WYKEAD 18,19CAEKA RIEMANNA 2 PARAMETREM

loitmoje

W hajblizszym czasie sojmowai siq bpdziemy tzw catkami a para -

metrem ton funkjami sdefiniowanymi pmypomocy wiki. Tako

pmykiadywesmyx

sincax ) t(1) Caike Dinichlete DC a) = / ×- dxo

(2)Funky 's 17 ( Gumma ) Eudora Mx )=§Eteh⇒

ppostwgujgc sig metodami

Funky.e Wazna 2 voznych pouooloir , odpowiednimi olla Witek

takzedlatefo ,Ze jest , , uogilnienien ,

"

2 powametrem mozne

silnine niewukowite wyhisyi wartositg.

wiki,

argument . uego tradycygnie me

Dobre by bufo 2h01 wtasnosa.

tg.

umiemy erotic

fuukyi

Zebynabrai motywagi do fonmuiowanie i owwodzehie twierdzen'

zvobmy pewien nachunek dotycsgcy caiki Diminlete mie sojmujqcsigma raziejego popnawnosuq .

Dhe BZO zdefniujmy funky 's f( a ,b,x)= Ib× hhxd" i roawazumy

°⇒Ffa ,b)=§f( a ,b,×)d×=§Eb×8iYX" ok Nie barokoumiemytopdiayi

ale ssoT=o±e(§f1a,b , xjdx ) E §f£( a ,b,x)d×=§Eb×. a.ws/ax)dx=

Seibxwscax )dx= Aibxcoscax )+ Beibxsincaxj =) eibxoslaxh

Eb×( Aoutsinlax ) + Afb )ws( ax ) + Btb ) sin ( ax ) + Be wscax ) ) =

- Ae - Bb = 0eibx ( the- Bb ) sin ( ax ) + ( - Ab+Be)ws(a× ) )- Ab + Be .

. 1

1

tastes: E :bIata Et.EE?dEkaHA=jtEB=e#b...=ebxfItEwsCaxsteQ=bsinlaxDf

=

= - tee . D= aha

IT= ate ⇒ Fca , b) =/abadie = arctg (Eb) to (b)

Ale FC 0,4=0 wigc a ( b )=o F ( aib ) = array ( Eb)

Dlahtbhigo . ( a ,b)= LI sgnae,W suseojluosa

.

Ps¥ix=¥Pososlvjg snake

.

sapytanie ,ktore halezyrozwazyi . Pierwszy dotyoy

ndznicskwania pod anakiem wiki, drugi pmechookenie do gnanicy

pod anakiem catki .

Wpmykiadzie (2) chcielibysmy whioskowac '

o wtasnosciach funky"

The

podstaoie jejdefinigi . Ciqgfosc ,ndinicskowahwsc '

, gvanice . . .

Lacznijmy od pvostszej wiki z parametrem me pmedziale Harlym .

I=[ a ,b] f= JL , p[ f- : I × ] → IR

b

Far )= Sffhx )dtOr

Ihteresuje has apgdosi I vozhicskowoenosi fuukyi F :J→lR

Ciggosc P W xoe ] 02ham ,Ze

ftp..mx ) = FAOH { flt ,xDdt¥{xbegxofltixtdt

fujgacsyli mozha wchodzii 2 ofranicp pod zuak Wuiki

.

Dbe Zwarteyo I

twierdzenie jest tatwe :

FAKT : jeili f- jest cigge me Ix ] to F jest ajgke me J .

Dowds : Weimy xoef i voawazmy f/

wystowcsajgwmoueyo day [×o - h ,×o+y ayI × [ xo - h

, xoth ]the "

myf jest cipofe a abiov Ix [ xo - h

,xoth ] jest Harty satem f jest

jednostojnie cigofa me Ixk.

Warunek jednoshjnq.

cigoposa.

me

postalVE >o 4 ( xp ); Cxia'

) 78 >0 : d ( HK , Cxii )) ( 5 ⇒ If ( xp ) . fatal ) )

( E

Mehykgdmozme wzigi up olkxk),hip

'

) )= max { Ix - x 't,

K . it }Ustalmye >0

*

IFKIL ) -

FGo.tl/=/#f(x,tI.f(xo,tDdx/f&IflxH.f(xo.t)/dtfd( ( xp ) , ( xo ,t ) )= IX - xol zotem jes.li Ix - xokcs to Ifk ,t ) - flxo ,t)I ( E

*f ( b -

÷nmozebyi dowdnie mate, wise Fciggtewxo .

la

Wpnaktyce stand sigize ynanice caikowahie salezgoapowoimetvu . Zoiiozmyize

14×1

Flxtffcx ,t ) at, they [44,41×1] cI=[ a ,b]

y(x )

FAKT : Wpowyznq.

sytuagi , jes.li y , 4 squgope he ] if aforehe IT to Fapgre ne

±.

K x

Dowd 's : toed FH .

fix,

'fgxHdt¥¥lxHat

ftp.FlqtldtJ5(×o)e[y(x)

, yard ] :

/fx→×ojakdhey .41×0) me may/ f( xo ,t)dt popnedniegogPxPf( xp )dt=fG,5CxoD( YKDYH )

41×0faktu

.

Dbe

×→#¥mi¥iH0 ⇒

yko ) ×→xo-

£s far ,t)dx TO

ylx )

Wpmykiadzie12obacsylismyizewazhejesttakzeroznicsKowaniepoparametme.pnycsymmietylKoouodziosamqnoznicskowaluosiFolewrqcsomozliwosiipolicseniewuki.CsasemfunKjqTEjesttatuiejscaekowaipotnizfunkqpf.0dpowieolnietwierdzeniewwergi2wartejmepostaiFAKTiJes.lifjestciggemeIxJorazoUdxeJistniq.esExijestciggremeIxjtoFjestvoZhicsKowabueora22adwdzibHH-fTftlxHdtpreszte2.eDowoDi1FCxt4-FHtdbTtzlxHdt-lItfextuH-fexH-sExcx.ts.njat1eLblfCxtn.tI.fcxiitItyItFnfCxth.ttflx.tj-3ftfsCnhttn5CnkGxthTTtu.Lagramfele-tdEl5H-4-sExGH11h1dtslb-de.lhltUs1alamyEsoibienemy8takpzedhehcSmamyIT1xHtn.t1YICx.tHceT0moZnew0bicb03ftIIx.x.hz.x.nsyjestjednostojnieciggrewynazeniewjestoigcresztgiFkxtf@bfxICx.t

)dt. 1

Istnieje tez werqie dle nuchomycu gnomic catkowanie .

FAKT .

yes .li f jest cigope me Ix ] , y , Y sgvdznicskowakreme fork [ ylx ) , 4 ( x ) ] C I ,

they ¥T istnieje I jest afore he Ixj to

41×1FK )= ) f ( x ,t)dt jest Ndzhicskowalme oraz

ya

Hk ) = §dPk±Kt) at + ykxsfcx ,4H ) - YKHEMAD

Dowid : Pomijamy , path zielomy skrypt .

Para pmgjc do tego ,co maprawdg interesujgce syli do miewasciwych

catek 2 parameter em.

Tak Sig jakes sktade,

ze wigkszosi interesujguydrweek

, wlymnasze pmykiady , sqpoodcinku otwarlym .

Pmypomnijmy,ze catkg popmedziale otwowtym ( mozebyi nieskovioso -

my) definiowalismy jakognanicg pewnego apgu uogoluionego.Dotted -

~9.

J£{ K : Kati kawowly } K > K'

⇐ > Kick

¥ '

'

%,m> , ff W szcsegolnoja.

miwimyize ¥f jest abiezna

jesli 'Ve >0 F K : Y K'

,K

">K

lfof - t.tl ( c

Niech teraz Iotwarty ,J=]x ,p[ f : Ix ]→R f take

,Ze

the J ff ,x ) caikowalne me KCI oraz JIFG,

. ) sbiezne

Defining myFG )=¥f( x

,. ) . Interesujpnas te same pytanie

-

by Fjestaggie i

ay jest ndznicskowalnd. Sytuoge

prsypomine niece problem szeregow funkyjnycu , tyleze teraz sumowanie

podyskrethym powametbe m sastgpione jest pmes aekg pocipopympaoametme t

.

Podobnie jock wtedy ,takitowaz kluosowe jest pqjue

jednostojnej abieznosa . ( szeregu ) catki

DEFINKJA Nick f : Ixy → IR bgdzie odpowiednio wuikowalnd. Mowing

Ze F(x)={+fK ,. ) jest abiezne jcdnostajnie jesli

the >o the ] FK : tkik" > K / {of ,G. ) -

Skf,

,E,. ) / <

Em ie zalezyool ×

Odpooiedmie twierdzenie dotycsgce cigofosa.

i nozhicskowaluosu.

majp posted :

TWIERDZENIE : fish f :I×]→R jest apgfa I catkd F ( × ) =f[f(× ,. ) jest

sbiezmejednostojmie to funkqa of jest aggro me J

Dowds : Pmebiege ideutycsnie jak dowid apgdosa.

granting apgujednostojnie Inez -

Mego funkgi upgfar . Funkqe × - fffx,. ) KCI squiggle me may popmedniego

twierdzeuie dotyospcego adgtosa.

"onwowtg.

" wieki a paramewem .

fcaike FK ) jest sb. jednostojnie

TWIERDZENIE fish.

f :IxJ→R jest afore , palooka 3¥ istmieje I jest aforearaz oaike ¥£Cx, . ) jest sbiezne jednostojnie to Fjest funky.p

nozmicskouolngi e 'H÷s±s£G . )

IT

DOWOD : 2 popmadmich trierdzai wynike ize FKCIxtkfkffx ,. ) jest

rdznicskowaem ijej pochodne to xt#{<0¥ ( ×,

. ) .

Fo'

→ { 3¥ ( x,

. ) jeolnoshjnie .

2 tuierdzeii o sbieznosa .

jednostoynej ciqgufunkgi ro

'

zniczkowalnyon (dotycsp takze apgiw uogilnionycu) wynike ze

FG )=§f( ×,

. ) jest mtzninkowalne I jq.

podiodne to F 'C×)= S±¥,C×i )go

Posostajewigc sojgi sig jednostojnq sbieznosciq week. Many do dyspozygi

knyterie podobne do tych dhe Sweger fuukyjmyok

( ^ ) KRYTERIUM WEIERSTRASSA : jesli istnieje fuukqie dodatnia y :I→ R

take,

Ze J±y < a oraz If ( x,

t ) 1 Eph ) dhe xeji wszystkicht pose ,

by'c moze, awowtym pmedziaeen ) KOCI to ¥fki ) jest sbiezne

(2) KRYTERNMDINIEGO fish.

f : Ixj → R jest mieeujemne ,FG)=§fK ,

. )

jest sbiezne I Fjestcipgfa to F jest abiezne miemol jednostojnie .

(3) KRYTERWM ABELA y : [ a, - [ xj → R

, if :[ a,

- [ x ]→1R jcsliQK )=§yG,t) at jest sbiezne jednostajnie a y jest ogvanicsone i

monotonies ne one wsglgolu met to

FH=§yK,t)gk,t ) at

jest stiezmejednostojnie

(4) KRYTERIUM DIRKHLETA :

y :[ a ,o[ xj -3112, if :[ a

,- Ex ] -7112

. fesliisthieje Moo take

,ze V. R >e

/ §y( × ,t)dt / ( M omaz g jest monotonicsna one waglgdumeti

thgogk,t )=O isbezhosi jest jcoluostojne one wsglgdn me x to

FH=§yK,t)gk,t ) at

jest stiezmejednostojnieLanim pmejdziemy do dowodiw wvicmy do pmyktadu 2 caikp Dimihlete

byro tam parq www.wsapytanie .

Fca , b) .

- §Ebt&nfatLat YE"Eg•[ D(a)=§sinfatTat

Po pierwsze csy bling +F ( a ,b)HD(e)

Spnawdzic.

nalezy wigs by F jest cigope one wsglgdu we b. fednostoiyne zbiez

misc F ze wsglqdu me b wynike 2 knyterium Abele Jakoy bienemy y ( b ,t)= sight I wiemyizeQ( b) =] siftat jest soiez -

me jeolmstajnie one wsglgdume b ( bo od b mieAle zy ) oraz

g( bit ) - Ebt jest monotonies me one wsglgdn met satem

Fca , b) jest sfieznejeolnostojmie one wwfgdu ne bi wobec tags ugope ze

whglgdu me b Many wigcx

sin ( at )bldg ,

FCa ,b)= ) =dt0

- tb sin ( at )Daley

. viznicskoraluosc : Dbe ustaloneg b >o ] ( e =) =

= Ethos ( at ) .

I e- tbas ( at ) If E they ( t ) duttkwalne satem

FCQ, b) jest no

' znicskowalme one wsglgobe me a i many wzin

f€=§Ebt cos ( at ) at