Vielleicht, dass auch schon Sterne scheinen G. Trakl Hans ...
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006 Wahrscheinlichkeit...
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Wahrscheinlichkeit
• „Wahrscheinlich wird morgen die Sonne scheinen“
• „Die Chancen, dass ich die Klausur bestehe, sind 50:50“
• „Das jährliche Risiko, durch einen Blitzschlag zu sterben,
beträgt 1:10 Millionen“
Struktur: Wahrscheinlichkeitsaussagen beziehen sich auf Ereignisse, deren Eintreten unbekannt ist.
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Laplace (1749 - 1822):
Zahl der günstigen Fälle
Zahl aller (gleich) möglichen Fälle
Beispiel:
P(„Es wird eine 6 gewürfelt“) = 1/6
P(Es wir eine gerade Zahl gewürfelt) = 3/6
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Laplace-Wahrscheinlichkeit (2)
Problem: P(„Morgen scheint die Sonne“)
Möglichkeiten = {Sonne, Regen, bewölkt}
P(Sonne) = 1/3 ????
Definition ist zyklisch
(gleich) möglich = gleich wahrscheinlich
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
R. von Mises (1883-1953)
„ Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die langfristige relative Häufigkeit seines Auftretens“
n
nAP
Alim)(
nA : Anzahl der Erfolge
n : Anzahl der Versuche
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Probleme:
• Einmalige Ereignisse• Grenzwertdefinition• Experimentdurchführung
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Laplace, Ramsey, de Finetti:
„Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Grad der Überzeugung, mit der ein Beobachter aufgrund eines bestimmten Informationsstandes an das Eintreten eines Ereignisses glaubt“
Beispiele:Münzwurf: Einsatz auf Zahl bis zu 0,50 € sinnvollWürfel: Einsatz bis zu 1/3 € auf „5 oder 6“
P(A) ist der Wetteinsatz (€) in , die eine Person höchstens einzugehen bereit ist, falls er bei Eintreten von A 1 € gewinnt.
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Probleme:
• Subjektiv = Unwissenschaftlich ?
• Wettdefinition
• Informationsstand
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Axiomatische Einführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kolmogorov (1933): Wahrscheinlichkeit ist Funktion, die gewissen Regeln, den sog. Kolmogorov‘schen Axiomen genügt
Grundlage bildet das Zufallsexperiment: Vorgang, der genau ein Ergebnis liefert, das nicht deterministisch bestimmt ist.
Menge der Ergebnisse:
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Zufallsexperimente
Experiment Ergebnismenge
Würfelwurf 1, 2, 3, 4, 5, 6
Münzwurf Kopf, Zahl
Diagnosetest positiv, negativ
Blutwert alles positive Zahlen
EKG-Parameter alle positiven Zahlenpaare (0, ) x (0, )
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Ereignisse
Ereignisse sind Teilmengen von
Beispiele: 1. „gerade Zahl“ = {2,4,6} „1 oder 2“ = {1,2} 2. „Kopf“ = {K}3. Blutwert > 90 (90, )4. Beide EKG-Werte >10 {(x, y)|x >10, y >10}
Ereignissen sollen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.Wir bezeichnen Ereignisse mit A,B,C...
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Ereignisoperationen
A B : Vereinigung = „A oder B“BDurchschnitt = „A und B“ AComplement = „Nicht A“
eispiel:
= {1,2,3,4,5,6}A = {2,4,6} „gerade“ B = {4,5,6} „groß“A B = {2,4,5,6} „groß oder gerade A B = {4,6} „gerade und groß“ AC = {1,3,5} „ungerade“
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Axiome von Kolmogorov
mit Ereignissen A,B,C...Eine Wahrscheinlichkeit P hat folgende Eigenschaften
1. 0 P(A) für alle Ereignisse Positivität
2. P(A P(A) + P(B) für disjunkte EreignisseAdditivität
3. P(Normiertheit
Beispiel: Laplace-Wahrscheinlichkeit für Würfel:
P({1,2,3,4,5,6}) = 6/6 = 1P({1,2} P({1,2}) + P({3,4})Positivität ist offensichtlich
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Axiome und Wahrscheinlichkeitsbegriff
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit und die frequentistische
Wahrscheinlichkeit erfüllen die Axiome. Auch von den
subjektiven Wahrscheinlichkeiten ist die Forderung der
Erfüllung der Axiome sinnvoll.
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Wichtige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Gegenereignis: P(AC) = 1- P(A)
Additionssatz : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
eispielA = {2,4,6} „gerade“ B = {4,5,6} „groß“A B = {2,4,5,6} „groß oder gerade“ A B = {4,6} „ groß und gerade “
P(A B ) = 4/6 P(A) + P(B) - P(A B) = 3/6+3/6-2/6
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit: „Herzoperation im Krankenhaus“ Überleben der Operation
Alle Fälle Operation überlebt
Operation nicht
überlebt
P (nicht ü)
„Risiko“
Krankenh U 500 500 0.5
Krankenh K 900 100 0.1
Frage:„In welchem Krankenhaus würden Sie sich behandeln lassen?“
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Schwere der behandelten Fälle
schwere
Fälle
leichte Fälle
Krankenhaus U 900 100
Krankenhaus K 100 900
Frage: „Bleiben Sie bei Ihrer Entscheidung?“
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Überleben der Operation aufgeteilt nach der Schwere der behandelten Fälle
Schwere Fälle Operation überlebt
Operation nicht
überlebt
P (nicht ü)
„Risiko“
Krankenh U 400 500 0.56
Krankenh K 30 70 0.7
Leichte Fälle Operation überlebt
Operation nicht
überlebt
P(nicht ü)
„Risiko“
Krankenh U 100 0 0
Krankenh K 870 30 0.033
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
In dem Beispiel betrachten wir das Risiko gegeben „schwerer Fall“: Das Risiko wird berechnet durch
)(
)(
schwerAnzahl
überlebtnichtundschwerAnzahl
)(
)(:)|(
AP
BAPABP
Allgemein definieren wir die Wahrscheinlichkeit von„Ereignis B gegeben A“
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Im Beispiel
B: nicht Überleben A: Schwerer Fall
%569.0/5.0)|(
5.01000/500)(
9.01000/900)(
5.01000/500)(
ABP
BAP
AP
BP
Krankenhaus U Krankenhaus K
%701.0/07.0)|(
07.01000/70)(
1.01000/100)(
1.01000/100)(
ABP
BAP
AP
BP
Schwere Fälle Operation überlebt
Operation nicht
überlebt
P (nicht ü)
„Risiko“
Krankenh U 400 500 0.56
Krankenh K 30 70 0.7
Leichte Fälle Operation überlebt
Operation nicht
überlebt
P (nicht ü)
„Risiko“
Krankenh U 100 0 0
Krankenh K 870 30 0.033
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Beispiel: Würfeln
= {1,2,3,4,5,6}A = {2,4,6} „gerade“ B = {4,5,6} „groß“P(A) = 3/6P(A B) = 2/6P(B|A) = (2/6)/(3/6) =2/3
Interpretation: Wenn bekannt ist, daß die gewürfelte Zahl gerade ist, steigt die Wahrscheinlichkeit für „groß“ auf 2/3.
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Beispiel: Test
1000 Tiere werden getestet600 Männlich, davon 450 positiv400 Weiblich, davon 300 positiv1 Tier
Interpretation: Die Ereignisse „Männlich“ und „Positiv“ sind unabhängig
P(M) = 0.6P(W) = 0.4P(Pos) = 0.75P(MPos) = 0.45P(Pos|M) = 0.45/0.6 = 0.75P(M|Pos) = 0.45/0.75 = 0.6
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Definition stochastische Unabhängigkeit
)()()(
)()|(
)()|(
BPAPBAP
APBAP
BPABP
Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls gilt:
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Beispiel: mehrmaliges Würfeln
Annahme: Zwei Würfel fallen voneinander unabhängig
P(„keine 6“) = P(„1. Würfel keine 6“ und „2. Würfel keine 6“) = P(„1. Würfel keine 6“)* P(„2. Würfel keine 6“) = 5/6* 5/6 = 25/36
Mit der Regel für das Gegenereignis ergibt sich:
P(„mindestens eine 6“) = 1- 25/36 = 11/36
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Fehlklassifikation
Ein diagnostischer Schnelltest T prüft, ob ein Symptom vorliegt oder nicht. Anhand eines Standardverfahrens K kann mit großem
Aufwand der Nachweis zweifelsfrei erbracht werden.
Diagnose
Test T
Wahrheit (goldener Standard K)
positiv (=1) negativ (=0)
positiv (=1)
negativ (=0)
richtig falsch positiv
falsch negativ richtig
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten
(bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten
Diagnose:
Klassifikation
wahrer Status
positiv negativ
positiv
negativ
Sensitivität
Empfindlichkeit
P(T+|K+)
Spezifität
Treffsicherheit
P(T-|K-)
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Goldener Standard
Ist ein „Goldener Standard“ als „Definition der Wahrheit“bekannt, so können die Diagnosewahrscheinlichkeiten aus einer Stichprobe geschätzt werden.
Diagnose:
Klassifikation
Goldener Standard
positiv (=1) negativ (=0)
positiv (=1)
negativ (=0)
n(+|+) n(+|-)
n(-|+) n(-|-)
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Schätzung von Sensitivität und Spezifität
)|()|(
)|(
nn
nSen
Schätzer für Sensitivität:
Schätzer für Spezifität:
)|()|(
)|(
nn
nSpez
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006
Schätzung von Sensitivität und Spezifität „Goldener Standard“: Beispiel
Testwahrer Befund
positiv negativ
positiv
negativ
450 10
50 290
500
450
Bei 500 wahr positiven und 300 wahr negativen Proben wird ein neues Testsystem validiert
Schätzer für Sensitivität:
Schätzer für Spezifität: 300
290