北京市西城区 2013 年高三二模试卷 高三数学（文科数学）

2013.5

第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．1．复数

（A） （B） （C） （D）

2．已知向量 ， ．若 与 共线，则实数

（A） （B） （C） （D）

3．给定函数：① ；② ；③ ；④ ，其中奇函数是（A）① （B）② （C）③ （D）④

4．若双曲线 的离心率是 ，则实数

（A） （B） （C） （D）

5．如图所示的程序框图表示求算式“ ” 之值， 则判断框内可以填入 （A）

（B）

（C）

（D）

6．对于直线 ， 和平面 ， ，使 成立的一个充分条件是

（A） ， ∥ （B） ∥ ，（C） ， ， （D） ， ，

7．已知函数 ．若关于 的方程 有两个不同的实根，则实数 的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

8．已知集合 的非空子集 具有性质 ：当 时，必有 ．则具有性质 的集合 的个数是

（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．

9．已知直线 ， ．若 ∥ ，则实数 ______．

10．右图是甲，乙两组各 名同学身高（单位： ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为 和 ，

则 ______ ． （填入：“ ”，“ ”，或“ ”）

11．在△ 中， ， ， ，则 ______；△ 的面积是__

____．

12．设 ， 随机取自集合 ，则直线 与圆 有公共点的概率是

______．

13．已知命题 函数 在 上单调递增；命题 不等式 的解

集是 ．若 且 为真命题，则实数 的取值范围是______．

14 ． 在 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 两 定 点 ， ． 动 点 满 足

则点 构成的区域的面积是______；点 构成的区域的面积是______．

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）

已知等比数列 的各项均为正数， ， ．（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）设 ．证明： 为等差数列，并求 的前 项和 ．

16．（本小题满分 13 分）

如图，在直角坐标系 中，角 的顶点是原点，始边与 轴正半轴重合，终边交单

位圆于点 ，且 ．将角 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于点 ．记A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2)．

（Ⅰ）若x1=13 ，求x2 ；

（Ⅱ）分别过 作 轴的垂线，垂足依次为 ．记△

的面积为 ，△ 的面积为 ．若 ，求角 的值．

17．（本小题满分 14 分）如图 1，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥¿ ¿底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧

棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图 2 所示．

（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；

（Ⅱ）证明： ∥平面 ；

（Ⅲ）证明：平面 平面PCD．

18．（本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 ．

（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（Ⅱ）求 ( )f x 在区间 上的最小值．

19．（本小题满分 14 分）如图，椭圆 的左顶点为 ， 是椭圆 上异于点 的任

意一点，点 与点 关于点 对称．

（Ⅰ）若点 的坐标为 ，求 的值；

（Ⅱ）若椭圆 上存在点 ，使得 ，求 的取值范围．

20．（本小题满分 13 分）已 知 集 合 是 正 整 数 的 一 个 排 列

，函数

对于 ，定义：， ，称 为 的满意

指数．排列 为排列 的生成列．（Ⅰ）当 时，写出排列 的生成列；

（Ⅱ）证明：若 和 为 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；

（Ⅲ）对于 中的排列 ，进行如下操作：将排列 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 ．

北京市西城区 2013 年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准

2013.5一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.

1． A； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．C； 7．B； 8．B．二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分.

9． ； 10． ； 11． ， ；

12． ； 13． ； 14． ， ．注：11、14题第一空 2分，第二空 3分.

三、解答题：本大题共 6小题，共 80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：设等比数列 的公比为q，依题意 ． ………………1 分

因为 ， ，

两式相除得 ， ………………3 分解得 ， 舍去 ． ………………4 分

所以 ． ………………6 分

所以数列 的通项公式为 ． ………………7 分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ………………9 分

因为 ，

所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列． ………………11 分

所以 ． ………………13 分

16．（本小题满分 13 分）

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 ， ． ………………2 分

因为 ， ，

所以 ． ………………3 分

所以 ． ………………5 分

（Ⅱ）解：依题意得 ， ．

所以 ， ………………7 分

． ……………9 分

依题意得 ， 整理得 ． ………………11 分

因为 ， 所以 ，

所以 ， 即 ． ………………13 分

17．（本小题满分 14 分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，

所以 △ 的面积为 S=12⋅1⋅2=1．………………1 分

因为PA⊥¿ ¿平面ABCD， ………………2 分

所以四面体PBFC的体积为

V P−BFC=

13SΔBFC⋅PA

………………3 分

=1

3⋅1⋅2=2

3 ． ………………4 分

（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连结EQ，FQ． ………………5 分

由正（主）视图可得 E为PD的中点，所以 ∥ ，EQ=12CD． …………

……6 分

又因为 ∥ ，AF=12CD， 所以 ∥ ，AF=EQ．

所以四边形AFQE为平行四边形，所以 ∥ ． ………………8 分

因为 AE⊄平面 ，FQ⊂平面 ，

所以 直线 ∥平面 ． ………………9 分

（Ⅲ）证明：因为 PA⊥¿ ¿平面ABCD，所以 PA⊥CD．

因为面ABCD为正方形，所以 AD⊥CD．

所以 CD⊥¿ ¿平面PAD． ………………11 分

因为 AE⊂平面PAD，所以 CD⊥AE．

因为 PA=AD，E为PD中点，所以 AE⊥PD．

所以 AE⊥¿ ¿平面PCD． ………………12 分因为 ∥ ，所以FQ⊥¿ ¿平面PCD． ………………13 分

因为 FQ⊂平面 ， 所以 平面 平面PCD . ………………14 分

18.（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解： 的定义域为 ， 且 ． ………………2 分

当 时， ， ，

所以曲线 在点 处的切线方程为 ，

即 ． ………………4 分（Ⅱ）解：方程 的判别式 ， ………………5 分

令 ，得 ，或 ． ………………6 分和 的情况如下：

↗ ↘ ↗

故 的 单 调 增 区 间 为 ， ； 单 调 减 区 间 为

．………………9 分

① 当 时， ，此时 ( )f x 在区间 上单调递增，

所以 ( )f x 在区间 上的最小值是 ． ………………10 分

② 当 时， ，此时 ( )f x 在区间 上单调递减，在区间

上单调递增，

所以 ( )f x 在区间 上的最小值是 ． ………………12

分③ 当 时， ，此时 ( )f x 在区间 上单调递减，所以 ( )f x 在区间 上的最小值是 ． ………………13 分

综上，当 时， ( )f x 在区间 上的最小值是 ；当 时，

( )f x 在区间 上的最小值是 ；当 时， ( )f x 在区间 上的最小

值是 ．

19．（本小题满分 14 分）（Ⅰ）解：依题意， 是线段 的中点，

因为 ， ，

所以 点 的坐标为 ． ………………2 分

由点 在椭圆 上，

所以 ， ………………4 分

解得 ． ………………6 分

（Ⅱ）解：设 ，则 ，且 ． ① ………………

7 分因为 是线段 的中点，所以 ． ………………8 分

因为 ，所以 ． ② ………………9 分

由 ①，② 消去 ，整理得 ． ………………11 分

所以 ， ………………13 分

当且仅当 时，上式等号成立．

所以 的取值范围是 ． ………………14 分

20．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：当 时，排列 的生成列为 ． ………………3

分（ Ⅱ ） 证 明 ： 设 的 生 成 列 是 ； 的 生 成 列 是 与

．从右往左数，设排列 与 第一个不同的项为 与 ，即：， ， ， ， ．显然 ， ， ， ，下面证明： ． ……………

…5 分由满意指数的定义知， 的满意指数为排列 中前 项中比 小的项

的个数减去比 大的项的个数．

由于排列 的前 项各不相同，设这 项中有 项比 小，则有

项比 大，从而 ．

同理， 设 排 列 中 有 项 比 小 ， 则 有 项 比 大 ， 从而

．

因为 与 是 个不同数的两个不同排列，且 ，

所以 ， 从而 ．

所以排列 和 的生成列也不同． ………………8 分

（Ⅲ）证明：设排列 的生成列为 ，且 为 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 ． ………………9 分

依题意进行操作，排列 变为排列 ，设该排列的生成列为 ． ………………10 分

所以

．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 ．

………………13 分