riyazianaliz.files.wordpress.com · Web viewMisal 1. 35, 405, 1275 ədədləri 5-ə bölünür. Bu...
62
MÜHAZİRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu Hər bir təklif həm ümumi, həm də xüsusi ola bilər. Məsələn, “dördbucaqlının bucaqları cəmi 360º - dır”, “sonuncu rəqəmi 0 olan ədədlər 5 - ə bölünür” təklifləri ümumi, “paraleloqramın bucaqları cəmi 360º - dır”, “1430 ədədi 5-ə bölünür” təklifləri isə xüsusi təkliflərdir. Ümumi təklifdən nəticə olaraq xüsusi təklifin alınmasına deduksiya deyilir. Məsələn, dördbucaqlının bucaqları cəmi 360º - dır, paraleloqram dördbucaqlıdır, deməli, paraleloqramın da bucaqları cəmi 360º - dır. Deduksiya həmişə doğru nəticəyə gətirib çıxarır. Xüsusi təklifdən nəticə olaraq ümumi təklifin alınmasına induksiya deyilir. Aşağıdakı misallar göstərir ki, induksiya həm doğru, həm də doğru olmayan ümumi nəticəyə gətirib çixara bilər. Misal 1. 35, 405, 1275 ədədləri 5-ə bölünür. Bu xüsusi təkliflərdən doğru olan belə ümumi nəticə alınır ki, sonu 5 ilə qurtaran bütün ədədlər 5-ə bölünür. Misal 2. Vahiddən başlayaraq ardıcıl tək ədədlərin cəminə baxaq: 1=1 2 , 1+3=2 2 , 1+3 +5=3 2 , 1+3 +5+7=4 2 . Bu xüsusi təkliflərdən ümumi olaraq belə doğru nəticə alınır ki, ilk n sayda ardıcıl tək ədədlərin cəmi n 2 - na bərabərdir: 1+3 +5+...+( 2 n−1 )=n 2
Transcript of riyazianaliz.files.wordpress.com · Web viewMisal 1. 35, 405, 1275 ədədləri 5-ə bölünür. Bu...
MÜHAZİRƏ 1
Analizə giriş
Riyazi induksiya üsulu
Hər bir təklif həm ümumi, həm də xüsusi ola bilər. Məsələn, “dördbucaqlının bucaqları cəmi 360º - dır”, “sonuncu rəqəmi 0 olan ədədlər 5 - ə bölünür” təklifləri ümumi, “paraleloqramın bucaqları cəmi 360º - dır”, “1430 ədədi 5-ə bölünür” təklifləri isə xüsusi təkliflərdir. Ümumi təklifdən nəticə olaraq xüsusi təklifin alınmasına deduksiya deyilir. Məsələn, dördbucaqlının bucaqları cəmi 360º - dır, paraleloqram dördbucaqlıdır, deməli, paraleloqramın da bucaqları cəmi 360º - dır. Deduksiya həmişə doğru nəticəyə gətirib çıxarır.
Xüsusi təklifdən nəticə olaraq ümumi təklifin alınmasına induksiya deyilir. Aşağıdakı misallar göstərir ki, induksiya həm doğru, həm də doğru olmayan ümumi nəticəyə gətirib çixara bilər.
Misal 1. 35, 405, 1275 ədədləri 5-ə bölünür. Bu xüsusi təkliflərdən doğru olan belə ümumi nəticə alınır ki, sonu 5 ilə qurtaran bütün ədədlər 5-ə bölünür.
Misal 2. Vahiddən başlayaraq ardıcıl tək ədədlərin cəminə baxaq:
Bu xüsusi təkliflərdən ümumi olaraq belə doğru nəticə alınır ki, ilk n sayda ardıcıl tək ədədlərin cəmi - na bərabərdir:
Misal 3. 63, 513, 1623 ədədləri 3-ə bölünür. Lakin, bu xüsusi təkliflərdən ümumi olaraq nəticə çıxarmaq olmaz ki, 3 rəqəmi qurtaran bütün ədədlər 3-ə bölünür.
Misal 4. Eyler üçhədlisinə baxaq.
olduqda
olduqda
olduqda və s.
Belə ümumi nəticəyə gəlmək olar ki, n-in istənilən natural qiymətində baxılan üçhədlinin qiyməti sadə ədəddir. Lakin bu nəticə səhvdir. Məsələn, olduqda
alınır, yəni üçhədlinin qiyməti mürəkkəb ədəd olur.
Bəs hansı halda xüsusi mühakimələr əsasında ümumi təklifin doğruluğunu müəyyən etmək olar? Bu məsələni riyazi induksiya üsulu adlanan xüsusi mühakimə üsulunun köməyi ilə həll etmək olur. Riyazi induksiya üsulu aşağıdakı prinsipə əsaslanır:
Hər hansı təklif istənilən natural ədədi üçün o vaxt doğrudur ki,
a) həmin təklif qiymətində doğrudur;
b) ixtiyari qiymətində bu təklifin doğruluğundan qiymətində də doğru olması çıxır.
Qeyd. Ola bilər ki, verilmiş təklif qiymətlərində doğru olsun. Bu halda riyazi induksiya prinsipinin a) bəndinə uyğun olaraq baxılan təklifin doğruluğu qiymətində yoxlanılır.
Riyazi induksiya üsulu bir sıra eynilik, bərabərlik və teoremlərin isbatında, bəzi həndəsi məsələlərin həllində tətbiq edilir.
Misal 5. İsbat edin ki, ilk sayda tək ədədin cəmi - na bərabərdir:
Həlli. a) olduqda bərabərlik doğrudur, çünki, .
b) Fərz edək ki, baxılan bərabərlik olduqda doğrudur, yəni
,
olduqda hökmün doğruluğunu göstərək. Doğrudan da,
İnduksiya prinsipinə əsasən verilmiş bərabərliyin doğruluğunu hökm edə bilərik.
Misal 6. İsbat edin ki,
Həlli. a) olduqda verilmiş hökm doğrudur:
b) olduqda fərz edək ki, baxılan bərabərlik ödənir, yəni
üçün təklifin doğruluğunu göstərək.
Misal 7. Bərabərliyin doğruluğunu göstərin:
Həlli. a) olduqda bərabərlik doğrudur:
b) olduqda bərabərliyin doğruluğunu qəbul edək, yəni
olduqda göstərək ki, .
Yaza bilərik:
Misal 8. Kvadrat köklərin sayının olduğunu bilərək ifadəsinin qiymətini tapın.
Həlli. işarə edək.
,
Prosesi bu qayda ilə davam etdirərək fərz etmək (hökm etmək yox!) olar ki,
İndi isə bu bərabərliyin doğruluğunu riyazi induksiya üsulu ilə isbat edək.
a) olduqda olduğundan hökm doğrudur.
b) olduqda hökmün doğruluğunu qəbul edək, yəni
və olduqda bərabərliyin doğruluğunu isbat edək.
Beləliklə hökm edə bilərik ki,
Misal 9. Bərabərsizliyi isbat edin:
Həlli. Əvvala, qeyd edək ki, baxılan bərabərsizliyin hər tərəfini dərəcədən qüvvətə yüksəltsək onu şəklinə gətirmək olar. Bu bərabərsizlik isə qiymətində doğrudur: .
olduqda bərabərsizliyin doğruluğunu qəbul edərək qiymətində də doğru olduğunu göstərək. Yəni olduqda isbat edək ki,
Doğru bərabərliyi nəzərə alaraq yaza bilərik:
Nəticə olaraq hökm edə bilərik ki,
Misal 10. Tutaq ki, elə müsbət ədədlərdir ki, . İsbat etməli ki, və ya , yəni hasili vahidə bərabər olan müsbət ədədlərin ədədi ortası vahiddən kiçik deyil.
Həlli. a) olduqda və deməli , yəni hökm doğrudur.
b) Fərz edək ki, hökm sayda ədəd üçün doğrudur. Hökmün doğruluğunu
şərtini ödəyən sayda ədədləri üçün isbat edək.
Burada iki hal ola bilər: ya bütün ədədlər 1-ə bərabərdir və bu halda onların cəmi olur və bərabərsizliyin doğruluğu isbat edilir, ya da ədədlər içərisində heç olmasa biri vahiddən fərqlidir. Sonuncu halda digər, heç olmasa, bir ədəd də olmalıdır ki, o da vahiddən fərqli olsun, bununla belə, verilmiş şərtin ödənməsi üçün, məsələn, onlardan biri vahiddən kiçikdirsə, digəri vahiddən böyük olmalıdır. Ümumiliyi pozmadan fərz edək ki, və .
İndi sayda
ədədlərinə baxaq. Onların hasili vahidə bərabərdir və qəbul edilmiş fərziyyəyə görə
Sonuncu bərabərsizliyi nəzərə alaraq yaza bilərik:
Beləliklə, üçün hökmün doğru olmasından onun qiymətində doğruluğu alınır. Deməli, ümumiyyətlə, hökm doğrudur.
Qeyd edək ki, isbatdan görünür ki, bərabərlik yalnız o vaxt doğrudur ki, olsun.
Nəticə olaraq isbat etmək olar ki, ixtiyari müsbət ədədlər olarsa onların ədədi ortası həndəsi ortasından kiçik deyil, yəni
Bunun üçün yuxarıda isbat edilmiş bərabərlikdə
götürmək kifayətdir.
Xüsusi halda olarsa tapırıq ki, və ya
Həmçinin olarsa və burada götürsək məlum bərabərsizliklərini alırıq.
Misal 11. eyni işarəyə malik olub -1-dən böyük olan ədədlər olduqda
Bernulli bərabərsizliyinin doğruluğunu göstərin.
Həlli. olduqda bərabərsizliyin doğruluğu aydınıdr. Tutaq ki, olduqda bərabərsizlik doğrudur və göstərək ki, o olduqda da ödənir. olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:
Burada nəzərə alınmışdır ki, eyni işarəyə malik olduqlarından
Xüsusi halda olduqda
bərabərsizliyini alırıq
Misal 12.
Həlli. olduqda bərabərsizlik doğrudur:
üçün bərabərsizliyin doğruluğunu qəbul edərək üçün yaza bilərik:
MÜHAZİRƏ 2
Çoxluqlar və onlar üzərində əməllər
Çoxluq ilkin anlayış olduğundan ona tərif verilmir. Çoxluq dedikdə müəyyən xassə və ya əlamətə əsasən seçilmiş obyektlərin küllisi (toplusu) başa düşülür. Çoxluğu təşkil edən obyektlər onun elementləri adlanır a elementi A çoxluğuna daxildirsə bu , əks halda kimi yazılır. Heç bir elementi olmayan çoxluğa boş çoxluq deyilir və kimi işarə olunur.
Tərif 1. A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğuna daxil olarsa A - ya B - nin alt çoxluğu deyilir (şək. 1.1a) və bu (və ya ) kimi yazılır.
Hesab edilir ki, hər bir çoxluq özünün, boş çoxluq isə hər bir çoxluğun alt çoxluğudur.
və həm də olarsa A və B çoxluqları bərabər çoxluqlar adlanır və bu belə yazılır: .
Tərif 2. İki çoxluqdan heç olmasa birinə daxil olan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların birləşməsi deyilir (şək. 1.1b):
və ya
Tərif 3. Hər iki çoxluğa daxil olan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların kəsişməsi deyilir (şək. 1.1c):
və ya
Qeyd edək ki, istənilən sayda çoxluğun birləşməsi və kəsişməsindən danışmaq olar:
{ x: elə var ki,
{ x: ixtiyar üçün
Tərif 4. A çoxluğunun B çoxluğuna daxil olmayan elementlərindən təşkil olunmuş çoxluğa A və B çoxluqlarının fərqi deyilir (şək. 1. 2a):
və
Tərif 5. A və B çoxluqlarının ortaq olmayan elementlərindən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların simmetrik fərqi deyilir (şək. 1. 2c):
yaxud
Tərif 6. və elementlərindən təşkil olunmuş bütün mümkün nizamlanmış cütlər çoxluğuna və çoxluqlarının Dekart hasili deyilir və kimi işarə olunur:
Qeyd edək ki, istənilən sayda çoxluğun da Dekart hasilindən danışmaq olar.
Çoxluqlar üzərində yuxarıda təyin olunan əməllər aşağıdakı əsas xassələrə malikdir:
1) (yerdəyişmə)
2) (qruplaşdırma)
3) (paylanma)
4)
5)
6) olarsa
7)
8)
9)
Misal 13. olduğunu göstərin.
Həlli. və işarə edək. İxtiyari götürək. Onda, və və ya və və və ya və və ya , yəni . Deməli, .
İndi isə olduğunu göstərək. Bunun üçün ixtiyari götürək. Onda, və və ya və və ya və və , yəni . Deməli, həm də, . Başqa sözlə, .
Misal 14. olduğunu göstərin.
Həlli. 3) və 4) xassələrinə əsasən yaza bilərik:
İndi isə olduğunu göstərək. və . Deməli, .
Digər tərəfdən, Deməli, . Hər iki nəticədən hökmün doğruluğu alınır.
Misal 15. olduğunu göstərin.
Həlli. və işarə edək. İxtiyari olsun. Onda, buradan alınır ki, və və və və . Yəni və deməli, .
İndi isə götürək və və və və , yəni və deməli, həm də . Hər iki nəticədən alınır.
Misal 16. olduğunu göstərin.
Həlli. və və ya və və və ya və və və ya və ya və və ya və .
Misal 17. olduğunu göstərin.
Həlli. Verilmiş bərabərliyin sol tərəfindəki çoxluğa daxil olan ixtiyari cütü götürək. və və və və və və və və .
MÜHAZİRƏ 3
Məhdud və qeyri məhdud ədədi çoxluq.
Ədədi çoxluğun sərhəddi.
Tərif 7. Əgər elə ədədi varsa ki, ədədi çoxluğunun istənilən elementi
(1)
bərabərsizliyini ödəyir, onda çoxluğuna yuxarıdan məhdud çoxluq deyilir.
Əgər elə ədədi varsa ki, ədədi çoxluğunun istənilən elementi
(2)
bərabərsizliyini ödəyir, onda çoxluğuna aşağıdan məhdud çoxluq deyilir.
Tərif 8. Aşağıdan və yuxarıdan məhdud çoxluğa məhdud çoxluq deyilir. əks halda, çoxluq qeyri-məhdud çoxluq adlanır.
(1) bərabərsizliyini ödəyən hər bir ədədinə yuxarıdan məhdud çoxluğunun yuxarı sərhəddi deyilir. (2) bərabərsizliyini ödəyən hər bir ədədinə isə aşağıdan məhdud çoxluğunun aşağı sərhəddi deyilir.
Tərif 9. Yuxarıdan məhdud çoxluğunun yuxarı sərhəddinin ən kiçiyinə həmin çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi deyilir, başqa sözlə: ədədi ədədi çoxluğunun dəqiq yuxarı sərhəddidirsə o aşağıdakı iki şərti ödəyir:
1) İstənilən üçün ;
2) ixtiyari ədədi üçün elə elementi var ki, .
çoxluğunun dəqiq yuxarı sərhəddini kimi işarə olunur.
Tərif 10. Aşağıdan məhdud çoxluğunun aşağı sərhəddinin ən böyüyünə həmin çoxluğun dəqiq aşağı sərhəddi deyilir, başqa sözlə: ədədi ədədi çoxluğunun dəqiq aşağı sərhəddidirsə o aşağıdakı iki şərti ödəyir:
1) İstənilən üçün ;
2) ixtiyari ədədi üçün elə .
çoxluğunun dəqiq aşağı sərhəddi kimi işarə olunur.
Teorem. Yuxarıdan (aşağıdan) məhdud hər bir çoxluğun dəqiq yuxarı (aşağı) sərhəddi vardır.
Əgər çoxluq yuxarıdan qeyri-məhduddursa , aşağıdan qeyri-məhdud olduqda isə kimi qəbul olunur.
Çoxluğun dəqiq yuxarı və dəqiq aşağı sərhəddi həmin çoxluğa daxil ola da bilər, olmaya da. olarsa çoxluğunun maksimumu (və ya maksimal elementi) adlanır və kimi işarə olunur, olduqda çoxluğunun minimumu (və ya minimal elementi) adlanır və kimi işarə olunur.
Məsələn, həm həm də ədədi çoxluqlarının dəqiq yuxarı sərhəddidir, çoxluğunun isə, həm də maksimumudur, yəni , .
Misal 23. və ya olduqda
. Maksimumu isə yoxdur.
Misal 24. funksiyasının təyin oblastının, əgər varsa, dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini təyin edin.
Həlli. Baxılan funksiyanın təyin oblastı
bərabərsizliyindən tapılır:
Deməli, . Ona görə də . Çoxluğun minimal və maksimal elementi yoxdur. Doğrudan da fərz etsək ki, məsələn, bu çoxluğun ən böyük elementidir, onda istənilən üçün .
Lakin məsələn, götürsək, asanlıqla görmək olar ki, və . Bu isə ədədinin baxılan çoxluğun ən böyük elementi olmasına ziddir.
Misal 25. funksiyasının qiymətlər çoxluğunun, əgər varsa, sərhədlərini təyin edin.
Həlli. Misal 10-da nəticə olaraq alınmış bərabərsizliyinə əsasən olduğundan . Göründüyü kimi, baxılan funksiyanın qiymətlər çoxluğu aşağıdan məhdud, yuxarıdan isə qeyri-məhduddur: .
Misal 26. Aşağıdakı çoxluqların dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini müəyyən edin.
1)
2)
3)
Həlli. 1) Asanlıqla görmək olar ki, .
Ona görə də . Göstərək ki, . Doğrudan da, yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi istənilən üçün . Digər tərəfdən göstərək ki, üçün elə var ki, . Buradan tapırıq ki, . Deməli, tələb olunan bərabərsizlik olduqda ödənir.
2) işarə etsək, olduğundan, baxılan çoxluğun elementləri artan ardıcıllıq təşkil edir. Ona görə də,
Digər tərəfdən,
Digər tərəfdən, göstərmək olar ki, istənilən üçün elə var ki,
bunun üçün seçmək kifayətdir.
3) olması aşkardır. Göstərək ki, . Doğrudan da, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə və var ki, və .
Misal 27. olduqda və olduğunu göstərin, burada R həqiqi ədədlər çoxluğudur.
Həlli. və işarə edək. çoxluğu yuxarıdan qeyri-məhdud olduqda və buradan olduğu aydındır. yuxarıdan məhdud olduqda sonlu ədəddir. olduğundan, hər bir üçün həm də və deməli olur. Yəni həm də çoxluğunun yuxarı sərhəddir. bu çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi olduğundan, və ya .
Dəqiq aşağı sərhəd üçün hökmün doğruluğu analoji qaydada isbat olunur.
Misal 28. Tutaq ki, və həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan alt çoxluqlarıdır və hər bir və üçün . Göstərin ki, çoxluğu yuxarıdan, çoxluğu aşağıdan məhduddur və .
Həlli. Hər bir qeyd olunmuş və istənilən üçün olduğundan, çoxluğunun hər bir elementi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. Ona görə də çoxluğu yuxarıdan məhduddur və . Sonuncu bərabərsizlik həm də göstərir ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və .
Misal 29. və həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan məhdud alt çoxluqlarıdır. Göstərməli ki,
1)
2)
Həlli. 1) və məhdud çoxluqlar olduğundan elə sonlu və ədədləri vardır ki, və . Ümumiliyi pozmadan fərz edək ki, . Onda hər bir üçün və hər bir üçün .
Deməli, hər bir üçün . Bu isə çoxluğunun yuxarıdan məhdud olduğunu göstərir və aydındır ki, .
Digər tərəfdən, olduğundan Misal 15 - də alınan nəticəyə görə hökm edə bilərik ki, və ya . Son iki bərabərsizliklərdən və olduğundan alırıq ki,
Analoji olaraq mühakimələrlə 2) bərabərliyinin doğruluğunu göstərmək olar.
Misal 30. həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan alt çoxluğudur, və
Onda yuxarıdan məhdud və olarsa isbat etməli ki,
və ya
Buradan, olduğundan alınır ki, . Deməli, ədədi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. Göstərək ki, məhz bu dəqiq yuxarı sərhəddir. Bunun üçün tutaq ki, çoxluğunun hər hansı bir yuxarı sərhəddidifr, yəni istənilən üçün və ya . Bu isə o deməkdir ki, ədədi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. bu çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi olduğundan
və ya
və deməli çoxluğunun yuxarı sərhədlərinin ən kiçiyidir, yəni , yaxud .
Misal 31. Göstərməli ki,
burada .
Həlli. Tutaq ki, yuxarıdan məhdud çoxluqdur və işarə edək. Onda aşağıdakı iki şərt ödənir:
1) istənilən üçün ;
2) ixtiyari üçün elə var ki, .
Buradan alınır ki,
1) istənilən üçün ;
2) ixtiyari üçün elə var ki, .
Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq aşağı sərhəddidir, yəni
İndi isə tutaq ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və . Onda, istənilən üçün və ixtiyari ixtiyari üçün elə var ki, . Sonuncu bərabərsizlikdən tapırıq ki, və ixtiyari üçün elə var ki, . Bu isə onu göstərir ki, çoxluğu yuxarıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq yuxarı sərhəddidir, yəni
Misal 32. Tutaq ki, . Göstərməli ki, və yuxarıdan məhdud çoxluqlar olarsa
Həlli. Fərz edək ki, və yuxarıdan məhdud çoxluqlardır və . Onda,
1) istənilən üçün ;
2) ixtiyari üçün elə var ki, .
Buradan alırıq ki, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə var ki, . Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu da yuxarıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq yuxarı sərhəddidir, yəni
Misal 29-a əsasən buradan nəticə olaraq alırıq ki,
,
Misal 33. Tutaq ki, . aşağıdan məhdud çoxluqlar və olarsa, göstərməli ki,
Həlli. işarə edək. Onda
1) istənilən üçün ;
2) ixtiyari üçün elə var ki, .
Buradan alırıq ki, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə var ki, .
Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu da aşağıdan məhduddur və onun dəqiq aşağı sərhəddi ədədidir, yəni
.
Nəticə olaraq qeyd edək ki, olduqda və olduğundan,
MÜHAZİRƏ 4
Ədədi ardıcıllıq, onun verilməsi üsulları. Məhdud və qeyri-məhdud
ardıcıllıqlar.
Tərif 1. Əgər hər bir natural ədədinə müəyyən qayda ilə hər hansı həqiqi ədədi qarşı qoyularsa, onda nömrələnmiş
həqiqi ədədlər çoxluğuna ədədi ardıcıllıq və ya sadəcə olaraq ardıcıllıq deyilir.
Ardıcıllıq müxtəlif üsullarla verilə bilər. Onlardan biri analitik üsuldur. Bu zaman ardıcıllığın ümumi həddi düstur şəklində verilir.
Misal 1.
1)
2)
3)
Ardıcıllığın verilməsinin digər üsulu rekurrent (qayıtma) üsuludur. Bu zaman müəyyən həddən başlayaraq ardıcıllığın hər bir həddi özündən əvvəlki bir və ya bir neçə hədlə müəyyən olunur.
Misal 2.
1)
olduqda ,
olduqda ,
olduqda və s.
2)
Bu münasibətə əsasən yaza bilərik:
nəhayət,
3) Fibonaççi ardıcıllığı (və ya ədədləri)
Burada üçüncüdən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki iki həddin cəminə bərabərdir. Bu ardıcıllığı aşağıdakı rekurrent münasibət şəklində vermək olar:
Qeyd edək ki, bəzi hallarda rekurrent münasibət verilmiş ardıcıllığın ümumi həddini tapmaq olur. Məsələn, riyazi induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki, 1) bəndində verilən ardıcıllığın ümumi həddi şəklindədir.
Ardıcıllığı müəyyən əlamətə əsasən sözlərlə təsvir etməklə də vermək olar.
Misal 3.
1) Sadə natural ədədlər ardıcıllığı: ;
2) Vahid radiuslu çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlıların tərəflərinin uzunluqları ardıcıllığı;
3) ədədinin təqribi qiymətləri ardıcıllığı:
.
Burada 2) ardıcıllığının ümumi həddinin düsturunu yazmaq mümkün olduğu halda, 1) və 3) ardıcıllıqlarında bu mümkün deyil.
Tərif 2. Əgər elə M ədədi varsa ki, ardıcıllığının hər bir həddi bərabərsizliyini ödəyir, onda bu ardıcıllığa yuxarıdan məhdud ardıcıllıq deyilir.
Elə həqiqi ədədi varsa ki, ardıcıllığının bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir, onda həmin ardıcıllığa aşağıdan məhdud ardıcıllıq deyilir.
Tərif 3. Həm aşağıdan həm də yuxarıdan məhdud ardıcıllığı məhdud ardıcıllıq adlanır, yəni elə və M ədədləri var ki, bərabərsizliyi istənilən üçün ödənir.
Qeyd edək ki, məhdud ardıcıllığa aşağıdakı kimi də tərif vermək olar: elə ədədi varsa ki, ardıcıllığının bütün hədləri
(1)
bərabərsizliyini ödəyir, onda həmin ardıcıllığa məhdud ardıcıllıq deyilir.
Tərif 4. Məhdud olmayan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıq adlanır, başqa sözlə, istənilən müsbət M ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki,
(2)
bərabərsizliyi ödənir, onda ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.
Misal 4. Ardıcıllıqların yuxarıdan məhdud olduğunu göstərin.
1) ;
Deməli, ardıcıllıq yuxarıdan ədədi ilə məhduddur.
2)
olduğundan ardıcıllıq yuxarıdan məhdud ardıcıllıqdır.
3)
. Deməli, ardıcıllıq ədədi ilə yuxarıdan məhduddur.
Misal 5. Ardıcıllıqların aşağıdan məhdud olduğunu göstərin.
1)
Deməli, ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.
2)
. Ona görə də
Baxılan ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.
3)
olduğundan, . Ona görə də .
Deməli, ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.
Misal 6. Ardıcıllıqların məhdud olduğunu göstərin.
1) ;
bərabərsizliyində götürsək, olduğundan, və .
Deməli, , yəni ardıcıllıq məhduddur.
2) ;
.
Digər tərəfdən, olduğunu nəzərə alsaq,
.
Beləliklə, , yəni baxılan ardıcıllıq məhdud ardıcıllıqdır.
3) .
Aldıq ki, . Bu isə onu göstərir ki, verilmiş ardıcıllıq məhdud ardıcıllıqdır.
4)
Bütün toplananlar müsbət olduğundan aydındır ki,
Digər tərəfdən, . Ona görə də,
Beləliklə, , yəni ardıcıllıq məhdud ardıcıllıqdır.
Misal 7. Ardıcıllığın qeyri-məhdud olduğunu göstərin.
1) ;
Göstərək ki, istənilən ədədi üçün elə nömrəsi var ki, (2) bərabərsizliyi ödənir. Doğrudan da,
Deməli, nömrəli hədlər (2) bərabərsizliyini ödəyir. Yəni baxılan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.
2) ;
İstənilən ədədi götürək.
Buradan . Deməli, bərabərsizliyini ödəyən nömrəli hədlər üçün (2) bərabərsizliyi doğrudur. Yəni baxılan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.
3) ;
Riyazi induksiya üsulu ilə göstərək ki,
.
olduqda bərabərsizlik doğrudur:
.
olduqda bərabərsizliyin doğruluğunu qəbul edək. olduqda yaza bilərik:
İxtiyari ədədi götürək. Alınmış nəticəyə əsasən yaza bilərik:
Deməli, bərabərsizliyini ödəyən nömrəyə malik olan bütün hədlər (2) bərabərsizliyini ödəyir. Yəni baxılan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.
MÜHAZİRƏ 5
Monoton ardıcıllıqlar.
Tərif 5. Əgər ardıcıllığının hər bir həddi özündən əvvəlki, həddən kiçik (böyük) deyilsə, yəni istənilən n nömrəsi üçün
(3)
bərabərsizliyi doğru olarsa, bu ardıcıllığa azalmayan (artmayan) ardıcıllıq deyilir.
Azalmayan və artmayan ardıcıllıqlar, ümumiyyətlə, monoton ardıcıllıqlar adlanır.
Əgər (3) bərabərsizliyi ciddi ödənərsə, yəni olarsa ardıcıllığı artan (azalan) ardıcıllıq adlanır.
Ola bilər ki, (3) bərabərsizliyi müəyyən nömrəsindən sonra ödənsin. Onda deyilir ki, ardıcıllıq n0 nömrəsindən başlayaraq monotondur.
ardıcıllığının hədlər çoxluğunun dəqiq yuxarı (aşağı) sərhədinə bu ardıcıllığın dəqiq yuxarı (aşağı) sərhədi deyilir və kimi işarə olunur.
İstənilən üçün bərabərsizliyi ödənərsə, onda -a ardıcıllığının maksimal (minimal) həddi deyilir və kimi işarə olunur. Aydındır ki, əgər ardıcıllığın maksimal (minimal) həddi varsa
Sonlu varlığından varlığı çıxmır. Yəni ardıcıllıq yuxarıdan (aşağıdan) məhdud olduqda belə maksimal (minimal) həddə malik olmaya bilər.
Misal 8. Ardıcıllıqların monoton artan ardıcıllığını göstərin.
1) ;
olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:
.
olduğundan, buradan alırıq ki, istənilən n üçün . Yəni baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.
2) ;
Göründüyü kimi,
. Onda, .
olduğundan, və deməli, , yaxud . Yəni ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.
3) ;
və olduğunu nəzərə alsaq yaza bilərik:
Digər tərəfdən, Bernulli bərabərsizliyində (bax § 1.2, Misal 11) götürsək,
.
Bu qiymətləndirməni yuxarıda nəzərə alaq. Onda
olduğundan, alırıq ki, ixtiyari üçün . Deməli, baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.
4) ;
fərqini qiymətləndirək. olduğundan, və ya istənilən n üçün , yəni ardıcıllıq monoton artandır.
5) ; ;
Əvvəlcə, induksiyaya əsaslanaraq göstərək ki, .
olduqda . olduqda olduğunu fərz edək.
Buradan, və hər tərəfə 2 əlavə etsək, . Deməli, Bu isə onu göstərir ki, ardıcıllığın bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir. İndi isə ardıcıllığın monotonluğunu göstərək. Verilənləri və ardıcıllığın hədlərinin vahiddən kiçik olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:
, yəni bütün n-lər üçün . Başqa sözlə, baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.
Bu ardıcıllığın monoton artan olduğunu başqa cür də müəyyən etmək olar. Belə ki, induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki, 4) ardıcıllığının ümumi həddi şəklindədir, bu isə artan ardıcıllıqdır.
Misal 9. Ardıcıllıqların monoton azalan olduğunu göstərin.
1) ;
İki ardıcıl həddin nisbətini qiymətləndirək. olduğunu nəzərə alsaq, yaza bilərik:
olduğundan alırıq ki, istənilən n üçün yəni baxılan ardıcıllıq monoton azalandır.
2) ;
Yaza bilərik:
,
eyni qayda ilə .
Burada olduğunu nəzərə alsaq tapırıq ki, istənilən üçün , yəni 2) ardıcıllığı monoton azalan ardıcıllıqdır.
3) ;
olduğunu bilərik tapırıq ki,
və ya ixtiyari üçün . Deməli, ardıcıllıq azalan ardıcıllıqdır.
4) ;
olduğunu nəzərə alaraq, iki ardıcıl həddin fərqini qiymətləndirək:
Deməli, , yəni baxılan ardıcıllıq monoton azalandır.
5)
Əvvəlcə göstərək ki, ardıcıllığın hədləri bərabərsizliyini ödəyir. Bunun üçün isə riyazi induksiya üsulundan istifadə edək.
olduqda və tələb olunan bərabərsizlik ödənir. olduqda fərz edək ki, bərabərsizliyi doğrudur. olduqda yaza bilərik:
və
Deməli, və hökm edə bilərik ki, ardıcıllığın bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir. Bunu nəzərə alaraq yaza bilərik:
.
Deməli, istənilən üçün , yəni ardıcıllıq azalandır.
Misal 10. Ardıcıllıqların monotonluğunu araşdırın, əgər varsa ən kiçik və ən böyük həddini tapın.
1) ;
Ardıcıllığının iki qonşu həddinin fərqini qiymətləndirək:
Göründüyü kimi, olduqda və ya . Deməli, nömrəli həddən başlayaraq ardıcıllıq artandır. Ardıcıllığın ən kiçik həddi
,
ən böyük həddi isə yoxdur.
2) ;
Sağ tərəfdəki kvadrat üçhədlidən tam kvadrat ayıraq:
Buradan isə aydındır ki, olduğundan, kvadrat üçhədli ən kiçik qiymətini və olduqda alır. Deməli, ardıcıllığın minimal həddi
,
ən böyük həddə isə malik deyil.
Ardıcıllığın monotonluğunu araşdıraq.
Deməli, olduqda , yəni nömrəli həddən başlayaraq ardıcıllıq monoton artandır.
3) ;
. Göründüyü kimi, və ya olduqda , yəni . Deməli, nömrəsindən başlayaraq baxılan ardıcıllıq monoton azalandır, burada ədədinin tam hissəsidir. Ardıcıllığın ən böyük həddi nömrəli həddir.
Məsələn, ardıcıllığı nömrəsindən başlayaraq azalandır, maksimal həddi , minimal həddi isə yoxdur.
4) ;
Buradan görünür ki, bərabərsizliyi o vaxt ödənir ki, və ya olsun. Sonuncu bərabərsizlik isə o vaxt doğrudur ki, . Deməli, nömrəli həddən başlayaraq ardıcıllıq azalandır və onun maksimal həddi
,
ən kiçik həddi isə yoxdur.
MÜHAZİRƏ 6
Ardıcıllığın limiti. Yığılan ardıcıllığın əsas xassələri.
Tərif 6. İxtiyari müsbət ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki, ardıcıllığının bu nömrədən sonra gələn bütün hədləri (yəni nömrəli hədləri)
və ya (3)
bərabərsizliyini ödəyir, onda ardıcıllığına yığılan ardıcıllıq, ədədinə isə həmin ardıcıllığın limiti deyilir və bu simvolik olaraq belə yazılır:
və ya olduqda .
Tərif 7. olduqda istənilən həqiqi ədədi üçün və ya çoxluğuna ədədinin - ətrafı deyilir (şək 2.1).
Şəkil 2.1.
Bu anlayışa əsasən ardıcıllığın limitinə aşağıdakı kimi də tərif vermək olar.
Tərif 8. İstənilən ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki, olduqda , onda deyilir ki, ardıcıllığı yığılır və limiti - dır.
Başqa sözlə ardıcıllığının limiti - ədədi olarsa bu ədədin istənilən ətrafında həmin ardıcıllığın müəyyən nömrədən sonra gələn bütün hədləri yerləşir. Deməli, yığılan ardıcıllığın limitinin istənilən ətrafında həmin ardıcıllığın sonsuz sayda həddi var (şək.2.2).
Şəkil 2.2.
Əgər ardıcıllığın limiti yoxdursa ona dağılan ardıcıllıq deyilir.
Yığılan ardıcıllığın əsas xassələri aşağıdakı teoremlərlə verilir.
Teorem 1. Yığılan ardıcıllığın limiti yeganədir.
Teorem 2. Yığılan ardıcıllıq məhduddur.
Bu teorem bəzi hallarda ardıcıllığın məhdud olub olmadığını onun limitinin varlığına əsasən müəyyən etməyə imkan verir.
Teorem 3. və yığılan ardıcıllıqlar olduqda ardıcıllıqları da yığılandır və
1) ,
2) ,
3) .
Xüsusi halda 2) – də sabit ardıcıllıq olarsa .
Ardıcıllığın bərabərsizliklə verilən xassələri aşağıdakı teoremlərlə ifadə olunur.
Teorem 4. Əgər yığılan ardıcıllığının hədləri heç olmasa müəyyən nömrədən başlayaraq bərabərsizliyini ödəyirsə, onda bu ardıcıllığın limiti də bərabərsizliyini ödəyir.
Qeyd edək ki, burada ola bilər ki, ciddi bərabərsizliyi ödənsin. Lakin bu halda da ola bilər. Məsələn, , lakin .
Teorem 5. Tutaq ki, və yığılan ardıcıllıqlardır və . Onda, əgər heç olmasa müəyyən nömrədən başlayaraq bərabərsizliyi ödənirsə ardıcıllığı da yığılır və .
Misal 12. 1) . Göstərməli ki, .
Həlli. İxtiyari ədədi üçün göstərək ki, elə nömrəsi var ki, olduqda . Doğrudan da, olduğundan bərabərsizliyinin ödənməsi üçün olmalıdır. Deməli, seçsək, ardıcıllığın bu nömrədən sonra gələn hədləri tələb olunan bərabərsizliyi ödəyəcək.
Göründüyü kimi, kəmiyyətinin hər bir qiymətinə müəyyən nömrəsi uyğundur. Bəzi qiymətlər aşağıdakı cədvəldə verilmişdir.
0,1
0,01
0,001
0,0001
10
100
1000
10000
Ardıcıllığın hədlərini ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:
0
-1
Şəkil 2.3
Bu misaldan nəticə olaraq alırıq ki, , ümumiyyətlə, . Göstərmək olar ki, həmçinin .
2) . Göstərin ki,
Həlli. İstənilən ədədi üçün göstərək ki, elə olduqda . Doğrudan da
bərabərsizliyi o vaxt ödənir ki, olsun. Deməli, götürsək tələb olunan bərabərsizlik ödənir.
Bu nəticəyə əsasən ədədinin müxtəlif qiymətlərində aşağıdakı cədvəli doldurmaq olar.
0,1
0,01
0,001
0,0001
9
99
999
9999
Ardıcıllığın hədlərini ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:
1
0
Şəkil 2.4.
Qeyd edək ki, verilmiş limiti aşağıdakı kimi də hesablamaq olar. Surət və məxrəci - ə bölsək,
3) . Göstərməli ki, .
Həlli. Yaza bilərik:
Buradan, . Deməli, götürsək olduqda bərabərsizliyi ödənir. Bu isə hökmün doğruluğunu göstərir. kəmiyyətinin bəzi qiymətlərinə uyğun nömrəsini tapmaq olar:
0,1
0,01
0,001
0,0001
8
75
750
7500
Verilmiş ardıcıllıq ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir olunur:
0
Şəkil 2.5
Hökmün doğruluğunu aşağıdakı kimi də müəyyən etmək olar. Surət və məxrəci n-ə bölək:
4) olduqda olduğunu göstərin.
Həlli. olarsa üçün olduğundan, . Tutaq ki, . Onda, olduğundan, elə ədədi var ki, . Bernulli bərabərsizliyinə əsasən (bax §1.2, Misal 11) alırıq ki, və deməli, . Bu bərabərsizlik isə , olduqda doğrudur.
Buradan nəticə olaraq tapırıq ki, məsələn,
və s.
Misal 13. Hansı nömrədən başlayaraq verilmiş ardıcıllığın hədləri bərabərsizliyini ödəyir?
1) .
olduğundan, şərtindən alırıq ki, və ya .
Elementar çevrilmələrdən sonra tapırıq ki,
Deməli, nömrəsindən başlayaraq verilmiş ardıcıllığın hədləri tələb olunan bərabərsizliyi ödəyir
2) .
Həndəsi silsilənin cəmi düsturuna əsasən ardıcıllığın ümumi həllini aşağıdakı kimi çevirə bilərik:
Onda, və ya . Buradan , yəni nömrəsindən başlayaraq tələb olunan bərabərsizlik ödənir.
Misal 14. Ardıcıllıqların dağılan olduğunu göstərin.
1) ;
olduğundan və ardıcıllığı ədəd oxunda təsvir edə bilərik:
-1
1
Şəkil 2.6.
olduqda,
.
olduqda isə
Buradan alırıq ki, seçsək nömrəli (yəni cüt nömrəli) hədlər bərabərsizliyini, nömrəli (yəni tək nömrəli) hədlər isə bərabərsizliyini ödəyir. Başqa sözlə, həm , həm də nöqtəsinin istənilən ətrafında baxılan ardıcıllığın sonsuz sayda həddi var. Bu isə yığılan ardıcıllığın limitinin yeganə olmasına ziddir. Deməli, ardıcıllıq dağılandır.
2) ;
Ardıcıllığın hədləri ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər
0
6
Şəkil 2.7.
Hər hansı ədədi baxılan ardıcıllığın limiti ola bilməz. Çünki, seçsək ardıcıllığının şərtini ödəyən sonsuz sayda həddi nöqtəsinin ətrafına daxil olmayacaq. nöqtəsi də baxılan ardıcıllığın limiti ola bilməz, çünki bu nöqtənin ətrafına daxil olmayan sonsuz sayda hədd (cüt nömrəli hədlər) var.
3) ;
Göstərək ki, verilmiş ardıcıllıq qeyri - məhduddur. Yaza bilərik:
Buradan alırıq ki, M istənilən müsbət ədəd olduqda nömrəli hədlər bərabərsizliyini ödəyir, yəni ardıcıllıq qeyri məhduddur. Deməli, ardıcıllıq dağılır. Çünki, əks halda Teorem 2 – nin hökmünə əsasən ardıcıllıq məhdud olardı.
İndi isə limitin bilavasitə hesablanmasına aid misallara baxaq.
Misal 15. Aşağıdakı limitləri hesablayın.
1) ;
2) ;
3)
;
4)
;
5) .
işarə etsək . olduğundan Teorem 5- ə görə hökm edə bilərik ki, ;
6)
§ 1.2 Misal 5- ə görə , ədədi silsilənin cəm düsturuna görə isə . Deməli, və
;
7)
8)
9)
= ,
burada nəzərə alınmışdır ki, olduğundan, (bax misal 12, 4).
10) ;
olduğundan, və deməli, . Digər tərəfdən olması şərtindən və Teorem 5 – in hökmünə görə .
11)
MÜHAZİRƏ 7
Sonsuz kiçik və sonsuz böyük kəmiyyətlər.
Tərif 9. İstənilən ədədi üçün nömrəsi varsa ki, olduqda , onda ardıcıllığına sonsuz kiçik kəmiyyət deyilir.
Tərifdən görünür ki, sonsuz kiçik kəmiyyət limiti sıfıra bərabər olan ardıcıllıqdır, yəni
. Məsələn, və s. sonsuz kiçik kəmiyyətlərdir.
Əgər ardıcıllığının limiti a ədədidirsə elə sonsuz kiçik kəmiyyəti var ki, . Məsələn, ardıcıllığı üçün olduğundan, , .
Sonsuz kiçik kəmiyyətin əsas xassələri aşağıdakı teoremlərlə ifadə olunur.
Teorem 6. Sonlu sayda sonsuz kiçik kəmiyyətin cəbri cəmi və hasili də sonsuz kiçik kəmiyyətdir.
Teorem 7. Sonsuz kiçik kəmiyyət məhduddur.
Teorem 8. Məhdud ardıcıllıqla sonsuz kiçik kəmiyyətin hasili sonsuz kiçik kəmiyyətdir.
Tərif 10. İstənilən ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki, olduqda olduqda ardıcıllığına sonsuz böyük kəmiyyət deyilir və bu simvolik olaraq
kimi yazılır.
Məsələn, ümumi həddi olan ardıcıllığı sonsuz böyük kəmiyyətdir.
Aydındır ki, hər bir sonsuz böyük kəmiyyət qeyri-məhdud ardıcıllıqdır. Lakin, qeyri-məhdud ardıcıllıq sonsuz böyük kəmiyyət olmaya da bilər. Məsələn, ümumi həddi olan ardıcıllığı qeyri-məhdud ardıcıllıq olduğu halda sonsuz böyük kəmiyyət deyil.
Hər bir sonsuz böyük kəmiyyət dağılan ardıcıllıq hesab edilir.
Teorem 9. Əgər sonsuz böyük kəmiyyətdirsə müəyyən n nömrəsindən başlayaraq ardıcıllığı təyin olunub və sonsuz kiçik kəmiyyətdir. Əgər sonsuz kiçik kəmiyyətinin elementləri sıfırdan fərqlidirsə ardıcıllığı sonsuz böyük kəmiyyətdir.
Misal 17. 1) İsbat edin ki, ardıcıllığı sonsuz kiçik kəmiyyətdir.
Həlli. Riyazi induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki,
bərabərsizliyi doğrudur (bax Misal 22, §1.2).
Onda yaza bilərik:
Buradan,
,
yaxud,
və deməli, .
2) Göstərin ki, ardıcıllığı sonsuz böyük kəmiyyətdir.
Həlli.
İstənilən ədədi üçün bərabərsizliyi olduqda, yəni nömrəli hədlər üçün ödənir. Deməli, baxılan ardıcıllıq sonsuz böyük kəmiyyətdir və ya .
MÜHAZİRƏ 8
Monoton ardıcıllığın limiti
Monoton ardıcıllığın yığılma əlaməti aşağıdakı teoremlərlə verilir.
Teorem 10. Artan yuxarıdakı məhdud ardıcıllığının limiti var və
Azalan, aşağıdan məhdud ardıcıllığının limiti var və
Teorem 2-yə görə yığılan ardıcıllıq məhdud olduğu halda, məhdud ardıcıllıq həmişə yığılan deyil. Məsələn, ardıcıllığı məhduddur, lakin dağılan ardıcıllıqdır (bax Misal 14.1). Monoton ardıcıllıqlar üçün isə aşağıdakı hökm doğrudur.
Teorem 11. Monoton ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun məhdud olmasıdır.
Misal 18. Ardıcıllıqların limitini tapın.
1)
Ardıcıllığın monoton məhdud ardıcıllıq olduğunu göstərək.
,
çünki, . Deməli ardıcıllıq monoton azalandır. Digər tərəfdən asanlıqla görmək olar ki, , yəni ardıcıllıq məhduddur. Ona görə teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edək və
Bərabərsizliyində şərti ilə limitə keçək:
Buradan, və deməli c=0, yəni . Həm də teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, .
2) ;
. Göründüyü kimi, və ya , yəni nömrəsindən başlayaraq ardıcıllıq azalır və aşağıdan 0-la məhduddur. Ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edərək
bərabərsizliyində şərtilə limitə keçək:
Buradan c=0c=0, yəni və deməli, .
3) ;
Qeyd edək ki, ardıcıllığı
kimi rekurrent münasibət şəklində yazmaq olar.
Əvvəlcə tutaq ki, . Onda olduğundan . Fərz edək ki, . Onda . İnduksiyaya əsaslanaraq hökm edə bilərik ki, istənilən n üçün , yəni ardıcıllıq yuxarıdan məhduddur.
Digər tərəfdən,
və deməli, ardıcıllıq artandır, ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edək. Onda rekurrent münasibətdə limitə keçsək
və buradan tapırıq ki, və ya , yəni .
olduqda isə . İnduksiyaya əsaslanaraq müəyyən edirik ki, . Digər tərəfdən . Yəni bu halda ardıcıllıq azalan olub aşağıdan məhduddur. Ona görə də limiti var və analoji qaydada tapırıq ki, .
4)
İnduktiv olaraq hökm edə bilərik ki, . məlum bərabərsizliyində götürsək alırıq ki,
yəni, olduqda və ya olduqda . Deməli ardıcıllıq aşağıdan məhduddur. Göstərək ki, o həm də artan deyil.
və ya olduğundan rekurrent münasibətdən yaza bilərik:
yaxud .
Deməli, ardıcıllıq monoton artmayan olub aşağıdan məhduddur. Ona görə onun limiti var və bu limiti c ilə işarə edərək rekurrent münasibətdə şərtilə limitə keçək:
və buradan . Yəni və deməli .
Qeyd edək ki, baxılan ardıcıllığa ədədinin təqribi qiymətlər ardıcıllığı kimi baxmaq olar:
və s.
5) ;
Əvvəlcə qeyd edək ki, verilmiş ardıcıllığı aşağıdakı rekurrent münasibət şəklində yazmaq olar:
Göstərək ki, baxılan ardıcıllıq monoton azalan məhdud ardıcıllıqdır. Bunun üçün riyazi induksiya üsulundan istifadə edək. olduğundan, sonuncu bərabərlikdən alırıq ki,
və ya
İndi isə fərz edək ki, . Yenə də funksiyasının aralığında monoton artan olduğunu nəzərə alsaq
və ya
Beləliklə, induksiyaya əsaslanaraq hökm edə bilərik ki, baxılan ardıcıllıq monoton azalan məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edərək rekurrent münasibətdə şərtilə limitə keçək:
kəsilməz funksiya olduğundan alırıq ki, . Burada isə , yəni . Həmçinin, hökm edə bilərik ki, .
6)
Artıq isbat etmişik ki, baxılan ardıcıllıq monoton artandır (bax misal 8.3). Göstərək ki, o həm də məhduddur. Bunun üçün sağ tərəfi Nyuton binomuna görə açaq:
Burada , olduğunu nəzərə alsaq tapırıq ki,
Digər tərəfdən, doğru bərabərsizliyinə əsasən
Aşağıdan isə bu ardıcıllıq özünün birinci həddi ilə məhduddur. Deməli, . Beləliklə, baxılan ardıcıllıq monoton artan və məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Həmin limit e ilə işarə olunur:
İsbat olunur ki, e ədədi irrasional ədəddir və onun təqribi qiyməti
kimi hesablanır. Toplananların sayı nə qədər çox götürülərsə e ədədinin bir o qədər dəqiqliklə təqribi qiyməti alınır:
.
e ədədi təkcə riyazi analizdə yox, ümumiyyətlə, riyaziyyatda mühüm əhəmiyyətə malikdir.
Qeyd. ardıcıllığı monoton artan olub limiti ədədi olduğundan Teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, və ya . Hər tərəfi əsasdan loqarifmləsək tapırıq ki,
MÜHAZİRƏ 9
Ardıcıllığın xüsusi limiti. Aşağı və yuxarı limit.
Fundamental ardıcıllıq.
Tutaq ki, ədədi ardıcıllığı verilmişdir. artan natural ədədlər ardıcıllığı olduqda ardıcıllığının elementlərindən düzəldilmiş
ardıcıllığına ardıcıllığının alt ardıcıllığı deyilir.
Məsələn, ardıcıllığı verilmişdir.
ardıcıllıqları həmin ardıcıllığın alt ardıcıllıqlarıdır.
Tərif 11. Ardıcıllığın hər bir yığılan alt ardıcıllığının limitinə bu ardıcıllığın xüsusi limiti (və ya limit nöqtəsi deyilir).
Yığılan ardıcıllığın yeganə limit nöqtəsi var. Ona görə də yığılan ardıcıllığın istənilən alt ardıcıllığı da yığılan olub eyni limitə malikdirlər. Ardıcıllığın limit nöqtəsinin istənilən ətrafında həmin ardıcıllığın sonsuz sayda həddi var.
Teorem 12. (Bolsano-Veyerştras) Hər bir məhdud ardıcıllıqdan yığılan alt ardıcıllıq ayırmaq olar.
Buradan nəticə olaraq çıxır ki, hər bir məhdud ardıcıllığın heç olmasa bir limit nöqtəsi var.
Tərif 12. ardıcıllığının xüsusi limitlərinin ( və ya limit nöqtələrinin) ən böyüyünə onun yuxarı limiti deyilir və
kimi işarə olunur.
ardıcıllığının xüsusi limitlərinin ( və ya limit nöqtələrinin) ən kiçiyinə onun aşağı limiti deyilir və
kimi işarə olunur.
Hər bir məhdud ardıcıllığın sonlu aşağı və yuxarı limiti var və
.
Əgər ardıcıllıq yuxarıdan (aşağıdan) qeyri-məhdud olarsa ( ) qəbul olunur.
Teorem 13. Ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun məhdud olması və aşağı limiti ilə yuxarı limitinin üst-üstə düşməsidir, yəni
bərabərliyinin ödənməsidir.
Göründüyü kimi ardıcıllığın yığılanlığını müxtəlif yollarla müəyyən etmək olar: limitin tərifinə əsasən, limiti bilavasitə hesablamaqla, ardıcıllığın monoton məhdudluğuna və sonuncu teoremə görə. Bunun üçün daha ümumi kriteriya (meyar) isə aşağıdakı teorem vasitəsilə verilir.
Teorem 14 (Koşi kriteriyası). ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt ixtiyari üçün elə nömrəsinin olmasıdır ki, və istənilən natural ədəd olduqda
bərabərsizliyi ödənsin.
Koşi kriteriyasının şərtlərini ödəyən ardıcıllığa fundamental ardıcıllıq deyilir.
Deməli, ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun fundamental ardıcıllıq olmasıdır.
Misal 19. Verilmiş ardıcıllığı üçün ,, və - i tapın.
1) ;
olduqda ;
olduqda ;
alt ardıcıllıqlarını alırıq və verilmiş ardıcıllığın bütün hədləri bu ardıcıllıqlardan birinə daxildir. Ona görə də baxılan ardıcıllığın xüsusi limitləri (və ya limit nöqtələri) bu alt ardıcıllıqların limiti kimi tapıla bilər:
;
Ardıcıllığın iki limit nöqtəsi var və göründüyü kimi
,
İndi isə ardıcıllığın dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini tapaq.
Asanlıqla müəyyən etmək olar ki, ardıcıllığı azalan ardıcıllıqdır. Ona görə də
və Teorem 10 - ə əsasən
Eynilə müəyyən edilir ki, ardıcıllığı artan ardıcıllıqdır və ona görə də
,
və
.
Beləliklə,
2)
, , və nömrəli hədlərdən düzəldilmiş alt ardıcıllıqlara baxaq.
olduqda
olduqda
olduqda ;
olduqda
Baxılan ardıcıllığın bütün hədləri bu alt ardıcıllıqlardan birinə daxildir. Ona görə də limit nöqtələri və ya xüsusi limitlər bu alt ardıcıllıqların limiti kimi tapıla bilər:
.
Ardıcıllığın üç limit nöqtəsi var və göründüyü kimi,
.
Hər bir alt ardıcıllığın dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini tapaq.
və ardıcıllıqları sabit ardıcıllıqlardır və
.
alt ardıcıllığı azalan ardıcıllıqdır və ona görə də
Bu nəticələri yekunlaşdıraraq tapırıq ki,
Qeyd edək ki, alt ardıcıllıqları seçərkən , , və də götürmək olardı.
3) ;
, və , nömrəli hədlərdən düzəldilmiş alt ardıcıllıqlara baxaq.
olduqda
olduqda
olduqda
Xüsusi limitləri tapa bilərik:
.
Deməli,
.
Əvvəlki misaldakına oxşar mühakimələr apararaq tapmaq olar ki,
4) ;
olduqda ;
olduqda ;
alt ardıcıllıqlarını alırıq.
Hər iki alt ardıcıllıq sonsuz böyük kəmiyyətlərdir. Ona görə də
Deməli,
Asanlıqla müəyyən olunur ki,
Misal 20. Koşi kriteriyasından istifadə edərək ardıcıllıqların yığılanlığını araşdırın.
1)
İstənilən natural ədədi üçün yaza bilərik:
Burada doğru bərabərsizliyini nəzərə alsaq tapırıq ki,
Deməli, baxılan ardıcıllıq yığılan ardıcıllıqdır.
2)
İxtiyari və istənilən natural ədədi üçün yaza bilərik:
Sonuncu bərabərsizlik isə olduqda ödənir. Deməli, ardıcıllıq yığılır.
3)
4) ;
Yaza bilərik:
Xüsusi halda olarsa
Beləliklə, , yəni ixtiyari və istənilən natural ədədi üçün Koşi şərti ödənmir. Deməli, ardıcıllıq dağılır.
N
n
Î
0
>
M
M
x
n
£
n
M
x
n
>
1
2
cos
2
2
...
2
2
+
=
+
+
+
=
n
n
S
p
2
2
1
n
n
x
n
-
+
=
2
)
1
(
2
)
2
1
(
2
2
1
2
2
2
£
-
-
=
-
-
-
=
-
+
=
n
n
n
n
n
x
n
2
=
M
;
5
2
n
n
x
n
-
=
5
5
5
5
2
£
<
-
=
-
=
n
n
n
n
n
x
n
;
ln
n
e
x
n
=
1
ln
1
ln
ln
ln
£
-
=
-
=
=
n
n
e
n
e
x
n
1
=
M
;
2
3
2
+
=
n
n
x
n
1
=
n
1
2
)
2
3
)(
1
(
1
2
2
3
1
1
2
3
1
2
3
2
2
2
³
+
+
+
+
=
+
-
-
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
+
=
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
1
=
m
;
2
!
n
n
n
x
=
1
1
2
2
...
2
2
1
...
3
2
1
!
-
-
=
×
×
×
³
×
×
×
=
n
n
n
n
4
3
4
2
1
дяфя
2
1
2
2
2
!
1
=
³
=
-
n
n
n
n
n
x
2
1
=
m
;
1
2
2
-
=
n
n
ctg
x
n
p
1
1
2
2
1
£
-
<
n
n
p
p
p
£
-
<
1
2
2
n
n
0
2
1
2
2
2
=
>
-
=
p
p
ctg
n
n
ctg
x
n
1
1
2
cos
2
2
+
=
=
k
S
p
0
=
m
1
2
2
+
=
n
n
x
n
ab
b
a
2
³
+
1
,
2
=
=
b
n
a
n
n
n
2
1
2
1
2
2
=
×
³
+
1
2
2
1
2
2
=
£
+
=
n
n
n
n
x
n
0
1
2
2
>
+
=
n
n
x
n
1
0
£
<
n
x
n
n
n
x
n
-
+
=
2
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
+
+
=
+
+
-
+
=
+
+
+
+
-
+
=
-
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
k
n
=
n
n
n
n
n
n
n
n
=
=
×
>
+
=
+
2
2
)
1
(
2
1
0
2
2
=
+
<
+
+
=
-
+
=
<
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
2
1
0
<
<
n
x
)
1
(
cos
...
3
2
2
cos
2
1
1
cos
+
×
+
+
×
+
×
=
n
n
n
x
n
1
1
1
1
1
1
1
...
3
1
2
1
2
1
1
)
1
(
1
...
3
2
1
2
1
1
)
1
(
cos
...
3
2
2
cos
2
1
1
cos
)
1
(
cos
...
3
2
2
cos
2
1
1
cos
<
+
-
=
+
-
+
+
-
+
-
=
=
+
×
+
+
×
+
×
<
+
×
+
+
×
+
×
=
+
×
+
+
×
+
×
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
1
<
n
x
2
2
2
1
...
3
1
2
1
1
n
x
n
+
+
+
+
=
1
>
n
x
n
n
n
n
n
1
1
1
)
1
(
1
1
2
-
-
=
-
<
<
+
+
+
+
=
2
2
2
1
...
3
1
2
1
1
n
x
n
1
2
cos
2
2
...
2
2
+
=
+
+
+
=
k
n
S
p
2
1
2
1
1
1
...
3
1
2
1
2
1
1
1
<
-
=
-
-
+
+
-
+
-
+
n
n
n
2
1
<
£
n
x
n
n
x
n
1
+
=
0
>
M
n
2
)
1
2
(
...
5
3
1
n
n
=
-
+
+
+
+
M
n
n
n
n
n
x
n
>
>
+
=
+
=
1
1
M
n
>
)
1
lg(
+
=
n
x
n
0
>
M
M
n
n
x
n
>
+
=
+
=
)
1
lg(
)
1
lg(
1
+
=
k
n
M
n
10
1
>
+
1
10
-
>
M
n
n
x
n
1
...
2
1
1
+
+
+
=
2
,
1
...
2
1
1
³
>
+
+
+
n
n
n
2
=
n
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
=
=
+
>
+
=
+
=
x
k
n
=
1
+
=
k
n
1
1
1
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
...
2
1
1
2
1
+
=
+
+
=
+
+
>
>
+
+
+
=
+
+
>
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
k
k
x
k
k
0
>
M
.
2
cos
2
2
cos
4
2
cos
1
2
2
cos
2
2
2
2
...
2
2
2
2
2
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
=
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
=
+
=
+
+
+
=
k
k
k
k
k
sayda
k
k
S
S
p
p
p
p
4
4
4
3
4
4
4
2
1
M
n
n
n
x
n
>
>
+
+
+
=
+
+
+
=
1
...
2
1
1
1
...
2
1
1
2
M
n
>
{
}
n
x
(
)
n
n
n
n
x
x
x
x
£
³
+
+
1
1
(
)
n
n
n
n
x
x
x
x
<
>
+
+
1
1
0
n
{
}
{
}
(
)
n
n
x
x
inf
sup
n
(
)
0
0
n
n
n
n
x
x
x
x
³
£
2
1
2
cos
2
2
...
2
2
+
+
=
+
+
+
k
sayda
k
p
4
4
4
3
4
4
4
2
1
0
n
x
{
}
{
}
(
)
n
n
x
x
min
max
{
}
{
}
{
}
{
}
(
)
n
n
n
n
x
x
x
x
min
inf
max
sup
=
=
{
}
{
}
(
)
in
x
in
x
n
n
-
-
inf
sup
{
}
{
}
(
)
in
x
in
x
n
n
-
-
min
max
1
2
1
+
-
=
n
n
x
n
3
2
1
+
=
+
n
n
x
n
1
3
2
2
1
1
2
3
2
2
2
1
>
-
+
+
=
-
+
×
+
=
+
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
)
1
(
0
>
>
n
x
n
n
n
x
x
>
+
1
3
,
1
1
³
+
>
+
n
n
n
n
n
)
1
lg(
lg
+
-
=
n
n
x
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
+
=
+
-
=
1
1
1
lg
1
lg
)
1
lg(
lg
n
n
n
n
n
x
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
+
2
1
1
lg
1
n
x
n
1
1
2
1
+
<
+
n
n
1
1
1
2
1
1
+
-
>
+
-
n
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
1
1
1
lg
2
1
1
lg
n
n
n
n
x
x
>
+
1
n
n
n
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
1
1
n
n
n
n
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
1
1
1
1
2
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
n
n
n
n
x
)
1
(
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
2
1
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
+
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
=
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
=
=
+
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
=
+
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
2
)
1
(
1
+
-
=
n
x
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
1
2
1
2
+
-
=
+
×
+
-
>
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
n
n
n
n
n
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1
2
1
=
+
×
+
>
+
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
=
+
+
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
n
0
>
n
x
N
n
Î
n
n
x
x
>
+
1
n
n
k
k
n
x
3
1
...
3
1
3
1
1
3
1
2
0
+
+
+
+
=
=
å
=
n
n
x
x
-
+
1
1
1
1
3
1
3
1
3
1
...
3
1
1
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
x
x
n
n
n
n
)
1
(
1
+
>
+
0
3
1
1
1
>
=
-
+
+
n
n
n
x
x
n
n
x
x
>
+
1
2
1
1
=
x
,...
2
,
1
,
2
1
1
=
-
=
+
n
x
x
n
n
N
n
x
n
Î
<
,
1
1
=
n
1
2
1
1
<
=
x
k
n
=
1
<
k
x
1
-
>
-
k
x
3
=
n
1
2
>
-
k
x
.
1
2
1
1
<
-
=
+
k
k
x
x
1
<
n
x
0
2
1
2
1
2
2
)
2
(
1
2
1
2
1
>
-
-
=
-
+
-
=
-
-
-
=
-
-
=
-
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
x
x
>
+
1
1
+
=
n
n
x
n
1
5
2
+
=
n
n
x
n
1
)
1
(
)
1
(
5
2
1
+
+
+
=
+
n
n
x
n
1
,
1
1
)
1
(
1
5
1
)
1
(
)
1
(
5
5
1
1
)
1
(
)
1
(
5
1
2
2
2
2
2
2
2
1
<
£
+
+
=
+
+
=
+
×
+
+
<
+
×
+
+
+
=
+
+
n
n
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
0
>
n
x
3
1
3
)
1
3
(
3
+
>
+
n
n
x
n
-
+
=
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
+
+
=
+
+
+
+
-
+
=
-
+
=
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
+
+
+
=
+
-
+
=
+
n
n
n
n
x
n
n
n
n
n
+
+
>
+
+
+
1
1
2
N
n
Î
n
n
x
x
<
+
1
n
n
n
x
5
2
=
1
5
)
1
(
2
1
+
+
=
+
n
n
n
x
1
5
4
2
5
1
1
5
1
5
5
)
1
(
2
2
2
1
2
1
<
=
×
£
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
×
+
=
+
+
n
n
n
n
x
x
n
n
n
n
n
k
n
=
n
n
n
x
3
5
-
=
1
1
3
)
1
(
5
+
+
-
+
=
n
n
n
x
0
3
2
5
3
5
3
3
5
5
)
3
5
(
3
)
1
(
5
1
1
<
×
-
=
+
-
×
-
+
=
-
-
-
+
=
-
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
,...
2
,
1
,
2
1
;
2
1
1
=
+
=
=
+
n
x
x
x
n
n
2
1
£
£
n
x
1
=
n
2
1
=
x
k
n
=
2
1
£
<
k
x
1
+
=
k
n
1
+
=
k
n
2
2
1
2
2
1
1
<
+
£
+
=
+
k
k
x
x
1
2
1
1
2
1
1
=
+
>
+
=
+
k
k
x
x
2
1
1
£
<
+
k
x
2
1
£
<
n
x
41
2
+
+
n
n
0
2
1
2
2
1
2
1
1
<
-
=
-
+
=
-
+
=
-
+
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
x
x
<
+
1
n
x
n
n
100
2
-
=
100
2
100
2
100
100
2
2
)
100
2
(
)
1
(
100
2
)
1
(
100
2
1
1
-
=
+
-
-
-
×
=
=
-
-
+
-
-
+
-
=
-
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
k
k
k
k
)
1
(
1
+
>
+
7
³
n
0
1
>
-
+
n
n
x
x
n
n
x
x
>
+
1
7
=
n
{
}
572
7
100
2
min
7
7
-
=
×
-
=
=
x
x
n
2
7
2
+
-
=
n
n
x
n
25
.
10
)
5
.
3
(
2
25
.
12
)
5
.
3
(
2
7
2
2
2
-
-
=
+
-
-
=
+
-
=
n
n
n
n
x
n
N
n
Î
3
=
n
4
=
n
1
2
)
2
(
)
1
(
+
+
+
>
+
k
k
k
k
{
}
10
min
4
3
-
=
=
=
x
x
x
n
)
3
(
2
6
2
2
7
2
7
7
1
2
)
2
7
(
2
)
1
(
7
)
1
(
2
2
2
2
1
-
=
-
=
=
-
+
-
+
-
-
+
+
=
+
-
-
+
+
-
+
=
-
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
4
³
n
4
=
n
(
)
1
!
>
=
a
n
a
x
n
n
1
!
)!
1
(
1
1
+
=
×
+
=
+
+
n
a
a
n
n
a
x
x
n
n
n
n
1
1
<
+
n
a
1
-
>
a
n
1
1
<
+
n
n
x
x
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
)
2
(
1
2
1
2
)
1
2
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
=
+
+
=
=
+
=
×
+
+
>
×
+
>
+
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
x
x
<
+
1
[
]
a
n
=
[
]
a
a
!
100
n
x
n
n
=
100
=
n
{
}
99
99
100
100
!
99
100
!
100
100
max
x
x
x
n
=
=
=
=
7
1
2
+
+
=
n
n
x
n
)
8
2
(
)
1
(
)
10
5
(
2
1
18
18
13
4
28
28
11
4
)
8
2
(
)
1
(
)
7
(
)
2
(
1
7
7
)
1
(
2
2
2
2
2
3
4
2
3
4
2
2
2
2
2
2
1
+
+
+
-
-
-
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
+
+
×
+
+
+
=
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
...
6
5
4
3
6
5
4
3
>
>
>
>
0
10
5
2
>
-
-
n
n
10
)
5
(
>
-
n
n
7
³
n
7
=
n
{
}
7
14
2
14
2
8
56
8
7
7
1
7
max
2
7
=
=
=
+
+
=
=
x
x
n
e
)
(
e
N
N
=
{
}
n
x
N
n
>
e
<
-
a
x
n
n
x
x
x
,...,
,
2
1
e
e
+
<
<
-
a
x
a
n
a
a
x
n
n
=
¥
®
lim
¥
®
n
a
x
n
®
e
+
a
e
-
a
)
(
a
O
e
a
1
,...,
,
2
1
=
n
x
x
x
0
>
e
a
{
}
e
e
<
-
=
a
x
x
a
O
:
)
(
{
}
e
e
e
+
<
<
-
=
a
x
a
x
a
O
:
)
(
a
e
0
>
e
)
(
e
N
N
=
)
(
e
N
n
>
n
x
x
x
n
³
+
+
+
...
2
1
)
(
a
O
n
x
e
Î
{
}
n
x
a
a
e
2
x
4
x
n
x
1
+
N
x
1
...
2
1
³
+
+
+
n
x
x
x
n
2
+
N
x
3
x
N
x
e
-
a
e
+
a
a
1
x
1
=
n
{
}
n
x
{
}
n
y
{
}
{
}
{
}
þ
ý
ü
î
í
ì
±
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x
y
x
,
,
(
)
n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x
¥
®
¥
®
¥
®
+
=
+
lim
lim
lim
(
)
n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x
¥
®
¥
®
¥
®
×
=
lim
lim
lim
0
lim
,
lim
lim
lim
¹
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
x
y
x
c
y
n
º
n
n
n
n
x
c
cx
¥
®
¥
®
=
lim
lim
1
1
=
x
(
)
b
x
b
x
n
n
£
³
a
)
(
b
a
b
a
£
³
)
(
b
x
b
x
n
n
<
>
1
=
n
b
x
n
n
=
¥
®
lim
0
1
>
=
n
x
n
0
lim
=
¥
®
n
n
x
a
y
x
n
n
n
n
=
=
¥
®
¥
®
lim
lim
1
1
1
³
x
n
n
n
y
z
x
£
£
{
}
n
z
a
z
n
n
=
¥
®
lim
n
x
n
n
)
1
(
-
=
0
>
e
)
(
e
N
N
=
)
(
e
N
n
>
e
<
n
x
n
n
x
x
n
n
n
1
)
1
(
0
=
-
=
=
-
k
n
=
e
1
>
n
ú
û
ù
ê
ë
é
=
e
e
1
)
(
N
e
)
(
e
N
e
N
4
x
6
x
5
x
3
x
1
...
1
2
1
=
+
k
k
x
x
x
x
1
x
5
1
-
3
1
-
6
1
4
1
2
x
2
1
1
+
k
0
1
1
lim
1
lim
,
0
1
lim
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
=
=
¥
®
¥
®
¥
®
n
n
n
n
n
n
n
N
k
n
k
n
Î
=
¥
®
,
0
1
lim
0
,
0
1
lim
>
=
¥
®
a
a
n
n
1
+
=
n
n
x
n
1
lim
=
¥
®
n
n
x
e
<
-
1
n
x
e
<
+
=
+
-
=
-
+
=
-
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
x
n
1
2
1
,...,
,
+
k
k
x
x
x
x
1
1
-
>
e
n
1
1
)
(
-
ú
û
ù
ê
ë
é
=
e
e
N
e
5
x
3
x
4
x
2
x
5
4
4
3
3
2
2
1
6
5
1
³
k
x
n
1
0
1
1
1
1
1
lim
1
lim
=
+
=
+
=
+
¥
®
¥
®
n
n
n
n
n
1
2
1
-
+
=
n
n
x
n
2
1
lim
=
¥
®
n
n
x
e
<
-
=
-
+
-
+
=
-
-
+
=
-
3
4
3
)
1
2
(
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
x
n
e
4
3
2
1
+
>
n
1
1
£
+
k
x
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
e
e
4
3
2
1
)
(
N
)
(
e
N
n
>
e
<
-
2
1
n
x
e
)
(
e
N
N
=
5
4
7
5
3
2
2
1
k
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
2
1
1
2
1
,
,...
,
+
-
k
k
k
x
x
x
x
x
2
1
0
2
0
1
1
2
1
1
lim
1
2
1
lim
=
-
+
=
-
+
=
-
+
¥
®
¥
®
n
n
n
n
n
n
1
<
q
0
lim
=
¥
®
n
n
q
0
=
q
N
n
Î
0
=
n
q
1
0
<
<
q
,
43
41
2
=
+
+
n
n
k
x
x
x
x
x
k
k
k
³
+
+
+
+
+
-
1
1
2
1
...
1
1
>
q
0
>
a
a
+
=
1
1
q
n
q
n
n
a
a
+
>
+
=
1
)
1
(
1
e
a
a
<
<
+
<
=
n
n
q
q
n
n
1
1
1
)
(
e
N
n
>
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ae
e
1
)
(
N
0
9
.
0
lim
,
0
2
1
lim
2
1
lim
,
0
3
2
lim
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
n
n
n
n
n
n
n
n
e
<
-
a
x
n
005
,
0
,
7
5
,
3
7
1
5
2
2
=
=
-
+
=
e
a
n
n
x
n
1
)
1
)(
1
(
1
)
1
(
1
1
)
...
(
...
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
+
³
-
-
+
+
=
-
+
+
-
+
=
-
+
+
³
³
-
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
k
x
x
k
x
x
x
k
x
x
x
x
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
)
3
7
(
7
22
7
5
)
3
7
(
7
15
35
7
35
7
5
3
7
1
5
2
2
2
2
2
2
-
=
-
-
+
-
+
=
-
-
+
=
-
n
n
n
n
n
n
a
x
n
005
,
0
)
3
7
(
7
22
2
<
-
n
200
1
)
3
7
(
7
22
2
<
-
n
5
,
9
7
5
,
66
7
4421
4421
49
2
=
»
>
>
n
n
10
=
N
6
2
10
,
2
,
10
9
...
10
9
10
9
1
-
=
=
+
+
+
+
=
e
a
x
n
n
n
n
n
n
n
x
10
1
2
10
9
10
1
1
10
9
1
10
1
1
10
1
1
10
9
1
10
9
...
10
9
10
9
1
2
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
+
+
