· PDF file第1 章序論 1.1 研究の背景...

目次

1 序論 1

1.1 研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 研究の目的と概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 要素生成 5

2.1 要素生成の役割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 要素生成法の要求項目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 二次元自動要素分割法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Delaunay 三角分割法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2 生成例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 放射基準線法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.1 概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.2 生成例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.3 生成した要素の検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 三次元Delaunay四面体分割 18

3.1 概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1 アルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 要素生成法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 四面体の隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2 節点の標準化と仮想四面体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.3 節点の探査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.4 外接球の半径の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 数値誤差への対策 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 表面生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5 要素の検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 要素生成例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 リメッシング 40

4.1 概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 リメッシングの方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 風車周りの流体解析 43

5.1 解析領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 節点の補間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 解析結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 結論 50

6.1 結論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 今後の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

ii

図目次

2.1 有限要素分割に主に必要なデータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Delaunay 三角分割と Voronoi 分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 偏平率法を用いた Delaunay 三角分割法の生成例 . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 放射基準線法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 霞ヶ浦：放射基準線法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 円柱流れモデル：放射基準線法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 川内川 : 放射基準線法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.8 流速ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 四面体要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 従来の三次元 Delaunay 四面体分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 従来の三次元 Delaunay 四面体分割のアルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 三次元 Delaunay 四面体分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 三次元 Delaunay 四面体分割のアルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6 Delaunay四面体分割に必要なデータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7 仮想四面体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.8 ローソン探査法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.9 平面の法線ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.10 四面体 [P1P2P3P4]の外接球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.11 数値誤差によるエラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.12 表面生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.13 中空をもつ円柱モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.14 仮想節点配置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.15 不要な要素除去前の断面比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.16 3次元ポテンシャル流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.17 y-z断面でのポテンシャル分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.18 笠倉トンネル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.19 笠倉トンネル内部 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 回転しない領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 回転する領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 つなぎ目のメッシュ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 リメッシングの前後 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1 解析モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 解析領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 混合補間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 節点の補間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 メッシュ作成時間の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.6 流線図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.7 圧力分布図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ii

第 1 章

序論

1.1 研究の背景

ここ数年来，コンピュータの性能の飛躍的な向上とハードウェアの低価格化によるPCの

普及に伴い，数値解析は理学・工学の分野において高い利便性を持つようになった. また，

様々な分野で研究されるようになり数値解析手法の研究が進み，数値解析の裾野も広がりを

持つようになった．

数値解析の問題は様々な分野で研究されるようになったので扱われる問題の対象は実現象

に近づくようになり，解析領域は二次元からより実現象に忠実な三次元へ，そして何百万と

いう節点という大規模且つ複雑な形状へと変化してきている.

風力発電の分野でも，翼形状を評価する風洞実験に代わり数値解析によって翼形状評価す

ることが行われてきている．代表的な数値解析手法に有限要素法があるが有限要素法には有

限要素の作成が不可欠である．プロペラ周りの流れ解析を行うにはプロペラを３次元モデル

で表現することが不可欠となる．

しかしながら，このような解析領域に対して数値解析を行う場合，解析領域の作成に膨大

な時間と手間がかかり，場合によっては要素生成が行えないこともあるというのが現状であ

る. 特に風車の開発においては，翼形状の違いによる発電効率の違いを把握するために形状

を変化させて何度もテストを繰り返すことが重要であり，任意の解析領域を作成できるとい

うことが不可欠となる．また，解析領域内の物体が移動する移動境界問題に対して，有限要

素法では解析領域の一部を修正するリメッシング等の処理が必要となる．時間ステップ毎に

解析領域を更新していく際に，全領域に対して更新を行えば，データ量が膨大な３次元要素

第 1 章序論 2

の場合，解析領域の更新に多くの時間を費やすことになる．リメッシングの問題を解決する

ことは３次元の移動境界問題を解くのに非常に有益となる．

第 1 章序論 3

1.2 研究の目的と概要

本研究の目的は任意の３次元有限要素を作成し，風車周りの流れを解析することである．

今日最もよく利用されている二次元の自動要素分割法に Delaunay 三角分割法がある．こ

の Delaunay 三角分割法の幾何学的性質は有限要素法で望まれる要素形状に一致する．この

Delaunay 三角分割法を二次元から三次元へ拡張し，要素自動分割を実現する．また，有限

要素法において，プロペラの回転に伴って解析領域の一部を修正するリメッシングが必要と

なる．任意の要素分割とリメッシングを実現し，風車周りの流れ解析を行う．

第 1 章序論 4

1.3 本論文の構成

本論文の構成と各章の概要は以下のとおりである．

• 第１章「序論」では，研究の背景，研究の目的と概要，本論文の構成を論じている．

• 第２章「要素生成」では，その役割と代表的な２次元要素分割法を紹介している．De-

launay 三角分割法，放射基準線法についてその特徴と生成例，解析例を示している．

• 第３章「三次元 Delaunay 四面体分割」では，二次元 Delaunay 三角分割法を拡張した

三次元 Delaunay 四面体分割法のアルゴリズムとその要素生成法を示している．そし

て，非凸領域においては表面生成が必要であり，そのアルゴリズムも示している．最

後に生成した要素の有効性を数値解析を通して検証するとともに非凸領域を持つモデ

ルの生成例を示した．

• 第４章「リメッシング」では，風車解析に不可欠なリメッシングの手法について示している．

• 第５章「風車周りの流れ解析」では，解析のための基礎方程式，解析条件，リメッシングに伴う節点の補間について紹介している．最後に解析結果を示している．

• 第６章「結論」では，本研究のまとめ，今後の課題について論じている．

第 2 章

要素生成

本章では，有限要素解析における要素生成の位置付けを確認するため，要素

生成の役割や求められている事柄をまとめる．そしてDelaunay三角分割法を

用いた２次元自動要素分割法について紹介する．

2.1 要素生成の役割

有限要素解析の流れは大きく３つのプロセスに分けることができる．Pre-Processing，有

限要素解析，Post-Processing である．Pre-Processing とはモデル化した領域を有限要素解

析で用いる「要素 ( Mesh )」に分割する段階のことである．これによって，連続体は有限

の計算量によって解くことのできる有限の自由度を持ったモデルになる．有限要素解析は

Pre-Processing で生成されたデータを用いて解析を行う，いわば心臓部になる．従来の有限

要素法の研究は，ほとんどがこの段階に集中しており，現在は様々な汎用プログラムが存在

している．Post-Processing は解析で得られた結果のデータをもとに可視化、評価する段階

のことである．これらはほとんどがソフトとして開発されているので自動化が進んでいる．

この一連の有限要素解析の流れにおいて，多くの場合，現在最も時間を割いているのが有限

要素分割を含む Pre-Processing の部分である．つまり，一連の解析の効率化のためには，こ

の Pre-Processing をいかに短縮するかがポイントとなってくる．

流体運動を支配する偏微分方程式を有限差分法や有限要素法等を用いて数値解析を行う場

合，解析領域上を多数の節点で離散化し偏微分方程式を代数方程式に変換して計算機で解く

という手順を踏む．従って計算機を用いて力学現象を再現しようとする場合には，まず，解

第 2 章要素生成 6

析しようとする空間に多数の節点を発生させ，さらには，それらの節点を用いて空間を有限

な要素で埋めつくさなければならない．要素の形状として，通常，二次元の場合は三角形や

四角形，三次元の場合は四面体や六面体などを用いるが，この領域を有限な要素で埋め尽く

す作業を要素生成 ( Mesh Generation )と呼んでいる．

数値解析における要素形状の品質についてもう少し考えてみたい．当然のことながら，節

点密度あるいは節点数は計算精度に大きく影響を及ぼす．ある流れ場を解析する際，ある程

度以上の節点密度がなければ，主要な物理現象を捉えることはできない．また，要素形状も

計算精度や計算の安定性に大きく関係する．このように Mesh の良し悪しは数値解析におけ

る計算時間や精度に，計算手法と同等あるいはそれ以上に大きく関係するため，その生成に

は計算機性能や計算手法，計算に求められる精度等の様々な面から注意を払う必要がある．

特に数値流体力学（ＣＦＤ）に用いる Mesh は，何を知りたいかによってどのような節点

密度，あるいは節点配置にするかが決定される．今日では計算機性能の向上により，有限要

素解析においてもより複雑且つ大規模な解析が可能となってきている．しかしながら，依然，

前処理の手間が全体の作業時間の短縮の大きなボトルネックとなっており，迅速且つ確実な

自動要素分割法の開発が急務となっている．


2.2 要素生成法の要求項目

自動要素分割法に要求される事項をまとめると以下のようになる．

入力データの量が少ないこと．

人為的誤差の確率が低くなるので，作成されるデータの信頼性が高まる．

歪んだ要素を作らないこと．

要素形状の品質は計算精度に大きく影響を与えるので，計算の発散を防ぐためにも必

要な条件である．

ユーザの要求を容易に反映させることができること．

解析しようとするユーザは，作成しようとするモデルに対して，計算機容量・計算時間

などにおいて様々な要求を持っており，それらの要求通り生成できることが望まれる．

作成されたモデルの検討ができること．

要求通り要素生成できているか必ず確かめる必要がある．つまり，確かめられるよう

に結果を整理できるようにしておく必要がある．

解析で要求されるデータが容易に作成できること．

解析には，有限要素モデルの他に境界条件の設定なども必要となり，これを容易に作

成できなければならない．

自動要素分割法自体の信頼性が高くなければならないこと．

計算機性能や数値解析手法の発展に伴い，解析モデルが巨大化，複雑化しているが，三

次元の場合など要素の詳細を調べることができない場合，特に必要となっている．ど

んなデータに対しても健全な要素が作成できる自動要素分割法自体の信頼性が要求さ

れる．

誰が利用しても同じ要素が生成できなくてはならないこと．

誰でも簡単に且つ確実にモデル生成できるシステムでなくてはならない．


2.3 二次元自動要素分割法

本章は代表的な二次元の自動要素分割法の紹介，そのアルゴリズム，生成例などを挙げて

説明する．ここで紹介する方法は今日最も自動要素分割法として知られている Delaunay 三

角分割法，節点発生として万能な松本純一が開発した放射基準線法，

ここに要素生成において最も重要なデータを紹介する (図 2.1)．要素-節点関係は三角形を

構成する３個の点が反時計回りに格納される．要素-隣接要素関係は最も重要なデータであ

り，三角形の隣にある要素は何か把握することでその三角形の置かれている状態を理解する

ことができる．そして，隣接情報は正確に与えなくてはならないので，ひとつでも間違えて

しまうと要素生成は正確に行えない．

要素生成のプログラムを作るにあたり，必要な事項を挙げる．

要素-節点情報を正確に与えること．

要素生成パターンを見極めること．

要素生成のイメージができること．

要素生成はとにかく情報交換のやりとりが延々と続くことになるので，要素生成が確立でき

るまでは正確に情報交換できているかどうか繰り返し試す必要がある．また，要素生成はそ

の生成手段がイメージできるか, できないかで向き不向きがある研究でもある．


MTJ(I,1)

MTJ(I,3)MTJ(I,2)

JAC(I,2)

JAC(I,1) JAC(I,3)

NEI(I,5) NEI(I,1)

NEI(I,2)

NEI(I,3)

NEI(I,4)

JNB(I)=5

NODEELEMENT

II

I I

MTJ : 要素-節点関係

JAC : 要素-隣接要素関係

JNB : 各節点の周辺要素数

NEI : 各節点の周辺要素番号

図 2.1: 有限要素分割に主に必要なデータ


2.4 Delaunay 三角分割法

ここで紹介する Delaunay 三角分割法は谷口健男が開発した修正 Delaunay 三角分割法で

ある．この三角分割法は次の３段階で成り立つ．

第１段階：境界上の節点を用いた粗い三角分割

第２段階：内部固定点を用いた粗い三角分割

第３段階：内部可動点を用いた細かな三角分割

2.4.1 概要

Delaunay三角分割法（Delaunay Trianguration）は，与えられた各節点を幾何学的に三角

形結合させるものである．Delaunay分割法により作成された三角形の外接円の内部には，他

のどの節点も含まないという性質から，この方法を用いると，与えられた節点群に対し各三

角形がもっとも正三角形に近くなるように分割される．このことから，Delaunay分割法は

有限要素法で求められる三角形要素の幾何学的形状を満たしやすく，自動要素分割法として

広く用いられている．図 2.2に Delaunay 三角分割の一例を示す．図中の点は節点を，細線

はそれら節点を結んでできた Delaunay 三角分割を，そして太線は Voronoi 分割と呼ばれる

空間を示したものである．Voronoi 分割は各節点を取り囲む凸多角形分割である．Delaunay

三角分割の各辺が Voronoi 多角形間の隣接関係を示しているので「 Delaunay 三角分割と

Voronoi 分割は相対関係にある」ということがわかる．

この方法の利点を挙げる.

全自動で利用できる．

節点配置が適切であれば良好な三角形（三次元は四面体）要素が得られる．

複雑な領域に適応可能である．

一方，欠点も挙げる．


図 2.2: Delaunay 三角分割と Voronoi 分割

基本的には凸領域にしか適用できず，非凸領域に対しては手法を工夫・変更する必要

がある．


2.4.2 生成例

ここに Delaunay 三角分割法の生成例を示す (図 2.3)．この節点発生は偏平率法を用いて

いる．この方法はすでに生成されている三角形要素のうちから最も偏平率の高いものから順

に，その最大角の対辺の中点に新しい節点を設定して，細分割をはかるものである．生成例

を見てわかるように，歪みが少なく，正三角形に近い形状で要素生成ができている．

Node : 1818, Element : 3414　%

図 2.3: 偏平率法を用いた Delaunay 三角分割法の生成例


2.5 放射基準線法

ここで紹介する放射基準線法は松本純一がMesh形状に影響を受けない形でグローバルに

Meshを作り直すAdaptive-Remeshing法を考え，開発したものである．

2.5.1 概要

放射基準線法（ Radiation Datum Line Method ) は，基準線を設け，そこからほぼ hnewe

の分割幅になるように半径 r，角度 θ を hnewe ，∆θ = hnew

e /r ごとに増加させることにより

r1 ∼ r2，θ1 ∼ θ2 の範囲において，節点を発生させ、対象としている三角形の内部に位置し

ている節点のみを採用する手法である (図 2.4)．ここで，この手法は基準線を用いるが，こ

の基準線は，節点をこの基準線から対称に発生させるために用いるものであり，基本的には，

任意の場所に置くことができる．

この節点の発生の仕方を用いると，ある対象としている要素において，その要素のMesh

幅が hnewe より小さい時には，節点は発生させず，hnew

e より大きいときには，節点を発生さ

せることから，Mesh を細かくする作業と，粗くする作業の区別がない手法となる（同時に

行われる）．また、この節点の発生は，基準線を設け，そこから節点を発生させることから

対称な領域において節点を基準線から対称に発生させることができ，また，初期の Mesh に

はほとんど依存しない手法となっている．角度の刻み幅∆θ は，基準線（0度）から基準線

（360度）において，割り切れる値が望ましいということと，より正三角形に近い形状にする

という目的から，60度で割り切れる値としている．ここで，r は基準点１から外方向に hnewe

ずつ増加するものとし，θは基準線から左回りに∆θずつ増加するものとしている．この節

点の発生手法は離散的な要素手法を用いるので，要素の節点と，その節点同士を結ぶ線（要

素境界上）に対しては不連続となる．そこで，各節点でその節点を含む要素における hnewe

を要素面積の重みを付けて平均化させ，節点での hnewe を新しく定義する．この hnew

e を用い

て，節点とそれらを結ぶ辺上において，上記に示した方法と同じ手法で節点を発生させる．

これは，節点においては，その節点上に発生させた節点があれば採用し，辺においては，そ

の辺上に発生させた節点があれば採用するものである．これらの作業を，Remesh する前の

Mesh の全ての要素に対して行うことにより，解析領域全体に節点を発生させる．


このようにして発生させた節点において，Delaunay法を用いて要素を生成させる．さらに，

より正三角形に近い形状にする目的と，節点の発生をより連続的にするために，Laplacian

法を用いて節点を移動させる．

この節点の発生手法を見てみると，要素ごとに必要な節点のみを発生させていく手法であ

るため，あらかじめ，多くの節点を全領域に発生させ，該当しない節点を除外していく方法

に比べて，非常に節点の発生が高速に行えると考えられる．また，多くの節点を全領域に発

生させるために必要な記憶容量が必要なくなるので，その記憶容量を節約できる．

θ θ1 2

1

2

r

r

1 2datum line

図 2.4: 放射基準線法

2.5.2 生成例

ここに放射基準線法の生成例を示す．図 2.5のような任意領域に対しても規則正しく節点

を発生できているのがわかる．図 2.8は円柱流れ解析に用いる要素分割である．この要素分

割は正則な要素分割より渦ができやすく，より正三角形に近い形状なため，その効力を発揮

しているのである．


Node : 423, Element : 647　

図 2.5: 霞ヶ浦：放射基準線法

Node : 1636, Element : 3116　

図 2.6: 円柱流れモデル：放射基準線法


2.5.3 生成した要素の検証

２次元自動要素分割法を用いて生成された有限要素メッシュが，有限要素法に適用できる

か検証した．有限要素法に適用できなければメッシュとしての意味を成さない．有限要素法

に適用できない場合，その原因として考えられることは，要素を構成する節点が半時計回り

でつながっていないことや，他の要素を突き破って要素が形成された場合が考えられる．生

成された要素の面積をチェックし，面積が零以下の要素が生成されていた場合は有限要素法

に適用できない．また，扱う問題によっては境界条件の設定の際に死メッシュを生む可能性

があることに注意したい．検証に用いたメッシュは，鹿児島県の川内川の写真から境界の節

点を拾い出し，放射基準線法を用いて節点を発生させた．基礎方程式に浅水長波方程式を適

用し，上流部に一定流量を与えたときの流速の結果を示す．図の通り良好な結果が得られ，

メッシュの有効性を示すことができた．メッシュの総節点数は 1351，総要素数は 2371である．


Node : 1351, Element : 2371　

図 2.7: 川内川 : 放射基準線法

S1

図 2.8: 流速ベクトル

第 3 章

三次元Delaunay四面体分割

本章では, 二次元の Delaunay 三角分割法を三次元に拡張して，三次元De-

launay 四面体分割法のアルゴリズムと要素生成法を紹介する．２次元から３

次元に拡張するにあたり，アルゴリズムは野島が考案したアルゴリズムを採用

した．このアルゴリズムは従来のアルゴリズムに比べて計算速度を格段に向上

することに成功している．

3.1 概要

任意形状をした三次元領域を対象とできる自動要素分割法は三次元有限要素法を用いる場

合不可欠なツールである．そこで，幾何学的に複雑な対象領域を想定して，より複雑な領域

も表現できる四面体要素を用いる．

第 3 章三次元Delaunay四面体分割 19

3.1.1 アルゴリズム

本研究では野島の開発したアルゴリズムを採用しているが，従来のアルゴリズムをここに

紹介する．図 3.3は，Delaunay 四面体分割のアルゴリズムである．まず最初に仮想四面体を

設置する．次に第１点を設定する．この点は仮想四面体の内部に設定され，この点と仮想四

面体の４頂点を利用して４個の四面体に仮想四面体を分割する．続いて第２点を領域に発生

させ，その点を含む四面体を探し，その四面体を４個の小四面体に分割する．しかし，三次

元の場合，節点が発生する場所は３パターン存在する．四面体内部，面上，辺上である．要

素生成終了後，その新しく生成された要素の外接球が他の節点を含むかどうか調べられる．

もし，含む場合は局所変換を行う．新しく作られた要素全部に対してこの局所変換の有無は

調べられるため，局所変換がすべて終了後に，次の節点の挿入となる．最後に，すべての節

点を終了すれば四面体分割の終了となる．このアルゴリズムは２次元のDelaunay三角分割

法のアルゴリズムをそのまま３次元に拡張したものである．


4

1

3

2

図 3.1: 四面体要素

a

b

c

d

e

f

g

h

a

b

c

d

e

f

g

h

dividing into four tetrahedradividing into four tetrahedraP P

図 3.2: 従来の三次元 Delaunay 四面体分割


set of supertetrahedron

insertion of one point ( do i=1, node )

locate tetrahedron which encloses the point

Delaunay tetrahedrization by insertion of the point

inside face edge

4 elements 3 elements 2 elements

check if the point lies inside the circumscribed sphere

insideoutside

swappingi < node

Yes

No

output results by 3 dimensional Delaunay tetrahedrizaion

3 elements

図 3.3: 従来の三次元 Delaunay 四面体分割のアルゴリズム


続いて，野島の開発したアルゴリズムを図 3.5に示す．従来のアルゴリズムと大きく違う

ところは，領域内に発生させた節点を含む要素を，すぐに４個の小四面体に分割しないとい

うところである．野島のアルゴリズムでは，発生させた節点を外接球内に含んでいる要素を

全て探し出し，探し出された要素群の共有面を除去して多面体を形成する．そして，多面体

の頂点と，発生させた節点とを結ぶことで新たな要素が生成される．従来は１つの要素を４

つの小四面体に分割し，それぞれの小四面体とその周辺要素に対してDelaunay分割が成立

しているかどうか調査していた．Delaunay分割が成立していない場合には局所変換をし，全

ての領域においてDelaunay分割が成立するまで局所変換を繰り返していた．局所変換を繰

り返す作業は，要素数が増えれば増えるほど全体の作業に占める割合が大きくなる作業であ

る．この作業を行わない野島のアルゴリズムは飛躍的な計算時間の短縮を実現した．

a

b

c

d

e

f

g

h

a

b

c

d

e

f

g

h

Generate the new tetrahedraGenerate the new tetrahedraP P

図 3.4: 三次元 Delaunay 四面体分割


set of supertetrahedron

inserting of one point (do i=1,node)

locate tetrahedron which encloses the point

search and collect all elements which enclos the point in thier circumscribed sphere

swapping

new elements

i = node No

Yes

output 3-dimensional Delaunay tetrahedral elements

図 3.5: 三次元 Delaunay 四面体分割のアルゴリズム


3.2 要素生成法

対象領域に対して四面体要素群で埋め尽くすための生成法を紹介する．本手法はできるだ

け制約をつけずに純粋に要素を生成させていくことに重点をおく．

3.2.1 四面体の隣接関係

三次元でも二次元と同様に要素の隣接関係はもっとも重要なデータである．特に本手法の

アルゴリズムは局所的に隣接した要素間で作業を行うことが多いので，隣接関係のパターン

は正確に把握しなければならない．

ここに三次元の要素生成において用いる重要なデータを紹介する．対象領域を四面体要素

で埋め尽くすことに関しては，この２つのデータしか用いる必要はない．

4

1

2

J3

J2J4

J1

3

MTJ : 要素-節点関係

JAC : 要素-隣接要素関係

図 3.6: Delaunay四面体分割に必要なデータ


3.2.2 節点の標準化と仮想四面体

まず最初に図 3.7のような標準化された領域を覆う仮想四面体 (Supertetrahedron)を設置

する. 挿入するすべての節点座標を一辺が 1 の立方体の内部に収まるように節点座標を変更

する．つまり，節点は標準化された領域に発生させるので，この仮想四面体を用いることに

より,全ての挿入点がどこかの四面体内部に含まれることになり，同じ過程で要素生成が可

能になる. よって，アルゴリズムの統一化ができる.

(0,1,0)

(0,0,1)

(1,0,0)

Y

Z

X

図 3.7: 仮想四面体


3.2.3 節点の探査

要素生成を行う際に，その節点がどの四面体内部にあるのか見極める必要がある．そして，

いかにその節点のある場所を正確に探し出すかが，実はかなり重要なことである．なぜなら，

もしこの探査で間違った要素を指定していたら，要素生成はたちまち間違った方向に進んで

しまい，壊れてしまう．さらに，要素が増えれば増えるほど探査の時間は重大な問題になっ

てくるので，いかに正確で迅速な探査方法を確立するかも大きな課題である．

本研究では，ローソン探査法を三次元に応用して行う (図 3.8)．二次元のローソン探査法

は「第 i点はその三角形のどの辺に対しても左側に位置するかどうか」で判定を行う．もし，

ある辺に対して点 iが右側に位置すれば，その辺を共有する三角形に場所を移して同じ操作

を繰り返す．

三次元では，２つパターンを用いて探査している．

ひとつは三次元空間における凸多角形の向きで求める．つまり，凸多角形の頂点列が時計

回りの向きか，あるいは反時計回りの向きかで内外判定を行う．

たとえば，一直線上にない３点 p1, p2, p3が与えられたとする．三角形を含む無限平面の解

析的表現は次式で得られる．

f(ν) ≡ (p2 − p1) × (p3 − p2) · (ν − p1) (3.1)

平面内の３点は三角形を定義できるので，三角形は平面の一方の側から見ると反時計回りの

向きであり，他方の側からは時計回りの向きとなり，明らかに，向きは平面のどちら側から

三角形を眺めるかに依存する．法線ベクトルの方向は三角形が反時計回りの向きに見える平

面の側をいい，すなわち，f(e)が正ならば向きは反時計回り，f(e)が負ならば向きは時計回

りである．f(e)が 0 ならば e は平面内にあり，問題の意味がなくなる．

もうひとつの方法は，節点が発生された場合，四面体内部なら凸多角形の向きで求める方

法で探査できるが，面上と辺上に関しては，その点を含む四面体は隣接要素分存在してしま

い，確定することが困難である．そして，面と辺を個々に見たとしても，その点が四面体の

またどこの面か，どこの辺か特定することが必要である．そこで，面と辺の正確な位置を確

定するために体積計算を用いる．その節点をその四面体内部に発生させたとして体積計算を

する．もし，１つの小四面体の体積が 0 ならば，その四面体の面に節点が存在する．もし，


２つの小四面体の体積が 0 ならば，それらの四面体の辺に節点が存在する．探査法は小四面

体の体積が負になった方角に挿入点があるので，負になった方の隣接要素へ移動する．

図 3.8: ローソン探査法

n

p1=(x1,y1,z1)

p2=(x2,y2,z2)

p3=(x3,y3,z3)

図 3.9: 平面の法線ベクトル


3.2.4 外接球の半径の求め方

0

P

r

dP

P

P

P

1

2 3

4

5

図 3.10: 四面体 [P1P2P3P4]の外接球

四面体の外接球の中に他の節点を含んでいるか含んでいないか確かめることは局所変換の

有無に関わることであり，これもまた正確に求めたい．

外接球の求め方は，次式で求められる．四面体の頂点P1 (x1, y1, z1), P2 (x2, y2, z2), P3 (x3, y3, z3),

P4 (x4, y4, z4) が必要である．まず，外接球の中心座標O (x, y, z) を次式で求める．

x =r12(y4 − y3) (z3 − z2) − (y3 − y2) (z4 − z3)

2V

+r23(y2 − y1) (z4 − z3) − (y4 − y3) (z2 − z1)

2V

+r34(y3 − y2) (z2 − z1) − (y2 − y1) (z3 − z2)

2V

y =r12(z4 − z3) (x3 − x2) − (z3 − z2) (x4 − x3)

2V

+r23(z2 − z1) (x4 − x3) − (z4 − z3) (x2 − x1)

2V

+r34(z3 − z2) (x2 − x1) − (z2 − z1) (x3 − x2)

2V


z =r12(x4 − x3) (y3 − y2) − (x3 − x2) (y4 − y3)

2V

+r23(x2 − x1) (y4 − y3) − (x4 − x3) (y2 − y1)

2V

+r34(x3 − x2) (y2 − y1) − (x2 − x1) (y3 − y2)

2V(3.2)

r12 = x21 + y2

1 + z21 − x2

2 − y22 − z2

2

r23 = x22 + y2

2 + z22 − x2

3 − y23 − z2

3

r34 = x23 + y2

3 + z23 − x2

4 − y24 − z2

4 (3.3)

V = (x2 − x1) (y3 − y2) (z4 − z3)

+ (x3 − x2) (y4 − y3) (z2 − z1)

+ (x4 − x3) (y2 − y1) (z3 − z2)

− (x2 − x1) (y4 − y3) (z3 − z2)

− (x3 − x2) (y2 − y1) (z4 − z3)

− (x4 − x3) (y3 − y2) (z2 − z1) (3.4)

式 3.2で求められた外接球の中心座標を用いて，外接球の半径を求める．もし，外接球の

半径が他の節点までの距離より長かった場合は，その外接球に節点を含むことになるので局

所変換を行う必要性が出てくる.

r =√

(x − xi)2 + (y − yi)

2 + (z − zi)2 (3.5)

(i=1,2,3,4)


3.3 数値誤差への対策

　数値誤差により外接球に挿入された節点を含むか含まないかの判定が誤る場合がある．

そのような場合には，ある要素を突き破って別の要素が存在してしまうような現象が起こ

る．このとき，要素の体積が負となり計算格子として不適切となる．挿入された点が外接球

表面にあるか外接球表面に非常に近い場合，外接球内に節点を含んでいるにも関わらず，計

算誤差により外接球に含まれないと判断してしまう．節点と球中心との距離が，球の半径 r

と許容誤差（r × ε）の和よりも小さいときにはその節点に含まれると判定する．ここで ε

は 10−12を用いた．このような対策をすることで，体積負の要素が生成されないようにした．

正しく要素探査が行われた場合要素探査が失敗した場合

図 3.11: 数値誤差によるエラー


3.4 表面生成

Delaunayにより生成される要素群はアルゴリズム上、凸領域にしか適用できない．つま

り、非凸の部分は別にその表面を生成する必要がある．表面の生成は表面部分の外側や内側

近傍に節点を発生させることにより可能である．山下優耶らはコピー点を用いることにより

表面を生成している. ここに手順を紹介する．まず始めに表面の節点情報が必要である (図

3.19(a)). 次に表面内部を教えるために基準コピー点を設け (図 3.19(b))，表面の点は一番近

い基準コピー点を用い，表面の内側近傍に新しくコピー点を発生させる (図 3.19(c)). ここ

で，コピー点は表面を生成するために節点として扱われるが，基準コピー点は節点ではな

く，あくまでもコピー点を発生させるための基準として扱われる．そして，要素を生成する

ために Delaunay 四面体分割を行う (図 3.19(d))．ここで生成された要素は３つに分類され

る (図 3.19(e))．表面の点のみで構成された四面体，表面の点とコピー点で構成された四面

体，コピー点のみで構成された四面体である．最後に表面の点のみで構成された四面体だけ

を取り除いて終了となる (図 3.19(f))．これらにより，非凸領域は節点のみで生成することが

できる．


(a)表面データ (b)基準コピー点

(c)コピー点の発生 (d)Delaunay 四面体分割

33

333 3

3 33

33

33

32

22

2

22

2 2 22

22

2 2 22

222 2

222

22

222

2

11

11

11

(e)四面体の分類

33

333 3

3 33

33

33

32

22

2

22

2 2 22

22

2 2 22

222 2

222

22

222

2

(f)外部要素の除去

図 3.12: 表面生成


しかしながら，仮想節点の設置に関しては，節点と仮想節点との適切な距離の決定や仮想

節点の個数の決定は難しい．節点と仮想節点との距離が適切でなかったり，仮想節点が多す

ぎたり少なすぎたりする場合によっては求めたいモデルができないこともあり，仮想節点の

自動設置に関してはまだ検討の余地がある．Delaunay分割の性質を理解し，バランス良く

仮想節点を設置することが，適切な仮想節点の自動設置には不可欠である．中空の円柱メッ

シュを作成する例を用いて，仮想節点のバランスについて示す．中空の円柱メッシュを作成

する手順は仮想節点を含めた節点配置を用意して，Delaunay分割を施す．そして，仮想節

点を含む要素を取り除いて完了となる．一般的に仮想節点は取り除きたい非凸領域や内部領

域の近傍に設置する．しかし，領域の形状によっては拉げた要素が発生しやすくなる．拉げ

た要素が多ければ多いほど，分割失敗の不安材料が増えることになる．仮想節点を中空の円

柱の内側のみに設置したものと，円柱の内側と，中心に１点設けたものとで仮想節点除去前

の断面の要素の比較を行った．??の左と右を比べると，拉げた要素が少ないのは右のほうで

ある．このように，仮想節点の設置は最終的なメッシュの出来にも影響を与えかねず，今後

検討すべき課題である．

円柱モデル内部の様子

図 3.13: 中空をもつ円柱モデル


境界近傍のみに仮想節点を配置した例円柱中心に仮想節点を追加した例

図 3.14: 仮想節点配置

境界近傍のみ仮想節点がある場合の断面円柱中心に仮想節点がある場合の断面

図 3.15: 不要な要素除去前の断面比較


3.5 要素の検証

ここでは，３次元Delaunay分割法を用いて作成したメッシュの有効性を検証する．作成し

たメッシュが有限要素法に適用できなければ何の意味も成さない．そこで，数値解析例を通

して作成したメッシュの有効性を検証する．検証に用いたメッシュは矩形内にプロペラの形

状の内部境界を持つものである．プロペラの断面形状はM-F073という産業技術総合研究所

と富士重工業株式会社との共同開発のものをもとに作成した．総節点数は 5858，総要素数は

21827である．数値解析には以下に示すポテンシャル流れを基礎方程式とし，有限要素法で

解析した．解析領域と基礎方程式は 3.16に示す．解析の条件は z=5.0上の x-y平面に φ=2.0

z=-5.0上の x-y平面に φ=1.0 を与えた．x=-2.5，x=0.0，x=2.5のときの各 y-z断面でのポ

テンシャル分布を図 3.17に示す．プロペラを有する断面においても安定した解が得られてお

り，メッシュの有効性を示すことができた．


解析領域

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2+

∂2φ

∂z2= 0 in Ω (3.6)

φ = φ on Γ (3.7)

図 3.16: 3次元ポテンシャル流れ


x=0.0

x=-2.5 x=2.5

図 3.17: y-z断面でのポテンシャル分布


3.6 要素生成例

３次元Delaunay分割法を用いた要素生成例を示す．福井県の笠倉トンネルの有限要素メッ

シュを作成した．総節点数は 11656，総要素数は 53904である．表面とトンネル内部の非凸

領域に対してコピー点を用いて不要な要素の除去を行った．任意の３次元メッシュの作成が

可能であることを示せたが，作成するモデルにユーザーの意図を反映させる必要があるため，

プラスアルファの作業が要求されることもある．例えば，この笠倉トンネルモデルはトンネ

ル切り端へ発破外力を与えるという想定があったため，トンネル切り端とその周辺において

節点密度を濃くして作成した．

図 3.18: 笠倉トンネル


笠倉トンネル全体

トンネル切り端１トンネル切り端２

図 3.19: 笠倉トンネル内部

第 4 章

リメッシング

本章では風車の回転に伴い，解析領域の一部を修正していくリメッシングの

手法について紹介する．

4.1 概要

本研究では，リメッシングにおいてもDelaunay分割法を利用する．解析領域をプロペラ

を包含する領域とその他に分けて，プロペラが回転するたびに領域同士をつなぎ合わせてい

く．３次元解析を行う場合，扱うデータの量は膨大であるため，リメッシングを全領域にか

けて行うか，領域を限定して行うかによって全解析時間に大きく影響を及ぼす．本研究では

解析領域を分断し，リメッシング範囲を限定する手法を提案する．

第 4 章リメッシング 41

4.2 リメッシングの方法

図のように解析領域を２つに分ける．１つはプロペラを包含する領域で，もう１つはそれ

以外の領域である．プロペラを包含する領域はプロペラの軸を円の中心とした円柱状に作成

する．この２つの領域のうち，プロペラの回転に伴って節点の座標が変化するのは図のほう

のみである．図 4.1 の領域は計算開始から終了まで座標値は変わらない．また，回転する領

域は，座標値は変化するが節点番号と要素番号の関係はそのまま保たれる．図 4.1 と図 4.2

の境界部分の節点を取り出し，Delaunay分割の節点配置として要素を生成する．非凸領域

であるためコピー点を用いて不要な要素は取り除く．図 4.1と図 4.2と，境界部分のメッシュ

4.3 をつなぎ合わせてリメッシングが完了する．リメッシングに必要なデータは，図 4.1と

4.2の節点，要素データとそれぞれの境界の節点番号があればよい．それらが揃えばメッシュ

同士をつなぎ合わせることも容易である．図に示すのはプロペラが回転し，リメッシュを

行ってつなぎ合わせたあとのメッシュである．リメッシング手法には他にもシェアスリップ

法がよく知られているが，３次元要素に適用する場合，メッシュ同士をつなぎ合わせるプロ

グラミングは複雑なものとなる．それに対して本手法ではDelaunay分割法を用いているの

で任意の節点配置で要素生成が可能である．リメッシングの場合でもこの利点を生かすこと

ができる．


図 4.1: 回転しない領域

図 4.2: 回転する領域図 4.3: つなぎ目のメッシュ


回転前の全体図回転後の全体図

回転前のプロペラ回転後のプロペラ

図 4.4: リメッシングの前後

第 5 章

風車周りの流体解析

本章では，数値解析例としてプロペラ周りの流れ解析を示す．解析を行うに

あたり，解析領域の作成，リメッシングとリメッシングに伴う流速の補間など

を行う必要がある．本章ではそれぞれについて示す．

5.1 解析領域

図 5.1 のように解析領域は３次元矩形の内部にプロペラを置く．風車の中心を原点とし，

風車は y－ z平面上で回転するものである．x軸方向に一定流速を与え風況を解析する．プ

ロペラは３翼とし，メッシュ作成にあたり，基本断面形状はM-F073の１翼をもとにし，３

翼をつないだ．M-F073は産業技術総合研究所と富士重工業株式会社との共同開発によるも

のである．作成したメッシュは図 5.2 に示す．節点数と要素数は 54070と 295580である．プ

ロペラの表面上の節点数は 3455である．

u

図 5.1: 解析モデル

第 5 章風車周りの流体解析 45

全体解析領域

プロペラ拡大図

図 5.2: 解析領域


5.2 基礎方程式

　本研究では流れ場は非圧縮粘性流れを仮定し，以下に示す非圧縮 Navier-Stokes方程式

を基礎方程式として用いている．ブレード長と流入風速により、基礎方程式を無次元化して

いる．

ui + ujui,j + p,i − ν(ui,j + uj,i),j = fi, in Ω (5.1)

ui,i = 0, in Ω (5.2)

ここで u，p，f は流速，圧力，外力項を示し，νは流体の粘性係数を示す．離散化手法に

は空間方向には流速場に安定化気泡関数，圧力場には線形一次関数を用いる混合補間を適用

した．時間方向には fractional step法を適用し，更なるメモリと計算時間の削減を可能にし

た．ソルバーにはElement by element共役勾配法を用い，連立一次方程式を解く．本研究で

はレイノルズ数 250，時間増分量 0.01とし，無次元時間 50まで解析を行った．


気泡関数補間

ui = Φ1ui1 + Φ2ui2 + Φ3ui3 + Φ4ui4 + Φ5ui5, (5.3)

ui5 = ui5 − 1

4(ui1 + ui2 + ui3 + ui4) ,

Φ1 = L1, Φ2 = L2, Φ3 = L3, Φ4 = L4, Φ5 = 256L1L2L3L4,

線形一次補間

pi = Ψ1pi1 + Ψ2pi2 + Ψ3pi3 + Ψ4pi4, (5.4)

Ψ1 = L1, Ψ2 = L2, Ψ3 = L3, Ψ4 = L4,

気泡関数要素線形一次要素

図 5.3: 混合補間


5.3 節点の補間

　リメッシング後の流速についてはリメッシング後の節点がリメッシング前のどの要素内

に含まれるかを探索し，探索された要素を構成する節点（リメッシング前の節点）から線形

一次関数を用いて補間する．そのため，前ステップでの解析領域は保存しておく必要がある．

Up = Φm1Um1 + Φm2Um2 + Φm3Um3 + Φm4Um4, (5.5)

Upは更新された流速で，Umi，Φmi (i=1,4)は更新前の要素が持つ流速と線形基底である．要

素を探索する際には最短経路で探索できるローソン探査法を適用した．探索の際の注意とし

て，全領域を対象とした場合には探索終了するまでに時間がかかる．プロペラ周辺以外はリ

メッシュしていないので，探索対象はプロペラ周辺に限定する．そうすることで，計算時間

は短縮される．

図 5.4: 節点の補間


5.4 解析結果

図 5.5には１回のメッシュ生成時間について，全体領域を作成する場合と，本研究で提案す

るメッシュとメッシュのつなぎ目のみをリメッシュする場合との比較を示した．時間ステッ

プ毎に 20分以上の違いが出るので大幅な計算時間の短縮ができたといえる．図 5.5には無次

元時間 10，30，50のときの流線図と圧力分布図を示した．　流線図，圧力図からプロペラ

後方で渦が発生している様子がよくわかる．

図 5.5: メッシュ作成時間の比較

メッシュ作成範囲　　計算時間

全領域　　　　　　　 24min

つなぎ目のみ　　　　 3sec


無次元時間 10

無次元時間 30 無次元時間 50

図 5.6: 流線図


無次元時間 10

無次元時間 30 無次元時間 50

図 5.7: 圧力分布図

第 6 章

結論

本章では, 本研究より得られた結論と今後の課題について述べている.

6.1 結論

本研究では任意の２次元領域を生成できるDelaunay 三角分割法３次元に拡張した．生成

した要素の検証結果より，三次元 Delaunay 四面体分割法の有効性を示すことができた. し

かし，この手法は基本的には凸領域にしか適用できず，非凸領域に対しては手法を工夫・変

更する必要がある. そこで，非凸領域には仮想節点を表面近傍に発生することにより表面を

生成することができた．仮想節点の発生は複雑な非凸領域の表面を生成するのに有効である．

また，移動境界問題を解くためのリメッシング手法について示した．３次元問題を扱う場合

には全解析領域を更新すると多くの時間を費やすことになる．本研究では解析領域の一部分

のみを更新することで，時間ステップ毎のリメッシュ時間を大幅に削減できた．本手法は３

次元の移動境界問題に有効である．最後に，任意の３次元要素作成とリメッシングを実現し

たことで，風車周りの流れ解析を行うことができた．

第 6 章結論 53

6.2 今後の課題

ここに，今後の課題について述べる．まず，Delaunay 四面体分割に関しては完成度が高

いことを示すことが出来た．しかし，四面体分割ができない場合もある．例えば，節点の探

査で挿入点を含む四面体を探すときに，もし正確にその節点の位置を探すことが出来なかっ

た場合，そこから四面体分割は破壊される．より細かい節点配置になればなるほど，その可

能性は高い．計算誤差によるエラーと対策については前述しているが，今後生成することが

できないモデルが出現する可能性は無くなることはない．よって，より正確で迅速な探査方

法の探求は必要である．また，仮想節点の配置に関しては，全自動で配置できることが望ま

しいが，仮想節点と節点との距離によってメッシュの出来に違いが出ることがあるため今後

検討すべき課題といえる．風車周りの流れ解析については，プロペラの設置角度やプロペラ

の形状をより実物に近づける必要がある．本研究では翼の１翼から詳細にデータを得られた

が，中心接合部分は正確なデータが得られなかった．以上が今後の課題といえる．

謝辞

本論文をまとめるにあたり，著者に本研究を行う機会を与えて下さいました中央大学　理

工学部　土木工学科の川原睦人教授には，三年間の長きにわたり，数多くのご指導とご助言

を賜りました．更に，研究の成果を国内外の学会問わず発表する機会を数多く与えて頂き，

特にアメリカ，オーストリアでの国際会議にて発表したことは，この上ない大変貴重な経験

となりました．これらの経験から世界の広さ，異文化に触れること，異文化の人々と触れ合

うこと，自分の意見を如何にして相手に伝えるかということなど多くのことを学ぶことがで

きました．そして，素晴らしい同期，先輩，後輩と巡り合わせていただきました．ここに心

より感謝の意を表します．

本論文をまとめるにあたり，中央大学　理工学部　土木工学科の山田正教授，樫山和男教

授をはじめ，土木工学科先生方から貴重なご意見とご指導を賜りました．ここに感謝の意を

表します．

本論文をまとめるにあたり，昨年度博士後期過程を卒業された野島和也氏には，数多くの

アドバイスと技術を教えて頂きました．野島氏と出会えなければここまで充実した研究生活

を送ることはできなかったと思っております．ここに心より感謝の意を表します．

本論文をまとめるにあたり，博士後期過程の中島修治氏，高橋佑弥氏，また昨年度博士後

期過程を卒業された倉橋貴彦氏には研究面はもちろんのこと，公私共にお世話して頂き，色々

なことを学ばせていただきました．ここに心から感謝の意を表します.

本論文をまとめるにあたり，fictitious domainチームのリーダーであり同期である室井拓

也君には多くのアドバイスをいただきました．ここに心から感謝の意を表します.

本論文をまとめるにあたり，中央大学理工学部土木工学科応用力学研究室の多くの方々の

ご協力を頂きました．

特に，同期であります小倉一広君，加藤拓君，上川朱子さん，関口真一郎君，宮岡徹也君，

第 6 章結論 55

室井拓也君，には川原研究室の三年間，石山紘君，中村冶樹君には学部時代の一年間，多く

のアドバイスを頂くと共に，本研究をまとめるにあたり数々のご協力を頂きました．ここに

感謝の意を表します．特に，修士課程まで一緒に苦楽を共にした６名への感謝の気持ちは言

葉に表しきれません．研究が行き詰まり，精神的にも辛い日々を乗り越えられて来たのも，

このＭ２，７名の団結力と行動力, そして，明るさがあったからこそだと思っています．こ

の中で誰一人欠けていても今の自分はなかったと思います．これからも良きライバルとして，

そして生涯の友として頑張っていきましょう．

更には修士一年生の尾島康則君，水谷千尋君，山崎大介君，学部４年生の星子遼君，坂本

雅人君をはじめとする後輩達の協力で楽しく研究を進めることができました．特に，修士二

年になってからの研究生活はかわいい後輩達に囲まれながら楽しく迎えることが出来ました．

ここに感謝の意を表します．今後のご活躍を心から祈っています．

最後に何不自由なく研究に没頭できる環境を与えてくれ，著者を２４年間ここまで育て

支えつづけてくれた両親は世の中で一番尊敬する人であり，両親には心より感謝の意を表し

ます．

平成２０年３月７日　研究室にて

幼方　和基

参考文献

[1] 谷口健男 : FEMのための要素自動分割　デローニー三角分割法の利用，森北出版株式

会社，1992.

[2] 山口優耶，森脇清明，谷口健男 : ３次元体表面上の点座標が与えられた場合の形状生成

法，日本計算工学会論文集，Vol.3, 2001.

[3] 松本純一，梅津剛，川原睦人 : 線形型気泡関数を用いた非圧縮性粘性流体解析と適応型

有限要素法，応用力学論文集, Vol.2, 1999.

[4] 松本純一，梅津剛 : アダプティブリメッシング法を用いたデローニー分割型メッシュ生

成法の開発，計算工学講演会論文集，Vol.4, 1999.

[5] 程原　忠 : 任意三次元ＤＥＬＡＵＮＡＹ四面体分割の研究，中央大学大学院修士論文,

2001.

[6] 野島和也 : 都市に於ける風環境の数値解析に関する研究，中央大学大学院修士論文,

2002.

[7] 野島和也 : ３次元有限要素解析のためのメッシュ生成手法関する研究，中央大学大学院

博士論文, 2007.

[8] 原田一孝 :Ｆｉｃｔｉｔｉｏｕｓ　Ｄｏｍａｉｎ法を用いたプロペラ周り流体解析，中

央大学大学院博士論文, 2005.

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