Vorlesung 27.11.2006 Wahrscheinlichkeiten und ihre Berechnung.
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von...
Transcript of Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von...
![Page 1: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/1.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten
Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich leichter zu erfassenals Wahrscheinlichkeitsaussagen:
• „An 30 von 100 solchen Tagen wie morgen regnet es“
• „Von 100 Männern im Alter von 40, die Nichtraucher sind erleiden 3 in den nächsten 10 Jahren einen Herzinfarkt“
• „In einem von 20 Fällen ist meine Prognose falsch“
• „10 von 100 Lesern missfällt diese Werbung“
Aber: Wahrscheinlichkeiten sind keine relativen Häufigkeiten
![Page 2: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/2.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Beispiel: Lotto
• Beim Lotto ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Spiel einen 6er zu bekommen:
000000071.013983816
1
6
491
• „Einmal in 13 Millionen Spielen“
• „Einmal in 268 000 Jahren“
• „Es ist wahrscheinlicher, den Tag der Ziehung nicht mehr zu erleben, als zu gewinnen“
• Simulationsexperiment
![Page 3: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/3.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Zur Risikokommunikation
– Absolutes Risiko– Relatives Risiko– Anzahl der zusätzlich geschädigten Individuen
Es gibt drei Arten der Beschreibung von Risikenfür die Gesundheit:
![Page 4: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/4.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Beispiel 2 : Perinatale Sterblichkeit und Reaktorunfall von Tschernobyl
örblein und Küchenhoff (1997):
• Sterblichkeit 1987 von 0.8% auf 0.836 % erhöht
• Risiko um 4.5 % erhöht (relatives Risiko 1.045)
• ca. 317 zusätzlich verstorbene Kinder in Deutschland
![Page 5: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/5.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Beispiel 3 : Wirkung von Pravastatin
„ Menschen mit hohem Cholesterinspiegel können das Risiko eines erstmaligem Herzinfarkts sehr schnell um 22 Prozent vermindern, wenn sie einen häufig angewandten Wirkstoff namens Pravastatin einnehmen“
• Reduktion der Todesfälle von 41 auf 32 pro 1000 Patienten mit hohem Cholesterin 4.1% auf 3.2%. Differenz 0.9%.
• Reduktion um 22% (relatives Risiko 0.78) „22% werden gerettet“
• Es müssen 111 Patienten behandelt werden, um ein Menschenleben zu retten
![Page 6: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/6.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Medizinische Tests
10 Erkrankt
Personen
Gesund
9 Test P 1 Test N 10 Test P 980 Test N
![Page 7: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/7.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beachte: Die Bedingung entspricht der Bezugspopulation:
Sensitivität: 9 von 10 Kranken werden als solche erkannt:P(Test positiv| Patient krank) = 9/10
Spezifität: 980 von 990 Gesunden werden als solche erkannt:P (Test negativ| Patient gesund) = 98/99
Positiver prädiktiver Wert: 9 von 19 Test P sind krank:P (Patient krank|Test positiv) = 9/19
Prävalenz: 1 von 100 Personen ist krank: P (krank) = 1/100
Bezugspopulation von zentraler Bedeutung
![Page 8: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/8.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten
(bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten
Diagnose:
Klassifikation
wahrer Status
positiv negativ
positiv
negativ
Sensitivität
Empfindlichkeit
P(T+|K+)
Spezifität
Treffsicherheit
P(T-|K-)
![Page 9: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/9.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Krankheitswahrscheinlichkeiten im Diagnosetest
In der Praxis interessieren in der Regel die Klassifikationswahrscheinlichkeiten weniger, wohl aber die Frage, ob ein Test-positives Tier wirklich krank ist, d.h. (bedingten) Krankheitswahrscheinlichkeiten
Klassifikation
Test
Wahrheit (goldener Status)
positiv negativ
positiv
negativ
positiver
prädiktiver Wert
P(K+|T+)
negativer
prädiktiver Wert
P(K-|T-)
![Page 10: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/10.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Beispiel
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Tier wirklich krank ist ?
Prädiktiver Wert = ????
• Sensitivität P(T+|K+) = 0.98
• Spezifität P(T-|K-) = 0.95
• Prävalenz P(K+) = 0.2
![Page 11: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/11.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Lösung durch hypothetische Population
200 krank
800 gesund
196 positiv 4 negativ 40 positiv 760 negativ
Positiver prädiktiver Wert: 83.040196
196
![Page 12: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/12.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Theorie: Satz von Bayes
)|()()( ABPAPBAP
)(
)()|(
)(
)()|(
BP
APABP
BP
BAPBAP
Def.:
Satz von Bayes:
Multiplikationssatz:
)(
)()|(
BP
BAPBAP
![Page 13: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/13.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Satz von Bayes: Diagnosetests
)1()1(
)|()()|()(
)|()(
)()(
)()|(
)(
)()|(
)|(
SpezPvSensPv
SensPv
KTPKPKTPKP
KTPKP
KTPKTP
KPKTP
TP
KPKTP
TKP
Kennt man Sensitivität, Spezifität und Prävalenz, so gilt für den positiven prädiktiven Wert
![Page 14: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/14.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Lösung durch Satz von Bayes
Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert
• Sensitivität P(T+|K+) = 0.98
• Spezifität P(T-|K-) = 0.95
• Prävalenz P(K+) = 0.2
040.0196.0
196.0
05.08.098.02.0
98.02.0)|(
TKP
![Page 15: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/15.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Diagnosetests: Beispiel II
Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert
• Sensitivität P(T+|K+) = 0.98
• Spezifität P(T-|K-) = 0.95
• Prävalenz P(K+) = 0.01
18.005.099.001.098.0
01.098.0)|(
TKP
![Page 16: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/16.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Lösung durch hypothetische Population
100 krank
9 900 gesund
98 positiv 2 negativ 495 positiv 9 405 negativ
Positiver prädiktiver Wert: 18.049598
98
![Page 17: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/17.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Diagnosetests: Beispiel BSE ???
Dann gilt für den postitiven prädiktiven Wert
P(K+|T+)
Übung
• Sensitivität P(T+|K+) = 0.99 (???)
• Spezifität P(T-|K-) = 0.99 (???)
• Prävalenz P(K+) = 0.001 (???)
![Page 18: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/18.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Diagnosetests und (kleine) Prävalenzen
Achtung:
Bei der Bewertung von diagnostischen Verfahren, falls die Prävalenz der Erkrankung sehr klein ist (BSE, HIV, …)
• ist die (absolute) Anzahl falsch positiver Diagnosen hoch
• ist der positive prädiktive Wert gering
Wenn die Prävalenz gering ist,
![Page 19: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/19.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Begriff der Zufallsgröße
Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:
Beispiele: • Punkte beim Werfen zweier Würfel• Zeit beim Warten auf den Bus• Ja= 1 nein = 0
Formal Abbildung:
:X
Im Beispiel:
4)2,2(
3)1,2(
3)2,1(
2)1,1(
![Page 20: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/20.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt
man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine
Zufallsgröße definiert als )()( xXPxF X
36/)321()4(
36/)21()3(
36/1)2(
0)1(
XP
XP
XP
XPIm Beispiel:
![Page 21: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/21.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen
benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Sie ist definiert als .)()( xXPxf
36/3)4(
36/2)3(
36/1)2(
0)1(
XP
XP
XP
XPIm Beispiel:
![Page 22: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/22.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen
sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen
Werten .
Dann sind der Erwartungswert und die Varianz
wie folgt definiert:
)(
)())(()))((()(
)()(
1
22
1
XVar
xXPXExXEXEXVar
xXPxXE
x
n
iii
n
iii
nxx ,...1
X
)(XE )(XVar
![Page 23: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/23.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Beispiel: Einfacher Würfel
5.36*6
15*
6
14*
6
13*
6
12*
6
11*
6
1)( XE
7.1
9.2)5.36(*6
1)5.35(*
6
1)5.34(*
6
1
)5.33(*6
1)5.32(*
6
1)5.31(*
6
1)(
222
222
X
XV
![Page 24: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/24.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten
a und b):
)()(
)()(2 XVarbXbaVar
XEbaXbaE
X
![Page 25: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/25.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Binomialverteilung: Idee
Frage:
Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hiervon m Tiere erkrankt sind?
• insgesamt N Tieren
• davon sind M erkrankt
• und (N-M) nicht erkrankt
Betrachtet wird ein Bestand mit
![Page 26: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/26.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Binomialverteilung: Formal
iX
erkranktnichtTiergezogenestesifalls
erkranktTiergezogenestesifallsX i ,0
,1
n
iiXXmitmXP
1
?,)(Frage:
ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen
Dann gilt:
PN
MXP i )1(
![Page 27: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/27.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Binomialverteilung: Definition
mnm PPm
nmXP
)1()(
Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen
0-1-Variablen , heißt binomial-verteilt mit
Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P)
Es gilt
n
iiXX
1
![Page 28: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/28.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Binomialkoeffizient: Definition
))(...21()...21(
)...21(
)!(!
!
mnm
n
mnm
n
m
n
Beispiel
Die Größe
1062
120
)321()21(
)5...21(
2
5
heißt Binomialkoeffizient.
![Page 29: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/29.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Binomialverteilung: Anwendungen
• krank vs. gesund
• schwarzbunt vs. braun
• Niedersachsen vs. Bayern
• Grenzwert überschritten vs. unterschritten
• Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich
Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen
![Page 30: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/30.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Binomialverteilung: Beispiel
Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10
gezogene Stichprobe n = 5
• Hormonuntersuchung bei Kälbern
0729.0729.001.010)9.0(1.02
5)2(
329.0656.01.05)9.0(1.01
5)1(
591.0591.011)9.0(1.00
5)0(
32
41
50
XP
XP
XP
etc.
![Page 31: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/31.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Binomialverteilung: Eigenschaften
• Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere
E(X) = n P
Beispiel: E(X) = 5 0.1 = 0.5
• Varianz
Var(X) = n P (1-P)
Beispiel: Var(X) = 5 0.1 0.9 = 0.45
![Page 32: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051615/55204d6949795902118bf5c7/html5/thumbnails/32.jpg)
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005
Weitere diskrete Verteilungen
• hypergeometrische Verteilung
wenn die Auswahl ohne Zurücklegen erfolgt und die
Gesamtheiten klein sind
• Poisson-Verteilung
wenn die Ereignisse sehr selten sind