ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ

4.1 Ορισμοί και κατηγοριοποιήσεις

4.1α Ορισμοί

Όσα είπαμε μέχρι τώρα για τα σήματα θα είχαν πολύ μικρή χρησιμότητα αν τα σήματα δεν τα εφαρμόζαμε σε κάποια συστήματα για να επιτύχουμε κάποιο επιθυμητό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, ένα σήμα τάσης το εφαρμόζουμε στο κύκλωμα του δρομέα (τυμπάνου) ενός κινητήρα συνεχούς ρεύματος με στόχο να ρυθμίσουμε, κατά τον επιθυμητό τρόπο, τη γωνία στροφής του άξονά του ή την ταχύτητα περιστροφής αυτού. Ο κινητήρας είναι το σύστημα, η τάση που εφαρμόζουμε στον δρομέα είναι το σήμα εισόδου και η γωνία στροφής ή η ταχύτητα περιστροφής του άξονα του κινητήρα είναι το σήμα εξόδου του συστήματος.

Επίσης, φίλτρο είναι ένα κύκλωμα, στην είσοδο του οποίου οδηγούμε ένα σήμα τάσης x(t), και αυτό μας δίνει στην έξοδό του ένα άλλο σήμα τάσης y(t). Το φίλτρο επενεργεί στο σήμα x(t) σε τρόπο που να αφήνει να περάσει άθικτο (όσο γίνεται) το μέρος των φασμάτων πλάτους και φάσης του που βρίσκεται σε μια επιλεγμένη ζώνη συχνοτήτων (τη ζώνη διέλευσης του φίλτρου) και να μηδενίζει (όσο γίνεται) το μέρος του φάσματος του σήματος x(t) που βρίσκεται στις υπόλοιπες συχνότητες (τη ζώνη αποκοπής του φίλτρου). Ένα φίλτρο είναι και αυτό ένα σύστημα.

Συνήθως, ένα σύστημα παριστάνεται με ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, στο οποίο «εισέρχεται» ένα βέλος, που παριστάνει την είσοδο του συστήματος, και από το οποίο «εξέρχεται» ένα άλλο βέλος, που παριστάνει την έξοδο του συστήματος. Κοντά στο βέλος της εισόδου, γράφουμε το σύμβολο του σήματος εισόδου και, κοντά στο βέλος της εξόδου, γράφουμε το σύμβολο του σήματος εξόδου του συστήματος. Αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα 4.1.

(Είσοδοςx(t)y(t)ΣύστημαΈξοδος)

Σχ. 4.1 Σχηματική παράσταση ενός συστήματος.

Πολύ συχνά, στην είσοδο και στην έξοδο ενός συστήματος γράφουμε το σύμβολο του μετασχηματισμού Fourier ή του μετασχηματισμού Laplace των αντίστοιχων σημάτων, αντί ή μαζί με τα σύμβολά τους στο πεδίο του χρόνου t.

Πολλά συστήματα έχουν περισσότερα από ένα σήματα εισόδου και ένα σήμα εξόδου. Αυτά ονομάζονται συστήματα πολλών εισόδων και μιας εξόδου (Multiple Input Single Output (MISO) Systems). Επίσης, πολλά συστήματα έχουν ένα σήμα εισόδου και περισσότερα από ένα σήματα εξόδου. Αυτά ονομάζονται συστήματα μιας εισόδου και πολλών εξόδων (Single Input Multiple Output (SIMO) Systems). Υπάρχουν και συστήματα με πολλά σήματα εισόδου και πολλά σήματα εξόδου. Αυτά ονομάζονται συστήματα πολλών εισόδων και πολλών εξόδων (Multiple Input Multiple Output (ΜIMO) Systems). Τέλος, τα συστήματα που έχουν μόνο ένα σήμα εισόδου και μόνο ένα σήμα εξόδου ονομάζονται συστήματα μιας εισόδου και μιας εξόδου (Single Input Single Output (SISO) Systems). Στο βιβλίο ασχολούμαστε μόνο με συστήματα μιας εισόδου και μιας εξόδου.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι προσδιορισμού του σήματος εξόδου y(t) ενός συστήματος από το σήμα εισόδου αυτού x(t). Ο απλούστερος αυτών (όταν αυτό είναι δυνατόν) είναι να δοθεί το σήμα y(t) ως μια συνάρτηση (μαθηματικό τύπο) του σήματος x(t), για παράδειγμα, y(t)=3x(t), y(t)=x2(t)+5, y(t)=2x(t)συν2π500t κ.λπ. Άλλος τρόπος είναι να δοθεί η διαφορική εξίσωση που συνδέει τα σήματα y(t) και x(t), π. χ. y´´(t)–3y´(t)+5y(t)=2x´(t)–6x(t), y´´´(t)+5t2y´(t)+5ημt·y(t)=x(t) κ.λπ. Επίσης, συχνά δίνεται η σχέση μεταξύ των μετασχηματισμών Fourier ή Laplace του σήματος εισόδου και του σήματος εξόδου του συστήματος.

4.1β Κατηγοριοποιήσεις των συστημάτων συνεχούς χρόνου

Αιτιατά και μη αιτιατά συστήματα

Όταν στην είσοδο ενός συστήματος εφαρμόζουμε ένα σήμα x(t), το σήμα εξόδου αυτού μπορεί να εξαρτάται όχι μόνο από την τιμή που έχει το σήμα εισόδου τη χρονική στιγμή t, αλλά και από παρελθούσες ή / και από μελλοντικές (!) τιμές του σήματος x(t). Όταν οι τιμές του σήματος εξόδου ενός συστήματος εξαρτώνται μόνο από παρούσες ή / και παρελθούσες τιμές του σήματος εισόδου του, και αυτό συμβαίνει για όλα τα σήματα εισόδου του, το σύστημα ονομάζεται αιτιατό σύστημα. Για παράδειγμα, το σήμα που έχει σχέση εισόδου-εξόδου την y(t)=3x2(t)+ 2x(t)συν2π10t είναι αιτιατό, διότι η παρούσα τιμή του σήματος εξόδου y(t) εξαρτάται μόνο από την παρούσα τιμή του σήματος εισόδου x(t). Το συν2π10t είναι ένας «συντελεστής» που, απλώς, εξαρτάται από τον χρόνο t.

Επίσης, το σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση y(t)= είναι και αυτό αιτιατό, αφού η παρούσα τιμή του σήματος εξόδου y(t) εξαρτάται από τις τιμές που πήρε το σήμα εισόδου x(t) το χρονικό διάστημα που ορίζεται από την παρούσα χρονική στιγμή t μέχρι και 10 χρονικές μονάδες πριν από αυτήν. Αντίθετα, το σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση y(t)= δεν είναι αιτιατό, αφού η παρούσα τιμή του σήματος εξόδου y(t) εξαρτάται και από μελλοντικές τιμές του σήματος εισόδου x(t), ήτοι από τις τιμές που θα πάρει αυτό το σήμα το χρονικό διάστημα που ορίζεται από την παρούσα χρονική στιγμή t μέχρι και 5 χρονικές μονάδες μετά από αυτήν. Ένα σύστημα σαν το παραπάνω, για το οποίο υπάρχουν χρονικές στιγμές στις οποίες οι παρούσες τιμές του σήματος εξόδου εξαρτώνται και από μελλοντικές τιμές του σήματος εισόδου, ονομάζεται μη αιτιατό. Φυσικά, όλα τα συστήματα του υπαρκτού κόσμου μας είναι αιτιατά. Παρ’ όλα αυτά, μερικά μη αιτιατά συστήματα βοηθούν στην εξαγωγή χρήσιμων θεωρητικών αποτελεσμάτων.

Ένα σύστημα, του οποίου οι παρούσες τιμές του σήματος εξόδου εξαρτώνται μόνο από τις παρούσες τιμές του σήματος εισόδου, ονομάζεται στατικό. Τα μη στατικά συστήματα ονομάζονται δυναμικά συστήματα.

Χρονικά μεταβαλλόμενα και χρονικά αμετάβλητα συστήματα

Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα με σήμα εισόδου x(t) και σήμα εξόδου y(t). Ας θεωρήσουμε, τώρα, ότι εφαρμόζουμε στην είσοδο του συστήματός μας το σήμα x(t) χρονικά μετατοπισμένο, δηλ. ότι εφαρμόζουμε το σήμα x(t–τ). Αν το σήμα εξόδου είναι το προηγούμενο σήμα εξόδου y(t) μετατοπισμένο χρονικά επίσης κατά τ, δηλ. το σήμα y(t–τ), και αυτό συμβαίνει για όλα τα σήματα x(t) και όλες τις τιμές (θετικές ή αρνητικές) της χρονικής μετατόπισης τ, το σύστημα ονομάζεται χρονικά αμετάβλητο. Αν ένα σύστημα δεν είναι χρονικά αμετάβλητο, είναι χρονικά μεταβαλλόμενο.

Ας εξετάσουμε αν το σύστημα που περιγράφεται με τη σχέση εισόδου-εξόδου y(t)=3x(t)+ είναι χρονικά αμετάβλητο ή όχι. Αν στη θέση του σήματος εισόδου x(t) βάλουμε το σήμα x(t–τ), θα πάρουμε ως σήμα εξόδου το σήμα z(t)=3x(t–τ)+. Στο ολοκλήρωμα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής και βάζουμε μ=λ–τ. H τιμή λ=t αντιστοιχεί στην τιμή μ=t–τ και η τιμή λ=t–10 αντιστοιχεί στην τιμή μ=t–τ–10. Επίσης είναι dλ=dμ. Έτσι, το ολοκλήρωμα γίνεται ίσο με .

Τώρα, το σήμα z(t) γράφεται ως z(t)=3x(t–τ)+=3x(t–τ)+ . Δεν πειράζει που, αντί της τρέχουσας μεταβλητής μ, χρησιμοποιήσαμε την τρέχουσα μεταβλητή λ. Όμως, αυτή είναι η έκφραση του σήματος y(t), αν σε αυτήν βάλουμε t–τ στη θέση του t, δηλ. είναι το σήμα y(t–τ). Αφού χρονική μετατόπιση του σήματος εισόδου x(t) έχει ως επίπτωση μόνο αντίστοιχη και ισόποση χρονική μετατόπιση του σήματος εξόδου y(t), το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο.

Γενικά, ένα σύστημα που περιγράφεται από μια μαθηματική σχέση εισόδου-εξόδου, στην οποία οι συντελεστές δεν μεταβάλλονται με τον χρόνο, είναι χρονικά αμετάβλητο. Αντίθετα, αν έστω και ένας συντελεστής εξαρτάται από τον χρόνο t, το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Για παράδειγμα, το σύστημα που περιγράφεται με τη σχέση y(t)=3tx(t)+2 είναι χρονικά μεταβαλλόμενο, μιας και ο συντελεστής 3t εξαρτάται από τον χρόνο t. Ας το αποδείξουμε και πιο αυστηρά:

Για να βρούμε το σήμα εξόδου του συστήματος, όταν σήμα εισόδου είναι το σήμα x(t–τ), στη σχέση y(t)=3tx(t)+2 βάζουμε x(t–τ) στη θέση του x(t). Έτσι, παίρνουμε ως σήμα εξόδου του σήμα z(t)=3tx(t–τ)+2. To σήμα y(t–τ) το βρίσκουμε από τη σχέση y(t)=3tx(t)+2 αν σε αυτήν βάλουμε t–τ στη θέση του t. Επομένως, είναι y(t–τ)=3(t–τ)x(t–τ)+2. Αφού οι συντελεστές t και t–τ είναι διάφοροι μεταξύ τους, έχουμε z(t)≠y(t–τ), οπότε το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο.

Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα

Έστω ότι ένα σύστημα με σήμα εισόδου x1(t) δίνει σήμα εξόδου y1(t) και με σήμα εισόδου x2(t) δίνει σήμα εξόδου y2(t). Τώρα βάζουμε ως σήμα εισόδου το σήμα αx1(t)+βx2(t), δηλ. βάζουμε ως σήμα εισόδου έναν γραμμικό συνδυασμό των σημάτων x1(t) και x2(t). Αν το σύστημα δώσει ως σήμα εξόδου το σήμα αy1(t)+βy2(t), δηλ. αν δώσει ως σήμα εξόδου τον ίδιο γραμμικό συνδυασμό των δύο σημάτων εξόδου y1(t) και y2(t), και αυτό συμβαίνει για όλα τα σήματα εισόδου x1(t) και x2(t) και όλες τις τιμές των σταθερών α και β, το σύστημα ονομάζεται γραμμικό. Αν ένα σύστημα δεν είναι γραμμικό, ονομάζεται μη γραμμικό.

Όταν εξετάζουμε αν ένα σύστημα είναι αιτιατό, χρονικά αμετάβλητο ή γραμμικό, υποθέτουμε ότι οι τυχόν υπάρχουσες αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. Με τον όρο αρχικές συνθήκες του συστήματος εννοούμε τις τιμές του σήματος εξόδου y(t) και των παραγώγων του τη στιγμή εφαρμογής του σήματος x(t) στην είσοδό του. Αν αυτή η στιγμή είναι η t=0, αρχικές συνθήκες είναι οι τιμές των y(0), y΄(0), y΄΄(0) κ.ο.κ. Οι αρχικές συνθήκες έχουν σχηματιστεί – εγκατασταθεί στο σύστημα από τη «ζωή» και λειτουργία του συστήματος για t<0, με σήμα εισόδου όχι το σήμα x(t) αλλά κάποιο άλλο σήμα. Η ύπαρξη μη μηδενικών αρχικών συνθηκών δίνει στο σήμα εξόδου y(t) ένα μέρος που, γενικά, δεν εξαρτάται από το σήμα εισόδου x(t) ή εξαρτάται μερικώς από αυτό. Επομένως, με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες, δεν έχει νόημα να εξετάζουμε αν το σύστημά μας έχει τις προαναφερθείσες ιδιότητες ή όχι. Θα το εξετάζουμε μόνο με μηδενικές αρχικές συνθήκες.

Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα γραμμικών ή μη γραμμικών συστημάτων:

Παράδειγμα 1: Το σύστημα που περιγράφεται με τη σχέση y(t)=2tx(t)+3 είναι γραμμικό ή όχι; Με σήμα εισόδου x1(t) το σύστημα δίνει σήμα εξόδου y1(t)=2tx1(t)+3, με σήμα εισόδου x2(t) το σύστημα δίνει σήμα εξόδου y2(t)=2tx2(t)+3 και με σήμα εισόδου αx1(t)+βx2(t) δίνει σήμα εξόδου z(t)=2t[αx1(t)+βx2(t)]+3= =2αtx1(t)+2βtx2(t)+3. O ίδιος γραμμικός συνδυασμός των σημάτων εισόδου, εφαρμοζόμενος στα αντίστοιχα σήματα εξόδου, δίνει το σήμα y(t)=αy1(t)+βy2(t)= =α[2tx1(t)+3]+β[2tx2(t)+3]=2αtx1(t)+3α+2βtx2(t)+3β=2αtx1(t)+2βtx2(t)+3α+3β. Αφού δεν είναι 3=3α+3β για όλες τις τιμές των σταθερών α και β, έχουμε ότι είναι z(t)≠y(t), οπότε το δοσμένο σύστημα είναι μη γραμμικό.

Θα έλεγε κανείς ότι, αφού η συνάρτηση 2tx(t)+3 είναι συνάρτηση πρώτου βαθμού ως προς x(t), που την ονομάζουμε γραμμική συνάρτηση, το σύστημα είναι γραμμικό. Αυτό είναι παραπλανητικό. Μόνο αν η σταθερά 3 ήταν μηδενική, το σύστημα θα ήταν γραμμικό. Προφανώς, το δοσμένο σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο, αλλά αυτό δεν έχει να κάνει με τη γραμμικότητα ή μη αυτού.

Παράδειγμα 2: Τo σύστημα που περιγράφεται με τη σχέση y(t)=2tx2(t)+ +3 είναι γραμμικό ή όχι; Με σήμα εισόδου x1(t), το σύστημα δίνει ως σήμα εξόδου το σήμα y1(t)=2tx12(t)+3, με σήμα εισόδου x2(t), το σύστημα δίνει ως σήμα εξόδου το σήμα y2(t)=2tx22(t)+3 και, με σήμα εισόδου αx1(t)+βx2(t), δίνει ως σήμα εξόδου το σήμα z(t)=2t[αx1(t)+βx2(t)]2+= =2t[α2x12(t)+β2x22(t)+2αβx1(t)x2(t)]+3=2tα2x12(t)+2tβ2x22(t)+ +4tαβx1(t)x2(t)+3. O ίδιος γραμμικός συνδυασμός των σημάτων εισόδου, εφαρμοζόμενος στα αντίστοιχα σήματα εξόδου, δίνει το σήμα y(t)=αy1(t)+βy2(t)=α[2tx12(t)+3]+β[2tx22(t)+3]=2αtx12(t)+3+

+2βtx22(t)+3. Συγκρίνοντας τα σήματα z(t) και y(t), βλέπουμε ότι δεν ταυτίζονται μεταξύ τους. Διαφέρουν κατά τον όρο 4tαβx1(t)x2(t), ο οποίος, φυσικά, για γενικά α και β, δεν είναι ίσος με 0 και κατά τους συντελεστές α2 και α και β2 και β. Επομένως, το σύστημα είναι μη γραμμικό.

Αυτό το συμπέρασμα έπρεπε να το περιμένουμε, λόγω της παρουσίας του όρου x2(t) στη μαθηματική περιγραφή του συστήματος. Ο όρος x2(t) είναι μη γραμμικός.

Παράδειγμα 3: Στα παραπάνω δύο συστήματα, το σήμα εξόδου δίνεται ως μια αλγεβρική σχέση-συνάρτηση του σήματος εισόδου. Αυτά τα συστήματα είναι στατικά, δηλ. η παρούσα τιμή του σήματος εξόδου τους εξαρτάται μόνο από την παρούσα τιμή του σήματος εισόδου τους. Ας δούμε και ένα σύστημα, στο οποίο η σχέση των σημάτων εισόδου-εξόδου περιγράφεται από μια διαφορική εξίσωση, την ακόλουθη:

y´´(t)+3ty´(t)–5y(t)=2x´(t)–6t2x(t)

H παρουσία του t και του t2 στους συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης κάνει το σύστημα χρονικά μεταβαλλόμενο. Τώρα, θα εξετάσουμε αν αυτό το σύστημα είναι γραμμικό. Έστω ότι στο σύστημα βάζουμε σήμα εισόδου το σήμα x1(t) και παίρνουμε ως σήμα εξόδου το σήμα y1(t). Ισχύει η σχέση: y1´´(t)+3ty1´(t)–5y1(t)=2x1´(t)–6t2x1(t). Επίσης, έστω ότι στο σύστημα βάζουμε σήμα εισόδου το σήμα x2(t) και παίρνουμε ως σήμα εξόδου το σήμα y2(t). Τότε θα έχουμε επίσης: y2´´(t)+3ty2´(t)–5y2(t)=2x2´(t)–6t2x2(t). Τώρα, θεωρούμε τον γραμμικό συνδυασμό x(t)=αx1(t)+βx2(t) των σημάτων εισόδου και τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό y(t)=αy1(t)+βy2(t) των σημάτων εξόδου. Αν αυτά τα δύο σήματα ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει το σύστημα, για όλα τα σήματα x1(t) και x2(t) και όλες τις σταθερές α και β, το σήμα αy1(t)+βy2(t) θα είναι το σήμα εξόδου του συστήματος με σήμα εισόδου το σήμα αx1(t)+βx2(t), επομένως το σύστημα θα είναι γραμμικό.

Στο πρώτο μέλος της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης, βάζουμε y(t)=αy1(t)+ βy2(t) και παίρνουμε:

y´´(t)+3ty´(t)–5y(t)=[αy1(t)+βy2(t)]´´+3t[αy1(t)+βy2(t)]´–5[αy1(t)+βy2(t)]=

=αy1´´(t)+βy2´´(t)+3tαy1´(t)+3tβy2´(t)–5αy1(t)–5βy2(t)=

= αy1´´(t)+3tαy1´(t)–5αy1(t)+βy2´´(t)+3tβy2´(t)–5βy2(t)=

=α[y1´´(t)+3ty1´(t)–5y1(t)]+β[y2´´(t)+3ty2´(t)–5y2(t)]=

=α[2x1´(t)–6t2x1(t)]+β[2x2´(t)–6t2x2(t)]=2αx1´(t)–6t2αx1(t)+2βx2´(t)–6t2βx2(t)]=

=2[αx1´(t)+βx2´(t)]– 6t2[αx1(t)+βx2(t)]=2x´(t)–6t2x(t).

Παρατηρούμε ότι με σήμα εισόδου το σήμα x(t)=αx1(t)+βx2(t), το σήμα y(t)=αy1(t)+βy2(t) ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει το σύστημα, άρα είναι το αντίστοιχο σήμα εξόδου του συστήματος. Επομένως, το σύστημα είναι γραμμικό.

Ένα σύστημα σαν το παραπάνω, θα συνέχιζε να είναι γραμμικό ακόμα και αν σε μερικούς όρους που περιλαμβάνουν το y(t) ή παραγώγους του ή το x(t) ή παραγώγους του υπήρχε και χρονική καθυστέρηση τ, δηλ. αν ήταν γραμμένο t–τ αντί για t. Δοκιμάστε να κάνετε την απόδειξη της γραμμικότητας ενός συστήματος σαν αυτό.

Ευσταθή και μη ευσταθή συστήματα

Ένα σήμα x(t) ονομάζεται φραγμένο, αν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Μ, τέτοιος ώστε να ισχύει η σχέση

Ο παραπάνω ορισμός της ευστάθειας ενός συστήματος ονομάζεται ευστάθεια φραγμένης εισόδου – φραγμένης εξόδου (bounded input – bounded output, ΒΙΒΟ). Υπάρχουν και άλλου είδους ορισμοί της ευστάθειας ενός συστήματος, τους οποίους μαθαίνουμε στα μαθήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Η ΒΙΒΟ ευστάθεια είναι πολύ συνηθισμένη. Ακολουθούν δύο παραδείγματα.

Παράδειγμα 1ο: Θα εξετάσουμε αν το σύστημα που περιγράφεται με τη σχέση εισόδου-εξόδου y(t)=2συν(2π50t)x(t)+3 είναι αιτιατό, χρονικά αμετάβλητο, γραμμικό και ευσταθές.

Αιτιατότητα: Η τιμή του σήματος εξόδου τη χρονική στιγμή t (παρούσα τιμή του σήματος εξόδου) εξαρτάται από την τιμή του σήματος εισόδου τη χρονική στιγμή t και όχι από μελλοντικές τιμές αυτού. Επομένως, το σύστημα είναι αιτιατό.

Χρονικά αμετάβλητο ή χρονικά μεταβαλλόμενο: Ο συντελεστής συν(2π50t) εξαρτάται από τον χρόνο t. Επομένως, το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Αυτή η απάντηση είναι αρκετή. Ας εξετάσουμε, όμως, το ερώτημα και «πιο αυστηρά», με βάση τον ορισμό: Τη χρονική στιγμή t, το σήμα εξόδου είναι y(t)=2συν(2π50t)x(t)+3, οπότε για τη χρονική στιγμή t–t0 έχουμε y(t–t0)=2συν[2π50(t–t0)]x(t–t0)+3. Ας δούμε και τι θα μας δώσει το σύστημα ως σήμα εξόδου, αν βάλουμε ως σήμα εισόδου το σήμα x(t–t0). Στην έκφραση y(t)=2συν(2π50t)x(t)+3, θα πρέπει να βάλουμε x(t–t0) αντί για x(t). Το κάνουμε και παίρνουμε το σήμα z(t)=2συν(2π50t)x(t–t0)+3, το οποίο είναι διαφορετικό από το σήμα y(t–t0)=2συν[2π50(t–t0)]x(t–t0)+3. Επομένως, το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο.

Γραμμικότητα: Με σήμα εισόδου το σήμα x1(t), το σήμα εξόδου είναι y1(t)=2συν(2π50t)x1(t)+3 και, με σήμα εισόδου το σήμα x2(t,) το σήμα εξόδου είναι y2(t)=2συν(2π50t)x2(t)+3. Αν σήμα εισόδου στο σύστημα είναι το σήμα αx1(t)+βx2(t), το σήμα εξόδου θα είναι z(t)=2συν(2π50t)[αx1(t)+βx2(t)]+3=2συν(2π50t)αx1(t)+ 2συν(2π50t)βx2(t)+3. Αν συγκρίνουμε αυτό το σήμα με το σήμα αy1(t)+βy2(t)= 2συν(2π50t)αx1(t)+3α+2συν(2π50t)βx2(t)+3β=2συν(2π50t)αx1(t)+2συν(2π50t)βx2(t)+3α+3β, βλέπουμε ότι αυτά τα σήματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, αφού είναι 3α+3β≠3. Επομένως, το σύστημα είναι μη γραμμικό. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι αν η σταθερά 3 ήταν μηδενική, το σύστημα θα ήταν γραμμικό.

Ευστάθεια: Αν το σήμα εισόδου x(t) είναι φραγμένο, δηλ. αν υπάρχει μια σταθερά Μ, τέτοια ώστε, για όλες τις τιμές του χρόνου t, να ισχύει η σχέση

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το δοσμένο σύστημα είναι αιτιατό, χρονικά μεταβαλλόμενο, μη γραμμικό και ευσταθές.

Παράδειγμα 2ο: Θα εξετάσουμε αν το σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση εισόδου-εξόδου y(t)=x(t+2)+2x(t–1) είναι αιτιατό, χρονικά αμετάβλητο, γραμμικό ή ευσταθές.

Αιτιατότητα: Η τιμή του σήματος εξόδου τη χρονική στιγμή t (παρούσα τιμή του σήματος εξόδου) εξαρτάται και από την τιμή του σήματος εισόδου τη χρονική στιγμή t+2, που είναι μελλοντική τιμή του. Επομένως, το σύστημα είναι μη αιτιατό.

Χρονικά αμετάβλητο ή χρονικά μεταβαλλόμενο: Οι συντελεστές 1 και 2 των x(t+2) και 2x(t–1) δεν εξαρτώνται από τον χρόνο t. Επομένως, το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Ας εξετάσουμε το ίδιο ερώτημα και με βάση τον ορισμό: Τη χρονική στιγμή t το σήμα εξόδου είναι y(t)=x(t+2)+2x(t–1), οπότε για τη χρονική στιγμή t–t0 είναι y(t–t0)=x(t–t0+2)+2x(t–t0–1). Ας δούμε και τι θα μας δώσει το σύστημα ως σήμα εξόδου, αν ως σήμα εισόδου βάλουμε το σήμα x(t–t0). Στην έκφραση y(t)=x(t+2)+2x(t–1) θα πρέπει να βάλουμε x(t–t0) αντί για x(t), δηλ. να βάλουμε x(t–t0+2) αντί για x(t+2) και x(t–t0–1) αντί για x(t–1). Το κάνουμε και παίρνουμε το σήμα z(t)=x(t–t0+2)+2x(t–t0–1), το οποίο είναι ίδιο με το σήμα y(t–t0)= =x(t–t0+2)+2x(t–t0–1). Επομένως, το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο.

Γραμμικότητα: Με σήμα εισόδου το σήμα x1(t), το σήμα εξόδου είναι y1(t)=x1(t+2)+2x1(t–1) και, με σήμα εισόδου το σήμα x2(t), το σήμα εξόδου είναι y2(t)=x2(t+2)+2x2(t–1). Αν σήμα εισόδου στο σύστημα είναι το σήμα αx1(t)+βx2(t), το σήμα εξόδου θα είναι z(t)=αx1(t+2)+βx2(t+2)+2[αx1(t–1)+βx2(t–1)]=α[x1(t+2)+ 2x1(t–1)]+β[x2(t+2)+2x2(t–1)]. Συγκρίνοντας αυτό το σήμα με το σήμα αy1(t)+βy2(t)=α[x1(t+2)+2x1(t–1)]+β[x2(t+2)+2x2(t–1)], βλέπουμε ότι αυτά τα δύο σήματα είναι ίσα μεταξύ τους. Επομένως, το σύστημα είναι γραμμικό.

Ευστάθεια: Αν το σήμα εισόδου x(t) είναι φραγμένο, δηλ. αν υπάρχει μια σταθερά Μ, τέτοια ώστε, για όλες τις τιμές του χρόνου t, να ισχύει η σχέση

=≤+2<Μ+2Μ=3Μ. Αυτή η ανισότητα ισχύει για όλες τις τιμές του χρόνου t. Επομένως, το σήμα εξόδου y(t) είναι φραγμένο, οπότε το σύστημά μας είναι ευσταθές (ΒΙΒΟ ευσταθές).

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το δοσμένο σύστημα είναι μη αιτιατό, χρονικά αμετάβλητο, γραμμικό και ευσταθές.

4.2 Σχέση σημάτων εισόδου και εξόδου γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων

Στις παραπάνω παραγράφους γνωρίσαμε μερικές κατηγορίες συστημάτων. «Καλά» συστήματα είναι όσα είναι αιτιατά, χρονικά αμετάβλητα και γραμμικά και δεν περιλαμβάνουν όρους καθυστέρησης στις μαθηματικές εκφράσεις που τα περιγράφουν, αν και σε μερικές περιπτώσεις, η παρουσία χρονικής καθυστέρησης σε κάποιους όρους δεν αποτελεί πρόβλημα. Τα συστήματα που είναι γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα φέρονται υπό το γενικό όνομα «γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα» (ΓΧΑ συστήματα). Η αντίστοιχη αγγλική ορολογία είναι linear time invariant systems (LTI systems). Ευτυχώς, πάρα πολλά από τα συστήματα της πράξης είναι ΓΧΑ συστήματα ή μπορούν να γίνουν τέτοια, ύστερα από κάποιες προσεγγίσεις - γραμμικοποιήσεις που τους κάνουμε. Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ακόμα καλύτερο αν είναι και ευσταθές (ΒΙΒΟ ευσταθές).

Κατά κανόνα, ένα ΓΧΑ σύστημα περιγράφεται από μια γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Το πρώτο μέλος αυτής περιέχει έναν γραμμικό συνδυασμό, με σταθερούς συντελεστές, του σήματος εξόδου y(t) του συστήματος και παραγώγων αυτού. Δεν περιλαμβάνει γινόμενα τέτοιων όρων, δυνάμεις αυτών, απόλυτες τιμές αυτών κ.λπ. Το δεύτερο μέλος της διαφορικής εξίσωσης περιέχει έναν γραμμικό συνδυασμό, με σταθερούς συντελεστές, του σήματος εισόδου x(t) του συστήματος και παραγώγων του. Ομοίως, δεν περιλαμβάνει γινόμενα τέτοιων όρων, δυνάμεις αυτών, απόλυτες τιμές αυτών κ.λπ.

Δεν είναι καθόλου απλή υπόθεση από τη φυσική περιγραφή ενός ΓΧΑ συστήματος να βρούμε τη διαφορική εξίσωση που διέπει τη λειτουργία του. Σε επόμενες Ενότητες θα δούμε μερικά παραδείγματα και θα αντιμετωπίσουμε τις σχετικές δυσκολίες. Στο μέγιστο μέρος του βιβλίου θα θεωρούμε δοσμένη την εν λόγω διαφορική εξίσωση ή θα θεωρούμε ότι μας δίνονται αρκετά στοιχεία ώστε, αν τη χρειαζόμαστε, να μπορούμε να τη βρούμε.

Έστω ότι έχουμε ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (ΓΧΑ) σύστημα και στην είσοδό του οδηγούμε την κρουστική συνάρτηση δ(t). Θεωρούμε ότι, πριν το σήμα δ(t), κανένα άλλο σήμα δεν έχει οδηγηθεί στην είσοδο του συστήματος, οπότε το σύστημα βρίσκεται σε «ηρεμία», δηλ. η τιμή του σήματος εξόδου του είναι συνεχώς ίση με 0 και, φυσικά, το ίδιο συμβαίνει και με τις παραγώγους αυτού όλων των τάξεων. Με άλλα λόγια, θεωρούμε ότι οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. Το σήμα που δίνει στην έξοδό του το σύστημα, όταν σήμα εισόδου είναι το σήμα δ(t), ονομάζεται κρουστική απόκριση του συστήματος και είναι μια συνάρτηση, η οποία χαρακτηρίζει το σύστημα. Αυτή, συνήθως, συμβολίζεται με h(t). Διαφορετικά συστήματα έχουν, εν γένει, διαφορετικές κρουστικές αποκρίσεις.

(t0tδ(t)h(t)Σύστημαείσοδοςέξοδος)

Σχ. 4.2 Η κρουστική απόκριση ενός συστήματος.

Στο Παράρτημα «Παράρτημα ΙΓ. Απόδειξη της σχέσης εισόδου-εξόδου γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος» στο τέλος του βιβλίου, αποδεικνύουμε ότι, αν σήμα εισόδου ενός συστήματος είναι ένα οποιοδήποτε σήμα x(t), τότε το σήμα εξόδου y(t) του συστήματος είναι ίσο με τη συνέλιξη του σήματος εισόδου x(t) με την κρουστική απόκριση h(t) του συστήματος. Δηλ. είναι:

(4.1)

Έτσι, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος, μπορούμε, θεωρητικά τουλάχιστον, να βρούμε την απόκρισή του σε οποιοδήποτε σήμα εισόδου, αρκεί να υπολογίσουμε τη συνέλιξη του σήματος εισόδου με την κρουστική απόκριση του συστήματος. Όμως, αυτό δεν είναι κάτι απλό. Απλώς, ας θυμηθούμε τον ορισμό της συνέλιξης δύο συναρτήσεων, εδώ των x(t) και h(t): . Όπως έχουμε πει, δεν έχει σημασία σε ποια συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμα θα βάλουμε το τ και σε ποια το t–τ. Αυτό το αποδεικνύουμε και στο Παράρτημα «Παράρτημα Ε. Απόδειξη των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Fourier». Στη σχέση (4.1), τα εμπλεκόμενα σήματα μπορούν να έχουν και μη μηδενικές τιμές για αρνητικά t, δηλ. να είναι μη αιτιοκρατικά σήματα.

Α) Μια ιδιότητα που έχει η κρουστική απόκριση h(t) ενός ΓΧΑ συστήματος είναι ότι από αυτήν αναγνωρίζουμε «αμέσως» αν το σύστημα είναι ΒΙΒΟ ευσταθές ή όχι. Είναι ευσταθές αν και μόνο αν το ολοκλήρωμα συγκλίνει (δηλ. αν έχει πεπερασμένη τιμή). Αν αυτό το ολοκλήρωμα έχει πεπερασμένη τιμή, το σύστημα είναι ευσταθές και, αν έχει άπειρη τιμή, το σύστημα είναι ασταθές. Αντίστροφα, για ένα ευσταθές σύστημα, το ολοκλήρωμα έχει πεπερασμένη τιμή και, για ένα ασταθές σύστημα, έχει άπειρη τιμή.

Ας κάνουμε την απόδειξη αυτής της πρότασης: Έστω ότι, για ένα σύστημα που έχει κρουστική απόκριση h(t), το είναι πεπερασμένο. Αν το σήμα εισόδου x(t) του συστήματος είναι φραγμένο, δηλ. αν υπάρχει θετική σταθερά Μ, τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση

Τώρα θα αποδείξουμε και το αντίστροφο: Αν το σύστημα είναι ευσταθές, το ολοκλήρωμα έχει πεπερασμένη τιμή. Αυτό θα το κάνουμε με την εις άτοπο απαγωγή. Έστω ότι το έχει άπειρη τιμή. Στην είσοδο του συστήματος οδηγούμε ένα σήμα x(t), το οποίο τον χρόνο t έχει ως τιμή το πρόσημο της h(–t), δηλ. οδηγούμε το σήμα x(t)=sgn{h(–t)}. Αυτό το σήμα παίρνει τιμές μόνο +1 και –1, συνεπώς είναι φραγμένο. Παρακάτω θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα xsgn(x)=. H τιμή του σήματος εξόδου y(t) τη χρονική στιγμή 0 είναι ίση με y(0)==== ==. Όμως, το έχει άπειρη τιμή, οπότε και το y(0) έχει άπειρη τιμή, ενώ θα έπρεπε να έχει πεπερασμένη τιμή, αφού το σύστημα είναι ευσταθές. Επομένως, το δεν μπορεί να έχει άπειρη τιμή.

Έτσι, αποδείξαμε ότι ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνον αν, για την κρουστική του απόκριση h(t), το έχει πεπερασμένη τιμή. Αμέσως παρακάτω αποδεικνύουμε και την ιδιότητα ότι, αν το σύστημα είναι αιτιατό, ισχύει η σχέση h(t)=0, για t<0, δηλ. η κρουστική του απόκριση είναι αιτιοκρατικό σήμα. Έτσι, για ένα αιτιατό σύστημα, το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι ίσο με .

Β) Τώρα, θα αποδείξουμε ότι αναγκαία και ικανή συνθήκη, για να είναι ένα σύστημα αιτιατό, είναι η κρουστική του απόκριση να έχει μηδενική τιμή, για όλες τις αρνητικές τιμές του χρόνου t. Αν το σύστημα είναι αιτιατό και βάλουμε στην είσοδό του το σήμα δ(t), το οποίο «αρχίζει» τη στιγμή 0–, δηλ. είναι μηδενικό για t<0, η έξοδός του για αρνητικά t θα είναι μηδενική, αφού αυτή εξαρτάται από την τιμή του σήματος εισόδου τη χρονική στιγμή t και παρελθούσες αυτής χρονικές στιγμές. Όλες αυτές οι τιμές της συνάρτησης δ(t) είναι μηδενικές. Έτσι, για t<0, το αιτιατό σύστημα δίνει μηδενικό σήμα εξόδου, αφού δεν έχει «δει» ακόμα μη μηδενικό σήμα εισόδου. Φυσικά, υποθέτουμε ότι, τον χρόνο t=–, κάθε σύστημα βρίσκεται σε «ηρεμία», δηλ. ότι το σήμα εξόδου του είναι μηδενικό. Από τον χρόνο αυτόν μέχρι τον χρόνο t=0, που εφαρμόζουμε το σήμα δ(t), το σύστημα εξακολουθεί να είναι σε ηρεμία, αφού κανένα σήμα εισόδου δεν την «διατάραξε». Έτσι, έχουμε h(t)=0, για t<0.

Ας δούμε και το αντίστροφο: Έστω ότι για το σύστημα είναι h(t)=0, για t<0. Αν σήμα εισόδου του συστήματος είναι το σήμα x(t), σήμα εξόδου του συστήματος είναι το σήμα y(t)=x(t)h(t)=. Αφού στο ολοκλήρωμα είναι τ≥0, σε αυτό οι χρονικές στιγμές τιμές t–τ είναι ή η παρούσα χρονική στιγμή t (αντιστοιχεί σε τ=0) ή παρελθούσες αυτής χρονικές στιγμές (αντιστοιχούν σε τ>0). Επομένως, το σήμα y(t) τη χρονική στιγμή t έχει τιμή που εξαρτάται από τις τιμές x(t–τ), από τις οποίες καμιά δεν είναι μελλοντική τιμή της x(t). Αυτό συμβαίνει για όλα τα σήματα x(t), οπότε το σύστημα είναι αιτιατό. Φυσικά, σε ένα αιτιατό σύστημα μπορούμε να βάλουμε ως είσοδο ένα μη αιτιοκρατικό σήμα και να πάρουμε μη μηδενικό σήμα εξόδου και για αρνητικές χρονικές στιγμές. Για t<0, το αιτιατό σύστημα υπάρχει και λειτουργεί, οπότε μπορεί να αποκρίνεται σε σήματα που οδηγούνται τότε στην είσοδό του και το κάνει.

Έστω ότι το σύστημά μας είναι μη αιτιατό, οπότε είναι h(τ)≠0 για κάποιο ή κάποια διαστήματα αρνητικών τιμών Δ του χρόνου τ. Από τη σχέση βλέπουμε ότι, για κάθε τιμή του χρόνου t, το μέρος του συνελικτικού ολοκληρώματος που αντιστοιχεί στα τ, τα οποία μεταβάλλονται μέσα στα διαστήματα Δ, δίνει στην τιμή y(t) ένα μέρος της που εξαρτάται από τις τιμές x(t–τ), οι οποίες, αφού το τ είναι αρνητικό, είναι μελλοντικές τιμές του σήματος εισόδου x(t). Αυτό δείχνει ότι το y(t) εξαρτάται και από μελλοντικές τιμές του σήματος εισόδου x(t), δηλ., όντως, το σύστημα είναι μη αιτιατό. Έτσι, κάθε χρονική στιγμή t, το σύστημα «μαντεύει» τις μελλοντικές τιμές x(t–τ) του σήματος εισόδου και τις χρησιμοποιεί για να σχηματίσει την τιμή του y(t)! Επομένως, ένα μη αιτιατό σύστημα είναι μη πραγματοποιήσιμο στον υπαρκτό μας κόσμο.

Γ) Ας πάρουμε τον μετασχηματισμό Fourier και των δύο μελών της σχέσης (4.1). Σύμφωνα με την ένατη ιδιότητα του μετασχηματισμού Fourier, έχουμε:

(4.2)

Έτσι, αν γνωρίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier Η(f) της κρουστικής απόκρισης h(t) ενός ΓΧΑ συστήματος και τον μετασχηματισμό Fourier Χ(f) του σήματος εισόδου του x(t), βρίσκουμε αμέσως τον μετασχηματισμό Fourier Υ(f) του σήματος εξόδου του y(t). Ύστερα, παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier του Y(f) βρίσκουμε το σήμα εξόδου y(t) του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. Η δυσκολία έγκειται στο γεγονός ότι δεν είναι πάντα εύκολο να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier του Y(f). Από το άλλο μέρος, πολύ συχνά, δεν χρειαζόμαστε καν να υπολογίσουμε τον εν λόγω αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier. Οι πληροφορίες που μας παρέχει ο Y(f) είναι αρκετές. Σε λίγο, θα δούμε ότι ίδια σχέση με την (4.2) ισχύει και για τον μετασχηματισμό Laplace των σημάτων εισόδου και εξόδου ενός συστήματος.

Έστω, τώρα, ότι στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος, που έχει κρουστική απόκριση h(t), οδηγούμε το μιγαδικό σήμα x(t)=ej2πft =συν2πft+jημ2πft. Αυτό έχει πλάτος 1 και φάση 0. To ότι το σήμα εισόδου x(t) είναι μιγαδικό δεν μας ενοχλεί. Εφαρμόζουμε τη σχέση (4.1) και βρίσκουμε αμέσως ως σήμα εξόδου του το σήμα:

.

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι, και αν το μιγαδικό σήμα x(t) είχε πλάτος Α και φάση φ, δηλ. αν ήταν x(t)=Aej2πft+φ, θα πάλι είχαμε y(t)=x(t)H(f)=Aej2πft+φΗ(f). Δηλ. βλέπουμε ότι, αν σε ένα ΓΧΑ σύστημα βάλουμε ως σήμα εισόδου ένα μιγαδικό ημίτονο συχνότητας f, θα πάρουμε στην έξοδό του το ίδιο μιγαδικό ημίτονο πολλαπλασιασμένο επί την τιμή του μετασχηματισμού Fourier H(f) της κρουστικής απόκρισης h(t) του συστήματος στη συχνότητα f. Για αυτό το λόγο, ο H(f) ονομάζεται και απόκριση συχνότητας του συστήματος.

Στα παραπάνω, ίσως σας ενόχλησε το ότι, ενώ τη σχέση (4.1) την έχουμε αποδείξει για πραγματικά σήματα εισόδου, εδώ την εφαρμόσαμε για μιγαδικό σήμα εισόδου. Αν σας ενοχλεί αυτό, συνεχίστε με την παρακάτω απόδειξη. Αν δεν σας ενοχλεί, πηγαίνετε μια παράγραφο πιο κάτω. Για την απόδειξη, θεωρήστε το μιγαδικό σήμα ej2πft=συν2πft+jημ2πft ως ένα ζευγάρι πραγματικών σημάτων, του σήματος συν2πft και του σήματος ημ2πft. Σε καθένα από αυτά τα σήματα το σύστημα δίνει ως σήμα εξόδου τη συνέλιξη της h(t) με το αντίστοιχο σήμα εισόδου. Έτσι, θα λάβουμε ένα ζευγάρι πραγματικών σημάτων εξόδου, το [συν2πfth(t), ημ2πfth(t)]. Ας γράψουμε αυτό το ζευγάρι πραγματικών σημάτων ως ένα μιγαδικό σήμα, το σήμα [συν2πfth(t)+jημ2πfth(t)]. Έχουμε:

συν2πfth(t)+jημ2πfth(t)=

+j=

=+

+j

=++

+jj=

=[j+

+j[j=

=+j)[j=

=+j)=

=.

Όμως, το είναι ο μετασχηματισμός Fourier H(f) της κρουστικής απόκρισης h(t) του συστήματος. Έτσι, έχουμε ότι, με σήμα εισόδου το μιγαδικό ημίτονο ej2πft=συν2πft+jημ2πft, σήμα εξόδου του συστήματος είναι το μιγαδικό ημίτονο ej2πftΗ(f). Δηλ., με σήμα εισόδου το συν2πft, παίρνουμε ως σήμα εξόδου το πραγματικό μέρος του ej2πftΗ(f) και, με σήμα εισόδου το σήμα ημ2πft, παίρνουμε ως σήμα εξόδου το φανταστικό μέρος του ej2πftΗ(f).

Γενικότερα, αν σήμα εισόδου του συστήματος είναι το μιγαδικό ημίτονο Aej(2πft+φ)=Aσυν(2πft+φ)+jΑημ(2πft+φ), τότε σήμα εξόδου του συστήματος είναι το μιγαδικό ημίτονο Aej(2πft+φ)Η(f), το οποίο γράφεται και ως Aej(2πft+φ)ejArg{H(f)}= Aej[2πft+φ+Arg{H(f)}]. Το πραγματικό μέρος του μιγαδικού σήματος εισόδου είναι Ασυν(2πft+φ) και το πραγματικό μέρος του μιγαδικού σήματος εξόδου είναι Aσυν[2πft+φ+Arg{H(f)}]. Έτσι, αποδείξαμε αυστηρά ότι, αν σε ένα ΓΧΑ σύστημα βάλουμε ως σήμα εισόδου ένα ημιτονικό σήμα πλάτους Α, συχνότητας f και φάσης φ, δηλ. αν βάλουμε ως σήμα εισόδου το σήμα Ασυν(2πft+φ), στην έξοδο του συστήματος θα λάβουμε πάλι ημιτονικό σήμα ίδιας συχνότητας f, πλάτους A και φάσης φ+Arg{H(f)}, ήτοι θα λάβουμε ως σήμα εξόδου το σήμα Aσυν[2πft+φ+Arg{H(f)}]. Ώστε, στο ημιτονικό σήμα που οδηγούμε στην είσοδό του, το ΓΧΑ σύστημα δεν αλλάζει τη συχνότητα, αλλά πολλαπλασιάζει το πλάτος επί το μέτρο που έχει η απόκριση συχνότητας του συστήματος στη συχνότητα του ημιτονικού σήματος εισόδου και προσθέτει στη φάση το όρισμα που έχει η απόκριση συχνότητας του συστήματος στη συχνότητα του ημιτονικού σήματος εισόδου.

Ας πάμε για λίγο στη σχέση (4.2) και ας πάρουμε τα μέτρα και τα ορίσματα των δύο μελών. Προκύπτουν οι σχέσεις:

(4.3)

και

(4.4)

Επομένως, το φάσμα πλάτους του σήματος εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος προκύπτει από το φάσμα πλάτους του σήματος εισόδου του με πολλαπλασιασμό επί και το φάσμα φάσης του σήματος εξόδου προκύπτει από το φάσμα φάσης του σήματος εισόδου του με πρόσθεση του .

Έχουμε πει ότι ο Η(f) ονομάζεται απόκριση συχνότητας του συστήματος. Το ονομάζεται απόκριση πλάτους του συστήματος και το απόκριση φάσης του συστήματος.

Από τη σχέση (4.3) βλέπουμε αμέσως ότι, αν σε κάποια συχνότητα ή ζώνη συχνοτήτων είναι Χ(f)=0, εκεί έχουμε και Y(f)=0. Δηλ., αν το σήμα εισόδου έχει μηδενικό φασματικό περιεχόμενο σε κάποια ζώνη συχνοτήτων, εκεί έχει μηδενικό φασματικό περιεχόμενο και το σήμα εξόδου. Με άλλα λόγια, ένα ΓΧΑ σύστημα δεν «γεννάει» φασματικό περιεχόμενο σε συχνότητες όπου δεν έχει φασματικό περιεχόμενο το σήμα εισόδου. Αντίθετα, το σήμα εξόδου μπορεί να έχει μηδενικό φασματικό περιεχόμενο σε ζώνη ή ζώνες συχνοτήτων όπου το σήμα εισόδου έχει μη μηδενικό φασματικό περιεχόμενο. Αυτό συμβαίνει αν στις εν λόγω ζώνες συχνοτήτων έχει μηδενική τιμή η απόκριση συχνότητας H(f) του συστήματος. Αυτή τη δουλειά την κάνουν τα φίλτρα, για τα οποία έχουμε μιλήσει συνοπτικά στο τέλος του Κεφαλαίου 1.

Δ) Ας πάμε πίσω στη σχέση (4.1) και ας πάρουμε τον μετασχηματισμό Laplace και των δύο μελών της. Σύμφωνα με την Ιδιότητα ζ του μετασχηματισμού Laplace, έχουμε:

(4.5)

Έτσι, αν γνωρίζουμε τον μετασχηματισμό Laplace Η(s) της κρουστικής απόκρισης h(t) ενός ΓΧΑ συστήματος και τον μετασχηματισμό Laplace Χ(s) του σήματος εισόδου του x(t), βρίσκουμε αμέσως τον μετασχηματισμό Laplace Υ(s) του σήματος εξόδου του y(t). Ύστερα, παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του Y(s), βρίσκουμε το σήμα εξόδου y(t) του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. Ο μετασχηματισμός Laplace Η(s) της κρουστικής απόκρισης h(t) ενός συστήματος ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς αυτού. Υπενθυμίζουμε ότι, τώρα που παίρνουμε τον (μονόπλευρο) μετασχηματισμό Laplace, το σήμα x(t) θεωρείται αιτιοκρατικό, δηλ. έχει μηδενικές τιμές για αρνητικά t. Επίσης, και η κρουστική απόκριση h(t) του συστήματος πρέπει να έχει μηδενικές τιμές για αρνητικά t, δηλ. το σύστημα να είναι αιτιατό. Για την εξέταση μη αιτιατών συστημάτων, που μπορεί να δέχονται στην είσοδό τους και μη αιτιοκρατικά σήματα, κατάλληλος είναι ο δίπλευρος μετασχηματισμός Laplace, για τον οποίο μιλάμε στο Παράρτημα «Παράρτημα ΙB. Ο δίπλευρος μετασχηματισμός Laplace», στο τέλος του βιβλίου.

Εδώ θα δούμε πώς από τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει ένα ΓΧΑ σύστημα συνεχούς χρόνου θα μεταβούμε στη συνάρτηση μεταφοράς του και αντίστροφα. Έστω ότι ένα σύστημα με σήμα εισόδου x(t) και σήμα εξόδου y(t) περιγράφεται με τη διαφορική εξίσωση . Από τη ιδιότητα β του μετασχηματισμού Laplace (παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου) προκύπτει ότι, με μηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλ. με μηδενικές τιμές του σήματος και όλων των παραγώγων του τη χρονική στιγμή 0–, έχουμε ότι L{}=sX(s), L{}=s2X(s) κ.ο.κ. Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Laplace και των δύο μελών της διαφορικής εξίσωσης βρίσκουμε s2Υ(s)–3sY(s)+2Y(s)=sX(s)–2X(s) (s2–3s+2)Y(s)=(s–2)X(s) . Όμως, από τη σχέση (4.5) προκύπτει ότι το πηλίκο είναι ίσο με τη συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος. Ώστε, έχουμε H(s)=.

Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι ένα ΓΧΑ σύστημα συνεχούς χρόνου με σήμα εισόδου x(t) και σήμα εξόδου y(t) έχει συνάρτηση μεταφοράς H(s), η οποία είναι ίση με το πηλίκο δύο πολυωνύμων, π. χ. ίση με . Θα βρούμε τη διαφορική εξίσωση που συνδέει τα σήματα x(t) και y(t). Στη σχέση H(s)= γράφουμε , αντί για H(s), και παίρνουμε = ) . Αν πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και των δύο μελών της τελευταίας ισότητας, υποθέτοντας μηδενικές αρχικές συνθήκες, θα προκύψει η διαφορική εξίσωση +2, η οποία είναι η ζητούμενη.

Παραπάνω δείξαμε τη μεθοδολογία μέσω δύο παραδειγμάτων. Είναι προφανές πώς θα γίνει η εφαρμογή της και σε άλλες περιπτώσεις. Επίσης, αντί να πούμε ότι εφαρμόζουμε τον (μονόπλευρο) μετασχηματισμό Laplace με μηδενικές αρχικές συνθήκες, θα μπορούσαμε να πούμε ότι εφαρμόζουμε τον δίπλευρο μετασχηματισμό Laplace και να καταλήξουμε στα ίδια αποτελέσματα.

Ε) Ας δούμε τι σήμα θα πάρουμε στην έξοδο ενός ΓΧΑ συστήματος συνεχούς χρόνου αν στην είσοδό του οδηγήσουμε το σήμα x(t)=ept, όπου p είναι μια μιγαδική σταθερά p=α+jβ. Εδώ, ο χρόνος t παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές. Από τον τύπο (4.1) βρίσκουμε αμέσως ότι το ζητούμενο σήμα εξόδου y(t) είναι:

.

Επομένως, αν στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος οδηγήσουμε το εκθετικό σήμα ept, στην έξοδο θα λάβουμε το ίδιο εκθετικό σήμα, πολλαπλασιασμένο επί την τιμή που έχει η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος στη μιγαδική συχνότητα s=p. Φυσικά, το παραπάνω αποτέλεσμα ισχύει και αν η σταθερά p στο σήμα ept είναι καθαρά πραγματικός ή καθαρά φανταστικός αριθμός.

Αν, στην παραπάνω απόδειξη, δεν σας αρέσει το ότι εφαρμόσαμε τον τύπο της συνέλιξης, με το x(t) να είναι μιγαδικό σήμα, ήτοι να είναι το σήμα ept=e(α+jβ)t= ept(συνβt+jημβt)=eptσυνβt+jeptημβt, και όχι πραγματικό, ακολουθήστε την πορεία που ακολουθήσαμε λίγες παραγράφους πιο πριν, για σήμα εισόδου το ej2πft=συν2πft+ jημ2πft, και φθάστε στο ίδιο αποτέλεσμα.

Αρχικές συνθήκες

Έστω ότι στην είσοδο ενός αιτιατού συστήματος που έχει κρουστική απόκριση h(t) οδηγούμε ένα σήμα, το οποίο έχει ένα γνησίως μη αιτιοκρατικό μέρος p(t) και ένα γνησίως αιτιοκρατικό μέρος x(t). Δηλ., σήμα εισόδου είναι το σήμα p(t)+x(t), με p(t)=0, για t≥0, και x(t)=0, για t<0. Τώρα, η σχέση (4.1) γράφεται ως =. Ας επικεντρωθούμε στις θετικές χρονικές στιγμές του χρόνου t. Αυτές τις χρονικές στιγμές, το μέρος του σήματος εξόδου εξαρτάται από το αιτιοκρατικό σήμα x(t) που εφαρμόστηκε τη χρονική στιγμή t=0 και το μέρος του σήματος εξόδου εξαρτάται από το μη αιτιοκρατικό σήμα p(t) που ήταν στην είσοδο του συστήματος κατά το διάστημα (–, 0). Αφού το σήμα έχει, γενικά, μη μηδενικές τιμές και για t≥0, το σήμα p(t) έχει επίπτωση στις τιμές του σήματος εξόδου και για μη αρνητικές τιμές του χρόνου t. Η εφαρμογή του σήματος p(t) έχει ως αποτέλεσμα να λάβουν συγκεκριμένες τιμές η τιμή και οι παράγωγοι πρώτης, δευτέρας, τρίτης κ.λπ. τάξης του σήματος εξόδου y(t) τη χρονική στιγμή t=0.

Στη συνέχεια της παρούσας Ενότητας θα δούμε ότι, κατά τις χρονικές στιγμές t>0, η επίδραση στο σήμα εξόδου y(t) την οποία έχει το σήμα εισόδου p(t), από τη «ζωή» του κατά το χρονικό διάστημα (–, 0), είναι ταυτόσημη με το να ξεκινήσει η λειτουργία του συστήματος τη χρονική στιγμή t=0, με σήμα εισόδου να είναι το σήμα x(t), αλλά το σήμα εξόδου y(t) και οι παράγωγοί του τη χρονική στιγμή t=0 να έχουν συγκεκριμένες τιμές, αυτές που διαμορφώθηκαν από τη λειτουργία του συστήματος, για t<0, με σήμα εισόδου το σήμα p(t). Δηλ., η προϊστορία της λειτουργίας του συστήματος έχει καταγραφεί στις τιμές y(0), y´(0), y´´(0) κ.λπ. Αυτές οι τιμές είναι οι αρχικές συνθήκες του συστήματος τη χρονική στιγμή t=0, κατά την οποία εφαρμόζεται το αιτιοκρατικό σήμα εσόδου x(t). Αν σήμα εισόδου ενός συστήματος μπορεί να είναι και μια κρουστική συνάρτηση δ(t), αρχικές συνθήκες είναι οι τιμές y(0–), y´(0–), y´´(0–) κ.λπ.

Αρχικές συνθήκες μπορούμε να πούμε ότι έχουμε και σε μια άλλη χρονική στιγμή t0, κατά την οποία εφαρμόζουμε στο σύστημα ένα σήμα εισόδου, το οποίο έχει μηδενικές τιμές για t

Το ότι η σχέση ισχύει με μηδενικές αρχικές συνθήκες σημαίνει ότι και η ισοδύναμη αυτής σχέση Y(s)=H(s)X(s) ισχύει με μηδενικές αρχικές συνθήκες.

Πολύ συχνά, για ευσταθή συστήματα, και όταν ακόμα υπάρχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες, η επίδρασή τους στο σήμα εξόδου γρήγορα εξασθενίζει και, πρακτικά, μηδενίζεται. Αυτή η επίδραση συνιστά το μεταβατικό φαινόμενο, το οποίο σύντομα «σβήνει». Απομένει το μέρος του σήματος εξόδου, το οποίο συνιστά τη μόνιμη κατάσταση. Για τη μόνιμη κατάσταση ισχύει η σχέση Y(s)=H(s)X(s), η οποία γράφεται και ως . Δηλ. ο λόγος του μετασχηματισμού Laplace του σήματος εξόδου προς τον μετασχηματισμό Laplace του σήματος εισόδου ενός ΓΧΑ συστήματος, στη μόνιμη κατάσταση, είναι ανεξάρτητος από τα εν λόγω σήματα και εξαρτάται μόνο από το σύστημα. Είναι ίσος με τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος.

Σύνδεση συστημάτων

Πολύ συχνά, το σήμα εξόδου ενός συστήματος χρησιμοποιείται ως σήμα εισόδου σε ένα άλλο σύστημα ή τα σήματα εξόδου δύο συστημάτων προστίθενται μεταξύ τους και δίνουν το σήμα εξόδου ενός μεγαλύτερου συστήματος. Βλέπουμε, δηλαδή, ότι δύο ή περισσότερα συστήματα μπορούν αν συνδεθούν μεταξύ τους, με τον έναν ή το άλλον τρόπο.

Όταν το σήμα εξόδου y1(t) ενός συστήματος, που έχει συνάρτηση μεταφοράς H1(s), είναι σήμα εισόδου σε ένα άλλο σύστημα, που έχει συνάρτηση μεταφοράς H2(s), και το σήμα εξόδου του δευτέρου συστήματος είναι το σήμα εξόδου του συνδυασμού των δύο συστημάτων, λέμε ότι τα δύο συστήματα είναι συνδεδεμένα σε σειρά. Επίσης, όταν ένα σήμα εισόδου εφαρμόζεται ταυτόχρονα στις εισόδους δύο συστημάτων, που έχουν συναρτήσεις μεταφοράς H1(s) και H2(s), και τα σήματα εξόδου y1(t) και y2(t) των δύο συστημάτων προστίθενται και δίνουν το τελικό σήμα εξόδου y(t), λέμε ότι τα δύο συστήματα είναι συνδεδεμένα παράλληλα. Αυτά φαίνονται στο σχήμα 4.3 που ακολουθεί:

(+y2(t)=y(t)(α)y1(t)h1(t)x(t)X(s)Y1(s)Y(s)h2(t)H1(s)H2(s)y2(t)(β)y1(t)h1(t)x(t)X(s)Y1(s)Y2(s)h2(t)H1(s)H2(s)y1(t)+y2(t)=y(t)Y(s))

Σχ. 4.3 Σύνδεση συστημάτων (α) σε σειρά και (β) παράλληλα.

Στη σύνδεση σε σειρά, έχουμε Y1(s)=H1(s)X(s) και Y(s)=H2(s)Υ1(s). Επομένως, έχουμε Υ(s)=H2(s)H1(s)X(s). Αυτό σημαίνει ότι η όλη διάταξη της σύνδεσης των δύο συστημάτων σε σειρά ισοδυναμεί με ένα σύστημα που έχει σήμα εισόδου το σήμα x(t), σήμα εξόδου το σήμα y(t) και συνάρτηση μεταφοράς H(s)=H1(s)H2(s). Αν σε αυτή τη σχέση πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, θα προκύψει η σχέση h(t)=h1(t)h2(t). Τα δύο συστήματα μπορούν να αντικατασταθούν από ένα ισοδύναμο σύστημα που έχει συνάρτηση μεταφοράς την H(s)=H1(s)H2(s) και κρουστική απόκριση την h(t)=h1(t)h2(t).

Στην παράλληλη σύνδεση, έχουμε Y(s)=Y1(s)+Y2(s)=H1(s)X(s)+H2(s)X(s)= =[H1(s)+H2(s)]X(s). H σχέση Y(s)=[H1(s)+H2(s)]X(s) σημαίνει ότι η όλη διάταξη της σύνδεσης των δύο συστημάτων παράλληλα ισοδυναμεί με ένα σύστημα που έχει σήμα εισόδου το σήμα x(t), σήμα εξόδου το σήμα y(t) και συνάρτηση μεταφοράς H(s)=H1(s)+H2(s). Αν σε αυτή τη σχέση πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, θα προκύψει η σχέση h(t)=h1(t)+h2(t). Τα δύο συστήματα μπορούν να αντικατασταθούν από ένα ισοδύναμο σύστημα που έχει συνάρτηση μεταφοράς την H(s)=H1(s)+H2(s) και κρουστική απόκριση την h(t)=h1(t)+h2(t).

Αυτά τα αποτελέσματα μπορούν, επαγωγικά, να επεκταθούν και σε σύνδεση περισσότερων συστημάτων σε σειρά, παράλληλα ή «ανακατεμένα» και να ληφθεί η συνάρτηση μεταφοράς ενός ισοδύναμου συστήματος.

4.3 Εφαρμογές

Εδώ θα δούμε μερικές εφαρμογές των ανωτέρω.

Εφαρμογή 1: Ξεκινάμε με ένα σύστημα πρώτης τάξης, το οποίο έχει κρουστική απόκριση h(t)=e–2tu(t), με τον χρόνο t να μετρείται σε msec.

Α) H απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι H(f)=F{h(t)}=F{e–2tu(t)}, με τη συχνότητα f να μετρείται σε kHz. Από τον πίνακα μετασχηματισμών Fourier βλέπουμε ότι είναι F{e–2t u(t)}=. Εξ άλλου, δεν είναι δύσκολο να τον βρούμε και με απ’ ευθείας εφαρμογή του ορισμού. Επομένως, έχουμε: H(f)=.

Η απόκριση πλάτους του συστήματος είναι = και η απόκριση φάσης του είναι Arg{H(f)}=Arg{=Arg{1}– Arg{2+j2πf}=0–τοξεφ(2πf/2)=–τοξεφ(πf). Στο παρακάτω σχήμα 4.4 δείχνουμε την απόκριση πλάτους και την απόκριση φάσης του συστήματος μόνο για θετικές συχνότητες. Αφού η απόκριση πλάτους του συστήματος είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας, αν θέλετε να τη σχεδιάσετε και για αρνητικές συχνότητες, αναδιπλώστε το δεξιό ημιεπίπεδο γύρω από τον κατακόρυφο άξονα (άξονα των τεταγμένων), μέχρις αυτό να πέσει πάνω στο αριστερό ημιεπίπεδο, και, όπου πέσει η γραφική παράσταση, αυτός θα είναι ο κλάδος της απόκρισης πλάτους για αρνητικές συχνότητες. Επίσης, αφού η απόκριση φάσης Arg{H(f)} του συστήματος είναι περιττή συνάρτηση της συχνότητας, αν θέλετε να τη σχεδιάσετε και για αρνητικές συχνότητες, περιστρέψτε το δεξιό ημιεπίπεδο, πάνω στο επίπεδο συντεταγμένων, γύρω από την αρχή των αξόνων κατά 180ο και, όπου πέσει η γραφική παράσταση, αυτός θα είναι ο κλάδος της απόκρισης φάσης για αρνητικές συχνότητες.

(–π/21/2f00Απόκριση πλάτουςΑπόκριση φάσηςArg{H(f)}f)

Σχ. 4.4 Μορφή των αποκρίσεων πλάτους και φάσης συστήματος με κρουστική απόκριση h(t)=e–2tu(t), σχεδιασμένων μόνο για θετικές συχνότητες.

Β) Για άσκηση, ας βρούμε το σήμα εξόδου του συστήματος για σήματα εισόδου ημιτονικά ή συνδυασμό αυτών, ήτοι για τα σήματα x1(t)=2συν(2π0.5t+π/3), x2(t)=–3 και x3(t)=–1.5συν(2π0.2t–π/4)+2ημ(2πt+π/6). Σε όλα τα σήματα, ο χρόνος t μετρείται σε msec, οπότε η συχνότητα μετρείται σε kHz. Προσέξτε ότι τα σήματα εισόδου αρχίζουν τον χρόνο t=– και όχι τον χρόνο t=0.

Το σήμα x1(t) είναι ημιτονικό σήμα, συχνότητας 0.5 kHz, πλάτους 2 και φάσης π/3. Στη συχνότητα 0.5 kΗz, το σύστημα έχει απόκριση πλάτους =0.27 και απόκριση φάσης Arg{H(f)}=–τοξεφ(π0.5)=–1 rad. Επομένως, το σήμα εξόδου θα είναι y1(t)=2·0.27συν(2π0.5t+π/3–1)=0.54συν(2π0.5t+0.05).

Το σήμα x2(t)=–3=3συν(2π0t+π) είναι ημιτονικό σήμα, συχνότητας 0, πλάτους 3 και φάσης π. Στη συχνότητα 0, το σύστημα έχει απόκριση πλάτους =0.5 και απόκριση φάσης Arg{H(f)}=–τοξεφ(π·0)=0. Επομένως, το σήμα εξόδου θα είναι y2(t)=3·0.5συν(2π0t+π+0)=1.5συν(2π0t+π)=1.5συνπ=–1.5.

Το σήμα x3(t) είναι ίσο με το άθροισμα του ημιτονικού σήματος –1.5συν(2π0.2t–π/4)=1.5συν(2π0.2t–π/4+π)=1.5συν(2π0.2t+3π/4), που έχει συχνότητα 0.2 kHz, πλάτος 1.5 και φάση 3π/4, και του ημιτονικού σήματος 2ημ(2πt+π/6)=2συν(2πt+π/6–π/2)=2συν(2πt–π/3), που έχει συχνότητα 1 kHz, πλάτος 2 και φάση –π/3.

Στη συχνότητα 0.2 kΗz το σύστημα έχει απόκριση πλάτους =0.42 και απόκριση φάσης Arg{H(f)}=–τοξεφ(π0.2)=–0.56 rad. Επομένως, όταν σήμα εισόδου είναι το σήμα 1.5συν(2π0.2t+3π/4), σήμα εξόδου θα είναι το σήμα 1.5·0.42συν(2π0.2t+3π/4–0.56)=0.63συν(2π0.2t–1.8).

Στη συχνότητα 1 kΗz το σύστημα έχει απόκριση πλάτους =0.3 και απόκριση φάσης Arg{H(f)}=–τοξεφ(π1)=–1.26 rad. Επομένως, όταν σήμα εισόδου είναι το σήμα 2συν(2πt–π/3), σήμα εξόδου είναι το σήμα 2·0.3συν(2πt–π/3–1.26)=0.6συν(2πt–2.31).

Επομένως, όταν σήμα εισόδου είναι το σήμα x3(t)=–1.5συν(2π0.2t–π/4)+ 2ημ(2πt+π/6), σήμα εξόδου θα είναι το σήμα y3(t)=0.63συν(2π0.2t–1.8)+0.6συν(2πt–2.31).

Δεν είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε πρώτα τα ημιτονικά σήματα στη μορφή Aσυν(2πf0t+θ) και μετά να δούμε πώς θα τα αλλάξει το σύστημα, πράγμα που κάναμε στην παραπάνω λύση. Μπορούμε απ’ ευθείας να πολλαπλασιάσουμε τον συντελεστή - «πλάτος» καθενός ημιτονικού σήματος εισόδου επί την τιμή της στη συχνότητα του σήματος και να προσθέσουμε στη φάση καθενός ημιτονικού σήματος εισόδου την τιμή του Arg{H(f)} στη συχνότητα του σήματος. Έτσι, στο σήμα x2(t) θα πολλαπλασιάσουμε το –3 επί το =0.5 και δεν θα κάνουμε τίποτα άλλο, αφού είναι Arg{H(f)}=0. Θα προκύψει το σήμα y2(t)=–1.5. Στο σήμα x3(t), το μέρος του –1.5συν(2π0.2t–π/4) θα γίνει –1.5·0.42συν(2π0.2t–π/4–0.56)= –0.63συν(2π0.2t–1.34) και το μέρος του 2ημ(2πt+π/6) θα γίνει 2·0.3ημ(2πt+π/6–1.26) =0.6ημ(2πt–0.74). Έτσι, απόκριση του συστήματος, δηλ. σήμα εξόδου του συστήματος, στο σήμα x3(t) θα είναι το σήμα y3(t)=–0.63συν(2π0.2t–1.34)+ 0.6ημ(2πt–0.74). Ως άσκηση, εσείς επαληθεύστε ότι αυτό το σήμα y3(t) και το σήμα y3(t) που βρήκαμε πριν λίγο είναι ταυτόσημα.

Γ) Τώρα ας βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος και τη διαφορική εξίσωση που το περιγράφει. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ίση με τον μετασχηματισμό Laplace H(s) της κρουστικής απόκρισης h(t)=e–2tu(t), του συστήματος. Συγκεκριμένα, είναι H(s)=. Αν x(t) είναι το σήμα εισόδου και y(t) το σήμα εξόδου του συστήματος, έχουμε H(s)=, ήτοι Υ(s)(s+2)=X(s) sY(s)+2Y(s)=X(s). Σε αυτή τη σχέση παίρνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, με μηδενικές αρχικές συνθήκες, οπότε προκύπτει η διαφορική εξίσωση , η οποία είναι αυτή που ζητάμε.

Δ) Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, ας βρούμε την απόκριση (σήμα εξόδου) του συστήματος σε σήμα εισόδου το x(t)=e–t. Αφού το σήμα εισόδου x(t) είναι της μορφής ept, με p=–1, το σήμα εξόδου θα δίνεται από τη σχέση y(t)=H(p)ept=H(–1)e–t= =e–t=e–t.

Ε) Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, ας βρούμε την απόκριση του συστήματος σε σήμα εισόδου το x(t)=e–tu(t), με μηδενικές αρχικές συνθήκες. Προσέξτε ότι, στο προηγούμενο ερώτημα Δ, το εκθετικό σήμα e–t εφαρμόζεται στο σύστημα τον χρόνο t=–, ενώ εδώ εφαρμόζεται τη χρονική στιγμή t=0. Πρόκειται για δύο διαφορετικά προβλήματα που έχουν διαφορετικές λύσεις. Ο μετασχηματισμός Laplace Χ(s) του σήματος x(t) είναι X(s)=. Με μηδενικές αρχικές συνθήκες, ο μετασχηματισμός Laplace Υ(s) του σήματος εξόδου σχετίζεται με τον μετασχηματισμό Laplace X(s) του σήματος εισόδου και τη συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος με τη σχέση Y(s)=X(s)H(s). Επομένως, έχουμε Y(s)=. Τώρα, θα αναπτύξουμε τον Y(s) σε άθροισμα απλών κλασμάτων, εφαρμόζοντας τη γνωστή μας γενική μεθοδολογία:

Το κλάσμα το γράφουμε ως +. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη αυτής της ισότητας επί s+1 και παίρνουμε +. Σε αυτή τη σχέση βάζουμε s=–1 και παίρνουμε Α=. Επίσης, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ισότητας + επί s+2 και παίρνουμε: +. Τώρα, βάζουμε s=–2 και παίρνουμε Β=.

Εναλλακτικά, μπορούμε να βρούμε αμέσως το ανάπτυγμα του κλάσματος σε άθροισμα απλών κλασμάτων κάνοντας την «έξυπνη» παρατήρηση ότι είναι 1=(s+2)–(s+1). Έτσι, έχουμε:

Y(f) = == . Από αυτή τη σχέση προκύπτει αμέσως ότι είναι y(t)=e–tu(t)–e–2tu(t)=(e–t–e–2t)u(t). Συγκρίνετε αυτό το σήμα εξόδου y(t) με το σήμα y(t) της προηγούμενης παραγράφου Δ.

ΣΤ) Στην προηγούμενη παράγραφο E θα μπορούσαμε να βρούμε το σήμα εξόδου του συστήματος, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier και τη σχέση Y(f)=X(f)H(f). O μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t)=e–tu(t) είναι X(f)=. H απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι H(f)=F{h(t)}=F{e–2t u(t)}= . Επομένως, είναι Y(f)=. Αυτό το κλάσμα γράφεται ως Y(f)= , οπότε είναι y(t)=e–tu(t)–e–2tu(t)=(e–t–e–2t)u(t).

Βέβαια, η παραπ�