Reinhard Kulessa 1

Wykład 10

14.2 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego 14.2.1 Pole indukcji magnetycznej pochodzące od nieskończenie długiego przewodnika z prądem.14.2.2 Prawo Ampera w postaci różniczkowej14.2.3 Potencjał wektorowy

14.3 Pola magnetyczne wybranych konfiguracji przewodników14.3.1 Momenty magnetyczne atomów i jąder

14.4 Siły wynikające z prawa Lorentza i Biota-Savarta

14.1 Podstawowe informacje doświadczalne cd.

Reinhard Kulessa 2

Geograficzna Północ

Geograficzne Południe

Magnetyczne Południe

Magnetyczna Północ

Ziemskie polemagnetyczne

Ziemskie polemagnetyczne

Ziemia posiada również własne pole magnetyczne. Bieguny magnetyczne nie pokrywają się z biegunami geograficznymi.

Reinhard Kulessa 3

Powiedzieliśmy, że pole magnetyczne wytwarzane jest również przez wszelkiego rodzaju prądy elektryczne. Pole magnetyczne wpływa na poruszające się ładunki elektryczne, działając na nie siłą.

Wprowadzone w tabelce na stronie 34 Wykładu 9 natężenie pola magnetycznego jest wielkością, którą uwzględnia się ze względów historycznych podobnie jak wektor przesunięcia w elektrostatyce. Drugą wielkością charakteryzującą pole magnetyczne jest wektor indukcji magnetycznej B.

HB

0 (14.2)

Okazało się, że właściwe pole magnetyczne opisane jest przez wektor indukcji magnetycznej B, a wektor natężenia pola magnetycznego opisuje tą część pola, która jest wytwarzana

Reinhard Kulessa 4

przez makroskopowe prądy elektryczne o natężeniu I, dipoli atomowych i prądów okrężnych ośrodka materialnego.

Jednostkami natężenia pola magnetycznego H, oraz indukcji magnetycznej B w układzie SI są odpowiednio:

2

1

11

msVTTeslaB

mAH

W podanym kształcie równanie (14.2) ogranicza się do próżni. Będziemy również rozważali zachowanie się tych pól w obecności materii.

Wróćmy w tej chwili do doświadczalnej ewidencji siły, którą pole indukcji magnetycznej wywiera na poruszające się ładunki.

Reinhard Kulessa 5

Znane są następujące fakty doświadczalne dotyczące Oddziaływania pola indukcji magnetycznej na poruszające się elektrony:a). Poruszające się elektrony są odchylane ,b). Działająca na ładunki siła F jest ⊥ do kierunku wskazywanego przez igłę magnetyczną, czyli do kierunku wektora B,c). Siła F ⊥ do prędkości ładunku v,d). Siła F ∝ | v |,e). Wartość siły F ∝ q.

Wszystkie te wyniki doświadczalne zebrał Hendrik Lorentz(1853-1928) definiując siłę nazwaną obecnie siłą Lorentza

)( BvqkF

(14.3)

W układzie SI stała proporcjonalności (k* =1).

Reinhard Kulessa 6

W ogólnym przypadku na cząstkę o ładunku q poruszającą się w jakimś układzie współrzędnych działa siła:

)( BvqEqF

(14.4)

Zauważając, że przewodnik z prądem zawiera poruszające się ładunki, możemy rozszerzyć prawo Lorentza (14.3)

I

dlB

ldIdtvdt

dqvdq

BvdqFd

)(

Równanie (14.3) jest równocześnie definicją wektora indukcji magnetycznej B przez znane wielkości, siłę F, ładunek q, oraz prędkość v.

Reinhard Kulessa 7

Otrzymujemy wyrażenie na siłę działającą na element przewodu dl, przez który płynie prąd I. Jest to siła Biota – Savarta.

)( BldIFd

(14.5)

Analogicznie do strumienia pola elektrycznego możemy zdefiniować strumień wektora indukcji magnetycznej .

dA

B A

B AdB

(14.6)

Ze względu na to, że linie pola indukcji magnetycznej są zamknięte zgodnie z prawem Gaussa zachodzi:

Reinhard Kulessa 8

0A

AdB

(14.7)

Rezultat ten jest niezależny od tego, czy powierzchnia A zawiera przewodniki, izolatory, ładunki, natężenia prądu, czy magnesy.

x

y

z

N

S

B

Powierzchnia A

Ponieważ nie istnieją monopole magnetyczne, strumień pola indukcji magnetycznej przez powierzchnie A musi być równy zero.

Reinhard Kulessa 9

W oparciu o twierdzenie Ostrogradzkiego-Gaussa możemy napisać;

0

dBdivAdBA

(14.8)

Równanie to jest spełnione dla każdej objętości , a więc również dla objętości d. Otrzymujemy więc;

0Bdiv (14.9)

Równanie (14.9) opisuje fundamentalną własność pola indukcji magnetycznej. Jest to pole bezźródłowe. Linie pola B nie mają ani początku ani końca. Tworzą one więc wiry. Dla natężenia pola elektrycznego zgodnie z równaniem (5.7)

0

Ediv

Reinhard Kulessa 10

Równanie (14.9) mówi nam, że nie ma rozdzielonych „ładunków” magnetycznych.

Z bezźródłowości pola indukcji magnetycznej, którą inaczej nazywamy solenoidalnością wynika, że pole to charakteryzuje się pewnym potencjałem wektorowym A. Zakładamy, że potencjał ten też jest bezźródłowy, oraz że znika w nieskończoności . Definiujemy go następującym wzorem.

ArotB

(14.10)

Zgodnie z twierdzeniem Stokes’a możemy zdefiniować strumieńindukcji pola magnetycznego jako krążenie(cyrkulację) potencjału wektorowego A.

B

A A

B dA rot dA dl

(14.11)

Reinhard Kulessa 11

14.2 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego

Jeśli w przewodniku znajduje się n nośników,to wytwarzają one pole

Rozważmy element przewodnika o długości dl, przekroju A, w którym płynie prąd, którego nośniki o ładunku q i o liczbie N w jednostce objętości, mają średnią prędkość v. Gęstość prądu j=Nqv, a natężenie prądu ma wartość I=Aj. Zakładamy, że ładunki poruszają się równolegle do przewodnika.

I

dl

P

r

A

Reinhard Kulessa 12

r

rld

r

IBd

2

0

4

r

rvnq

rr

rv

r

qnBd

)(44 2

02

0

Wiemy, że n = N·d = N·A·dl,wobec tego

dlIdlAjdlANqvvqdlANvqn )(

Ponieważ zachodzi, że nqv=Idl, stąd;

(14.10)

Jest to prawo Biota-Savarta.

Reinhard Kulessa 13

14.2.1 Pole indukcji magnetycznej pochodzące od nieskończenie długiego przewodnika z prądem.

I

dl

r0

r = r0/sinP

Chcemy znaleźć pole indukcji w punkcieP oddalonym o r0 od przewodnika.

30

4 r

rldIBd

Przyjmując, że przewodnik leży na osi x, mamyx/r0 = ctg ⇒ dx = dl = -r0/sin2 ·dr = r0/sin

r

x

Reinhard Kulessa 14

dr

I

rdr

rI

rdlr

IdB

sin1

4

sinsin

1

4

sin1

4

0

0

0203

30

0

30

Po podstawieniach otrzymamy:

Wektor indukcji w odległości r0 od przewodnika wynosi więc:

0

0

0

00

2

4)sin(

4)(

r

Id

r

IrB o

Reinhard Kulessa 15

I

Policzyliśmy wartość wektora indukcji. Jaki zaś będzie jego kierunek? Musi onbyć prostopadły zarówno do dl jak i I.Ze względu na symetrię cylindrycznąi fakt, że div B = 0, (musząto być zamknięte linie), jedyną możliwością są koncentryczne okręgi wokół przewodnika.

Stosuje się śruby regułę prawej tak jak na rysunku powyżej.

r0

B(r0)

1. Policzmy cyrkulację wektora B po podanym okręgu.

0 0 0( ) 2B d B r r I

d

I

Reinhard Kulessa 16

Wynik ten nie zależy od wartości r0. Wartość indukcji B(r0) jest więc równa:

00 24

)( rrB

2. Policzmy cyrkulację dla dowolnej krzywej przestrzennej.

.

d

db

dz

dr

I

Rozkładamy element krzywej d. na składowe db, dz i dr. Do cyrkulacji przyczynek będzie pochodził tylko od elementu db, gdyż dz i dr są prostopadłe do B. Położenie pętli nie odgrywa więc żadnej roli.

0B d I

Reinhard Kulessa 17

Pętla może obejmować wiele przepływających prądów.

I1I2 I3

I

IN

Zawsze wtedy jest słuszny wzór:

01

NwewnB d I

(14.11)

Wzór (14.11) przedstawia prawo Ampera.

Z prawa Ampera wynika, że prądy poza pętlą nie dają żadnego przyczynku do liczonej cyrkulacji. Należy również przyjąć negatywną wartość dla prądu IN, pamiętając o stosowaniu reguły prawej śruby.

Reinhard Kulessa 18

Poniżej przedstawione są dwa przykłady dla innych konfiguracji przewodników.

I1

I2

I

0 1 2( ( )B d I I

0B d nI

n

Reinhard Kulessa 19

14.2.2 Prawo Ampera w postaci różniczkowej

Zdefiniujmy sobie dowolne pole wektorów gęstości prądu j(r). Rozważmy pewną powierzchnię A ograniczoną pętlą . Należy przy tym zaznaczyć, że dla pętli istnieje dowolnie wiele powierzchni A. Obliczając natężenie prądu przepływającego

A

dAd

j(r)

przez tą powierzchnię I, mamy:

0

A

B d j dA

Stosując znane nam prawo Stokes’a, możemy całkę krzywoliniową zamienić na całkę powierzchniową.

Reinhard Kulessa 20

0

A A

B d rotB dA j dA

Równanie to jest słuszne dla każdej powierzchni reprezentowanej przez wektor dA, przez którą przepływa wektor gęstości prądu j. Jest więc również słuszna dla samej powierzchni dA. Możemy więc napisać:

jBrot

0 (14.12)

Sformułowaliśmy prawo Ampera w postaci różniczkowej dla wektora indukcji magnetycznej B. W równaniu (14.12) wektor gęstości prądu j może być wywołany przez każdy rodzaj poruszającego się ładunku, gdyż każdy rodzaj prądu powoduje powstanie pola magnetycznego.

Reinhard Kulessa 21

polmolekprzew jjjj

.

Przy czym jprzew= E, jmolek pochodzi od ruchu elektronów w atomach, a jpol ma swoje źródło w przesunięciu ładunku w dielektrykach na wskutek włączenia pola E.Widzimy tu wyraźnie, że zachodzi korelacja pomiędzy wektorami E i B. Równanie (14.12) mówi również, że pole B nie może być pochodną skalarnego potencjału U, gdyż rot(gradU)=0.Nie jest więc ono polem zachowawczym.

Reinhard Kulessa 22

14.2.3 Potencjał wektorowy

Wprowadźmy zdefiniowany w równaniu (14.10) potencjał wektorowy do prawa Ampera.

jArotrotBrot o

)(

Pamiętamy, że

)()( 2AAgraddivAdivgradArotrot

Wektor A jest wektorem solenoidalnym, wobec tego div A = 0. Z dwóch ostatnich równań otrzymujemy więc:

jA

02 (14.13)

Reinhard Kulessa 23

Każda składowa tego równania jest odpowiednikiem równania Poissona dla potencjału skalarnego, które miało rozwiązanie (5.10)

||

)(

4

1)(

r

drV

.

Analogicznego rozwiązania powinniśmy poszukać dla potencjałuwektorowego. Dla potencjału wektorowego otrzymamy;

||40

r

djA (14.14)

Potencjał wektorowy A możemy wykorzystywać zamiast indukcji magnetycznej B, gdyż A ma kierunek prądu. Równanie to możemy też podać dla prądów powierzchniowych, liniowych i pojedynczych ładunków.

Reinhard Kulessa 24

14.3 Pola magnetyczne wybranych konfiguracji przewodników

W zależności od geometrii przewodnika do wyznaczania wektora indukcji stosujemy prawo Ampera lub Biota-Savarta. Rozważmy kilka takich konfiguracji.

A). Długa cewka o małej średnicy (d<l).

d

n zwoi

Całka po konturze ∫ Bl = 0NI. Więc

l

INB

0

Reinhard Kulessa 25

B). Cewka toroidalna

d

’’

’

I

0

02

B d N I

B r NI

r

NIB

20

Na zewnątrz zwoi toroidu B = 0, bo

' ''

' '' 0B d B d

Reinhard Kulessa 26

C). Pole pętli kołowej

I

ds =a d

a

d

r

zdBz

dB

Zgodnie z prawem Biota-Savarta dB ⊥ ds. oraz dB ⊥ r .Element prądu (ds, I) wytwarza pole dB.

220

20

44 az

daI

r

dsIdB

Zauważmy, że zielony trójkąt jest prostopadły do pętli kołowej

r2=a2+z2

Reinhard Kulessa 27

22cos,cos

az

a

r

adBdBz

Po podstawieniu tych wartości i całkowaniu po całej pętli mamy:

2)(4)(4 2/322

20

2/322

22

0

0

az

aI

az

daIBz

Możemy teraz rozważyć przypadki graniczne.

a

I

a

IBz z 2

2

40 00

0

3

20 2

4 z

aIBaz z

Reinhard Kulessa 28

Widzimy więc, że w tym przypadku Bz ~ 1/z3 . Otrzymaliśmy więc taka samą zależność jak w przypadku elektrycznego momentu dipolowego.Wyrażenie na Bz dla z >> a możemy również napisać następująco:

||1

42

30

Mz pz

B

gdzie SIpM

,

(14.15)

pM definiuje nam dipolowy moment magnetyczny pętli z prądem. S jest wektorem określającym powierzchnię pętli z prądem.

S

Reinhard Kulessa 29

14.3.1 Momenty magnetyczne atomów i jąder

Rozważmy atom wodoru, w którym wokół dodatnio naładowanego protonu krąży elektron o masie me.

Prąd który płynie jest równy:

r

evI

2 ,

a moment magnetyczny elektronu wynosi:

+

evrrr

evpM 2

1

22

v

I

z

rL pM

Reinhard Kulessa 30

Możemy więc magnetyczny moment dipolowy napisać jako:

LgpM

(14.16)

g = -e/2me nosi nazwę czynnika giromagnetycznego i wynosig = -0.8794023 1011 C kg-1.Jeśli policzymy w oparciu o wzór (14.16) moment magnetyczny wodoru w stanie podstawowym zdefiniujemy magneton Bohra B=(9.274078 0.00036) 10-24 A m2.

Jądra atomowe, które składają się z neutronów i protonów, również posiadają momenty magnetyczne, których jednostką jest magneton jądrowy.J = (5.050824 ± 0.000020) 10-27 A m2.

Krążący po orbicie elektron posiada moment pędu równy:

vmrL e

Reinhard Kulessa 31

14.4 Siły wynikające z prawa Lorentza i Biota-Savarta

A). Ładunek w jednorodnym polu indukcji magnetycznej – cyklotron.

v

r FLFo

B

Zakładamy, że B ⊥ v, oraz że ładunek porusza się w próżni. Nie ma więc zderzeń wpływających na ruch ładunku.

Siła Lorentza FL = qvB. Siła ta jest prostopadła do prędkości, więc nie wykonuje pracy. OznaczaTo, że

constvmvdt

dvFL ||0)2/1( 2

Jedyny tor po którym może się poruszać ładunek przy stałej sile prostopadłej do prędkości jest okrąg.

Reinhard Kulessa 32

Promień tego okręgu znajdziemy z warunku równowagi sił, siłyLorentza z siłą odśrodkową.

r

mvqvB

2

qB

mvr (14.17)

Promień ten dla stałego B i ładunku q zależy tylko od pędu cząstki. Wyrażenie Br nazywamy sztywnością magnetyczną.

Częstość obiegu orbity zwana częstością cyklotronową jest równa:

m

qB

r

v (14.18)

Częstość obiegu nie zależy od r tak długo, jak długo promień nie zmienia się relatywistyczna masa.

Reinhard Kulessa 33

B). Efekt HallaZałóżmy, że mamy cienką (małe b) płytkę przewodzącą w polu indukcji magnetycznej , tak jak na poniższym rysunku.

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - -

I

B

b

a

z

Ie-

FL

vD

VH

Elektrony przewodnictwa, które poruszają się ze średnią prędkością dryfu vD, są odchylane w kierunku z.

Reinhard Kulessa 34

Wraz z upływającym czasem wzrasta różnica potencjałów pomiędzy „górną” a „dolną” częścią przewodnika. Pojawia się więc siła wynikająca z tej różnicy potencjałów. Jest ona skierowana przeciwnie do siły Lorentza. Wyrównanie się tych dwóch sił prowadzi do stanu równowagi.

a

VeFFBev H

ELD

Z teorii przewodnictwa elekronowego pamiętamy, że

baen

I

ne

jvD

Otrzymujemy więc na różnicę potencjałów generowaną w efekcie Halla

b

BIneVH

1 (14.19)

Reinhard Kulessa 35

C). Siła działająca pomiędzy równoległymi przewodnikami

I IF F

I

F F

W miejscu, gdzie znajduje się przewodnik I2 wartość indukcji magnetycznej jest równa

0

100

2

4)(

r

IrB

I1

I2

dF

r0

dl

B(r0)

Reinhard Kulessa 36

I1I2F F

I1I2x

FF

Rysunki:D. Kasprzak@auckland.ac.nz Silne pole B

Słabe pole B

Poniżej mamy przedstawiony widok linii indukcji wokół przewodników.

Reinhard Kulessa 37

Siła działająca na element długości przewodnika I2 wynosi zgodnie z prawem Faraday’a:

dlr

IIBdlIdF

0

2102

2

4

Siła działająca na jednostkę długości przewodnika wynosi;

.

0

210' 2

4 r

II

dl

dFF

(14.19)

Na podstawie równania (14.19) stwierdzamy, że gdy w obydwu przewodnikach odległych od siebie o 1 m płynie prąd o natężeniu 1A, działa pomiędzy nimi siła 2·10-7 N/m

Reinhard Kulessa 38

D). Moment obrotowy pętli z prądem

I

F+

F-

B

a

1/2bMD

oś

.

+

A

Bb sin

Umieszczamy ramkę z prądem o natężeniu I w polu indukcji magnetycznej skierowanej prostopadle do pokazanej osi ramki. Na odcinki równoległe do osi

ramki działa siła Lorentza. Dwie działające siły tworzą parę sił z momentem obrotowym MD.

Reinhard Kulessa 39

Siła działa na odcinki ramki równoległe do osi obrotu i jest onarówna:

BaIF .

Moment obrotowy MD stara się ustawić powierzchnię ramki A równolegle do wektora indukcji magnetycznej B .

( )| | sin sinDM F b I ab B

Iloczyn można przedstawić jako .Bab sin || BA

Ponieważ MD ⊥ A i B możemy napisać:

BpBAIM MD

(14.20)

Równanie to jest słuszne dla każdej pętli, gdyż zawsze możemy ją rozłożyć na odcinki prostopadłe i równoległe do osi obrotu.

Reinhard Kulessa 40

Ostatni przykład ma bardzo szerokie zastosowania m.in. w przyrządach pomiarowych z ruchomą szpulą, silnikach prądu stałego, oraz przy magnetyzowaniu materii.

Oddziaływanie pomiędzy poruszającymi się ładunkami a wektorem indukcji magnetycznej ma również zastosowanie w tzw. Kole Barlow’a oraz w pompach elektromagnetycznych.