కాపిటల్ 5 వ భాగం విలువ ఉత్పత్తీ · ఉİ ŧదఔ శ్రమ - ĵెట్¡ŝబడ ħ శ్రమ లĀంఖ బ ట్¥ ħhĵiట్ల్
Wellenfunktion: Materie: E= h = ħ p= h/ = ħ k k=2 / A(x,t) = A 0 cos(kx - t) Ebene Welle:...
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Wellenfunktion: Materie:
E= h = ħ
p= h/ = ħ k k=2/
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Ebene Welle:
Impuls Energie
Wellenfunktion: Materie:
E= h = ħ
p= h/ = ħ k k=2/
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Ebene Welle:
x px ħ
Extremfall: scharfer Impuls p = ħ k
Völlig delokalisiert (unendlich ausgedehnt) Impuls pxO
rt x x px
ħ
Wellenfunktion:
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Ebene Welle:
Wellenpaket: Überlagerung aus Ebenen Wellen verschiedenen k
Fourieranalyse: Aufbau aus harmonischen Schwingungen
Visual Quantum MechanicsBernd ThallerSpringer, New York 2000
Web Page:
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html
Aufbau eines Wellenpaketes
(x) = eikx
d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion
03_02b.mov
Realteil Real und Imaginaer
Gauss Wellenpaket
03_03a.mov 03_03b.mov
Ruhendes Teilchen Bewegung
= h/p = h/ 2m0Ekin
Beispiel: Schiefer Wurf
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html
Quantemechanische Teilchenx px ħ
„Wellenpaket“
Impuls px
Ort
x x px ħ
Klassiche Bahn
Ortsunschärfe
Impuls: WellenlängeUnschärfe: verschiedene Wellenlängen
= h/p = h/ 2m0Ekin
Beispiel: Schiefer Wurf
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html
•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen
= h/p = h/ 2m0Ekin
Beispiel: Schiefer Wurf
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html
•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen
QM-schiefer-wurf-wellenfunktion.mov
Doppelspalt:
Gausssche WellenpaketGaussverteilung im Ort Impuls
Impuls px
Ort
x x px ħ
Höhe: Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort zu finden
ORT: dargestellt
Impuls: nicht zu sehen
Doppelspalt:
Impuls px
Ort
x x px ħ
ORT: dargestellt
Impuls: in der Wellenlänge
Amplitude:Farbsättigung
http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html
QM-Doppelspalt-mit-phase.mov
x px ħ
Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls
Konsequenz:
x
Pot
entie
lle E
nerg
ie Klassisch:Oszillationzwischen Potentieller undkinetischerEnergie
x px ħ
Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls
Konsequenz:
x
Pot
entie
lle E
nerg
ie Klassisch:ein Teilchen kannin Ruhe am Boden sitzen
x px ħ
Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls
Konsequenz:
x
Pot
entie
lle E
nerg
ie
x
px
QM:In einem
Potentialtopfgibts immer eine
„Nullpunkts-schwingung“
Heisenbergsche Unschärfe Relation
x px ħ
x
Pot
entie
lle E
nerg
ie
x
px
ħ = 1 10-34 kg m2/sec
10-26 m/sec
Kugel 10gauf 1m
Heisenbergsche Unschärfe Relation
x px ħ ħ = 1 10-34 kg m2/sec
Elektronen im Atom:
Radius: 10-10m
Elektronenimpuls>10-24 kg m/sec
me=9 10-31kg -> 9 107 m/sec
x px ħ
Heisenbergsche Unschärfe Relation
Ort / Impuls
Energie/Zeit t E ħ
Folgen:
•Monochromatisches Licht kann nicht sehr kurz sein•Ein kurzlebiger Zustand hat keine scharfe Energie•Nur stabile Zustände (Bohrmodel) haben scharfe Energie
Energieerhaltung?kann kurzzeitig verletzt sein!
Gilt streng im Einzelprozess, aber nicht in beliebig kurzenZeitintervallen.
Beispiel 1: t E ħ
Beispiel 1: t E ħ
Klassische Mechanik
Energieerhaltung giltfür jeden Zwischenschritt
Quantenmechanik
Energieerhaltung gilt fürZwischenschritte nur innerhalb
t E ħ
Beispiel 2: t E ħ
Kurze Lichtpulse sind breitbandig: t E ħ = 6.58*10-16 eVs
Kurzer Laserpuls
Überlagerung von ebenen Wellen
Bsp: 5*10-15 sec (femto) 0.1 eV (von z.B. 1,5 eV)
Ephoton= h langer sinus: scharfe Energie
•Teilchen durch Wellen beschrieben (de Broglie)•Die Wellen interferieren •Amplitudenquadrat ist Wahrscheinlichkeit•Unschärfe von Ort & Impuls, Energie & Zeit •Ebene Wellen: Impuls aber kein Ort•Teilchenanschauung: Wellenpaket
9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren
Schwarzer Strahler
9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren
a) Absorbtionsspektren
WasserstoffAbsorbtionsspektrum
WasserstoffGas
9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren
b) Emissionsspektrena) Absorbtionsspektren
Helium
Wasserstoff Emissionsspektrum
Wellenlänge nm
H
SpektralanalyseKirchhoff und Bunsen:
Jedes Element hat charakteristische Emissionsbanden
H
1853 von Anders Jonas Angström entdeckt
H
1 Å = 10-10 m
sichtbar
infrarot
ultaviolett
Rydbergkonstante109678 cm-1
ganze Zahlen
Lyman n1=1Balmer n1=2Paschen n1=3
9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren10.2. Die Bohrschen Postulate
Wie RutherfordElektronen auf Kreisbahnen
Coulomb Anziehung Z=1, e-
Zentrifugalkraft:mer2
Gesamtenergie des Elektrons auf der Bahn:
0
Ene
rgy r
Epot
E = Ekin + Epot
negativEnergie die frei wirdwenn Elektron von unendlichzum Radius r gebracht wird.
Widerspruch zur klassichen Mechanik & Maxwellgleichungen:
•Bewegte Ladung strahlt Energie ab, Elektron stürzt in Kern!
•Strahlung ist nicht quantisiert keine diskreten Linien!
Bohrsche Postulate (Niels Bohr 1913)
•Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen
•Die Bewegung ist strahlungsfrei
•Der Drehimpuls der Bahnen ist quantisiert l=n ħ
(Historisch nicht korrekt)
nrn
Ry = Rydbergkonstante (Ionisierungsenergie n=1)109678 cm-1
Radius des Wasserstoffatomsrn=1= 0.529 10-10m
Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms
En=1= 13.59 eV
Z2 !! dh. Uran 115 keV
Einige Zahlenwerte:
Heisenbergsche Unschärfe x px ħ
10.3 Rydberg Atome
n=10 000
Radius = 0.6 mm En=10 000= 1.3 10-7 eV
0.01 mm wurde wirkliche erreicht!
10.3 Rydberg Atome :
Rydberg Atome
•rn n2
•vn 1/n
Heisenbergsche Unschärfe x px ħ
n ! 1
Übergang zu klassischer Bahn(Bohrsches Korrespondezprinzip)
Lebensdauer steigt E3
10.4 Korrektur durch endliche Kernmasse
mproton / melektron = 1836
gemeinsame Bewegung um Massenschwerpunkt
Kerndurchmesser 10-5 des Atoms!Massenschwerpunkt liegt nicht im Kern
10-15m
10-10m
Korrektur:
Wasserstoff Energie
0.0545 %
Erinnerung:
Wasserstoff 3 Isotope:
H 1 Proton + 1 ElektronD (Deuterium) 1 Proton + 1 Neutron + 1 ElektronT (Tritium)(12.3 y) 1 Proton + 2 Neutronen + 1 Elektron
10.4 Korrektur durch endliche Kernmasse
Korrektur:
Wasserstoff Energie
0.0545 %
mdeuteron / mproton = 2
Folge: Isotope haben verschiedenen Spektrallinien
10.5. Myonische Atome
Elektronenmasse!
eson mme
10.5. Myonische Atome
Erzeugung von esonen an Protonenbeschleunigern:
p + n -> p + p + -Pion (Masse 273 me)
2.5 10-8s
2.2 10-6 s
- + Myon + Myonneutrino
e- + e
Spektrum 207 fach höhere Energie
10.5. Myonische Atome
Wozu?
Myonen Bahnen sind teilweise im Kern-> Energie gibt Information über Ladungsverteilung des Kerns