Vorlesung 4: Lösungen der Transportgleichung Partikelverfahren€¦ · 04.06.2012...
Transcript of Vorlesung 4: Lösungen der Transportgleichung Partikelverfahren€¦ · 04.06.2012...
04.06.2012 Folie 1 Transportmodellierung
Vorlesung 4: Lösungen
der Transportgleichung Partikelverfahren
Prof. Sabine Attinger, Jun-Prof. Anke Hildebrandt
04.06.2012 Folie 2
Überblick 1. Einführung in Partikelverfahren- Lagrange vs. Eulersche
Betrachtungsweise 2. Partikelverfahren analytisch – ohne Dispersion 3. Partikelverfahren in Modflow und PMPath – ohne
Dispersion 4. Partikelverfahren einschließlich Dispersion (Brownsche
Bewegung) 5. Technische Umsetzung und Vor- und Nachteile
Transportmodellierung
04.06.2012 Folie 3 Transportmodellierung
1D-Transportgleichung
Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung
( ) ( ) 0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂⋅
∂
∂−⋅
∂
∂+
∂
∂ cx
nDx
cvxt
ncx
04.06.2012 Folie 4
1. Einfühung
Strömung und Transport können aus zwei Perspektiven betrachtet werden: - Ortsfeste Perspektive (Eulersche Sichtweise) - Perspektive eines Partikels, der sich mit dem Strom
bewegt (Lagrange Sichtweise)
Die Betrachtungen aus den letzten Stunden beziehen sich auf die Eulersche Sichtweise. Es wurde die Konzentration eines Stoffes an einer bestimmten Ortskoordinate evaluiert, d.h. wir berechneten z.B. C(x,t) (1 dimensional)
Transportmodellierung
04.06.2012 Folie 5
Einfühung
Im Lagrange System wird die Bewegung von Fluidteilchen nachvollzogen. Sie eignet sich deswegen hervorragend für die Betrachtung von Transport – in der einfachsten Form rein advektiv, d.h. ein Stoff bewegt sich im Wasser passiv genau wie ein Fluidteilchen.
Transportmodellierung
04.06.2012 Folie 6 Transportmodellierung
Lagrange Bild – nur Advektion
04.06.2012 Folie 7 Transportmodellierung
Euler Bild – nur Advektion
04.06.2012 Folie 8 Transportmodellierung
Advektiver Transport
( ) ( )xtxcv
ttxc
∂
∂=
∂
∂ ,, ( ) ( )xftc == 0mit
Partikel- Bewegungsgleichung: ( ) vtx =
( ) 0=∂
∂+
∂
∂=
ττττ
ddx
xc
ddt
tc
DDc
Transformation:
04.06.2012 Folie 9 Transportmodellierung
2. Analytische Lösung Partikelverfahren in 1D
Rein advektiver Transport, keine Dispersion Uniforme Strömung: v(x) = konstant, d.h. v ≠ f(x)
Allgemeine Strömung in 1D: v(x) ≠ konst, v=f(x) (Lösung an der Tafel)
( ) ( )00 ttvxxvtx −+=⇒=
( ) ( ) ∫∫ =⇒=⇒= dtdxxv
dtdxxv
xvtx)(1
)(1
04.06.2012 Folie 10 Transportmodellierung
Übngsaufgabe zur analytischen Lösung Partikelverfahren
( ) ( )rQrvtr ==
Lösen Sie also:
Wie lautet die Lösung für den Abstand r(t)?
Diese Aufgabe dient zur Übung des Verständnisses (Auflösung nächste Vorlesung):
Berechnen Sie die den Weg als Funktion der Zeit eines Partikels, der in das Anstromfeld eines Brunnens eingegeben wird. Da da das Strömungsfeld radialsymetrisch ist, wählt man hierbei für die Ortskoordinate r(t) (statt x(t)). Die Geschwindigkeit ist gegeben mit v(r).
1v(r)
dr = dt
Mit der gegeben Geschwindigkeit v(r)
04.06.2012 Folie 11
3. Partikelverfahren in 3D und Anwendung in PMPath
Im letzten Semester hatten wir das Partikelverfahren in Modflow bereits angewendet um die Strömungslinien sichtbar zu machen. Einige Partikel werden in das Strömungsfeld gesetzt und ihre Position iterativ Schritt für Schritt (anhand Δt) berechnet. In unserem Modell war das Geschwindigkeitsfeld räumlich variabel und komplex. Die Bahnen können nicht mit analytischen Lösungen berechnet werden. PMPath verwendet hierfür eine Annäherung.
Transportmodellierung
04.06.2012 Folie 12 Transportmodellierung
Advektiver Transport in 3D
• Bewegungsgleichung für Partikel in der Strömung v=u/n
( )
( )
( )dt
zyxvdzv
dtdz
dtzyxv
dyvdtdy
dtzyxv
dxvdtdx
zz
yy
xx
=⇒=
=⇒=
=⇒=
,,
,,
,,
04.06.2012 Folie 13 Transportmodellierung
Approximation nach Pollock
ModFlow berechnet Geschwindigkeiten an jedem Gitterpunkt
PMPath verwendet lineare Interpolation um Geschwindigkeiten an allen Orten (x,y,z) auch zwischen Gitterpunkten zu schätzen
vx1 vx2
vy1
vy2
vz1
vz2
04.06.2012 Folie 14 Transportmodellierung
Approximation nach Pollock
Substitution der interpolierten Geschwindigkeiten und Integration von t1 nach t2
04.06.2012 Folie 15 Transportmodellierung
Approximation nach Pollock
Direkte Integration ergibt
und nach Auflösen
( )1tvx
04.06.2012 Folie 16 Transportmodellierung
Partikelwege
04.06.2012 Folie 17 Transportmodellierung
4. Partikelverfahren unter Einbeziehung der Dispersion
Advektive Bewegung gelöster Teilchen auf Stromlinie mit diffusiven Sprüngen (Brownsche Bewegung)
)()()(
)()()(
tBdtXvtX
tdBdtXvtdX
+=
+=
∫
04.06.2012 Folie 18 Transportmodellierung
• Eine zufällige Variable, die vollständig durch Mittelwert und Varianz charakterisiert ist, ist eine gaussche Variable, d.h. die Verteilung, der die Variable gehorcht, ist durch eine Gaussche Verteilung gegeben
Brownsche Bewegung
)2)(exp(
21))(( 2
2
2 σπσ
tBtBP −=
04.06.2012 Folie 19 Transportmodellierung
Brownsche Bewegung
• Auflösen der Bewegungsgleichung für die Transport in der uniformen Strömung
( ) ( ) )2
exp(21)( 2
2
2 σπσ
vtxtXP −−=
0,0 00 == txmit
04.06.2012 Folie 20 Transportmodellierung
Frage:
• Wie müssen wir die Varianz der Brownschen Bewegung wählen, damit die Lösung der 1D-Transport Gleichung reproduziert wird?
04.06.2012 Folie 21
Vergleich mit Lösung von letzter Woche
Transportmodellierung
c(x, t) = M2A πDt
exp −(x − vt)2
4Dt"
#$
%
&'
P X(t)( ) =12πσ 2
exp( −x(t)− vt( )2
2σ 2 )
Strömung 1D, v=konstant über die Fließstrecke (v(x)=konst), Eingabe einer kleinen Stoffmenge in das Fließfeld
Letzte Stunde, Euler
Diese Stunde, Lagrange
04.06.2012 Folie 22 Transportmodellierung
Varianz im1-D Transport
212dDdtσ
=
Schwerpunkt: xs = vt Breite der Verteilung:
vDxDt S /22 ==σ
04.06.2012 Folie 23
Zahlreiche Partikel werden in das Strömungsfeld eingesetzt und schrittweise die Position x(t+Δt) berechnet
dabei wird dx zu Δx=(xn-xn-1) und dt zu Δt
Mit und ξ ~ N(0,1) Zu beachten: ξ ist ein stochastischer Prozess, das heißt sein Wert ist in jedem Zeitschritt zufällig – hierfür muss eine Zufallszahl aus der richtigen Verteilung bestimmt werden.
Transportmodellierung
5. Methodische Umsetzung
dX(t) = v dt + σ ⋅ξ
σ = 2D ⋅ Δt
04.06.2012 Folie 24
Vorteile / Nachteile Partickeverfahren
Transportmodellierung
Partikelverfahren sind umfassender einsetzbar als analytische Lösungen (unter weniger idealen Bedinungen). Dabei sind sie sehr robust! Sie sind frei von numerischer Dispersion und es gibt keine Stabilitätsprobleme (dies ist nicht der Fall für andere numerische Verfahren, siehe nächste Stunde). Allerdings müssen zur realistischen Abschätzung der Konzentrationsverteilung große Anzahlen von Partikeln verwendet werden. Dies erfordert hohe Rechenzeiten.