Web viewtg20°tg40°tg80°= sin20°sin40°sin80° cos20°cos40°cos80°...
Transcript of Web viewtg20°tg40°tg80°= sin20°sin40°sin80° cos20°cos40°cos80°...
[Type the document title] [Year]
1.π4
<x< π2 баsin 2α=3
5 бол tgα-н утгыг ол
sin 2α= 2tgα1+tg2α
тул 2 tgα1+tg2α
=35⟹3 tg2α−10 tgα+3=0⟹ tg α1=3
tg α2=13ба π
4<x< π
2тул1< tgα<∞иймдtgα=3
2. sin2α=45болsin 6α+cos6α−нутгыгол
sin6α+cos6α=( sin2α+cos2α ) (sin4 α−cos2α sin2α+cos4 α )=1−3 sin2α cos2α=¿
¿1−34
sin 22α=1−34∙ 1625
=1325
3. 0¿ t< π2ба sin ( 4π+ t )=3
5болtg (π−t )−нутгыгол
0¿ t< π2
❑⇒
sin ( 4π+ t )=sint=35нөгөөталаас tg (π−t )=−tgt= −sint
√1−sin2t=
−35
√1− 925
=−34
4. π2<α<π , π
2<β<π , sinα=4
5, cosβ=−15
17болsin (α+β )−нутгыгол
sin (α+β )=sinαcos β+cosαsinβба. π2<α<π⟹ cosα=−√1−225
289=−18
17
π2<β<π⟹ sinβ=√1−16
25=3
5иймд sin (α+β )=4
5∙(−15
17 )+(−1817 ) ∙ 35=−84
85
5. sint∙cost=-0.5 бол sin4t+cos4 t−нутгыгол
sin 4t+cos4 t=1−2sin2 t cos2 t=1−2 14=1
2
6. cos(α+β)=13
cos (α−β )=15болtgα ∙ tgβ−нутгыгол
Cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=13
Cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=15эдгээрийг гишүүнчлэн нэмбэл 2cosαcosβ=
13+ 1
5= 8
15(1)
2-раас нь 1-рыг хасвал 2sinαsinβ=15−1
3=−2
15(2)
1 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
(1)(2)⟹ tgα ∙ tgβ= sinα ∙ sinβcosα ∙ cosβ
=−14
7. tgα+ctgα=mболtg2α+ctg2α−нутгыгол
tg2α+ctg2α=(tgα+ctgα)2−2=m2−2
8. tgα=−2бол sin3α+cos3α3cosα−sinα
−нутгыгол
sin3α+cos3α3 cosα−sinα
= tg3+13
cos2α− sinα
cos3α
= tg3α+13
cos2α−tgα ∙ 1
cos2α
= tg3α+11
cos2α(3−tgα )
= tg3α+1(1+tg2α )(3−tgα)
= −8+1(1+4 )(3+2)
=−725
9. 0<α< π2 ,0<β< π
2, ctgα=4 , ctgβ=5
3болα+β−нутгыгол .
Ctg(α+β)=ctgαctgβ−1ctgα+ctgβ
=4 ∙ 5
3−1
4+53
=1717
=1⟹α+β=π4
10. cosα=14sinα<cosα бол tgα−нутгыгол .
tgα=± √1−cos2αcosα
=±√15баsinα<cosα⟹ tgα<1тул tgα=−√15
11. cosα=√a2−b2 3 π2
<α<2 π болsinα , tgα ,ctgα−нутгыгол.
sinα=±√1−cos2α=±√1−a2+b2 гэвч 3 π2
<α<2 πтул sinα=−√1−a2+b2бусад нь адил
12. tgα= 413
бол 5 sinα+7cosα6cosα−3 sinα
−нутгыгол .
5 sinα+7 cosα6cosα−3 sinα
= 5 tgα+76−3 tgα
=5∙ 4
13+7
6−3 ∙ 413
=3722
13. A=1
1−sinαB= 1
1+sinαбол4 A2B2−2 AB=A2+B2болохыгбатал
4 A2B2−2 AB=2 AB (2 AB−1 )= 21−sin2α (4 2
1−sin2α−1)= 2
cos2α (2−cos2αcos2α )= 4−2cos2α
cos4α=
4−2(1−sin2α )(1−sin 2α )2 = 2+2 sin2α
(1−sinα )2(1+sinα )2=1+2 sinα+sin 2α+1−2 sinα+sin2α
(1−sinα)2(1+sinα)2 = 1(1−sinα )2 +
1(1+sinα )2=A2+B2болно
14. π<α<2π бол√ 11+cosα
+1
1−cosα∙ sinα=−√2болохыгбатал .
2 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
√ 11+cosα
+ 11−cosα
∙ sinα=√ 2sin2α
∙ sinα=±√2 гэвчπ<α<2 π⟹ sinα<0тул√ 11+cosα
+ 11−cosα
∙ sinα=−√2
байна.
15. sinα+cosα=aбол sinαcosα , sinα−cosα , sin3α+cos3α , sin4 α+cos4α−нутгуудыгол .
sinα+cosα=a⟹1+2 sinαcosα=a2⟹ sinαcosα=a2−12
(sinα−cosα )2=1−2 sinαcosα=1−a2+1=2−a2тул sinα−cosα=√2−a2
sin3α+cos3α=( sinα+cosα ) ( si n2α−sinαcosα+cos2α )=a (1−sinαcosα )=a(1−a2−12 )=a
2(3−a2)
sin 4α+cos4α=sin 4α+cos4α+2 si n2α cos2α−2 si n2α cos2α=1−2 si n2α cos2α=1−2( a2−12
)2
=1−a4−2a2+12
=2−a4+2a2−12
=2a2−a4+12
16. sin 4α+co s4α−sin6α−co s6α=si n2α cos2α батал .
sin 4α+co s4α−sin6α−co s6α=sin 4α (1−sin2α )+cos4α ( 1−cos2α )=sin4αco s2α+sin2αco s4α=si n2α cos2α
17. (sinα+cosα)2−1ctgα−sinαcosα
=2tg2αбатал
(sinα+cosα)2−1ctgα−sinαcosα
=(1+2 sinαcosα−1)sinα
cosα−sin2αcosα=2 sin2αcosα
cos3α=2 tg2α
18. M=secα+1N=secα−1болM 2−4=N (2M−N )болохыгбатал .
N (2M−N )=2MN−N 2=2 (sec2α−1 )−(secα−1)2=2 sec2α−2−sec 2α+2 secα−1=sec2α+2 secα+1−4=(secα+1)2−4=M 2−4
19. cos (−13 ° )sin 77 °+cos (−77° )sin 167 °0 ,1
+ tg2 45°
0 ,002илэрхийллийнутгыгол.
cos (−13 ° )sin 77 °+cos (−77° )sin 167 °0 ,1
+ tg2 45°
0 ,002= cos13 ° sin77°+cos 77° sin 13 °
0 ,1+ 1
0 ,002=10 sin 90°+500=510
20. 3 +cos15|cos15|
−нутгыгол .
15 радиан≈855 °=720 °+135 °тул cos15нь2−р мөчид оршихтул|cos15|=−cos15
иймд 3+cos15|cos15|
=2
21. sinα2−cos α
2=√0 ,1бол tgα−нутгыгол .
sinα2−cos α
2=√0 ,1⟹1−sinα=0 ,1⟹ sinα=0,9cosα=±√1−sin2α=±√1−0 ,81=±√0 ,19тулtgα=± 9
√19
3 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
22. sinα−cosα=1,2болcos3α−sin 3α−гол .
Sinα−cosα=1,2⟹1−2 sinαcosα=1 ,44⟹ sinαcosα=−0 ,22иймдcos3α−sin3α=(cosα−sinα ) ( cos2α+cosαsinα+sin 2α )=−1,2 (1−0,22 )=−0,936
23. tgα=17sinβ= 1
√10,0<α< π
2,0<β< π
2болα+2 β=π
4болохыгбатал .
0<β< π2тул cosβ=√1− 1
10=√ 9
10= 3
√10иймд tgβ=1
3tg 2β= 2tgβ
1−tg2 β=
23
1−19
=68=3
4
tg(α+2β)=tgα+tg 2β
1−tgα ∙ tg 2β=
17+ 3
4
1−17∙ 34
=1тулα+2 β=π4 болно.
24. 0¿α< π4, sinα+cosα=√7
2бол tg α
2−нутгыгол
sinα+cosα=√72⟹1+sin 2α=7
4⟹ sin 2α=3
4 (0<2α< π2тул)⟹ sin2α (1−sin2α )= 9
64sin2α=4−√7
8⟹ sinα=√ 4−√7
8нөгөөталаас sinα=
2tg α2
1+ tg2 α2
тул√ 4−√78
=2 tg α
2
1+tg2 α2
болно.
Иймд 0¿α< π4⟹ tgα<1тул tg α
2=1−√ 4+√7
8болно.
25. sinα=m2−n2
m2+n2 болtgα2−нутгыгол .
sinα=2 tg α
2
1−tg2 α2
томъёогашиглавал m2−n2
m2+n2 =2tg α
2
1−tg2 α2
❑⇒
(m2−n2 )tg2 α2+2 (m2+n2 ) tg α
2−(m2−n2)=0⟹ tg α
2=
(m±n )2
m2−n2 болно .
26. sin 22α−4 sin2αsin22α+4 sin2α−4
илэрхийллийгхялбарчилбал
sin22α−4sin2αsin22α+4 sin2α−4
= 4sin2α cos2α−4 sin2α4 sin2α cos2α+4 sin2α−4
=−sin4α−cos4α
=tg4α
27. sin3 2α ∙cos6α+cos3 2α ∙ sin6 α илэрхийллийгхялбарчилбал
sin 3α=3 sinα−4 sin3αтул sin 6α=3sin 2α−4sin3 2α эндээс sin3 2α=3 sin 2α−sin 6α4
үү нийадилcos 6α=4 cos3 2α−3cos 2α⟹cos3 2α= cos6 α+3cos2α4
тул
4 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
sin3 2αcos 6α+cos32αsin6α=( 34
sin 2α−14
sin6 α )cos6α+( 34
cos2α+ 14
cos6α)sin 6α=
34
(sin 6αcos 2α+sin 2αcos 6α )=34
sin 8α
28. 2(sin6α+cos6α )-3(sin4α+cos4α) илэрхийлэл α−схамаарахгү йболохыгбатал
2(sin6α+cos6α )-3(sin4α+cos4α) =2(sin2α+cos2α)(sin 4α−sin2α cos2α+cos4α)-3sin 4α−3cos4α=−( sin4α+2sin 2α cos2α+cos4α )=−(sin2α+cos2α )2
=−1
29. 3+4 cos4 α+cos8α3−4cos 4α+cos8α
илэрхийллийгхялбарчил
3+4 cos4 α+cos8α3−4cos 4α+cos8α
=3+4 cos 4 α+2 cos2 4 α−13−4 cos4 α+2cos24 α−1
=2(1+2 cos4 α+cos2 4α )2(1−2cos4 α+cos2 4α )
=(1+cos 4 α)2
(1−cos 4α )2=(2cos22α)2
(2sin 22α)2 =ctg4α
30. sin6α1−tg2α
+ cos6α1−ctg2α
илэрхийллийгхялбарчил
sin6α1−tg2α
+ cos6α1−ctg2α
= sin 6α cos2αcos2α−sin2α
− sin2α cos6αcos2α−sin 2α
=sin2α cos2α (sin 4−cos4α )
cos2α−sin 2α=−sin 2α cos2α
31. 2 sin2α
tgα (−2 sin2α+1 )илэрхийллийгхялбарчил
2 sin2αtgα (1−2sin 2α )
= 2sin 2αcosαsinα ∙cos2α
= sin 2αcos2α
=tg2α
32. (1-sin2α)(1+tg2α)-cos2α илэрхийллийгхялбарчил
(1-sin2α)(1+tg2α)-cos2α=cos2α (1+tg2α )−cos2α=cos2α tg2α=sin2α
33. 1sinα
−cosαctgα илэрхийллийгхялбарчил
1sinα
−cosαctgα=1−cos2αsinα
=sinα
34. tg2α1−cos2α
+tg2α (tg2α−1)
2sin 2αилэрхийллийгхялбарчил
tg2α1−cos2α
+tg2α ( tg2α−1 )
2 sin 2α= sin 2α
cos2α 2 sin2α+
sin 2α (sin2α−cos2α )cos2α ∙cos2α ∙2sin 2α
= 12cos2α
− 12cos2α
=0
35.cos2(3 π4
−α)+0 ,5 sin 2α илэрхийллийгхялбарчил
cos2(3 π4
−α)+0 ,5 sin 2α =12=
1+cos ( 3π2
−2α)2
+ sin 2α2
=12− sin 2α
2+ sin 2α
25 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
36. cos(α−β)(tgα ∙ tgβ−1)+(1+ tgα ∙ tgβ)cos(α+β) илэрхийллийгхялбарчил
cos(α−β)(tgα ∙ tgβ−1)+(1+ tgα ∙ tgβ)cos(α+β)=−cos (α−β ) cos (α+β )
cosα ∙ cosβ+
cos (α−β ) cos (α+β )cosα ∙ cosβ
=0
37. 1+cos2α
ctg α2−tg α
2
илэрхийллийгхялбарчил
1+cos2α
ctg α2−tg α
2
=2cos2α ∙ sin α
2∙ cos α
2cosα
=sinα ∙ cosα=12
sin 2α
38. sinα+2 sin 5 α
2cos 5α
2
1+cosα−2sin 2 5 α2
илэрхийллийгхялбарчил
sinα+2sin 5 α2
cos 5α2
1+cosα−2sin 2 5 α2
= sinα+sin 5αcos5α+cosα
= 2sin 3α ∙cos2α2 cos3α ∙cos2α
=tg3α
39. sin2α−tg2αcos2α−ctg2α
илэрхийллийгхялбарчил
sin2α−tg2αcos2α−ctg2α
=( sin2α cos2α−sin2α )sin 2αcos2α ( sin2α cos2α−cos2α )
= −sin2α sin2α sin2α−cos2α cos2α cos2α
=tg6α
40. cosα ∙ ctg α−sin α tg α
1+sin α cosαилэрхийллийгхялбарчил
cosα ∙ ctg α−sinα tg α1+sin α cosα
=
cos2αsinα
− sin2αcosα
1+sin α cosα= cos3α−sin3α
sinα cos α (1+sin α cos α )=
(cosα−sin α ) (1+sinα cos α )sin α cos α (1+sin α cos α )
=
cosα−sin αsinα cosα
= 1sinα
− 1cosα
41. 2cos 4 α (cos 4α−cos 2α)
cos4 α−cosα ∙cos3αилэрхийллийгхялбарчил
2cos 4 α (cos 4α−cos 2α )cos4 α−cosα ∙cos3α
= 2cos 4α (cos 4α−cos 2α )
cos 4α−12
cos 4α−12
cos2α=2 cos 4α (cos 4α−cos2α )
12(cos 4α−cos2α )
=4 cos 4α
42. sinα+tgα
tgα−cosα+1илэрхийллийгхялбарчил
sinα+tgαtgα
−cosα+1= sinα (cosα+1)cosαsinαcosα
+1−cosα=cosα+1+1−cosα=2
6 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
43. √sin4α+cos2α+√cos4α−cos2α илэрхийллийгхялбарчил
√sin4α+cos2α+√cos4α−cos 2α=√sin4α−2 sin2α+1+√cos4α−2cos2α+1=|sin2α−1|+|cos2α−1|=1−sin 2α+1−cos2α=2−1=1
44. (1-cos2α )tg(π2−α) илэрхийллийгхялбарчил
(1-cos2α )tg(π2−α)=2sin2α ∙ ctgα=sin2α
45. cos(3π2
+α)sin(π−α) илэрхийллийгхялбарчил
cos(3π2
+α)sin(π−α)=sinα ∙ sinα=sin2α
46. sin( π6 +α )cosα−cos ( π6
+α )sinα илэрхийллийгхялбарчил
Sin( π6 +α )cosα−cos( π6 +α)sinα=sin( π6 +α−α)=sin π6=1
2
417. cos(3π2
+ π6 )sin(2π−
π6 ) илэрхийллийгхялбарчил
cos(3π2
+ π6 )sin(2π−
π6 )=sin
π6 (−sin π
6 )=-14
48. sin(π−π3 )cos(2π−
π4 )sin(
π2+ π
6 )илэрхийллийгхялбарчил
sin(π−π3 )cos(2π−
π4 )sin(
π2+ π
6 )=sinπ3
cos π4
cos π6=√3
2∙ √2
2∙ √3
2=3√2
8
49. cos(π2+ π
3 )sin(3π2
+ π3 )ctg(
π2+ π
3 ) илэрхийллийгхялбарчил
cos(π2+ π
3 )sin(3π2
+ π3 )ctg(
π2+ π
3 )=-sinπ3 (−cos π
3 )(−tg π3 )=−√3
2∙ 12∙√3=−3
4
50. tg( π2 −α )cos (2π−α )
sin ( π2 +α)ctg (π−α )илэрхийллийгхялбарчил
tg( π2 −α )cos (2π−α )
sin ( π2 +α)ctg (π−α )= ctgα ∙ cosα
−cosα ∙ctgα=−1
7 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
51. cos(π6−α
4 )sin(π3−α
4 )sinα4илэрхийллийгхялбарчил
cos(π6−α
4 )sin(π3−α
4 )sin
α4=1
2 [sin(π2−α2 )+sin π
6 ]sin α4=1
2 (cos α2+ 1
2 )sin α4=1
2sin α
4cos α
2+ 1
4sin α
4= 1
4 (sin 34α−sin α
4 )+ 14
sin α4=1
4sin 3α
4
52. 2cos23α+√3sin 6 α−1илэрхийллийгхялбарчил
2
cos23α+√3sin 6 α−1=cos6α+√3sin 6α=2( 12
cos6α+ √32
sin 6α)=2(cos π3
cos6α+sin π3
sin 6 α)=2 cos( π3 −6α )53. Хэрэв sinα−cosα=1, 4болtg α
2−нутгыгол .
1,4=sin
α−cosα=2 tg α
2
1+tg2 α2
−1−tg2 α
2
1+tg2 α2
=2 tg α
2−1+ tg2 α
2
1+tg2 α2
⟹7+7 tg2 α2=10tg α
2+5 tg2 α
2−5⟹2tg2 α
2−10 tg α
2+12=0⟹ tg2 α
2−5 tg α
2+6=0⟹ tg α
2=2 , tg α
2=3
54. 12
sin2(2α+ 3 π2 )−2 ( cos4α+sin4 α )+2 (cos6α+sin6α )илэрхийллийгхялбарчил
12
sin2(2α+ 3 π2 )−2 ( cos4α+sin4 α )+2 (cos6α+sin6α )=1
2cos22α−2 (cos4α+sin4α )+2 ( sin2α+cos2α ) (sin 4α−sin2α cos2α+cos4 α )=1
2cos22α−2 cos4α−2 sin 4α+2 sin4α−2 sin2α cos2α+2 cos4 α=1
2cos2 2α−2sin 2α cos2α=1
2(cos2 2α−sin2 2α )=1
2cos 4 α
55. sin 8α+sin 9α+sin 10α+sin11α+sin 12α
cos8α+cos9α+cos10α+cos11α+cos12αилэрхийллийгхялбарчилж tg 5α=cos20 °cos 40 °cos 80° ү ед
илэрхийллийн утгыг ол
sin 8α+sin 9α+sin 10α+sin11α+sin 12αcos8α+cos9α+cos10α+cos11α+cos12α
=(sin 8α+sin 12α )+ (sin 9α+sin 11α )+sin 10α
(cos8α+cos12α )+ (cos9α+cos11α )+cos10α= 2sin 10αcos 2α+2sin 10αcosα+sin 10α
2 cos10αcos2α+2 cos10αcosα+cos10α=
sin 10α(2 cos2α+2cosα+1)cos10α (2cos2α+2cosα+1)
=tg10α= 2 tg5α1−tg2 5α
нөг өөталаасө гө гдс өннө хцө лёсоорtg 5α=sin 20 ° cos20 °cos 40 ° cos80 °2sin 20 °
= sin 40° cos 40° cos80 °2sin 20 °
= sin 80 °cos 80°4sin 20 °
= sin 180 °8sin 20 °
=sin (180 °−20 ° )
8 sin 20 °=1
8тул 2tg 5α
1−tg25α=
2 ∙ 18
1− 164
=1663
56. 8sin2 15 π16
cos2 17 π16
−1илэрхийллийн утгыг ол
8
sin2 15 π16
cos2 17 π16
−1=8 sin2(π− π16 )cos2(π+ π
16 )−1=2 ∙4sin2 π16
cos2 π16
−1=2sin2 π8−1=2 ∙
1−cos π4
2−1=−cos π
4=−√2
2
57. cos59π15
∙ tg 46π15
+sin (−31 π15
)илэрхийллийн утгыг ол.
8 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
cos59π15
∙ tg 46π15
+sin(−31π15 )=cos (4 π− π
15 ) tg(3π+ π15 )−sin(2 π+ π
15 )=cos π15
∙ tg π15
−sin π15
=0
58. cos π33
cos 2π33
cos 4 π33
cos 8 π33
cos 16π33 илэрхийллийн утгыг ол
cos π33
cos 2π33
cos 4 π33
cos 8π33
cos 16 π33
=2sin π
33cos π
33cos 2 π
33cos 4 π
33cos 8π
33cos 16 π
33
2 sin π33
=2 sin π
33cos 2π
33cos 4 π
33cos 8 π
33cos 16 π
33
4 sin π33
=…=sin 32 π
33
32sin π33
=sin (π− π
33)
32sin π33
=+132
59.cos π15
cos 2π15
cos 3π15
cos 4 π15
cos 5 π15
cos 6 π15
cos 7π15 илэрхийллийн утгыг ол
cos π15
cos 2π15
cos 3π15
cos 4 π15
cos 5 π15
cos 6 π15
cos 7π15
=cos12° cos24 ° cos36 ° cos 48° cos60 ° cos72° cos84 °= sin 24°2 sin 12 °
∙ sin 48 °2 sin24 °
∙ sin 72°2sin 36°
∙ sin 96 °2sin 48 °
∙ 12∙ sin 144 °2 sin 72°
∙ sin 168 °2sin 84 °
= 1128
∙ sin 96 °sin 144 ° sin 168 °sin 12° sin 36 °sin 84 °
= 1128
∙ sin (90 °+6 ° )sin (180 °−36 ° ) sin (180°−12° )sin12 ° sin36 ° sin (90 °−6 °)
= 1128
∙ cos 6° sin 36 ° sin12°sin 12 °sin 36 ° cos6 °
= 1128
60. cos9π17
cos 13π17
cos 15 π17
cos 16 π17 илэрхийллийн утгыг ол
Cos
9π17
cos 13π17
cos 15 π17
cos 16 π17
=(−cos 8π17 )(−cos 4 π
17 )(−cos 2π17 )(−cos π
17 )=cos π17
cos 2π17
cos 4 π17
cos 8 π17
=2sin π
17cos π
17cos 2 π
17cos 4 π
17cos 8π
17
2sin π17
=…=sin 16 π
17
16 sin π17
=sin (π− π
17 )16 sin π
17
= 116
61. cosπ
65cos 2π
65cos 4 π
65cos 8 π
65cos 16 π
65cos 32π
65 илэрхийллийн утгыг ол
Cos
π65
cos 2π65
cos 4 π65
cos 8 π65
cos 16 π65
cos 32π65
=2sin π
65cos π
65cos 2π
65cos 4 π
65cos 8 π
65cos 16 π
65cos 32π
65
2sin π65
=…=sin 64 π
65
64 sin π65
= 164
62. sin 4 π16
+sin4 3 π16
+sin4 5 π16
+sin 47 π16илэрхийллийн утгыг ол
sin 4 π16
+sin4 3 π16
+sin4 5 π16
+sin 47 π16
=(1−cos π8
2 )2
+(1−cos 3π8
2 )2
+( 1−cos 5 π8
2 )2
+( 1−cos 7 π8
2 )2
=( 1−cos π8
2 )2
+(1−cos 3 π8
2 )2
+(1+cos 3π8
2 )2
+( 1+cos π8
2 )2
=14 (4+2cos2 π
8+2cos2 3π
8 )=14 (4+1+cos π
4+1+cos 3π
4 )=14 (6+cos π
4−cos π
4 )=32
63. sin18°−нутгыгол .
α=18 ° болsin 2α=cos3 x⟹2 sinαcosα=4 cos3α−3 cosα cosα ≠0тул 2 sinα=4 (1−sin2α )−3⟹4 sin2α+2 sinα−1=0⟹ sinα=−1±√54
гэвч sin18 °>0тул sin 18 °=√5−14
байна .
64. cos36°−нутгыгол.
cos36°=1−2sin 218 °=1−2(√5−14 )
2
=√5+14
9 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
65. tg2 π
24−2 tg π
24+1
tg2 π24
+2 tg π24
+1илэрхийллийнутгыгол
tg2 π24
−2 tg π24
+1
tg2 π24
+2 tg π24
+1=( 1−tg π
24
1+tg π24
)2
=( tg π4−tg π
24
1+tg π4∙ tg π
24)
2
=tg2 5 π24
=1−cos 5π
12
1+cos 5π12
=1−cos75 °1+cos75 °
=1−cos (90 °−15° )1+cos (90 °+15 ° )
=1−sin 15 °1+sin 15 °
=1−√ 1−cos30 °
2
1+√ 1−cos 30°2
=1−√2−√3
2
1+ √2−√32
=2−√2−√32+√2−√3
66. tg2 π8, ctg2 π
8кв x2−6 x+1=0тэгшитгэлийнязгууруудболжчадахуу ?
tg2 π8=
1−cos π4
1+cos π4
=2−√22+√2
=2−√22+√2
∙ 2−√22−√2
=6−4√22
=3−2√2 ctg2 π8= 2+√2
2−√2=
(2+√2 ) (2+√2 )2
=3+2√2иймдtg2 π8+ctg2 π
8=6 tg2 π
8∙ ctg2 π
8=¿
1 тул Виетийн урвуу теоромоор tg2 π8, ctg2 π
8кв x2−6 x+1=0тэгшитгэлийнязгууруудболно .
67. 3−4 cos20 °+cos 40°3+4 cos20 °+cos40 °
=tg4 10 ° болохыгбатал
3−4cos20°+cos 40°3+4 cos20 °+cos40 °
=3−4 cos 20°+2cos220 °−13+4cos20 °+2cos221 °−1
=2(1−2cos20°+cos220 °)2(1+2 cos20 °+cos221 °)
=( 1−cos20 °1+cos20 ° )
2
=tg410 °
68. tg2 12°+ctg2 12°−6
tg212 °+ctg212 °+2=cos 48° болохыгбатал
tg2 12°+ctg2 12°−6tg212 °+ctg212 °+2
=( tg12°−ctg12 ° )2−4
( tg12 °+ctg12 ° )2=
(−2 cos24 °sin 24 ° )
2
−4
( 2sin 24 ° )
2 =4 (cos224 °−sin2 24 ° )
4=cos 48°
69. √2−√2+√2+√3
√2+√2+√2+√3=tg π
48(1 )болохыгбатал
cos
π12
=√ 1+cos π6
2=√2+√3
2⟹√2+√3=2cos π
12 √2+2cos π12
=√4 (1+cos π
122
)=2cos π24 √2−2cos π
24=√4(
1−cos π24
2)=2 sin π
48үү ний адил
√2+√2+√2+√3=2cos π48
болохтул (1 )биелнэ.
70. 18tg π
7=sin π
21sin π
7sin 8 π
21болохыгбатал .
10 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
4sin
α ∙ sin( π3 −α)sin( π3 +α)=4 sinα ∙ 12 [cos2α−cos 2π
3 ]=2 sinα (1−2sin2α+cos π3 )=2 sinα−4 sin3α+sinα=.3 sinα−4 sin3α
=sin3α тулsin π7
=sin 3 π21
=4 sin π21
∙ sin ( π3− π
21)∙ sin ( π
3+ π
21)=4sin
π21
∙sin 2π7∙sin 8π
21болноИймдs∈ π
21∙ sin π
7∙ sin 8π
21=4 sin2 π
21sin2 8 π
21sin 2π
7=
16 sin2 π21
sin2 8π21
sin2 2π7
4sin 2 π7
=sin2 π
7
4 sin 2π7
=sin2 π
7
8sin π7
cos π7
=18tg π
7болно
71. cos 2 π11
+cos 4 π11
+cos 6 π11
+cos 8π11
+cos 10π11
илэрхийллийнутгыгол
cos 2π11
+cos 4 π11
+cos 6 π11
+cos 8 π11
+cos 10 π11
=2sin π
11cos 2 π
11+2 sin π
11cos 4 π
11+2 sin π
11cos 6π
11+2 sin π
11cos 8π
11+2sin π
11cos 10π
11
2sin π11
= 1
2sin π11
(sin 3π11
−sin π11
+sin 5 π11
−sin 3π11
+sin 7 π11
−sin 5π11
+sin 9π11
−sin 7 π11
+sin 11π11
−sin 9 π11 )= 1
2 sin π11
(−sin π11)=−1
2
72. tg12 °cos24 °
+ tg 24 °cos48 °
+ tg 48°cos96 °
+ tg 96 °cos192 °
илэрхийллийнутгыгол
tg 12°cos24 °
+ tg24°cos 48 °
+ tg 48 °cos96 °
+ tg96 °cos192°
= sin 12°cos12° ∙cos24 °
+ sin 24 °cos 24 ° ∙cos 48°
+ sin 48 °cos48 ° ∙cos 96 °
+ sin 96°cos96 ° ∙cos 192°
=( tg 24 °−tg12 ° )+ (tg 48 °−tg24 ° )+ ( tg96 °−tg48 ° )+( tg 192°−tg 96 ° )=tg 192°−tg12 °=tg (180 °+12 ° )−tg12 °=tg 12°−tg12°=0(энд tgα−tgβ=sin (α−β )cosαcosβ
томъёоашиглав )73. cos6° ∙cos 42° ∙cos66 ° ∙cos78 ° илэрхийллийнутгыгол
cos6° ∙cos 42° ∙cos66° ∙cos78 °=14
(cos72 °+cos60 ° ) (cos 120°+cos 36° )=14 (sin 18 °+ 1
2 )(cos36 °−12 )=1
4 [sin 18 °sin 36 °+ 12
cos36 °−12
sin 18 °−14 ]=1
4 ( 12
(sin 54 °−sin 18° )+ 12
sin 54°−12
sin18°− 14 )=1
8sin 54 °−1
8sin18 °+ 1
8sin 54 °−1
8sin 18°− 1
16=1
4sin54 °−1
4sin 18°− 1
16=14 ∙2∙cos36 ° ∙ sin 18 °− 1
16=12 sin 54 ° ∙ sin 18 °− 1
16=12
(3sin 18°−4 sin318 ° ) sin 18°− 116 =
32 (√5−1
4 )2
−2(6−2√5 )2
256
- 116
=18−6√532
−56−24 √5128
− 116
=18− 1
16= 1
16
74. sin6° ∙sin 12 ° ∙ sin 18° ∙ sin 24 ° ∙…∙ sin 84 °илэрхийллийнутгыгол
Sin3α=4 sinα ∙ sin (60 °−α )sin (60 °+α )томъёогашиглая
sin6
° ∙sin 12° ∙ sin 18° ∙ sin 24 ° ∙…∙sin 84 °=4 sin 6 ° ∙ sin54 ° ∙sin 66 °4
∙ 4 sin 12° ∙sin 48° ∙ sin72 °4
∙ 4 sin 18 °∙ sin 42 ° ∙ sin 78°4
∙ 4 sin 24 ° ∙ sin 36° ∙ sin 84 °4
∙ sin 30 °sin 60 °=12∙ √3
2∙ 1
4∙ sin18 ° ∙ 1
4∙ sin 36 ° ∙ 1
4∙sin 54 ° ∙ 1
4∙ sin 72°=√3
210 sin18 ° ∙sin 36 ° ∙sin 54 ° ∙ sin72 °=√3210 ∙
12
(cos54 °−cos 90 ° ) ∙ 12
(cos18 °−cos90 ° )= (cos4 ° ∙cos8° ∙…∙cos84 ° ∙cos88 °−д cos3α=4 cosα cos (60°−α ) cos (60 °+α )−г хэрэглэжболно . )=√3212 sin 36 °sin 18 °=√3
213 (1+√54
+ √5−14 )=√15
214
75. tg20 ° tg 30 °tg 40 ° c tg10 ° илэрхийллийн утгыг ол
tg3 α=tg (2α+α )= tg 2α+α1−tg2α ∙ tgα
=
2 tgα1−tg2α
+tgα
1− 2tgα1−tg2α
tgα=3 tgα−tg3α
1−3 t g2αтул tg3α=tgα ∙tg (60°−α ) tg (60°−α )болно .Иймд tg20 ° tg30 ° tg40 ° c tg 10°=tg30 ° (tg20 ° tg40 ° tg80 ° )=tg 30 ° ctg20 ∙tg (60 °−20 ° ) tg (60 °+20° )=tg30° tg60 °=1
11 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
76. ctg70°+4 cos70 °
sin 18 °sin 54 °илэрхийллийн утгыгол
ctg70 °+4 cos70 °sin 18 °sin 54°
= cos70 °+4 cos 70° sin 70 °sin 70° (3sin2 18°−4 sin4 18° )
= sin 20 °+4 sin 20° cos20 °cos20 °(3 sin218 °−4 sin 418 ° )
= sin 20 °+sin 40 ° sin 40 °cos 20° (3sin 218 °−4sin4 18 °)
= 2sin 30° cos10 °+cos50 °
cos20 ° [3(√5−14 )
2
−4 ( √5−14 )
4 ]=2 cos30 ° ∙cos 20°
cos20 ° ∙ 14
=4√3
77.cos 2π
7+cos 4 π
7+cos 6 π
7sin 10° sin 50 °sin 70 °
илэрхийллийн утгыгол
cos 2π7
+cos 4 π7
+cos 6 π7
=2 cos 3 π7
cos π7+2co s2 3π
7−1=2cos 3 π
7 (cos π7
+cos 3π7 )−1=2cos 3 π
7∙2cos 2π
7cos π
7−1=4 cos π
7cos 2 π
7cos (π−4 π
7 )−1=−2 ∙2 sin π
7cos π
7cos 2 π
7cos 4 π
7
sin π7
−1=−2sin 2 π
7cos 2π
7cos 4 π
7
sin π7
−1=−sin 8 π
7
2sin π7
−1=12−1=−1
2sin 10° sin 50°sin 70 °=sin 10 ° sin 20° sin 40 °=sin10 ° ∙ 1
2(cos66 °+cos 20° )=1
4sin10 °+ 1
2sin 10 °cos 20°=1
4sin10 °+ 1
4(sin 30°−sin 10 ° )=1
8тул−1
2÷ 1
8=−4
78. cos 11 π
5−cos 2π
5sin 12° sin 24 °sin 48° sin 84 °
илэрхийллийн утгыгол
cos 11 π5
−cos 2π5
=−2 sin 13 π10
sin 9π10
=−2 sin(π+3 π10 )sin(π− π
10 )=2 sin 3 π10
∙ sin π10
=2sin 18 °sin 54 °=2 sin18° (3 sin 18°−4sin 318 ° )=6 sin218°−8sin4 18°=6( √5−14
)2
−8(√5−14
)4
=12
sin 12° sin 24 ° sin 48 ° sin 84 °=sin 12 °sin 24 ° sin 48 ° sin 6°=12
(cos36 °−cos 60° ) ∙ 12
(sin 30 °+sin 18 ° )=14 (cos36 °−1
2 )∙ (12+sin 18°)=1
4 (√5+14
−12 )(√5−1
4+ 1
2 )=14 ( 5−1
16−√5−1
8+ √5+1
8−1
4 )=14∙ 28= 1
16, 12÷ 1
16=8
79.
sin 10 °sin 20 ° sin 30° sin 40 ° sin 50° sin 60 °sin 70 ° sin 80°=sin 10° cos10 ° sin20 ° cos20 ° sin 40 °cos 40 ° ∙ 12∙ √3
2=√3
32sin 20° ∙ 1
2(cos 40 °−cos120 ° )=√3
64sin 20 ° (cos40 °+sin 30 ° )=√3
64sin 20°cos 40°+ √3
128sin 20°=√3
64∙ 12
(sin 60°−sin 20 ° )+ √3128
sin 20°= 3256
− √3128
sin 20°+ √3128
sin 20 °= 3256
80. tg 20° tg 40 ° tg80 °
cos24 °+cos 48 °−cos84 °−cos12 °илэрхийллийн утгыгол
tg 20° tg 40 °tg 80°= sin 20 °sin 40° sin 80 °cos20° cos 40 °cos 80°
sin20 ° sin 40 ° sin 80°=12
sin 20° (cos 40°−cos120 ° )=12
sin 20 ° (cos 40°+sin 30° )=12
sin 20° cos 40°+ 14
sin 20 °=14
(sin 60 °−sin 20 ° )+ 14
sin 20 °=√38
cos20 ° cos40 ° cos80 °=2sin 20° cos20 ° cos40 ° cos80 °2sin 20 °
=…=sin 160 °8sin20
=18тул tg 20° tg 40 ° tg 80°=√3
cos24 °+cos48 °−cos 84 °−cos 12°=2sin 54 ° sin 30°−2sin30 ° sin 18°=sin 54 °−sin 18 °=2cos36 ° sin18 °=2sin 54 ° sin 18 °=2 (3 sin218 °−4 sin 418 ° )=2∙ 14=1
2 √3÷ 12=2√3
81. tg9 °−tg 63 °−tg 27°+tg 81 °
cos π7
cos 4 π7
cos 5 π7
илэрхийллийн утгыгол
tg 9°−tg63 °−tg27 °+tg81 °=tg 9°+ctg 9°−(ctg 27°+tg 27 ° )= sin 9 °cos9 °
+ cos 9°sin 9 °
−( cos27°sin 27°
+ sin 27 °cos27 ° )= 2
sin 18 °− 2
sin54 °=2( sin54 °−sin 18 °
sin 54 ° sin 18° )=2 ∙ 2 cos36 °sin 18°sin 54 ° sin18 °
=4 cos π7
cos 4 π7
cos (π−2π7 )=−cos π
7cos 2π
7cos 4 π
7=
−2sin π7
cos π7
cos 4 π7
cos 5 π7
2 sin π7
=…=−sin 8π
7
8 sin π7
=−18
4÷(−18 )=−32
12 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
82. sin π
14+sin 5π
14−s∈ 3π
14cos20° cos 40 °cos 80°
илэрхийллийн утгыгол
sin π14
+sin 5 π14
−sin 3 π14
=2cos π
14(sin π
14+sin 5π
14−sin 3π
14)
2 cos π14
=sin 3 π
7
2 cos π14
=sin ( π
2− π
14)
2cos π14
=cos π
14
2cos π14
=12
cos20 ° cos40 ° cos80 °=2sin 20° cos20 ° cos40 ° cos80 °2sin 20 °
=…= sin 160 °8 sin 20 °
= sin20 °8 sin20 °
=18тул 1
2÷ 1
8=4
83. cos15°cos25°cos35°cos85° илэрхийллийн утгыгол
cos15°cos25°cos35°cos85
°=12
(cos 60°+cos 10° ) 12
(cos110°+cos70 ° )=14 (1
2+cos10 °)(sin 20 °−sin 10 ° )= 1
4 (12
sin 20°+sin20 ° cos10°−12
sin 10°−sin 10 °cos10 °)=14 (sin 10° cos10°+1
2(sin 30°+sin 10 ° )−1
2sin 10 °−sin 10 ° cos10° )= 1
4∙ 14= 1
16
84. tg20°+tg 40 °−tg60°+tg 80 °илэрхийллийг хялбарчил
tg20
°+tg 40°−tg60°+tg 80 °= sin 20°cos20 °
+ sin 40 °cos40 °
+ sin 80°cos80 °
− sin 60 °cos60 °
= sin 60 °cos20 ° cos40 °
+ sin 20 °cos60° cos80 °
= sin 60°cos20 °cos 40 °
+ 2 sin20 °cos80 °
= sin 60° cos 80°+sin 40° cos 40°cos20 ° cos 40° cos80 °
=
√32
sin 10°+ 12
cos10 °
18
= sin 10° cos30 °+sin 30 °cos 10°18
=8sin 40°
85. cos2 73°+cos2 47 °+cos73 ° cos47 °4 sin 10°+tg 20° tg 40 °
илэрхийллийн утгыгол
cos273 °+cos247 °+cos 73° cos 47°=(cos73°+cos47 ° )2−cos73 ° cos47 °=(2 cos60 °cos 13° )2−12
(cos120 °+cos26 ° )=cos2 13°+ 14−1
22cos213°+1
2= 3
44 sin 10 °+ tg20 °tg 40 °=4 sin 10 °+ sin 20° sin 40 °
cos 20° cos 40°=4 sin 10 °+
12(cos20 °−cos60 °)
12(cos20°+cos60 ° )
=4 sin10 °+ 2cos 20°−12 cos20 °+1
=8 sin 10 ° cos20 °+4sin 10 °+2 cos20°−12cos20 °+1
=4 sin 30 °−4 sin 10°+4sin 10 °+2cos 20°−12 cos20°+1
=2cos20 °+12cos20 °+1
=1тул 34÷1=3
4
86. sin10°+sin30°+sin50° илэрхийллийг хялбарчил
sin10°+sin30°+sin50
°=2 sin10 ° (sin10°+sin 30 °+sin 50° )2 sin10 °
=2 sin210 °+2sin 10° sin 30°+2 sin 50 °sin 10 °2 sin 10 °
=2 sin210°+cos20 °−cos 40 °+cos40 °−cos60°2sin10 °
=2 si n2 10°+1−2 si n210 °−1
22sin 10 °
=14cosec10 °
87. sin47°+sin61°-sin11°-sin25° илэрхийллийг хялбарчил
sin47°+sin61°-sin11°-sin25
°=2 cos29 ° sin 18°+2 cos 43° sin 18 °=2sin 18° (cos29 °+cos 43° )=2sin18 ° ∙2 cos36 ° ∙cos7°=4 sin18 ° sin 54 °cos 7 °=4 ∙ 14∙cos7 °=cos7 °
88. cos5 ° cos55° cos65 ° илэрхийллийн утгыгол
cos
5 ° cos55° cos65 °=12
cos 5° (cos120 °+cos10 ° )=12
cos5 ° (cos10 °−sin 30 ° )=12
cos5 ° cos10 °−14
cos5 °=12∙ 12
( cos15°+cos 5° )−14
cos5 °=14
cos15 °=14 √ 1+cos 30°
2=
14∙ √2+√3
2=√2+√3
8∙ √2√2
=√4+2√38√2
=1+√38√2
13 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
89. sin2 10 °+sin250 °+sin2 70° илэрхийллийн утгыг ол
sin2 10 °+sin250°+sin2 70=1−cos 20°2
+1−cos100 °2
+ 1−cos140 °2
=12
(3−cos20+2cos20° sin30 ° )=32
90. sin2 20 °+sin2 40 °+sin280 ° илэрхийллийн утгыгол
sin2 20 °+sin2 40 °+sin280 °=12
(3−cos 40 °−cos80 °−cos160° )=12
(3−cos 40 °−2cos40 ° cos120 ° )=12
(3−cos40 °+cos 40 ° )=32
91.
cos4 10°+cos4 50 °+cos470°=( 1+cos20 °2
)2
+( 1+cos 110°2
)2
+( 1+cos140 °2
)2
= 14
(3+2 (cos20 °+cos108°+140 ° )+(cos220 °+cos2108 °+cos2140 ° ))= 14 (3+2 (cos20 °+2 cos20 °cos 120° )+ 1
2(1+cos 40°+1+cos 200°+1+cos 280° ))=1
4 (3+2 (cos20 °−cos20 ° )+ 12
(3+cos 40 °+2cos 240° cos 40° ))= 14 (3+ 1
2(3+cos 40 °−cos 40 ° ))= 1
4 (3+ 32 )=9
8
92.
tg210 °+tg250 °+tg270°=1−cos 20°1+cos20 °
+1−cos100 °1+cos100 °
+ 1−cos 140°1+cos140 °
эндер өнхий хуваарьнь (1+cos20° ) (1+cos100 ° ) (1+cos140° )=8 cos210 ° cos250 ° cos270° болохбатохируулах ү ржигдэх үү нээрү ржүү лж эмхэтгэвэл
tg210 °+tg250 °+tg270°=3−1
2(cos 80 °+2cos120 °+cos160 °+cos 40 °+cos240 ° )−3cos20 ° cos40 ° cos80 °
8cos210 ° cos250° cos2 70 °болно .
Энд cos80
°+2 cos120 °+cos160 °+cos40 °+cos240 °=sin 10 °−2sin 30 °−cos20°+cos 40 °−sin 30 °=sin 10 °+cos40 °−cos20 °−32=sin 10°−2 sin30 ° sin 10°−3
2=sin10 °−sin 10°−3
2=−3
2
Cos20°cos40°cos80
°=18
(ө мнөбодсоноор ) (2 )болно.8 cos210 ° cos250 ° cos270 °=8(cos10 °cos50 ° cos70 °)2=8(cos10 ° ∙ 12(cos120 °+cos20°))
2
=2(cos10 °(cos 20°−sin 30°))2=2(cos10 ° cos20 °−12
cos10 °)2
=2(12
cos30 °+cos10 °−12
cos10 °)2
=12
cos230 °=38
(3 ) (1 )−д
(2)(3)-г ашиглав 3−1
2 (−23 )−3 ∙ 1
838
=9
93. tg4 10 °+ tg450 °+tg4 70 °илэрхийллийн утгыгол
tg4 10 °+ tg450 °+tg4 70°=(tg210 °+tg250 °+tg270 ° )2−2 (tg2 10° tg250 °+tg210 °tg2 70°+tg2 50° tg270 ° )энд 92−рбодлого ёсоор (tg210 °+ tg250 °+ tg2 70 ° )2=81−2 (tg2 10° tg250 °+tg210° tg2 70°+tg2 50° tg270 ° )=−2( 1−cos20°1+cos20 °
∙ 1−cos180 °1+cos180°
+ 1−cos20 °1+cos20°
∙ 1−cos 40°1+cos40 °
+ 1−cos100 °1+cos100 °
∙ 1−cos140 °1+cos140° )−д тохируулахү ржигдэх үү ныголжү ржүү лжэмхэтгэвэл
−3−(cos20 °+cos100 °+cos140 °)8 cos210 ° cos2 50° cos270 °
+−(cos20 ° cos100°+cos 20° cos140 °+cos100 ° cos140° )+3 cos 20° cos100 ° cos140°
8cos210 ° cos2 50° cos270 °=
−3−0+ 34+3 ∙ 1
812
cos2 30 °=−22болохтулtg 410 °+tg4 50 °+ tg470 °=81−22=59
94. 1
sin210 °+ 1
sin 250 °+ 1
sin2 70°илэрхийллийн утгыгол
1sin210 °
+ 1sin 250 °
+ 1sin2 70°
=1+ctg2 10 °+1+ctg250 °+1+ctg270 °=3+ctg210 °+ctg250°+ctg2 70° , ctg210 °+ctg2 50°+ct g270 °=33болно .Иймд 1sin210 °
+ 1sin2 50 °
+ 1sin270 °
=36болно.
14 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
95. 1
cos2 10°+ 1cos250 °
+ 1cos270 °
илэрхийллийн утгыгол
1cos2 10°
+ 1cos250 °
+ 1cos270 °
=3+tg2 10°+tg2 50°+tg270 °=3+9=12
96. sin7°+sin 43 °+sin 79 °+sin 115°+sin 151°+sin 187 °+sin 223°+sin259 °+sin 295 °+sin 331° илэрхийллийн утгыгол
Координатын эх дээр эхтэй 1 урттай ox тэнхлэгтэй 7 ° ,43 °,79 ° ,…,331 °векторуудийг авчү зье .Эдгээрвекторүү д өө р хоорондоо 36°−нөнцө гүү сгэнэ .Иймдвекторүү дий нтө гсг ө лүү д нь зө волон өнцөгтийн оройнуудүү сгэнэ .Иймд эрдгээр
векторүү дий ннийлбэр0байна .Иймд эдгээрвекторүү дий нкоординатынтэнхлэг дээрх проекцуудын
нйилбэр 0-тэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл sin7°+sin 43 °+…+sin331 °=0байна .
97. tg1°+tg5 °+tg 9 °+…+tg177 ° илэрхийллийн утгыгол
tgα+tg (60 °+α )+tg (120 °+α )=3 tg3 α−г ашиглая
tg1°+tg5 °+tg 9 °+…+tg177 °= tg1°+tg 61°+tg 121°+tg 5°+tg 65°+ tg125 °+tg9 °+tg 69°+tg 129°+…+tg57 °+tg117 °+ tg177 °=3 ( tg 3°+tg 15 °+ tg27 °+…+tg 171° )=3 ( tg 3 °+ tg63 °+tg123 °+tg15 °+tg75 °+tg135 °+…+ tg51 °+tg 111°+tg 171° )=9 (tg 9°+tg 45°+tg 81 °+ tg117°+tg 153° )=9 (1+ tg9 °+ctg9 °−tg 27°−tg63 ° )болно.Энд
tg9°+ctg 9 °−tg 27°−tg63 ° нь81−рбодлогоор 4−тэйтэнцүү . Иймдtg1°+tg5 °+tg 9 °+…+tg177 °=9 (1+4 )=45
98. lg (2 ∙tg 1° )+lg (22∙ tg2 ° )+ lg (23 ∙tg 3 ° )+…+lg (289 ∙ tg 89°)lgsin 45°
илэрхийллийн утгыг ол
Нэг талаас lg (2 ∙ tg1 ° )+ lg (22 ∙ tg2 ° )+lg ( 23∙ tg3° )+…+ lg (289 ∙ tg89 ° )=lg2+lgtg1°+2 lg2+lgtg2 °+3lg 2+lgtg3°+…+89 lg2+lgtg89 °=(1+2+3+…+89 ) lg 2+lg (tg 1° ∙tg 2° ∙…∙tg 89 ° )=4005 ∙ lg2+lg (tg1° ∙ ctg1 ° ∙ tg 2° ∙ ctg2 ° ∙…∙tg 45 ° )=4005 lg2+lg1=4005 lg2
Нөгөө талаас lgsin45
°=lg √22
=12lg2−lg2=−1
2lg 2тул lg
(2 ∙tg 1° )+lg (22 ∙ tg2 ° )+lg (23 ∙ tg3 ° )+…+lg (289∙ tg 89° )lgsin 45°
=4005 lg2−12lg 2
=−8010
99. cos235 °+cos225 °−cos25 ° илэрхийллийн утгыгол
cos235 °+cos225 °−cos25 °=1+cos70 °2
+ 1+cos50 °2
−cos25 °=1+ 12
(sin 20°+sin 40 ° )−cos25 °=1+ 12
(2 cos25 °−1 )−cos2 5°=12
100. 1
2sin 10 °−2sin70 ° илэрхийллийн утгыгол
12sin 10 °
−2 sin70 °=1−4sin 10 ° cos20°2 sin 10°
=1−4 ∙ 1
2(sin 30 °−sin 10 °)
2sin 10 °=2 sin10 °
2 sin10 °=1
101. 1+cos40 °+cos80°
sin 80°+sin 40°∙ tg 40 °илэрхийллийн утгыгол
15 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
1+cos40 °+cos80 °sin 80°+sin 40°
∙ tg 40 °=1+cos80 °+cos40 °sin 80°+sin 40°
∙ tg 40 °= 2co s240°+cos 40 °2sin 40° cos 40°+sin 40 °
∙tg 40 °=cos 40° (2cos 40 °+1)sin 40 ° (2 cos 40°+1)
∙ sin 40°cos40 °
=1
102. 2(sin 2β+2co s2 β−1)cosβ−sinβ−cos 3 β+sin3 β
=cosecβ батал
2(sin 2β+2co s2 β−1)cosβ−sinβ−cos3 β+sin3 β
=2(sin 2 β+cos2 β)
2sin 2 β ∙ sinβ+2cos2β ∙ sinβ=
2(sin 2 β+cos 2β )2 sinβ (sin 2β+cos2 β)
=cosecβ
103. 3-4cos4β+cos8 β=8 si n4 2β батал
3-4cos4β+cos8 β=.3−4 (1−2sin22 β )+2cos2 4 β−1=−2+8 sin2 2β+2 (1−2sin2 2β )2=−2+8sin2 2β+2−8 s∈¿2 2 β¿+8sin42 β=8sin42 β
104. tg2α+ctg 2α+tg6 α+ctg 6α=8 cos2 4 αsin 12α
батал
tg2
α+ctg 2α+tg6 α+ctg 6α= sin 2αcos2α
+ cos2αsin 2α
+ sin 6αcos6α
+ cos6αsin 6α
= sin 8αcos2α ∙cos6α
+ sin 8αsin 2α ∙sin 6α
=sin 8α (cos2α ∙cos6α+sin2α ∙ sin 6α)
sin 2α ∙cos2α ∙ sin 6α ∙cos6α= sin 8α ∙cos4 α
14
sin 4 α ∙ sin12α=8 sin 4α ∙cos24 α
sin 4α ∙sin 12α=8 cos2 4α
sin 12α
105. 2sin (β+ π
3 )sin( β+ π6 )+cos 5π
6
2 sin(2β+ π3 )−√3 cos2 β
=1батал
2sin (β+ π3 )sin( β+ π
6 )+cos 5π6
2sin(2β+ π3 )−√3 cos2 β
=2∙ 1
2(cos π
6−cos ( π2 +2 β)+cos (π− π
6))
2sin 2 β ∙cos π3+2cos2 β ∙ sin π
3−√3cos2 β
=cos π
6+sin 2 β−cos π
6sin 2 β+√3 cos2 β−√3 cos2 β
=1
106. sin3β ∙ sin3 β+cos3 β ∙cos3 β=cos32 βбатал
sin3 β=3 sinβ−sin 3 β4
cos3 β=3cosβ+cos3 β4
томъёонуудыг ашиглавал
sin3
β ∙ sin3 β+cos3 β ∙cos3 β=3 sinβ−sin 3 β4
∙sin 3 β+3 cosβ+cos3 β4
∙cos 3β=34
(sinβ ∙sin 3β+cosβ ∙cos3 β )+ 14
( cos2 3β−sin23 β )=34∙cos2 β+ 1
4cos6 β=1
4(3 cos2 β+4cos3 2β−3 cos 2β )=cos3 2β
107. sin2 (2x− y )+sin2 y+2 sin (2 x− y ) cos2x ∙ siny=sin2 2x батал
sin2 (2x− y )+sin2 y+2sin (2 x− y ) cos2x ∙ siny=sin (2x− y )(sin (2x− y )+2cos2 x ∙ siny)+sin2 y=sin (2x− y ) ( sin (2 x− y )+sin (2 x+ y )−sin (2x− y ) )+sin2 y=sin (2 x− y )sin (2 x+ y )+sin2 y=12
(cos2 y−cos 4 x )+sin2 y=12
(1−2 sin2 y−1+2sin2 2x )+sin2 y=sin 22 x
108. sin2 2,5 β−sin2 1 ,5 βcos3 β ∙cos2 β+sin 4 β ∙ sin β
=4 sin2β батал
16 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
sin 22 ,5β−sin21 ,5 βcos3 β ∙cos2 β+sin 4 β ∙ sinβ
=(sin 2,5 β+sin1.5 β )(sin 2 ,5β−sin 1.5β )
12
(cos5 β+cosβ )+ 12(cos3 β−cos5 β)
=2(2sin 2 β ∙cos β
2 )(2 cos2β ∙ sin β2)
cosβ+cos3 β=
2 (2sin 2βcos 2β )(2sin β2
cos β2)
2cos2 βcosβ=2sin 2 β ∙ sinβ
cosβ=4 sin2 β ∙ cosβ
cosβ=4sin2 β
109. sin4α+cos4α−1sin6α+cos6α−1
=23батал
sin4α+cos4α−1sin6α+cos6α−1
= 1−2 sin2α cos2α−11 ∙ (1−3 sin2α cos2α )−1
=−2 sin2α cos2α−3 sin2α cos2α
=23
110. 1
sin 2α sin (60 °−2α )sin (60 °+2α)= 4
sin 6αбатал
70-р бодлого ёсоор sin 2α sin (60°−2α )sin (60 °+2α )= sin6 α4
тулэндээсбатлах з үй лшууд гарна .
111. cos6α−cos7 α−cos8α+cos9αsin 6 α−sin7 α−sin 8α+sin 9 α
=¿ctg15α
2 батал.
cos6α+cos9α−(cos7α+cos8α)sin 6 α+sin 9α−(sin 7α+sin 8α)
=2cos 15 α
2∙cos 3α
2−2 cos 15α
2∙cos α
2
2 sin 15 α2
∙cos 3α2
−2 sin 15 α2
∙cos α2
=2cos 15α
2∙(cos 3α
2−cos α
2)
2 sin 15α2
∙(cos 3α2
−cos α2)=¿
ctg15α
2
112. ctg(270°-2α )+ctg(210 °−2α)+ctg(150°−2α)¿3tg6αбатал
ctg(270°-2α )+ctg(210 °−2α)+ctg(150°−2α)
¿ tg2α+ctg (90 °+ (60 °−2α ) )=tg2α−tg (120°−2α )−tg (60 °−2α )=tg 2α− tg 120°−tg2α1+tg120 ° ∙tg 2α
− tg 60°−tg2α1+ tg60 °∙ tg2α
=¿
tg 2α−−ctg30 °−tg 2α1−ctg30 ° ∙ tg2α
− tg60 °−tg 2α1+tg 60 ° ∙ tg2α = tg2α+ √3+tg 2α
1−√3tg 2α+ tg2α−√3
1+√3 tg2α
Энд 97-р бодлого дээр гаргасан томъёоны гаргалгааг хэрэглэвэл 3tg6α
113. ctg( π4 +α)∙(1+cos(2α− π2 ))∙cos−12α+2cos (4 α−2π )= sin 6α
sin 2α батал
ctg(π4 +α )(1+sin 2α )
cos2α+2cos4 α=
cos( π4 +α)(1+sin 2α)
sin ( π4
+α ) ∙cos2α+2 cos 4α=2cos 4α+1=2 (1−2 sin2 2α )+1=3−4sin2 2α=3sin 2α−4 sin 32α
sin 2α= sin 6α
sin 2α
114. 8cos4α−4 cos3α−8cos2α+3cosα+1=−2sin 7 α2∙ sin α
2 батал
8cos4α−8 cos2α ∙ ( 4cos3α−3cosα )+1=8cos2α (cos2α−1 )−cos3 α+1=−2∙4 ∙ sin2α cos2α−cos3α+1=−2 sin22α−cos3 α+1=−cos3α+1−2 sin22α=cos 4α−cos3 α=−2sin 7α2∙sin α
2
17 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
115. cos (α+β ) cosγ+cosα+cosβ+cosγ−sin (α+β ) ∙ sinγ=4 cos α+β2
∙cos β+γ2
∙cos γ+α2 батал
Нэг талаас: cos (α+β ) cosγ−sin (α+ β ) ∙ sinγ+cosα+cosβ+cosγ=cos (α+β+γ )+cosα+cosβ+cosγ
Нөгөө талаас:
4 cos α+β2
∙cos β+γ2
∙cos γ+α2
=2 ∙(cos α+2β+γ2
+cos α−γ2 )cos α+γ
2=2 cos α+2 β+γ
2∙cos α+γ
2+2cos α−γ
2∙cos α+γ
2
болно.
116. α+β+γ=π болctgβ+ cosγcosα ∙ sinβ
=ctgγ+ cosβcosα ∙ sinγбатал.
α=π− (β+γ )тулcosα=−cos (β+γ ) Иймд cos βcosα ∙ sinγ
− cosγcosα ∙ sinβ
= sinβcosβ−sinγcosγcosα ∙ sinβ ∙ sinγ
=¿
12(sin 2 β−sin 2 γ )
cosα ∙ sinβ∙ sinγ=
sin (β−α )cos ( β+γ )cosα ∙ sinβ ∙ sinγ
=−sin ( β−α )cos (β+γ )cos (β+α )∙ sinβ ∙ sinγ
=sin ( γ−β )sinβ ∙ sinγ
= sinγcosβsinβ ∙ sinγ
− cosγ ∙ sinβsinβ ∙ sinγ
=ctgβ−ctgγтулctgγ−ctgβ+ cosβcosα ∙ sinγ
− cosγcosα ∙ sinβ
=0болно .
117. α+β+γ=π бол
sinα+sinβ+sinγ=4 cos α2
cos β2
cos γ2батал
γ=π−(α+ β )тул sinγ=sin (α+ β ) Иймд : sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+sin (α+ β )=2sin α+ β2
cos α−β2
+2 sin α+β2
cos α+β2
=2sin α+β2 (cos α−β
2+cos α+β
2 )=2sin (π2 − γ2 ) ∙2 cos α
2cos β
2=4 cos α
2cos β
2cos γ
2
118. α+β+γ=π болcosα+cosβ+cosγ=1+4sin α2
sin β2
sin γ2батал
cosα+cosβ+cosγ−1=2 cos α+β2
cos α−β2
−2 sin2 γ2=2 cos α+ β
2cos α−β
2−2 sin2 γ
2=2cos α+β
2cos α−β
2−2sin 2( π2 −( α+β
2 ))=2 cos α+β2
cos α−β2
−2 cos2( α+β2 )=2cos α+β
2∙(cos α−β
2−cos α+ β
2 )=2 sin γ2∙2 ∙sin α
2∙sin β
2=¿
4sinα2
sin β2
sin γ2
119. α+β+γ=π болcos2α+cos2β+cos2 γ+4cosα ∙ cosβ ∙ cosγ+1=0 гэжбатал
cos2α+cos2 β+cos2 γ+1=2cos (α+β ) cos (α−β )+2cos2 γ=−2cosγ ∙2cosα ∙ cosβ=−4 cosα ∙ cosβ ∙ cosγ
120. α+β+γ=π болsin2 2α+sin2 2β+sin 22 γ+2cos 2α ∙cos2 β ∙cos2 γ=2батал
sin2 2α+sin 22 β+sin22 γ−2=1−cos4 α2
+1−cos 4 β2
+ 1−cos 4 γ2
−2=−12
(1+cos 4 α+cos 4 β+cos4 γ )=−¿
121. (sinβ+sinγ−sinα ) ∙(sinγ+sinα−sinβ)
4 sinα ∙ sinβ =sin 2 γ2 батал
(эндα+ β+γ=π болно¿
(sinβ+sinγ−sinα )(sinγ+sinα−sinβ)4 sinα ∙ sinβ =sin2 γ−¿¿
18 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
122. α+β+γ=π бол cosαsinβ ∙ sinγ
+ cosβsinα ∙ sinγ
+ cosγsinα ∙ sinβ
=2батал
cosαsinβ ∙ sinγ
+ cosβsinα ∙ sinγ
+ cosγsinα ∙ sinβ
= sin 2α+sin 2 β+sin2 γ2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ
= sin 2α+sin 2 β−sin (2α+2β )2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ
=2 sin (α+β )cos (α−β )−2sin (α+β ) cos (α+β )2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ
=2sin (α+ β ) (cos (α−β )−cos (α+β ) )
2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ=2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ
sinα ∙ sinβ ∙ sinγ=2
123. sin2α+sin2β−2∙ sinα ∙ sinβ ∙cos (α−β )=sin2 (α−β )батал
sin (α−β )=sinα ∙ cosβ−cosα ∙ sinβтул sin2 (α−β )=sin2α (1−sin2β )−2 sinα ∙ cosα ∙ sinβ ∙ cosβ+sin2 β (1−sin22 )=sin2α+sin2β−( sin2α ∙sin 2β+2 sinα ∙ cosα ∙ sinβ ∙ cosβ+sin2 β ∙ sin2α )=sin2α+sin2β− (2 sinα ∙ sinβ ∙ cosα ∙ cosβ+2sin2α ∙sin 2β )=sin2α+sin2 β−2 sinα ∙ sinβ (cosα ∙ cosβ+sinα ∙ sinβ )=sin2α+sin 2β−2 sinα ∙ sinβ ∙cos (α−β )
124. α ≠ πk kϵz ү ед cosα ∙ cos2α ∙ cos 4α …∙cos2nαүржвэрийг ол.
cosα∙cos2α∙cos4α…∙cos2^n α=(2sinα∙cosα∙cos2α∙…∙cos2^n α)/2sinα=(sin2α∙cos2α∙cos4α∙…
∙cos2^n α)/2sinα=…= 12n+1 ∙
sin 2n+1αsinα
125. S=sinα+sin 2α+…+sinnα нийлбэрийгол
Хэрэв α=πkбол sinπk+sin 2 πk+…+sinnπk=0
α ≠ πk байг .Тэнцэтгэлийн2талыг sin α2≠0−ээрүржүүлж синусуудийн үржвэрийг нийлбэрт
шилжүүлдэг томъёог нэмэгдэхүүн бүлэгт хэрэглэвэл
s ∙sin y2=sinα ∙ sin α
2+sin 2α ∙sin α
2+sin 4α ∙ sin α
2+…+sinnα ∙ sin α
2= 1
2 (cos α2−cos 3α
2 )+ 12 (cos 3α
2−cos 5α
2 )+…+ 12 (cos (2n−3 )α
2−cos (2n−1 )α
2 )+ 12 (cos (2n−1 )α
2−cos (2n+1 )α
2 )=12 (cos α
2−cos (2n+1 )α
2 )=sin (n+1)α2
∙ sin nα2тулS=
sin (n+1)α2
∙ sin nα2
sin α2
126. 12tg α
2+ 1
4tg4 α+…+ 1
2n tgα2n=
12n ctg
α2n
−ctg 2батал
эхлээд дараахтомъёо батлая: tgα−ctgα= sinαcosα
− cosαsinα =−cos2∝−sin2α
sinαcosα=−2 cos2α
sin 2α=−2ctg2α батлах
адилтгалын зүүн гар талаас 1
2nctg α
2n -
г хасаж ,дээрбаталгах томъёог n удаахэрэглэе (арааснь урагш )
12tg α
2+ 1
4tg α
4+…+ 1
2n−1 tgα
2n−1 +12n tg
α2n
− 12n ctg
α2n=
12tg α
2+ 1
4tg α
4+…+ 1
2n−1 tgα
2n−1 +¿1/2^n (tg α/2^n -
ctg α/2^n )=1/2 tg α/2+1/4 tg α/4+…+1/2^(n-1) tg α/2^(n-1) -1/2^(n-1) ctg α/2^(n-1) =…=1/2 tg
α/2+1/4 tg α/4-14ctg α
4=1
2tg α
2+ 1
4 ( tg α4−ctg α4 )=1
2tg α
2−1
2ctg α
2=1
2 (tg α2 −ctg α2 )=−ctgα
127. ∝−хурцөнцө гбайхад√sinα+2 sin2α+3sin3α+4sin4+…тоон дараалалын нийлбэрийг ол
S=sinα+2sin 2α+3sin3α+… (1 ) гэе .2талыг sinα ү ржүү лбэл
S sinα=sin 2α+2sin3α+3sin4 α+… (2 )болно . (1 )−с (2 )−г хасвал
S (1−sinα )=sinα+sin2α+sin3α+sin 4α+…болно
19 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
Энэ нь α−хурцөнц өгтул0<¿q
¿ sinα<1 хуваарьтайтөгс өө гү йбуурах геометрпрогрессийннийлбэрбайна .Иймд S (1−sinα )= sinα1−sinα
эндээс S= sinα(1−sinα )2
128.α−хурцөнц өгболsinα+3sin2α+5sin3α+7sin 4α+…тоон дарааллын нийлбэрийгол .
S=sinα+3 sin2α+5 sin3α+…гэе.Эндээс Ssinα=sin2α+3 sin3α+5sin4α+…эндээс S (1−sinα )=sinα+2 sin2α+2 sin3α+2sin 4α+…=sinα+ 2sin2α1−sinα
= sinα+sin2α1−sinα
тул S= sinα+sin2α(1−sinα)2
129.α−хурцөнцөг болcosα−2cos2α+3 cos3α−4 cos4α=тоондарааллыннийлбэрийг ол.S=cosα−2cos2α+3cos3α−4 cos4α+…гэвэл
Scosα=cos2α−2cos3α+3cos4α−4cos5α+…болно .Эндээс S (cosα+1 )=cosα−cos2α+cos3α−cos4α+…= cosα1+cosα
тулS= cosα(1+cosα )2 болно.
130. sinα ∙ sin2 α2+2sin α
2∙ sin2 α
4+4sin α
4∙ sin2 α
8+…+2n−1 sin α
2n−1 ∙ sin2 α2n нийлбэрийг ол
sinα ∙ sin2 α2+¿=sinα ∙
1−cosα2
=12sinα−1
4sin 2αтул
S=12sinα− 1
4sin 2α+2( 1
2sin α
2−1
2sinα )+4 (1
2sin α
4− 1
4sin α
2 )+8( 12
sin α8− 1
4sin α
4 )+…+2n+1( 12
sin α2n−1 −
14
sin α2n )=1
2sinα− 1
4sin 2α+2∙ 1
2sin α
2−2 ∙ 1
4sinα+4 ∙ 1
2sin α
4−2n−1 ∙ 1
4sin α
2n−2=2n−2 sin α2n−1 −
14
sin 2α
131. 1sin 2 °
+ 1sin 4 °
+ 1sin 8°
+…+ 1sin 1048576 °
нийлбэрийгол 1sin2α
=sin (2α−α )sinα ∙sin 2α
=sin 2α ∙ cosαsinα ∙sin 2α
− cos2α ∙ sinαsinα ∙ sin2α
=ctgα−ctg2α тул 1sin 2°
+ 1sin 4°
+ 1sin 8 °
+…+ 1sin1048576 °
=(ctg 1°−ctg 2° )+(ctg 2°−ctg 4 ° )+(ctg 4 °−ctg 8 ° )+…+(ctg 524288°−ctg1048576 ° )=ctg1 °−ctg 1048576 °
132.
хэрэв 0<α< π2012
бол 1cosα ∙cos2α
+ 1cos2α ∙cos3α
+ 1cos3α ∙cos 4α
+…+ 1cos1000α ∙cos1001α
нийлбэрийг ол
1cosα ∙cos2α
+ 1cos2α ∙cos3α
+ 1cos3α ∙cos 4α
+…+ 1cos1000α ∙cos1001α
= 1sinα ( sinα
cosα ∙cos2α+ sinα
cos2α ∙cos3α+ sinα
cos3α ∙cos4 α+…+ sinα
sin 1000α ∙ sin1001α )нөг өөталаас tgnα−tg (n−1 )α= sinnαcosnα
− sin (n−1 )αcos (n−1 )α
= sinnα ∙ cos (n−1 )α−sin (n−1 )α ∙ cosnαcos (n−1 )α ∙cosnα
= sin (nα−nα +α )cos (n−1 )α ∙ cosnα
= sinαcos (n−1 )α ∙ cosnα
тул sinαcos (n−1 )α ∙ cosnα
=tgnα−tg (n−1 )α томъёог дээрх нэмэгдэх үү нб ү лэгт хэрэглэвээс
1sinα ( sinα
cosα ∙cos2α+ 1
cos2α ∙cos3α+ 1
cos3α ∙cos 4α+…+ 1
cos1000 α ∙cos1001α )= 1sinα [ (tg2α−tgα )+ (tg3 α− tg2α )+…+(tg1001α−tg1000α ) ]= 1
sinα( tg1001α−tgα )= 1
sinα ( sin 1001αcos1001α
− sinαcosα )= 1
sinα∙ sin1000αcos1001α ∙ cosα
= 2sin 1000αcos1001α ∙sin 2α
133. Хэрэв tgα=12бол 2 sin2α−4 sinα ∙ cosα+1
7 sinα ∙ cosα+4 cos2α−1илэрхийллийн утгыг ол. 2sin 2α−4 sinα ∙ cosα+1
7 sinα ∙ cosα+4cos2α−1=
3 sin2α−4 sinα ∙ cosα+cos2α7 sinα ∙ cosα+3 cos2α−sin2α
=3 tg2α−4 tgα+17 tgα+3−tg2α
=3 ∙ 1
4−4 ∙ 1
2+1
7 ∙ 12+3−1
4
=−125
134. Хэрэв tgα=13бол 2 sin4α−3 sin2α+1
3+cos2α−2cos4αилэрхийллийн утгыгол .
2sin 4α−3sin2α+13+cos2α−2cos4α
=2 sin4∝−3 sin2∝+¿¿
20 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
135.
tgα=23ү ед sinα−2 cosα
cos3α−3sin 3αилэрхийллийн утгыг ол sinα−2cosα
cos3α−3sin3α=
( sinα−2cosα )(sin2α+cos2α)cos3α−3sin3α
= sin3α−2cosα ∙ sin2α+cos2α ∙ sinα−2cos3αcos3α−3 sin3α
= tg3α−2 tg2α+tgα−21−3tg3α
=( tgα−2 )(tg2α+1)
1−3 tg3α=
( 23−2)( 4
9+1)
1−3∙ 827
=−17 13
136. tgα=0.6ү ед (sinα+cosα)3+2(sinα−cosα)(sinα−cosα)3−7(sinα+cosα)
илэрхийллийн утгыгол
(sinα+cosα )3+2(sinα−cosα )(sinα−cosα)3−7(sinα+cosα)
=(sinα+cosα )3+2 ( sinα−cosα ) (sin2α+cos2α )(sinα−cosα )3−7 (sinα+cosα ) (sin 2α+cos2α )
=(tgα+1 )3+2 ( tgα−1 ) (tg2α+1 )(tgα−1 )3−7 (tgα+1 ) (tg2α+1 )
=−47239
137. sinα−cosα=a , sin3α−cos3α=bбол x , y−г зайлуулж ,a ,b−н холбоогтогтоо
sinα−cosα=a❑⇒a2=1−2 sinα ∙ cosα❑
⇒sinα ∙cosα=1−a2
2b=sin3α−cos3α= (sinα−cosα ) ∙ (1+sinα ∙ cosα )=a ∙(1+ 1−a2
2 )=a2∙ (3−a2 )❑
⇒2b=a (3−a2 )
138.asinα+bcosα=acosα−bsinα=cбол a ,b , c−н холбоогтогтоо
Өгөгдсөн нөхцлөөс: a2sin2α+2absinα ∙ cosα+b2 cos2α=c2
a2cos2α−2absinα ∙ cosα+b2 sin2α=c2 эдгээрийгбаруун , зүү нталаарнь нэмбэлa2+b2=2c2болно.
139. sinα−cosα=a tgα−ctgα=bбол a,b-н холбоог тогтоо
B
¿ tgα−ctgα= sin2α−cos2αsinα ∙ cosα
=( sinα−cosα ) (sinα+cosα )
sinα ∙cosα=a ∙ (sinα+cosα )sinα ∙ cosα
sinα−cosα=a❑⇒
1−2 sinα ∙ cosα=a❑⇒sinα ∙ cosα=1−a2
2нө гөөталаас (sinα+cosα)2=1+2 sinα ∙ cosα=1+2 ∙ 1−a2
2=2−a2тул|sinα+cosα|=√2−a2иймд|b|=2a∙√2−a2
1−a2
140. tg
α+ctgα=a 1sinα
+ 1cosα
=bбол a ,b−н холбоогтогтооa=tgα+ctgα= sinαcosα
+ cosαsinα
= 1sinα ∙ cosα
❑⇒sinα ∙ cosα=1
aн өг өөталаасb2= 1
sin 2α+ 1
cos2α+ 2sinα ∙ cosα
=1+ctg2α+1+tg2α+ 2sinα ∙ cosα
=2+(tgα+ctgα )2−2+ 2sinα ∙ cosα
=(tgα+ctgα )2+ 2sinα ∙ cosα
=a2+2aтул b2=a2+2a
141.sinα−cosα=a sin3α+cos3α=bбол a,b-н холбоог тогтоо
b=(sinα+cosα ) (1−sinα ∙ cosα )=(sinα+cosα )(1−1−a2
2 )н өг өөталаас(sinα+cosα )2=(sinα−cosα)2+4 sinα ∙ cosα=a2+4 ∙ 1−a2
2тул|sinα+cosα|=√a2+2 (1−a2 )=√2−a2иймд b=√2−a2 ∙ 1+a2
2❑⇒
2b=(a2+1 )√2−a2
142. sinα−cosα=a tg2α+ctg2α=bбол a,b-н холбоог тогтоо
b= sin4α+cos4αsin2α ∙ cos2α
=1−2sin2α ∙cos2αsin 2α ∙cos2α
−2= 4( 1−a2 )2−2❑
⇒b= 4
(1−a2 )2−2
143. sin3αcosα
+ cos3αsinα
=a sinαcos3α
+ cosαsin 3α
=bбол a ,b−н холбоогтогтоо
a= sin4α+cos4αsinα ∙ cosα
b= sin4α+cos4αsin3α ∙cos3α
тул ab=sin2α ∙cos2α❑
⇒sinα ∙ cosα=√ ab
21 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
144. sinαcos2α
+ cosαsin 2α
=a tgα+ctgα=bбол a,b-н холбоог тогтоо
b= sinαcosα
+ cosαsinα
= 1sinα ∙ cosα
❑⇒sinα ∙ cosα=1
ba= sin3α+cos3α
sin2α ∙cos2α=
( sinα+cosα )(1−sinα ∙ cosα)sin2α ∙cos2α
=√1+2 sinα ∙ cosα (1−sinα ∙cosα )
sin 2α ∙cos2α=b2 √1+ 2
b (1−1b )❑⇒ a=(b−1 ) √b2+2b
145.sinα+cosα=a sin 2α+cos2α=bболa ,b−н холбоогтогтоо
ө гө гдс өннө хцлөөс a2=1+sin 2α❑⇒
sin 2α=a2−1иймд|cos2α|=√1−(a2−1 )2=√2a2−a4=|a|∙√2−a2тулb=a2−1+|a|√2−a2
146.sinα+cosα=a sin 3α+cos3α=bбол a ,b−нхолбоогтогтоо
sin 3α=3 sinα ∙cos2α−sin3α cos 3α=cos3α−3cosα ∙ sin2αтулb=3 sinα ∙cos2α−sin3α+cos3α−3 cosα ∙ sin2α=(cosα−sinα ) (1+4 sinα ∙cosα )баsinα ∙cosα=a2−12
|cosα−sinα|=√(cosα+sinα)2−4 sinα ∙cosα=√a2−2 (a2−1 )=√2−a2иймд b=√2−a2 (1+2 (a2−1 ))=(2a2−1 )√2−a2
147. хэрэвtg2α=2tg2 β+1болcos 2α+sin2 β=0батал tg2α+1=2 tg2 β+2=2 (tg2β+1 )❑⇒
1cos2α
= 2cos2 β
❑⇒
cos2 β=2 cos2α❑⇒
cos2 β−1=2cos2α−1❑⇒−sin2β=cos2α❑
⇒cos2α+sin 2β=0
148. хэрэв cosαp
= sinαq
бол pcos 2α+qsin 2α=pбатал
Өг өгдс өннө хцө лёсоор psinα=qcosα❑⇒sinα= q
pcosα q2
p2 cos2α+cos2α=1❑⇒
cos2α ( q2+ p2
p2 )=1❑⇒cosα= p
√ p2+q2тул sinα= q
√ p2+q2
иймд pcos2
α+qsin2α=p (cos2α−sin2α )+2qsinα ∙ cosα=p ∙ p2−q2
p2+q2 +2q ∙ pqp2+q2=
p3−pq2+2 pq2
p2+q2 =p ( p2−q2+2q2 )
p2+q2 =p ( p2+q2)p2+q2 =p
149. Хэрэв acosα=bcosy бол ctg α+ y2
∙ ctg α− y2
= a+ba−b
батал
Өгөгдсөн нөхцөл ёсоор cos
α=bacosy=a
bиймд cosα+cosγ
cosγ−cosα= a+ba−b
тэгвэл ctg α+ y2
ctg α− y2
=2cos α+ y
2∙cos α− y
2
2sin α+ y2
∙ sin α− y2
= cosα+cosycosy−cosα
= a+ba−b
150. хэ рэв atgα+btgβ=(a+b ) tg α+β2
бол acosβ=bcosα болохыгбатал
ө гө гдс өннө хцлөөс a(tgα−tg α+b2 )−b(tg α+β
2−tgβ)=0❑
⇒a ( sinαcosα
−sin α+β
2
cos α+ β2
)−b( sin α+β2
cos α+ β2
− sinβcosβ )=a∙
sin α−β2
cosα ∙cos α+ β2
−b ∙sin α−β
2
cosβ ∙ cos α+β2
=0❑⇒
sin α−β2 ( a ∙ cosβ−bcosα
cosα ∙ cosβ ∙cos α+β2 )=0❑
⇒
acosα
− bcosβ
=0❑⇒acosβ−bcosα=0 (ү ргэлжлэл28−рнүү рнээс )
151.Хэрэвsin4αa
+ cos4αb
= 1a+b
бол sin8αa3 + cos8α
b3 = 1(a+b )3
батал
22 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
sin4αa
+(1−sin2α )2
b= 1a+b
❑⇒
(a+b )b ∙ sin4 α+(1−2sin 2α+sin4α )a (a+b )=ab❑⇒
(ab+b2) sin 4α+a2+ab−2a (a+b )sin2α+ (a2+ab ) sin4α=ab❑⇒
(a+b )2 sin4α−2a (a+b ) sin2α+a2=[ (a+b ) sin2α−a ]2=0❑⇒
sin2α= aa+b
үү ний адиалаа
рcos2α= ba+b
гэжолжболно .Иймд sin8αa3 + cos8α
b3 =(sin 2α )4
a3 +(cos2α )4
b3 = a4
(a+b )4a3 + b4
(a+b )4b3 =1
(a+b )3
152. Хэрэв sinαa
= sin 2αb
= sin 3αc
= sin 4 αd
бол a+cb
=b+dc
болохыг батал
ө гө гдс өннө хцлийг sinα=at sin 2α=bt sin 3α=ct sin 4α=dt гэжбичижболно. Иймд a+cb
=at+ctbt
= sinα+sin 3αsin 2α
=2sin 2α ∙cosαsin 2α
=2cosα (1 )н өг өөталаас b+dc
=bt+dtct
= sin 2α+sin 4 αsin 3α
=2 sin 3α ∙cosαsin 3α
=2cosα (2 )
(1)(2)❑⇒
a+cb
=b+dc
болно .
153.Хэрэвsinαx
= sin 3αy
= sin 5αz
бол x−2 y+zy
= y−3 xx
болохыгбатал
Нөхцөл ёсоор
sinα=tx sin 3α=ty sin 5α=tz нэг талаас x−2 y+zy
=
sinαt
−2∙ sin3 αt
+ sin 5αt
sin 3αt
= sinα−2sin 3α+sin 5αsin 3α
=2sin 3α ∙cos2α−2 sin3 αsin 3α
=2 cos2α−2нөг өөталаас y−3 xα
=sin 3α−3 sinαsinα
=3 sinα−4sin3α−3 sinαsinα
=−4 sin 2α=−4 (1−cos2α )=4 cos2α−4=2 (2cos2α−1 )−2=2 cos2α−2тул x−2 y+zy
= y−3xx
154. Хэрэв tgα баtgβ квα 2+pα+q=0тэгшитгэлийншийдүү дбол
sin2 (α+ β )+ psin (α+β ) cos (α+β )+qcos2 (α+β )илэрхийлэл p−ээс хамаарахгү йбатал
Виетийнтеоромёсоор tgα+ tgβ=− p tgα ∙ tgβ=qтул tg (α+β )= tgα+tgβ1−tgα ∙tgβ
= − p1−q
= pq−1
иймдsin2 (α+β )+ p ∙ sin (α+β ) cos (α+β )+qcos2 (α+β )=cos2 (α+β ) ∙ (tg2 (α+β )+ ptg (α+β )+q )= 11+ tg2 (α+ β ) ( p2
(q−1 )2+ p2
q−1+q)= 1
1+ p2
(q−1 )2
∙ p2+ p2 (q−1 )+q (q−1 )2
(q−1 )2=p2+ p2q−p2+q (q−1 )2
(q−1 )2+ p2 =q
155. Хэрэв
α ,β , γнь арифметикийнпрогресс үү сгэдэг бол sin (α+β)sin (α−β )
−sin (β+γ )sin ( β−γ )
=2 cos2 βбатал . Хэрэв α−β=x α+γ=2 βиймд : sin (α+β )sin (α−β )
−sin (β+γ )sin (β−γ )
=sin (α+β )−sin( β+γ )
sinα=
2 cos2 β ∙ sin ( α−γ2
)
sinα=2cos2 β ∙ sinα
sinα=2 cos2 β
156.ABC△−ыхувьд дараах адилтгалыгбатал.
a−ba+b
=tg A−B
2
tg A+B2
синус үү дийнтеоромоорa=2RsinA b=2RsinBтул a−ba+b
=2RsinA−2RsinB2RsinA+2 RsinB
= sinA−sinBsinA+sinB
=2 sin A−B
2cos A+B
2
2sin A+B2
∙cos A−B2
=tg A−B
2
tg A+B2
157. ABC △−ы хувьд (b+c ) cosA+ (a+c ) cosB+ (a+b )cosC=2 pбатал
ABC△-ы өндрүүдийг татав
a=BQ+QC=ccosB+bcosC
b=AW+WC=ccosA+acosC
23 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
c=AE+EB=bcosA+acosBэдгээрийг нэмбэл
a+b+c=2p=bcosA+ccosA+acosB+ccosB+acosC+bcosC=(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC
158. ABC △-ыхувьд
sin2 Aa2 = cosA ∙cosB
ab+ cosA ∙ cosC
ac+ cosB ∙cosC
bc
cosA ∙ cosBab
+ cosA ∙cosCac
+ cosB ∙cosCbc
−дabsinC=2 s acsinB=2 sbcsinA=2 s−г хэргэвэл
cosA ∙ cosBab +
cosA ∙ cosCac +
cosB ∙ cosCbc =
cosAcosBsinC2 s +
cosAcosCsinB2 s +
cosBcosCsinA2 s =
cosA (cosBsinC+cosCsinB )2 s +
cosBcosCsinA2 s =
cosA ∙ sin (B+C )+cosBcosCsinA2 s =
cosA ∙ sin (π−A )+cosBcosCsinA2 s =
sinA [cos (π−(B+C ) )+cosBcosC ]2 s =sinA ¿¿
159. Аливаа △-ыөнцгүүдийн хувьд cos2B+cos2C+2 cosAcosBcosC=sin2 A батал
cos2B+cos2C−sin2 A=−2cosAcosBcosCболохыг батлаяcos2B+cos2C−sin2 A=cos2B+cos2 ( A+B )−sin2 A=cos2B+cos2 A cos2B−2cosAcosB ∙ sinAsinB+sin2 A ∙ sin2B−sin2 A=cos2B+cos2 A cos2B+sin 2 A (1−cos2B )−sin2 A−2cosAcosB ∙ sinAsinB=cos2B+cos2 Acos2B+sin2 A−sin2 A cos2B−sin2 A−2cosAcosBsinAsinB=cos2B+cos2 A cos2B−(1−cos2 A ) cos2B−2cosAcosBsinAsinB=cos2B+cos2 A cos2B−cos2B+cos2 A cos2 B−2cosAcosBsinAsinB=2cos2 Acos2 B−2cosAcosBsinAsinB=2cosAcosB (cosAcosB−sinAsinB )=2cosAcosB ∙cos ( A+B )=−2cosAcosBcosC
160. ABC △-ыхувьд
asin(B-C)+Bsin(C-A)+C∙ sin (A−B )=0батал
asin (B−C )+Bsin (C−A )+C ∙sin ( A−B )=2 R (sinAsinBcosC−sinAsinCcosB+sinBsinCcosA−sinBsinAcosC+sinAsinCcosB−sinBsinCcosA )=0
161. ABCD 4 өнцөгтийн хувьд sinA+sinB+sinC+sinD=4sinA+B
2sin A+C
2sin B+C
2батал
sinA+sinB+sinC+sinD=sinA+sinB+sinC-sin(A+B+C)=2 sinA+B
2cos A−B
2−2sin A+B
2cos A+B+2C
2=2 sin A+B
2 (cos A−B2
−cos A+B+2C2 )=4 sin A+B
2sin A+C
2sin B+C
2
162. ABCD 4 өнцөгтийн хувьд sinA-sinB+sinC-sinD=4cosA+B
2sin A+C
2cos B+C
2батал
sinA-sinB+sinC-sinD=sinA
−sinB+sinC+sin ( A+B+C )=2cos A+B2
sin A−B2
+2sin A+B+2C2
∙ cos A+B2
=2cos A+B2 (sin A−B
2+sin A+B+2C
2 )=4 cos A+B2
∙ sin A+C2
cos B+C2
163. Эерэг x,y,z тоонуудын хувьд tg(lgxy )+tg(lg
yz )+tg(lg
zx )=tg(lg
xy )∙tg(lg
yz )∙tg(lg
zx ) тэнцэтгэл
биелэхийг батал.
lg xy=α lg y
z=β lg z
x=γ гэвэл өг өгдс өнтэнцэтгэл tgα+tgβ+ tgγ=tgα ∙ tgβ ∙ tgγ хэлбэртэйболно .Үү нийг tgα+tgβ+tgγ−tgα ∙ tgβ ∙tgγ=0 хэлбэртэй бичвэл tgα+ tgβ+tgγ (1−tgβ∙ tgγ )=0❑
⇒
tgα+ tgβ1−tgβ ∙ tgγ
+tgγ=0❑⇒tg (α+β )+tgγ=0❑
⇒
sin (α+β+γ )cos (α+ β)cosγ
=0❑⇒
sin (α+β+γ )=0❑⇒α+β+γ=πk тулөг өгдс өнтэнцэтгэл биелнэ.
164. 3 ° ,21 ° ,39 ° ,57 ° ,…өнцг үү дарифметикийн прогрессүү сгэж байв .Энэпрогрессийн дурын
дараалсан 10 гишүүний синусүүдийн үржвэр 1
1024тэнц үү болохыгбатал
sin (180 °+α )=−sinαбаө нцгүү ддэс дараалан18°−рөс ө хтул дараалласан
24 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
гишүүдийн утгууд модулиараа 10 үетэйгээр өөрчлөгдөнө. Иймд эхний 10 гишүүнийг авч үзэхэд хангалттай. Иймээс sin3° ∙sin 21° ∙ sin 39 ° ∙ sin 57 ° ∙sin 75° ∙ sin 93° ∙ sin 111° ∙ sin 129 ° ∙ sin 147 ° ∙ sin 165°−г олъё .Энд sin 3α=4 sinα ∙sin (60 °−α ) sin (60 °+α )
cos3α=4 cosα ∙cos (60°−α )cos (60°+α )томъёонуудыг хэрэглэе .
sin3
° ∙sin 21 ° ∙ sin 39 ° ∙ sin 57° ∙sin 75° ∙ sin 93° ∙ sin 111° ∙ sin 129 ° ∙ sin 147 ° ∙ sin 165°=4sin 3 ° ∙ sin 57 ° ∙ sin 63 °4 sin 63 °
∙ 4 sin 21° ∙sin 39 ° ∙sin 81 °4 sin 81°
∙ 4sin 27 ° ∙ sin 147 ° ∙ sin 93 °4 sin 27 °
∙ 2 sin 75° ∙ sin 165°2
∙ 4 sin 9 ° ∙sin 111 ° ∙ sin 129°4sin 9 °
= sin 9 °4 sin 63°
∙ sin 63 °4 sin 81 °
∙ sin 30 °2
∙ sin 81°4 sin 27 °
∙ sin 27°4sin 9 °
= 145
= 11024
165. sin3α (1+ctgα )+cos3α (1+tgα )<m4+1m2 болохыгбатал .
1+ctg
α=sinα+cosα
sinα тулsin3(sinα+cosα )
sinα =sin2α (sinα+cosα )болно .Үү нийадил cos3α (1+tgα )=cos2α (sinα+cosα )тул sin3α (1+ctgα )+cos3α (1+tgα )=sinα+cosα болно .Н ө гөөталаас m4+1m2 =m2+
1m2 ≥2√m2∙ 1
m2 =2❑⇒m2+ 1
m2 ≥2.ба
¿¿
Sinα+cosα≤2тул sin3α (1+ctgα )+cos3α (1+ tgα )=sinα+cosα ≤2≤ m4+1m2
166. Хэрэв α−хурцөнц өгбол 12< sinα
1+sinα+ cosα
1+cosα< 6
7батал
Нэг талаас sinα
1+sinα+ cosα
1+cosα−1
2=2 sinα+2 sinα ∙ cosα+2 cosα+2 sinα ∙cosα
2 (1+sinα )(1+cosα)−1+sinα+cosα+sinα ∙ cosα
2 (1+sinα )(1+cosα )= sinα+cosα−1+3 sinαcosα
2 (1+sinα )(1+cosα )болно .Эндα−хурцө нцөгтул sinα+cosα>1тул sinα+cosα−1+3 sinαcosα
2 (1+sinα )(1+cosα)>0байна . Н өг өөталаас 6
7−( sinα
1+sinα+ cosα
1+cosα )=6−( sinα+cosα )−8 sinαcosα7 (1+sinα )(1+cosα )
болно .α−хурцөнцө гтул sinα+cosα<2 8 sinαcosα=4sin 2α<4тул6−(sinα+cosα )−8 sinαcosα>0тул 6− (sinα+cosα )−8 sinαcosα7 (1+sinα )(1+cosα)
>0байна
167. 0,4≤ sin4α1+sin 4α
+ cos4α1+cos4α
≤0,5батал
Нэг талаас
sin4α1+sin4α
+ cos4α1+cos4α
−25=3sin4α+3cos4α−2+8sin 4α cos4α
5 (1+sin4α )(1+cos4α)=1+8sin 4α cos4α−6 sin2α cos2α
5 (1+sin 4α ) (1+cos4α)=
( 1−4 sin2α cos2α )(1−2sin2α cos2α )
5 (1+sin4α )(1+cos4α )=
( sin2α−cos2α )2(sin4α+cos4α)
5 (1+sin4α )(1+cos4α )≥0нөг өөталаас 1
2−( sin4α
1+sin 4α+ cos4α
1+cos4α )=1−sin 4α−cos4α−3sin4α cos4α2 (1+sin4α )(1+cos4α)
=2 sin2α cos2α−3 sin 4α cos4α2 ( 1+sin4α )(1+cos4α)
=sin2α cos2α(1−3
2sin2α cos2α )
(1+sin2α )(1+cos2α )≥0
байна. Энд 32
sin2α cos2α=38
sin2 2α ≤ 38<1байна .
168.1+ tgα+ctgαsin2α+ tgα
− ctgαcos2α+tg2α−ctg2α
< a4+12a2 батал
Нэг талаас 1+ tgα+ctgα
1cos 2α
+ tgα− ctgα
1sin 2α
+tg2α−ctg2α=1+tgα+ctgα
1+tg2α+tgα− ctgα
1+ctg2α+tg2α−ctg2α= 1+ tgα+tg2αtgα (1+tgα+tg2α )
− 1tg ( 1+ tg2α )
= 1tgα ( 1+tg2α−1
1+tg2α )= tgα1+tg2α
= sinα
cosα ∙ 1cos2α
=12
sin 2α≤ 12
Нөгөө талаас a4+12a2 =a2
2+ 1
2a2=12 ( a2
1+ 1a2 )≥ 1
22√a2∙ 1
a2 ≥1тулө гө гдс өнтэнцэтгэлбишү нэнбайна .
25 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
169. cos(3π2
+α)∙cos (2π−x ) ∙ ctg( π2 −α)−sin (π−x )cos (2 π−x ) ctg( 3π2
−x )>4 y−2 y2−3баталНэг
талаас cos(3π2
+α)cos
(2π−α ) ctg( π2 −α )−sin (π−α ) cos (2π−α ) ctg( 32π−x)=sinα ∙ cosα ∙ tgα−sinα ∙ cosα ∙tgα=0нөг өөталаас 4 y−2 y2−3=−(2 y2−4 y+3 )=−2 ( y2+2 y+1 )−1=−( y+1 )2−1<0тулө гсө нтэнцэтгэлбишү нэн
170. sin2( π2−α )+sin2 (π+2α )
ctg2 (2 π−α )−sin (α−2π ) cos(α+ π2 )
≤|x|+|x−2|+ x−1батал
sin2( π2−α)+sin2 (π+2α )
ctg2 (2 π−α )−sin (α−2π ) cos(α+ π2 )
= cos22α+sin22α
tg2α+cosα ∙ 1cosα
= 11+ tg2α
= 1cos2α
≤1нөг өөталаас
xϵ ¿−∞,0¿¿−д – x+2−x+x−1=1−x>1
xϵ [0 ,2 ]−тx+2−x+x−1=1+x>1
xϵ ¿2 ,+∞ [−д x+x−2+x−1=3 x−3=3 (x−1 )>1тул xϵ ]−∞,+∞¿
171. 0,4¿ sin 4α1+cos4 α
+ cos4α1+sin 4α
≤1батал
Нэг талаас sin 4α
1+cos4 α+
cos4α1+sin 4α
−25=
5sin4α+5sin 8α+5cos4α−5cos8α5 (1+cos4α )(1+sin 4α)
−2+2 cos4α+2 sin 4α+2 sin4α cos4 α
5 (1+cos4α ) (1+sin4α)=
3 sin4α+5sin 8α+3 cos4α+5 cos8α−2sin 4α cos4α−25 ( 1+cos4α )(1+sin 4α )
=5(sin 4α−cos4α )2+3 (sin2α−cos2α )2−2 (1−3 sin2α cos2α−4 sin4α cos4α)
5 (1+cos4α ) (1+sin4α)=
8(sin2α−cos2α)2−2 (1+sin 2α cos2α )(1−4sin2α cos2α )
5 (1+cos4α )(1+sin4α )=
2 (sin2α−cos2α )2(3−sin2α cos2α )
5 (1+cos4α ) (1+sin4α)≥0
Нөгөө талаас 1-( sin 4α1+cos4 α
+ cos4α1+sin 4α
)=
1−sin 4α−cos4 α−sin8α−cos8α(1+cos4α )(1+sin4α )
=1−(sin 4α+cos4α)2+sin 4α cos4α
(1+cos4α )(1+sin4α )=
4 sin2α cos2α ( cos4 α+sin 4α )+5 sin4α cos4α( 1+cos4α )(1+sin 4α )
≥0
172. Хэрэв α−хурцөнц өгбол 1cosα
+ 1sinα
≥2√2батал
1cosα
+1
sinα≥2√ 1
sinαcosα=2√ 2
sin 2α≥2√2
173. 2sin2α+2cos2α ≥2√2батал
2sin2α+2cos2α ≥2√2sin2α ∙2cos2α=2 ∙√2sin2α+cos2α=2√2
174. 2sinα ∙3cosα<4батал
2 талыг 10 суурьтайгаар логарифмчилбал sinαlg2+cosαlg3<2lg 2болно .Н ө гөөталаас asinα+bcosα ≤√a2+b2тул sinαlg 2+cosαlg3≤√lg22+lg2 3<√0,3012+0,482<√0,34<0,6<2lg 2
26 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
175. lg2≈0,301lg 3≈0,477−гтооцон tg1 °+ tg2 °+ tg3 °+…+tg 44 °>44 (√2−1 )батал
Хэрэв 0<α<x<45 ° болtg (x−α )+ tg ( x+α )= sin 2αcos2α cos2α−sin 2α sin2α
> 2 sinαcosαcos2α
=2 tgα тул
tg1 °+tg 44 °>2 tg 45 °2
tg2°+tg 43 °>2tg 45°2
--------------------
tg22°+tg23 ° °>2tg 45 °2
эдгээрийгнэмбэл
tg1 °+tg2 °+…+tg 44 °>2 ∙22tg 45°2
=44 (√2−1 )
176. y=√sin4α+4 cos2α+√cos4α+4 sin2αфункцийн графикийгбайгуул .
√sin4α+4 cos2α+√cos4α+4 sin 2α=√(1−cos2α )2+4 cos2α+√ (1−sin 2α )2+4 sin2α=1+cos2α+1+sin2α=3тул y=3шугам байна .
177. y=√sin 4α+cos2α+√cos4α−cos2αфункцийн графикийгбайгуул .
√sin4α+cos2α+√cos4α−cos 2α=√sin 4α+1−2sin 2α+√cos4α−( 2cos2α−1 )=1−sin2α+1−cos2α=1
178. y=√9−cos2α+8 sinα+√9−cos2α−8 sinα функцийнграфикийгбайгуул .
√9−cos2α+8 sinα+√9−cos2α−8 sinα=√9−(1−2 sin2α)+8 sinα+√9−(1−2 sin2α )−8 sinα=√2(4+4 sinα+sin2α )+√2(4−4 sinα+sin 2α )=√2 (2+sinα )+√2 (2−sinα )=4 √2
179. y=√2+sin 4α−cos2α+√2+cos4α+cos2αфункцийн графикийгбайгуул .
√2+sin4α−cos2α+√2+cos4α+cos 2α=√2+sin 4α−(1−2sin 2α )+√2+cos4α+2cos2α−1=1+sin2α+1+cos2α=3
180. y=√4 sin4 α−2 cos2α+3+√4 cos4 x+2cos2α+3функцийн графикийгбайгуул .
√4 sin4α−2 cos2α+3+√4cos4 x+2 cos2α+3 =√4 sin4α−2 (1−2 sin2α )+3+√4 cos4 x+2 (2cos2α−1 )+3=2sin2α+1+2cos2α+1=4
11-р анги
181. S=arctg13+arctg 1
7+…+arctg 1
n2+n+1нийлбэрийг ол
Arctg(n−1 )−n1+n (n+1 )
=arctg (n+1 )−arctgn−г ашиглая
S=(arctg2-arctg1)+(arctg3-arctg2)+(arctg4-arctg3)+…+(arctg(n+1)-arctgn)=arctg(n+1)-
arctg1=arctgn+1−1
1+1∙ (n+1 )=arctg n
n+2
27 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
182. S=arctg12+arctg 1
8+arctg 1
18+…+arctg 1
2n2 нийлбэрийг ол
tg(arctg1
2n−1 - arctg1
2n+1)=
tg (arctg 12n−1 )−tg(arctg 1
2n+1)
1+ tg(arctg 12n−1 ) tg(arctg 1
2n+1)=
12n−1
− 12n+1
1+ 12n−1
∙ 12n+1
=2n+1−2n+14n2+1−1
= 12n2 тул
arctg
12n2=arctg 1
2n−1−arctg 1
2n+1иймдS=(arctg1−arctg 1
3 )+(arctg 13−arctg 1
5 )+(arctg 15−arctg 1
7 )+…+(arctg 12n−1
−arctg 12n+1 )=arctg1−arctg 1
2n+1=arctg
12∙1−1
− 12n+1
1+ 12 ∙1−1
∙ 12n+1
=arctgn
n+1
183. S=arctg3+arctg7+arctg13+…+arctg(n2+n+1) нийлбэрийг ол
tg(arctgk+arctg1k )=
tg(arctgk )+tg(arctg 1k)
1−tg(arctgk ) tg (arctg 1k)=
k+ 1k
1−k ∙ 1k
=∞❑⇒
arctgk+arctg1k=π
2❑⇒
arctgk=π2−¿ arctg
1kиймд S=( π2 −arctg 1
3 )+(π2 −arctg 17 )+…+( π2 −arctg 1
n2+n+1 )= πn2
−arctg nn+2
(18-р бодлогыг үз)
184. tgα+tgβ+tgγ=tgα ∙ tgβ∙ tgγ болα , β , γ өнцг үү дийн хоорондын холбоогтогтоо
Tgα+tgβ+tgγ−tgα ∙ tgβ∙ tgγ=tgα+tgβ+tgγ (1-tgα ∙ tgβ)=0
❑⇒
tgα+ tgβ1−tgα ∙tgβ
+tgγ=0❑⇒tg (α+ β )+tgγ=0❑
⇒
sin (α+β )cos (α+β )
+ sinαcosα
=sin (α+β+γ )
cos (α+β )cosγ=0❑
⇒sin (α+ β+γ )=0❑
⇒α+β+γ=πk kϵz
185. cosα+cosβ+cosγ=1+4sin α2
sin β2
sin γ2болα ,β , γ өнцгүү дийн хоорондын холбоогтогтоо
cos α ,cosβ , cosγ−г давхарөнцгийнкосинусынтомъёгоор задалбал 1−2 sin2 α2+1−2 sin2 β
2+1−2sin 2 γ
2−1−4 sin α
2sin β
2sin γ
2
=0 Эндээс sin2 α2
+sin2 β2+sin2 γ
2−1+2sin α
2sin β
2sin γ
2=0❑
⇒(sin α
2+sin β
2sin γ
2)
2
-1+sin 2 β2
+sin2 γ2 -
sin2 β2∙ sin2 γ
2=0❑
⇒(sin α
2+sin β
2sin γ
2)
2
−(1−sin2 β2 )(1−sin2 γ
2)=0
❑⇒
(sin α2
+sin β2
sin γ2)
2
−cos2 β2
cos2 γ2=0❑
⇒ (sin α2+sin β
2sin γ
2−cos β
2cos γ
2 )(sin α2+sin β
2sin γ
2+cos β
2cos γ
2)
=0❑⇒
28 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
(sin γ2−cos β+γ
2 )(sin α2
+cos β−γ2 )=0❑
⇒ (cos ( π2 − γ2 )−cos β+γ
2 )(cos( π2 − γ2 )+cos β+γ
2 )эндээс ±α± β± γ
=π (4n−1 ) гэжгарна
186.sin2α+sin2β+sin2γ−2=2cosαcosβcosγ болα ,β , γ өнцгүү дийн хоорондын холбоотогтоо
sin2α+sin2β+sin 2γ−2−2cosαcosβcosγ=0❑⇒
1−cos2α+1−cos2β+1−cos2 γ−2−2cosαcosβcosγ=0❑⇒
cos2α+cos2β+cos2γ−1+2cosαcosβcosγ=0❑⇒(cosα+cosβcosγ)2−( 1−cos2α ) (1−cos2 γ )=0❑
⇒(cosα+cosβcosγ )2−sin 2β sin 2 γ=0❑
⇒( cosα+cosβcosγ−sinβsinγ ) (cosα+cosβcosγ+sinβsinγ )=0❑
⇒( cosα+cos (β+γ )) (cosα+cos (β−γ ) )=0❑
⇒2cos α+ β+γ
2cos α−β−γ
22cos α+β−γ
2cos α−β+γ
2=0❑
⇒
α+β+γ2
= π2+πk
α−β−γ2
=π2+πk α+β−γ
2=π
2+πk α−β+γ
2=π
2+πk❑
⇒±α ± β ± γ=π (2k+1 )
187. хэрэвtgα2tg β
2+ tg α
2tg γ
2+tg β
2tg γ
2=1 бол α ,β , γ ө нцгүү дийн хоорондын холбоотогтоо
tg α2tg β
2+ tg α
2tg γ
2+tg β
2tg γ
2=1❑
⇒tg α
2 (tg β2 + tg γ2 )=1−tg β
2tg γ
2❑⇒tg α
2∙tg β
2+tg γ
2
1−tg β2tg γ
2
=1❑⇒tg α
2tg β+γ
2=1❑
⇒
sin α2
sin β+γ2
cos α2
cos β+γ2
=1❑⇒
cos α2
cos β+γ2
−sin α2
sin β+γ2
=0❑⇒
cos( β+γ+α2 )=0❑
⇒
β+γ+α2
=π2+πk❑
⇒β+γ+α=π+2 πk
❑⇒β+γ+α=π (2k+1 )
¿¿
188. arcsin45+arccos 2
√5=arcctg 2
11батал
Батлах адилтгалын 2 талаас котангенс авбал
Ctg(arcsin45+arccos 2
√5)=ctg(arcsin 4
5 )ctg(arccos 2√5 )−1
ctg(arcsin 45 )+ctg(arccos 2
√5)
=211
нө гөө талаасctg(arcctg 211 )= 2
11
189. xϵ [ 12,1]болarccosx+arccos( x2 + 1
2 √3−3 x2)=π3батал
x=cosyорлуулга хийвэл x2+ 1
2 √3−3 x2=
12cosy+ √3
2siny=cos( π3 − y )болно .Иймдөг ө гдс ө надилтгалarccos (cosy )+arccos¿¿хэлбэртэй болно.
Эндээс y+(y-π3 )¿
π3болно .xϵ [ 1
2,1]❑⇒ cosyϵ [ 1
2,1]❑⇒ yϵ [0 , π3 ] ү едөг өгд өнтэнцэтгэл адилтгалболно.
190. arctg(3+2√2)- arctg√22
= π4батал
Өгөгдсөн тэнцэтгэлийн 2 талаас tg авбал
29 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
tg(arctg(3+2√2)- arctg√22
)=tg(arctg ( 3+2√2 )−arctg √2
2 )1+ tg(arctg (3+2√2 )∙ arctg √2
2 )=
(3+2√2 )−√22
1+ (3+2√2 ) ∙ √22
=1болно.
191. ABC △-ы ⊾A=⊾C=70 ° .△−ыдотор⊾MAC=30 °⊾MCA=50 °байхаар Mцэг авсанбол⊾MBC−гол .
өгөгдсөн нөхцлөөс ⊾BAM=40°⊾BCM=20 °байна .⊾MBC=x гэвэл ⊾MBA=40°−x синус үү дийнтеором
ёсоор MAMB
=sin(40 °−x )
sin 40 °MCMB
= sinαsin 20°
тул
MAMC
=sin(40°−x )
sinx∙ sin 20 °sin 40 °
болно .Н өг өөталаас MAMC
= sin50 °sin30 °
тул sin 50°sin 30°
= sin 40° ∙ctgα−cos 40°2cos20 °
❑⇒
4cos20 ° ∙cos 40 °=sin 40 ° ∙ ctgα−cos 40 °❑⇒ctgα= 4cos20 ° ∙cos 40 °+cos40 °
sin 40 °=
2 (cos20 °+cos 60° )+cos 40 °sin 40 °
=2 cos20 °+1+cos 40°sin 40°
=2 cos2 10°+2cos10° ∙cos 30°2sin20 ° ∙cos20°
=2 cos10° (cos10 °+cos30°)2∙2 sin10° cos10°cos 20°
=2 cos20° cos10 °2sin10 ° cos20 °
=ctg 10°❑⇒α=10 °
192. адил хажуут △-ы өндрүүдийн уртын нийлбэр нь түүнд багтсан тойргийн диаметрээс
4 12дахинихбол△−ыөнцгүү дийн хэмжээг ол .
Бодлогын нөхцөл ёсоор (1)
BB1+A A1+CC1=92∙2O B1
⊾ABC=180°−4α B B1=BC ∙sin 2α A A1=AB ∙sin(180°−4α ¿=BC ∙sin 4α
CC1=BC ∙sin(180°−4α ¿=¿BC∙ sin 4 αOB1=B1C ∙tgα=BC ∙cos2α ∙ tgα эдгээрү р
дүнгүүдийг (1)-д тавьбал BC(sin2α+4 sin2α ∙ cos2α)=9BC∙cos2α ∙ tgα❑
⇒tg2α+4 sin2α=9 tgα болно .Эндээс
4∙2 tgα
1+tg2α+ 2 tgα
1−tg2α=9 tgα (2 )tgα ≠0 , tg2 x= y гэвэл (2 )нь 9 y2−6 y+1=0❑
⇒y=1
3
tg2 x=13❑⇒tgα= 1
√3❑⇒α=30 °
30 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
193. AM,BM,CMцацрагууд ABC△−ыталуудтай α 1баα 2, β1ба β2 , γ1баγ 2өнцг үү дүү сгэдэг болsinα 1∙ sin β1 ∙ sin γ1=sinα2 ∙sin β2 ∙sin γ2батал
Синусуудийн теором ёсоор MBMA
=sin α 2
sin β1
MCMB
=sin β2
sin γ 1
MAMC
=sin γ 2
sin α1❑⇒
sin α 1 ∙ sin β1 ∙ sin γ 1=sin α 2 ∙ sin β2 ∙ sin γ2болно .
194. зөв 4 өнцөгт призмийн диагональ түүнтэй ерөнхий оройтой 3 талсттай 2:3:2 харьцаатай өнцгүүд үүсгэдэг бол эдгээр өнцгийн хэмжээг ол.
1 харьцаанд ноогдох тоог α гэвэл⊾C1 A B1=C1 A D1=2α ,⊾C1 AC1=3α болно.
AB=BC=CD=AD=aB B1=AA1=C C1=DD1=b гэе.
A
B1=AC1 ∙cos2α A D1=AC1 ∙cos2α AC=AC1 ∙cos3α эдгээрийг кв зэрэгтдэвшүү лжнэмбэл2cos2 2α+cos23α=2болно .Эндээс 1+cos4 x+ 1+cos6 x2
=2❑⇒
cos 6x+2 cos 4 x−1=0 cos 2x= y гэе .Тэгвэл4 y3+4 y2−3 y−3=0❑⇒
( y+1 ) ( 4 y2−3 )=0 y+1≠0❑⇒y=√3
2❑⇒
2α=30°❑⇒α=15 °иймд30 ° ,30 ° ,45 ° байна.
195. ABC △−ы хувьд (a2+b2 ) sin ( A−B )=(a2−b2 ) sin (A+B )биелдэгбол ABC нь адил хажуут,эсвэлтэгшөнцө гт△байхыг батал
Синусүүдийн теоромоор
a=2RsinA b=2RsinB тул (a2+b2)sin(A-B)=4R2 (sin2 A+sin2B )∙ sin (A−B )
(a2−b2)sin(A+B)=4R2 (sin2 A−sin 2B ) ∙sin ( A+B )болно. Иймдөг өгдс өнтэнцэтгэл
4R2 [ (sin2 A+sin2B )∙sin ( A−B )−(sin2 A−sin2B ) sin ( A+B ) ]=0❑⇒
sin 2 A ¿
196. Хэрэв sinA2
cos2 B2
=sin B2
cos2 A2бол ABC нь адил хажуут△ болохыг батал.
SinA2 (1−sin2 B
2 )=sin B2 (1−sin2 A
2 )❑⇒ sin A2
−sin A2
sin2 B2
−sin B2+sin B
2cos2 A
2=sin A
2−sin B
2+sin A
2sin B
2 (sin A2
−sin B2 )=(sin A
2−sin B
2 )(1+sin A2∙ sin B
2 )=0энд1+sin A2∙ sin B
2>0❑
⇒sin A
2=sin B
2❑⇒⊾A=⊾B
197. ABC △−ы хувьд⊾ A=2α⊾B=3α⊾C=4α бол tg2α=( 2ba+c )
2
−1батал
31 47-р сургууль С.Бямбаа
[Type the document title] [Year]
2α+3 α+4α=180 °❑⇒α=20 °тулABC △−ыө нцгүү д 40° ,60° ,80 ° байна. Иймдсинус үү дийнтеором
b=2Rsin60° a=2Rsin40° c=2Rsin80°байх тул 2b=4Rsin60. Иймд ( 2ba+c )
2
−1=
( 4 Rsin60 °2Rsin 40 °+2Rsin80 ° )
2
−1=( 2 sin 60°sin 40°+sin 80 ° )
2
−1=( 12 sin 60 ° ∙cos20 ° )
2
−1= 1cos220 °
−1=1+tg2 20°−1=tg220 °=tg2α болно .
198. Хэрэв cosA+cosB=4sin2 c2бол ABC△−ыa ,b ,c талууд арифметик прогресс үү сгэхийгбатал
Өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийг 2cosA+B
2cos A−B
2=4 cos2 A+B
2гэжбичвэл эндээс2 cos A+B
2=cos A−B
2болно .2талыг sin A+B
2−р ү ржв эл2cos A+B
2sin A+B
2=cos A−B
2sin A+B
2❑⇒
2∙ 12 (sin (A+B )+sin 0 )=1
2(sinA+sinB )❑
⇒sin ( A+B )=1
2(sinA+sinB )❑
⇒sin (π−c )=1
2(sinA+sinB )❑
⇒sinc=1
2( sinA+sinB )❑
⇒2 ∙ c
2R= a
2 R+ b
2 R❑⇒c=a+b
2болно
199. Хэрэв ABC △−ы хувьд asinB+bsinA=2mтэнцэтгэлбиелжбайвал энэнь адил хажуут△ болохыг батал (m−медианы урт )
h=asinB=bsinAтул asinB+bsinA=2m=2h❑⇒h=mИймдө ндө р ,медиан2давхцажбайгаатулABC нь
адил хажуут △
200. ABC
△−ы хувьд √sinA√sinB+√sinC−√sinA
+ √sinB√sinA+√sinC−√sinB
+ √ sinC√sinB+√sinA−√sinC
≥3тэнцэтгэл бишбиелэхийгбатал
a:b:c=sinA:sinB:sinC(синусүүдийн теоромоор) тул өгөгдсөн тэнцэтгэл биш
√a√b+√c−√a
+ √b√a+√c−√b
+ √c√b+√a−√c
≥3тэнцэтгэлбиштэй адилболно .Энднэмэгдэх үү нтус б ү рийн хуваарь , х ү ртвэр үү дб ү г д эерэг
√b+√c−√a=x √a+√c−√b= y√b+√a−√c=z гэвэл y+z2
=√a x+z2=√b
x+ y2
=√cболох тул дээрх тэнцэтгэл биш нь y+ z2 x
+ x+z2 y
+ x+ y2 z
≥3 хэлбэртэйболно .Үү нийг
y+ z2 x
+ x+z2 y
+ x+ y2 z
= 12 ( yx + z
x+ xy+ zy+ xz+ yz )=1
2 [( xy + yx )+( xz + z
x )+( zy + yz ) ]
гэж хувиргаад нэмэгдэхүүн тус бүрд Кошийн тэнцэтгэл биш y+ z2 x
+ x+z2 y
+ x+ y2 z
≥ 12
(2+2+2 )=3болно.
БГД-ийн Тэргүүний 47-р сургуулийн математикийн багш С.Бямбаа
32 47-р сургууль С.Бямбаа