Diapositiva 1Cálculo de Volumen
Habilidades
Identifica los dos tipos de regiones regulares con respecto a los ejes coordenados.
Calcula área entre curvas.
Calcula volúmenes por el método del disco.
Calcula volúmenes por el método de la arandela.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólido enfrentamos el mismo problema que al tratar de calcular un área.
Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos sencillos como cilindros y prismas.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores
A
h
Volumen de un sólido de revolución
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
MÉTODO DEL DISCO
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.
y
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Método de la arandela
Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.
Diferencial de volumen
TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 4:
Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 7:
Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.
Método de los cascarones cilíndricos
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Método de los cascarones cilíndricos
En algunos casos se desea calcular el volumen de una región limitada por una función y = f(x) al girar alrededor del eje y, para lo cual se deben hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es muy complicado por lo que se usará otro método: los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el elemento diferencial de volumen?
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:
xi
xi
f(xi)
xi
xi
f(xi)
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 8:
Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 9:
La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.
y = -3
A(b)
A(a)
A(xi)
no son de revolución
El volumen del sólido será aproximadamente:
Se define el volumen V como el límite de la suma de Riemann
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 10: Calcular el volumen de una esfera de radio R.
x
y
x
R
y
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 11: Utilice la definición anterior para calcular el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado b.
h
b
yi