XII Jornada d’Ensenyament de les...
Transcript of XII Jornada d’Ensenyament de les...
![Page 1: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/1.jpg)
3 d’octubre de 2015
XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques “Matemàtiques. Ara ho veig!”
Geometria per visualitzar, experimentar,
interpretar, raonar… un repte!
![Page 2: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/2.jpg)
3 d’octubre de 2015
XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques “Matemàtiques. Ara ho veig!”
Geometria per visualitzar, experimentar,
interpretar, raonar… un repte!
![Page 3: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/3.jpg)
Ara ho veig!
El nervi òptic conté més d’un milió de fibres, mentre que el nervi auditiu en té 50000
Abraham Arcavi
![Page 4: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/4.jpg)
Ara ho veig!
Pintures en la Cova dels Cavalls de Valltorta, Castelló
![Page 5: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/5.jpg)
Es tracta més de percepció que de visió estricte
Ara ho veig!
![Page 6: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/6.jpg)
El nen té la intel·ligència a les mans!
Maria Montessori
Ara ho veig!
![Page 7: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/7.jpg)
Ara ho veig!
També els joves i els adults comprenem a través de tots els sentits
Pere Puig i Adam
![Page 8: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/8.jpg)
Ara ho veig! =
= Ara ho percebo! =
= Ara ho entenc!
![Page 9: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/9.jpg)
Una bona imatge val més que 1000 paraules
![Page 10: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/10.jpg)
Una bona imatge val més que 1000 paraules
Un bon material mòbil pot valer més que una imatge
![Page 11: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/11.jpg)
És una altra experiència!
Quants més llenguatges parlem a més cors arribem!
![Page 12: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/12.jpg)
És una altra experiència!
Quants més llenguatges parlem a més cors arribem!
Club Matemàtic Googolplex
Ins. Lluís Domènech i Montaner
Canet de Mar
4 d’octubre de 2014
![Page 13: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/13.jpg)
És una altra experiència!
Quants més llenguatges parlem a més cors arribem!
![Page 14: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/14.jpg)
3 d’octubre de 2015
XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques “Matemàtiques. Ara ho veig!”
Geometria per visualitzar, experimentar,
interpretar, raonar… un repte!
![Page 15: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/15.jpg)
Avaluació de l’educació secundària obligatòria 2015
![Page 16: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/16.jpg)
Avaluació de l’educació secundària obligatòria 2014
![Page 17: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/17.jpg)
Avaluació de l’educació secundària obligatòria 2013
![Page 18: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/18.jpg)
Una reflexió sobre possibles causes
![Page 19: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/19.jpg)
Un treball
![Page 20: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/23.jpg)
Associades a un cert desequilibri en la implementació del currículum
El càlcul (numèric o simbòlic) actua com un forat negre curricular que absorbeix molt de temps escolar • A vegades, no es troba prou aviat el moment de passar a un altre tema. • Aparentment les habilitats de càlcul són més instrumentals que les de geometria.
![Page 24: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/24.jpg)
Tendències innovadores en educació matemàtica
Miguel de Guzmán
Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, Setembre 1992
El moviment de renovació dels anys seixanta i setanta cap a la «matemàtica moderna» va comportar una transformació profunda de l’ensenyament (...) :
Associades a la metodologia de treball a classe
![Page 25: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/25.jpg)
(...) • Es va pretendre aprofundir en el rigor
lògic i en la comprensió, contraposant-la als aspectes operatius i manipulatius.
• La geometria elemental i la intuïció
espacial van sofrir un gran detriment. (...)
![Page 26: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/26.jpg)
• (...) La conseqüència natural va ser el canvi de problemes interessants, que abunden tant a la geometria elemental, per exercicis molt propers a la mera tautologia i reconeixement de noms (...)
![Page 27: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/27.jpg)
Possibles línies de millora
![Page 28: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/28.jpg)
1. Equilibrar la implementació del currículum augmentant la presència de la geometria i moderant la del càlcul
![Page 29: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/31.jpg)
2. Integrar en el treball geomètric activitats que vagin més enllà del reconeixement de formes i l’aplicació de fórmules
![Page 32: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/33.jpg)
2.1. Impulsar la presència d’activitats d’experimentació
![Page 34: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/34.jpg)
Quan sigui possible, quatre passos: Experimentació Descoberta Conceptualització Demostració i/o formalització (si cal)
![Page 35: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/35.jpg)
Experimentació
A què és igual aquest nombre?
Suma de distàncies als costats
Al costat? Al perímetre?
![Page 36: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/36.jpg)
Descoberta
A l’altura!
N’esteu segurs?
Doncs sí és l’altura!
![Page 37: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/37.jpg)
Conceptualització
Ara és el moment de “prendre consciència” de la nostra descoberta, de perfilar bé i d’expressar-la correctament.
Potser sortirà una frase semblant a la següent:
En qualsevol triangle equilàter la suma de les distàncies des d’un punt interior a cadascun dels seus costats és sempre igual a l’altura del triangle.
Procurem que quedi constància escrita del que hem fet i del que hem descobert.
![Page 38: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/38.jpg)
Demostració i formalització
(si cal)
![Page 39: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/39.jpg)
El teorema de Viviani
Vincenzo Viviani
(5 d’abril de 1622 – 22 de setembre de 1703)
![Page 40: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/40.jpg)
2.2. Emprar més material manipulable
Quina sabatassa!! Núria Guitart Escola Guilleries, Sant Hilari Sacalm
![Page 41: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/41.jpg)
Els clics de play-mòbil
![Page 42: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/42.jpg)
A quina escala estan els play-mòbils?
![Page 43: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/43.jpg)
1:18 1:20 1:23 ….
A quina escala estan els play-mòbils?
![Page 44: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/44.jpg)
Un vaixell com el Santísima Trinidad, que va participar a la batalla de Trafalgar i que tenia una eslora de 61,40 m quan mesuraria en play-mòbil?
![Page 45: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/45.jpg)
Un vaixell com el Santísima Trinidad, que va participar a la batalla de Trafalgar i que tenia una eslora de 61,40 m quan mesuraria en play-mòbil?
2,7 m
![Page 46: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/46.jpg)
Quim López Ponsa
![Page 47: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/47.jpg)
2.3. Emprar més GeoGebra, Scratch o altres eines TIC
![Page 48: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/48.jpg)
Un entorn meravellós per viure experiències matemàtiques, especialment, geomètriques!
![Page 49: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/49.jpg)
No tan sols és una oportunitat metodològica sinó que convida a replantejar continguts!
![Page 50: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/50.jpg)
Escola Diputació, Barcelona
![Page 51: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/51.jpg)
«...jo no faig servir Scratch per "ensenyar geometria ", els nens i les nenes fan servir la geometria per crear els seus jocs, animacions, històries...»
Frank Sabaté
![Page 52: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/52.jpg)
La visualització de la lògica de les estructures de programació
![Page 53: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/53.jpg)
Tan visual que pot semblar que és tan sols per a les primeres etapes!
![Page 54: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/54.jpg)
2.4. Donar més presència als contextos en geometria
![Page 55: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/55.jpg)
Isocelescales Marcel Domínguez Albero
Fotografia matemàtica 2n premi primària 2013
![Page 56: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/56.jpg)
Matemàtiques al jardí vertical Àngels Tripiana Barniol i Mercè Domenech Gimeno Escola Drassanes, Barcelona
![Page 57: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/57.jpg)
Carrascus
frascalis
saponosus
Fotografia de Xavier Fernández
![Page 58: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/58.jpg)
Carrascus
frascalis
saponosus
Fotografia de Xavier Fernández
Molts angles de 120⁰!
![Page 59: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/59.jpg)
Carrascus
frascalis
saponosus
Fotografia de Xavier Fernández
Molts angles de 120⁰!
![Page 60: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/60.jpg)
Els 120⁰ del sabó
![Page 61: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/61.jpg)
Els 120⁰ del sabó
![Page 62: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/62.jpg)
El vol d’un falcó
![Page 63: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/63.jpg)
El vol d’un falcó
![Page 64: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/64.jpg)
El vol d’un falcó
Direcció de
mirada òptima Direcció d’avenç
Direcció de mirada òptima
![Page 65: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/65.jpg)
Per què no fem un role-play?
Qui fa de falcó? Qui fa de presa?
![Page 67: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/67.jpg)
Una corba d’angle constant!
![Page 68: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/68.jpg)
Jakob Bernoulli (1654–1705)
Spira Mirabilis
Eadem mutata resurgo
“Després de canviar ressorgeixo de nou
igual”.
![Page 69: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/69.jpg)
Un magnífica espiral d’Arquimedes!
L’Spira Mirabilis ara es diu espiral logarítmica
o espiral de Bernoulli
Joaquim Ortega Cerdà: http://www.elmuntanyenc.cat/dels-fissurers-de-lleves-als-falcons-pelegrins/
![Page 70: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/70.jpg)
La idea de fons del que hem explicat és simple,
el que pot ser difícil és la seva formalització.
![Page 71: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/71.jpg)
2.5. Gaudir i fer gaudir del raonament geomètric
Quin dels dos rectangles de la figura és més gran?
![Page 72: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/72.jpg)
2.5. Gaudir i fer gaudir del raonament geomètric
Quin dels dos rectangles de la figura és més gran?
Són iguals
![Page 73: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/73.jpg)
En Joan Jareño me’n va parlar...
El misteri de la tauleta babilònica IM 58045
![Page 74: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/74.jpg)
![Page 75: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/75.jpg)
![Page 76: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/76.jpg)
𝑥 =𝑎2 + 𝑏2
2
![Page 77: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/77.jpg)
𝑥 =𝑎2 + 𝑏2
2
![Page 78: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/78.jpg)
𝑥 =𝑎2 + 𝑏2
2
![Page 79: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/79.jpg)
𝑥 =𝑎2 + 𝑏2
2
![Page 80: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/80.jpg)
𝑥 =𝑎2 + 𝑏2
2
![Page 81: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/81.jpg)
Una solució elegant que em va passar en Claudi Alsina:
![Page 82: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/82.jpg)
Una solució elegant que em va passar en Claudi Alsina:
![Page 83: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/83.jpg)
K S S
![Page 84: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/84.jpg)
K S S
𝐾
𝐾 + 𝑆=
𝑎
𝑥
2
𝐾 + 2𝑆
𝐾 + 𝑆=
𝑏
𝑥
2
2𝐾 + 2𝑆
𝐾 + 𝑆=
𝑎2 + 𝑏2
𝑥2 2 =
𝑎2 + 𝑏2
𝑥2
𝑥 =𝑎2 + 𝑏2
2
Per semblança de triangles:
Sumant:
![Page 85: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/85.jpg)
𝑥 =𝑎2 + 𝑏2
2 Mitjana quadràtica
![Page 86: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/86.jpg)
La prova del pes!
![Page 87: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/87.jpg)
![Page 88: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/88.jpg)
![Page 89: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/89.jpg)
𝑥 =𝑎3 + 𝑏3
2
3
Mitjana cúbica
![Page 90: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/90.jpg)
𝑥 =𝑎3 + 𝑏3
2
3
Mitjana cúbica
![Page 91: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/91.jpg)
L’últim tros de formatge
![Page 92: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/92.jpg)
Quadre amb activitats
Propostes activitats
Mesura i espai i forma
![Page 93: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/93.jpg)
![Page 94: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/94.jpg)
![Page 95: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/95.jpg)
3. «Geometritzar» els blocs no geomètrics
![Page 96: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/96.jpg)
3. «Geometritzar» els blocs no geomètrics
![Page 97: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/97.jpg)
Què poden oferir aquests territoris a la geometria?
Extensió, presència educativa
Què pot oferir la geometria a aquests territoris?
Visualització
![Page 98: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/98.jpg)
Quadre amb activitats
Propostes activitats
Numeració i càlcul Canvi i relacions Estadística i atzar
![Page 99: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/99.jpg)
![Page 100: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/100.jpg)
![Page 101: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/101.jpg)
![Page 102: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/102.jpg)
![Page 103: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/103.jpg)
Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria a l’Educació Secundària Curs telemàtic de 45 hores (27 octubre – 17 gener) per a professorat de secundària Codi: 9001030544, inscripcions fins l’11 d’octubre.
![Page 104: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/104.jpg)
3.1. Incorporar més geometria al bloc de numeració i càlcul
![Page 105: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/105.jpg)
Visualitzant l’aritmètica amb taules de llum Escola Sagrada Família de Caldes d'Estrac
![Page 106: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/106.jpg)
![Page 107: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/107.jpg)
1
4+
1
16+
1
64+
1
256+ ⋯ =
1
3
![Page 108: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/108.jpg)
𝑥 = 19
𝑥 19
𝑥
![Page 109: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/109.jpg)
𝑥 = 19
19
1
𝑥0 = 19 19
![Page 110: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/110.jpg)
𝑥 = 19
10
1,9
𝑥1 =19 + 1
2= 10 19
![Page 111: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/111.jpg)
𝑥 = 19
19
5,95= 3,1933
𝑥2 =10 + 1,9
2= 5,95
19 5,95
![Page 112: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/112.jpg)
𝑥 = 19
19
4,5717=4,1560
𝑥3 =5,95+3,1933
2= 4,5717
19 4,5717
![Page 113: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/113.jpg)
𝑥 = 19
19
4,3639= 4,3539
19 𝑥4 =
4,5717 + 4,1560
2= 4,3639
4,3639
![Page 114: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/114.jpg)
𝑥 = 19
19
4,3589= 4,3589
19 𝑥5 =
4,3639 + 4,3539
2= 4,3589
4,3589
![Page 115: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/115.jpg)
𝑥 = 19
4,3589
19 19~4,3589 4,3589
![Page 116: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/116.jpg)
𝑥 = 𝑘
𝑥 𝑘
𝑥
![Page 117: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/117.jpg)
𝑥 = 𝑘
𝑘
1
𝑥0 = 𝑘 𝑘
![Page 118: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/118.jpg)
𝑥 = 𝑘
𝑥𝑛+1 =𝑥𝑛+𝑘
2𝑥𝑛
2
Mètode de Newton-Raphson aplicat a resoldre l’equació 𝑥2 − 𝑘 = 0
![Page 119: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/119.jpg)
![Page 120: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/120.jpg)
3𝑇𝑛 + 𝑇𝑛−1 = 𝑇2𝑛
![Page 121: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/121.jpg)
Nombres piramidals triangulars
Alumnes de 4t de primària Escola Països Catalans, Lleida
Mestra: Núria Cardet
![Page 122: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/122.jpg)
Alumnes 4t de primària Escola Països Catalans, Lleida
Mestra: Núria Cardet
![Page 123: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/123.jpg)
3𝑃𝑛 + 𝑛3 − 𝑃𝑛−2 = 𝑃2𝑛
𝑃1 = 1
𝑃2 = 4
𝑃3 = 10
𝑃4 = 20
𝑃5 = 35
…...
![Page 124: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/124.jpg)
3.2. Incorporar més geometria al bloc de canvi i relacions
![Page 125: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/125.jpg)
Patrons en
estructures
geomètriques
en funció del
nombre de
barretes de
la base
![Page 126: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/126.jpg)
![Page 127: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/127.jpg)
![Page 128: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/128.jpg)
![Page 129: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/129.jpg)
![Page 130: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/130.jpg)
𝑎 · 𝑏
2= 𝑇
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
![Page 131: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/131.jpg)
![Page 132: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/132.jpg)
L’àrea del quadradet és l’àrea del quadrat gran (c2) menys 4 vegades l’àrea del triangle (T)
𝑏 − 𝑎 = 𝑐2 − 4𝑇
𝑎 · 𝑏 = 2𝑇
L’àrea del rectangle és 2 vegades l’àrea del triangle (T)
![Page 133: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/133.jpg)
Iolanda Guevara: L'ús de contextos històrics
a l'aula de matemàtiques de secundària: El
cas concret de la visualització en la connexió
geometria-àlgebra.
Tesi dirigida per Carme Burgués
𝑥2 + 6𝑥 = 40
![Page 134: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/134.jpg)
Ramon Nolla: Estudis i activitats sobre problemes clau de la
Història de la Matemàtica.
![Page 135: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/135.jpg)
Ressons dels orígens de l’àlgebra molt lligats a la geometria.
Sembla lògic que també hi estigui lligat el seu ensenyament.
Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi (s. IX)
![Page 136: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/136.jpg)
3.3. Incorporar més geometria al bloc d’estadística i atzar
![Page 137: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/137.jpg)
![Page 138: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/138.jpg)
![Page 139: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/139.jpg)
![Page 140: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/140.jpg)
Monedes de Buffon
![Page 141: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/141.jpg)
Idea de Juan Mesa
![Page 142: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/142.jpg)
Regals de la geometria als altres blocs!
![Page 143: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/143.jpg)
Euclides Pitàgores
No entri aquí ningú que no sàpiga Geometria
Plató
L'escola d'Atenes, Raffaello Sanzio, 1509
![Page 144: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/144.jpg)
Tant de bo que no surti d’aquí ningú que no sàpiga Geometria...
Les nostres escoles, Cadascun/a de nosaltres, 2015
![Page 145: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/145.jpg)
...o, almenys, que no hagi tingut una colla d’experiències emocionants en Geometria!
Les nostres escoles, Cadascun/a de nosaltres, 2015
![Page 146: XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiquesfeemcat.org/wp-content/uploads/2015/10/geometria... · 2015-10-09 · 3 d’oture de 2015 XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041813/5e5903a209b48e5c4f78a877/html5/thumbnails/146.jpg)
Guió de la part teòrica: Aquesta part consistirà en una exposició a càrrec dels professors per mostrar com es poden fer matemàtiques a partir de materials concrets. S’exposaran aspectes matemàtics que entrin pels ulls, que es toquin, que es visquin... tot posant de manifest que les matemàtiques no estan tan sols en els nombres i les fórmules de les pissarres o dels quadernets escolars, sinó en tot el que ens envolta. Guió de la part pràctica: Aquesta part consistirà en un conjunt d’activitats experimentals que realitzaran els alumnes en equips de dos o tres. Cadascuna d’elles serà introduïda pels professors i després seran els alumnes els que experimentaran i, si s’escau, faran petites descobertes. A continuació s’assenyalen algunes d’aquestes activitats: Calcularem aproximadament la longitud d’un tram de costa o d’un riu superposant-hi un fil i estimarem una àrea (per exemple la del Delta de l’Ebre) emprant una quadrícula i aplicant escales. Buscarem mínims en triangles tot descobrint la resposta a les següents preguntes: Quin és el punt tal que la suma de distàncies als tres vèrtexs d’un triangle és la mínima possible? Es pot construir amb regle i compàs o amb GeoGebra? Es pot construir experimentalment? Així descobrirem el punt de Fermat. Entre tots els triangles inscrits en un altre triangle quin és el de menor perímetre? Es pot construir amb regle i compàs o amb GeoGebra? Es pot construir experimentalment? Cada alumne/a disposarà d’una còpia d’un mateix triangle equilàter i se li demanarà que esculli un punt qualsevol en el seu interior (cada alumne/a el que desitgi) i que mesuri les distàncies d’aquest punt als tres costats. En sumar obtindrem una sorpresa i descobrirem l’anomenat Teorema de Viviani. Entrarem en un univers que té una geometria pròpia i així descobrirem la geometria del taxista (també geometria de Manhattan o de l’Eixample): Mediatrius “tortes” i mediatrius “gruixudes”. Circumferències “quadrades”. El•lipses inesperades... Explorarem el món de les còniques amb fils i regles i doblegant paper i descobrirem algunes propietats sorprenents. Potser, fins i tot, aconseguirem crear alguna imatge virtual quasi màgica. Jugarem amb la probabilitat tirant monedes i, gràcies a l’atzar, podrem apropar-nos al nombre π tot llançant palets sobre una estora ratllada. Nosaltres mateixos/es ens convertirem en punts del pla i descobrirem personalment la relació que hi ha entre l’àlgebra i la geometria. Amb cigrons simularem el mètode de captura i recaptura que s’utilitza per fer un càlcul estimatiu de poblacions d’animals que viuen en llibertat Finalment descobrirem la geometria que s’amaga a les bombolles de sabó.
Moltes gràcies!