Aleksandra Czypionka

Dominika Koczor

Kamil Szajt

Wielościan gwiaździsty - rodzaj wielościanu zbudowanego z kilku innych wielościanów, o części centralnej wspólnej, zgodnie z budową dwuwymiarowych odpowiedników tj. wielokątów gwiaździstych.

*Wielościany gwiaździste mogą zostać wpisane w otoczkę wypukłą będącą zawsze wielościanem foremnym. Częścią wspólną tych brył są wielościany dowolne.

Wyróżniamy dwa rodzaje wielościanów :

•Wielościany gwiaździste foremne

•Wielościany gwiaździste dwu-foremne

Wielościan Rysunek Otoczka wypukła

Część wspólna

Gwiazda z dwóch czworościanów (Stella octangula)

Sześcian Ośmiościan foremny

Gwiazda z pięciu czworościanów

Dwunastościan foremny

Dwudziestościan foremny

Gwiazda z dziesięciu czworościanów

Dwunastościan foremny

Dwudziestościan foremny

Gwiazda z pięciu sześcianów

Dwunastościan foremny

Dwudziestościan foremny

Gwiazda z pięciu ośmiościanów foremnych

Dwunasto-dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny

Wielościany gwiaździste foremne

Wielościan Otoczka wypukła

Część wspólna

Gwiazda z dwóch czworościanów

(Stella octangula)

Sześcian Ośmiościan foremny

Gwiazda z sześcianu i ośmiościanu foremnego

Dwunastościan rombowy

Sześcio-ośmiościan

Gwiazda z dwunastościanu foremnego i dwudziestościanu foremnego

Dwunasto-dwudziestościan rombowy

Dwunasto-dwudziestościan foremny

Gwiazda z wielkiego dwudziestościanu foremnego i stellowanego dwunastościanu foremnego

Dwunastościan foremny

Dwudziestościan foremny

Mały stellowany dwunastościan

foremny

Dwudziestościan foremny

Dwunastościan foremny

Wielościany gwiaździste dwu-foremne

Siatki wielościanów Keplera-Poinsota

Ściany wielościanów Keplera-Poinsota przenikają się wzajemnie i dlatego też należy poświęcić kilka zdań na omówienie sposobu konstrukcji ich zewnętrznych elementów. W przypadku dwunastościanu gwiaździstego małego (rys. 1) i dwunastościanu gwiaździstego wielkiego (rys. 2) sprawa jest prosta. Ich ścianami są pentagramy, z których na zewnątrz widoczne są tylko ramiona (rys. 3).

rys.1 rys.2 rys.3

cd.

Również nietrudno jest skonstruować ścianę dwunastościanu wielkiego (rys. 4). Jest to pięciokąt foremny, z którego na zewnątrz widocznych jest pięć trójkątów równoramiennych (rys. 5).

Nieco trudniej skonstruować ścianę dwudziestościanu wielkiego (rys. 6). Kluczem do konstrukcji jest złoty podział. Punkty P oraz Q dzielą krawędź AB w ten sposób, że AB/AQ=AQ/AP=(1+√5)/2 ≈ 1,618.Podobnie podzielone są krawędzie BC i AC (rys. 7).

Po skonstruowaniu zewnętrznych elementów ścian pozostaje jeszcze takie ich połączenie, aby otrzymany model był odpowiednio sztywny. Kliknięcie w odpowiedni link otwiera w nowym oknie element siatki danego wielościanu Keplera-Poinsota

rys.4 rys.5

rys.6 rys.7

Najpopularniejszym wielościanem gwaiździstym jest Stella octangula

Stella octangula – (in. gwiazda ośmioramienna, ośmiościan gwiaździsty, gwiazda z czworościanów) wielościan gwiaździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację ośmiościanu foremnego. Jak każda stellacja, jest trójwymiarowym odpowiednikiem gwiazdy Dawida. Analogia jest w tym wypadku pogłębiona przez to, że tak jak gwiazda Dawida jest sumą dwóch trójkątów równobocznych symetrycznych względem wspólnego środka, stella octangula jest sumą dwóch czworościanów foremnych symetrycznych względem wspólnego środka. Można go sobie wyobrażać jako ośmiościan foremny z doklejonymi do jego ścian czworościanami foremnymi. Posiada 36 krawędzi, 14 wierzchołków i 24 ściany będące trójkątami równobocznymi. W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości.

Gdzie oznacza długość krawędzi ściany tej bryły. Polem całkowitym stella octangula jest suma 24 pól powierzchni trójkątów równobocznych, które stanowią czwartą część ściany jednego

czworościanu foremnego stellonego.

HISTORIA WIELOŚCIANÓW GWIAŹDZISTYCH

Zanim pojawiły się wielościany gwiaździste, wcześniej pojawiły się gwiaździste

wielokąty. J eden z nich - pentagram znany był już w Starożytności. Takie

pięciokąty malował już w VII p.n.e. Aristophonus. Szczególnie pentagram miał w

wielu kulturach i zawodach symboliczny i mistyczny charakter. Był używany jako

symbol rozpoznawczy, talizman w alchemii, ast rologii i magii. Z łoty podział

związany z tym wielokątem był już znany w Grecji. Później wspominał o nim w XV

wieku Pacioli.

Luca Pacioli dodał do ośmiościanu foremnego ost rosłupy budując wielościan, który

potem Kepler utworzył jako kompozycje dwóch czworościanów i nazwał stella

octangula.

W Średniowieczu wielokąty gwiaździste studiował wybitny angielski matematyk i

teolog, biskup Thomas Bradwardina (1290-1349) . Później badał je również

Charles de Boulles (1470-1533) .

Najwięcej jednak badań wielościanom gwiaździstym poświęcił J ohannes Kepler. On

też wielokąty foremne zdefiniował jako figury, których boki są wszystkie równej

długości i których kąty są równe. Rozważał dwa rodzaje wielokątów – proste,

których boki nie przecinają się i inne, które ogólnie nazywał wielokątami

gwiaździstymi ( ze względu na podobieństwo do gwiazdy) .

cd.

W 1809 roku Luis Poinsot rozważa gwiazdę figur wierzchołkowych jako

gwiaździst ą ścianę. Odkrywa pozostałe wielościany gwiaździste :wielki

dwunastościan i wielki dwudziestościan.

W 1858 roku Bert rand wyprowadza foremny wielościan gwiaździsty przez

stożkowanie dwudziestościanu i dwunastościanu. Używa on przy tym terminu

gwiaździsty.

W 1859 roku Cayley modyfikuje wzór Eulera dla wielościanów z "dziurami" i

"wgłębieniami" i nadaje czterem foremnym wielościanom gwiaździstym nazwę

"étoilé" jako "stellated".

Ok 1920 roku J .C.P. Miller proponuje pięć reguł (prawdopodobnie za Coxeterem) ,

według których stelacje wielościanu miały by być rozważane w sposób znaczący i

odmienny. One są osadzone na Wheelerowskich rozważaniach tylko widocznych

obszarów i odwołują się do t radycyjnego keplerowskiego rozumienia stelacji.

cd.