Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf ·...
Transcript of Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf ·...
![Page 1: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/1.jpg)
Wykłady z Mechaniki Kwantowej
![Page 2: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/3.jpg)
Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych
Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski
Katowice, 2017
Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa
Wykład dla doktorantów (2017)
Wykład 6 Długoletnie błądzenie w ciemnościach w poszukiwaniu prawdy odczuwanej, lecz nieuchwytnej, głębokie pragnienie oraz przeplatające się ze sobą okresy wiary i zwątpienia, które poprzedzają jasne i pełne zrozumienie, znane są wyłącznie tym, którzy sami ich doświadczyli
![Page 4: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/6.jpg)
Ewolucja w czasie układów kwantowego (postulat VI)
Warunki wstępne:
Mając ρ(t0), chcemy aby ρ(t) było określone
Układy oddziaływujące z otoczeniem:
ρ(t) =f( ρ(t0), τ = t-t0, t0 ) Układy izolowane:
ρ(t) =f(ρ(t0), τ = t-t0)
Układy nieoddziaływujące z
otoczeniem
Układy izolowane,
Układy zachowawcze,
Układy odwracalne.
Czas jest ciągłym rzeczywistym parametrem – nie jest obserwablą kwantową
![Page 7: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/7.jpg)
1) Odwzorowanie jest liniowe i ciągłe:
Końcowy operator statystyczny nie zależy od tego czy najpierw fragmenty układy poddamy ewolucji czasowej:
a potem dokonamy wymieszania: czy też najpierw wymieszamy:
i całość będzie ewoluować z czasem:
ρ1(t0 )→ ρ1(t)
Intuicyjne rozumienie ewolucji czasowej wymaga aby:
ρ2 (t0 )→ ρ2 (t)
α ρ1(t)+ β ρ2 (t)
α ρ1(t0 )+ β ρ2 (t0 )
α ρ1(t0 )+ β ρ2 (t0 )→α ρ1(t)+ β ρ2 (t)
ρ(t0 )→ ρ(t)
![Page 8: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/8.jpg)
2) Ewolucja czasowa tworzyła czasową „półgrupę”: Operator statystyczny układu nie zależy od tego czy najpierw odczekamy chwilę τ1: a później chwilę τ2: czy też zaraz odczekamy chwilę τ = τ1 + τ2 .
ρ(t0 )→ ρ(t1 = t0 +τ1)
ρ(t1)→ ρ(t2 = t1 +τ 2 )
ρ(t0 )→ ρ(t2 = t0 +τ1 +τ 2 )
Warunki 1) oraz 2) są ogólne zawsze spełnione, także dla układów nieizolowanych
![Page 9: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/9.jpg)
3) Dla układu izolowanego wymagamy dodatkowo aby ewolucja czasowa była zadana przez unitarny operator U(t) spełniający warunki: U(τ) jest ciągłym operatorem parametru τ.
Dla układów izolowanych istnieje operator ewolucji czasowej
+0 1 1 0 1 1 1 0
+ -1
-1
1 2 1 2
(t ) (t ) = U( ) (t )U ( ); t t ;
U ( )=U ( );U(0)= I;U ( )=U( );U( + )=U( )U( );
ρ ρ τ ρ τ ττ τ
τ ττ τ τ τ
→ = −
−
![Page 10: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/10.jpg)
Ciągłość operatora (zależy od topologii): A(t) jest ciągłe w t = t0 gdy dla t t0 : względem topologii τ, czyli
gdy t t0 .
0A(t) A(t )φ φ→
0|| (A(t) A(t )) || 0τφ− →
Określamy generator ewolucji czasowej:
0
dU( )A =d τ
ττ =
→
![Page 11: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/11.jpg)
U(τ1 +τ ) = U(τ1)U(τ )
dU(τ +τ1)dτ1
= dU(τ +τ1)d(τ +τ1)
d(τ +τ1)dτ1
= dU(τ1)dτ1
U(τ )
Weźmy:
Zróżniczkujmy obydwie strony po τ1
limτ1→0
.....Obliczamy granicę:
dU(τ )dτ
= AU(τ )
d 2U(τ )dτ 2 = d
dτ(AU(τ )) = A d
dτU(τ ) = A2U(τ )
Czyli: dnU(τ )dτ n = AnU(τ )
![Page 12: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/12.jpg)
Rozwinięcie U(τ) w szereg Taylora:
Czyli:
+U ( )= Aeττ+
=
+
++
U ( ) U( )=I;dU ( ) dU( )U( )+U ( ) ;
d d
τ ττ ττ τ
τ τ
Zróżniczkujmy równość:
+A + A = 0
A więc generator A jest antyhermitowski: +A = A−
Możemy więc parametryzować:
2 nn
n
dU( ) d U( ) d U( )U( )=I+d 2!d n!dτ τ τ
τ τ ττ τ τ ττ τ τ= = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦2
20 0 0
......
2 n n A1U( )=I+A A +......+ A = n!
eττ τ τ τ+ 212!
[τA]= 1 [A]= [τ −1]= sek−1 = energia
A = -i H
w granicy otrzymamy τ = 0
U+ (τ ) = eτ A+
![Page 13: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/13.jpg)
Generatorem ewolucji w czasie zachowawczego układu fizycznego jest operator gdzie H jest operatorem energii układu, czyli
Postulat VI można więc podać w postaci (w obrazie Schrödingera)
Dwie interpretacje wartości średniej:
+0( )
+0 0
A Tr(A (t)) = Tr(AU( ) (t )U ( )) =
Tr(U ( )AU( ) (t )) =Tr(A(t) (t ));tρ ρ τ ρ τ
τ τ ρ ρ
=
+A(t) = U ( )AU( )τ τ
Obserwabla (aparatura i sposób wykonania pomiaru) nie zmienia się w
czasie. W czasie zmienia się układ fizyczny, który mierzymy
Zmienia się przepis na sposób wykonania pomiaru a więc obserwabla. Stan układu
fizycznego nie ulega zmianie
gdzie
Obraz Schrödingera
Obraz Heisenberga
A = -i H
![Page 14: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/14.jpg)
ρ(t) = e− iHt ρ(t = 0) e
iHt
A(t) = eiHt A(t = 0) e
− iHt
Ewolucja operatora statystycznego (obraz Schrödingera)
Ewolucja obserwabli (Obraz Heisenberga)
![Page 15: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/15.jpg)
W obrazie Heisenberga---- równanie Heisengerga:
[ ]dA(t)i A(t),Hdt
=h
W obrazie Schrödingera natomiast– równanie Liouville’a:
[ ]d (t) H, (t)dt
i ρ ρ=h
Albo dla stanu czystego – równanie Schrödingera:
d (t)H (t)
dti
ψψ=h
Stała ruchu Wielkość fizyczna jest stała ruchu, gdy nie zależy od czasu
[ ]dA(t) 0 A,H 0dt
= ⇔ = , ∂A(t)
∂t= 0
![Page 16: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/16.jpg)
u Wartość średnia w stanie stacjonarnym nie zależy od czasu:
A t = Tr(AU(t)ρ0U+ (t)) = Tr(Aρ0 ) = A t=0
Stan stacjonarny Stan nazywamy stanem stacjonarnym, gdy nie zmienia się w czasie, mamy więc:
+0 0(t) = U( ) (t )U ( ) = (t )ρ τ ρ τ ρ
u Stany stacjonarne są zawsze mieszanką stanów własnych operatora energii
U(t)ρ0U+ (t) = ρ0 U(t)ρ0 = ρ0U(t)
[H ,ρ0 ]= 0 [U(t),ρ0 ]= 0
ρ0 = ann∑ En En H En = En En ψ = eiδ En
Dla stanu czystego
![Page 17: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/17.jpg)
0
0iHt
iH t
0+
I 0 I 0
H=H V;
U(t) = e ;
U (t) = e ;
U (t)=U(t)U (t) U(t)=U (t)U (t)
−
−
+
⇔
h
h
Ewolucja czasowa jest transformacją symetrii układu
Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje komutacji.
Obraz oddziaływania – obraz Diraca:
I
I
+I
0
0 I+
0
A (t) =
(
U (t
U (t)
)A
t) ( = t)
U (t);
U (t);ρρ
[Q(t), P(t)]= iI [Q(t0 ), P(t0 )]= iI
Definicja
U(t) = e− iHt
U0 (t) = e− iH0t
+ + +I 0 0 I0 0
+I
(t)
I0I I0+0
U(t) (t)U (t) U (t)U (t) (t)U (t)U (t)
U (t)
A Tr( )= Tr( )=
Tr( )=Tr(A (t) (t
A A
U (t)A U (t) (t)U (t) ))
ρ ρ
ρ ρ
=
;
![Page 18: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/18.jpg)
Jeśli [ ]0H ,V 0;=
Układy niezachowawcze (nieodwracalne, nieizolowane)
v Dynamika zależy od czasu
v Operator energii zależy od czasu Ewolucja w czasie niezachowawczego układu fizycznego jest dana przez równanie Schrödingera Gdzie h(t) nazywa się operatorem Hamiltona nie musi być operatorem energii
1 n-1
2t t t'
0 0 0 0
nt t t
1 2 n 1 2 n0 0 0
1 1U(t,t )=I+ h(t')dt'+ dt' dt'' h(t')h(t'')+....i i
1+ dt dt ..... dt h(t )h(t )......h(t ) ....i
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
h h
h
U(t) = e− iHt! = e
− i(H0 +V)! = e
− iH0t! e
− iVt! = U0 (t)UI(t)
Rozwinięcie perturbacyjne;
U(t,t0 ) = I - i
!h(t')U(t',t0 )dt
0
t
∫ '
i!d ψ (t)dt
= h(t)ψ (t) ψ (t) =U(t,t0 )ψ (t0 )
= UI(t)U0 (t)
![Page 19: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/19.jpg)
gdy [ ]h(t'),h(t'') 0= dla dowolnych chwil t’ oraz t”, wtedy (t0 = 0):
0
i dt'h(t')
U(t)= e ;
t
− ∫h
gdy natomiast: [ ]h(t'),h(t'') 0;≠ to otrzymamy:
0
i dt'h(t')
U(t)= Te ;
t
− ∫h
1 2 3 3 1 2T(h(t )h(t )h(t ))=h(t )h(t )h(t );
Iloczyn chronologiczny T jest zdefiniowany w sposób:
gdy
3 1 2t t t ≥ ≥ Przykłady: Mechanika nierelatywistyczna,
Teoria pola
![Page 20: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/21.jpg)
Cząstki identyczne, postulat (VII)1
Przestrzeń stanów: 1 2 3 .......⊗ ⊗ ⊗ ⊗ NΗ = Η H H HW MK cząstki identyczne są nierozróżnialne --- co to oznacza matematycznie?
Weźmy wektor bazowy w H:
1 2 3 N 1 2 3 N1 2 3 N, , ,...., ........ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
i iξ
Ale te N elementów możemy ułożyć w innej kolejności:
1 2 3 N1 2 3 N 1 2 3 N, , ,...., ........η η η ηη η η η ξ ξ ξ ξ= ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
Identyczność cząstek à stany pierwszy i drugi są fizycznie nierozróżnialne à wszelkie pomiary wykonane w tych stanach muszą dać ten sam rezultat
1 2 3 N 1 2 3 NP , , ,...., , , ,....,ξ ξ ξ ξ η η η η=
stan Numercząstki
![Page 22: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/22.jpg)
Grupa permutacji =
Grupa symetryczna {P} • Permutacje można złożyć z transpozycji,
• Permutacja może mieć parzystą lub nieparzystą liczbę transpozycji,
• Permutację można złożyć z dowolnej liczby transpozycji, ale zawsze jest ona parzysta lub nieparzysta.
• Jest skończenie wymiarowa ma N! elementów, • Ma skończenie wymiarowe nieredukowalne reprezentacje unitarne, • Istnieją dwie reprezentacje jednowymiarowe.
W przestrzeni stanów H działa reprezentacja unitarna ---- każdej permutacji N elementów odpowiada unitarny operator P działający na stany fizyczne. ξ η=P
Nie wszystkie wektory z przestrzeni stanów są dobrymi stanami opisującymi cząstki identyczne. Czysty stan fizyczny będzie opisany wektorem , który da identyczne wyniki każdego pomiaru niezależnie od tego jakiej permutacji dokonaliśmy na cząstkach. Taki wektor może różnić się od wektora najwyżej fazą:
ψ
ψP
δψ ψ= iP e
Działając dowolnym operatorem permutacji na stan N cząstek identycznych otrzymujemy ten sam stan z dokładnością do fazy.
ψ
![Page 23: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/23.jpg)
1,2,3 3,1,2
P13P12 1,2,3 = P13 2,1,3 = 3,1,2n=2
n=4
Permutacja 3 elementów – grupa S3 (składa się z 6 składników)
(2,1,3), (1,3,2), (3,2,1)
(2,3,1), (3,1,2), (1,2,3)
n=1
n=2
P23P12P23P12 1,2,3 = P23P12P23 2,1,3 = P23P12 2,3,1 = P23 3,2,1 = 3,1,2
P12P13 1,2,3 = P12 3,2,1 = 2,3,1
Permutacje nie komutują
![Page 24: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/24.jpg)
Rząd grupy skończonej, r = ilość elementów grupy r(S3) = 6
E = 11
22
33
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A = 11
23
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
B = 13
22
31
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
C = 12
21
33
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
D = 13
21
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F = 12
23
31
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
AB = 11
23
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
. 13
22
31
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 1
321
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= D
Mnożenie elementów:
E A B C D FE E A B C D FA A E D F B CB B F E D C AC C D F E A BD D C A B F EF F B C A E D
Przykład:
AB = 11
23
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
. 13
31
22
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 1
321
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= D
![Page 25: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/25.jpg)
Reprezentacja grupy, zbiór macierzy
A→ M (A); B→ M (B);......Które spełniają mnożenie grupowe:
M (A) ⋅M (B) = M (D)A ⋅B = D
Wymiar macierzy M = Wymiar reprezentacji
Twierdzenie (bez dowodu): Wszystkie reprezentacje nieredukowalne o wymiarach spełniają relacje:
A→M1(A) 0
0 M 2 (A)
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
Reprezentacja nieredukowalna nie można macierzy reprezentacji zapisać w postaci:
→
l1,l2,...(li
i∑ )2 = h (rząd grupy)
![Page 26: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/26.jpg)
S3, h=6
l = 1, l = 2, l = 3, l = 4, l = 5,....
l1 = 1; l2 = 1; l3 = 2
S4, h = 24 l1 = 1; l2 = 1; l3 = 2; l3 = 3; l3 = 3;
S5, h=120 2 x1 + 3x4 + 1x9 + 0 x16 + 1x25 + 2x36=120
2 x1 + 2x4 + 1x9 + 3x25 + 3x36 + 3x49 + 2x64 + 3x 81 S6, h=720
![Page 27: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/27.jpg)
DiagramyYOUNGA
Diagramy i tablice Younga wywodzą się z grupy permutacji ale ich stosowanie jest znacznie szersze. Ponownie określimy operatory symetryzacji i antysymetryzacji
Si k = (1+Pi k )Dla dwóch cząstek:
A123 = 1−P12 −P13 −P23 +P13P12 +P12P13
S123 = 1+P12 +P13 +P23 +P13P12 +P12P13Dla trzech czastek:
Dla trzech cząstek mamy sześć różnych stanów:
Φ1 = S123 123
Φ3 = A13S12 123 = (1−P13)(1+P12) 123 = (1−P13 +P12 −P13P12) 123 =
123 − 321 + 213 − 231
Φ2 = A123 123
1,2 + 2,1
1,2 − 2,1Ai k = (1−Pi k )
Φ5 = A23S12 123 = (1−P23 +P12 −P23P12) 123 = 123 − 132 + 213 − 312
Φ6 = A23S13 123 = (1−P23 +P13 −P23P13) 123 = 123 − 132 + 321 − 231
Φ4 = A12S13 123 = (1−P12 +P13 −P12P13) 123 = 123 − 213 + 321 − 312
![Page 28: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/28.jpg)
W rzeczywistości istnieją tylko 4 niezależne stany;
1) Całkowicie symetryczny:
2) Całkowicie antysymetryczny:
3) I dwa z symetrią mieszaną, n.p. oraz
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4Φ5Stany , są związane transformacją podobieństwa z czterema
wymienionymi
Odpowiada to trzem różnym diagramom Younga:
całkowicie symetryczny całkowicie antysymetryczny symetria mieszana
Φ4
![Page 29: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/29.jpg)
1 2 3
1 23
2
31 32
A123 S123 A13S12 A12S13
Φ2 = A123 123
Φ1 = S123 123 A12S13 123A13S12 123
α1
'
α1
α2
OgólnadefinicjadlagrupySn
(λ1,λ2,λ3,.....,λn)
Takich, że , oraz
λii = 1
n
∑ = n λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ ..... ≥ λn.
λ1
λ2
λ3 λ4……………
1
Wprowadzamy n liczb całkowitych:
Aλ
kolumny∑
Sλ
wiersze∑
![Page 30: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/30.jpg)
2) Wszystkie n liczb pojawia się w kwadratach, ulokowanych tak, że ----- w każdym wierszu liczby rosną od lewej do prawej, ----- w każdej kolumnie liczby rosną z góry do dołu, liczba różnych możliwych ustawień dla danego diagramu Younga daje wymiar reprezentacji
Konstrukcjareprezentacjinieredukowalnych,ichwymiarorazbaza
1) Każdy możliwy kształt diagramu odpowiada różnym nieredukowalnym reprezentacją, np. dla S4:
12 12
1 2 34 1 2 4
3 ( ) dim = 3
+ + 32 + 32 + 22 = 24
12
3 4{ }
![Page 31: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/31.jpg)
Stany fizyczne tworzą jednowymiarowe podprzestrzenie w przestrzeni stanów --- jednowymiarowe podprzestrzenie reprezentacji grupy symetrycznej. Wiemy, że grupa ta ma dwie nierównoważne reprezentacje jednowymiarowe: Reprezentacja symetryczna Reprezentacja antysymetryczna ψ ψ= −P ( 1) ;p
ψ ψ=P ;
Istnieją więc dwie jednowymiarowe podprzestrzenie grupy symetrycznej:
ψ ψ ψ= ∈ =N+H { H ; P }
ψ ψ ψ= ∈ = −N-H { H ; P ( 1) }p
Podprzestrzeń symetryczna
Podprzestrzeń antysymetryczna
Stany cząstek identycznych mogą należeć albo do podprzestrzeni symetrycznej albo podprzestrzeni antysymetrycznej
LiczbainwersjiwpermutacjiP
![Page 32: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/32.jpg)
Postulat (VII)1 Każdy stan fizycznych układu N identycznych cząstek tworzy podprzestrzeń jednowymiarową grupy permutacji SN – symetryczną dla cząstek o spinie całkowitym (BOZONY), a antysymetryczną dla cząstek o spinie połówkowym (FERMIONY). Zasada Pauliego dla fermionów wynika z tego postulatu.
Unormowane stany N cząstek identycznych:
ξ ξ ξ ξ− = ∑ p1 2 N
P
1 (- 1) P , , .......N !
ξ ξ ξ ξ+ = ∑ 1 2 NP
1 P , , .......N !
Dla bozonów:
Dla fermionów:
![Page 33: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/33.jpg)
S123 = 1+P12 +P13 +P23 +P13P12 +P12P13
A123 = 1−P12 −P13 −P23 +P13P12 +P12P13
A13S12 = 1−P13 +P12 −P13P12
A12S13 = 1−P12 +P13 −P12P13
A23S12 = 1−P23 +P12 −P23P12
A23S13 = 1−P23 +P13 −P23P13
![Page 34: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Dziękuję za uwagę
![Page 35: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/35.jpg)
Wybrane informacje o reprezentacjach
grup
![Page 36: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/36.jpg)
Zbiór elementów a,b,c,….. Tworzy grupę G, jeżeli 1. Jest zdefiniowany iloczyn dowolnych dwóch elementów grupy G, który także należy do G: 2. Iloczyn elementów spełnia warunek łączności: 3. W grupie G istnieje element jednostkowy „e”, taki, że dla dowolnego : 4.Dla dowolnego elementu istnieje element odwrotny a-1,
taki, że,
a ∈G, b ∈G ⇒ ab = c ∈G.
(ab)c = a(bc).
a ∈G
aa−1 = a−1a = e.
ae = ea =a a ∈G
![Page 37: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/37.jpg)
Reprezentacja grup
1. Definicja Reprezentacji grupy,
2. Definicja Reprezentacji Równoważnych,
3. Definicja Charakteru Grupy,
4. Definicja Reprezentacji Unitarnych,
5. Definicja Reprezentacji Redukowalnych i Nie-
redukowalnych
6. Definicja Sumy prostej macierzy,
7. Definicja Nieredukowalnej, Niezmienniczej Podprzestrzeni,
8. Definicja iloczynu prostego (iloczynu Kroneckera) macierzy
![Page 38: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/38.jpg)
1. Definicja Reprezentacji grup
g ∈ G
g→ A(g) ∈A(G)
Jeżeli każdemu elementowi g z grupy G można przypisać operator (macierz po wybraniu bazy) i ta odpowiedniość jest homomorficzna (lub izomorficzna), wtedy mówimy, że zbiór operatorów A(G) tworzy reprezentację grupy G
Przypomnieć
Operatory w liniowej przestrzeni Baza wektorów Macierzowa reprezentacja operatorów Zmiana bazy dla operatorów
![Page 39: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/39.jpg)
m = Um, mm=1
p
∑ mDwa układy wektorów bazy:
A→ m A m' = Am, m'
Macierzowa reprezentacja operatora A w bazie : m
Macierzowa reprezentacja operatora A w bazie : m
Jaka jest relacja pomiędzy macierzami w dwóch bazach?
Aby zachować ortonormalność wektorów bazy macierze transformacji muszą być
unitarne:
U+= U-1
Am, m' = Um, m*
m' =1
p
∑m=1
p
∑ m A m' Um', m' =
A→ m A m' = Am, m'
Am, m' ⇔ A
m, m'
![Page 40: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/40.jpg)
= Um, m+
m' =1
p
∑m=1
p
∑ Am, m' Um', m' = U+AU( )m, m'
Czyli: A = U+A U
Macierze w naszych dwóch reprezentacjach są połączone unitarną transformacją podobieństwa
2) Definicja reprezentacji równoważnych
Dwie macierzowa reprezentacje są równoważne, jeżeli dla każdego elementy grupy są połączone transformacją podobieństwa:
{A} ≈ {A}
A(g) = U+A(g) U
g ∈G
![Page 41: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/41.jpg)
3) Definicja charakteru grupy
Charakter każdego elementy grupy jest określony jako ślad macierzy A(g): Charakter = Tr(A(g))
Charakter elementu grupy g nie zmienia się przy zmianie bazy reprezentacji, a więc charakteryzuje sam element g grupy: Równoważne reprezentacje mają ten sam zbiór charakterów.
Tr A(g)( )= Tr U+A(g) U( ) = Tr A(g)( )
Komentarz
4) Definicja reprezentacji unitarnej
Reprezentacja, w której wszystkie macierze A(g) są unitarne nazywa się reprezentacją unitarną
![Page 42: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/42.jpg)
Można udowodnić, że dla grup skończonych oraz dla ciągłych zwartych grup Liego, jakakolwiek reprezentacja grupy może, odpowiednią transformacją podobieństwa, być przetransformowana w reprezentację unitarną. Istnieje więc taka macierz C, że dla każdego elementu grupy , jest unitarne. Dla nieskończenie wymiarowych grup oraz grup niezwartych, reprezentacje nie są unitarne.
g ∈G C−1A(g)C
5) Definicja reprezentacji nieredukowalnej
Załóżmy, że mamy n wymiarową reprezentację . Jeśli dla wszystkich elementów grupy istnieje taka jedna macierz C, że Gdzie oraz są macierzami kwadratowymi oraz takimi, że , wtedy mówimy, że reprezentacja A(g) jest redukowalna. Jeżeli taki rozkład nie jest możliwy to reprezentację nazywamy nieredukowalną.
A(g)g ∈G
D(1)(g) = (n1 × n1)D(2)(g) = (n2 × n2 ) n = n1+ n2
D(1)(g)
C−1A(g)C = D(1)(g) 0
0 D(2)(g)
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
D(2)(g)
![Page 43: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/43.jpg)
6) Definicja sumy prostej macierzy
A ⊕ B ≡ A 0
0 B⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ (n1 × n1)⊕ (n2 × n2) = (n1 + n2)× (n1 + n2)
D(g) = D(1)(g) 0
0 D(2)(g)
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
Twierdzenie
Jeżeli oraz są dwiema reprezentacjami grupy G wtedy
jest także reprezentacją. Oraz odwrotnie, jeżeli jest reprezentacją, to
także macierze oraz tworzą reprezentację.
D(1)(g) D(2)(g)
D(g)D(1)(g) D(2)(g)
Można łatwo udowodnić, że (A1 ⊕ B1) ⋅(A2 ⊕ B2) = A1 ⋅A2 ⊕ B1 ⋅B2
D(g1) D(g2) =D(1)(g1) 0
0 D(2)(g1)
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
D(1)(g2) 0
0 D(2)(g2)
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
=D(1)(g1)D
(1)(g2) 0
0 D(2)(g1)D(2)(g2)
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
D(1)(g1g2) 0
0 D(2)(g1g2)
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟= D(g1g2)
Dowód:
![Page 44: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/44.jpg)
D(g) = D(1)(g)⊕D(2)(g)⊕⋅⋅⋅ ⋅ ⋅D(k )(g)
D(g) = D(1)(g)⊕D(2)(g)⊕⋅⋅⋅ ⋅ ⋅D(k)(g)
Komentarze Proces
jest nazywany dodawaniem reprezentacji.
D(i)(g)Jeżeli są reprezentacjami nieredukowalnymi, powyższa procedura nosi nazwą
rozkładu reprezentacji redukowalnej na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych.
Jeżeli w sumie , wszystkie reprezentacje są różne, wtedy mówimy, że reprezentacja jest prosto redukowalna. D
(i)(g) D(g)
7) Definicja nieredukowalnych podprzestrzeni niezmienniczych
Jeżeli, działając elementami grupy G na dowolne wektory w podprzestrzeni M liniowej przestrzeni L, otrzymujemy wektory nalężące do M, to mówimy że podprzestrzeń M jest niezmiennicza względem grupy G. Jeżeli poza tym w M nie ma mniejszej niezmienniczej podprzestrzeni, to M jest nieredukowalną podprzestrzenią niezmienniczą
![Page 45: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/45.jpg)
8) Definicja iloczynu prostego (Kroneckera) macierzy
A ⊗ B = C Ci k, j l = Ai j Bk l
Elementy o tym samym (i,j) oznaczają wiersze, o tym samym (k,l) kolumny, obowiązuje porządek leksykograficzny.
Przykład
A =a11 a12
a21 a22
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
B =b11 b12
b21 b22
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
Jeżeli oraz wtedy:
A ⊗ B = a11B a12B
a21B a22B
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
a11b11 a11b12 a12b11 a12b12
a11b21 a11b22 a12b21 a12b22
a21b11 a21b12 a22b11 a22b12
a21b21 a21b22 a22b21 a22b22
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
![Page 46: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/46.jpg)
Dla iloczynu prostego mamy:
(A1 ⊗ B1) ⋅(A2 ⊗ B2) = (A1 ⋅A2 ⊗ B1 ⋅B2)
Twierdzenie
Iloczyn prosty macierzy tworzy reprezentacji grupy G tworzy inną reprezentację tej samej grupy:
D(g1) ⋅D(g2) = (D(1)(g1)⊗ D(2)(g1)) ⋅(D(1)(g2)⊗ D(2)(g2)) =
= (D(1)(g1) ⋅D(1)(g2))⊗ (D(2)(g1) ⋅D
(2)(g2)) = (D(1)(g1g2)⊗D(2)(g1g2)) = D(g1g2)
D(1)(g)⊗ D(2)(g) = D(g) ≡ D(1)×(2)(g)
Dowód:
((A1 ⊗ B1) ⋅(A2 ⊗ B2))i k, m n = (C1)i k, j l(C2)j l, m n
j, l∑ = (A1)i j(B1)k l{ } (A2)j m(B2)l n{ }
j, l∑ =
Dowód:
= (A1)i j
j∑ (A2)j m
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟(B1)k l
l∑ (B2)l n
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= (A1 ⋅A2)i m(B1 ⋅B2)k n = (A1 ⋅A2 ⊗ B1 ⋅B2)i k,m n
![Page 47: Wykłady z Mechaniki Kwantowej - prac.us.edu.plprac.us.edu.pl/~ztpce/wyklady/2017/qm/L6PL.pdf · Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022031502/5c78bada09d3f268558c0f11/html5/thumbnails/47.jpg)
Twierdzenie (bez dowodu) Dla grupy skończonej lub prostej i zwartej jakakolwiek reprezentacja może być rozłożona na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych,
D(1)×(2)×⋅⋅⋅⋅×(k )(g) = aii∑ Di
(χ )(g)ai = 0,1,2,.., oznaczają jak wiele razy reprezentacja nieredukowalna pojawia się w sumie. Jeżeli ai = 0 lub 1 dla wszystkich i, reprezentacja jest prosto redukowalna Taki rozkład nazywa się szeregiem Clebscha – Gordana
Di(χ )
Charakter iloczynu prostego dwóch reprezentacji jest równy iloczynowi charakterów każdej reprezentacji.
χ (1)×(2)(g)= D(1)(g)⊗D(2)(g)( )
i k, i ki,k∑ =
= D(1)(g)( )
i , i i∑⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
D(2)(g)( )k , k
k∑⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= χ (1)(g) χ (2)(g)
Twierdzenie
Dowód: