BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Teori fungsi peubah kompleks, yang seringkali disingkat peubah kompleks atau analisis

kompleks, adalah suatu yang paling menarik dan juga merupakan cabang matematika walaupun

asalny masih merupakan misteri, akan kenyataan adanya istilah “imajiner” . Meski begitu pada abad

ke – 19 diletakkan sebagai dasar pengetahuan melalui hasil kerja keras Cauchy, Riemann,

Weierstrass, Gauss dan matematikawan lainnya.

Ada beberapa disiplin ilmu yang terdapat dalam analisis kompleks. Salah satunya dan akan

dibahas pada makalah ini adalah fungsi harmonic. Fungsi dalam analisis kompleks merupakan

fungsi yang terdiri dari variabel yang bernilai real dan variabel yang bernilai imaginer. Suatu

fungsi kompleks f (z) u(x, y) iv(x, y) jika di deferensialkan didapatkan persamaan Cauchy-

Riemann ∂ u∂ x

= ∂ v∂ y dan

∂u∂ y

=−∂ v∂ x persamaan differensial tersebut jika kita differensialkan lagi

akan menghasilkan persamaan ∂2 f∂ x2 +

∂2 f∂ y2 =0yang biasa disebut fungsi harmonik

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana definisi dari fungsi harmonik?

2. Bagaimana penerapan fungs harmonik?

1.3 Tujuan Penulisan

1. Untuk mengetahui definisi fungsi harmonik.

2. Untuk memahami penerapan fungsi harmonik.

1

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 definisi fungsi harmonik

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang

kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = –vx Karena derifatif-derivatif parsial dari u

dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = –vx diderivatifkan parsial

terhadap x dan y maka "(x,y) ÎD berlaku :

uxx + uyy = 0

vxx = vyy = 0

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.

u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain

tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain

dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.

Dalam penyelesaiannya ada yang disebut cara milne Thompson, Cara yang lebih praktis

menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D

andaikan v(x,y) sehingga

f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D

f”(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)

sesuai persamaan C-R : f”(z) = ux(x,y) – iuy(x,y)

z = x + iy dan = x – iy sehingga diperoleh

f(z) = ux - iuy

Suatu identitas dalam z dan , jika diambil = z maka f’(z) = u x(z,0) – iuy(z,0) Jadi f(z) adalah fungsi yang

derivatifnya ux(z,0) – iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)

2

∂2 ϕ∂ x2 +

∂2 ϕ∂ y2 =0

x= z+ z2

dan y= z−z2i

( z+ z2

, z−z2i )( z+ z

2, z−z

2i )

2.2 Penerapan Fungsi harmonik

1. Misalkan u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy. Apakah u dan v fungsi harmonik?Perhatikan bahwa:

ux = 2x vx = 2y uxy = 0 vxy = 2

uy = -2y vy = 2x uyx = 0 vyx = 2

uxx = 2 vxx = 0

uyy = -2 vyy = 0

Karena ux = 2x = vy , uy = -2y = -vx , uxx + uyy = 2 + (-2) = 0 dan vxx + vyy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v memenuhi persamaan Laplace maka u dan v fungsi harmonik.

2. Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 12x3y, (x,y) ÎℂJawab : Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y) jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikian sehingga berlaku C-R u x

= vy dan uy = -vx ux = 4y3 – 12x2y vy = 4y3 – 12x2yuy= 12xy2 – 4x3 v= y4 – 6x2y2 + g(x)

karena vx = –uy maka –12xy2 + g’(x) = –12xy2 + 4x3 sehingga g’(x) = 4x3

diperoleh g(x) = x4 + CJadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C

3

3. Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy3 – 4x3y, (x,y) Î ℂ, jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.Jawab :

ux = 4y3 – 12x2yuy= 12xy2 – 4x3

f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0) = –i(– 4z3)

= 4iz3

sehingga f(z) = iz4 + Af(z) = i(x + iy)4 + A

= 4xy3 – 4x3y + i(x4 – 6x2y2 + y4) + A

4

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde

yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = –vx Karena derifatif-derivatif

parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = –vx

diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka "(x,y) ÎD berlaku :

uxx + uyy = 0

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2

dimensi.

u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain

tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu

domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.

3.2 SARAN

Setelah membahas materi mengenai fungsi harmonik penulis mengharapkan agar kedepan

materi Fungsi harmonik dikembangkan lebih jauh terutama mengenai perkembangan dari fungsi

harmonik sendiri. Selanjutnya penulis juga sendiri mengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun.

5

∂2 ϕ∂ x2 +

∂2 ϕ∂ y2 =0