Wyrównanie spostrzeżeń zawierających błędy grube
description
Transcript of Wyrównanie spostrzeżeń zawierających błędy grube
Wyrównanie spostrzeżeń zawierających błędy grube
Metody wykrywania i eliminacji błędów grubych
Witold Pruszyński, Mieczysław Kwaśniak
„Niezawodność sieci geodezyjnych”
Źródła błędów grubych:
Błędy grube w obserwacjach mogą wystąpić:
- w trakcie pomiaru;- w trakcie rejestracji wyników;- przy wprowadzaniu danych do komputera.
W procesie wyrównania błędy grube mogą spowodować zniekształcenie wyrównywanych współrzędnych lub wektorów przemieszczeń, co może prowadzić do fałszywej oceny bądź interpretacji badanych zjawisk.
Konieczne jest opracowanie skutecznych sposobów
wykrywania w pomiarach błędów grubych, oraz
wyposażenie w nie programów używanych do
obliczeń geodezyjnych.
Diagnostyka błędów grubych winna uwzględniać:
-liczbę błędów,-znaki błędów,-wielkości błędów,- rozmieszczenie błędów w sieci,
oraz
-wielkość i kształt sieci,-rodzaj i rozmieszczenie obserwacji,-dokładność pomiaru elementów sieci,- rodzaj nawiązania sieci.
Zdarzają się sytuacje, kiedy wiele błędów grubych działa na siebie tak, że następuje wzajemne wygaszanie wpływów. Np. W trójkącie: błąd +5 stopni na jednym kącie i -5 stopni na drugim – suma kątów pozostaje niezmieniona.
W pewnych sytuacjach błędy grube występujące w sieci mogą być absolutnie niewykrywalne.
Większość metod wykrywania błędów grubych opiera się o metody statystyczne, gdzie konieczne jest przyjmowanie określonego poziomu istotności testu ().
Różni autorzy sugerują różne wartości tego parametru. Przyjęta wartość () rzutuje na skuteczność i ostateczny wynik testu.
Hipoteza H0
DecyzjaPrawdziwa Fałszywa
Przyjęcie Decyzja prawidłowaP = 1 -
Błąd II rodzajuP = β
Odrzucenie Błąd I rodzajuP =
Decyzja prawidłowaP = 1 - β
Podejmując decyzję na podstawie metod statystycznych możemy wskazać wynik prawidłowy lub popełnić jeden z dwóch rodzajów błędów.
Błąd I rodzaju – odrzucenie hipotezy H0, gdy jest ona prawdziwa.Błąd II rodzaju – przyjęcie hipotezy H0, gdy jest ona fałszywa.
Wybrane metody wykrywania błędów grubych w obserwacjach, oparte na modelu wyrównawczym o parametrach estymowanych według metody najmniejszych kwadratów:
1) Baardy (Baarda, 1968)2) Pope’a (Pope 1976, Caspary 1988)3) Chena-Kavourasa-Chrzanowskiego (1987)4) Crossa-Price’a (Cross, Price 1985)5) Dinga-Colemana (Ding, Coleman 1996)6) Rzędów koegzystencji (Sitnik 2000)7) Ethroga (Ethrog 1990)8) Duńska (Krarup, Juhl, Kubik 1980)
Metoda duńska nie korzysta z metod statystycznych.
W metodach wykorzystujących testy statystyczne przyjmuje się, że obserwacje obciążone błędami grubymi są zmiennymi losowymi o niecentralnym rozkładzie normalnym
),(~ 2 NLodst
gdzie: Lodst - obserwacja odstająca - wartość oczekiwana zmiennej losowej - parametr niecentralności rozkładu - błąd średni obserwacji (odch. stand.)
METODA BAARDY
Przyjmuje się, że a’priori znana jest wartość odchylenia standardowego 0. Po wyrównaniu oblicza się kwadrat błędu średniego spostrzeżeń s0
2.Następnie oblicza się wartość testową T:
)(~ 220
20 fsf
T
o rozkładzie 2 i f = n – u + d stopniach swobody (gdzie: n – liczba obserwacji, u – liczba niewiadomych, d – defekt sieci).
Defekt sieci
Defekt sieci – występuje, gdy w zbiorze danych do wyrównania obserwacji w danej sieci, brakuje pewnej liczby wielkości geometrycznych niezbędnych do wyznaczenia położenia jej punktów w przyjętym układzie współrzędnych.
Defekt charakteryzujemy poprzez podanie liczby oraz rodzaju brakujących wielkości geometrycznych. Rozróżniamy defekt zewnętrzny (lokalizacyjny) dz i wewnętrzny dw.
Całkowity defekt d = dz + dw.
Hipoteza zerowa testu zakłada, że w obserwacjach nie występują błędy grube:
20
200 )(: sEH
Jeżeli dla przyjętego poziomu istotności testowana statystyka przekracza wartość krytyczną, czyli
)(2 fT
brak podstaw do przyjęcia hipotezy zerowej i należy ją odrzucić.
Hipoteza alternatywna:
H : „w układzie obserwacyjnym występuje jeden błąd gruby”
Następnie bada się poprawki obliczone w trakcie wyrównania obliczając poprawki standaryzowane ui : iv̂
iv
ii
vu
ˆ
ˆ
iv̂ - błąd średni i-tej poprawki
iivi vQ ˆ0ˆ
T1T1v APA)(AAPQ ˆ
Hipoteza zerowa dla testu poprawki standaryzowanej:
0)ˆ(:0 ivEH
Statystyka testu ui ma rozkład normalny N(0, 1). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 jeżeli:
2/0uui
2/0u Jest wartością krytyczną testu z rozkładu N(0,1) wartości dystrybuanty 1 - 0/2
Jeżeli obserwacja jest podejrzana o błąd gruby usuwamy ją i ponawiamy wyrównanie i testy.
METODA POPE’A
Oblicza się wartość testową:
)(~ˆ
ˆ0
fQs
vT
iiv
ii
(f) można obliczyć z rozkładu t-Studenta:
2)1(
)1()(
1
f
ff
tf
tf
Hipoteza zerowa:
0)ˆ(:0 ivEHJeżeli
)(2/0 fTi
Jest wartością krytyczną testu z rozkładu dla wartości dystrybuanty 1 - 0/2
nie ma podstaw do odrzucenia tej hipotezy.
)(2/0 f
Jeżeli obserwacja jest podejrzana o błąd gruby usuwamy ją i ponawiamy wyrównanie i testy.
METODA CHENA-KAVOURASA-CHRZANOWSKIEGO
Szczegółowe omówienie tej metody iteracyjnej wykracza poza ramy tego wykładu. (Odsyłam do literatury – slajd nr 2).Wzór testu podobny jest do stosowanego w metodzie Pope’a, a także stosowany jest rozkład τ.
)(~
~2/
~01
kfQs
ii
i
i-ty błąd grubyi~
ii
Q~i-ty element diagonalny macierzy Qδ dla obserwacji usuniętych
0~s Odchylenie standardowe obliczone z pominięciem
obserwacji podejrzanych o błędy grubef – k liczba stopni swobody minus liczba obserwacji usuniętych
METODA CROSSA-PRICE’A
Metoda ta jest rozszerzeniem na więcej niż jeden błąd gruby przedstawionej wcześniej metody Pope’a.Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki:
iv
ii sv
ˆ
ˆ
Nie zakłada się istnienia błędu grubego jeżeli:
)(2/0 uni
uncii
n – liczba obserwacjiu – liczba niewiadomych
Pvv}P{R}{R
}P{RvT
iPTiP
iPT
ˆ
ˆic
PAPA)A(AIR T1TP
Jeżeli stwierdzono występowanie błędów grubych - pomiary dzieli się na grupy zawierające błąd gruby.Dla pomiarów podejrzanych o błąd gruby oblicza się współczynnik korelacji między macierzą v a i-tą kolumną macierzy RP
Z każdej grupy wyłącza się pomiary o największej wartości:
po czym powtarza się wyrównanie.
METODA DINGA-COLEMANA
Metoda ta jest bardzo podobna do omówionej wcześniej metody Crossa-Price’a.Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki:
iv
ii sv
ˆ
ˆ
Nie zakłada się istnienia błędu grubego jeżeli:
)(2/0 uni
Jeżeli i jest większe od wartości krytycznej oblicza się współczynniki korelacji między spostrzeżeniami:
iiii
jiijij rh
hhe
hii - i-ty element diagonalny macierzy HP hij , hji - elementy pozadiagonalne macierzy HP
rii - element diagonalny macierzy RP
PP
T1TP
HIR
PAPA)A(AH
W oparciu o wartości eij dzieli się obserwacje na silnie powiązane podgrupy.
Z każdej podgrupy usuwa się jedną obserwację o największej wartości bezwzględnej
Następnie ponownie przeprowadza się wyrównanie i testy. Postępowanie powtarza się tak długo aż nie będą występowały obserwacje o wartościach przekraczających wartość krytyczną.
METODA RZĘDÓW KOEGZYSTENCJI
Rzędy koegzystencji wiążą się z rozmieszczeniem pomiarów w sieci. Im bliżej siebie ulokowane są w sieci dwie obserwacje, tym niższy jest ich rząd koegzystencji i tym silniejsze jest powiązanie tych wielkości po wyrównaniu.
Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki:
iv
ii
vu
ˆ
ˆ
Jeżeli obliczona wartość:
kryti uu
Dzieli się obserwacje na grupy o niskich rzędach koegzystencji.Z każdej grupy usuwa się po 1 obserwacji o maksymalnym |u|.Przeprowadza się ponowne wyrównanie pozostałych obserwacji i powtarza się testy.
Przeprowadza się test:
)(2/0 fuui
METODA ETHROGA
W metodzie tej po wyrównaniu wstępnym testuje się poprawki dla spostrzeżeń stosując rozkład t-Studenta.
)1(ˆ
2/0
unts
vT
kj
j
Następnie wyłącza się z obliczeń spostrzeżenia podejrzane o zaburzenia błędami grubymi i powtarza się obliczenia i testy.
METODA DUŃSKAMetoda ta opiera się na założeniu, że duża poprawka obserwacyjna wskazuje na mniejszą dokładność tej obserwacji z tytułu obciążenia jej wpływem błędu grubego.Wyrównanie przebiega w trybie iteracyjnym. Po k-tej iteracji dla każdej obserwacji sprawdza się, czy spełnione jest kryterium:
cs
pvk
iki 0
ˆ
kiv̂ - poprawka i-tej obserwacji w k-tej iteracji
pi - waga wyjściowa (a’priori) dla i-tej obserwacji ks0 - odchylenie standardowe obliczone w k-tej iteracji
c - stała z przedziału 13 zależnie od jakości danych
Dla kolejnego kroku iteracyjnego wagi oblicza się z wzoru:
)ˆ(1 ki
ki
ki vfpp
Dla obserwacji spełniających kryterium : 1)ˆ( kivf
Dla obserwacji nie spełniających kryterium :
cs
pvvf k
ikik
i0
ˆexp)ˆ(
Po zakończeniu procesu iteracji możliwe są dwie drogi postępowania:
1)Odrzucić wszystkie obserwacje podejrzane o błędy grube i przeprowadzić wyrównanie z zastosowaniem wag apriorycznych.
2)Wyniki ostatniego kroku iteracyjnego przyjąć jako ostateczne.
Ten drugi sposób zbliża metodę duńską do estymacji mocnej.