz türevlerini bulup, sonra bu türevlerde x yerine 1, y yerine -2 ve z ye-rine 2 yazmak gerekmektedir. Buna göre

dür. Buradan

bulunur.

f (x , y , z) = x ln (1 + y2 + z2) fonksiyonunun kısmi türevlerini hesaplayınız.


fy (x , y, z) = 1x2 - z2

, fz (x , y, z) = y . (-1) . (-2z)

(x2 - z2)2 = 2yz

(x2 - z2)2

f (x , y , z) = 1x2 + y2 + z2

fx (x , y , z) = (-1) . 2x

2 . (x2 + y2 + z2)3 = - x

(x2 + y2 + z2)3 ,

fy (x , y , z) = (-1) . 2y

2 . (x2 + y2 + z2)3 = - y

(x2 + y2 + z2)3 ,

fz (x , y , z) = (-1) . 2z

2 . (x2 + y2 + z2)3 = - z

(x2 + y2 + z2)3

fx (1 , -2 , 2) = - 193

= - 127

,

fy (1 , -2 , 2) = - -2

93 = 2

27 ,

fz (1 , -2 , 2) = - 2

93 = - 2

27

?Cevabınız fx (x , y, z) = ln (1 + y2 + z2) , fy (x , y, z) = 2xy

1 + y2 + z2 ve

fz (x , y, z) = 2xz

1 + y2 + z2 olmalıdır.


f (x , y , z) = z esin (xy) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulunuz.

Cevabınız fx (x , y , z) = yz esin (xy) cos (xy) , fy (x , y , z) = xz esin (xy) cos (xy) ve fz (x , y , z) = esin (xy) olmalıdır.

5. İki Değişkenli Fonksiyonların İki Katlı İntegrali[a, b] ve [c, d] birer kapalı aralık olmak üzere,

D = [a, b] x [c, d] = { (x, y) ∈ IR2 | x ∈ [a, b] ve y ∈ [c, d] }

kümesine x0y düzleminde kapalı dikdörtgen denir (Şekil 13.3).

D kapalı dikdörtgeni üzerinde tanımlı ve sürekli

f : D → IR , z = f (x , y)

iki değişkenli fonksiyonu verilsin. [a, b] aralığının a = a0 < a1 < a2 < .... < ai-1< ai < .... < an = b bölüntüsünü, [c, d] aralığının ise c = c0 < c1 < .... < cj-1 < cj < ...< cm = d bölüntüsünü seçelim (ünite 11 e bakınız). Bu bölüntülerin çapları δ1 veδ2 olsun. Bu bölüntüler D dikdörtgeninin de

D1 , D2 , .... , Dmn


?

f (x , y , z) = x2 tan (yz) fonksiyonu için fx -1 , ππππ4

, 1 , fy -1 , ππππ

4 , 1 ve fz -1 , ππππ

4 , 1

Cevabınız -2 , 2 ve π

2 olmalıdır.

?

y

x

d

c

0 a b

D

Şekil 13.3

türevlerini hesaplayınız.


gibi küçük dikdörtgenlerden oluşan bir bölüntüsünü doğurmuş olur (bu dikdört-genler sayısı mn dir, Şekil 13.4 e bakınız). Her 1 ≤ k ≤ mn için Dk dikdörtgenin-den keyfi Pk (xk , yk) noktasını seçip

toplamını oluşturalım. Burada ∆kA sembolü DK dikdörtgenin alanını göstermek-tedir.

δ1 → 0 ve δ2 → 0 iken S toplamının limitine z = f (x , y) fonksiyonunun D dik-dörtgeni üzerinde iki katlı integrali denir ve sembolik olarak

gibi gösterilir:

Bu integralin değeri [a, b] ve [c, d] aralıklarının bölüntülerinden ve Pk noktala-rının seçiminden bağımsızdır.

Eğer f (x , y) ≥ 0 ise bu integral, aşağıdan D dikdörtgeni, yukarıdan z = f (x , y) yüze-yi, yanlardan ise D dikdörtgenine dik düzlemlerle sınırlanmış üç boyutlu cisminhacmini ifade eder.

integralini hesaplamak için aşağıdaki işlemler yapılır:


yk

c2

c1

a1 a2

D1

Dmn

c

d

ba

Pk

xk

●

Şekil 13.4

S = f (x1 , y1) ∆1A + f (x2 , y2) ∆2A + ... + f (xmn , ymn) ∆mnA = f (xk , yk) ∆kA∑

k = 1

mn

f (x , y) d A veya f (x , y) dx dy veya f (x , y) dy dxD D

f (x , y) d A = Slim(δδδδ1 , δδδδ2) → (0 , 0)

D

I = f (x , y) d A D


• Önce x i sabit tutup y ye göre belirli integrali hesaplanır. Bu

integralin sonucu x e bağlı olduğundan bu sonuç x in fonksiyonudur. Bu fonk-

siyona g (x) diyelim:

• Sonra g (x) fonksiyonunun [a , b] aralığında belirli integrali hesaplanarak

sonuç bulunur.

Buna göre iki katlı integralin hesaplanması işlemini şöyle ifade edebiliriz:

Örnek: D = [0 , 1] x [-1 , 3] olmak üzere integralini hesaplayalım. Çözüm: Önce x i sabit tutarak

bulunur. Sonra

bulunur.

Örnek: integralini hesap-

layalım.

Çözüm:


c

df (x , y) dy

g (x) = c

df (x , y) dy.

I = f (x , y) dA = a

bg (x) dx =

a

b

c

df (x , y) dy dx.

D

I = (x2 + y2) dA D

g (x) = -1

3(x2 + y2) dy =

-1

3x2 dy +

-1

3y2 dy

= x2

-1

3dy + y

3

3

3

-1 = x2 y

3

-1 + 27

3 + 1

3 = x2 3 - (-1) + 28

3 = 4x2 + 28

3

I = 0

1g (x) dx =

0

14x2 + 28

3 dx = 4 . x3

3 + 28

3 x

1 0

= 4

3 + 28

3 = 32

3

D = 0 , π2

x 0 , π olmak üzere, I = sinx cos y2

dA

D

g (x) = 0

πsinx cos y

2 dy = sinx .

0

πcos y

2 dy

= sinx . 2 sin y

2 π 0 = 2 sinx . sin π

2 - sin0 = 2 sinx ,

I =

0

π/2g (x) dx =

0

π/22 sinx dx = -2 cosx

π/2 0

= -2 cos π2

- cos0 = 2 .


İki katlı integralin hesaplanmasında integralleme sırası değişebilir. Yani, önce y yi

sabit tutup, x e göre integralini hesaplayıp, sonra elde edilen

fonksiyonu [c, d] aralığında integrallersek aynı sonuca geliriz.

Yukarıdaki fonksiyonları önce x e, sonra y ye göre integre edip sonucun değiş-mediğini görünüz.

İki katlı integral D dikdörtgeni yerine daha karmaşık kümeler üzerinde de tanım-lanabilir, fakat dikdörtgenle yetineceğiz.

Değerlendirme Soruları1. Hacmi 1000 (cm3) olan kesik koninin yüksekliğini, alt taban yarıçapı x ve

üst taban yarıçapı y nin iki değişkenli fonksiyonu olarak yazınız.

2.

A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5


a

bf (x , y) dx

A. 1000π (x2 + xy + y2)

B. 1000

π (x2 + 2xy + y2) C. 3000

π (x2 + xy + y2) D. 3000 π

x2 + xy + y2

E. 1000 π

x2 + xy + y2

f (x , y , z) = xy . ln z üç değişkenli fonksiyonu için f (2 , 1 , e2) . f 2 , -1 , 1e - f (4 , 1 , e) = ?


3. iki değişkenli fonksiyonunun tanım kü-mesi aşağıdakilerden hangisidir?A. { (x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 ≥ 1 }B. { (x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 ≤ 1 }C. { (x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 > 1 }D. { (x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 < 1 }E. { (x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 = 1 }

4. f (x, y, z) = ln [ z (1 +x2 + y2 ) ] üç değişkenli fonksiyonunun tanım kümesiaşağıdakilerden hangisidir?A. { (x, y, z) ∈ IR3 | z < 0 }B. { (x, y, z) ∈ IR3 | z > 0 }C. { (x, y, z) ∈ IR3 | z ≤ 0 }D. { (x, y, z) ∈ IR3 | z ≥ 0 }E. IR3

5.

6. f(x, y) = x2y + xy3 ise fx(1, -1) + fy(-1, 1) = ?A. -5B. -4C. -3D. -2E. -1

7.


f (x, y) = x2 + y2 - 1 + 1 - x2 - y2

f (x, y) = ex2 - y2 ise fx (x, y)fy (x, y)

= ? A. 2x

y B. y

2x C. - xy D. xy E. 1

f (x, y, z) = sinx . cosy . tan z üç değişkenli fonksiyonu içi fy (π

4 , π

4 , π

4) - fz (π

2 , 0 , π

4) = ?

A. 1

2 B. 0 C. -1 D. - 5

2 E. - 7

2


8.A. e2

B. -e2

C. -2e2

D. 2e2

E. 1

9.

10.

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. C 2. D 3. E 4. B 5. C 6. A 7. D 8. C 9. A 10. D


f (x, y) = exy ise fy (2, 1) = ?

D = [-1, 2] x [1, 3] olmak üzere xy2

dA = ?

A. 1 B. - 5

3 C. 2 D. 7

3 E. 8

3

f(x, y) = ln(x2 + y2) ise fx(x, y) + fy(x, y) = ? A. 1

x2 + y2

B. 2

x + y C. 2

x - y D. 2(x + y)

x2 + y2

E. 1

y2 + 1

x2

Yazar ı - uzunincebiryolculuk.files.wordpress.com · m, M kütlelerinin ve R uzaklığının üç...

Documents

Transcript of Yazar ı - uzunincebiryolculuk.files.wordpress.com · m, M kütlelerinin ve R uzaklığının üç...