Mecánica de medios continuos para ingenieros Xavier Oliver Carlos Agelet
X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
1/209
por X. Ol i ver Ol i vel l a
yC. Agel et de Sar aci bar Bosch
compilacin: J. Martnez Parejo
Versin: Septiembre 2002
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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1 Descripcin del movimiento Cuestiones resueltas
2000-2004 by: X. Oliver &C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
1
111DDDeeessscccrrriiipppccciiinnndddeeelll
mmmooovvviiimmmiiieeennntttooo
CUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTAS
CR 1-1Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Si el campo de velocidades es estacionario, el campo de aceleraciones tambin lo es.b) Si el campo de velocidades es uniforme, el campo de aceleraciones es siempre nulo.c) Si el campo de velocidades es estacionario y el medio es incompresible el campo de
aceleraciones es siempre nulo. ( )5Tema
Resolucin:
a) Que el campo de velocidades sea estacionario significa lo siguiente:
)(t
)t,(xv0
xv
=
La derivada material de la velocidad da la aceleracin y por tanto:
)()()t,()t,(t
)t,()t,( xvxvxvxv
xvxa =+
=
La expresin que queda no depende del tiempo. As se concluye que la afirmacin delenunciado es cierta.
b) Si el campo de velocidades es uniforme implica que no depende de la coordenadaespacial y por tanto:
)t()t,( vxv
Derivando la velocidad queda:
t
)t()t,()t,(
t
)t,()t,(
=+
=
vxvxv
xvxa
ya que el gradiente de la velocidad es:
[ ] 0x
(t)v)t(
i
j
ij =
=v
Por lo tanto, la afirmacin es falsaya quet
)t(
v
no tiene porqu ser nulo.
c) Como en el apartado a), la velocidad es del tipo:)()t,( xvxv
-
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1 Descripcin del movimiento Cuestiones resueltas
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Medio incompresible significa, matemticamente, que la divergencia de la velocidad esnula:
0)( = xv
Pero esto no implica necesariamente que el gradiente de la velocidad tambin lo sea, esdecir, la aceleracin no tiene porqu ser cero:
)()()t,()t,(t
)t,()t,( xvxvxvxv
xvxa =+
=
Se concluye que la afirmacin es falsa.
CR 1-2 Determinar en qu condiciones las siguientes ecuaciones pueden ser las trayectoriasde un medio continuo:
+=+=
+=
tZ)t1(Zez
)t1)(ee(ZtYy
)t1)(1e(ZtXx
2
22
2
Resolucin:
)t,(XF es el tensor Gradiente Material de la Deformacin, definido de la siguiente manera:
j
iij
X
xF
=
Se debe cumplir:0>F
0t))(1e(tt
)t(1et00
t))(1ee(t0
)t1)(1e(0t22
2
22
2
>+=
+
= FF
>+=+
0e1)t(et)(1et
0t222
F . Pero ahora las expresiones son diferentes alas anteriores.
Tomando como instante inicial un tiempo *t :
-
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1 Descripcin del movimiento Cuestiones resueltas
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3
=
+=
+=
)1(
)(
)1(
32
2232
231
tCeZ
eeCtCY
eCtCX
y despejando { }1,2,3i,C i :
=
=
=
)t(1e
ZC
)]e(1t1
Z[Y
t
1C
)]e(1t1
Z[X
t
1C
23
42
21
Estas ecuaciones estn definidas para
1t
0t. Sustituyendo en las ecuaciones de las
trayectorias del medio continuo resulta:
=
+
=
+
=
Zt1
t1z
)e(1*t1
Z)e(1
t1
Z
t
tY
t
ty
)e(1*t1
Z)e(1
t1
Z
t
tX
t
tx
44
22
De esto se deduce que
1t
0t
0t
.
Si ahora se calculaj
iij
X
xF
= y su determinante, queda la condicin:
0t1
t1
t
t2
2
>
=
F
O lo que es lo mismo:
1t,1t1t,1t
0t
0t
>>
-
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)t,()t,(t
)t,(
dt
)t,(d)t,( xvxv
xvxvxa +
==
donde:
[ ]Ttt 0,)ez(e,0t
=v
[ ]
+=+
=
0)ee(1
000
001
0,)ez(e,zx
z
y
x
tt
ttv
[ ]T
0,0,zx= vv
[ ]Ttt 0,)ez(e,zx = a
[ ]T22 0,ee,0)2t,(
===xxa
CR 1-4 Las ecuaciones de un cierto movimiento son:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tttt eZYeZY2
1z,eZYeZY
2
1y,Xx +=++==
Calcular las aceleraciones que observara a lo largo del tiempo:
a) Un observador situado en el punto fijo (1,1,1) .b) Un observador que viajara con la partcula que en 0t= ocupaba el punto (1,1,1) .
c) Un observador situado en el punto (1,1,1) que midiese las aceleraciones comodiferencia de las velocidades en dicho punto por unidad de tiempo.
Resolucin:
Primero se calculan lasEcuaciones de Movimiento Inversas:
=+=+
=
+=+
t
t
t
t
e)zy(ZY
e)zy(ZY
e)ZY(zy
e)ZY(zy
+=++=
=
tt
tt
e)zy(2
1e)zy(
2
1Z
e)zy(2
1e)zy(
2
1Y
xX
y ahora la velocidad:
++
+=
=
tt
tt
Z)e(Y2
1Z)e(Y2
1
Z)e(Y2
1Z)e(Y2
1
0
t
)t,(),(
XxXv t
Utilizando las Ecuaciones de Movimiento Inversas se obtiene la descripcin espacial de la
velocidad:
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=
y
z
0
)t,(xv ( 1 )
Para calcular la aceleracin se procede de la misma manera:
+
++=
=
tt
tt
Z)e(Y2
1Z)e(Y2
1
Z)e(Y2
1Z)e(Y2
1
0
t
)t,(),(
XvXa t ( 2 )
Y con lasEcuaciones de Movimiento Inversasse deduce la descripcin espacial de la aceleracin:
=
z
y
0
)t,(xa ( 3 )
a) Se tiene que utilizar la expresin ( 3 ) para ( )T
1,1,1*x = :[ ]
T1,1,0)t,( == xxa
b) Se tiene que utilizar la expresin ( 2 ) para ( )T1,1,1*X = :
[ ]Ttt e,e,0)t,( == Xxa
c) Se tiene que calcular la derivada local de ( 1 ), y como no depende de t explcitamente,sta ser nula. No depender ni de t ni de x:
[ ]T0,0,0t
)t,(=
xv
CR 1-5Dado el campo de velocidades [ ]T0,y,at=v :
a) Determinar las ecuaciones de las lneas de corriente y trayectorias.b) Determinar los posibles valores de los parmetros y , para los cuales la funcin
Cyet)z,y,f(x, !t = , donde 0C es una constante, define una superficie material.
Resolucin:
a) Las trayectorias cumplen las siguientes ecuaciones:
3
t2
12
Cz0dt
dz
eCyydt
dy
Cat2
1xatdt
dx
==
==
+==
e imponiendo la condicinXx
= para 0t = , se obtiene la Forma Cannica de lasEcuaciones de Movimiento:
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Zz
Yey
Xat2
1x
t
2
==
+=
Las lneas de corriente cumplirn:
3
2
1
Czd
dz
eCyyd
dy
Catxatd
dx
==
==
+==
0
b) t)z,y,f(x, define la superficie material }0t)z,y,f(x,|{:t == x , y por lo tanto deber
cumplir:
( )T1!t
!t
t
0,ye!,0f
yet
f
t0ft
f
dt
df
=
=
=+=
xv
!t ye!f = v
t0y)e!(ye!yedt
dft
!t!t!t =+=+= x
tx =
0Cyet)z,y,f(x, !t )!C(y)e!(Cye !t!t +=+=
=+=+ t0)!C(t0y)e!( t!t
x
0! =+
CR 1-6 Dado el siguiente campo de velocidades (descripcin espacial) en coordenadascartesianas: ( )[ ]Ttz,y,x =v , y la superficie:
{ }0Cez)y(xet)z,y,F(x,|:2t2222t
t =++== x
donde 0C es una constante, determinar ( )t sabiendo que las partculas que estnsobre dicha superficie son siempre las mismas.
Resolucin:
F define la superficie material }0t)z,y,F(x,|{:t == x , y por tanto deber cumplir:
t0F)t,(t
F
dt
dFt =+
= xxv
donde
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2t2222t e2tz)y(x2et
F +=
=
2
t
2t
2t
2ze
2ye
2xe
F
( )( ) ( )te2ze2ye2xFtz,y,xF2t22t22t2 ++== v
resultando finalmente: t0t)e(t)(2z tt2 2 = x
Por otra parte:
tx =++
0Cez)y(xet)z,y,F(x,2t2222t [ ]
2t222t2e)y(xeCz
+ +=
[ ] =+= tyx,0t)(t)()y(xeC2t)e(t)(2z 222tt2 2
t(t)=
CR 1-7
a) Obtener la divergencia en el punto ( )T0,0,0 del campo vectorial definido encoordenadas esfricas por rev ar= .
b) Justificar que, en el caso ms general, para cualquier campo vectorial como el de laFig.1 ( convergente hacia el punto A ) o el de la Fig.2 (divergente desde el punto A ), el
valor de la divergencia en A es negativo y positivo, respectivamente.
Resolucin:
a) El campo de velocidades en coordenadas esfricas es el siguiente:
==
=
0v
0v
arvr
La definicin de divergencia en coordenadas esfricas es:
+
+
= v
sen
1)senv(
sen
1)v(
1 22 rr
rrr rv
En este caso particular queda as:
3ar
3ar)(ar
rr
12
23
2 ==
=v
Fig.1
A
Fig.2
A
-
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Para el caso de la Figura 1 resulta 0a< ya que el vector velocidad tiene diferentesentido que las rcrecientes, y por tanto, la divergencia es negativa.
Para el caso de la Figura 2 resulta 0a> ya que el vector velocidad tiene el mismosentido que las rcrecientes, y por tanto, la divergencia es positiva.
b) Para demostrarlo, se toma un volumen diferencial que envuelva el punto A y se razonasobre l:
FIGURA 1:Los vectores n y v tienen diferente sentido, ya que n es el vector unitarioexterior del volumen dV y v va hacia dentro. Por tanto su producto sernegativo.
0)(
0
)(=
=
A
VdV
AdV
dSdV
dVdVv
nvv
vv
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PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOS
PR 1-1 Para el siguiente campo de velocidades:
( )zyx,fv,0v,0v zyx ===
Se pide:a) Hallar las trayectorias y las lneas de corriente indicando cmo son.
b) Dada la funcin ( ) ( ) tx
fxyzLntz,y,x,g
= , determinar el valor de y)f(x, para que
0t)z,y,g(x, = sea una superficie material.c) Determinar la densidad sabiendo que en 0t = , ( ).= yx,fd) En el instante 1t = , y en los puntos de una superficie esfrica de centro (0,0,0) y radio
R, se vierte un colorante. Obtener la ecuacin de la mancha a lo largo del tiempo.e) Para el caso particular Ay)f(x, = , calcular la cantidad de masa por unidad de tiempo
que atraviesa la superficie cilndrica de la figura cuya directriz tiene longitud L y estcontenida en el plano xy . ( )5Tema
Resolucin:
a) Para hallar las trayectorias se debe integrar la descripcin espacial de la velocidad ya que:
( )t,td
dxv
x=
Se puede aplicar la igualdad componente a componente, y al particularizarla para este
problema resulta:
1x Cx(t)0vtd
dx===
2y Cy(t)0vtd
yd===
zy)f(x,vtd
zdz == z)C,f(C
td
zd21 = = dt)C,f(Cz
dz21
( ) kt)C,f(CzLn 21 += t)C,f(C
321eCz(t) =
Para obtener la expresin en forma cannica se impone que:
Xx =(0)
rea Sx
y
z
L
-
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ZCz(0)
YCy(0)
XCx(0)
3
2
1
======
La ecuacin de las trayectorias es:
( ) tY,XfeZz
YyXx
=
== ( 1 )
Para hallar las lneas de corriente, se tendra que integrar el campo de velocidades respecto , pero en el problema el campo de velocidades en descripcin espacial no depende
explcitamente del tiempo, 0v
=
t, es decir, el campo de velocidades es estacionario y, por
tanto, las lneas de corriente coinciden con las trayectorias. La ecuacin de las lneas decorriente ser entonces:
( )=
==
21,Cf
3
2
1
eXCz
Cy
Cx
C
Las trayectorias (y las lneas de corriente) son verticales ya queslo vara la componente z , debido a que el campo de
velocidades es vertical. Como las lneas de corriente son susenvolventes tambin deben ser verticales.
b)Recordar que ( )t,x essuperficie material si, y slo si, su derivada material es nula:
( ) ( )( ) 0t,
t
t,t,d=+
=
xvxx
dt
Se tiene la superficie definida por:
0tx
fLn(xyz)t)z,y,g(x, =
=
Se calcula su derivada material y se iguala a cero.
x
y)f(x,
t
g
=
[ ] )yf(x,xyxyz
1zy)f(x,
z
gv
z
g
y
g
x
g
vvvg zzyx ==
=
= v
La derivada material resulta:
y
z
x
-
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0y)f(x,x
y)f(x,
dt
dg=+
=
Si se toma 0y)f(x, :
0y)f(x,x
y)f(x,
=+
y)f(x,xy)f(x,
=
1xy)f(x,
y)f(x,
1
=
( )[ ] 1y)f(x,Lnx
=
( ) )(yxy)f(x,Ln +=
x(y)x e(y)"ey)f(x, == +
Por tanto, g es material si, y slo si,
( ) ( ) xeyyx,f =
Para el caso ( ) 0yx,f = se tiene que ( ) 0xv =t, , es decir, el medio continuo est en reposo y,por tanto, toda superficie es material.
c) La densidad verifica la siguiente ecuacin de continuidad:
t),(
0
XF
= , siendo
X
xF
= .
Expresada en componentes resulta:
j
iij
X
xF
= .
Teniendo en cuenta las ecuaciones de movimiento ( 1 ), se pueden calcular lascomponentes de F :
=
=tY)f(X,e**
010
001
Z
z
Y
z
X
z
Z
y
Y
y
X
y
Z
x
Y
x
X
x
F
Los valores *no se necesitan y por ello no se explicitan.
El determinante de ( )t,XF es:tY)f(X,et),( =XF
En el enunciado se dice que en 0t = , ( )yx,f= , es decir, segn las expresiones ( 1 ),( )YX,f0= .
( ) ( )
( )tYX,fe
YX,ft =
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d)Se pide hallar la ecuacin de la mancha a lo largo del tiempo, es decir, la descripcinespacial de la superficie material de las partculas que en 1t = estaban sobre la esfera decentro el origen de coordenadas y de radio R.
En 1t= la mancha es una esfera pero no se sabe las partculas que la constituyen:
0R-(z*)(y*)(x*) 2222 =++
Introduciendo las ecuaciones del movimiento ( 1 ) particularizadas en 1t = ,se averiguala posicin inicial de las partculas que forman parte de la esfera en 1t = . Como es unasuperficie material, stas formarn la mancha para todos los tiempos (identificacin delas partculas):
1Y)(X,feZz*
Y*y
Xx*
=
==
0ReZYX 2Y)f(X,2222 =++
que es la expresin material de la superficie material. Se busca la descripcin espacial,por lo que se debe sustituir en la expresin anterior las ecuaciones inversas delmovimiento:
ty)f(x,ezZ
yY
xX
=
==
0Reezyx 2y)f(x,2ty)f(x,2222 =++
( ) ( ) 0Rezyx 2yx,ft-12222 =++
e) La cantidad de masa por unidad de tiempo que atraviesa una superficie se define de lasiguiente forma:
= SS dSnv ( 2 )Para este problema y segn el apartado c), la densidad tiene la siguiente expresin:
At
A
e=
Se observa que la densidad no depende de los puntos del espacio, sino que nicamentelo hace del tiempo, por lo tanto puede salir fuera de la integral.
Y si la superficie encierra un volumen V y aplicamos el Teorema de la Divergenciaqueda:
== VSS dVdS vnv ( 3 )Se calcula ahora el flujo de masa a travs de cada superficie utilizando la expresin ( 2 ) yluego el flujo total mediante la ( 3 ). As se despeja el resultado final.
Vamos a denominar a las diferentes superficies de la siguiente manera:
Sup. 1: la contenida en el plano z-y y con 0x = .Sup. 2: la contenida en un plano paralelo al z-y y con Lx = .
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Sup. 3: la contenida en el plano y-x y con 0z= .Sup. 4: la superficie irregular que cierra finalmente el volumen V .
Flujo de masa a travs de la superficie 1:
0dS0dS)(dS1 11
1 S S1
SS ==== evnv
Flujo de masa a travs de la superficie 2:
0dS0dSdS2 22
2 S S1
SS ==== evnv
Flujo de masa a travs de la superficie 3:
0dS0AzdSAAzdSdS)(dS333 33
3 SSS S3
SS ====== evnv
Flujo de masa a travs de todas las superficies:
ALSAVdV)A00(dV)z
v
y
v
x
v(dV
V
z
V
yx
VS ==++=
++
== n
Por lo tanto, se puede encontrar4S
de la siguiente manera:
4321 SSSSS +++=
3214 SSSSS ++=
ALS000#ALS4
==S
Y finalmente, el flujo a travs de la superficie cilndrica, formada por las superficies 3 y
4, es: ALS043 SS +=+
ALSS =
_____________________________________________________________________
PR 1-2 La descripcin espacial del campo de velocidades de un fluido perfecto es:
( )T
zt v,
t1
y,ezt,
+=xv
La descripcin material del campo de presiones es ( )t1
eZ21t,
t
20 +=
Xp , siendo ctte0= .
Se sabe tambin que la superficie ( ) ( ) 0ket1zxtx, t =++= es una superficie material.Se pide:
a) Ecuacin de las trayectorias y de las lneas de corriente.b) Las fuerzas de volumen que originan el movimiento. ( )4Temac) En el punto *x se produce un vertido en el intervalo [ ]t,tt 21 . Obtener la ecuacin
de la lnea de traza y la posicin de sus puntos inicial y final.d) Calcular el flujo de masa que atraviesa la superficie de la esfera de centro en (1,1,1) y
radio R. ( )5Tema
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Resolucin:
a) En primer lugar, hay que utilizar la informacin sobre la superficie para podercompletar el campo de velocidades espacial, ya que el enunciado no da explcitamentela componente zv . Que dicha superficie sea material significa que todas las partculasque la componen son siempre las mismas, y expresado matemticamente queda:
0tdt
d=+
=
v
( )zv
t,0vt)e(1zet))(1ez(e
t)e1(,0,1
)t)(1ez(et
z
ztttt
t
tt
=
=++++
+=
++=
T
Por lo tanto:T
t z,t1
y,ze),(
+=txv
Ahora ya se puede calcular las trayectorias segn la ecuacin:
)t),t((dt
)t(dxv
x=
de la que resultan 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de 1erorden:
tZezzdt
dz ==
ZtXxZeZezedt
dx ttt +====
)t1(Yyk)t1ln(ylnt1
dt
y
dy
t1
y
dt
dy
+=++=+=+=Las ecuaciones de las trayectorias son:
tZez
t)Y(1y
ZtXx
=
+=+=
( 1 )
Para las lneas de corriente se debe cumplir:
)t,,C,C,C()t),(()(
321 ==
xxxv
x
d
d
donde t es fijo al integrar.
$3eCzk$zlnd$
z
dzz
d$
dz =+===
1$t
3t$
3t CeCxeeCze
d$
dx+===
t1
$
2eCykt1
$lny
t1
d$
y
dy
t1
y
d$
dy +=++
=+
=+
=
Las ecuaciones de las lneas de corriente son:
-
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1 Descripcin del movimiento Problemas Resueltos
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15
$3
t1
$
2
1t$
3
eCz
eCy
CeCx
+
=
=
+=
b) En el caso de un fluido perfecto se tiene que su tensor de tensiones es esfrico:1p=
Y por lo tanto, sustituyndolo en laEcuacin de Cauchy nos queda lo siguiente:
ab =+ p ( 2 )
Para calcular la aceleracin a partiendo de la velocidad nicamente se ha de calcular laderivada material respecto del tiempo. Si se toma la expresin espacial de la velocidad
t),(xv
se tiene que:)t,()t,(
t
)t,()t,( xvxv
xvxa +
=
Pero si se trabaja con la expresin material t),(Xv :
dt
)t,(d)t,(
XvXa =
Se operar con esta segunda expresin utilizando las ecuaciones ( 1 ):
ZeZet),(vzet),(v ttxt
x ===
Xx
Yt1
t)Y(1
t),(vt1
y
t),(v yy =++
=+= Xxt
zz Zet),(vzt),(v == Xx
Derivando se obtiene la aceleracin:
[ ]TtZe,0,0dt
),(d)t,(
== tXv
Xa
e invirtiendo las ecuaciones ( 1 ), se obtiene la expresin espacial:
[ ]T
z,0,0)t,( =xa
La expresin de la presin p viene en el enunciado de forma material, pero con lasinversas de las frmulas ( 1 ) se puede calcular la expresin espacial. El gradiente secalcula de la siguiente forma:
Tt0
T
t1
ze,0,0
z
)t,(,
y
)t,(,
x
)t,(
+
=
= xxx ppp
p
Para calcular la densidad se utiliza la frmula:
)t,(
)0,()t,(
XF
Xx
=
-
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1 Descripcin del movimiento Problemas Resueltos
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16
donde )t,(XF es el Tensor Gradiente de la Deformacin
=j
iij
X
xF y la densidad inicial
0)0,( = X :
t
tt)e1(
e000t10
t01
)t,(
+=
+= FXF
t1
e t0
+
= ( 3 )
nicamente falta sustituir estos resultados en la ecuacin ( 2 ) y despejar b :
[ ]T2z,0,0)t,( =xb
c) Las partculas que pasan por el punto *x durante el intervalo de tiempo [ ]21 t,tquedaran manchadas por el vertido si ste fuese un colorante (es una manera de
visualizar el problema).Para detectar estas partculas (lnea de traza) basta imponer:
=+
=
==
==
+=
+=
ezZ1
yY
ezxZxX
ZezZez
)1Y(y
ZXx
( 4 )
Sustituyendo estas partculas ZY,X, ( 4 ) en las ecuaciones ( 1 ), se obtiene la
descripcin del movimiento de la lnea de traza:
tt
%
ezZez
1
t1yt)Y(1y
)t(ezxtezezxZtXx
==+
+=+=
=+=+=
Para cada instante t , se puede visualizar la lnea de traza segn el parmetro , que dala situacin espacial de las partculas tintadas.Se puede comprobar que para =t se debe cumplir:
=
=
=
zz
yy
xx
ya que lo que indica es que la lnea de traza est pasando por el punto de vertido.Ahora hay que delimitar esta lnea para cada tiempo t :
En este caso, el primer punto que se tinta es el que pasa por el punto de vertido para
1t= , mientras que el ltimo estar pasando, en el instante t= , por el punto de
vertido.
-
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1 Descripcin del movimiento Problemas Resueltos
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Un extremo es = t *xx =
El otro extremo es = 1t
tt
1
1t
1
1
ezz
t1
t1yy
t)(tezxx
=
++=
=
Para 2tt> los extremos son los correspondientes a:
= +
+=
=
=
tt 1
1t
1
1
1
ezzt1
t1yy
t)(tezxx
t
= +
+=
=
=
tt 2
2t
2
2
2
ezzt1
t1yy
t)(tezxx
t
d) El flujo de masa que atraviesa cualquier superficie se define de la siguientemanera:
= S dS)( nvY si se trata de una superficie cerrada que encierra un volumen , se puede aplicar elTeorema de la Divergencia:
= dV)( v
21 ttt
lnea de traza2t=
1t=
-
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1 Descripcin del movimiento Problemas Resueltos
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18
Por otra parte, segn laEcuacin de Continuidad(local, espacial):
t)(0)(
t
==+
vv
y como se ha obtenido la expresin de la densidad en ( 3 ), se puede calcular suderivada local:
2
t0
t)1(
te
t +
=
Hay que darse cuenta que dicha derivada es constante en el espacio. As, nicamentehay que sustituir:
=
= VdV tt
3
2
t0 R
3
4
t)1(
te
+
=
-
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1 Descripcin del movimiento Cuestiones Propuestas
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CUESTIONES PROPUESTAS
CP 1-1 Definir descripcin material y espacial de un movimiento.
CP 1-2 Enunciar e interpretar fsicamente las condiciones que debe verificar la formacannica de la ecuacin de movimiento: x X= ( , )t
CP 1-3 Definir y escribir las ecuaciones de:
a) Lnea de corriente.b) Trayectoria.c) Lnea de traza.
CP 1-4 Razonar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Dos lneas de corriente, correspondientes a un mismo instante de tiempo, no puedencortarse nunca, salvo que la velocidad en el punto de corte sea nula.
b) Dos trayectorias distintas no pueden cortarse nunca.c) Dos lneas de traza, correspondientes a dos puntos de vertido con el mismo periodo de
vertido, pueden cortarse en uno o ms puntos.
CP 1-5 Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) En rgimen estacionario, las trayectorias y lneas de corriente coinciden.b) Si un cierto flujo tiene como trayectorias y lneas de corriente rectas paralelas al eje x,
dicho flujo es estacionario.
CP 1-6 Dado el siguiente campo de velocidades (descripcin material):
[ ]T311At CX,BtX,XAe=v
con A , B y C constantes, obtener su descripcin espacial y las condiciones que debencumplir A , B , C para que el movimiento sea factible para
-
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1 Descripcin del movimiento Cuestiones Propuestas
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a) Un observador situado en el punto del espacio (1,1,1) que midiera la densidad de laspartculas que van pasando por dicho punto.
b) Un observador que viajara con una partcula que en el instante 1t= ocupaba laposicin (1,1,1) , midiendo su densidad.
CP 1-9 Dado el campo de velocidades de un medio continuo (descripcin material) :
0v,eYv,(t)Xtd
(t)dXv Z
tYX ===
=
obtener la expresin ms general de la funcin )t( sabiendo que el movimiento esestacionario (la configuracin de referencia se considera en 0t= ).
CP 1-10 Justificar si es cierta o falsa la siguiente afirmacin: Las trayectorias y lneas de
corriente asociadas al campo de velocidades { }3,2,1i,eX)t,(v t
ii =X coinciden.
CP 1-11 Calcular las trayectorias y lneas de corriente asociadas al campo de velocidades:
{ }32,1,i,t)(1
xv ii +
= y comprobar si coinciden o no. Razonar el resultado.
CP 1-12 En un fluido, con el siguiente campo de velocidades:
[ ]T2t2 0y,,ey =vse vierte un colorante desde el instante 1t = hasta el instante 2t = en el punto (1,1,1) .
Obtener la ecuacin de la lnea de traza en el instante 5t = y las coordenadas de suspuntos inicial y final.
CP 1-13 En el punto (1,1,1) del interior de un fluido, se vierte un colorante desde elinstante 1t = hasta el instante 2t = . Si la ecuacin de las lneas de corriente es :
t23
t$2
t$1 eCz,eCy,eCx
===determinar la ecuacin de la lnea de traza, indicando los puntos inicial y final de la mismapara 5t = .
CP 1-14 La descripcin espacial del campo de velocidades de un fluido es:
[ ]Ttt 0,ze,ye=v
En el instante 1t = se vierte un colorante en el plano 0y = . Obtener la ecuacin espacialde la mancha a lo largo del tiempo.
CP 1-15 Un movimiento viene definido por el campo de velocidades:T
t1
z,t1
y,
t1
x
+++=v
Razonar si la superficie { }0zyxt3|:t =++= x es material.
-
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1 Descripcin del movimiento Cuestiones Propuestas
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21
CP 1-16 Dado el campo de velocidades:T
2t
z,2t
y,
2t
x
=v , demostrar que cualquiera
de las superficies { }tRzyx|: 2222t =++= x , donde R es una constante, es unasuperficie material.
CP 1-17 Dado el campo de velocidades:T
2t
z,2t
y,2t
x
=v , y sabiendo que la superficie
{ }&t!zyx|: 222t +=++= x es material, encontrar todos los posible valores de ! y & .
CP 1-18 Dado el campo de velocidades: ( )[ ]Tz,y,tx=v , y la superficie definida por la
funcin )z(yeext)z,y,F(x, 222tt2 2
++ , determinar t)( sabiendo que las partculas
que estn sobre dicha superficie son siempre las mismas. Obtener las trayectorias y lneasde corriente justificando si coinciden o no.
CP 1-19 Sea un movimiento definido por la siguiente ecuacin de sus lneas de corriente:
3$
2t$
21 Cz,eCy,f(t)eCCx ==+= +
y sea la superficie material { }tt ytexz|: == x . Obtener la ecuacin de las trayectorias
en forma cannica del movimiento as definido
-
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-
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1 Descripcin del movimiento Problemas Propuestos
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23
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
PP 1-1 Para el movimiento definido por el campo de velocidades:0v;yv;yev zy
tx ===
Se pide:
a) Hallar las trayectorias en forma cannica y las lneas de corriente.b) Obtener la expresin de la densidad sabiendo que su valor en el instante 0t = es 0 .c) Calcular la cantidad de masa que por unidad de tiempo atraviesa la superficie cilndrica
S de la figura. ( )5Temad) Obtener la ecuacin espacial de la superficie material que, en el instante 1t = , era una
esfera de centro (0,0,0) y de radio R.e) Calcular el volumen encerrado por dicha superficie material en el instante 2t = .
( )2Tema
PP 1-2 Para el movimiento definido por el campo de velocidades:
ct
zv;byv;2axv zyx +
===
Se pide:
a) Hallar la ecuaciones de las trayectorias en forma cannica y la ecuacin de las lneas decorriente.
b) Determinar los posibles valores de a , b y c para que el movimiento tenga sentidofsico para ),0[t . (Para el resto del problema considerar 1cba === )c) Obtener la expresin de la densidad sabiendo que su valor en el instante de referencia
0)(t = es ctte0= .d) Calcular el flujo de masa que atraviesa la superficie cilndrica S de la figura. ( )5Temae) Obtener la descripcin espacial de la superficie material que en el instante 1t = era una
esfera de radio Ry centro en (0,0,0) .f) Calcular el volumen encerrado por dicha superficie en el instante 2t = . ( )2Tema
a
S
x
y
a a
h
x
y
z
S
-
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1 Descripcin del movimiento Problemas Propuestos
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PP 1-3 Un medio continuo tiene el siguiente campo de velocidades, en descripcinespacial:
[ ]Tt-22 z,0,ez=vSe pide:
a) La ecuacin en forma cannica de las trayectorias y lneas de corriente, tomando comoinstante de referencia 0t = .
b) La ecuacin espacial a lo largo del tiempo de una superficie material que en el instante1t= es una superficie esfrica de centro en (0,0,0) y radio R. Obtener el volumen
encerrado por dicha superficie en el instante 0t= . ( )2Temac) La longitud, en el instante 2t = , de un segmento que en el instante 1t = es recto y une
los puntos (0,0,0) y (0,0,1) . ( )2Temad) Suponiendo que se admite una ecuacin constitutiva elstica-lineal entre las tensiones
de Cauchy y las deformaciones de Green-Lagrange respecto a la configuracin 0t = ,obtener la expresin de las fuerzas de volumen necesarias para mantener elmovimiento. ( )4Tema
NOTA:
( )cttes,2
22
222
+=
++++=+ijllijij EE
xaxLnaxaxdxxa
A
y
x
h
A
S
x
y
z
-
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Cuestiones Resueltas
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( )
=
)et(2e0te
000
te00
t,ttztz
tz
xe
0t = 2t = a(0,0,0) b(1,1,1)
2t = 0t =
t
dSds
211 =
=
tet
t
( )T111
31=t
Xx
Yy
Zz
0t=
dS
y
z
2t=
ds
-
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[ ] t
ttztz
tz
te31
31
1
1
1
)et(2e0te
000
te00
11131 =
= tet
22tt e341
1
te321
1
+=
+=
=
3111
=
=
== b
a
b
a
B
AAB dsdsdSl
2AB e43 +=l
2133322311 AXAXXx,AXXx,AXXx +==+=
A
E F
)(
2
1 T
= FFE
F
=
=1AA
A10
A01
X
x
j
iF
+++
=
=
2
22
22
TT
2A100
0A1A
0AA1
;
1AA
A10
A01
FFF
E
=
200
011
011
A21 2E
==
0AA
A-00
A00
FJ
-
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A
==
0AA
A00
A00
)(21 TJJ
=
=0
A
A
12
31
23
XFx dd =
++= F
=+==
000
000
000
)(21 T JJE
( ) Xx dd
+=
( ) ( ) ( )Z1au;XaY1au;X1au 3Z12Y1X =+==
1a 2a 3a
Z XZ
=+=
+=+==+=
ZauZz
X
aYauYy
XauXx
3Z
12Y
1X
321
3
21
1
aaa
a00
0aa
00a
=
= FF
-
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1aaadVdV 3210 === FF
Z
1E2121 =+=+== zzzzdSds TET
+==
1a00
01aaa
0aa1)(1a
2
1)(2
1
23
2221
212
1
TFFE
=
===+
1a
1a0E12E1
3
3
zzzz
XZ
XZ 1dX 2dX
2
3
2222
11
1
1111
dS
a
0
0
dddS
1
0
0
d
dS
0
a
a
dddS
0
0
1
d
==
=
==
=
XFxX
XFxX
2131
31
3
1121 dSdS
0
aa
aa
a00
0aadd
=
=
kji
xx
21
2
31
2
31
21
dSdS)aa(
a(afinalrea
dSdSinicialrea
+=
=
1aaaa1)aa()aa( 2
3
2
1
22
3
2
1
2
31
2
31 =+=+
1a2
3=
=+ 1)1(a 221
+
+=
2
2
1
1
11
1
a
-
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1a,
1a,
1
1a:4Solucin
1a,
1a,
1
1a:3Solucin
1a,1a,1
1a:2Solucin
1a,
1a,
1
1a:1Solucin
32
22
1
32
22
1
32
22
1
32
22
1
=+=+
=
=+=+
=
=+=+
=
=+=+
=
mXZz,Yy,mZXx ==+=
m A(0,0,0) R
2
j
im1
10m
010
m01
X
x+=
=
= FF
F
=== 000 VVdVdVdVdV FFF
32
3
4)m(1V +=
OA p)(1+ AOB q
( )r1+ 1sr,q,p,
-
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F E
x
p1
OAp)(1OA
OA
dX
dXOAx
inicialfinal
inicialx
A
Ox
A
O xfinal +=
+=
===
pp11 xxxxx =+=+=
2qq2
2finalngulo
2inicialngulo
xyxyxyxy
xy
====
+=
=
F z
=
=
=
=
+
+
+
=+=
=
(z)u0y
u
x
u
y)(x,u
y)(x,u0
z
u
z
u
z
u1
y
u
x
u
z
u
y
u1
x
u
z
u
y
u
x
u1
F00
0FF
0FF
zzz
y
xyx
zzz
yyy
xxx
33
2212
1211
JF
00x
u
z
u
2
1xz
zxxz ==
+
=
00x
u
z
u
2
1xz
zxxz ==
+
=
s
s1
1z
u
zz
z
zz
zz =
+=
=
=
++=
F
033= zzF
s1F1F zzzzzz +=+=
10dd
= FAFA
F
+
=s100
0BB
0BB
2212
1211
F
-
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B F
=
2212
12111
CC
CCB
+
=
s1
100
0CC
0CC
2212
1211
1F
+
=
=
0
10
0
0
dAs1
10
0
d
dA
0
0
d FAA
( ) 1tr += F
( ) pr
dAs1
1sp1dA
r)dA(1dA
yy0yy
0
=
++++=
+=
=
s00
0pr2
q
02
qp
ate= ( )cttea=
x
CXexdXedxedX
dx
dS
ds atatat +=====
Xx= 0t=
-
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===
Zz
Yy
Xex at
=
=
===
0v
0v
axaXedt
dxv
z
y
atx
( )
+
=i
j
j
iij
x
v
x
v
2
1d
=
000
000
00a
d
( ) ( )( )tt, XfXu ==
0t = ( ) ( ) t0,t, == XEX
FdFE = T
0t = ( )=F
( )( ) ( )( )0,0,0,0, xXDxXE =
D 0t = Xx=
ij==
=
+
=
+
=
ij
ij
i
j
j
i
i
j
j
iij
d0tpara
dt
d
x
u
x
u
2
1
dt
d
x
v
x
v
2
1)0,(d x
)0,()0,( XXE =
u
tX
f
X
f
2
1
X
u
X
u
2
1
i
j
j
i
i
j
j
iij
+
=
+
=
-
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Cuestiones Resueltas
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
A
+
=i
j
j
iij
X
f
X
f
2
1A t
tA=
=
=+=
)0,()0,(
)0,(
t)0,()0,()t,(
XEX
0X
XXX
t)0,(),( XEX =t
-
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-
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Problemas Resueltos
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( )ctte=F
O A B p""
AC 2/p
AOC 45
p""
AOC 90 45
1
-
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Problemas Resueltos
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
12
O
=+
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
CCF
=
=
31
21
11
Fa
Fa
Fa
0
0
a
0
0
a
F
0F
0F
1F
31
21
11
===
=
=
32
22
12
Fa
Fa
Fa
0
a
0
0
a
0
F
0F
1F
0F
32
22
12
=
==
=
33
23
13
F00
F10
F01
F
inicialfinal pVV =
0f dVdV F= F t F
0
V
0
V
0
V
ff VdVdVdVV
00
==== FFF
pF33==F
inicialAC,finalAC,2
pll =
F
AC
=
==
ap
aF
aF
a
0
0
p00
F10
F01
23
13
23
13
CC XFx
( )==== ap,aF1),a(F(a,0,0)ap),aF,(aF 23132313CAfinalAC, ll
( ) apa22
pl
2
ppF1)(Fa(ap))(aF1)a(F AC
2223
213
2223
2
13 ===++=++=
=+=++ 0F1)(FppF1)(F 2232
1322
232
13
-
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Problemas Resueltos
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
0F;1F 2313 ==
=
p00
010
101
F
p
4/45AOC final ==
=
===
=
===
p
0
1
1
0
0
p00
010
101
dd)1,0,0(d
0
0
1
0
0
1
p00
010
101
dd)0,0,1(d
)2()2()2(
)1()1()1(
XFxX
XFxX
2
2
dd
dd45cos)AOC(cos)2()1(
)2()1(
final ===
xx
xx
1dd,p1d,1d )2()1(2)2()1( =+== xxxx
1p2
1
2
2
p1
1
2===
+
0p>=F 1p=
=
F
XFx =
+
=
=
100010
101
( )
==
0
0
Z
t, XxXU
( )
=
0
0
z
t,xu
-
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Problemas Resueltos
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
t),(XU J
====
=
=
LXX
0XX
ZY
U
ZY,,0UZY,X,,0UU
LLL
xxxXX ;e;E
z
z
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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Problemas Resueltos
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
XFXF ,t,)t(=t),(
( )t,XU
J JF +=
F J J
CXJUXJU
XJUXJUX
XUJ
+==
==
=
dd
dddd)t,(
C
CXJU(X) +=
J C
ZY,X,,0UU ZY == ZY,,0U
0XX ==
ZY,,ULXX ==
3333231Z
2232221Y
1131211X
CZJYJXJU
CZJYJXJU
CZJYJXJU
+++=+++=+++=
0CJJJZY,X,,0U 2232221Y =====0CJJJZY,X,,0U 3333231Z =====
0CJJZY,,0U 113120XX =====
LJLJYU 1111LXX
==,,==
-
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Problemas Resueltos
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
=
=0
0
0
;
000
000
00L
CJ
=+=0
0
XL
)( CXJXU
0>F
F
>+=
+
=+= 0L
1
100
010
00L
1
FJF
L>
)(:malesinfinitesinesdeformaciodeTensor
)(2
1:nesdeformaciodematerialTensor
)(2
1:nesdeformaciodeespacialTensor
T
T
1T
JJ
FFE
FFe
+
=
=
2
1
F J
+
=
+
+
=
000
000
00L
;
000
000
00L2
1
L
;
000
000
00L
1L2
1
L 2
22
2
2
/
Ee
-
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Problemas Resueltos
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
XXE
x
xxe
2
1
1=L
L
2
1
,eE,
L
;L
e;L
E xxXX x
XXE
2/1E1L/ XX ==
x
xxe 1L/ = 2/1e =xx
L/
-
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-
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Cuestiones Propuestas
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0dV)(dedV Ft
=
-
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Cuestiones Propuestas
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
[ ]T
xby,ax, =v
1t =
XZz,2ZYy,4ZXx ==+=
T
t1
3z,t1
2y,
t1
x
+++=1v
T
t1
3Z,t1
2Y,t1
X
+++=2v
1v 2v
0t =
0 1v
( )0t
P 60 a b c P
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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Cuestiones Propuestas
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tYZz,tZYy,Xx 22 +=+==
1t=
0t= A(0,0,0) B(0,1,1)
Zz,Yy,YtXx ==+=
2t= 1t=
10)(z,)(y,0)(x 2 ===
=
tY
tX
tX
te00
00te
0te0
E
1t= 0t= (1,1,1) (2,2,2)
Zz,Yy,tYXx 2 ==+=
t
2t = (0,0,0) (1,1,0)
tXZz,Yy,Xx ===
0t= tt= x z
Zz,Yy,teXx tX ==+=
0t=
0dS ( )1,1,13
1=0n
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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Cuestiones Propuestas
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3ds 4ds 5ds %3 %6 %4
zy,x,,0u,y)(x,uu,y)(x,uu zyyxx ===
p1+
AB
q1+ AC
x
( )
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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Cuestiones Propuestas
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
+=
=
=
t)(X,Zz
Yy
t)(X,X
ZXx
X
( ) ( ) ( ) ( )t,;t, 21 XUXU =
( ) ( ) ( ) ( )213 tk UUU +=
)3()2()1( ,, EEE ( ) ( ) ( )321 ,, ( ) ( ) ( )213
k+=
( ) ( ) ( )213 kEEE +
-
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-
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Problemas Propuestos
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=
=
z
y
x
,
Z
Y
XIII
vv
III ,EE
III ,ee
( )0t,0t
( )III ,dd ( )IIIIII ,,, eeEE
( )0t,0t ( )0t=
3at0e=
=
000
0k(t)z-h(y)
0t)z,g(x,K(t)x
(1,1,1) T
3
1
3
1
3
1=
n x
g h 0K ( )4Tema
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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Z)Y,(X,U
ZY,X, 0Y=
( ) ( ) = ,UU
AOB
OB 2 B ( )0w B>
U
T
A B C
AE p)(1+
q)(1+
r
Y, v
=EBC
aADACAB
===
z
O
X, u
Z, w
A
D
C
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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Problemas Propuestos
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
p q r
p q r
x z A
xy
yz r
AF p1+
ABE q1+
p q r
p q r
O A x B xy
z
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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DCBA
( ) ( ) ( ) 0U;XtU;YttU zyx ===
O-O
ZY,X,
DCBA
( )ctte=F A B C A B C O
p q
p
q
z
c1.008E'A'
b1.004D'C'
a0.996E'D'
.
.
.
=
=
=29980= 2
9960=
20051=
3
2
1
z
Z
D
-
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Problemas Propuestos
2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
p q
0q
0p
qCC'
qBB'
pAA'
>>=
==
z
-
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55/209
-
7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC
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Cuestiones Resueltas
2000-2004 by: X. Oliver &C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
=
32
2
x0zx2
3
0x2
y
zx2
3
2
y8x
(0,0,0)
( ) ( )
==
32
2
*
x0zx23
0x2
y
zx2
3
2
y8x
t, xx
(t)C0z
;0y
;0x
11111 ==
=
=
( ) zx2
3x
2
3;0;xz3
222
2222 ==
=
=
( ) y2
30;
2
3;0 33
333 +==
=
=
-
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Cuestiones Resueltas
2000-2004 by: X. Oliver &C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
0),0,(0 ( )iC
=
y2
3zx2
3
0
2
( )tCy4xu0z
u;2y
y
u;8x
x
u '1
221
111 +==
=
=
( )tCxyu0z
u;x
y
u;y
x
u '22
222 +==
=
=
( )tCzxux
z
u;0
y
u;z3x
x
u '3
33
33323 +==
=
=
( )'iC
( )
=
zx
xy
y4x
3
22
xu
( )
=
0
0
0
t,
12
13
23
x
( )
=
00zx
2
3
00y2
3
zx2
3y2
30
2
2
x
( )
+
+=
01et0
1et00
00et
t,y
y
xt
xd
0x = [ ]T0 0,0,1t=w [ ] t,t,0,t T0 =v
-
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Cuestiones Resueltas
2000-2004 by: X. Oliver &C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
u
d
v
( ) yy tete +==
=
=
( )tC0z
;0y
;0x
22222 ==
=
=
( )tC0z
;0y
;0x
33333 ==
=
=
=
=
=
+
=
==
0C
0C
1C
C
C
Ct
0
0
1t
:para
3
2
1
3
2
1
00x
( )
=
0
0
1te
t,
y
x
( ) tx1111tx1
etCv0z
v;0
y
v;te
x
v+==
=
=
( ) z2tCv2z
v;0
y
v;0
x
v22
222 +==
=
=
( ) y333y33
te2tCv0z
v;te2
y
v;0
x
v+==
=
=
=
=
=
+
+
=
==
1t-
: 0v0x
( )
+
=
tte2
z2
1te
y
tx
xv
-
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-
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Cuestiones Propuestas
2000-2004 by: X. Oliver &C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)
=
32
2
x02
3
0x2
y-
2
3
2
y-8x
zx
zx
0)0,0,(
t
+
=03yxy30y
xyexe xx
d
( )
=zt
yt
yt
et00
00et
0et0
t,xd
(1,1,1)
[ ]Tttt e,e,e2=v [ ]Tt
et,0,02
1 == v
( )
=
00et
0et0
et00
t,
zt
yt
zt
xd
-
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Cuestiones Propuestas
==
===
,
=
t00
01y
0y0
t),(xd
(0,0,0) )t,(xv )t,(xw
-
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4 Tensiones Cuestiones Resueltas
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61
444TTTeeennnsssiiiooonnneeesss
CUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTAS
CR 4-1 Un medio continuo se mueve con un campo de velocidades cuya descripcinespacial es: ( ) [ ]Ty,x,zt, =xv . El tensor de tensiones de Cauchy es de la forma:
( )
=
000
0t)+z(1h(y)0t)z,g(x,y
t,x
Determinar las funciones g , h y la descripcin espacial de las fuerzas de volumen, ( )t,xb ,que generan el movimiento.
Resolucin:
El Tensor de Tensiones es simtrico y por lo tanto:
=
=
== Ct)z,g(x,
Ch(y)
t)z,g(x,h(y)
T
donde C es una constante.
Adems la divergencia del tensor es nula:
[ ]000
000
0t)z(1C
0Cy
zyx=
+
=
La Ecuacin de Cauchy queda de la siguiente manera:
ab0
ab =
==+
Y si se aplica la frmula de la derivada material sobre la velocidad:
( ) vvvvxa +==tdt
dt,
0v =
t
[ ]
=
=
001
100
010
yxz
z
y
x
v
-
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4 Tensiones Cuestiones Resueltas
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62
[ ] [ ]xzy
001
100
010
yxz =
= vv
Las fuerzas de volumen son por tanto:
( ) [ ]T
xzyt, =xb
CR 4-2Las tensiones principales en un punto son:2=,5=,0= 321 1
En un cierto plano que pasa por dicho punto las tensiones normal y tangencial son y ,respectivamente. Razonar si son posibles los siguientes valores de y :
a) 1=,0= 1 .b) 4=,5= .c) 1=,= 3 .
Resolucin:
Se dibujar el Crculo de Mohr en 3-D para el estado tensional que se define y para lospuntos pedidos:
La zona sombreada es la zona donde es posible encontrar puntos que representen estadostensionales. nicamente hay que representar cada punto (estado tensional) y ver si cae endicha zona.
Se concluye que ningn estado tensional es posible.
Nota: en el caso c) el signo negativo de las tensiones tangenciales no se tiene en cuentaporque cuando se representa en el Crculo de Mohr en 3-D se considera el valor absoluto.Cosa que no sucede con las tensiones normales (traccin = positiva).
2=3 5=2 10=1
Punto b
Punto c
Punto a
-
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4 Tensiones Cuestiones Resueltas
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63
CR 4-3De un estado tensional se sabe:
1) La direccin z es principal y azz= .2) La tensin media es 0am >= .
3) La tensin tangencial mxima en planos paralelos al eje z es 0bmax >= .
Dibujar, acotando los valores significativos, los Crculos de Mohr en tres dimensiones deltensor de tensiones y de su desviador.
Resolucin:
Se debe tener en cuenta primero que la nica diferencia que existir entre las doscircunferencias es que estarn desplazadas un valor m .Segn la definicin del Tensor de Tensiones Desviador se llega a la siguiente conclusin:
00aam ===== zzmzzzz1
Teniendo en cuenta que la traza es un invariante y que 0)(Tr = , entonces se cumple:
=+==
=+0
00
31
2zz
yyxx
nicamente nos queda por determinar el radio de la circunferencia mayor ( entre 1 y 3),dato que es proporcionado por la condicin 3):
CR 4-4Del estado tensional en un punto se sabe lo siguiente:
1) 1x= ( donde el eje x es una direccin principal).2) La tensin tangencial mxima en planos paralelos el eje x es igual a 3.3) La tensin tangencial mxima en planos paralelos a la tensin principal menor es 2.
Obtener todos los posibles crculos de Mohr correspondientes a dicho estado, acotando losvalores de las tensiones principales.
Resolucin:
Para resolver esta cuestin, hay que tener en cuenta la siguiente propiedad del Crculo deMohr en 3-D:
b-a ba+a
bmaxmax ==
b b
3 12
Crculo 1
Crculo 3Crculo 2
-
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4 Tensiones Cuestiones Resueltas
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64
El crculo nmero:1 :Corresponde a planos paralelos a 3.2 :Corresponde a planos paralelos a 1.3 :Corresponde a planos paralelos a 2.
Se tienen en cuenta ahora las siguientes consideraciones:
1. x es la tensin principal mayor:
2. x es la tensin principal intermedia:
3. x es la tensin principal menor:Es imposible pues las condiciones 2) y 3) son incongruentes ya que hablan de tensionestangenciales mximas sobre el mismo plano.
CR 4-5Calcular las tensiones que actan en el estado III = I + II.
Resolucin:
93 = 1x1 ==32 =
3=
2=
13 = 51=1x2 ==
3=
2=
15
1
245 45
1 3
ESTADO I ESTADO II ESTADO III
+ =
-
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Para poder sumar los dos estados, las tensiones deben actuar sobre los mismos planos.Como los dos estados presentan orientaciones diferentes, deberemos buscar las tensionesdel estado II existentes sobre los planos del estado I. Para ello, representaremos el Crculode Mohr del estado II:
Para realizar el crculo, se representan los planos a y b, ya que conocemos todas suscoordenadas. Adems, como pertenecen al eje de abcisas, definen el dimetro del crculo,por lo tanto, queda determinado.El polo se encuentra como interseccin de lneas paralelas a los planos por los puntos quelos representan. Una vez obtenido, se pasa una lnea vertical, para una plano vertical, y unahorizontal, para un plano horizontal, por el polo, encontrando as sus representaciones.
Finalmente queda:
Plano b:
=3=0
Plano c:
0
0
Plano a:
=
=
0
11 3
45 45
Plano bPlano a
Polo
Plano vertical
Plano horizontal1
1 2 3
ESTADO I ESTADO II
+ =
ESTADO III
15
1
2
12
1
2
27
2
-
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CR 4-6En el medio continuo de la figura (a) se produce un estado tensional uniformecuyo valor sobre dos determinados planos es el indicado en la figura (b). Considerandoplanos tangentes a los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, determinar dnde se producen:
a) Las mayores tensiones tangenciales, en valor absoluto.
b) Las mayores tensiones normales.c) Las menores tensiones normales.d) La mayor tensin resultante, en valor absoluto.
Indicar adems el correspondiente valor.
Resolucin:
Primero se tiene que representar el crculo del estado tensional:
Plano vertical:
>=
>=
0
0Plano inclinado:
=
+=
0
Ahora tan slo hay que fijarse en los planos que, pasando por el polo, cumplen lacondicin pedida:
max planos horizontales y verticales= max:G-E-C-A
max planos inclinados 450positivos con la horizontal += max:F-B
min planos inclinados 1350positivos con la horizontal += max:H-D
El caso que provoca mximas tensiones coincide con el apartado b), ya que corresponde al
caso de tensin principal 1
.
45
AB
C
DE
F
G
H
figura a
45
+
*
*
figura b
Plano inclinado
Plano vertical
Polo
-
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CUESTIONES PROPUESTAS
CP 4-1 Enunciar los siguientes postulados de la Mecnica de Medios Continuos:
a) Postulado de Cauchy.b) Principio de accin y reaccin.
CP 4-2 Deducir la ecuacin de Cauchy a partir del principio de conservacin de la cantidadde movimiento.
CP 4-3 Definir el tensor de tensiones esfrico, la tensin media y el tensor desviador yescribir las relaciones entre ellos.
CP 4-4Justificar la relacin entre las direcciones y las tensiones principales de un tensor detensiones y de su parte desviadora.
CP 4-5 Hallar la relacin entre el Crculo de Mohr correspondiente a un estado tensionalplano y el de su tensor desviador.
CP 4-6
Las componentes cartesianas del tensor de tensiones de Cauchy en un punto son:
=
0b1
a10
101
Determinar los posibles valores de a y b , sabiendo que el mdulo de la tensin tangencial
al plano cuya normal esT
2
1,0,2
1
=n toma el valor
2
3= .
CP 4-7 El slido de la figura est sometido al siguiente estado tensional en equilibrio:
( )MPaen4x5y
5yxy
=
Se pide:
a) Obtener la expresin de las fuerzas por unidadde masa sobre el mismo.
b)Obtener la expresin de las componentesnormal y tangencial de las fuerza actuantes en elcontorno (indicando su signo de acuerdo con elcriterio del Crculo de Mohr).
______________________________________________________________________
1 cm
y
1 cm
x
-
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CP 4-8Se conoce la descripcin espacial del tensor de tensiones de Cauchy ( )t,x de unmedio continuo y su densidad ( )t,x . Sabiendo que no hay fuerzas de volumen, y que la
velocidad en el instante inicial es nula para todas las partculas, indicar detalladamente lospasos necesarios y las ecuaciones a utilizar para obtener la descripcin espacial delcorrespondiente campo de velocidades.
CP 4-9 Un medio continuo est sometido a la accin de unas fuerzas msicas de la forma:
( ) [ ] cttes.)ma,(,m,atx,at, T2+=xb
El correspondiente tensor de tensiones de Cauchy tiene una descripcin espacial uniforme( )( )t = . Sabiendo que en el instante de referencia 0)(t = el campo de velocidades es
nulo, obtener la descripcin espacial de dicho campo de velocidades y la ecuacin de laslneas de corriente.
CP 4-10 Una probeta cbica, inicialmente descargada, se somete a los siguientes estados detensiones. (cada uno se superpone al anterior):
1) 2zyx ===
2) 2xy=
3) 1z=
Dibujar los crculos de Mohr correspondientes a cada una de las fases del ensayo.
CP 4-11 En un punto de un slido rgido, dos de las tensiones principales son 5= y3= . Sabiendo que el mdulo de la mxima tensin tangencial que se produce en el punto
es 6= , determinar en qu circunstancias son posibles los siguientes estados tensionales:
a) 1,3 ==b) 1,5 ==c) 1,2 ==
CP 4-12 Determinar todos los posibles valores de ( )0> y ( )0> , de la figura sabiendo que la mxima tensin tangencialsobre cualquier plano en el punto es 1max= .
______________________________________________________________________
CP 4-13 El estado tensional en un punto de un medio continuo es tal que 1x = , 0xz= ,0xy= y zy . Se sabe adems que la tensin tangencial, sobre los planos paralelos al
eje x , toma un valor mximo 4*
= . Si max es la mxima tensin tangencial actuantesobre cualquier plano obtener todas las posibles combinaciones de y y z para que:
2
-
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a) 6max=b) 4max=
CP 4-14 Del estado tensional en un punto de un medio continuo se sabe que la mximatensin tangencial en planos paralelos a 1 es 2
max1 = . Obtener todos los valores de 1 ,
2 y 3 que hacen posible el estado tensional 2,2 == sobre un cierto plano, en lossiguientes casos (independientes entre s):
a) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 2 es 2max2 = .
b) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 3 es 0max3 = .
c) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 2 es 4max2 = .
CP 4-15 Determinar para qu valores de * son posibles lossiguientes estados tensionales en planos que pasen por P :
a) 2,4 ==b) 1,4 ==c) 0,7 ==
CP 4-16 Determinar para qu valores de * es posibleencontrar un plano que pase por P cuyas tensiones normal ytangencial sean *2= y *= .
______________________________________________________________________
CP 4-17 Determinar de forma grfica todos los posibles valoresde * sabiendo que en un cierto plano las tensiones normal ( )y tangencial ( ) son:
a) 1,3 ==b) 1,1 ==
______________________________________________________________________
CP 4-18 La figura representa el estado tensional en un puntodel que se sabe que la tensin tangencial mxima sobrecualquier plano es 2max= . Dibujar los correspondientesCrculos de Mohr en 3D. A dicho estado se le aade un estadotensional hidrosttico ( )1*= . Determinar todos los posibles
valores de * para que sea posible, en un cierto plano, el
estado tensional 0,6 == .
2
6
*P
*
*
*
P
*
*
2
1
1
*
1
1
0v>
1
-
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CP 4-19 Del estado tensional en un punto se sabe lo siguiente:
1) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 2 (tensin principal intermedia) esigual a 3.
2) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 1 (tensin principal mayor) es
igual a 2.3) 03= .
A este estado tensional se le suma un estado hidrosttico de tensiones de valor1-p= ( )0p . Obtener todos los posibles valores de p para los que es posible encontrar
algn plano para el cual el estado final de tensiones sea 1,3 == .
CP 4-20 Determinar todos los posibles valores de para que:
a) Exista un solo plano en el punto con tensin normal nula.
b) El estado tensional en el punto sea de cortante puro.
CP 4-21 Determinar todos los posibles valores de * y * en los siguientes casos:
a) El estado tensional es el mismo sobre cualquier plano quepasa por P .
b) La tensin normal a cualquier plano es de traccin.c) La mxima tensin principal es negativa y forma un ngulo de
30 con la horizontal .
d) La mxima y la mnima tensin principal toman el mismovalor.
NOTA : Se considerar la posibilidad de valores negativos de y * .
CP 4-22 Determinar el valor de y * en funcin de .
CP 4-23 Determinar los posibles valores de A , B y , sabiendo que la mxima tensin tangencial en elpunto es 5 .
4
4
y
x
P
60
*
5
6
B4
A
4
-
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CP 4-24El estado tensional en un punto es el de la figura.Determinar todos los posibles valores de , , y *sabiendo que 5max = .
CP 4-25 Obtener todos los valores posibles de , * y ,sabiendo que en un cierto plano el estado tensional es
3= y 3= .
CP 4-26 En la figura se representan los estados tensionalessobre cuatro planos que pasan por un punto. Determinarlos posibles valores de , , 1 y 2 y dibujar loscorrespondientes estados tensionales.
CP 4-27 Determinar los valores de y para los que son posibles los siguientes estadostensionales, siendo 0> y = 5.0 :
CP 4-28 Obtener todos los posibles valores de , * ,* y para el estado tensional de la figura sabiendo
que 2max = .a) 0=
4 2
33
*
25
4
*
6
4
4
1
2
( a )
( b )
( c )
21
**
-
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b) 45=
CP 4-29 Determinar todos los posibles valores de ,*
,**
,*
y ,sabiendo que el estado tensional enun punto es el de la figura y que 9max = y
5max = .
CP 4-30 Sabiendo que la mxima tensin principal es de
MPa0,5 , dibujar los estados tensionales en todos los lados delsiguiente hexgono regular:
CP 4-31 Un estado tensional plano es tal que, en el plano donde la tensin tangencial esmxima positiva (criterio del Crculo de Mohr), la tensin normal viene dada por:
0,3510 *** =
Se pide:a) Obtener el valor de las tensiones principales en funcin de * y * .b) Obtener el mximo valor que puede tomar una tensin principal en estas condiciones.
CP 4-32 Dados los estados tensionales planos I y II, determinar el valor de para que enel estado III = I + II, ocurra que:
a) No haya compresiones en ningn plano.
b) No haya tracciones en ningn plano.c) Sea un estado de cortante puro.
54
*
***
32
ESTADO I
34
3
4
ESTADO II
-
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CP 4-33 Calcular el valor de para que:
a) La mxima tensin tangencial en el estado I sea mayor que la mxima tensintangencial en el estado II.
b) La mxima tensin normal en el estado I sea mayor que la mxima tensin normal en el
estado IIc) La mxima tensin normal en el estado I sea menor que la mnima tensin normal en elestado II.
Dibujar los crculos de Mohr de los tres casos.
CP 4-34 Calcular los posibles valores de , , y para que el estado tensional III seala suma de I y II. ( 0 )
CP 4-35 Obtener, en funcin de , las tensiones principales y el valor de la mximatensin cortante del estado suma de los estados I y II.
ESTADO I
3
88
ESTADO II
6
45 45
4
34
1 1
3
ESTADO I ESTADO II ESTADO III
60
60
a
3
32
b
3
3
*b
45
33
ESTADO I ESTADO II
-
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CP 4-36 Dados los estados tensionales I y II, determinar los posibles valores de y de para que en el estado III = I + II se verifique que la tensin principal 2 sea positiva yforme un ngulo de 30 con el eje y .
CP 4-37 Determinar todos los posibles valores de*
para que en el estado tensional sumade I y II se verifique:
a) No existan tracciones en ningn plano.b) No existan compresiones en ningn plano.c) La mxima tensin tangencial, ( )max , sea menor que 2.d) Sea un estado de corte puro.e) Sea un estado de tensin hidrosttico.
ESTADO I ESTADO II
0
4
y
4
x
30
*
*
*
*
1
2 2
1
1
ESTADO I ESTADO II
-
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75
555EEEcccuuuaaaccciiiooonnneeesssdddeee
cccooonnnssseeerrrvvvaaaccciiinnn---bbbaaalllaaannnccceee
CUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTAS
CR 5-1Justificar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:
a) El flujo de masa a travs de una superficie material cerrada slo es nulo si elmovimiento es estacionario.
b) El flujo de masa a travs de una superficie de controlcerrada es nulo si este flujo esestacionario.
Resolucin:
a) La afirmacin es falsa porque una superficie material siempre est formada por lasmismas partculas, y por tanto, no puede ser atravesada por ninguna partcula a lo largodel movimiento. Por este motivo, el flujo de masa a travs de una superficie material essiempre nulo, independientemente de si el movimiento es estacionario o no.
b) La afirmacin es cierta ya que laEcuacin de Continuidad aplicada a un flujo estacionarioimplica lo siguiente:
0)(
0t
ioestacionarFlujo
0)(t
dcontinuidadeEc.
=
=
=+
v
v
Resultando, as, lo que se quera demostrar:
( ) ( ) === V V dSdV 00 nvvv
CR 5-2Justificar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:
a) El flujo convectivo de una propiedad a travs de una superficie material es siemprenulo.
b) El caudal neto (saliente menos entrante) a travs de una superficie de control cerrada essiempre nulo.
Resolucin:
-
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a) La afirmacin es cierta ya que una superficie material siempre est formada por lasmismas partculas, y un flujo convectivo implicara que alguna debera atravesar lasuperficie.
b) La afirmacin es falsa. Sera cierta si el material fuese incompresible, pero no se cumple
en general: ==== V V dSdV 00ctte nvvv
CR 5-3Para un cierto movimiento estacionario de un fluido se verifica que el caudal atravs de cualquier superficie de control cerrada es nulo. Obtener la expresin de laecuacin diferencial que se debe cumplir y que relaciona la velocidad y la densidad.
Resolucin:
Al cumplirse que el caudal a travs de cualquier superficie de control cerrada es nulo, severifica que:
VVdV
dVdS
V
VV
==
=
xvv
vnv
0,0
Si se tiene en cuenta laEcuacin de Continuidad: se puede escribir:
ble)incompresiesfluido(el0dt
d
0
0dt
d
=
=
=+
v
v
Finalmente, segn la definicin de derivada material y sabiendo que el flujo es estacionario,se obtiene:
=
=+
=
0t
0tdt
d v
0= v
CR 5-4 Un gas a presin en un recipiente de masa M sale del mismo a una velocidadestacionaria v por un conducto de seccin S . Justificar hacia dnde tender a moverse elconjunto y con qu aceleracin lo har.
Resolucin:
v
S
M
-
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Suponemos por hiptesis que el peso del gas es despreciable frente al del recipiente, y quela presin atmosfrica tambin lo es frente a la presin interior.
La fuerza que actuar sobre el gas tendr la siguiente expresin si se tiene en cuenta la 2Expresin del Teorema del Transporte de Reynolds:
eevnvvvF SdSdSdVt
dVdt
dVVVV
2vvv)()( ==+==
donde:n es la normal unitaria exterior a la superficie que encierra al gas.e es el vector unitario en la direccin de la velocidad.
Por otro lado, la fuerza que acta sobre el gas es:
g/datmpresing/d FFFF =+=
Segn el Principio de Accin y Reaccinla fuerza que realiza el gas sobre el depsito ser:
=== dg/2
d/gg/d MSv aeFF
eaM
Sv2
g/d
=
CR 5-5 Un chorro de agua de seccin S , presin p y velocidad v , incideperpendicularmente sobre un disco tal y como se indica en la figura. Calcular la fuerza F a
ejercer sobre el disco en rgimen estacionario para que ste no se mueva ( atmpdespreciable).
Resolucin:
Si se tiene en cuenta la 2 Expresin del Teorema del Transporte de Reynoldsy que el rgimen esestacionario, las fuerzas que actan sobre el fluido tienen la siguiente expresin:
=+
== SVVV
dSdSdVdV )()()( vnvvnvvvFtdt
dext/f
v
FS
p
-
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5 Ecuaciones de