Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod

Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258

Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ

Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Označení vzdělávacího materiálu

VY_32_INOVACE_04_PVP_211_Kli

Druh učebního materiálu Prezentace

Autor  Mgr. Květa Klímová

VY_32_INOVACE_04_PVP_211_Kli

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen

Hotelnictví, Ekonomické lyceum, Obchodní akademie

Předmět Matematika

Ročník druhý

Název tematické oblasti (sady)

Funkce

Název vzdělávacího materiálu

Kvadratická funkce (1)

Anotace

Vzdělávací materiál obsahuje vysvětlení pojmu kvadratická funkce, její předpis, obor hodnot a vlastnosti. Součástí je i několik konkrétních příkladů a postup řešení. Materiál lze využít ve druhém ročníku studijních oborů v matematice při výkladu nové látky nebo ve třetím ročníku v semináři při opakování učiva.

Zhotoveno, (datum/období) červen 2013

Ověřeno 29. ledna 2014

Kvadratická funkce

Kvadratická funkceje každá funkce, která je dána předpisem

, kde .Například:

.

Pokud , rovnice je neúplná kvadratická bez absolutního členu.

Například: .

Pokud , rovnice je neúplná a nazývá se ryze kvadratická.

Například:

Graf kvadratické funkce Grafem kvadratické funkce je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou y. Otočení paraboly závisí na hodnotě kvadratického koeficientu.

Obor hodnot a vlastnosti kvadratické funkcePrůsečík osy paraboly a paraboly se nazývá vrchol paraboly a jeho souřadnice lze vypočítat z koeficientů funkce .

zdola omezená klesající rostoucí

shora omezená rostoucí klesající

Konstrukce grafu kvadratické funkce

Příklad č. 1: Sestrojte graf kvadratické funkce dané předpisem:

- Určíme souřadnice vrcholu - ,- vypočteme souřadnice průsečíků grafu

s osami (řešením rovnic),

- funkce je zdola omezená, protože .Poznámka: Ze správně sestrojeného grafu lze určit i obor hodnot funkce a její vlastnosti. .

Konstrukce grafu kvadratické funkce

Příklad č. 2: Sestrojte graf kvadratické funkce dané předpisem:

- Určíme souřadnice vrcholu - ,- vypočteme souřadnice průsečíků grafu

s osami (řešením rovnic),

- funkce je shora omezená, protože ., funkce je sudá.

Určení předpisu kvadratické funkcePříklad: Určete předpis kvadratické funkce jestliže víte, že . Postup výpočtu: Do obecného předpisu funkce dosadíme příslušné hodnoty a získáme soustavu rovnic:

Jde o soustavu 3 lineárních rovnic pro 3 neznámé, kterou vyřešíme pomocí sčítací nebo dosazovací metody. Získáme hodnoty . Takže předpis funkce je .

Užití grafu kvadratické funkce při řešení rovnic a nerovnicPříklad: Řešte nerovnici v R graficky. Sestrojíme graf kvadratické funkce a vyhodnotíme, která splňují zadanou podmínku.

Řešení: .Poznámka: Zda krajní bod intervalu leží v množině řešení, závisí na zadání nerovnice.

Příklady na procvičeníŘešte nerovnici graficky:

Řešte nerovnici graficky:

Řešení: Řešení:

Poznámka: Pomocí grafu kvadratické funkce lze řešit i slovní úlohy z praxe, kdy je třeba určit minimum, popřípadě maximum. Příklad: Chceme vybudovat ohradu pravoúhelníkového tvaru, kde jedna strana je částí stěny budovy. K dispozici máme 18 metrů pletiva. Určete rozměry výběhu, pro které bude jeho obsah co největší.

Použitá literatura:ODVÁRKO, Oldřich. Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia. Funkce. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 112 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-050-0.ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia. Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 168 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-357-8.

Použité zdroje:Pro sestrojení grafů jsem použila program GeoGebra.

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.