WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM
Transcript of WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM
![Page 1: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/1.jpg)
Wielomiany
El»bieta Sadowska-Owczorz
19 listopada 2018
![Page 2: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/2.jpg)
De�nicja
Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci
anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci
W (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0
tak¡, »e
stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}
![Page 3: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/3.jpg)
De�nicja
Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci
anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci
W (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0
tak¡, »e
stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}
![Page 4: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/4.jpg)
De�nicja
Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci
anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci
W (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0
tak¡, »e
stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}
![Page 5: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/5.jpg)
De�nicja
Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie
i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)
(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)
st (W + V ) ¬ stW + stV
st (W · V ) = stW · stV
De�nicja
Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦
de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)
Ponadto, je±li a 6= 0,
st (a ·W ) = stW
![Page 6: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/6.jpg)
De�nicja
Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie
i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)
(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)
Ponadto
st (W + V ) ¬ stW + stV
st (W · V ) = stW · stV
De�nicja
Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦
de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)
Ponadto, je±li a 6= 0,
st (a ·W ) = stW
![Page 7: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/7.jpg)
De�nicja
Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie
i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)
(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)
Ponadto
st (W + V ) ¬ stW + stV
st (W · V ) = stW · stV
De�nicja
Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦
de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)
Ponadto, je±li a 6= 0,
st (a ·W ) = stW
![Page 8: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/8.jpg)
De�nicja
Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie
i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)
(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)
Ponadto
st (W + V ) ¬ stW + stV
st (W · V ) = stW · stV
De�nicja
Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦
de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)
Ponadto, je±li a 6= 0,
st (a ·W ) = stW
![Page 9: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/9.jpg)
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
![Page 10: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/10.jpg)
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
![Page 11: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/11.jpg)
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
![Page 12: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/12.jpg)
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
![Page 13: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/13.jpg)
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
Oznaczenie :
V (x) |W (x)
![Page 14: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/14.jpg)
De�nicja
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.
Twierdzenie (Bézout)
Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko
wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .
![Page 15: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/15.jpg)
De�nicja
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.
Twierdzenie (Bézout)
Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko
wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .
![Page 16: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/16.jpg)
De�nicja
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.
Twierdzenie (Bézout)
Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko
wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .
(x − a) |W (x) ⇐⇒ W (a) = 0
![Page 17: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/17.jpg)
De�nicja
k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦
a, »e
(x − a)k |W (x),
(x − a)k+1 6 |W (x).
![Page 18: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/18.jpg)
De�nicja
k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦
a, »e
(x − a)k |W (x),
(x − a)k+1 6 |W (x).
![Page 19: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/19.jpg)
De�nicja
k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦
a, »e
(x − a)k |W (x),
(x − a)k+1 6 |W (x).
![Page 20: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/20.jpg)
Twierdzenie
Je±li wielomian W (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0
stopnia n o wspóªczynnikach caªkowitych ma pierwiastki wymierne,
to s¡ one postacip
q, gdzie p | a0 i q | an.
![Page 21: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/21.jpg)
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)
Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi
m∏j=1
(x2 + bjx + cj
)βj,
gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.
Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma
pierwiastek zespolony.
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)
Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi .
![Page 22: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/22.jpg)
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)
Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi
m∏j=1
(x2 + bjx + cj
)βj,
gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.
Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma
pierwiastek zespolony.
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)
Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi .
![Page 23: WielomianyWielomiany Author gray Elzbieta Sadowska-Owczorz Created Date 11/19/2018 2:30:56 PM](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062416/611f128618fc3607687a90e4/html5/thumbnails/23.jpg)
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)
Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi
m∏j=1
(x2 + bjx + cj
)βj,
gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.
Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma
pierwiastek zespolony.
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)
Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi .