Wykłady z teorii mechanizmów - TULkdm.p.lodz.pl/wyklady/wyklady/tmmstud.pdf · Definicje Teoria...
Transcript of Wykłady z teorii mechanizmów - TULkdm.p.lodz.pl/wyklady/wyklady/tmmstud.pdf · Definicje Teoria...
Wykłady z teorii mechanizmów
1. Przedmiot teorii mechanizmów,definicje,przykłady2. Kinematyka ogniwa; obrotowa para kinematyczna3. Kinematyka: ruch względny, postępowa para kinematyczna4. Kinematyka mechanizmu korbowo-tłokowego5. Kinematyka mechanizmu jarzmowego6. Wyznaczanie reakcji w węzłach kinematycznych metodą planów7. Wyznaczanie reakcji w węzłach kinematycznych metodą analityczną8. Równanie ruchu mechanizmu – proste przykłady9. Równanie ruchu mechanizmu korbowo-tłokowego i jarzmowego10.Wyznaczanie reakcji z uwzględnieniem tarcia11.Mechanizm strugarki: sprawność, wyrównoważanie statyczne12.Transformacje czworoboku przegubowego13.Synteza mechanizmów płaskich – przykłady14.Wyrównoważanie mechanizmu korbowo-tłokowego15.Wyrównoważanie silników tłokowych
K. Czołczyński.Wykłady z teorii mechanizmów i maszyn, Wyd. PŁ, Łódź 2002.
Morecki, J. Knapczyk, K. Kędzior. Teoria mechanizmów i manipulatorów. Warszawa 2001.
Na czym polega różnica pomiędzy studiowaniem a uczeniem się?
Cenną pomocą są własnoręcznie sporządzone notatki.
DefinicjeTeoria mechanizmów – dziedzina nauki zajmująca sięteoretycznymi i doświadczalnymi badaniami mechanizmów.Mechanizm – układ połączonych ze sobą ciał (ogniw) o ściśle określonym ruchu względnym, przeznaczony do przekształcania ruchu ciał i sił działających na te ciała w pożądany ruch innych ciał i pożądane siły oddziaływania tych ciał.
Podział teorii mechanizmów:
analiza i synteza strukturalna,analiza kinematyczna (okre ślanie pr ędkościi przyspiesze ń),
analiza dynamiczna (okre ślanie sił; budowa i rozwi ązywanie równa ń ruchu).
Kategorie:
mechanizm rzeczywisty,model fizyczny mechanizmu,model matematyczny mechanizmu.
w=3×2-2×3=0
Grupa strukturalna Assura, II kl, 2 r, 1 p.
w=3×3-2×4=1
w=3×10-2×15=0
Bez siłowników w=3×10-2×15=0.
Wprowadzenie siłowników zwiększa o 4 zarówno liczbę ogniw jak i liczbę węzłów
w=3×14-2×19=42-38=4.
Kinematyka ogniwa; obrotowa para kinematyczna
Ruch postępowy
AB
AB
pp
vv
==
Ruch obrotowy - prędkości
ω
ωω
ωω
ω
==
⊥
=×=
⊥
=×=
×+==
AC
C
AB
B
ACC
ACCACC
ABB
ABBABB
ABABAB
B
l
v
l
v
lv
lvlv
lv
lvlv
lt
l
t
lv
;
;
d
d̂
d
d
Ruch obrotowy – przyspieszenia
( )( )
2
2
tg
;d
d
;
d
d ;
d
d
ωε
εεωωωω
ωωωω
ω
==Ψ
+=
=×=×=
=××=
×==××+×=
×=
nB
tB
t
B
n
BB
ABtBABAB
t
B
ABnBAB
n
B
ABBAB
ABABB
ABB
p
p
ppp
lpllt
p
lplp
lvt
lll
tp
lv
Ruch płaski - prędkości
ABC~
; ;
; ;
; ;
∆∆⊥×=+=
⊥×=+=
⊥×=+=
abc
lvlvvvv
lvlvvvv
lvlvvvv
BCCBBCCBCBBC
ACCAACCACAAC
ABBAABBABAAB
ωωω
I zasada BurmestraFigura utworzona na planie prędkości przez końce
wektorów prędkości punktów należących do jednego ogniwa jest podobna do figury, jaką te punkty tworzą
na schemacie ogniwa, i obrócona o 90 stopni zgodnie ze zwrotem prędkości kątowej.
RUCH PŁASKI JAKO RUCH OBROTOWYWOKÓŁ CHWILOWEJ OSI OBROTU
SCCSCC
SBBSBB
SAASAA
S
lvlv
lvlv
lvlv
v
⊥×=
⊥×=
⊥×=
=
;
;
;
0
ωωω
Ruch płaski – przyspieszenia
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
ABCabc
lppp
lppp
lppp
pppp
pppp
CBtCB
nCBCB
ACtCA
nCACA
ABtBA
nBABA
t
CA
n
CAAC
t
BA
n
BAAB
∆∆+=+=
+=+=
+=+=
++=
++=
~
2422
2422
2422
εω
εω
εω
II zasada BurmestraFigura utworzona na planie przyspieszeń przez
końce wektorów przyspieszeń punktów należących do jednego ogniwa jest podobna do
figury, jaką te punkty tworzą na schemacie ogniwa, i obrócona o kąt 180o-Ψ, zgodnie ze
zwrotem przyspieszenia kątowego.
Para obrotowa
BCCB
BAAB
vvv
vvv
+=+=
BCnBC
tBC
nBCCB
BAnBA
tBA
nBAAB
lppppp
lppppp22
21
,
,
ωω
=++=
=++=
Para obrotowa
BCCB
BAAB
vvv
vvv
+=+=
BCnBC
tBC
nBCCB
BAnBA
tBA
nBAAB
lppppp
lppppp22
21
,
,
ωω
=++=
=++=
Kinematyka: ruch względny; postępowa para kinematyczna
Prędkości w ruchu względnym
wuAB
ABAABOAOB
B
ABOAOB
vvt
llv
t
l
t
l
t
lv
lll
+=+×+=+==
+=
d
d̂
d
d
d
d
d
d ω
wBB
BBBB
ABAB
uABAB
vv
vvv
lv
vvvv
=
+=
×=
=+=
12
1212
111
1111
ω
Przyspieszenia w ruchu względnym
wBBwBB
CBB
w
BB
C
BBBB
ABt
ABABn
AB
t
AB
n
ABABu
ppvp
pppp
lplp
ppppp
1212112
121212
1112111
111111
;2
;
==
++=
==
++==
ω
εω
( )
( )
( )
( ) CwuwwuB
w
w
ABABAu
www
wu
ABABABA
u
ABAB
AB
ABAB
AABA
u
wuB
B
pppvppp
t
vp
llpp
vt
v
t
v
vpt
lllp
t
v
t
ll
t
l
t
ll
tt
vlv
tt
v
t
v
t
v
t
vp
++=×++=
=
××+×+=
×+=
×+=×+××+×+=
+×=
×+×+=×+=
+==
ω
ωωε
ω
ωωωωε
ω
ωωω
2
d
d̂
d
d̂
d
d
d
d̂
d
d
d
d̂
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
Parapostępowa
2121
1111
CCCC
ACAC
vvv
vvv
+=+=
21221212121
2111111111
2,
,
CCc
CCw
CCc
CCCC
ACn
ACt
ACn
ACAC
vppppp
lppppp
ωω=++=
=++=
Parapostępowa
2121
1111
CCCC
ACAC
vvv
vvv
+=+=
21221212121
2111111111
2,
,
CCc
CCw
CCc
CCCC
ACn
ACt
ACn
ACAC
vppppp
lppppp
ωω=++=
=++=
Analiza kinematyczna mechanizmu korbowo-tłokowego
22223
12
1111
111111
BCBCC
BB
ABABB
ABABAB
vvvv
vv
lvv
vvvv
+===
===+=
ω
BCn
BC
tBC
nBCBCC
BB
ABnBB
nABAB
lp
ppppp
pp
lpp
ppp
2222
2222223
12
2111
1111
,
ω
ω
=
++==
===
+=
Metoda analityczno-wykreślna
I i II zasada Burmestra
0sinsin
0coscos
0
21
21
=+=−+
=−+
αααα
BCAB
ACBCAB
ACBCAB
ll
lll
lll
21
22
2
12
coscos
sin1cos
sinsin
αααα
αα
BCABAC
BC
AB
lll
l
l
+=−+=
−=
Metoda analityczna
222221
21113
2
2221
2111
2
222221
2111
33
2232
22221
2111
221132
112
2211
32
232211
21
21
cossincossin
cos
sinsincos
0sincossincos
, 0cossincossin
sinsin cos
cos
0coscos
, 0sinsin
0sinsin
0coscos
αωαεαωαεα
αωαωαεε
αωαεαωαε
ωεαωαεαωαε
αωαωααωω
αωαω
αωαωαω
αααα
BCBCABAB
BC
BCABAB
BCBCABAB
BCBCABAB
BCABBC
AB
BCAB
ACBCAB
BCAB
ACBCAB
llllp
l
lll
llll
dt
dvp
dt
dpllll
llvl
l
lldt
dlv
dt
dvll
ll
lll
−−−−=
++−=
=−+−
===−−−−−
−−=−=
=+
===−−−
=+=−+
22222221
21112
22222221
21112
222112
222112
2212
2212
22
sincossincos
cossincossin
coscos
sinsin
sinsin
coscos
αωαεαωαεαωαεαωαε
αωαωαωαω
αααα
BSBSABAByS
BSBSABABxS
BSAByS
BSABxS
BSABS
BSABS
BSABAS
llllp
llllp
llv
llv
lly
llx
lll
−+−=
−−−−=
+=
−−=
+=+=
+=
,0sin ,0
sincoscos}sin{
21
222221
21113
2222223
<=−−−−=
++==
αεαεαωαωαε BCBCABAB
tBC
nBCBCC
llllp
ppppp
)0sin ,0(
sinsin
22
22113
22223
<<−−=
+==
αωαωαω BCAB
BCBCC
llv
vvvv
Analiza kinematyczna mechanizmu jarzmowego
3333
2323
112
CBCB
BBBB
ABBB
vvv
vvv
lvv
+=+=== ω
BCn
CBt
CBn
CBCB
BBc
BBw
BBc
BBBB
ABnBB
lppppp
vppppp
lpp
2333333333
23223232323
2112
,
2,
ω
ω
ω
=++=
=++=
==
Metoda analityczno-wykreślna
3333
2323
112
CBCB
BBBB
ABBB
vvv
vvv
lvv
+=+=== ω
BCn
CBt
CBn
CBCB
BBc
BBw
BBc
BBBB
ABnBB
lppppp
vppppp
lpp
2333333333
23223232323
2112
,
2,
ω
ω
ω
=++=
=++=
==
3333
2323
112
CBCB
BBBB
ABBB
vvv
vvv
lvv
+=+=== ω
BCn
CBt
CBn
CBCB
BBc
BBw
BBc
BBBB
ABnBB
lppppp
vppppp
lpp
2333333333
23223232323
2112
,
2,
ω
ω
ω
=++=
=++=
==
II zasada Burmestra –znajdowanie przyspieszenia środka masy ogniwa 3
παααααα
αα
αα
α
αααα
+=⇒<
=
=
+=
++=
=+−=−
=+−
333
3
33
13
13
122
31
31
0
,cos
sinarctg
coscos
,sin
sin
sin2
0sinsin
0coscos
0
CB
AB
CB
CAAB
CAABCAABCB
CACBAB
CBAB
CACBAB
l
l
l
ll
lllll
lll
ll
lll
Metoda analityczna
CBABAB
CBCB
AB
CB
AB
CBCBABAB
CBCBABAB
ABCB
AB
CBAB
CBCBAB
CACBAB
CBAB
lllp
dt
dvp
dt
d
l
v
l
l
l
l
llvpll
llvpll
lvl
l
lvldt
dlv
dt
dlvl
lll
ll
2313
211313
33
33
331321131
3
32333333331
2111
32333333331
2111
13131313
333311
33
3333311
31
31
)cos()sin(
, 2)sin()cos(
0sincoscos2sinsincos
0cossinsin2coscossin
)sin(),cos(
0cossincos
, 0sincossin
0sinsin
0coscos
ωααωααε
ωεωααωααεε
αωαεαωααωαεαωαεαωααωαε
ααωααωω
αωααω
αωαωααω
αααα
+−−−=
==−−+−=
=+−−−−
=−++−−−
−=−=
=−−
===+−−
=+−=−
33233333
33233333
3333
3333
333
333
33
sincos
cossin
cos
sin
sin
cos
αωαεαωαε
αωαω
αα
CSCSyS
CSCSxS
CSyS
CSxS
CSS
CSS
CSCS
llp
llp
lv
lv
ly
lx
ll
−=
−−=
=
−=
==
=
Wyznaczanie reakcjiw węzłach kinematycznych
metodą analityczno-wykreślną
Zasada d’Alemberta:
Podczas ruchu układu punktów materialnych, siły rzeczywiste działającena punkty tego układu równoważą się z siłami bezwładności
0
0
0
0
0
S
S
S
S
=−−+−
=−+=−+
=+×+×
=++
=−
=−
×+×=
+=
ε
ε
ε
SxRyRxPyP
Syy
Sxx
bRP
b
b
b
RP
BRyRxPyPx
ymRP
xmRP
MRlPl
PRP
MB
Ppm
RlPlB
RPpm
&&
&&
Reakcje w węzłach I klasy
? ?;lub
? ?;
y12
x12
R12
==
==
RR
R α
PlPzM
PR
PlzRM
PPR
−==
=+−=−−
2
2
0
0
12
12
1212
12
lP
Pl
R
Plh
PR
PlhR
PPR
5.02
2
0
0
12
12
12
12
===
==+−=−−
03223
023 1
=⋅−⋅=− pn
Mechanizm jarzmowy; wyznaczanie reakcji metodą analityczno-wykreślną
gmG
gmG
gmG
33
22
11
=
==
B22b2 pmP −=
12 ;
2CD3
33333b3
lmBBM SS =−= ε
S33b3 pmP −=
=03nR
003t
03n
b332b212 =++++++ RRPGGPR
033b3G33bCB03n
iB =⋅−⋅−+⋅=∑ hPhGMlRM
0cos)90cos( 3b3b3303t
D-i3C =⋅−−⋅+=∑ αα PGRP o
=03tR
003t
03n
b332b212 =++++++ RRPGGPR
siłplanu z 12 −R
...
0sin)90sin(
23
033b3b3323D-Ci3
=
=−⋅+−⋅+=∑ ⊥
R
RPGRP nααo
...
0
23
3a3b3G33b2323i3C
=∑ =⋅+⋅++⋅=h
hPhGMhRM a
0
0
0
03t
03n
b3323
322b212
03t
03n
b332b212
=++++
=+++
=++++++
RRPGR
RGPR
RRPGGPR
1221 RR −=
021101 =++ RGR
∑ =⋅−= 02121ri1A hRMM
=rM
Wyznaczanie reakcji w węzłach kinematycznych
metodą analityczną
)sin()sin(
)sinsin(cos)coscos(sin
)()(
)(
2P21P1
2211P2211P
21x
21y
21
αααααααααα
−+−=
=+−+==+−+=
×+=
lPlP
llPllP
yyPxxPM
PllM
Wyznaczanie wartości momentu siły
Rzutowanie sił działających na ogniwo
P221P1
P221P1
sinsin
coscos
α+α=
α+α=
∑∑
PPP
PPP
iy
ix
)sin()sin(
)cos()cos(
1P2211P1
1P2211P1
αααα
αααα
−+−=
−+−=
∑∑
−
−
PPP
PPP
kki
lli
Mechanizm jarzmowy – wyznaczanie reakcji metodą analityczną
CS33S3t
S3t
3b3t
CS323S3
nS3
n3b3
n
AB1Bt
Bt
2b2t
AB21B
nB
n2b2
n
11b1
33
22
11
;
;
;
;
lppmP
lppmP
lppmP
lppmP
BM
gmG
gmG
gmG
ε
ω
ε
ω
ε
=−=
=−=
=−=
=−=
−=
=
=
=
12 ;
2CD3
333b3
lmBBM =−= ε
003t
03n
3b3t
b3n
22bt
2bn
12y
12x
=+++++
+++++
RRGPP
GPPRR
( ) ( ) ( )
...
0
)90sin(
n03
BS3b3t
3BS33BC03n
b3iB
tb33
n03b3iB
=
=⋅+
+−⋅⋅+⋅−−=∑
+++−=∑
R
lP
lGlRMM
PMGMRMMM
αo
...
0)270cos(
0)90cos(
)90cos()cos()270cos(
)90cos()180cos(
03t
b3n
3303t
D-i3C
3o
323
3o
3b3t
33b3n
33
3o
303n
3o
303t
D-i3C
=
=+−⋅+−=∑
=−−+
+−−+−+−⋅+
+−++−+=∑
R
PGRP
R
PPG
RRP
α
ααααααα
αααα
o
o
003t
03n
3b3t
b3n
22bt
2bn
12y
12x
=+++++
+++++
RRGPP
GPPRR
0)180cos()90cos()90cos(
cos)90cos(cos
303t
303n
3b3t
3b3n
12bt
12bn
12x
=+α⋅++α⋅+−α⋅+
+α⋅+−α⋅+α⋅+ooo
o
RRP
PPPR
0)180sin()90sin()90sin(
sin)90sin(sin
303t
303n
33b3t
3b3n
212bt
12bn
12y
=+α⋅++α⋅+−−α⋅+
+α⋅+−−α⋅+α⋅+ooo
o
RRGP
PGPPR
...
...
12y
12x
=
=
R
R
...
0)270sin(
0)90sin()90sin(
)270sin()90sin(
23
23b3t
3303n
D-Ci3
3o
3233o
3b3t
333o
303n
D-Ci3
=
=−−−⋅+=∑
=−−+−−+
+−⋅+−+=∑
⊥
⊥
R
RPGRP
RP
GRP
α
ααααααα
o
o
...
0)270sin(
CF
CF23CS3b3t
3CS33b33iC
=
=−⋅−−⋅⋅+−=∑l
lRlPlGMM αo
ZWROTY! ZMIENIĆ; ; 12y
21y
12x
21x RRRR ==
021y
21x
101y
01x =++++ RRGRR
021x
01x =− RR
021y
101y =−− RGR
K
K
=
=
01y
01x
R
R
.....
0)270sin()180sin( 1AB21y
1AB21x
1bTri1A
=
=−⋅⋅+−⋅⋅+−−=∑
rM
lRlRMMMM αα oo
Równanie ruchu mechanizmu –proste przykłady
( )2
,
,
,
2
000
0
00
0
0
pttvssdtptvds
vdtdsdt
dsv
ptvvpdtdv
pdtdtm
Fdv
m
F
dt
dv
s
s
t
v
v
t
++=∫ ∫ +=
=
=
+=∫ ∫=
==
=
m
F
dt
dv
Fvdt
dvmv
FvNmv
E
Ndt
dE
LEE
i
i
=
=
==
∑=
∑=−
;2
2
0
Ruch postępowy
B
M
dt
d
Mdt
dB
Ndt
dE
MNB
E
=
=
=
==
ω
ωωω
ωω ;
2
2
Ruch obrotowy
( )2
,
,
,
2
000
0
00
0
0
ttdttd
dt
d
tdtd
dtdB
M
dt
d
B
M
dt
d
t
t
εωααεωα
αω
εωωεω
εω
εωω
α
α
ω
ω
++=∫ ∫ +=
=
+=∫ ∫=
=
===
−=
−=
−=−
−−=
−−−=
∫ −=∫−==
−
−
tB
M
tB
M
t
eM
M
M
Me
M
MMt
B
M
M
MM
M
Bt
B
M
B
MM
M
Bt
dMM
BdtMM
dt
dBB
1
1
1
1
ln
ln
lnln
,
1
0
0
1
0
101
0
10
1
010
1
0 10010
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
ωωεω
Silnik elektryczny
constr
rBBB
B
r
rBBE
r
r
rrv
BBE
z
z
=
+=
=
+=
=
==
+=
2
2
121
21
2
2
121
2
21
1
2
112
221112
222
211
222
22
ωωω
ωω
ωω
ωω
Przekładnia zębata
2
11
112
11
2
112
21
r
rMMM
Mr
rMMN
r
r
MMN
TNZ
ZTN
TN
−=
=−=∑
=
−=∑
ωωω
ωω
ωω
2
2
121
2
1
1
1
11
121
1
21
0 ,2
1
,2
+
−=
=
=∂
∂=+∂
∂
=
∂∂
∑=∂∂
r
rBB
r
rMM
dt
d
Mdt
dB
t
BM
dt
dB
t
B
MB
t
Nt
E
TN
ZZ
ZZZ
Z
Zz
ω
ω
ωωωω
ωω
Przekładnia planetarna
)(2
)(2
1
2
1
2
2
21
113
213
11
2
112
2211
rr
r
rrv
rvv
r
r
rrv
C
AC
A
+=
+=
==
=
==
ωω
ω
ω
ωω
ωω
2222
21
222
22
211 ωωω zC BBvmB
E =++=
constr
rB
rmBB
B
r
rB
rmBE
z
z
=
++=
=
++=
2
2
12
212
1
21
21
2
2
12
212
1
24
2224
ωω11
2
112
2
1
2
rv
r
r
C ω
ωω
=
=
13231 ))90(270cos( ωαωω Zoo
CTN MgvmMMN =+−+−=
( )
( )
( )
( ) 30121
13
01
21
13
121
13
11
33
121
13
2
2
2
,
2
13
30
ααα
αα
αα
αωαω
ωω
αα
α
++
=
∫+=∫
+=
==
+=
rr
r
drr
rd
drr
rd
dt
d
dt
d
rr
r
3021
1133
12
21
1
110
31
221
1
31
1221
1111
21
113
11
13231
)(2)),90(270cos(
2)(2
))90(270cos(2)(2
))90(270cos(2)(2
,)(2
,2
))90(270cos(
αααα
ω
α
αωωωω
ωωω
ωαωω
++
=+−−+
−=
−=
−=
+−++
−=
+−++
−==
+==
=+−+−=
rr
rrgm
rr
rMM
MMM
MMM
rgm
rr
rMMM
rgm
rr
rMMMN
rr
rrv
MgvmMMN
ooTop
N
opNz
ooTNZ
ooTNZ
C
Zoo
CTN
z
opN
Zz
B
MM
dt
d
MB
t
Nt
E
−==
=
∂∂
=∂∂
11
1
21
2
εω
ωω ( ) ( )( )( )
1; goto
;;
;2
;
;
;,
;
............ ;, ;
:1
;;;0
110110
21
10101
1101
1
11
1
11313
101101
ωωαα
εωαα
εωω
ε
ωαω
ωαωαα
ωωαα
==∆+=
∆+∆+=
∆+=
−=
==
==
===
ttt
tt
t
B
MM
fM
fM
ff
t
z
opN
op
N
Równanie ruchu mechanizmu korbowo-tłokowego.
Równanie ruchu mechanizmu jarzmowego.
111
22113
2
112
21
22
212
sinsin
cos
cos
coscos
sin1cos,sinsin
ASS
BCAB
BC
AB
BCABAC
BC
AB
lv
llv
l
l
lll
l
l
ωαωαω
ααωω
αα
αααα
=
−−=
−=
+=
−+=−=
2
2
211
2311
211
21
233
2111
211
cos
sincossin
2222
+−++=
=++=
αααα
ωω
ABSASz
zSS
lmBlmB
BvmBvmE
Równanie ruchu mechanizmu korbowo-tłokowego
22212212211
2211
2
211
23
sinsincoscos)coscossinsin(
coscos
cos
sincossin2
αωαααααωααωα
αωα
ααα
++−=
+−×
+−=
∂∂
L
Llm
t
BAB
z
+−+−=
+−++−+=
++−+==
22
113111
22
11113
o1
o11111
33o
1o
1111
sincos
cossin)(cos
sincos
cossin))90(270(cos
;))90(270(cos
ααααα
αα
αωαωαωωω
αωω
ABASNZ
ABABASNZ
SNZ
lPglmMM
llPlgmMM
vPgvmMMN
ZZZ M
dt
dB
t
B =+∂
∂ 112
1 ωω
CB
AB
CB
CAAB
CAABCAABCB
l
l
l
ll
lllll
13
13
122
coscos
sinsin
sin2
αα
αα
α
=
+=
++=
333y3
333x
3
3331
1313
sin
cos
,
)cos(
αωαωωω
ααωω
ASS
ASS
ASSABB
CB
AB
lv
lv
lvlv
l
l
=
−=
==
−=
Równanie ruchu mechanizmu jarzmowego
( )
( )
( )2
13233
233
221
2
131332
33
21
2211
21
2333
233
22
211
21
)(cos
)(cos2
1
222
22222
−+++=
−++
++=
+++==
CBABSCSABz
CB
ABSCS
ABz
SSBz
llBlmlmBB
l
lBlm
lmBB
BvmvmBBE
αα
ααω
ωωω
ωωω
( )
( )
21331313
13233
233
2
13233
233
221
)(cos)(sin)(
)(cos2
)(cos
CB
CB
CBABSCS
z
CBABSCSABz
l
vl
llBlm
t
B
llBlmlmBB
ααααωω
αα
αα
−−−−−×
×
−×+=∂
∂
−+++=
ySB
TNZ
gvmgvm
MMMN
33o
1o
2
111
))90(270(cos −+−+
−==
αωωω
3313312
110
33133
12
3333112111
cos)(coscos
cos)(cos
cos
coscos
αααα
ω
ααα
α
αωαωωωω
ASCB
ABABTop
N
opNz
ASCB
AB
ABTNZ
ASABTNZ
ll
lgmglmMM
MMM
MMM
ll
lgm
glmMMM
lgmlgmMMM
−−+=
−=
−=
−+
+−−=
−−−=
( ) ( )( )( )
( )( )
1; goto
;;
;2
;
;21
;,
;
;,
;
...........;........., ;
:1
;;;0
110110
21
10101
1101
1
1
11
1
11
1
11313
101101
ωωαα
εωαα
εωω
ωε
ωα
αωα
ωωαωαα
ωωαα
==∆+=
∆+∆+=
∆+=
−−=
=
=
==
==
===
ttt
tt
t
Bdt
dBMM
fdt
dB
fB
fM
fM
ff
t
z
zopN
z
z
op
N
opNZZZ
Zz
MMMdt
dB
t
B
MB
t
Nt
E
−==+∂
∂
=
∂∂
=∂∂
11
1
21
2
1
2
ωω
ωω
Wyznaczanie sił tarcia w węzłach niższychpłaskich mechanizmów dźwigniowych
Równanie ruchu mechanizmu jarzmowegoz uwzględnieniem tarcia
aRM 2121 5.0<
aRM 2121 5.0>( ) ( )2121
2121
2121
sgn
5.0
5.0
vRRTa
MRR
aMRR
BA
B
A
+=
+=
−=
µ
( )( )
( )( ) )(zwrot! sgn
sgn
sgn
sgn
122121
122121
12212121
122121
ωωµωωµ
ωωµωωµ
−−=
−=
−==
−=
xM
y
yM
x
MT
M
RT
RT
RrrTM
RT
Mechanizm jarzmowy – wyznaczanie reakcji z uwzględnieniem tarcia
CS33S3t
S3t
3b3t
CS323S3
nS3
n3b3
n
AB1Bt
Bt
2b2t
AB21B
nB
n2b2
n
11b1
33
22
11
;
;
;
;
lppmP
lppmP
lppmP
lppmP
BM
gmG
gmG
gmG
ε
ω
ε
ω
ε
=−=
=−=
=−=
=−=
−=
=
=
=
12 ;
2CD3
333b3
lmBBM =−= ε
)sgn( 1ω−= TT MM
003t
03n
03y
03x
3
b3t
b3n
22bt
2bn
12y
12x
=+++++
+++++++
RRTTG
PPGPPRR
( ) ( )
C journal of radius
30303
30303
30303
o303
o30303
o303
o30303
2
03
2
0303
)sgn(
)sgn(
)sgn(
)180sin()90sin(
)180cos()90cos(
−
−=
−−=
−=
++−=
++−=
+=
r
MT
xM
y
yM
x
tny
tnx
tn
RrM
RT
RT
RRR
RRR
RRR
ωµωµ
ωµαααα
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
...
0)18090sin()1800sin(
)90sin(
03
o3
o03
o3
o03BS3b3
t
3BS33BC03n
03b3iB
0303t
b33n0303b3iB
=
=−−+−−+⋅+
+−⋅⋅+⋅−+−=
++++++−=
∑∑
n
BCy
BCx
T
yxT
R
lTlTlP
lGlRMMM
TMTMPMGMRMMMM
αα
αo
...
0)90cos(
)90cos()cos(
)270cos(
)90cos()0cos(
)90cos()180cos(
03t
233o
323
3o
3b3t
33b3n
33
3o
03y
3o
03x
3o
303n
3o
303t
D-i3C
=
=+−−+
+−−+−+
+−⋅+
+−+−+
+−++−+=∑
R
TR
PP
G
TT
RRP
αααααα
ααα
αααα
o
( )2silder oflength
323
2323
2323
)sgn(
5.0
5.0
−
+=
+=−=
a
BA
B
A
vRRT
aMRR
aMRR
µ
0)180cos()90cos(
)90cos(
cos)90cos(cos
303t
303n
033b3t
3b3n
12bt
12bn
12x
=+⋅++⋅+
++−⋅+
+⋅+−⋅+⋅+
oo
o
o
ααα
ααα
RR
TP
PPPRx
0)180sin()90sin(
)90sin(
sin)90sin(sin
303t
303n
0333b3t
3b3n
212bt
12bn
12y
=+⋅++⋅+
++−−⋅+
+⋅+−−⋅+⋅+
oo
o
o
ααα
ααα
RR
TGP
PGPPRy
...
...
12y
12x
=
=
R
R
003t
03n
03y
03x
3
b3t
b3n
22bt
2bn
12y
12x
=+++++
+++++++
RRTTG
PPGPPRR
...
0)90sin()90sin(
)270sin(
)90sin()0sin(
)90sin(
23
3o
3233o
3b3t
33
3o
03y
3o
03x
3o
303n
D-Ci3
=
=−−+−−+
+−⋅+
+−+−+
+−+=∑ ⊥
R
RP
G
TT
RP
ααααα
αα
αα
o
...
0
)270sin(
23
0323
CB23CS3b3t
3CS33b33iC
=
=+++−⋅−
−−⋅⋅+−=∑
M
MM
lRlP
lGMM
T
αo
ZWROTY! ZMIENIĆ; ; 12y
21y
12x
21x RRRR ==
021y
21x
101y
01x =++++ RRGRR
021x
01x =− RR
021y
101y =−− RGR
K
K
=
=
01y
01x
R
R
.....
0)270sin()180sin( 1AB21y
1AB21x
1bTri1A
=
=−⋅⋅+−⋅⋅+−+=∑
rM
lRlRMMMM αα oo
Sprawność mechanizmów
παααααα
αααα
α
αααα
+=⇒<=
=+=
++=
=+−=−
=+−
3333
33
13
13
122
31
31
0 ,cos
sinarctg
coscos,
sinsin
sin2
0sinsin
0coscos
0
CB
AB
CB
CAAB
CAABCAABCB
CACBAB
CBAB
CACBAB
l
l
l
ll
lllll
lll
ll
lll
3
3
3
3
3
sin
cos
)znane! ( sin
sin
cos
,
αα
α
αα
CFFE
AFCACFCF
CE
CECF
CEFE
AFCACFCEFECF
ll
llll
l
ll
ll
llllll
=
+==
==
+==+
Analiza kinematyczna mechanizmu strugarki
3333
3333
333
333
33
13131313
333311
333311
31
31
cos
sin
sin
cos
)sin(),cos(
0cossincos
0sincossin
0sinsin
0coscos
αωαω
αα
ααωααωω
αωααωαωααω
αααα
ASyS
ASxS
ASS
ASS
ASAS
ABCB
AB
CBAB
CBAB
CACBAB
CBAB
lv
lv
ly
lx
ll
lvl
l
lvl
lvl
lll
ll
=
−=
===
−=−=
=−−=+−−
=+−=−
33233333
33233333
2313
211313
331321131
3
32333333331
2111
32333333331
2111
sincos
cossin
)cos()sin(
2)sin()cos(
0sincoscos2sinsincos
0cossinsin2coscossin
αωαεαωαε
ωααωααε
ωααωααεε
αωαεαωααωαεαωαεαωααωαε
ASASyS
ASASxS
CBABAB
CBCB
AB
CB
AB
CBCBABAB
CBCBABAB
llp
llp
lllp
l
v
l
l
l
l
llvpll
llvpll
−=
−−=
+−−−=
−−+−=
=+−−−−
=−++−−−
335
3
334
3334
33345
45
3
3
sin
1,
sin
cos
cossin0
sincosd
d,
d
d
sin
cos
αω
ααω
αωααωα
αα
CECE
CE
CE
CEFE
CECF
CEFE
lvlv
lv
lvvt
lv
t
lv
ll
ll
−=−=
+=−=
==
==
[ ]CE
CECE
CECE
CECE
lvp
llvp
llvp
llvpp
t
vp
t
vp
3433
5
23
3
33
3
3434
3233334334
32333343345
44
55
2sin
1
sin
cos
sin
cos2
sincoscos2sin0
cossinsin2cos
d
d,
d
d
εωα
ωααε
ααω
αωαεαωααωαεαωα
−−=
+−−=
−++=
−−−=
==
Równanie ruchu mechanizmu strugarkiz uwzględnieniem sił tarcia
( ) ( )
( )2
13
2
3
25
2
13233
233
221
2
131
2
35
2
131332
332
12
211
21
255
2333
233
22
211
21
)(cos
sin
)(cos
)(cossin2
1
)(cos2
1
222
222222
−
+
+
−+++=
−
+
−+++=
++++==
CB
CEAB
CBABSCSABz
CB
ABCE
CB
ABSCSAB
z
SSBz
l
llm
llBlmlmBB
l
llm
l
lBlml
mBB
vmBvmvmBBE
ααα
αα
ααωα
ααωωωω
ωωω
( )
2133131313
32
22
5
2
13
32
3334
3
25
21331313
13233
233
)(cos)(sin)()(cos
sin2
)(cos
sin
cossin
sin
2
)(cos)(sin)(
)(cos2
CB
CB
CB
CEAB
CB
CECEAB
CB
CB
CBABSCS
z
l
vl
l
llm
l
lvllm
l
vl
llBlm
t
B
ααααωωααα
ααα
αωαα
ααααωω
αα
−−−−−×−+
+
−−+
+−−−−−×
×
−×+=∂
∂
)sgn( 1ω−= TT MM
( ) ( )
C journal of radius
30303
2
03
2
0303
)sgn(
−
−=
+=
r
MT
tn
RrM
RRR
ωµ
( ) ( ) 55o
35
55
900
00
PPv
Pv
tr =⇒<−∧<
=⇒>
αα
( )2silder oflength
323
2323
2323
)sgn(
5.0
5.0
−
+=
+=−=
a
BA
B
A
vRRT
aMRR
aMRR
µ
5532330333
o1
o2
111
))90(270(cos
vPvTMgvm
gvm
MMMN
TyS
B
TNZ
+−+−
−+−+
++==
ωα
ωωω
5532330333
o1
o2
111
))90(270(cos
vPvTMgvm
gvm
MMMN
TyS
B
TNZ
+−+−
−+−+
++==
ωα
ωωω
)(cossin
1
)(cos)(sin
cos)(cos
cos
sin
1cos
cos
133
5
13031323
33133
12
3353033233333
112111
ααα
αααα
ααα
α
αωωαω
αωωωω
−−
−−+−−
−−−
−−+=
−+−−
−−+=
CB
ABCE
CB
ABTAB
CSCB
AB
ABTNZ
CETCS
ABTNZ
l
llP
l
lMlT
ll
lgm
glmMMM
lPMvTlgm
lgmMMM
Sprawność mechanizmów dźwigniowych
Mechanizm przekształca pracę momentu napędowego w pracę sił użytecznych, pracę sił tarcia,energię kinetyczną ogniw i energię potencjalną sił potencjalnych (ciężar, siły w elementach sprężystych).
W ustalonym stanie mechanizmu o ruchu cyklicznym, przyrost energii kinetycznej i potencjalnejprzypadający na jeden cykl równy jest zeru, ponieważ na początku i na końcu cyklu współrzędne i prędkości są takie same.
Bilans pracy podczas jednego cyklu:
( )0,0 , ==+=
+++=
VGTUMN
VGTUMN
LLLLL
LLLLLBilans pracy :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∑∑
∫∫
∑∑
∫∫
=
=
=
=
=
=
=
=
∆−=∆=
−==
>⇒<=⇒>−=
∆==∆
∆=∆=
==
≥=
ni
iii
ni
iiUU
TT
UU
U
i
ni
iiiN
ni
iiMNMN
T
N
T
MNMN
NMN
ttvtPttNL
dtvPdtNL
PvPvvPN
titnTt
tttMttNL
dtMdtNL
MN
155
1
0
55
0
555555
11
1
0
1
0
11
00,00 ;
;
;
0 ;
ω
ω
ωω
( )
5/
5
10
Tt
ttNdtNLi
iiU
T
UU
=∆
∆== ∑∫=
=
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑
∫∫=
=
∆++=
++==
++=
ni
iiiTiiiiTT
T
TT
T
TT
TTT
tttMtvtTttML
dtMvTMdtNL
MvTMN
13033231
0
3033231
0
3033231
ωω
ωω
ωω
MN
T
MN
U
L
L
L
L
=
=
ψ
ηSprawność:
Współczynnik strat:
Transformacje czworoboku przegubowego
Transformacje czworoboku przegubowego
Warunki Grashofa
Warunki Grashofa
Transformacje przez zmianę ostoi
Transformacje przez zmianę postaci węzła
Transformacje przez zmianę ostoi
Przykłady syntezymechanizmów płaskich
Synteza mechanizmu realizującego funkcję
322
1 cyxcxycz ++=
2432 =−×=w
Mechanizm klinowy
17253 =×−×=
=
w
xy
( )( )
2142103
221
21
21
=×−×=
+=×=
+=−+=
+=
w
OBOAOM
ONOM
OBOAON
OAOBOAON
ABOAON
( ) ( )
xya
y
a
x
y
y
w
1
29263432
1
1
=
=
=×−×+−×=
( ) ( )
xya
yyxaa
yya
y
a
y
y
y
w
2212
12
1111
2212143432
=
==
=
=×−×+−×=
( ) ( )
byxa
xya
y
byyy
bybyby
w
−+=
−+=−+−=−
=×−×+−×=
11
)()(
2332223432
223
123
123
Synteza czworoboku przegubowegorealizującego przejście odcinka MN przed dwa zadane położenia
Węzły A i D w dowolnie wybranych punktach symetralnych M1M2 i N1N2.Węzeł B=M; węzeł C=N.
Węzły A i D w wybranych punktach symetralnychM1M2 i N1N2. Węzły B i C w wybranych odległościach
od środka obrotu.
Węzły A i D w dowolnie wybranych punktach płaszczyzny. Węzły B i C w wybranych odległościach od środka obrotu.
Węzły A i D w wybranych punktach symetralnych M1M2i N1N2. Ogniwa AB jest korb ą. Węzeł C w wybranej
odległości od środka obrotu.
DODATKOWY WARUNEK!
Synteza czworoboku przegubowegorealizującego przejście odcinka MN przed trzy zadane położenia
Wyrównoważanie statycznemechanizmów płaskich
CDCDSkk
ABBASkk
llm
B
llm
C
BSBCC
CB
AS
ASASAS
lmlmlm
lmlmlm
m
m
lmlm
mmm
lm
lmlmlM
mmmM
BC
BS
BC
BS
23333
21111
12
2
222
222
33
2211
321
22
22
const.
+=+=
=
=
==+
=+
++=
++=
−
Wyrównoważenie statyczne czworoboku przegubowego
ABkASADk
BCBSBEk
lmmmlmlm
lmlmlm
)( 232111
3222
+++=
+=
Wyrównoważenie statyczne mechanizmu korbowo-tłokowego
Wyrównoważenie statyczne mechanizmu jarzmowego
23
2333
13
333
21
CDkC
CSCDk
ABAEk
lmlmB
lmlm
lmlm
+=
==
Uwaga: środek masy korby leży w punkcie A!
Gdy ogniwo 3 jest prętem jednorodnym
Wyrównoważanie mechanizmów korbowo-tłokowychsilników wielocylindrowych
2211
22113
213
sinsin0
coscos
αααα
ll
lll
lll
+=+=
+=
...sin16
1sin
8
1sin
2
1cos
sin
...11
sin1cos
sin1cos
sinsin
16
6
2
121
4
4
2
121
2
2
2
122113
12
1
61614
812
212
2
12
12
22
2
12
12
αααα
α
αα
αα
αα
−
−
−+=
=
−−−≈−
−+=
−+=
−=
l
ll
l
ll
l
lllll
l
lx
xxxx
l
l
l
l
Analiza jakościowa ruchu tłoka
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
...6cos4cos2coscos
...6cos512
14cos
512
6
64
1
2cos512
15
16
1
4
1
cos
512
10
64
3
4
1
6cos14cos162cos11532
1sin
4cos12cos148
1sin
2cos12
1sin
...sin16
1sin
8
1sin
2
1cos
1614121103
1
6
2
121
6
2
12
4
2
12
1
6
2
12
4
2
12
2
2
12
11
6
2
12
4
2
12
2
2
1223
11116
1114
112
16
6
2
121
4
4
2
121
2
2
2
122113
+++++=
+
+
+
−
−
+
+
+
++
+
−
−
−=
−+−−−=
−−−=
−=
−
−
−+=
αααα
αα
α
α
αααα
ααα
αα
αααα
CCCCCl
l
ll
l
ll
l
ll
l
ll
l
ll
l
ll
l
l
ll
l
ll
l
llll
l
ll
l
ll
l
lllll
[ ][ ]...6cos364cos162cos4cos
...6sin64sin42sin2sin
...6cos4cos2coscos
16141211213
1614121113
1614121103
++++−=
++++−=+++++=
ααααωααααω
αααα
CCCCp
CCCCv
CCCCCl
,00000432.036 ,00000012.0
,0002112.016 ,0000132.0
,01108.04 ,00277.0
,04.0 ,04.0
,144.0 ,144.0
accel.in coeff. displ.in coeff.
,0004.0 ,0055.0 ,074.0
7.3 ,27.0 mm,147 mm,40
1500Fiat
66
44
22
11
00
33
6
2
1
4
2
1
2
2
1
1
2
2
121
==−=−=
======
=
=
=
====
CC
CC
CC
CC
CC
pl
ll
ll
ll
ll
llll
Zmiany kątaα2. Długość korbowodu = 3.67 długości korbyTypowy silnik samochodowy
Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości cosα2. Długość korbowodu = 3.67 długości korbyTypowy silnik samochodowy
10*(cosα2-1.0)
Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości cosα2. Długość korbowodu = 3.67 długości korbyTypowy silnik samochodowy
Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości długości wektora l3.
Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości przyspieszenia tłoka p3.
Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości przyspieszenia tłoka p3. – prezentacja harmonicznych
Korbowód dłuższy od korby o 10%
Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości długości wektora l3. Korbowód dłuższy od korby o 10%
Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości przyspieszenia tłoka p3 – korbowód dłuższy od korby o 10 %.
ADkACpABoASAS
ACpABoASAS
CSpBSo
po
ACASASAS
lmlmmlmlmlM
lmmlmlmlM
lmlm
mmm
lmlmlmlM
mmmM
++++=
+++=
=
+=++=
++=
)(
)(
311
311
22
2
32211
321
Wyrównoważanie mechanizmu korbowo-tłokowegosilnika dwucylindrowego
Wyrównoważanie mechanizmówkorbowo-tłokowych
silników wielocylindrowych
ADkACpABoASAS
ACpABoASAS
CSpBSo
po
ACASASAS
lmlmmlmlmlM
lmmlmlmlM
lmlm
mmm
lmlmlmlM
mmmM
++++=
+++=
=
+=++=
++=
)(
)(
311
311
22
2
32211
321
Wyrównoważanie mechanizmu korbowo-tłokowegosilnika dwucylindrowego
( )
( )
( )
( )1
21
11121
1121
3311121
1
111
1
3111
sin
sin
!!!0 ,cos
)(cos
)180sin(
sin
)180cos(
)(cos
αωαω
εαω
αωα
αα
α
ADk
ABoASS
ADk
pABoASS
oADk
ABoASS
oADk
ACpABoASS
lm
lmlmyM
lm
pmmlmlmxM
lm
lmlmMy
lm
lmmlmlmMx
+
++−=
=+
++++−=
++
++=++
++++=
&&
&&
( ) ( )( ) 0sin
0...2cos4cos)(cos
)0 ,0()0 ,0(const) const,(
11121
1211321111
21
=−+−
=+++−−+−
====⇒==⇒==
αω
ααωαω
ADkABoAS
pADkABoAS
SySS
xS
yS
xSSS
lmlmlm
CCmmlmlmlm
ypxpvvxx &&&&
( )( )
5.0 ,10 ,)(
)(
0sin
0cos)(
coscos
311
11
311
11121
131121
12111
213
=≤≤+++=
+=
+++==−+−
=++−+−
−=−≈
ξξξ
αω
αωαωαω
ABpABoASADk
ABoASADk
ABpABoASADk
ADkABoAS
ABpADkABoAS
AB
lmmlmlmlm
lmlmlm
lmmlmlmlm
lmlmlm
lmmlmlmlm
llp
Pomijamy wyższe harmoniczne we wzorze na przyspieszenie tłoka
Wyważenie statyczne polega na unieruchomieniu środka masy mechanizmu
Dwa równania z jedną niewiadomą
( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
ABpABoASADk
ABpADkABoAS
ADkABoASADkABpABoAS
ADkADk
ADkABoAS
ADkABpABoAS
ADkABoAS
ADkABpABoAS
ADkABoAS
ADkABpABoAS
lmmlmlmlm
lmmlmlmlm
lmlmlmlmlmmlmlm
lmlm
lmlmlm
lmlmmlmlm
lmlmlm
lmlmmlmlm
lmlmlm
lmlmmlmlm
)(5.0
0)(2
0121)(2
0
min
)(
0
0)(
)(
311
311
11311
21
21
22
11
12
311
11
311
11
311
+++=
=++−+
=−−++−−+++
=∂
∆∂+∂
∆∂=∆+∆
∆=−+
∆=−+++
=−+
=−+++=+
=+++
Wyznaczenie ξ metodą najmniejszych kwadratów
Kiedy suma prawych stronbędzie najmniejsza?
Układ równań sprzecznych
Poszukujemy rozwiązania spełniającego równania w przybliżeniu
Silnik czterocylindrowy
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ]161412213
16141211213
16141211213
o16
o14
o12
o11
21
1614121121
6cos364cos162cos4)(4
6cos364cos162cos4cos)(2
6cos364cos162cos4cos)(2
)10806cos(36)7204cos(16)3602cos(4)180cos(
6cos364cos162cos4cos
αααω
ααααω
ααααωααααω
ααααω
CCCmmPP
CCCCmmP
CCCCmmP
CCCCp
CCCCp
pbEbC
pbE
pbC
E
C
+++=+
+++−+=
++++=
+++++++−=
+++−=
Silnik sześciocylindrowy
[ ][ ][ ]
[ ][ ][ ][ ] oooo
1116213
oooo1
o114
213
oooo1
o112
213
o1
o111
213
o16
o14
o12
o11
213
o16
o14
o12
o11
213
16141211213
36041440 ,3602072 6cos6cos6cos36)(2
2403602096 2404cos()1204cos(4cos16)(2
120360480 1202cos()2402cos(2cos4)(2
240cos()120cos(cos)(2
)14406cos(36)9604cos(16)4802cos(4)240cos()(2
)7206cos(36)4804cos(16)2402cos(4)120cos()(2
6cos364cos162cos4cos)(2
×=×=++++
+×=+++++++
+=+++++++
++++++=
=++
+++++++−+=
++++++++=
++++=
αααω
αααω
αααω
αααω
ααααω
ααααω
ααααω
Cmm
Cmm
Cmm
Cmm
PPP
CCCCmmP
CCCCmmP
CCCCmmP
p
p
p
p
bEbDbC
pbE
pbD
pbC
[ ][ ][ ][ ]
[ ] 6cos6cos6cos36)(2
36041440 ,3602072 6cos6cos6cos36)(2
2403602096 2404cos()1204cos(4cos16)(2
120360480 1202cos()2402cos(2cos4)(2
240cos()120cos(cos)(2
86.0240sin120sin
5.0240cos120cos
0cos5.0cos5.0cos
240sinsin240coscos
120sinsin120coscoscos
)240cos()120cos(cos
1116213
oooo1116
213
oooo1
o114
213
oooo1
o112
213
o1
o111
213
oo
oo
111
o1
o1
o1
o11
o1
o11
αααω
αααω
αααω
αααω
αααω
ααααα
αααααα
+++=++
×=×=++++
+×=+++++++
+=+++++++
++++++=++
=−=
−==
=−===−+
+−+=
=++++
CmmPPP
Cmm
Cmm
Cmm
CmmPPP
pbEbDbC
p
p
p
pbEbDbC