Xác suất và các nguyên tắc tính xác suất

Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

Loại 1. Sử dụng định nghĩa xác suất Bước 1. Tính số phần tử của không gian mẫu

( )n là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của

một phép thử (giải quyết bài toán đếm trước

chữ "Tính xác suất").

Bước 2. Tính số phần tử của biến cố A đang xét

là kết quả của phép thử làm xảy ra A (giải quyết

bài toán sau chữ "Tính xác suất") là ( ).n A

Bước 3. Áp dụng công thức: ( )

( )

n AP A

n

Loại 2. Áp dụng các nguyên tắc tính

xác suất Bước 1. Gọi A là biến cố cần tính xác suất và

, ( 1, )iA i n là các biến cố liên quan đến A sao

cho:

Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố

1 2, ( , , ..., ).i nA A A A Hoặc xác suất của các biến cố

iA tính toán dễ dàng hơn so với .A

Bước 2. Biểu diễn biến cố A theo các biến cố iA .

Bước 3. Xác định mối liên hệ giữa các biến cố

và áp dụng các nguyên tắc:

Nếu 1 2, A A xung khắc

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ).A A P A A P A P A

Nếu 1 2, A A bất kỳ

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( . ).P A A P A P A P A A

Nếu 1 2, A A độc lập 1 2 1 2( . ) ( ). ( ).P A A P A P A

Nếu 1 2, A A đối nhau 1 2( ) 1 ( ).P A P A

Lưu ý. Dấu hiệu chia hết

Gọi 1 1 0...n nN a a a a là số tự nhiên có 1n chữ số

0na . Khi đó:

Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8 và 125 của số tự nhiên :N

+ 0 0 2 2 0; 2; 4; 6; 8N a a .

+ 0 0 5 5 0; 5N a a .

+ 1 0 4 25 4 25N hay a a hay .

+ 2 1 0 8 125 8 125N hay a a a hay . Dấu hiện chia hết cho 3 và 9:

1 3 9 .. 3 9nN hay a a hay .

Câu 88. [1D2-1] Gieo ngẫu nhiên 2 đồng tiền thì

không gian mẫu của phép thử có bao

nhiêu biến cố:

A. 4. B. 8. C. 12. D. 16.

Lời giải Chọn A. Mô tả không gian mẫu ta có:

; ; ;SS SN NS NN

Câu 89. [1D2-2] Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ

1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là

biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn

không vượt quá 8. Số phần tử của biến cố

A là:

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn C. Liệt kê ta có: 1;2;3 ; 1;2;4 ; 1;2;5 ; 1;3;4A

Câu 1. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng

chất 2 lần. Gọi A là biến cố tổng số

chầm nhỏ hơn 6, số phần tử của biến

cố A là:

A. 13 . B. 1. C. 10. D. 8

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu có 36 phần tử .

Biến cố B: “ Tổng số chấm trong 2 lần

gieo nhỏ hơn 6”

Số trường hợp thuận lợi cho B:

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 4,1 ,

3,1 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 .

Chọn C

n 36

Câu 2. Gieo hai đồng xu cân đối một cách

độc lập. Tính xác suất để có đúng một

đồng xu ngửa?

A. . B. .

C. . D. Đáp án khác

1

4

3

4

1

2

Hướng dẫn giải: Chọn C

Ta có không gian mẫu là :

.

Đặt C là các biến cố có đúng một đồng

xu ngửa.

Ta có :

Vậy ta tính được các xác suất sau :

.

(S;S);(S; N);(N;S);(N; N)

C (N;S);(S; N)

C 2 1P(C)

4 2

Câu 1. [1D2-2] Gieo 3 con súc sắc cân đối và

đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện

trên 3 con súc sắc đó bằng nhau:

A. 5

36. B.

1

9.

C. 1

18. D.

1

36.

Lời giải Chọn D. 36 216n .

A: “số chấm xuất hiện trên 3 con súc sắc đó bằng nhau”.

1,1,1 ; 2,2,2 ; 3,3,3 ;

4,4,4 ; 5,5,5 ; 6,6,6A

.

6n A .

KL:

6 1

216 36

n AP A

n

.

Câu 2. [1D2-3] Sắp 3 quyển sách Toán và 3

quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác

suất để 2 quyển sách cùng một môn nằm

cạnh nhau là

A. 1

5. B.

1

10.

C. 1

20. D.

2

5.

Lời giải Chọn B. 6! 720n .

A: “Xếp 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau”. Số sách toán, số sách lý là số lẻ nên không thể xếp cùng môn nằm rời thành cặp (hoặc bội2) được. Do đó, phải xếp chúng cạnh nhau + Xếp vị trí nhóm sách toán – lý, có 2! (cách).

+ Ứng với mỗi cách trên, xếp vị trí của 3 sách toán, có 3! (cách); xếp vị trí của 3 sách lý, có 3! (cách). + Vậy số cách 2!.3!.3! 72n A .

KL:

72 1

720 10

n AP A

n

.

Câu 3. Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng,

4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. Chọn

ngẫu nhiên 6 quả cầu. Tính xác suất

để chọn được 3 quả cầu trắng, 2 quả

cầu đỏ và 1 quả đen?

A. 200

924 . B.

10

924.

C. 20

77. D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải: Chọn C

Số kết quả có thể là

Việc chọn 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả

cầu đen gồm 3 công đoạn:

Chọn 3 quả cầu trắng từ 6 quả cầu trắng( có

cách chọn) ; chọn 2 quả cầu đỏ từ 4 quả cầu đỏ ( có

cách chọn); rồi chọn 1 quả cầu đen từ 2 quả cầu

đen ( có cách chọn). Theo quy tắc nhân, số kết

quả thuận lợi là

Vậy xác suất cần tìm là

612C 924.

36C

24C

12C

3 2 16 4 2C .C .C 240.

240 20P .

924 77

Câu 4. Một hộp có 6 bi đỏ; 5 bi xanh; 4 bi

vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 bi; tính xác

suất biến cố số bi xanh bằng số bi đỏ

và đủ 3 màu?

A. 240

.1001

B. 50

.231

C. 1

.180

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải: Chọn A

Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong 15 viên

bi, số cách chọn 515C . Vậy không gian

mẫu : 515n C

Gọi biến cố A: “ số bi xanh bằng số bi đỏ

và có đủ 3 màu”. Các trường hợp sau

xảy ra thuận lợi cho A.

Trường hợp 1: Chọn được 1 xanh, 1 đỏ

và 3 vàng, có 1 1 35 6 4. .C C C cách.

Trường hợp 2: Chọn được 2 xanh, 2 đỏ

và 1 vàng, có 2 2 15 6 4. .C C C cách.

Vậy 1 1 3 2 2 15 6 4 5 6 4. . . . 720n A C C C C C C cách.

5

15

720 240.

1001

n AP A

n C

Câu 271. [1D2-1] Một tổ học sinh có 7 nam và 3

nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác

suất sao cho 2 người được chọn có

đúng một người nữ.

A.1

.15

B.7

.15

C.8

.15

D. 1

.5

Lời giải.

Chọn đáp án: B.

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn

có đúng một người nữ.”

-Không gian mẫu: 210 45.C

- 1 13 7. 21.n A C C

=> 21 7

.45 15

n AP A

Câu 3. [1D2-3] Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và

đồng chất. Xác suất để được ít nhất một

lần xuất hiện mặt sấp là:

A. 31

32. B.

21

32.

C. 11

32. D.

1

32.

Lời giải Chọn A. Phép thử : Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất Ta có 52 32n

Biến cố A : Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp A : Tất cả đều là mặt ngửa 1n A 31n A n n A

31

32

n Ap A

n

.

Câu 6. Có 2 hộp: hộp 1 chứa 5 bi đỏ, 4 bi

trắng; hộp 2 chứa 3 bi đỏ, 6 bi trắng.

Chọn 1 hộp rồi lấy 1 bi, tính xác suất

biến cố lấy được 1 bi đỏ?

A. 4

.9

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72

Hướng dẫn giải: Chọn A

Xác suất chọn hộp : 1

.2

P

Xác suất chọn được 1 bi đỏ ở hộp 1: 15

1 19

5.

9

CP

C

Xác suất chọn được 1 bi đỏ ở hộp thứ 2: 13

2 19

3.

9

CP

C

Xác suất chọn được 1 bi trắng ở hộp thứ

1: 14

3 19

4.

9

CP

C

Xác suất chọn được 1 bi trắng ở hộp 2: 16

4 19

6.

9

CP

C

Gọi X là biến cố “ Chọn 1 hộp sau đó lấy

ra 1 bi, và được bi đỏ”.

1 5 1 3 4

. . .2 9 2 9 9

P X

Câu 7. Có 2 hộp: hộp 1 chứa 5 bi đỏ, 4 bi

trắng; hộp 2 chứa 3 bi đỏ, 6 bi trắng.

Chọn 1 hộp rồi lấy 2 bi, tính xác suất

biến cố lấy 2 bi khác màu?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 19

.36

D. 1

.72

Hướng dẫn giải: Chọn C

Xác suất chọn 2 bi ở hộp thứ nhất và 2 bi

được chọn phải khác màu: 1 15 4

1 29

. 5.

9

C CP

C

Xác suất chọn 2 bi ở hộp thứ 2 và 2 bi

được chọn phải khác màu: 1 13 6

2 29

. 1.

2

C CP

C

Gọi A là biến cố: “ Chọn một hộp và từ

hộp đó lấy ra được hai viên bi khác

màu”

1 5 1 1 19

. . .2 9 2 2 36

P A

Câu 8. Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi

ngẫu nhiên quanh một bàn tròn. Tính

xác suất sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ

nhau?

A. 19

126. B.

1

126

C. 12

126. D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải: Chọn B

Xếp 10 bạn quanh một bàn tròn có 9!

cách xếp (lấy 1 bạn làm chuẩn).

Biến cố A "5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp

ngồi quanh một bàn tròn sao cho nam,

nữ ngồi xen kẽ nhau".

Bước 1: Xếp 5 bạn nam quanh bàn tròn

có 4! cách xếp.

Bước 2: giữa 5 bạn nam có 5 khoảng

trống để xếp 5 bạn nữ có, 5! cách.

Vậy cách. Từ đó suy ra

.

n A 4!.5!

n A 4!.5! 1P A

9! 126n

Câu 9. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5

chữ số khác nhau được thành lập từ

các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 . Chọn ngẫu

nhiên một phần tử của tập A. Tìm xác

suất để phần tử đó là một số không

chia hết cho 5?

A. 25

36 B.

9

36

C. 14

36. D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi , 0n abcde a là số có 5 chữ số khác nhau. a

có 6 cách chọn, mỗi cách sắp xếp b,c,d,e là một

chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử (giải thích : bỏ một

chữ số a đã chọn). Vậy có 466. 2160A số có 5 chữ số

khác nhau. Suy ra số phần tử của A là 2160.

Gọi 1 , 0n abcde a là phần tử thuộc tập A và

chia hết cho 5. Có hai trừng hợp xảy ra :

Trường hợp 1 : 0e , mỗi cách sắp xếp a,b,c,d là

một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Vậy có 46A số

tận cùng bằng 0.

Trường hợp 2 : 5e , a có 5 cách chọn (bỏ hai chữ số

0 và 5). Mỗi cách sắp xếp b,c,d là một chỉnh hợp

chập 3 của 5 phần tử. Vậy có 355.A số tận cùng bằng

5.

Suy ra có 4 36 55. 660A A số thuộc tập A mà chia hết

cho 5. Vậy có 2160 660 1500 số không chia hết

cho 5.

Gọi X là biến cố ‘’Chọn một số thuộc tập A và

không chia hết cho 5’’. Số trường hợp thuận lợi cho

X là 11500n X C .

Xác suất cần tìm :

1150012160

25

36

n X CP X

n C

.

Câu 271. [1D2-2] Một lô hàng có 100 sản phẩm,

biết rằng trong đó có 8 sản phẩm hỏng.

Người kiểm định lấy ra ngẫu nhiên từ

đó 5 sản phẩm. Tính xác suất của biến

cố : “ Người đó lấy được đúng 2 sản

phẩm hỏng” ?

A. 2

.25

P A B. 229

.6402

P A

C. 1

.50

P A D. 1

.2688840

P A

A

Lời giải.

Chọn đáp án: B.

Gọi A là biến cố: “Người đó lấy được

đúng 2 sản phẩm hỏng.”

-Không gian mẫu: 5100.C

- 2 38 92. .n A C C

=> 299

.6402

n AP A

Câu 272. [1D2-2] Hai xạ thủ bắn mỗi người một

viên đạn vào bia, biết xác suất bắn

trúng vòng 10 của xạ thủ thứ nhất là 0,

75 và của xạ thủ thứ hai là 0, 85. Tính

xác suất để có ít nhất một viên trúng

vòng 10 ?

A.0,9625. B.0,325. C.0,6375. D. 0,0375.

Lời giải.

Chọn đáp án: C.

Gọi A là biến cố: “có ít nhất một viên

trúng vòng 10.”

-A là biến cố: “Không viên nào trúng vòng 10.” => 1 0,75 . 1 0,85 0,0375.P A

=> 1 1 0,0375 0,9625.P A P A

Câu 274. [1D2-3] Một bình đựng 12 quả cầu

được đánh số từ 1 đến 12 . Chọn ngẫu

nhiên bốn quả cầu. Xác suất để bốn quả

cầu được chọn có số đều không vượt

quá 8.

A.56

.99

B.7

.99

C.14

.99

D. 28

.99

Lời giải.

Chọn đáp án: C.

Gọi A là biến cố: “bốn quả cầu được

chọn có số đều không vượt quá 8.”

-Không gian mẫu: 412 495.C

- 48 70.n A C

=> 70 14

.495 99

n AP A