ANLISIS

MATEMTICO II

Carlos Felipe Piedra Cceda.

Licenciado en Matemtica.

Con estudios de Maestra en Ingeniera Matemtica.

VOLMENES - I

VOLUMEN DE UN SLIDO

DE REVOLUCIN

Slido de revolucin es el que se obtiene al girar una regin del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolucin.

Diferencial de volumen

xi

f(xi)

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

MTODO DEL DISCO

2i i iV f x x

TEOREMA

Sea f una funcin continua en el intervalo [a, b] y f(x) 0 en [a, b]. El volumen del slido obtenido al girar alrededor del eje X la regin limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i in

i

b

a

V f x x

f x dx

Ejemplo 1: Calcule el volumen del slido generado al rotar alrededor del eje X la regin acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

Ejemplo 2: Calcule el volumen del slido de revolucin generado al rotar alrededor del eje Y la regin limitada por la curva y + x2 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.

y

Ejemplo 3: Calcula el volumen del slido que se obtiene al girar la regin R, alrededor del eje Y.

y

xyyxR2

0;41/, 2

Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:

El volumen obtenido al girar la regin limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y ser igual a:

d

c

dyygV2

MTODO DE LA ARANDELA

Cuando la regin a girar est limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.

Diferencial de volumen

f(xi) g(xi)

xi

ii xxgxfV 22

a b x

x

(*)

y= f(x)

y= g(x)

TEOREMA

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del slido generado al rotar alrededor del eje X la regin limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b ser:

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i in

i

b

a

V f x g x x

f x g x dx

Ejemplo 4: Calcule el volumen del slido generado al girar alrededor del eje X la regin acotada por la parbola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

Ejemplo 5:

Ejemplo 6: Calcule el volumen del slido generado al girar alrededor del eje Y la regin limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y