Capítulo 1

Teoría de Juegos Cooperativos

1.1 Introducción

La Teoría de Juegos es una rama de las matemáticas relativamente moderna que

estudia problemas de decisión en los que interaccionan varios decisores. Aunque la

teoría de juegos fue fundada por von Neumann (1928), algunos matemáticos como

Zermelo (1913) o Borel (1921) ya anticiparon las bases de esta disciplina.

Concretamente, el punto de partida para la Teoría de Juegos fue la publicación del

tratado Theory of Games and Economic Behavior (1944) por el propio von Neumann

junto con el economista Morgenstern.

Todo el trabajo posterior que se ha llevado a cabo en Teoría de Juegos está

fuertemente influenciado por esta obra, en la que se definen las bases de lo que hoy en

día es conocida como Teoría de Juegos clásica. Ya en los años cincuenta, Nash

profundiza en la Teoría de Juegos estableciendo algunos de los conceptos más

importantes para una gama más amplia de juegos, y en los años setenta, investigadores

como Selten y Harsanyi (1994) desarrollan los conceptos que permitirán la aplicación

con éxito de la Teoría de Juegos a la economía y otras disciplinas. En la actualidad, los

métodos de esta disciplina se aplican con éxito a un gran número de campos como la

economía, la biología, la sociología o las ciencias políticas. El gran impacto que la

Teoría de Juegos ha tenido sobre la Economía queda reflejado en el hecho de que se le

haya concedido el Premio Nobel de economía a tres de los matemáticos que fundaron

las bases de la Teoría de Juegos aplicada a la economía: Nash, Selten y Harsanyi.

La Teoría de Juegos distingue dos modelos de juegos en su planteamiento. En los

juegos no cooperativos o competitivos, cada jugador busca su máximo beneficio,

prohibiéndose expresamente cualquier tipo de acuerdos previos entre jugadores. Esta

rama de la Teoría de Juegos estudia las diferentes estrategias que pueden emplear cada

uno de los jugadores, y en los juegos de esta categoría existe una función de pagos

asociada a cada jugador, la cual depende de las diferentes estrategias que se empleen.

En los juegos cooperativos, los jugadores disponen de mecanismos que les permiten

tomar acuerdos vinculantes previos al juego. Esto es, los jugadores pueden cooperar

formando coaliciones de jugadores con el fin de obtener mayores beneficios. En un

juego cooperativo no es necesario analizar las estrategias de los jugadores, puesto que

éstos actuarán de la forma que consigan mayor beneficio. El problema central es el

reparto de beneficios entre los jugadores que forman la coalición. Dado que los

jugadores han cooperado entre sí para obtener el máximo beneficio, el reparto de ese

beneficio ha de darse entre todos los jugadores que formaron la coalición. El objetivo

principal de la Teoría de Juegos Cooperativos es analizar la importancia o influencia

que ha tenido cada jugador en la obtención de ese beneficio, para proponer un reparto de

beneficios adecuado.

1.2 Juegos Cooperativos

Como ya comentamos en el apartado anterior, los Juegos Cooperativos se

caracterizan por el hecho de que los jugadores pueden cooperar entre ellos para buscar

un beneficio común. Una cuestión importante en la Teoría de Juegos Cooperativos es

que en el momento en que varios jugadores deciden cooperar en algún sentido, debe

formarse una coalición entre estos jugadores. Los jugadores de esta coalición, en el

momento en que se forma, actuarán buscando el máximo beneficio posible para la

coalición. Una coalición puede estar formada por cualquier grupo de jugadores de

cualquier tamaño. El pago de esta coalición, esto es, los beneficios que la coalición

obtendrá del juego, será función de la coalición, y deberá ser repartido al finalizar el

juego entre los jugadores que forman la coalición. Este pago será representado por un

número. Cuando cualquier reparto del pago entre los jugadores es posible, hablamos de

un juego de Utilidad Transferible o abreviadamente juego UT.

Definición 1.1 Un juego cooperativo de utilidad transferible en forma coalicional o

en forma de función característica está formado por:

- Un conjunto finito de jugadores denotado por N= {1,2, …, n }.

- Una función característica v :2N → R que asocia a cada subconjunto S de N (o

coalición) un número real v ( S ) (valor de la coalición), siendo v (∅ )=0.

Por tanto, denotaremos a un juego cooperativo UT como ( N , v ) donde tanto N

como v deben estar especificados. Notar que la única restricción que imponemos a la

función característica es que a la coalición formada por el conjunto vacío de jugadores

le asignemos un pago nulo.

Ejemplo 1.1 Tres empresas de una localidad deciden acudir a los servicios de una

consultora energética para poder reducir sus gastos anuales sobre consumo de

electricidad. La empresa consultora ofrece un descuento adicional si acuden a ella al

menos tres empresas de tal forma que el coste de cada una de las posibilidades lo vamos

a representar en la siguiente tabla

COALICIÓN COSTE (miles de €)

{1} 10

{2} 10

{3} 10

{1,2} 20

{1,3} 20

{2,3} 20

{1,2,3} 24

Tabla 1.1

Esta situación puede modelarse mediante un juego cooperativo de utilidad

transferible ( N ,v ), donde N={1,2,3 } y la función característica v del juego viene

expresada por:

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=v ( {1,3 } )=v ( {2,3 } )=0 ,

v ( {1,2,3 })=6.

Comentemos algunos detalles de este ejemplo. Es un juego cooperativo porque los

distintos jugadores no compiten entre ellos, sino que están dispuestos a cooperar para

obtener un beneficio común. En realidad lo que buscan es que la consulta energética

salga lo más barata posible. Por otro lado, es importante entender que la función v no

representa el gasto, sino el beneficio que los jugadores obtienen, en este caso, el ahorro

que conseguirán compartiendo la consulta, respecto al coste que tendría cada una de

forma individual. Y por último, señalar también que en ningún momento la función

característica v define cómo han de repartirse esos beneficios. En este caso parece

lógico que el reparto razonable sería que cada uno pagase 8.000€, repartiendo los

beneficios entre los tres de manera equitativa, pero vamos a ver que no siempre es tan

sencillo con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2 Consideremos el mismo caso del ejemplo anterior. En este caso, vamos a

suponer que las empresas son muy distintas unas de otras y, además, los dueños de la

empresa 1 y la consultora energética mantienen una relación de amistad ofreciéndole

siempre un descuento adicional a dicha empresa. Así pues, los costes se reflejan en la

siguiente tabla

COALICIÓN COSTE (miles de €)

{1} 10

{2} 11

{3} 14

{1,2} 20

{1,3} 21.6

{2,3} 25

{1,2,3} 32

Tabla 1.2

Esta situación puede modelarse nuevamente mediante un juego cooperativo de

utilidad transferible ( N , v ), donde N={1,2,3 } y la función característica v del juego

viene expresada por

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=1 v ( {1,3 } )=2.4 v ( {2,3 })=0 ,

v ( {1,2,3 })=3.

Vemos que ahora el caso no es tan sencillo. Suponiendo que las tres empresas

cooperen y decidan asistir a la consultora de manera conjunta, ¿cuál sería el reparto de

beneficios óptimo? Si, como en el ejemplo anterior, repartimos los beneficios entre los

tres, cada uno obtendría un beneficio de 1000€ pero, ¿Por qué deberían cooperar 1 y 3

con 2 para llevarse un beneficio de 1000€, cuando si cooperan ellos solos se llevarían

2400€ a repartir entre los dos? En este caso, la empresa 2 debe acudir a la consultora de

forma independiente obteniendo un beneficio nulo. ¿Debe la empresa 2 ceder en el

reparto de beneficios para que las empresas 1 y 3 prefieran cooperar con él, para así

llevarse al menos algo de beneficio? Como queda claro en este ejemplo, no solo la

función característica v no fija un reparto de pagos entre los jugadores de una coalición,

sino que el mayor problema de este tipo de juegos es precisamente el reparto de pagos

entre los miembros de una coalición.

Normalmente, las propiedades que tenga la función característica v

correspondiente a un juego cooperativo ( N ,v ) son las que cualifican y dan nombre al

juego. Así, dependiendo de las propiedades de sus funciones características, tenemos

una gran variedad de juegos cooperativos.

Definición 1.2 Se dice que un juego ( N ,v ) es monótono si ∀ S ,T ⊆N , con S⊆T , se

verifica que

v ( S ) ≤ v (T ) .

Es decir, un juego cooperativo es monótono cuando al crecer el número de

jugadores que forman una coalición el beneficio o pago de esta coalición no disminuye.

No hay jugadores que resten beneficios, o que hagan a la coalición obtener menos

beneficio. En la mayoría de aplicaciones de la Teoría de Juegos se les exige a los juegos

ser monótonos.

Definición 1.3 Se dice que un juego ( N ,v ) es superaditivo si ∀S ,T ⊆N , con S ∩T=∅

, se verifica que

v ( S )+v (T ) ≤ v ( S∪T ) .

Es decir, si dos coaliciones disjuntas deciden unirse para formar una coalición

mayor, el beneficio de la nueva coalición será igual o superior que la suma de los

beneficios de las coaliciones originales.

Si la desigualdad de la definición anterior se da en sentido opuesto se dice que el

juego es subaditivo. Por tanto, un juego ( N ,v ) es subaditivo si ∀ S ,T ⊆N , con

S ∩T=∅ , se verifica que

v ( S )+v (T ) ≥ v ( S∪T ) .

Definición 1.4 Se dice que un juego ( N ,v ) es convexo si ∀S ,T ⊆N , se verifica que

v ( S )+v (T ) ≤ v ( S∪T )+v (S∩T ) .

De forma más intuitiva esta inecuación se expresa de la forma

v ( S∪T )≥ v (S )+v (T )−v ( S ∩T ) .

Si la desigualdad se da en sentido opuesto se dice que el juego es cóncavo. Es

decir, un juego es cóncavo si

v ( S∪T )≤ v (S )+v (T )−v ( S ∩T ) .

Definición 1.5 Se dice que un juego ( N ,v ) es 0-normalizado si se verifica que

v ( {i } )=0 ,∀ i∈ N .

Nótese que en los juegos 0-normalizados, los jugadores están obligados a cooperar entre

ellos, porque solos obtendrán un beneficio nulo.

Presentamos a continuación dos familias de juegos muy importantes dentro de los

juegos cooperativos UT, los juegos de unanimidad y los juegos de identidad. En

general, denotamos por Γ N al conjunto de todos los juegos cooperativos de utilidad

transferible sobre N ; es decir,

Γ N={( N ,v ): v :2N → R , v (∅ )=0 } .

En este conjunto Γ N se introducen las siguientes operaciones

+: Γ N × Γ N → Γ N , ( v ,w ) → v+w ,

•: R × Γ N → Γ N , (α ,v ) → α ⋅v .

Definidas para cualquier S⊆N por

( v+w ) (S )=v (S )+w (S )( v+w ) (S )=v (S )+w (S ) .

Con respecto a estas operaciones, la terna ( Γ N ,+, • ) constituye un espacio

vectorial (2N−1 )-dimensional. Una base de este espacio vectorial está formada por el

conjunto

{uT∈Γ N :T⊆N ,T ≠∅ }.

Siendo, para cadaS⊆N , uT ( S ) definido por

uT ( S )={ 1 , si T⊆ S ,0 , en otro caso .

Estos juegos uT se denominan juegos de unanimidad. Los juegos de

unanimidad no constituyen la única base del espacio vectorial Γ N, siendo otra base la

formada por los llamados juegos de identidad, denotados, para cada T⊆N , T ≠∅ , por

δT y definidos, para cada S⊆N , por

δT (S )={ 1, siT=S ,0 , enotrocaso .

Como hemos comentado, un juego de utilidad transferible o juego UT se

caracteriza porque cualquier reparto del beneficio total de la coalición entre los

jugadores que la forman está permitido. Por tanto, al analizar un juego cooperativo, un

objetivo podría ser conocer las estrategias que deben tomar los diferentes jugadores, y

conocer el beneficio que obtendría cada jugador si decidiese formar una coalición con

otros jugadores. Este objetivo es demasiado ambicioso para cualquier juego que

pretenda modelar un problema de la vida real. En los problemas que se suelen modelar

mediante la teoría de juegos, intervienen muchos factores en la toma de decisiones, es

decir, en las coaliciones que se forman y en cómo se reparten finalmente los beneficios.

Estas decisiones dependen de variables como la capacidad de negociación, la habilidad

de los jugadores, o las presiones de tipo social. Por tanto, es muy difícil modelar

exactamente cada relación, cada afinidad de cada jugador con el resto, para encontrar un

modelo completo de una negociación.

A la hora de buscar resultados posibles, debe hacerse un reparto del pago total

v ( N ) entre los jugadores. El pago a cada jugador puede representarse mediante una

función x que a cada jugador del conjunto N le asigne un número real que represente el

pago que obtendrá ese jugador en el juego. Esta función puede expresarse mediante el

vector de pagos x=( x1 , x2 , …,x N ) donde x i representa el pago al jugador i.

A la hora de usar los juegos cooperativos UT para modelar situaciones de la vida

real, existen una serie de restricciones lógicas para el vector de pagos:

Para que los jugadores acepten la distribución de beneficios propuesta por el

vector de pagos, tienen que recibir un pago superior al que recibirían si jugasen solos.

Este es el llamado principio de individualidad racional:

x i≥ v ( {i } ) ,∀ i=1,2 ,…,n .

Una coalición o conjunto de jugadores que pudiese obtener un pago cooperando,

también exigirá de un vector de pagos un beneficio mayor al que obtendría formando la

coalición. De manera análoga al principio de individualidad racional, tenemos la

condición de racionalidad de grupo o, también llamada, condición de optimalidad de

Pareto:

∑i∈ S

x i=x (S ) ≥ v ( S ) .

Suponiendo que todos los jugadores llegan a un acuerdo, formando la gran

coalición N , el beneficio total de esa gran coalición viene representado por v ( N ). Si al

finalizar el juego reciben el vector de pagosx=( x1 , x2 , …, x N ), este vector de pagos

satisface el principio de eficiencia cuando

∑i∈N

x i=v ( N ) .

Este principio impone que, si se forma la gran coalición N , el beneficio de la

misma será repartido en su totalidad por los miembros que la forman.

Los vectores x∈ RN que cumplen el principio de eficiencia son llamados vectores

de pagos eficientes o pre-imputaciones para el juego( N ,v ).

Podemos por tanto definir el conjunto de pre-imputaciones de un juego ( N ,v )

como el conjunto de vectores de distribución de pagos

PI ( N , v )= {( x1 , x2 ,…, xn )∈Rn : x ( N )=v ( N ) },

dondex (N )=∑i∈N

xi.

Como vemos, el conjunto de pre-imputaciones no es más que el conjunto de todos

los vectores de pagos que cumplen el principio de eficiencia. Si además de este

principio, imponemos que los vectores de pagos cumplan el principio de individualidad

racional, obtenemos el conjunto de imputaciones de un juego ( N ,v )

I ( N , v )={( x1 , x2 ,…,xn )∈PI ( N , v ) : x i≥ v ( {i } ) ,∀ i=1 , …, n}

¿ {(( x1 , x2 , …, xn )∈Rn : x ( N )=v ( N ) , ) x i≥ v ( {i } ) ,∀ i=1 , …, n}.

Se dice que el juego ( N ,v ) es esencial si se verifica que I ( N , v ) ≠∅ .

1.3 Conceptos de solución de juegos cooperativos

Introducidos ya algunos conceptos propios de los juegos cooperativos, podemos

preguntarnos ahora cuál de todos los posibles vectores de pagos será aceptado por todos

los jugadores. Existen dos tipos de conceptos de solución en juegos cooperativos. Los

conceptos de solución de tipo conjunto, que limitan un conjunto de posibles valores

exigiéndole algunas propiedades, y los conceptos de solución de tipo puntual, que eligen

entre todos los posibles vectores de pago uno solo. Presentaremos a continuación uno de

los conceptos más importantes dentro de la Teoría de Juegos, el core, que es un

concepto de solución de tipo conjunto. Posteriormente, estudiaremos dos de los

conceptos de solución de tipo puntual más interesantes y utilizados en Teoría de Juegos

Cooperativos: los valores de Shapley y de Shapley ponderado.

1.3.1 El core

Aunque en un juego UT todos los vectores de pago posibles podrían ser aceptados,

suelen imponerse a las posibles soluciones algunas restricciones razonables. Si le

exigimos al vector de pagos que cumpla el principio de eficiencia, el conjunto de

posibles soluciones se reduce al conjunto de pre-imputaciones. Atendiendo a esta idea,

en las soluciones de tipo conjunto se define una solución o concepto de solución sobre

una colección no vacía de juegos como una aplicación ψ que asocia a cada juego

cooperativo ( N , v ) de dicha colección un subconjunto ψ (v ) del conjunto de pre-

imputaciones.

Dentro de los diversos conceptos de solución en la Teoría de Juegos, uno de los

más importantes es el core. Sea ( N ,v ) un juego cooperativo, donde N= {1,2, …,n }, y v

la función característica que describe el juego. Como hemos dicho, se desea extraer un

subconjunto, del conjunto de pre-imputaciones, de vectores de pagos que los jugadores

estén dispuestos a aceptar. Si, además de exigirle que cumplan el principio de eficiencia,

requerimos a los vectores de pago que cumplan el principio de racionalidad individual,

hablamos de extraer un subconjunto de vectores del conjunto de imputaciones I .

Podemos extender el principio de racionalidad individual mediante el principio de

racionalidad coalicional, llegando entonces al concepto de core de un juego

cooperativo.

Definición 1.6 El core de un juego ( N , v )es el conjunto de vectores de pagos

C ( N , v )={( x1 , x2 , …,xn )∈Rn : x ( N )=v ( N ) , x (S ) ≥ v ( S ) , ∀S⊆N } .

El core, por tanto, es el conjunto de vectores de pagos que ofrece a cada coalición

que puede formarse sobre N un beneficio, al menos, igual que el que esta coalición

puede conseguir por sí misma. Por tanto, los elementos del core son aceptables para

todas las coalicionesS⊆N . Intuitivamente, vemos que esto es una solución para el

juego( N , v ). Un reparto de pagos que satisface a todos los jugadores y a todas las

posibles coaliciones. El core de un juego cooperativo satisface, además, interesantes

propiedades matemáticas. Aunque no profundizaremos en ellas, nombramos aquí las

propiedades del core de un juego( N ,v ).:

Sea ( N ,v ) un juego cooperativo. El conjunto C ( N , v ) es cerrado, acotado y

convexo.

Esta idea del core de un juego fue introducida por Gillies (1953), y pueden darse

ejemplos de juegos en los que el core es vacío. Por lo tanto, para esos juegos, no se

podría obtener un vector de pagos con el que todos los jugadores o posibles coaliciones

se viesen beneficiados. No obstante, hay clases de juegos cooperativos de utilidad

transferible para los que el core es no vacío. Dentro de estas clases, se destaca el

conjunto de juegos convexos.

Dado que el core nos da una solución para un juego cooperativo, y que existen

juegos con el core vacío, es un objetivo importante de la Teoría de Juegos Cooperativos

caracterizar los juegos cooperativos con el core no vacío. A este respecto, Shapley

(1967) introdujo el concepto de coaliciones equilibradas y de juego equilibrado.

Definición 1.7 Dado un juego( N ,v ), una colección ( S1 , S2, …, Sm ) de subconjuntos de N

, distintos y no vacíos, se dice que es equilibrada sobre N si existen números positivos

α 1 , α 2 ,…,α m (denominados pesos) tales que, para todo i∈N ,

∑{ j∈S }

α j=1 .

Si, para cualquier colección equilibrada sobre N , se verifica que

∑j=1

m

α j v ( S j ) ≤ v (N ) ,

entonces se dice que el juego ( N ,v ) es equilibrado.

Bondareva (1963) y Shapley (1967) demostraron que la clase de juegos

equilibrados coincide con la clase de juegos con core no vacío.

Un juego ( N ,v ) se dice totalmente equilibrado si los subjuegos ( S , v S ) son

equilibrados para toda S⊆N , S ≠∅ . Aquí, se entiende por subjuego inducido ( S , v S )

aquel cuya función característica viene determinada por

vS (T )=v (T ) ,∀T ⊆S .

Ejemplo 1.3 Tres empresas papeleras tienen que limpiar el río donde van a parar sus

vertidos. Si cooperan las tres juntas con una única empresa limpiadora, se ahorran

400.000€. Si cooperan las empresas 1 y 2 por separado se ahorran 100.000€, si

cooperan 1 y 3 se ahorran 200.000€ y, finalmente, si cooperan 2 y 3 se ahorran

300.000€ Si dos de los jugadores cooperan para realizar el trabajo, el que se queda fuera

no gana nada. Esta situación puede modelarse mediante un juego cooperativo, con la

siguiente función característica. Los resultados se van a expresar en miles de euros.

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=100 v ( {1,3 } )=200 v ( {2,3 } )=300 ,

v ( {1,2,3 })=400.

Finalmente las tres emperesas deciden cooperar juntos para ahorrarse 400.000€,

pero no se ponen de acuerdo en cómo repartir los beneficios. ¿Cómo deberían repartirse

los beneficios las tres empresas? Justificar la respuesta.

Se debe verificar que x1+ x2+x3=400.

El core, en general, no nos dará un reparto único válido, pero sí acotará los

posibles valores que se podrían tomar sin que ningún jugador se viese perjudicado por la

elección.

Pertenecen al core de este juego los puntos ( x1 , x2 , x3 ) que satisfagan las siguientes

restricciones:

x1+ x2+x3=400, (principio de eficiencia)

x1≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥0, (racionalidad individual)

x1+ x2 ≥ 0 , x2+x3≥ 0 , x3+x1≥ 0, (racionalidad coalicional)

Si representamos gráficamente esas restricciones

Figura 1.1

Como vemos, el core corresponde a los puntos que caen dentro de la región

rallada. En este caso, hablamos de un core no vacío y no puntual.

Si modificamos el ejemplo con la siguiente función característica

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ({3 } )=0

v ( {1,2 } )=200 v ( {1,3 } )=300 v ( {2,3 } )=300

v ( {1,2,3 })=400.

(0,0,400)(0,400,0)

(400,0,0)

1 3 200x x 1 2 100x x

2 3 300x x

El resultado es

Figura 1.2

Con lo cual el core incluye un sólo punto, que será la solución al problema.

Reformulando las condiciones queda:

x1+ x2+x3=400 ,

x1+ x3=300→ x2=100 ,

x1+ x2=200→ x3=200 ,

x2+ x3=300→ x1=100.

Y ese es precisamente el punto que forma el core. El vector de pagos sería

x=(100,100,200 ). Cualquier pago superior a un jugador implicaría que los otros dos se

reparten menos beneficio, e incumpliría el principio de racionalidad coalicional.

Si modificamos una última vez la función característica, podemos ver un ejemplo

de juegos con core vacío.

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=300 v ( {1,3 } )=300 v ( {2,3 } )=300 ,

v ( {1,2,3 })=400.

(0,0,400)(0,400,0)

(400,0,0)

1 3 300x x 1 2 200x x

2 3 300x x

Figura 1.3

A partir de la representación gráfica del problema vemos que el core no incluye

ningún punto. Es decir, no hay ningún posible reparto de beneficios que satisfaga a

todos los jugadores. Observando la función característica, era de esperar. Las

coaliciones formadas por dos jugadores cualesquiera obtienen un beneficio de 300.

Dada la simetría entre jugadores, lo más justo, de formarse la gran coalición N , sería

repartir los beneficios en partes iguales, dando un beneficio de 133.33 para cada uno. La

suma de dos jugadores sería 266.66, y no llegaría a los 300 de beneficio de la coalición

formada por dos jugadores. De manera que no hay reparto posible en la gran coalición

que cumpla el principio de racionalidad coalicional, resultando el core vacío.

Como vemos, el core nos limita el conjunto de vectores de pagos que podemos

elegir como solución a nuestro problema, de manera que todos los jugadores acepten el

pago obtenido, pero no nos da, en general, una solución única. El caso más corriente

será el de un core no vacío pero no puntual. Ya comentamos anteriormente que el core

era un concepto de solución de tipo conjunto. En nuestro estudio nos centraremos a

partir de ahora en conceptos de solución de tipo puntual, como los que veremos a

continuación.

1.3.2 Valores en juegos cooperativos

(0,0,400)(0,400,0)

(400,0,0)

1 3 300x x 1 2 300x x

2 3 300x x

El core es uno de los conceptos más importantes de Teoría de Juegos, porque

limita el conjunto de posibles soluciones a un conjunto de vectores de pago que

cumplen una serie de restricciones razonables. Sin embargo, en la práctica, muchas

veces nos interesa conocer una solución concreta, un punto que nos sirva como posible

reparto de pagos de una función característica v. Para abordar este problema se han

definido varias reglas de reparto que eligen un único reparto de pagos. Por ejemplo, el

nucleolus, que fue introducido por Schmeidler (1969), es una regla que toma una

solución incluida dentro del core, siempre que éste no sea vacío. Existen otras reglas de

reparto que son completamente independientes del core, tanto en su definición, como en

el hecho de que no siempre pertenecen al core. Dentro de estas reglas estudiaremos las

dos más utilizadas, el valor de Shapley y el valor de Shapley ponderado.

Para ello, definiremos las soluciones de tipo puntual y algunas propiedades que

pueden cumplir las distintas soluciones de un juego UT.

Definición 1.8 Una solución sobre Γ N es una aplicación

ϕ : Γ N → Rn ,

que a cada juego ( N ,v )∈Γ N le hace corresponder un vector de Rn, donde la componente

i-ésima del vector representa el pago que recibe el jugador i.

Algunas propiedades que puede cumplir una solución son:

Eficiencia.

Una solución ϕ : Γ N → Rn es eficiente si para todo juego ( N ,v )∈Γ N, se

tiene que

∑i=1

n

ϕi ( N , v )=v (N ).

Simetría. Se dice que dos jugadores i , j∈N son simétricos si

v ( S∪ {i } )=v ( S∪ { j } ),

para cualquier coalición S⊆N ¿{i , j¿ }.

Una solución ϕ : Γ N → Rn es simétrica si para todo juego ( N ,v )∈Γ N y para

todo par de jugadores i , j∈N , simétricos en( N ,v ), se tiene que

ϕ i ( N ,v )=ϕ j ( N ,v ).

Jugador nulo.

Se dice que i∈N es un jugador nulo si v ( S∪ {i } )=v ( S ), para cualquier

coaliciónS⊆N ¿{i¿}.

Una solución ϕ : Γ N → Rn satisface la propiedad de jugador nulo si para

todo juego ( N ,v )∈Γ N y para todo jugador nulo en ( N , v ) ,i∈N se tiene

que f i ( N , v )=0.

Aditividad. Una solución ϕ : Γ N → Rn es aditiva si para todo par de juegos

( N ,v )∈Γ N y ( N , w )∈Γ N , se tiene que

ϕ ( N , v+w )=ϕ ( N ,v )+ϕ (N , w ) .

Positividad. Si para cualquier juego monótono ( N , v )∈Γ0 se tiene que

ϕ ( N , v )≥ 0.

Una coalición S se dice una coalición de socios en el juego( N ,v )∈Γ0 si

v ( R∪T )=v ( R ) , para todo T⊂S ,T ≠ S y R⊂N ¿ .

Compañerismo. Si dada una coalición de socios S en ( N ,v )∈Γ0, entonces

para todo i∈S,

ϕi ( N ,v )=ϕi(S ,(∑j∈ Sϕ j ( N , v ) uS)).

Una coalición de socios S se comporta como si fuera un único jugador

de tal forma que cualquier coalición no aumenta su utilidad si se une a

una sub coalición propia de S. El axioma de compañerismo lo que nos

indica es que la utilidad total que consiguen en el juego ( N , v ) los miembros de

cada coalición de socios, P , j∈S , (N , v ) , se la reparten los jugadores de S del

mismo modo que si jugasen el juego de unanimidad uS entre ellos solos.

Una coalición de socios S se comporta como si fuera un único jugador, de tal

forma que cualquier coalición no aumenta su utilidad si se une a una sub-coalición

propia de S. El axioma de compañerismo nos indica que la utilidad total que consiguen

en el juego ( N , v ) los miembros de cada coalición de socios, ∑j∈ S

ϕ j ( N ,v ), se la reparten

los jugadores de S del mismo modo que si jugasen el juego de unanimidad uS , entre

ellos solos.

Una vez definidas estas propiedades, ya podemos presentar el valor de Shapley y

el de Shapley ponderado, mediante sus caracterizaciones axiomáticas.

1.3.2.1 El valor de Shapley

El valor de Shapley es el concepto de solución más utilizado dentro de los juegos

cooperativos de utilidad transferible. Shapley analizó los juegos cooperativos intentando

contestar a la siguiente cuestión: dada la función característica de un juego, ¿cuál es el

pago esperado para un jugador determinado? En este concepto de solución, se trata de

buscar un reparto de pagos único que cumpla una serie de propiedades o axiomas

previamente establecidos. Shapley (1953) partió de cuatro axiomas o suposiciones que,

según él, debería cumplir el reparto de pagos óptimo, y demostró que sólo una

asignación de pagos cumplía todos los axiomas, siendo esta asignación el valor de

Shapley. Es importante destacar que el valor de Shapley es un concepto de solución

independiente del core, y al no exigirle que cumpla el principio de racionalidad

coalicional, no siempre es una solución que pertenezca al core. Sin embargo, para los

juegos convexos, el valor de Shapley sí pertenece al core del juego.

Para introducir el valor de Shapley utilizaremos la caracterización axiomática

original de Shapley (1953).

Teorema 1.1 La única solución f definida en N que satisface las propiedades de

aditividad, jugador nulo, simetría y eficiencia es el valor de Shapley. Dado un juego

( , )N v , esta solución asigna a cada jugador i N el número real

ϕi ( N , v )=∑S⊆ N

q (S ) (v (S )−v (S ¿{i¿}) ) ,

dondeq ( S )= (s−1 ) ! (n−s )!n !

y s=|S|, n=|N| representan el número de jugadores que hay

en las coaliciones S y N .

La demostración de este teorema se encuentra en Shapley (1953). Se puede

observar que el valor de Shapley está determinado, de forma exclusiva y a priori, por la

función característica del juego.

El valor de Shapley tiene distintas interpretaciones. Puede interpretarse como la

contribución marginal esperada de cada jugador al entrar en una coalición al azar. En

efecto, el factor v ( S )−v (S ¿{i¿}) es la contribución marginal efectiva de i al

incorporarse aS ¿{i¿}, mientras que el factor q ( S ) es la probabilidad de que a i le toque

incorporarse precisamente a S ¿ {i¿} y no a otra coalición. Shapley justificó este valor

bajo la suposición de que un jugador se uniría a una coalición de tamaño s, siendo los

distintos tamaños equiprobables, y una vez fijado un tamaño, se uniría a una coalición

determinada de ese tamaño también de manera equiprobable. El factor q ( S ) es el que

implementa esa suposición en la expresión del valor de Shapley.

Otra manera de interpretar el valor de Shapley es la siguiente. Se supone que los

jugadores forman la gran coalición incorporándose de uno en uno, en un orden

aleatorio. De esta forma, cada jugador consigue la cantidad con la que él contribuye a la

coalición ya formada cuando se incorpora. El valor de Shapley distribuye a cada

jugador la cantidad esperada que él obtiene por este procedimiento, suponiendo que la

gran coalición de n jugadores puede formarse, de manera equiprobable, en todos los

órdenes posibles.

Ejemplo 1.4 Calcularemos el valor de Shapley para el juego definido en el Ejemplo 1.3.

Recordemos que, en este caso, N= {1,2,3 } y el juego v venía dado por

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=100 v ( {1,3 } )=200 v ( {2,3 } )=300 ,

v ( {1,2,3 })=400.

El conjunto 2N es

2N= {∅ , {1 } , {2 } , {3 } , {12 }, {13 } , {23 }, {123 }} .

Las coaliciones a las que pertenece cada jugador son

S (1 )= {{1 } , {1,2 } , {1,3 }, {1,2,3 }}

S (2 )= {{2 }, {1,2 } , {2,3 }, {1,2,3 }}

S (3 )= {{3 } , {1,3 }, {2,3 } , {1,2,3 }}

Los coeficientes q ( S ) valdrán

q (1 )=0 !2 !3!

=13

,

q (2 )=1 !1!3!

=16

,

q (3 )=2!0 !3 !

=13

.

Calculemos ahora el pago esperado para cada jugador:

ϕ1 (N , v )=q (1 ) [ v ( {1 } )−v (∅ ) ]+q (2 ) [v ( {1,2 } )−v (2 ) ]+q (2 ) [v ( {1,3 } )−v (3 ) ]+q (3 ) [ v ( {1,2,3 })−v (2,3 ) ]=13

[ 0 ]+ 16

[ 100 ]+ 16

[ 200 ] 13

[ 400−300 ]=83.33.

ϕ2 ( N , v )=q (1 ) [ v ( {2 })−v (∅ ) ]+q (2 ) [v ( {1,2 } )−v (1 ) ]+q (2 ) [v ( {2,3 } )−v (3 ) ]+q (3 ) [ v ( {1,2,3 } )−v (1,3 ) ]=13

[ 0 ]+ 16

[ 100 ]+ 16

[ 300 ] 13

[ 400−200 ]=133.33 .

ϕ3 ( N ,v )=q (1 ) [ v ( {3 } )−v (∅ ) ]+q (2 ) [ v ( {1,3 })−v (1 ) ]+q (2 ) [ v ( {2,3 } )−v (2 ) ]+q (3 ) [ v ( {1,2,3 } )−v (1,2 ) ]=13

[ 0 ]+ 16

[ 200 ]+ 16

[ 300 ] 13

[ 400−100 ]=183.33 .

Por lo tanto, el valor de Shapley para el juego sería

ϕ ( N ,v )=(83.33 ;133.33 ;183.33 ).

Como vemos, el valor de Shapley cumple la propiedad de eficiencia

∑i∈N

ϕi (N , v )=v ( N )=400.

En este ejemplo, hemos aplicado la expresión del valor de Shapley directamente,

por ser un ejemplo muy sencillo. Cuando se calcula el valor de Shapley en juegos

monótonos, el sumatorio se restringe a coaliciones S con valor no nulo, puesto que las

coaliciones con valor nulo tendrán un término [ v ( S )−v (S ¿{i¿}) ] igual a cero.

1.3.2.2 El valor Shapley ponderado

La propiedad de simetría es uno de los principales axiomas que caracteriza el

valor de Shapley, sin embargo en ocasiones no parece razonable exigir esta propiedad.

Pensemos por ejemplo que no siempre los esfuerzos de los jugadores son iguales a la

hora de formar una coalición o bien que a menudo los jugadores tienen diferentes

habilidades lo que supone que inicialmente partan de una situación no simétrica.

También podemos pensar en situaciones no simétricas cuando cada jugador representa a

su vez a otros agentes pudiendo ser el número o el tipo de agentes representados por

cada jugador distinto. Shapley (1953) en su tesis ya introdujo los valores de Shapley

ponderados, y a partir de este momento muchos otros han desarrollado estudios de

valores no simétricos, Owen (1968, 1972), Kalai y Samet (1987) y Hart y Mas-Colell

(1989).

Definición 1.9 El valor de Shapley ponderado con sistema de ponderaciones p= ( λ , Σ )

al que denotaremos ϕ p es un valor definido para cada juego de unanimidad

uS ( S )con S⊆N , de la siguiente forma. Sea k=max { j : S j∩ S≠∅ },

( ϕp ) i ( N , uS )={ λi

∑j∈S ∩S j

λ j

, Si i∈S∩Sk ,

0 , En otro caso .

La partición ordenada Σ divide a los jugadores en distintos niveles de forma que

los jugadores que están en el nivel más alto se reparten la unidad proporcionalmente a

sus pesos, mientras que el resto de los jugadores no obtiene ninguna utilidad.

Dado que el conjunto de juegos de unanimidad uS ( S ) , S⊆N ,con S ≠∅son una

base para Γ tenemos que,

( ϕp ) i ( N ,v )=∑S⊆N

cs (ϕ p )i ( N ,uS ).

Se deduce fácilmente que si λ i=λ j , para todo i≠ j y∑ ¿ { N } entonces el valor de

Shapley ponderado es, en particular, el valor de Shapley.

Kalai y Samet (1987) axiomatizaron el valor de Shapley ponderado utilizando

propiedades de eficiencia, jugador nulo, aditividad, positividad y compañerismo.

Teorema 1.2 Un valor ϕ en Γ satisface los axiomas de Eficiencia, Jugador Nulo,

Aditividad, Positivismo y Compañerismo si y sólo si existe un sistema de ponderaciones

p tal que ϕ = ϕ P.

1.4 Conceptos básicos sobre grafos

Vamos a definir algunos conceptos básicos sobre Teoría de Grafos que se van a

emplear a lo largo de todo el proyecto.

Un grafo G es un par ordenado G= (V , E ), donde

V es un conjunto de vértices o nodos.

E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Se llama orden del grafo G a su número de vértices, V. El grado de un vértice o

nodo a es igual al número de arcos de E que se encuentran en él. Un bucle es una arista

que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final

coinciden.

Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo G= (V , E )donde:

V ≠∅ .

E⊆ {x∈ P (V ):|x|=2 } donde P (V ) es un conjunto de pares no ordenados de

elementos de V.

Un par no ordenado es un conjunto de la forma {a , b }, de manera que

{a ,b }={b ,a }. Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de V de

cardinalidad 2, el cual se denota por P (V ).

Grafo dirigido

Un grafo dirigido es un grafo G= (V , E ) donde:

V ≠∅

E⊆ {(a , b )∈V ×V : a≠ b } es un conjunto de pares ordenados de elementos

de V.

Dada una arista {a , b }, a es su nodo inicial y b su nodo final. Por definición, los

grafos dirigidos no contienen bucles.

Camino. En Teoría de Grafos se llama camino a una secuencia de vértices

dentro de un grafo, tal que exista una arista entre cada vértice y el siguiente. Se dice que

dos vértices están conectados si existe un camino que vaya de uno a otro, de lo contrario

estarán desconectados. Dos vértices pueden estar conectados por varios caminos. El

número de aristas dentro de un camino es su longitud.

Árbol. En teoría de grafos, un árbol es un grafo en el que cualesquiera dos

vértices están conectados por exactamente un camino.

Trayectoria. Una trayectoria se define como un viaje a través de los nodos que

aparecen en la secuencia, y que se origina en el nodo inicial del primer eje y finaliza en

el nodo terminal del último eje de la secuencia.

Grafo conexo. En teoría de grafos, un grafo G se dice conexo, si para cualquier

par de vértices a y b en G, existe al menos una trayectoria (una sucesión de vértices

adyacentes que no repita vértices) de a a b.