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Wagner Nahas Ribeiro
Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de Engenharia Civil como requisitos parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil.
Orientador: Euripedes do Amaral Vargas Jr.
Co-Orientador: Luiz Eloy Vaz
Rio de Janeiro
Abril de 2011
Wagner Nahas Ribeiro
Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de Engenharia Civil como requisitos parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada:
Prof. Euripedes do Amaral Vargas Jr. Orientador
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Prof. Luiz Eloy Vaz Co-Orientador
Universidade Federal Fluminense
Dr. André Luiz Muller Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica - Tecgraf
Profa. Christianne de Lyra Nogueira Universidade Federal de Ouro Preto
Prof. Leonardo José do Nascimento Guimarães Universidade Federal de Pernambuco
Prof. Márcio da Silveira Carvalho Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Cientifico- PUC-Rio
Rio de Janeiro, 15 de abril de 2011
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador
Wagner Nahas Ribeiro
Graduou-se em Engenharia Civil pela UFOP (Universidade Federal de Ouro Preto) em 2002. Em 2005 apresentou a dissertação de mestrado intitulada Aplicações da Análise Limite Numérica a Problemas de Estabilidade Axissimétricos em Geotecnia no Departamento de Engenharia Civil da mesma universidade. Em 2005 ingressou no curso de doutorado em geotecnia da PUC-Rio (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro).
Ficha Catalográfica
CDD: 624
Ribeiro, Wagner Nahas
Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos / Wagner Nahas Ribeiro ; orientador: Euripedes do Amaral Vargas Jr. ; co-orientador: Luiz Eloy Vaz. – 2011.
127 f. : il. (color.) ; 30 cm
Tese (doutorado)-Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2011.
Inclui bibliografia
1. Engenharia civil – Teses. 2. Fluxo bifásico acoplado. 3. Elementos finitos. 4. Volumes finitos. 5. Análise tensão-deformação. 6. Elementos finitos descontínuos. 7. Elementos de Raviart-Thomas. I. Vargas Junior, Euripedes do Amaral. II. Vaz, Luiz Eloy. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
Agradecimentos
Seria extensa a lista de agradecimentos a todos que contribuíram de uma forma ou
de outra na elaboração desse trabalho e ainda no processo de curso do doutorado,
nem por isso devo deixar de citar alguns nomes que mais decisivamente
colaboraram nos últimos acontecimentos para a conclusão desse trabalho:
Ao professor Vargas que mostrou o caminho a ser seguido para o andamento
desse trabalho.
Ao professor Eloy Vaz que contribuiu enormemente em momentos decisivos para
o êxito deste trabalho com seu exemplo e incentivo.
Aos integrantes da banca examinadora que contribuíram para a revisão com
sugestões extremamente pertinentes para a melhoria do trabalho, principalmente a
Profa. Christianne que diligentemente corrigiu vários equívocos de português.
A todos os amigos e amigas de mestrado e doutorado que compartilharam das
várias etapas transcorridas durante o doutoramento.
Ao CNPq, à CAPES e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este
trabalho não poderia ter sido realizado.
A todos os funcionários da PUC que sempre deram o apoio necessário para o bom
andamento das atividades, em especial a Rita de Cássia.
Aos meus familiares que sempre apoiaram e incentivaram nos momentos críticos.
A querida Andrea que me apoiou e colaborou nas correções do volume final, e ao
prezado Paul Antezana que diagramou todo o volume final.
Ao meu bom Deus que é bom.
Resumo
Ribeiro, Wagner Nahas; Vargas Jr., Euripedes do Amaral; Vaz, Luiz Eloy. Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos. Rio de Janeiro, 2011. 127 p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
O acoplamento fluido-mecânico como é conhecido o efeito tanto do meio
poroso no meio fluido, quanto do efeito do meio fluido no meio poroso, possui
uma ampla aplicabilidade em diversos campos da engenharia, tornando-se um
importante objeto de estudo. O presente trabalho analisa alguns modelos
acoplados de deformação e fluxo, particularmente fluxo bifásico e acoplamento
com deformação, levando-se em consideração a não linearidade física do solo. A
análise de fluxo em condição bifásica pode conduzir a instabilidade, devido à
característica parabólica-hiperbólica das equações governantes, bem como o
método empregado para soluções das mesmas, podendo não capturar
satisfatoriamente condições de heterogeneidade do meio geológico. Sendo assim,
são estudadas formulações numéricas capazes de contornar essas dificuldades e
ainda empregadas em condição acoplada com o problema de deformação.
Emprega-se inicialmente o método dos elementos finitos, MEF, para solução do
problema acoplado com fluxo bifásico, em sequência uma formulação mista em
que se resolve a equação da pressão através do MEF, e intermediariamente
utilizam-se métodos de melhor aproximação da velocidade como os elementos de
Raviart-Thomas de mais baixa ordem e solução da equação da saturação pelo
método dos volumes finitos, MVF, com esquema de interpolação de alta ordem
para captura de frente de saturação. Ainda assim é apresentada uma formulação
em que se emprega o método dos elementos finitos descontínuos, MEFD,
apresentado em Hoteit (2008), que no presente trabalho é acoplada com o
problema de deformação utilizando um procedimento staggered para solução
iterativa de ambos os sistemas. São apresentados exemplos que validam as
diversas formulações e que destacam as propriedades de cada uma das
formulações, com vantagens e desvantagem nas suas aplicações.
Palavras-chave
Fluxo bifásico acoplado; Elementos finitos; Volumes finitos; Elementos Finitos descontínuos; Elementos de Raviart-Thomas.
Abstract
Ribeiro, Wagner Nahas; Vargas Jr., Euripedes do Amaral(Advisor); Vaz, Luiz Eloy (Co-Advisor). Evaluation of numerical solutions for analysis of coupled two-phase flow with geomechanical behavior in heterogeneous porous media. Rio de Janeiro, 2011. 127p. Dsc. Thesis. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The fluid-mechanical coupling is known as the effect of both the porous
media in a fluid as the fluid in porous media, it has been studied intensively in
past years and in recent years, given its importance in various application fields of
engineering. This works studies numerical models of coupled deformation and
flow, considering coupled two-phase flow and deformation, taking into account
the nonlinear soil behavior. The numerical analysis of two-phase flow can lead to
instabilities due to parabolic-hyperbolic character of the governing equations and
the method employed does not adequately capture the heterogeneity of the
geological environment. Thus, we analyze the numerical formulations capable of
overcoming these difficulties and to be employed on coupled condition with
deformation. Initially the finite element method, FEM, is employed for solution of
the coupled two-phase flow problem. Another formulation is employed in a mixed
basis, the pressure equation is solved through the FEM, solution of the equation of
saturation by finite volume method, FVM, using interpolation scheme with high
order to capture the saturation front. In an intermediate step, it is employing
methods to better pos-processing the velocity filed as the lowest-order Raviart-
Thomas finite elements. Finally, it is presented a formulation that employs the
discontinuous finite element method, DFEM, presented in Hoteit et al (2008), is
coupled in this work with the problem of deformation using a staggered procedure
for iterative solution of the systems. Examples are presented that validate the
various formulations and highlight the properties of each formulation, with
advantages and disadvantages in their applications.
Keywords
Coupled two-phase flow; Finite elements; Finite volumes; Analysis stress and deformation; Discontinuous finite elements; Raviart-Thomas elements.
Sumário
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................... 19
1.1. Considerações Gerais .............................................................................. 19
1.2. Objetivos da Pesquisa .............................................................................. 24
1.3. Organização do Presente Trabalho .......................................................... 25
2. FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS PARA SIMULAÇÃO DE
FLUXO BIFÁSICO E BIFÁSICO-ACOPLADO EM MEIOS
POROSOS ............................................................................................... 26
2.1. Considerações Gerais .............................................................................. 26
2.2. Equação de equilíbrio .............................................................................. 26
2.3. Análise de Fluxo Bifásico em Meios Porosos ......................................... 29
2.3.1. Equação do Balanço de Massa ................................................................ 29 2.3.2. Formulação Parabólica ............................................................................ 33 2.3.3. Formulação Hiperbólica .......................................................................... 34
2.4. Resumo das Equações Gerais .................................................................. 37
2.5. Definições para as Pressões de Fluidos ................................................... 38
2.5.1. Classificação de Equações Diferenciais Parciais (EDP) ......................... 39 2.5.2. Pós-processamento da Velocidade .......................................................... 41 2.5.3. Determinação da Porosidade ................................................................... 44 2.5.4. Relações Constitutivas para Permeabilidade ........................................... 45
3. FORMULAÇÕES PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO
BIFÁSICO E BIFÁSICO-ACOPLADO EM MEIOS POROSOS
VIA MÉTODOS NUMÉRICOS ............................................................. 49
3.1. Considerações Gerais .............................................................................. 49
Sumário
3.2. Formulações Numéricas das Equações Governantes .............................. 50
3.2.1. Formulação em Elementos Finitos – Método de Galerkin ...................... 50 3.2.2. Formulação em Volumes Finitos Baseado em Elementos Finitos .......... 59 3.2.3. Formulação em Elementos Finitos Descontínuos ................................... 63
3.3. Análise Não-Linear Local ....................................................................... 67
3.3.1. Princípio da máxima dissipação plástica ................................................. 67
3.4. Procedimentos de Solução ....................................................................... 71
3.4.1. Procedimento para o problema de fluxo bifásico .................................... 73 3.4.2. Procedimento staggered para o problema de acoplamento fluido
mecânico com fluxo bifásico via MEF .................................................... 74 3.4.3. Procedimento staggered para o problema de acoplamento fluido
mecânico com fluxo bifásico via MVF e MEFD .................................... 75
4. EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO DAS FORMULAÇÕES
PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO EM MEIOS POROSOS. ................ 78
4.1. Considerações Gerais .............................................................................. 78
4.2. Adensamento unidimensional ................................................................. 79
4.3. Escoamento entre Placas ......................................................................... 87
4.4. Escoamento com Barreiras ...................................................................... 89
4.5. Pós-processamento da Velocidade Através de Elementos de
Raviart-Thomas ....................................................................................... 91
4.6. Fluxo Bifásico Unidimensional – Método MEF – Galerkin ................... 94
4.7. Fluxo Bifásico Unidimensional – Método MEFD .................................. 96
4.8. Fluxo Bifásico Bidimensional – Problema dos Cinco Poços .................. 97
4.9. Fluxo Bifásico Bidimensional – Problema dos Cinco Poços –
Meio Heterogêneo ................................................................................. 100
4.10. Adensamento unidimensional para caso de Sw = 1 ............................... 102
4.11. Fluxo Bifásico em Reservatório Estratificado ....................................... 104
Sumário
4.12. Fluxo Bifásico em Falhas ...................................................................... 106
4.13. Fluxo Bifásico Acoplado em Falhas ..................................................... 108
4.14. Análise Acoplada de Fluxo Bifásico em Reservatório Fraturado ......... 109
4.15. Fluxo Bifásico em Coluna Unidimensional .......................................... 113
4.16. Comparação de Tempo de Processamento ............................................ 114
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS
FUTUROS ............................................................................................. 116
5.1. Conclusões ............................................................................................. 116
5.2. Sugestões para trabalhos futuros ........................................................... 118
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 120
Lista de Figuras
Lista de Figuras
Figura 2-1 Volume de controle para balanço de massa do fluido. ..................... 30
Figura 3-1: Formas possíveis de montagem do volume de controle, a)
baseado na célula, b) baseado na célula e vértice e c) baseado
no vértice. (extraído de Carvalho, 2005) .......................................... 59
Figura 4-1: Esquema da coluna para adensamento unidimensional. .................. 79
Figura 4-2: Malha utilizada nas análises, elementos Q4, 300 elementos
finitos. ............................................................................................... 82
Figura 4-3: Esquema do problema de escoamento entre placas paralelas
(a), Correa (2006) e malha de elementos finitos utilizada, 200
elementos Q4 (b). ............................................................................. 88
Figura 4-4: Perfil de velocidade vx ao longo da altura H (a), e mapa de
velocidades, cor azul representa vx=0.5 e cor vermelha vx=1.0
(b). .................................................................................................... 88
Figura 4-5: Esquema do problema de escoamento entre barreiras,
condições de contorno aplicadas e dados dos materiais
utilizados. ......................................................................................... 89
Figura 4-6: Malha empregada na análise do exemplo de escoamento entre
barreiras, 625 elementos Q4. ............................................................ 90
Figura 4-7: Campos de velocidade vy e perfil de velocidade vy ao longo de
BE: (a) pós-processamento global, (b) lei de Darcy. ....................... 91
Figura 4-8: Campo de pressão aplicado. ............................................................. 92
Figura 4-9: Campos de velocidade vx para malhas estruturadas e não
estruturadas obtidas através de RT0. ................................................. 93
Figura 4-10: Campos de velocidade vx para malha estruturada inclinada
obtido através de RT0. ...................................................................... 94
Figura 4-11: Esquema do problema de reservatório. ............................................. 95
Figura 4-12: Malha utilizada Q4, 192 elementos. ................................................. 95
Figura 4-13: Malhas utilizadas Q4, 320 e 160 elementos. .................................... 96
Lista de Figuras
Figura 4-14: Perfil de saturação ao longo de x para formulação em volumes
finitos, curva em pontos, elementos finitos descontínuos, linha
continua e solução analítica, curva em traço e ponto . ..................... 97
Figura 4-15: Esquema do problema de cinco poços. ............................................. 98
Figura 4-16: Evolução da frente de saturação para vários tempos. a) t=0,7s,
b) t=4,2s, c) t=7,7s, d) t=11,2s, e) t=14,7s, f) t=19,6s. .................... 99
Figura 4-17: Campo de permeabilidade kx aleatório. ......................................... 100
Figura 4-18: Evolução da frente de saturação para vários tempos, kx,
aleatório. a) t=0,7s, b) t=4,2s, c) t=7,7s, d) t=11,2s, e) t=14,7s,
f) t=19,6s. ....................................................................................... 101
Figura 4-19: Esquema do problema fluxo bifásico em meio heterogêneo. ......... 104
Figura 4-20: Malha empregada na análise do problema de fluxo bifásico em
meio heterogêneo. .......................................................................... 104
Figura 4-21 :Perfis de saturação para vários tempos, meio heterogêneo. a)
t=0s, b) t=1,s, c) t=2s, d) t=3s, e) t=4s. ......................................... 105
Figura 4-22: Campo de saturação para meio heterogêneo, extraído de Hoteit
et al (2008).. ................................................................................... 106
Figura 4-23: Esquema do problema fluxo bifásico em falhas. ............................ 106
Figura 4-24: Perfis de saturação para vários tempos, meio heterogêneo. a)
t=0s, b) t=1s, c) t=2s, d) t=3s, e) t=4s. .......................................... 107
Figura 4-25: Esquema do problema fluxo bifásico acoplado em falhas.............. 108
Figura 4-26: Condições de contorno do problema de fluxo bifásico em
falhas. ............................................................................................. 109
Figura 4-27: Evolução dos campos de saturação para vários tempos,
reservatório com falha. a) t=0s, b) t=3s, c) t=6s, d) t=9s, e)
t=11s. .............................................................................................. 111
Figura 4-28: Evolução dos campos de tensão efetiva máxima para vários
tempos, reservatório com falha. a) t=0s, t=3s, c) t=6s, d) t=9s,
e) t=11s. .......................................................................................... 112
Figura 4-29: Evolução do campo de deformação volumétrica para vários
tempos, reservatório com falha. a) t=0s, t=3s, c) t=6s, d) t=9s,
e) t=11s. .......................................................................................... 112
Gráfico 4 - 1: Pressão de poros na base da coluna. .............................................. 83
Lista de Figuras
Gráfico 4 - 2: Evolução no tempo da distribuição de pressão de poros ao
longo da coluna. ............................................................................. 83
Gráfico 4 - 3: Deslocamento no topo da coluna. .................................................. 84
Gráfico 4 - 4: Perfil de velocidade ao longo da coluna para vários tempos. ........ 85
Gráfico 4 - 5: Velocidade ao longo do tempo para o topo da coluna. .................. 85
Gráfico 4 - 6: Porosidade ao longo do tempo de análise para a base da
coluna, calculada no primeiro ponto de Gauss acima da base. ...... 87
Gráfico 4 - 7: Comparações entre os resultados da solução analítica e da
implementação de elementos de RT: (a) vx ao longo de y =
3,5, e (b) vy ao longo de x = 7,5. .................................................... 93
Gráfico 4 - 8: Perfil de saturação ao longo do reservatório .................................. 95
Gráfico 4 - 9: Deslocamento no topo da coluna. ................................................ 103
Gráfico 4 - 10:Pressão de poros na base da coluna. ............................................ 103
Gráfico 4 - 11:Variação da frente de saturação de água ao longo da coluna
para t=7s. ...................................................................................... 109
Gráfico 4 - 12: Variação da frente de saturação de água ao longo da coluna
para t=7s. ...................................................................................... 110
Gráfico 4 - 13:Variação da pressão de água ao longo da coluna para vários
tempos. ......................................................................................... 113
Lista de Tabelas
Tabela 4-1: Parâmetros utilizados no exemplo de coluna poroelástica 81
Tabela 4-2 : Parâmetros e condições de contorno empregados no exemplo
de fluxo bifásico unidimensional 95
Tabela 4-3: Parâmetros utilizados no exemplo de fluxo bifásico em meio
heterogêneo 104
Tabela 4-4 : Parâmetros utilizados no exemplo de fluxo bifásico em meio
heterogêneo 107
Tabela 4-5: Tempo de pós-processamento da velocidade para diferentes
malhas 114
Tabela 4-6: Tempo de pós-processamento para diferentes métodos 115
Lista de símbolos
σ Taxa de tensão total
b Taxa das forças de corpo
t Taxa das forças de superfície
ε Deformações virtuais
u Deslocamentos virtuais
Domínio de análise
Contorno do domínio de análise
'σ Taxa de tensão efetiva
p Taxa da poro pressão
ε Taxa de deformação total do esqueleto
cε Taxa das deformações devido à fluência
pε Taxa das deformações volumétricas
'0σ Taxa da tensão efetiva inicial
TD Matriz constitutiva
sK Módulo volumétrico dos grãos
''σ Taxa da tensão responsável pela deformação da fase sólida
dx, dy, dz Dimensões do volume de controle nas direções x, y e z,
respectivamente
Densidade do fluido
q Vazão
t Tempo
m Incremento de massa de fluido
Lista de Símbolos
K, K0 Matriz de permeabilidade intrínseca do meio poroso
Porosidade
g Aceleração da gravidade
h Carga de elevação
rk Permeabilidade relativa
Viscosidade dinâmica do fluido
S Grau de saturação ou simplesmente saturação do fluido
B Fator de variação de volume
sR Fator de dissolução de gás no líquido
wS Saturação do fluido molhante
nwS Saturação do fluido não-molhante
wp Pressão de fluido molhante
nwp Pressão de fluido não-molhante
cp Pressão capilar
w Densidade do fluido molhante
nw Densidade do fluido não-molhante
wv Velocidade do fluido molhante
nwv Velocidade do fluido não-molhante
tv Velocidade total de escoamento
wf Função de fluxo fracionário do fluido molhante
wh Função de mobilidade do fluido molhante
av Velocidade aparente de fluxo
xv Velocidade de fluxo total na direção x
yv Velocidade de fluxo total na direção y
wS Taxa da saturação do fluido molhante
nwS Taxa da saturação do fluido não-molhante
cp Taxa da pressão capilar
tv~ Vetor de velocidades pós-processadas
Lista de Símbolos
Parâmetro dependente da malha de elementos finitos
he Tamanho característico do elemento
A Área do elemento
d Variação da porosidade
pd Variação da pressão
cp Compressibilidade do poro
K Módulo de deformação do meio
mK Módulo de deformação da matriz porosa
Se Saturação efetiva
rwS Saturação residual da fase molhante
rnwS Saturação residual da fase não-molhante
p Poro pressão
E Módulo de Young
G Módulo cisalhante
Coeficiente de Poisson
SK Módulo de deformação volumétrica dos grãos
wK Módulo de deformação volumétrica do fluido.
Constante de Biot
g Aceleração da gravidade, função
gk Gradiente da função objetivo
Ângulo de atrito
Coeficientes de Poisson drenado
u Coeficientes de Poisson não drenado
c Coesão, coeficiente de difusividade
FVM Critério de escoamento de Von Mises
FMC Critério de escoamento do Mohr Coulomb
u Deslocamentos
L Distância
We Energia de deformação elástica
Wp Energia de deformação plástica
w Fase molhante
Lista de Símbolos
nw Fase não molhante
L Função de Lagrange
N, , Ni, Nj Funções de forma
t Incremento de tempo
L Matriz de acoplamento fluido mecânico, matriz de
transformação
G Módulo plástico generalizado
B Matriz de compatibilidade
Hw Matriz de fluxo da fase molhante
Hnw Matriz de fluxo da fase não molhante
K Matriz de rigidez
Lc , Lnw , Lw Matrizes de acoplamento fluido mecânico
Gw, Gnw Matrizes de armazenamento
Ow, Onw , Mw,
Mnw, Pw, Pnw Matrizes para o problema de fluxo bifásico
Multiplicadores de Lagrange
J1 Primeiro invariante das tensões
Fu Resíduo para equação de equilíbrio
Representação de uma fase
Fp Resíduo para equação de pressão
Fpnw Resíduo para pressão da fase não molhante
FSnw Resíduo para saturação da fase não molhante
J2D Segundo invariante das tensões desviadoras
t Tempo
y Tensão de escoamento
D Tensor constitutivo elástico
DT Tensor constitutivo elasto-plástico
Tensor de deformações
J3D Terceiro invariante das tensões desviadoras
tol Tolerância
a Variáveis internas
q Vazão
q Vetor de incógnitas
Lista de Símbolos
R Vetor de resíduos
Parâmetro de integração
Operador de derivação
tc Compressibilidade total do meio poroso
t Fator de mobilidade total
n Fator de mobilidade do fluido não molhante
w Fator de mobilidade do fluido molhante
tQ Vazão total
wQ Vazão do fluido molhante
eA Área do elemento
weq Vazão do fluido molhante por elemento
M Matriz de interpolação de segunda ordem
a , b Vetor de interpolação
Parâmetro de interpolação
n Vetor normal a aresta do elemento
uC Fator de interpolação de fluxo numérico
I Matriz identidade
J Matriz jacobiana
P Matriz de transformação de Piola
w Matriz de funções de forma para elementos de Raviart-Tomas
Matriz de funções de forma para elementos de Raviart-Thomas
detJ Determinante da matriz jacobiana
1.
Introdução
1.1.
Considerações Gerais
Mesmo antes da introdução das disciplinas de mecânicas dos solos, rochas e
geologia é sabidamente conhecido o efeito acoplado entre os meios porosos,
meios fraturados, meios porosos-fraturados com o(s) fluido(s) que preenchem
esses meios, como relatado nos trabalhos clássicos de Terzaghi (1943) e Biot
(1941), entre outros. O acoplamento fluido-mecânico como é conhecido o efeito
tanto do meio poroso no meio fluido, quanto do efeito do meio fluido no meio
poroso, é utilizado em diversos campos de aplicação da Engenharia. Tamanha a
importância tornou-se discussão de inúmeros trabalhos em anos anteriores e em
anos recentes. (Schrefler et al, 1990; White e Borja, 2008; Kim, 2010).
No campo da engenharia mecânica grande esforço tem sido colocado no
acoplamento termo-mecânico, enquanto que na engenharia ambiental um tema
bastante recente de estudo é o sequestro de CO2 através da injeção desse gás em
meios porosos fraturados ou não, sendo o acoplamento mecânico e de fluxo de
grande importância (Morris, 2009a,b, apud Kim, 2010).
Mais precisamente no campo de aplicação da engenharia para a produção de
petróleo, o acoplamento fluido-mecânico tem se mostrado como explicação de
diversos fenômenos ocorridos na exploração e produção de reservatórios de
petróleo. Um caso emblematicamente sempre abordado em diversas revisões
sobre o tema se refere ao campo de petróleo Ekofish na Noruega, em que o leito
marinho sofreu uma importante subsidência sob o efeito do processo de extração
de fluido do reservatório ao ponto de comprometer severamente vários poços de
produção, levando a grandes gastos no reparo e prevenção dos danos causados
(Falcão, 2002; Fjaer et al, 2008).
Introdução 20
Ainda no campo de extração de petróleo, outros exemplos de aplicação da
análise acoplada fluido-mecânica são encontrados nos casos de estabilidade de
poços de petróleo, reativação de falhas e/ou zonas de falhas, fraturamento
hidráulico, produção de sólidos, efeitos de compactação do reservatório na curva
de produção de petróleo, relações tensão-permeabilidade-deformação, etc.
As análises dos fenômenos existentes no meio poroso tem se tornado cada
vez mais robustas e elaboradas na questão de se acoplar tais fenômenos, e ainda
em melhores e eficientes alternativas para solução dos sistemas que surgem desse
acoplamento. Sendo esta uma área extensa já estudada, mas ainda com vasto
campo de estudo por ser abordado.
Como relatado anteriormente, o meio poroso pode estar preenchido por um
ou mais fluidos. O presente trabalho aborda a condição em que o meio poroso é
constituído pela fase sólida e outras duas fases fluidas, caracterizando fluxo
bifásico com acoplamento mecânico em meios geológicos.
Diversos têm sido os estudos da condição de fluxo bifásico acoplado com o
problema mecânico, com diversos enfoques, desde as condições de estabilidade e
convergência, eficiência computacional, até a melhor representação dos diversos
fenômenos físicos presentes.
Quando se estuda meios geológicos deve se ter primeiramente em mente
que esses meios são heterogêneos em menor ou maior grau, e que possuem
geometrias variadas e complexas. Assim métodos eficientes devem ser buscados
para análise de fluxo bifásico acoplado para uma melhor representação desses
meios e dos fenômenos físicos presentes.
Diversos autores, (Wan, 2002, Wang et al 2004, Bianco et al 2001, Han et al
2002 e 2004, Morita et al 1998, Skjaertein et al 1997) , têm relatado a influência
do fluxo bifásico na produção de sólidos, seja pela redução da permeabilidade
relativa, pelo impacto na tensão capilar do meio, ou pelo efeito do surgimento da
água no poço – “water breakthrough”.
Han et al (2004) apresentam uma análise do processo de produção de areia
quando do surgimento de água no poço utilizando modelo analítico. Estes autores
verificaram o efeito da variação da saturação na zona de ruptura do meio poroso e
Introdução 21
na pressão capilar existente, reforçando a necessidade de análise bifásica para esse
caso.
No estudo de fluxo bifásico e transporte de substâncias em meios porosos, o
equacionamento matemático do fenômeno físico pode conduzir a equações que
requerem métodos específicos de solução para eficiente captura da solução. É o
caso dos problemas descritos por equações hiperbólicas, em que a resposta pode
apresentar ondas de choque e/ou rarefação.
Para geometrias complexas e materiais heterogêneos são indicados
normalmente métodos numéricos do tipo método das diferenças finitas (MDF),
volumes finitos (MVF) e elementos finitos (MEF). Cada um com sua
peculiaridade de formulação e adequação ao problema proposto.
Helmig (1997) e Helmig et al (1998) apresentam um extenso estudo
comparativo sobre a capacidade desses métodos na solução de problemas de fluxo
multifásico, ressaltando que o MEF clássico possui dificuldades na captura de
ondas de choque e além de ser localmente não conservativo. Estes autores
destacam ainda que o MVF é localmente conservativo e que a captura de ondas de
choque é obtida empregando-se esquemas adequados de interpolação upwind.
Alvarenga (2008), Cordazzo (2006) e Gomes (2009) apresentam
formulações via MVF para o problema de fluxo bifásico em meios porosos.
Alvarenga (2008) relata os diversos tipos de MVF, baseado no vértice, baricentro
e vértice, e aresta. A interpolação de propriedades no caso de formulação baseada
no vértice e interpolação das variáveis no caso das outras formulações trazem em
si um certo grau de aproximação do meio poroso em caso heterogêneo. Cordazzo
(2006) e Gomes (2009) apresentam formulação em MVF baseado no vértice.
Alvarenga (2008) e Cordazzo (2006) apresentam uma formulação em que se
emprega um esquema de upwind de primeira ordem para captura de ondas de
choque enquanto Gomes (2009) apresenta uma formulação em que o esquema de
captura de frente de saturação se baseia na interpolação espacial da mobilidade de
fluxo entre elementos vizinhos. Cordazzo (2006) levanta a desvantagem do MVF
com relação à interpolação da porosidade para o novo elemento construído
baseado no vértice apresentando diversas alternativas para essa interpolação.
Introdução 22
Outro método bastante empregado na solução do problema de fluxo bifásico
é o método dos elementos finitos descontínuos (MEFD) que conjuga qualidades
do MEF com as do MVF. Aplicações do MEFD têm sido apresentadas para fluxo
bifásico em diversos trabalhos (Klieber e Rivière 2006; Hoteit et al 2008;
Hesthaven e Warburton 2000; Li 2006, entre outros), entretanto, o autor não
encontrou na literatura pesquisada, a solução acoplada do problema mecânico e
fluxo bifásico utilizando esse método.
O MEFD possui a vantagem de utilizar a mesma malha de elementos do
MEF sem necessidade de passos de construção de uma malha de volumes finitos,
de se poder empregar esquemas de interpolação para captura de frente de
saturação utilizados no MVF, mantendo-se o balanço de massa ao nível de
elemento.
Para análise de fluxo bifásico com acoplamento mecânico têm sido
apresentados diversos métodos na literatura com a finalidade de melhorar a
eficiência na representação do fenômeno físico, ou na definição do método
numérico mais adequado para a solução do fenômeno. A solução do problema
acoplado pode ser tratada basicamente por duas alternativas: solucionando o
problema de fluxo conjuntamente com o equilíbrio mecânico, conhecido como
acoplamento direto ou através de processos iterativos entre o problema de fluxo e
o equilibro mecânico.
Lewis et al (1991) apresentaram uma avaliação desses dois tipos de
acoplamento para o caso de fluxo monofásico indicando as situações mais
favoráveis para a aplicação de uma e de outra alternativa.
Classicamente nas aplicações em engenharia de reservatórios de petróleo o
método de acoplamento seqüencial da solução do problema onde resolve-se os
problemas em separado em que o problema mecânico é solucionado após a
solução do problema de fluxo, definindo uma única via de acoplamento, é
chamado de one-way coupling.
Embora não seja um processo totalmente acoplado quando se resolve todos
os problemas em conjunto, os métodos iterativos são considerados acoplados na
Introdução 23
tentativa de se obter a melhor resposta dos sistemas em conjunto, são diversos os
trabalhos em que utilizam essa alternativa (Muller, 2007 e Frydman, 1996).
Muller (2007) aponta uma avaliação do método totalmente acoplado com o
método iterativo com relação ao processamento, indicando que o método iterativo
pode apresentar melhor desempenho computacional que o método totalmente
acoplado. Muller ainda ressalta as vantagens de se utilizar o método iterativo com
relação à aplicação de condição de contorno.
Kim (2010) analisa as diversas formas de acoplamentos entre as equações
de fluxo multifásico e o equilíbrio mecânico de maneira sequencial atentando para
aspectos de estabilidade e convergência de diversos métodos.
Dentre as formulações para representação de fluxo bifásico, duas formas de
equacionamento podem ser encontradas: a formulação parabólica, em que as
equações são postas diretamente em termos de duas incógnitas sem avaliação
intermediária da velocidade de fluxo e a formulação hiperbólica, em que as
equações são postas em esquema sequencial na definição de uma equação da
pressão, pós-processamento da velocidade e solução da equação da saturação.
De forma clara, tem-se que quanto melhor avaliada a velocidade de fluxo no
passo intermediário melhor a avaliação da equação da saturação e
consequentemente de todo o sistema. Alcoforado (2007) apresenta uma análise da
utilização de diversas alternativas para o pós-processamento da velocidade:
primeiramente partindo da aplicação direta da lei de Darcy, bem como um pós-
processamento da velocidade posto como um problema de ponderação da lei de
Darcy com o equilíbrio de massa, utilizando para isso elementos finitos de
Raviart-Thomas de ordem RT0. Nesse mesmo trabalho, Alcoforado (2007)
apresenta uma formulação em que o problema mecânico é posto como uma
solução analítica da equação de variação da porosidade de forma simplificada.
Introdução 24
1.2.
Objetivos da Pesquisa
Na seção anterior tentou-se focar em três aspectos distintos encontrados na
solução de problemas de fluxo bifásico acoplado com o problema mecânico: os
diferentes métodos para captura de ondas de choque, as diversas formulações e
resoluções dos sistemas de equação, e a avaliação da velocidade no caso de
formulação hiperbólica. Dessa forma, essa tese está direcionada a esses três
aspectos de tal forma a ter os seguintes objetivos principais:
Analisar numericamente, em meios contínuos, os mecanismos envolvidos
em condições bifásicas de fluxo. Especificamente quando de propagação de ondas
de choque e aplicabilidade em meios heterogêneos.
Implementar uma formulação numérica suficientemente eficaz para
solução do problema de fluxo bifásico em meios heterogêneos ou estratificados e
com acoplamento geomecânico. Para esse fim pesquisou-se alternativas para
obtenção do campo de velocidade e aplicação do MEFD como alternativa ao
MVF na solução do problema de fluxo.
Apresentar uma formulação numérica em que o MEFD é utilizado na
solução do problema de fluxo bifásico com o equilíbrio mecânico resolvido pelo
MEF clássico.
Dados os condicionantes das diversas alternativas de formulação, métodos
de solução, e melhor aplicabilidade a meios heterogêneos, o presente trabalho não
tem como objetivo esgotar todas as alternativas encontradas na literatura, mas sim
uma revisão e implementação de alguns desses métodos para aplicação em
engenharia de petróleo.
Por não ser o foco do trabalho, não são abordados em profundidade aspectos
de estabilidade e convergência dos diversos métodos, mas uma revisão é
apresentada em Kim (2010).
Esse trabalho segue a linha de pesquisa apresentada por Muller (2007), que
direcionou os desafios abordados no atual trabalho, a implementação
computacional também se baseou no estudo já realizado de tal forma a dar
continuidade e ainda explorar toda a implementação elaborada por Muller (2007).
Introdução 25
1.3.
Organização do Presente Trabalho
Inicialmente, neste capítulo introdutório faz-se uma breve descrição do
objeto de pesquisa, destacando sua pertinência e relevância e ainda colocando os
objetivos a serem alcançados. Os capítulos seguintes estão assim organizados:
O capítulo 2 apresenta uma revisão das formulações empregadas no estudo
de fluxo bifásico acoplado considerando as formulações de fluxo e de equilíbrio
mecânico para representação matemática do meio poroso.
No capítulo 3 são apresentados vários tratamentos numéricos das
formulações das equações governantes para os casos acoplados fluxo-deformação
em condição de fluxo bifásico apresentadas no capítulo 2. Partindo-se de uma
formulação em elementos finitos, em sequência uma formulação em volumes
finitos e por fim uma formulação em elementos finitos descontínuos para a
equação da saturação;
O capítulo 4 apresenta alguns exemplos utilizados para verificação das
formulações e implementações realizadas;
O capítulo 5 apresenta alguns comentários e conclusões das análises
realizadas bem como propostas para trabalhos futuros.
2.
Formulações Matemáticas para Simulação de Fluxo
Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos
2.1.
Considerações Gerais
Neste capítulo apresenta-se uma breve revisão das formulações,
normalmente consideradas na simulação de fluxo em meios multifásico com
acoplamento mecânico. Abordam-se as principais hipóteses aplicadas à
modelagem de fluxo em meios porosos, em condições de fluxo multifásico,
partindo-se dos princípios da formulação de meio contínuo, a modelagem
matemática do fenômeno e as definições fundamentais para estabelecimento das
equações.
Na primeira parte é apresentada a formulação para estabelecimento da
equação do equilíbrio mecânico do meio, acompanhando o trabalho apresentado
por Muller (2007). Na segunda parte, são apresentadas as formulações de fluxo
bifásico na forma parabólica e na forma hiperbólica, e por fim, considerações
importantes sobre os modelos considerados para os fluidos e modelos
constitutivos considerados para o meio sólido são apresentados.
2.2.
Equação de equilíbrio
Apresentam-se nesta seção as equações que governam o comportamento
mecânico em meios porosos deformáveis considerando como válido o princípio
das tensões efetivas.
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 27
A equação de equilíbrio é determinada utilizando-se o princípio dos
trabalhos virtuais para problemas quase estáticos que relaciona as velocidades das
grandezas estáticas reais, como a taxa da tensão total σ , a taxa das forças de corpo
b , e a taxa das forças de superfície t com as grandezas cinemáticas virtuais como
as deformações virtuais ε e os deslocamentos virtuais u sendo colocada na
seguinte forma:
0
ddd tubuσε TTT (2.1)
As taxas das tensões totais podem ser expressas em termos das taxas das
tensões efetivas, 'σ , e das velocidades das poro pressões, p , na forma:
p mσσ ' (2.2)
A descrição da relação constitutiva, em termos de taxas, incluindo diversos
fenômenos pode ser dada pela equação:
'00pcT
' σεεεεDσ (2.3)
Na equação (2.3), ε representa a taxa de deformação total do esqueleto, cε a
taxa das deformações devido à fluência (expressa por uma função de fluência c,
dependente do nível e da trajetória de tensões), pε a taxa das deformações
volumétricas (a qual considera a deformabilidade dos grãos), 0ε que representa
outras taxas de deformação, como as provocadas por fenômenos térmicos e
químicos e por fim '0σ que representa a taxa da tensão efetiva inicial. A matriz TD
é dependente do nível e da trajetória de tensões e vários modelos constitutivos
podem ser utilizados para defini-la.
Simplificando a equação (2.3), desprezando-se as parcelas cε , 0ε , tem-se:
'0TT
' σmDεDσ
sK
p
3 (2.4)
Sendo considerado que:
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 28
sK
p
3
mεp (2.5)
em que sK representa o módulo volumétrico dos grãos e que:
εεσDD 'TT
,, (2.6)
E ainda considerando a equação (2.2), a equação (2.4) pode ser escrita
como:
pK
p
s
mσmDεDσ '0TT
3
pK s
T
31
IDmεDσ T
(2.7)
Considerando que '0T
'' σεDσ representa a velocidade da tensão
responsável por toda deformação da fase sólida, a equação (2.7) pode ser expressa
como:
sK
p
3
mDεDσσ TT
'' (2.8)
Baseando-se na hipótese de linearidade geométrica pode-se descrever a
relação entre velocidades de deslocamentos e velocidades de deformações
infinitesimais na seguinte equação:
ijji uu ,,2
1 ijε (2.9)
Substituindo as considerações acima na equação (2.1) tem-se:
0
1
dd
dpddK
pds
tubu
mεσεmDεεDε
TT
T'0
TT
TT
T
(2.10)
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 29
2.3.
Análise de Fluxo Bifásico em Meios Porosos
Nessa seção são apresentadas as considerações para equacionamento do
problema de fluxo bifásico em meios porosos, é inicialmente apresentado o
equacionamento de fluxo multifásico em meios porosos de uma forma geral, em
sequência as formulações para fluxo bifásico. São inúmeros os livros textos
encontrados na literatura em que se podem encontrar essas formulações, até partes
não cobertas pela revisão que é a seguir apresentada. Os trabalhos de Aziz e
Settari (1959) e Peaceman (1977) servem muito bem para eventual esclarecimento
e ainda outras abordagens que nesse texto não são consideradas.
A revisão para montagem da formulação parabólica é basicamente a mesma
que é apresentada em Muller (2007) e Fridman (1996), para o equacionamento da
formulação hiperbólica seguiu-se o trabalho de Mendonça (2003) e o trabalho
clássico de Peaceman (1977).
2.3.1.
Equação do Balanço de Massa
Apresenta-se neste item a formulação geral das equações para o problema
hidro-mecânico com fluxo bifásico em um meio poroso deformável considerando
o fluxo de óleo e água. A seguir apresenta-se a formulação encontrada em Muller
(2007) e Fridman (1996), que por sua vez seguem a formulação de Lewis e
Schrefler (1998), e a apresentada em Peaceman (1977).
Em um meio poroso, o fluxo de fluido deve satisfazer a conservação de
massa de fluido. Para efetuar o balanço de massa de fluido, toma-se como volume
de controle um cubo elementar constituído de material poroso, Figura 2.1
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 30
Figura 2-1 Volume de controle para balanço de massa do fluido.
Tomando-se inicialmente o fluxo na direção dy através da face dxdz , tem-
se como fluxo de massa de fluido, dxdzqy 1 e dxdzqy 2
. Sendo e q
densidade do fluido e vazão, respectivamente. Considerando-se que yq seja
uma função contínua e diferenciável, pode-se escrever
dy
y
qqq y
yy
12 (2.11)
Dessa forma, o fluxo na direção y gera uma diminuição na massa de fluido
igual a:
dy
y
qqq y
yy
12 (2.12)
O balanço de massa de um fluido que atravessa um elemento de volume dv
= dxdydz é dado por:
dxdydzqdxdydzz
q
y
q
x
q Tzyx
(2.13)
Podendo-se então, representar o balanço de massa de fluido no meio poroso,
equação da continuidade, dado por:
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 31
dxdydzmt
dxdydzqT
(2.14)
Ou ainda, simplificadamente:
mmt
qT
(2.15)
em que m representa o incremento de massa de fluido numa parcela infinitesimal
do meio poroso por unidade de tempo.
Tomando-se a equação de Darcy para representar o fluxo de fluido, pode-se
de uma forma geral expressar a equação da continuidade por:
0
9
11
3
1
1
2
pKKK
B
SR
tBtS
t
S
BghpT
sss
f
sm
T
mDmDmm TT
TTT
(2.16)
Em que:
B
SR
B
S
B
kR
B
kT
sf
rs
rm
k
(2.17)
sendo k a matriz de permeabilidade intrínseca do meio poroso, p a poro pressão
como descrito em (2.2), a porosidade do meio, g a aceleração da gravidade, h
a carga de elevação, rk a permeabilidade relativa, a viscosidade dinâmica, S
o grau de saturação, B o fator de variação de volume, sR o fator de dissolução
de gás no líquido, todos referentes à fase e o operador diferencial,
zyx.
O fator de variação de volume B descreve a razão entre o volume da fase
medido nas condições de pressão em questão e o volume medido nas condições
padrão, dado por:
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 32
STCV
VB
.
O fator de dissolução de gás no líquido do sR relaciona o volume de gás
medido nas condições padrão, dissolvido nas condições de pressão padrão, dado
por:
STC
dgSTCs
V
VR
.
A parcela
t
S
B
descreve a velocidade de variação da saturação da fase
.
A parcela
B
SR
tBtS s1
representa a velocidade de variação
da densidade de fluido, também da fase .
A parcela εmT representa a velocidade de variação volumétrica do
esqueleto sólido.
A parcela
p
Kp
KK sss
1
9
1
3
12
mDmεDm TT
TT determina a velocidade
de variação do volume de grãos devido às tensões efetivas.
Na condição não saturada os vazios do esqueleto sólido são preenchidos
parcialmente por fluido molhante e parcialmente por fluido não-molhante sendo
1 wnw SS (2.18)
A equação geral de balanço de massa para fluxo bifásico, de acordo com a
equação 2.16 é dada por:
01
tB
S
BtS
t
S
BghpTm
T
(2.19)
em que:
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 33
B
kT r
m k (2.20)
2.3.2.
Formulação Parabólica
Dada a equação geral de balanço de massa, a formulação para fluxo bifásico
pode ser posta de diversas formas, seja em seu arranjo, seja nas variáveis
empregadas. Uma possível formulação é a que se segue, de acordo com Aziz e
Setari (1979), denominada de “parabólica”, e ainda a mesma apresentada por
Muller (2007) e Frydman (1996).
A equação de balanço de massa para ambos fluidos, água e óleo, é da forma:
01
tB
S
BtS
t
S
Bghp
B
k
nw
nw
nw
nwnw
nw
nwnw
nwnw
rnwT
k
(2.21)
01
tB
S
BtS
t
S
Bghp
B
k
w
w
w
ww
w
ww
ww
rwT
k (2.22)
Usando a definição de pressão capilar, wnwc ppp
, e considerando a
equação (2.18) podem ainda se obter diferentes formulações de acordo com as
variáveis selecionadas, quais sejam (pnw, Sw) ou (pw, Snw), como se segue:
Formulação (pnw, Sw):
01
tB
S
BtS
t
S
Bghpp
B
k
w
w
w
ww
w
wcnw
ww
rwT
k (2.23)
0
1
11
1
tB
S
BtS
t
S
Bghp
B
k
nw
w
nw
ww
nw
nwnw
nwnw
rnwT
k
(2.24)
Formulação (pw, Snw):
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 34
0
1
11
1
tB
S
BtS
t
S
Bghp
B
k
w
nw
w
nwnw
w
ww
ww
rwT
k
(2.25)
0
1
tB
S
BtS
t
S
Bghpp
B
k
nw
nw
nw
nwnw
nw
nwcw
nwnw
rnwT
k
(2.26)
Ainda assim, considerando incompressibilidade de fluidos e do meio sólido
a formulação (pnw, Sw) pode ser posta ainda da seguinte forma:
0
tS
t
Sghpp
kw
wwcnw
w
rwT
k (2.27)
011
tS
t
Sghp
kw
wnwnw
nw
rnwT
k (2.28)
2.3.3. Formulação Hiperbólica
Outra maneira de se formular as equações de fluxo bifásico é pela sua forma
hiperbólica, segundo Aziz e Setari (1959), utilizada em diversos trabalhos, como
por exemplo, em Peaceman (1977). Nessa forma é apresentada uma equação
referida como equação da pressão e outra como equação da saturação, como é
mostrado a seguir.
Equação da Pressão
Para obtenção da equação da pressão, considerando as equações para ambas
as fases, equações 2.29 e 2.30, são somadas para eliminação do termo referente a
derivada da saturação, na forma:
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 35
0
tS
t
Sghp
kw
www
w
rwT
k
+
011
tS
t
Sghp
kw
wnwnw
nw
rnwT
k
que resulta em:
(2.29)
0
tghghpp
knwwwnw
w
rwT
k (2.30)
Simplificadamente a equação 2.30 pode ser descrita em termos da
velocidade total de fluxo, tv , como:
0
tvt
T (2.31)
Em que:
nwwt vvv (2.32)
e wv é a velocidade da fase molhante definida como:
ghpk
v ww
w
rww
k
e nwv é a velocidade da fase não molhante definida como:
(2.33)
ghpk
v nwnw
w
rnwnw
k
Desta forma tem-se que:
(2.34)
gh
kgh
kp
kp
kv nw
w
rww
nw
rnwnw
nw
rnww
w
rwt
kkk (2.35)
Dado que wnwc ppp , derivando-se pode se ter:
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 36
wnwc ppp (2.36)
w
w
cnww s
ds
dppp (2.37)
E substituindo a equação 2.37 na equação 2.35 tem-se que:
ghk
ghk
pk
sds
dpp
kv
w
w
rwnw
nw
rnw
nw
nw
rnww
w
cnw
w
rwt
k
kk
(2.38)
Assim a equação da pressão é posta na seguinte forma:
0 ttT Qv (2.39)
0
t
w
w
rwnw
nw
rnw
nw
nw
rnww
w
cnw
w
rw
T Q
ghk
ghk
pk
sds
dpp
k
k
kk
(2.40)
em que t
Qt
.
Equação da Saturação
De acordo com Peaceman (1977), a equação da saturação pode ser obtida
através da combinação das equações 2.29 e 2.30, na forma:
0.
wwa
w SSvt
SD (2.41)
Sendo definidas as seguintes funções:
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 37
nw
rnw
w
rw
w
rw
w kk
k
f
(2.42)
w
c
nw
rnw
w
rw
nw
rnw
w
rw
wdS
dp
kk
kk
h
(2.43)
em que wf é a função de fluxo fracionário da fase molhante e wh é a função de
mobilidade da fase molhante e ainda:
kDdt
dph c
w (2.44)
e av na equação (2.41) é dado por:
GgkgkdS
dfv
GgkgkdS
dfv
v
vv
yyxxy
w
wy
yxyxx
w
wx
ay
ax
a (2.45)
2.4.
Resumo das Equações Gerais
Dadas as formulações apresentadas nas seções anteriores, o Quadro 2.1
apresenta um resumo das equações que serão utilizadas no Capítulo 3 para o
tratamento numérico.
Quadro 2.1 Resumo das Equações Governantes
Equação de equilíbrio
0
1
dd
dpddK
pds
tubu
mεσεmDεεDε
TT
T'0
TT
TT
T
Equação
(2.10.)
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 38
Formulação de Fluxo – Parabólico
01
tB
S
BtS
t
S
Bghp
B
k
nw
nw
nw
nwnw
nw
nwnw
nwnw
rnwT
k
0
1
11
1
tB
S
BtS
t
S
Bghp
B
k
nw
w
nw
ww
nw
nwnw
nwnw
rnwT
k
Equação
(2.23.) e
Equação
(2.24.)
Formulação de Fluxo – Hiperbólico
Equação da Pressão
0
t
nw
w
rww
nw
rnw
nw
nw
rnww
w
cnw
w
rw
T Q
ghk
ghk
pk
sds
dpp
k
k
kk
Equação da Saturação
0.
wwa
w SSvt
SD com
KDdt
dph c
w e
GgkgkdS
dfv
GgkgkdS
dfv
v
vv
yyxxy
w
wy
yxyxx
w
wx
ay
ax
a
Equação
(2.49),
Equação
(2.41.),
Equação
(2.44.) e
Equação
(2.45.)
2.5.
Definições para as Pressões de Fluidos
Para o acoplamento das equações de equilíbrio mecânico e as equações de
fluxo bifásico faz-se necessária a definição da taxa de poropressão de p, p .
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 39
Assim, adotando a mesma simbologia de Muller (2007) a taxa de poropressão, p ,
pode ser expressa da seguinte forma:
nwnwnwnwwwww pSpSpSpSp (2.46)
E com a definição de pressão capilar na seguinte forma:
wnwc ppp (2.47)
e escolhendo duas variáveis como primárias, no caso, pnw e Sw, a equação (2.46)
se torna:
cwcwnw pSpSpp (2.48)
Outra possibilidade de se obter a pressão de poro (p) é através da definição
de pressão média, como proposta em Geiger et al (2004) na seguinte forma:
2wnw pp
p
(2.49)
em que, a equação 2.47 ainda permanece válida.
2.5.1.
Classificação de Equações Diferenciais Parciais (EDP)
Como visto nas seções anteriores, o problema de fluxo bifásico em meios
porosos pode ser formulado em termos de equações diferenciais parciais postas
em dois tipos: parabólica e hiperbólica. A adoção desses nomes segue o trabalho
de Aziz e Setari (1959), entretanto essa nomenclatura não está associada à
classificação normalmente adotada em textos matemáticos, como será visto a
seguir.
Dada a equação diferencial parcial (EDP) de segunda ordem:
yxyyxyxx uuuyxFcubuau ,,,,2 (2.50)
de outra forma:
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 40
y
u
x
uuyxF
y
uc
yx
ub
x
ua ,,,,2
2
2
2
2
(2.51)
ou ainda:
02 feuducubuau yxyyxyxx (2.52)
diz-se que:
aHiperbólicEDP
ParabólicaEDP
ElipticaEDP
se
se
se
0
0
0
2
2
2
bac
bac
bac
Na física e engenharia defronta-se freqüentemente com esses tipos de
equações ao se modelar fenômenos importantes, como fluxo de fluidos, transporte
de contaminantes, fenômenos de condução de calor, entre outros. Alguns
exemplos:
EDP’s elípticas
Equação de Laplace 02 yyxx uuu
Equação de Poisson yxfuuu yyxx ,2
EDP parabólica
Equação de calor unidimensional xxt ucu 2
EDP hiperbólica
Equação de onda xxtt uu
Segundo Kreyszig (1993), a definição desses tipos de equações pode indicar
o possível comportamento da solução e o método de solução apropriado.
Ainda segundo Kreyszig (1993), na solução numérica dos três tipos de
equações quando se tem a substituição das derivadas por termos em diferenças, a
solução das EDP’s parabólicas e hiperbólicas não tem a garantia de convergência
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 41
da solução aproximada com o refinamento da discretização. Assim, deve-se ter
outros critérios, restrições para a adequada convergência e estabilidade da solução
aproximada.
Essa definição ainda pode se apresentar híbrida com a possibilidade de
variar de acordo com o espaço das variáveis independentes. Isso posto, embora as
formulações propostas nas seções anteriores sejam denominadas de parabólica e
hiperbólica, o comportamento dessas equações pode ser classificado ora como
parabólico, com solução mais suave, ou ora como hiperbólico com solução que
apresenta ondas de rarefação e/ou ondas de choque.
Para exemplificar esses dois tipos de comportamento, uma análise da
equação 2.43, equação da saturação, pode ser feita: quando não se considera a
pressão capilar no sistema de equações, a equação de saturação se torna do tipo
hiperbólica como se segue:
0
wa
w Svt
S (2.53)
ou ainda quando a parcela devido a pressão capilar é incluida, seu comportamento
é tido como parabólico:
0.
wwa
w SSvt
SD (2.54)
2.5.2.
Pós-processamento da Velocidade
O procedimento de solução adotado nesse trabalho segue um processo
iterativo em três blocos: solução da equação da pressão, obtenção da velocidade e
solução da equação da saturação até atingir a convergência das três variáveis.
Da equação 2.41 percebe-se a necessidade da obtenção dos componentes de
velocidade no passo intermediário, sendo que vários procedimentos são
apresentados na literatura.
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 42
Uma primeira aproximação é o cálculo da velocidade a partir da Lei de
Darcy na equação 2.38 aqui reapresentada:
gh
kgh
kp
kp
kv w
w
rwnw
nw
rnwnw
nw
rnww
w
rwt
kkk (2.55)
De outra forma, Alcoforado (2007) afirma que a aplicação da formulação do
método de Galerkin em conjunção com a lei de Darcy para problemas com
permeabilidade heterogênea gera campos de velocidades não conservativos (Mosé
et al.,1994) fazendo com que a lei de conservação de massa total não seja
obedecida no nível de cada elemento.
Mendonça (2003) utiliza-se da estratégia de pós-processamento global do
campo de velocidades apresentada por Malta et al (2000) baseada na formulação
variacional da lei de Darcy combinada com o resíduo da equação de balanço de
massa, como se segue:
0~
~
1
c
ettp
nel
e
nwnwwww
w
wnwttp
dQ
dSdS
dpp
vN
KgKKvN
(2.56)
em que tv~ é o vetor de velocidades pós-processadas e o parâmetro é dependente
da malha de elementos finitos e pode ser tomado como he/2, onde he é o tamanho
característico do elemento dado por he 2A, sendo A a área do elemento.
Com a utilização desta técnica de pós-processamento do campo de
velocidades as variáveis do problema, pressão, velocidade e saturação, são
aproximadas por interpolações Lagrangianas de mesma ordem (Mendonça, 2003).
De outra forma, Alcoforado (2007), Correa (2006) e Ribeiro (1996)
apresentam a interpolação do campo de velocidades através das aproximações no
espaço de Raviart-Thomas de mais baixa ordem, RT0, introduzidas pela
representação das velocidades nas arestas dos elementos e possibilitando a
descontinuidade da velocidade na direção tangencial das arestas.
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 43
Como exemplos, são mostrados na figura 2-2 os elementos triangular e
quadrático e as funções de interpolação de RT0.
Figura 2-2 Elementos triangular e quadrilateral de RT0.
Como mostrado na figura 2-2 as funções de aproximação de RT0 para
elementos triangulares e quadrilaterais são da forma:
1
1w para elementos triangulares
4
10
4
10
04
10
4
1
w para elementos quadrilaterais
Outros tipos de elementos, as funções de RT0 podem ser encontradas em
Hoteit et al (2008).
O espaço de aproximação de RT0 é composto de três espaços de
aproximação distintos: uma pressão média em todo o elemento; uma pressão
média em cada face do elemento, e a variável vetorial (fluxo) no elemento como
interpolação de fluxo nas arestas de acordo com a função de forma.
facesn
jjj
o
v1
wv (2.57)
1
1 w2=(,)
1
1
0
w1=(,-1)
w3=(-1,)
-1
-1
w1=((+1)/4,0)
w2=(0, (+1)/4)
w4=(0, (-1)/4)
w1=((-1)/4,0)
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 44
Como propriedades das funções de aproximações de RT0 tem-se que jw.
é constante no elemento e que
1. jw . O trabalho de Chavent et al (1991)
serve como uma boa base para compreensão dos elementos de RT.
Para que essas propriedades sejam válidas para um elemento qualquer é
necessário considerar a transformação de Piola na forma:
jj wPΦ . (2.58)
em que P é a matriz de transformação de Piola dada por:
J
JP
det (2.59)
e J é a matriz jacobiana do elemento e detJ o determinante da matriz jacobiana.
2.5.3.
Determinação da Porosidade
Além das principais variáveis envolvidas no acoplamento de fluxo bifásico
e mecânico (deslocamentos e poropressões), outra propriedade de extrema
importância existente nesses dois comportamentos é a porosidade, e a forma de
sua determinação é um ponto que deve ser considerado.
Em formulações clássicas de simulação de reservatórios de petróleo, Settari
(1989) e Tortike e Farouq (1989), apud Pao et al (2001), de maneira desacoplada,
apresentam uma relação que é comumente adotada para a avaliação da
porosidade, dada por:
pdcd p (2.60)
em que d é a variação da porosidade com a variação de pressão pd e cp é
comumente conhecido com compressibilidade do poro, Pao et al. (2001).
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 45
Entretanto, Pao et al (2001) colocam esta relação em dúvida por estabelecer
um relação linear para a variação da porosidade; experimentos tem mostrado
comportamento contrário a essa relação, Havmoller, apud Pao et al (2001).
Pao et al (2001) propõem a seguinte equação matemática demonstrada
utilizando a nomenclatura de Lewis e Schrefler (1998), na qual se baseou o
trabalho de Muller (2007):
pdK
K
Kpd
Kd
KKd
mmmm
2
111
11 (2.61)
Em que K e Km são os módulos de deformabilidade do meio e da matriz
porosa, respectivamente. Ainda de uma forma mais geral a equação 2.61 pode ser
posta na seguinte forma:
mm
T
m
TT
K
dp
K
dp
Kd
293mDm
εDmεm TT (2.62)
2.5.4.
Relações Constitutivas para Permeabilidade
No modelo físico considerado para as definições das equações governantes
anteriores, cada constituinte i (i = s, fw, fnw), sólido, fluido molhante e fluido não
molhante, tem uma densidade obtida com sua respectiva fração volumétrica i=
Vi/V onde Vi = volume do constituinte i, sendo:
i
i 1 (2.63)
A densidade (média) i é definida como:
iV
iV
ii dVtmV
dVtmV
),(1
),(1
xx (2.64)
e ainda que:
s 1 e s é a fração volumétrica de sólido. (2.65)
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 46
Da mesma forma que são definidas frações volumétricas das fases pode-se
definir a fração de volume de poros, quando o meio sólido é considerado, na
forma: v= Vv/V, sendo Vv o volume não ocupado por meio sólido.
Quando os vazios do meio poroso estão preenchidos por dois ou mais
fluidos imiscíveis, o conceito de saturação é definido, como sendo a fração do
volume poroso ocupada por uma determinada fase.
Colocando a equação 2.63 de outra forma, e considerando fluxo bifásico,
temos para saturação, que:
nwwi
iS,
1, (2.66)
em que Sw e Snw são as saturações de fluido molhante e não-molhante,
respectivamente. Ainda assim, pode ser considerado que determinada fase possa
atingir seu menor valor possível, caracterizado como saturação residual, sendo
representada por nwwiSri , .
É comum para análise de escoamento bifásico, a definição de saturação
efetiva como:
rnwrw
rwwe
SS
SSS
1, (2.67)
em que Se é a saturação efetiva, Sw é a saturação da fase molhante, Srw é a
saturação residual da fase molhante e Srnw é a saturação residual da fase não-
molhante, e ainda:
rnwwrw SSS 1 . (2.68)
A lei de Darcy generalizada é utilizada para o fluxo multifásico que
relaciona a velocidade média de cada fase ao gradiente, à permeabilidade e à
viscosidade correspondente da pressão. Assim, a velocidade média para a fase π é:
g.Κ
ννν rr
pS . (2.69)
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 47
em que g é o vetor aceleração gravitacional, pπ, μπ, vrπ e Kπ são respectivamente
pressão, viscosidade dinâmica, velocidade real, e permeabilidade intrínseca π.
Também, Kπ é relacionado à permeabilidade intrínseca K e à permeabilidade
relativa krπ por:
ΚΚ rk . (2.70)
Por ser uma característica intrínseca do meio alguns autores empregam
formulações de variação da permeabilidade absoluta como dependente da
porosidade como, por exemplo, a relação Carman-Kozeni, isto é:
2
3
0)1(
ΚΚ (2.71)
em que K0 pode ser tomada em eixos de permeabilidade principal tais como em
duas dimensões, por exemplo:
0
0
0 0
0
y
x
k
kΚ (2.72)
com kx0 e kyo sendo as permeabilidades intrínsecas iniciais nas direções x e y,
respectivamente.
O tensor de permeabilidade absoluta K0 definido na Equação (2.72) mede a
habilidade do meio em permitir o escoamento de fluidos através de seus poros.
Portanto o tensor de permeabilidade absoluta é uma característica intrínseca do
meio.
Outra possibilidade apresentada em Guimarães (2002) é uma aproximação
exponencial da forma:
]exp[ΚΚ 00 b (2.73)
A permeabilidade relativa tem sido considerada através de curvas obtidas
em laboratório através de ensaios realizados sobre amostras do meio poroso,
sendo expressas por funções não-lineares da saturação da fase molhante sw.
Assim, vários autores apresentam diferentes formas de modelar as curvas de
permeabilidade relativas.
Formulações Matemáticas para Simulação
de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 48
Um modelo bem mais simples, muito comum em engenharia de petróleo
para representar as permeabilidades relativas das fases molhantes e não-molhantes
respectivamente, é dado por:
2wrw Sk e
21 wrn Sk .
(2.74)
Outro modelo dado por expressões semi-empíricas é apresentado por
Brooks e Corey (1964), na forma:
]/)32[( erw Sk . (2.75)
E a permeabilidade relativa da fase não molhante é descrita pela equação:
]/)2[(211 eernw SSk . (2.76)
em que é um parâmetro de acordo com o tipo de material, relacionado ao
tamanho dos grãos sólidos.
A figura 2-3 apresenta a representação das curvas de permeabilidades
relativas molhante e não molhante e a curva de pressão capilar por em função da
saturação.
Figura 2.3 Curvas de permeabilidade relativa e de pressão capilar (Modelo de Brooks e Corey).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Sw
Krw
/Krn
w
krw
krnw
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 10
4
Sw
Pc
(Sw
)
Pc(Sw)
3.
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e Bifásico-
acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos
3.1.
Considerações Gerais
Neste capítulo apresenta-se uma breve revisão das formulações numéricas
normalmente consideradas na simulação de fluxo multifásico em meios porosos,
partindo-se dos princípios da formulação de meio contínuo, a modelagem
matemática do fenômeno, e o tratamento utilizando métodos numéricos,
Primeiramente, parte-se de uma formulação numérica para fluxo bifásico
desacoplado, fluxo bifásico acoplado, empregando-se o método de MEF, chamado
de clássico ou de Galerkin, acompanhando o trabalho apresentado por Muller
(2007) para o caso de formulação das equações do tipo parabólica. Em seguida é
apresentada uma formulação utilizando o métodos dos volumes finitos MVF
proposto por Geiger et al (2004) e por fim uma formulação para a equação da
saturação empregando métodos dos elementos finitos descontínuos MEFD como
proposto em Hoteit et al (2008), em ambos os casos, para formulação das
equações do tipo hiperbólica.
Os diferentes métodos de discretização das equações governantes do
problema pode levar a diversas instabilidades, numéricas e efeitos difusivos, na
solução das equações, Helmig (1997). Assim este trabalho buscou avaliar alguns
métodos que se propõem a estabilização das soluções, entre eles o método de
MVF proposto por Geiger et al (2004) e o MEFD proposto por Hoteit et al (2008)
para a captura de frente de saturação e aplicabilidade a meios porosos
heterogêneos.
Ao final desse capítulo é apresentado o tratamento numérico do problema de
análise não linear global com os procedimentos iterativos de solução para os
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 50
problemas de fluxo bifásico e fluxo bifásico acoplado, bem como a análise não
linear local do problema de plasticidade posto em forma de programação
matemática.
3.2.
Formulações Numéricas das Equações Governantes
A aplicação de métodos numéricos a problemas de fluxo tem sido
intensivamente estudada, existindo diversos métodos de aproximação. Com ênfase
no método dos elementos finitos, nas suas diversas variações, um trabalho bem
completo pode ser encontrado em Donea e Huerta (2003). Na seção seguinte
apresenta-se uma formulação via elementos finitos, referido como método de
Galerkin.
3.2.1.
Formulação em Elementos Finitos – Método de Galerkin
As equações na forma parabólica, equações 2.25 e 2.26, como descrito em
Muller (2007), podem ser escritas via elementos finitos na forma:
0
1
d
ghdB
kd
B
k
dBtt
dB
nwTp
nwp
nwnw
rnwT
pnwp
nwnw
rnwT
p
w
nw
Tp
w
nw
Tp
qN
NkNpNkN
SNS
N
(3.1)
0
1
dghdB
k
dB
kd
B
k
dBtt
dB
wTpnwp
ww
rwTTp
cp
ww
rwT
pnwp
ww
rwT
p
w
w
Tp
w
nw
Tp
qNNkN
pNkNpNkN
SNS
N
(3.2)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 51
Na implementação das equações 3.1 e 3.2 foi considerado a mesma
interpolação para a poropressão e a saturação, seguindo o trabalho de Muller
(2007).
Discretização no tempo:
Para discretização no tempo utiliza-se o método trapezoidal generalizado na
forma:
qqq ttt 1
em que wnw Spq , são as variáveis primárias a serem determinadas a cada
passo de tempo.
Para montagem do sistema de equações são considerados os seguintes
termos:
i
nwp
nwnw
rnwT
p
wp
nw
Tp
wp
nw
Tp
nwp
nwnw
rnwT
pnwTp
tt
ip
tt
dB
k
dBtt
dB
ghdB
kd
Fnw
pNkN
SNNS
NN
NkNqN
1 (3.3)
i
cp
ww
rwT
pnwp
ww
rwT
p
wp
w
Tp
w
nw
Tp
nwp
ww
rwT
pwTp
tt
iS
tt
dB
kd
B
k
dBtt
dB
ghdB
kd
Fw
pNkNpNkN
SNNS
N
NkNqN
1 (3.4)
Podendo-se definir o vetor de resíduos como:
qRitt sendo
t
t
wnwiS
tt
wnwip
tt
w
nw
,,
,,
SpF
SpFq (3.5)
em que:
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 52
0111
iw
tt
ttw
pinw
tt
ttnw
pip
ttip
tt S
iwS
nw
inw
nw
nwnw
S
Fp
p
FFF
p
(3.6)
0111
iw
tt
ttw
Sinw
tt
ttnw
SiS
ttiS
tt S
iwS
w
inw
w
ww
S
Fp
p
FFF
p
(3.7)
As equações 3.6 e 3.7, na forma matricial, se tornam:
itt
itt
iw
tt
inw
tt
ttw
S
ttnw
S
ttw
p
ttnw
p
w
nw
iwS
w
inw
w
iwS
nw
inw
nw
S
p
1
1
F
F
S
p
S
F
p
F
S
F
p
F
p
p
(3.8)
iw
ttiw
ttiw
tt
ittittinw
tt
SSS
ppp
11
11
(3.9)
Assim, o problema final de fluxo bifásico pode ser assim posto:
tt
tt
tt
tt
wnwiS
tttt
wnwipnw
tttt
inw
tt
inw
tt
www
nwnwnw
w,,
,,1
1
SpF
SpF
S
p
MOH
MOH
(3.10)
em que:
dB
kp
w
rwpw NkNΗ
T (3.11)
dB
kp
nw
rnwpnw NkNΗ
T (3.12)
dB
p
w
Tpw NNO
(3.13)
dB
p
nw
Tpnw NNO
(3.14)
dBt
p
w
Tpw NNM
1 (3.15)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 53
dBt
p
nw
Tpnw NNM
1 (3.16)
Nas equações de 3.11 a 3.16, wΗ , nwΗ , são as matrizes de fluxo para fase
molhante e não-molhante, respectivamente, wO , nwO , são as matrizes de
armazenamento para fase molhante e não-molhante, respectivamente, wM , nwM
são as matrizes devido a compressibilidade da fase molhante e não-molhante,
respectivamente.
Formulação fluxo bifásico acoplado
Ainda seguindo o procedimento apresentado por Muller (2007), a equação
para o fluxo da fase não-molhante sob formulação de elementos finitos é descrita
pela equação (3.17), as inserções dos termos referentes ao acoplamento mecânico
aqui não são descritas, mas podem ser encontrados em Muller (2007), Fridman
(1996) entre outros:
0
9
11
9
11
3
1
9
111
1
2
2
2
d
ghdB
kd
B
k
dt
dd
KKB
S
dt
dd
B
S
KKp
dt
dd
KB
S
dt
dd
B
S
KKS
dBtt
dB
nwTp
nwp
nwnw
rnwT
pnwp
nwnw
rnwT
p
nwp
ssnw
nwTp
wp
nw
nw
ss
cTp
snw
nwTu
cp
nw
nw
ss
nwTp
w
nw
Tp
w
nw
Tp
qN
NkNpNkN
pNmDmN
SNmDmN
uBDmmN
pNmDmN
SNS
N
TT
TT
TTT
TT
(3.17)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 54
A equação para saturação da fase molhante é obtida de maneira análoga,
sendo descrita por:
0
9
111
1
9
11
3
11
9
111
1
2
2
2
dghdB
k
dB
kd
B
k
dt
dd
KKB
S
dt
dd
B
S
KKp
dt
dd
KB
S
dt
dd
B
S
KKS
dBtt
dB
wTpnwp
ww
rwTTp
cp
ww
rwT
pnwp
ww
rwT
p
nwp
ssw
nwTp
wp
w
nw
ss
cTp
snw
nwTu
cp
w
w
ss
nwTp
w
w
Tp
w
nw
Tp
qNNkN
pNkNpNkN
pNmDmN
SNmDmN
uBDmmN
pNmDmN
SNS
N
TT
TT
TTT
TT
(3.18)
De acordo com Brooks e Hughes (1982), para que possíveis oscilações não
ocorram pode-se empregar métodos que utilizam uma formulação estabilizada.
Muller (2007) considera o refinamento da malha de elementos finitos ou o
controle dos incrementos de tempo suficientes.
Para estabilização da solução, geralmente utiliza-se métodos da família
Petrov-Galerkin, como, por exemplo, o método SUPG (Streamline
Upwind/Petrov-Galerkin), apresentado numa série de trabalhos publicados por
Hughes e outros, Hughes et al (1986a, b) e Hughes et al (1987), sendo uma das
aplicações do método encontrada em Campos (1999).
Discretização no tempo:
Para discretização no tempo utiliza-se o método trapezoidal generalizado na
forma:
qqq tttt 1
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 55
em que wnw Spq , são as variáveis primárias a serem determinadas a cada
passo de tempo.
Para montagem do sistema de equações considera-se os seguintes termos:
i
cp
s
nw
wp
s
c
nwp
s
Tu
Tu
tt
iu
tt
td
KS
td
Kp
td
Ktd
dt
ddt
dd
dt
d
F
pN
mDmB
SN
mDmB
pN
mDmB
uBDB
Bt
Nb
N
31
3
3
TT
TT
TT
TT
'0T
(3.19)
i
nwp
nwnw
rnwT
p
nwp
ssnw
nwTp
wp
nw
nw
ss
cTp
snw
nwTu
cp
nw
nw
ss
nwTp
wp
nw
Tp
wp
nw
Tp
nwp
nwnw
rnwT
pnwTp
tt
ip
tt
dB
k
td
KKB
S
td
B
S
KKp
td
KB
S
td
B
S
KKS
dBtt
dB
ghdB
kd
Fnw
pNkN
pNmDmN
SNmDmN
uBDmmN
pNmDmN
SNNS
NN
NkNqN
TT
TT
TTT
TT
2
2
2
9
11
9
11
3
1
9
111
1
(3.20)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 56
i
cp
ww
rwT
p
nwp
ww
rwT
p
nwp
ssw
nwTp
wp
w
nw
ss
cTp
snw
nwTu
cp
w
w
ss
nwTp
wp
w
Tp
w
nw
Tp
nwp
ww
rwT
pwTp
tt
iS
tt
dB
k
dB
k
td
KKB
S
td
B
S
KKp
dt
dd
KB
S
td
B
S
KKS
dBtt
dB
ghdB
kd
Fw
pNkN
pNkN
pNmDmN
SNmDmN
uBDmmN
pNmDmN
SNNS
N
NkNqN
TT
TT
TTT
TT
2
2
2
9
111
1
9
11
3
11
9
111
1
(3.21)
Podendo-se definir o vetor de resíduos como:
qRitt sendo
t
t
t
wnwiS
tt
wnwip
tt
wnwiu
tt
w
nw
,,,
,,,
,,,
SpuF
SpuF
SpuF
q (3.22)
em que:
01
111
iw
tt
ttw
u
inw
tt
ttnw
uitt
tt
uiu
ttiu
tt
S
iwS
inw
i
S
F
pp
Fu
u
FFF
pu
(3.23)
01
111
iw
tt
ttw
p
inw
tt
ttnw
pitt
tt
pip
ttip
tt
S
iwS
nw
inw
nw
i
nw
nwnw
S
F
pp
Fu
u
FFF
pu
(3.24)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 57
01
111
iw
tt
ttw
S
inw
tt
ttnw
Sitt
tt
SiS
ttiS
tt
S
iwS
w
inw
w
i
w
ww
S
F
pp
Fu
u
FFF
pu
(3.25)
As equações 3.24 e 3.25, na forma matricial, se tornam:
itt
itt
iu
tt
iw
tt
inw
tt
itt
ttw
S
ttnw
S
tt
S
ttw
p
ttnw
p
tt
p
ttw
u
ttnw
u
tt
u
w
nw
iwS
w
inw
w
i
w
iwS
nw
inw
nw
i
nw
iwSi
nwi
S
p
1
1
1
F
F
F
S
p
u
S
F
p
F
u
F
S
F
p
F
u
F
S
F
p
F
u
F
pu
pu
pu
(3.26)
em que:
iw
ttiw
ttiw
tt
ittittinw
tt
ittittitt
SSS
ppp
uuu
11
11
11
(3.27)
Assim, o problema final de fluxo bifásico acoplado pode ser assim posto:
tt
tt
tt
tt
tt
iw
tt
ip
tt
iu
tt
inw
tt
inw
tt
itt
wwwwww
nwnwnwnwnwnw
c
nw
,,
,,
,,
1
1
1
puS
puF
puF
S
p
u
PMOHGL
PMOHGL
LLK
(3.28)
em que:
dBDBK TT (3.29)
dK
d p
s
p Nm
DBmNBL TT
3T (3.30)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 58
d
Kp p
s
cc Nm
DmBL T3
T (3.31)
d
KB
S
s
TT
nw
nwTunw B
mDmBNL T
3T (3.32)
d
KB
S
s
TT
w
nwTuw B
mDmBNL T
3
1 T (3.33)
dB
kp
w
rwpw NkNΗ
T (3.34)
dB
kp
nw
rnwpnw NkNΗ
T
(3.35)
dKKB
Sp
ssw
nwTpw NmDmNG T
T
29
111 (3.36)
dKKB
Sp
ssnw
nwTpnw NmDmNG T
T
29
11 (3.37)
dB
p
w
Tpw NNO
(3.38)
dB
p
nw
Tpnw NNO
(3.39)
dBt
p
w
Tpw NNM
1 (3.40)
dBt
p
nw
Tpnw NNM
1 (3.41)
dB
S
KKp p
w
nw
ss
cTpw NmDmNP
1
9
11T
T
2
(3.42)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 59
dB
S
KKp p
w
nw
ss
cTpnw NmDmNP T
T
29
11 (3.43)
Nas equações de 3.28 a 3.43, wΗ , nwΗ , são as matrizes de fluxo para fase
molhante e não-molhante, respectivamente, wO , nwO , são as matrizes de
armazenamento para fase molhante e não-molhante, respectivamente, wM , nwM
são as matrizes devido a compressibilidade da fase molhante e não-molhante,
respectivamente, L , cL , nwL e nwL são as matrizes de acoplamento com o
problema mecânico.
3.2.2. Formulação em Volumes Finitos Baseado em Elementos
Finitos
Nessa seção apresenta-se uma formulação em volumes finitos baseada em
elementos finitos descrita por Geiger et al (2004a) e Geiger et al (2004b). Nesta
formulação utiliza-se a equação do problema em sua forma hiperbólica, com uma
equação chamada de equação da pressão, o pós-processamento da velocidade e
uma equação da saturação.
Figura 3-1: Formas possíveis de montagem do volume de controle, a) baseado na célula, b)
baseado na célula e vértice e c) baseado no vértice. (extraído de Carvalho, 2005)
A figura 3.1 apresenta três formas distintas de formação do volume de
controle que podem ser usadas no MVF. A presente formulação é baseada na qual
o volume de controle é construído sobre uma malha de elementos finitos, com o
volume de controle baseado no vértice para malhas não-estruturadas. Assim, um
passo anterior na solução via MVF é a construção das estruturas geométricas
como áreas das arestas e vetores normais às arestas.
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 60
Geiger et al (2004a, b) partem da equação proposta por Durlofsky (1993) já
com a parcela do acoplamento geomecânico na equação da pressão, apresentada a
seguir:
Equação da pressão:
tnnwwcwntt Qppt
pc
KgK
2
1 (3.44)
sendo as diversas variáveis já descritas anteriormente e uma mais: a parcela ct, que
corresponde a parcela de compressibilidade do meio.
Ainda assim, tem-se a equação da velocidade pós-processada utilizando a
Lei de Darcy em condição de fluxo bifásico:
wwnwnw
w
wtt pdS
dp KgKKv
2
1c
(3.45)
Esses autores colocam a equação da saturação na seguinte forma:
wcwnwwnwnwtww Qpfft
S
KKgv (3.46)
O tratamento numérico das equações da pressão e saturação, equações 3.44
e 3.46, é realizado utilizando o MEF para a equação da pressão e o MVF é
aplicado à equação da saturação, como é mostrado a seguir:
Integrando-se a equação (3.44) no volume do elemento, chega-se a:
dQdpdpd
t
pc tcwnwtt KK
2
1 (3.47)
empregando-se a seguinte interpolação polinomial que define a pressão no interior
do elemento em função dos pontos nodais *p :
*pNp p (3.48)
a equação da pressão em elementos finitos pode ser colocada como:
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 61
0
**
d
ddddt
dc
Tp
Pwwnwnwpt
T
ppTpt
qN
gNkpNNp
NN (3.49)
Ou ainda, na forma residual:
i
pt
T
ppTpt
PwwnwnwTp
tt
ip
tt
dt
dc
dd
F
pNN
pNN
gNkqN
(3.50)
Esta equação pode ser representada, usando pressão incremental, em uma
forma compacta como:
ttt ip
ttitt ,1 pFpGH (3.51)
e
dptp NNΗ T (3.52)
dc ptTp NNG (3.53)
H e G são as matrizes de permeabilidade e compressibilidade,
respectivamente.
De forma similar a equação da pressão, integrando-se a equação (3.46) no
volume do elemento, chega-se a:
i
iiii
V
w
V
t
V
ct
V
tw
V
w
dVq
dVzgdVkpdVfdVt
S v
(3.54)
e empregando uma discretização temporal explícita, tem-se:
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 62
ei
si
sisi
e
eewe
ii
n
jjtj
ii
n
jjctj
ii
n
jjtjwj
ii
twi
ttwi
AqA
t
zgA
t
pA
tf
A
tSS
1
1
11
nk
nknv
(3.55)
Dada a característica parabólica-hiperbólica da equação da saturação, um
método de captura da frente de saturação deve ser empregado. Um método
bastante empregado é o método de primeira ordem, chamado de esquema upwind.
Outro método proposto por Geiger et al (2004a, b) é a utilização da
aproximação de segunda ordem que melhora a captura da frente de saturação.
Esse método se baseia na interpolação dos valores das saturações nas arestas do
volume de controle construído sobre a malha de elementos finitos através da
utilização dos gradientes nesses pontos, assim:
kll
kl baM
2
1
k=1,2 (3.56)
em que:
in
jiljlikjkkl xxxxM
1
(3.57)
in
jikjkwiwjk xxSSb
1
(3.58)
Sendo então calculada uma nova saturação a partir do vetor a e da
localização do ponto médio da aresta.
iwiwi SS xxax ~
(3.59)
Da implementação desses esquemas ainda podem surgir uma difusão
numérica excessiva da frente de saturação e oscilações numéricas que podem
levar a instabilização do sistema. Uma técnica comumente empregada como
alternativa mais eficaz é a utilização de limitadores de inclinação para
interpolação do campo de saturação, surgindo outro campo interpolado:
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 63
iiwiwi SS xxax (3.60)
em que o parâmetro i é obtido por:
1,min ij r (3.61)
sendo
wiwj
wiwjwiwjwiwi
wiwjwiwjwiwi
i
SSse
SSseSSSS
SSseSSSS
r
1
/
/min
max
(3.62)
e
)(min,min
,...1
minwj
njwiwi SSS
i
)(max,max
,...1
maxwj
njwiwi SSS
i
(3.63)
Observando a equação 3.60 quando i se anula, tem-se o esquema upwind
de primeira ordem.
3.2.3.
Formulação em Elementos Finitos Descontínuos
Atualmente um método que tem sido utilizado intensivamente para a
solução de problemas de mecânica dos fluidos computacional, em especial no
caso de equações hiperbólicas, é o método dos elementos finitos descontínuos (Li
(2006), Rivière (2008), Kanschat (2007), Hoteit et al (2008) e outros).
Segundo Hoteit et al (2008), o MEFD possui como importantes
características a conservação de massa a nível de elemento, flexibilidade para
geometrias complexas com aproximações de alta ordem, além do que, apresenta
menos dispersão numérica e é livre de oscilações espúrias quando um adequado
limitador de inclinação é utilizado.
O MEFD possui a vantagem de se poder utilizar a mesma divisão de
domínio do MEF clássico podendo ser utilizadas as mesmas funções de
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 64
interpolação, incorporando formulações do MVF nos fluxos nas arestas. Pode-se
demonstrar a equivalência de MEFD e MVF quando as funções de interpolação
são equivalentes.
A seguir apresenta-se uma formulação proposta por Hoteit et al (2008) para
solução da equação da saturação em MEFD com a utilização de uma discretização
temporal explícita de Runge-Kutta de segunda ordem e limitadores de inclinação
para evitar oscilações espúrias na solução do sistema. Para solução da equação da
pressão e da velocidade, Hoteit et al utilizam uma formulação mista em elementos
finitos.
Considerando a equação da saturação com pressão capilar nula, equação
2.41, aplicando MEF e o teorema da divergência tem-se:
0
ee
dSSwdVwSt
Sw jnvv
(3.64)
Em que, consistentemente os fluxos numéricos, Sv , devem ser dados
por:
SSS u Cvv (3.65)
em que:
SSS 5.0
nn SSS
(3.66)
Os símbolos (+) e (-) designam cada face do elemento, sendo (+) no
exterior do elemento e (-) no interior do elemento, e mais n e n para os vetores
normais nesses dois sentidos. A figura 3.2 apresenta uma representação
esquemática dos vetores normais a uma dada aresta por elemento.
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 65
Figura 3.2 – Representação esquemática dos vetores normais, ��, e os vetores normais interior e
exterior ao elemento ��. (extraído de Li, 2006)
Escolhendo InvC 5.0u , o fluxo numérico, Sv , é calculado pelo
esquema clássico de upwind, adotado também em Hoteit et al, e colocado na
seguinte forma:
SSS nvvv 5.0 (3.67)
Considerando ainda a seguinte aproximação:
eN
iiiSS
1
(3.68)
em que eN é o número de nós do elemento e i é a função de forma associada ao
nó i, tem-se a seguinte formulação em elementos finitos descontínuos, adotando-
se Sw como variável primária:
01
,1,1
,
s
s
s N
iiNwBw
N
iiB
w
dt
dSNSKK
SM (3.69)
M é a matriz de massa, K é a integral de volume, iB ,K e 1,BN representam a
contribuição do contorno associado ao elemento, wS é o vetor de incógnitas para
o elemento, sN é o número de lados do elemento e iNw
s ,S é o vetor de incógnitas
associado aos elementos vizinhos.
De outra forma a equação acima pode ser reescrita como se segue:
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 66
s
s
s N
iiNwBw
N
iiB
w
dt
d
1,1,
1,
1 SNSKKMS
(3.70)
ou
ww L
dt
dS
S (3.71)
Para obtenção de uma solução temporal, pode ser aplicada uma
discretização explícita da forma:
w
t
w
tt
w tL SSS
(3.72)
ou ainda o método de discretização temporal de Runge-Kutta (RK) de segunda
ordem, como se segue:
t
wL Sk 1 (3.73)
12
2
1kSk tL
t
w (3.74)
Após a obtenção do campo de saturação ao final da segunda ordem da
discretização de RK é aplicado o operador de limitador de inclinação na forma:
tt
w
tt
w L
SS~
(3.75)
Em que o L é o operador proposto por Chavent et al (1986):
vwiw
ew
n
ii
v
ewW
niSWS
SWn
asujeito
ii
v
,...,1
1
min
max,,min,
,1
,SW
(3.76)
Definindo-se as seguintes variáveis:
e
ewew Se
S ,,
1 ew
Tew SS
i,min, min
ew
Tew SS
i,max, max
(3.77)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 67
tt SW~
(3.78)
e ainda: nv é o número de nós por elemento Ti é o conjunto de elementos que
compartilham o nó i do elemento e.
3.3.
Análise Não-Linear Local
A solução do problema de análise não-linear local, problema da
plasticidade, pode ser por posto em duas formas equivalentes: resolvendo-se a
equação de equilíbrio ou postulando o problema em forma de programação
matemática (Vaz, 2011). Dessa forma, apresentam-se nessa seção alguns
conceitos para o entendimento da análise não linear local, em que o problema de
análise elastoplástica nesse trabalho é apresentado como um problema de
programação matemática partindo do princípio da máxima dissipação plástica
(PMPD), bem como são apresentados os modelos constitutivos adotados nesse
trabalho (modelo de Mohr Coulomb e modelo de von Mises).
3.3.1.
Princípio da máxima dissipação plástica
Como descrito em Muller (2007), o princípio da máxima dissipação
plástica é a base da formulação matemática das leis de evolução da teoria da
plasticidade e está fundamentada na hipótese de que a deformação plástica se dá
de modo que a energia dissipada seja máxima.
A descrição matemática do PMDP parte do conceito de energia de
dissipação plástica, dado como sendo a taxa de variação da energia interna em
relação às variáveis plásticas com o sinal trocado.
a
aε
εaaεεε
pp
p
eppp WW
D ),,,,( (3.79)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 68
em que a é o vetor das variáveis internas, a é a taxa de variação das variáveis
internas, p , é a taxa de deformação plástica , eW , é a energia de deformação
elástica e pW , é a energia de deformação plástica.
As deformações totais e trabalho total podem ser representados como:
pe WWW e pe εεε (3.80)
Sendo eee WW ε e a parcela plástica app WW , função somente das
variáveis internas, a equação 3.78 pode ser reescrita como:
aεεaε ppepee WWWWW (3.81)
Substituindo 3.81 em 3.79, tem-se:
a
aε
ε
εεaaεεε
pp
p
peppp WW
D ),,,,( (3.82)
Dado que
p
e
e
p
p
pe
e
pe WWW
εε
ε
ε
εε
ε
εεσ
, a dissipação
plástica pode ser rescrita como
aa
εσaaεεε
ppppp W
D ),,,,( (3.83)
Definida a dissipação plástica do sistema pode-se formular o problema na
forma de programação matemática para aplicação dos métodos normalmente
utilizados para solução dos problemas de otimização, assim o PMDP é posto na
seguinte forma:
),(: aσpDMinimizar
0),(: aσFsujeito
(3.84)
em que ),( aσF representa a função de escoamento, como será visto mais a frente.
O problema de minimização com restrições pode ser escrito como um
problema sem restrições introduzindo-se os multiplicadores de Lagrange. A
função de Lagrange correspondente ao problema é:
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 69
),(),,,,( **
*
*** aσaa
εσaεaσ FW
Lp
pp
(3.85)
O símbolo (.)* indica ser um ponto corrente que atende necessariamente as
condições de Kuhn-Tucker. Escrevendo-se agora as condições de Kuhn-Tucker,
condições necessárias para existência de um valor extremo, tem-se:
*
**
*
**
*
),(0
),(
σ
aσε
σ
aσε
σ
FFL pp (3.86)
*
**
*
**
**
2
*
),(0
),(
a
aσGa
a
aσa
aaa
FFWL p
(3.87)
0),( ** aσF (3.88)
0),( ** aσF (3.89)
0 (3.90)
em que
1
**
2
aaG
pW (3.91)
Observando-se as condições de Kuhn-Tucker, apresentadas acima, tem-se
como consequência do PMPD as seguintes considerações: a equação (3.86)
representa a lei de escoamento associada, a equação (3.87) representa a lei de
encruamento. Em (3.88) se verifica a condição de consistência e em (3.89) através
da condição de complementaridade se verifica a condição de
carregamento/descarregamento. Simo e Hughes (1997), apud Muller (2007) citam
que o PMDP implica em: fluxo associado no espaço das tensões, condição
chamada de normalidade; condição de carregamento/descarregamento dada pela
condição de complementaricdade de Kuhn-Tucker e convexidade do espaço das
tensões.
De outra forma o problema apresentado em (3.84) pode ser reescrito, de
acordo com Simo e Hughes (1997), sob a seguinte forma:
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 70
121211
2
1
2
1,, GaaDσσaσaσ iteste
Minimizarii E
0),(: 11 iiFsujeito aσ
(3.92)
em que D é o tensor constitutivo elástico, G é módulo plástico generalizado,
ambos assumidos constantes, testeσ é o tensor das tensões teste (geralmente
assume-se o elástico) e E é o espaço das tensões admissíveis, σσDDσ 11
pode ser visto como uma norma da energia e aaGGa 11 como uma norma
induzida por 1G . Para o caso de plasticidade perfeita o segundo termo entre
chaves da equação (3.92) é nulo. Ainda, 1iσ é a projeção ao ponto mais próximo
de testeσ na superficie de escoamento. Assim posto, é utilizado o algoritmo SQP
para solução do problema não linear resultante.
Das equações que descrevem o problema de acoplamento fluido mecânico
tem-se a presença do tensor constitutivo tangente ou elastoplástico DT, que pode
ser avaliado da seguinte como:
H
FFT
1
D
σσDDD (3.93)
ha
Dgσ
FFH (3.94)
Sendo g e h respectivamente, funções que definem a direção do fluxo
plástico e a evolução de a. Para plasticidade associada σ
g
F.
Para representação da função de escoamento, são adotados neste trabalho
dois critérios bastante referenciados em mecânica dos solos clássica, a função de
escoamento de Mohr-Coulomb e a função de escoamento de Von Mises, baseados
exclusivamente no estado de tensão, Chen e Liu (1977).
Em termos de invariantes de tensões o critério de Mohr-Coulomb pode ser
descrito por:
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 71
0cos3
cos3
1
3322
1
csenJsenJsen
IFMC (3.95)
em que I1 representa o primeiro invariantes de tensão, J2 representa o segundo
invariante das tensões, e c são os parâmetros do modelo e Φ é o ângulo de Lode
dado por:
00
2
3
2
31 6002
33
3
1
queem
J
Jsen (3.96)
Já a função de escoamento de Von Mises descrita em termos de invariantes
de tensão é apresentada como:
yVM JF 3
22 2 (3.97)
em que y é a tensão de escoamento.
Nas definições do tensor constitutivo tangente ou elastoplástico DT
apresentado na equação (3.93) é necessária a definição da derivada em relação às
tensões da função de escoamento, para a função de escoamento de Mohr-Coulomb
e para função de escoamento de von Mises, tem-se, respectivamente, equações
(3.98) e (3.99).
σσσσ
MCMCMCMC FJ
J
FI
I
FF 2
2
1
1
(3.98)
σσ
2
2
J
J
FF MCMC . (3.99)
3.4.
Procedimentos de Solução
Segundo Lewis e Scherefler (1998), a solução acoplada do problema
mecânico e de fluxo em meios porosos pode ser resolvida empregando dois
procedimentos distintos: totalmente acoplado ou desacoplado.
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 72
Na solução acoplada tem-se a solução do sistema completo de equações, em
termos de deslocamentos, poro-pressão e saturação. Na solução desacoplada tem-
se a solução de um dos sistemas primeiramente, mecânico ou de fluxo, e a solução
de um destes sistemas é incorporado como entrada no outro sistema.
Os dois procedimentos são considerados no presente trabalho, sendo o
procedimento acoplado empregado pelo MEF – Galerkin apresentado na seção
3.2.1 e o procedimento desacoplado empregado no MVF e MEFD apresentados
nas seções 3.2.2 e 3.2.3, respectivamente.
Ainda dentro dessa classificação são encontrados vários métodos para os
procedimentos acoplado e desacoplado.
No procedimento acoplado pode se definir o procedimento totalmente
acoplado e o procedimento particionado, tal como apresentado em Muller (2007).
No procedimento totalmente acoplado o sistema completo de equações é
solucionado conjuntamente em termos de deslocamentos, poro-pressão e
saturação e no sistema particionado, conhecido como procedimento staggered, o
sistema é particionado em duas partes, problema mecânico e problema de pressão-
saturação e que iterativamente são resolvidos paralelamente. Um estudo da
aplicação destes procedimentos foi apresentado por Muller (2007), Lewis e
Scherefler (1998) e Ferreira (1996), onde são apontadas as vantagens e
desvantagens de ambos os métodos.
No procedimento desacoplado são várias as alternativas encontradas, os
sistemas podem ser resolvidos separadamente, com um sistema mecânico e um
sistema de fluxo, sem processo iterativo para a convergência dos dois sistemas,
procedimento esse bastante usual em engenharia de petróleo, e um procedimento
iterativo entre os dois sistemas até a convergência de ambos. Esse último
procedimento é aplicado nos sistemas acoplados para o caso do MVF e do MEFD
apresentados nas seções 3.2.2 e 3.2.3, respectivamente.
Em termos de discretização temporal o procedimento de se interpolar a
equação da pressão implicitamente e a equação da saturação explicitamente, dá-se
o nome de IMPES (implicit pressure – explicit saturation), sendo este o caso das
formulações em MVF e do MEFD apresentadas no presente trabalho.
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 73
Nas seções seguintes são apresentados os procedimentos empregados no
presente trabalho.
3.4.1.
Procedimento para o problema de fluxo bifásico
Para o problema de fluxo bifásico sem acoplamento mecânico e posto na sua
forma hiperbólica é utilizado um processo iterativo, com critérios de convergência
em termos de pressão, velocidade e saturação, seguindo a estratégia de solução
sequencial apresentada por Mendonça (2003) e Ney (2002) e que consiste nos
seguintes passos:
1. Resolve-se a equação da pressão.
2. Calcula-se o campo de velocidades.
3. Resolve-se a equação da saturação.
Assim de tal forma o algoritmo iterativo preditor multicorretor aplicado e
descrito em Mendonça (2003) é apresentado a seguir:
Instante t + t.
Estimativa inicial nwt
nwtt pp e w
tw
tt SS tem-se vtt .
Etapa 1
Procedimento iterativo i+1. Etapa 2
Avalia-se 1i
nwp , 1iv , 1i
wS com as equações via MVF ou MEFD
e verifica-se a convergência conjunta pela tolerância ou número
máximo de iterações.
Etapa 3
Verificada a etapa 3, atualiza-se as grandezas nwt p , w
t S e retorna
a etapa 1 e um novo passo de tempo é iniciado, caso contrário
inicia-se um novo passo da etapa 2 com os valores atualizados de
1i
nwp , 1i
wS .
Etapa 4
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 74
Nesse algoritmo, apenas para a solução do problema de fluxo, os sistemas
resultantes da solução da equação de pressão e velocidade podem ser resolvidos
utilizando procedimentos iterativos para sistemas simétricos, como o gradiente
conjugado (GC), empregado nesse trabalho. Para a equação da saturação não é
necessário resolver-se um sistema, mas um seqüenciamento de operação das
variáveis nodais do MVF ou do MEFD.
3.4.2.
Procedimento staggered para o problema de acoplamento fluido
mecânico com fluxo bifásico via MEF
Como apresentado por Muller (2007), para o problema com fluxo bifásico
acoplado utilizando o MEF, adotou-se a seguinte estratégia de solução:
particionou-se o problema, mostrado na equação 3.28, em duas partes: problema
mecânico e problema de pressão-saturação.
Problema mecânico:
tt wnwiu
ttitt ,,1 SpFuK (3.100)
Problema de pressão-saturação.
tt
tt
tt
tt
wnwiSw
tt
wnwip
tt
iw
tt
inw
tt
wwwww
nwnwnwnwnw
nw
,,
,,
1
1
SpF
SpF
S
p
PMOHG
PMOHG
(3.101)
Adotando os campos de deslocamentos e saturações da fase molhante para
verificação da convergência da solução, descreve-se o algoritmo, apresentado em
Muller (2007), para solução do problema num instante t + t como:
Instante t + t.
Estimativa inicial nwt
nwtt pp e w
tw
tt SS
Etapa 1
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 75
Procedimento staggered iteração i+1 Etapa 2
Avalia-se uj+1, com a equação de equilibro mecânico e verifica-se
convergência uj+1 para tolerância ou número máximo de iterações. Etapa 3
Com o vetor u obtido na etapa 3 avalia-se 1i
nwp , 1i
wS com as
equações de fluxo bifásico e verifica-se a convergência das
saturações da fase molhante.
Etapa 4
Não verificadas as etapas 3 e 4 para convergência ou número
máximo de iterações retorna-se a etapa 2 como os valores
atualizados de nwp , wS , caso contrário inicia-se um novo passo da
etapa 1.
Etapa 5
3.4.3.
Procedimento staggered para o problema de acoplamento fluido
mecânico com fluxo bifásico via MVF e MEFD
De forma similar ao apresentado nas seções anteriores para os algoritmos
utilizados na solução dos problemas de fluxo bifásico e fluxo bifásico acoplado,
nessa seção apresenta-se o algoritmo empregado na solução de fluxo bifásico
acoplado para as formulações em MVF e MEFD.
O algoritmo empregado é uma abordagem dos dois algoritmos apresentados
anteriormente sendo um simples acoplamento dos dois para o caso das
formulações em MVF e MEFD, de forma análoga também ao procedimento
descrito em Alcoforado (2007). Alcoforado apresenta uma discussão desse
procedimento iterativo sequencial com suas diversas formas de implementação.
Assim, da mesma forma que o procedimento adotado por Muller (2007),
propôs-se neste trabalho a mesma divisão do problema acoplado global: um
problema mecânico dado por:
tt wnwipnw
ttitt ,,1 SpFuK (3.102)
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 76
E as duas possibilidades para o problema de pressão-saturação.
MVF
1. Resolve-se a equação da pressão.
ttt ip
ttitt ,1 pFpGH (3.103)
2. Calcula-se o campo de velocidades.
3. Resolve-se a equação da saturação.
ei
si
sisi
e
eewe
ii
n
jjtj
ii
n
jjctj
ii
n
jjtjwj
ii
twi
ttwi
AqA
t
zgA
t
pA
tf
A
tSS
1
1
11
nk
nknv
(3.104)
MEFD
1. Resolve-se o problema misto.
ttt ip
ttitt ,1 pFpGH (3.105)
2. Calcula-se o campo de velocidades.
3. Resolve-se a equação da saturação.
ww L
dt
dS
S (3.106)
Assim procedendo, o algoritmo sugerido é mostrado a seguir:
Instante t + t.
Estimativa inicial nwt
nwtt pp e w
tw
tt SS
Etapa 1
Procedimento staggered iteração i+1 Etapa 2
Avalia-se ui+1, com a equação de equilibro mecânico e verifica-se Etapa 3
Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e
Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 77
convergência ui+1 para tolerância ou número máximo de iterações.
Procedimento iterativo j+1. Etapa 4
Avalia-se 1j
nwp , 1jv , 1j
wS com as equações via MVF ou
MEFD e verifica-se a convergência conjunta pela tolerância ou
número máximo de iterações.
Etapa 5
Verificada a etapa 5, atualiza-se as grandezas nwt p , w
t S e
porosidade, e retorna-se a etapa 1 e um novo passo de tempo é
iniciado, caso contrário inicia-se um novo passo da etapa 4 com os
valores atualizados de 1j
nwp , 1j
wS .
Etapa 6
Não verificadas as etapas 3 e 6 para convergência ou número
máximo de iterações retorna-se a etapa 2 como os valores
atualizados de nwp , wS , caso contrário inicia-se um novo passo da
etapa 1.
Etapa 7
4.
Exemplos de Verificação das Formulações para Simulação
de Fluxo em Meios Porosos
4.1.
Considerações Gerais
Este capítulo apresenta alguns exemplos com o objetivo de verificar as
formulações e implementações realizadas. Inicia-se com um exemplo clássico da
mecânica dos solos, no qual o objetivo principal é avaliar a implementação e o
cálculo da porosidade, considerada uma variável importante no acoplamento
mecânico e fluxo bifásico.
Os exemplos de placas paralelas, escoamentos entre barreiras e um
problema com solução analítica conhecida objetivaram a verificação dos diversos
métodos de avaliação da velocidade.
Para verificação das implementações das formulações bifásicas são
analisados dois problemas clássicos: problema unidimensional de Buckley-
Leverett e o exemplo de fluxo bidimensional de cinco poços.
Uma alternativa para verificar o procedimento iterativo do acoplamento
mecânico e fluxo bifásico é analisando uma simplificação do problema de
adensamento unidimensional de Terzaghi em que o meio se encontra com
saturação total de um dos fluidos, através do MVF e MEFD, já que a equação da
saturação é desconsiderada.
Dada a dificuldade de se obter resultados de literatura para fluxo bifásico
em meios porosos heterogêneos, são analisados exemplos de meios estratificados
encontrados na literatura para validação qualitativa das implementações, e ainda
uma avaliação da aplicação em meios geológicos incluindo falhas com análise
mecânica acoplada, via MEFD.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 79
4.2.
Adensamento unidimensional
Este exemplo trata do problema de uma coluna de solo sobre uma camada
rígida e impermeável, a coluna está inicialmente saturada e sujeita a um
carregamento na superfície. O problema de adensamento foi estudado
inicialmente por Terzaghi (1934), Biot (1941) e ainda por Detournay e Cheng
(1993) aplicando a teoria da poroelasticidade, estes últimos apresentaram a
solução analítica utilizada neste trabalho.
As condições de contorno para o problema são: aplicação de um
carregamento na superfície, yy = -p*, superfície livre no topo, p = 0 em y = 0;
deslocamento vertical nulo na base da coluna, uy = 0 em y = L; e superfície
impermeável na base, dp/dy=0. A figura 4.1 apresenta o esquema do problema e a
figura 4.2, a malha utilizada na presente análise.
Figura 4-1: Esquema da coluna para adensamento unidimensional.
Detournay e Cheng (1993) considerando uma distribuição de tensão
uniforme chegaram a seguinte equação, em termos de pressão de poros, para
solução deste problema.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 80
02
2
x
pc
t
p (4.1)
Em que, c é o coeficiente de difusividade dado por:
u
ukGc
1)21(
)1(22
(4.2)
em que k é a permeabilidade, G é o módulo cisalhante, é o coeficiente de
Poison, u é o coeficiente de Poison não drenado e é o coeficiente de Biot que
representa a relação entre a compressibilidade da matriz ou esqueleto sólido, dada
pelo módulo volumétrico K em relação à compressibilidade dos grãos Ks, sendo:
sK
K 1 (4.3)
A pressão de poros não drenada é dada por:
GS
ppu
* (4.4)
em que:
)1(2
)21(
(4.5)
)1(
)1(3
GS u (4.6)
KK
K
1 (4.7)
Nessas equações K é módulo volumétrico do fluido e representa o
coeficiente de Skempton.
Considerando as coordenadas adimensionais = x/L e = ct/4L2, a pressão
de poros ao longo da coluna para qualquer tempo é dada por:
,1 1
*
FGS
pp (4.8)
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 81
em que:
,...3,11
22
2
41,
m
mem
senm
F
(4.9)
Ainda, a solução para os deslocamentos no tempo inicial é dado por:
1
12
21*
u
uuy
G
Lpu (4.10)
e ao longo do tempo o incremento de deslocamento é
,
1122
*
FG
Lpu
u
uy
D (4.11)
em que:
,...3,1222
22
12
cos8
,m
mem
mF
(4.12)
Para análise do problema de adensamento unidimensional são utilizadas as
propriedades mostradas na Tabela 4.1.
Tabela 4-1: Parâmetros utilizados no exemplo de coluna poroelástica
G
(MPa)
ν Ks
(MPa)
K
(MPa)
K
(m2)
μ
(MPa s)
p*
(MPa)
L
6000,0 0,2 36000,0 2887,0 0,19 1,9.10-13 1,0.10-9 1,0 7,0
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 82
Figura 4-2: Malha utilizada nas análises, elementos Q4, 300 elementos finitos.
Os Gráficos 4-1, 4-2 e 4-3 apresentam os resultados numéricos comparados
ao resultado analítico.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 83
Gráfico 4 - 1: Pressão de poros na base da coluna.
Gráfico 4 - 2: Evolução no tempo da distribuição de pressão de poros ao longo da coluna.
Poro-pressão na base da coluna x tempo - DT=0,01
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tempo (s)
Po
ro-p
res
são
na
ba
se
da
co
lun
a (
MP
a)
Analitico
Numérico
Poro-pressão ao longo da coluna DT=0,01
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4 5 6 7
x (m )
Po
ro-p
ressão
(M
Pa)
Analitico - 10s
Numérico - 10s
Analitico - 25s
Numérico - 25s
Analítico - 50s
Numérico - 50s
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 84
Gráfico 4 - 3: Deslocamento no topo da coluna.
A partir da solução clássica de Detournay e Cheng (1993), solução da
poropressão ao longo do eixo vertical, pode se obter o perfil de velocidade v ao
longo da coluna, bastando derivar a expressão de poropressão, equação (4.8), e
multiplicar pela razão k/, de tal forma:
,...3,1
*
22
2cos2
m
m
L
em
GS
pkv
(4.13)
O gráfico 4-4 apresenta o perfil de velocidade para diferentes tempos de
análise e o gráfico 4-5 apresenta a velocidade para o topo da coluna ao longo do
tempo.
0,000275
0,000300
0,000325
0,000350
0,000375
0,000400
0,000425
0,000450
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tempo (s)
Deslo
cam
en
to d
o t
op
o d
a c
olu
na (m
)
Analitico
Numérico
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 85
Gráfico 4 - 4: Perfil de velocidade ao longo da coluna para vários tempos.
Gráfico 4 - 5: Velocidade ao longo do tempo para o topo da coluna.
Velocidade do Fluido ao longo da coluna - DT=0,01
0,00E+00
2,50E-06
5,00E-06
7,50E-06
1,00E-05
1,25E-05
0 1 2 3 4 5 6 7
x (m)
Velo
cid
ad
e d
o F
luid
o (
m/s
)
Analitico - 10s
Numérico - 10s
Analitico - 25s
Numérico - 25s
Analítico - 50s
Numérico - 50s
Velocidade do Fluido no topo da coluna - DT=0,01
0,00E+00
1,00E-05
2,00E-05
3,00E-05
4,00E-05
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tempo (s)
Velo
cid
ad
e d
o F
luid
o (
m/s
)
Analitico - 10s
Numérico - 10s
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 86
De outra forma, como colocado na equação (2.61), para obtenção da
porosidade, aqui reapresentada, tem-se:
dpK
K
Kdp
Kd
KKd
mmmm
2
111
11 (4.14)
rearranjando, vem:
KK
dpdKKd
m
m
(4.15)
dpdK
d 1
(4.16)
De acordo com Detournay e Cheng (1993) as tensões podem ser obtidas
realizando:
3
zyx dddd
(4.17)
dp
Gd yy
21
12 (4.18)
dpdd yx
2
1
(4.19)
xz dd (4.20)
O gráfico 4-6 apresenta a comparação dos resultados obtidos pela
implementação realizada e pela solução analítica, para a porosidade ao longo do
tempo para a base da coluna.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 87
Gráfico 4 - 6: Porosidade ao longo do tempo de análise para a base da coluna, calculada no
primeiro ponto de Gauss acima da base.
Uma conclusão geral de todos gráficos é que em todas as análises existe
uma boa concordância entre as soluções analíticas e os resultados obtidos pela
implementação realizada.
Um ponto importante a ser destacado é a necessidade de equivalência para a
entrada da compressibilidade do meio sólido e da matriz na solução analítica e na
implementação realizada, uma vez que na solução analítica a entrada é através da
utilização da compressibilidade do sólido Ks = 36000MPa e = 0.778; enquanto
que na implementação realizada, introduz-se diretamente o valor de Ks =
30000MPa.
4.3.
Escoamento entre Placas
Neste exemplo, apresentado em Correa (2006), avalia-se o cálculo da
velocidade pós-processada através da eei de Darcy, comparando-a com a solução
analítica deste problema. Este exemplo trata do escoamento de um fluido num
meio heterogêneo constituído de duas camadas paralelas com permeabilidades
-1,8E-06
-1,6E-06
-1,4E-06
-1,2E-06
-1,0E-06
-8,0E-07
-6,0E-07
-4,0E-07
-2,0E-07
0,0E+00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tempo (s)
Vari
ação
de p
oro
sid
ad
e
Analitico
Numérico
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 88
distintas, k1 = 2.k2, devido a um diferencial de pressão unitário (DP = 1) na
direção horizontal. Esta situação conduz a solução trivial em que a velocidade em
cada camada é dada por vx2 = 2.vx1.
A figura 4.3 apresenta um esquema do problema, bem como a malha
utilizada. Os seguintes dados são aplicados ao problema: K1 = 2, K2 = 1, P0 = 1, P1
= 0, L = 2, H = 1.
a) b)
Figura 4-3: Esquema do problema de escoamento entre placas paralelas (a), extraído de Correa
(2006) e malha de elementos finitos utilizada, 200 elementos Q4 (b).
Como solução trivial para a velocidade tem-se, vx2 = 2.vx1 = 1. A figura 4.4
apresenta o resultado encontrado pela implementação para a velocidade vx ao
longo da altura H, observa-se uma boa concordância entre as soluções.
a) b)
Figura 4-4: Perfil de velocidade vx ao longo da altura H (a), e mapa de velocidades, cor azul
representa vx=0.5 e cor vermelha vx=1.0 (b).
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 89
4.4.
Escoamento com Barreiras
Neste exemplo busca se avaliar a solução implementada por pós-
processamento global proposto por Malta et al (2001) e Loula et al. (1995) para a
velocidade. Inicialmente esse problema foi proposto por Mosé et al (1998) e
estudado também por Correa (2006) e Ney (2002).
A figura 4.5 apresenta a representação esquemática do problema em que se
simula o escoamento em meio poroso onde o fluxo é forçado a passar por um
canal delimitado por duas faixas de baixa condutividade. As condições de
contorno e os parâmetros utilizados são mostrados também na figura 4.6. A figura
4.6 apresenta a malha empregada na análise.
A figura 4.7 apresenta os campos de velocidade pós-processados
diretamente através da lei de Darcy e tal como proposto por Malta el al (2001).
Através dos perfis mostrados na figura 4-8 observa-se, justamente na junção entre
materiais diferentes a variação entre as implementações. No caso do pós-
processamento na lei de Darcy existe uma queda mais brusca no campo de
velocidades.
Figura 4-5: Esquema do problema de escoamento entre barreiras, condições de contorno
aplicadas e dados dos materiais utilizados.
Condições de Contorno
Dados dos materiais:
K1= 1
K2= 1.10-5
P = 1
P = 0
Fluxo nulo
P = 1
P = 0
Fluxo nulo
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 90
Figura 4-6: Malha empregada na análise do exemplo de escoamento entre barreiras, 625
elementos Q4.
a)
BE
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 91
b)
Figura 4-7: Campos de velocidade vy e perfil de velocidade vy ao longo de BE: (a) pós-
processamento global, (b) lei de Darcy.
Da figura 4.7 observa-se uma aproximação das velocidades mais
pronunciadas na interface entre os diferentes meios no caso de pós-processamento
global indicando mais fortemente o contraste de permeabilidade.
4.5.
Pós-processamento da Velocidade Através de Elementos de Raviart-
Thomas
Este exemplo simples, apresentado por Ribeiro (1996), por possuir solução
analítica conhecida, é utilizado para verificar o cálculo do campo de velocidade
utilizando os elementos de Raviart-Thomas de mais baixa ordem.
Dado o campo de pressão p (equação 4.21) mostrado na figura 4.8,
aplicado ao domínio (0,15)x(0,6), e utilizando espaçamentos vertical e horizontal,
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 92
Dx = Dy = 1 e meio homogêneo, k = 1 e considerando C = 0.8333, o campo de
velocidades pela solução analítica é dado pela expressão 4.22.
1212
2222 yx
CyyxxpD
D
(4.21)
12
12
y
x
v
vv
y
x (4.22)
Figura 4-8: Campo de pressão aplicado.
As expressões para vx e vy dadas na equação 4.22 representam retas nessas
direções, respectivamente, e são representadas no gráfico 4-7 juntamente com os
resultados utilizando a implementação do elemento de Raviart-Thomas. Observa-
se a concordância exata entre as soluções, mesmo resultado encontrado por
Ribeiro (1996).
a)
Poro P ressure
+0.00E+000
+1.36E+001
+2.71E+001
+4.07E+001
+5.42E+001
+6.78E+001
+8.13E+001
+9.49E+001
+1.08E+002
+1.22E+002
+1.36E+002
+1.49E+002
+1.63E+002
+1.76E+002
+1.90E+002
+2.03E+002
+2.17E+002
+2.30E+002
+2.44E+002
+2.57E+002
+2.71E+002
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 93
b)
Gráfico 4 - 7: Comparações entre os resultados da solução analítica e da implementação de
elementos de RT: (a) vx ao longo de y = 3,5, e (b) vy ao longo de x = 7,5.
Para validação da implementação do pós processamennto utilizando
elementos de RT0 em malhas não estruturadas, esse mesmo exemplo é estudado
para esse caso, a figura 4.9 apresenta os campos de velocidade na direção x, vx,
para quatro casos: malha quadrilateral estruturada, malha quadrilateral não
estruturada e malha triangular estruturada, malha triangular não estruturada é
realizado um teste com malha não estruturada. A figura 4.10 apresenta ainda uma
outra abordagem do mesmo problema, onde a malha da figura 4.8 é rotacionada a
45º no sentido anti-horário e aplicado o campo de pressão dado pela equação
(4.21). A figura em questão, 4.10, apresenta o campo de velocidade na direção x,
vx, coincidente com os resultados da figura 4.9.
Destas figuras, observa-se uma boa concordância para ambos os resultados,
verificando-se assim a correta implementação do pós processamento utilizando
RT0.
Figura 4-9: Campos de velocidade vx para malhas estruturadas e não estruturadas obtidas
através de RT0.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 94
Figura 4-10: Campos de velocidade vx para malha estruturada inclinada obtido através de RT0.
4.6.
Fluxo Bifásico Unidimensional – Método MEF – Galerkin
Nesse exemplo é utilizado um exemplo de fluxo unidimensional em um
reservatório utilizando a formulação apresentada no capítulo 3 para a formulação
parabólica e com a formulação apresentada por Muller (2007). Tem como
objetivo avaliar a capacidade do MEF – Galerkin de capturar a frente de saturação
no caso de pressão capilar nula e com dados iniciais mais próximos aos dados de
campos reais Muller (2007).
A figura 4.11 apresenta esquematicamente o problema fluxo unidimensional
que consiste da análise de um reservatório de comprimento L com pressão inicial
de óleo (Po) de 36MPa e totalmente preenchido com óleo (So=1), na condição de
pressão capilar nula (PC=0). É aplicada um pressão de fundo de poço (Pwl) de
30MPa e com saturação de 0,527.
A tabela 4.2 apresenta os parâmetros utilizados na análise e a figura 4.12
apresenta a malha de elementos finitos empregada.
Figura 4-11: Esquema do problema de reservatório.
Sw
So, Po
Pwl
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 95
Figura 4-12: Malha utilizada Q4, 192 elementos.
Tabela 4-2 : Parâmetros e condições de contorno empregados no exemplo de fluxo bifásico
unidimensional
Pwl
(MPa)
P0
(MPa)
μnw
(Pa.s)
μw(Pa.s) Srnw = Srw L (m) Pc
30 36 1,0.10-9 0,4.10-9 0,19 0,0 6 0,0
O Gráfico 4.8 apresenta a evolução no tempo do perfil de saturação obtido
numericamente utilizando o MEF – Galerkin. Observa-se que, para as condições
analisadas, o perfil de saturação encontrado é suave não indicando uma frente de
saturação pronunciada sugerindo um efeito de suavização devido ao MEF –
Galerkin, não condizente com o resultado esperado, como será visto no próximo
exemplo.
Gráfico 4 - 8: Perfil de saturação ao longo do reservatório
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Eixo x - (m)
Satu
raçã
o flu
ido
mol
han
te -
Sw
2s 5000s 50000s 100000s 200000s - 2,31d 300000s 400000s 500000s - 5,8 d
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 96
4.7.
Fluxo Bifásico Unidimensional – Método MEFD
Nesse item, para validação da formulação pelo MEFD, é analisado o
exemplo clássico de Buckley-Leveret, que consiste no deslocamento de um fluido
em uma camada unidimensional por injeção de outro fluido, sendo os fluidos
imiscíveis.
Os dados utilizados para esse exemplo são os mesmo utilizados por
Dulorsfy (1993) e Mendonça (2003). A velocidade total é fixada em vt = 1, com
condição de contorno em x = 0, de Sw = 1, e como condição inicial, t = 0, Sw = 0,
em todo o meio, considerado homogêneo.
Adota-se uma porosidade de 0,2 e uma relação de viscosidade não-
molhante/molhante de 5. As relações de permeabilidades relativas das fases
molhante e não-molhante são dadas respectivamente por 2wrw Sk e
21 wrnw Sk .
O domínio analisado, (0,4)x(0,1), é discretizado em elementos quadrilaterais
como mostrado na figura 4.13.
Figura 4-13: Malhas utilizadas Q4, 320 e 160 elementos.
A figura 4.14 apresenta os resultados para o perfil de saturação nos tempos
t=0,1s, 0,2s, 0,3s, 0,4s e 0,5s, para solução analítica, curva pontilhada e tracejada,
e a solução via volumes finitos, curva pontilhada, e solução via elementos finitos
descontínuos, linha continua. Verifica-se uma boa concordância nas soluções,
entretanto, para esse caso a solução via MEFD, melhor se aproxima da solução
analítica.
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 40
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
3 . 5
4
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 40
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
1 . 6
1 . 8
2
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 97
Figura 4-14: Perfil de saturação ao longo de x para formulação em volumes finitos, curva em
pontos, elementos finitos descontínuos, linha continua e solução analítica, curva em traço e
ponto .
4.8.
Fluxo Bifásico Bidimensional – Problema dos Cinco Poços
Ainda para verificação da implementação computacional da formulação do
fluxo bifásico via MEFD é apresentado um dos problemas clássicos em
engenharia de petróleo, o qual consiste de um sistema de cinco poços em um
domínio quadrangular, sendo quatro poços produtores (um em cada vértice), e um
poço injetor (no centro). Este problema foi estudado por vários autores (Dulorfsky
(1993), Mendonça (2003)) e considera o meio completamente preenchido por um
fluido sendo deslocado por outro fluido.
Adota-se uma porosidade de 0,2 e uma relação de viscosidade não-
molhante/molhante de 1. As relações de permeabilidades relativas das fases
molhante e não-molhante são dadas respectivamente por 2wrw Sk e
21 wrnw Sk .
A figura 4.15 apresenta o esquema do problema em que se pode verificar a
possibilidade de uma análise simétrica em dois eixos. O meio inicialmente está
totalmente preenchido com óleo So = 1 em todo o domínio, e é aplicada uma
condição de contorno de vazão unitária no centro, em P0, injeção, e em P1,
extração.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 98
Figura 4-15: Esquema do problema de cinco poços.
A figura 4-16 mostra a evolução no tempo da frente de saturação. Os
resultados são bastante concordantes com os encontrados nos trabalhos de
Dulorfsky (1993), Mendonça (2003).
P1 P2
P3 P4
P0
P0 = Poço Injetor
P1..4 = Poços Produtores
Dupla simetria
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 99
a) b)
c) d)
e) f)
Figura 4-16: Evolução da frente de saturação para vários tempos. a) t=0,7s, b) t=4,2s, c) t=7,7s,
d) t=11,2s, e) t=14,7s, f) t=19,6s.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 100
4.9.
Fluxo Bifásico Bidimensional – Problema dos Cinco Poços – Meio
Heterogêneo
De forma a analisar a implementação para meios heterogêneos, o problema
de cinco poços da seção anterior é agora analisado considerando um campo de
permeabilidade variável. São empregados os mesmos dados do problema anterior
e o campo de permeabilidade aleatório em kx e ky, a figura 4.17 apresenta o campo
de permeabilidade aleatório gerado para kx, é utilizada uma malha de 32x32
elementos.
Figura 4-17: Campo de permeabilidade Kx aleatório.
A figura 4.18 mostra a evolução no tempo da frente de saturação para vários
tempos para o campo de permeabilidade variável. Dada uma variação regular no
campo de permeabilidade, a variação no campo de saturação se dá também de
forma regular.
Neste exemplo verificou-se a consistência da implementação via MEFD para o
caso de meio heterogêneo aleatório considerando que o resultado encontrado não
apresentou oscilações não condizentes com o esperado para o exemplo em estudo.
+1.92E-001
+5.75E-001
+9.58E-001
+1.34E+000
+1.72E+000
+2.11E+000
+2.49E+000
+2.87E+000
+3.26E+000
+3.64E+000
+4.02E+000
+4.40E+000
+4.79E+000
+5.17E+000
+5.55E+000
+5.94E+000
+6.32E+000
+6.70E+000
+7.08E+000
+7.47E+000
+7.85E+000
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 101
a) b)
c) d)
e) f)
Figura 4-18: Evolução da frente de saturação para vários tempos, kx, aleatório. a) t=0,7s, b)
t=4,2s, c) t=7,7s, d) t=11,2s, e) t=14,7s, f) t=19,6s.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 102
4.10.
Adensamento unidimensional para caso de Sw = 1
Nesse exemplo o problema de adensamento unidimensional apresentado na
seção 4.2 é revisitado para a situação em que o meio é analisado com a
formulação de fluxo bifásico com acoplamento mecânico na situação em que o
meio é descrito como monofásico em que a saturação de um dos fluidos é 100%.
Diferente da seção 4.2 este exemplo resolve as equação de pressão,
velocidade, saturação junto com o problema mecânico. Assim, a resposta do
sistema deve ser a mesma que o problema de fluxo monofásico acoplado como
analisado na seção 4.2.
São utilizadas as mesmas propriedades empregadas no problema da seção
4.2.
O Gráfico 4.9 apresenta o comportamento do deslocamento do topo da
coluna em condição de fluxo bifásico com acoplamento mecânico para o caso de
Snw = 1. Observa-se uma boa concordância entre a solução analítica e a encontrada
na presente formulação.
De forma semelhante, o Gráfico 4.10 apresenta a variação da poro-pressão
na base da coluna em conjunto com a solução analítica, novamente, observa-se
uma boa concordância entre os resultados.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 103
Gráfico 4 - 9: Deslocamento no topo da coluna.
Gráfico 4 - 10: Pressão de poros na base da coluna.
0,000275
0,000300
0,000325
0,000350
0,000375
0,000400
0,000425
0,000450
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tempo (s)
Deslo
cam
en
to d
o t
op
o d
a c
olu
na (m
)
Analitico
Numérico
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tempo (s)
Po
ro-p
ressão
na b
ase d
a c
olu
na (
MP
a)
Analitico
Numérico
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 104
4.11.
Fluxo Bifásico em Reservatório Estratificado
Neste exemplo é analisada a condição de fluxo bifásico em meios
heterogêneos para o caso de pressão capilar nula e pelo MEFD. A figura 4.19
apresenta o esquema empregado na análise constituído de camadas de diferentes
propriedades sobrepostas.
A tabela 4.3 apresenta os dados gerais do problema, destacando que k2=10-
5k1. Este exemplo foi extraído de Hoteit et al (2008) . O domínio do problema é
definido para L = 500 e H = 270. A figura 4.20 mostra a malha empregada em
ambas análises, sendo formada por 4500 elementos do tipo Q4 e 4641 nós.
Figura 4-19: Esquema do problema fluxo bifásico em meio heterogêneo.
Figura 4-20: Malha empregada na análise do problema de fluxo bifásico em meio heterogêneo.
Tabela 4-3: Parâmetros utilizados no exemplo de fluxo bifásico em meio heterogêneo
Pressão Capilar Nula
Q ρnw = ρw Knw Kw Srnw = Srw μnw = μw K1
1,0 1,0 (Srw)2 (1-Srw)2 0,2 0,0 1,0 1,0
K1 qw
Sw = 1
K2
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 105
Neste exemplo considera-se o caso em que Pc = 0, em que uma frente de
saturação é bem caracterizada sem suavização da solução. A figuras de 4.21a a
4.21e mostram a evolução no tempo da frente de saturação. Estas configurações
da frente de saturação nas camadas se aproximam qualitativamente bem ao
resultado desse mesmo problema apresentado em Hoteit et al (2008), figura 4.22,
validando assim a implementação e a capacidade de para captura da frente em
meios heterogêneos. A comparação qualitativa é realizada dado que as
propriedades, parâmetros e modelos são distintos do presente trabalho e o trabalho
de Hoteit et al. (2008).
a)
b) c)
d) e)
Figura 4-21 : Perfis de saturação para vários tempos, meio heterogêneo. a) t=0s, b) t=1,s, c)
t=2s, d) t=3s, e) t=4s.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 106
Figura 4-22: Campo de saturação para meio heterogêneo, extraído de Hoteit et al (2008)..
4.12.
Fluxo Bifásico em Falhas
Esse problema foi elaborado para exemplificar a aplicação da formulação
proposta em meios constituídos por falhas geológicas e a aplicabilidade em meios
geológicos complexos. Ainda tem como objetivo analisar a utilização de modelo
de variação da permeabilidade com a porosidade e sua influência na frente de
saturação em problema de pressão capilar nula.
A figura 4.23 apresenta a representação esquemática do problema, que
consiste de meio retangular com uma falha geológica na direção horizontal.
Figura 4-23: Esquema do problema fluxo bifásico em falhas.
K1
K2
qw
Sw = 1
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 107
A falha é representada por elementos finitos de pequena espessura (6 m) e
com propriedades diferentes do meio circundante, a Tabela 4.4 mostra os dados
empregados nas análises, nesse caso também se tem K2=10-5K1.
Tabela 4-4 : Parâmetros utilizados no exemplo de fluxo bifásico em meio heterogêneo
Pressão Capilar Nula
Q ρnw = ρw Knw Kw Srnw = Srw μnw = μw K1
1,0 1,0 (Srw)2 (1-Srw)2 0,2 0,0 1,0 1,0
O domínio do problema é definido para L=500 e H=270. A figura 4.20
mostra a malha empregada em ambas análises, sendo formada por 4500 elementos
do tipo Q4 e 4641 nós.
a)
b) c)
d) e)
Figura 4-24: Perfis de saturação para vários tempos, meio heterogêneo. a) t=0s, b) t=1s, c) t=2s,
d) t=3s, e) t=4s.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 108
4.13.
Fluxo Bifásico Acoplado em Falhas
Neste exemplo estuda-se a mesma situação do item 4.12 em termos de
fluxo, utilizando-se os dados da tabela 4.4, porém considerando o acoplamento
mecânico com fluxo e a variação da porosidade com o fluxo e deformação e
conseqüente variação na permeabilidade. A figura 4.25 apresenta a representação
esquemática do problema, que consiste de meio retangular com uma falha
geológica na direção horizontal e a figura 4.26 mostra as condições de contorno
em deslocamento empregadas.
Figura 4-25: Esquema do problema fluxo bifásico acoplado em falhas
Ambas as camadas são consideradas homogêneas e com comportamento
linear elástico, com E = 14400GPa e = 0,2 e porosidade variando de acordo com
a equação de Carman-Kozeni (equação 2.62).
É aplicada a condição de contorno de deslocamento restrito na direção
horizontal nos bordos laterais e na direção vertical na base. É aplicado um
carregamento de poro pressão P = 10MPa na face direita com Sw = 1.
qw
Sw = 1
K1
K2
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 109
Figura 4-26: Condições de contorno do problema de fluxo bifásico em falhas.
O Gráfico 4.11 apresenta a variação do perfil de saturação ao longo da
horizontal passando pela falha. Verifica-se o maior avanço da frente de saturação
quando se tem a variação da permeabilidade com a saturação sugerindo aumento
da permeabilidade.
Gráfico 4 - 11: Variação da frente de saturação de água ao longo da coluna para t=7s.
4.14. Análise Acoplada de Fluxo Bifásico em Reservatório Fraturado
Neste exemplo é analisado um exemplo onde é considerado o acoplamento
mecânico e fluxo bifásico para o caso de um meio poroso descrito pelo modelo de
Mohr-Coulomb, onde é mostrado o comportamento das deformações e do campo
de saturação. Para este caso, a geometria e dados do exemplo analisado na seção
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 100 200 300 400 500
Eixo X
Sw
PermeabilidadeConstante
Permeabilidade Variável
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 110
4.14 são considerados e ainda os parâmetros de poroelastoplasticidade são: para o
meio cincundante: modelo de Mohr Coulomb com coesão igual a 10MPa, ângulo
de atrito igual a 30º, módulo E igual a 14400 GPa, e ν igual a 0.2, para a falha,
módulo E igual a 1440 GPa, e ν igual a 0.2: coesão igual a 1MPa, ângulo de atrito
igual a 30º.
Este exemplo tem como objetivo verificar o comportamento mecânico do
meio devido ao avanço da frente de saturação, dado que na literatura
especializada, os exemplos para análise quantitativa são de difícil comparação e
realização.
A figura 4.13 apresenta a malha empregada na presente análise, são
considerados elementos quadrilaterais estruturados no meio circundante à falha e
elementos quadrilaterais não estruturados no interior da falha. As condições de
contorno são as mesmas aplicadas no exemplo da seção 4.13.e permeabilidade
contantes
Gráfico 4 - 12: Variação da frente de saturação de água ao longo da coluna para t=7s.
As figuras 4.27, 4.28 e 4.29 apresentam os campos de distribuição de
saturação, tensão principal maior, e deformação volumétrica para vários passos de
tempo distintos. Verifica-se claramente a influência dos campos de pressão-
saturação nas deformações do meio.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 111
a)
b) c)
d) e)
Figura 4-27: Evolução dos campos de saturação para vários tempos, reservatório com falha. a)
t=0s, b) t=3s, c) t=6s, d) t=9s, e) t=11s.
a)
b) c)
+0.00E+00 0
+5.00E-002
+1.00E-001
+1.50E-001
+2.00E-001
+2.50E-001
+3.00E-001
+3.50E-001
+4.00E-001
+4.50E-001
+5.00E-001
+5.50E-001
+6.00E-001
+6.50E-001
+7.00E-001
+7.50E-001
+8.00E-001
+8.50E-001
+9.00E-001
+9.50E-001
+1.00E+00 0
-1.11E+001
-1.10E+001
-1.09E+001
-1.09E+001
-1.08E+001
-1.07E+001
-1.07E+001
-1.06E+001
-1.06E+001
-1.05E+001
-1.04E+001
-1.04E+001
-1.03E+001
-1.03E+001
-1.02E+001
-1.01E+001
-1.01E+001
-1.00E+001
-9.95E+000
-9.89E+000
-9.83E+000
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 112
d) e)
Figura 4-28: Evolução dos campos de tensão efetiva máxima para vários tempos, reservatório
com falha. a) t=0s, t=3s, c) t=6s, d) t=9s, e) t=11s.
a)
b) c)
d) e)
Figura 4-29: Evolução do campo de deformação volumétrica para vários tempos, reservatório
com falha. a) t=0s, t=3s, c) t=6s, d) t=9s, e) t=11s.
-5.84E-004
-5.79E-004
-5.73E-004
-5.68E-004
-5.63E-004
-5.58E-004
-5.53E-004
-5.47E-004
-5.42E-004
-5.37E-004
-5.32E-004
-5.27E-004
-5.22E-004
-5.16E-004
-5.11E-004
-5.06E-004
-5.01E-004
-4.96E-004
-4.91E-004
-4.85E-004
-4.80E-004
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 113
4.15.
Fluxo Bifásico em Coluna Unidimensional
Neste problema, é resolvido novamente o exemplo do item 4.7, o fluxo
bifásico em uma coluna unidimensional, inicialmente a coluna é preenchida por
óleo So = 1 e é injetada água na face direita da coluna com Sw = 1, sendo utilizados
os mesmos dados desse exemplo, exceto que o eixo x possui L = 4m.
Diferente do resultado mostrado no item 4.7 é agora analisado o caso da
variação da pressão de água em relação ao eixo horizontal, o Gráfico 4-12
apresenta essa variação ao longo do eixo horizontal.
Gráfico 4 - 13: Variação da pressão de água ao longo da coluna para vários tempos.
Esse resultado mostra-se importante pela existência de picos de variação de
pressão de água ao longo do eixo horizontal, como referido em Papamichos et al
(2009). A existência desse pico decorre claramente da existência de frente de
saturação, já que a pressão é dependente da saturação através da permeabilidade
relativa dependente da saturação.
Essa análise foi realizada com o intuito de verificar um eventual mecanismo
formador de produção de areia em experimentos e casos de campo, já que os picos
na variação da pressão podem induzir ao carreamento de partículas e/ou ao efeito
na resistência da rocha em caso de fluxo bifásico acoplado.
0
5
10
15
20
25
30
35
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
x
DP
/ Dx
t=6st=5st=4st=3st=2st=1s
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 114
4.16.
Comparação de Tempo de Processamento
Uma primeira análise do tempo de processamento das implementações
realizadas se referiu ao tempo necessário para pós-processamento da velocidade
utilizando a técnica de elemento por elemento e a técnica de pós-processamento
global proposta por Malta et al (2001).
A tabela 4.5 apresenta os tempos necessários para ambas as análises e é
utilizado o exemplo estudado no item 4.5, o problema posto na forma global é
resolvido utilizando o método do gradiente conjugado. Para esses resultados
foram utilizados duas malhas, M1 e M2, com a mesma geometria do exemplo
abordado no item 4.5, sendo a M1 constituída de 112 nós e 90 elementos Q4 e M2
constituída de 403 nós e 360 elementos Q4.
Como esperado, para esse problema e com a implementação realizada, o
tempo requerido para o pós-processamento global apresenta-se superior à técnica
elemento por elemento seja por elementos finitos clássicos (EF) seja elementos
finitos de RT0.
Tabela 4-5: Tempo de pós-processamento da velocidade para diferentes malhas
Tempo de processamento da velocidade.
M1 M2
Elemento x Elemento
Global
Elemento x Elemento
Global
EF RT0 EF RT0
0,01s 0,01s 0,15s 0,13s 0.5s 115,17s
Outra análise de tempo de processamento foi realizada comparando-se dois
métodos distintos: MVF e MEFD, para isso foi utilizado o problema proposto no
item 4.11. Como referido nesse item tem-se nessa malha 4500 elementos do tipo
Q4 e 4641 nós.
Exemplos de Verificação das Formulações
para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 115
A Tabela 4.6 apresenta os tempos necessários para ambas as análises. O
MEFD mostra-se competitivo quando comparado ao MVF para esse problema
relativamente simples.
Tabela 4-6:Tempo de pós-processamento para diferentes métodos
MVF MEFD
152s 187s
Todos os cálculos de tempo de processamento foram feitos utilizando um
Computador Intel Core 2 Quad, 2,66GHz, 3GB RAM.
5.
Conclusões e sugestões para trabalhos futuros
5.1.
Conclusões
Uma intensa pesquisa dos métodos de solução do problema de
comportamento parabólico-hiperbólico de fluxo bifásico foi realizada, dadas as
instabilidades encontradas pelos métodos clássicos de solução, como visto na
literatura. Alternativas foram pesquisadas e implementadas como afirmam os
exemplos realizados, as soluções se mostram adequadas sob o ponto de vista da
engenharia, cumprindo um dos objetivos delineados na introdução desse trabalho.
Uma etapa inicial realizada foi a tentativa de se obter via MEF clássico, o
perfil de saturação para o caso de pressão capilar nula, o que não foi eficiente,
pois o MEF clássico possui restrições quando o comportamento das equações
governantes se torna hiperbólica, o que já é referido na literatura no tema. Dada
essa condição, buscou-se outros métodos mais eficientes para a captura da frente
de saturação quando do caso de pressão capilar nula.
Considerando primeiramente a implementação disponível para o MEF
clássico, Muller (2007), buscou-se como segunda alternativa, o MVF combinado
com MEF clássico para aproveitamento da implementação realizada. Nesse
método o sistema de equações é posto como do tipo hiperbólico, como visto no
capítulo 2, em que o sistema consiste de uma equação da pressão, resolvida pelo
MEF clássico, um pós-processamento da velocidade através de um dos métodos
descrito no capítulo 3, seção 3.2.2, e a solução da equação da saturação via MVF,
sendo a equação da pressão discretizada temporalmente pelo método implícito e a
equação da saturação pelo método explícito.
Os resultados encontrados utilizando essa segunda alternativa se mostram
adequados na captura da frente de saturação, bem como quando do acoplamento
Conclusões e sugestões para trabalhos futuros 117
mecânico, entretanto esse método requer uma aproximação da porosidade para
meios heterogêneos, já que a implementação realizada é a de elementos baseados
no vértice, o que traz uma aproximação da heterogeneidade inicial do meio
geológico. Outra desvantagem do MVF é a necessidade da construção de uma
malha de volumes finitos sobre a malha de elementos finitos.
Ainda dentro dessa alternativa pesquisou-se alguns métodos de obtenção da
velocidade no passo intermediário. A primeira como interpolação por elemento
diretamente do campo de pressões obtido no passo anterior, a segunda como a
proposição de Malta et al (2001) e uma terceira interpolação por elemento
utilizando elementos finitos de mais baixa ordem de Raviart-Thomas RT0.
As vantagens e desvantagens de cada um desses são também encontradas na
literatura, a proposição por elemento é reconhecidamente um procedimento mais
rápido em termos de processamento, a formulação proposta por Malta et al possui
a vantagem de colocar as velocidades com mesmo grau de interpolação das
pressões, mas apresenta como desvantagem a dependência do parâmetro . A
utilização de elementos de RT0 possui como característica a interpolação na aresta
do elemento contando com a continuidade da velocidade no sentido normal e a
possibilidade de descontinuidade da velocidade no sentido normal a interface
entre elementos, característica essa mais próxima do que se deve ter em meios
heterogêneos.
Os exemplos utilizados para validação desses três métodos foram extraídos
da literatura para o caso de fluxo monofásico. Ainda assim foi elaborada uma
solução analítica, baseada na solução do problema de adensamento
unidimensional para a obtenção da velocidade e da porosidade, os resultados
encontrados validam as implementações realizadas.
Aproveitando a estrutura implementada, uma terceira alternativa foi
avaliada: a utilização do MEFD que agrega vantagens do MEF clássico com as
vantagens do MVF, a saber: possibilidade de utilização da mesma estrutura de
malha do MEF sem interpolação de propriedades e aplicação de interpolação
espacial para a captura de frente de saturação do MVF, embora com custo
computacional maior. Os exemplos analisados e os resultados encontrados
sugerem uma boa aproximação com os revistos na literatura.
Conclusões e sugestões para trabalhos futuros 118
Nos parágrafos anteriores foram abordados os aspectos referentes ao
problema de fluxo bifásico, o problema mecânico implementado, segue o
proposto por Muller (2007), posto em forma de programação matemática e
apresentado também nesse trabalho. Foram analisados dois casos de acoplamento
fluido mecânico, um para validação do acoplamento utilizando o pseudo-
adensamento unidimensional, com a imposição da saturação de água unitária
(Sw=1) e um exemplo de um reservatório preenchido com óleo e com
carregamento no topo e injeção de agua em uma das faces como fim de avaliação
dos campos de saturação e pressão nos campo de deslocamento sendo que a
utilização do procedimento staggered para acoplamento fluido mecânico se
mostrou eficiente.
Nas diversas formulações os termos difusivos devido a pressão capilar
existente são considerados como constantes em cada elemento, entretanto como
discutido em Helmig (1998), essa pode não ser a melhor alternativa dependendo
do problema.
Esses exemplos sugerem que a implementação realizada apresenta-se como
uma boa ferramenta para aplicação a casos reais.
5.2. Sugestões para trabalhos futuros
O desenvolvimento do presente trabalho se baseou enormemente na
implementação realizada por Muller (2007), agregando outras potencialidades,
como descrito nos parágrafos anteriores; basicamente a inclusão de outros
métodos de solução do problema de fluxo bifásico. Considerando essas
potencialidades, diversas oportunidades de desenvolvimento de futuros trabalhos
podem ser sugeridas, sejam como ponto de partida para novos trabalhos, sejam
para melhor avaliação dos métodos incluídos:
1. Pesquisa e implementação de diferentes modelos de
comportamento tensão-deformação-resistência para o comportamento
mecânico do meio poroso.
Conclusões e sugestões para trabalhos futuros 119
2. Implementação de formulações para análise de fluxo de
contaminantes agregando a potencialidade das implementações de pós-
processamento da velocidade.
3. Análise da condição crítica de passos de tempo para estabilidade
das soluções bem como da necessária análise mais aprimorada da
convergência dessas soluções.
4. Implementação de outros elementos finitos, bem como para
análise 3D.
5. Implementação de procedimento de produção de areia seguindo
o elaborado por Muller (2009), acoplando-o à condição de fluxo bifásico.
6. Implementação de procedimentos mais eficientes de solução dos
sistemas, com a implementação de estrutura por aresta no MVF e ainda de
paralelização do MEFD.
7. Os exemplos mostrados para validação consideraram apenas a
condição de pressão capilar nula. Como discutido em Helmig (1998), uma
avaliação de outras formas possíveis de inclusão dos termos difusivos é
recomendada.
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