W, wE í X / E E' yh E,/ E D d ,/ h · P P P ° ° ® ° °¯ ¦ ] P ] £ v Py µ ¤ d Z º v P l...

4/9/2018

1

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG 2

1

PHẦN 1.BIẾN NGẪU NHIÊN

MỘT CHIỀU


Khái niệm• Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị số

phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên.

• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …• Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, …• Với mọi số thực x ta có {X≤x} là một biến cố

ngẫu nhiên.

2


Ví dụ 1• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày• Y: Tuổi thọ của một chiếc điện thoại• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi

Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới

nhập về• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên

trong lớp này

3

4/9/2018

2


Ví dụ 3• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy

ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bivàng có trong 2 viên lấy ra.

• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.• Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

4

0 1 2; ;Y


Phân loại bnn

5

Rời rạc

Có hữu hạn giá trị

Có vô hạn đếmđược giá trị

Bnn X

Liên tục

Giá trị lấp đầy mộthay vài khoảng hữu

hạn hoặc vô hạn

P(X=a)=0 với mọi a


Hai biến ngẫu nhiên độc lập• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến

cố:

• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.

• Nói cách khác mọi biến cố liên quan đến haibiến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.

6

X x Y y

4/9/2018

3


Luật phân phối xác suất• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến

ngẫu nhiên và xác suất tương ứng.• Dạng thường gặp:

– Hàm phân phối xác suất (CDF)– Phân phối xác suất (PMF, PDF)

7


Hàm phân phối xác suất• Hàm phân phối xác suất (cumulative

distribution function), viết tắt CDF của biếnngẫu nhiên X là hàm xác định:

• Trong đó: {X≤x} là ký hiệu biến cố “bnn X nhậngiá trị nhỏ hơn hay bằng x”

• Đôi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất

8

( ) ;X xF x P X x


• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằngx, với x là một giá trị bất kì.

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bêntrái số x.

• Xác suất X thuộc (a,b]

9

)( ( ) ( )b F aP a bX F

Hàm phân phối xác suất

4/9/2018

4


Tính chất

10

i) 0 1,XF x x R

ii) XF x là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu

X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục

trên R.

iii) lim 0X Xx

F F x

lim 1X Xx

F F x

iv) X XP a X b F b F a .


Hàm phân phối xác suất

11


Bnn Rời rạc - Hàm khối xác suất• Probability mass function (PMF)

• Tính chất:

12

Xp x P X x

) 0

) 1

)

X

Xx

Xx A

i p x

ii p x

iii P A p x

• Dạng bảng• Dạng đồ thị

4/9/2018

5


Bnn Rời rạc - Bảng ppxs• Bảng phân phối xác suất của X.

• xi : giá trị có thể có của bnn X• pi : xác suất tương ứng;• Chú ý:

13

X x1 …. x2 …. xn

P p1 …. p2 …. pn

1

1n

ii

p

( ) ( )i X i ip p x P X x


Bnn Rời rạc - Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất được xác định như sau:

14

1

1 1 2

1 2 2 3

1 1 1

0 ,

,

,

............................................

... ,

X

k k k

x x

p x x x

F x p p x x x

p p x x x

k

X X kx x

F x P X x p x


Ví dụ 4

Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt.Không gian mẫu là: Ω = {𝑆𝑆; 𝑆𝑁;𝑁𝑆; 𝑁𝑁}

Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc.Hàm khối xác suất:

15

1/ 4 ; 0 2

1/ 2 ; 1

0 ; 0; 1; 2X

x x

p x x

x

hay

4/9/2018

6


Ví dụ 4

• Hàm phân phối xác suất:

16

X 0 1 2P 1/4 1/2 1/4

0 , 0

1/ 4 ,0 1

3 / 4 ,1 2

1 ,2

X

x

xF x

x

x


Ví dụ 5• Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt

loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.• Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A

lấy ra?• Xác định PMF, CDF?• Đáp án• Gọi X: số sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy ra.

17

2

6 4210

0,1,2x x

X

C Cp x x

C


Ví dụ 6Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản

phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩmxấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm vàtừ kiện 2 ra 1 sản phẩm.

a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩmtốt trong 3 sản phẩm lấy ra?

b) Xác định PMF, CDF

18

4/9/2018

7


Biến ngẫu nhiên liên tục• Xác suất không “tập trung” tại các điểm giá trị• Chỉ quan tâm đến xác suất trong một “khoảng”• Để thể hiện xác suất ta sử dụng mật độ xác suất

19

0)

)

( ) ,X a a

ii P a X b P a X b P X b P a X b

i P


Bnn Liên tục - Hàm mật độ xác suất

• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs FX(x). Nếu tồntại hàm fX(x) sao cho:

• Thì fX(x) gọi là hàm mật độ của bnn X• Viết tắt là: PDF (probability density function)

20

,x

X XF x f t dt x R


Tính chất

iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có:

21

) 0

) 1

)b

a

i f x x R

ii f x dx

iii P a X b f x dx P a X b

'F x f x

4/9/2018

8


Hàm mật độ xác suất

22


Hàm mật độ xác suất• Nếu X liên tục thì:

23

f x

x

F x

x

F x f t dt

'f x F x


Ví dụ 8• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác

suất

• A) Xác định hệ số k• B) Tìm hàm mật độ xác suất

24

2

0 , 0

,0 1

1 ,1

x

F x kx x

x

2 , 0 1f x x x

4/9/2018

9


Ví dụ 9• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

• A) Xác định hệ số k• B) Tìm hàm ppxs F(x)• C) Tính xác suất P(2<X<3)• D) Thực hiện 4 lần phép thử độc lập với bnn X. Tính

xác suất bnn X không nhận giá trị trong khoảng(2;3)

25

21

kf x x

x


Ví dụVí dụ 11. Cho X có bảng ppxs:

Ví dụ 12. Cho bnn X có PDF:

Tìm luật ppxs của bnn Y=X2

26

X -1 0 1 2P 0,1 0,2 0,3 0,4

2 1 0 1Xf x x x


CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG• Mốt (Mode) m0

• Trung vị (Median) me

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)• Độ lệch chuẩn (Standard Error)• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV• Hệ số bất đối xứng (Skewness)• Hệ số nhọn (Kurtosis)• Giá trị tới hạn

27

4/9/2018

10


Tham số đặc trưng

28


ModX, Mode XKý hiệu:

Nếu X rời rạc:

Nếu X liên tục:

29

0x R

f m max f x

0 ii

P X m maxP x x

0ModX m


Median (Trung vị)• Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phân

phối.

• Nếu X rời rạc:

• Nếu X liên tục:

30

0,5

0,5

e

e

P X m

P X m

0,5e

e

m

m

f x dx f x dx

4/9/2018

11


Median (Trung vị)• Nếu X liên tục thì:

31

0,5em

f x dx

1 0,5S

em


Ví dụ 12Tìm ModX và Med X của bnn X biết:a) Bảng phân phối xác suất

b) Hàm mật độ xác suấtXác định ModX, MedX

32

X 1 2 3 4 5

P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25

32 ,0 2

40 , 0,2

x x xf x

x


Kỳ vọng (Expected Value)• Ký hiệu: E(X), mean, M(X)• Định nghĩa:

• E(X) là trung bình theo xác suất của X• Có cùng đơn vị với X

33

i i

i

x p x

E Xx f x dx

-

,vôùi X rôøi raïc

. ( ) ,vôùi X lieân tuïc

4/9/2018

12


• Tung ngẫu nhiên 1 cục xúc sắc. Hỏi về lâu dài ,số chấm trung bình của 1 lần tung là bao nhiêu(nếu số lần tung đủ lớn)?

• Giải.• Giả sử ta có các kết quả tung như sau:

Ví dụ về kỳ vọng


Ví dụ• Gọi n1,n2,…n6 là số lần xuất hiện mặt số

1,2,…,6• Giá trị trung bình sau n lần tung

• Khi n rất lớn thì???

35

1 2 6 61 21 2 6

1 2 61 2 6 1 2 6

n n n nn nX f f f

n n n n

. . ... .. . ... . . . .... .


Một số nhận xét• E(X) giá trị trung bình theo xác suất của bnn X

(trong một quá trình lâu dài); phản ánh giá trịtrung tâm của ppxs của bnn

• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cầnchọn phương án cho năng suất cao ta chọnphương án cho năng suất kì vọng cao

36

4/9/2018

13


Ví dụ 15• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1

ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thànhcông (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dựkiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năngthành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sửkết quả các cuộc hẹn độc lập nhau.

• A) Lợi nhuận kỳ vọng của nhân viên bán hàng làbao nhiêu?

• B) Nêu ý nghĩa của giá trị vừa tìm được.

37


Hướng dẫn• Gọi X là lợi nhuận của nhân viên bán hàng.• Xác định giá trị của X• Xác định xác suất tương ứng

38


Ví dụ 16• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở

1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:

• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng nàynhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.

• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thựcphẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá20/kg ngàn mới hết hàng.

• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nênnhập thêm 20kg mỗi ngày hay không

39

X 80 100 120 150P 0,2 0,4 0,3 0,1

4/9/2018

14


Hướng dẫn• Gọi Y100 và Y120 là tiền lãi thu về khi bán 100;

120kg• Xác định giá trị và xác suất của Y100, Y120• Tính giá trị kỳ vọng tương ứng

• Chú ý.– Có thể gọi X100, X120 là số kg thực phẩm bán được

khi nhập về 100, 120kg.– Xác định quan hệ giữa Yi và Xi

40


Ví dụ 17• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử

• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.

41

3

20.000100f x x

x


Ví dụ 18• Cho bnn X có pp mũ nghĩa là PDF có dạng:

• A) Kiểm tra lại hàm mật độ trên• B) Tính E(X)• Hướng dẫn.• - Hai tính chất của hàm mật độ• - Tìm giới hạn bằng công thức L’Hospitale

42

0xf x e x

4/9/2018

15


Tính chất

43

1) Tính chaát 1: E(C)=C vôùi C laø haèng soá2) Tính chaát 2: E(C+X)=C+E(X)3) Tính chaát 3: E(C.X)=C.E(X)4) Tính chaát 4: E(X Y)=E(X) E(Y)5) Tính chaát 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) neáu X vaø Y ñoäc laäp


Kỳ vọng của hàm của bnn• Cho bnn X và hàm (x)• Kỳ vọng toán học của hàm Y=(X):

44

i ii

x p x

E Xx f x dx

,vôùi X rôøi raïc

,vôùi X lieân tuïc


Ví dụ 19• Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ:

45

21 2 3

CP X k p k k

k , , , ,...

4/9/2018

16


Ví dụ 20• Vòng quay roulett có 38 số 00, 0, 1 … 36.• Gọi X là số mà quả bóng rơi vào• Y là số tiền phải trả cho người chơi• Nhà cái phải thu tiền mỗi người chơi bao nhiêu

để có lợi.

46

5 0

10 00

1

2

X

XY

X odd

X even

,,, is, is


Phương sai (Variance)• Ký hiệu: V(X); Var(X); VX• Định nghĩa:

• Rút gọn:

47

22 2V X E X E X E X

2

2

2

i ii

x p

V X E X E Xx f x dx

,neáu X rôøi raïc.

,neáu X lieân tuïc.


Phương sai (Variance)• Công thức rút gọn:

• Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X2

48

22

22

i ii

x p E X

V Xx f x dx E X

,neáu X rôøi raïc.

,neáu X lieân tuïc.

22 2V X E X E X E X

4/9/2018

17


Ý nghĩa của phương sai• Đặc trưng cho độ phân tán của bnn quanh giá

trị trung bình• Đặc trưng cho sai số của thiết bị (trong kỹ

thuật)• Đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định

(trong kinh tế, kinh doanh)

49


Phương sai của hàm bnn

50

2

XV X E X

2

2

Xx

X

V X x p x

V X x f x dx


Tính chất của phương sai

51

2

1 1i

1) Tính chaát 1: V(C)=0 vôùi C laø haèng soá2) Tính chaát 2: V(C+X)=V(X)3) Tính chaát 3: V(C.X)=C .V(X)4) neáu X vaø Y ñoäc laäp

neáu caùc X ñoäc laäp toa

V(X Y)=V(X) V(Y)

V = øn phaànn n

i ii i

X V X

4/9/2018

18


Ví dụ 23• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là

các bnn độc lập X, Y:

a) Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngànhnào?

b) Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào?c) Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ

lệ nào?

52

X 0 15 30P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35P 0,2 0,45 0,35


Hướng dẫn• A), B)• C) Gọi k là tỷ lệ vốn đầu tư vào ngành A• Tỷ lệ vốn đầu tư vào ngành B là: (1-k)• Lợi nhuận thu về khi đầu tư vào cả 2 ngành

theo tỷ lệ trên là Z• Xác định quan hệ giữa Z và X, Y, k• Tìm k để V(Z) nhỏ nhất• Nhớ: tìm min/max trên đoạn

53


Ví dụ 24

• Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiềnlãi trong 1 tháng?

• Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trungbình và phương sai của tiền lãi thu được.

• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau.Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50triệu.

• Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?54

X 0 15 30P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35P 0,2 0,45 0,35

4/9/2018

19


Hướng dẫn• A) Tổng tiền lãi aX+bY• B) Tiền lãi: 2X• C) Tiền lãi: X1+X2 với Xi có ppxs như X• P(X1+X2<50)• D) P(Y>X)

55


Độ lệch chuẩn• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập

trung của X.• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X• Đặt:

• (X) có đơn vị là đơn vị của X và gọi là độ lệchchuẩn của bnn X.

56

X V X


Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa• Cho X là bnn có kỳ vọng và độ lệch chuẩn>0.

• Đặt:

• Ta có:

• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.

57

XZ

0 1E Z V Z

4/9/2018

20


Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫunhiên X (đơn vị: tháng) với PDF như sau:

• Tìm hằng số k?• Xác định CDF?• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.

58

2 4 , 0 4f x kx x x

Ví dụ 25


Hệ số biến thiên• Kí hiệu: CV(X).

• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CV(X) càng nhỏbnn càng thuần nhất.

• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùngđơn vị, không có cùng kỳ vọng.

59

.100% 0XCV X E XE X


Bài tập 1,21. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng

chất. Gọi X là tổng số nốt xuất hiện trên 2 conxúc sắc. Tìm luật phân phối xác suất của X?Tính E(X), V(X)

2. Trong một hộp có 5 bóng đèn gồm 2 tốt và 3hỏng. Chọn ngẫu nhiên từng bóng đem thử(thử xong không trả lại) cho đến khi thu đượchai bóng tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìmluật phân phối của X? Trung bình cần baonhiêu lần thử.

60

4/9/2018

21


Bài tập 3Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàmmật độ

a) Tìm hằng số kb) Tìm Mod(X)c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được

1 tháng tuổi

61

2 4 , 0;4

0 , 0;4

kx x xf x

x


Bài tập 4Cho bnn X có hàm mật độ

và E(X)=0,6; V(X)=0,06a) Tìm a,b,c?b) Đặt Y=X3. Tính E(Y)

62

2 , 0;1

0 , 0;1

ax bx c xf x

x


Bài tập 5• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số

cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm vềloại sách này như sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bánra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối nămphải hạ giá với giá 5USD một cuốn.

63

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25

4/9/2018

22


Bài tập 5

• Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán đượctrung bình là bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kìvọng là lớn nhất.

64

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25


Bài tập 6Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

65

1sin , 0,

20 , 0,

x xf x

x


Bài tập chương 2• 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9;• 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17;• 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25• 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32• 2.33; 2.34; 2.37

• Tất cả 23 bài.

66

4/9/2018

23


CHƯƠNG 2

67

PHẦN 2.BIẾN NGẪU NHIÊN

HAI CHIỀU


Yêu cầu• Phân phối lề• Phân phối và các đặc trưng có điều kiện• Cov(X, Y)• Hệ số tương quan• Hàm hồi quy

68


Biến ngẫu nhiên hai chiều• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu

nhiên.• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất

phức tạp nên ta không xét trường hợp này.

69

4/9/2018

24


Ví dụ 1• Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu

kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X vàchiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y).

• Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3chiều (vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)

• Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thểtích V của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều(W,V)


Hàm ppxs đồng thời• Cho biến ngẫu nhiên (X, Y)• Hàm phân phối xác suất đồng thời của biến hai

chiều (X,Y):

• Trong đó: {X≤x, Y≤y} là ký hiệu biến cố “bnn Xnhận giá trị nhỏ hơn hay bằng x” và “bnn Ynhận giá trị nhỏ hơn hay bằng y”

• Để tiện ta còn ký hiệu FX,Y(x,y) là F(x,y)71

, , , , ,X YF x y P X x Y y x y R


Tính chất

72

,

,

) 0 , 1

) ,

) lim , 0 ,

lim , 0 ,

lim , 1

) lim

,

,

lim ,

khoâng giaûm theo töøng bieán.

x

y

X Y Yx

X Y Xy

xy

i F x y

ii F x y

iii F x y F y

F x y F x

F x y F

iv F x y F y P Y y

F x y F x P X x

4/9/2018

25


Phân phối xs thành phần

• Đây là các phân phối xác suất thành phần của X vàY.

• Là phân phối xác suất thành phần của biến haichiều (X, Y).

• Là phân phối biên (phân phối lề) của ppxs đồngthời FX,Y(x,y)

73

, ,

, ,

; lim ,

; lim ,

X Y X Y Xy

X Y X Y Yx

F x F x y P X x F x

F y F x y P Y y F y


Tính độc lập của các biến nn• Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu

mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị này hay giá trịkhác không ảnh hưởng đến phân bố xác suấtcủa biến ngẫu nhiên kia.

• Định lý: Giả sử F(x,y) là hàm phân bố của biếnngẫu nhiên (X,Y). Khi đó, X và Y độc lập khi vàchỉ khi:

74

, , .X Y X YF x y F x F y


Hàm khối xs đồng thời của (X,Y)• Ký hiệu: pX,Y(x,y)

• Tính chất:

75

, , ,X Yp x y P X x Y y

,

,

) , 0, ,

) , 1

X Y

X Yx y

i p x y x y R

ii p x y

4/9/2018

26


Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

76

y1 y2 … yj … ym ∑x1 p11 p12 … p1j … p1m p1●x2 p21 p22 … p2j … p2m p2●… … … … … … … …

xi pi1 pi2 … pij … pim pi●… … … … … … … …

xn pn1 pn2 … pnj … pnm pn●∑ p●1 p●2 … p●j … p●m 1

YX


Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)• Trong đó:

77

,

1 1

1 1

) , ,

) 1

) ;

ij X Y i j i j

n m

iji j

m n

i ij j ijj i

i p p x y P X x Y y

ii p

iii p p p p


Hàm ppxs đồng thời _ Rời rạc• Hàm ppxs đồng thời

• Hàm khối xác suất biên:

78

, ,, ,i j

X Y X Y i jx x y y

F x y p x y

,1

,1

,

,

m

X i i X Y i jj

n

Y j j X Y i ji

i

j

p x P X x p x y p

p y P Y y p x y p

4/9/2018

27


Ppxs thành phần (phân phối lề)• Bảng phân phối xác suất của X:

• Bảng phân phối xác suất của Y:

79

X x1 x2 … xnP p1● p2● … pn●

Y y1 y2 … ymP p●1 p●2 … p●m


Ví dụ 2• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối

xác suất:

• Tìm luật ppxs của các biến X và Y.• Tính F(2,3)

80

1 2 3

1 0,10 0,25 0,102 0,15 0,05 0,35

XY


Ví dụ 3• Chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp có 3 bi đỏ, 2 bi

vàng, 4 bi xanh. Gọi X, Y tương ứng là số bị đỏvà số bi vàng có trong 2 bi lấy ra.

• A) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y• B) Tính P(X+Y<2)• C) Tìm phân phối xác suất biên (phân phối lề)

của X và Y.

81

4/9/2018

28


Hai bnn độc lập• Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc

lập nếu:

• Dấu hiệu:• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.

82

,i j i j

ij i j

P X x Y y P X x P Y y

hay p p p


Ví dụ 4• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu

nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:

• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).

83

1 2 3

6 0,10 0,05 0,157 0,05 0,15 0,108 0,10 0,20 0,10

XY


Ppxs có điều kiện• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng

thời và các hàm khối xác suất thành phần:

• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:

• PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:

84

, , ; ;X Y X Yp x y p x p y

, ,| X Y

XY

p x yp x y

p y

, ,y | x X Y

YX

p x yp

p x

4/9/2018

29


Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)• Kỳ vọng có điều kiện của Y khi cho X=x (còn gọi là

hồi quy của Y theo X khi X=x)

• Kỳ vọng có điều kiện của X khi cho Y=y (còn gọi làhồi quy của X theo Y khi Y=y)

85

| . |Yy

E Y X x y p y x

| . |Xx

E X Y y x p x y


Bảng ppxs điều kiện 1• PPXS của X với điều kiện Y=yj

• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=yj

86

2

1 2

1 .....

.....

j

j j nj

n

jj j j

X Y y

p p pP X

x x x

Y yp p p

1 1 2 2

1...j j j n nj

j

E X Y y x p x p x pp


Bảng ppxs điều kiện 2

• PPXS của Y với điều kiện X=xi

• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=xi

87

2

1 2

1 .....

.....

i

i i im

m

ii i i

Y X x

p p pP Y

y y y

X xp p p

1 1 2 2

1...i i i m im

i

E Y X x y p y p y pp

4/9/2018

30


Ví dụ 5• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu

nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:

• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)?

88

1 2 3

6 0,10 0,05 0,157 0,05 0,15 0,108 0,10 0,20 0,10

XY


Ví dụ 6• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y

(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồngthời như sau:

89

500(400-600)

700(600-800)

900(800-1000)

30 0,10 0,05 050 0,15 0,20 0,0580 0,05 0,05 0,35

X

Y


Ví dụ 6• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì

chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?

90

A. 60,5 B. 48,3333

C. 51,6667 D. 76,25

4/9/2018

31


Ví dụ 6a• Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai

ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %)có ppxs đồng thời như sau:

• A) Lập bảng phân phối biên của X, Y. Tính lãi trung bìnhcủa từng ngân hàng.

91

-2 5 10

- 1 0,10 0,05 04 0,15 0,20 0,058 0,05 0,05 0,35

XY


Ví dụ 6a

• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X?• C) X và Y có độc lập nhau không• D) Lập bảng ppxs của T=X+Y. Tìm E(T), V(T)

92

-2 5 10

- 1 0,10 0,05 04 0,15 0,20 0,058 0,05 0,05 0,35

XY


Các tham số đặc trưng• Hiệp phương sai (Covariance)• Hệ số tương quan (Correlation)

93

4/9/2018

32


Kỳ vọng của hàm theo X,Y• Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=h(X,Y) là

biến mới.• Ta có:

94

, , ,i j i ji j

E h X Y h x y P X x Y y

,, , ,X Yx y

E h X Y h x y p x y


Ví dụ 7• Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng

thời như sau:

• Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2

95

1 2 3

4 0,10 0,15 0,15 0,25 0,20 0,2

X

Y


Ví dụ 8• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:

96

(X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2

0 0 .0,1 0 1 .0, 2

0 2 .0,3 1 0 .0,05 1 1 .0,15

1 2 .0, 2 1,75

E Z E X Y

4/9/2018

33


Hiệp phương sai (Covariance)• Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y,

ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sailệch của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng.

• Tên gọi khác: tích sai

97

cov , X YX Y E X Y

cov , X YX Y E XY


Tính chất Covariance 1

98

1) cov , cov ,

2)cov ,

3) cov ', cov , cov ',

4)cov , cov ,

5)cov , cov ,

X Y Y X

X X V X

X X Y X Y X Y

kX Y k X Y

aX c bY d ab X Y


Ví dụ 9

99

-2 5 10

- 1 0,10 0,05 04 0,15 0,20 0,058 0,05 0,05 0,35

XY

4/9/2018

34


Tính chất Covariance 2

100

2

2

2

6) cov , 0,

7) 2cov ,

8)

9) co

2 co

v

,

,

v

.

Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì

ngöôïc laïi khoâng chaéc ñuùng.

X Y

V X Y V X

V aX bY a V X b V Y ab X Y

X Y

V Y X

V X V Y

Y


Hệ số tương quan• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y

ký hiệu và định nghĩa bởi công thức:

• Hệ số tương quan còn ký hiệu là:

101

,

cov ,X Y

X Y

X Y

, ; ,X Y r X Y


Tính chất

102

,

,

,

,,

,

) 1 1

) 0.

)

) , 0

1

1

vôùi moïi X, Y.

Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì

neáu ab>0

neáu ab<0

khi vaø chæ khi:

neáu a>0neáu a<0

X Y

X Y

X Y

aX c bY dX Y

X Y

i

ii

iii

iv Y aX b a

4/9/2018

35


Ý nghĩa• Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến

tính giữa X và Y.• Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến

tính càng chặt.• Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến

tính càng yếu.• Khi ρX,Y = 0 ta nói X và Y không tương quan.

103


Hàm hồi qui của X đối với Y• Kỳ vọng có điều kiện:

là một hàm theo y, được gọi là hàm hồi quy của Xđối với Y. Đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độDecartes gọi là đường hồi quy.

Chú ý:

104

E X Y y

1 2, ,..., my y y y


Hàm hồi qui của Y đối với X• Kỳ vọng có điều kiện:

là một hàm theo x, được gọi là hàm hồi quy của Yđối với X.

Đồ thị hàm số gọi là đường hồi quy.Chú ý:

105

E Y X x

1 2, ,..., nx x x x

W, wE í X / E E' yh E,/ E D d ,/ h · P P P ° ° ® ° °¯ ¦ ] P ] £ v Py µ ¤ d Z º v P l...

Documents

Transcript of W, wE í X / E E' yh E,/ E D d ,/ h · P P P ° ° ® ° °¯ ¦ ] P ] £ v Py µ ¤ d Z º v P l...