Wykład 11: Elektrostatyka - AGH University of Science and...
Transcript of Wykład 11: Elektrostatyka - AGH University of Science and...
-
Wykład 11: Elektrostatyka
dr inż. Zbigniew Szklarski
http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
mailto:[email protected]://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
2
Kwantyzacja ładunku
Każdy inny ładunek jest wielokrotnością ładunku elementarnego |Q|= Ne
Każdy elektron ma masę = me i ładunek = -e
Każdy proton ma masę = mp iładunek = e
e=1,602·10-19 C Ładunek elementarny
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
3
Zasada zachowania ładunku
Całkowity ładunek układu odosobnionego, tzn. algebraiczna suma dodatnich i ujemnych ładunków występujących w dowolnej chwili, nie może ulegać zmianie.
Qcałk=const Qcałk= Qe + Qp
= -2 e +2 e
= 0
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
4
Przykłady zasady zachowania ładunku
Rozpad promieniotwórczy jądra uranu
HeThU2389242
234 +→
Emisja cząstki αLiczba atomowa Z=92
oznacza 92 protony w
jądrze i ładunek 92e
92e=90e+2eZ zasady zachowania ładunku
90
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
5
Proces anihilacji elektronu e- i antycząstki -pozytonu e+
Proces kreacji pary
→+ +− ee
Emisja dwóch kwantów promieniowania elektromagnetycznego
+− +→ eeγ
γγ+
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
6
Empiryczne prawo Coulomba (1736-1806)
F = -F1,2 2,1
III zasada dynamiki
1785 – waga skręceń
2
212
oNm
C1085.8ε gdzie
πε4
1k −==
o
2
21
r
qqkF =
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
7
Zasada superpozycji
oś xqL q0 qR
xFFF ˆx
)q(qkq2
RL00
−=+= LR
=i
icał FF
FR FL
Ładunki qL, q0 i qR są tego samego znaku
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
8
Natężenie pola elektrycznego
q
rE ˆ2r
kq=
ładunek próbny q0 >0
Natężenie pola ładunku punktowego
r
E
==i
i
i
i rEE ˆ2ir
kq
Natężenie pola pochodzące od wielu ładunków punktowych(rozkład dyskretny)
0q
FE
=q0
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
9
Linie pola elektrostatycznego
Pole ładunku punktowego-
symetria sferycznaDwa jednoimienne ładunki punktowe
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
10
Dipol elektryczny - dwa różnoimienne ładunki w bardzo małej odległości
moment dipolowy
odległość między ładunkami
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
11
Ciągły rozkład ładunku
Dla ładunków dyskretnych
pole wypadkowe E jest
sumą wektorów natężenia
Ei czyli:
Dla ładunku, dq, natężenie
pola elektrycznego w punkcie
P dane jest zgodnie z prawem
Coulomba jak dla ładunku punktowego
Dla ciągłego rozkładu ładunku pole wypadkowe jest całką:
=i
iEE
==Q
rEE ˆr
kdqd
2
rE ˆd2r
kdq=
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
12
Przykłady
1) Dwa ładunki +Q oraz -2Q wytwarzają w punkcie P wypadkowe pole elektryczne. Oblicz i narysuj wektor tego pola.
2) Potencjał pola elektrycznego w punkcie A jest równy zero. a) Oblicz wartość i znak ładunku q3 jeżeli q2 = 2q1 = 4 C;b) Oblicz wartość natężenia pola w punkcie A.
A q1 q2 q3
• • • d d d
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
13
W zależności od rozkładu ładunku rozróżniamy:
gęstość liniową ładunku λ,
gęstość powierzchniową ładunku σ,
gęstość objętościową ładunku ρ
dx
dqλ =
dS
dq=
dV
dq=ρ
Dla ciągłego rozkładu ładunku, w zależności od rodzaju gęstości ładunku, pole wypadkowe może być całką liniową, powierzchniową lub objętościową:
==V
rEE ˆr
dVρkd
2
+ + + + + + + + +x
+
++
++
++
+
+
++
+
+
++
++ +
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
14
Przykład
Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w punkcie P na osi liniowego rozkładu ładunku
xE ˆ)x(x
kdqd
2o−
=x
λdxdq =
xE ˆ)x(x
kd
2o−
=dx
x
Wypadkowe natężenie pola jest sumą pól pochodzących od ładunków elementarnych dq:
−==
L
0
2o
xx)(x
λdxkdEE
L)(xx
Lkλ
oo −=
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
15
Strumień pola (elektrycznego) -przypomnienie
Dla dowolnej powierzchni
AEE
=
AEE
=
W prawie Gaussa występuje strumień przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą
AEE
d=
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
16
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego
Całkowity strumień pola elektrycznego przechodzący przez
dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do
całkowitego ładunku zawartego wewnątrz tej powierzchni.
→→
==
S
EdSE
qq
00
Właściwości powierzchni Gaussa:
Powierzchnia Gaussa jest tworem hipotetycznym, matematyczną
konstrukcją myślową,
Jest dowolną powierzchnią zamkniętą, lecz w praktyce powinna mieć kształt związany w symetrią pola,
Powierzchnię Gaussa należy tak poprowadzić aby punkt, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego leżał na tej powierzchni.
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
17
Od prawa Gaussa do prawa Coulomba
Ładunek punktowy otaczamy powierzchnią Gaussa – sferą o promieniu r ponieważ
AE
dE = == EdAdAcosθE
dA = ˆ n dAE IIcos 0 = 1
ˆ n
E = const na powierzchni sfery oraz
Obliczamy całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa
)πrE(4dAEΦ 2E ==
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
18
Korzystamy z prawa Gaussa
Porównujemy z obliczonym strumieniem
oE
ε
q=
o
2
ε
q)πr(4 =E
2orπε4
q(r) = E
Skoro0q
FE =
2
0
04
1)(
r
qqrF
=więc
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
19
Liniowy rozkład ładunku
rhEπ2E =
Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię Gaussa
ooE
ε
λh
ε
Q==
Całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa
Wartość wektora natężenia pola elektrycznego
r
1
πε2
λE
o
=
symetria cylindryczna
>
E
r
λh=Q
zatem
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
20
Powierzchniowy rozkład ładunków
Całkowity strumień przez
powierzchnię Gaussa
Z prawa Gaussa
Wartość wektora natężenia
pola
ES2E
=
ooE
ε
σS
ε
Q==
o2ε
σ=E
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
21
Pole elektryczne sferycznego rozkładu ładunków
Erπ4 2E =
Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa będącą sferę o promieniu r wynosi:
oE
ε
Q=Z prawa Gaussa:
Ładunek całkowity Q jest rozłożony tylko na powierzchni sfery o promieniu R
r>R2
o rπε4
QE =
Pole na zewnątrz pustej powłoki sferycznej jest takie jakby cały ładunek był skupiony w środku kuli
Ze względu na rozkład ładunku rozważmy dwa przypadki:
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
22
r
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
23
Zastosowania prawa Gaussa
Prawo Gaussa stosujemy do obliczania natężenia pola elektrycznego gdy znamy rozkład ładunku lub do znajdowania rozkładu ładunku gdy znamy pole.
Prawo Gaussa możemy stosować zawsze ale sens ma to tylko w tym przypadku gdy pole elektryczne wykazuje symetrię (sferyczną, cylindryczną).
Aby skutecznie skorzystać z prawa Gaussa trzeba coś wiedzieć o polu elektrycznym na wybranej powierzchni Gaussa.
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
24
W praktyce zastosowanie prawa Gaussa jest ograniczone do konkretnych przypadków -symetrii:
a) pole (jednorodne) od naładowanej nieskończonej płaszczyzny (powierzchniowy rozkład ładunku)
b) pole (o symetrii cylindrycznej) od nieskończenie długiego pręta (liniowy rozkład ładunku) lub walca (powierzchniowy rozkład ładunku – walec przewodzący, objętościowy rozkład ładunku -walec nie przewodzący)
c) pole (o symetrii sferycznej) od naładowanej kuli lub powierzchni sferycznej
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
25
Przykłady zadań z zastosowania prawa Gaussa.
Kula z dielektryka o promieniu R naładowana jest z gęstością ładunku zmieniającą się wraz z odległością od środka, opisaną zależnością . Wyznaczyć rozkład natężenia pola E.
Nieskończony metalowy walec o promieniu R, jednorodnie naładowano z gęstością + i otoczono innym współosiowym, cienkim metalowym walcem o promieniu 2R i takiej gęstości powierzchniowej ładunku -, że pole elektryczne na zewnątrz tych walców wynosi zero. ◼ Obliczyć rozkład pola w funkcji odległości od osi
walców;◼ Narysować wykres E(r);◼ Określić gęstość - Odp. - =½ +
−=R
r1max
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
26
Pole elektryczne przewodnika
Na powierzchni metalicznej (przewodzącej) cały ładunek gromadzi się na zewnątrz (wewnątrz pole E=0).
Istnieje tylko składowa prostopadła do powierzchni a składowa styczna równa się zeru (gdyby istniała składowastyczna to: po powierzchni płynąłby prąd wywołany ruchem elektronów).
00
==
S
qE
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
27
Dygresja matematyczna - operatory
Operator przyporządkowuje np. polu skalarnemu odpowiednie pole wektorowe
gdzie
ppg EEF −=−= grad
zyx
kji
+
+
= ˆˆˆ
Gradient funkcji skalarnej to pole wektorowe wskazujące kierunki
najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w
poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej
wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu.
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
28
Dywergencja (źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem.
V
d
limdiv0V
→
=AE
E
jest w granicy nieskończenie małej objętości V, strumieniem wychodzącym ze źródła i określa jego wydajność
V
EE
=div
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
29
Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy działający na pole wektorowe , tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego.
Krążenie (cyrkulacja) pola wektorowego F po konturze zamkniętym jest zdefiniowane jako całka krzywoliniowa:
dl
=C
ld
F
ld
Krzywa C ogranicza pewną powierzchnię zamkniętą rozpiętą na tej krzywej.
to element drogi całkowania - ma kierunek styczny do krzywej C w danym punkcie.
Jeżeli F jest siłą, to krążenie Γ ma sens fizyczny pracy.
Jeżeli F jest siłą zachowawczą to Γ=0.
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
30
Rotacja pola
dl
=C
l
dF
+=21
ddd
CCC
lll
FFF
Prowadząc krzywą B tworzymy dwa
zamknięte kontury C1 i C2 takie, że:
i
C
a a
l
i
i
→=
d
limˆ)(0
F
nFrot
definicja operatora rotacji
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
31
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe.
Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).
rotacja wektora F:
zyx FFF
zyx
kji
FFrot
==
ˆˆˆ
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
32
Przykład:
Zbadać wirowość pola elektrostatycznego oraz pola
magnetycznego przewodnika.Przewodnik z prądem i
C
sd
E
0Brot
0=Erot
=C
lE 0d
C
ldB 0
Pole magnetyczne jest polem wirowym. To określa prawo Ampère’a.
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
33
Zadanie
Trzy z przedstawionych
pól wektorowych mają
znikającą dywergencję w
przedstawionym obszarze.
Dwa z nich mają znikającą
rotację.
Proszę ocenić, które z pól
mają omawiane własności?
a), b), d)
c), d)
a) b)
e)
d)c)
-
Przykłady z rachunku operatorowego
Mając zdefiniowane:
- pole skalarne
- pole wektorowe
- wektory: oraz
oblicz:
a)
b)
c)
d)
e)Wydział Informatyki, Elektroniki i
Telekomunikacji - Elektronika34
),,( zyx
),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( 321 zyxVkzyxVjzyxVizyxV ++=
kzjyixr ˆˆˆ ++=
kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=
2rgrad
( )rA
graddiv
Arotdiv
( )
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
35
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego
=S V
dVdivd EAE
=V o
dVε
ρd
S
AE
Z prawa Gaussa w postaci całkowej:
Porównując wyrażenia podcałkowe:
oε
ρdiv == EE
=S
wew
oε
QdAE
gdzie =V
ρdVQwew
umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
36
Potencjał pola
Wektor natężenia pola – istnieje zawsze
Potencjał (skalar) – istnieje tylko dla pól zachowawczych (potencjalnych)
oq
FΕ
=
o
p
q
EV =
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
37
Wielkości charakteryzujące:
oddziaływanie pomiędzy ładunkami punktowymi
pole
elektrostatyczne
siła
energia potencjalna Ep
natężenie
potencjał V
oq
FΕ
=Ε
o
p
q
EV =
F
rF ˆr
qq
πε4
12
21
o
=
r
qq
πε4
1E
21
o
p =
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
38
Związek potencjału z natężeniem pola
Dla dowolnej siły zachowawczej, zmiana energii potencjalnej
dEp dana jest wzorem:
lElF
dddEp oq−=−=
praca dW
Z definicji potencjału:
o
p
q
dEdV = lE
ddV −=
Vgrad−=E
więc
𝑉1 − 𝑉2 = −න
1
2
𝐸°𝑑Ԧ𝑙
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
39
Różnica potencjałów ΔV między dwoma punktami jest równa
wziętej z przeciwnym znakiem pracy W wykonanej przez siłę
elektrostatyczną, przy przesunięciu jednostkowego ładunku z
jednego punktu do drugiego.
Różnicę potencjałów nazywamy napięciem U=ΔV
Jednostki: C
JVU === 1
q
EV
o
p
m
VE =
𝑉1 − 𝑉2 = −න
1
2
𝐸°𝑑Ԧ𝑙 ∆𝑉 = 𝑉1 − 𝑉2 = −𝑊
𝑞0
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
40
Potencjał pola jednorodnego
Potencjał wyższy Va
Potencjał niższy Vb
Va>Vb
d
a b
𝑊𝐹𝑐 = න
𝑎
𝑏
𝐹𝑐 ∙ 𝑑𝑟 =න
𝑎
𝑏
𝑞𝐸 ∙ 𝑑𝑟 𝑞𝑉𝑏 − 𝑞𝑉𝑎 = න
𝑎
𝑏
𝑞𝐸 ∙ 𝑑𝑟 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = −න
𝑎
𝑏
𝐸𝑑𝑟
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
41
Potencjał pola ładunku punktowego
−=−=−R R
EdrdVV P sE
Przesuwamy ładunek próbny qo z punktu P do nieskończoności
cosθdsEd =sE
2
o r
q
πε4
1E =Przyjmujemy V∞=0 i
r
q
πε4
1V(r)
o=zatem
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
42
Potencjał ciągłego rozkładu ładunków
Dla naładowanej ładunkiem powierzchniowym Q powłoki sferycznej, gdy r < R jest: E = 0, czyli potencjał V jest wielkością stałą, niezależną od r.
Dla r>R, V zanika z odległością r jak 1/r
Zadanie: Pokazać, że potencjał dla powłoki sferycznej wykazuje taką zależność V(r) jak na powyższym wykresie
-
PRZYKŁAD:
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
Uproszczony model atomu zakłada, punktowe jądro o ładunku +Q, które jest
otoczone w odległości R powłoką elektronową będąca sferą naładowaną
ładunkiem –Q.
A) Narysuj zależność E(r) i uzasadnij obliczeniami;
B) Oblicz rozkład potencjału w funkcji odległości od
jądra atomu.
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
44
Potencjał dipola
Potencjał wytwarzany przez dipol w dowolnym punkcie P:
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑘𝑄
𝑟+ 𝑘
−𝑄
𝑟 + ∆𝑟=
𝑄
4𝜋𝜀0
1
𝑟−
1
𝑟 + ∆𝑟
=𝑄
4𝜋𝜀0
∆𝑟
𝑟 𝑟 + ∆𝑟∆𝑟 ≈ 𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟 ≫ ∆𝑟 ∆𝑟
𝑄 ∙ 𝑙 = 𝑝
𝑉 =𝑄
4𝜋𝜀0
𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2
𝑉 =1
4𝜋𝜀0
𝑝
𝑟2
w mianowniku do zaniedbania
𝑟 ≫ 𝑙
Zakładamy:
Moment dipolowy: stąd
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
45
Przykład
Określic składowe pola elektrycznego 𝐸𝑥oraz 𝐸𝑦 wytwarzanego przez dipol w
dowolnym punkcie P(x,y), w płaszczyźnie
dipola. Założyć, że 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 Τ12 ≫ 𝑙
Rozwiązanie:
𝑉 =1
4𝜋𝜀0
𝑝 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2=
1
4𝜋𝜀0
𝑝 ∙ 𝑥
𝑥2 + 𝑦2 ൗ32
𝑐𝑜𝑠𝜃 = Τ𝑥 𝑟 = 𝑥/ 𝑥2 + 𝑦2 ൗ
12
𝐸𝑥 =𝜕𝑉
𝜕𝑥=
𝑝
4𝜋𝜀0
𝑦2 − 2𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 ൗ52
𝐸𝑦 = −𝜕𝑉
𝜕𝑦=
𝑝
4𝜋𝜀0
3𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2 ൗ52
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
46
Pojemność
Jednostką pojemności jest 1F (farad). W praktyce używamy μF, pF, nF
Analogia między kondensatorem mającym ładunek q i sztywnym zbiornikiem o objętości V,zawierającym n moli gazu doskonałego:
VCq =
ΔV
QC =
pRT
nV
=
Przy ustalonej temperaturze T, pojemność kondensatora C pełni podobną funkcję jak objętość zbiornika.
= F
V
C
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
47
Kondensator
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
48
Zadanie
Okładki kondensatora płaskiego o powierzchni Sznajdują się w położeniach x = 0 i x = d i naładowane są odpowiednio z gęstościami powierzchniowymi ładunku + i -. Efekty brzegowe są do zaniedbania.
▪ Korzystając z prawa Gaussa oblicz wypadkowe natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kondensatora (rysunek!) oraz narysuj wykres E(x).
▪ Korzystając ze związku między natężeniem pola E a potencjałem V oblicz różnicę potencjałów między okładkami oraz wyprowadź wzór na pojemność tego kondensatora.
▪ Oblicz energię tego kondensatora przy zadanej gęstości powierzchniowej ładunku.
Powierzchnia Gaussa
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
49
dEV 0 =d
εεC o
0
o0 SCdE
SE==
Dla pola jednorodnego pokazaliśmy, że
ΔVC
q=Soo εEq = z definicji
Energia kondensatora, gęstość energii
Energia naładowania = energii rozładowania kondensatora
Objętość kondensatora Vobj= S·d
Gęstość energii
=
3
20
2 m
JE
V
W
obj
n
=== nWC
qdq
C
qdqUW
2
2
nWqU
=2 22
20SdEqEdWn
==
Natężenie pola między okładkami –
obliczamy z prawa Gaussa:
Sooo
ε
q
ε
σE == Soo εEq =
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
50
Przykłady
Jaka musiałaby być powierzchnia okładki kondensatora płaskiego, aby, przy odległości okładek d=1 mm, uzyskać pojemność C=1 F?
Udowodnić, że pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża się wzorem
Kondensator kulisty, którego okładki są współśrodkowymi sferami naładowano ładunkiem Q. Jeżeli nastąpi przesunięcie wewnętrznej sfery (przy chwiejnej równowadze mogą zadziałać siły elektryczne) – zaburzenie współ-środkowości, to czy pojemność kondensatora wzrośnie czy zmaleje ?
( )12o
RRln
Lπε2C =
S=113 mln m2
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
51
Powłoka sferycznego balonika została naładowana z jednorodną gęstością powierzchniową ładunku . Do wnętrza tego balonika wprowadzono punktowy pyłek o ładunku q – tego samego znaku co powłoka. Czy spowoduje to zmianę średnicy balonu ? Oto rozumowania dwóch studentów:
◼ Jednoimienne ładunki się odpychają, a zatem dowolny element powłoki będzie odpychany od ładunku q co doprowadzi do wzrostu średnicy balonu.
◼ Równomiernie naładowana powłoka sferyczna nie wytwarza w swoim wnętrzu pola, co oznacza brak oddziaływania pomiędzy powłoką i ładunkiem q. A zatem średnica balonu się nie zmieni się.
Który student ma rację?
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
52
Dielektryki
Dielektryki – ładunki nie mogą się swobodnieprzemieszczać ale możliwe są przesunięciaładunków w skali mikroskopowej.
HRW t.3
dielektryki
piezoelektryki
ferroelektryki
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
53
+ + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + +
q
q’
q – ładunek swobodny
q’ – indukowany ładunek polaryzacyjny
- bez dielektryka (𝑉0)
- z dielektrykiem (V)
0C
Cdiel=
EdE0
E
𝐸0 =𝑉0𝑑
𝐸 =𝑉
𝑑=𝑉0 ∙ 𝜀0𝜀 ∙ 𝑑
𝐸 = 𝐸0𝜀0𝜀= 𝐸0 − 𝐸𝑑
𝐸𝑑 = 𝐸0𝜀 − 𝜀0𝜀
𝐸0 =𝜎
𝜀0
𝜎𝑑 =𝑞′
𝑆
𝐸𝑑 =𝜎𝑑𝜀0
𝜎𝑑𝜀0
=𝜎
𝜀0
𝜀 − 𝜀0𝜀
𝑞′ = 𝑞𝜀 − 𝜀0𝜀
zatem gdzie natomiast
gdzie
stąd i ostatecznie
d
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
54
Dla każdego dielektryka możnazdefiniować tzw. wektor polaryzacji:
zwrot wektora: od ładunku ujemnego do dodatniego ładunku indukowanego - jak w każdym dipolu.
Płytka dielektryka ma moment dipolowyo wartości q’ d
p
+ + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + +
+q
- q’
+q’
-q
D0E
𝐷 = 𝜀0𝐸 + P
P =𝑞′ ∙ 𝑑
𝑆 ∙ 𝑑=𝑞′
𝑆= 𝜎𝑑P =
Ԧ𝑝
𝑆 ∙ 𝑑
Prawo Gaussa dla obszaru: ׯP°𝑑𝑆 = P ∙ 𝑆 = 𝑞′
ර𝐸°𝑑𝑆 =𝑞 − 𝑞′
𝜀0=
𝑞
𝜀0−1
𝜀0රP°𝑑𝑆 ර 𝜀0𝐸 + P °𝑑𝑆 = 𝑞lub inaczej
Aby powiązać wektory 𝐸oraz P wprowadzamy wektor indukcji 𝐷
P
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
55
A więc
- łączy ładunki polaryzacyjne
- dotyczy wszystkich ładunków
- łączy ładunki swobodne (jest taki sam dla próżni i dielektryka)
P
DE
0
CTT
A
−=
gdzie A – stała Curie-Weissa. E
D
TTC
P
ferro- -para
elektryk
EP 0=
histereza ferroelektryka →
Zdolność polaryzacji dielektryka pod wpływem pola elektrycznego określa podatność dielektryczna :
= 𝜀𝑑 − 1
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
56
Przykłady:
Po naładowaniu płaskiego kondensatora zawierającego dielektryk, odłączono go od źródła, a następnie wysu-nięto dielektryk. Określ i uzasadnij jak zmieni się:
◼ Pojemność kondensatora jego ładunek
◼ Natężenie pola oraz napięcie między okładkami
◼ Energia kondensatora
Do próżniowego, płaskiego kondensatora dołączonego do źródła napięcia wsunięto dielektryk. Jak wówczas zmienią się powyższe parametry kondensatora?
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
57
Połączenia kondensatorów
Równoległe
UUUVV ba ===− 21
UC
Q
C
Q
C
Q===
2
2
1
1
UCCUCUCQQQ )( 212121 +=+=+=
C = C1 + C2
Pojemność kondensatora zastępczego
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
58
Szeregowe
2121
C
Q
C
QUUU +=+=
21
111
CCC+=
Pojemność kondensatora zastępczego
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
59
Zadanie:
Dwa kondensatory o pojemności C każdy – jeden próżniowy,
a drugi zawierający dielektryk o stałej r połączono równolegle
i naładowano do napięcia U. Następnie, po odłączeniu od
źródła napięcia, z jednego kondensatora wyjęto dielektryk i
wprowadzono do kondensatora próżniowego. Obliczyć
wykonaną przy tym pracę.
-
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
60
Podsumowanie
Elektrostatyka opisuje pola statyczne utworzone przez ładunki elektryczne w spoczynku.
Pole elektrostatyczne jest zachowawcze (potencjalne). Pole to jest charakteryzowane przez wektor natężenia pola i potencjał.
Wartość natężenia pola pochodzącego od konkretnych rozkładów ładunku obliczamy bądź z zasady superpozycji i prawa Coulomba bądź z prawa Gaussa.
Kondensator jest urządzeniem, w którym magazynowana jest potencjalna energia elektrostatyczna. Gęstość energii zmagazynowanej jest proporcjonalna do kwadratu pola E.
Prawo Gaussa w postaci całkowej lub różniczkowej stanowi jedno z równań Maxwella.
-
Wzory różniczkowe podsumowanie
Funkcja skalarna:
Funkcja wektorowa:
Dla pola elektrostatycznego:
Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
61
zyx
kji
+
+
= ˆˆˆ
),,( zyx
),,( zyxW
=
dgra WdivW
= WrotW
=
Vgrad−=E
oε
ρdiv =E
0rot =E