Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem G ö dla
description
Transcript of Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem G ö dla
Wprowadzenie w problematykę
związaną z twierdzeniem Gödla
PARADOKS PRAWDY
Epimenides z KretyEpimenides z Krety
Ja kłamię
6/7 wiek p.n.e.
Zapętlenie w nieskończoność
M.C. EscherM.C. Escher
Russell: klasy normalne i nienormalne
Mędrzec: kara śmierci
Rozróżnienie pomiędzy językiem i metajęzykiem,Arytmetyką i metamatematyką
Szkic rozumowania Gödla
Numeracja Gödla
Formuła Dem(x,y)
Numer sub(y,13,y)
Skonstruowanie formuły metamatematycznej G
Szkic dowodu kilku twierdzeń
Czytam książkę
Kłamię
Czyli w miarę łatwo jest mówić o języku w języku,
Ale jak zdania o liczbach (twierdzenia) mogą coś komentować o sobie?!
Zdania w teorii liczb (arytmetyce) mówią o własnościach liczb naturalnych, ale nie mówią nic o zdaniach.
Liczby nie są zdaniami, ich własności też nie są zdaniami, ale gdyby każdej formule udało się przyporządkować jednoznacznie numer ?...
ARYTMETYKA <------> METAMATEMATYKA
∃n (2+ n = 4)
∃n (2 + n = 9)
Początek pierwszego
i drugiego zdania jest taki sam
1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie:Formuła G nie daje się udowodnić
Szkic rozumowania Gödla
2) Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy E G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani E G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc:
Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie.
3) Pokazanie, że chociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną.
Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ' (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.
Numeracja GNumeracja Göödladla
mogą
Zatem każde zdanie metamatematyczne jest reprezentowane przez dokładnie jedną formułę należącą do arytmetyki.
Zależności logiczne pomiędzy zdaniami metamatematycznymi są w pełni odzwierciedlone przez związki liczbowe zachodzące pomiędzy odpowiadającymi im formułami arytmetycznymi.
Jako przykład weźmy jeden z aksjomatów w arytmetyce:
(p ⅴ p) ɔ p a = 28 × 311 × 52 × 711 × 119 × 138 × 1711
(p ⅴ p) b = 28 × 311 × 52 × 711 × 119
2 2 2
22
Metamatematyczne zdanie:
Formuła (p ⅴ p) jest początkową częścią aksjomatu (p ⅴ p) ɔ p
jest w arytmetyce odzwierciedlona formułą:
b jest czynnikiem a
METAMATEMATYKA <===> ARYTMETYKA
Ciąg formuł posiadających numer gödlowski x jest dowodem formuły z numerem gödlowskim z
Dem (x, z)
Nazwijmy tak relację, która odpowiada temu
metamatematycznemu zdaniu
Niech podstawienie sub (m, 13, m) oznacza numer gödlowski formuły, którą otrzymuje się z formuły posiadającej numer gödlowski m przez podstawienie za zmienną z numerem gödlowskim 13 (za y) cyfry oznaczającej liczbę „m” (cyfry, która jest symbolem liczby m)
Np. jeśli a jest numerem gödlowskim formuły (∃x) (x = sy )
to
sub (a, 13, a) jest numerem formuły (∃x)(x = sa)
1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie:Formuła G nie daje się udowodnić
Szkic rozumowania Gödla
2) Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy E G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani E G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc:
Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie.
3) Pokazanie, że chociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną.
Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ' (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.
4) Skoro G jest równocześnie formułą prawdziwą i formalnie nierozstrzygalną, to aksjomatyka arytmetyki jest niezupełna.
5) Mało tego, Gödel pokazał jeszcze jak skonstruować formułę arytmetyczną reprezentującą metamatematyczne zdanie:
„Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to jest niezupełna”
i pokazał, że ta formuła jest prawdziwa.
6) Na końcu pokazał także, że formuła odpowiadająca metamatematycznemu zdaniu:
Arytmetyka jest niesprzeczna
nie daje się udowodnić.
Konstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie:
FORMUŁA G NIE DAJE SIĘ UDOWODNIĆ
Korzystając z wprowadzonej arytmetycznej relacji Dem (x, y) oraz przyporządkowania Sub (y, 13, y)
możemy napisać następującą formułę arytmetyczną (x) ' Dem (x, sub (y, 13, y)).
Oznaczmy numer gödlowski tej formuły przez n. Formuła ta reprezentuje metamatematyczne zdanie:
Formuła posiadająca numer gödlowski sub (y, 13, y) nie daje się dowieść.
Dla przypomnienia sub (y, 13, y) to numer gödlowski formuły, którą dostaje się z formuły o numerze
gödlowskim y poprzez podstawienie w niej za zmienną z numerem gödlowskim 13 cyfry oznaczającej liczbę y.
Podstawmy teraz w formule o numerze n cyfrę n za zmienną oznaczoną numerem gödlowskim 13.Dostaniemy:(x)E Dem (x, sub (n, 13, n))numerem tej formuły jest
Sub (n, 13, n) !!!!Zatem na płaszczyźnie metamatematycznej możemy powiedzieć, że formuła ta mówi o sobie samej
że nie daje się udowodnić!NAZWIJMY TĘ FORMUŁĘ ARYTMETYCZNĄ FORMUŁĄ G
Zarys rozumowania pokazującego, że jeśli G daje się dowieść, to również ' G daje się dowieść• założenie, że G daje się dowieść jest tożsame z założeniem, że istnieje ciąg formuł arytmetycznych stanowiących dowód formuły G
• oznaczmy numer gödlowski tego ciągu przez k
• skoro sub (n, 13, n) to numer gödlowski zdania G, to zachodzi relacja arytmetyczna:
Dem (k, sub (n, 13, n))
• z twierdzenia tego za pomoca reguł transformacji elementarnej logiki możemy wywieść formułę:
' (x) ' Dem (x, sub (n, 13, n))
Jest to formuła ~G
Czyli, jeśli można udowodnić G, to można także udowodnić negację formuły G
Chociaż G nie daje się udowodnić formalnie w ramach arytmetyki to jest prawdziwą formułą arytmetyczną
W punkcie 2 pokazaliśmy, że jeśli G daje się udowodnić, to także ' G daje się udowodnić. Zatem jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to G nie daje się udowodnić.
Czyli patrząc na arytmetykę z zewnątrz w metamatematycznym opisie prawdziwe jest zdanie:
Formuła G nie daje się udowodnić.Skoro to zdanie w arytmetyce jest reprezentowane przez formułę G, to jeśli ono jest prawdziwe, to
G też jest prawdziwe
Jednak to, że G jest prawdziwą formułą arytmetyczną wywiedliśmy nie z dedukcji z aksjomatów arytmetyki, tylko z rozumowania
METAMATEMATYCZNEGO