Wydział Podstawowych Problemów FizykiKatedra Fizyki Doświadczalnej

Obliczenia numeryczne w nanoinżynierii

Autor:Janusz Andrzejewski

Wrocław, 28 maja 2020

Spis treści

0 Rozdział pierwszy czyli zerowy 3

1 Metoda różnic skończonych 41.1 Warunki brzegowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Równanie Schroedingera 82.1 Układ jednostk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Dyskretyzacja równania Schroedingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Projekt 1 — studnia kwantowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Cel — program obliczający poziomy elektronowe . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Cel — porównanie wyników numerycznych z analitycznymi . . . . . . . . 12

2.4 Masa efektywna zależna od położenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1 BenDaniel–Duke — operator energii kinetycznej . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Cel — operator BenDaniela–Duka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3 Dyskretyzacja operatora Bastarda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.4 Dyskretyzacja operatora BenDaniel–Duke . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.5 Dyskretyzacja operatora Zhu–Kroemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.6 Cel — porównanie operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.7 Cel* — operator Li–Kuhn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Dokładność numeryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.1 Cel — parametry numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Studnia kwantowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.1 Cel — studnia kwantowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Równanie Poissona 233.1 Elementy rachunku wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Kilka podstawowych tożsamości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Równanie Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Dyskretyzacja operatora Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Metoda pola samouzgodnionego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Gęstość ładunku — przypadek 2D (studnia kwantowa) . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Dyskretyzacja równanie Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6.1 Cel — program równanie Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.2 Cel* — warunki brzegowe Dirichelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.3 Cel** — warunki brzegowe von Neumana . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7 Trochę więcej niż elektrostatyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7.1 D czy E? H czy B? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7.2 Cechowanie Coulomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7.3 Jednowymiarowy potencjał elektryczny — podejście całkowe? . . . . . . 353.7.4 Jednowymiarowy potencjał elektryczny — funkcje Greena . . . . . . . . 363.7.5 Cel: Równanie Poissona — podejście całkowe. . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

3.7.6 Cel**: Funkcja Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7.7 Funkcja Greena podejście drugie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7.8 Cel: stała dielektryczna zależna od położenia . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7.9 Cel*: funkcja dielektryczna — rozwinięcie w szereg . . . . . . . . . . . . 433.7.10 Cel**: funkcja dielektryczna podejście drugie . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7.11 Cel**: funkcja dielektryczna — człony nieliniowe . . . . . . . . . . . . . 44

4 Elektrodynamika i mechanika kwantowa 454.1 Pęd uogólniony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Uproszczanie operatora energii kinetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.1 Potencjał wektorowy fali elektromagnetycznej . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.2 Szacowanie składników energii kinetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Złota reguła Fermiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4.1 Złota reguła — rozpraszanie elastyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4.2 Złota reguła — rozpraszanie nieelastyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Przybliżenie funkcji obwiedni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5.1 Normowanie funkcji obwiedni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.2 Cel**:Testowanie normowania funkcji obwiedni . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6 Dwie ciekawe tożsamości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6.1 Dipolowy element macierzowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6.2 Cel: Element dipolowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6.3 Cel*: Element dipolowy — niezmienniczość na przesunięcia . . . . . . . . 634.6.4 Cel**: Operatory pędu i dipolowy dla nieskończonej studni . . . . . . . . 644.6.5 Cel: Średnia masa efektywna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6.6 Cel*: Zmienna masa w elemencie pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7 Przejścia optyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.1 Element macierzowy w krysztale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.2 Współczynnik absorpcji w krysztale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.7.3 Element macierzowy w studni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.7.4 Przejścia wewnątrz pasmowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2

Rozdział 0

Rozdział pierwszy czyli zerowy

Materiał przedstawiony w tym skrypcie, w zamyśle autora, ma pomóc TOBIE studencie przedewszystkim zrozumieć czym są metody numeryczne oraz jak ich używać. Starałem się przedsta-wić tyle informacji z matematyki, fizyki i metod numerycznych, aby cel, jakim jest napisanie(ze zrozumieniem) programu było w TWOIM zasięgu. Napisanie i przetestowanie programuoraz następnie wykonywanie różnych obliczeń jest ważnym elementem uczenia się. Proces tenma na celu lepsze zrozumienie przez CIEBIE całej teorii używanej przy pisaniu programu. Wy-konywanie obliczeń, czyli wykonywanie symulacji komputerowych, mam nadzieję pomoże CI wlepszym zrozumieniu samej fizyki modelowanego układu.

Celem — będącym w pewnym sensie obok — jest zachęcić CIĘ, abyś rozwiązując zamiesz-czone cele, rozwiązywał je, dokładając rozwiązany cel — jako kolejną funkcjonalność — doprogramu. Chcę CIĘ zachęcić, abyś popracował nad jednym programem więcej niż tydzień czydwa, jak to zwyczajowo bywa przy nauce programowania. Przez dłuższą pracę nad jednymprogramem chcę, abyś TY nauczył się konstruować program, który cytując C.A.R. Hoare’a1

„There are two ways of constructing a software design: One way is to make it sosimple that there are obviously no deficiencies, and the other way is to make it socomplicated that there are no obvious deficiencies. The first method is far moredifficult.“

powinien być tak prosty żeby był poprawny. Nie jest to łatwe, ale cytując teraz D.E. Knuth’a 2

„ ... computer programming is an art, because it applies accumulated knowledge tothe world, because it requires skill and ingenuity, and especially because it producesobjects of beauty. A programmer who subconsciously views himself as an artist willenjoy what he does and will do it better ... “

programowanie sprawi CI przynajmniej trochę przyjemności. Pamiętaj, że sztuka ta nie jestłatwa i polega na — cytując teraz E. Dijkstra 3 —

„The art of programming is the art of organizing complexity, of mastering multitudeand avoiding its bastard chaos as effectively as possible.“

Pięknych dzieł oraz zadowolenia z siebie życzy:

Janusz Andrzejewski

1Źródło: https://quotepark.com/pl/autorzy/car-hoare/2Źródło: https://quotepark.com/pl/autorzy/donald-knuth/3Źródło: https://quotepark.com/pl/autorzy/edsger-dijkstra/

3

Rozdział 1

Metoda różnic skończonych

Metoda różnic skończonych (ang. Finite Difference Method — FDM) — metoda rozwiązywaniarównań różniczkowych zwykłych oraz cząstkowych polegająca na tym że szukana funkcja rów-nania różniczkowego jest reprezentowana w postaci zbioru wartości na siatce punktów. Niech

Rysunek 1.1: Idea metody różnic skończonych.

f(x) będzie szukaną funkcją, która ma spełniać dane równanie różniczkowe. Rozwiązania po-szukujemy na obszarze od X0 do XK . Najczęściej punktami tymi są punkty zadane poprzeztzw. warunki brzegowe — czyli warunki jakie funkcja musi spełniać w tych punktach. Czasamijednak punkty te powinny być tak dobrane, aby jak najlepiej oddawały warunki które opisujedane równanie różniczkowe. Przedział całkowania (czyli obszar na którym poszukujemy roz-wiązania) to [X0, XK ]. Przedział ten musimy podzielić na małe kawałki (niekonieczne mającetaką samą długość!!) — [xi, xi+1], gdzie xi to punkty w których będziemy poszukiwali wartościfunkcji. W dalszej części wykładu, będę stosował „filozofię” zaczerpniętą z języka Python —którą mogę streścić jako: „odkąd włącznie dokąd wyłącznie”, oraz jeśli pominę odkąd to znaczyże liczymy od zera. Na rysunku powyżej mamy zaznaczonych pięć punktów od zera do czte-rech. Używając „filozofii” Pythona mamy N = 5 punktów (od 0 włącznie do 5 wyłącznie). Jeślizastosujemy równomierny podział obszaru całkowania, to krok całkowania h będzie wynosił:

h =Xk −X0N − 1

. (1.1)

Punkty xi (punkt x z indeksem i), na których będziemy poszukiwali wartości funkcji będą dane:

xi = X0 + i ∗ h (1.2)

dla i = 0, 1, 2, . . . , N − 1 (czyli zgodnie z naszą umową indeks liczymy do N). Wprowadźmyjeszcze oznaczenie

fi = f(xi) = f(X0 + i ∗ h), (1.3)gdzie fi (f z indeksem dolnym i) jest po prostu wartością funkcji w punkcie xi. Korzystając zdefinicji pochodnej funkcji w punkcie x:

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)h

, (1.4)

4

gdzie wyrażenie stojące za granicą nazywa się ilorazem różnicowym. W FDM krok całkowania h(czasami zwany też krokiem różniczkowania, odległością między punktami siatki) powinien byćodpowiednio „mały”. Ze względu na to, że liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerzejako liczby ze skończoną precyzją (czyli tak naprawdę jako liczby wymierne) istnieje pewnaoptymalna wartość kroku całkowania h, dla której pierwsza pochodna policzona na podstawieilorazu różnicowego jest najdokładniejsza. Z drugiej strony, im mniejszy krok całkowania tymwiększa jest złożoność obliczeniowa. W praktyce musimy znaleźć kompromis między dokładno-ścią a szybkością obliczeń — wybierając optymalny krok całkowania. W analizie numerycznej,do określania dokładności metod używa się tzw. notacji „duże O”. Zapis O(xn) -– oznacza żedokładność metody zależy jak xn plus wyrazy x w potędze wyższej niż n Współczynniki licz-bowe stojące przy wyrazach typu xn nas nie interesują ponieważ patrzymy na zachowanie sięasymptotyczne oraz nie da się jej wyznaczyć (przynajmniej nie jest to łatwe). Reasumując,pierwszą pochodną możemy zapisać DOKŁADNIE używając różnic skończonych jako:

df(x)

dx=f(x+ h)− f(x)

h+O(h) (1.5a)

— jest to tzw. różnica skończona rzędu pierwszego (bo dokładność obliczania pierwszej pochod-nej zależy jak h) do przodu. Pomijając wyraz O(h) otrzymujemy przybliżony wzór na obliczaniepochodnej. Można wyprowadzić inne wzory na pierwszą pochodną np:

df(x)

dx=f(x)− f(x− h)

h+O(h) (1.5b)

— różnica skończona pierwszego rzędu do tyłu,

df(x)

dx=f(x+ h)− f(x− h)

2h+O(h2) (1.5c)

— różnica skończona drugiego rzędu (lub kwadratowa, bo dokładność jest rzędu h2 ) symetrycz-na — ponieważ wartości funkcji użyte do obliczania pierwszej pochodne są wzięte symetryczniewzględem punktu x. Używając indeksów do oznaczenia argumentu dla którego chcemy obliczyćwartość funkcji, wzór (1.5c) na pierwszą pochodną możemy zapisać w postaci:

df(xi)

dx=

dfidx≈ fi+1 − fi−1

2h. (1.6)

Równanie (1.6) należy odpowiednio rozumieć. Symbol df(xi)dx

czy też równoważny mu symboldfidx

rozumieć trzeba jako (lub inaczej mówiąc z definicji):

df(xi)

dx

df=

df(x)

dx

∣∣∣∣x=xi

(1.7)

tzn. najpierw oblicz pochodną funkcji f(x) (funkcja zmiennej x) po zmiennej niezależnej x anastępnie dla tak policzonej funkcji (czyli dla pochodnej funkcji f(x)) oblicz jej wartość dla xwynoszącego xi. Kolejność tych działań jest ważna.

Zwiększenie rzędu różnic skończonych jest sposobem na zwiększanie dokładności obliczeńprzy takim samym kroku różniczkowania, jednak zwiększenie rzędu powoduje większą kom-plikację programu. Warto też dodać, że czasami jest wręcz konieczne zwiększenie rzędu różnicskończonych aby było możliwe uzyskanie poprawnych wyników ponieważ metoda niższego rzędumoże być niestabilna (czytaj nie daje poprawnych wyników) i to bez względu na krok różnicz-kowania.

5

Wyprowadźmy teraz różnicę skończoną dla drugiej pochodnej. Skorzystajmy z faktu że drugapochodna to pochodna z pierwszej pochodnej:

d2f(x)

dx2=

d

dx

df(x)

dx(1.8)

oraz do obliczenia pierwszej pochodnej w tym wzorze użyjmy punktów „połówkowych” orazwzoru na pierwszą pochodną symetryczną rzędu drugiego, czyli:

df(xi)

dx≈ f(xi + 0.5h)− f(xi − 0.5h)

h=fi+0.5 − fi−0.5

h. (1.9)

Mamy więc:d2f(xi)

dx2≈ d

dx

fi+0.5 − fi−0.5h

=d

dx

fi+0.5h− d

dx

fi−0.5h

. (1.10)

Ponownie stosując różnicę symetryczną kwadratową dla punktów połówkowych „i + 0.5” oraz„i− 0.5” odpowiednio możemy napisać:

d

dx

fi+0.5h

=fi+1 − fi

h2oraz

d

dx

fi−0.5h

=fi − fi−1

h2.

Wstawiając powyższe zależności do wzoru (1.10) otrzymujemy:

d2fidx2

=fi−1 − 2fi + fi+1

h2. (1.11)

Wzór (1.11) pozwala na obliczanie drugiej pochodnej przy pomocy tzw. symetrycznego trój-punktowego ilorazu różnicowego. Jest to najprostszy wzór na drugą pochodną którego dokład-ność jest rzędu drugiego (czyli zależy jak kwadrat kroku całkowania).

1.1 Warunki brzegowe.Umiemy już wyrazić pierwszą i drugą pochodną poprzez odpowiednie wyrażenia — różniceskończone. Aby móc rozwiązać równanie różniczkowe trzeba umieć jeszcze uwzględnić warunkibrzegowe (WB). Warunki brzegowe można podzielić na 2 grupy:

1. Gdzie są zadawane (miejsce występowania) — rodzaje WB (moje własne nazewnictwo):

• warunek początkowy — zadawany jest tylko w jednym punkcie (najczęściej w XB).Tego typu warunek pojawia się najczęściej w równaniach różniczkowych zwyczaj-nych.

• warunek graniczny — wyznacza początek oraz koniec obszaru całkowania. Tego typuwarunek pojawia się najczęściej w równaniach różniczkowych cząstkowych.

2. Jak są zadawane (warunek na funkcję) — typy WB (moje własne nazewnictwo):

• warunek Dirichleta — warunek zadany na wartość funkcji:

f(XB) = a (1.12a)

• warunek von Neumana — warunek zadany na pochodną funkcji:

df(x)

dx

∣∣∣∣x=XB

= b (1.12b)

6

• warunek Robina lub warunek mieszany — warunek zadany na wartość i pochodnąfunkcji:

df(x)

dx

∣∣∣∣x=XB

+ c ∗ f(XB) = d (1.12c)

Aby rozwiązać równanie różniczkowe należy zadać odpowiednie warunki brzegowe które w spo-sób jednoznaczny wyznaczają rozwiązanie. Niewłaściwe warunki brzegowe mogą powodować żerównanie różniczkowe nie ma rozwiązań lub rozwiązanie jest niejednoznaczne. Z punktu widze-nia metod numerycznych niektóre warunki numeryczne powodują różnego rodzaju „trudności”np. niektóre łatwiej się implementuje, niektóre się szybciej liczą niż inne.

W jaki sposób uwzględnia się warunki brzegowe w FDM? Jednym ze sposobów jest dodanie„ekstra”(dodatkowych) punktów na siatce poza obszarem całkowania — jak na rysunku 1.2.Przedstawiony tam jest graniczny WB gdzie dodano punkty o indeksie „−1” oraz „N ” odpo-wiednio o współrzędnych XB1 oraz XB2 (przypominam o naszej umowie). W tych punktachwartość funkcji zadana jest przez odpowiedni typ WB np. Dirichleta. Zajmijmy się granicz-

Rysunek 1.2: Sposób uwzględnienia WB w metodzie FDM.

nymi WB typu Dirichleta w jej najprostszej postaci f(XB1) = f(XB2) = 0. Wówczas drugapochodna policzona dla punku 0 oraz N − 1 wynosi:

d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=x0

=d2f0dx2

=f−1 − 2f0 + f1

h2=−2f0 + f1

h2(1.13a)

d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=xK

=d2fN−1

dx2=fN−2 − 2fN−1 + fN

h2=fN−2 − 2fN−1

h2, (1.13b)

gdzie wykorzystaliśmy WB Dirichleta f(x−1) = f(XB1) = 0 oraz f(xN) = f(XB2) = 0W podobny sposób uwzględnia się inne typy warunków brzegowych np. dla WB von Neu-

mana pisze się pierwszą pochodną do tyłu dla punku „−1” i w ten sposób można otrzymaćwartość funkcji w punkcie „−1”. Spróbujmy zastosować ten pomysł dla warunku brzegowegovon Neumana z lewej strony przedziały całkowania w najprostszej postaci df(x)

dx

∣∣∣x=XB1

= 0:

df(x)

dx

∣∣∣∣x=XB1

=f0 − f−1

h⇒ f0 − f−1 = 0 ⇒ f−1 = f0. (1.14a)

Licząc drugą pochodną w punkcie „0” otrzymamy:

d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=X0

=d2f0dx2

=f−1 − 2f0 + f1

h2=−f0 + f1

h2. (1.14b)

Podobne rachunki można przeprowadzić dla punktu „N ”. Mamy:

df(x)

dx

∣∣∣∣x=XB2

=fN − fN−1

h⇒ fN − fN−1 = 0 ⇒ fN = fN−1. (1.15a)

d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=XK

=d2fN−1

dx2=fN−2 − 2fN−1 + fN

h2=fN−2 − fN−1

h2. (1.15b)

7

Rozdział 2

Równanie Schroedingera

W świecie mikroskopowym (inaczej mówiąc kwantowym) podstawowym równaniem które opi-suje zachowanie się cząstek jest równanie Schroedingera (RS) (ograniczyliśmy się do przypadkujednowymiarowego oraz sytuacji stacjonarnej czyli sytuacji w której „wszystko cały czas jesttak samo”):

− h̄2

2m

d2f(x)

dx2+ V (x)f(x) = Ef(x) (2.1)

gdzie h̄ — stała Diraca (stała Plancka podzielona przez 2π), m — masa cząstki, V (x) —potencjał w którym porusza się cząstka. Funkcja f(x) jest to tzw. funkcja falowa która określaprawdopodobieństwo znalezienia cząstki w położeniu x (choć w sensie stricto matematycznymjest gęstością prawdopodobieństwa ale „my fizycy” zwyczajowo pomijamy słowo gęstość) a Ejest energią cząstki w stanie opisanym przez f(x). Celem rozwiązania RS jest znalezienie funkcjif(x) oraz energii E. Od strony matematycznej, jest to zagadnienie własne opisane przez liniowerównanie różniczkowe drugiego rzędu. Zagadnienie własne należy do jednego z najtrudniejszychzagadnień w analizie numerycznej.

Tak naprawdę zgodnie z mechaniką kwantowa, RS opisuje możliwe stany kwantowe którecząstka może mieć. Stany te rozróżniamy poprzez tzw. liczbę kwantową — n która w ogólnościmoże być zbiorem liczb zwanych liczbami kwantowymi (np. główna czy magnetyczna liczbakwantowa). Liczby kwantowe mogą być dyskretne (najczęściej) lub ciągłe. Uwzględniając to,RS możemy przepisać w postaci:[

− h̄2

2m

d2

dx2+ V (x)

]fn(x) = Enfn(x) (2.2)

Pierwszy składnik od lewej w nawiasie opisuje energię kinetyczną cząstki i nazywa się opera-torem energii kinetycznej który jak widać jest iloczynem odwrotności masy cząstki i drugiejpochodnej. Składnik obok jest energią potencjalną wyrażoną poprzez operator energii poten-cjalnej — V (x). Suma energii kinetycznej i potencjalnej jest energią całkowitą która opisana jestw mechanice klasycznej przez hamiltonian układu. I to jest właśnie droga w jaki sposób możnaopisać układ mikroskopowy — piszemy klasyczny hamiltonian dla układu a następnie wielkościklasyczne takie jak pęd (p) czy położenie (x) zamieniamy na odpowiednie formy operatoroweotrzymując tzw. operator Hamiltona. Wówczas równanie które opisuje nasz układ w sposóbkwantowo–mechaniczny można zapisać w troszeczkę innej formie równania Schroedingera

H(p, x)fn(x) = Enfn(x). (2.3)

Operator Hamiltona opisujący mikroskopowe zachowanie się układu musi posiadać pewne wła-sności matematyczne — przede wszystkim musi być hermitowski ponieważ tylko wtedy wartośćEn (energia) jest rzeczywista — a tylko rzeczywiste wielkości fizyczne mogą być obserwowaneczyli mierzone.

8

Jak już wcześniej powiedziałem, aby rozwiązać równanie różniczkowe należy zastosowaćodpowiednie warunki brzegowe. RS jest równaniem różniczkowym które dodatkowo opisu-je zjawiska na poziomie kwantowym. W związku z tym funkcja falowa musi spełniać do-datkowe warunki jak ciągłość pierwszej pochodnej czy istnieć możliwość unormowania. Po-nadto w przypadku gdy energia cząstki jest dyskretna funkcja falowa musi być całkowalnaz kwadratem modułu — co oznacza ze funkcja falowa musi znikać w nieskończoności tzn.f(x)→ 0 dla x→ −∞ albo dla x→∞.

2.1 Układ jednostkZ punktu widzenia teorii rozwiązywania RS nie ma znaczenia wybór układu jednostek — możeto być układ SI lub dowolnie inny. Jednak z praktycznego punktu widzenia — układ jednostekw którym będziemy rozwiązywali RS powinien być wygodny — czyli taki w którym wielkościfizyczne którymi mamy do czynienia jak energia czy masa powinny być rzędu jedności. Mato też znaczenie praktyczne gdyż łatwiej pamięta się liczby rzędu jedności niż liczby które sąbardzo małe czy bardzo duże. Z punktu widzenia metod numerycznych, najmniejsze błędy nu-meryczne spowodowane dyskretyzacją liczb rzeczywistych (czyli skończoną precyzją liczb nakomputerze zwanych liczbami zmiennoprzecinkowymi, liczby zmiennoprzecinkowe są kompute-rowym modelem liczb rzeczywistych) są wtedy gdy obliczenia numeryczne wykonywane są naliczbach rzędu jedności.

W fizyce półprzewodników, energie z którymi mamy do czynienia są rzędu elektronowolta— eV, 1[eV] = 1.602× 10−19[J]. Masa cząstek (tzw. masa efektywna) jest rzędu masy elek-tronu swobodnego. Warto też zwrócić uwagę na to że operator drugiej pochodnej ma wymiar[1/(długość*długość)]. Wybierzmy następujący układ jednostek:

• eel = 1.602 176 634× 10−19 [C] — ładunek elementarny elektronu

• c0 = 299 792 458.0 [m/s] — prędkość światła w próżni

• h̄ = 6.582 118 99× 10−16 [eV · s] — stała Diraca

• m0el = 0.510 998 910× 106/(c0 ·c0) = 5.685 629 658× 10−12 [eV/(m/s)2] — masa spoczyn-kowa elektronu

Używając powyższych jednostek, operator energii kinetycznej możemy zapisać w postaci:

− h̄2

2m

d2

dx2= − α

meff

d2

dx2, (2.4)

gdzie:

α =h̄2

2 ∗m0el= 3.809 981 743 480 2× 10−20 [eV ·m2], (2.5a)

meff =m

m0el. (2.5b)

W przypadku gdy krok całkowania h wyrazimy w nanometrach, stała α musi wynosić:

α = 3.809 981 743 480 2× 10−20/(10−9 ∗ 10−9)= 3.809 981 743 480 2× 10−2 [eV · nm · nm].

(2.5c)

Używając wzorów (2.4) oraz (2.5a), równanie Schroedigerra (2.2) możemy zapisać w postaci:[− αmeff

d2

dx2+ V (x)

]fn(x) = Enfn(x) (2.6)

9

Z wyżej napisanych wyrażeń widać, że jeżeli energię będziemy wyrażali w [eV], masę w jednost-kach masy elektronu swobodnego a krok całkowania w [nm] to energia kinetyczna będzie rzędujedności. Przypomnę tylko że energię potencjalną V (x) też należy wyrazić w [eV].

2.2 Dyskretyzacja równania SchroedingeraProces dyskretyzacji oględnie mówiąc, jest to taka zamiana danego równania różniczkowegodo takiej postaci w której da się wykonywać już tylko takie operacje które komputery lubiąnajbardziej — czyli na liczbach (pomijam tutaj tzw. metody symboliczne). Bardziej precyzyj-nie, dyskretyzacja to zastosowanie odpowiednich metod numerycznych dzięki którym stosująckomputery (czyli wykonując bardzo dużo operacji na liczbach) otrzymujemy rozwiązanie. Wnaszym przypadku, do rozwiązania równania Schroedingera zastosujemy metodę różnic skoń-czonych opisaną w poprzednim rozdziale. RS przy zastosowaniu układu jednostek z paragrafu2.1 ma postać (patrz równanie (2.6)):[

− αmeff

d2

dx2+ V (x)

]fn(x) = Enfn(x) (2.7)

Stosując przybliżenie drugiej pochodnej przy pomocy FDM (patrz wzór (1.11) dla punktu ximamy:

− αmeff (xi)

fn(xi−1)− 2fn(xi) + fn(xi+1)h2

+ V (xi)fn(xi) = Enfn(xi), (2.8)

gdzie dodatkowo wprowadziliśmy zależność masy efektywnej od położenia. Wprowadzając do-datkowo oznaczenie:

α̃i =α

meff (xi) · h2(2.9)

oraz pomijając indeks n (liczbę kwantową) równanie (2.8) możemy przepisać w zdyskretyzowa-nej formie:

−α̃ifi + (2 · α̃i + Vi) fi − α̃ifi+1 = Efi. (2.10)

Tego typu równań możemy napisać (dla każdego punktu i do N — umowa !!!). To na co wartozwrócić uwagę to dwa punkty brzegowe początkowy „0” oraz końcowy „N − 1", gdzie trzebauwzględnić warunki brzegowe – omówione w paragrafie 1.1. Naszym celem jest znalezieniestanów dyskretnych cząstki, więc musimy nałożyć warunki typu Dirichelta — wartość funkcjiwynosi zero w punktach „−1” oraz „N ” (patrz równania (1.13a) oraz (1.13b)). Uwzględniającto, postać równania (2.8) dla pierwszego(początkowego) oraz ostatniego(końcowego) punktusiatki przyjmuje odpowiednio postać:

(2 · α̃0 + V0) f0 − α̃0f1 = Ef0 (2.11a)−α̃N−1fN−1 + (2 · α̃N−1 + VN−1) fN−1 = EfN−1. (2.11b)

Wprowadzając oznaczenia dla elementu diagonalnego (di) oraz pozadiagonalnego (ai):

di = 2 · α̃i + Vi (2.12a)ai = −α̃i (2.12b)

10

zdyskretyzowane równanie Schroedingera (równanie (2.10) wraz z równaniami (2.11a) oraz(2.11b) określającymi warunki brzegowe) możemy przepisać w postaci macierzowej:

d0 a0 0 0 . . . 0a1 d1 a1 0 . . . 00 a2 d2 a2 . . . 00 0 a3 d3 . . . 0

...0 0 0 0 . . . aN−2 dN−2 aN−20 0 0 0 . . . 0 aN−1 dN−1

f0f1f2f3...

fN−2fN−1

= E ·

f0f1f2f3...

fN−2fN−1

(2.13)

W wyniku dyskretyzacji równanie Schroedingera sprowadziliśmy do równania macierzowego nawartości i wektory własne — równanie (2.13). Zagadnienie to jest dobrze opracowane od stronynumerycznej — jest dostępna jedna z najlepszych bibliotek procedur numerycznych do algebrylinowej LAPACK. W trakcie kursu nie będę omawiał metod związanych z macierzami gęstymi— odsyłając studenta do ww biblioteki.

Zdarza się czasami, że symetria równania które otrzymaliśmy w wyniku dyskretyzacji jestinna niż symetria równania wyjściowego. Tak jest w tym przypadku jeśli masa efektywna będziezależała od położenia to w ogólności ai 6= ai+1. Jak wcześniej mówiłem hamiltonian układupowinien być hermitowski, natomiast zdyskretyzowane RS zaprezentowane powyżej nie posiadatej cechy — tzn. macierz będąca odpowiednikiem operatora Hamiltona nie jest symetryczna(w przypadku liczb tylko rzeczywistych odpowiednikiem macierzy hermitowskiej jest macierzsymetryczna). Taka zmiana symetrii może prowadzić do powstawanie artefaktów.

2.3 Projekt 1 — studnia kwantowaNa rysunku 2.1 przedstawiony jest schemat studni kwantowej. Studnia kwantowa jest to układskładający się z warstwy studni o grubości rzędu kilku–kilkunastu nanometrów otoczonej in-nym materiałem. Program powinien mieć możliwość ustalenia wszystkich parametrów studnikwantowej pokazanej na rysunku: V0 — wartość potencjału w studni, VB — wartość potencjałuw barierze, sL — położenie lewej krawędzi studni, sK — położenie prawej krawędzi studni.Ponadto program powinien mieć możliwość ustawiania masy efektywnej w barierze (Mat.B— oznacza materiał bariery) oraz w studni (Mat.St — materiał studni). Poza tymi (właśniewymienionymi) parametrami opisującymi rozpatrywaną strukturę — które dalej będę nazywałparametrami fizycznymi. W ogólności przez parametry fizyczne będę określam geometrycz-ne cechy rozpatrywanego układu oraz własności fizyczne materiałów które wchodzą w składstruktury. Drugą grupą są parametry które w ogólności zależą od sposobu dyskretyzacji oraz

Rysunek 2.1: Schemat parametrów dla studni kwantowej.

ewentualnie użytych metod numerycznych. Parametry te w ogólności są związane z nume-rycznym sposobem rozwiązywania RS będę dalej nazywał parametrami numerycznymi. Do tej

11

grupy należą początek x0 oraz koniec xK obszaru całkowania oraz N — ilość punktów na siatceoraz takie parametry które trzeba przekazać do biblioteki rozwiązującej zagadnienie własne np.dokładność znalezienia wartości czy wektorów własnych.

2.3.1 Cel — program obliczający poziomy elektronowe

Napisz program który będzie w stanie przyjmować wyżej zdefiniowane parametry fizyczne orazparametry numeryczne. Program powinien umożliwiać wprowadzania danych w formie prostegopliku tekstowego ww parametrów. Program powinien wypisywać wszystkie stany związane wstudni oraz w zależności od chęci/możliwości studenta graficznie przedstawić funkcję falową.Minimalnie, należy tak zapisać funkcję falową aby była możliwość graficznej prezentacji wynikuprzy pomocy programu gnuplot — należy dostarczyć także odpowiednie skrypty.

2.3.2 Cel — porównanie wyników numerycznych z analitycznymi

Sprawdź poprawność działania napisanego przez siebie programu, porównując wyniki nume-ryczne z wynikami analitycznymi dla studni o nieskończonej wartości bariery — należy porów-nać energię a także funkcje falowe (kilka najniższych). W tym celu ustaw wartość bariery nakilka-kilkanaście [eV]. Ustalić optymalny krok całkowania. Zadanie należy sporządzić w formiesprawozdania mieszczącego się maksymalnie na JEDNEJ STRONIE A4.

2.4 Masa efektywna zależna od położeniaW paragrafie 2.2 zwróciłem uwagę na fakt, że w przypadku gdy masa efektywna zależy odpołożenia, operator energii kinetycznej jest niehermitowski. Ogólna postać operatora energiikinetycznej dla masy która zależy od położenia oraz która jest hermitowska ma postać (O. vonRoos 1983):

T =h̄2

4

(mα

d

dxmβ

d

dxmγ +mγ

d

dxmβ

d

dxmα), (2.14a)

gdzie α(alfa), β(beta) oraz γ(gamma) stałe liczby spełniające regułę:

α + β + γ = −1. (2.14b)

Niestety postać operatora energii kinetycznej nie wynika jednoznacznie z teorii masy efektyw-nej czy też metody kp. Niektórzy fizycy uważają wręcz, że przybliżenia masy efektywnej niemożna używać w przypadku gdy masa efektywna zależy od położenia ale są też głosy że można.Niemniej jednak prostota teorii oraz fakt że przewidywania oparte na teorii masy efektywnejdobrze zgadzają się z danymi eksperymentalnymi przemawiają i powodują że teoria ta jest sze-roko stosowana. Opierając się na różnych dodatkowych przesłankach, najczęstsze formy formyoperatora energii kinetycznej pojawiające się w literaturze to:

• D.J. BenDaniel and C.B. Duke (1966) – w skrócie BenDaniel&Duke:

T =h̄2

2

(d

dxm−1

d

dx

), gdzie: α = γ = 0, β = −1 (2.15a)

• T. Gora and F. Williams (1969), także Bastard (1975):

T =h̄2

4

(m−1

d2

dx2+

d2

dx2m−1

), gdzie: α = −1 β = γ = 0 (2.15b)

12

• Q.-G. Zhu and H. Kroemer (1983):

T =h̄2

2

(m−1/2

d2

dx2m−1/2

), gdzie: α = γ = −1

2, β = 0 (2.15c)

• T.L. Li and K.J. Kuhn (1993):

T =h̄2

4

(d

dxm−1/2

d

dxm−1/2 +m−1/2

d

dxm−1/2

d

dx

), gdzie: β = γ = −1

2, α = 0 (2.15d)

Nie wszystkie formy operatora energii kinetycznej są tak samo „dobre”. Tylko jeżeli spełnionyjest warunek:

α = γ (2.16)

to wówczas spełnione są warunki ciągłości dla funkcji falowej f(x) na granicy pomiędzy mate-riałami o różnej masie efektywnej:

• warunek ciągłości funkcji:mαf(x) (2.17a)

• warunek na pochodną funkcji:

mα+βdf(x)

dx(2.17b)

Spełnianie warunków ciągłości — równania (2.17a) oraz (2.17b) — dla funkcji falowej oznaczaże zachowana jest gęstość prądu prawdopodobieństwa. Dalej, w kolejnych punktach podamsposób dyskretyzacji niektórych z wcześniej zaprezentowanych operatorów.

2.4.1 BenDaniel–Duke — operator energii kinetycznej

W celu zdyskretyzowania operatora energii kinetycznej, zastosuję technikę w której opróczpunktów całkowitych (oznaczanych zwyczajowo przez i) użyję dodatkowo punktów połówko-wych — i+ 1

2— patrz rysunek 2.2. Skorzystajmy ze wzoru na pierwszą pochodną dla punktu

Rysunek 2.2: Punkty o współrzędnych całkowitych oraz połówkowych.

i — różnica symetryczna używając sąsiednich punktów połówkowych, mamy:

df(x)

dx

∣∣∣∣x=xi

=dfidx

=fi+1/2 − fi−1/2

dx. (2.18)

Pisząc drugą pochodną dla punktu i mamy:1

d

dxm−1i

dfidx

=d

dx

(1

mi

fi+1/2 − fi−1/2h

)=

1

h

(d(fi+1/2/mi)

dx−

d(fi−1/2/mi)

dx

)(2.19a)

1Zapis m−1i oznacza (m−1)i — czyli wartość m−1 w punkcie i.

13

Ponownie korzystając z symetrycznej pierwszej pochodnej i pamiętając że pochodna liczymy„dodając” oraz „odejmując” 1

2od indeksu mamy:

=1

h

(fi+1/mi+1/2 − fi/mi−1/2

h−fi/mi+1/2 − fi−1/mi−1/2

dx

)=

1

h2

[fi−1mi−1/2

−(

1

mi−1/2+

1

mi+1/2

)fi +

fi+1mi+1/2

] (2.19b)Problem który się pojawił — to jak wyliczyć masę w punktach połówkowych (a chcemy się ogra-niczyć tylko do szukania czy też zdawania wartości na punktach całkowitych aby nie utrudniaćsobie życia)? Odpowiedź — można uśredniać:(

mi+1/2)θ

=1

2

[(mi)

θ + (mi+1)θ]

(2.20a)

gdzie θ(theta) parametr który determinuje sposób uśredniania. Mamy:

θ = 1 — usrednianie arytmetyczne, (2.20b)

θ = −1 — usrednianie harmoniczne. (2.20c)Przy dyskretyzacji równania Schroedingera zwyczajowo stosuje się uśrednianie harmonicznenatomiast uśrednianie arytmetyczne niektórzy stosują do rozwiązania równania Poissona. Re-asumując, wstawiając do równania (2.19) uśrednianie harmoniczne (wzory (2.20a) oraz (2.20c))operator BenDaniela&Duka dla energii kinetycznej będzie wyglądał:

d

dxm−1i

dfidx

=1

h2

[+

1

2

(1

mi−1+

1

mi

)fi−1

− 12

(1

mi−1+

2

mi+

1

mi+1

)fi

+1

2

(1

mi+

1

mi+1

)fi+1

] (2.21)

Po pierwsze widać, że w przypadku gdy masa efektywna nie zależy od położenia to otrzymujemywcześniej zdysktryzowaną formę dla drugiej pochodnej — symetryczna rzędu drugiego. Podrugie, definiując

ai = −α

2h2

(1

mi+

1

mi+1

)— element naddiagonalny, (2.22a)

bi = −α

2h2

(1

mi−1+

1

mi

)— element poddiagonalny, (2.22b)

di =α

2h2

(1

mi−1+

2

mi+

1

mi+1

)— element diagonalny, (2.22c)

równanie (2.2) Schroedingera w którym użyto operatora BenDaniela&Duka — równanie (2.21)można zapisać w postaci macierzowej:

d0 a0 0 0 . . . 0b1 d1 a1 0 . . . 00 b2 d2 a2 . . . 00 0 b3 d3 . . . 0

...0 0 0 0 . . . bN−2 dN−2 aN−20 0 0 0 . . . 0 bN−1 dN−1

f0f1f2f3...

fN−2fN−1

= E ·

f0f1f2f3...

fN−2fN−1

. (2.23)

14

Zatrzymajmy się na chwilę. Proszę spojrzeć na postać powyższego równania macierzowego.Czy coś nie niepokojącego da się zauważyć? Proszę się zastanowić. Wrócimy do tego za chwilę.Najpierw jednak popatrzmy na symetrię —- zauważmy że:

bi+1 = ai (2.24)

czyli macierz, nawet w przypadku gdy masa efektywna zależy od położenia jest symetryczna.Tak jak powinno być — bo przecież operator energii kinetycznej napisaliśmy i zdyskretyzowa-liśmy tak aby był hermitowski.

Wróćmy do uwagi o której mówiłem kilka zdań wcześniej. Problem który miałem na my-śli tyczy się elementu diagonalnego d0 oraz dN−1 — wówczas odwołujemy się do parametru(tu konkretnie do masy efektywnej) dla punktów siatki „−1” oraz „N ” — odpowiednio. Wy-prowadzając wzory, trzeba założyć że wszystkie parametry potrzebne do wyznaczania danegooperatora (w rozpatrywanym tutaj przypadku tym parametrem jest masa efektywna a danymrównaniem jest operator energii kinetycznej, ale w ogólności tymi parametrami mogą być do-wolne wielkości fizyczne które zależą od położenia np. przenikalność dielektryczna materiału wrównaniu Poissona) są określone także poza obszarem całkowania. Jak to się robi? Popatrzmyna rysunek 2.3 który przedstawia fragment obszaru całkowania z lewej strony: Wprowadza-

Rysunek 2.3: Sposób określenia określania wielkości fizycznych poza obszarem całkowania.

my dodatkowe punkty poza obszarem całkowania (z lewej strony są to punkty o indeksach−1,−2,−3, . . ., natomiast z prawej strony będą to punkty o indeksach N,N + 1, N + 2, . . .) naktórych wartość danego parametru (na rysunku oznaczonego przez p0, w przypadku operatoraenergii kinetycznej tym parametrem jest oczywiście masa efektywna) jest taka sama jak wartośćtego parametru zdefiniowanego na ostatnim „normalnym” punkcie siatki czyli albo na punkcie„0” albo na punkcie „N − 1”. Ilość tych dodatkowych punktów jest dowolna — czyli tyle ilenam potrzeba aby dany operator był poprawnie zdefiniowany. Jeszcze mała uwaga, ten spo-sób postępowania można zastosować tylko do warunków brzegowych omówionych w paragrafie1.1. I jeszcze druga uwaga tycząca się tym razem wprowadzania warunków brzegowych. Otóżkolejność jest taka, najpierw dyskretyzuje się operator używając ewentualnie do tego tych do-datkowych punktów o których mówiłem powyżej a dopiero w drugiej kolejności wykorzystujemywarunki brzegowe aby wyeliminować wartości funkcji poza obszarem całkowania.

2.4.2 Cel — operator BenDaniela–Duka

Napisz program obliczający poziomy oraz funkcje falowe wykorzystując do tego celu operatorBenDaniel–Duke’a na energię kinetyczną. Program ten powinien jak najbardziej integrować sięz poprzednio napisanym umożliwiając wybór jaki jest typ operatora energii kinetycznej.

2.4.3 Dyskretyzacja operatora Bastarda

Operator energii kinetycznej Bastarda (lub T. Gora and F. Williams, wzór (2.15b)) możemyzapisać w postaci:

TBa =h̄2

4

(m−1

d2

dx2+

d2

dx2m−1

)+h̄2

2· 1

2

(m−1

d2

dx2+

d2

dx2m−1

)=h̄2

2· TBam (2.25)

15

gdzie, operator TBam jest jakby „esencją“ operatora energii kinetycznej — uwzględnia wpływmasy efektywnej i jej zależności od położenia, ma postać:

TBam =1

2

(m−1

d2

dx2+

d2

dx2m−1

). (2.26)

Wykorzystując wzór na symetryczną drugą pochodną rzędu O(h2) — wzór (1.11), działanieoperatora TBam na funkcję falową fi wynosi:

TBam fi =1

2

(1

mi

d2fidx2

+d2(fi/mi)

dx2

)=

1

2

(1

mi

fi−1 − 2fi + fi+1h2

+

fi−1mi−1

− 2 fimi

+ fi+1mi+1

h2

)

=1

h2

[1

2

(1

mi−1+

1

mi

)fi−1 −

2

mifi +

1

2

(1

mi+

1

mi+1

)fi+1

].

(2.27)

Porównując dyskretyzację tego operatora z dyskretyzacją operatora BenDaniel–Duka — równa-nie (2.21) dla uśredniania harmonicznego, widać że różnica jest tylko w elemencie diagonalnym(czynnikiem stojącym przed funkcją falową fi) — natomiast elementy pozadiagonalne w obudyskretyzacjach są takie same.

2.4.4 Dyskretyzacja operatora BenDaniel–Duke

Operator energii kinetycznej BenDaniel–Duke — równanie (2.15a) można zapisać w postaci(podobnie jak to zrobiliśmy z operatorem Bastarda):

TBD =h̄2

2

(d

dxm−1i

dfidx

)=h̄2

2TBDm , (2.28a)

TBDm =d

dxm−1i

d

dx. (2.28b)

Używając techniki „punktów połówkowych”, operator ten zdyskredytowaliśmy wzór (2.19b) dopostaci:

TBDm fi =1

h2

[fi−1mi−1/2

−(

1

mi−1/2+

1

mi+1/2

)fi +

fi+1mi+1/2

](2.29)

Używając uśrednienia harmonicznych (wzory (2.20a) oraz (2.20c)) aby wyeliminować koniecz-ność obliczania masy efektywnej w punktach połówkowych otrzymujemy znaną już postać ope-rator BenDaniel–Duke:

TBDharmm fi =1

h2

[+

1

2

(1

mi−1+

1

mi

)fi−1

− 12

(1

mi−1+

2

mi+

1

mi+1

)fi

+1

2

(1

mi+

1

mi+1

)fi+1

],

(2.30)

natomiast używając uśrednienia arytmetycznego (wzory (2.20a) oraz (2.20)) otrzymamy nastę-pującą postać operatora:

TBDarytm fi =1

h2

[2

mi−1 +mifi−1 −

(2

mi−1 +mi+

2

mi +mi+1

)fi +

2

mi +mi+1fi+1

](2.31)

16

2.4.5 Dyskretyzacja operatora Zhu–Kroemer

Operator energii kinetycznej Zhu–Kroemer — równanie (2.15c) można zapisać:

TZK =h̄2

2

(m−1/2

d2

dx2m−1/2

)=h̄2

2TZKm (2.32a)

TZKm = m−1/2 d

2

dx2m−1/2 (2.32b)

Wykorzystując wzór na symetryczną drugą pochodną rzędu O(h2) — wzór (1.11), działanieoperatora TZKm na funkcję falową fi wynosi:

TZKm fi =1√mi

d2

dx2

(fi√mi

)=

1√mi· 1h2

(fi−1√mi−1

− 2 fi√mi

+fi+1√mi+1

)(2.33)

Reasumując, operator Zhu–Kroemer ma postać:

TZKm fi =1

h2

(1

√mi−1mi

fi−1 −2

mifi +

1√mimi+1

fi+1

)(2.34)

2.4.6 Cel — porównanie operatorów

Pokaż różnicę (w formie pisemnej na jednej stronie A4) pomiędzy dyskretyzacjami: naiwną (tota pierwsza którą zrobiliśmy), BenDaniel–Duka (uśrednienie harmoniczne) oraz Bastard poprzezporównanie przede wszystkim funkcji falowych dla masy efektywnej która zależy od położenia.W tym celu może trzeba będzie sztucznie zwiększyć różnicę pomiędzy masami efektywnymi wbarierze i studni oraz zmniejszyć krok całkowania poniżej optymalnego aby różnice stały siębardziej wyraziste.

2.4.7 Cel* — operator Li–Kuhn

Przedstaw w formie pisemnej (jedna strona A4) wyprowadzenie na operator energii kinetycznejT.L. Li and K.J. Kuhn. Porównaj energie oraz funkcje falowe otrzymane pomiędzy tą dyskrety-zacją a dyskretyzacją operatora BenDaniel–Duke (uśrednianie harmoniczne oraz arytmetyczne)dla masy efektywnej zależnej od położenia.

2.5 Dokładność numerycznaBardzo często wykonując obliczenia numeryczne jest problem jak określić dokładność otrzyma-nych wyników. Tutaj, przez dokładność (można ją nazwać dokładnością numeryczną) wynikówbędę rozumiał dokładność obliczeń numerycznych które zależą od parametrów numerycznych(np. takich jak ilość punktów siatki) a nie dokładność danego modelu fizycznego w opisywaniu„rzeczywistości”. W większości sytuacji nie mamy dostępu do dokładnych wyników analitycz-nych (bo jak by były to po co używać metod numerycznych :)) aby móc wyznaczyć dokładnośćnumeryczną — zdefiniowaną jako różnicę pomiędzy wynikiem analitycznym a numerycznym.W takich sytuacjach stosujemy regułę którą nazwę „2 razy więcej” lub po prostu regułę „2×”(czytaj dwa razy). Ano mówi ona o tym, że jeżeli dany parametr numeryczny zwiększę dwa razy(przez zwiększenie rozumiem taką zmianę parametru która powoduje zwiększenie dokładnościobliczeń, oznaczać to może że czasami rzeczywiście zwiększamy dany parametr np. zwiększamyilość punktów w siatce, ale czasami może oznaczać że parametr zmniejszamy np. krok całkowa-nia) to różnica pomiędzy wyjściowymi obliczeniami a obliczeniami dla parametru „2×” różnią

17

się mniej niż zakładana dokładność pomiaru czy dokładność modelu to uznaje się że obliczeniawyjściowe są wykonane z odpowiednią dokładnością numeryczną. W praktyce mamy do czy-nienia nie z jednym a wieloma parametrami numerycznym, które oczywiście w różny sposóbwpływają na dokładność numeryczną. Wówczas regułę „2×” należy rozumieć tak, że na począt-ku mamy ustalony jakiś zbiór parametrów numerycznych. Zwiększamy zgodnie z regułą „2×”po kolei dany parametr numeryczny. Jeśli jego wpływ jest mały (tzn. mniejszy niż zakładanadokładność) przechodzimy do kolejnego parametru. Ale jeśli dokładność jest za mała, to usta-lamy nową wartość parametru (lub modyfikujemy odpowiednio inne parametry numerycznenp. tak aby dało się policzyć na komputerze przy danej ilości pamięci RAM) a cała procedurępowtarzamy od początku. W fizyce wielkości fizyczne można podzielić na dwie grupy:

• wielkości ekstensywne — wielkości które zależą od rozmiarów układu, które są proporcjo-nalna do jego rozmiarów np. masa, pęd

• wielkości intensywne — wielkości które nie zależą od rozmiarów geometrycznych układu,od ilości cząstek czy masy np. gęstość, prędkość

Podobny podział możemy wprowadzić jeśli chodzi o parametry numeryczne:

• ekstensywne — wielkości które są zdeterminowane przez układ fizyczny który chcemymodelować (np. jego wymiary geometryczne) i mają bezpośredni wpływ na czas obliczeńoraz ilość pamięci potrzebnej do obliczeń. Przykład: szerokość przedziału całkowania

• intensywne — wielkości które nie są bezpośrednio związane z modelowanym układemfizycznym, wielkości które mają decydujący wpływ na dokładność obliczeń numerycznych.Przykład: krok całkowania

Jest to mój własny podział parametrów numerycznych. Chcę abyście poczuli ich znaczenie iwagę, abyście prezentując wyniki obliczeń numerycznych umieli tak dobrać wartości parametrównumerycznych stosując regułę „2×” aby wyniki obliczeń były rzetelne. Nie muszę chyba mówić,że jedne parametry numeryczne bardziej wpływają na dokładność obliczeń numerycznych np.krok całkowania niż inne np. wielkość obszaru całkowania.

2.5.1 Cel — parametry numeryczne

W formie pisemnej (nie więcej niż jedna strona A4) określ parametry numeryczne dla skończonejstudni potencjału o różnych masach efektywnych w barierze oraz studni. Spróbuj podać jakieśogólne reguły które pozwolą bez wykonywania żmudnej procedury dla reguły „2×” wykonywaćrzetelnie obliczenia numeryczne w przyszłości. Pamiętaj też o tym, że stwierdzenie „mogę terazdać parametr nawet i 10× większy a i tak się będzie szybko liczyło” nie jest dobrym argumentem,ponieważ teraz wykonujemy obliczenia dla prostych układów stosując bardzo prosty model. Byćmoże później zaczniemy robić bardziej skomplikowane modele i szybko się okaże że programdziała „powoli”. Zapamiętaj te reguły oraz stosuj je w przyszłości w obliczeniach.

2.6 Studnia kwantowaPokazałem jak poprawnie liczyć poziomy dla elektronów lub dziur w studni kwantowej. Pozo-staje nam jeszcze jeden drobny (ale ważny) szczegół jak policzyć energię przejścia pomiędzydziurą a elektronem w studni kwantowej. Na rysunku 2.4 przedstawiono schemat typowej stud-ni kwantowej typu pierwszego. Studnia kwantowa typu pierwszego to taka studnia w którejstany związane dla elektronów oraz dla dziur są w tym samym miejscu geometrycznym czyliwystępują dla tego samego materiału studni. Na razie dla uproszczenia sytuacji, zakładamy że

18

Rysunek 2.4: Model geometryczny studni kwantowej.

po obu stronach studni występuje ten sam materiał. Poza używanymi wcześniej symbolami (naoznaczenie geometrycznego położenia studni oraz obszaru całkowania) wprowadzamy oznacze-nie położenia pasma przewodnictwa w studni i barierze — odpowiednio VCS oraz VCB, podobniedla pasma walencyjnego — VV S oraz VV B. Te położenia pasm przewodnictwa i walencyjnegookreślają oczywiście odpowiednio energię potencjalną dla elektronów oraz dziur i wynikają oneze struktury pasmowej — dokładniej z położenia pasm przewodnictwa i walencyjnego w punk-cie Γ(gamma) strefy Brillouina dla bulkowego (trójwymiarowego, litego) kryształu. Najczęściej,licząc strukturę pasmową dla kryształów otrzymujemy względne położenia pasm. Studnia kwan-towa jest heterostrukturą składającą się z dwu lub więcej materiałów, więc względne położeniepasm w danym materiale jest tylko częścią informacji jakie potrzebujemy aby wyznaczyć kształtpasm w studni. Aby móc jednoznacznie wyznaczyć kształt pasm w studni kwantowej potrze-bujemy dodatkowo np. bezwzględnego położenia pasma walencyjnego (oznaczmy tą wielkośćjako BO — band offset — przesunięcie pasma) w danym materiale względem np. próżni. Wzwiązku z tym możemy napisać:

VV B = BO(Mat.B), (2.35a)

VV S = BO(Mat.St) (2.35b)

oraz ponieważ odległość pomiędzy pasmem przewodnictwa i walencyjnym jest z definicji przerwąenergetyczną Eg to mamy:

VCB = BO(Mat.B) + Eg(Mat.B) (2.35c)

VCS = BO(Mat.St) + Eg(Mat.St) (2.35d)

Jeśli teraz umówimy się, ze przez BO(x) oznaczymy przesunięcie pasma dla materiału który jestw położeniu x, podobnie zrobimy dla Eg, wówczas można zapisać położenie pasma walencyjnegoVV oraz pasma przewodnictwa VC jako funkcję położenia x:

VV (x) = BO(x) + Przes, (2.36a)

VC(x) = BO(x) + Eg(x) + Przes, (2.36b)

gdzie wprowadziliśmy dodatkowy, arbitralny parametr Przes w taki sposób aby zielona liniazaznaczona na rysunku 2.4 miało energię potencjalną równą zero.

Pasmo walencyjne jest to jak wszyscy wiedzą pasmo gdzie są dziury — i jak wszyscy pewniewiedzą masa efektywna dziur jest ujemna. Hamiltonian dla dziur wynosi:

H̃V = T̃V (x) + VV (x), (2.37a)

gdzie T̃V (x) oznacza operator energii kinetycznej dla dziur, w którym masa efektywna jestujemna. Hamiltonian dla elektronów ma postać:

HC = TC(x) + VC(x). (2.37b)

19

Chciałbym tutaj zaznaczyć, że hamiltoniany określone wzorami (2.37a) oraz (2.37b) są zde-finiowane dla jednej wspólnej osi energii — osi energii która jest skierowana do góry jak narysunku 2.4 (ta oś energii nazywa się też czasami osią energii dla elektronów).

Jak policzyć energię przejścia pomiędzy dziurą a elektronem (zwaną też energią rekombina-cji)? Należy policzyć energię elektronów rozwiązując zagadnienie własne:

HV fC = ECfC (2.38a)

gdzie fC oraz EC odpowiednio funkcja i energia własna elektronu. Ponieważ elektrony zajmująnajniższe poziomy, więc energią elektronu są te które są najmniejszymi wartościami własnymihamiltonianu HC równanie (2.37b). Dalej musimy policzyć energię dziur, rozwiązując zagad-nienie własne postaci:

H̃V fV = ẼV fV , (2.38b)

gdzie H̃V oraz ẼV odpowiednio funkcja i energia własna dziury. W przeciwieństwie do elek-tronów, dziury zajmują najwyższe poziomy energetyczne, więc energią dziury są te które sąnajwiększymi wartościami własnymi hamiltonianu H̃V równanie (2.37a). Wróćmy do naszegopytania — co to jest energia przejścia? Ano jest to różnica energii elektronu i dziury (zrobiliśmytutaj duże uproszczenie bo pominęliśmy tzw. efekty wielociałowe), czyli:

ETRAN = EC − ẼV . (2.39)

Problem z równaniem (2.39) jest taki, że raz musimy rozwiązać zagadnienie własne w któ-rym poszukujemy najmniejszych wartości własnych (przypadek elektronów) a drugim razemposzukujemy największych wartości własnych (przypadek dziur). Ponadto, pamiętajcie też żemasy efektywne dla elektronów i dziur mają różne znaki. Jest to trochę niewygodne. Chcieli-byśmy mieć dwie takie same sytuacje (albo przynajmniej jak najbardziej podobne) — czyli zakażdym razem liczyć np. najmniejsze wartości własne. Jak to zrobić, jeśli zagadnienie własnedla dziur pomnożymy obustronnie przez −1 to wówczas największa wartość własna stanie sięnajmniejszą:

−H̃V fV = −ẼV fV ⇒ HV fV = EV fV (2.40a)

gdzie oczywiste jest że zachodzą następujące relacje:

−H̃V = HV (2.40b)

−ẼV = EV . (2.40c)

Jak dokładnie wygląda teraz Hamiltonian HV ? Biorąc definicję Hamiltonianu równanie (2.37a)oraz relacje (2.40b) mamy:

HV = −(T̃V (x) + VV (x)

)= TV (x)− VV (x), (2.41a)

gdzie znowu, mamy odpowiednią relacje dla energii kinetycznej:

TV (x) = −T̃V (x) (2.41b)

Relacja (2.41b) dla operatora energii kinetycznej oznacza że TV jest operatorem energii ki-netycznej w którym masa efektywna dziury jest dodatnia (ten minus stojący przed T̃V (x)wciągamy do masy efektywnej a minus razy minus daje plus więc masa efektywna jest dodat-nia). Widzimy teraz, ze mamy jeszcze większe podobieństwo pomiędzy liczeniem stanów dladziur i elektronów — przy hamiltonianach HC (równanie (2.37b) oraz HV (równanie 2.41a)masy efektywne nośników są dodatnie oraz liczymy najmniejsze wartości własne. Ponadto wi-dzimy, że dla dziur dodajemy potencjał −VV (x)(uwaga na minus) — który (ten z minusem)

20

dla studni zaprezentowanej na rysunku 2.4 jest też wiążący (podobnie jak potencjał VC(x)).Tak naprawdę, to co zrobiliśmy z hamiltonianami HC i HV to to, że wprowadziliśmy dwie osieenergii. Pierwsza oś energii — oś energii dla elektronów — jest to oś energii skierowana do góry(jak na rysunku 2.4) gdzie energie cząstek rosną ku górze tak jak jest w przypadku elektronów.Druga oś energii — oś energii dla dziur — jest to oś energii która skierowana jest ku dołowigdzie energie cząstek rosną ku dołowi jak jest w przypadku dziur. Wykorzystując relację (2.40c)energię przejścia można zapisać w formie:

ETRAN = EC + EV . (2.42)

Popatrzmy jeszcze na parametr Przes, który powoduje przesunięcie energii własnej, bo jeślido równania Hf = Ef obustronnie dodamy wielkość Przes · f otrzymamy:

(H + Przes)f = (E + Przes)f ⇒ H̃f = Ẽf (2.43)

co oznacza że jeżeli przesuniemy hamiltonian H o energię Przes wówczas energia własna ha-miltonianu przesuniętego H̃ wynosząca Ẽ też się przesunie o Przes.

Wróćmy do wzorów na położenie pasma przewodnictwa i walencyjnego w których występujeowo Przes. Jak już przed chwilą powiedziałem (a nawet udowodniłem), przesunięcie hamilto-nianu powoduje takie samo przesuniecie energii własnej, więc jeśli przesuniemy położenie pasmto:

EC =⇒ EC + Przes (2.44a)

ẼV =⇒ ẼV + Przes (2.44b)

czyli pamiętając, że ẼV = −EV (relacja (2.40c), mamy:

EV =⇒ EV − Przes. (2.44c)

Korzystając ze wzoru (2.42) na energię przejścia, po przesunięciu hamiltonianu HC oraz HVenergia przejścia będzie wynosiła:

ETRAN = EC + EV =⇒ EC + Przes+ EV − Przes = EC + EV (2.44d)

czyli się nie zmieni. Tak powinno być, bo przecież energia przejścia powinna zależeć tylko odwzględnego położenia pasm walencyjnego i przewodnictwa a nie od bezwzględnego położeniapasma np. walencyjnego. Wniosek z tego jest taki, że parametr Przes nie jest istotny. Tow takim razie po co tyle o nim mówię? Jeśli parametr jest nieistotny, to mogę tak dobraćjego wartość aby ułatwić sobie życie. Jednym z ciekawszych wyborów parametru Przes jesttaki, aby położenie pasma walencyjnego było poniżej zera a położenie pasma przewodnictwapowyżej zera. Wówczas łatwo rozróżniać elektrony (będą miały energię dodatnią) oraz dziury(będą miały energię ujemną) w obliczeniach.

Wróćmy jeszcze do tzw. parametru VBO (valence band offset – przesunięcie pasma walen-cyjnego). Można wprowadzić tzw. VBO procentowy (lub względny) V BO(%) zdefiniowany jestjako:

V BO(%) =BO(Mat.St)−BO(Mat.B)Eg(Mat.B)− Eg(Mat.St)

· 100%. (2.45a)

Znając V BO(%) możemy policzyć sobie nieciągłość pasma walencyjnego lub tzw. VBO bez-względne — V BO(eV ):

V BO(eV ) =V BO(%)

100[Eg(Mat.B)− Eg(Mat.St)] . (2.45b)

21

Dla pasma przewodnictwa mamy CBO (conduction band offset – przesunięcie pasma przewod-nictwa) zdefiniowane jako względny CBO(%):

CBO(%) = 100%− V BO(%), (2.45c)

lub bezwględny CBO(eV ):

CBO(eV ) =CBO(%)

100· [Eg(Mat.B)− Eg(Mat.St)] . (2.45d)

2.6.1 Cel — studnia kwantowa

Napisz program który będzie liczył energię przejść w studni kwantowej. Program powinienmieć możliwość wczytywania danych z pliku, w szczególności umożliwiać zadawanie VBO lubBO (zadawanie BO jest bardziej ogólne) oraz wyrysowywanie kształtu studni z narysowanymifunkcjami falowymi.

22

Rozdział 3

Równanie Poissona

3.1 Elementy rachunku wektorowegoZanim przejdziemy do zasadniczych rozważań tego rozdziału, chciałbym poświęcić trochę uwagioperatorowi nabla — ∇. Generalnie rzecz biorąc jest to taki specjalny „wektor”, który wewspółrzędnych kartezjańskich zdefiniowany jest jako:

∇ =[∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

]= i

∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z(3.1)

o współrzędnych określonych przez pochodne cząstkowe odpowiednio po x, y oraz z. Operatornabla jest wygodnym mnemotechnicznym sposobem zapamiętania różnych operatorów różnicz-kowych występujących w teorii pola.

Dywergencja pola wektorowego — jest to operacja która w działaniu na pole wektoroweF(x, y, z) = [Fx(x, y, z), Fy(x, y, z), Fz(x, y, z)] daje pole skalarne. Formalnie dywergencję możnazapisać jako iloczyn skalarny operatora nabla z wektorem pola — ale proszę pamiętać że ważnajest tutaj kolejność1 — czyli wykorzystując definicję operatora nabla równanie (3.1) mamy:

divF = ∇ · F =[∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

]· [Fx, Fy, Fz]

=∂Fx(x, y, z)

∂x+∂Fy(x, y, z)

∂y+∂Fz(x, y, z)

∂z.

(3.2)

Rotacja (albo wirowość) pola wektorowego — jest to operacja która w działaniu na pole wek-torowe F tworzy także pole wektorowe. Formalnie rotację definiuje się jako iloczyn wektorowyoperatora nabla i wektora pola2 jako wartość odpowiedniego wyznacznika:

rotF = ∇× F =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣=

(∂Fz∂y− ∂Fy

∂z

)i +

(∂Fx∂z− ∂Fz

∂x

)j +

(∂Fy∂x− ∂Fx

∂y

)k.

(3.3)

Gradient pola skalarnego — jest to operacja przekształcająca pole skalarne w pole wekto-rowe. Formalnie gradient jest to nałożenie operatora nabla na funkcję skalarną f = f(x, y, z):

grad f = ∇f =[∂f(x, y, z)

∂x,∂f(x, y, z)

∂y,∂f(x, y, z)

∂z

]=∂f(x, y, z)

∂xi +

∂f(x, y, z)

∂yj +

∂f(x, y, z)

∂zk.

(3.4)

1Iloczyn skalarny dwu wektorów ~a oraz ~b jest oczywiście przemienny: ~a ·~b = ~b · ~a2Po angielsku mamy: curlF = rotF

23

Operator Laplace’a zwany też laplasjanem jest operatorem skalarnym działającym na poleskalarne, zdefiniowany jest jako iloczyn skalarny dwu operatorów nabla :

∆df=∇ ·∇ = ∇2

=

[∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

]·[∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

]=∂ 2

∂x2+

∂ 2

∂y2+

∂ 2

∂z2.

(3.5)

Stosując operator Laplace’a dla funkcji skalarnej f mamy:

∆f = ∇ ·∇f = div (grad f) = ∇2f. (3.6a)

czyli laplasjan funkcji skalarnej f jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji. Wyliczającmamy:

∆f =

[∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

]·[∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

]=∂ 2f

∂x2+∂ 2f

∂y2+∂ 2f

∂z2.

(3.6b)

Porównując wyrażenia (3.5) z (3.6b) widzimy że rzeczywiście można mówić ze laplasjan jest topo prostu suma cząstkowych drugich pochodnych. 3 Laplacjan można też zastosować dla funkcjiwektorowej, zdefiniowany jest wówczas jako (korzystamy z tożsamości (3.9k))4:

∆F =∇(∇ · F)−∇× (∇× F)=grad (divF)− rot (rotF).

(3.7)

We współrzędnych kartezjańskich operator Laplace’a dla funkcji wektorowej F przyjmuje dużąprostszą postać:

∆F =

[∂ 2Fx∂x2

,∂ 2Fy∂y2

,∂ 2Fz∂z2

]=∂ 2Fx∂x2

i +∂ 2Fy∂y2

j +∂ 2Fz∂z2

k. (3.8)

Wyrażenie to bardzo przypomina (3.6b) — jednak jest to tylko przypadkowa koincydencja dlaukładu kartezjańskiego.

3.1.1 Kilka podstawowych tożsamości

W punkcie tym przedstawię podstawowe tożsamości rachunku wektorowego.Tożsamości wektorowe:

— iloczyn mieszany wektorów:

A · (B×C) = B · (C×A) = C · (A×B). (3.9a)

— podwójny iloczyn wektorowy:

A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B). (3.9b)3Wydaje się że tu jest takie „masło maślane” ale od strony matematycznej to równania (3.6) są dowodem jak

działa operator Laplace’a, natomiast równanie (3.5) jest tylko takim „naiwym” zastosowaniem odpowiednichdefinicji

4Dla większej czytelności (rozumianej nie dosłownie, ale jako łatwiejsze zrozumienie tego co jest napisanie)równanie (3.7) napisałem używając nawiasów do zaznaczenia kolejności wykonywania operacji, choć są publikacjegdzie owe nawiasy pominięto.

24

Tożsamości związane z obliczaniem pierwszej pochodnej:— gradient z iloczynu dwu funkcji skalarnych:

∇(fg) = f(∇g) + g(∇f). (3.9c)

— gradient z iloczynu skalarnego dwu funkcji wektorowych:

∇(A ·B) = A× (∇×B) + B× (∇×A) + (A ·∇)B + (B ·∇)A. (3.9d)

— dywergencja z iloczynu funkcji skalarnej z wektorową:

∇ · (fA) = f(∇ ·A) + A · (∇f). (3.9e)

— dywergencja z iloczynu wektorowego dwu funkcji wektorowych:

∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A(∇×B). (3.9f)

— rotacja z iloczynu funkcji skalarnej z funkcją wektorową:

∇× (fA) = f(∇×A)−A× (∇f). (3.9g)

— rotacja z iloczynu wektorowego dwu funkcji wektorowych:

∇× (A×B) = (B ·∇)A− (A ·∇)B + A(∇ ·B)−B(∇ ·A). (3.9h)

Tożsamości związane z obliczaniem drugiej pochodnej:— dywergencja z rotacji funkcji wektorowej zawsze wynosi zero:

∇ · (∇×A) = 0. (3.9i)

— rotacja z gradientu dowolnej funkcji zawsze wynosi zero:

∇× (∇f) = 0. (3.9j)

— rotacja z rotacji funkcji wektorowej:

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A. (3.9k)

Na uwagę zasługuje jeszcze jawna postać operatora (A ·∇) pojawiająca się w kilku powyższychtożsamości (np. w tożsamości (3.9d)). Stosując definicję operatora∇— równanie (3.1) — mamy(pamiętamy znowu o kolejności działań):

A ·∇ = [Ax, Ay, Az] ·[∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

]= Ax

∂

∂x+ Ay

∂

∂y+ Az

∂

∂z. (3.10a)

Równanie (3.10a) definiuje pochodną kierunkową wzdłuż wektora A. Stosując ten operator dofunkcji skalarnej mamy:

(A ·∇)f = Ax∂f

∂x+ Ay

∂f

∂y+ Az

∂f

∂z(3.10b)

natomiast przy zastosowaniu do funkcji wektorowej otrzymamy:

(A ·∇)B =(Ax

∂Bx∂x

+ Ay∂Bx∂y

+ Az∂Bx∂z

)i

+

(Ax

∂By∂x

+ Ay∂By∂y

+ Az∂By∂z

)j

+

(Ax

∂Bz∂x

+ Ay∂Bz∂y

+ Az∂Bz∂z

)k.

(3.10c)

25

3.2 Równanie PoissonaPrawo Gaussa wiąże dywergencję wektora indukcji elektrycznej D(r) (jednostka [C/m2]) z gę-stością ładunków elektrycznych ρ(r) (jednostka [C/m3]) zależnością:

∇ ·D(r) = ρ(r). (3.11)

W przypadku występowania ośrodka o przenikalności elektrycznej ε(r), wkład takiego ośrod-ka można uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycz-nego E(r) przez:

D(r) = ε(r) · E(r) (3.12)

Związek (3.12) jest słuszny tylko dla ośrodków izotropowych. Jeśli mamy wolno zmienne lubstałe pola wtedy wygodnie jest przedstawić rozwiązanie dla pola elektrycznego poprzez gradientpotencjału elektrostatycznego φ(r)5:

E(r) = −∇φ(r) (3.13)

Łącząc zależności (3.11), (3.12) oraz (3.13) otrzymamy równanie Poissona dla ośrodków izotro-powych:

∇ · [ε(r)∇φ(r)] = −ρ(r) (3.14)

Dla ustalenia uwagi, operator po prawej stronie równania (3.14) nazwijmy operatorem Poissona:

Pε = ∇ · (ε(r)∇) (3.15)

W przypadku gdy przenikalność dielektryczna nie zależy od położenia mamy:

Pε = ∇ · (ε(r)∇) = ε(r)∇ ·∇ = ε(r)∆ (3.16)

czyli operator Poissona jest iloczynem przenikalności dielektrycznej i operatora Laplace’a ∆.

3.3 Dyskretyzacja operatora PoissonaRównanie Poissona(3.14) w przypadku jednowymiarowym możemy napisać jako:

d

dxε(x)

d

dxφ(x) = −ρ(x). (3.17)

Przypomnijmy jak wygląda operator BenDaniel–Duke (2.28b) oraz jego dyskretyzacja zapisanaprzy użyciu punktów połówkowych równanie (2.29):

TBDm fi =d

dxm−1i

dfidx

=1

h2

[fi−1mi−1/2

−(

1

mi−1/2+

1

mi+1/2

)fi +

fi+1mi+1/2

](3.18)

Postać członu z prawej strony równania Poissona (3.17) jest dokładnie taka sama jak postaćoperatora BenDaniel–Duke’a, z tym że w operatorze Poissona występuje przenikalność die-lektryczna a w równaniu BenDaniel–Duke’a występuje odwrotność masy efektywnej. Przezanalogię możemy napisać:

Pεφi =1

h2[εi−1/2φi−1 − (εi−1/2 + εi+1/2)φi + εi+1/2φi+1

]. (3.19)

5Równanie (3.13) spełnione jest dokładnie tylko dla pola statycznego — niezależnego od czasu.

26

Okazuje się, że najlepszą zgodność pomiędzy prostymi modelami teoretycznymi a modelemnumerycznym otrzymuje się dla uśredniania harmonicznego (wzory (2.20a) oraz (2.20c)). Wtakim przypadku operator Poissona ma postać:

PHarε φi =1

h2

[2εi−1εiεi−1 + εi

φi−1 −(

2εi−1εiεi−1 + εi

+2εi+1εiεi+1 + εi

)φi +

2εi+1εiεi+1 + εi

φi+1

](3.20)

Warto wspomnieć, że postać operatora przedstawiona równaniem (3.20) pokrywa się z postaciąwystępującą w metodzie objętości skończonych — metodzie w której w sposób jawny możnauwzględnić zależność czy też nieciągłość przenikalności dielektrycznej.

3.4 Metoda pola samouzgodnionegoŻeby rozwiązać równanie Poissona musimy umieć obliczyć prawą stronę tego równania. Jakpoliczyć gęstość ładunku dla studni kwantowej (tak naprawdę też każdego innego układu)?Najogólniej rzecz biorąc z równania neutralności elektrycznej:∫

(n0 +N−A )d~r =

∫(p0 +N

+D )d~r, (3.21)

gdzie: N−A — koncentracja zjonizowanych domieszek akceptorowych, N−A — koncentracja zjo-

nizowanych domieszek donorowych. Tak naprawdę, równanie to mówi że elektrony (wyrażonepoprzez koncentrację elektronową n0) oraz dziury (wyrażone poprzez koncentrację dziurową p0)mogą pochodzić tylko odpowiednio od zjonizowanych donorów oraz akceptorów.

Koncentracja zjonizowanych domieszek donorowych oraz akceptorowych zależy od: pozio-mu domieszkowania, energii wiązania donorów, energii jonizacji akceptorów — są to parametryfizyczne które wynikają z modelu fizycznego naszej struktury kwantowej. Ale co najważniejsze,wszystkie koncentracje występujące w równaniu neutralności elektrycznej zależą od energii Fer-miego EF oraz od kształtu pasm. Proszę pamiętać, że kształt pasm zależy od koncentracji —widać więc że mamy skomplikowany problem. Tak naprawdę, równanie neutralności elektrycznej(3.21) służy do wyznaczania poziomu Fermiego, następnie wyznaczamy gęstość ładunków, roz-wiązujemy równanie Poissona, dodajemy potencjał elektrostatyczny do równania Schroedingerai rozwiązujemy je. Następnie proces powtarzamy: piszemy równanie neutralności elektrycznejwykorzystując znajomość funkcji falowych i proces powtarzamy. Zaprezentowany tutaj opis jestbardzo ogólny — ale to na co chcę wam zwrócić uwagę to że wiąże on ze sobą równania: Schro-edingera, Poissona oraz neutralności elektrycznej w skomplikowany układ nielinowych równańróżniczkowych i całkowych. Sposobem na rozwiązanie tego układu równań jest metoda polasamouzgodnionego.

3.5 Gęstość ładunku — przypadek 2D (studnia kwantowa)Gęstość ładunku w przypadku 2D — czyli dla studni kwantowej liczymy z zależności:

ρ(r) = ρ(x) = e(N+D −N−A − n0 + p0) (3.22)

Chciałbym zwrócić uwagę, że e— jest ładunkiem elementarnym — jest wartością (bezwzględnąlub bez znaku) ładunku elektronu oraz to że gęstość ładunku oczywiście może być dodatnia lubujemna. Dalej musimy uprościć nasz model, aby coś policzyć.

Zajmijmy się gęstością elektronową n0 (podobne rozważania można przeprowadzić dla gę-stości dziurowej p0) — którą możemy zapisać jako sumę gęstości elektronów dla materiału litego

27

(czyli kryształu 3D) oraz elektronów w studni kwantowej n2D. Dla stałej masy efektywnej (lublepiej mówiąc dla przybliżenia parabolicznego pasm) jest:

n2D(x) =∑n

m0meffkT

πh̄2ln

(1 + exp

[EF − EnkT

])|fn(x)|2

=∑n

N2D,n |fn(x)|2(3.23)

gdzie k — stała Boltzmanna, T — temperatura w skali bezwzględnej a sumowanie odbywa siępo poziomach elektronowych oznaczonych indeksem n. W przypadku gdy T = 0 [K] oraz gdypoziom Fermiego jest pomiędzy pierwszym a drugim poziomem elektronowym możemy zapisać:

nT=02D (x) =m0meff

πh̄2(EF − E1) |f1(x)|2 = NT=02D,1 |f1(x)|

2 (3.24)

Zwróćmy teraz uwagę na wymiar dwu-wymiarowej gęstości N2D:

[N2D] =

[kg

J2 · s2· J = kg

J · s2=

kg

kg ·m/s2 · s2=

1

m2

], (3.25)

czyli jest to tzw. powierzchniowa gęstość lub koncentracja 2D (dwu wymiarowa) elektronów wstudni. Typowa koncentracja elektronów w studni kwantowej:

N ex2D,el = 1011 ∼ 1013

[1

cm2

]. (3.26a)

Bardzo upraszczając, gęstość elektronową można zapisać (pomijając domieszki) jako:

ρ(x) = −eN ex2D,el · |f1(x)|2 (3.26b)

i żeby gęstość elektronowa miała wymiar [C/m3] widać że kwadrat funkcji falowej |f1(x)|2 musimieć wymiar [1/m]. I tu dochodzimy do ważnego problemu — normowania funkcji falowej. Wmechanice kwantowej funkcja falowa unormowana jest według wzoru:

1 =

∫|f1(x)|2 dx (3.27a)

a ponieważ element całkowania ma dx wymiar długości, jedynka po lewej stronie jest bezwy-miarowa (to jest tylko jeden !!!) więc widać że wymiar jednowymiarowej funkcji falowej wynosi[1/√

m]. Norma określona przez to równanie to tzw. norma L2 (duże L kwadrat) — zwana też

normą całkową dla funkcji całkowalnych w kwadracie. Istnieje także norma l2 (małe L kwadrat)— zwana też normą ciągu liczbowego sumowalnego w kwadracie. Unormowanie funkcji wedługnormy l2 zdefiniowana jest jako:

1 =∑i

|f1(xi)|2 . (3.27b)

W normie l2 funkcja falowa jest bezwymiarowa !!!. Co więcej, biblioteki algebry liniowej stosująnormę właśnie tę normę l2. Natomiast, aby policzyć gęstość elektronową funkcja falowa powinnabyć unormowana wg normy L2. Jaki jest związek między tymi normami? W przypadku gdykrok całkowania h jest stały (nie zależy od położenia) to :

fL2,1 =1√hfl2,1, (3.28)

gdzie dodatkowy indeks dolny oznacza sposób unormowania funkcji falowej. Reasumując, gę-stość elektronową możemy obliczyć jako:

ρ(x) = −eN ex2D,elh

|fl2,1(xi)|2 (3.29)

28

3.6 Dyskretyzacja równanie PoissonaW paragfie 3.3 wyprowadziliśmy zdyskretyzwoaną postać operatora Poissona równanie (3.20):

PHarε φi =1

h2

[2εi−1εiεi−1 + εi

φi−1 −(

2εi−1εiεi−1 + εi

+2εi+1εiεi+1 + εi

)φi +

2εi+1εiεi+1 + εi

φi+1

]. (3.30)

Jeśli zapiszemy że przenikalność elektryczna wyraża się wzorem:

εi = ε0 · εri , (3.31)

gdzie ε0 jest przenikalnością dielektryczną próżni, εri = εr(xi) jest względna przenikalnościąelektryczną ośrodka w punkcie xi to poprzednie równanie możemy przepisać w postaci:

PHarε φi =ε0h2

[2εri−1ε

ri

εri−1 + εiφi−1 −

(2εri−1ε

ri

εri−1 + εri

+2εri+1ε

ri

εri+1 + εri

)φi +

2εri+1εri

εri+1 + εri

φi+1

]. (3.32)

Gęstość ładunku (w naszym przypadku dla elektronów) możemy przybliżyć zgodnie ze wzorem(3.29) jako:

ρi = −eN ex2D,elh

|fi|2 , (3.33)

gdzie dalej zakładamy że funkcja falowa unormowana f1(xi) jest zgodnie z normą ciągu l2.Reasumując, zdyskretyzowane równanie Poissona ma postać:[

2εri−1εri

εri−1 + εiφi−1 −

(2εri−1ε

ri

εri−1 + εri

+2εri+1ε

ri

εri+1 + εri

)φi +

2εri+1εri

εri+1 + εri

φi+1

]=ehN ex2D,el

ε0|fi|2 (3.34)

dla punktów i od 0 do N . Od strony numerycznej, równanie (3.34) to jest układem równańliniowych, które można zapisać w postaci macierzowej jako:

A~φ = −~ρ (3.35)

gdzie A jest zadaną macierzą wynikającą z dyskretyzacji operatora Poissona, ~ρ jest zadanymwektorem którego wartości współrzędnych są określone przez gęstość elektronową a ~φ jest szu-kanym potencjałem. Bardziej szczegółowo, równanie Poissona można zapisać w postaci:

d0 a0 0 0 . . . 0b1 d1 a1 0 . . . 00 b2 d2 a2 . . . 00 0 b3 d3 . . . 0

...0 0 0 0 . . . bN−2 dN−2 aN−20 0 0 0 . . . 0 bN−1 dN−1

φ0φ1φ2φ3...

φN−2φN−1

=ehN ex2D,el

ε0·

|f0|2|f1|2|f2|2|f3|2...

|fN−2|2|fN−1|2

. (3.36a)

gdzie:

di = −2εri−1ε

ri

εri−1 + εri

−2εri+1ε

ri

εri+1 + εri

(3.36b)

ai =2εri−1ε

ri

εri−1 + εi= bi+1 (3.36c)

Widać, że macierz A jest macierzą trójdiagonalną symetryczną. Rozwiązując układ równań(3.36a) znajdziemy ~φ — wektor którego współrzędne określają wartość potencjału na siatcepunktów. Równanie Poissona jest równaniem różniczkowym — i jak w każdym równaniu róż-niczkowym jego rozwiązanie zależy od warunków brzegowych. Równanie macierzowe (3.36a)jest zaprezentowane dla warunków brzegowych typu Dirichleta, z wartością wynoszącą zero dlapotencjału na granicach obszaru całkowania.

29

3.6.1 Cel — program równanie Poissona

Napisz program rozwiązujący równanie Poissona. Sprawdź wpływ przenikalności dielektrycznejbariery na kształt i wartość potencjału.

3.6.2 Cel* — warunki brzegowe Dirichelta

Wyprowadź macierz dla operatora Poissona z warunkami brzegowymi typu Dirichleta φ(xB1) =VL i φ(xB2) = VR, gdzie VL oraz VR jest zadaną wartością potencjału odpowiednio z lewej orazprawej strony obszaru całkowania.

3.6.3 Cel** — warunki brzegowe von Neumana

Wyprowadź macierz dla operatora Poissona z warunkami brzegowymi typu von Neumana.

dφ(x)

dx

∣∣∣∣x=XB1

=dφ(x)

dx

∣∣∣∣x=XB2

= 0

Czy dla tych warunków brzegowych da się rozwiązać równanie Poissona? Spróbuj wyjaśnićużywając argumentów zaczerpniętych z fizyki zaistniałą sytuację.Uwaga: Zadanie jest „trochę” podchwytliwe.

3.7 Trochę więcej niż elektrostatykaW rozdziale 3.2 pokazałem że statyczne ładunki elektryczne powodują że istnieje pole elek-tryczne opisane równaniem Poissona (3.14). Pytanie jakie się pojawia, to jak uwzględnić takiepole w obliczeniach kwantowomechanicznych. Przy okazji chciałbym zrobić trochę więcej —chciałbym uwzględnić pole magnetyczne czy elektryczne (czyli pola które mogą się zmieniać wczasie).

Zgodnie z mechaniką klasyczną, na cząstkę o ładunku elektrycznym q poruszającą się w poluelektrycznym i magnetycznym (ogólnie zwanym polem elektromagnetycznym) z prędkością vdziała siła Lorentza

F(r, t) = qE(r, t) + qv ×B(r, t), (3.37)gdzie B(r, t) oznacza wektor indukcji magnetycznej i E(r, t) jest wektorem natężenia pola elek-trycznego. My fizycy bardzo lubimy potencjały ale też pewnie pamiętacie że nie dla każdejsiły można taki potencjał zdefiniować. Dla równania (3.37) nie można co prawda zdefiniowaćpotencjału zwykłego6, ale można uogólnić pojęcie potencjału tak aby dało się wyrazić wzór(3.37) poprzez odpowiednie potencjały.

Zacznijmy zatem od przypomnienia równań Maxwella, które dla źródeł umieszczonychw próżni wyglądają następująco7:

— prawo Gaussa dla pola elektrycznego:

∇ · E = 1ε0ρ. (3.38a)

— prawo Gaussa dla pola magnetycznego:

∇ ·B = 0. (3.38b)6Jeśli pominie się pole magnetyczne oraz pole elektryczne nie zależy od czasu to mam nadzieję że umiecie

zdefiniować potencjał.7Dla uproszczenia zapisu jeśli pominięto od czego zależy wielkość fizyczna to znaczy że zależy ona od poło-

żenia r i od czasu t np. zapis E oznacza tak naprawdę E(r, t)

30

— prawo Faradaya:

∇× E = −∂B∂t. (3.38c)

— prawo Ampère’a:

∇×B = µ0J + µ0ε0∂E

∂t. (3.38d)

Nakładając operator dywergencji obustronnie na równanie (3.38d) — prawo Ampère’a — ma-my:

∇ · (∇×B) = µ0∇ · J + µ0ε0∇ ·∂E

∂t. (3.39a)

Jeśli skorzystaliśmy z tożsamości (3.9i) — dywergencja z rotacji wynosi zero oraz zamienimykolejność różniczkowania oraz podzielimy przez przenikalność magnetyczną próżni otrzymamy:

0 = ∇ · J + ε0∂ (∇ · E)

∂t. (3.39b)

Wykorzystując prawo Gaussa (równanie (3.38a)) otrzymujemy równanie:

∇ · J(r, t) + ∂ρ(r, t)∂t

= 0 (3.39c)

otrzymujemy równanie ciągłości wiążące gęstość ładunku ρ(r, t) z gęstością prądu J(r, t). Rów-nanie (3.39c) jest matematycznym wyrazem zasady zachowania ładunku elektrycznego.

Problem jaki się często pojawia to — mając dane gęstości ρ(r, t) i J(r, t) — jak obliczyćpole elektryczne E(r, t) oraz magnetyczne B(r, t)? W przypadku statycznym — gdy gęstościnie zmieniają się w czasie — odpowiedzią są prawa Coulomba i Biota–Savarta pozwalającenam wyznaczyć szukany rozkład odpowiednio pola elektrycznego i pola magnetycznego. Po-nadto w elektrostatyce, pole elektryczne jest polem potencjalnym — z równania (3.38d) mamy∇×E = 0 co pozwala nam wprowadzić potencjał pola elektrostatycznego: E(r) = −∇φ(r). Welektrodynamice (czyli nie mamy już statycznej sytuacji) pole elektryczne nie jest już poten-cjalne. Ale korzystając z tożsamości (3.9i) że dywergencja rotacji wynosi zero możemy napisaćczysto formalnie:

B(r, t) = ∇×A(r, t) (3.40)mamy gwarancję że prawo Gaussa dla pola magnetycznego (równanie (3.38b)) jest spełnioneautomatycznie. Wstawiając to równanie do prawa Faradaya (równanie (3.38c)) otrzymujemy:

∇× E = − ∂∂t

(∇×A) (3.41a)

∇×(E +

∂A

∂t

)= 0 (3.41b)

stąd — w przeciwieństwie do E — wyrażenie stojące pod rotacją może być zapisane jakogradient wielkości skalarnej:

E +∂A

∂t= −∇φ. (3.41c)

Wyrażając pole elektryczne poprzez φ i A mamy:

E(r, t) = −∇φ(r, t)− ∂A(r, t)∂t

(3.41d)

Chcę tylko podkreślić, że w oczywisty sposób pole elektryczne przedstawione w postaci równania(3.41d) spełnia prawo Gaussa dla pola magnetycznego (równanie (3.38b)) oraz prawo Faradaya

31

(3.38c). A co z prawem Gaussa (równanie (3.38a)) oraz prawem Ampère’a (równanie (3.38d)?Wstawiając równanie (3.41d) do prawa Gaussa otrzymujemy:

∇ ·(−∇φ− ∂A

∂t

)=

1

ε0ρ

oraz wykorzystując że dywergencja gradientu to jest laplasjan, zmieniając kolejność różniczko-wania oraz uporządkowując mamy:

∆φ+∂

∂t(∇ ·A) = − 1

ε0ρ. (3.42)

Zwróćmy uwagę, że równanie to redukuje się do równania (3.14) Poissona w przypadku gdy Anie zależy od czasu czyli do przypadku statycznego. Wstawiając równania (3.40) i (3.41d) doprawa Ampère’a (równanie (3.38d)) mamy:

∇× (∇×A) = µ0J + µ0ε0∂

∂t

(−∇φ− ∂A

∂t

)Lewą stronę tego równania przekształcę korzystając z tożsamości (3.9k), natomiast prawą stronę— zamienię kolejność obliczania pochodnych, otrzymując:

∇(∇ ·A)−∇2A = µ0J− µ0ε0∇∂φ

∂t− µ0ε0

∂ 2A

∂t2.

Porządkując „trochę” mamy:(∇2A− µ0ε0

∂ 2A

∂t2

)−∇

(∇ ·A + µ0ε0

∂φ

∂t

)= −µ0J (3.43)

Równania (3.42) i (3.43) są inną formą zapisu równań Maxwella — zapisu równań Maxwellaprzy pomocy potencjałów elektromagnetycznych φ i A. Potencjał φ to dobrze nam już znanypotencjał pola elektrycznego — równanie (3.13) — φ(r, t) który może się ponadto zmieniać wczasie. Wielkość A(r, t) jest to magnetyczny potencjał wektorowy8.

Jaka jest zaleta równań Maxwella wyrażonych poprzez potencjały elektromagnetyczne nadrównaniami Maxwella wyrażonymi poprzez pola elektromagnetyczne? W pierwszym przypadkumusimy znaleźć 4 funkcje — jedną dla potencjału skalarnego pola elektrycznego oraz trzy funk-cje dla wektorowego potencjału magnetycznego — w przeciwieństwie do 6 funkcji w przypadkudrugim (po 3 funkcje dla pola elektrycznego i pola magnetycznego). Czyli jest to jakiś argumentżeby używać równań Maxwella wyrażonych poprzez potencjały elektromagnetyczne — ale jestto argument typu „lepsze jest wrogiem dobrego”. Z polami elektrycznymi jesteśmy oswojeni —znamy je, umiemy się nimi posługiwać czy też je wyliczać lub wyznaczać. Ale muszę powiedzieć,że są miejsca gdzie zmuszeni jesteśmy posługiwać się potencjałami elektromagnetycznymi —takin miejscem jest mechanika kwantowa.

Zastanówmy się czy te potencjały da się jednoznacznie wyznaczyć? Można pokazać że poleelektromagnetyczne nie jest jednoznacznie wyznaczone przez potencjały elektromagnetyczne.Potencjały te można mianowicie poddać przekształceniu (transformacji) cechowania:

φ −→ ′φ = φ+ ∂Λ∂t

(3.44a)

A −→ ′A = A−∇Λ (3.44b)8Jest to angielska nazwa która najbardziej oddaje sens tej wielkości. W literaturze polskiej wielkość tą zwie

się go po prostu potencjałem wektorowym, ja go dalej będę po prostu nazywał potencjałem magnetycznym.

32

gdzie Λ = Λ(r, t) jest dowolną funkcją położenia i czasu. Przekształcenie to nie zmienia wartościpola E (równanie (3.41d)) czy pola B (wzór (3.40)) ani oczywiście też siły Lorentza (wzór(3.37)). Chciałem CI zwrócić uwagę, że pewnie pamiętasz iż potencjał elektrostatyczny φ(r) niejest jednoznacznie określony, że można zmieniać położenie punktu zerowego na skali potencjału.Wzór (3.41d) jest uogólnieniem tego faktu. Natomiast wzór (3.40) można zrozumieć w tensposób, że potencjał magnetyczny jest określony z dokładnością do gradientu z dowolnej funkcji.Reasumując, potencjały elektromagnetyczne nie są wyznaczone jednoznacznie i aby je wyliczyćtrzeba poczynić dodatkowe założenia. Wymiar potencjału magnetycznego to MLT−1Q−1 9 cow układzie jednostek SI daje [Tm] lub [Wbm−1] lub też [NA−1].

3.7.1 D czy E? H czy B?

Zanim przejdziemy dalej, chciałbym zwrócić CI uwagę na jedną rzecz. Do opisu pola elektrycz-nego używamy wektora indukcji elektrycznej D oraz wektora natężenia pola elektrycznego Ektórych związek dla ośrodka izotropowego ma postać równanie (3.12):

D(r, t) = ε(r, t) · E(r, t). (3.45a)

Podobnie też robi się z polem magnetycznym— opisane jest przez wektor indukcji magnetycznejB oraz przez natężenie pola magnetycznego H których związek dla ośrodka izotropowego mapostać:

H(r, t) =1

µ(r, t)B(r, t), (3.45b)

gdzie µ przenikalność magnetyczna ośrodka, wyrażona w henrach na metr.No dobrze, powstaje pytanie, czy potrzebujemy po dwie wielkości fizyczne aby opisać pole

elektryczne oraz magnetyczne. Tak, ponieważ różnica pomiędzy polami D i H oraz polami E iB ma głęboki sens fizyczny. Wektory D i H opisują natężenia pól pierwotnych czyli takich wy-tworzonych bezpośrednio ze źródeł. Natomiast pola E i B są to pola efektywne, zmodyfikowanew porównaniu z polami D i H przez oddziaływania. Oddziaływanie to może być wywołanewpływem ośrodka materialnego lub tak jak jest w relatywistycznej teorii pola tzw. oddziały-wanie własne pola ze sobą. Ten pierwszy sposób oddziaływania — oddziaływanie z ośrodkiem— wprowadziliśmy poprzez stałe materiałowe:

ε(r, t) = εr(r, t) · ε0, (3.45c)

gdzie εr(r, t) względna przenikalność dielektryczna ośrodka, oraz:

µ(r, t) = µr(r, t) · µ0, (3.45d)

gdzie µr(r, t) jest względną przenikalnością magnetyczną ośrodka. Chciałbym powiedzieć, żeprzenikalność dielektryczna oraz magnetyczna może także zależeć od pola elektrycznego czyteż magnetycznego oraz że owe przenikalności dla ośrodków anizotropowych są tensorami. Pod-sumowując ten punkt, to natężenie pole elektrycznego E oraz indukcja pola magnetycznegoB są tymi wielkościami fizycznymi które należy używać do opisu zachowania się naładowanejcząstki.

3.7.2 Cechowanie Coulomba

Równania (3.42) i (3.43) są równaniami Maxwella wyrażonymi przy pomocy potencjałów elek-tromagnetycznych, ale ze względ