Wissenschaftliches Rechnen, SS2001 · • Oberste Reihe der Tabelle zur Beobachtung der Konvergenz...
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Wissenschaftliches Rechnen, SS2001
Dozent: Prof. Dr. M. Gross
E-mail: [email protected]
Assistenten: D. Bauer, D. Bielser, C. Gut,A. Hubeli, E. Lamboray, R. Lütolf, M. Pauly,
T. Mengotti, S. Do-Thuong, J. Spillmann,P. Stämpfli
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Lehrveranstaltungen/Vorlesungen/WR.html
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Allgemeines
• Zur Vorlesung
• Skript und Textbooks
• Zusatzblätter• Elektronisches Material• Tafel• Uebungsablauf - Gruppen
• Testatbedingungen: 5 aus 6
• Klausur - Hilfsmittel: 20 DIN-A4 Seiten
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Uebungsplan
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Motivation
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Gliederung
Vorlesung Wissenschaftliches Rechnen
SS 2001
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Kapitel 1: Numerische Integration
• Zentrales Thema: Numerische Behandlung vonGleichungen des Typs
• Eine unabhängige Variable x
)()(’ xfxy =
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Kapitel 1: Numerische Integration
1.1 Wichtige Sätze aus der Analysis
1.2 Einfache Integrationsregeln1.2.1 Mittelpunktsregel
1.2.2 Trapezregel
1.2.3 Simpsonregel
1.3 Zusammengesetzte Integrationsregeln1.3.1 Simpsonregel
1.3.2 Trapezregel
Wichtig: lokale und globale Fehlerordnungen
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Kapitel 1: Numerische Integration1.4 Euler-McLaurin’sche Summenformel
1.5 Romberg Integration
1.5.1 Idee
1.5.2 Verbesserung der Konvergenz
1.5.3 Abbruchkriterien
1.6 Adaptive Quadratur
1.7 Newton-Cotes Integrationsformeln
1.7.1 Lagrange Polynome und Gewichte
1.7.2 Fehlerordung
1.8 Gauss Integration
1.8.1 Optimierung der Stützstellen
1.8.2 Orthogonale Polynome (Legendre)
1.8.3 Stützstellen und Gewichte
Wichtig: lokale und globale Fehlerordnungen
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Kapitel 2: Gewöhnliche Dgl.
• Zentrales Thema: Numerische Behandlung vonGleichungen des Typs
• Eine unabhängige Variable x
),()(’ yxfxy =
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Kapitel 2: Gewöhnliche Dgl.
2.1 Einführung2.1.1 Einfache Beispiele
2.1.2 Notation und Klassifikation - Anfangswertprobleme
2.1.3 Richtungsfelder
2.2 Analytische Lösung2.2.1 Explizite und implizite Lösungen
2.2.2 Existenz und Eindeutigkeit
2.2.3 Lösung durch Taylorreihenentwicklung
2.3 Einfache, explizite numerische Lösungsverfahren2.3.1 Euler-Verfahren
2.3.2 Verfahren von Heun
2.3.3 Fehlerordungen: lokaler und globaler Fehler
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Kapitel 2: Gewöhnliche Dgl.
2.4 Explizite Runge-Kutta-Verfahren2.4.1 Prädiktor-Korrektor-Methoden
2.4.2 Allgemeines 4-stufiges RK-Verfahren
2.4.3 Zusammenhang mit Integrationsregeln
2.4.4 Allgemeine Herleitung (Pyramidenschema)
2.4.5 Koeffizientenberechnung
2.5 Eingebettete Verfahren undSchrittweitensteuerung
2.6 Differentialgleichungen höherer Ordnung2.6.1 Zerlegung in Systeme
2.6.2 Beispiel: Masse-Feder-System
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Kapitel 2: Gewöhnliche Dgl.2.7 Stabilität
2.7.1 Inhärente Instabilität
2.7.2 Absolute Stabilität
2.7.3 Implizite Lösungsverfahren (Euler, Heun)
2.8 Steife Differentialgleichungen2.8.1 Eigenwertanalyse bei linearen Systemen
2.8.2 Nichtlineare Systeme
2.9 Randwertprobleme2.9.1 Definition
2.9.2 Analytische Lösung durch Eigenfunktionen
2.9.3 Finite Differenzen Methode
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Kapitel 3: Partielle Dgl.
• Zentrales Thema: Numerische Behandlung vonGleichungen des Typs
• Zwei unabhängige Variablen x, y
HFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx =+++++
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Kapitel 3: Partielle Dgl.3.1 Einführung
3.1.1 Definition
3.1.2 Elliptische, parabolische und hyperbolische PDEs
3.2 Analytische Lösungsmethoden3.2.1 Ansatz durch Variablenseparation
3.2.2 Einarbeitung von Randbedingungen
3.2.3 Beispiel: Laplace-Gleichung auf Rechteck
3.3 Numerische Lösung durch Finite Differenzen3.3.1 Prinzipielle Vorgehensweise
3.3.2 Diskretisierung der Lösungsfunktion
3.3.3 Diskrete Approximation der Dgl.
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8
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Kapitel 3: Partielle Dgl.3.3.4 Einarbeitung von Randbedingungen
3.3.5 Aufstellen des Gleichungssystems
3.4 Variationsrechnung (gewöhnliche Dgl.)3.4.1 Allgemeines Prinzip
3.4.2 Die Euler-Lagrange-Relationen
3.4.3 Starke und schwache Formen
3.4.4 Der Ritz-Ansatz
3.4.5 Beispiele
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Literatur
[1] H. R. Schwarz: Numerische Mathematik, 4.Auflage, Teubner, 1997
[2] D. Faires, R. Burden: Numerical Methods, 2.Edition, Brooks/Cole Publishing, 1998
[3] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction toNumerical Analysis, 2. Ed., Springer, 1993
[4] Wissenschaftliches Rechnen SS98,Vorlesungsskriptum von K. Jauslin, O. Meili, R.Zimmermann
[4a] Gander, W., Hrebicek, J., Solving Problems inScientific Computing using Maple and Matlab, 3.Ed., Springer, 1997
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Literatur
[5] C. Edwards, D. Penny: ElementaryDifferential Equations with Boundary ValueProblems, 3. Edt., 1993
[6] W. Boyce, R. DiPrima: ElementaryDifferential Equations with Boundary ValueProblems, John Wiley, 1997
[7] F. Hildebrand: Advanced Calculus forApplications, 2. Edt., Prentice Hall, 1976
[8] Mit Vorbehalt!: Press, et al. NumericalRecipes in C, 2nd. Edt., 1992
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Kapitel 1: NumerischeIntegration/Quadratur
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Historie
• Problem der alten Griechen, einen Kreis mittelsZirkel und Lineal in ein flächengleiches Rechteckumzuwandeln [4]
App.ico
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1.1 Integrationsformeln
• Ziel einer Integrationsformel ist die approximativeBerechnung des untenstehenden bestimmtenIntegrals F, wobei f(x) eine auf [a,b] integrierbare,reellwertige Funktion ist.
• Hierbei wird das Integral durch eine gewichteteSumme angenähert.
∫=b
a
dxxfF )(
i
n
ii fwF ∑
=
=1
~
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1.1 Polynomapproximation revisited
• Konstruktion eines interpolierenen Polynoms vomGrad n mit dividierten Differenzen nach Newton[1]
• Koeffizienten durch rekursiv definierte dividierteDifferenzen der Form
gegeben.
))...(()()( 111
00 −=
−−−+= ∑ k
n
kkn xxxxxxccxP
],..,,[ 10 kk xxxfc =
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1.1 Polynomapproximation revisited
• Rekursive Definition der dividierten Differenzenk-ter Ordnung [2]
• Wenn sowie x0,..,xn in [a,b] verschieden,dann gibt es eine Zahl ξ so dass
iki
kiiikiiikiii xx
xxxfxxxfxxxf
−−=
+
−+++++++
],..,,[],..,,[],..,,[ 1121
1
nCf ∈
!
)(],..,,[
)(
10 n
fxxxf
n
n
ξ=
Dies ist von grundlegender Bedeutung für die Fehlerabschätzungvon Integrationsregeln
( )ii xfxf =][
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1.1 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
• Es sei f ∈ C [a,b] eine differenzierbare Funktion,dann existiert eine Zahl c ∈ [a,b], so dass
ab
afbfcf
−−= )()(
)(’
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1.1 Zwischenwerte
• Es sei f ∈ C [a,b] eine differenzierbare Funktionund K eine Zahl zwischen f(a) und f(b), dannexistiert eine Zahl c, so dass
Kcf =)(
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1.1 Riemann’scher Integralbegriff• Die Funktion f(x) in [a,b] heisst Riemann
integrierbar, wenn der folgende Grenzwertexistiert
• mit den Stützstellen xi und beliebigen Zahlen zi in[xi-1, xi]
• Insbesondere ergibt die Wahl äquidistanterStützstellen sowie zi=xi
∑∫=→∆
∆=n
iii
x
b
a
xzfdxxfi 0
0max)(lim)(
∑∫=∞→
−=n
ii
n
b
a
xfn
abdxxf
0
)(lim)(
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1.1 Erweiterter Mittelwertsatz derIntegralrechnung
• Es sei f ∈ C [a,b] eine kontinuierliche Funktion, gintegrierbar auf [a,b] und g(x) ohneVorzeichenwechsel in [a,b], dann existiert eineZahl c, so dass
∫∫ =b
a
b
a
dxxgcfdxxgxf )()()()(
Dies ist von grundlegender Bedeutung für die Fehlerabschätzungvon Integrationsregeln
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1.1 Taylorreihe• Es sei f ∈ Cn [a,b] eine differenzierbare Funktion
und f(n+1)(x) existiert auf [a,b]. Es sei x0 einebeliebige Zahl in [a,b], dann existiert eine Zahlξ(x) zwischen x0 und x, so dass
• wobei
• Restglied
)()()( xRxPxf nn +=
kn
k
k
n xxk
xfxP )(
!
)()( 0
0
0)(
−= ∑=
10
)1(
)()!1(
))(()( +
+
−+
= nn
n xxn
xfxR
ξ
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1.2 Einfache Integrationsregeln
• Herleitung erfolgt jeweils über die Konstruktioneines interpolierenden Polynoms über die Knoten(Stützstellen) z. B. gemäss Newton [2].
• Fehler wird durch Restglied abgeschätzt
))..()(](,..,,[..
)](,[][)(
11010
0100
−−−−++−+=
nn
n
xxxxxxxxxf
xxxxfxfxP
))..()(()!1(
))(()()( 10
)1(
n
n
n xxxxxxn
xfxPxf −−−
+=−
+ ξ
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1.2.1 Die einfache Mittelpunktregel• Wähle konstantes Polynom P0 bei x0=(a+b)/2
• Lineares Glied des Polynoms wird zu Null
• Fehler kann duch Integration des quadratischenFehlerterms ermittelt werden. Wir nutzen dasMittelwerttheorem!
)](2
[)]([][ 00 abba
fabxfdxxfb
a
−+=−=∫
3)2(
20
)2(2
0
)2(
)(24
)()(
!2
)()(
!2
))((ab
fdxxx
fdxxx
xf b
a
b
a
−=−=− ∫∫ξξξ
0)(2
],[)(],[ 2
010
010 =−=−∫ b
a
b
a
xxxxf
dxxxxxfApp.ico
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1.2.2 Die einfache Trapezregel
• Wähle nun lineares Glied mit x0=a und x1=b
• Integration des quadratischen Terms zurFehlerbestimmung
Mittelpunktregel ist von linearer Präzision, jedoch in einemkonstanten Polynom “verkleidet”
3)2(
)(24
)()](
2[)(: ab
fab
bafdxxfM
b
a
−+−+=∫ξ
)(2
)()())(],[][( 0100 ab
bfafdxxxxxfxf
b
a
−+=−+∫
3)2()2(
)(12
)())((
!2
))((ab
fdxbxax
xfb
a
−−=−−∫ξξ
App.ico
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16
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Die einfache Trapezregel
• Vollständige Gleichung
• Beim Uebergang zu linearen Polynomen ist keineweitere Verbesserung der Fehlerordnung möglich!
3)2(
)(12
)()(
2
)()()(: ab
fab
bfafdxxfT
b
a
−−−+=∫ξ
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1.2.3 Die einfache Simpsonregel
• Wähle quadratisches Interpolationspolynom
• mit den Stützstellen x0=a, x1=(a+b)/2,x2=b
• nach diversen algebraischen Umformungen durchMaple erhalten wir
∫∫ ≈b
a
b
a
dxxPdxxfS )()(: 2
dxba
xaxbba
afaxba
afafSb
a
))2
)(](,2
,[)](2
,[][(:+−−++−++∫
)]()2
(4)([6
)(: bfba
fafab
dxxfSb
a
+++−≈∫
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Die einfache Simpsonregel
• Fehlerberechnung erfolgt in Analogie durchFehlerformel für Taylor-Reihen
• so dass wir die vollständige Simpson-Regel nachfolgender Gleichung erhalten
5)4(
)(2880
)(ab
flerSimpsonfeh −−= ξ
5)4(
)(2880
)()(
24)(
6)(: ab
fbf
bafaf
abdxxfS
b
a
−−
+
++−=∫
ξ
App.ico
Auch hierbei ergibt sich der kubische Fehlerterm wieder zu Null, sodass die resultierende Fehlerordnung den Grad 5 hat.
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Beispiele aus [2]
App.ico
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1.3 Zusammengesetzte Regeln• Fehler der beschriebenen Integrationsformeln
hängt in der k-ten Potenz von der Intervallbreiteh=(b-a) ab.
• Aufteilung des Integrals in Teilintegrale(Linearität des Operators) der Breite h=(b-a)/n
• Zunächst äquidistante Stützstellen (Knoten) beia=x0<…<xn=b gegeben.
• Erweiterung der Simpson-Integrationsformel,wobei x2j-2<ξi<x2j und f ∈ C(4) [a,b]
• Umsortierung und Zusammenfassung derFunktionswerte ergibt
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1.3.1 Composite Simpson
• Da f ∈ C4 [a,b] ist die 4. Ableitung auf [a,b]beschränkt und es gilt
∑∑
∑∑ ∫∫
==−
−
==
−+
++==−
2/
1
)4(52/
112
1)2/(
120
2/
1
)(90
)]()(4
)(2)([3
)()(2
22
n
jjn
n
jj
n
jj
n
j
x
x
b
a
fh
xfxf
xfxfh
dxxfdxxfj
j
ξ
)(max)()(min],[
)4()4(
],[
)4( xffxfbax
jbax ∈∈
≤≤ ξ
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Composite Simpson• Somit
• und
• schliesslich existiert gemäss Zwischenwerttheoremein µ
)(max2
)()(min2 ],[
)4(2/
1
)4(
],[
)4( xfn
fxfn
bax
n
jj
bax∈=
∈
≤≤ ∑ ξ
)(max)(2
)(min],[
)4(2/
1
)4(
],[
)4( xffn
xfbax
n
jj
bax ∈=∈≤≤ ∑ ξ
∑=
=2/
1
)4()4( )(2
)(n
jjf
nf ξµ
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Fehlerterm
• Daher kann der Fehlerterm wie folgt geschriebenwerden:
• Die vollständige Simpsonregel lautet dann fürgerade n
)(180
)()(
90)4(
42/
1
)4(5
µξ fabh
fh n
jj
−−=− ∑=
)(180
)()]()(4
)(2)([3
)(
)4(42/
112
1)2/(
12
µfabh
bfxf
xfafh
dxxf
n
jj
n
jj
b
a
−−+
++=
∑
∑∫
=−
−
=
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1.3.2 Composite Trapezregel• In Analogie können auch Trapez- und
Mittelpunktsregel entsprechend erweitert werden.
• Für die Trapezregel gilt dann
• wobei f ∈ C2 in [a,b] und n beliebig gerade oderungerade.
• Gleiches gilt für die Mittelpunktregel
)(12
)()]()(2)([
2)( )2(
21
1
µfabh
bfxfafh
dxxfn
jj
b
a
−−++= ∑∫−
=
)(6
)()(2)( )2(
22/
0
µfabh
xfhdxxfn
jj
b
a
−+= ∑∫=
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Newton-Cotes Formeln
• Verallgemeinerung des Ansatzes für beiliebigePolynomgrade führt zu Newton-Cotes Formeln.
• n=3: 3/8 Regel
• n=4: Milne Regel O(h7)
• n=6: Weddle’s Regel O(h9)
Man übe die Herleitung dieser Formeln mit Maple.
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21
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Kurze Zusammenfassung
• Was sollte man bisher gelernt haben?– Einfache Integrationsregeln (M, T, S)
– Konstruktion durch interpolierende Polynome
– Fehlerabschätzungen und ihre Anwendung
– Zusammengesetzte Integrationsregeln (M, T, S)
– Fehlerabschätzungen dazu
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1.4 Euler-McLaurin Summenformel
• Grundidee besteht darin, den Fehler derTrapezregel asymptotisch für h->0 mittels einerTaylorreihe zu entwickeln.
• Dazu Taylorreihe in f
• D ist der Differentialoperator d/dx
)()()1(!
)()()(
1
)(
xfxfehk
xfxfhxf hDk
k
k
+−=+=+ ∑∞
=
))()(()1()( 1 xfhxfexf hD −+−= −
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22
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Euler-McLaurin Summenformel
• Reihenentwicklung des inversen Operators ergibt
• Bk sind die Bernoulli-Zahlen
• Die ungeraden Bernoulli-Zahlen sind für k>1gleich Null
))()(()(!
2/1)()( 1
2
1 xfhxfhDk
BhDxf k
k
k −+
+−= −
∞
=
− ∑
1
0
1 )(!
)1( −∞
=
− ∑=− k
k
khD hDk
Be
−++=++ −−
∞
=
+
∑∫ ))()(()!2(
)())()((2
)12()12(2
1
2 xfhxfhk
Bdttfxfhxf
h kkk
k
khx
x
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Euler-McLaurin Summenformel
• Anwendung auf n Teilintervalle der Trapezregelergibt
• Konvergenz obiger Summe nicht garantiert,jedoch für h->0 asymptotische Partialsummen
−
+=++=
−−∞
=
−
=
∑
∫∑
))()(()!2(
)()]()(2)([2
)(
)12()12(2
1
2
1
1
afbfhk
B
dttfbfxfafh
hT
kkk
k
k
b
a
n
jj
)()()( 12
1
hRhcdxxfhT Nk
N
kk
b
a
+=
++= ∑∫
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23
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Euler-McLaurin Summenformel
• Restglied [3] der Ordnung O(h2N+2) für h->0
)()!22(
)()( )22(22221 ξ+++
+ +−= NNN
N fN
BabhhR
Da c1 i. A. ungleich Null, ist die Fehlerordnung der Trapezregelquadratisch.
Die vorliegende Formel ist zur Konvergenzbeschleunigung vonIntegrationsverfahren von herausragender Bedeutung.
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Zusatz: Herleitung Euler-McLaurin
• Taylorreihe
• substituiert durch da
• x0 substituiert durch x (da für alle x0 gültig)
∑∞
=
−+=1
00)(
0 !))((
)()(k
kk
k
xxxfxfxf
hx +0 0xxh −=
∑∞
=+=+
1
0)(
00 !))((
)()(k
kk
k
hxfxfhxf
∑∞
=+=+
1
)(
!))((
)()(k
kk
k
hxfxfhxf
x
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24
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Herleitung Euler-McLaurin
• Einführung des Differentialoperators
• Substitution der Reihenentwicklung
dx
dD =
∑
∑∞
=
∞
=
+=
+=+
1
1
!)(
)(
!
)()()(
k
kk
k
kk
k
hxfDxf
k
hxfdxd
xfhxf
∑∞
=+=
1 !)(
1k
khD
khD
e
)()1()()( xfexfhxf hD −+=+
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Herleitung Euler-McLaurin
• Auflösen
• wobei sich durch die Bernoulli-Zahlendarstellen lässt
• eingesetzt in f(x) ergibt sich
( ))()()1()( 1 xfhxfexf hD −+−= −
1
0
1 )(!
)1( −∞
=
− ∑=− k
k
khD hDk
Be
1)1( −−hDekB
( ))()()(!
)( 1
0
xfhxfhDk
Bxf k
k
k −+= −∞
=∑ App.ico
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25
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 49
Herleitung Euler-McLaurin
• Bernoulli-Zahlen für k ∈ N0
• Herauslösen der ersten beiden Glieder aus derSumme
( ))()()(!2
1)()(
2
11 xfhxfhDk
BhDxf
k
kk −+
+−= ∑
∞
=
−−
720120246211!421
0301
061
21
1
6543210
k
B
k
k −−
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 50
Herleitung Euler-McLaurin
• wobei
( ) ( )
( )( )
∫
∫∫
+
−−−
=
−+=
−+=
−+=−+
hx
x
dttfh
xFhxFh
dxxfdxhxfh
xfDhxfDh
xfhxfhD
)(1
)()(1
)()(1
)()(1
)()()( 111
Anwendung der Operatorenalgebra: Inverses Element desDifferentialoperators ist der Integraloperator.
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26
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Herleitung Euler-McLaurin
• Nach Einsetzen ergibt sich
• Addition von und Multiplikationmit h ergibt
( )
( ))()()(!
)()(21
)(1
)(
2
1 xfhxfhDk
B
xfhxfdttfh
xf
k
kk
hx
x
−++
−+−=
∑
∫∞
=
−
+
( )
( ))()()()(!
)()()(2
2
1 xfhxfDhk
B
dttfxfhxfh
k
kkk
hx
x
−++
=++
∑
∫∞
=
−
+
( ))()(21
xfhxf −+
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Herleitung Euler-McLaurin
• Die ungeraden Bernoulli-Zahlen sind für k>1gleich Null. Somit ergibt sich nach Umformungder Summe und Auswerten desDifferentialoperators
( )
( ))()()!2(
)()()(2
)12()12(
1
22 xfhxfhk
B
dttfxfhxfh
kk
k
kk
hx
x
−−∞
=
+
−++
=++
∑
∫
Dies stellt eine Restgliedentwicklung für die Trapezregel dar.
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27
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1.5 Romberg Integration [2], [1]• Idee: Verbesserung des Konvergenzverhaltens der
Trapezregel durch Extrapolation.
• Voraussetzung: Restgliedentwicklung durchEuler-McLaurin Summenformel
• Restglied der Ordnung O(h2N+2) für h->0
)()()( 12
1
hRhcdxxfhT Nk
N
kk
b
a
+=
++= ∑∫
)()!22(
)()( )22(22221 ξ+++
+ +−= NNN
N fN
BabhhR
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 54
1.5.1 Idee der Romberg Integration• Allgemeiner: Es sei M ein durch eine
Integrationsformel N(h) der Ordnung O(h) zuapproximierender Wert, wobei der Fehler
• Eine Halbierung der Intervallbreite h->h/2 ergibt
• Elimination des Terms für c1 durch Subtraktion(*2) der beiden Gleichungen
k
kk
b
a
hchNdxxfM ∑∫∞
=
=−=1
)())((
k
k
kk
hc
hNM
2)
2(
1∑
∞
=
+=
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28
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 55
Romberg Integration
• Wir schreiben im folgenden N1(h) = N(h)
• Damit ergibt sich eine Approximationsformelquadratischer Ordnung O(h2) (*)
−+−+= −
∞
=∑ k
k
k
kk h
hchN
hN
hNM
12 2
))()2
(()2
(
))()2
(()2
()( 1112 hNh
Nh
NhN −+=
−−= −
∞
=∑ k
kk
k hchNM )2
11()(
12
2
Durch Intervallhalbierung und Subtraktion lässt sich offenbar dieFehlerordnung einer gegebenen Integrationsregel verbessern.
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 56
Romberg Integration• Erneut Ersatz von h->h/2
• Multiplikation von obiger Gleichung mit 4 undSubtraktion von * eliminiert den Term für c2
• Ausgeschrieben ergibt sich
• bzw.
−−= −
∞
=∑ k
k
kk
k
hc
hNM
2)
21
1()2
(1
22
∑∞
=−−
−
−+−=
32122 2
11
21
1)()2
(43k
kkkk hchN
hNM
∑∞
=−−
−
−+
−+=
321
22
2 21
121
131
3
)()2
()
2(
k
kkkk hc
hNh
NhNM
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29
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Romberg Integration• Mit Einführung von N3(h) erhalten wir eine
Approximationsformel kubischer Ordnung O(h3)
• Fortsetzung dieser Methodik für beliebige j=2,..,Jergibt eine Rekursionsformel für die Verbesserungder Fehlerordnung einer Integrationsformel N(h)der Ordnung O(hj)
∑∞
=−−
−
−+=
3213 2
11
21
131
)(k
kkkk hchNM
12
)()2
()
2()(
1
11
1 −
−+= −
−−
− j
jj
jj
hNh
NhNhN
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 58
Pyramidenschema
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30
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 59
Anwendung: Composite Trapezregel• Wir erinnern uns: Die zusammengesetzte
Trapezregel lautete
• Verallgemeinerung der Formel für mk=2k-1 ergibtbei einer Schrittweite von hk=(b-a)/mk
)(12
)()]()(2)([
2)( )2(
21
1
µfabh
bfxfafh
dxxfm
ii
b
a
−−++= ∑∫−
=
)(12
)()]()(2)([
2)( )2(
212
1
1
kk
ik
kb
a
fabh
bfihafafh
dxxfk
µ−−+
++= ∑∫
−
=
−
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 60
Andere Schreibweise• Für den Anteil der Trapezregel schreiben wir
• Allgemeine Formel für die rekursive Verfeinerungder Intervallbreite bei der Trapezregel
• für k=2,..,n
)]()([21
1,1 bfafh
R +=
)]([2
1211,11,2 hafhRR ++=
))]3()(([2
13321,21,3 hafhafhRR ++++=
]∑−
=−− −++=
22
111,11, ))12(([
21
k
ikkkk hiafhRR
App.ico
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31
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 61
1.5.2 Verbesserung der Konvergenz
• Verbesserung durch Anwendung der zu Beginnillustrierten Idee der rekursiven Intervallhalbierungund Subtraktion
• Einsetzen der Euler-McLaurin Relationen für dieTrapezregel (*)
• Ersatz von hk durch hk/2
Trotz der sukzessiven Verbesserung der Ergebnisse bleibt dieFehlerordnung erhalten (quadratisch im Falle der Trapezregel).
ik
iik
ik
iik
b
a
hchchcRdxxf 2
2
21
2
11,)( ∑∑∫
∞
=
∞
=
+==−
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 62
Verbesserung der Konvergenz
• Wir erhalten
• Multiplikation mit 4 und Subtraktion von (*)
• Da die EulerMcLaurin Reihe der Trapezregel nurgerade Glieder enthält, haben wir dieKonvergenzordnung von quadratisch nach quartischverbessert.
i
ik
ii
kik
iik
b
a
hc
hchcRdxxf
44)(
2
2
212
11
1,1 ∑∑∫∞
=+
∞
=+ +==−
ik
ii
iikk
k
b
a
hcRR
Rdxxf 2
21
11,1,1
1,1 4
41
33)( ∑∫
∞
=−
−+
+
−=
−
+−
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32
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Allgemeine Relation
• Rekursive Definition der Rk,j durch Mittelung derberechneten Werte
• Allgemein für k=2,..,n sowie j=2,..,k gilt dann
−
−+= −
−−−− 14 1
1,11,1,, j
jkjkjkjk
RRRR
−
+= −
31,11,
1,2,kk
kk
RRRR
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Romberg Pyramide
• Dreiecksschema
• Berechnung einer neuen Zeile in der Tabelle durcherneutes Auswerten der Trapezregel auf Stufehn+1.
nnnn RRR
RR
R
,2,1,
2,21,2
1,1
...
......
App.ico
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33
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1.5.3 Abbruchkriterien
• Oberste Reihe der Tabelle zur Beobachtung derKonvergenz
• Abbruch durch ε-Kriterium
• Voraussetzung für den Erfolg der Methode, dassdie asymptotische Entwicklung für f(x) gilt, d.h. fgenügend oft in [a,b] differenzierbar ist.
• Relativer Fehler
ε<− −− 1,1, kkkk RR
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Abbruchkriterien
• Rekursive Approximation des Ausdrucks
• Kann auf Extrapolation mittels der rekursivenVerfahren von Aitken/Neville zurückgeführtwerden.
• Hierbei werden die Werte für T(hk) für einige Parameterwerte vonhk>0 berechnet und die zugehörigen Interpolationspolynome ander ausserhalb der Stützstellen liegenden Stelle h=0ausgewertet.
• Vgl. [1], pp. 117 ff., 133 ff.• Richardson Extrapolation im Kontext von Differentialgleichungen
k
kk
b
a
hcdxxfhT ∑∫∞
=
+=1
)()(
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34
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1.6 Adaptive Quadratur [2], [1]
• Idee: Adaptive Verfeinerung des Integrationsintervallsim Sinne eines Bisektionsalgorithmus.
• Fehlerschätzung sollte unter Vermeidung derBerechnung von höheren Ableitungen der Funktionerfolgen.
• Einfache Simpsonformel
( )[ ] 5)4(
)(90
)()(4)(
3)(: h
fbfhafaf
hdxxfS
b
a
ξ−+++=∫
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Abbruchkriterium
• Herleitung eines Abbruchkriteriums durch erneutesAuswerten der Simpsonregel bei halber Intervallbreite:h->h/2
)(180
)(2)]()
23
(4
)(2)2
(4)([6
)(
)4(
4
µfab
h
bfh
af
hafh
afafh
dxxfb
a
−
−++
++++=∫
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35
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Abbruchkriterium
• Dies kann wie folgt umgeschrieben werden
• Vereinfachende Annahme, dass f(4)(ξ)= f(4)(µ)• Somit folgt
)(161
90),
2()
2,()( )4(
5
µfh
bba
Sba
aSdxxfb
a
−+++=∫
5)4(
)4(5
)(90
)(),()(
161
90),
2()
2,( h
fbaSf
hb
baS
baaS
ξξ −≈
−+++
)(90
),2
()2
,(),(1516 )4(
5
ξfh
bba
Sba
aSbaS ≈
+−+−
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 70
Fehler
• Daraus lässt sich eine Fehlerabschätzungkonstruieren:
),2
()2
,(),(151
),2
()2
,()(
bba
Sba
aSbaS
bba
Sba
aSdxxfb
a
+−+−
≈+−+−∫
Nach Intervallhalbierung approximiert die Simpsonregel den exaktenWert des Integrals 15 mal besser, als dass sie mit dembekannten Wert von S(a,b) übereinstimmt.
Wenn die Ergebnisse der Simpsonregel vor und nachIntervallhalbierung innerhalb von 15ε liegen, so approximiert diezweite Berechnung das exakte Ergebnis innerhalb von ε.
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36
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Fehlerschätzung
• Es gilt also
• Beispiel mit
• Relatives Fehlerkriterium besser
ε
ε
<+−+−
<+−+−
∫ ),2
()2
,()(
15),2
()2
,(),(
bba
Sba
aSdxxfthen
bba
Sba
aSbaSif
b
a
App.ico
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 72
Rekursiver Algorithmus
• Rekursive Subdivision des Integrationsintervalls
proc Adap(f,a,b)
h=(b-a)/2;
i1=Simpson(f,a,b,h);
i2=Simpson(f,a,b,h/2);
if (abs(i1 - i2)< 15*eps*abs(i2))
return i2;
else return Adap(f,a,(a+b)/2) + Adap(f,(a+b)/2,b);
end;
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37
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Bemerkungen
• Vorgabe von ε funktioniert nur bei gutartigenFunktionen.
• Kann zu Stack Overflow führen.
• In MATLAB (schlecht) als quad() implementiert.
• Zusätzlich Romberg verwendbar.
• Statt 15 ε wird oft noch eine Sicherheitsmargemitgegeben.
• Weitere Details siehe [3].
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Beispielfunktion aus [2]
< 1.1*10^-5
Adaptiv:
93 Funktionsauswertungen
Simpson:
177 Funktionsauswertungen
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38
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1.7 Newton-Cotes Integrationsformeln [1]• Verallgemeinerung der behandelten
Integrationsformeln durch Approximation derFunktion durch Lagrange-Polynome Lk(x)
• Zunächst äquidistante Stützstellen (Knoten) beia=x0<…<xn=b gegeben.
• Konstruktion eines Polynoms
• Berechnung des Integrals
∑∑ ∫∫==
−===n
kkk
n
k
b
akk
b
ann xfwabdxxLxfdxxPQ
00
)()(:)()()(:
∑=
=n
kkkn xLxfxP
0
)()()(
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1.7.1 Lagrange Polynome (revisited)• Gegeben seien n+1 Stützstellen x0<…<xn ,
paarweise verschieden, dann existieren n+1Lagrange-Polynome der Form
• mit der Eigenschaft
• (Kronecker-Delta)
• Interpolierendes Polynom der Form
)(
)(:)(
0jk
jn
jkj
k xx
xxxL
−−
∏=≠=
{ elsekjfallsxL kjjk ,0,:1)( === δ
∑=
=n
kkkn xLxfxP
0
)()()(App.ico
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39
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Gewichte
• Berechnung der Gewichte wk ist wegen derEigenschaften der Lagrange-Polynome rechteinfach
• Variablensubstitution zur Rückführung auf einIntegral über das Einheitsintervall [a,b]->[0,1]
• x=a+(b-a)t sowie dx=(b-a)dt
∫∫ −−
∏−
=−
=≠=
b
a jk
jn
jkj
b
akk dx
xx
xx
abdxxL
abw
)(
)(
)(1
)()(
10
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Gewichte
• Resultierende Gewichte
• Eine Berechnung für n=2 ergibt die Simpson-Koeffizienten
∫ −−∏=
≠=
1
00 )(
)(dt
jk
jntw
n
jkj
k
App.ico
)4(6
)()()(: 210
2
02 fff
abxfwabQ
kkk ++−=−= ∑
=
In Analogie können höhergradige Polynomapproximationen zurHerleitung weiterer Integrationsformeln herangezogen werden.
3/8 Regel, Milne-Regel, etc. bei äquidistanten Stützstellen.
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Eindeutigkeit
• Satz: Zu n+1 beliebig vorgegebenen, paarweiseverschiedenen Stützstellen existiert eine eindeutigbestimmbare, interpolatorische Quadraturformel
• deren Genauigkeitsgrad mindestens gleich n ist.
∑=
−=n
kkkn xfwabQ
0
)()(:
∫−=
b
akk dxxL
abw )(
)(1
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1.7.2 Fehlerordnung
• Gemäss Definition liefern die Newton-CotesIntegrationsformeln den exakten Wert fürPolynome vom Grad <=n
• Der Fehler En[f] ist ein lineares Funktional in f
• Eine Quadraturformel besitzt also denGenauigkeitsgrad m ∈ N, falls
∑∫=
−−=−=n
kkk
b
ann xfwabdxxfQIfE
0
)()()(][
mjxEmjfürxE jn
jn >≠== ,0][,..0,0][
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41
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Fehlerterm
• Das Fehlerfunktional ergibt sich aus denbekannten Restgliedformeln
• Satz: Ist n gerade und ist f(x) ∈ Cn+2in [a,b], so istder Quadraturfehler der geschlossenen Newton-Cotes Formel gegeben durch
∫ ∏∫=
+
−+
=−=b
a
n
ii
nb
ann dxxx
n
xfdxxPxffE
0
)1(
)()!1(
))(())()((][
ξ
∫ ∏=
+
−+
=b
a
n
ii
n
n dxxxxn
ffE
0
)2(
)()!2(
)(][
ξ
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Fehlerterm
• Satz: Ist n ungerade und ist f(x) ∈ Cn+1in [a,b], soist der Quadraturfehler der geschlossenen Newton-Cotes Formel gegeben durch
• Beweise siehe Woche 1, [2], [3].
∫∏=
+
−+
=b
a
n
ii
n
n dxxxn
ffE
0
)1(
)()!1(
)(][
ξ
• Geschlossene Newton-Cotes Formel bedeutet, dass sowohlAnfangs- als auch Endpunkt des Intervalls Integrationsstützstelleist.
• Offene Newton-Cotes Formeln zur Herleitung derMittelpunktregel und Tangententrapezregel.
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42
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Bemerkungen
• Newton-Cotes Formeln offen und geschlossen
• Können auch als zusammengesetzte Regelnformuliert werden
• Polynomgrade n>=8 sind aufgrund derOszillationsneigung der Lagrange-Polynome nichtmehr sinnvoll
• Wahl von geraden n ist aufgrund derFehlerordnungen vorteilhafter
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1.8 Gauss-Quadratur
• Bisher: Feste, nicht-optimale Wahl derStützstellen x0<…<xn - oftmals äquidistant a+kh
• Idee: Wähle Stützstellen xk und Gewichte wk, sodass die resultierende interpolatorischeQuadraturformel maximale Genauigkeit besitzt
• Wir betrachten dazu das Integrationsintervall von[-1,1]
][][)()(1
1
1
fEQfExfwdxxf nnn
n
kkk +=+= ∑∫
=−
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43
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1.8.1 Optimierung der Stützstellen
• Gesucht: Stützstellen xk und Gewichte wk also 2nParameter.
• Die Klasse der Polynome vom Grad 2n-1 besitztebenfalls 2n Parameter (Koeffizienten)
• z. B. Monome der Form
• Beispiel: Berechnung einer Quadraturformel für
in
iin xaxP ∑
−
==
12
0
)(
)()()( 2211
1
1
xfwxfwdxxf +≈∫−
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Beispiel: 2 Stützstellen
• Wähle als approximierendes Polynom
• Das Integral über das Polynom ergibt sich zu
• Obige Formel muss also das exakte Ergebnisliefern für f(x)=1, x, x2, x3
i
ii xaxPxf ∑
==≈
3
03 )()(
( )
∫∫∫∫
∫
−−−−
−
+++
=+++
1
1
33
1
1
22
1
11
1
10
1
1
33
2210
1 dxxadxxaxdxadxa
dxxaxaxaa
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Beispiel: 2 Stützstellen
• Somit erhalten wir folgendes Gleichungssystem
• mit den Lösungen
21111
121 ==⋅+⋅ ∫
−
dxww ∫−
==⋅+⋅1
12211 0xdxxwxw
∫−
==⋅+⋅1
1
2222
211 3
2dxxxwxw ∫
−
==⋅+⋅1
1
3322
311 0dxxxwxw
121 == ww33
1 −=x33
2 =xApp.ico
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Resultierende Integrationsformel
• Die einfache (Gauss’sche) Integrationsformel
• liefert ein exaktes Ergebnis für Polynome vomGrad n<4.
][)33
()33
()( 4
1
1
fEffdxxf ++−=∫−
• Durch geschickte Wahl von Stützstellen und Gewichten könnenwir die Integrationsordnung nahezu um den Faktor 2 verbessern.
• Grosser Nachteil: Die Berechnung der Parameter führt zu einemnichtlinearen Gleichungssystem
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1.8.2 Orthogonale Polynome
• Definition: Zwei Funktionen f(x) und g(x) ∈ L2
heissen orthogonal, wenn
• <,>: Inneres Produkt (verallgemeinertesSkalarprodukt).
• Die wie folgt definierten Legendre-PolynomeHn(x)
0)()(, =>=< ∫∞
∞−
dxxgxfgf
0N∈−= nxdxd
nxH n
n
n
nn ,])1[(!2
1)( 2
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Zusatzblatt: Orthogonalität und innereProdukte am Beispiel
( ) ( )tûtu ωsin⋅= ( ) ( )tuR
ti1=
( ) ( ) ( )titutP ⋅= ( ) ( )tutuR
⋅= 1
( ) ( )dt 2
0
tutuR
û ⋅⋅ ∫Π
π212
Vû
uR
ûP effw 220
2
2
2
==⋅
=
2, uuu =
~ ( )tu
( )ti
inneres Produkt
wirksame Momentanleistung
1. Widerstand
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46
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Zusatzblatt: Orthogonalität und innereProdukte
( ) ( ) ( )tûcdt
tduCti ωω cos⋅⋅⋅=⋅=
( ) ( ) ( )tit utP ⋅=
( ) ( )t tûC ωωω sincos2 ⋅⋅=
( ) ( ) 0sincos2
2
0
2
=⋅= ∫w dtW W ûCP πω
0sincos, =da
~
( )ti
( )tu
2. Kondensator
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Orthogonale Polynome
• wobei
• sind gegenseitig orthogonal im Intervall [-1,1]
• Ferner hat Hn(x) genau n einfache Nullstellen in ]-1,1[für n>=1
• Siehe [1], pp. 222ff.
1)(0 =xH xxH =)(1
=+
≠=∫
− jifallsn
jifalls
dxxHxH ji
122
0
)()(1
1
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Verallgemeinerung• Satz: Es existiert genau eine Quadraturformel
• welche maximalen Genauigkeitsgrad (2n-1)besitzt. Die Stützstellen xk sind die Nullstellen desn-ten Legendre-Polynoms Hn(x) und dieIntegrationsgewichte sind durch die aus denNewton-Cotes Regeln bekannten Gewichte
]1,1[)(1
12 −∈= ∑=
− k
n
kkkn xxfwQ
),..,1(,)(1
1
1
11
nkdxxLdxxx
xxw k
jk
jn
jkj
k ==−−
∏= ∫∫−− ≠
=
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Faktorisierung eines Polynoms
• Beweis: Das Polynom vom Grad 2n-1 kann wie folgtfaktorisiert werden
• Gn-1(x) ist ein Polynom vom Grad n-1, welches alsLinearkombination von Legendre-Polynomengeschrieben werden kann
• Restglied Rn-1(x) ist Polynom vom Grad n-1
)()(*)()( 1112 xRxHxGxP nnnn −−− +=
∑−
=− =
1
01 )()(
n
iiin xHhxG
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48
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Faktorisierung eines Polynoms
• Da {H(x)} paarweise orthogonal (Orthogonalbasis),muss gelten
∫∫∫−
−−
−−
− +=1
11
1
11
1
112 )()()()( dxxRdxxHxGdxxP nnnn
∫∑ ∫−
−
−
= −
+=1
11
1
0
1
1
)()()( dxxRdxxHxHh nn
n
iii
∫−
−=1
11 )( dxxRn
• Man kann also das Integral über ein Polynom des Grades 2n-1auf ein Integral über ein Polynom vom Grad n-1 zurückführen.
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1.8.3 Stützstellen und Gewichte• Wir stellen nun eine interpolatorische
Integrationsformel über n Stützstellen x1<…<xn
gemäss Newton-Cotes auf.
• Diese hat einen Genauigkeitsgrad von mindestens n-1
• Wahl von xk als Nullstellen von Hn(x) liefertzusätzlich
• da Rn-1 ein Polynom von Grad n-1 ist und damit exaktintegriert wird
∑∑∑=
−=
−=
− +=n
kknk
n
kknknk
n
kknk xRwxHxGwxPw
11
11
112 )()()()(
∫∫∑∑−
−−
−=
−=
− ===1
112
1
11
11
112 )()()()( dxxPdxxRxRwxPw nn
n
kknk
n
kknk
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49
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Gewichte
• Die Gewichte sind durch die Newton-CotesRelationen gegeben
• Sehr leistungsfähiges Integrationsverfahren beikomplexen Funktionen
• Geschickte Wahl der Stützstellen als Nullstellen orthogonalerPolynome erlaubt die exakte Integration von Polynomen bis 2n-1
),..,1(,)(1
1
1
11
nkdxxLdxxx
xxw k
jk
jn
jkj
k ==−−
∏= ∫∫−− ≠
=
App.ico
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Bemerkungen
• Kann auch mit anderen othogonalen Polynomenberechnet werden (Chebyshev, Laguerre, Hermite)
• Integrationsintervall wird transformiert zu
• x=(a+b+(b-a)t)/2 sowie dx=(b-a)/2dt
• Grosse Bedeutung im Kontext FEM (StiffnessBerechnung)
• Weitere Themen sind Integrale mit Singularitäten,multidimensionale Integrale, etc.
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50
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 99
Zusatzblatt: Exaktheit der Regel
( ) ( ) [ ]fEdxxPdxxf n
b
a
n
b
a
+= ∫∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxxLxfdxxPxfwabQb
a
i
n
ii
b
a
n
n
iiin :
00∫∑∫∑
==
==⋅−=
( ) ( ) ( )∑=
=n
iiin xLxfxP
0
( )∫−=
b
a
ii dxxLab
w1
( ) )(0
MonomxaxPn
i
iin ∑
==
( ) 0fuer exakt 0
== ∫∑∫=
ii
n
ii
b
a
n adxxadxxP
Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 100
Zusatzblatt: Exaktheit der Regel
[ ] nixfIQfE
ntsgradGenauigkeii
nn ≤==−= ,,0
:
für
( ) ( )dxxLwxfwb
a
ii
n
iiii ∫∑ =
=0
( ) n von Basis formen } ℘xLi{
( ) ( ) 0fürauch gilt d.h.0
== ∑=
i
n
iiin lxLlxP
( ) ( )∑ ∫∫ ==> dxxLldxxP iin
( ) ( )xLxfwQ k
n
iiiin allefür sein exakt muss:
0∑
=
=
( ) ( ) kdxxLwxLwb
a
kk
n
liki ∀== ∫∑
=
0
( )xLf k=