YAPI STAT II

(Hiperstatik Sistemler)

Yrd. Do. Dr. Seluk KAIN

Yap Sistemleri:

zostatik (Statike Belirli) Sistemler :

Bir sistemin tm kesit tesirlerini (i kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarn denge denklemleri yardmyla hesaplayabiliyorsak sistem izostatiktir.

Yap Sistemleri:zostatik (Statike Belirli) Sistemler :

Yap Sistemleri:

Hiperstatik (Statike Belirsiz) Sistemler :

Bir sistemin tm kesit tesirlerini (i kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlar denge denklemleri yardmyla hesaplanamyorsa sistem hiperstatiktir.

Yap Sistemleri:

Hiperstatik Sistemlerin zm iin :

* Denge Denklemleri

* Geometrik uygunluk artlar

* Bnye Denklemleri (Gerilmeler ve Deformasyonlar arasndaki ilikiler)

Hiperstatik Sistemlerde Kesit tesiri oluturan etkiler

* D ykler

* Mesnet kmesi

* Scaklk deiimi

Hiperstatik Sistemlerde zm Yntemleri

Kuvvet Metodu

Deplasman Metodu

Deplasman Metodlar

A Metodu

Cross (Moment Datma) Metodu

Rijitlik Matrisi Metodu

Hiperstatik Sistemler :

Dolu gvdeli sistemlerin hiperstatiklik derecesi iki gruba ayrlr.

1) Dtan hiperstatiklik : Yapda hesaplanamayan mesnet

reaksiyonu saysna eittir.

Mesnet reaksiyon says (r) ise

r-3 (dtan hiperstatiklik derecesi)

2 t/m

15 m 12 m

8 t

12 m

I I

I

8 m

5 t/m

12 m

20 t

15 m

I I

I

18 m

I

2) ten Hiperstatiklik : Yapda hesaplanamayan i kuvvet saysile ilglidir.

Dolu gvdeli sistemlerde

n = 3*m + r - 3j denklemiyle bulunur.

n: Hiperstatiklik derecesi

m: Eleman Says

r : Mesnet reaksiyonlar says

j : Dm noktas says

Sistem dtan izostatik ancak iten hiperstatiktir. Yani sistemin tm mesnet reaksiyonlar hesaplanabilir ancak tm ubuk kuvvetleri bulunamaz.

Dm noktas says (j): 6

Mesnet reaksiyonu says (r) : 3

Eleman says (m): 6

Hiperstatiklik derecesi

n : 3*m+r-3j

n : 3*6 + 3 3*6 = 30 hiperstatik

Dm noktas says (j) : 9

Mesnet reaksiyonu says (r) : 6

Eleman says (m) : 10

Hiperstatiklik derecesi

n : 3*m+r-3j

n : 3*10 + 6 3*9 = 90 hiperstatik

Sistem 90 hiperstatiktir. Mesnet reaksiyonlar incelendiinde

sistemin Dtan 30 hiperstatik olduu grlr. Yani sistem

ten 60 hiperstatiktir

Mafsal olmas durumunda

Eer mafsal eleman zerinde ise

hiperstatiklik derecesi 1 azaltlr.

Eer mafsal dmde ise dmde birleen eleman saysnn 1 eksii kadar hiperstatiklik derecesi azaltlr.

Dmde 3 eleman birleiyor

3-1=2 derece azaltlr.

KUVVET METODU

Dzlem Hiperstatik sistemlerin sabit ykler,scaklk

deiimi ve mesnet kmesi gibi d etkilerlerden dolay oluan

kesit tesirleri ve yer deitirmelerini bulmaya yarayan virtuel i

ilkesine dayal zm yntemidir.

Kuvvet metodu ile zm yaplrken yaplacak ilk i

izostatik esas sistemin seilmesidir.

zostatik esas sistem, hiperstatik sistemde hiperstatiklik

derecesi kadar bilinmeyenin belirlenmesi ile elde edilir. Hiperstatik

sistemde hangi bilinmeyenlerin hesaplanaca belirlenerek sistem

izostatik hale getirilir.

zostatik Esas Sistem: Hiperstatik sistem izostatik hale getirilir. Bunu

yaparken ya sisteme mafsal yerletirilir yada mesnetlerdeki

serbestlikler arttrlr. zostatik esas sitem seilirken hangi sistemi daha

kolay zebileceimizi dnyorsak o sistemi seebiliriz. Bir

hiperstatik sistemin pek ok izostatik esas sistemi vardr.

Mafsal eklenmesi durumunda mafsaln her iki yanna

bilinmeyen olarak moment yazlr.

Mesnetlenme durumunun deitirilmesi durumunda ise hangi

ynde serbestlik arttrlrsa o ynde ynde bilinmeyen kuvvet veya

moment yazlr.

X1X1

1. Dereceden hiperstatik sistem

zostatik Esas Sistem

X1

zostatik esas sistem belirlenirken mesnetlenme durumu izostatik hale getirilir bu arada

serbest braklan her mesnet reaksiyonu iin bir bilinmeyen yazlr veya sisteme mafsal

yerletirilerek mafsaln olduu yerde bilinmeyen olarak moment yazlr.

zostatik esas sistem belirlenirken ayn zamanda hesap

edilecek bilinmeyenlerde seilmi olmaktadr. Bu yzden izostatik esas

sistem belirlenirken hesaplarda kolaylk salayacak sistemlerin

seilmesine allr. Yani izostatik esas sistem ve bilinmeyenlerin

birim yklemeleri iin yaplacak hesaplarn daha kolay yaplabilecei

sistemler izostatik sistem olarak seilmeye allr.

Mafsal eklenmesi durumunda mafsaln her iki yanna bilinmeyen olarak moment yazlr.

X2

X1

X2

X1

Mesnetlenme durumunun deitirilmesi durumunda ise hangi ynde serbestlik arttrlrsa o ynde ynde bilinmeyen kuvvet veya moment yazlr.

X1

X22. Dereceden hiperstatik sistem

zostatik esas sistem

2. Dereceden hiperstatik sistem iin izostatik esas sistemler

X2

X1X1

X2

Kuvvet Yntemine gre Hiperstatik sistemdeki etkiler,

zostatik esas sistemdeki etkiler ile X1, X2,,Xn bilinmeyen

kuvvetlerin oluturduu etkilerin uygun ekilde birletirilmesiyle

bulunur. X1, X2,,Xn bilinmeyenlerinin bulunmas hiperstatik

sistemdeki etkilerin bulunmas iin arttr. Bilinmeyen says

sistemin hiperstatiklik derecesi kadardr.

Kuvvet Yntemine gre Hiperstatik sistemdeki etkiler hesaplanrken, hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem seildikten sonra sistem uygunluk denklemi yazlr.

nnnnnnntnwn

nntw

nntw

nntw

XXX

XXX

XXX

XXX

++++++=

++++++=

++++++=

++++++=

.............

.............

............

.............

22110

323213130333

222212120222

121211110111

M

Uygunluk denklemi hiperstatiklik derecesi kadar yazlr.

Sistem 1 dereceden hiperstatik ise denklem 1 tanedir

11110111 Xtw +++=

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktr

22212120222

21211110111

XX

XX

tw

tw

++++=

++++=

Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktr

33323213130333

32322212120222

31321211110111

XXX

XXX

XXX

tw

tw

tw

+++++=

+++++=

+++++=

Sistemde scakl deiimi ve mesnet kmesi yok ise sadece dyk etkisi var ise denklem u hale gelir:

11110111 Xtw +++=

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktr

22212120222

21211110111

XX

XX

tw

tw

++++=

++++=

Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktr

33323213130333

32322212120222

31321211110111

XXX

XXX

XXX

tw

tw

tw

+++++=

+++++=

+++++=

Uygunluk denkleminde grlen deplasman ifadelerinin altndaki ilk indis yeri, ikinci indis ise sebebi gstermektedir.

in

i

i

i

it

iw

i

M

2

1

0

i ynndeki deplasman

i ynnde mesnet kmesinden dolay oluan deplasman deeri

i ynnde scaklk deiiminden dolay oluan deplasman deeri

i ynnde d ykten oluan deplasman deeri

i ynnde 1 nolu birim yklemeden dolay oluan deplasman deeri

i ynnde 2 nolu birim yklemeden dolay oluan deplasman deeri

i ynnde n nolu birim yklemeden dolay oluan deplasman deeri.

X1

zostatik esas sistem

X22. dereceden hiperstatik

sistem

P1

P2

Kuvvet metodu ile zm yaplrken hiperstatiklik

derecesi belirlenip izostatik esas sistem belirlendikten sonra

uygunluk denklemleri yazlr. Bundan sonra uygunluk

denklemindeki deerleri bulmak srasyla yklemeler yaplr.

X1

X2

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise

denklem 2 tane olacaktr

222121202

212111101

XX

XX

++=

++=

P1

P2

1020 X1

11

21

X0 Yklemesi

zostatik esas sisteme d yk yklenerek sistemde oluan M0 N0

T0 deiim diyagramlar izilir.

P1

P2

X0 Yklemesizostatik esas sistemde sadece d yk etkisinde M, N, T

kesit tesirleri diyagramlar izilir.

M0 : zostatik esas sistemde d etkilerden dolay oluan moment

N0 : zostatik esas sistemde d etkilerden dolay oluan normal kuvvet

To : zostatik esas sistemde d etkilerden dolay oluan kesme kuvveti.

Birim Yklemeler

zostatik esas sistemde, srasyla seilen her bir

bilinmeyen iin birim yklemeler yaplr.

X1=1 , X2 =1 , X3 =1 ,., X n =1

Bu durumda her bir birim ykleme iin sistem kesit

tesirleri (M, N, T) izilir. Bu kesit tesirleri hesaplanrken sistemde

d yk yoktur.

X1

X1 Yklemesi

zostatik esas sistemde sadece 1 nolu bilinmeyen ynnde birim ykleme yaplmas durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluacak M1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yklemeden etkilerden dolay oluan moment N1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yklemeden dolayoluan normal kuvvetT1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yklemeden dolayoluan kesme kuvveti.

zostatik esas sistem

X2

X2 Yklemesi

zostatik esas sistemde sadece 2 nolu bilinmeyen ynnde birim ykleme yaplmas durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluacak M2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yklemeden etkilerden dolay oluan moment N2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yklemeden dolayoluan normal kuvvetT2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yklemeden dolayoluan kesme kuvveti.

Uygunluk d