Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela
-
Upload
candace-myers -
Category
Documents
-
view
102 -
download
3
description
Transcript of Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela
![Page 1: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/1.jpg)
Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela
PG – Katedra Systemów Mikroelektronicznych
ZASTOSOWANIE PROCESORÓW SYGNAŁOWYCH
Marek Wroński
![Page 2: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/2.jpg)
Zastosowania DFT
![Page 3: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/3.jpg)
Szereg Fouriera
![Page 4: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/4.jpg)
Postać zespolona
![Page 5: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/5.jpg)
Postać czasowa zespolonego szeregu Fouriera
![Page 6: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/6.jpg)
Przekształcenie Fouriera
![Page 7: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/7.jpg)
Dyskretna postać transformaty Fouriera: DFT i IDFT
![Page 8: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/8.jpg)
Szybka transformata Fouriera - FFT
![Page 9: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/9.jpg)
4 punktowa FFT (podział czasowy)
![Page 10: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/10.jpg)
8 punktowa FFT
![Page 11: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/11.jpg)
8 punktowa FFT (podział częstotliwościowy)
![Page 12: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/12.jpg)
Wady obliczania FFT
prowadzi do obliczenia wszystkich próbek transformaty DFT, podczas gdy czasem potrzebny jest jedynie niewielki ich podzbiór, np. te próbki, które odpowiadają częstotliwościom DTMF i ewentua1nie ich drugim harmonicznym[1]; algorytmy FFT mają więc w tym zastosowaniu nadmierną złożoność obliczeniową, wymaga zgromadzenia pełnego bloku N próbek przed rozpoczęciem transformacji sygnału, co uniemożliwia realizację algorytmu analizy sygnału on line, tzn. próbka po próbce. • wymaga wyznaczania lub pamiętania wartości współczynników WN:
![Page 13: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/13.jpg)
FFT dla sygnałów rzeczywistych
Widmo Fouriera X(k), k=0,1,2,...N-1, sygnału rzeczywistego x(n) jest symetryczne wzgl. k=N/2
![Page 14: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/14.jpg)
Dwa N-punktowe sygnały rzeczywiste, jedno N -punktowe FFT
Tworzymy sygnał zespolony:
Odzyskujemy widma X1 i X2:
![Page 15: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/15.jpg)
N-punktowy sygnał rzeczywisty, N/2-punktowe FFT
Wg. podziału w dziedzinie czasu widmo X(k) może być odtworzone wg. widma X2n(k) jego próbek parzystych i widma X2n+1(k) jego próbek nieparzystych na podstawie wzoru:
Tworzymy:
![Page 16: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/16.jpg)
Dwuwymiarowa DFT
![Page 17: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/17.jpg)
Wyznaczenie DCT metodą FFT
Transformacja kosinusowa stosowana jest w standardach kompresji obrazów nieruchomych JPEGi ruchomych MPEG oraz w algorytmie kompresji dźwięku MPEG audio. Zdefiniowana jest poprzezrównanie baz kosinusowych:
Sumując oddzielnie parzyste i nieparzystepróbki sygnału x(n) i oznaczając:
następnie łącząc połówki sum otrzymamy:
![Page 18: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/18.jpg)
Algorytm Goertzela
Korzystając z zależności: można przez to pomnożyć prawą stronę równania DFT co da
12)/2( kjNkNjkn
NeeW
1
0
)()()(N
n
nNkNWnxkX
Wyrażenie to jest dyskretnym splotem ciągu x(n) o skończonej długości N i ciągu (WN-k)n,
n= 1,2,...,N także o długości N próbek. Wprowadzając oznaczenie:
1,...,1,0 ,)()( )(
0
NkWWvxny vnkN
n
v
kNk 1-Nnk (n) y X(k)
Ciąg yk(n) może być traktowany jako odpowiedź układu (filtru cyfrowego) o odpowiedzi
impulsowej (WN-k)n+1 na pobudzenie ciągiem wejściowym x(n).
Próbka X(k) jest N-tą próbką ciągu wyjściowego, tzn. próbką o indeksie n=N-1.
![Page 19: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/19.jpg)
Graf realizujący algorytm Goertzela
W celu zmniejszenia liczby mnożeń omawiany algorytm można przekształcić zgodnie ze wzorem:
21
1
21
1
1 )/2cos(21)/2cos(21
)1(
)1()(
zzNk
zW
zzNk
zWW
zW
WzH
kN
kN
kN
kN
kN
k
![Page 20: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/20.jpg)
Zalety algorytmu Goertzela
Aby zrealizować pętle sprzężenia zwrotnego tego układu, wystarczy wykonać tylko jedno mnożenie i dwa sumowania rzeczywiste. Ponieważ interesuje nas jedynie wyznaczenie próbki yk (N-1), więc mnożenie przez zespolony
współczynnik WN-k nie musi być wykonywane w każdym kroku, lecz jedynie w
ostatnim (N-1) kroku. Tak więc obliczenia związane z realizacją pętli sprzężenia zwrotnego wymagają wykonania N -1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2(N-1) sumowań liczb rzeczywistych, a obliczenie yk (N -1) jest związane z 2
dodatkowymi mnożeniami oraz 1 sumowaniem liczb rzeczywistych. Łącznie należy więc wykonać N+1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2N-1 sumowań liczb rzeczywistych.
![Page 21: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/21.jpg)
Energia sygnału (kwadrat amplitudy prążka)
![Page 22: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/22.jpg)
Wybór N alg. Goertzela dla DTMF
W celu unikania przecieków DFT jest pożądane aby częstotliwości wszystkich tonówpodlegających detekcji odpowiadały częstotliwością próbek DFT, tj. k(fs/N). Więc
![Page 23: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/23.jpg)
Zagadnienie okna w DFT
![Page 24: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/24.jpg)
Przeciek DFT i widmo fali sinusoidalnej dla niecałkowitej liczby okresów w oknie
![Page 25: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/25.jpg)
Odpowiedzi częstotliwościowe DFT dla pobudzenia sinusoidalnego
Wartości prążków:(szerokość głównego fs/N) )(
)](sin[
2)(
mk
mkNmX
![Page 26: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/26.jpg)
Powielenia widmowe
![Page 27: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/27.jpg)
Zwiększenie czułości wykrywania sygnałów
![Page 28: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/28.jpg)
Wygładzanie nieciągłości
![Page 29: Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081421/56812a43550346895d8d6f99/html5/thumbnails/29.jpg)
Okna wygładzające końcowe nieciągłości