1

第八章 分离变数法 §7.4 先求泛定方程通解的办法只适用于很少数的某些定解问题.本章介绍的分离变数法是定解问题

的一种基本解法,适用于大量的各种各样定解问题.其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程,其

中有的常微分方程带有附加条件而成本征值问题.本章将限于本征函数为三角函数的情况.至于本征函数

不限于三角函数的情况请见第九～第十一章.

§8.1 齐次方程的分离变数法

(一)分离变数法介绍

研究两端固定的均匀弦的自由振动,即定解问题

泛定方程 ,02 =− xxtt uau ( )1.1.8

边界条件

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

=

=

,0

,00

lx

x

u

u ( )2.1.8

初始条件

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

=

=

.

,

0

0

xu

xu

tt

t

φ

ϕ ( ).0 lx << ( )3.1.8

§7.4 已指出端点引起波的反射.这里研究的弦是有限长的,它有两个端点,波就在这两端点之间往复

反射.我们知道,两列反向进行的同频率的波形成驻波.这就启发我们尝试从驻波出发解决问题.

在驻波中,有些点振幅最大,叫作波腹 ( )18 −图 ;还有些点振幅

最小(在图 8-1 中这个最小振幅是零),叫作波节.驻波没有波形传播

现象,就是说,各点振动相位(周相)并不依次滞后,它们按同一方式

随时间 t 振动,可以统一表示为 ( ).tT 但是各点的振幅X却随地点 x 而

异,即振幅 X是 x 的函数 ( )xX .这样,驻波的一般表示式为

( ) ( ) ( ) ( )4.1.8 ., tTxXtxu =

在 ( )4.1.8 里,自变数 x 只出现于 X之中,自变量 t 只出现于 T之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。

那么,在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢?把驻波的一般表示式（8.1.4）代入弦振动方程(8.1.1)和

边界条件(8.1.2),得

,02 =′′−′′ TXaTX （8.1.5）

⎩⎨⎧

==

.0)()(,0)()0(

tTlXtTX

（8.1.6）

条件(8.1.6)的意义很清楚:不论在什么时刻 t,X(0)T(t)和 ( )lX T（t）总是零.这只能是

2

0)0( =X , 0)( =lX , (8.1.7)

注意:由于边界条件是齐次的,才得出(8.1.7)这样简单的结论,关于非齐次边界条件的处理请看§8.3.

现在再看方程(8.1.5),用 a2XT 遍除各项即得

.2 X

XTa

T ′′=

′′

左边是时间 t 的函数跟坐标 x 无关;右边则是坐标 x 的函数,跟时间 t 无关.两边相等显然是不可能的,除非两边实际上是同一个常数.把这个常数记作 λ− .

.2

λ−=′′

=′′

XX

TaT

这可以分离为关于 X 的常微分方程,前者还附带有条件(8.1.7),

( )( )⎩

⎨⎧

===+′′

7.1.8.0)(,0)0(8.1.8,0

lXXXX λ

.02 =+′′ TaT λ ( )9.1.8

先求解 X,以后知道，满足其次条件（8.1.7)，方程(8.1.8)中的常数λ 只能取实数而且 0≥λ （参看§

9.4(二）），这里认为λ是实数，为不失一般性，分为将 0<λ 、 0=λ 和 0>λ 三种可能性逐一考察.

(1) .0<λ 方程(8.1.8)的解是

xx eCeCxX λλ −−− += 21)(

积分常数 C1和 C2 由条件(8.1.7)确定,即

⎩⎨⎧

=+

=+−−− .0

,0

21

21

ll eCeCCC

λλ

由此解出 C1=0,C2=0,从而 ,0)( ≡xX 所求驻波 ,0)()(),( ≡= tTxXtxu 这是没有意义的.于是, 0<λ 的

可能性就排除了. (2) .0=λ 方程(8.1.8)的解是

.)( 21 CxCxX +=

积分常数 C1和 C2 由条件(8.1.7)确定,即

⎩⎨⎧

=+=

.0,0

21

2

ClCC

由此解出 C1=0,C2=0,从而 X( ,0)( ≡x 所求驻波 ,0≡= XTu 没有意义.于是, 0=λ 的可能性也排除了.

(3) .0>λ 方程(8.1.8)的解是

.sincos)( 21 xCxCxX λλ +=

积分常数 C1和 C2 由条件(8.1.7)确定,即

3

⎩⎨⎧

=

=

.0sin

,0

2

1

lC

C

λ

如 ,0sin ≠lλ 则仍然解出 C1=0,C2=0,从而 0),( ≡txu 同样没有意义,应予排除.现只剩下一种可能

性:C1=0, ,0sin =lλ 于是, nnl (πλ = 为整数),亦即

( ),3,2,1.2

22

== nl

n πλ , ( )10.1.8

当λ取这样的数值时,

( ) ,sin2 lxnCxX π

= ( )11.1.8

C2 为任意常数.请注意,(8.1.11)正是傅里叶正弦级数的基本函数族. 这样,分离变数过程中所引入的常数λ 不能为负数或零,甚至也不能是任意的正数,它必须取(8.1.10)所

给出的特定数值,才可能从方程(8.1.8)和条件(8.1.7)求出有意义的解.常数λ 的这种特定数值叫做本征值,相应的解叫做本征函数.方程(8.1.8)和条件(8.1.7)则构成所谓本征值问题.更一般的本征值问题见§9.4。

再看 T 的方程(8.1.9),按照(8.1.10),这应改写为

.02

222 =+′′ T

lnaT π

这个方程的解是

( ) ,sincoslatnB

latnAtT ππ+= (8.1.12)

其中 A 和 B 是积分常数. 把(8.1.11)和(8.1.12)代入(8.1.4),得到分离变数形式的解

( ) ,sinsincos,latn

latnB

latnAtxu nnn

πππ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ( ),3,2,1=n , ( )13.1.8

n 为正整数.这就是两端固定弦上的可能的驻波.每一个 n 对应于一种驻波.这些驻波也叫做两端固定弦的本

征振动.

在 ),,2,1,0( nknklx == 共 计 n+1 个 点 上 , ( ) 0sinsin == ππ klxn , 从 而

( ) 0, =txun .这些点就是驻波的节点.相邻节点间隔 nl / 应为半波长,所以波长= nl2

本征振动(8.1.13)的角频率(又叫圆频率)是 lanπω = ,从而频率 lnaf 22 == πω . .

n=1 的驻波除两端 x=0 和 x=l 外没有其它节点,它的波长 2l 在所有本征振动中是最长的;相应地,它的频

率 la 2 在所有本征振动中是最低的.这个驻波叫做基波. n>1 的各个驻波分别叫做 n 次谐波.n 次谐波的波

长 nl2 是基波的 n1 ，频率 lna 2 则是基波的n倍.

以上本征振动是满足弦振动方程(8.1.1)和边界条件(8.1.2)的线性独立的特解.由于方程(8.1.1)和边界条

4

件(8.1.2)都是线性而且齐次的，本征振动的线性叠加

( ) ,sinsincos,1 l

xnlatnB

latnAtxu

nnn

πππ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ( )14.1.8

仍然满足方程(8.1.1)和边界条件(8.1.2),这就是满足方程(8.1.1)和边界条件(8.1.2)的一般解,其中 An和 Bn

为任意常数,这里尚未考虑初始条件. 下面的任务便是求解定问题(8.1.1)~(8.1.3)的确定解,在数学上,就是要选取适当的叠加系数 An 和 Bn 使

(8.1.14)满足初始条件(8.1.3).为此,以(8.1.14)代入(8.1.3),

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∑

∑∞

=

∞

=

1

1

sin

),(sin

nn

nn

xlxn

lanB

xlxnA

φππ

ϕπ

( )lx <<0 , ( )15.1.8

(8.1.15)的左边是傅里叶正弦级数,这就是提示我们把右边的 )(xϕ 和 )(xφ 展开为傅里叶正弦级数,其傅里叶

系数分别为 nϕ 和 nφ ，然后比较两边的系数就可确定 An 和 Bn，

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅=

==

∫

∫

,dsinB

,dsin2

l

0n

l

0n

ξπξξφπ

φπ

ξπξξϕϕ

ln

anl

anl

ln

lA

n

n

(8.1.16)

至此,定解问题(8.1.1)~(8.1.3)已经解出,答案是(8.1.14).其中系数 An 和 Bn 取决于弦的初始状态,具体计算

公式是(8.1.16).解(8.1.14)正好是傅里叶正弦级数,这是在 x=0 和 x= l 处的第一类齐次边界条件(8.1.2)所决定

的. 回顾整个求解过程,可以作出图解如下:

关键在于把分离变数形式的试探解代入偏微分方程,从而把它分解为几个常微分方程,自变数各自分离开来

了,问题转化为求解常微分方程.另一方面,代入齐次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件,这些条件

与相应的常微分方程构成本征值问题.虽然我们是从驻波引出解题的线索,其实整个求解过程跟驻波并没有

特殊的联系,从数学上讲,完全可以推广应用于线性齐次边界条件的多种定解问题.这个方法,按照它的特点,叫做分离变数法.

用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数.不过,在具体问题中,级数里常常只有前若干项较为

重要,后面的项则迅速减小,从而可以一概略去. (二)例题

前面已研究了区间两端均为第一类齐次边界条件的定解问题.下面例 1 是区间两端均为第二类齐次边

界条件的例题.

偏微分

方程

分离

变数 ⎩⎨⎧

常微分方程2 解 2

常微分方程

1 条件

解 1 ⎭⎬⎫ 本 征 解

（解 2×解 1）

（本征函数）

本征值问题

齐次边 界条边

分离

变数

所求解= ∑本征值

本征解

确定叠加系数 初始 条件

5

例 1 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆,它作纵振动.研究两端自

由棒的自由纵振动,即定解问题

,02 =− xxtt uau （8.1.17）

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

=

=

,0

,00

lxx

xx

u

u （8.1.18）

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

=

=

.

,

0

0

xu

xu

tt

t

φ

ϕ (0<x< l ) (8.1.19)

解 按照分离变数法的步骤,先以分离变数形式的试探解

( ) ( ) ( )tTxXtxu =, (8.1.20)

代入泛定方程(8.1.,17)和边界条件(8.1.18)得

,02 =′′−′′ TXaTX (8.1.21)

( ) ( ) ( ) ,0,0)(0 =′=′ tTlXtTX (8.1.22)

条件(8.1.22)也就是

( ) ( ) .0,00 =′=′ lXX （8.1.23）

再看方程（8.1.21）,用 XTa 2遍除各项即得

XX

TaT ′′

=′′

2

两边分别是时间 t 和坐标 x的函数,不可能相等,除非两边实际上是同一个常数,把这个常数记作 λ− ，

λ−=′′

=′′

XX

TaT

2

这可分离为关于 X 的常微分方程和关于 T 的常微分方程,前者附带条件( )23.1.8

( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=′=′=+′′

23.1.8;0,0024.1.8,0

lXXXX λ

02 =+′′ TaT λ , ( )25.1.8

求解本征值问题 ( )24.1.8 、( )23.1.8 .这是后面§9.4 中施图姆-刘维尔本征值问题的一种，本征值为非负

实数，这里不妨认为λ是实数，分别考察 ,0<λ 0=λ ， 0>λ 三种情况。如果 ,0<λ 只能得到无意

义的解 ( ) .0≡xX 如果 0=λ , 则方程 ( )24.1.8 的解是 ( ) xDCxX 00 += , 代入条件 (8.1.23), 得

0=OD ,于是 ( ) 00 ,CCxX = 为任意常数,这是对应于本征值 0=λ 的本征函数.如果 0>λ ,方程

6

(8.1.24)的解是

( ) xCxCxX λλ sincos 21 +=

积分常数 1C 和 2C 由条件(8.1.23)确定,即

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=

0)cossin(

0

21

2

lClC

C

λλλ

λ

由于 0≠λ , 所以 .0sin,0 12 == lCC λ 如果 ,01 =C 则得无意义的解 ( ) 0≡xX ; 因此

.0sin,01 =≠ lC λ 于是 ),2,1( == nnl πλ ,即 ),,2,1(222 == nln πλ 这是 0>λ

情况下的本征值，相应的本征函数是 ( ) ).,2,1)(cos(1 == nlxnCxX π

现在把 0=λ 与 0>λ 情况的本征值和本征函数合在一起,

),2,1,0(,2

22

== nl

n πλ , ( )26.1.8

),2,1,0(,cos)( 1 == nxl

nCxX π , ( )27.1.8

1C 为任意常数. ( )27.1.8 即傅里叶余弦级数的基本函数族.

当 0≥λ 时,将本征值(8.1.26)代入T 的方程(8.1.25),有

0=′′T 及 ( )0.02

222

≠=+′′ nTl

anT π

其解分别是

,)( 000 tBAtT += ( )28.1.8

( ) ),2,1.(sincos =+= ntlanBt

lanAtT nnn

ππ ( )29.1.8

其中 nn BABA ,,, 00 均为独立的任意常数.

把( )27.1.8 、( )28.1.8 和 ( )29.1.8 代回 ( )20.1.8 ,得到本征振动

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

),2,1.(cossincos,

,, 000

nxl

ntlanBt

lanAtxu

tBAtxu

nnn

πππ ( )30.1.8

7

请注意, ( )30.1.8 中的变数 x 的函数正是傅里叶余弦级数的基本函数族.

所 有 本 征 振 动 的 叠 加 应 是 一 般 解 ( )txu , , 即

( ) ∑∞

=+++=

100 .cos)sincos(,

nnn x

lnt

lanBt

lanAtBAtxu πππ

( )31.1.8

系数 nn BABA ,,, 00 应由初始条件 ( )19.1.8 确定.以 ( )31.1.8 代入 ( )19.1.8 ,有

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

∑

∑∞

=

∞

=

00

00

.cos

,cos

nn

nn

xxl

nBlanB

xxl

nAA

φππ

ϕπ

( )lx ≤≤0

把右边的 ( )xϕ 和 ( )xφ 展开为傅里叶余弦级数,然后比较两边的系数,得

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∫

∫l

l

dl

B

dl

A

00

00

.1

,1

ξξφ

ξξϕ

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∫

∫

.cos2

,cos2

0

0

ξξπξφπ

ξξπξϕ

dl

nan

B

dl

nl

A

l

n

l

n

( )32.1.8

答案(8.1.31)中的 tBA 00 + 描写杆的整体移动,其余部分才真正描写杆的纵振动.从(8.1.32)知道 A0 与

B0 分别等于平均初始位移和平均初始速度.由于不受外力作用,杆以不变的速度 B0 移动.解(8.1.31)正是傅里

叶余弦级数.这是在 0=x 和 lx = 处的第二类齐次边界条件(8.1.18)决定的.

下一个例子是一端为第一类齐次边界条件,另一端为第二类齐次边界条件.

例 2 研究细杆导热问题.初始时刻杆的一端温度为零度,另一段温度为 0u ,杆上温度梯度均匀,零度的

一端保持不变,另一端与外界绝热.试求细杆上温度的变化.

解 杆上温度 ( )txu , 满足下列泛定方程和定解条件

,02 =− xxt uau ( )ρcka =2 , ( )33.1.8

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

=

=

,u

,u

lxx

x

0

00

( )3418 ..

.lxuut 00=

= ( )lx <<0 , ( )3518 ..

泛定方程和边界条件都是齐次的,可以应用分离变数法,首先以分离变数形式的试探解

( ) ( ) ( )tTxXt,xu = ( )3618 ..

代入方程 ( )33.1.8 和边界条件 ( )3418 .. ,可得关于 ( )xX 的常微分方程和条件以及关于 ( )tT 的常微分

方程:

8

( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=′==λ+′′

381800037180..;lX,X..,XX

.TaT 02 =λ+′ ( )3918 ..

( )xX 的方程( )3718 .. 和条件 ( )3818 .. 构成本征值问题,跟前面的例题一样，只需考虑λ为实数的情

况，如果 0<λ 或 0=λ ,只能得到无意义的解 ( ) 0≡xX .如果 0>λ ,则方程( )3718 .. 的解是

( ) xsinCxcosCxX λ+λ= 21 .

积分常数 C1和 C2 由条件( )3818 .. 确定,即

⎩⎨⎧

=λ

=

.lcosC

,C

0

0

2

1

由此仍然得出没有意义的解 C1=0,C2=0,从而 ( ) 0≡xX , 除非是 .lcos 0=λ 在 0=λlcos 的条件

下,C2 是任意常数.条件 0=λlcos ,即 π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=λ

21kl ( ),,,k 210= ,亦即

( ) ,

lk

l

k2

22

2

2

2

4122

1π+

=π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=λ ( ),,,k 210= , ( )4018 ..

( )4018 .. 给出本征值,相应的本征函数是

( ) ( ) .212sin2 xl

kCxX π+= ( ),,,k 210= , ( )4118 ..

再看关于 T 的方程( )3918 .. .根据 ( )4018 .. ,这应改写成

.Tl

kaT 02

1

2

2

2

2 =π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+′

这个方程的解是

( ) .2

222

21

l

tak

k CetTπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= ( )4218 ..

本例的本征函数 ( )4118 .. 即( )

lxksin

212 π+

既不同于第一类齐次边界条件的lxnsin π

,又不同于第二

9

类齐次边界条件的lxncos π

.其实,边界条件 0==lxxu 表明,应当把导热细杆从区间 ( )l,0 偶延拓到区间

( )l,l 2 上 .延拓后 ,条件是 .u,u,ulxlxx

00020===

===第一个和第三个条件决定了本征函数是

lxn

2sin π

,其中n是正整数.第二个条件则限制了正整数n只能是奇数,这是因为

2cos

2|

2sin

' πππ nl

nlxn

lx =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= , 而 如 果 是 偶 数 则2πncos 并 不 等 于 零 . 这 样 , 本 征 函 数 应 是

( )l

xksin2

12 π+,即 ( )4118 .. .

这样, ( )t,xu 的解一般应是

( ) .l

xksineCt,xu

k

l

tak

k

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= ∑∞

=

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

21

0

21

2

222

( )4318 ..

系数 Ck 应由初始条件 ( )3518 .. 确定,因此,以( )4318 .. 代入 ( )3518 .. ,

,xlu

l

xksinC

kk

0

0

21

=π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∑∞

=

( )lx <<0 , ( )4418 ..

( )4418 .. 左边是以l

xksin

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

21

为基本函数族的级数 ,这提示我们应把右边的 ( lxu0 )也以

l

xksin

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

21

为基本函数族展开为级数(这其实就是在区间(0,2 l )上展开为傅里叶正弦级数),然后比较

两边的系数,得

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ πξ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +πξ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−πξ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

ξπξ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ξ= ∫

l

kcos

l

k

l

ksin

k

u

dl

ksin

lu

lC l

k

21

21

21

21

2

21

2

2

20

00

10

( ) .k

luk

2

20

21

21π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

于是,得到答案

( ) ( ) .l

xksine

k

ut,xuk

l

ak

k

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−π

= ∑∞

=

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 21

21

1120

21

220 2

222

( )4518 ..

应当着重指出:如果考虑早先的时刻即考虑 0<t ,则时间函数

2

222

21

)( l

tak

etTπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

随 k 的增大而急剧增大,从而级数解 ( )4518 .. 发散,成为无意义.这是可以理解的.因为杆上温度分布总是趋

于某种平衡状态,而且只要边界条件相同,不管初始温度分布是怎么样的,总是趋于同一平衡状态,所以从某

个时刻的温度分布可以推算以后时刻的温度分布,却不能反推早先时刻的温度分布.其实,其他运输过程,例如扩散,也是如此.这是运输过程是地方.

另一方面, 对于以后的时刻, 0>t ,不难检验级数 ( )4518 .. 是绝对收敛得，相应正项级数的收敛半

径 ∞=R ，则时间函数

2

222

21

)( l

tak

k etTπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

随 k 的增大而急剧减少,从而级数解 ( )4518 .. 收敛得很快. t 越大,级数收敛越快.假设在某个时刻

22 anltn = 以后，即 ntt > 时，可以只保留 k=0 的项而略去 k=1 及其以后的项,要求其误差不超过 1%,现在

估计 n 的数值，由于级数解 ( )4518 .. 中 )(tTC kk 随着 k 的增大急剧减小，对足够大的 ntt > ，不妨用

)(11 ntTC 与 )(00 ntTC 的比值来估算 n，而不至于带来大的误差，于是有

1001

91

91

2)32(

)()( 2222

222

222

2/24/2

4/92

00

11 <=== −−

−

−nlta

lta

lta

eee

etTCtTC

n

n

nππ

π

π

，

从而， 的项，解为时，可以只保留即 0/12.0,12.02/09.0ln 222 ==>≈> kalttn nπ

( ) .lxsineut,xu

tla

28 2

22

420 π

π=

π−

下一个例子是关于稳定场的. 例 3 散热片的横截面为矩形(图 8-2).它的一边 y=b 处于较高温度 U,其他三边 y=0,x=0 和 x=a 则处于冷却

11

介质中因而保持较低的温度 0u .求解这横截面上的稳定温度分布 ( )y,xu ,即定解问题

0=+ yyxx uu ; ( )4618 ..

000uu,uu

axx==

==;(0<y<b) ( )4718 ..

.Uu,uubyy==

== 00(0<x<a) , ( )4818 ..

解 这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题.由于不含初始条件, 拉普

拉斯方程的边界条件不可能全是齐次的,因为这种条件下的解只能是零解.但是尽

可能把一些边界条件化为齐次,毕竟会带来一些方便.常用的方法是把 ( )y,xu 分解

为 ( )y,xv 和 ( )y,xω 的线性叠加,

( ) ( ) ( )y,xy,xvy,xu ω+=

v和ω分别满足拉普拉斯方程,并各有一组齐次边界条件,即

;0=+ yyxx vv ;0=ω+ω yyxx

;, 000uvuv

axx==

== ;0,0

0=ω=ω

== axx

;0,00

==== byy

vv .,00Uu

byy=ω=ω

==

很容易验证,把v和ω的泛定方程叠加起来确是u的泛定方程, 把v和ω的边界条件叠加起来确是u的边

界条件.于是,问题转化为求解v和ω ,而v和ω个有两个齐次边界条件足以构成本征值问题,不难分别解出. 其实,本例还有一个特殊的简便方法,就是令

( ) ( )yxvuyxu ,, 0 += ( )49.1.8

这只不过是把温标移动一下 ,把原来的 0u 作为新温标 ( )yxv , 的零点 .以 ( )49.1.8 代入 ( )46.1.8 ～

( )48.1.8 ,得

;0=+ yyxx vv ( )50.1.8

;0,00

==== axx

vv ( )51.1.8

.,0 00uUvv

byy−==

== ( )52.1.8

以分离变数形式的试探解

( ) ( ) ( )yYxXyxv =,

代入泛定方程 ( )50.1.8 和齐次边界条件 ( )51.1.8 ,可得 X 和 Y 的常微分方程以及 X 的边界条件:

( ) ( )⎩⎨⎧

===λ+′′

;0,00,0aXX

XX ( )53.1.8

12

.0=λ−′′ YY ( )54.1.8

( )53.1.8 构成本征值问题.同样取λ为实数，不难解得本征值

( ),3,2,1,2

22

=π

=λ na

n ( )55.1.8

本征函数

( ) ( ),3,2,1.sin =π

= naxnCxX ( )56.1.8

将本征值 ( )55.1.8 代入方程( )54.1.8 ,解得

( ) yany

an

BeAeyYπ

−π

+=

这样,分离变数形式的解已求出为

( ) xaneBeAyxv

yan

n

yan

nn

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

π−

π

sin,

称为本征解，一般解 ),( yxν 应是所有这些本征解的叠加，

∑∞

=

−+=

1

sin)(),(n

ayn

nayn

n xa

neBeAyx πνππ

( )57.1.8

为确定系数 An 和 Bn,以( )57.1.8 代入非齐次边界条件( )52.1.8 ,

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=π

+

∑

∑∞

=

π−

π

∞

=

.sin

,0sin

01

1

uUxaneBeA

xanBA

n

abn

nabn

n

nnn

等式左边为傅里叶正弦级数，把等式右边展开为傅里叶正弦级数,然后比较两边系数,即得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=+

−

)(40

0

0uUn

eBeA

BA

abn

nabn

n

nn

π

ππ

由此解出

( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

−π−=−=

π−π 为奇数

为偶数

neenuUn

BA abnabnnn .4,0

0

于是,得到答案

( ) ( )( )

( )

( )( ) .12sin12

12

1214,

0

00 a

xk

abksh

ayksh

kuUuyxu

k

π+π+

π+

×+π

−+= ∑

∞

=

13

下一个例题是平面极坐标系的分离变数法.

例 4 带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强电场,其电场强度 0E 是竖直的.水平架设的输电线处在这

个静电场中(图 8-3a).输电线是导体圆柱,柱面由于静电感应出现感应电荷,圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了.不过,离圆柱“无限远”处的静电场

仍保持为匀强的.出现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场. 首先需要把这个物理问题表为定解问题.取圆柱的轴为 z 轴.如果圆柱

“无限长”，那么，这个静电场的电场强度、电势显然跟 z 无关,我们只需

在 xy 平面上加以研究就够了.图 8-3a 画的正是 xy 平面上的静电场,圆柱面

在 xy 平面的剖口是圆222 ayx =+ ,其中a 是圆柱的半径.

柱外的空间中没有电荷,所以电势u 满足二维的拉普拉斯方程

.0=+ yyxx uu (在柱外)

导体中的电荷既然不再移动,这说明导体中各处电势相同.又因为电势只具

有相对的意义,不妨把电势的零点取在导体上，从而写出边界条件

.0222 ==+ ayx

u

按照分离变数法,以 ( ) ( ) ( )yYxXyxu =, 代入拉普拉斯方程固然不难把它分解为两个常微分方程,但代入上

述边界条件却只能得到

( ) ( ) ,022 =− xaYxX

不能分解为 ( )xX 或 ( )yY 的边界条件。事实上，既然边界是圆，直角坐标系显然是不适当的，必须采用平

面极坐标系。 拉普拉斯方程在极坐标系中的表达式见微积分教本或§1.4 习题 3 的答案。“柱外空间中的电势 u 满足

拉普拉斯方程”就表为

)(,0112

2

22

2

auuu>=

∂∂

+∂∂

+∂∂ ρ

ϕρρρρ , )58.1.8(

式中ρ是极径,ϕ是极角。“导体电势为零”就表为齐次的边界条件

0==ρ a

u (8.1.59)

在“无限远”处的静电场仍然保持为匀强的 0E ,所以在无限远处 , ,,0 0Ε=Ε=Ε xy 即 - 0Ε=∂∂xu

,亦既

ϕρΕ−=Ε−= cos00xu .另外，导体圆柱还可能带电，若单位长度导体带的电量为 0q ，它在圆柱外产生的

电势为 )1ln()2( 00 ρπεq ，因而还有一个非齐次的边界条件

∞→ρ

u ～ ϕρρπε

cos1ln2 0

0

00 Ε−+

qu （8.1.60)

其中 0u 为常数，其数值跟电势的零点选取有关，这里要求其满足在圆柱导体侧面上电势为零。问题就在于

求解平面极坐标系定解问题(8.1.58)～(8.1.60).

A B

x

14

解 以分离变数形式的试探解

)()(),( ϕΦρ=ϕρ Ru

代入拉普拉斯方程(8.1.58),得

Φ′′Φ

−=ρ

ρρ

ρ1)(1

ddR

dd

R

上式左边是ρ的函数,与ϕ无关;右边是ϕ的函数,与ρ无关.两边不可能相等,除非两边实际上是同一个常

数.把这常数记作λ ,

).(11ρ

ρρ

ρ=λ=Φ′′Φ

−ddR

dd

R

这就分解为两个常微分方程

,0=Φλ+Φ′′

02 =λ−′ρ+′′ρ RRR .

常微分方程(8.1.61)隐含着一个附加条件.事实上,一个确定地点的极角可以加减 2π的整数倍,而电势u 在确

定的地点应具确定数值,所以 ),,()2,( ϕρπϕρ uu =+ 即 ),()()2()( ϕΦρ=π+ϕΦρ RR 亦即

).()2( ϕΦ=π+ϕΦ ( )63.1.8

这叫做自然的周期条件.常微分方程(8.1.61)与条件(8.1.63)构成本征值问题.读者不难求得方程(8.1.61)的解

为

( )( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

<λ+

=λϕ+>λϕλ+ϕλ

=ϕΦϕλ−−ϕλ− 0.

0,0,sincos

BeAe

BABA

, ( )64.1.8

从而,求得本征值和本征函数

2m=λ ( ),2,1,0=m , ( )65.1.8

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

=≠ϕ+ϕ

=ϕΦ0.0,sincos

mAmmBmA

, ( )66.1.8

以本征值(8.1.65)代入微分方程(8.1.62),

022

22 =−

ρρ+

ρρ Rm

ddR

dRd

, ( )67.1.8

这是欧拉型常微分函数,作代换te=ρ ,即 ρ= lnt ,方程化为

.022

2

=− Rmdt

Rd

其解为

15

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+

≠+=+=

−

0.ln

0,1)(

mDCDtC

mDCDeCeR m

mmtmt

ρρ

ρρ

这样,分离变数形式的解是

( ) ,lnDC,u 000 ρ+=ϕρ

( ) ( ) ( )ϕ+ϕρ+ϕ+ϕρ=ϕρ − mDmCmBmAu mmm

mmm

m sincossincos,

拉普拉斯方程是线形的,它的一般解应是所有本征解的叠加,即

∑ ∑∞

=

∞

=

− +++++=1 1

00 ).sincos()sincos(ln),(m m

mmm

mmm mDmCamBmAaaDCu ϕϕϕϕϕρ ( )68.1.8

为确定(8.1.68)中的系数,把(8.1.68)代入边界条件.先代入齐次边界条件(8.1.59),

∑ ∑∞

=

∞

=

− =ϕ+ϕ+ϕ+ϕ++1 1

00 .0)sincos()sincos(lnm m

mmm

mmm mDmCamBmAaaDC

一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅立叶级数为零,即

.0,0,0ln00 =+=+=+ −−m

mm

mm

mm

m DaBaCaAaaDC

由此,

,,,ln 2200

mmm

mmm aBDaACaDC −=−=−=

以此代入(8.1.68)，得

∑ ∑∞

=

∞

=

− −−+++=1 1

220 )69.1.8()sincos()sincos(ln),(

m mm

mm

mmmm

m mBamAamBmAa

Du ϕϕρϕϕρρϕρ

将（8.1.69）代入非齐次的边界条件（8.1.60），在 ρ 很大的地方，有

.sin)(cos)(ln1

22

0 ∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+

mm

mm

mm

mm

m maBmaAa

D ϕρ

ρϕρ

ρρ

)70.1.8(.cos1ln2

~ 00

00 ϕρ

ρπεEqu −+

既然主要部分是1ρ 项,可见在(8.1.70)中不应出现 ( )1>ρ mm

的项(否则mρ 项就成了主要部分).这是说,

( )1.0,0 >== mBA mm

从(8.1.70)比较系数，还能知道

.ln2

ln,2

,0,0

000

0

00101 aqaDuqDBA

πεπε=−=−==Ε−=

最后得柱外的静电势为

( ) .coscosln,2

000 ϕρ

+ϕρ−ρ

=ϕρaEE

aDu ( )71.1.8

16

简单谈谈所得解答(8.1.70)的物理含义.第一项是圆柱导体原来所带电荷在导体周围产生的电势。由于

a>ρ ，就好像是位于轴线 0=ρ 上的带电导线产生的电势。常数 0u 的数值保证在圆柱导体的侧面上电势

为零。当中一项,即 ϕρ− cos0E 正是原来的匀强静电场中的电势分布.最后一项,即 ( ) ϕρ cos20 aE 对于大的

ρ可以忽略,所以它代表在圆柱邻近对匀强电场的修正,这自然是柱面在匀强电场中产生的感应电荷形成的

电势，圆柱导体外的电场线分布如图 8-3a。

讨论 设圆柱体原来并不带电,从而 00 =D ,(8.1.70)这时只含两项

( ) .coscos,2

00 ϕρ

+ϕρ−=ϕρaEEu ( )72.1.8

在图 8-3a 的 A 点和 B 点的电场强度是

,2coscos 0

,0

2

2

00

,0

EaEEuEaa

±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

ρ+ϕ=

ρ∂∂

−=π=ϕ

=ρπ=ϕ

=ρ

是原来的匀强电场的两倍!所以在两处特别容易击穿.而且不管圆柱的半径多么小,这个结论总是对的! 在图 8-3a 的 y 轴上的电势是

,0coscos2

2

2

002=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

ρ+ϕρ−=

π±=ϕπ±=ϕ

aEEu

跟导体圆柱的电势相同. 在图 8-3a 的 y轴实际上代表三维空间里的 yz平面,因此 yz平面的电势跟导体圆柱

的电势相同.既然导体圆柱跟 yz平面的电势相同,如果让导体圆柱的两侧沿 yz平面伸出两翼(图 8-3b),静电

场并不改变,电势分布仍然是(8.1.72).

要是只看带翼圆柱体的下方(图 8-3b 的下半幅,亦即图 8-3c),那么这可以说是平行板电容器两极板之间的静

电场,只是上极板带有半圆柱形突起.如果远离突起的电场强度是 0E ,则突起最高出的电场强度总是 0E 的两

倍.对于高压电容器来说,这容易导致击穿,因此高压电容器的极板必须刨得非常光滑. 下一个例子是所谓没有初始条件的问题.

例 5 长为 l 的理想传输线,一端 x =0 接于交流电源,其电动势为 tv ωsin0 ,另一端 lx = 是开路.求解线上

的稳恒电振荡. 稳恒电振荡是什么意思?原来,理想传输线是一种理想化的模型,实际上总是存在损耗,所以初始条件

引起的自由振荡总是逐渐衰减.经过交流电的许多周期之后,自由振荡的衰减殆尽.这是的电振荡完全是交流

电远引起的.交流电源提供的能量正好补偿了损耗,所以这种振荡得以维持一定的幅度而无衰减,这就是所谓

的稳恒电振荡.

17

解 既然初始条件所引起的自由振荡已衰减殆尽,在着种问题中当然不必考虑初始条件.因此,这里求解

的是没有初始条件的问题.

( ) ( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

==−

=

ω=

75.1.8.0

74.1.8,

73.1.81,0

00

22

lx

tix

xxtt

j

evv

LCavav

为了计算的方便,在边界条件(8.1.74)中, tv ωsin0 即 )Im( 0tiev ϖ改写成了

tiev ω0 ,这样作是可以的,由于方程和

边界条件都是线形的,我们只要取得最后结果的虚部就行了. 稳恒振荡完全是由交流电源引起,所以周期必与交流电源相同,故

( ) ( ) tiexXtxv ω=, , ( )76.1.8

以(8.1.76)代入偏微分方程(8.1.73)可得 X 的常微分方程

( ) .02 =ω+′′ XLCX

其解是

( ) ,xLCixLCi BeAexX ω−ω +=

因而,

( ) .)()( xLCtixLCti BeAexX −ω+ω += ( )77.1.8

(8.1.77)的第二项是从电源端发出的波,第一项则是反射波. 系数 A 和 B 由边界条件确定.但边界条件中出现电流 j ,所以我们还需要 j 的表达式.在(7.1.10)中,置

,0,0 == GR 即得 ( ) .1, xttx vLjCvj −=−=

利用这两个关系式求得与(8.1.76)相应的电流

.),( )()( xLCtixLCti BeLCAe

LCtxj −ω+ω +−= ( )78.1.8

现在,把(8.1.77)和(8.1.78)分别代入边界条件(8.1.74)和(8.1.75),得

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+ω−ω .0

,0

lLCilLCi BeAe

vBA

由此解出

.1

,1 2

020

lLCilLCi evB

evA

ωω −+=

+= ( )79.1.8

这样,传输线上的稳恒振荡为(8.1.77)和(8.1.78)给出,其中系数 A 和 B 则由(8.1.79)给出.

在输入端(交流电源端)的电压0=x

v 同电流0=x

j 之比叫作传输线的输入阻抗 输入Z .按照(8.1.77)和

(8.1.78)

).(:00 lLCictg

CL

BABA

CLjvZ

xx ω−=−+

−====输入 ( )80.1.8

一个有趣的情况是

18

LC

afal

ωπ

πωλ

2241

41

41

====

在这种情况下,(8.1.80)给出

.02=

π−= ictg

CLZ输入

这样,长度为 1/4 波长的传输线接在交流电源上,另一端开路,从交流电源一方看过来,这段传输线竟然相当于

一个短路元件.

习题

1.长为 l 的弦,两端固定,弦中张力为 T.在距一端为 0x 的一点以力 F0把弦拉开,然后突然撤除这力.求解弦

的振动. 2.求解细杆热导问题,杆长 l ,两端保持为零度,初始温度分布

./)( 20

lxlbxut

−==

3.两端固定弦,长为 l .①用宽为 δ2 的平面锤敲击弦的 0xx = 点.②用宽为 δ2 的余弦式凸面锤敲击弦的

0xx = .求解弦的振动.

4.长为 l 的均匀杆, 两端受压从而长度缩为 ( )ε− 21l .放手后自由振动,求解杆的纵振动.

5. 长为 l 的杆, 一端固定,另一端受力 F0 而伸长. 求解杆在放手后的振动.

6. 长为 l 的理想传输线,远端开路.先把传输线充电到电位差 0v ,然后把近端短路.求解线上电压 ( )txv , .

7. 长为 l 的杆, 上端固定在电梯天花板,杆身竖直,下端自由.电梯下降,当速度为 0v 时突然停止.求解杆

的振动. 8.在铀块中,除了中子的扩散运动以外,还进行着中子的增殖过程,每秒钟在单位体积中产生的中子数正

比于该处的中子浓度u ，从而可表为 uβ (β是表示增殖快慢的常数).研究厚度为 l 的层状铀块.求临界厚

度.(铀块厚度超过临界厚度,则中子浓度将随时间而增长以致铀块爆炸.原子弹里就是这么回事.) 9.求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题.薄膜厚度为 l ,杂质从两面进入薄膜.由于薄膜周围气氛中含有充

分的杂质,薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的 N0,对于较大的 t ,把所得答案简化.

10.把上题改为限定源扩散.这是说,薄膜两面的表层已含有一定的杂质,比方说,每单位表面积总量 0Φ ,

但此外不再有杂质进入薄膜.

11.在矩形区域 0< x < a ,0< by < 上求解拉普拉斯方程 0=Δu 使满足边界条件 ),(0

ybAyux

−==

.0,sin,00

=π

===== byyax

uaxBuu

12.均匀的薄板占据区域 0< x < a ,0< ∞<y .边界上的温度 ,00=

=xu .0lim,,0 00

===∞→==uuuu

yyax求

解板的稳定温度分布.

19

13.在带状区域 0< x < a ,0< by < 上求解 0=Δu 使 ,00=

=xu .0lim),1(,0

0=−==

∞→==u

axAuu

yyax

14.矩形膜,边长为 1l 和 2l ,边缘固定.求它的本征振动模式.

15.细圆环,半径为 0ρ ,初始温度分布已知为 ϕϕ),(f 是以环心为极点的极角.环的表面是绝热的.求解环

内温度变化情况.

16.在圆形域内求解 0=Δu 使满足边界条件① ϕ=ρ=ρ

cos0

Au ,② ϕ+=ρ=ρ

sin0

BAu .

17.半圆形薄板,半径为 0ρ ,板面绝热,边界直径上温度保持零度,圆周上保持 0u .求稳定状态下的板上温

度分布. 18.把例 4 的导体圆柱换为介质圆柱,介质的介电常数为 ε .求解柱内外的电场.[提示:柱内电势必须有限.在柱面上,电势连续,电位移的法向分量连续.] 19.半径为 a ,表面熏黑了的均匀长圆柱,在温度为零度的空气中受着阳光照射.阳光垂直于柱轴,热流强

度为 0q .试求柱内稳定温度分布.[提示:泛定方程为 0=Δu ,边界条件为 )(),(|)( ϕϕ=+ =ρρ ffHuku a 是热流

强度的法向分量.如取极轴垂直于阳光,则( )( )⎩

⎨⎧

<<<<

=πϕπ

πϕϕ2.0

0,sin)(

qxf

20.在以原点为心,以 1ρ 和 2ρ 为半径的两个同心圆所围成的环域上求解 0=Δu 使满足边界条件

).(),( 2121

ϕ=ϕ=ρ=ρρ=ρ

fufu

21.求解绕圆柱的水流问题.在远离圆柱因而未受圆柱干扰处的水流是均匀的,流速为 0v .圆柱半径为 a .

22.长为 l 的理想传输线,一端接于电动势为 tv ωsin0 的交流电源,另一端短路.求解线上的稳恒电振荡

并计算输入阻抗.

23. 长为 l 的理想传输线,一端接于交流电源 tv ωsin0 ,另一端通过阻抗元件 R0,L0 和 C0 而相接.求解线

上的稳恒电振荡.在怎样的条件下不存在反射波(这叫作匹配)?

24. 长为 l 的均匀杆,一端固定,另一端在纵向力 tFtF ω= sin)( 0 长期作用下.求解杆的稳恒振动.

25.长为 l 的均匀弦两端固定，在 0x 点有一集中的横向力 tAtF ωcos)( = 一直作用着，求解弦的恒定

横振动

26.一长为 l 的均匀导热细杆,杆上有热源,单位长度上的热源强度为 0),0.( =>βρβ xuc 端绝热, lx =

端保持摄氏零度,初始温度分布为 )(0 lxxu − ,试求杆上各处温度如何随时间变化的?其中 c为杆的比热,ρ为

杆的线密度, 0u 为常数,侧面绝热.

27.一圆环形区域 ,内外环半径分别为 1ρ 和 2ρ ,内环上保持温度为 ϕ21 cosu ,外环上保持温度为

20

ϕ21 cosu ,外环上保持温度为 ϕsin2u .求此圆环区域内的稳定温度分布.

28.一长为 l ,截面积为 S 的均匀细杆,今将 0=x 端保持为摄氏零度, lx = 端按牛顿冷却定律向温度为

零的媒介散热,侧面绝热,原先杆的温度为 0u ,求在冷却过程中各处温度的变化.

§8.2 非齐次振动方程和输运方程 上一节研究了齐次方程的定解问题.本节要研究非齐次振动方程和运输方程的定解问题. 我们仍然限于齐次的边界条件.关于非齐次边界条件的处理请看§8.3. 本节先介绍傅里叶级数法,它直接求解非齐次方程的定解问题.按着是冲量定理法,它把非齐次方程的定

解问题转化为齐次方程的定解问题后求解. (一)傅里叶级数法 §8.1 中求解两端固定的弦的齐次振动方程定解问题,得到的解(8.1.14)具有傅里叶正弦级数的形式,而

且其系数 An和 Bn决定于初始条件 ( )xϕ 和 ( )xψ 的傅里叶正弦级数(8.1.15).至于采取正弦级数而不是一般傅

里叶级数的形式,则完全是由于边界条件 00=

=xu 和 .0=

=lxu

分离变数得出的这些结果给出提示:不妨把所求的解本身展开为傅里叶级数,即

( ) ∑=n

nn xXtTtxu ).()(, ( )1.2.8

傅里叶级数(8.2.1)的基本函数族 ( )xXn 为该定解问题齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数.

由于解是自变数 x 和 t 的函数,因而 ( )txu , 的傅里叶系数不是常数,而是时间 t 的函数,把它记作 ( )tTn .将

待定解(8.2.1)代入泛定方程,尝试分离出 )(tTn 的常微分方程,然后求解.

例 1 求解定解问题

;sincos2 tlxAuau xxtt ωπ

=− ( )2.2.8

;0,00

==== lxxxx uu ( )3.2.8

( ) ( ) ( )lxxuxuttt

<<ψ=ϕ===

0.,00

( )4.2.8

解 级数展开的基本函数应是相应的齐次泛定方程 02 =− xxtt uau 在所给边界条件 00=

=xu 和

0==lx

u 下的本征函数.我们已经熟悉这些本征函数,它们是 ).,2,1(cos =π nlxn

这样,试把所求的解展开

为傅里叶正弦级数

.cos)()(0∑∞

=

π=

nn l

xntTxu

为了求解 )(tTn ,尝试把这个级数代入泛定方程（8.2.2）

.sincoscos0

2

222

tlxA

lxnT

lanT

nnn ω

π=

π⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ π+′′∑

∞

=

21

等式左边是傅里叶正弦级数,这提示我们把右边也展开为傅里叶正弦级数.其实,右边已经是傅里叶正弦

级数,它只有一个单项即 1=n 的项.于是,比较两边的系数,分离出 )(tTn 的常微分方程

,sin12

22

1 tATlaT ω=

π+′′ )1.(02

222

≠=π

+′′ nTl

anT nn

又把 ( )txu , 的傅里叶正弦级数代入初始条件,得

( ) ,coscos)0(00

xl

nxxl

nTn

nn

nπ

ϕ=ϕ=π ∑∑

∞

=

∞

=

( )5.2.8

( ) .coscos)0(00

xl

nxxl

nTn

nn

nπ

ψ=ψ=π′ ∑∑

∞

=

∞

=

( )6.2.8

其中 nϕ 、 nψ 分别为 ( )xϕ 和 ( )xψ 的傅里叶正弦级数[以 )/cos( lxnπ 为基本函数族]的第 n 个傅里叶系数.等

式(8.2.5)、(8.2.6)两边都是傅里叶正弦级数.由于基本函数族 )/cos( lxnπ 的正交性,等式两边对应同一基本

函数的傅里叶系数必然相等,于是得 )(tTn 的非零值初始条件

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ξξψ=ψ=′

ξξϕ=ϕ=

∫

∫l

l

dl

T

dl

T

000

000

;1)0(

,1

( )7.2.8

( )

( ))0(

;cos2)0(

,cos2

0

0≠

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ξπξ

ξψ=ψ=′

ξπξ

ξϕ=ϕ=

∫

∫n

dl

nl

T

dl

nl

T

l

nn

l

nn

)(tTn 的常微分方程在初始条件 ( )7.2.8 下的解是

( ) ,000 ttT ψϕ += ( )8.2.8

,sincos)sinsin(/

1)( 1122221 lat

al

latt

lat

lat

laaAltT π

ψπ

+π

ϕ+ωπ

−π

ωπ−ωπ

= ( )9.2.8

)1,0(.sincos)( ≠π

ψπ

+π

ϕ= nlatn

anl

latntT nnn , ( )10.2.8

(8.2.9)的第一项为 )(1 tT 的非齐次常微分方程的特解,满足零值初始条件.(8.2.9)的后两项之和及(8.2.10)分别

为 )(1 tT 和 ( ) )1,0( ≠ntTn 的齐次常微分方程的解,满足非零值初始条件(8.2.7).

这样,所求的解是

22

( )11.2.8.cos)sincos(

cos)sinsin(/

1),(

1

002222

lxn

latn

anl

latn

tlxt

la

lat

laaAltxu

nn

nππ

ψπ

+π

ϕ+

ψ+ϕ+π

ωπ

−π

ωπ−ω

•π

=

∑∞

=

尝试成功了.这个方法叫做傅里叶级数法.很明显,这个方法的关键在于分离出 )(tTn 的常微分方程,其中

不可混杂着另一自变数 x ,这是怎样做到的呢?原来,这个级数展开的基本函数 )/cos( lxnπ 正是相应齐次方

程、齐次边界条件下用分离变数法求得的本征函数,这才得以分离出 )(tTn 的常微分方程.

齐次振动方程和齐次输运方程问题当然也可以用傅里叶级数法（结合分离变数法）求解，这时得到的

)(tTn 的常微分方程为齐次方程，求解更容易，建议读者用这样的方法重新求解上节的定解问题（8.1.1）~

（8.1.3）以及例 1 和例 2，这里就不赘述了。 综上所述，可以看出，对于振动和输运问题，不论齐次还是非齐次方程定解问题，傅里叶级数结合分

离变数法均可运用，如仅用分离变数法，则只能用于齐次方程边界条件定解问题。 （二）冲量定理法 求解非齐次振动方程和输运方程定解问题还可以用冲量定理法，这里仍然考虑边界条件是齐次的。应

用冲量定理法有一个前提，即初始条件均取零值。这其实无损于一般性。现以两端固定弦的受迫振动为例，

如果初始条件是非零值，则定解问题为

),,(2 txfuau xxtt =−

,0,00

==== lxx

uu

( ).),(00

xuxuttt

ψ=ϕ===

由于泛定方程和定解条件都是线性的，可以利用叠加原理，把 u 分解为Iu 和

∏u 之和,即

).,(),(),( txutxutxu I ∏+=

并令Iu 、

∏u 分别满足

( ) ( ).,

;0,0

,0

0

0

2

xuxu

uu

uau

t

Itlx

I

lx

I

x

I

xxItt

ψ=ϕ=

==

=−

==

==

∏

0,0

0,0

);,(

00

0

2

==

==

=−

=

∏

=

∏

=

∏

=

∏

∏∏

ttt

lxx

xxtt

uu

uu

txfuau

把竖线两边对应的式子相叠加，正好是原来的定解问题。这样，问题转化为求解Iu 和

∏u . Iu 的初始

条件是非零值，但方程是齐次的,可用上节方法求解; ∏u 的方程是非齐次的,但初始条件已化为零值,符合冲

量定理所提出的要求. 现在用冲量定理法来研究弦的非齐次振动方程定解问题

),(2 txfuau xxtt =− ( )12.2.8

23

,0,00

==== lxx

uu ( )13.2.8

.0,000==

== tttuu ( )14.2.8

(1) 冲量定理法的物理思想

首先,在物理上,非齐次泛定方程(8.2.12)表明,作用在每单位长弦上的外力 ( ) ),(, txftxF ρ= .它从时刻零

持续作用到时刻 t ,我们求解的是 ),( txF 作用下,在时刻 t 的各处位移 ),( txu .

冲量定理法的基本思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力,把持续作用力引起的振动

看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加.根据(5.3.9),持续作用的力 ),( txF 可以表示成

ττ−δτρ=

ρ=ττ−δτ=

∫∫

dtxf

txfdtxFtxFt

l

)(),(

),()(),(),(

0

0 ( )15.2.8

其中 ( ) ττ−δτ dtxF )(, 为作用在很短的时间区间 ( )τ+ττ d, 上而冲量为 ττ dxF ),( 的“瞬时”力。把该瞬时

力引起的振动记为( ) ),( txu τ

，则( ) ),( txu τ

的定解问题为

( ) ( ) ( ) ττδτττδρτττ dtxfdtxFuau xxtt )(),(,2)( −=−=− ( )16.2.8

( ) ,0,00

)( ===

τ

=

τ

lxxuu ( )17.2.8

( ) ( ) .0,000==

=

τ

=

τ

tttuu ( )18.2.8

由于瞬时力 ( ) ττ−δτ dtxF )(, 作用在时间区间 ( )τ+ττ d, 上，从时刻零直到时刻 0−τ .它尚未起作用,

弦仍然是静止的( ) ( ) .0,0

00==

−τ=

τ

−τ=

τ

tttuu 时刻 τ ,该瞬时力开始作用,至时刻 τ+τ d 结束.由于 τd 很短,弦

上各质点“来不及”位移，故在时刻 τ+τ d ，位移 0)( =τ+τ=

τ

dtu .再看时刻 τ+τ d 的速度

( )τtu ,根据冲量定理,

从 0−τ 时刻到 τ+τ d 时刻,单位长度弦的动量变化等于瞬时力 ( ) ττ−δτ dtxF )(, 的冲量,故有

( ) ( ) ττρ=ττ=ρ−ρ−τ=

τ

τ+τ=

τ dxfdxFuuttdtt ),(),(

0

从而得到

ττ=τ+τ=

τ dxfudt

),()(

如果改取 τ+τ d 时刻作为初始时刻 ,考察瞬时力 ( ) ττ−δτ dtxF )(, 在 τ+τ d 时刻以后引起的振动

( ) ),( txu τ ,由于该瞬时力已经作用过了,弦上不受外力, ( ) ),( txu τ满足齐次方程,其定解问题为

( ) ( ) ,02 =− ττxxtt uau ( )19.2.8

24

( ) ,0,00

)( ===

τ

=

τ

lxxuu ( )17.2.8

0)( =τ+τ=

τ

dtu , ττ=

τ+τ=

τ dxfudt

),()( . ( )20.2.8

定解问题(8.2.19)～(8.2.20)与定解问题(8.2.16)～(8.2.18)是等价的.从(8.2.20)可以看出( )τu 必含有因

子 τd ,若记( ) ττ=τ dtxvtxu );,(),( ,则 );,( τtxv 满足定解问题

)(),(2 τ−δτ=− txfvav xxtt ( )21.2.8

,0,00

==== lxx

vv ( )22.2.8

.0,000==

== tttvv ( )23.2.8

即

,02 =− xxtt vav ( )24.2.8

,0,00

==== lxx

vv ( )22.2.8

0=τ=t

v , ),( τ=ττ=

xfvt

. ( )25.2.8

由于 τd 很短,在(8.2.25)中已将 τ+τ d 时刻记为 τ时刻.定解问题(8.2.24)～(8.2.25)为齐次方程问题,可

用前面的分离变数法或傅里叶级数法求解.只是要注意,前面两种方法中初始时刻为零时刻,这里初始时刻

为 τ时刻,因此前二方法解中的 t (表示距初始时刻的时间间隔),在这里应换成 τ−t . 定解问题(8,2,12)～(8.2.14)是线性的,适用叠加原理,既然外加力是一系列瞬时力的叠加,则定解问

题(8,2,12)～(8.2.14)的解也应是瞬时力所引起的振动的叠加.计及所有瞬时力的影响,就有

( )∑ ∫

=τ

τ ττ==t t

dtxvtxutxu0

0);,(),(),( , ( )26.2.8

( )txu , 就是定解问题 (8,2,12)～(8.2.14)的解.这就从物理上给出了求解非齐次振动方程定解问题

(8,2,12)～(8.2.14)的方法,因为利用了冲量定理,故称为冲量定理法.

回顾一下求解步骤,为了求解非齐次振动方程定解问题(8,2,12)～(8.2.14),把持续作用的力 ),( txfρ

看作一系列前后相继的脉冲力 ττ−δτρ dtxf )(),( ,改为求解脉冲力 ττ−δτρ dtxf )(),( 从 τ时刻起引起的振

动 );,(,);,( τττ txvdtxv 满足齐次振动方程定解问题(8,2,12)～(8.2.14),解出 );,( τtxv 后,代入(8.2.26),对

τ积分,就能得到所求的解.

( )txu , 和( ) ),( txu τ

的量纲为 [ ]x , );,( τtxv 的量纲为 [ ] [ ]tx / .只要注意 ( )τ−δ t 的量纲为 [ ]t1 ,不难检

验,方程(8.2.16)中每一项的量纲均为[x]/[t]2,而方程(8.2.21)中每一项的量纲同是[x]/[t]

3.因此,从量

纲来分析,方程(8.2.12)、（8.2.16）、(8.2.19)、(8.2.21)和（8.2.24）在物理上都是正确的,这从另一个

侧面,证明冲量定理法在物理上是行得通的.

(2)冲量定理法的数学验证

25

这里要验证,由满足齐次振动方程定解问题(8.2.24)、(8.2.22)、(8.2.25)的解 );,( τtxv 通过积分

(8.2.26)得到的 ( )txu , 是非齐次振动方程定解问题(8,2,12)～(8.2.14)的解.

首先验证边界条件.由于 ,0,00

==== lxx

vv 因此,

∫ ∫ =τ==τ=====

t t

lxlxxxdvudvu

0 000.0,0

( )txu , 满足齐次边界条件(8.2.13).

其次验证初始条件.由(8.2.26),知初始位移

.00

0 00=τ= ∫ ==

dvutt

为验证初始速度,需利用积分号下求导的公式

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,];[];[;;dt

tdttgdt

tdttgdttgdtg

dtd t

t

t

t

αα−

ββ+τ

∂τ∂

=ττ ∫∫β

α

β

α )27.2.8(

这个公式在微积分教本中可以找到.把这个公式应用于(8.2.26),有

( )∫ τ+ττ=t

tt txvdtxvtxu0

;,);,(),( .

按(8.2.25), ).0(,0);,( ttxv ≤τ≤=τ 所以

∫ ττ=t

tt dtxvtxu0

,);,(),( ( )28.2.8

.00

0 00=τ= ∫ ==

dvuttt

(8.2.14)中的两个零值初始条件均成立. 最后验证非齐次方程.对(8.2.28)应用求导公式(8.2.27),

).;,();,(0

τττ txvdtxvu t

t

tttt += ∫

按(8.2.25), ).0(),();,( txfxvt ≤τ≤τ=ττ 所以,

).,();,(0

txfdtxvut

tttt +ττ= ∫ )29.2.8(

以(8.2.26)和(8.2.29)代入非齐次方程(8.2.12)的左边,则

∫ ∫ =+τ=+τ−=−t t

xxttxxtt txftxfdtxfdvavuau0 0

22 ),,(),(0),()(

非齐次方程(8,2,12)得以满足,其中利用了 v的齐次方程(8.2.24). 数学验证全部完成,冲量法在数学上成立.这里还应指出一点:边界条件(8.2.13)不必限于第一类齐

次边界条件,也可以是第二类或第三类齐次边界条件,甚至 0=x 端与 lx = 端的边界条件还可以是不同类的,只要边界条件(8.2.22)的类型与(8.2.13)相同就行. 例 2 将例 1 中的初始条件改为零值,用冲量定理法求解,即求解定解问题

;sincos2 tlxAuau xxtt ωπ

=−

;0,00

==== lxxxx uu

26

.0,000==

== tttuu

解 应用冲量定理法,先求解

;02 =− xxtt vav

;0,00

==== lxxxx vv

.sincos,000

ωτπ

==+τ=+τ= l

xAvvttt

参照边界条件,试把解 v展开为傅里叶余弦级数

∑∞

=

πτ=τ

0

cos),();,(n

n lxntTtxv

把这余弦级数代入泛定方程,

.0cos0

2

222

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+′′∑

∞

= lxnT

lanT

nnn

ππ

由此分离出 nT 的常微分方程

Tl

anTn 2

222π+′′ =0.

这个常微分方程的解是

( ) )()();( 000 τ−τ+τ=τ tBAtT

)0.()(sin)()(cos)();( ≠τ−π

τ+τ−π

τ=τ nltanB

ltanAtT nnn

这样,解 v的傅里叶余弦级数是

( ) .cos])(sin)()(cos)([)()();,(1

00 lxn

ltanB

ltanAtBAtxv

nnn

πτ−πτ+

τ−πτ+τ−τ+τ=τ ∑

∞

=

至 于 系 数

)(τnA 和 )(τnB 则由初始条件确定.为此,把上式代入初始条件,

( ) ,0cos)(1

0 =π

τ+τ ∑∞

= lxnAA

nn

∑∞

=

ωτπ

=π

τ+τ1

0 .sincoscos)()(n

n lxA

lxnBB

右边的 ωτπ sincoslxA 也是傅里叶余弦级数,它只有一个单项即 n =1 的项.比较两边系数,得

( ) ( ) ( ).10)(,sin,0 1 ≠=τωτπ

=τ=τ nBalABA nn

到此，已求出 ( ),;, τtxv

27

( ) .cossinsin);,(

lx

lta

alAtxv πτ−π

ωτπ

=τ

按照(8.2.26),得出答案

∫=t

dtxvtxu0

);,(),( ττ ∫ ττ−π

ωτπ

π=

td

lta

lx

aAl

0

)(sinsincos

.cossinsin/

12222 l

xtlat

la

laaAl π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

π−

πω

π−ωπ=

输运问题,如泛定方程是非齐次的,完全可以仿照冲量定理加以处理,比如,研究定解问题

);,(2 txfuau xxt =− ( )30.2.8

;0,00

==== lxxxx uu ( )31.2.8

.00=

=tu ( )32.2.8

非齐次泛定方程(8.2.30)表明,每单位长度上的热源强度为 ( )txfc ,ρ .这热源从时刻零一直延续到时刻 t,现在

求解的是热源强度 ( )txfc ,ρ 的影响下,在时刻 t 的温度分布.

仿照冲量定理对非齐次振动方程定解问题的处理,这里按照(5.3.9),将持续作用的热源看作许许多

多前后相继的“瞬时”热源 ( ) ( ) ττ−δτρ dtxfc , 的叠加,“瞬时”热源 ( ) ( ) ττ−δτρ dtxfc , 作用于时间区间

( )τ+ττ d, ,提供的热量为 ( ) ττρ dxfc , ,记它所产生的温度分布为 ττ dtxv );,( ,类似地可导出

( ),),(2 τ−δτ=− txfvav xxt ( )33.2.8

,0,00

==== lxxxx vv ( )34.2.8

.00=

=tv ( )35.2.8

直到 0−τ 时刻 , 瞬时热源尚未起作用 , 从初始条件 00=

=tv 得 .0

0=

−τ=tv τ 时刻 , 瞬时热源

( ) ( ) ττ−δτρ dtxfc , 开始起作用,至 τ+τ d 时刻,作用结束,瞬时热源放出热量,使 τ+τ d 时刻的温度增加到

τ+τ= dtv ,于是

,),()(0

ττρ=τ−ρ−τ=τ+τ=

dxfcdvvctdt

从而

).,( τ=τ+τ=

xfvdt

这是 τ+τ d 时刻的温度分布,如果把 τ+τ d 时刻作为初始时刻,研究瞬时热源在 τ+τ d 时刻以后产生的温度

分布 ττ dtxv );,( ,则 );,( τtxv 的定解问题为

,02 =− xxt vav ( )36.2.8

28

,0,00

==== lxxxx vv ( )34.2.8

).,( τ=τ=

xfvt

( )37.2.8

因为瞬时热源已经作用过了,故(8.2.36)为齐次方程.由于 τd 很短,(8.2.37)中将初始时刻 τ+τ d 记为 τ时刻,定解问题(8.2.36)、(8.2.34)、(8.2.37)与定解问题(8.2.33)～(8.2.35)等价,已是齐次泛定方程、齐次边界

条件,可用分离变数法或傅里叶级数法求解,不过要注意,原来求解公式中的 t 这里应换位 τ−t .

定解问题(8.2.30)～(8.2.32)是线性的,叠加原理也适用.考虑所有瞬时热源产生的影响,把这些影

响叠加起来,就得到此定解问题的解 ( )txu , ,于是有

∫ ττ=t

dtxvtxu0

);,(),( , (8.2.38)

同样,可以数学上验证这些得到的 ( )txu , 确实满足定解问题(8.2.30)～(8.2.32),请读者去完成,这

里不赘述了.

例 3 求解定解问题

,sin2 tAuau xxt ω=−

,0,00

==== lxxxx uu

.00=

=tu

解 首先应用(8.2.38)

∫ ττ=t

dtxvtxu0

);,(),( ,

而 );,( τtxv 则需从下述定解问题

,02 =− xxt vav

,0,00

==== lxxxx vv

ωτ=τ=

sinAvt

求解,这可仿照上节例 2,用分离变数法解出

∑∞

=

τ−π+

− π+=τ

0

)()

21(

.)

21(

sin);,( 2

222

n

tl

an

n xl

neCtxv

其中系数

∫ ξξπ+

ωτ=l

n dl

nA

lC

0

)21(

sinsin2

l

l

n

n

ll

A

0

)21(

cos)

21(

sin2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ξπ+

−π+

•ωτ

= .)

21(

sin2

π+

ωτ=

n

A

这样,

29

( )

.21

sin)

21(

1sin2);,(0

21

2

222

xl

ne

n

Atxvn

tl

an π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+πωτ

=τ ∑∞

=

τ−π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

从而

∫ ττ=t

dtxvtxu0

);,(),( ∑ ∫∞

=

τπ+π+−

τωτπ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+π=

00

)21()

21(

sin21

sin)

21(

12 2

222

2

222

n

tl

an

l

tan

deel

xn

n

A

.cossin)

21(

/21

121

sin)

21(

12 2

222

21

2

222

24444

0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−∞

=∑

tl

an

nett

l

an

lanl

xn

n

Aπ

ωωωωπ

ωπ

π

π

习 题

1.长为 l 的均匀细杆两端固定 ,杆上单位长度受有纵向外力 tlxf ωπ cos)/2sin(0 ,初始位移为

[ ]2)/sin( lxπ ,初始速度为零,求解杆的纵振动.

2.求解热传导问题

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ=

==

ω=−

=

==

).(

,0,0,sin

0

0

2

xu

uutAuau

t

lxxx

xxt

3.两端固定的弦,原来静止不动,单位长度所受横向外力为 txtxf ωΦρ=ρ sin)(),( ,求解弦的振动,研

究共振的可能性,并求共振的解.

4.两端固定弦在点 0x 受谐变力 tftf ωρ=ρ sin)( 0 作用而振动,求解振动情况.[提示:外加的线密度可表

为 ).(sin),( 00 xxttxf −δωρ=ρ ]

5.求解振动问题

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<ψ=ϕ=

==

=−

==

==

lxxuxu

uutxfuau

ttt

lxxx

xxt

0).(),(

,0,0),,(

00

0

2

6.求解输运问题

30

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<ϕ=

==

−=−

=

==

lxxu

uubbuuau

t

lxxx

xxxt

0).(

,0,0,

0

0

2 为常数

能否用傅里叶级数法求解?如果不能,要说明原因;如果能,将 ),( txu 解出来.

7.均匀细导线,每单位度的电阻为 R,通过恒定的电流 I,导线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换,试解线上温度变化,设初始温度和两端温度都是零度.

§8.3 非齐次边界条件的处理 在§8.1 和§8.2 两节中,不管是齐次还是非齐次振动方程和输运方程,它们的定解问题的解法都有一个

前提:边界条件是齐次的. 但是,在实际问题中,常有非齐次边界条件出现,那么,这样的定解又如何求解呢?由于定解问题是线性的,

处理的原则是利用叠加原理,把非齐次边界条件问题转化为零一个未知函数的齐次边界条件问题.请看例题. (一) 一般处理方法 例 1 自由振动问题

,02 =− xxtt uau ( )1.3.8

( ) ( ),,0

tutulxx

νμ ====

( )2.3.8

( ) ( )xuxutt

ψϕ ==== 00

, . ( )3.3.8

边界条件(8.3.2)是非齐次的.

选取一个函数 ),( txv ,使其满足非齐次边界条件(8.3.2),为了简单起见,不妨取 ),( txv 为线性函数,即

( ) ).()(, tBxtAtxv += )4.3.8(

将(8.3.4)代入(8.3.2),解得

).()]()([),( txl

tttxv μμν+

−= ( )5.3.8

利用叠加原理,令 ).,(),(),( txtxvtxu ω+= （8.3.6)

将(8.3.5)、(8.3.6)代入定解问题(8.3.1)～(8.3.3),得 ( )tx,ω 的定解问题

),()]('')([22 tttlxvava xxttxxtt μνμωω ′′−−′′=+−=− ( )7.3.8

,0,00

==== lxx

ωω ( )8.3.8

( ) ( ) ),0()]0()0([100

μνμϕϕω −−+=−===

xl

xvxtt

( ) ( ) ).0()]0(')0([100

μνμψψω ′−−′+=−===

xl

xvxttt

( )9.3.8

虽然 ( )tx,ω 的方程(8.3.7)一般是非齐次的,但是,定解问题(8.3.7)～(8.3.9)具有齐次边界条件,可按§

8.2 求解.

31

这里还要特别说一下 0=x 和 lx = 两端都是第二类非齐次边界条件 ( ) ( )tutulxx

νμ ====

,0

的情况.

如果仍按(8.3.4),取 x 的线性作为 v ,则代入非齐次边界条件得 )(),()(0

tvttAvlxxxx νμ ===

==.

除非 )()( tt νμ = ,否则这两式互相矛盾.这时不妨改试

( ) xtBxtAtxv )()(, 2 += ( )10.3.8

(二) 特殊处理方法 例 2 弦的 0=x 端固定, lx = 端受迫作谐振动 tA ωsin ,弦的初始位移和初始速度都是零,求弦的振

动.这个定解问题是

)0(,02 lxuau xxtt <<=− ( )11.3.8

,sin,00

tAuulxx

ω====

( )12.3.8

.0,000==

== tttuu ( )13.3.8

lx = 端为非齐次边界条件.

如果按上述一般处理方法,应取 xltAtxv )/sin(),( ω= ,但是,相应的 ( )tx,ω 的定解问题中泛定方程

为 tlxAvava xxttxxtt ωω=+−=ω−ω sin)/()( 222,是非齐次方程,求解麻烦.能否有较为简便的方法呢?

由于求解的是弦在 lx = 端受迫谐振动 tA ωsin 情况下的振动,它一定有一个特解 ),( txv ,满足齐次方

程(8.3.11)、非齐次边界条件(8.3.12),且跟 lx = 端同步振动,即其时间部分的函数亦为 tωsin ,就是说,特

解具有分离变数的形式

( ) txXtxv ω= sin)(, , ( )14.3.8

将(8.3.14)代入(8.3.11)、(8.3.12),得

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+′′

16.3.8)(,0)0(

15.3.802

AlXX

Xa

X

将 常 微 分 方 程 (8.3.15) 的 解 )/sin()/cos()( axDaxCxX ω+ω= 代 入 (8.3.16), 由 此 确 定

)/sin()]/sin(/[)( axalAxX ωω= ,从而

.sinsinsin

),( tax

al

Atxv ωω

ω= ( )17.3.8

于是令 ),,(),(),( txtxvtxu ω+= ( )18.3.8

将(8.3.17)、(8.3.18)代入(8.3.11)～(8.3.13),得 ),( txω 的定解问题

0)( 22 =−−=ω−ω xxxxxxtt vava , (8.3.19)

32

,0,00

=ω=ω== lxx

(8.3.20)

./sin/sin,0

00 alaxA

ttt ωω

ω−=ω=ω==

(8.3.21)

定解问题(8.3.19)～(8.3.21)为齐次方程、齐次边界条件,可用分离变数法求解,其一般解由(8.1.14)给出,

因此,

,sinsincos),(0

xl

ntlanBt

lanAtx

nnn

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

=ω ∑∞

=

其中系数 An和 Bn可按(8.3.16)计算,得 0=nA ,

.//

12)1(

//1

//1)1(

//)/sin(

//)/sin(

)/sin(

)//(2)//sin(

)//(2)//sin(

)/sin(2

sin)/sin()/sin(2

22222

0

0

lnaalA

lnalnaanA

lnanal

lnanal

alanA

lnalna

lnalna

alanA

dl

nalaA

anB

n

n

l

l

n

πωω

πωπωπω

πωπω

πωπω

ωπω

πωξπω

πωξπω

ωπω

ξπξωωξω

π

−•−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

+−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

−+

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+++

−−

=

−= ∫

这样

( ) ∑∞

=

πππ−ω

ω=ω

122222 sinsin

//12,

n lxn

latn

lnaalAtx ,

( ) ∑∞

=

πππ−ω

ω+ω

ωω

=1

22222 .sinsin//

12sin)/sin()/sin(,

n lxn

latn

lnaalAt

alaxAtxu

习 题

1.求解细杆导热问题.杆长 l ,初始温度均为 0u ,两端分别保持温度 1u 和 2u .

2. 求解细杆导热问题.初始温度为零,一端 lx = 保持零度,另一端 0=x 的温度为 At (A 是常数,t 代表

时间).

3.求解均匀杆的纵振动,杆长 l ,一端固定,另一端受纵向力 tFtF ω= sin)( 0 作用,初始位移和速度分别

是 ( )xϕ 和 ( )xψ .

4.长为 l 的柱形管,一端封闭,另一端放开.管外空气中含有某种气体,其浓度为 0u ,向管内扩散.求解该气

体在管内的浓度 ( )txu , .

5.把弹簧上端 0=x 加以固定,在静止弹簧的下端 lx = 轻轻地挂上质量为m 的物体,求解弹簧的纵振

33

动.弹簧本身的重量可忽略不计.

§8.4 泊松方程

泊松方程 ),,( zyxfu =Δ

可说是非齐次的拉普拉斯方程.它与时间无关,显然不适用冲量定理法. 我们可以采用特解法.先不管边界条件,任取这泊松方程的一个特解 v ,然后令 ω+= vu .这就把问题转

化为求解ω ,而 0=−Δ=Δ−Δ=ωΔ fuvu ,

这不再是泊松方程而是拉普拉斯方程.在一定边界条件下求解拉普拉斯方程是§8.1 研究过的问题.

例 1 在圆域 0ρ<ρ 上求解泊松方程的边值问题

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−+=Δ

ρ=ρ.

),(

0

22

cuyxbau

解 先设法找泊松方程的一个特解 . 显然 , ( ) ( ) aayaax =Δ=Δ 2/,2/ 22 , 为对称起见 , 取

( ) 4/22 yxa + .又, ( ) ( ) 2424 12/,12/ bybybxbx =Δ=Δ .这样,找到一个特解

.2cos124

))((124

)(12

)(4

42222224422 ϕρ+ρ=−++ρ=−++=bayxyxbayxbyxav

令 ω+ϕρ+ρ=ω+= 2cos124

42 bavu ,

就把问题转化为ω定解问题,

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕρ−ρ−=ω

=ωΔ

ρ=ρ.2cos

124

,0

40

20

0

bac

在极坐标系中用分离变数法求解拉普拉斯方程的一般结果见(8.1.68)即

( ) ∑ ∑∞

=

∞

=

− ϕ+ϕρ+ϕ+ϕρ+ρ+=ϕρω1 1

00 ).sincos()sincos(ln,m m

mmm

mmm mDmCmBmADC

ω 在 圆 内 应 当 处 处 有 限 . 但 上 式 的 ρln 和m−ρ 在 圆 心 为 无 限 大 , 所 以 应 当 排 除 , 就 是

说, 0,0,00 === mm DCD .于是,

( ) ∑∞

=

ϕ+ϕρ=ϕρω0

)sincos(,m

mmm mBmA .

把上式代入边界条件,

∑∞

=

ϕρ−ρ−=ϕ+ϕρ0

40

200 2cos

124)sincos(

mmm

m bacmBmA .

比较两边系数,得

.0);2,0(0,12

,4

202

200 =≠=ρ−=ρ−= mm BmAbAacA

34

这样,所求解是

ϕρ−ρρ+ρ−ρ+=ω+= 2cos)(12

)(4

20

2220

2 bacvu .

例 2 在矩形域 byax ≤≤≤≤ 0,0 上求解泊松方程的边值问题

22 −=Δ u ,

,0,00

==== axx

uu ( )1.4.8

.0,0 ==== byoy

uu ( )2.4.8

解 先找泊松方程的一个特解 v .显然, 2xv −= 满足 2−=Δv .其实, 212 cxcxv ++−= ( 1c 和 2c 是两

个积分常数 )也满足 2−=Δv .我们打算选择适当的 1c 和 2c ,使 v 满足齐次边界条件 (8.4.1).容易看

出, .0, 21 == cac 这样,

( ) )(, xaxyxv −= .

令 ( ) ),,()(, yxxaxvyxu ω+−=ω+=

把上式代入u 的定解问题,就把它转化为ω的定解问题

,0=ωΔ ( )3.4.8

,0,00

=ω=ω== axx

( )4.4.8

)(),(0

axxaxxbyy

−=ω−=ω==

( )5.4.8

仿照§8.1 例 3,满足(8.4.3)和(8.4.4)的解可表为

∑∞

=

π−

π π+=ω

1sin)(),(

n

ayn

nayn

n axneBeAyx . ( )6.4.8

为确定系数 nA 和 nB ,以(8.4.6)代入边界条件(8.4.5),

∑

∑∞

=

π−

π

∞

=

−=π

+

−=π

+

1

1

).(sin)(

),(sin)(

n

abn

nabn

n

nnn

axxaxneBeA

axxaxnBA

( )7.4.8

将(8.4.7)的右边也展为傅里叶正弦级数:

∑∞

=

π=−

1

,sin)(n

n axnCaxx ( )8.4.8

其中

35

∫ −−π

=π

−=a n

n nadx

axnaxx

aC

0 33

22 ].1)1[(4sin)(2

以(8.4.8)代入(8.4.7)的右边,比较左右两边的傅里叶级数,

nnn CBA =+

.nabn

nabn

n CeBeA =+π

−π

由此解得

,

)2/cosh(

)(1

2/

2/2/

2/

//

2/2/2/

//

/

n

abn

nabnabn

abn

nabnabn

abnabnabn

nabnabn

abn

n

Cabn

eCee

e

Cee

eeeCee

eA

π=

+=

−−

=−

−=

π−

π−π

π−

π−π

π−ππ−

π−π

π−

.

)2/cosh(

)(1

2/

2/2/

2/

//

2/2/2/

//

/

n

abn

nabnabn

abn

nabnabn

abnabnabn

nabnabn

abn

n

Cabn

eCee

e

Cee

eeeCee

eB

π=

+=

−−

=−−

=

π

π−π

π

π−π

π−ππ

π−π

π

于是代回(8.4.6)成为

axnC

abnabynyx n

n

ππ−π

=ω ∑∞

=

sin)/cosh(

]/)2/(cosh[),(1

.

我们又知道,对于 ;0),,2,1(,2 === nCkkn 对于

332 )12/(8),,2,1(12 π−−==−= kaCkkn n .

这样,

∑∞

=

π−π−−

−π−π

−=ω1

33

2 )12(sin]2/)12cosh[()12(

]/)2/()12cosh[(8),(k a

xkabkk

abykayx

把 ( )yx,ω 加上 )( axx − 就是所求的 ( )yxu , .

习 题

1.在圆域 a<ρ 上求解 4−=Δu ,边界条件是 0==ρ a

u .

2. 在圆域 a<ρ 上求解 xyu −=Δ ,边界条件是 0==ρ a

u .

3.在矩形域 2/2/,0 bybax <<−<< 上求解 2−=Δu ,且u 在边界上的值为零.

4. 在矩形域 2/2/,0 bybax <<−<< 上求解 yxu 2−=Δ ,且u 在边界上的值为零.

§8.5 小 结 在掌握了分离变数法,傅里叶级数法,冲量定理法和非齐次边界条件的处理方法以后,就能求解最一

36

般的有界问题:泛定方程和边界全是非齐次的,同时,初始条件是非零值.作为本章的小结,下面以一般的一维

有界振动问题和二维有界稳定温度分布问题为例,说明含时问题(波动和运输问题)和不含时问题(稳定场问

题)不同的求解步骤和最有效的解法. (—）一般有界波动和输运问题 以有界弦的一般振动问题为例.其定解问题是

),,(2 txfuau xxtt =− ( )1.5.8

( ) ( ),,0

tutulxx

υ=μ===

( )2.5.8

( ) ( ).,00

xuxuttt

ψ=ϕ===

( )3.5.8

弦既受外力作用,又受一定的初始位移和初始速度,而且弦的两个端点位置还按已知规律随时间变化,因此,振动方程和边界条件都是非齐次的,初始条件是非零值.不过,方程、边界条件和初始条件都是线性的,叠加

原理适用,前述解法和非齐次边界条件的处理法均可应用.为了方便、有效,可采用如下求解步骤: (1) 边界条件化为齐次

取 ( )txv , 满足非齐次边界条件(8.5.2),例如

).()]()([1),( txttl

txv μ+μ−υ=

令

),(),(),( txtxvtxu ω+=

代入定解问题(8.5.1)～(8.5.3),得 ),( txω 的定解问题

( ),,),(2 txgvtxfa ttxxtt ≡−=ω−ω

,0,00

=ω=ω== lxx

( ) ( ) ( ) ( )xvxxvxttttt

ψ≡−=Φ≡−===== 0000

, ψωϕω .

其中把函数00

)(,)(,),(==

−ψ−ϕ−tttt vxvxvtxf 分别记为 )(),(),,( xxtxg ψΦ .边界条件已是齐次,这定解

问题可用傅里叶级数法直接求解(见§8.2 例 1).但是,这将导致求解时间函数 )(tTn 的二阶非齐次常系数常微

分方程,且初值条件 )0(),0( nn TT ′ 不为零.不如利用叠加原理,化成两个定解问题,分别用分离变数法和冲量定

理法直接求解,见下面(2). (2) 利用叠加原理化成两个简单的定解问题

令 ),,(),(),( txtxtx I ω+ω=ω

Iω 和ω 分别满足定解问题

37

( );),(

,0,0

,0

0

0

2

xx

a

lt

Itt

I

lx

I

x

I

Ixx

Itt

ψ=ωΦ=ω

=ω=ω

=ω−ω

==

==

0,0

,0,0

),,(

0

0

2

=ω=ω

=ω=ω

=ω−ω

==

==

lttt

lxx

xxtt txga

Iω 的定解问题为齐次方程、齐次边界条件,可用分离变数法求解;而ω 的定解问题仅方程是非齐次的,可用

冲量定理法求解. 对于一般的一维有界运输问题,例如定解问题

),,(2 txfuau xxt =−

( ) ( ),,0

tutulxx

υ=μ===

( )..0

xut

ϕ==

其求解步骤跟上述振动问题完全相同,首先利用叠加原理将边界条件化成齐次. 对于二维、三维的有界波动和运输问题的求解也可仿此进行. (二) 一般的有界稳定场问题 今以二维矩形域稳定温度分布问题为例,其定解问题是

),,( yxfuu yyxx =+ ( )4.5.8

( ) ( ),,0

yuyuaxx

υ=μ===

( ) ( ).,00

xuxuyy

ψ=ϕ===

稳定分布问题与时间 t 无关,求解步骤跟含时的波动和运输问题不同,首先处理的不是非齐次边界条件,而非

齐次方程.虽然这里两组边界条件都是非 齐次的,但上节的特解法在这里仍然适用.其求解步骤是: (1) 用特解法,将非齐次方程问题化成齐次方程问题

取非齐次方程(8.5.4)的一个特解 ),( yxv ,有 ),( yxfvv yyxx =+ .令

),(),(),( yxyxvtxu ω+= ,

于是 ),( yxω 满足定解问题

0=ω+ω yyxx ( )5.5.8

),,()(),,0()(0

yavyyvyaxx

−υ=ω−μ=ω==

).,()(),0,()(0

bxvxxvxbyy

−ψ=ω−ϕ=ω==

(8.5.5)已是齐次方程 (2) 用叠加原理,化成两个可直接求解的定解问

令 ),,(),(),( yxyxyx I ω+ω=ω

38

Iω 、ω 的定解问题分别是

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−ψ=ω−ϕ=ω

=ω=ω

=ω+ω

==

==

),,()(),0,()(

,0,0

0

0

0

bxvxxvxby

I

y

I

ax

I

x

I

Iyy

Ixx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ω=ω

−υ=ω−μ=ω

=ω+ω

==

==

.0,0

),,()(),0()(

,0

0

0

byy

axx

yyxx

yavyyvy

这两个定解问题都是齐次方程和一组非齐次边界条件,可用分离变数或傅里叶级数法直接求解. 以上与分离变数法相关的求解原则，不仅仅适用于一维、二维直角坐标系有界区域定解问题，页可用于三

维和其他坐标系的有界区域定解问题，部分求解原则甚至可用于无界区域定解问题。详细情况见第十、第

十一、第十二、第十三、第十四章。 本章研究的全是定义在有界区域的定解问题,且可用分离变数(傅里叶级数)法求解,容易使人产生误解,似乎任何有界的线性的定解问题都能用分离变数法求解.其实不是这样,例如,下列并不很复杂的变系数的线

性偏微分方程

,02 =− xxtt xuau ( )6.5.8

,02 =− xxtt tuau ( )7.5.8

.0)(2 =+− xxtt utxau ( )8.5.8

(8.5.6)、(8.5.7)是可以分离变数的,而(8.5.8)就不能分离变数.这其实不难理解,因为方程(8.5.8)根本不

存在分离变数形式的解 )()(),( tTxXtxu =

,自然,分离变数法对它不适用.