Wstęp do układów statycznych
Transcript of Wstęp do układów statycznych
![Page 1: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/1.jpg)
Wstęp do układów statycznych
Marcin Kotowski, Michał Kotowski
Uniwersystet Warszawski
1 maja 2010
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 2: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/2.jpg)
Wprowadzenie
Standardowe układy dynamiczne - przestrzeń X wraz zprzekształceniem f : X → X zachowującym strukturę. Typoweprzykłady:
X - przestrzeń metryczna, f - przekształcenie ciągłe
X - przestrzeń z miarą µ, f - mierzalne zachowujące miarę
X - rozmaitość, f - przekształcenie gładkie
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 3: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/3.jpg)
Wprowadzenie
Standardowe układy dynamiczne - przestrzeń X wraz zprzekształceniem f : X → X zachowującym strukturę. Typoweprzykłady:
X - przestrzeń metryczna, f - przekształcenie ciągłe
X - przestrzeń z miarą µ, f - mierzalne zachowujące miarę
X - rozmaitość, f - przekształcenie gładkie
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 4: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/4.jpg)
Wprowadzenie
Standardowe układy dynamiczne - przestrzeń X wraz zprzekształceniem f : X → X zachowującym strukturę. Typoweprzykłady:
X - przestrzeń metryczna, f - przekształcenie ciągłe
X - przestrzeń z miarą µ, f - mierzalne zachowujące miarę
X - rozmaitość, f - przekształcenie gładkie
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 5: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/5.jpg)
Wprowadzenie
Układy statyczne - szczególna klasa układów.
Definicja
Układem statycznym nazywamy przestrzeń X (topologiczną, zmiarą, ...) wraz z przekształceniem f : X → X o następującejwłasności:
∀ x ∈ X f (x) = x
Motto
If you think that any time spent on the identity, which seems to donothing, is a waste of time, just wait and see.R. Shankar, „Principles of quantum mechanics”
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 6: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/6.jpg)
Wprowadzenie
Układy statyczne - szczególna klasa układów.
Definicja
Układem statycznym nazywamy przestrzeń X (topologiczną, zmiarą, ...) wraz z przekształceniem f : X → X o następującejwłasności:
∀ x ∈ X f (x) = x
Motto
If you think that any time spent on the identity, which seems to donothing, is a waste of time, just wait and see.R. Shankar, „Principles of quantum mechanics”
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 7: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/7.jpg)
Wprowadzenie
Układy statyczne - szczególna klasa układów.
Definicja
Układem statycznym nazywamy przestrzeń X (topologiczną, zmiarą, ...) wraz z przekształceniem f : X → X o następującejwłasności:
∀ x ∈ X f (x) = x
Motto
If you think that any time spent on the identity, which seems to donothing, is a waste of time, just wait and see.R. Shankar, „Principles of quantum mechanics”
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 8: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/8.jpg)
Wprowadzenie
Układy statyczne - szczególna klasa układów.
Definicja
Układem statycznym nazywamy przestrzeń X (topologiczną, zmiarą, ...) wraz z przekształceniem f : X → X o następującejwłasności:
∀ x ∈ X f (x) = x
Motto
If you think that any time spent on the identity, which seems to donothing, is a waste of time, just wait and see.R. Shankar, „Principles of quantum mechanics”
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 9: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/9.jpg)
Wprowadzenie
Badanie układów statycznych jest znacznie trudniejsze odukładów dynamicznych
Nie zakładamy a priori, że przekształcenie f jest kompatybilneze strukturą X (tj. że jest ciągłe, zachowujące miarę, ...)!
Podstawowe Twierdzenie Układów Statycznych (Smale, 1967)
Dla dowolnego układu statycznego (X , f ) przekształcenie f jestautomatycznie zgodne ze strukturą X (odp. ciągłe, gładkie,zachowujące miarę).
(analogia z funkcjami holomorficznymi)
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 10: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/10.jpg)
Wprowadzenie
Badanie układów statycznych jest znacznie trudniejsze odukładów dynamicznych
Nie zakładamy a priori, że przekształcenie f jest kompatybilneze strukturą X (tj. że jest ciągłe, zachowujące miarę, ...)!
Podstawowe Twierdzenie Układów Statycznych (Smale, 1967)
Dla dowolnego układu statycznego (X , f ) przekształcenie f jestautomatycznie zgodne ze strukturą X (odp. ciągłe, gładkie,zachowujące miarę).
(analogia z funkcjami holomorficznymi)
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 11: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/11.jpg)
Wprowadzenie
Badanie układów statycznych jest znacznie trudniejsze odukładów dynamicznych
Nie zakładamy a priori, że przekształcenie f jest kompatybilneze strukturą X (tj. że jest ciągłe, zachowujące miarę, ...)!
Podstawowe Twierdzenie Układów Statycznych (Smale, 1967)
Dla dowolnego układu statycznego (X , f ) przekształcenie f jestautomatycznie zgodne ze strukturą X (odp. ciągłe, gładkie,zachowujące miarę).
(analogia z funkcjami holomorficznymi)
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 12: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/12.jpg)
Wprowadzenie
Badanie układów statycznych jest znacznie trudniejsze odukładów dynamicznych
Nie zakładamy a priori, że przekształcenie f jest kompatybilneze strukturą X (tj. że jest ciągłe, zachowujące miarę, ...)!
Podstawowe Twierdzenie Układów Statycznych (Smale, 1967)
Dla dowolnego układu statycznego (X , f ) przekształcenie f jestautomatycznie zgodne ze strukturą X (odp. ciągłe, gładkie,zachowujące miarę).
(analogia z funkcjami holomorficznymi)
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 13: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/13.jpg)
Własności
Przykładowy zbiór f -niezmienniczy dla układu statycznego na R2.
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 14: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/14.jpg)
Własności
Własności ergodyczne:
f nigdy nie jest mieszające, słabo mieszające ani nawetergodyczne...
ale jest sztywność!
Przypomnienie
T jest sztywne (rigid), jeśli istnieje ciąg nk t.ż.
µ(T−nk (A)∆A)→ 0
Twierdzenie (Sinai, 1971)
Każdy układ statyczny jest automatycznie sztywny.
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 15: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/15.jpg)
Własności
Własności ergodyczne:
f nigdy nie jest mieszające, słabo mieszające ani nawetergodyczne...
ale jest sztywność!
Przypomnienie
T jest sztywne (rigid), jeśli istnieje ciąg nk t.ż.
µ(T−nk (A)∆A)→ 0
Twierdzenie (Sinai, 1971)
Każdy układ statyczny jest automatycznie sztywny.
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 16: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/16.jpg)
Własności
Własności ergodyczne:
f nigdy nie jest mieszające, słabo mieszające ani nawetergodyczne...
ale jest sztywność!
Przypomnienie
T jest sztywne (rigid), jeśli istnieje ciąg nk t.ż.
µ(T−nk (A)∆A)→ 0
Twierdzenie (Sinai, 1971)
Każdy układ statyczny jest automatycznie sztywny.
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 17: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/17.jpg)
Struktura orbit
Patrzymy na orbity X względem działania grupy G = {f n, n ∈ N}.
Twierdzenie o strukturze orbit (Furstenberg, 1978)
Dla dowolnego układu statycznego przestrzeń orbit X/G jestizomorficzna z wyjściową przestrzenią X .
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 18: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/18.jpg)
Struktura orbit
Patrzymy na orbity X względem działania grupy G = {f n, n ∈ N}.
Twierdzenie o strukturze orbit (Furstenberg, 1978)
Dla dowolnego układu statycznego przestrzeń orbit X/G jestizomorficzna z wyjściową przestrzenią X .
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 19: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/19.jpg)
Struktura orbit
Patrzymy na orbity X względem działania grupy G = {f n, n ∈ N}.
Twierdzenie o strukturze orbit (Furstenberg, 1978)
Dla dowolnego układu statycznego przestrzeń orbit X/G jestizomorficzna z wyjściową przestrzenią X .
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 20: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/20.jpg)
Orbity, c.d
Dla układów dynamicznych mamy znane:
Twierdzenie (Li-Yorke, 1975)
Jeśli przekształcenie ciągłe f : [0, 1]→ [0, 1] ma orbitę długości 3a→ b → c dla a < b < c , to ma orbitę dowolnej długości.
Analogicznie dla układów statycznych zachodzi:
Twierdzenie (Szarkowski, 1985)
Jeśli układ statyczny f : [0, 1]→ [0, 1] ma orbitę długości 3, to mateż orbitę długośći 4.
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 21: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/21.jpg)
Orbity, c.d
Dla układów dynamicznych mamy znane:
Twierdzenie (Li-Yorke, 1975)
Jeśli przekształcenie ciągłe f : [0, 1]→ [0, 1] ma orbitę długości 3a→ b → c dla a < b < c , to ma orbitę dowolnej długości.
Analogicznie dla układów statycznych zachodzi:
Twierdzenie (Szarkowski, 1985)
Jeśli układ statyczny f : [0, 1]→ [0, 1] ma orbitę długości 3, to mateż orbitę długośći 4.
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 22: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/22.jpg)
Orbity, c.d
Dla układów dynamicznych mamy znane:
Twierdzenie (Li-Yorke, 1975)
Jeśli przekształcenie ciągłe f : [0, 1]→ [0, 1] ma orbitę długości 3a→ b → c dla a < b < c , to ma orbitę dowolnej długości.
Analogicznie dla układów statycznych zachodzi:
Twierdzenie (Szarkowski, 1985)
Jeśli układ statyczny f : [0, 1]→ [0, 1] ma orbitę długości 3, to mateż orbitę długośći 4.
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 23: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/23.jpg)
Zastosowania
Ważnym zastosowaniem układów statycznych jest teoriarównań różniczkowych zwyczajnych
Dla x ∈ Rn możemy rozważać równanie różniczkowe x = 0 (zustalonym warunkiem początkowym x(0) = x0)
Okazuje się, że dla dowolnego t 0 potok tego równaniapoczasie t, φt , zadaje układ statyczny
Ciekawe pytania - np. istnienie cykli granicznych dla φt
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 24: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/24.jpg)
Zastosowania
Ważnym zastosowaniem układów statycznych jest teoriarównań różniczkowych zwyczajnych
Dla x ∈ Rn możemy rozważać równanie różniczkowe x = 0 (zustalonym warunkiem początkowym x(0) = x0)
Okazuje się, że dla dowolnego t 0 potok tego równaniapoczasie t, φt , zadaje układ statyczny
Ciekawe pytania - np. istnienie cykli granicznych dla φt
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 25: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/25.jpg)
Zastosowania
Ważnym zastosowaniem układów statycznych jest teoriarównań różniczkowych zwyczajnych
Dla x ∈ Rn możemy rozważać równanie różniczkowe x = 0 (zustalonym warunkiem początkowym x(0) = x0)
Okazuje się, że dla dowolnego t 0 potok tego równaniapoczasie t, φt , zadaje układ statyczny
Ciekawe pytania - np. istnienie cykli granicznych dla φt
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 26: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/26.jpg)
Zastosowania
Ważnym zastosowaniem układów statycznych jest teoriarównań różniczkowych zwyczajnych
Dla x ∈ Rn możemy rozważać równanie różniczkowe x = 0 (zustalonym warunkiem początkowym x(0) = x0)
Okazuje się, że dla dowolnego t 0 potok tego równaniapoczasie t, φt , zadaje układ statyczny
Ciekawe pytania - np. istnienie cykli granicznych dla φt
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 27: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/27.jpg)
Problemy otwarte
znaleźć układ statyczny (X , f ) o niezerowej entropii
istnienie miar Gibbsa
układy statyczne o nieskończonej mierze (µ(X ) =∞) - małotwierdzeń, głównie kontrprzykłady
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 28: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/28.jpg)
Problemy otwarte
znaleźć układ statyczny (X , f ) o niezerowej entropii
istnienie miar Gibbsa
układy statyczne o nieskończonej mierze (µ(X ) =∞) - małotwierdzeń, głównie kontrprzykłady
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 29: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/29.jpg)
Problemy otwarte
znaleźć układ statyczny (X , f ) o niezerowej entropii
istnienie miar Gibbsa
układy statyczne o nieskończonej mierze (µ(X ) =∞) - małotwierdzeń, głównie kontrprzykłady
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 30: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/30.jpg)
Bibliografia
D. Anosov, „Handbook of static systems”
O. Szarkowski, „On a point which doesn’t move”
M.B., „Moduli spaces, Heegaard-Floer cohomology and theirapplication to static systems”
Dziękuję za uwagę!
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych
![Page 31: Wstęp do układów statycznych](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012521/61958738869dfc0fed38ebdc/html5/thumbnails/31.jpg)
Bibliografia
D. Anosov, „Handbook of static systems”
O. Szarkowski, „On a point which doesn’t move”
M.B., „Moduli spaces, Heegaard-Floer cohomology and theirapplication to static systems”
Dziękuję za uwagę!
Marcin Kotowski, Michał Kotowski Wstęp do układów statycznych