WielokątyWielokątyforemneforemne

Wyk. Wyk. Ewa KurzawskaEwa Kurzawska

Co to jest wielokąt foremny ?

Wielokąt foremny to taki wielokąt,

który ma: wszystkie boki równe iwszystkie kąty równe.

trójkąt foremny (trójkąt równoboczny)

czworokąt foremny (kwadrat)

pięciokąt foremny

sześciokąt foremny

ośmiokąt foremny itd…

Przykłady wielokątów foremnych

Dowolny romb nie jest wielokątem foremnym.

ma wszystkie boki równe

nie ma wszystkich kątów równych

Dowolny prostokąt nie jest wielokątem foremnym.

ma wszystkie kąty równe

nie ma wszystkich boków równych

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego)

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty

równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty

równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).

Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty

równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).

Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.

Dwa czerwone kąty razem mają 180° – 45° = 135°.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty

równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).

Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.

Dwa czerwone kąty razem mają 180° – 45° = 135°.

Te dwa czerwone kąty razem też mają 135°.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty

równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).

Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.

Dwa czerwone kąty razem mają 180° – 45° = 135°.

Te dwa czerwone kąty razem też mają 135°.

Więc kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego jest równy 135°.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty

równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).

Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.

Dwa czerwone kąty razem mają 180° – 45° = 135°.

Te dwa czerwone kąty razem też mają 135°.

Więc kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego jest równy 135°.

Podobnie można obliczyć kąt wewnętrzny każdego innego wielokąta foremnego.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego)

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka

ośmiokąta dzielą go na 6 trójkątów (o dwa mniej niż osmiokąt ma boków).

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka

ośmiokąta dzielą go na 6 trójkątów (o dwa mniej niż ośmiokąt ma boków).

Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar sześciu trójkątów wynosi

6 • 180° = 1080°.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka

ośmiokąta dzielą go na 6 trójkątów (o dwa mniej niż ośmiokąt ma boków).

Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar sześciu trójkątów wynosi

6 • 180° = 1080°.

Jednocześnie jest to suma miar wszystkich kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka

ośmiokąta dzielą go na 6 trójkątów (o dwa mniej niż ośmiokąt ma boków).

Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar sześciu trójkątów wynosi

6 • 180° = 1080°.

Jednocześnie jest to suma miar wszystkich kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego.

wszystkie kąty ośmiokąta foremnego są równe, więc jego kąt wewnętrzny można obliczyć dzieląc sumę kątów

przez 8:1080° : 8 = 135°.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta

foremnego.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta

foremnego.

Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka n-kąta dzielą go na n - 2 trójkątów (o dwa mniej niż boków ma n-kąt).

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta

foremnego.

Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka n-kąta dzielą go na n - 2 trójkątów (o dwa mniej niż boków ma n-kąt).

Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar n - 2 trójkątów wynosi (n - 2) • 180°.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta

foremnego.

Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka n-kąta dzielą go na n - 2 trójkątów (o dwa mniej niż boków ma n-kąt).

Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar n - 2 trójkątów wynosi (n - 2) • 180°.

Jednocześnie jest to suma miar wszystkich kątów wewnętrznych n-kąta foremnego.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta

foremnego.

Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka n-kąta dzielą go na n - 2 trójkątów (o dwa mniej niż boków ma n-kąt).

Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar n - 2 trójkątów wynosi (n - 2) • 180°.

Jednocześnie jest to suma miar wszystkich kątów wewnętrznych n-kąta foremnego.

wszystkie kąty n-kąta foremnego są równe, więc jego kąt wewnętrzny można obliczyć dzieląc sumę kątów przez n:

(n - 2) • 180°n

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?

Sposób III Korzystając z wyprowadzonego wcześniej wzoru na kąt wewnętrzny wielokąta foremnego (gdzie n to ilość boków

wielokąta foremnego:

(n - 2) • 180°n

α =

Wykorzystanie wzoru na kąt wewnętrzny wielokąta

foremnego ?Przykład:

Ile boków ma wielokąt foremny o kącie wewnętrznym równym 174° ?

Rozwiązanie: Wstawiamy do wzoru: α = 174°. Otrzymujemy

Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym równym 174° ma 60 boków.

(n - 2) • 180°n

α =

174 = (n - 2) • 180 /•n n

174n = (n - 2) • 180 174n = 180n - 360 360 = 180n – 174n 360 = 6n /:6n = 60

Korzystając z tego wzoru można także obliczyć ile boków ma wielokąt

foremny o danym kącie wewnętrznym.

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(na przykładzie ośmiokąta foremnego)

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(na przykładzie ośmiokąta foremnego) Z jednego wierzchołka ośmiokąta foremnego można poprowadzić 5 przekątnych (o trzy mniej niż ośmiokąt

ma boków).

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(na przykładzie ośmiokąta foremnego) Z jednego wierzchołka ośmiokąta foremnego można poprowadzić 5 przekątnych (o trzy mniej niż ośmiokąt

ma boków).

Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić 5 przekątnych to z ośmiu wierzchołków wychodzi

8 • 5 = 40 przekątnych.

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(na przykładzie ośmiokąta foremnego) Z jednego wierzchołka ośmiokąta foremnego można poprowadzić 5 przekątnych (o trzy mniej niż ośmiokąt

ma boków).

Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić 5 przekątnych to z ośmiu wierzchołków wychodzi

8 • 5 = 40 przekątnych.

Jednak w ten sposób każdą przekątną liczymy dwukrotnie, bo np. przekątna AF wychodzi zarówno z

wierzchołka A, jak i z wierzchołka F. Musimy więc uzyskany wynik podzielić przez 2:

40 : 2 = 20.

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(na przykładzie ośmiokąta foremnego) Z jednego wierzchołka ośmiokąta foremnego można poprowadzić 5 przekątnych (o trzy mniej niż ośmiokąt

ma boków).

Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić 5 przekątnych to z ośmiu wierzchołków wychodzi

8 • 5 = 40 przekątnych.

Jednak w ten sposób każdą przekątną liczymy dwukrotnie, bo np. przekątna AF wychodzi zarówno z

wierzchołka A, jak i z wierzchołka F. Musimy więc uzyskany wynik podzielić przez 2:

40 : 2 = 20.

Ośmiokąt foremny ma 20 przekątnych.

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(dla n-kąta foremnego)

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(dla n-kąta foremnego) Z jednego wierzchołka n-kąta foremnego można

poprowadzić n – 3 przekątnych (o trzy mniej niż n-kąt ma boków).

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(dla n-kąta foremnego) Z jednego wierzchołka n-kąta foremnego można

poprowadzić n – 3 przekątnych (o trzy mniej niż n-kąt ma boków).

Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić n - 3 przekątnych to z n wierzchołków wychodzi

n • (n – 3) przekątnych.

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

(dla n-kąta foremnego) Z jednego wierzchołka n-kąta foremnego można

poprowadzić n – 3 przekątnych (o trzy mniej niż n-kąt ma boków).

Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić n - 3 przekątnych to z n wierzchołków wychodzi

n • (n – 3) przekątnych.

Jednak w ten sposób każdą przekątną liczymy dwukrotnie, bo np. przekątna AF wychodzi zarówno z

wierzchołka A, jak i z wierzchołka F. Musimy więc uzyskany wynik podzielić przez 2:

n • (n – 3)2

Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?

Korzystając z wyprowadzonego wzoru na ilość przekątnych wielokąta foremnego (gdzie n to ilość boków wielokąta

foremnego):

n • (n - 3) 2

i =

Ciekawostka:Co to jest parkietaż ?

To mozaika ułożona z wielokątów foremnych.

Ciekawostka:Co to jest parkietaż ?

To mozaika ułożona z wielokątów foremnych.

Ciekawostka:Co to jest parkietaż ?

To mozaika ułożona z wielokątów foremnych.

KONIECKONIEC

Wyk. Wyk. Ewa KurzawskaEwa Kurzawska