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2017年衡水中学大联考高考数学理科模拟试卷（Word版含解析）

一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．1．（5 分）（2017•衡水模拟）若集合 A={y|y=lgx}，B={x|y= }，则

集合 A∩B=（　　）A．（0，+∞）B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．∅【考点】交集及其运算．菁优网版权所有【专题】集合思想；定义法；函数的性质及应用；集合．【分析】根据函数的定义域和值域求出集合 A、B，利用定义写出 A∩B．【解答】解：集合 A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R，B={x|y= }={x|x≥0}，则集合 A∩B={x|x≥0}=[0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了集合的定义与函数的定义域和值域的应用问题，是基础题

目．

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2．（5 分）（2017•衡水模拟）已知复数 z 满足 z= （ i 为虚数单位 ，a∈R），若复数 z 对应的点位于直角坐标平面内的直线 y= x﹣ 上，则 a 的值为

（　　）A．0 B．l C．﹣l D．2

【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【解答】解：复数 z 满足 z= = = + i，复数 z 对应的点（ ， ）位于直角坐标平面内的直线 y= x﹣ 上，∴﹣ = ，解得 a=0．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题．3．（5 分）（2017•衡水模拟）设函数 f（x）=x2 2x 3﹣ ﹣ ，若从区间[﹣

2，4]上任取一个实数 x0，则所选取的实数 x0 满足 f（x0）≤0 的概率为（

　）

3

A． B． C． D．【考点】几何概型．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目

中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概

率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，由 f（x0）≤0，得到 x02 2x﹣ 0 3≤0﹣ ，且 x0∈[ 2﹣ ，4]

解得：﹣1≤x0≤3，

∴P= = ，故选：A．【点评】本题主要考查了几何概型，以及一元二次不等式的解法，概率题目的

考查中，概率只是一个载体，其他内容占的比重较大，属于基础题．　

4．（5 分）（2017•衡水模拟）已知 a＞0，且 a≠1，则双曲线 C1： ﹣

y2=1 与双曲线 C2： ﹣x2=1 的（　　）

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A．焦点相同 B．顶点相同 C．渐近线相同 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线 C1 与 C2 的标准方程，分析其焦点位置，进而求

出 C1 与 C2 的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程以及离心率，比较即可得答案．

【解答】解：根据题意，双曲线 C1： ﹣y2=1，其焦点在 x 轴上，c=

，

则其焦点坐标为（ ，0），顶点坐标（a，0），渐近线方程：y=± x，

离心率 e= ；

双曲线 C2： ﹣x2=1，其焦点在 y 轴上，c= ，则其焦点坐标为（0， ），顶点坐标（0，a），渐近线方程：y=±ax，

离心率 e= ；

分析可得：双曲线 C1： ﹣y2=1 与双曲线 C2： ﹣x2=1 的离心率相同；故选：D．

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【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的方程分析双曲线的焦点

位置．　5．（5 分）（2017•衡水模拟）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：

“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速

度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走 7 天，共走 了 700 里．

若该匹马按此规律继续行走 7 天，则它这 14 天内所走的总路程为（　　）

A． 里 B．1050 里 C． 里 D．2100 里【考点】等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有【专题】阅读型；转化思想；转化法．

【分析】由题意，可得该匹马每日的路程成等比数列，首项为 a1，公比 ，连续行走 7 天，共走 了 700 里，即 S7=700，求解 a1，即可求解它这 14 天内

所走的总路程 S14．

【 解 答 】 解 ： 由 题 意 ， 设 该 匹 马 首 日 路 程 （ 即 首 项 ） 为 a1 ， 公 比 ，

S7=700，即 ，

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解得：

那么： =

故选 C．【点评】本题考查了对题目的理解和关系的建立．读懂题意是关键．利用了等

比数列的性质求解．属于基础题．　6．（5 分）（2017•衡水模拟）如图，在各小正方形边长为 1 的网格上依次

为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何

体的体积为（　　）

A．1+ B． + C． + D． +

【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为 2）的三棱

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锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为 1）的组合体，利用体积公式，可得结论．【解答】解：由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为 2）的

三棱锥 和 一 个 半 圆 锥 （ 圆 锥底面 半径为 1 ） 的组合 体 ， 体积 V=

= ，故选 C．【点评】本题考查三视图，要求能根据三视图还原成原几何体，属简单题．　7．（5 分）（2017•衡水模拟）已知 0＜a＜b＜l，c＞l，则（　　）

A．logac＜logbc B．（ ）c＜（ ）c

C．abc＜bac D．alogc ＜blogc

【考点】不等式的基本性质．菁优网版权所有【专题】对应思想；转化法；不等式．【分析】根据 a，b，c 的范围，根据特殊值法验证即可．

【解答】解：取 a= ，b= ，c=2，得 A、B、C错误，D 正确，故选：D．

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【点评】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．　8．（5 分）（2017•衡水模拟）运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（

）

A． B． C． D．【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】综合题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．

【分析】程序框图累计算 = （ ﹣ ）各项的和，即 s= [（1﹣

）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，根据判断框，即可得出结论．

【解答】解：程序框图累计算 = （ ﹣ ）各项的和，即 s= [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，判断框为 k＞99时，输出的结果为 ，故选 B．

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【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应

高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条

件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此

种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．　9．（5 分）（2017•衡水模拟）如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣

A1B2C3D4 中，点 E，F 分别在棱 AD，BC 上，且 AE=BF= a．过 EF 的平面绕 EF旋转，与 DD1、CC1 的延长线分别交于 G，H 点，与 A1D1、B1C1 分别交

于 E1 ， F1 点 ．当异面 直 线 FF1 与 DD1 所 成 的 角 的 正切值 为 时， |GF1|

=（　　）

A． B． C． D．【考点】棱柱的结构特征．菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离．

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【分析】如图异面直线 FF1 与 DD1 所成的角的正切值为 时，就是 tan∠CHF=

，求出 CF，C1H，C1F，D1C1 即可．【解答】解：如图异面直线 FF1 与 DD1 所成的角的正切值为 时，就是 tan∠CHF= ，∵ ，∴CH=2a，即 C1H=a⇒C1F1=

|GF1|= =

故选：A．【点评】本题考查了空间距离，空间问题转化为平面问题是关键，属于基础题．　10．（5 分）（2017•衡水模拟）将函数 f（x）= sin2x﹣ cos2x+1 的

图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，则下列关予函数 y=g（x）的说法错误的是（　　）A．函数 y=g（x）的最小正周期为 π

B．函数 y=g（x）的图象的一条对称轴为直线 x=

C． g（x）dx=

D．函数 y=g（x）在区间[ ， ]上单调递减

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【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．菁优网

版权所有【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用两角差的正弦函数公式、函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规

律，可得 g（x），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．

【解答】解：把 f（x）= sin2x﹣ cos2x+1=2sin（2x﹣ ）+1 的图

象向左平移 个单位，得到函数 y=2sin[2（x+ ）﹣ ]+1=2sin（2x+ ）+1 的图象，再向下平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）=2sin（2x+ ）的图象，对于 A，由于 T= ，故正确；对于 B，由 2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得：x= + ，k∈Z，可得：当

k=0时，y=g（x）的图象的一条对称轴为直线 x= ，故正确；

对于 C， g（x）dx= 2sin（2x+ ）dx= cos﹣ （2x+ ）| =

﹣（cos cos﹣ ）= ，故正确；对于 D，由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：kπ+ ≤x≤kπ+

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，k∈Z，可得函数 y=g（x）在区间[ ， ]上单调递减，故错误．故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换

规律，函数 y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，考查了转化思想和数形结合

思想，属于中档题．　11．（5 分）（2017•衡水模拟）点 M（3，2）到拋物线 C：y=ax2（a＞

0）准线的距离为 4，F 为拋物线的焦点，点 N（l，l），当点 P 在直线 l：x﹣

y=2 上运动时， 的最小值为（　　）

A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出抛物线的方程，设 AP=t，则 AN= ，AF=2 ，PN=

，PF= ，再表示 ，利用换元法，即可得出结论．【解答】解：∵点 M（3，2）到拋物线 C：y=ax2（a＞0）准线的距离为 4，

∴2+ =4，∴a= ，∴拋物线 C：x2=8y，

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直线 l：x y=2﹣ 与 x 轴交于 A（2，0），则 FA⊥l．设 AP=t，则 AN= ，AF=2 ，PN= ，PF= ，

设 ﹣ 1=m （ m≥ 1﹣ ） ， 则 = = =

，

∴m= 1﹣ ，即 t=0时， 的最小值为 ．故选：B．

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查 的最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　12．（5 分）（2017•衡水模拟）已知 f（x）是定义在区间（0，+∞）内的

单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有 f[f（x）﹣lnx]=e+1，设 f′（x）为

f（x）的导函数，则函数 g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（　　）A．0 B．l C．2 D．3

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．菁优网版权所有【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．

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【分析】由设 t=f（x）﹣lnx，则 f（x）=lnx+t，又由 f（t）=e+1，求出

f（x）=lnx+e，从而求出 g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零

点的个数即可．【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 对 任 意 的 x∈ （ 0 ， +∞ ） ，都有 f[f （ x ） ﹣

lnx]=e+1，又由 f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则 f（x）﹣lnx 为定值，设 t=f（x）﹣lnx，则 f（x）=lnx+t，又由 f（t）=e+1，即 lnt+t=e+1，解得：t=e，

则 f（x）=lnx+e，f′（x）= ＞0，

故 g（x）=lnx+e﹣ ，则 g′（x）= + ＞0，故 g（x）在（0，+∞）递增，

而 g（1）=e 1﹣ ＞0，g（ ）= 1﹣ ＜0，

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存在 x0∈（ ，1），使得 g（x0）=0，故函数 g（x）有且只有 1 个零点，故选：B．【点评】本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出 f（x），属于中

档题．　二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．（5 分）（2017•衡水模拟）在（2 ﹣ ）6 的展开式中，含 x3 项的系

数是　 64 　 （用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有【专题】对应思想；定义法；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中含 x 项的指数等于 3，求

出 r 的值，即可求出展开式中 x3 项的系数．

【解答】解：二项式（2 ﹣ ）6展开式的通项公式为

Tr+1= • • =（﹣1）r•26 r﹣ • •x3 r﹣ ，令 3 r=3﹣ ，

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解得 r=0；

∴展开式中 x3 项的系数是 26× =64．故答案为：64．【点评】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求展开式中特定项的系数问

题，是基础题目．　14．（5 分）（2017•衡水模拟）已知向量 ， 满足| |=2， =（4cosα，

﹣4sinα），且 ⊥（ ﹣ ），设 与 的夹角为 θ，则 θ 等于　 　．【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积运算与夹角公式，即可求出 、 夹角的大小．【解答】解：∵| |=2， =（4cosα，﹣4sinα），∴| |= =4，又 ⊥（ ﹣ ），∴ •（ ﹣ ）= ﹣ • =22﹣ • =0，∴ • =4；设 与 的夹角为 θ，则 θ∈[0，π]，

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∴cosθ= = = ，

∴θ= ．故答案为： ．【点评】本题考查了平面向量数量积运算与夹角公式的应用问题，是基础题目．　

15．（5 分）（2017•衡水模拟）已知点 P（x，y）的坐标满足 ，则

的取值范围为　（﹣ ， 1 ）　 ．【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；向量法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，设 A（1，1），P（x，y）为可行域内的一

动点，向量 、 的夹角为 θ，可得 cosθ= ，再由 θ 的范围求得

cosθ 的范围，则答案可求．

【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，

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设 A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，向量 、 的夹角为 θ，∵| |= ， ，

∴cosθ= = ．

∵当 P 运动到 B时，θ 有最小值 ，当 P 运动到 C时，θ 有最大值 π，

∴ 1﹣ ＜cosθ＜ ，即﹣1＜ ，

则 ＜ ＜1．

∴ 的取值范围为（﹣ ，1）．故答案为：（﹣ ，1）．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化

思想方法，是中档题．　

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16．（5 分）（2017•衡水模拟）若函数 f（x）的表达式为 f（x）=

（c≠0），则函数 f（x）的图象的对称中心为（﹣ ， ），现已知函数

f（x）= ，数列{an}的通项公式为 an=f（ ）（n∈N），则此数列前2017 项的和为　﹣ 2016 　 ．【考点】数列的求和．菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．

【分析】由已知结论可得 f（x）的对称中心为（ ，﹣1），即有 f（x）+f（1

x﹣ ）= 2﹣ ，此数列前 2017 项的和按正常顺序写一遍，再倒过来写，即运用

数列的求和方法：倒序球和法，化简即可得到所求和．

【解答】解：若函数 f（x）的表达式为 f（x）= （c≠0），则函数 f（x）的图象的对称中心为（﹣ ， ），现已知函数 f（x）= ，则对称中心为（ ，﹣1），即有 f（x）+f（1 x﹣ ）= 2﹣ ，

则 数 列 前 2017 项 的 和 为 S2017=f （ ） +f （ ） +…+f （ ）+f（1），

则 S2017=f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），

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相加可 得 2S2017=[f （ ） +f （ ） ]+[f （ ）+f （ ） ]+…

+2f（1）= 2+﹣ （﹣2）+…+（﹣2）+0= 2×2016﹣ ，则此数列前 2017 项的和为﹣2016．故答案为：﹣2016．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查数列的求和方法：倒序相加求和，

考查运算能力，属于中档题．　三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12 分）（2017•衡水模拟）已知在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分

别为 a，b，c，且 2sin Acos B=2sin C sin B﹣ ．（I）求角 A；（Ⅱ）若 a=4 ，b+c=8，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．

【分析】（I）由正弦定理化简已知等式可得 cosB= ，结合余弦定理可求b2+c2 a﹣ 2=bc，可求 cosA，结合范围A∈（0，π），可求 A 的值．

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（Ⅱ）由已知及余弦定理可得 bc= ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为 12 分）解：（I）∵2sinAcosB=2sinC sinB﹣ ，

∵由正弦定理可得：2acosB=2c b﹣ ，即：cosB= ，

又∵cosB= ，

∴ = ，解得：b2+c2 a﹣ 2=bc，

∴cosA= = = ，又∵A∈（0，π），

∴A= …6 分（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a2=b2+c2 2bccosA﹣ ，a=4 ，b+c=8，∴（4 ）2=b2+c2 bc=﹣ （b+c）2 3bc=64 3bc﹣ ﹣ ，

∴bc= ，

∴△ABC 的面积 S= bcsinA= = …12 分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中

的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．　

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18．（12 分）（2017•衡水模拟）如图，已知平面 ADC∥平面 A1B1C1，B 为

线段 AD 的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形 ABB1A1 为正方形，平面 AA1C1C

丄平面 ADB1A1，A1C1=A1A，∠C1A1A= ，M 为棱A1C1 的中点．（I）若 N 为线段 DC1 上的点，且直线 MN∥平面 ADB1A1，试确定点 N 的位置；（Ⅱ）求平面 MAD 与平面 CC1D 所成的锐二面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）连结 A1D，直线 MN∥平面 ADB1A1，推出 MN∥A1D，说明MN

为△A1C1D 的中位线，得到 N 为 DC1 的中点．（Ⅱ）设 A1B1=1，证明 AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，以

A 为坐标原点，AD，AC，AM 分别为 x，y，z 轴，求出相关点的坐标，求出平

面 CC1D 的法向量，平面 MAD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即

可．

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【解答】（Ⅰ）证明：连结 A1D，直线 MN∥平面 ADB1A1，MN⊂平面 A1C

′1D，平面 A1C1D∩平面 ADB1A1=A1D1，∴MN∥A1D，又M 为棱A1C1 的中点，∴MN 为△A1C1D 的中位线，∴N 为 DC1 的中点．（Ⅱ） 设 A1B1=1 ， 则 A1A=1 ， A1C1=1 ，因为 B 为 AD 的 中 点 ， 所 以

AD=2，因为△ABC≌△A1B1C1，所 以 A1C1=AC ， 又 平 面 ABC∥ 平 面 A1B1C1 ， 平 面 A1B1C1∩ 平 面

A1AOC1=A1C1，平面 ABC∩平面 A1AOC1=AO，∴A1C1∥AC，所以四边形 A1ACC1 是平行四边形，又 A1C1=A1A，所以 A1ACC1

是菱形，又∠C1A1A= ，

A1M= ，∴AM= ，∴AM⊥A1C1，∴AM⊥AC，∵AD⊥AA1，平面

AA1C1C⊥平面 ADB1A1，∴AD⊥平面 AA1C1C，∴AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，以 A 为坐标原点，AD，AC，AM 分别为 x，y，z 轴，由题意可得：A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），C1 （

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），∴ =（﹣2，1，0）， ，

设平面 CC1D 的法向量为： =（x，y，z），则 ，

令 z=2 ，可得 y=6，x=3，可得 =（3，6，2 ），平面 MAD 的一个法

向量为： =（0，1，0），平面 MAD 与平面 CC1D 所成的锐二面角的余弦值为：cosθ=|cos |

= = = ．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面判断的判定定理的应用，

考查空间想象能力以及计算能力．　19．（12 分）（2017•衡水模拟）某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将

此试验重复 n轮，第 n轮的点数分别记为 xn，yn，如果点数满足 xn＜ ，

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则认为第 n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．（I）求第一轮闯关成功的概率；

（Ⅱ）如果第 i轮闯关成功所获的奖金数 f（i）=10000× （单位：元），

求某人闯关获得奖金不超过 1250 元的概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，

记进行的轮数为随机变量X，求 x 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有【专题】分类讨论；数学模型法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）枚举法列出所有满足条件的数对（x1，y1）即可，

（Ⅱ）由 10000× ≤1250，得 i≥3，由（Ⅰ）每轮过关的概率为 ．某人

闯关获得奖金不超过 1250 元的概率：P（i≥3）=1 P﹣ （i=1）﹣P（i=2）（Ⅲ）设游戏第 k轮后终止的概率为 pk（k=1，2，3，4），分别求出相应的

概率，由能求出 X 的分布列和数学期望．

【解答】解：（Ⅰ），当 y1=6时，y1＜ ，因此 x1=1，2；当 y1=5时，y1＜ ，因此 x1=1，2；

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当 y1=4时，y1＜ ，因此 x1=1，2；当 y1=3时，y1＜ ，因此 x1=1；当 y1=2时，y1＜ 因此 x1=1；当 y1=1时，y1＜ ，因此 x1无值；∴第一轮闯关成功的概率 P（A）= ．

（Ⅱ）令金数 f（i）=10000× ≤1250，则 i≥3，

由（Ⅰ）每轮过关的概率为 ．某人闯关获得奖金不超过 1250 元的概率

：P（i≥3）=1 P﹣ （i=1）﹣P（i=2）=1﹣ ﹣（1﹣ ）× =

（Ⅲ）依题意 X 的可能取值为 1，2，3，4

设游戏第 k轮后终止的概率为 pk（k=1，2，3，4）

p1= ．p2=（1﹣ ）× = ，p3=（1﹣ ）2× = ，p4=1 p﹣ 2 p﹣ 3=

；故 X 的分布列为 X 1 2 3 4

P

因此 EX=1× +2× +3× +4× =

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【点评】题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，

独立重复试验的概率求解，是中档题，　

20．（12 分）（2017•衡水模拟）已知椭圆 C： + =1 （a＞b＞0）的

短轴长为 2，过上顶点 E 和右焦点 F 的直线与圆 M：x2+y2 4x 2y+4=0﹣ ﹣ 相

切．（I）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若直线 l过点（1，0），且与椭圆 C 交于点 A，B，则在 x 轴上是否存

在 一 点 T （ t ， 0 ） （ t≠0 ） ，使得 不论直 线 l 的斜率 如 何 变 化 ， 总 有

∠OTA=∠OTB （其中 O 为坐标原点），若存在，求出 t 的值；若不存在，请

说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由已知可得：b=1，结合直线与圆 M：x2+y2 4x 2y+4=0﹣ ﹣

相切．进而可得 c2=3，a2=4，即得椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）在 x 轴上是否存在一点 T（4，0），使得不论直线 l 的斜率如何变化，

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总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线

TA，TB 的斜率 k1，k2 和为 0，可证得结论．【解答】解：（I）由已知中椭圆 C 的短轴长为 2，可得：b=1，

则过上顶点 E（0，1）和右焦点 F（0，c）的直线方程为： ，即 x+cy c=0﹣ ，由直线与圆 M：x2+y2 4x 2y+4=0﹣ ﹣ 相切．故圆心 M（2，1）到直线的距离 d 等于半径 1，

即 ，解得：c2=3，则 a2=4，

故椭圆 C 的标准方程为： ；（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），

当直线 AB 的斜率不为 0时，设直线 方程为：x=my+1，代入 得：

（m2+4）y2+2my 3=0﹣ ，

则 y1+y2= ，y1•y2= ，

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设直线 TA，TB 的斜率分别为 k1，k2，若∠OTA=∠OTB，

则 k1+k2= + = =

= =0，

即 2y1y2m+（y1+y2）（1 t﹣ ）= + =0，解得：t=4，当直线 AB 的斜率为 0时，t=4也满足条件，综上，在 x 轴上存在一点 T（4，0），使得不论直线 l 的斜率如何变化，总有

∠OTA=∠OTB．【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，难度

中档．　

21．（12 分）（2017•衡水模拟）已知函数 f（x）= （a，b∈R，

且 a≠0，e 为自然对数的底数）．

30

（I）若曲线 f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为 0，且 f（x）有极小值，

求实数 a 的取值范围．（II）（i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+2＜0；（ ii）当 a=1，b= 1 ﹣ 时， 若不 等式 ： xf（x）＞e+m（x 1﹣ ）在 区间

（1，+∞）内恒成立，求实数 m 的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用

导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】压轴题；函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由 f′（e）=0 得 b=0，可得 f′（x）=

．然后对 a 分类讨论，可知当 a＞0时，f（x）有极大值而无极小值；

当 a＜0时，f（x）有极小值而无极大值．从而得到实数 a 的取值范围为（﹣∞，

0）；（Ⅱ）（i）当 a=b=1时，设 g（x）=xf（x）+2=lnx e﹣ x+2．求其导函数

可得 g′（x）= 在区间（0，+∞）上为减函数，结合零点存在定理可得存

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在 实 数 x0∈ （ ， 1 ） ，使得 ． 得 到 g （ x ） 在 区 间

（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数．又 ，

得 ，x0= lnx﹣ 0．由单调性知 g（x）max＜0，即 xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x 1﹣ ）⇔xf（x）﹣m（x 1﹣ ）＞e，当 a=1，b= 1﹣

时，设 h（x）=xf（x）﹣m（x 1﹣ ）=lnx+ex m﹣ （x 1﹣ ）．利用两次求导

可得当 x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e m﹣ ．然后分当 1+e m≥0﹣ 时和当

1+e m﹣ ＜0时求解 m 的取值范围．

【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）= ，∴f′（x）= ．

∵f′（e）=0，∴b=0，则 f′（x）= ．当 a＞0时，f′（x）在（0，e）内大于 0，在（e，+∞）内小于 0，∴f（x）在（0，e）内为增函数，在（e，+∞）内为减函数，即 f（x）有极大

值而无极小值；当 a＜0时，f（x）在（0，e）内为减函数，在（e，+∞）内为增函数，即

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f（x）有极小值而无极大值．∴a＜0，即实数 a 的取值范围为（﹣∞，0）；（Ⅱ）（i）证明：当 a=b=1时，设 g（x）=xf（x）+2=lnx e﹣ x+2．

g′（x）= 在区间（0，+∞）上为减函数，又 g′（1）=1 e﹣ ＜0，g′（）=2﹣ ．

∴存在实数 x0∈（ ，1），使得 ．此时 g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数．

又 ，

∴ ，x0= lnx﹣ 0．

由单调性知， = ．

又 x0∈（ ，1），∴﹣（ ）＜﹣2．∴g（x）max＜0，即 xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x 1﹣ ）⇔xf（x）﹣m（x 1﹣ ）＞e，当 a=1，b= 1 ﹣ 时，设 h（x）=xf（x）﹣m（x 1﹣ ）=lnx+ex m﹣ （x﹣

1）．

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则 h′（x）= ．令 t（x）=h′（x）= ．

∵x＞1，∴t′（x）= ．∴h′（x）在（1，+∞）内单调递增，∴当 x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e m﹣ ．①当 1+e m≥0﹣ 时，即 m≤1+e时，h′（x）＞0，∴h（x）在区间（1，+∞）内单调递增，∴当 x＞1时，h（x）＞h（1）=e恒成立；②当 1+e m﹣ ＜0时，即 m＞1+e时，h′（x）＜0，∴存在 x0∈（1，+∞），使得 h′（x0）=0．∴h（x）在区间（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．由 h（x0）＜h（1）=e，∴h（x）＞e 不恒成立．综上所述，实数 m 的取值范围为（﹣∞，1+e]．∴实数 m 的最大值为：1+e．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数、导数、不等式

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等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力，是压轴题．　[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10 分）（2017•衡水模拟）已知在平面直角坐标系中，椭圆 C 的参数

方程为 （θ 为参数）．（I）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆 C 的极坐标方

程；（Ⅱ）设 M（x，y）为椭圆 C 上任意一点，求 x+2y 的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有【专题】选作题；方程思想；演绎法；坐标系和参数方程．

【分析】（I）椭圆 C 的参数方程为 ，消去参数，可得普通方程，即

可求椭圆 C 的极坐标方程；（ Ⅱ ） 设 M （ x ， y ） 为 椭 圆 C 上 任 意 一 点 ， 则

x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），即可求 x+2y 的取值范围．

【解答】解：（I）椭圆 C 的参数方程为 ，消去参数，可得普通方程

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为 =1，极坐标方程为 ；（ Ⅱ ） 设 M （ x ， y ） 为 椭 圆 C 上 任 意 一 点 ， 则

x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），∴x+2y 的取值范围是[ 5﹣ ，5]．【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决

问题的能力，属于中档题．　[选修4一5：不等式选讲]23．（2017•衡水模拟）已知函数 f（x）=|2x 1| 2|x 1|﹣ ﹣ ﹣ ．（I）作出函数 f（x）的图象；

（Ⅱ）若不等式 ≤f（x）有解，求实数 a 的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．菁优网版权所有【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，化简函数 f（x），作出函数 f（x）的图象即可；

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（Ⅱ）由函数 f（x）的图象知函数的最大值是 1，问题等价于 ≤1 有解，求出解集即可．

【解答】解：（Ⅰ）令 2x 1=0﹣ ，得 x= ，令 x 1=0﹣ ，得 x=1；

当 x＜ 时，函数 f（x）=|2x 1| 2|x 1|=﹣ ﹣ ﹣ ﹣（2x 1﹣ ）+2（x 1﹣ ）=﹣

1；

当 ≤x≤1时，函数 f（x）=|2x 1| 2|x 1|=﹣ ﹣ ﹣ （2x 1﹣ ）+2（x 1﹣ ）=4x

3﹣ ；当 x＞1时，函数 f（x）=|2x 1| 2|x 1|=﹣ ﹣ ﹣ （2x 1﹣ ）﹣2（x 1﹣ ）=1；

∴f（x）= ，

作出函数 f（x）的图象，如图所示；（Ⅱ）由函数 f（x）的图象知，f（x）的最大值是 1，

所以不等式 ≤f（x）有解，等价于 ≤1 有解，

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不等式 ≤1 可化为 ﹣1≤0

（2a 1﹣ ）（a 1﹣ ）≥0（a≠1），解得 a≤ 或 a＞1，所以实数 a 的取值范围是（﹣∞， ]∪（1，+∞）．【点评】本题考查了含有绝对值的函数与应用问题，也考查了分式不等式的解

法问题，是基础题．